Daniela ROŞU MATEMATICI SPECIALE Culegere de probleme Universitatea Gheorghe Asachi Iaşi 2017
|
|
- Dida Ioniță
- 4 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 Daniela ROŞU MATEMATICI SPECIALE Culegere de probleme Universitatea Gheorghe Asachi Iaşi 17
2
3 Cuprins 1 Integrale prime şi sisteme simetrice Abstract teoretic Probleme propuse Soluţii Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul ˆıntˆai 11.1 Abstract teoretic Probleme propuse Soluţii Transformata Fourier Abstract teoretic Probleme propuse Soluţii Funcţii Bessel Abstract teoretic Probleme propuse Soluţii Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul al doilea Abstract teoretic Probleme propuse Soluţii Elemente de toria probabilităţilor Câmp de probabilitate. Abstract teoretic; exemple Probleme propuse Soluţii Variabile aleatoare discrete. Abstract teoretic Probleme propuse Soluţii Variabile aleatoare continue. Abstract teoretic Probleme propuse
4 4 CUPRINS 6.9 Soluţii
5 Capitolul 1 Integrale prime şi sisteme simetrice 1.1 Abstract teoretic Fie sistemul de ecuaţii diferenţiale x 1 (t) = f 1(t, x 1, x,..., x n ) x (t) = f (t, x 1, x,..., x n ) x n(t) = f n (t, x 1, x,..., x n ), (1.1.1) unde f i : D R, i = 1, n sunt funcţii de clasă C 1 pe mulţimea deschisă D I R n, I R interval. Definiţia O funcţie U : D R n+1 R, U = U(t, x 1, x..., x n ) de clasă C 1 (D) unde D este mulţime deschisă, se numeşte integrală primă a sistemului (1.1.1) dacă (i) U nu este identic constantă pe D, (ii) pentru orice soluţie a sistemului (1.1.1), x 1 = ϕ 1 (t), x = ϕ (t),..., x n = ϕ n (t), t I funcţia Φ : I R, este constantă pe I. Φ(t) = U(t, ϕ 1 (t), ϕ (t),..., ϕ n (t)) Observaţia Valoarea constantei din (ii) depinde de soluţia considerată a sistemului. Exemplul Să se arate că funcţiile U 1, U : R 3 R, U 1 (x 1, x, x 3 ) = x 1 + x + x 3, U (x 1, x, x 3 ) = x 1 + x + x 3 1
6 1. Integrale prime şi sisteme simetrice sunt integrale prime pentru sistemul diferenţial x 1 (t) = x x 3 x (t) = x 3 x 1 x 3 (t) = x 1 x. Soluţie. Prima condiţie (i) din definiţie este evidentă. Arătăm (ii). Fie x 1 = x 1 (t), x = x (t), x 3 = x 3 (t) o soluţie. Avem evident x 1 (t)+x (t)+x 3 (t) = pentru orice t R, de unde rezultă că x 1(t)+x (t)+x 3 (t) = C 1, pentru orice t R cu C 1 R constantă, şi deci Φ 1 (t) = U 1 (x 1 (t), x (t), x 3 (t)) = x 1 (t) + x (t) + x 3 (t) = C 1 pentru orice t R. Pe de altă parte se verifică uşor că x 1(t)x 1 (t) + x (t)x (t) + x 3(t)x 3 (t) =, pentru orice t R, de unde rezultă că d dt (x 1 (t) + x (t) + x 3 (t)) =, şi deci Aceasta demostrează că pentru orice t R. x 1(t) + x (t) + x 3(t) = C, C R. Φ (t) = U (x 1 (t), x (t), x 3 (t)) = x 1(t) + x (t) + x 3(t) = C Teorema următoare precizează condiţii necesare şi suficiente pentru ca o funcţie să fie integrală primă, fără a fi necesară determinarea soluţiei sistemului. Teorema Funcţia U C 1 (D) este integrală primă a sistemului (1.1.1) dacă şi numai dacă U t + U f 1 + U f U f n =, (1.1.) x 1 x x n în orice punct (t, x 1, x,..., x n ) D. Teorema Fie U 1, U,..., U n n funcţii de clasă C 1 pe mulţimea deschisă D R n+1, integrale prime pentru sistemul (1.1.1). Admitem că determinantul funcţional U 1 U 1... x 1 x U D(U 1, U,..., U n ) D(x 1, x,..., x n ) := U... x 1 x... U n U n... x 1 x U 1 x n U x n U n x n (1.1.3)
7 1.1. Abstract teoretic 3 este nenul în orice punct (t, x 1, x,..., x n ) D. Atunci pentru orice (t, x 1,, x,,..., x n, ) D, problema determinării soluţiei sistemului (1.1.1) care satisface condiţiile iniţiale x 1 (t ) = x 1,, x (t ) = x,,..., x n (t ) = x n, (1.1.4) se reduce la o problemă de funcţii implicite. Un sistem simetric este un sistem de ecuaţii diferenţiale de forma dx 1 f 1 (x 1, x,..., x n ) = dx f (x 1, x,..., x n ) =... = dx n f n (x 1, x,..., x n ). (1.1.5) unde f i : D R, i = 1,,..., n sunt funcţii de clasă C 1 pe o mulţime deschisă D R n. Admitem că funcţiile f i nu se anulează simultan pe D. Orice sistem de forma (1.1.1) poate fi scris sub formă simetrică şi anume dx 1 f 1 (x 1, x,..., x n ) = dx f (x 1, x,..., x n ) =... = dx n f n (x 1, x,..., x n ) = dt 1. (1.1.6) Reciproc, orice sistem simetric de tipul (1.1.5) poate fi scris sub formă (1.1.1). De exemplu, dacă f n în D, atunci (1.1.5) poate fi scris sub forma d x 1 = f 1(x 1, x,..., x n ) d x n f n (x 1, x,..., x n ) d x = f (x 1, x,..., x n ) d x n f n (x 1, x,..., x n ) d x n 1 = f n 1(x 1, x,..., x n ) d x n f n (x 1, x,..., x n ), (1.1.7) Din Teorema 1.1. rezultă că rezolvarea sistemului simetric (1.1.5) (echivalent cu (1.1.7)) se reduce la o problemă de funcţii implicite dacă sunt cunoscute n 1 integrale prime independente funcţional. Spunem că am rezolvat sistemul simetric (1.1.5) dacă am determinat n 1 integrale prime ale sale, funcţional independente. Una din metodele determină rii acestor integrale prime este metoda combinaţiilor integrabile dată de următoarea teoremă. Teorema Dacă µ 1, µ,..., µ n sunt n funcţii reale continue pe D R n cu următoarele proprietăţi: (i) µ 1 f 1 + µ f µ n f n = pe D, (ii) µ 1 dx 1 + µ dx µ n dx n = d U pe D, atunci funcţia U : D R este o integrală primă a sistemului simetric (1.1.5).
8 4 1. Integrale prime şi sisteme simetrice Observaţia Practic, funcţiile µ 1, µ,..., µ n se determină cu ajutorul sistemului (1.1.5), folosind regulile uzuale ale proporţiilor: dx 1 f 1 = dx f Alegem µ 1, µ,..., µ n astfel încât şi =... = dx n f n = µ 1 dx 1 µ 1 f 1 = µ dx µ f =... = µ n dx n µ n f n = µ 1 dx 1 + µ dx µ n dx n µ 1 f 1 + µ f µ n f n. µ 1 f 1 + µ f µ n f n = µ 1 dx 1 + µ dx µ n dx n să reprezinte diferenţiala totală a unei funcţii U. Atunci U este integrală primă a sistemului simetric (1.1.5). Exemplul Să se rezolve următoarele sisteme simetrice dx 1 1. = dx = dx 3, x 3 x x 1 x 3 x x 1 dx. x y z = dy xy = dz xz. Soluţie. 1. Dacă adunăm rapoartele obţinem o fracţie cu numărătorul dx 1 +dx +dx 3 şi numitorul. dx 1 = dx = dx 3 = dx 1 + dx + dx 3, x 3 x x 1 x 3 x x 1 Deci din d(x 1 + x + x 3 ) = de unde rezultă x 1 + x + x 3 = C 1. Dacă amplificăm fracţiile cu x 1, x, x 3 respectiv şi adunăm rapoartele obţinute găsim x 1 dx 1 x 1 (x 3 x ) = x dx x (x 1 x 3 ) = x 3 dx 3 x 3 (x x 1 ) = x 1 dx 1 + x dx + x 3 dx 3. Rezultă x 1 dx 1 +x dx +x 3 dx 3 =, adică d(x 1 +x +x 3 ) =, de unde x 1 +x +x 3 = C. Rezolvarea sistemului se reduce la rezolvarea următorului sistem de funcţii implicite: { x1 + x + x 3 = C 1 x 1 + x + x 3 = C. 1. Din ultimele două rapoare deducem ecuaţia cu variabile separabile dy y = dz z soluţia y = C 1 z. Apoi xdx + ydy + zdz x(x + y + z ) = dy xy, ce are
9 1.. Probleme propuse 5 de unde x + y + z = C. Rezolvarea sistemului se reduce la rezolvarea următorului y sistem de funcţii implicite: { y = C1 z x + y + z = C y. 1. Probleme propuse 1.1 Studiaţi dacă pentru următoarele sisteme şi funcţii U, egalităţile U = c sunt integrale prime. Ce se poate spune despre independenţa lor? { x a = y y U = x 1 (x, y) = x y, U (x, y) = ln(x + y) t, U 3 = xy. b. dx z + 3y = dy 3(z x) = dz x 3y, U 1(x, y) = 3x y +3z, U (x, y) = x +y +z. Rezolvaţi următoarele sisteme diferenţiale: dx dt = x y z t, dy dt = x y z t, dz dt = x y + 1 dx y + z = dx x = dy y = dx x + y = dx x(y z) = dx a z a 3 y = dx y(x + y) = dy z x = dx xz = dy yz = dx xy = dy x y = dz x + y dy y x = dz z dz x y dy y(z x) = dy a 3 x a 1 z = dy x(x + y) = dz z x y dz z(x + y ) dz z(x y) dz a 1 y a x dz (x y)(x + y + z)
10 6 1. Integrale prime şi sisteme simetrice dx x 3 + 3xy = dy y 3 = dx x(y z ) = dx xy + x + y = dx x(y z ) = dx z y = dy x z = dz y z dy y(x + z ) = dy x y x y = dy y(z x ) = dz y x dx x y z = dy xy = dz xz dx 1 + z x y = dy 1 = dz 1.18 dx x = dy y = dz z x + y + z dx 1 + x = dy x( y) = dz 1 + z dx 1 + 3zx y = dy = dz dx x = dy yz = dz z 1 Să se integreze sistemele: dz z(x + y ) dz z(y x ) dz z(x y ) { (z y) dy = zdx (z y) dz = ydx dy dx = z dz dx = + 1 z y dy dx = 1 1 z dz dx = 1 y x x tx (t) = x + y t y ty (t) = x + y t
11 1.3. Soluţii Soluţii 1.1 a. U 1, U verifică evident condiţia, iar U 3 nu; primele două sunt independente. b. Ambele sunt integrale prime şi independente. 1. Din primele două deducem x y = c 1, iar ultima ecuaţie devine dz = (1 + c 1 )dt, de unde z = (1 + x y)t + c. Din a doua ecuaţie avem dy dt = c 1 c + (1 + c 1 )t t cu soluţia y ln z t = c 3. dy 1.3 Au loc z x = dz d(y z) = = dx x + y z + y y + z, de unde y z x = c 1. Avem şi xdx + ydy + zdz =, de unde x + y + z = c. 1.4 Din primele două rapoarte y = c 1 x; deducem x + y z = c. 1.5 Sistemul e echivalent cu xdx x + xy = ydy y xy = zdz z. dx + dy x + y = dz, de unde rezultă x + y Se obţine x + y + z = c 1 z ; primele două relaţii constituie o ecuaţie omogenă cu soluţia x + y = c e arctg y x. dx 1.6 Avem x(y z) = dy y(z x) = x + y + z = c 1, xyz = c. dz dx + dy + dz = z(x y) = dx x + dy y + dz z. Rezultă dx 1.7 Au loc a z a 3 y = dy a 3 x a 1 z = dz a 1 y a x = a 1dx + a dy + a 3 dz = = şi a 1 x + a y + a 3 z = c 1, x + y + z = c. xdx + ydy + zdz 1.8 Din primele două rapoarte x +y dx + dy = c 1. Avem apoi (x + y)(y x) = dz (x y)(x + y + z), de unde cu schimbarea x + y = u, obţinem o ecuaţie liniară cu soluţia z(x + y) + (x + y) = c. 1.9 Din primele două rapoarte avem y = c 1 x, apoi xdx x z = ydy y z = zdz xdx + ydy + zdz z 3 zx = zy z(x + y + z ) = dx, de unde rezultă xz x + y + z = c x. 1.1 Din primele două rapoarte avem y x = c 1. Apoi de unde c z = xy. ydx + xdy xy(x + y ) = dz z(x + y ), 1.11 Din ultimele două rapoarte deducem z = c 1 y, iar primele două rapoarte constituie ecuaţie omogenă şi y 3 + x y = c x.
