FACULTATEA DE MATEMATICĂ

Transcriere

1 FACULTATEA DE MATEMATICĂ TEME PENTRU GRADUL DIDACTIC I Nr. crt Seria Conducător / Tema 1. Metode exacte de rezolvare a sistemelor algebrice liniare cu aplicaţii în matematica gimnazială Problemele matematice solutionate prin intermediul sistemelor algebrice liniare reprezinta nu atat un scop in sine, cat modele de aplicare a algebrei liniare la tratarea unor situatii si cerinte din lumea inconjuratoare. Pentru a ajunge la o rezolvare rapida si sigura a lor, este necesara o experienta bogata de lucru in domeniu. Conteaza mai putin cantitatea de probleme rezolvate si mai mult, intelegerea metodelor de rezolvare a sistemelor. 2. Probleme de extrem. Aplicaţii Lucrarea ofera un prilej de cunoastere, aprofundare si insusire a unor notiuni fundamentale pentru cei care se intalnesc cu probleme de extrem in gimnaziu si liceu. Pentru inceput sunt parcurse metodele elementare de aflare a extremelor pentru probleme de geometrie si algebra (aritmetica) pentru ca apoi sa fie studiate problem de extremfolosind instrumentele foarte eficiente oferite de analiza matematica. Aplicatiile sunt foarte numeroase si apar atat in probleme abstracte de matematica cat si in probleme de fizica, chimie, economie, mecanica, etc. 3. 4Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie Vor fi discutate pentru început chestiuni legate de dezvoltarea istorică a noţiunii de număr complex, forma algebrică a numerelor complexe, interpretarea geometrică a numerelor scrise sub formă algebrică, precum şi forma trigonometrică a numerelor complexe. Se vor prezenta rezultate şi proprietăţi geometrice care se pot caracteriza cu ajutorul numerelor complexe. Astfel, aceste relaţii şi proprietăţi geometrice vor fi traduse în limbajul numerelor complexe. O importanţă deosebită va fi acordată caracterizărilor greşite din manualele de liceu (de exemplu cea a conciclicităţii). În fine, se vor prezenta pe larg consideraţii metodice legate de aplicaţiile numerelor complexe în geometrie. Se va insista asupra importanţei şi a locului pe care tema tratată îl ocupă în programa de liceu.vor fi menţionate tipurile de probleme de geometrie care se pot rezolva în mod natural prin metodele discutate. O parte a acestor probleme se tratează în cadrul orelor de matematică de la clasă, însă cea mai mare parte a lor este potrivită mai ales pentru abordarea în cadrul cercurilor de elevi şi a centrelor de excelenţă. Lucrarea vine în completarea materiei de clasa a X-a. Nume candidat 4. Inducţia matematică în geometrie Inducţia completă reprezintă una din cele mai utile metode de demonstraţie din matematică. Deşi este mai puţin folosită în geometrie, totuşi există numeroase şi importante aplicaţii ale metodei şi în această ramură a matematicii. Se vor prezenta principiul inducţiei matematice, variantele metodei inducţiei matematice, precum şi tipuri de rezultate matematice demonstrate cu ajutorul a cestei metode. Se vor investiga mai multe tipuri de rezultate şi proprietăţi geometrice care se pot demonstra utilizând metoda inducţiei matematice. Astfel, se va insista pe calculul, demonstraţia, construcţia, aflarea locurilor geometrice prin inducţie, inducţia după numărul dimensiunilor. Se vor trata pe larg numeroase aspecte metodice legate de aplicaţiile inducţiei matematice în geometrie, insistându-se pe importanţa şi locul pe care tema îl ocupă în programa clasei a IX-a sau în pregătirea concursurilor şcolare. Vor fi menţionate

