OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE 1. Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul Obi
|
|
- Daniela Barbu
- 4 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE. Cunoştere şi înţelegere conceptelor, terminologiei şi procedurilor de clcul Oiective de referinţă Exemple de ctivităţi de învăţre L sfârşitul clsei VIII- elevul v fi Pe prcursul clsei VIII- se recomndă cpil următorele ctivităţi..să opereze cu mulţimi pe x numerelor -scriere unei mulţimi de numere rele dt rele su form implicit c intervl -efecture unor operţii cu intervle..să folosescă metode decvte în demonstrre unor ineglităţi, identităţi su identităţi condiţionte -demonstrre unor ineglităţi folosind ineglităţi cunoscute; mediilor, lui Cuchy-Bunikovsky, lui Minkovski, lui Holder -demonstrre identităţilor folosind clculul lgeric -discutre comprtiv mi multor soluţii pentru ceeşi prolemă..să utilizeze elemente de clcul lgeric în rezolvre ecuţiilor şi sistemelor de ecuţii -exerciţii de rezolvre unor ecuţii cu prmetru -ordre unor sisteme de ecuţii cit mi diverse şi încdrre lor în tiprele clsice.4.să identifice funcţii linire şi să opereze cu ceste.5.să efectueze clcule cu numere rele.6.să utilizeze mtemtic în rezolvre prolemelor puse l lte discipline -determinre unor funcţii linire în numite condiţii şi reprezentre lor grfic -reprezentre grfic unor funcţii definite pe reuniune de intervle -rezolvre unor ecuţii funcţionle -exerciţii de evlure rezulttelor unor clcule -reprezentre grfic unor dte sttistice -clculul volumelor unor oiecte.7.să utilizeze, teoreme, leme, xiome şi tehnici decvte în demonstrre prolemelor de geometrie în spţiu -proleme de prlelism în spţiu, dreptdrept, drept-pln, pln-pln -proleme de perpendiculritte în spţiu, drept-pln, pln-pln, drept-drept -determinre unor secţiuni cu plne în corpuri geometrice.8.să recunoscă şi să utilizeze proprietăţile figurilor şi corpurilor geometrice în demonstrţii -clculul lungimilor de segmente, unor rii şi volume folosind proprietăţile semănării -rezolvre prolemelor de mxim şi minim în geometrie 5
2 .Dezvoltre cpcităţii de emite judecăţi de vlore pentru rezolvre prolemelor inventiv şi euristic-cretive Oiective de referinţă L sfârşitul clsei VIII- elevul v fi cpil :..să nlizeze, să eloreze strtegii de rezolvre şi să rezolve proleme cu grd sporit de dificultte. să formuleze proleme, generlizări în numite ipoteze su să stilescă condiţiile necesre şi/ su suficiente pentru o concluzie fixtă..să identifice metode de lucru pentru clse de proleme Exemple de ctivităţi de învăţre Pe prcursul clsei VIII- se recomnd următorele ctivităţi : -înţelegere prolemei prin nlizre ipotezei şi concluziei -elorre unui pln de rezolvre şi rezolvre prolemei -verificre rezulttului şi nliz rezolvării -formulre unor proleme -formulre unor concluzii în ipoteze dte -formulre unor condiţii necesre şi/ su suficiente pentru o concluzie dtă -rezolvre mi multor proleme folosind ceeşi metodă -rezolvre unei proleme folosind mi multe metode -nliz eficienţei metodelor.dezvoltre cpcităţii de fce conexiuni cognitive în cdrul disciplinei şi riei curriculre Oiective de referinţă L sfârşitul clsei VIII- elevul v fi cpil :..să utilizeze rţionmete, judecăţi, soluţii optime pentru rezolvre unor proleme dificile din domeniile studite..să-şi formeze o gândire cretivă, strctă, şi flexiilă Exemple de ctivităţi de învăţre Pe prcursul clsei VIII- se recomndă următorele ctivităţi - folosire intuiţiei şi perspiccităţii în legere modului de ordre unei proleme -cominre elementelor cunoscute şi crere ltor noi -rezolvre unor proleme teoretice complexe prin stilire unor relţii între cunoştinţe 6