12 8 1. Integrale prime şi sisteme simetrice 1.1 Amplificăm fiecare raport cu x, y, z respectiv şi prin adunare xdx+ydy +zdz =, deci x + y + z dx zdy + ydz = c 1. Apoi x(y z = ) yz(y z ), de unde yz = c x Amplificăm primele două rapoarte cu x, respectiv cu y, adunăm şi obţinem xdx + ydy x y = dz z(y x ) de unde x + y + ln z = c 1. Amplificăm primul raport cu yz, al doilea cu xz şi al treilea cu xy, adunăm şi egalăm cu a treia fracţie; deducem xyz z = c Amplificăm prima fracţie cu x, a doua cu y, a treia cu z şi avem x + y + z = c 1 ; apoi amplificăm prima cu yz, a doua cu xz, a treia cu xy şi egalăm cu ultimul raport avem xyz z = c Din dx + dy + dz = rezultă x + y + z = c 1 şi xdx + ydy + zdz = rezultă x + y + z = c Din ultimele două rapoarte deducem dy y = dz z, y = c 1z. Pe de altă parte avem xdx + ydy + zdz x(x + y + z ) = dy xy, de unde rezultă x + y + z = c. y dz dx dy 1.17 Din ultimele două rapoarte deducem y z = c 1 şi = dy, de unde z x y prin substituţia z x y = t găsim y + z x y = c Din primele două rapoarte deducem x = yc 1. Apoi xdx + ydy + zdz x + y + z z x + y + z = de unde, prin substituţia x + y + z = t, găsim rezultă dt t(z t) = dt (t z t) = dz z t ; dz z t şi z + t = c. dz z x + y + z, 1.19 Din primul şi ultimul raport arctg x arctg z = c 1, iar din primele două rapoarte xdx 1 + x = dy y de unde (1 + x )( y) = c. 1. Din ultimele două rapoarte avem y z = c 1 iar din dt t = dz, z + 3z x y = c. 3dz dx dy 3z x y = dz, rezultă
13 1.3. Soluţii Din ultimele două rapoarte avem dy y = zdz z + 1, de unde y (z + 1) = c 1 şi dacă amplificăm a doua fracţie cu z şi a treia cu y, deducem dx+d(yz) =, x+yz = c. dy 1. Sistemul poate fi pus sub forma simetrică z = dz y = dx. Din primele două (z y) (z y) rapoarte deducem y z d(z y) = c 1. Avem apoi y z = dx, de unde (z y)d(z y) = (z y) dx şi (z y) + x = c. 1.3 Sistemul poate fi pus sub forma simetrică dy z = dz z +1 y = dx şi din primele două rapoarte obţinem dy y = zdz z + 1, de unde y (z + 1) = c 1, iar dacă amplificăm prima fracţie cu z, şi a doua cu y, deducem zdy + ydz + dx =, yz + x = c. 1.4 Ataşăm sistemul dx = dy 1 1 z d(y x) y x y (x) = 1 y x c 1 = dz 1, de unde y x dx dy 1 z = dz z şi (y x)z = c 1; înlocuim z = c 1 y x 1.5 Avem sistemul simetric x = yc 1. Apoi = dz 1 y x care antrenează în prima ecuaţie şi obţinem, care este o ecuaţie liniară cu soluţia e z(y x) (y x) = c. dx tx = dy ty = xdx + ydy + tdt t(x + y + t ) = x dt x + y ; din primele două rezultă t dx tx de unde x + y + t = xc.
14 1 1. Integrale prime şi sisteme simetrice
15 Capitolul Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi.1 Abstract teoretic Ecuaţia cu derivate parţiale de ordinul ˆıntˆai liniară şi omogenă are forma a 1 (x 1, x,..., x n ) u x 1 +a (x 1, x,..., x n ) u x +...+a n (x 1, x,..., x n ) u x n =, (.1.1) unde a i, i = 1, n + 1, sunt funcţii de clasă C 1 pe un domeniu D R n, nu toate simultan nule în D, adică n a i (x 1, x,..., x n ), i=1 pentru orice (x 1, x,..., x n ) D. În tot ceea ce urmează vom presupune, fără a restrânge generalitatea că a n. Definiţia.1.1. Spunem că funcţia u : D D R este o soluţie a ecuaţiei (.1.1) dacă u este de clasă C 1 pe un domeniul D şi în toate punctele (x 1,..., x n ) D se verifică identitatea n i=1 a i (x 1, x,..., x n ) u x i (x 1, x,..., x n ). (.1.) Ecuaţiei (.1.1) i se asociază sistemul caracteristic dx 1 a 1 (x 1, x,..., x n ) = dx a (x 1, x,..., x n ) =... = dx n a n (x 1, x,..., x n ) (.1.3) care se numeşte sistem caracteristic. Soluţiile acestui sistem se numesc curbe caracteristice ale ecuaţiei (.1.1). Problema determinării soluţiilor ecuaţiei (.1.1) se reduce la rezolvarea sistemului caracteristic (de fapt la determinarea integralelor prime ale sistemului (.1.3)), după cum rezultă din următoarea teoremă. 11
16 1. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi Teorema.1.1. Funcţia U : D D R este o soluţie pentru ecuaţia cu derivate parţiale (.1.1) dacă şi numai dacă funcţia U este o integrală primă a sistemului caracteristic (.1.3). Folosind formulele de derivare compusă se demonstrează cu u urinţă teorema următoare. Teorema.1.. Dacă funcţiile U 1, U,..., U k : D R sunt integrale prime ale sistemului caracteristic (.1.3) iar Φ : E R k R este o funcţie de clasă C 1 pe E, atunci funcţia compusă u = Φ(U 1, U,..., U k ) : D R este o soluţie pentru ecuaţia cu derivate parţiale (.1.1). Teorema.1.3. Orice soluţie a ecuaţiei cu derivate parţiale (.1.1) este de forma u = Φ(U 1, U,..., U n 1 ) (.1.4) unde Φ : E R n 1 R este de clasă C 1 pe E iar funcţiile U 1, U,..., U n 1 sunt n 1 integrale prime independente funcţional ale sistemului caracteristic (.1.3). Definiţia.1.. Funcţia u = Φ(U 1, U,..., U n 1 ) se numeşte soluţie generală a ecuaţiei cu derivate parţiale (.1.1). În concluzie, pentru rezolvarea ecuaţiei cu derivate parţiale liniară şi omogenă a 1 (x 1, x,..., x n ) u x 1 + a (x 1, x,..., x n ) u x a n (x 1, x,..., x n ) u x n = parcurgem următoarele etape: 1. scriem sistemul caracteristic asociat dx 1 a 1 (x 1, x,..., x n ) = dx a (x 1, x,..., x n ) =... = dx n a n (x 1, x,..., x n ) ;. determinăm n 1 integrale prime independente U 1, U,..., U n 1 ale acestui sistem; 3. scriem soluţia generală a ecuaţiei u = Φ(U 1, U,..., U n 1 ), unde Φ : E R n 1 R este de clasă C 1 pe E. Exemplul.1.1. Să se determine soluţia generală a ecuaţiei Soluţie. Sistemul simetric asociat x 1 u x 1 + x u x x n u x n =. dx 1 x 1 = dx x =... = dx n x n.
17 .1. Abstract teoretic 13 Fiecare două câte două rapoarte reprezintă ecuaţii cu variabilele separate şi prin integrare găsim integralele prime independente funcţional iar soluţia generală a ecuaţiei este cu Φ funcţie de clasă C 1. U 1 = x 1 x n, U = x x n,..., U n 1 = x n 1 x n u = Φ ( x1, x,..., x ) n 1, x n x n x n Problema Cauchy asociată ecuaţiei cu derivate parţiale liniară şi omogenă (.1.1) constă în determinarea soluţiei u a ecuaţiei (.1.1) care pentru x n = x n, este cunoscută, adică u satisface egalitatea u(x 1, x,..., x n 1, x n, ) = ϕ(x 1, x,..., x n 1 ) (.1.5) pentru orice (x 1, x,..., x n 1, x n, ) D, unde ϕ este o funcţie cunoscută de clasă C 1. Practic, aceasta constă în determinarea funcţiei Φ din soluţia generală pentru care se verifică (.1.5). Pentru aceasta se formează sistemul U 1 (x 1, x,..., x n ) = C 1 U (x 1, x,..., x n ) = C... U n 1 (x 1, x,..., x n ) = C n 1 x n = x n,, se determină x 1, x,..., x n 1 în funcţie de C 1, C,..., C n 1 şi apoi se găseşte u = Φ (C 1, C,..., C n 1 ). Se înlocuiesc apoi valorile constantelor C 1, C,..., C n 1 şi se obţine soluţia problemei Cauchy. Exemplul.1.. Să se rezolve problema Cauchy u x x + y u y + z u =, u(x, y, 1) = x y. z Soluţie. Sistemul caracteristic asociat este, dx x = dy y = dz z, iar integralele prime sunt x z = C 1, şi y z = C. Soluţia generală a ecuaţiei este u = Φ( x z, y z).
