Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc
|
|
- Narcis Pușcașu
- 4 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 ,1 SUBIECTUL II (0p) Variana 1001 a b 1 Se consider maricea A = b a, cu a, b i b 0 a) S se arae c dac maricea X ( ) verific relaia AX = XA, aunci exis uv,, asfel încâ u v X = v u n n n n * n x ( ) ( ) ( ) ( ) b) S se arae c n, n yn a + b + a b a+ b a b A =, unde xn, y y n n x = = n c) S se rezolve în mulimea ( ) 1 X = 1 Se consider 7 6 a i polinomul f X ax 5ˆ [ X] = + + a) S se verifice c, penru orice b 7, b ˆ0, are loc relaia b 6 = ˆ1 6 b) S se arae c x + ˆ5 = ( x 4)( ˆ x + 4), ˆ x 7 c) S se demonsreze c penru orice 7 7 a, polinomul f ese reducibil în [ ] 7 X SUBIECTUL II (0p) Variana 00 1 Se consider maricea A ( ), A = 1 1 a) S se arae c exis a asfel încâ 009 b) S se calculeze ( A A ) A = aa 5 c) S se rezolve ecuaia X = A, X ( ) Penru ab, din mulimea M = [0, ) se definee operaia a b= ln( e + e 1) a) S se arae c dac a, b M, aunci a b M b) S se arae c legea de compoziie ese asociaiv c) Penru n, n, s se deermine a M asfel încâ a a a= a de nori a a b
2 SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider maricea A = ( ) a) S se verifice egaliaea b) S se calculeze 1 A A A = I c) S se arae c A 009 A ( A I ) Se consider cunoscu c (,, ) + = + ese un inel comuaiv, unde x y = x+ y i x y = x y x y+ 1, x, y a) S se arae c elemenul neuru al legii de compoziie ese 4 b) S se deermine ab, asfel încâ înre inelele (,, ) i (, +, ) s exise un izomorfism de forma f :, f( x) = a x+ b c) S se rezolve în mulimea ecuaia de 009 ori x 009 xx x= + Variana 4 4 SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider maricea A = 1 a) S se calculeze rangul maricei A b) S se demonsreze c de( A A) = 0 c) S se deermine o marice nenul B ( ), asfel încâ AB O = Se ie c ( G, ) ese grup, unde G = (, ) i x y = ( x )( y ) + Se consider funcia f :(0, ) G, f( x) = x+ a) S se calculeze 45 6 b) S se demonsreze c funcia f ese un izomorfism de grupuri, de la ((0, ), ) la (, ) G c) S se demonsreze c dac H ese un subgrup al lui G care conine oae numerele naurale k 4, aunci H conine oae numerele raionale q >
3 Variana 5 5 SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider puncele A(0, 6), B(1, 4), C( 1, 8) i maricea M = a b, unde ab, a) S se arae c puncele A, B, C sun coliniare b) S se deermine rangul maricei M în cazul a=, b= 0 c) S se arae c dac unul dinre minorii de ordin rei ai lui M, care conin ulima coloan, ese nul, aunci rang( M ) = Pe mulimea definim legea de compoziie x y = 5xy+ 6x+ 6y+ 6 a) S se arae c legea ese asociaiv b) S se deermine elemenele simerizabile ale mulimii în rapor cu legea c) S se rezolve ecuaia x x x x= 1 de 009 ori x Variana 6 6 SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider permuarea σ= S a) S se calculeze 009 σ b) S se dea exemplu de o permuare τ S5 asfel încâ τσ e i ( τσ ) = e c) S se demonsreze c, penru orice τ S5, exis p asfel încâ τ = e Se consider a, x 1 x, x rdcinile ecuaiei x x + x a= 0 i deerminanul Δ= x1 x x x x1 x x x x1 a) Penru a = 1, s se deermine x1, x i x b) S se arae c, penru orice a, ecuaia are o singur rdcin real c) S se arae c valoarea deerminanului Δ nu depinde de a p
4 7 SUBIECTUL II (0p) Variana x+ y+ z+ 4 = Se consider maricele A= 0 1, B= ( ) i sisemul y+ z+ = z + = 1 a) S se deermine rangul maricei A b) S se deermine mulimea soluiilor sisemului c) S se demonsreze c ecuaia XA = B nu are soluii X 1, ( ) k k Se consider mulimea A ( ) k k = =, i penru fiecare nom cu H = { A( k 1) k } Se admie fapul c ( G, ) ese un grup, unde ese înmulirea maricelor a) S se arae c n, p, An ( ) Ap ( ) = An ( + p+ 1) b) S se demonsreze c, penru orice, H ese un subgrup al grupului ( G, ) c) S se demonsreze c grupurile ( G, ) i (, + ) sun izomorfe Variana 8 8 SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider maricea A = ( ) a) S se calculeze de ( A ) b) S se arae c c) S se deermine n n n 1 + A = A + I, penru orice n 1 A Se consider a i ecuaia x x+ a= 0, cu rdcinile complexe x1, x, x a) S se calculeze ( x1+ 1)( x + 1)( x + 1) b) S se deermine x i x iind c x 1 = c) S se deermine a penru care x1, x, x sun numere înregi
5 Variana 9 9 SUBIECTUL II (0p) Variana Fie A( x, y ), B( x, y ), C( x, y ) rei punce din plan i maricea M = x y 1 ( ) A A B B C C x x A B C y y A B C 1 1 a) S se arae c, dac A, B, C se afl pe dreapa de ecuaie y= x, aunci de ( M ) = 0 b) S se arae c, dac riunghiul ABC ese drepunghic i are caeele de lungime 1, aunci de ( M ) =± 1 c) S se arae c, dac maricea M ese inversabil, aunci suma elemenelor maricei 1 M ese 1 a b Se consider mulimea de marice A= a, b b a a) S se arae c, dac X A i Y A, aunci X + Y A b) S se arae c, dac X A,Y A i XY = O, aunci X = O sau Y = O c) Admiem cunoscu fapul c A ese inel în rapor cu adunarea i înmulirea maricelor S se deermine elemenele inversabile ale acesui inel Variana SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider permurile e, α S, e = 1, 1 α= 1 a) S se calculeze α b) S se rezolve ecuaia α 009 x= e, x S c) S se demonsreze c, oricare ar fi ordinea facorilor, produsul uuror permurilor din S ese permuare impar Fie inelul [] i = { a+ bi a, b } a) S se dea exemplu de un numr complex z asfel încâ z [] i z i b) S se deermine elemenele inversabile ale inelului [] i c) S se arae c mulimea H = ( m+ n) + ( m n) i m, n ese pare sabil a lui [] i în rapor cu înmulirea { } i [ ]
6 11 Variana 11 SUBIECTUL II (0p) Variana 011 a b c d b a d c 1 Penru abcd,,,, se consider maricea A = c d a b d c b a a) Penru a = c = 1 i b= d = 0, s se calculeze de ( A ) b) S se arae c A A =α I4, unde α= a + b + c + d c) S se demonsreze c dac A O4, aunci A ese inversabil Se consider a, b, c i polinomul încâ x1 1, x 1, x 1 a) S se demonsreze c a b) S se arae c, dac 0 c) S se arae c, dac a= 1, c= 1, aunci b = 1 i maricea ranspus A f = X + ax + bx + c, cu rdcinile 1,, x x x, asfel c <, polinomul are cel puin o rdcin real în inervalul ( ) 0, Variana 1 1 SUBIECTUL II (0p) Variana 01 1 Se consider polinoamele f, g [ X], f = X + X + 1, cu rdcinile complexe x1, x i c b a g = ax + bx + c, cu a 0 Fie maricele AV, ( ), A = a c b i V = 1 x b a c 1 x 1 x1 x a) S se arae c de ( V ) = ( x x1) g(1) g( x1) g( x) b) S se arae c A V = g(1) x1g( x1) xg( x) g(1) x1g( x1) xg( x) c) S se arae c de ( A ) = 0 dac i numai dac a+ b+ c= 0 sau a = b = c Se consider funcia f : 5 5, f ( x) = x + 4x a) S se calculeze f (0) ˆ i f (1) ˆ b) S se arae c funcia f nu ese surjeciv 4 c) S se descompun polinomul X + ˆ4 X 5[ X] în facori ireducibili pese 5 4 ˆ
7 Variana 1 1 SUBIECTUL II (0p) Variana 01 x y+ z = 1 1 Se consider sisemul de ecuaii x + y + z =, unde m Penru fiecare m, nom cu S m mx+ y+ z = m mulimea soluiilor reale ale sisemului a) S se deermine m penru care sisemul are soluie unic b) S se arae c penru orice m sisemul ese compaibil c) S se deermine min { x y z ( x, y, z) S } 1 Se consider maricele { ( ) de ( ) 1} G = X X = a) S se verifice c A = 1 0, 0 1 B = 1 1, 1 0 I = 0 1, C = A B i mulimea A 4 = B 6 = I b) S se arae c ( G, ) ese un subgrup al grupului muliplicaiv al maricelor inversabile de ordin doi, cu elemene numere complexe c) S se demonsreze c C I, penru orice n n 14 SUBIECTUL II (0p) Variana a b c 1 Se consider maricea A a b c =, unde abc,, a b c a) S se calculeze rangul maricei A b) S se arae c exis d asfel încâ A = da c) S se arae c exis maricele ( ) K M,1 Se consider numrul a i L M 1, ( ) = i i polinomul f [ X] a) S se arae c f( a ) = 0 b) S se deermine rdcinile polinomului f c) S se arae c polinomul f ese ireducibil în [ X ] asfel încâ A= K L, 4 f = X 4X + 16
8 Variana SUBIECTUL II (0p) Variana 015 a b c 1 Fie a, b, c i maricea A = c a b b c a a) S se calculeze de ( A ) b) S se arae c dac a b c i A nu ese inversabil în ( ) 1 ax+ by+ cz = x 1 c) S se arae c sisemul de ecuaii liniare cx+ ay+ bz = y 1 bx+ cy+ az = z Se consider polinomul f [ X] a) S se calculeze, x x x x 1 4 4, aunci a = b = c admie numai soluia x= y = z = 0 f = X 5X + 5, cu rdcinile x1, x, x, x4 b) S se arae c polinomul f are oae rdcinile reale c) S se arae c dac g ese un polinom cu coeficieni reali care are proprieaea c penru orice x real g( x) f( x), aunci exis a [ 1,1] asfel încâ g = af Variana SUBIECTUL II (0p) Variana 016 a b 1 Se consider mulimea G= X = a, b, a> a) S se arae c dac A, B G, aunci AB G b) S se gseasc dou marice C, D G penru care CD DC c) S se arae c dac A G, aunci Se consider abc,, i polinomul I A+ A G f = X + ax + bx + c a) S se deermine a, b, c asfel încâ polinomul f s aib rdcinile x1 = x = 1 i x = b) S se arae c dac f are rdcina, aunci f are o rdcin raional c) S se arae c dac abc,,, iar numerele f (0) i f (1) sun impare, aunci polinomul f nu are rdcini înregi