2 tipurile de probleme de geometrie care se pot rezolva în mod natural prin metoda inducţiei matematice. O parte a acestor probleme se tratează în cadrul orelor de matematică de la clasă, însă cea mai mare parte a lor este potrivită mai ales pentru abordarea în cadrul cercurilor de elevi şi a centrelor de excelenţă. 5. Problemede concurenţă, coliniaritate şi coplanaritate Problemele de concurenţă, coliniaritate şi coplanaritate sunt prezente în programa şcolară începând cu clasa a VI-a (concurenţa medianelor), clasa a VII-a (concurenţa mediatoarelor şi a înălţimilor, Teorema lui Ceva pentru concurenţă şi Teorema lui Menelaus pentru coliniaritate), clasa a VIII-a (Teorema lui Desarques, concurenţa unor linii importante în tedraedru, generalizări ale Teoremei lui Menelaus), clasa a IX-a şi a X-a (folosirea calculului vectorial şi cel analitic în rezolvarea unor astfel de probleme). 6. Utilizarea calcului vectorial şi analitic în rezolvarea problemelor de geometrie Programa şcolară pentru geometrie în liceu se bazează în special pe utilizarea calculului vectorial şi analitic (mai puţin). În cadrul acestei teme se va face o introducere riguroasă a elementelor de calcul vectorial şi geometrie analitică şi se va evidenţia rolul utilizării acestor tehnici în rezolvarea unor probleme de geometrie. Un capitol special va fi dedicat transformărilor geometrice. 7. Polinoame cu coeficienti intr-un corp comutativ Se va prezenta structura de domeniu de integritate a mulţimii polinoamelor cu coeficienţi într-un corp comutativ, Teorema împărţirii cu rest, algoritmul lui Euclid; graficele unor funcţii polinomiale; rezolvarea unor ecuaţii polinomiale. Este indicat să apară în lucrare un număr substanţial de aplicaţii, cu grad diferit de dificultate. De asemenea, pot fi studiate polinoame cu mai multe nedeterminate, polinoame simetrice şi polinoame simetrice fundamentale: teorema de structură a polinoamelor simetrice. 8. Numere prime Vor fi prezentate: noţiunea de număr prim în mulţimea numerelor naturale, ciurul lui Eratostene, teorema fundamentală a aritmeticii, teorema lui Euclid (referitoare la faptul ca numerele prime formează un şir infinit). Apoi, se vor analiza câteva clase de numere prime: Mersenne, numere prime Fermat,... Este indicat să existe şi o parte istorică privind noţiunea de număr prim. Eventual, poate fi prezentată noţiunea de număr prim într-un domeniu de integritate arbitar şi analizată legatura cu numerele ireductibile. Ar putea fi analizată şi conexiunea cu noţiunea de ideal prim în domenii de integritate. 9. Scheme clasice de probabilitate cu aplicaţii la programa de gimnaziu şi liceu Elemente de teoria probabilităţilor se fac atât la gimnaziu, cât şi la liceu. Aceste noţiuni sunt necesare pentru a înţelege mai bine o serie de modele ale fenomenelor naturale şi sociale şi pentru a stabili o serie de identităţi combinatorice. 10. Extreme de funcţii de una sau mai multe variabile reale Extremele pentru funcţii şi pentru diverse mărimi se găsesc aproape în orice domeniu al vieţii. Aceste noţiuni sunt de mare importanţă şi se regăsesc în toată programa şcolară. 11. Funcţiile Gamma si Beta ale lui Euler. Aplicaţii Functiile Gamma si Beta, introduse în matematică de către Leonard Euler, iniţial pentru a extinde unele functii definite pe multimea numerelor naturale la multimea numerelor reale (de exemplu funcţia factorial), apar în mod natural în numeroase ramuri din matematică: analiza matematică, teoria probabilităţilor, ecuaţii diferenţiale, etc. Lucrarea oferă astfel prilejul candidatului de a aprofunda idei si metode clasice de analiză matematică, ce completează armonios informatiile cuprinse in programa de liceu. 12. Soft matematic în matematica preuniversitară Scilab este un limbaj de programare de nivel înalt, orientat către calculul ştiinţific. Prin această lucrare, propunem candidatului identificarea capitolelor din matematica de liceu ce pot fi abordate din punct de vedere calculatoriu, numeric, studiul algoritmilor adecvaţi de aproximare şi implementarea acestora în Scilab. Se pot avea în vedere diferite ramuri din matematica studiata în şcoala: algebră (calculul cu aproximatie al rădăcinilor ecuatiilor algebrice, rezolvarea numerică a sistemelor liniare etc.), analiza matematică (calculul numeric al integralelor definite, interpolare, grafice de funcţii, etc.), geometrie (reprezentarea grafică a diferitelor obiecte geometrice), etc.