18 14. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi Pentru rezolvarea problemei Cauchy formăm sistemul x z = C1 y z = C z = 1 u = x y. Găsim x = C 1 şi y = C. Atunci u = (1 + C 1 ) (1 + C ). Revenim la valorile constantelor C 1 şi C şi găsim soluţia problemei Cauchy u = (1 + x z) (1 + y z). Ecuaţia cu derivate parţiale de ordinul I cvasiliniară are forma a 1 (x 1, x,..., x n, u) u x 1 + a (x 1, x,..., x n, u) u x a n (x 1, x,..., x n, u) u x n = a n+1 (x 1, x,..., x n, u) (.1.6) unde u este funcţia necunoscută, a i, i = 1, n + 1 sunt funcţii de clasă C 1 pe un domeniu D R n astfel încât n a i (x 1, x,..., x n ), i=1 pentru orice (x 1, x,..., x n ) D. În tot ceea ce urmează vom presupune, fără a restrânge generalitatea că a n. Integrarea ecuaţiei cvasiliniare (.1.6) se reduce la integrarea ecuaţiei cu derivate parţile de ordinul întâi, liniară şi omogenă a 1 V x 1 + a V x a n V x n + a n+1 V u =. (.1.7) Căutăm o soluţie u pentru ecuaţia cvasiliniară (.1.6) sub formă implicită V (x 1, x,..., x n, u) =, (.1.8) unde V este funcţia necunoscută ce trebuie determinată. Admitem că V este de clasă C 1 pe domeniul D R n+1 şi V pe D. Din (.1.8) rezultă prin derivare în raport u cu x i V + V x i u u =, i = 1,,..., n x i de unde V u x = i, i = 1,,..., n. x i V u
19 .1. Abstract teoretic 15 Înlocuim aceste derivate în (.1.6) şi obţinem ecuaţia omogenă (.1.7). Soluţia generală a acestei ecuaţii este V = Φ(U 1, U,..., U n ), unde U 1, U,..., U n sunt n integrale prime independente funcţional ale sistemului caracteristic asociat ecuaţiei cvasiliniare dx 1 a 1 = dx a =... = dx n a n = du a n+1 (.1.9) Deci soluţiile ecuaţiei cvasiliniare (.1.6) sunt definite implicit de ecuaţii de forma Φ(F 1 (x 1, x,..., x n, u), F (x 1, x,..., x n, u),..., F n (x 1, x,..., x n, u)) =. Exemplul.1.3. Să se determine soluţia ecuaţiei x 1 u x 1 + (x 3 + u) u x + (x + u) u x 3 = x + x 3. Soluţie. Ataşăm sistemul caracteristic simetric dx 1 x 1 = dx x 3 + u = dx 3 x + u = Deducem, prin adunarea ultimelor trei rapoarte că de unde prin integrare deducem deci x + x 3 + u = C 1 x 1. Apoi din dx 1 x 1 = d(x + x 3 + u) (x + x 3 + u), du x + x 3. ln x 1 = 1 ln x + x 3 + u + 1 ln C 1, dx 1 x 1 = d(x x 3 ) x 3 x, prin integrare deducem ln x 1 = ln x x 3 + ln C, de unde x 1 (x x 3 ) = C. Din dx 1 = d(u x 3) x 1 u x 3 prin integrare rezultă x 1 (u x 3 ) = C 3. Soluţia este funcţia u, definită implicit de ( ) x + x 3 + u Φ, x 1 (x x 3 ), x 1 (u x 3 ) =. x 1
20 16. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi Problema Cauchy asociată ecuaţiei cvasiliniare (.1.6) constă în determinarea soluţiei u a ecuaţiei (.1.6) care pentru x n = x n, este cunoscută, adică u satisface egalitatea u(x 1, x,..., x n 1, x n, ) = ϕ(x 1, x,..., x n 1 ) (.1.1) pentru orice (x 1, x,..., x n 1, x n, ) D, unde ϕ este o funcţie cunoscută de clasă C 1, iar metoda de rezolvare a problemei Cauchy este asemănătoare cu cea din cazul ecuaţiilor cu derivate parţiale liniare şi omogene. Problema Cauchy pentru cazul n = are o interpretare geometrică simplă. Dacă z = ϕ(x, y) este o soluţie a ecuaţiei P (x, y, z) z + Q(x, y, z) z x y = R(x, y, z), (.1.11) suprafaţa de ecuaţie z = ϕ(x, y) se numeşte suprafaţă integrală a ecuaţiei (.1.11). Problema Cauchy revine la a determina suprafaţa integrală care conţine curba netedă definită implicit de { f1 (x, y, z) = (γ) (.1.1) f (x, y, z) =, unde f 1, f sunt funcţii de clasă C 1 un domeniu din R 3 având matricea Jacobiană de rang. Dacă U 1, U sunt două integrale prime independente ale sistemului caracteristic dx P (x, y, z) = dy Q(x, y, z) = dz R(x, y, z) problema Cauchy revine la determinarea legăturii Φ(C 1, C ) = dintre C 1 şi C din sistemul U 1 (x, y, z) = C 1 U (x, y, z) = C f 1 (x, y, z) = f (x, y, z) =. Exemplul.1.4. Să se determine suprafaţa integrală a ecuaţiei care conţine curba (γ) xz z z + yz x y + x + y z = { x = y + z = y. Soluţie. Determinăm curbele caracteristice, adică soluţiile sistemului simetric dx xz = dy yz = dz z x y.
21 .. Probleme propuse 17 Deducem d(x + y + z ) z(x + y + z ) = dx xz de unde, prin integrare, găsim x +y +z = x C 1. Din primele două rapoarte rezultă imediat y = x C. Formăm sistemul x + y + z = C 1 x y = xc x = y + z = y, eliminăm necunoscutele x, y, z şi obţinem condiţia de compatibilitate C C 1 + =. Înlocuim valorile C 1 = x + y + z şi C = y şi găsim ecuaţia ce defineşte implicit x x suprafaţa integrală cerută x + y + z y x =.. Probleme propuse Rezolvaţi următoarele ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul I omogene:.1 y u x x u y =,. (1 + x ) u u + xy x y =,.3 z u u + (x z) x y + x u z =,.4 x u x + y u + (x + y) u y z =,.5 x(y z ) u x y(x + z ) u y + z(x + y ) u z =.6 x(y z) u + y(z x) u + z(x y) u x y z =,.7 x u x + y u u z y z =,.8 x u x + y u y + x + y z u z =,.9 x u x + y u + (x + y + z) u y z =,
22 18. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi.1 x 1 u x 1 x u x x 3 u x 3 =,.11 (x 3 x 4 x 1 x ) u u + x x 3 + x u u 3 + x 3 x 4 =, x 1 x x 3 x 4.1 x 1 u x 1 + x u x x n u x n =,.13 a 1 u x 1 + a u x a n u x n =, a i R,.14 x u 1 + x u x u n =. x 1 x x n Determinaţi soluţia generală a ecuaţiilor cvasiliniare, sau reductibile la ecuaţii cvasiliniare:.15 y z z + 3x x y + 6x y =,.16 y z z + yz x y = 1 z,.17 (y + x) z + (y x) z x y = z,.18 xz z z + yz x y = z x y,.19 xz z z + yz x y = x,. u u x + (u x ) u y = x,.1 z z x z z y = y x,. xz z z + yz x y = x,.3 x z x + y z y = x + y,.4 xz z z + yz x y = xy,.5 x u x y u y + z u z = u,
23 .. Probleme propuse 19.6 x(y z) u + y(z x) u + z(x y) u = u(y z), x y z.7 (1 + u x 1 x ) u x 1 + u x =,.8 x u x + y u y + z u z = x + u,.9 x 1 u x x n u x n = ku. Determinaţi suprafeţele z = z(x, y) care includ curbele indicate:.3 x z x y z y = z, (Γ) : x = y, z = x,.31 x z z xy x y + y =, (Γ) : y = 1, z = x,.3 xy z x + x y z y = z(x + y ), (Γ) : y = 1, x + z = 1,.33 (x y) z x y z y = z, (Γ) : x = y, z = x,.34 (1 + z x y) z x + z y.35 (cy bz) z + (az cx) z x y =, (Γ) : x = y, z =, = bx ay, a, b, c R (Γ) : x = y = z,.36 (y z) z (y 1) z x y = z 1, (Γ) : x = 1, z = y,.37 (y + z x ) z z xy x y = xz, (Γ) : x = 1, y + z =. Rezolvaţi problemele Cauchy:.38 x z z + y x y =, z(1, y) = 1 + y,.39 (x + y) z + (x y) z x y =, z(x, ) = x,.4 x u x + y u y + z u =, u(x, y, 1) = x y, z.41 x z x + y z y = z, z {x +y =1} = x,
24 . Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi.4 x u x y u y + z u z = x, u(1, y, z) = y z,.43 x(y z ) u x y(x + z ) u y + z(x + y ) u z = u(x + y ), u(x, y, 1) = y,.44 x 3 u x + (y3 + 3x y) u y + x z u z = ux,.45 (x u(1, y, z) = y + z x + y + z ) u x + y u y + z u z = u, u(x, y, 1) = x,.46 xz z z x + yz y = z x y, z(x, 1, z) = x,.47 x u x y u y = u, u {x=y} = x 3,.48 xz z z + yz x y = xy, z(x, ) = x..3 Soluţii.1 Sistemul simetric dx y = dy x are curba caracteristică x +y = c şi soluţia ecuaţiei este u(x, y) = F (x + y ).. Sistemul simetric dx 1 + x = dy xy ( ) 1 + x duce la soluţia u = F. y dz dx dy.3 Se obţine = x z (x z) de unde y + (x z) = c 1 şi x z = c ; u(x, y, z) = F (y + (x z), x z ). ( ) x.4 u(x, y, z) = F y, x + y z..5 Avem dx x(y z ) = dy y(x + z ) = dz z(x + y ), de unde deducem că au loc xdx+ ydy+zdz =, dx x dy y dz z =, deci soluţia este u(x, y, z) = F (.6 u = F (x + y + z, xyz)..7 ( x u = F y, 1 ) z ln y..8 u = F ( x y, x + y z ). x + y + z, yz x ).