9 Variana SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider maricele A = 0 1 i 8 B = 1 a) S se calculeze A B 4 b) S se calculeze de( I + A+ A + A + A ) c) S se arae c ecuaia X = I are o infiniae de soluii în ( ) 4 Se consider polinoamele f, g [ X], f X X X X 1 M i g = X 1 a) S se deermine resul împririi polinomului f la polinomul g 1 x 1 x 1 x 1 x b) S se calculeze ( 1) ( ) ( ) ( 4) c) S se calculeze g ( x ) g( x ) g( x ) g( x ) 1 4 = , cu rdcinile x1, x, x, x4 Variana SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider maricea A = ( ) a) S se calculeze A b) S se afle rangul maricei I + A + A c) S se deermine inversa maricei Se consider ab, i polinomul f = X + 4aX + 0X + b, cu rdcinile x1, x, x a) S se deermine x1, x, x în cazul a=, b= 0 b) S se demonsreze c ( x1 x) + ( x1 x) + ( x x) = 8(4a 15) c) S se deermine ab, asfel încâ polinomul f s aib o rdcin dubl egal cu a
10 Variana SUBIECTUL II (0p) Variana 019 x + y+ z+ = 1 x y + z + = 0 1 Se consider sisemul i A maricea sisemului x + y z + = 0 x + y+ z = 0 a) S se calculeze de ( A ) b) S se rezolve sisemul 1 c) S se deermine A Fie polinomul f X 4 X ax X 1 [ X] a) S se calculeze b) S se arae c ( ) = i x1, x, x, x4 rdcinile sale x x x x f x = x x + x + a+, x x x c) S se deermine a penru care oae rdcinile polinomului f sun numere reale Variana 0 0 SUBIECTUL II (0p) Variana 00 1 Se consider riunghiul ABC, cu laurile AB = c, BC = a, CA = b i sisemul ay+ bx= c cx+ az = b bz+ cy = a a) S se rezolve sisemul în cazul a=, b= 4, c= 5 b) S se demonsreze c, penru orice riunghi, sisemul are soluie unic,, x, y, z 1,1 c) iind c soluia sisemului ese ( x y z ), s se demonsreze c ( ) a b Se consider mulimea G= a, b b a a) S se deermine numrul elemenelor mulimii G b) S se arae c AB G, penru orice A, B G c) S se deermine numrul maricelor din mulimea G care au deerminanul nul
11 Variana 1 1 SUBIECTUL II (0p) Variana 01 1 Penru abc,,, se consider sisemul ax+ by+ cz = b cx+ ay+ bz = a bx+ cy+ az = c, xyz,, a) S se arae c deerminanul sisemului ese Δ= ( a + b + c)( a + b + c ab ac bc) b) S se rezolve sisemul în cazul în care ese compaibil deermina c) iind c a + b + c ab ac bc = 0, s se arae c sisemul are o infiniae de soluii ( x, y, z ), asfel încâ x + y = z 1 a b Se consider mulimea G= abc,, 0 c 4 a) S se deermine numrul elemenelor mulimii G b) S se dea un exemplu de marice A G cu proprieaea c de A 0ˆ i 1ˆ 0ˆ c) S se deermine numrul soluiilor ecuaiei X = 0ˆ 0ˆ, X G de A = 0ˆ Variana SUBIECTUL II (0p) Variana 0 x+ y+ z = 0 1 Fie sisemul ax + by + cz = 0, cu a, b, c, disince dou câe dou i A maricea sisemului ax+ by+ cz= 1 a) S se arae c de ( A) = ( a+ b+ c)( c b)( c a)( b a) b) S se rezolve sisemul în cazul a+ b+ c 0 c) S se demonsreze c dac a+ b+ c= 0, aunci sisemul ese incompaibil Se consider irul de numere reale ( an) n, cu a 0 = 0 f [ X], cu f (0) = 0 i cu proprieaea c a) S se calculeze f ( 5) b) S se arae c n, f ( a ) c) S se arae c f = X n = a n 1 1 i an+ = an +, n i polinomul f( x + 1) = ( f( x)) + 1, x
12 Variana SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider maricea A = 1 0 b C A = X = a, b a i mulimea ( ) a 5 b a) S se arae c X C( A), XA = AX b) S se arae c dac Y C( A) i Y = O Y O c) S se arae c dac Z C( A), Z O =, aunci i Z are oae elemenele raionale, aunci de Z 0 Se consider f = X + ˆ X + a X f 0 ˆ + f 1 ˆ + f ˆ a i polinomul [ ] a) S se calculeze ( ) ( ) ( ) b) Penru a = ˆ, s se deermine rdcinile din ale polinomului f c) S se deermine a penru care polinomul f ese ireducibil în [ X ] Variana 4 4 SUBIECTUL II (0p) Variana 04 1 Se consider o marice A ( ) a) S se demonsreze c z b) S se demonsreze c de ( A A ) = 0 c) iind c Se noeaz cu A ranspusa maricei A, X ( ), de ( zx) z de ( X) A A, s se demonsreze c rang ( A A ) = 4 = Se consider polinomul f [ X], cu f = X 5X + 4 a) S se deermine rdcinile polinomului f b) S se deermine polinomul h [ X ], penru care h (0) = 1i ale crui rdcini sun inversele rdcinilor polinomului f g = g 1 = g 1 = g =, c) iind c g ese un polinom cu coeficieni înregi, asfel încâ ( ) ( ) ( ) ( ) s se arae c ecuaia g( x ) = 0 nu are soluii înregi
13 Variana 5 5 SUBIECTUL II (0p) Variana 05 1 În mulimea S a permurilor de elemene se consider permuarea a) S se verifice c permuarea σ ese par b) S se deermine oae permurile x S, asfel încâ xσ=σ x x c) S se rezolve ecuaia = σ, cu x S Se consider maricea A = σ= 1 { \ 1 } i mulimea G = X ( a) = I + aa a { } a) S se arae c ab, \{ 1}, X ( a) X ( b) = X ( ab+ a+ b) b) S se arae c ( G, ) ese un grup abelian, unde,, reprezin înmulirea maricelor c) S se deermine asfel încâ X(1) X() X(009) = X( 1) Variana 6 6 SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider maricele A = 1 0 i cos sin B = sin cos, cu a) S se arae c dac maricea X ( ) verific relaia AX = XA, aunci exis ab,, asfel încâ a b X = b a b) S se demonsreze c n, * n cos n sin n B = sin n cos n c) S se rezolve în mulimea ( ) ecuaia X = A Se consider a i polinomul a) S se calculeze f = X X + X + ax 1 [ X] , unde x1, x, x, x4 sun rdcinile polinomului f x x x x b) S se deermine resul împririi polinomului f la ( X 1) c) S se demonsreze c f nu are oae rdcinile reale
14 Variana 7 7 SUBIECTUL II (0p) Variana 07 1 În mulimea ( ) ', se consider maricele a) S se deermine rangul maricei A+ I 0 0 A = 1 0 i 1 0 I = 0 1 b) S se demonsreze c dac X '( ) asfel încâ AX = XA, aunci exis x, y asfel x 0 încâ X = y x c) S se demonsreze c ecuaia Y = A nu are nicio soluie în mulimea '( ) Pe mulimea se definee legea de compoziie x y = x+ y+ xy a) S se arae c legea ese asociaiv b) Fie funcia f :, f ( x) = x+ 1 S se verifice relaia f ( x y) = f ( x) f ( y), x, y c) S se calculeze Variana 8 8 SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider maricea A = 0 8 a) S se rezolve ecuaia de( A xi) = 0 X verific relaia AX = XA, aunci exis ab, asfel b) S se arae c dac maricea ( ) încâ a 0 X = 0 b c) S se deermine numrul de soluii ale ecuaiei X Se consider mulimea de funcii ( ) = A, X ( ) * { ab, : ab,,, } G = f f x = ax+ b a b a) S se calculeze f 1, f 1,, unde ese compunerea funciilor b) S se demonsreze c ( G, ) ese un grup c) S se arae c grupul G conine o infiniae de elemene de ordin
15 Variana 9 9 SUBIECTUL II (0p) Variana 09 x+ y+ z = 0 1 Se consider sisemul mx + y + z = m 1, m i maricea x + my + z = 1 a) S se deermine m penru care de ( A ) = A= m m b) S se arae c penru orice m sisemul ese compaibil c) S se deermine m iind c sisemul are o soluie ( x0, y0, z 0) cu z 0 = Se consider mulimea ( ), submulimea ( ) O 0ˆ 0ˆ 1ˆ 0ˆ = 0ˆ 0ˆ i I = ˆ ˆ 0 1 a) S se verifice c dac x, y, aunci b) S se arae c mulimea H G\{ O} inversabile din ( ) c) S se rezolve ecuaia x y ˆ0 G X a ˆ b = X = b a i maricele + = dac i numai dac x= y = ˆ0 = ese un subgrup al grupului muliplicaiv al maricelor X = I X G, Variana 0 0 SUBIECTUL II (0p) Variana 00 1 Se consider numerele reale a, b, c, funcia A = a b c i a b c B = a b c f( a) f( b) f( c) a) S se arae c A = ( a b)( b c)( c a)( a+ b+ c) f :, f( x) = x + x+ i deerminanii b) S se arae c A= B c) S se arae c, penru orice rei punce disince, cu coordonae naurale, siuae pe graficul funciei f, aria riunghiului cu vârfurile în acese punce ese un numr naural divizibil cu 1 Se consider maricea A = 9 i mulimea G = { X ( a) = I + aa a } a) S se arae c ab,, X ( a) X ( 0) = X ( a) i X ( axb ) ( ) = Xa ( + b 10 ab) 1 b) S se arae c mulimea H = X( a) a \ ese pare sabil a lui 10 ( ) în rapor cu înmulirea maricelor c) S se rezolve ecuaia X G,