3 13. Elemente de geometrie proiectivă. Metode de rezolvare a problemelor de geometrie Tema propusă vizează prezentarea, din punct de vedere teoretic si metodic, a unor noţiuni, proprietăţi şi construcţii geometrice care îşi au originea în geometria proiectivă. Sunt avute în vedere: definiţia analitică a planului şi spaţiului proiectiv; legătura cu spaţiul afin; noţiunile de diviziune armonică, proiecţie, polară unghiulară şi polară în raport cu un cerc; dualitate proiectivă, r-corelativitate; metode de rezolvare a problemelor de geometrie, însoţite de exemple şi probleme rezolvate. 14. Ecuaţii diofantice de gradul al doilea Subiectul presupune tratarea, din punct de vedere teoretic si metodic, a unor noţiuni şi rezultate legate de mulţimea numerelor întregi şi de rezolvarea ecuaţiilor de gradul al doilea în Z. Sunt avute în vedere: construcţia şi proprietăţile mulţimii numerelor naturale, respectiv a numerelor întregi; relaţia de divizibilitate şi proprietăţilor numerelor prime; rezultate teoretice privind ecuaţiile diofantice, în special cele de gradul I; clase importante de ecuaţii de gradul al doilea:ecuaţiile pitagorice, ecuaţiiile de tip Pell; metode de rezolvare a ecuaţiilor diofantice de gradul al doilea, însoţite de exemple şi probleme rezolvate. 15 Probleme de minim şi de maxim în geometria elementară Relaţii metrice în geometrie, inegalităţi algebrice, puncte de extrem pentru funcţii derivabile. 16 Aplicaţii ale vectorilor în geometrie Spaţiul vectorial al vectorilor liberi, probleme de concurenţă şi coliniaritate rezolvate cu ajutorul vectorilor şi a noţiunilor de produs scalar şi produs vectorial. 17 De la operaţia de măsurare la noţiunea de integrală Masurarea lungimilor, ariilor si volumelor, precum si a celorlalte marimi fizice, sugereaza notiunea abstracta de masura. (Procesul de comparare a obiectului de masurat cu unitatea de masura se regaseste in proprietatea de aditivitate a masurii.) Se va arata cum calculul masurii unor obiecte geometrice complicate impune introducerea notiunii de integrala ca instrument eficace de evaluare. 18 Cum introducem numerele întregi şi raţionale Lucrarea are in vedere o introducere motivata a numerelor intregi negative si a numerelor rationale, precum si a calculelor cu acestea, pentru elevii de gimnaziu. Se vor propune probleme a caror rezolvare complicata si ingenioasa prin folosirea doar a numerelor naturale devine un calcul de rutina prin folosirea numerelor noi. 19 Factorizarea polinoamelor ( construcţie K[X], divizibilitate, procedura Schubert- Kronecker pentru Q[X], algoritmul Berlekamp, etc., aplicaţii) 20 Structuri algebrice factor (relaţii de echivalenţă, grup factor, inel factor, aplicaţii, construcţii numerice, etc.) 21 Elemente de logica şi de teoria mulţimilor Lucrarea va conţine o prezentare a principiilor logicii matematice, a regulilor de calcul cu propoziţii obţinute din predicate de una sau mai multe variabile prin legarea acestora, cât şi o trecere în revistă a celor două tipuri de demonstraţii: (1)directe sau (2) indirecte. În particular se va insista, prin exemple variate, dar accesibile elevilor, asupra diferenţei dintre demonstraţiile prin contrapoziţie şi cele prin reducere la absurd. Drept cadru principal se va utiliza teoria mulţimilor. 22 Inducţia completă Lucrarea va pleca de la prezentarea celor două metode de demonstraţie: deducţia şi inducţia, punându-se în evidenţă, prin exemple accesibile elevilor, diferenţa dintre ele. Se va include construcţia axiomatică Peano-Dedekind a mulţimii numerelor naturale N. Apoi, vor fi demonstrate rezultatele de bază cu privire la înzestrarea mulţimii N cu structura de ordine şi structura algebrică. Se vor deduce mai multe variante ale teoremei de inducţie completă şi vor fi incluse aplicaţii ale acestora în: algebră, analiză combinatorică, analiză matematică, trigonometrie şi geometrie. 23 Elemente remarcabile asociate unui triunghi Triunghiul este figura centrală a geometriei sintetice şi principalul obiect geometric al matematicii şcolare. Ca atare, prezenta lucrare are o importanţă deosebită pentru perfecţionarea cadrelor didactice. Astfel, se va avea în vedere pe lângă punctele, segmentele, dreptele şi cercurile clasice din geometria triunghiului, o serie de configuraţii

4 remarcabile. 24 Măsura în geometria euclidiană (lungimi, arii, volume) Noţiunea de măsură este esenţială în matematica contemporană oferind un procedeu practic (măsurarea) de comparare a unor obiecte remarcabile. Prin urmare, această lucrare poate fi un punct foarte important în cadrul perfecţionării unui profesor de matematică. Prin discutarea tuturor celor trei tipuri de măsuri cuprinse în titlu se asigură trecerea candidatului prin, practic, întreaga materie şcolară de bază. 25 Continuitate si diferentiabilitate pe dreapta reala Continuitatea si diferentiabilitatea (i.e. derivabilitatea) fac parte dintre conceptele centrale al analizei matematice, fiind, pe de o parte, centrele de greutate ale acestei discipline în jurul căruia gravitează o serie de alte noţiuni şi, pe de altă parte, praguri esenţiale pentru introducerea unor concepte mai avansate. De aceea, în matematica de liceu (clasele a XI-a şi a XII-a), continuitatea si derivabilitatea ocupă un loc foarte important, constituind