3 4.Dezvoltre cpcităţii de comunic utilizând limjul mtemtic Oiective de referinţă L sfârşitul clsei VIII- elevul v fi cpil : 4..să-şi însuşescă terminologi specific limjului mtemtic 4..să discute corectitudine unui demers mtemtic, rgumentându-şi opiniile Exemple de ctivităţi de învăţre Pe prcursul clsei VIII- se recomnd următorele ctivităţi -corelre limjului literr cu limjul mtemtic, şi redctre unui text folosind simolurile conscrte specifice mtemticii -discutre metodei şi eventul descriere lgoritmului folosit -studiere unor metode lterntive 5.Dezvoltre interesului şi motivţiei pentru studiul şi plicre mtemticii în contexte vrite Oiective de referinţă Exemple de ctivităţi de învăţre L sfârşitul clsei VIII- elevul v fi Pe prcursul clsei VIII- se recomndă cpil : următorele ctivităţi 5..să sesizeze importnt rţionmentului logico-mtemtic în diferite domenii 5..să mnifeste perseverenţă şi gândire cretivă în rezolvre unei proleme 5..să mnifeste interes pentru folosire tehnologiilor informţiei în studiul mtemticii -rinstorming : metode mtemtice utilizte intr-un numit domeniu -ctivitte-proiect: concepte şi metode mtemtice necesre intr-un numit domeniu -utilizre mi multor metode pentru rezolvre unei proleme -discutre mi multor moduri de rezolvre unei proleme -utilizre unor soft-uri pentru învăţre mtemticii; explorre internetului 7
4 ALGEBRĂ CONŢINUTURI.Ecuţii diofntice.funcţii prte întregă, funcţii prte frcţionră.ecutii funcţionle 4.Ineglităţi -Ineglitte mediilor -Ineglitte lui Cuchy-Bunikovsky -Ineglitte lui Minkovsky -Ineglitte lui Holder 5.Identităţi ; identităţi condiţionte 6.Ecuţii şi sisteme cre se rezolvă prin metode specile GEOMETRIE.Proleme de mxim şi minim.prlelism în spţiu -Drept prlelă cu un pln -Teoreme de prlelism -Plne prlele Tetredrul.Perpendiculritte în spţiu -Drept perpendiculră pe un pln -Plne perpendiculre -Tetredre specile -Proiecţii 4.Distnţe şi unghiuri în spţiu 5.Poliedre 6.Secţiuni în poliedre 7.Corpuri rotunde-secţiuni 8.Proleme de mxim şi minim 8
5 ALGEBRĂ. Ecuţii funcţionle Prolem determinării expresiei prin cre este dtă o funcţie cre îndeplineşte o eglitte este o ecuţie funcţionlă. Chir dcă există clsificări le ecuţiilor funcţionle, soluţionre prolemelor de cest tip lsă o liertte destul de mre gândirii şi ingeniozităţii rezolvtorului. Aceste proleme dezvoltă gândire strctă, oligând de multe ori elevii să fcă rtificii lgerice destul de delicte. Prezentăm în cele ce urmeză câtev proleme de cest tip. Proleme rezolvte R.. Să se determine funcţi f : R R cre verifică eglitte f(x ) x, x R. Soluţie. t Fcem înlocuire x t, x şi oţinem: t t t 7 f (t). x x 7 Deci m oţinut funcţi f : R R, f (x). R.. Fie f : R R, stfel încât f (x) f ( x) x 5,, R. ) Determinţi, R, dcă f() şi f() 5. ) Aflţi f(x), oricre r fi x rel cu şi determinţi l ). [C.M. 994] Soluţie. x, f () f () 5 ) 7 x, f () f () ) Fcem înlocuire x t x t. Oţinem: f ( t) f (t) ( t) 5. Revenim l vriil x şi înlocuim pe şi cu vlorile oţinute nterior: 4 f ( x) f (x) x Se junge l sistemul de ecuţii: f ( x) 4f (x) x 8 f (x) 4f ( x) x 5
6 şi poi f(x) x. R.. Fie f : R R, cre verifică relţi: f (x y) f (x y) 6x 0, oricre r fi x, y R. Să se determine funcţi f. Soluţie. Dcă x y 0, vem f(0) 0 f(0) 5. Dcă x y, vem f(0) f(x) 6x 0 Deci f(x) 6x 5 f(x) x 5. [C.M. 99] R.4. Să se determine funcţiile f şi g: R R ştiind că f(x) f( y) g(x) g(y) (x ) 6y, x, y R. Soluţie. Dcă y x, oţinem f(x) f( x) g(x) g(x) (x ) 6x f(x) f( x) x () Dcă înlocuim pe x cu x în relţi () se v oţine: f( x) f(x) ( x) () Din () şi () vem f(x) x x. Determinăm funcţi g: fcem y 0, tunci f(x) f() g(x) g(0) (x ) (x x) g(x) g(0) (x ) g(x) x x g(0) Dcă g(0) k, k R, tunci g(x) x x k, k R. Oservţie: În timp ce funcţi f este unic determintă, pentru g există o mulţime de funcţii cre verifică relţi dtă. R.5. Să se determine funcţi f: R\{,} R, cre verifică relţi: x x f (x) f f x, x R\{,}. x x [C.M. 986] Soluţie. x t Fcem înlocuire t x. x t t t t f f (t) f. t t t Revenim l vriil x şi oţinem relţi: x x x f f (x) f, () x x x Aplicăm ceişi sustituţie în relţi () şi oţinem: x x x f f (x) f, () x x x
7 Adunând relţiile () şi () se găseşte relţi prin cre este dtă funcţi f: x x 4x f (x) f (x). x x x R.6. Determinţi funcţi f: N Q cre îndeplineşte condiţiile: x f (00) 00 şi f (x ) f (x), x N. 00 Soluţie. x, f () f () 00 x, f () f () n x n, f (n) f (n ) 00 După dunre eglităţilor vem:... n n(n ) f (n) f () f () Pentru x 00, f (00) f () f() 00 f(). Revenind l vriil x şi folosind rezulttele nteriore putem scrie funcţi f: x(x ) f: N Q, f (x). 00 Biliogrfie. Pop Vsile Ecuţii funcţionle, Ed. Medimir, Cluj-Npoc, 00.. B.M.Bătineţu Giurgiu, I.Crângşu, M.Bătineţu Giurgiu, C.Ursu Culegere de proleme, cls IX-, Ed.Portofrnco, Glţi, 99.