25 .3. Soluţii 1.9 dx x = dy y = dz x + y + z ; din primele două x = c 1y, iar dacă adunăm primele două d(x + y) dz = x + y (x + y) + z. obţinem o ecuaţie omogenă.1 u = F (x 1 x, x 1 x 3 )..11 Din al doilea şi al treilea x 3 = c 1 x, din al doilea şi ultimul x 4 = c x ; dacă le folosim în primul raport şi al doilea avem ln(c 1 c x 1 ) = x + c 3. c 1 ( x1.1 u = F, x,..., x ) n 1. x n x n x n.13 Integrăm ecuaţiile formate din primul raport şi fiecare dintre cele rămase ( 1.14 u(x 1,..., x n ) = F x1 u(x 1, x,..., x n ) = F (a x 1 a 1 x,..., a n x 1 a 1 x n ). 1, 1 1,..., 1 1 ). x x 1 x 3 x 1 x n.15 Soluţia este suprafaţa dată implicit de F (x 3 y, z + y ) =..16 F (y (1 + z ), x + yz) =..17 F (x + y )e arctg y x x + y, =. z ( y.18 F x, x + y + z ) =. x ( ) y.19 Soluţia este suprafaţa dată implicit de F x, z x =.. Din dx u = dy u x = du d(x u) = x u x rezultă F (x + u, y xu) =..1 Din dx z = dy z = ( ) x. F y, z x =..3 F dz d(x y) = y x z ( x ) y, x + y z =. ( ) x.4 F y, xy + z =..5 Soluţia este suprafaţa dată implicit de F rezultă F (x + y, (y x) + z )=. ( xy, z x, u ) =. x
26 . Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi.6 Soluţia este suprafaţa dată implicit de F.7 F (x u, x + u x 1 x ) =..8 ( y F x, z x, u ) x ln x x =..9 F ( x1 x n,..., x n 1 x n, u ) x k =. n ( x + y + z, xyz, u ) =. x.3 Formăm sistemul xy = c 1, z x = c, x = y, z = x, cu condiţia de compatibilitate c = c 1, de unde z = x 3 y..31 Avem c 1 = xy, c = y3 3 xyz, c3 1 = c Au loc x y = c 1, c = z xy, (c 1 + 1) + c (c 1 + 1) = Sistemul este c 1 = z y, c = y + z x y, x = y, z = de unde c 1 + c = şi z + 4 z x y =..35 c 1 = ax + by + cz, c = x + y + z, x = y = z implică c = 3 (a + b + c)..36 Din ultimele două rapoarte (y 1)(z 1) = c 1 şi x + y + z = c, apoi.37 c 1 = y z, c = x + y + z z c = 1 + (c 1 + c ) (c1 + c ) 3. cu condiţia 9c = c..38 Soluţia generală este z = φ( y x ). Formăm sistemul y x = c 1, x = 1, z = y + 1, de unde z = c şi z = y x Soluţia generală este z = ψ(x xy y ), iar din sistemul c = x xy y, y =, z = x, deducem z = c, de unde z = y + xy x..4 Soluţia este u = ψ( x z, y z) şi din sistemul z = 1, x z = c 1, y z = c, u = x y, deducem u = (1 + c 1 ) (1 + c ) de unde u = (1 + x z) (1 + y z). c 1.41 Soluţia generală este F ( x y, x z ) = şi folosind condiţia deducem c (c 1 + 1) = 1 4 c 1 unde c 1 = x y, c = x z ; deci z = 4(x + y ).
27 .3. Soluţii 3.4 Au loc c 1 = xy, c = z x, c 3 = x u, c 3 = c 1 c..43 Avem c 1 = x yz, c = x + y + z, c 3 = u z, c 3 = c 1 c Avem c 1 = z x, c = x + x3 y, c 3 = u z, c 1 c 3 = 1 c 1 + c Avem c 1 = y z, c 3 = u z, c = x + x + y + z, c 3 = (c 1) c Se obţin c 1 = x y, c = x + y + z, şi c 1 c = c 1 x c 1 = xy, c = uy şi c = c c 1 = x y, c = xy + z şi c = 4c 1 (1 + c 1 ).
28 4. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi
29 Capitolul 3 Transformata Fourier 3.1 Abstract teoretic Definiţia Fie f : R C absolut integrabilă. Funcţia complexă de variabilă reală F : R C, F (ω) = se numeşte transformata Fourier a funcţiei f. e jωt f(t) dt, ω R, (3.1.1) Observaţia Deoarece f este absolut integrabilă şi e jωt f(t) = f(t), rezultă că integrala e jωt f(t) dt este absolut şi uniform convergentă în raport cu parametrul ω R. Vom nota transformata Fourier a funcţiei f şi astfel F = F[f(t)] sau F (ω) = F[f(t)](ω), ω R, evidenţiind astfel şi variabila t a funcţiei f şi variabila ω a transformatei F. De multe ori se utilizează şi notaţia F (jω) aceasta numindu-se caracteristica spectrală sau spectrul în frecvenţă a semnalului f = f(t). Utilizăm şi notaţia f(t) = F (ω). Să observăm că dacă f este cu valori reale, situaţie întâlnită practic, atunci F ( ω) = F (ω), motiv pentru care este suficient să cunoaştem F (ω) pentru valori ω >. 5
30 6 3. Transformata Fourier Observaţia Dacă f = f(t) este funcţie original Laplace, absolut integrabilă, atunci transformata Fourier F (ω) este tocmai valoarea transformatei Laplace în punctul s = jω. Din acest motiv pentru transformata Fourier se mai foloseşte notaţia F (jω). De exemplu, pentru funcţia absolut integrabilă şi original Laplace f(t) = σ(t)e t transformata Laplace este L[f(t)](s) = 1 în semiplanul Re s > 1, şi atunci transformata Fourier este F[f(t)](ω) = s jω + 1, ω R. Exemplul Să se determine transformata Fourier a semnalului dreptunghiular de amplitudine A > pe intervalul [ l, l ], l >, f : R R, { A, x [ l, l ], f(x) =, în rest. l Soluţie. Un calcul elementar ne conduce la F (ω) = A şi, folosind formula lui Euler sin z = ejz e jz, găsim j l e jωt dt = A jω ( e jωl e jωl), F (ω) = A ω sin ωl = la sa ωl, unde sin x, x, sa : R R este funcţia denumită sinus atenuat, sa(x) = x 1, x =. Observaţia Transformata Fourier este o funcţie mărginită, continuă şi Clasa de funcţii: lim F (ω) =. ω S = {f : R R f C (R), k, q N, C k,q R, t k f (q) (t) C k,q } unde f (q) este derivata de ordin q a funcţiei f, se numeşte clasa funcţiilor rapid descrescătoare. Au loc următoarele proprietăţi: (Derivarea imaginii) Dacă f S atunci F C (R) şi are loc (Transformarea derivatei) Dacă f S are loc j k F (k) [f](ω) = F[t k f](ω), k N. (3.1.) F[f (k) ](ω) = (jω) k F[f](ω). (3.1.3)
31 3.1. Abstract teoretic 7 Transformata Fourier F : S S este o aplicaţie C liniară şi continuă. (Formula de inversiune) Dacă f S atunci are loc Dacă f S, are loc formula f(t) = 1 π F (ω)e jωt dω. (3.1.4) Dacă f, g S, atunci au loc F[F[f]](t) = πf( t). (3.1.5) F[f](x)g(x)dx = f(t)g(t)dt = 1 π f(x)f[g](x)dx (3.1.6) F[f](ω)F[g](ω)dω (3.1.7) F[f g] = F[f]F[g] (3.1.8) unde F[f g] = 1 F[f] F[g]. (3.1.9) π (f(t)) dx = 1 π (f g)(t) = F (ω) dω. (3.1.1) f(s)g(t s)ds este produsul de convoluţie al funcţiilor f şi g. Dacă f este absolut integrabilă au loc formulele F[f(t a)](ω) = e jωa F[f](ω) (3.1.11) F[e j a t f](ω) = F[f](ω + a) (3.1.1) F[f(a t)](ω) = 1 a F[f](ω ), a R, a. (3.1.13) a
32 8 3. Transformata Fourier Dacă f = f(t) este o funcţie care admite transformata Fourier F (ω) astfel că este valabilă formula de inversare atunci are loc f(t) = 1 π f(x)dx cunoscută sub numele de integrala Fourier. Dacă f este funcţie pară formula devine (3.1.14) f(t) = π cos ωtdω Dacă f este impară formula devine (3.1.14) f(t) = π sin ωtdω + + cos ω(t x)dω. (3.1.14) f(x) cos ωxdx. f(x) sin ωxdx. Transformata Fourier prin cosinus este dată prin formula: F C [f](ω) = π f(t) cos ωtdt, (3.1.15) iar formula de inversare a transformatei cosinus este: f(t + ) + f(t ) = π F C [f](ω) cos ωtdω. (3.1.16) Transformata Fourier prin sinus este dată prin formula: F S [f](ω) = π f(t) sin ωtdt (3.1.17) iar formula de inversare a transformatei sinus este: f(t + ) + f(t ) = π F S [f](ω) sin ωtdω. (3.1.18)
33 3.. Probleme propuse 9 3. Probleme propuse Determinaţi transformatele Fourier ale funcţiilor de mai jos: 3.1 f(t) = e t, 3. [ A, t π f(t) =, π ], în rest, 3.3 f(t) = σ(t)e at, a >, 3.4 f(t) = σ( t)e at, a >, 3.5 f(t) = e a t, a >, 3.6 f(t) = σ(t)t 3 e t, 3.7 f(t) = e (t 3), 3.8 f 1 (t) = e t cos t şi f (t) = e t sin t, unde σ(t) = { 1, t,, t <. Determinaţi dacă este posibil, produsele de convoluţie ale următoarelor funcţii şi calculaţi transformatele Fourier ale acestora: 3.9 f(t) = g(t) = e t. 3.1 f(t) = g(t) = 1 ( ( σ t + 1 ) ( σ t 1 )). π π π Reprezentaţi următoarele funcţii ca integrale Fourier , t < a f(t) =, t > a 1, t = a, a >. 3.1 { sin t, t [ π, π] f(t) =, t [ π, π] Rezolvaţi ecuaţia integrală g(ω)e jtω dω = f(t) unde f(t) = t, t < 1 1, t = 1, t > 1..
34 3 3. Transformata Fourier Calculaţi transformatele sinus şi cosinus pentru funcţia: 3.14 f(t) = e at, a >, t >, Deduceţi formulele lui Parseval: 3.15 F c (ω)g c (ω)dω = + f(t)g(t)dt, 3.16 F s (ω)g s (ω)dω = + f(t)g(t)dt Să se calculeze { transformatele Fourier prin cosinus şi prin sinus pentru funcţia 1, < t a f(t) = a > şi, utilizând formulele Parseval (exerciţiile 3.16 şi, t > a, 3.17), să se deducă pentru a, b >, relaţiile sin ta sin tb t dt = (1 cos ta)(1 cos tb) t dt = π min{a, b} şi sin ta t dt = π a Rezolvaţi următoarele ecuaţii integrale: g(u) sin utdu = f(t), unde f(t) = g(u) cos utdu = f(t), unde f(t) = π 4, π sin t 4, < t < π π 4, t = π, t > π, π cos t, < t < π t = π, t > π.