puncte cheie care permit atât trecerea la un nivel de complexitate mai accentuat cât şi înţelegerea mai profundă a unor lucruri parcurse anterior. Lucrarea dedicata acestui subiect pe care o propunem va parcurge traseul teoretic necesar introducerii notiunii functie continua si de derivata in clasa a XI-a precum si aplicatiile uzuale ale acestor concepte prin intermediul teoremelor fundamentale ale teoriei. In afara acestor aspecte conventionale, propunem o aprofundare prin studiul dezvoltarii in serie a functiilor si a aplicatiilor ce se pot obtine pe aceasta baza. Ne propunem de asemenea ca lucrarea sa contina un (sub)capitol dedicat unor probleme de concurs. Un capitol de consideraţii metodice va fi rezervat pe final prezentării unor aspecte legate de locul continuitatii si derivabilitatii în programa şcolară, cu accent special pe rolul acestora ca puncte de intersecţie a mai multor tematici fundamentale. 26 Ecuatii algebrice in gimnaziu si liceu Conceptul de ecuaţie este unul fundamental în matematică, iar formularea corectă şi apoi eforturile de rezolvare a diverselor ecuaţii furnizate atât de practică cât şi de nevoile interne de dezvoltare a matematicii au constituit dintotdeauna unele dintre cele mai importante motivaţii ale studiului matematicii. În cadrul matematicii şcolare (primare, gimnaziale şi de liceu) studiul ecuaţiilor ocupă un loc central atât pentru înţelegerea şi mânuirea cu abilitate a procedeelor de calcul cât şi pentru aprofundarea unor concepte cu grad ridicat de complexitate. Astfel, parcurgerea cu atenţie, pricepere şi tact a acelor locuri din cadrul materiei privitoare la ecuaţii constituie o piatră de încercare pentru fiecare profesor în efortul de a oferi elevilor accesul la un grad ridicat de corelare a noţiunilor şi rezultatelor matematice parcurse. Lucrarea propusa are in vedere discutarea cadrului general de lucru pentru ecuaţiile algebrice studiate în matematica scolară: inelul polinoamelor cu coeficienţi reali şi complecşi, urmată de prezentarea metodelor de rezolvare pentru diverse ecuaţii şi sisteme algebrice. Un capitol va fi dedicat prezentării unor aspecte legate de locul studiului ecuaţiilor în programa şcolară, cu accent special pe rolul ecuaţiilor ca punct de intersecţie al mai multor aspecte didactice urmărite în şcoală: dezvoltarea abilităţilor de calcul şi de modelare matematică a unor situaţii practice sau înţelegerea conceptului de număr. 27 dmodelare matematica in biologie Modelele sunt abstractizari simplificate, care definesc elementele considerate a fi importante si inter-relatiile acestora în cadrul unui sistem luat sub analiză. Scopul lor este să ajute întelegerea mai bună a realitatilor. Progresul întelegerii stiintifice în domeniul biologiei este dependent de acumularea de date faptice, crearea de teorii apte să structureze datele si să explice fenomenele, modelarea descriptivă a realitatilor biologice si analiza validitatii constatărilor. Pornind de la tema lucrarii se pot dezvolta competente profesionale astfel: - aplicarea modelarii si algoritmizarii pentru investigarea proceselor biologice in proiecte specifice; - verificarea validitatii aplicarii algoritmilor si a modelarii datelor. Din aceste competente pot deriva competente transversale cum ar fi : - dezvoltarea capacitatii de a intelege modalitatile si limitele de utilizare ale aparatului matematic in biologie ; - dezvoltarea gandirii logice si a capacitatii de transfer a cunostintelor si aptitudinilor

5 dobandite de utilizare a cunostintelor de algebra liniara (analiza matematica) in contexte noi - in partea de metodica a lucrarii. Aparatul matematic folosit va face referire la: studiul variatiei functiilor pe baza derivatelor, probleme de extrem in biologie, integrale si ecuatii integro-diferentiale, aplicatii ale determinantilor si a matricelor in stiintele naturii. Prin aceasta lucrare se evidentiaza capacitatea de a relationa cunostintele de matematica cu cele dobandite la alte discipline (interdisciplinaritatea temei). 28 Aproximarea numerică a soluţiilor ecuaţiilor algebrice neliniare Tema de fata are drept obiectiv principal tratarea ecuatiilor algebrice neliniare. Vor fi amintite in acest sens: - principalele tipuri de ecuatii care se predau la nivelul gimnazial si liceal; - notiuni generale asupra ecuatiilor (domeniu de definitie, transformari, multimea de solutii); etc. Pentru inceput, se va pune in evidenta legatura dintre polinoame si ecuatii algebrice (coeficienti, grad, radacini - Teorema lui Bezout, Teorema fundamentala a algebrei (D'Alambert-Gauss), Teorema Abel-Ruffini, radacini multiple, relatii intre radacini si coeficienti (relatiile lui Viete), rezolvarea ecuatiilor algebrice de grad <= 4, tipuri particulare de ecuatii algebrice de grad >4 (ecuatii binome, trinome, reciproce, etc.), ecuatii algebrice cu coeficienti intregi si reali). De asemenea, vor fi prezentate o serie de rezultate privitoare la separarea radacinilor unei ecuatii algebrice oarecare (sirul lui Rolle) precum si calculul aproximativ al radacinilor reale ale unei ecuatii algebrice neliniare (metoda injumatatirii intervalului, metoda corzii, etc.) Nu in ultimul rand, se va avea in vedere prezentarea unor notiuni cu privire la "instruirea asistata de calculator" in vederea predarii-invatarii notiunilor referitoare la aproximarea numerica a solutiilor unei ecuatii neliniare - utilizarea unor metode grafice pentru rezolvarea ecuatiilor, de exemplu. 