16 Variana 1 1 SUBIECTUL II (0p) Variana 01 x+ 1 x 1 1 x 1 1 Penru x se consider maricea Ax ( ) = ( ) a) S se verifice c ( ) A( x) = xa( x) b) S se deermine oae numerele complexe x penru care ( ) ( ) c) S se arae c ecuaia X = A( 0, ) X M ( ) nu are soluii Se consider polinomul f [ X] f = a X + a X + + a X + a a) S se calculeze a a , f ( X i) ( X i) b) S se deermine resul împririi polinomului f la X 1 c) S se demonsreze c polinomul f are oae rdcinile reale 4 A( x) + A( x) = O = + +, care are forma algebric Variana SUBIECTUL II (0p) Variana 0 ax + y + z = 1 1 Se consider în sisemul x + ay + z = 1, a x + y + az = a a) S se arae c deerminanul maricei sisemului are valoarea ( a+ )( a 1) b) S se rezolve sisemul în cazul în care ese compaibil deermina c) S se rezolve sisemul în cazul a = a 10b Se consider mulimea G ( ), G= a, b, a 10b = 1 b a a) S se verifice c A= G 6 19 b) S se arae c X Y G, penru oricare X, Y G c) S se demonsreze c mulimea G ese infini
17 Variana SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider maricele I = 0 1 0, a) S se calculeze B 1 b) S se calculeze B c) S se demonsreze c abc,,, ( a+ b+ c) de ( A) 0 Se consider corpul ( 7,, ) H = { x x 7} a) S se arae c H = {0,1, ˆˆˆˆ,4} b) S se arae c, penru orice a 7 exis xy, 7 asfel încâ 000 c) S se arae c { x x } = H B = i A = ai bb + cb, abc,, a = x + y 4 Variana 4 SUBIECTUL II (0p) Variana 04 1 Se consider maricele K = ( 1 4 ) M1, ( ), L= 5 M,1 ( ) i A= LK 6 a) S se calculeze suma elemenelor maricei A b) S se arae c A = A n c) S se arae c rangul maricei A ese 1, oricare ar fi n Pe mulimea se consider legea de compoziie x y = axy x y+ 6, x, y, unde a ese o consan real 1 a) Penru a =, s se demonsreze c legea ese asociaiv 1 b) S se arae c legea admie elemen neuru daci numai dac a = c) S se arae c, dac inervalul [ 0, 6 ] ese pare sabil a lui în rapor cu legea, aunci 1 1 a, 6
18 5 SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider maricele A = 0 i 1 4 a) S se arae c ecuaia AX B b) S se verifice c A = 10A c) S se deermine rangul maricei B = 1 5 = are o infiniae de soluii ( ) * A, adjunca maricei A X Se consider mulimea [ ] = { a+ b a, b }, funcia f : [ ], f( a+ b ) = a b, ab, a) S se arae c 7+ 5 A b) S se arae c, penru orice xy, c) S se arae c mulimea A ese infini,1 { 1} i mulimea A x f ( x) = =, f ( xy) f ( x) f ( y) = 6 SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider maricele O = 0 0 a b i A = c d ( ) a) S se arae c a+ d = 0 b) S se arae c maricea I + A ese inversabil c) S se arae c ecuaia AX O Se consider polinomul, cu proprieaea c = are o infiniae de soluii în mulimea ( ) 4 A = O f = X X + 9, cu rdcinile x1, x, x, x4, numrul a= + i { } {,grad } i mulimile A = g( a) g [ X] i B h( a) h [ X] ( h) a) S se calculeze f ( a ) b) S se calculeze x1 + x + x + x4 c) S se arae c A= B =
19 Variana 7 7 SUBIECTUL II (0p) Variana 07 a a+ 1 a+ 1 Se consider maricea A= b b+ 1 b+, cu ab, 1 1 a a) S se arae c de ( A) ( a b)( a 1) b) S se calculeze de ( A A ) = c) S se arae c rang A, ab, Se consider polinomul f [ X] x1, x, x, f X px qx r = + + +, cu,, ( 0, ) 0, a) S se demonsreze c f nu are rdcini în inervalul [ ) pqr i cu rdcinile b) S se calculeze x1 + x + x în funcie de p, q i r c) S se demonsreze c dac a, b, c sun rei numere reale asfel încâ a+ b+ c< 0, ab + bc + ca > 0 i 0 abc <, aunci,, (,0) abc Variana 8 8 SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider maricea A = i mulimea de marice a) S se calculeze A b) S se arae c dac X ( ) i AX = XA, aunci X M c) S se arae c ecuaia Se consider polinomul X a) S se arae c numrul f ( ) f ( 1) b) S se arae c, penru orice, = A nu are soluii în M ( ) 4 f = ax + bx + c, cu abc,, ese numr par xy, numrul f ( x) f ( y) a 0 0 M= b a 0 abc,, c b a ese divizibil cu x y c) S se deermine coeficienii polinomului f iind c f (1) = 4 i f( b ) =
20 Variana 9 9 SUBIECTUL II (0p) Variana 09 x+ y+ z = 0 1 Se consider sisemul ax + by + cz = 0, cu abc,, bcx + acy + abz = 0 a) S se calculeze de ( A ) i A maricea sisemului b) S se rezolve sisemul, în cazul în care a, b, c sun disince dou câe dou c) S se deermine mulimea soluiilor sisemului, în cazul în care a = b c Se consider mulimea M = { a+ b 5 a, b, a 5b = 1} a) S se arae c x = M b) S se demonsreze c M ese grup în rapor cu înmulirea numerelor reale c) S se demonsreze c mulimea M are o infiniae de elemene 40 Variana 40 SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider maricele I = 0 1 0, A = 9 6, B = I + A, C = I + aa, cu a a) S se calculeze S = A XY b) S se deermine a asfel încâ BC = I c) S se arae c Se consider polinomul n+ 1 n A = 14 A, n 1 X = f = X 1 [ X] i numrul \, Y = ( 1 ), ε, asfel încâ ( ) 0 a) S se demonsreze c ε +ε+ 1= 0 x+ y+ z= 0 b) S se rezolve în mulimea numerelor complexe sisemul x + y ε+ z ε = 0 x + y ε + z ε= 0 f ε = c) S se arae c, dac f divide f1( X ) + Xf( X ) + X f( X ), unde f1, f, f sun polinoame cu coeficieni compleci, aunci fiecare dinre polinoamele f1, f, f ese divizibil cu X 1
21 Variana SUBIECTUL II (0p) Variana Penru pqr,,, se consider sisemul x + py + p z = p x + qy + q z = q x + ry + r z = r a) S se arae c deerminanul sisemului ese Δ= ( p q)( q r)( r p) b) Dac p, q, r sun disince, s se rezolve sisemul 1,1,1, aunci cel puin dou dinre numerele pqr,, c) S se arae c, dac sisemul are soluia ( ) sun egale a b Se consider inelul ( A, +, ) unde A= a, b 5 b a a) S se deermine numrul elemenelor mulimii A b) S se rezolve în mulimea A ecuaia X = I c) S se arae c ( A, +, ) nu ese corp 4 Variana 4 SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider maricele AB, ( ), cu AB BA = A i maricele A0 = 0 0, 1 0 B0 = 0 a) S se deermine rangul maricei A 0 b) S se arae c A0B0 B0A0 = A0 n n n c) S se demonsreze c A B BA = na, penru orice n, n Se consider polinomul f [ X], f = 4X 1X + ax + b a) S se deermine ab,, asfel încâ polinomul f s se divid cu polinomul X 1 b) S se deermine ab,, asfel încâ ecuaia f ( x ) = 0 s aib soluia x= i c) S se deermine ab,, asfel încâ polinomul s aib rdcinile x1, x, x în progresie arimeic i, în plus, 1 11 x + x + x =
22 4 Variana 4 SUBIECTUL II (0p) Variana 04 a b 1 1 Se consider mulimea M = a, b, c, d c d i maricea A = M 1 a) Câe marice din mulimea M au suma elemenelor egal cu 1? 1 b) S se arae c A M 1 c) S se deermine oae maricele inversabile B M care au proprieaea B M 4 Se consider ecuaia x 8x + ax + 8x+ b= 0, cu ab, i cu soluiile x1, x, x, x4 x + x x + x + x x + x x + x + x x x + x + x x x = a a) S se arae c ( )( ) ( ) ( ) b) S se deermine a asfel încâ x1+ x4 = x + x c) S se deermine ab,, asfel încâ x1, x, x, x 4 s fie în progresie arimeic Variana SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider maricele A = i B = a) S se calculeze AB + BA rang A + B = rang A+ rang B b) S se arae c ( ) n n n c) S se demonsreze c ( ), A+ B = A + B n Se consider polinomul f X 4 ax 4X 1 [ X] = cu rdcinile x1, x, x, x4 a) S se deermine a asfel încâ polinomul f s se divid cu X b) S se arae c polinomul g = X + 4X + ax + 1 are rdcinile,,, x x x x 1 4 c) S se arae c, penru orice a, polinomul f nu are oae rdcinile reale
23 Variana SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider maricele A =, 1 0 B = 1 1 a) S se arae c B C( A) b) S se arae c dac X C( A) c) S se rezolve ecuaia { } i mulimea ( ) ( ), aunci exis x, y, asfel încâ X + X = A Se consider mulimea G = ( 1,1), funcia : ( x, y) x y, unde x+ y x y=, x, y G 1 + xy f G, f ( x) C A = X XA = AX x 0 X = y x 1 x = i corespondena 1 + x a) S se arae c aceas coresponden definee o lege de compoziie pe G b) S se arae c x, y G, f( x y) = f( x) f( y) c) iind c operaia " " ese asociaiv, s se calculeze Variana SUBIECTUL II (0p) Variana 046 a b 1 Se consider maricea A = ( ) c d a) S se demonsreze c x b) Dac c) iind c, ( ) ( ) A = O, s se demonsreze c a+ d = 0 A O =, s se calculeze de ( A I ) Se consider mulimea ( ) ( a, b) ( c, d) = ( ac+ bd, ad + bc) de A xi = x a + d x + ad bc + {, 1 } G = a b a b = i operaia a) S se deermine a penru care ( a,15) G b) S se arae c, penru orice ( a, b),( c, d) G, (, ) (, ) c) S se arae c ( G, ) ese grup a b c d G
24 Variana SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider maricele A = 4, 1 1 B = 0 1 f ( X ) = AX XA a) S se deermine rangul maricei A b) S se calculeze f ( B ) c) S se arae c ecuaia f ( X) = B nu are soluii Se consider polinoamele f, g [ X], x1, x, x rdcinile polinomului f i funcia f : ( ) ( ) f = X + a X a,, g = ax a X 1, cu a) S se calculeze x1 + x + x b) S se arae c rdcinile polinomului g sun inversele rdcinilor polinomului f c) S se arae c polinoamele f i g nu au rdcini reale comune * a i 48 Variana 48 SUBIECTUL II (0p) Variana 048 x+ y+ z = 1 1 Se consider sisemul x y+ z = 1, unde a i b sun parameri reali 7x y+ az = b a) S se deermine a penru care deerminanul sisemului ese egal cu zero b) S se deermine valorile paramerilor ab, penru care sisemul ese incompaibil c) S se arae exis o infiniae de valori ale numerelor a i b penru care sisemul admie o soluie x, y, z, cu x, y, z în progresie arimeic ( ) cos sin Se consider mulimea G= X () = sin cos a) S se arae c X () X ( u) = X ( + u),, u b) S se deermine iind c X () ( ) c) S se arae c mulimea G formeaz grup abelian în rapor cu înmulirea maricelor