8 . Funcţi prte întregă, funcţi prte frcţionră.. Funcţiile prte întregă şi prte frcţionră Vom defini prte întregă şi prte frcţionră unui număr rel şi vom pune în evidenţă câtev proprietăţi le lor. Apoi vom defini şi vom reprezent grfic funcţi prte întregă şi funcţi prte frcţionră. Dcă x R, tunci [x] este prte întregă lui x şi n dcă n x n [ x] n dcă n x n, n N. Dcă x R, tunci {x} este prte frcţionră lui x şi {x} x [x]. Funcţi f cre sociză fiecărui număr rel x prte întregă s, dică [x], se numeşte funcţi prte întregă : f : R Z, f(x) [x]. Grficul funcţiei prte întregă Functi prte intreg 5 4 [x] x Funcţi g cre sociză fiecărui număr rel x prte frcţionră s, se numeşte funcţi prte frcţionră. g : R [0,), g(x) {x}, explicitre funcţiei g: x n, dcă x [ n, n )... x, dcă x [, 0) g (x) x, dcă x [0,) x, dcă x [, )... x n, dcă x [n, n ) 4
9 Grficul funcţiei prte frcţionră : Functi prte frctionr. 0.8 {x} x.. Proprietăţile părţii întregi unui număr rel. Propriette. ( ) x [k, k), k Z vem eglitte [x] k Propriette. Dcă x,y R, şi x,y [k, k), k Z tunci [x] [y] Propriette. Dcă x R, x < 0, tunci [x] < 0 Dcă x R, x 0, tunci [x] 0 Propriette 4. ( ) x R există eglitte [[x]] [x] Propriette 5. ( ) x R sunt devărte ineglităţile: ) [x] x < [x] şi ) x < [x] x Propriette 6. ( ) x R şi k Z re loc eglitte: [x k] [x] k Demonstrţie. Notăm x α m, α Z, m [0, ) Þ [x] [x k] [α m k] [(α k) m] α k [x] k Propriette 7. ( ) x R re loc eglitte [ x] x [x], (identitte lui Hermit) Demonstrţie. Considerăm două czuri: I. x [x] < x [x], [x] [x], în cestă situţie vem: [ x] [x] [x] [x] [x] x [x] x [x]. II. x [x] 5
10 x [x], [x] [x], cum oţinem: [ x] [x] [x] [x] [x] x [x] x [x]. Propriette 7 se pote generliz şi oţinem identitte lui Hermit în cz generl: n [ x] x x... x [nx], ( )x R, ( )n N. n n n Propriette 8. ( ) x, y R re loc ineglitte: [x y] [x] [y]. Demonstrţie. Scriem x şi y stfel: x [x] {x} şi y [y] {y}, 0 {x}<, 0 {y}<. x y [x] [y] {x} {y} x y [x] [y] [x] [y] Z [x y] [x] [y]. Proleme rezolvte R.. Să se rezolve ecuţiile: ) [x ] [x ] [x ] ; ) [x ] [x 5] 8; c) [x 4] [x ]. Soluţie. În rezolvre ecuţiilor ne folosim de eglitte [x k] [x] [k], ( )x R, ( )x Z. ) [x ] [x] ; [x ] [x ( )] [x], [x ] [x]. Ecuţi iniţilă devine: [x] [x] [x] [x] 6 6 x < 7 x [6, 7). ) [x] [x] 5 8 x R c) [x] 4 [x] x x x R..Să se rezolve ecuţi. Soluţie. x x Notăm k 6
11 7 k x k k x k k x k x k k x k k x k k x < < < < < < dunând oţinem: < k < 4 dr k Z tunci k {0,,,}. Studiem cele ptru situţii: k 0, 0 x 0 şi x,). [ x x 0 0 x [,) x x 0 0 x < < Soluţi ecuţiei în cest cz S [,) [,) [,). k, x şi x [,5). x x x [,5) x x x < < S [,5) [,5) [,5). k, x şi x [5,7). x x x [5,8) x x x < < S [5,8) [5,7) [5,7). k, x şi x [8,). x 4 x x [7,9) x 4 x x < <
12 S 4 [7,9) [8,) [8,9). Soluţi finlă v fi: S S S S 4 [,) [,7) [8,9) R.. Să se rezolve inecuţi x[x] x [x] 6. Soluţie. Ducem pe 6 în primul memru l ineglităţii şi trnsformăm în produs. x[x] x [x] 6 0 x([x] ) ([x] ) 0 (x )([x] ) 0 x 0 x 0 su [x] 0 [x] 0 x 0 x (,] x [,] [x] 0 x [, ) x 0 x [, ) x [x] 0 x [, ) Soluţi inecuţiei este S [, ]. R.4. Să se rezolve sistemul de ecuţii: [x] [y] 5 [x] [y] 4 Soluţie. Notăm [x] şi [y]. Oţinem sistemul: 5 [x] 4 [y] R.5. Să se determine x N* stfel încât: [(x )] [x] x, ( ) R. 8 x [, ) y [,4) Soluţie. Fcem notţi [] {} k {}, {} [0,), k Z. Pentru x, ecuţi devine: [ ] [ 0] [] [ ] [], imposiil. Pentru x, ecuţi devine: [] []. [], dcă {} 0, [], dcă {}, [G.M.979] [D.M. Bătineţu Giurgiu]
13 [], dc {} 0, [ ] [], dc {}, Rezolvăm ecuţi în două czuri: dcă { } 0, : [] [] [], devărt ( ) R. dcă { }, : [] [] [], devărt ( ) R. Pentru x rătăm că există R stfel încât eglitte dtă nu este devărtă. x x Fie k Z, { }, şi k {}, [] k, x x tunci k x, [(x )] [(k {}(x )] [(x )k (x ){}] (x )k x. [x] [(k {})x] [kx {}x] kx x. [x] [(x )] kx x kx k x k [] []. Biliogrfie. D.Buşneg, I.Mftei Teme pentru cercurile şi concursurile de mtemtică le elevilor, Ed.Scrisul românesc, Criov, 98.. Gh.Andrei, I.Cucurezenu, C.Crge Proleme de lgeră, gimnziu, liceu, Ed.GIL, Zlău, Gh. Schneider Proleme de lgeră volumul, Ed.Apollo, Criov, L.Pârşn, C.G.Lzenu Proleme de lgeră şi trigonometrie, Ed.Fcl, Timişor, 98. 9