35 3.3. Soluţii Soluţii 3.1 Considerăm funcţia f(z) = e z şi b > fixat suficient de mare; pentru z = t + jy, t, y R avem f(z) = f(t + jy) = e y t e b t = g(t). Funcţia g este absolut integrabilă pe R şi g(t) dacă t. Atunci integrala complexă f(z)dt este independentă de y pentru y < b(vezi [3]). Deci F (ω) = e t e jωt dt = = Dacă mai sus luăm y = ω, găsim e (t + jy) e jω(t + jy) dt = e t + y + ωy jt(y + ω) dt. F (ω) = Deci transformata Fourier este e t ω 4 dt = πe ω Transformata este sinusul atenuat şi este F (ω) = F (ω) = πe ω 4. (3.3.1) f(t)e j ω t dt = = A (u(t + π ) u(t π ) ) e j ω t dt = π π Ae jωt dt = = Ae jωt jω + π π = A e jω π e j ω π jω = A ( ) ωπ ω sin.
36 3 3. Transformata Fourier 3.3 F (ω) = e (a + jω)t dt = 1 a + jω. 3.4 F (ω) = e (a jω)t dt = 1 a jω. 3.5 f(t) = σ(t)e at + σ( t)e at şi prin adunarea transformatele precedente se obţine F (ω) = a a + ω. 3.6 Din exerciţul 3.3 transformata lui e t 1 este 1+jω, apoi folosind formula (3.1.3) avem t 3 e t = j 3 1 ( 1+jω ). 3.7 Folosind formula (3.1.11), f(t 3) are transformata e 3jω F (ω), unde rezultă F (ω) = πe ω 4, dedus din exerciţiul 3.1 pentru a = Din exerciţiul 3.5 f(t) = e t = F (ω) = 1 + ω f 1 (t) = f(t) cos t = 1 f(t)(ejt + e jt ) = F 1 (ω) = 1 (F (ω 1) + F (ω + 1)] = = (ω 1) (ω + 1). f (t) = f(t) sin t = 1 j f(t)(ejt e jt ) = F (ω) = 1 (F (ω 1) + F (ω + 1)] = j = 1 j ( ) (ω 1) (ω + 1). 3.9 Produsul există, funcţiile fiind absolut integrabile pe R. (f g)(t) = + e y e (t y) dy = e t e y ty dy = = e t e (y+ t ) dy = e t π. Transformata Fourier a produsului în convoluţie este produsul transformatelor, adică (f g) = πe ω 4 πe ω 4 = πe ω.
37 3.3. Soluţii Funcţiile sunt 1 [ π, t π, π ], t [ π, π ] şi au produs de convoluţie. (f g)(t) = 1 π t π f(t y)dy = 1 π t+ π f(x)dx t+ π t π cu schimbarea de variabilă t y = x. Comparând t + π şi t π cu π şi π obţinem (f g)(t) =, t < π t + π π, π t < π t π, t < π, t π. Folosim transformata de la exerciţiul 3.. Prin înmulţire deducem 3.11 Funcţia f este pară şi f(t) = π = 1 π sin aωu ω cos ωtdω 3.1 Funcţia f este impară şi avem F (ω) = a cos ωtdω = 1 π = 1 π ( ( )) ωπ πω sin. cos ωxdx = π cos ωt sin ωx ω a dω = sin aω (cos ωt + j sin ωt)dω = ω sin aω ω ejωt dω f(t) = π sin ut du = 1 π sin ut f(x) sin ux dx = π π sin ut du π (cos(u 1)x cos(u + 1)x)dxdu = sin x sin ux dx =
38 34 3. Transformata Fourier 1 π sin ut( [ ] g(ω) = F π f (ω) = 1 π sin(u 1)π u sin(u + 1)π )du = u + 1 π sin ut sin uπ 1 u du. x e jωx dx = 1 ( ω π ω 3 sin ω + ) ω cos ω F c (ω) + jf s (ω)= π e at e jωt dt = părţilor reale şi a celor imaginare, găsim a + jω π a ; de unde prin identificarea + ω F c (ω) = a π a + ω, F s(ω) = π ω a + ω Avem = π 3.16 Avem 3.17 = π F c (ω)g c (ω)dω = g(t) dt F s (ω)g s (ω)dω = g(t) dt π F c (ω) cos ωtdω = π F s (ω) sin ωtdω = F c (ω) = F c (ω)dω F s (ω)dω f(t)g(t)dt. f(t)g(t)dt. a cos ωtdt = π g(t) cos ωxdt = g(t) sin ωxdt = sin ωa π ω F s (ω) = a sin ωtdt = π π 1 cos ωa. ω { { 1, < t a 1, < t b Fie f(t) = şi g(t) =, t > a,, t > b prima formulă a lui Parseval şi avem unde a, b >. Înlocuim în π sin ωa sin ωb ω dω = min{a,b} dt,
39 3.3. Soluţii 35 de unde prima egalitate. Din a doua formulă Parseval avem (1 cos ta)(1 cos tb) t dt = π min{a, b}. Pentru a = b deducem sin ta t dt = π a g(u) = 3.19 g(u) = π π π π sin ω 16u sin uωdω = cos πu u π π u cos ω cos uωdω = sin πu. π π 1 u
40 36 3. Transformata Fourier
41 Capitolul 4 Funcţii Bessel 4.1 Abstract teoretic Ecuaţia diferenţială liniară omogenă de forma x y (x) + xy (x) + (x ν )y(x) =, (4.1.1) se numeşte ecuaţia Bessel, de speţa întâi şi indice ν R. Funcţii Bessel de speţa ˆıntˆai O soluţie este de forma J ν (x) = + k= şi se numeşte funcţie Bessel de speţa ˆıntˆai şi ordin ν. ( 1) k ( ) x ν+k (4.1.) k!γ(ν + k + 1) Teorema Dacă ν Z, soluţia generală a ecuaţiei (4.1.1) este y(x) = c 1 J ν (x) + c J ν (x), c 1, c R. (4.1.3) Funcţia de forma N ν (x) = J ν(x) cos νπ J ν (x), ν Z (4.1.4) sin νπ se numeşte funcţia Bessel de speţa a doua şi ordin ν sau funcţia lui Neumann. Pentru n N avem N n (x) = lim N ν (x) = 1 ( djν ν n π dν (x) ( 1) n dj ) ν ν=n dν (x). ν=n 37
42 38 4. Funcţii Bessel Teorema Pentru ν R \ Z, soluţia generală a ecuaţiei (4.1.1) este y(x) = c 1 J ν (x) + c N ν (x), c 1, c R. (4.1.5) Teorema Pentru orice x R şi t C, t are loc dezvoltarea e x (t 1 t ) = + n= J n (x)t n. (4.1.6) Funcţia e x (t 1 t ) se numeşte funcţia generatoare a funcţiilor Bessel de speţa ˆıntˆai şi de ordin ˆıntreg. Are loc următoarea reprezentare integrală J n (x) = 1 π e j(x sin θ nθ) dθ. (4.1.7) π Teorema Între funcţiile Bessel de speţa întâi au loc relaţiile de recurenţă J ν(x) = 1 (J ν 1(x) J ν+1 (x)) (4.1.8) ν x J ν(x) = J ν+1 (x) + J ν 1 (x). (4.1.9) Teorema Dacă ν > 1, zerourile funcţiei J ν sunt reale, simple (cu excepţia eventual a lui x = ), izolate şi dispuse simetric în raport cu x =. Vom nota mulţimea numărabilă a rădăcinilor pozitive cu {λ n }, n N. Se poate demonstra că dacă x +, are loc următoarea aproximare asimptotică: J ν (x) = πx cos(x π ν π 4 ) + O(x 3 ). Din relaţia de mai sus decurge faptul că rădăcinile pot fi aproximate cu rădăcinile funcţiei cos(x π ν π 4 ), adică λ n = 3π 4 + π ν + nπ. Teorema Fie ν > 1 şi α, β, α β soluţii ale ecuaţiei J ν (x) =. Atunci au loc 1 xj ν (αx)j ν (βx)dx = (4.1.1) 1 xj ν (αx)dx = 1 J ν+1(α) (4.1.11)
43 4.1. Abstract teoretic 39 Observaţia Teorema se interpretează astfel: mulţimea {J ν (λ n x)}, unde λ n, n N sunt zerourile funcţiei J ν,, formează un sistem ortogonal cu ponderea x pe intervalul [, 1]. Serii Fourier - Bessel Fie f : [, 1] R o funcţie dată. Pentru ν > 1 fie λ n, n N rădăcinile funcţiei Bessel asociate {J ν (λ n ) = }. Căutăm o dezvoltare a funcţiei f în serie Fourier-Bessel de forma f(x) = + n=1 c n J ν (λ n x), x (, 1). (4.1.1) Teorema Dacă xf(x) este o funcţie absolut integrabilă pe [, 1] şi ν 1 atunci pentru orice x (, 1) are loc dezvoltarea în serie (4.1.1), în care coeficienţii sunt daţi de c n = 1 xf(x)j ν (λ n x)dx J ν+1 (λ n). (4.1.13) Funcţiile Bessel se speţa a III-a (numite şi funcţiile lui Hankel) sunt date de: Funcţiile Hankel de speţa I Funcţiile Hankel de speţa II H (1) ν (x) = J ν (x) + j N ν (x) ν R. (4.1.14) H () ν (x) = J ν (x) j N ν (x) ν R. (4.1.15) Evident că şi aceste funcţii sunt soluţii ale ecuaţiei Bessel, satisfac şi are loc următoarea teoremă: ν (x) = H ν () (x) H (1) Teorema Soluţia generală a ecuaţiei Bessel este y(x) = a 1 J ν (x) + b 1 H (1) ν (x) = a J ν (x) + b H () ν (x) = a 3 H (1) ν (x) + b 3 H () ν (x), (4.1.16) a i, b i C, i = 1,, 3. Funcţiile Bessel modificate (cu argument imaginar) În ecuaţia Bessel x y (x) + xy (x) + (x ν )y(x) =,
44 4 4. Funcţii Bessel facem schimbărea de variabilă x = jt şi schimbărea de funcţie u(t) = y(jt) şi atunci ecuaţia devine: t u (t) + tu (t) (t + ν )u(t) =, (4.1.17) Ecuaţia (4.1.17) se numşte ecuaţie Bessel modificată. Următoarele funcţii sunt soluţii ale acestei ecuaţii. I ν (t) = e jν π Jν (jt). (4.1.18) K ν (t) = jπ e iπν H (1) ν (jt). (4.1.19) Funcţiile date de (4.1.18) se numesc funcţii Bessel modificate sau cu argument imaginar, iar cele date de (4.1.19) se numesc funcţie Kelvin. Soluţia generală a ecuaţiei Bessel modificată (4.1.17) este: y(x) = c 1 I ν (x) + c K ν (x). (4.1.) Exemplul Să determinăm soluţia corespunzătoare ecuaţiei x y (x) + xy (x) + (x 1 )y(x) =. 4 Soluţie. Observăm că ν = ± 1, deci din teoremă y(x) = c 1 J 1 (x) + c J 1 (x). Calculăm funcţiile Bessel corespunzătoare. Mai întâi J 1 (x) = k= ( 1) k ( ) x k+ 1 ( 1) k ( ) x k+ 1 = = Γ(k + 1)Γ( 3 + k) k!(k + 1) Γ( 1 k= ) = k= ( 1) k k+1 x k+1 1 x k!(k + 1) 3 1 π k+1 1 = πx Ultima serie reprezintă dezvoltarea funcţiei sinus; aşadar J 1 (x) = sin x. πx Avem analog, J 1 (x) = k= Soluţia ecuaţiei este deci ( 1) k ( ) x k 1 = Γ(k + 1)Γ( 1 + k) k= y(x) = = πx k= ( 1) k x k (k)! = k= ( 1) k x k+1. (k + 1)! ( 1) k k x k k! (k 1) π k x = cos x. πx πx (c 1 sin x + c cos x), x >, c 1, c R.