25 49 Variana 49 SUBIECTUL II (0p) Variana 049 x+ ay = 1 1 Se consider a, sisemul y + az = a i A maricea sa z + x 1 a) S se arae c de A 0 b) S se arae c soluia sisemului ese forma din rei numere în progresie geomeric c) S se deermine inversa maricei A Se consider pe legea de compoziie da de relaia x y= xy 5x 5y+ 0, x, y i mulimea G = ( 5, ) a) S se arae c legea " " are elemen neuru b) S se demonsreze c G ese grup abelian în rapor cu legea " " c) S se rezolve în grupul ( G, ) sisemul x y = z y z = x z x = y Variana SUBIECTUL II (0p) Variana 050 a 1 Se consider maricele 1 a a A =, ( ) b1 b b, ranspusa A, ( ), B = AA, i puncele Pk ( ak, b k), unde k { 1,, } a) S se calculeze B iind c P 1 (1,), P (,4), P (, 6) b) S se arae c de ( B) 0, oricare ar fi puncele P1, P, P c) S se arae c de ( ) 0 B = dac i numai dac puncele P1, P, P sun coliniare pe o dreap care rece prin originea axelor ˆ1 a b Se consider mulimea 0ˆ 1ˆ 0 ˆ M = a, b 5 0ˆ 0ˆ 1ˆ a) S se deermine numrul elemenelor mulimii M b) S se arae c AB M, penru orice A, B M c) S se arae c ( M, ) ese un grup, unde ese înmulirea maricelor
26 Variana SUBIECTUL II (0p) Variana Fie irul ( n ) n 0 F, da de F 1 = F + F 1, n, F0 = 0, F1 = 1 i maricea n+ n n a) S se verifice relaia b) S se arae c, dac X M( ), X O i AX = XA, aunci X ese inversabil n F c) S se arae c n 1 F A + n =, n 1 Fn F n Fie σπ, S5, σ=, π= a) S se demonsreze c σπ πσ n b) S se deermine numrul elemenelor mulimii H { n * } n c) S se arae c H = { π n * } ese un subgrup al grupului 5 = π ( S, ) 1 1 A = 1 0 Variana 5 5 SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider permuarea σ S6, σ= a) S se deermine 1 σ b) S se arae c permurile σ i c) S se arae c ecuaia 1 σ au acelai numr de inversiuni 4 x =σ nu are soluii în grupul ( 6, ) S Fie legea de compoziie, defini pe prin x y = xy x y+, x, y, i funcia f :, f( x) = x+ 1 a) S se arae c (1, ) ese pare sabil în rapor cu b) S se demonsreze c f( xy) = f( x) f( y) penru orice xy, c) iind c legea ese asociaiv, s se rezolve în ecuaia xx x= 105 de 10 ori x
27 Variana 5 5 SUBIECTUL II (0p) Variana 05 1 Penru orice marice A ( ), se noeaz C( A) = { X ( ) AX = XA} Se consider maricele E1 =, E, E, E4 0 0 = 1 0 = = a) S se arae c dac X, Y C( A), aunci X + Y C( A) b) S se arae c dac E1, E C( A), aunci exis α asfel încâ A=α I c) S se arae c dac C( A ) conine rei dinre maricele E1, E, E, E 4, aunci o conine i pe a para Fie a = 1 4 5, b = dou permuri din grupul ( S5, ) a) S se rezolve în S 5 ecuaia ax = b b) S se deermine ordinul elemenului ab în grupul ( S5, ) c) Fie k cu k b = e S se arae c 6 divide k Variana SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider maricele A = 1 0 i 0 1 B = 1 1 a) S se verifice c AB BA b) S se arae c 4 6 A + B = I c) S se arae c, penru orice n, ( AB) n I F, F = 0, F = 1, F = F + F, n 1 i polinoamele Se considerirul ( n) 0 1 n+ 1 n n 1 n n n n n n 1 P, Q [ X], P= X X 1, Q = X F X F, n a) S se arae c polinomul X X 1 ese divizibil cu P b) S se deermine rdcinile reale ale polinomului Q c) S se arae c, penru orice n, polinomul Q n ese divizibil cu P
28 Variana SUBIECTUL II (0p) Variana 055 a b 1 Maricea A = ( ) b a a) S se arae c b) S se arae c, dac a i irurile ( x ), ( y ) n+ n+ n n x 1+ y 1 = ( a + b )( x + y ), n + b 1, aunci irurile ( x ), ( y ) n n n n verific n+ 1 yn+ 1 n n n n c) S se arae c, dac a = 1 i b =, aunci xn+ 6 64xn Se consider corpul ( 11,, ) a) S se arae c ecuaia x = ˆ8 nu are soluii în 11 b) S se deermine numrul polinoamelor de grad doi din 11[ X ] c) S se arae c polinomul X + X + ˆ1 ese ireducibil în [ ] 11 X x x A n =, n y n sun mrginie 56 Variana 56 SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider maricea A = ( ) 1 i funcia f : ( ) ( ), f ( X) = AX a) S se arae c f ( A) = I b) S se arae c f( X + f( X)) = X + f( X), X ( ) c) S se arae c funcia f ese bijeciv 1 0 Se consider maricea A = 1 1 i mulimea M = { X ( ) AX = XA} a) S se arae c dac X, Y M, aunci XY M b) S se arae c G = { X M dex 0} ese grup în rapor cu înmulirea maricelor c) S se deermine elemenele de ordin doi din grupul G, defini la puncul b)
29 Variana SUBIECTUL II (0p) Variana x 1 Fie maricele ( ) i n x A= M,1( ), y cu n+ 1 xn A, n n y = n+ 1 y i x0 = 1, y0 = 0 n a) S se deermine x1, x, y1 i y b) S se arae c x + y = (+ ), n n n n c) S se arae c xn+ 6xn+ 1+ xn = 0, n 0 Se consider mulimile de clase de resuri ˆˆˆˆˆˆ ˆ 7 = {0,1,,,4,5,6} i 6 = {0,1,,,4,5} a) S se rezolve în corpul ( 7, +, ) ecuaia ˆx + 4ˆ = 0 ˆ b) S se deermine ordinul elemenului ˆ în grupul ( 7, ) * 6 7 c) S se arae c nu exis niciun morfism de grupuri f :(, + ) (, ) cu ( ) ˆ f = 58 SUBIECTUL II (0p) Variana a b 1 Fie abcd>,,, 0, maricea A = c d i funcia ( ) ( ) : 0, 0,, ( ) ax + b f f x = cx + d n a Se noeaz n b A n = cn d n, unde n * a) S se arae c dac de A = 0, aunci f ese funcie consan b) S se arae c, dac de A 0, aunci funcia f ese injeciv c) S se arae c ( )( ) ax n + bn f f f f x =, n cx+ d de n ori f n Se consider maricele A=, B 0 0 = 0 0 i mulimea G= { I + aa+ bb a, b, a 1} a) S se arae c orice marice din G ese inversabil b) S se arae c G ese un subgrup al grupului muliplicaiv al maricelor inversabile din ( ) c) S se arae c ecuaia X = I are o infiniae de soluii în G n
30 59 SUBIECTUL II (0p) Variana mx + y + z = 0 1 Se consider sisemul x + y + z = 0, cu m x y 4z 0 a) S se deermine m penru care maricea sisemului are deerminanul nenul b) S se deermine m asfel încâ sisemul s admi cel puin dou soluii c) S se deermine m penru care drepele d1: mx+ y+ 1= 0, d: x+ y+ = 0, d: x y+ 4= 0 sun concurene m n Se consider mulimea H = m, n 5, m=± a) S se verifice c dac A = 0 1 i B = 0 1, aunci B A= A B b) S se arae c H ese un grup cu 10 elemene în rapor cu înmulirea maricelor c) S se deermine numrul elemenelor de ordinul din grupul H 60 Variana 60 SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider maricea A = 4 i funcia f : ( ) ( ), f ( X) = AX a) S se calculeze f ( A) b) S se arae c ( f f)( X) = O, X ( ) c) S se arae c f( X) + f( Y) I, X, Y ( ) { } Se consider mulimea ( ) P = A AA = I, unde A ese ranspusa maricei A 0 1 a) S se verifice dac maricea 1 0 aparine mulimii P b) S se arae c înmulirea maricelor deermin pe mulimea P o srucur de grup necomuaiv c) S se arae c, dac AB, P, X ( ) i AX = B, aunci X P
31 Variana SUBIECTUL II (0p) Variana a b 1 Se consider mulimea G= Mab, Mab, = 0 1 0, a, b ( ) a) S se arae c M, M, = M,, a, b, c, d a b c d a+ c b+ d b) S se arae c orice marice din G ese inversabil c) S se calculeze, în funcie de a i b, rangul maricei Ma, b Ma, b ( M ab, ese ranspusa lui M ab, ) Se consider un grup ( K, ), unde K { eabc,,, } a) S se rezolve în grupul K ecuaia b) S se arae c ab = c c) S se arae c grupul (, ) x =, e ese elemenul neuru i = e K nu ese izomorf cu grupul ( ) 4,+ a = b = c = e 6 Variana 6 SUBIECTUL II (0p) Variana 06 a b 1 Fie maricea A = ( ) c d cu proprieaea c A = A 1 a) S se arae c maricea B = 1 verific relaia B = B b) S se arae c, dac a+ d, aunci A = O sau A = I c) S se arae c, dac a d de A = 0 Se consider polinoamele + =, aunci ( ) 4 6 f, g [ X], f = X 1, g = X 1 a) S se arae c un cel mai mare divizor comun al polinoamelor f i g ese X 1 b) S se deermine numrul soluiilor complexe disince ale ecuaiei f ( x) g( x ) = 0 c) S se descompun polinomul f în facori ireducibili în [ X ]