14 . Ecuţii diofntiene Rezumt în cdrul temei se vor prezent principlele metode de rezolvre ecuţiilor diofntiene precum şi lte ecuţii cre se reduc l ceste. Se prezintă şi câtev ecuţii remrcile ( ecuţi Pitgorică, ecuţii de tip xyc ) şi plicţii le cestor... Proprietăţile diviziilităţii în Z (, din Z).. ( ) c Z.î. c.. Dcă d, d d αβ, ( )α,β Z.. c (,) c c Z..4 c c c (,)..5, N; d(,) ( ) x,y Z.î. dxy..6, N; (,) ( ) x,y Z.î. xy.. Metode elementre de rezolvre ecuţiilor diofntice Ecuţii diofntice ecuţii cu coeficienţii întregi cre se rezolvă în Z... Metod descompunerii Punem o ecuţie diofntină de form f x, x, K, ) 0 su form ( x n f( x, K, xn ) f ( x, K, xn ) K f n ( x, x, K, xn ) Ζ f i ( x, K, xn ) D( ). Ecuţiile respectiv sistemul de ecuţii l cre s- juns sunt mult mi uşor de rezolvt. Exemplu: Rezolvţi în Z ecuţi 6xy-x-4y5. () Rezolvre. Ecuţi () este echivlentă cu (y-)(x-)7 y y Czul I etc. x 7 x... Rezolvre ecuţiilor diofntice cu jutorul ineglităţilor - constă în determinre unor intervle în cre se flă necunoscutele prin utilizre unor ineglităţi decvte Exemplu Determinţi tote perechile (x,y) de numere întregi stfel încât x³y³(xy)³ Rezolvre (k,-k), k Z soluţie pentru ecuţie 0
15 xy 0 ecuţi se reduce l ecuţi x²-xyy²xy (x-y)²(x-)²(y-)² (x-)², (y-)² x,y {0,,} Soluţiile convenile sunt în cest cz (0,),(,0),(,),(,),(,).. Ecuţii diofntice remrcile... Ecuţii de tipul xyc,, Z*,c Z () Oservţii - orice ecuţie de tipul xyc,, Z*, c Z se pote duce l o ecuţie de tipul x yc unde (,,c ) - ecuţi () re soluţii d c unde d(,) (evidentă din proprietăţile diviziilităţii) Fie (x 0,y 0 ) o soluţie prticulră ecuţiei () Demonstrăm că există o stfel de soluţie prticulră. Fie d(,) ( ) x,y Z.î. x y d (-d) d c cdd x d y d dd c x d x 0 y d y 0 Fie d(,) d d (, ) cdc () x yc Scădere x 0 y 0 c (x-x 0 ) - (y-y 0 ) () (y 0 -y) (, ) y 0 -y ( ) k Z stfel încât y 0 -yk yy 0 -k () () () (x-x 0 ) k xx 0 k,k Z Mulţime soluţiilor ecuţiei diofntiene este S{(x 0 k,y 0 -k ) k Z} Exemplu: Rezolvţi ecuţi 5x-y în Z.... Ecuţi pitgorică x y z (studită de către Pitgor în legătură cu triunghiurile dreptunghice le căror lturi u lungimile numere nturle, ecuţie cunoscută de pe vreme vechilor ilonieni). Demonstrţi destul de loriosă o vom omite, dăm însă soluţi cestei ecuţii în mulţime numerelor întregi: S{k(m -n ), kmn, k(m n ) k,m,n Z}
16 Proprietăţi: Fie, Q d N, d nu este pătrt perfect n ( d ) n n d unde n, n Q, n n Atunci ( d ) n n d unde n, n sunt cele de mi sus. Aplicţie Demonstrţi că ecuţi x -y re o infinitte de soluţii întregi ir ecuţi x -y - nu re soluţii întregi Rez. n ( ) n n n ( ) n n n n n x y x M imposiil un pătrt perfect vând form n respectiv n. Proleme rezolvte R... Determinţi tote perechile de numere întregi (x,y) cre verifică eglitte: x 5xy y 7 Rezolvre x 5xy y 7 x 4xy xy y 7 ( x y)( x y) 7. x y Czul I (metod descompunerii) x y 7 Celellte czuri se trteză similr. R... Determinţi soluţiile întregi le ecuţiei ( x )( y ) ( x y)( xy) 4( xy) : () Rezolvre () x y xy x y xy ( x y)( xy) 4 ( xy ) ( x y) ( x y)( xy ) 4 [ xy ( x y) ] 4 xy x y ± x( y ) y ± ( x )( y ) ± rezolvre imedită. x x 0 Czul I y y Anlog se trteză şi celellte czuri. R... Rezolvţi în Z ecuţi ( xy 7) x y Rezolvre
17 x y ( xy 6) 4xy 49 x ( x y) y xy ( xy) xy 49 ( x y) ( x y xy 6)( x y xy 6) x y xy 6 x y 7 C x y xy 6 xy sistem simetric t t 7t 0 cu soluţi. În cest cz printre soluţii sunt t 4 perechile (,4),(4,). Anlog se trteză restul czurilor. R..4. Rezolvţi în mulţime numerelor nturle nenule ecuţi: x y z 5 Rezolvre x y z (fără restrânge generlitte) flând poi soluţiile în celellte czuri se oţin prin permutări circulre. x {,,4,5}, etc. x 5 R..5. Determinţi numerele prime p şi q.î pq(p-q) ( p q)(( p q) p q,( p q) ) p p q < p p q p 5, q R..6. Determinţi numerele nturle nenule şi dcă numerele Czul sunt întregi. Rezolvre 0, şi ( ( ) ( ) ) ( ) {,} {,} convenile perechile (,),(,) ( ) {,}
18 4 Czul Pentru fixre ideilor fie >. Z n n n n > 4,. ) )( ( , Z su. Soluţiile în cest cz sunt (,),(,) şi pentru < (,),(,) Biliogrfie. O introducere în studiul ecuţiilor diofntiene T. Andreescu, O. Andric. Proleme de teori numerelor şi comintorică pentru juniori L. Pnitopol, D. Şerănescu. Proleme de ritmetică şi teori numerelor I. Cucurezenu 4. Algeră Cls VIII I. Negrilă, M. Negrilă, Editur Prlel Olimpidele lcnice de mtemtică pentru juniori D. Brânzei, I. Şerden, V. Şerden 6. Algeră. Geometrie. Olimpide şi concursuri Arthur Blăucă Editur Tid Işi 00