29 Suprafete de rotatie si transformari conforme. Aplicatii Descriere: - definitia unei suprafete de rotatie in spatiul euclidian de dimensiune 3; - proprietati imediate; - caz special: sfera; - definitia unei transformari conforme; - proiectia stereografica; - G. Mercator si hartile sale Bibliografie: 1. M. do Carmo, Differential Geometry of curves and surfaces, Prentice Hall Inc T.G. Feeman, Portraits of the Earth; A mathematician looks at Maps, AMS, Un alt fel de geometrie in plan: geometria taxicab Descriere: - elemente de baza in geometria euclidiana; - alte functii "distanta" pe R2: caz special: p,q puncte in plan; d1(p,q) = xp-xq + yp-yq - definirea unor elemente fundamentale bazandu-ne pe aceasta distanta (cerce, geodezica, mediatoare) - Studiul unor obiecte geometrice in aceasta geometrie, in analogie cu geometria euclidiana. - applicatii (distanta d1 se mai numeste distanta Manhattan) Bibliografie: 1. Eugene F. Krause, Taxicab Geometry: An Adventure in Non-Euclidean Geometry, Dover Publication, Marvin Jay Greenberg -Euclidean and Non-Euclidean Geometries, 3-rd edition. Published by Freeman and Co Şiruri şi serii de funcţii Scop: Prezentarea unor aspecte teoretice şi practice relativ la şirurile şi seriile de funcţii şi a unor aplicaţii ale acestora cum ar fi: calculul unor numere remarcabile, calculul logaritmilor naturali, calculul integralelor definite, definirea funcţiilor elementare,

6 determinarea soluţiilor unor ecuaţii diferenţiale, etc. Subiectul reprezintă o continuare a cursurilor de Analiză matematică predate în liceu şi furnizează o mare diversitate de subiecte pentru cercurile de elevi şi centrele de excelenţă. Organizare (pe capitole): Introducere, Şiruri de funcţii, Serii de funcţii, Serii de puteri, Serii Fourier, Aspecte metodice. Bibliografie iniţială: 1. Precupanu A., Bazele analizei matematice, Editura Universităţii Al. I. Cuza, Iaşi, Sireţchi Gh., Calcul diferenţial şi integral, vol. I şi II, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, Rudner V. şi Nicolescu C., Probleme de matematici speciale, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, Puncte de extrem şi aplicaţii Scop: Numeroase probleme din diverse ştiinţe, din tehnică, din economie, din viaţa socială, etc, conduc la necesitatea determinării valorilor optime ale unui anumit proces, adică a valorilor minime sau maxime ale acestuia. Scopul lucrării Puncte de extrem şi aplicaţii constă în prezentarea metodelor mai des utilizate pentru determinarea punctelor de extrem ale funcţiilor de una sau de mai multe variabile. Subiectul reprezintă o continuare a cursurilor de Analiză matematică predate în liceu şi poate furniza teme pentru cercurile de elevi. Organizare (pe capitole): Introducere, Probleme elementare de minim şi maxim, Puncte de extrem ale funcţiilor de o variabilă reală, Puncte de extrem ale funcţiilor de mai multe variabile, Aspecte metodice. Bibliografie iniţială: 1. Mihu C., Dăneţ T., Probleme pentru aplicarea matematicii în practică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, Precupanu A., Bazele analizei matematice, Editura Universităţii Al. I. Cuza, Iaşi, Sireţchi Gh., Calcul diferenţial şi integral, vol. I şi II, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, Sfichi R., Probleme de limită şi extrem în fizică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, Udrişte C., Tănăsescu E., Minime şi maxime ale funcţiilor reale de variabile reale, Editura Tehnică, Bucureşti, Rezolvarea ecuatiilor algebrice prin radicali Doua din pricipalele domenii ale algebrei sunt constituite de catre teoria grupurilor si teoria extinderile de corpuri. Ele sunt legate prin intermediul celebrei teorii a lui Galois. Lucrarea de fata vizeaza prezentarea principalelor concepte si rezultate ale acestei teorii. O atentie deosebita este acordata imposibilitatii rezolvarii ecuatiilor algebrice de grad >= 5 prin radicali. De asemenea, sunt descrise mai multe metode de rezolvare a ecuatiilor algebrice de grad 3 sau 4. Tema propusa este în mod evident conectata cu matematica preuniversitara, în care ecuatiile algebrice (si în special cele de grad 1 sau 2) cu coeficienti rationali / reali / complecsi ocupa un loc central." Referinta bibliografica: Tofan, I., Volf, A.C., "Algebra: Inele. Module. Teorie Galois", Editura Matrix Rom, Bucuresti, Algebre polinoamiale, monoidale si aplicatii Polinoamele sunt printre obiectele matematice care se regasesc in practic toate ramurile matematicii. O intelegere completa a semnificatiei si importantei polinoamelor, la un nivel conceptual superior, este strict necesara unui profesor de matematica. Lucrarea va trata constructia algebrelor polinomiale (sau, mai general, a algebrelor monoidale şi grupale), proprietatile lor. Concepte importante in teoria algebrelor polinomiale clasice (ireductibilitate, legaturi cu extinderile de corpuri, teoria numerelor etc.) vor avea un loc in aceasta lucrare. Tema ofera si posibilitatea de includere de aplicatii didactice variate si importante, polinoamele (sub diverse denumiri) avand un rol central in toata algebra de gimnaziu si liceu.