32 Variana 6 6 SUBIECTUL II (0p) Variana 06 1 Se consider mulimile { ( ) P = S S = S} a) S se arae c 1 P 1 i 0 Q 0 b) S se arae c, dac A, B Q, aunci AB P { } i ( ) Q = A A = A c) S se arae c de ( X ) 0, oricare ar fi X Q Se consider polinoamele f = X + X + X + 45 [ X] i f ˆ X X ˆ1 [ X ] = + + a) S se arae c rdcinile din ale polinomului f nu sun oae reale b) S se arae c polinomul ˆf nu are rdcini în c) S se demonsreze c polinomul f nu poae fi scris ca produs de dou polinoame neconsane, cu coeficieni înregi Variana SUBIECTUL II (0p) Variana 064 x y 1 Fie mulimea M = x, y y x i maricea A = 1 a) S se arae c dac Y ( ) i AY = YA, aunci Y M b) S se arae c dac X M i de ( X ) = 0, aunci X = O c) S se arae c n * A M, n 5 4 Se consider polinomul f = X X + X X [ X] a) S se deermine o rdcin înreag a polinomului f b) S se calculeze 1 5 x + x + + x, unde x1, x,, x 5 sun rdcinile polinomului f c) S se arae c f are o singur rdcin real
33 Variana SUBIECTUL II (0p) Variana 065 ax + y + z = 4 1 Se consider sisemul x + y + z = 6, cu ab, x y z = b a) S se deermine ab, penru care sisemul are soluia (1,1,1) b) S se deermine ab, asfel încâ sisemul s fie incompaibil c) S se arae c penru orice a exis b asfel încâ sisemul s admi soluii cu oae componenele numere înregi a 0 0 Se consider mulimea de marice A= 0 a 0 a, b, c b c a a) S se deermine numrul elemenelor mulimii A b) S se arae c, penru orice X A, X = I sau X = O c) S se deermine numrul maricelor X din mulimea A care au proprieaea X = O 66 Variana 66 SUBIECTUL II (0p) Variana Fie drepele d1: x+ y =, d:x 4y = 1, d:4x+ y = m, unde m a) S se deermine m asfel încâ drepele s fie concurene b) S se demonsreze c exis o infiniae de valori ale lui m penru care vârfurile riunghiului deermina de cele rei drepe au oae coordonaele înregi c) S se calculeze valorile lui m penru care riunghiul deermina de cele rei drepe are aria 1 Fie polinomul f = X ax ax +, cu a i cu rdcinile complexe x1, x, x a) S se calculeze f ( 1) b) S se deermine a penru care polinomul are rei rdcini reale c) S se deermine a asfel încâ x1 + x + x =
34 Variana SUBIECTUL II (0p) Variana 067 x+ y+ z = 1 1 Fie sisemul x+ my+ z = 1, cu m i maricea x+ my+ mz = a) S se calculeze de ( A ) b) S se arae c rang( A), oricare ar fi m A= 1 m 1 1 m m c) S se deermine valorile înregi ale lui m 1, penru care sisemul are soluie cu componene înregi Fie permurile α=, β=, γ= 41, elemene ale grupului ( S4, ) a) S se verifice c γ ese soluie a ecuaiei α x = xβ b) S se arae c α 4 4 = β c) S se deermine o soluie a ecuaiei xβ = α x în S 4 Variana SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider maricele A ( ) i B= A+ A, unde a) S se arae c B = B b) S se demonsreze c, dac B I de A 1 =, aunci ( ) c) S se demonsreze c, dac xy, i maricea A ese ranspusa maricei A xa+ ya ese inversabil, aunci x+ y 0 Se consider ecuaia x + px+ q= 0, p, q, i x1, x, x soluiile complexe ale aceseia a) iind c p = 1 i q = 0, s se deermine x1, x, x b) S se deermine p i q iind c x 1 = 1+ i c) S se arae c 1( x + x + x ) = 7( x + x + x )( x + x + x )
35 Variana SUBIECTUL II (0p) Variana Fie maricea A = ( ) a) S se verifice relaia b) S se arae c n A A= A I n c) S se arae c, penru orice A A = A I, n, n n *, suma elemenelor maricei Penru fiecare n se definee polinomul Pn = X 1 [ X] a) S se deermine rdcinile complexe ale polinomului P 4 b) S se descompun polinomul P în facori ireducibili în [ X ] c) S se descompun polinomul 6 P în facori ireducibili în [ X ] n n A ese n + Variana SUBIECTUL II (0p) Variana Penru orice dou marice AB, ( ) se definee maricea [ A, B] = AB BA a) Penru ( ), [ A, A ] b) S se arae c, penru orice ( ), * [ A, A ] = O, unde c) S se arae c, penru orice,, ( ) Se consider inervalul H = ( 0,1) * A ese adjunca maricei A,[, ] +,[, ] +,[, ] = ABC, [ A BC] [ B C A] [ C AB] O ab a) S se arae c relaia a b= definee o lege de compoziie pe H ab+ (1 a)(1 b) b) S se arae c funcia x f: ( 0, + ) ( 0,1 ), f ( x) = are proprieaea f( xy) = f( x) f( y), x, y> 0, x + 1 unde legea " " ese defini la puncul a) c) iind c legea "" H, ecuaia xxx= 1 defini la puncul a) ese asociaiv, s se rezolve în mulimea ( )
36 Variana SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider deerminanul de ordin n, 1 0 a) S se calculeze D = b) S se verifice c Dn = Dn 1 Dn, n 4 c) S se arae c D = n+ 1, n n D n = Un grup ( G, ), cu elemenul neuru e, are proprieaea ( p) dac x = e, x G a) S se verifice c mulimea, împreun cu legea de compoziie da de ( ab, ) ( cd, ) = ( a+ c, b+ d), abcd,,, ese un grup care are proprieaea ( p) b) S se arae c dac un grup G are proprieaea ( p ), aunci ( xy) = x y, x, y G c) S se arae c orice grup care are proprieaea ( p ) ese comuaiv Variana 7 7 SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider maricea A = ( ) a) S se rezolve ecuaia de( I + xa ) = 0, x b) S se deermine o marice B ( ) cu proprieaea B = A c) S se arae c ( ) C M ( ), x, de( C + xa)de( C xa) de C Se consider polinomul p = X X + m cu m i cu rdcinile x1, x, x a) iind c m = 6, s se deermine x1, x, x b) S se calculeze x x x c) S se deermine m penru care polinomul p are oae rdcinile înregi
37 7 Variana 7 SUBIECTUL II (0p) Variana 07 a b 1 Fie maricea M = c d ( ) Se asociaz fiecrui punc A( xy, ) puncul AM ( x', y '), unde x' a bx = y ' c dy a) iind c a= 1, b=, c=, d = 4 i c A( 1,1), s se deermine coordonaele puncului M b) iind c a= 1, b=, c=, d = 4, s se arae c oae puncele A M se afl pe dreapa c) Fie A, B, C rei punce în plan Dac se noeaz cu S i S M ariile riunghiurilor ABC, respeciv A B C, aunci S = S de M M M M M a b c Se consider mulimea A= ˆ0 a d abcd,,, 0ˆ 0ˆ a a) S se deermine numrul elemenelor mulimii A b) S se arae c mulimea A ese pare sabil în rapor cu înmulirea maricelor din ( ) c) S se rezolve ecuaia X = X, cu X A Variana SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider maricea A = a) S se calculeze de A b) S se verifice relaia A( A + 6 I ) = O c) S se arae c de( I + xa ) 0, x Se consider ab, i polinomul p = X + ax + X + b, cu rdcinile x1 x,, x a) iind c a = b = 1, s se afle rdcinile polinomului p b) S se deermine a i b, iind c polinomul p are rdcina dubl 1 c) În cazul b = 1, s se deermine valorile lui a penru care polinomul p are o rdcin raional
38 Variana SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider maricele A = 1 1, 1 1 a) S se calculeze produsul AB b) S se arae c M xmy = Mxy, xy, c) S se arae c, penru orice x real nenul, ( ) Se consider polinomul 4 * B = i de M 0 a) S se verifice c x1 + x + x + x4 = x1 x x x4 x x 1 M x = A+ B, cu x * x p= X ax ax + 1, cu a i cu rdcinile x1, x, x, x4 b) S se arae c polinomul p nu ese divizibil cu X 1 penru nicio valoare a lui a 1 c) S se arae c dac a =, aunci oae rdcinile polinomului p au modulul 1 Variana SUBIECTUL II (0p) Variana a ab ac 1 Se consider maricea A = ba 1+ b bc ca cb 1+ c a) S se calculeze deerminanul maricei A * b) S se verifice c ( ) de( A ) = de A, cu abc,, i * A adjunca sa c) S se arae c maricea A I are rangul cel mul 1 se definee funcia f : G G, Fie ( G, ) un grup Penru fiecare elemen a G a) S se arae c f a ese bijeciv, penru orice a G b) S se arae c f f = f, a, b G a b ab c) Fie ( G) = { f : G G a G} S se arae c ( G) funciilor formeaz un grup a a f ( x) = ax, x G împreun cu operaia de compunere a a
39 77 Variana 77 SUBIECTUL II (0p) Variana 077 x y mz = 1 1 Se consider sisemul mx+ y+ mz = 1 m, m mx + y + z = 1 a) S se calculeze deerminaul maricei sisemului b) S se arae c, penru orice m, maricea sisemului are rangul cel puin egal cu c) S se deermine m penru care sisemul ese incompaibil Se consider 0 G α = α, Pe se definee legea de compoziie x y = xy 6 x+ y + 7 α a) S se arae c penru, α> un numr real i mulimea ( ) ( ) α= cuplul ( G ) b) S se arae c grupurile ( ),, G i ( * +, ) ese grup abelian sun izomorfe, prin funcia * + f : G, f( x) = x 6 c) S se arae c, penru orice α, mulimea G α ese pare sabil a lui în rapor cu operaia V Variana SUBIECTUL II (0p) Variana 078 x y+ 4z 5 = 1 1 Se consider sisemul x+ 9y+ mz+ =, mn,, p 5x 6y+ 10z+ n = p a) S se deermine p asfel încâ sisemul s admi o soluie (,,, ) x y z cu z0 = 0 = b) S se arae c, penru orice mn,, rangul maricei sisemului ese mai mare sau egal cu c) S se deermine mnp,, penru care sisemul ese compaibil, iar maricea sisemului are rangul m Fie mulimea Q 0 = m, n, m i n sunimpare i G = Q0 Pe G se definee legea de n q, k q, k = q q, k + k, q, q Q, k, k compoziie ( ) ( ) ( ) a) S se arae c ( G, ) ese grup abelian b) S se calculeze ( 1,1) ( 1, ) ( 1,10 ) ( ) c) S se arae c funcia f : G, f ( q, k) = q k ese un izomorfism înre grupurile (, ) G i ( ),