45 4.1. Abstract teoretic 41 Exemplul Să arătăm că are loc J n (x) = ( 1) n J n (x). (4.1.1) Soluţie. Dacă ν = n N, atunci funcţia Bessel corespunzătoare este J n (x) == = k=n k= ( 1) k ( ) x k n = Γ(k + 1)Γ( n + k + 1) ( 1) k ( ) x k n, Γ(k + 1)Γ( n + k + 1) deoarece Γ(k n + 1) = pentru k =, 1,..., n 1, afirmaţie care poate fi dovedită prin prelungirea funcţiei Γ la domeniul complex. Schimbând apoi ordinea de sumare prin k n = m, avem mai departe = m= Exemplul Să calculăm integrala ( 1) n+m ( ) x m+n = ( 1) n J n (x). Γ(n + m + 1)Γ(m + 1) e ax J ( kx)dx, k >. Soluţie. Avem de unde J (x) = + n= ( 1) n x n n (n!) J ( kx) = + n= ( 1) n k n x n (n!) n. Înmulţim cu e a x şi integrăm termen cu termen seria de funcţii convergentă absolut pe R şi avem: e ax J ( kx)dx = + n= ( 1) n k n (n!) n Facem schimbarea t = a x, reducem la o integrală Γ şi obţinem + n= e ax x n dx ( 1) n k n n! (n!) n a (n+1) = 1 + ( 1) n ( ) k n a n! 4a n= = 1 k a e 4a.
46 4 4. Funcţii Bessel Exemplul Să arătăm că transformata Laplace a funcţiei J n (x) este L[J n (x)](p) = 1 p + 1 ( p + 1 p) n, Re p >. (4.1.) Soluţie. Într-adevăr, dacă folosim reprezentarea integrală (4.1.7), deducem că J n este funcţie original şi avem L[J n (x)](s) = 1 π Schimbăm ordinea de integrare şi avem = 1 π = 1 π π π π e jnθ dθ e j(x sin θ nθ) dθe sx dx. e jx sin θ sx dx = e jnθ 1 dθ j sin θ s e(j sin θ s)x dθ = 1 π π e jnθ s j sin θ dθ = 1 π z =1 z n s j z z j dz jz = 1 πj z =1 z n sz 1 + z dz. Am folosit substituţia z = e jθ. Calculăm integrala cu ajutorul teoremei reziduurilor. Funcţia de integrat are drept poli soluţiile ecuaţiei z + sz 1 =, adică z 1, = s± s + 1. Dar cum z 1 z = 1 rezultă că s+ s + 1 < 1 şi s s + 1 > 1. Deci L[J n (x)](s) = zn (z + s) z= s+ s +1 = 1 s + 1 ( s + 1 s) n. Exemplul Dezvoltaţi în serie Fourier -Bessel funcţia f(x) = x 4, x (, 1), pentru ν = 4. Soluţie. Folosim formulele (4.1.1) şi (4.1.13). Avem f(x) = + n=1 c n J 4 (λ n x) unde c n = 1 xf(x)j 4 (λ n x)dx J 5 (λ n).
47 4.. Probleme propuse 43 Facem schimbarea de variabilă λ n x = t şi integrala devine ( 1 λ n ) λ 6 n ( 1 t 5 J 4 (t)dt = λ n ) λ 6 n Am folosit proprietatea t 5 J 4 (t) = d dt d dt ( ) ( ) 1 6 t 5 J 5 (t) dt = λ 5 λ nj 5 (λ n ) = J 5(λ n ). n λ n (t 5 J 5 ). Rezultă c n = λ n J 5 (λ n ). Exemplul Să determinăm partea reală şi cea imaginară a funcţiei Bessel modificate (Bessel real şi Bessel imaginar) de ordin. Soluţie. Notăm cu ber x şi bei x partea reală respectiv cea imaginară. Atunci are loc scrierea I (xe j π 4 ) = ber x + j bei (x). Calculăm I (xe j π 4 ) bei x = 1 1! J (jxe j π 4 ) = + k= ( 1) k ( ) (k!) jk e (j π x k + 4 k) j k ( ) x k = (k!) k= ber x = 1 1 ( ) x 4 (!) + 1 ( ) x 8 (4!) = ( x 4. Probleme propuse ) 1 ( ) x 6 (3!) + 1 ( ) x 1 (5!) = k= k= ( 1) k ( ) x 4k ((k)!), ( 1) k ( ) x 4k+ ((k + 1)!). 4.1 Să se stabileasă următoarele formule de recurenţă pentru funcţiile Bessel de speţa întâi. a. d dx (xν J ν (x)) = x ν J ν 1 (x), b. d dx (x ν J ν (x)) = x ν J ν+1 (x), c. J ν 1 (x) + J ν+1 (x) = ν x J ν(x), d. J ν 1 (x) J ν+1 (x) = J ν(x), e. xj ν(x) + νj ν (x) = xj ν 1 (x), f. xj ν(x) νj ν (x) = xj ν+1 (x). 4. Calculaţi J 3, J 3 ; generalizare. 4.3 Efectuând schimbări convenabile de funcţie şi variabilă independentă, reduceţi următoarele ecuaţ ii la ecuaţii Bessel şi găsiţi forma generală a soluţiei: a. x y (x) + xy (x) + (bx ν )y(x) =, b. xy (x) + ay (x) + bxy(x) =,
48 44 4. Funcţii Bessel c. xy (x) + (1 p)y (x) + 1 y(x) =, 4 d. y (x) + 1 xy(x) =, 3 e. y (x) + (e x n )y(x) =, f. x y (x) + xy (x) + 4(x 4 1)y(x) =, g. y (x) + 5 x y (x) + y(x) =, h. x y + (x 4 1)y =. 4.4 Să se calculeze W [J ν (x), J ν (x)] şi W [J ν (x), N ν (x)] unde f(x) g(x) W [f, g] = f (x) g (x) este wronskianul funcţiilor f şi g. 4.5 Să se demonstreze că funcţiile Neumann satisfac aceleaşi relaţii de recurenţă ca şi funcţiile Bessel de speţa ˆntâi: a. d dx (xν N ν (x)) = x ν N ν 1 (x), b. d dx (x ν N ν (x)) = x ν N ν+1 (x), c. N ν 1 (x) + N ν+1 (x) = ν x N ν(x), d. N ν 1 (x) N ν+1 (x) = N ν(x), e. N n (x) = ( 1) n N n (x). 4.6 Să se demonstreze formulele: sin νπ a. J ν (x)j ν+1 (x) + J ν (x)j ν 1 (x) = πx, b. J ν (x)j ν 1 (x) + J ν (x)j ν+1 (x) = c. J ν (x)n ν+1 (x) J ν+1 (x)n ν (x) = πx. sin νπ πx, 4.7 Arătaţi că funcţia generatoare poate fi scrisă sub forma e x (t 1 t ) = J (x) Deduceţi dezvoltările în serie de funcţii a. cos(x sin ϕ) = J (x) + + k=1 + n=1 J k (x) cos kϕ, (t n + ( 1) n t n )J n (x).
49 4.. Probleme propuse 45 b. sin(x sin ϕ) = + k= c. cos(x cos ϕ) = J (x) + d. sin(x cos ϕ) = e. cos x = J (x) + f. sin x = + k= + n=1 + J k+1 (x) sin(k + 1)ϕ, + n=1 ( 1) k J k (x) cos kϕ, ( 1) k J k+1 (x) cos(k + 1)ϕ, n=1 ( 1) k J k+1 (x). 9. Deduceţi dezvoltările a. 1 = J (x) + J k (x), b. x = k=1 (k + 1)J k+1 (x), k= c. x sin x = d. x cos x = ( 1) k J k (x), ( 1) k (k) J k (x), k=1 k=1 ( 1) k (k + 1) J k+1 (x). 4.1 Să se deducă următoarele reprezentări integrale pentru funcţiile Bessel de speţa întâi şi ordin întreg n Z a. J n (x) = 1 e x (t 1 t ) πj t n+1 dt, b. J n (x) = 1 π t =1 π c. J n (x) = 1 πj n d. J n (x) = 1 π e. J (x) = π π π cos(nθ x sin θ)dθ, π e j(x cos θ+nθ) dθ, cos(nθ x sin θ)dθ, cos(x sin θ)dθ = π 1 cos tx 1 t dt.