7 35 Teorema împărţirii cu rest şi aplicaţii Teorema împărţirii cu rest este un rezultat cu implicaţii profunde în structura aritmetică a inelelor. Se vor studia inelele euclidiene (cu prototipurile clasice: inelul Z, inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp, anumite inele de întregi pătratici). Se vor expune rezultate interesante de aritmetică şi teoria numerelor bazate pe teorema împărţirii cu rest, algoritmul Euclid, lema chineză a resturilor. Această tematică se regăseşte în diverse forme la mai multe niveluri în matematica preuniversitară şi în problemele de la concursuri de matematică. 36 Integrale generalizate Subiectul extinde notiunea de integrala Riemann studiata in clasa a XII-a in cazul in care fie functia de integrateste nemarginita, fie intervalul pe care se integraza este nemarginit. Capitolul I Primitive. Operatii algebrice cu functii care admit primitive. Primitivele functiilor elementare si ale functiilor compuse. Metoda integrarii prin parti. Metoda de schimbare de variabila. Capitolul al II-lea Integrala Riemann. Proprietati ale integralei Riemann. Clase de functii integrabile Riemann. Fomula Leibniz-Newton, formula de integrare prin parti, formulele schimbarii de variabila. Capitolul al III-lea Integrale generalizate (improprii). Defnitia integralei improprii. Formula Leibniz-Newton. Proprietatii ale integralelor impropri. Criteriul integral al lui Cauchy. Metode de calcul ale integralelor improprii. Schimbarea de variabila ale integralelor improprii si integrarea prin parti în integrala improprie. Conditia Cauchy de convergenta a integralelor improprii. Integralelor improprii absolute convergente. Criterii de comparatie ale integralelor improprii. Criterii de convergenta ale integralelor improprii cu integrantul de semn variabil. Convergenta în sensul valorii principale a unei integrale improprii. Capitolul al IV-lea Consideratii metodice 37 Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie Subiectul face legatura dintre notiuni de trigonometrie, calcule cu numere complexe, geomentrie analitica si algebra. Se opereaza de asemenea cu functii avand domeniul si codomeniul in multimea numerelor complexe. Capitolul I Structurile algebrice de corp comutativ si spatiu liniar real pentru numerele complexe. Interpretarea geometrica a sumei si produsului a doua numere complexe. Radacinile de ordinul n ale unitatii. Ecuatia dreptei prin doua puncte si ecuatia cercului exprimate in planul complex. Aplicatii în algebra, geometrie si trigonometrie. Capitolul al II-lea Transformari geometrice in plan. Grupul izometriilor. Transformari neizometrice: omotetia, inversiunea. Aplicatii folosind simetria, translatia, omotetia, inversiunea. Transformari omografice. Capitolul al III-lea Consideratii metodice Bibliografie selectiva. 1. BRANZEI, D., COL., Planul si spatiul euclidian, Editura Academiei, Bucuresti, E. Popa, Introducere in teoria functiilor de o variabila complexa, Ed. Univ. Al.I.Cuza Iasi, Arii si volume in geometria elementara Functiile arie si volum sunt partial studiate in gimnaziu (liceu), punandu-se accent pe aria suprafetelor poligonale, a sectorului de cerc, volumul poliedrelor si al corpurilor rotunde. In liceu apar aplicatii ale integralei definite in calculul ariei subgraficului unor functii, ori a volumului unor corpuri de rotatie. Aceasta lucrare are ca scop studiul functiei arie, definita pe multimea suprafetelor plane masurabile, cat si tratarea teoriei elementare a volumelor. Accentul se va pune pe probleme care se rezolva cu ajutorul ariilor/volumelor si pe aspectele metodice privind predarea acestor notiuni in gimnaziu/liceu. 39 De la geometria triunghiului la geometria tetraedrului In matematica gimnaziala geometria triunghiului si a tetraedrului ocupa un loc de baza. De aceea aprofundarea unor proprietati ale acestor obiecte geometrice este extrem de utila. Prin metoda analogiei, se generalizeaza principalele proprietati ale triunghiului la tetraedru. Pornind de la liniile importante in triunghi si punctele lor de concurenta, se introduc planele si dreptele importante in tetraedru si se studiaza intersectia acestora. Analog se introduc tetraedre particulare si se studiaza proprietatile lor esentiale. Se poate face o paralela intre relatiile metrice in triunghi si relatiile metrice in tetraedru, intre diferite probleme de loc geometric celebre ale triunghiului, respectiv ale tetraedrului.