40 79 Variana 79 SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider sisemul x+ my+ z = 1 x + ( m 1 ) y z 1, m x + my ( m ) z m 1 a) S se deermine m penru care sisemul are soluie unic b) S se deermine m penru care sisemul ese compaibil nedeermina c) Penru 1 m = s se deermine soluiile reale (,, ) Pe mulimea [ 0,1) fracionar a numrului real a x y z ale sisemului penru care x y + z = G = se definee legea de compoziie x y= { x+ y}, unde {a} ese parea a) S se calculeze 4 G, ese grup abelian b) S se arae c ( ) c) S se rezolve ecuaia 1 x x x=, x G 80 Variana 80 SUBIECTUL II (0p) Variana Fie permuarea σ= S a) S se deermine numrul inversiunilor lui σ b) S se deermine numrul elemenelor mulimii A c) Fie τ S5 asfel încâ Fie f : n i mulimea A { σ n } = τσ = σ τ S se arae c τσ = στ o funcie i mulimea H = T f ( x+ T) = f ( x), x a) S se arae c, dac T H, aunci T H { } b) S se demonsreze c H ese subgrup al grupului (, + ) c) S se deermine mulimea H penru funcia f :, f ( x) = { x}
41 Variana SUBIECTUL II (0p) Variana 081,1 B 1 m, 1 Fie m i puncele A( m ), ( ), C( m 1, m 1) m 1 1 M = 1 m 1 m+ 1 m+ 1 1 a) S se calculeze de ( M ) + + Se consider maricea b) S se arae c puncele A, B, C sun necoliniare, oricare ar fi m c) S se arae c aria riunghiului ABC ese mai mare sau egal cu 15 a b Fie mulimea de marice A= a, b 5 b a a) S se dea un exemplu de marice nenul din mulimea A care are deerminanul ˆ0 ˆ 1ˆ 0ˆ 0ˆ b) S se arae c exis o marice nenul M A asfel încâ M = 1ˆ ˆ 0ˆ 0ˆ ˆ 1ˆ c) S se rezolve ecuaia X = 1ˆ ˆ Variana 8 8 SUBIECTUL II (0p) Variana 08 ( ) x+ ay+ b+ c z = 0 1 Se consider sisemul de ecuaii liniare cu coeficieni reali x + by + ( c + a) z = 0 x + cy ( a b) z 0 a) S se calculeze deerminanul maricei sisemului b) S se arae c, penru orice abc,,, sisemul admie soluii nenule c) S se rezolve sisemul, iind c a b 1,1,1 ese soluie a sisemului i c ( ) x iy Se consider mulimea G= x, y, x + y 0 iy x a) S se demonsreze c G ese pare sabil în rapor cu înmulirea maricelor din ( ) b) S se arae c ( G, ) ese grup abelian c) S se arae c funcia f :(, ) ( G, ) grupuri cu ( ),, x iy f x+ iy = x y iy x ese izomorfism de
42 Variana 8 8 SUBIECTUL II (0p) Variana 08 x y+ z = 1 1 Fie sisemul de ecuaii liniare x+ ( m m 1) y+ ( m+ 1) z = x+ ( m m ) y+ ( m+ 1) z =, unde m a) S se demonsreze c sisemul are soluie unic daci numai dac m \{ 0,1 } b) S se arae c penru m {0,1} sisemul ese incompaibil c) S se arae c dac ( x0, y0, z0) ese soluie a sisemului, aunci x0 y z0 = 1 a b Se consider mulimile H = { a a 7} i, ˆ ˆ G = a b 7, a 0 sau b 0 b a a) S se deermine elemenele mulimii H b) Fie x, y H asfel încâ x+ y = ˆ0 S se arae c x= y = ˆ0 c) S se arae c G ese grup abelian în rapor cu operaia de înmulire a maricelor 84 Variana 84 SUBIECTUL II (0p) Variana 084 x+ y z = 1 Se consider sisemul de ecuaii liniare x y+ z = m, unde mn, nx + y z = 4 a) S se deermine m i n penru care sisemul admie soluia x 0 =, y 0 =, z 0 = 1 b) S se deermine n penru care sisemul are soluie unic c) S se deermine m i n penru care sisemul ese compaibil nedeermina ˆ1 a b Se consider mulimea G 0ˆ 1ˆ 0 ˆ = a, b 0ˆ 0ˆ 1ˆ a) S se deermine numrul de elemene ale mulimii G b) S se arae c G ese grup în rapor cu operaia de înmulire a maricelor din ( ) c) S se arae c X = I, oricare ar fi X G
43 V Variana SUBIECTUL II (0p) Variana 085 x+ y+ z = 0 1 Fie A maricea coeficienilor sisemului x y+ mz = 0 x + y + z = 0, unde m a) S se calculeze de ( A ) b) S se deermine m asfel încâ sisemul s admi soluii nenule c) S se arae c, dac m = 0, aunci expresia nenul (,, ) x y z a sisemului z y x z y x 4 ese consan, penru orice soluie Se consider ab, i polinomul f = X 4X + 6X + ax + b, care are rdcinile complexe x1, x, x, x 4 a) S se deermine a i b iind c f are rdcina i b) S se calculeze ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) c) S se deermine valorile reale ale numerelor a i b iind c oae rdcinile polinomului f sun reale 86 Variana 86 SUBIECTUL II (0p) Variana 086 x + ay + ( a + b) z = a + b 1 Se consider sisemul x + a y + ( a + b ) z = a + b, unde ab, x + a y + ( a + b ) z = a + b a) S se calculeze deerminanul maricei sisemului b) S se deermine ab, asfel încâ sisemul s fie compaibil deermina c) S se arae c, penru orice valori rele ale paramerilor a i b sisemul are soluie f = ˆX + 1ˆ X Se consider polinomul [ ] a) S se deermine gradul polinomului 4 f b) S se arae c polinomul f ese elemen inversabil al inelului ( 4 [ X ], +, ) c) S se deermine oae polinoamele g [ X ] 4 de gradul 1 cu proprieaea c g = ˆ1
44 V Variana SUBIECTUL II (0p) Variana 087 A, care are oae elemenele egale cu 1 1 Fie maricea ( ) a) S se demonsreze c A = A b) S se calculeze ( de I ) A + c) S se demonsreze c dac ( ) B ese o marice cu proprieaea AB= BA, aunci suma elemenelor de pe fiecare linie i de pe fiecare coloan ale lui B ese aceeai Fie 1 i ε = + i ( ε) = { a+ bε a, b } a) S se arae c ε ( ε) b) S se demonsreze c inversul oricrui elemen nenul din ( ε ) aparine mulimii ( ε ) c) S se arae c mulimea M { a ab b a, b } = + ese pare sabil a lui în rapor cu înmulirea Variana SUBIECTUL II (0p) Variana Fie m i A= 1 m 1 ( ) m a) S se calculeze de ( A ) b) S se deermine m asfel încâ marice A s fie inversabil 1 c) S se deermine m asfel încâ A = A Se consider corpul (,, ) f, g, f = X X, g = X + ˆX + ˆ a) S se deermine rdcinile din ale polinomului f b) S se arae c polinomul g ese ireducibil în [ X ] c) S se deermine oae polinoamele h [ X ] de gradul rei, asfel încâ h( x) g( x) =, oricare ar fi x
45 Variana SUBIECTUL II (0p) Variana 089 x1 x = a 1 Se consider sisemul de ecuaii liniare x x4 = b, unde ab, x1+ x + x + x4 = 1 a) S se arae c, penru orice valori ale lui a i b, sisemul ese compaibil b) S se deermine, x, x, x, x cu proprieaea c ab asfel încâ sisemul s admi o soluie ( ) 1 4 x1, x, x, x4 i x1+ x sun ermeni consecuivi ai unei progresii arimeice c) S se demonsreze c, dac sisemul are o soluie cu oae componenele sric poziive, aunci a + b< 1 Fie polinomul f X X 5X 1 [ X] a) S se calculeze ( 1 x )( 1 x )( 1 x ) = + + i x1, x, x rdcinile sale 1 b) S se arae c polinomul f nu are nicio rdcin înreag c) S se calculeze x x + x x + x x + x x + x x + x x Variana SUBIECTUL II (0p) Variana Fie M mulimea maricelor de ordin cu elemene reale având proprieaea c suma elemenelor fiecrei linii ese 0 a) S se arae c, dac A, B M, aunci A+ B M b) S se arae c orice marice din M ese neinversabil c) S se demonsreze c, dac A M, aunci A M Se consider inelele = { a+ b a, b } i = { a+ b a, b } a) S se arae c, dac x i b) S se arae c = x = +, aunci x c) S se demonsreze c nu exis morfisme de inele de la la
46 Variana SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider maricea A = x 4, unde x a) S se deermine x iind c b) Penru x = s se calculeze A 009 A = 5A c) S se deermine x penru care ( A A ) rang + = 1 4 Fie abc,, i polinomul f = X + ( a 1) X + ( a + ) X + bx + c a) S se deermine a, b, c, iind c a = b = c, iar resul împririi lui f la X + 1ese 10 b) iind c x 1, x, x, x 4 sun rdcinile lui f, s se calculeze 1 4 c) S se deermine abc,, i rdcinile polinomului f în cazul în care f are oae rdcinile reale 9 Variana 9 SUBIECTUL II (0p) Variana Fie maricea A = 1 1 i mulimea G = { X ( ) AXA = O}, unde maricei A a) S se arae c dac X, Y G, aunci X + Y G b) S se arae c, dac X G, aunci suma elemenelor lui X ese egal cu 0 c) S se arae c dac X G n i de X = 0, aunci X G penru orice n * f = X 4 6X + 18X 0X + 5 X Se consider polinomul [ ] a) S se arae c polinomul f se divide cu X X + 5 b) S se arae c polinomul f nu are nicio rdcin real c) S se arae c rdcinile polinomului f au acelai modul A ese ranspusa
47 Variana 9 9 SUBIECTUL II (0p) Variana Se consider maricea A = ( ) 1 a) S se calculeze A b) S se deermine ( ) 1 A A c) S se rezolve ecuaia X = A, X ( ) Fie, ab i polinomul f = X 0 X 0 + ax 10 + X 5 + ax + b [ X] a) S se arae c resul împririi polinomului f la X + 1 nu depinde de a b) S se deermine a i b asfel încâ resul împririi polinomului f la c) S se deermine a i b asfel încâ polinomul f s fie divizibil cu X ( X 1) X s fie X Variana SUBIECTUL II (0p) Variana 094 a a b a b 1 Fie abc,, i maricea A = 0 b b c 0 0 c a) S se arae c A ese marice inversabil n n n n n a a b a b b) S se demonsreze c n 0 n n n A = b b c, oricare ar fi n n 0 0 c 1 c) S se calculeze A un polinom asfel încâ f ( X + X + 1) = f ( X) + f ( X) + 1 i f ( 0) = 0 Fie f [ X] a) S se deermine f ( 1) b) S se deermine resul împririi polinomului f la X 5 c) S se demonsreze c f = X
Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Mai multDAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
Mai multGabriela Grosu / EDCO 1 SEMINAR NR. 9, REZOLV ¼ARI EDCO, AIA 1:5: Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul întâi şi ecuaţii reductibile la acestea: ecu
Gabriela Grosu / EDCO SEMINAR NR. 9, REOLV ¼ARI EDCO, AIA :5: Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul înâi şi ecuaţii reducibile la acesea: ecuaţii Bernoulli, ecuaţii Riccai :5:: Ecuaţii diferenţiale liniare
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Mai multClasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se
Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să
Mai multCLP_UTCN-grila-2012.dvi
Liceul: Numele: Punctaj: Prenumele: Concursul liceelor partenere cu Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Test grilă Ediţia a treia mai 0 Clasa a X-a În casuţa din stânga întrebării se va scrie litera
Mai multColec ia MATE EDITURA PARALELA 45 Matematic. Clasa a VI-a 1
Colecia MATE 2000 + Matematic. Clasa a VI-a 1 Matematic. Clasa a VI-a 2 Acest auxiliar didactic este aprobat pentru utilizarea în unitile de învmânt preuniversitar prin O.M.E.N. nr. 3530/04.04.2018. Lucrarea
Mai multUNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot
Mai multPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
Mai multI
ACADEMIA DE UDII ECONOMICE BUCUREŞI CAEDRA DE MONEDĂ INGINERIE FINANCIARĂ APLICAŢII Bucureşi 9 CUPRIN I. Opţiuni şi sraegii pe bază de opţiuni... 3 II. Noţiuni elemenare... 5 III. Modelul Binomial... 9
Mai multSubiecte_funar_2006.doc
Clasa a VIII-a A. 1. Exista numere n Z astfel încât n si n+ sa fie patrate perfecte? (Gheorghe Stoica) A. 2. Se considera A N o multime cu 7 elemente si k N*. Aratati ca ecuatia 4x 2 4ax+b 2 +10k = 0,
Mai multI
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
Mai mult1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai
1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai mare decât cifra sutelor. b. Se consideră algoritmul
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,
Mai multjoined_document_27.pdf
INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ, CLASA a V - a FEBRUARIE 014 a). Pe un stadion intră la un meci un număr de persoane după următoarea regulă: în primul
Mai multLucrarea nr
REDRESOARE MONOFAZAE U FLRU APAV. OBEVE a) Sabilirea dependenţei dinre ipul redresorului (monoalernanţă, bialernanţă) şi forma ensiunii redresae. b) Deerminarea efecelor modificării valorilor rezisenţei
Mai multUniversitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x
1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima
Mai multRecMat dvi
Conice şi cubice în probleme elementare de loc geometric Ştefan DOMINTE 1 Abstract. In this Note, a number of simple problems are presented to support the idea that conic and cubic curves can frequently
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele
Mai multEcuatii si sisteme de ecuatii neliniare 1 Metoda lui Newton Algorithm 1 Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. Date de intrare: - Funcţia f - Apro
Ecuatii si sisteme de ecuatii neliniare Metoda lui Newton Algorithm Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. - Funcţia f - Aproximaţia iniţială x - Eroarea admisă ε - Numărul maxim de iteraţii ITMAX
Mai multCopyright c 2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la
Copyright c 1 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, Profilurile: fizica-matematica, economie,
Mai multAnaliz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Mai multOlimpiada de Fizică Etapa pe judeţ 14 februarie 2015 Subiecte 1. Lespedea şi palanul Mihai ridică o lespede de masă m într-o mişcare uniformă la înălţ
Subiece. Lespedea şi palanul Mihai ridică o lespede de masă m înr-o mişcare uniformă la înălţimea h = m pe un plan înclina, cu ajuorul sisemului de scripeţi din Figura (palan). Când lespedea urcă uniform,
Mai multMicrosoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc
ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru
Mai mult20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do
SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul
Mai multSlide 1
ELECTROTEHNICĂ ET An I - ISA CURS 13 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@ehm.ucluj.ro REGIMUL TRANZITORIU AL CIRCUITELOR ELECTRICE LINIARE Generaliăţi Definiţie Regimul elecrocineic
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 4 2019 Anca Ignat Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Fie matricea nesingulară A nn şi b n. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare Ax=b se poate face folosind regula
Mai multMicrosoft Word - SUBIECTE FAZA LOCALA FEBRUARIE 2007
CLASA a - V a 1 007 1. a) ArătaŃi că umărul A= 1+ + + +... + este divizibil cu 15. b) La u cocurs de matematică au participat elevi di clasele a V-a A, a V-a B şi a V-a C. 7 de elevi u sut di clasa a V-a
Mai multCERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, tri
CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI 19 3. CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, triunghiuri şi alte guri geometrice. Galileo Galilei 3
Mai multGHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007
GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de
Mai multSpatii vectoriale
Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7
Mai multInspectoratul Şcolar Judeţean Suceava Şcoala Gimnazială Luca Arbure CONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a VIII a 29 APRILIE 2017 Clasa a I
Clasa a IV a 1. Rezultatul calculului : 8 + [40 + 8 (00 : 5 7 : )] 0 este A) 0 B) C) 4 D) 8. Valoarea lui x din egalitatea [( x + 60 : ) + 4] 5 = 1985este : A) 1 B) 5 C) 1 D) 10. Suma dintre jumatatea
Mai multCOMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati
COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan
Mai multCoordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),
Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + +
Mai multTEST DE PROMOVARE ÎN CLASELE DE EXCELENȚĂ Clasa a V-a BAREM SUBIECTUL I a) Determinați numărul natural a din egalitatea: 315 :
TEST DE PROMOVARE ÎN CLASELE DE EXCELENȚĂ Clasa a V-a 29.09.2018 BAREM SUBIECTUL I a) Determinați numărul natural a din egalitatea: 315 : 7 9 4 22 5 204 : 2 2 a 16 : 4 43 b) Se consideră șirul următor
Mai multMicrosoft Word - Concursul SFERA.doc
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ SFERA EDIŢIA a II-a BĂILEŞTI, 1 martie 005 CLASA a IV-a Pentru întrebările 1-5 scrieţi pe lucrare litera corespunzătoare răspunsului corect 1. Care este numărul care
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multDorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
Mai multGheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
urs 4 Integrale curbilinii 4.1 Drumuri şi curbe Definiţie 4.1. O funcţie continuă γ : [a,b] R m se numeşte drum plan dacă m = 2 sau drum în spaţiu dacă m = 3. Punctul γ(a) se numeşte originea drumului,
Mai mult0 Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică 1. Să se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) x 4 ; b) x 3 dx dx
Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică. ă se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) + x ; b) x dx dx; c) + x x + x ) ; dx x d) x + x ) ; e) dx; f) x p e xq dx, p >,
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen
Mai multMicrosoft Word - Indrumar2008_v6.doc
6.. Decimarea Decimarea reprezină operaţia de reducere a raei de eşanionare a unui semnal discre cu un facor înreg : LUCRAREA 6 CHIBAREA RATEI DE EŞANTIONARE. APLICAŢII ALE CIRCUITELOR ULTIRATĂ x [ n]
Mai multFacultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:
Mai multMicrosoft Word - Tema_FIR.doc
TEMA. FILTRE CU RĂSPUNS FINIT LA IMPULS. Un filru digial RFI cu fază liniară, de ipul, cu coeficienţi reali şi cu imp de înârziere de grup minim, are: / - zerourile z = e π, z = 0, 7. - aenuare infiniă
Mai multrrs
Modelul Tramo - Seas uiliza în analiza seriilor dinamice Prof. univ. dr. Consanin ANGHELACHE (acincon@yahoo.com) Academia de Sudii Economice din Bucureși / Universiaea Arifex din Bucureși Prof. univ. dr.