19 4. Ineglităţi lgerice Primele ineglităţi pe cre elevii de gimnziu le întâlnesc sunt 0, cre este devărtă pentru orice număr rel şi x 0, cre sunt forte importnte în demonstrre ltor ineglităţi. În cdrul temei vom prezent proprietăţile relţiei de ineglitte, ineglităţi remrcile şi exemple rezolvte cu portul lor, poi un set de proleme propuse spre rezolvre. 4.. Proprietăţile relţiei: x<y (ineglitte strictă) i) x < x, oricre r fi x R (ireflexivă) ii) x < y z > x iii) x < y şi y < z x < z (trnzitivă) Proprietăţile relţiei x y (ineglitte nestrictă) i) x x, oricre r fi x R (reflexivă) ii) x y şi y x x y (ntisimetrică) iii) x y şi y z x z (trnzitivă) 4.. Proprietăţi le ineglităţilor în legătură cu operţiile definite pe R i) x, y,z R,x y x z y z xz yz dcă z 0 ii) x, y,z R.Dcă x y tunci xz yz dcă z< 0 iii) x, y,z R dcă x y, xy > 0 x y iv) x, y,, R.Dcă x y, tunci x y v) Dcă x,y,, R şi 0 ; 0 x y tunci x y k k vi) x, y R.Dcă x y tunci x y, k N n n vii) x, y R.Dcă 0 x y tunci x < y, n N Ineglităţi cre se rezolvă pe z proprietăţilor operţiilor în R Proleme rezolvte R4... Să se rte că dcă <, c<, <c, tunci:. >;. c>;. >c; 4. >; 5. c>; 5
20 x 6. >c; 7. >; 8. c>. (G.M. 8/978) Soluţie. Din > şi >c >c - >c : >c Din >c şi c> >. Din > şi c> oţinem c>. Din >c şi c > vem: c>c -c >c 4. Din c> şi >c c>c > 5. Din c> şi > c> c> 6. Din >c şi > >c 7. Din > şi > > 8. Din c> şi > c> R4... Să se rte că dcă x [-;4] şi y [-5;], tunci: y 4x y Soluţie [ 5;67] x y 4x z x 4x 4 4 y y (x ) (y ) 5 Din x 4 x 6 0 (x ) 6 () Din 5 y 6 y 0 (y ) 6 () Adunând ineglităţile () şi () oţinem: 0 (x ) (y ) (x ) (y ) 5 67 x y 4x y [ 5;67] - c 4.. Ineglităţi cre se rezolvă pe z ineglităţilor: ) R,vem 0 ),,...,n R, vem... n 0 ),,c,d R stfel încât şi c d tunci c d 6
21 Proleme rezolvte R4... Dcă, R, tunci 0 Soluţie R4... Dcă,,c R tunci vem: c c c Soluţie c c c c c c 0 ( ) ( c c) ( c c) 0 ( ) ( c) ( c) 0 R4... Să se rte că oricre r fi numerele rele,,,..., n, n tunci ( )( )( )...(n )... n (G.M. 0/975) Soluţie ( ) 0 0 Anlog:. Oţinem: n n n )( )( )... ( n )... n ( 4.4. Ineglităţi cre se rezolvă pe z ineglităţii mediilor Proleme rezolvte R4.4. Ineglitte mediilor Dcă şi sunt numere rele strict pozitive tunci re loc ineglitte: m h (medi rmonică) unde: 7
22 m g (medi geometrică) Soluţie ( ) ( ) m (medi ritmetică) m 4 p 0 () (medi pătrtică) ( ) 4 4 ( ) ( ) 4 : () 4 0 ( ) 4 4 ( ) 4 4 ( ) 0 0 ( ) 0 () Din relţiile (), () şi () rezultă că m h mg m m p Ineglitte mediilor pentru n numere rele pozitive Dcă,,..., sunt numere rele pozitive vem: n n... n n... n () ( )... n n ( ) 4 0 n... n 4.5. Ineglităţi cre se rezolvă pe z ineglităţii lui Cuchy-Bunikowski Proleme rezolvte,. R4.5.. Ineglitte lui Cuchy-Bunikowski Fie,,, numere rele, tunci vem ineglitte: ( ) ( )( ) Eglitte re loc dcă şi numi dcă numerele, sunt proporţionle cu 8
23 9 Soluţie ) )( ( ) ( Efectuăm clculele şi oţinem: de unde oţinem: cre este echivlentă cu : 0 ) ( Fie k ; k k şi înlocuind în ineglitte rezultă: ) ( k ) ( su k ) )( k k ( k) k ( dică eglitte. Reciproc: Dcă re loc eglitte vem 0 ) ( În czul generl se scrie: )... )(... ( )... ( n n n n R4.5.. Ineglitte lui Hölder Fie,,, numere rele pozitive. Demonstrţi ineglitte: Eglitte re loc dcă, sunt direct proporţionle cu,. Soluţie În ineglitte lui Cuchy-Bunikowski plicăm rdicl în fiecre memru ) )( ( ) ( ) )( ( ) ( R4.5.. Ineglitte lui Minkovski Fie,,, numere rele pozitive. Demonstrţi ineglitte: ) ( ) ( Soluţie ) ( ) ( Ridicăm l pătrt fiecre memru şi oţinem:
24 ( ) ( ) ( )( ) de unde prin efecture clculelor oţinem: ( )( ( )( ) : ineglitte lui Hölder ) Biliogrfie I. Crăciunel, L. Nicolescu, P. Simion, T. Spircu, Mtemtică-Algeră- Mnul pentru cls VIII-, EDP 988 M. Bechenu, C. Niţă, M. Ştefănescu, A. Dincă,, I. Purde, I.D. Ion, N. Rdu, C. Vrciu, Algeră pentru perfecţionre profesorilor, EDP 98 D. Rdu, E. Rdu, Mtemtică-mnul pentru cls VIII-, Ed. Teor 999 M. Singer, C. Voic, C. Voic, Mtemtică-mnul pentru cls VIII-, Ed. Sigm 999 Gheorghe şi Alin Drugn; Ion şi Mihel Ghic, Mtemtic în concursurile şcolre, Ed. Teor 998, pg 09-4 D. Brânzei şi colectivul: Mtemtic în concursurile şcolre, Ed. Prlel 45, 00,00 pg 55-84(00);pg 5-55(00) Foi mtemtică(chişinău),5/996, pg 8 Foi mtemtică(chişinău),/996, pg M. Chiriţă, T. Bulzn, L. Gng, V. Tudorn, Ineglităţi mtemtice, Ed. Felix 998 A. Bălăucă, I. Ţiclo, Mtemtică-Algeră, Ed. Remos Chişinău 995, pg 0-6, pg 7-4 C. Hărăor, D.Săvulescu, I. Cheşcă, A.Ţifre: Mtemtică pentru clsele V-VIII-Olimpidele judeţene, interjudeţene, nţionle, Ed. Teor 996, pg -5 0
25 5. Ecuţii şi sisteme de ecuţii. Metod ecuţiilor, sistemelor de ecuţii în rezolvre unor proleme Rezumt: -în cdrul temei se vor prezent principlele tipuri de sisteme, respectiv metode de rezolvre, discuţie după unul su doi prmetri. Ecuţii şi sisteme de ecuţii 5.. Formule de clcul prescurtt - utilizte în rezolvre unor sisteme n n ( )(... n n n n n n n n n ( (... ), n n c ( c) c ( c)( [( ) ( c) ( c) ] c ) c c) 5.. Metode de rezolvre sistemelor de tipul numerelor rele Metod reducerii x y c ' x ' y c' în mulţime Sistemul re soluţie unică dcă şi numi dcă - 0. Dcă sistemul treuie rezolvt într-o mulţime N M R R verificăm dcă soluţi unică prţine N M (deci sistemul re cel mult o soluţie). Dcă `-`0 sistemul ori nu re nici o soluţie, ori o infinitte de soluţii(dcă se rezolvă într-o mulţime N M R R verificăm cre dintre soluţii prţin lui N M) Metod sustituţiei x y c() ' x ' y c'() c Presupunem 0. Atunci x - y (). Introducem relţi () în () şi oţinem o ecuţie de tipul AYB0 cre re exct o soluţie (dcă ecuţi e de grdul I, A 0) su o infinitte de soluţii su nici un (după cz c şi l metod reducerii).
26 5.. Metod soluţiei unice 5... Orice ecuţie de grdul I re cel mult o soluţie, indiferent de mulţime în cre o rezolvăm 5... Orice sistem de ecuţii de grdul I: - re o soluţie - nu re nici o soluţie - o infinitte de soluţii(dcă o rezolvăm în R R) respectiv dcă o rezolvăm în N M scotem relţi între necunoscute şi verificăm cre dintre soluţii prţine lui N M Orice ecuţie de form x0: - re o soluţie - nici o soluţie - un număr de soluţii crd A, unde A este mulţime pe cre rezolvăm ecuţi 5.4. Sisteme formte dintr-o ecuţie de grdul I şi un de grdul l II-le x y c 0 mx ny pxy qx ry s 0 Se scote x în funcţie de y (su y în funcţie de x din prim ecuţie) şi înlocuim în dou oţinând o ecuţie de grdul doi Sisteme omogene x xy cy d d' ' x ' xy c' y d' d Dcă d su d`0, verificăm dcă (0,0) este soluţie y 0 împărţim ecuţi corespunzătore celui d su d` nul cu x y şi notăm t. Se determină t şi se oţin y două sisteme de tipul nterior. Dcă d, d` 0, operăm c mi sus, prim ecuţie o înmulţim cu d`, dou cu d, le dunăm şi oţinem o ecuţie de tipul Ax Bxy Cy 0. Împărţim ecuţi cu su y ((0,0) nu convine în cz contrr dd`0 ctr.). Pentru fixre ideilor împărţim ecuţi cu y (A 0 spre exemplu) x t At B C 0, de unde oţinem t şi t y Ecuţiei xyt, îi tşăm un din ecuţiile iniţile. x
27 5.6. Sisteme simetrice elementre xys xyp Îi tşăm ecuţiei t St P 0 Soluţi sistemului este mulţime A{(t, t );(t, t )}. Prin sistem simetric înţelegem un sistem în cre dcă schimăm necunoscutele între ele oţinem celşi sistem. Os.: x y S P x y S PS Proleme rezolvte R5.7.. Rezolvţi ecuţi: x x x n )... n, n n x x nx )... n,n n Rezolvre: Amele sunt ecuţii de grdul I u cel mult o soluţie x soluţie unică. R5.7.. Să se rte că oricre r fi prţinând mulţimii numerelor rele, soluţi ecuţiei ( x) ( x)... ( n x) ( x) ( x)... ( n x) nu depinde de. Rezolvre: Ecuţi este de tipul AxB0 x - soluţie x0 nu este soluţie, deci, ecuţi re soluţi unică x - x y R5.7.. Rezolvţi sistemul: x y Rezolvre: ± 0. Metod I x x 0 soluţie nu e soluţie S{(,)} y y 0, () ±
28 4 Metod -II- () y x y x ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( y x y x ) ( ) ( y R Rezolvţi şi discutţi sistemul: ) ( y x m m y x m () Rezolvre: () m y m x m m y x m 0 ) ( y m y0 m x x m mx m x m 0 0 0, m S. R Rezolvţi şi discutţi sistemul: ky x y kx () Rezolvre: k ky x y kx k y k kx y kx ) ( ) ( k y k cz I: k 00 xy S{(x,-x) x R}. cz II: k- 0-6 fls S cz III: k ±, k k S k x k kx k y.