8 40 Derivabilitate. Aplicaţii În realizarea acestei teme se vor pune in evidenţă aplicaţii ale derivabilităţii în algebră, geometrie, diverse domenii, probleme practice din viaţa reală. Astfel, profesorii si elevii trebuie sa devină constienţi de următoarele aspecte: -rolul important al aplicaţiilor matematicii şi al problemelor practice de matematică în modelarea unor fenomene din viaţa reală (fizică, chimie, biologie, economie, astronomie, construcţii, rezistenţa materialelor, psihologie, ştiinţe sociale, tehnologia informaţiei); -matematica are un rol important în marile descoperiri ştiinţifice şi în creşterea calităţii vieţii; -matematica oferă metode pentru rezolvarea unor probleme reale, ne invaţă să creăm probleme, ne ajută la înţelegerea diferitelor teorii abstracte, algoritmi, scheme matematice, particularizarea şi aplicarea lor în diferite situaţii practice. 41 Integrabilitate. Aplicaţii In realizarea acestei teme se vor pune in evidenţă aplicaţii ale integrabilităţii în algebră, geometrie, diverse domenii, probleme practice din viata reala. Astfel, profesorii şi elevii trebuie sa devină conştienţi de următoarele aspecte: -rolul important al aplicaţiilor matematicii şi al problemelor practice de matematică în modelarea unor fenomene din viaţa reală (fizică, chimie, biologie, economie, astronomie, construcţii, rezistenţa materialelor, psihologie, ştiinţe sociale, tehnologia informaţiei); -matematica are un rol important în marile descoperiri ştiinţifice şi în creşterea calităţii vieţii; -matematica oferă metode pentru rezolvarea unor probleme reale, ne invaţă să creăm probleme, ne ajută la înţelegerea diferitelor teorii abstracte, algoritmi, scheme matematice, particularizarea şi aplicarea lor în diferite situaţii practice. 42 Metode de integrare numerica a ecuatiilor diferentiale ordinare O clasa larga de fenomene complexe din fizica, inginerie, mecanica, biologie, meteorologie sunt modelate matematic de ecuatii diferentiale ordinare. Miscarile planetelor intr-un sistem stelar, dinamica asteroizilor si cometelor, evolutia populatiilor intr-un ecosistem, predictia fenomenelor meteo sunt doar cateva probleme de mare interes in stiinta, in care teoria sistemelor dinamice este chemata spre a oferi raspunsuri. De multe ori, solutiile unor astfel de sisteme dinamice nu pot fi determinate analitic. Spre exemplu, problema celor trei corpuri nu are o solutie analitica globala si completa. O astfel de solutie ar trebui sa aiba o complexitate de nemimaginat pentru a putea descrie multimea de regimuri orbitale a celor trei corpuri: miscari periodice, stabilitate, rezonante, haos etc. Un rol important in studiul calitativ si cantitativ al unor astfel de sisteme dinamice il joaca metodele de integrare numerica a ecuatiilor diferentiale ordinare. Acestea ne ofera informatii privind evolutia ulterioara a unei stari initiale si pot fi utilizate pentru a analiza in detaliu spatiul fazelor asociat sistemului. Lucrarea are ca obiectiv studierea catorva metode numerice de integrare a ecuatiilor diferentiale (Euler, Runge-Kutta, Taylor, Adams-Bashforth-Moulton etc.) Avantajele si dezavantajele acestor metode sunt investigate pentru diverse sisteme dinamice. In acest scop se are in vedere realizarea unor programe de calcul care implementeaza metodele amintite. 43 Elemente de mecanica si aplicatii in geometria euclidiana Lucrarea are ca obiectiv tratarea unor aspecte de mecanica care sunt aplicate in geometria euclidiana, in special geometria triunghiului. Se introduc mai intai o serie de elemente de algebra vectoriala, sisteme de forte si reprezentarea fortelor prin vectori, momentul unei forte si notiunea de torsor. Dupa care se prezinta elemente de geometria maselor si teoria reducerii sistemelor de forte. Aceste aspecte sunt aplicate in geometria triunghiului si sunt discutate semnificatiile mecanice ale unor proprietati geometrice. 44 Funcţii convexe Abordarea acestei teme de sinteza ofera posibilitatea verificarii experientei la catedra si a nivelului atins de profesor in cristalizarea stilului didactic si in pregatirea metodicostiintifica. Va fi un studiu dedicat problematicii functiilor convexe/concave, cu punerea in evidenta a interpretarii geometrice, exemple, caracterizari, determinarea intervalelor de convexitate/concavitate, realizari de grafice de functii, punerea in evidenta a unor reciproce ale teoremelor lui Lagrange si Cauchy, etc. De asemenea, vor fi demonstrate