Mai multMicrosoft Word - Tema 01 - Terminologie, valori sintetice, forma generica.doc
1. ermeni şi definiţii Mărimea fizică reprezină o proprieae comună a unei caegorii de obiece, sări, evenimene sau fenomene, care se poae evalua caniaiv. Descrierea simbolică a mărimilor fizice se bazează
Mai multOLM_2009_barem.pdf
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Societatea de Ştiinţe Matematice din Romania Olimpiada Naţională de Matematică Etapa finală, Neptun Mangalia, 13 aprilie 2009 CLASA A VII-a, SOLUŢII ŞI BAREMURI
Mai multE_c_matematica_M_mate-info_2017_var_02_LRO
Matmatică M_mat-info Toat subictl sunt obligatorii. S acordă punct din oficiu. Timpul d lucru fctiv st d or. 5p. S considră numărul compl z + i. Arătați că z z zz 9 5p. Dtrminați numărul ral m, știind
Mai multAlgebra si Geometri pentru Computer Science
Natura este scrisă în limbaj matematic. Galileo Galilei 5 Aplicatii liniare Grafica vectoriala In grafica pe calculator, grafica vectoriala este un procedeu prin care imaginile sunt construite cu ajutorul
Mai multElemente de aritmetica
Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al
Mai multIntroducere în algebra comutativă. Teoria lui Galois December 23, Curs 1 - Corpuri şi spaţii liniare Definiţii: inel, corp, exemple, morfism de
Introducere în algebra comutativă. Teoria lui Galois December 23, 2016 1 Curs 1 - Corpuri şi spaţii liniare Definiţii: inel, corp, exemple, morfism de corpuri; izomorfism, automorfism. Observaţie 1.1 f
Mai multCursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai multSoluţiile problemelor propuse în nr. 1/2014 Clasele primare P.283. Scrieţi + sau în fiecare pătrăţel din = astfel încât să obţineţi o
Soluţiile problemelor propuse în nr. /204 Clasele primare P.283. Scrieţi + sau în fiecare pătrăţel din 2 3 4 = 7 2 4 astfel încât să obţineţi o egalitate. Câte soluţii există? Explicaţi! (Clasa I ) Codruţa
Mai multsubiecte clasa7
Concursul interjudeńean de matematică Gheorghe Vrănceanu, Bacău-007 Clasa a VII-a Subiectul I Să se demonstreze că există un punct M în interiorul unui triunghi ABC astfel încât triunghiurile ABM, BCM
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 6 2019 Anca Ignat Algoritmul lui Givens Fie A o matrice reală pătratică de dimensiune n. Pp. că avem: A QR unde Q este o matrice ortogonală iar R este o matrice superior triunghiulară.
Mai multMicrosoft Word CursAppAnNum08
I20 Conrolul asulu În unele cazur ese necesară enru obţnerea une eror dae folosrea unu as varabl în rezolvarea numercă Meodele numerce care folosesc un as varabl se numesc meode adave Penru conrolul asulu
Mai multc o l e c i a EDITURA PARALELA 45
c o l e c i a Autorii aduc mulumiri speciale Societii de tiine Matematice din România pentru sprijinul acordat. Redactare: Ramona Rossall Tehnoredactare: Iuliana Ene Pregtire de tipar: Marius Badea Design
Mai multPrelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi
Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte
Mai multPerformanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a
Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a 6.02.2016 si 13.02.2016 Material intocmit de prof. BAJAN MARIANA
Mai mult1 Concursul de matematic¼a NICOLAE COCULESCU EDIŢIA a VIII-a SLATINA 29 noiembrie 2012 Clasa a III-a 1. Numere, numere. a) Cinci prieteni se î
1 Concursul de matematic¼a NICOLAE COCULESCU 2011-12 EDIŢIA a VIII-a SLATINA 29 noiembrie 2012 Clasa a III-a 1. Numere, numere. a) Cinci prieteni se întâlnesc. Ei se salut¼a, ecare dând mâna cu ecare,
Mai multRecMat dvi
Probleme propuse 1 P355. Găsiţi trei numere consecutive în şirul numerelor de la 1 la 30 care să aibă suma 30. (Clasa pregătitoare) Mariana Manoli, elevă, Iaşi P356. Colorează figura geometrică care nu
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS IE /msie.dvi
urs 2 Integrale de suprafaţă 2.1 Pânze şi suprafeţe Definiţie 2.1. Fie D R 2 o mulţime conexă şi deschisă. O funcţie continuă σ : D R 3 se numeşte pânză de suprafaţă. ulţimea = σd) se numeşte imaginea
Mai multMatematica Clasa 5 Culegere De Exercitii Si Probleme
uprins Teste de evaluare inițială... 7 4 I. Numere naturale. Numere naturale... 9. Scrierea şi citirea numerelor naturale... 9.2 xa numerelor naturale. ompararea şi ordonarea numerelor naturale... 4.3
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a X-a - 20 aprilie 2019 Clasa a IV-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE SUBIECTUL I Se punctează doar rezult
CONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a X-a - 0 aprilie 09 Clasa a IV-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE Se punctează doar rezultatul: pentru fiecare răspuns se acordă fie uncte, fie 0 puncte Nu
Mai multClasele primare Probleme propuse 1 P.164. Scrie vecinii vecinului comun al numerelor 16 şi 18. (Clasa I ) Diana Tănăsoaie, elevă, Iaşi P.165. După ce
Clasele primare Probleme propuse 1 P.164. Scrie vecinii vecinului comun al numerelor 16 şi 18. (Clasa I ) Diana Tănăsoaie, elevă, Iaşi P.165. După ce dau celor doi fraţi mai mari câte două banane, mănânc
Mai multLucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009
Lucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009 CUPRINS Pg. INTRODUCERE. Noţiuni preliminare (L. Turdeanu, G. Pop)... 6 Probleme... 11 1. GEOMETRIA
Mai multgaussx.dvi
Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care
Mai multprograma_olimpiada_matematica_IX-XII_
R O M  N I A MINISTERUL EDUCAłIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI DIRECłIA GENERALĂ MANAGEMENT ÎNVĂłĂMÂNT PREUNIVERSITAR CONSILIUL NAłIONAL PENTRU CURRICULUM ŞI EVALUARE ÎN ÎNVĂłĂMÂNTUL PREUNIVERITAR PROGRAMA
Mai multSocietatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Naţională, Braşov, 2 aprilie 2013
Societte de Ştiinţe Mtemtice din Români Ministerul Educţiei Nţionle Olimpid Nţionlă de Mtemtică Etp Nţionlă, Brşov, 2 prilie 213 Cls XII- Problem 1. Să se determine funcţiile continue f : R R cu propriette
Mai multLimbaje Formale, Automate si Compilatoare
Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare Curs 1 2018-19 LFAC (2018-19) Curs 1 1 / 45 Prezentare curs Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare - Curs 1 1 Prezentare curs 2 Limbaje formale 3 Mecanisme
Mai multBARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA ianuarie Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că
BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA 019 9 ianuarie 019 1. Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că x şi y sunt divizibili cu 11.. Fie Γ un cerc de centru
Mai multAero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D
Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge
Mai multCursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această ev
Cursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această evoluţie, exprimată succint prin şirul de incluziuni
Mai multTRANSFER DE CÃLDURÃ ŞI MASÃ
Gelu COMAN TRANSFER DE CÃLDURÃ ŞI MASÃ 0 INTRODUCERE Diversiaea domeniilor de aplicare a fenomenelor de ransfer de cãldurã se daoreşe muliplelor aspece sub care acesea se manifesã în procesele indusriale.
Mai multFIŞA DISCIPLINEI
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1.Instituţia de învăţământ superior Universitatea SPIRU HARET 1.2.Facultatea Inginerie, Informatică şi Geografie 1.3.Departamentul Informatică şi Geografie 1.4.Domeniul
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI Etapa locală, 24 februarie 2017 PROFIL TEHNIC ŞI SERVICII, RESURSE NATURALE, PROTECŢIA MEDIU
SUBIECTE - clasa a IX-a 1. Determinați mulțimile: a) ; b) ; c). 2. Arătați că: a), ; b) dacă, atunci. 3. Considerăm dreptunghiul ABCD și punctele E, F și M, astfel încât, și. Dacă N este mijlocul lui (EF),
Mai multMicrosoft Word - Programa_Evaluare_Nationala_2011_Matematica.doc
C E N T R U L NAłIONAL DE EVALUARE ŞI E X A M I N A R E PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ EVALUAREA NAłIONALĂ PENTRU ELEVII CLASEI A VIII A Pagina 1 din 5 PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ I. STATUTUL
Mai multMicrosoft Word - subiecte
Uiversitate Spiru Haret Facultatea de Matematica-Iformatica Algebră 1 Discipliă obligatorie; Aul I, Sem 1, ore săptămâal, îvăţămât de zi: curs, semiar, total ore semestru 56; 6 credite; exame I CONŢINUTUL
Mai multVBS_ro_2012_ pdf
Siseme de cleme U ride U, form N cu conrapies din plasic 396 cu conrapies mealic 398 cu conecarea ecranrii 398 ride U, cap ciocan cu conrapies din plasic 399 cu conrapies mealic 403 Fiarea prizei de pmn
Mai multMicrosoft Word - PI-L8r
Procesarea Imailor - aboraor 8: Proprieăţi saisice ale imailor de ensiae 1 8. Proprieăţi saisice ale imailor de ensiae 8.1. Inroducere În aceasă lucrare se vor prezena prcipalele răsăuri saisice care caracerizează
Mai multCurs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi
Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a
Mai multPachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL
Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.
Mai multSimilitudini în plan şi puncte Torricelli asociate Cătălin ŢIGĂERU 1 Subiectul lucrării îl reprezintă operaţia de compunere a similitudinilor aplicată
Similitudini în plan şi puncte Torricelli asociate Cătălin ŢIGĂERU 1 Subiectul lucrării îl reprezintă operaţia de compunere a similitudinilor aplicată unei configuraţii geometrice: un triunghi ABC şi două
Mai multmatematica
MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII PROGRAMĂ ŞCOLARĂ M A T E M A T I C Ă CLASA A IX-A CICLUL INFERIOR AL LICEULUI Aprobată prin ordin al ministrului nr. / Bucureşti, 2009 NOTĂ DE PREZENTARE În
Mai multMicrosoft Word - probleme_analiza_numerica_ses_ian09.rtf
Universitatea Spiru Haret Facultatea de Matematica-Informatica Disciplina obligatorie; Anul 3, Sem. 1,Matematica si Informatica CONTINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI Metode numerice de rezolvare a sistemelor
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 7 2019 Aca Igat Memorarea matricelor rare - se memorează doar valorile eule şi suficiete iformaţii despre idici astfel ca să se poată recostitui complet matricea Pp. că matricea A
Mai multGeometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial Vari
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial 1 11 Varietăţi liniare 1 12 Spaţiul director şi dimensiunea unei varietăţi
Mai multŞiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
Mai multMicrosoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0911_roman.doc
Matematika román nyelven középszint 0911 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Indicaţii
Mai multrecmat dvi
Concursul de matematică Florica T.Câmpan Etapa judeţeană, 5-6 mai 2005 Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: cl. a IV-a 90 de minute, cl. V-VIII 2 ore. ClasaaIV-a 1. Să seafledouă numere
Mai mult