50 46 4. Funcţii Bessel 4.11 Să se demonstreze egalităţile (formulele Lommel): a. b. a a xj ν (αx)j ν (βx)dx = xj ν (αx)dx = a α, β R, α β, ν > 1. a α β ( βjν (αa)j ν(βa) αj ν (βa)j ν(αa) ), ( ) J ν (αa) + (1 ν α a )J ν (αa), 4.1 Arătaţi că mulţimea J ν ( λ nx ) formează un sistem ortogonal de funcţii pe [, a], a a > cu ponderea x, unde λ n satisface J ν (λ n ) = Dacă f : [, a] R şi xf(x) este absolut integrabilă, atunci unde c n = a f(x) = xf(x)j ν (λ n x a )dx a J ν+1(λ n ) + n=1. c n J ν ( λ nx ), x (, a) a 4.14 Dezvoltaţi în serie Fourier -Bessel următoarele funcţii: a. f(x) = x ν, x (, 1), ν 1, b. f(x) = x 6, x (, 1), ν = 4, c. f(x) = x n+, x (, 1), ν = n N, d. f(x) = 1 x, x (, 1), ν =, e. f(x) = x 4, x (, 3), ν = Să se arate că funcţiile Hankel satisfac relaţiile de recurenţă: a. H (i) ν 1 (x) + H(i) ν+1 (x) = ν x H(i) ν (x), i = 1,, b. H (i) ν 1 (x) H(i) ν+1 (x) = H(i) ν (x), i = 1, Arătaţi că au loc: a. H (1) ν (x) = j e jνπ J ν (x) J ν (x), sin νπ b. H ν(x) (1) = e jνπ H ν (1) (x), c. H (1) 1 (x) = j πx eix,
51 4.. Probleme propuse 47 d. H (1) (x) = 1 e. H () ν πx eix, (x) = j ejνπ J ν (x) J ν (x), sin νπ f. H ν(x) () = e jνπ H ν () (x), g. H () 1 (x) = j πx e ix, h. H () (x) = 1 πx e ix Să se demonstreze egalităţile: a. W [J ν (x), H ν (1) (x)] = j πx, b. W [J ν (x), H ν () (x)] = j πx, c. W [N ν (x), H (1) ν (x)] = πx, d. W [N ν (x), H () ν (x)] = πx, e. W [H ν (1) (x), H ν () (x)] = 4j πx Arătaţi că ecuaţia Bessel modificată x y (x) + xy (x) (x + ν )y(x) =, are soluţiile y(x) = Y (jx), unde Y este funcţie Bessel Arătaţi că are loc I ν (x) = k= ( ) 1 t k+ν. k!γ(ν + k + 1) 4. Arătaţi că funcţia Kelvin satisface π K ν (x) = sin νπ (I ν(x) I ν (x)). 4.1 Să se demonstreze egalităţile a. I 1 (x) = πx sh x = e x e x, πx b. I 1 (x) = πx ch x = e x + e x, πx c. K 1 (x) = πx e x, d. K 1 (x) = πx e x..
52 48 4. Funcţii Bessel 4. Arătaţi că au loc relaţiile de recurenţă a. I ν 1 (x) I ν+1 (x) = ν x I ν(x), b. K ν 1 (x) K ν+1 (x) = ν x K ν(x), c. I ν 1 (x) + I ν+1 (x) = I ν(x), d. K ν 1 (x) + K ν+1 (x) = K ν(x), e. I n (x) = I n (x), f. K ν (x) = K ν (x). 4.3 Soluţii 4.1 Pentru a. şi b. derivăm termen cu termen seriile de puteri = + k= d dx (xν J ν (x)) = d ( + ( 1) k ν ( ) ) x ν+k = dx k!γ(ν + k + 1) k= ( 1) k ν (ν + k) x ν+k 1 + k!γ(ν + k + 1) ν+k = x ν ( 1) k ( ) x k+ν 1 = x ν J ν 1 (x) k!γ(ν + k) d dx (x ν J ν (x)) = d ( + dx k= x ν + k= k= ( 1) k k!γ(ν + k + 1) ( 1) k kx k 1+ν k!γ(ν + k + 1) ν 1+k. x k ) ν+k In ultima relaţie simplificăm cu k şi schimbăm indicele de sumare k = l + 1. Din a. şi b. obţinem prin explicitarea derivatelor: de unde rezultă { νx ν 1 J ν (x) + x ν J ν(x) = x ν J ν 1 (x) νx ν 1 J ν (x) + x ν J ν(x) = x ν J ν+1 (x), { νx 1 J ν (x) + J ν(x) = J ν 1 (x) νx 1 J ν (x) J ν(x) = J ν+1 (x), deci e. şi f. sunt adevărate. Din ultimile două relaţii prin însumare se obţine c., iar prin diferenţă d. = 4. În relaţia (4.1.9) luăm ν = 1 şi atunci avem J 3 (x) = 1 x J 1 (x) J 1 (x) = πx ( 1 sin x cos x). x
53 4.3. Soluţii 49 Analog, pentru valoarea ν = 1, obţinem J 3 = Mai general, pentru n N, avem J ±(n+ 1 ) = πx ( 1 cos x sin x). x ( ( ) ( ) ) 1 1 A n cos x + B n sin x, πx x x unde A n, B n sunt polinoame de grad cel mult n. Se poate demonstra ca singurele funcţii Bessel elementare sunt de aceasta formă. 4.3 a. Facem schimbarea de variabilă independentă t = x b. Avem z(t) = z(x b) = y(x), y = bz şi y = bz. Rezultă bx z (t) + bz (t) + (t ν )z = cu soluţia z(t) = c 1 J ν (t) + c N ν (t), de unde y(x) = c 1 J ν ( bx) + c N ν ( bx). b. Substituţia y(x) = x ν z(x) duce la y = νx ν 1 z + x ν z, y = ν(ν 1)x ν z + νx ν 1 z + x ν z ; înlocuim în ecuaţie, împărţim prin x ν 1 şi obţinem x z + x(ν + a)z + (ν(ν 1) + aν + bx )z =. Pentru a fi ecuaţie Bessel punem condiţia ν + a = 1 şi găsim cu soluţia iar y(x) = x 1 a z(x). c. Cu schimbarea x = t α se obţine x z + xz + (bx ν )z =, z = c 1 J ν (x b) + c N ν (x b), t d y + (1 αp)dy dt dt + α 4 tα 1 y =. Dacă punem condiţia α 1 = 1, obţinem o ecuaţie de tipul precedent, cu a = 1 p, b = 1, ν= 1 a = p şi soluţia y(x) = x p (c 1 J ν ( x) + c N ν ( x)). d. x = t α, t d y + (1 α)dy dt dt α t 3α 1 y = ; este o ecuaţie ca la punctul b., punem 3α 1 = 1, rezultă α = 3, a = 1 3, b = 1 ( ), deducem 3 3 y(t) = t ν ( c 1 J ν ( t ) + c N ν ( t )), unde ν = 1 3, tν = x.
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai multAnaliză 2 Notițe de seminar Adrian Manea Curs: A. Niță 11 mai 2019
Analiză 2 Notițe de seminar Adrian Manea Curs: A. Niță 11 mai 2019 Cuprins 1 Ecuații și sisteme diferențiale 3 1.1 Ecuații liniare de ordinul n cu coeficienți constanți.............. 3 1.2 Metoda eliminării
Mai multAero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D
Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge
Mai multCurs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi
Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a
Mai multGHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007
GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de
Mai multETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți
Seminar Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferențiale Folosind transformata Laplace, putem reolva ecuații și sisteme diferențiale. Cu ajutorul proprietăților transformatei
Mai multMD.09. Teoria stabilităţii 1
MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,
Mai multCursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multŞiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Mai multAnaliz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Mai multDistanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,
Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea
Mai mult0 Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică 1. Să se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) x 4 ; b) x 3 dx dx
Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică. ă se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) + x ; b) x dx dx; c) + x x + x ) ; dx x d) x + x ) ; e) dx; f) x p e xq dx, p >,
Mai multPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
Mai multDAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
Mai multClasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
urs 4 Integrale curbilinii 4.1 Drumuri şi curbe Definiţie 4.1. O funcţie continuă γ : [a,b] R m se numeşte drum plan dacă m = 2 sau drum în spaţiu dacă m = 3. Punctul γ(a) se numeşte originea drumului,
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele
Mai multTiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n
Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7
Mai multPrelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi
Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac
Mai multgaussx.dvi
Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care
Mai mult8
9.5 Fluxul unui vector printr-o suprafaţă deschisă-continuare Observaţie: Dacă vrem să calculăm fluxul vectorului a = P x y z i + Q x y z j + R x y z k (,, ) (,, ) (,, ) prin suprafaţa definită de ecuaţia
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se
Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să
Mai multSeminar 6 1. Reprezentaţi printr-o integrală Fourier funcţia f : R R, f (x) = e x cos 2x. Soluţie: Funcţia dată satisface condiţiile teoremei de repre
Seminar 6. Reprezentaţi printr-o integrală Fourier funcţia f : R R, f x) e x cos x. Funcţia ată satisface coniţiile teoremei e reprezentare a unei funcţii printr-o integrală Fourier şi mai observăm că
Mai multMicrosoft Word - Probleme-PS.doc
PROBLEME PROPUSE PENTRU EXAMENUL LA PRELUCRAREA SEMNALELOR a) Să se demonstreze că pentru o secvenńă pară x[ n] x[ n] este adevărată egalitatea X( z) X( z) b) să se arate că polii (zerourile) acestei transformate
Mai mult20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do
SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul
Mai multCLP_UTCN-grila-2012.dvi
Liceul: Numele: Punctaj: Prenumele: Concursul liceelor partenere cu Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Test grilă Ediţia a treia mai 0 Clasa a X-a În casuţa din stânga întrebării se va scrie litera
Mai multPrelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,
Mai multCursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l
Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative la R n, în principal), sunt prezentate aici elemente
Mai multUniversitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică şi Informatică ERNEST SCHEIBER ANALIZĂ NUMERICĂ Braşov
Universitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică şi Informatică ERNEST SCHEIBER ANALIZĂ NUMERICĂ Braşov Cuprins I INTERPOLARE ŞI APLICAŢII 9 1 Diferenţe finite 11 11 Diferenţe finite 11
Mai multCursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont
Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi
Mai mult{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud
{ 3 + 3, < Eemple. ) Fie f : R R, f() + 4,. Funcţia f este derivabilă pe R\{} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să studiem derivabilitatea în a. Atunci f s() 3+3 6,< 3, f d f() f() (),> funcţia
Mai multCURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),
CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul
Mai multCapitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru,
Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru, adică f (t, 0) = 0, t t 0. In acest paragraf, funcţia
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS IE /msie.dvi
urs 2 Integrale de suprafaţă 2.1 Pânze şi suprafeţe Definiţie 2.1. Fie D R 2 o mulţime conexă şi deschisă. O funcţie continuă σ : D R 3 se numeşte pânză de suprafaţă. ulţimea = σd) se numeşte imaginea
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 4 2019 Anca Ignat Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Fie matricea nesingulară A nn şi b n. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare Ax=b se poate face folosind regula
Mai multFacultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:
Mai multCoordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),
Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + +
Mai multUNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot
Mai multETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 10 Transformata Fourier Integrala Fourier Seriile Fourier sînt utile pentru dez
Seminar 1 Transformata Fourier Integrala Fourier Seriile Fourier sînt utile pentru dezvoltarea unor funcții periodice (sau convertibile în unele periodice). Însă dacă funcțiile sînt arbitrare, se folosește
Mai multMetode Numerice
Metode Numerice Prof. Bogdan Gavrea CTI 2019 pentru rezolvarea numerică a sistemelor liniare Matrici diagonal dominante Definiţie O matrice A M n,n (C), A = (a ij ) 1 i,j n se numeşte diagonal dominantă
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector
Mai multMicrosoft Word - TIC5
CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE CAPITOLUL 5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE În Capitolul 3, am văzut că putem utiliza codarea sursă pentru a reduce redundanţa inerentă a unei surse de informaţie
Mai multAlgebra si Geometri pentru Computer Science
Natura este scrisă în limbaj matematic. Galileo Galilei 5 Aplicatii liniare Grafica vectoriala In grafica pe calculator, grafica vectoriala este un procedeu prin care imaginile sunt construite cu ajutorul
Mai multDorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
Mai multSpatii vectoriale
Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale
Mai multMETODE NUMERICE ÎN INGINERIE
METODE NUMERICE ÎN INGINERIE REZOLVAREA NUMERICĂ A SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE Aspecte generale (1) (2) (3) (4) (5) Unicitatea soluţiei Un sistem de ecuaţii liniare are o soluţie unică numai dacă matricea
Mai multTEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:
TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins
Mai multGheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Mai multMicrosoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc
ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru
Mai multEcuatii si sisteme de ecuatii neliniare 1 Metoda lui Newton Algorithm 1 Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. Date de intrare: - Funcţia f - Apro
Ecuatii si sisteme de ecuatii neliniare Metoda lui Newton Algorithm Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. - Funcţia f - Aproximaţia iniţială x - Eroarea admisă ε - Numărul maxim de iteraţii ITMAX
Mai multUniversitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x
1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima
Mai multCapitole de Matematici Speciale Codruţa Chiş
Capitole de Matematici Speciale Codruţa Chiş ii Capitole de Matematici Speciale Cuprins Ecuaţii diferenţiale. Introducere în ecuaţii diferenţiale...........2 Ecuaţii diferenţiale de ordinul I...........