9 diverse inegalitati remarcabile, cum ar fi inegalitatea mediilor generalizate, inegalitatea lui Young, inegalitatea lui Holder etc., precum si unele inegalitati geometrice. 45 Puncte de extrem. Aplicatii Abordarea acestei teme de sinteza ofera posibilitatea verificarii experientei la catedra si a nivelului atins de profesor in cristalizarea stilului didactic si in pregatirea metodicostiintifica. Problematica punctelor de extrem apare la toate clasele, incepand cu clasa a VII-a, la toate disciplinele matematice: algebra, analiza matematica si geometrie. Pe langa abordarea teoretica (in cadru general, pentru functii de mai multe variabile reale), vor fi vizate si aplicatiile remarcabile ale punctelor de extrem in diverse probleme practice. 46 Sisteme de ecuaţii algebrice liniare Încă din primele clase de şcoală, elevii sunt confruntaţi cu rezolvarea unor sisteme de ecuaţii algebrice liniare. Pornind de la sistemele cu două ecuaţii şi două necunoscute din gimnaziu, se ajunge la finalul liceului la discuţia şi rezolvarea unor sisteme cu patru sau mai multe necunoscute. Această lucrare propune o trecere în revistă a rezultatelor de bază care privesc discuţia şi rezolvarea sistemelor algebrice liniare cu m ecuaţii şi n necunoscute, cu coeficienţi într-un corp comutativ. De asemenea, urmărim să selectăm din manulalele şcolare, din culegeri şi chiar din subiectele date în cadrul diferitelor concursuri un set cât mai reprezentativ de probleme, prezentate gradat din punct de vedere al dificultăţii, în rezolvarea cărora intervin sisteme liniare. Vom avea în vedere şi aspecte metodice legate de acest subiect, atât la nivel gimnazial, cât şi la nivelul claselor liceale. 47 Inegalitati algebrice si geometrice Scopul lucrarii este de a discuta unele inegalitati de nivelul olimpiadelor si concursurilor scolare, utile in diverse ramuri ale matematicii. Vor fi discutate aici, printre altele, urmatoarele inegalitati: inegalitatile mediilor, a mediilor ponderate, Cauchy-Schwarz, inegalitatea rearanjarii termenilor, Cebisev, Schur, Jensen, Jensen cu ponderi, Minkowski etc. De asemenea, vor fi discutate unele strategii generale de abordare a unor inegalitati, e.g., normalizarea si omogenizarea inegalitatilor, substitutii trigonometrice. Folosind substitutii potrivite, diverse inegalitati geometrice sau trigonometrice pot fi reduse la inegalitati algebrice si apoi rezolvate cu metode specifice. 48 Ecuatii functionale pentru unele functii elementare Aceasta lucrare are ca scop introducerea si rezolvarea unor ecuatii functionale simple, de una sau doua variabile (e.g., ecuatiile Cauchy, Jensen, d Alembert etc), care au drept solutii functii elementare, e.g.: functia liniara, functia exponentiala, functia logaritm sau functiile trigonometrice. Pentru abordarea acestui subiect este necesara o recapitulare a notiunilor de functii continue/discontinue, functii injective, surjective, bijective, functii convexe, functii trigonometrice si proprietatile acestora. In functie de abilitatile candidatului, pot fi discutate si unele ecuatii functionale mai dificile, propuse la olimpiade si concursuri de matematica. 49 Tabelarea functiilor reale prin interpolare Lagrange Cunoscand valorile unei functii reale in n puncte distincte, se poate determina valoarea functiei intr-un alt punct, pe baza interpolarii Lagrange, care determina un polinom de grad n-1 ce pastreaza in cele n puncte neschimbate valorile date ale functiei. 50 Calculul inverselor matricelor nesingulare prin eliminare gaussiana Metoda eliminarii (a lui Gauss) permite scrierea matricei sub forma unui produs matriceal intre o matrice inferior triunghiulara cu 1 pe diagonala si o alta, superior triunghiulara, ceea ce conduce la calculul inversei matricei initiale ca un produs intre inversele celor doua matrice din descompunere.