29 R Rezolvţi sistemele: x xy y x y 6 0 ) y x x y ) () x xy y x y c) xy Rezolvre: ) x xy y y x ( x ) S {( 5, 4) } 5 () x y 6 0 x( x ) ( x ) () x ( x ) 6 0 x 5 y 4 ( x y)( x xy y ) y x x xy y x x( x) ( x) ) c) y x y x x x 6x 0 x y 4 x y 5 xx ( xx )( x x) ( xx x ) xy 5 x x xx 4 6x 5xy 4y 0 y0 x0 nu convine y 0 împărţim ultim relţie cu y şi notăm x t. Oţinem 6 t 5 t 4 0, cu y 8 t şi t. 4 9 x x y Cz I : 4 x y y 4 4 xy ± y y 4 4 y 4 x y -4 x - 5
30 6 Cz II : fls y y x S{(,4) ;(-,-4)}. Rezolvţi sistemul ) cre este şi simetric prin ltă metodă ) ( P S P S P S S P S PS S y xy x y x Ecuţi tştă: 0 t t t t S{(,)}. R Rezolvţi sistemul: 4 ) ( ) ( 4 4 y y x x y y x x Rezolvre: 4 4 x x x,x Anlog se determină y,y S{(x,y ) ;(x,y ) ;(x,y ) ;(x,y )}. R Se consideră sistemul y mx y x m y x R m ) să se rezolve sistemul ) să se determine vlorile prmetrului m pentru cre sistemul dmite numi soluţii numere întregi negtive c) să se determine vlorile prmetrului rel m pentru cre sistemul dmite o soluţie (x,y) cu xy. Rezolvre: ) xm--y ) 4( ) ( 0 ) ( ) 8 4 ( 5 0 ) ( 4 ) 4( ) ( m m m m m y m y m m m m m m y y y my m m y y y m m y,y 5 ) ( 0 ) ( ) ( ± ± m m m m y - x m-m y 5 m x m m m m m.
31 ) m<0,m Z 5 m- 5 m-8 Condiţiile m-<0 m-8<0,sunt implicte de condiţi m<0. 5 m-8 m-85k m5k8, k<- k Z m-0k6-0k5 5 m { 5k 8 k Z, k < }. c) xy m- su m m 8 etc. 5 5 R Să se determine numerele rele şi ştiind că Z şi.. Rezolvre: ( ) ( ) 4 {,,0,,} (s- folosit ineglitte între medi ritmetică şi ce pătrtică). 0 Cz I: Perechile căutte sunt: (,-);(-,). ± Cz II: ± ( ) 0 etc. R Să se rezolve în mulţime numerelor rele sistemele de ecuţii ( x y z )( c ) x y cz unele,,c sunt numere rele nu tote nule. Rezolvre: Ineglitte C.B.S. ( x y z )( c ) ( x y cz) x y cz Are loc eglitte există k R* stfel încât: xk yk zkc. k( c ) k c 7
32 Soluţi sistemului este, c,. c c c Biliogrfie Olimpidele de mtemtică 00 - Editur Gil - T. Andreescu, B. Enescu, A. Jorz, O. Pop. Olimpidele lcnice de mtemtică pentru juniori - D. Brânzei, I. Serden, V. Şerden. Olimpidele de mtemtică Editur Gil - T. Andreescu, B. Enescu, M. Lscu, O. Pop. Olimpidele de mtemtică concursuri interjudeţene - Editur Prlel 45 (000-00) - D. Brânzei, I. Serden, Sorin Ulmenu, V. Gorgot. Algeră - Geometie cls VIII- - I. Negrilă, M. Negrilă - Editur Prlel 45, 00. Algeră Geometrie. Olimpide şi concursuri - Arthur Bălăucă - Editur Tid, Işi 00. 8
33 GEOMETRIE. Proleme de numărre Rezumt: În cdrul temei se vor prezent elementele de ză le comintoricii, regul sumei, produsului, precum şi plicre lor în diferite proleme de lgeră, ritmetică, respectiv geometrie comintorică (proleme de numărre, colorre, descompunere).. Reprezentre regulei sumei, respectiv produsului, şi plicţii le cestor reguli în studiere unor proleme de comintorică, respectiv unor proleme de numărre... Regul sumei Dcă un numit oiect pote fi les în m moduri, ir un lt oiect pote fi les în n moduri, tunci legere lui A su B pote fi reliztă în mn moduri (treuie vut grijă c nici o legere lui A să nu coincidă cu nici o legere lui B ).Dcă totuşi exist stfel de coincidenţe, tunci regul sumei de mi sus dă mn-k moduri de legere lui A su B unde k este numărul de coincidenţe.... Regul produsului Dcǎ un oiect A se pote lege în m moduri si dcǎ după fiecre stfel de legere, un oiect B se pote lege în n moduri, tunci legere perechii (A,B) în cestă ordine pote fi reliztă în m n moduri.... Principiul cutiei (Dirichlet) Dcă n cutii şi mi mult de n oiecte treuie rnjte în cele n cutii, tunci cel puţin oiecte se flă în ceeşi cutie...4. Principiul inducţiei mtemtice Fie P(n),n k o propoziţie mtemtică, k N fixt, n N. Dcă sunt îndeplinite următorele condiţii: I. P(k) A II. Dcă P(p) A, ( ) p k, n tunci P(n) A Atunci p(n) A, ( ) n k Schiţă de demonstrţie P(k) A >P(k) A >P(k) A > 9
34 ..5. Principiul includerii şi excluderii A B A B - A B A B C A B C - A B - A C - B C A B C n n A A n A A A... ( ) A i i ip j n unde A,B,C, A,A,,A n mulţimi finite.. Proleme rezolvte (Algeră)... Mulţimi ordonte i J O mulţime împreună cu o ordine ine determintă de dispunere elementelor sle este o cominţie (su mulţime ordontă). Se numeşte rnjment de n elemente lute câte k orice cominţie lcătuită din k elemente le mulţimii A. Două rnjmente de n elemente lute câte k se deoseesc prin ntur elementelor su prin ordine lor. A k n numărul rnjmentelor de n elemente lute câte k n(n-)... (nn! -k) ( n k)! k n i i n moduri n- moduri n-k moduri Prim poziţie unui rnjment se pote complet în n moduri. A dou poziţie în n- moduri etc. n! Totl, conform regulii produsului n(n-) (n-k), unde n! n, ( n k)! 0!,!.... Permutări Pentru A{,,, n } considerăm un rnjment de n elemente lute câte n. Acest rnjment se numeşte permutre de n elemente. Numărul permutărilor de n elemente Pnn(n-) n!, Pnn!, n.... Numărul de funcţii f:a B ( A m, B n) Numărul de funcţii f:a B ( A m, B n) este n m. 40