Mai multCursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această ev
Cursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această evoluţie, exprimată succint prin şirul de incluziuni
Mai multFIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de Matematică 1.3 Departamentul Matematică Didactic 1.4
Mai multMicrosoft Word - probleme_analiza_numerica_ses_ian09.rtf
Universitatea Spiru Haret Facultatea de Matematica-Informatica Disciplina obligatorie; Anul 3, Sem. 1,Matematica si Informatica CONTINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI Metode numerice de rezolvare a sistemelor
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen
Mai multCursul 10 Fractali de tip Newton Vom prezenta în continuare o nouă modalitate de generare a fractalilor, modalitate care îşi are originea într-o probl
Cursul 10 Fractali de tip Newton Vom prezenta în continuare o nouă modalitate de generare a fractalilor, modalitate care îşi are originea într-o problemă formulată în anul 1879 de Arthur Cayley (1821 1895)
Mai multRecMat dvi
Conice şi cubice în probleme elementare de loc geometric Ştefan DOMINTE 1 Abstract. In this Note, a number of simple problems are presented to support the idea that conic and cubic curves can frequently
Mai multM1-ACS, , M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 9 Extreme cu legături. Integrale improprii 1 Extreme condiționate Atunci cînd domeniul de
Seminr 9 Extreme u legături. Integrle improprii Extreme ondiționte Atuni înd domeniul de definiție l unei funții de mi multe vribile onține, l rîndul său numite euții (numite, generi, legături, problemele
Mai multPachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL
Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.
Mai multCuprins ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL CUPRINS Unitatea de învăţare Titlu Pagina INTRODUCERE 1 1 Primitive 3 Obiectivele unităţii de învăţare nr.
Cuprins CALCUL INTEGRAL CUPRINS Unitatea de învăţare Titlu Pagina INTRODUCERE 1 1 Primitive 3 Obiectivele unităţii de învăţare nr. 1 4 1.1. Primitive. Noțiuni generale 4 1.2. Calculul primitivelor Test
Mai multSlide 1
ELECTROTEHNCĂ ET An - SA CRS 8 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCRAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro . ntroducere în teoria circuitelor electrice. Puteri în regim armonic 3. Caracterizarea în complex a
Mai multCopyright c 2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la
Copyright c 1 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, Profilurile: fizica-matematica, economie,
Mai multElemente de aritmetica
Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al
Mai multCursul 12 Şiruri recurente în planul complex Vom studia, în continuare, comportarea în raport cu data iniţială a şirurilor definite prin relaţii de re
Cursul 12 Şiruri recurente în planul complex Vom studia, în continuare, comportarea în raport cu data iniţială a şirurilor definite prin relaţii de recurenţă de forma z n+1 = f(z n ), n = 0, 1, 2,...,
Mai multAproximarea functiilor prin metoda celor mai mici patrate
Aproximarea funcţiilor prin metoda celor mai mici pătrate Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 2017-2018
Mai multALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine număru
ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine numărul de operaţii efectuate de către un algoritm care determină
Mai multMicrosoft Word - FiltrareaNyquist-rezumat.doc
Filtrarea semnalelor de date Necesitate - unul din efectele limitării benzii unui impuls rectangular de perioadă T s, datorită filtrării, este extinderea sa în timp, care conduce la apariţia interferenţei
Mai multMatematici Speciale - Ingineria Sistemelor Seminar 1 Probleme rezolvate 1. Studiaţi convergenţa integralelor improprii: Z 1 p Z 3 2x 2 a) I
Matematici Seciale - Ingineria Sistemelor 5-6 Seminar Probleme rezolvate. Studiaţi convergenţa integralelor imrorii: a) I d, b) J d, c) K + ;5 entru a d şi b c k. Soluţie: a) Integrala I este divergent¼a,
Mai multMicrosoft Word - l10.doc
Metode Numerice - Lucrarea de laborator 0 Lucrarea de laborator nr. 0 I. Scopul lucrării Aproximarea funcţiilor. Polinoame de interpolare. II. Conţinutul lucrării. Polinom de interpolare. Definiţie. Eroarea
Mai multGeometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 12 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 3 Apendix 2
Mai multModelarea si Simularea Sistemelor de Calcul
Modelarea şi Simularea Sistemelor de Calcul Generarea de numere aleatoare ( lab. 5) Numim variabilă aleatoare acea funcţie X : (Ω, δ, P) R, care în cazul mai multor experimente efectuate în condiţii identice
Mai multMicrosoft Word - 4_Fd_Teoria_sist_I_2013_2014_MLF_Calc
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Sapientia din Cluj-Napoca 1.2 Facultatea Ştiinţe Tehnice şi Umaniste 1.3 Departamentul Inginerie Mecanică 1.4
Mai multControlabilitatea locală a ecuaţiei difuziei într-o singură dimensiune Marius Beceanu 22 mai 2003 Rezumat Această lucrare stabileşte controlabilitatea
Controlabilitatea locală a ecuaţiei difuziei într-o singură dimensiune Marius Beceanu mai 003 Rezumat Această lucrare stabileşte controlabilitatea locală exactă nulă a ecuaţiei difuziei într-o singură
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 6 2019 Anca Ignat Algoritmul lui Givens Fie A o matrice reală pătratică de dimensiune n. Pp. că avem: A QR unde Q este o matrice ortogonală iar R este o matrice superior triunghiulară.
Mai multMicrosoft Word - Capitolul_07
Viziunea computerizată în exemple şi aplicaţii practice Filtrarea în domeniul frecvenţă Introducere Filtrele de frecvenţă modifică valorile pixelului în funcţie de periodicitate şi distribuţia spaţială
Mai multClustere şi impurităţi în sisteme complexe
C: Soluţii numerice ale ecuaţiei Schrödinger independentă de timp. Metoda Tirului BIBLIOGRAFIE Ion. I. Cotaescu. Curs de Mecanica Cuantică, Tipografia UVT 990 Epperson J, An introduction to numerical methods
Mai multPROBLEME PRIVIND INSTABILITATEA UNOR CALCULE ALE MECANISMELOR
INSTABILITĂŢI DE CALCUL LA ANALIZA DIADEI RRR s.l. univ. dr. ing. Valentina MANEA s.l.univ.dr.ing. Raluca GRASU Rezumat. Se studiază instabilităţile de calcul care apar la analiza diadei RRR, cauzate de
Mai multcurs 9 v3 [Compatibility Mode]
Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 007 03 Aa prioritară nr. Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice
Mai multCOMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati
COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan
Mai multLimbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; pa
Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; paranteze: (, ); simbolul de egalitate =; cuantificatorul
Mai multSEMNALE ŞI SISTEME CURSUL 2 C.2. SEMNALE ANALOGICE 1.2. Reprezentări ale semnalelor prin diferite forme ale seriei Fourier Seria Fourier trigonometric
.. SEMNLE NLOGIE 1.. Reprezentări ale emnalelor prin diferite forme ale eriei Fourier Seria Fourier trigonometrică Seria Fourier trigonometrică utilizează pentru SFG (eria Fourier generalizată) itemul
Mai multNoțiuni matematice de bază
Sistem cartezian definitie. Coordonate carteziene Sistem cartezian definiţie Un sistem cartezian de coordonate (coordonatele carteziene) reprezintă un sistem de coordonate plane ce permit determinarea
Mai multO metodă de rafinare a unor inegalităţi geometrice Temistocle BÎRSAN 1, Marius DRĂGAN 2, Neculai STANCIU 3 Abstract. This paper presents a method to o
O metodă de rafinare a unor inegalităţi geometrice Temistocle BÎSAN 1, Marius DĂGAN, Neculai STANCIU 3 Abstract. This paper presents a method to obtain some refined geometric inequalities in a triangle,
Mai multI
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
Mai multBARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA ianuarie Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că
BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA 019 9 ianuarie 019 1. Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că x şi y sunt divizibili cu 11.. Fie Γ un cerc de centru
Mai multAutoevaluare curs MN.doc
Anul II, IEI IFR Semestrul I Metode numerice Chestionar de autoevaluare C1 1 Să se scrie o procedură care să calculeze produsul scalar a doi vectori 2 Să se scrie o procedură de înmulţire a matricelor
Mai multLaborator 4 Modele sistemice liniare. Reprezentare numerică. Conversii. Conexiuni 4.1 Tema Formarea deprinderilor de utilizare a convenţiilor MATLAB d
Laborator 4 Modele sistemice liniare Reprezentare numerică Conversii Conexiuni 41 Tema Formarea deprinderilor de utilizare a convenţiilor MATLAB de reprezentare numerică a modelelor sitemice de stare şi
Mai multRetele Petri si Aplicatii
Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 3 RPA (2019) Curs 3 1 / 48 Conţinutul cursului 1 Arbori de acoperire 2 Probleme de decizie în reţele Petri 3 Invarianţi tranziţie RPA (2019) Curs 3 2 / 48 Arbori de acoperire
Mai mult