35 Rezolvre B A {f f:a B} B A B A A{,, m }, B{,,n} f : A B este ine determintă dcă ştim cre sunt vlorile lui f( ), f( ),, f( m ) cre se pot lege conform regulii produsului dintre elementele lui B în număr de n n n moduri n m moduri > B A n m. m ori..4. Funcţii injective f : A B injectivă ( ) x,x A, x x > f(x ) f(x ) ( )x,x A, f(x ) f(x ) > x x ecuţi f(x)y re cel mult o soluţie în A. Funcţii surjective f :A B surjectivă ( ) y B, ecuţi f(x)y re cel puţin o soluţie în A Im f B Funcţii ijective f :A B ijectivă funcţie injectivă surjectivă ( )y B, ecuţi f(x)y re exct o soluţie în A. Numărul de funcţii injective A m n, n m. f :A B.î. A n, B m. Numărul de funcţii ijective f :A B, A B n este P n n!. Oservţii f :A B ijectivă > A B, A,B-finite..5. Cominări Dcă A este o mulţime cu n elemente, tunci sumulţimile lui A formte din k elemente 0 k n se numesc cominări de n elemente lute câte k. k n n Numărul lor se noteză C deorece nu conteză ordine n k k! n! elementelor,0 k n, n N. k!( n k)!..6. Mulţime părţilor unei mulţimi dte Fie A o mulţime. P(A){B B A} Dcă A n, tunci P(A) ⁿ. Rezolvre I. Verificăm dcă P(0) este devărtă. 4 A k
36 AǾ, A 0 Singur sumulţime lui A este Ǿ > P(A) 0 devărtă. II. Presupunem că dcă A p, 0 p n, tunci P(A) p,a este o mulţime orecre Fie B.î. B n, B{,,, n, n }. P(B)T S T{mulţime sumulţimilor lui B, cu propriette că n unei ltfel de sumulţimi}. S{mulţime sumulţimilor lui B, cu propriette că n unei ltfel de sumulţimi}. S T S{U { n } U T} T P ({, n }) n > P(B) T S T S n n n. Din I şi II > P(A) A ( ) A mulţime finită n Oservţie. Din cestă relţie rezultă C... n C n C n Proleme rezolvte 0 n R... Se consideră un tlou în formă de pătrt stfel încât pe fiecre linie şi fiecre colonă să vem n căsuţe (n ) cre se completeză cu numere întregi. Determinţi în câte moduri pote fi complett tloul dcă produsul numerelor de pe fiecre linie, colonă este 5 su -5. Rezolvre Pentru început determinăm numărul de rnjări le numerelor 5 su -5. Dcă pe o linie, colonă pre 5 su -5, tunci pe ce linie, colonă nu v mi păre 5 su -5. Este suficient să vedem în câte moduri putem complet liniile cu 5, respectiv -5. Lini n posiilităţi de completre cu 5 su -5 Lini (n-) posiilităţi de completre cu 5 su -5 Lini n posiilităţi de completre cu 5 su -5 Din regul produsului rezultă că vem n n! posiilităţi de completre cu 5 su -5 În continure pentru fiecre completre unei linii cu 5 su -5 mi vem n -n posiilităţi de completre cu,- numărul funcţiilor definite pe o mulţime cu n²-n elemente (poziţiile rămse liere) cu vlori în mulţime {-,}. În totl numărul de completări este ⁿ ⁿ n! ⁿ² ⁿ² n! R... Fie n un număr întreg. Demonstrţi că este posiil c eliminând cel mult două dintre elementele mulţimii {,,,n} să oţinem o mulţime cre re sum elementelor pătrt perfect. 4
37 Rezolvre n( n ) n S n < n. Se consideră S,S-,S-,,S-n sumele formte cu elementele mulţimii A din cre ori nu scotem nici un element, ori un element, respectiv elemente (m les ici sumele distincte). Presupunem că nici un număr nu este pătrt perfect > ( ) k n.î. (k-)²< S- n<s-n< <S<k². Numerele dintre cele două pătrte perfecte sunt în număr de k²-(k-)²- k- numere >contrdicţie, ele fiind cel puţin S-Sn-n numere şi k-<n. Deci cel puţin unul dintre numerele de mi sus este pătrt perfect. R... L un turneu de tenis u prticipt de două ori mi mulţi ăieţi decât fete. Fiecre pereche de prticipnţi juct exct o dtă şi nu u fost rezultte egle. Rportul dintre numărul victoriilor oţinute de fete, fţă de cele oţinute de ăieţi fost de 5 7. Câţi prticipnţi u fost l cest turneu? Rezolvre n-numărul fetelor n-numărul ăieţilor n-număr prticipnţi Numărul totl de meciuri C n(n ).. Numărul totl de victorii le n 5 5 5n(n ) ăieţilor reprezintă din totl, deci C n. Meciurile jucte între 8 ăieţi sunt în număr de C n(n ) n(n-)- considerte victorii le ăieţilor. n 5n(n ) n(n-) 5n-5 6n-8 n. 8 Anlizăm czurile n, n, nu convin. n convine. Numărul prticipnţilor este 9. R..4. Se consideră un dreptunghi de dimensiunix n, n număr nturl şi dle pătrte de dimensiuni x de ptru culori. Se pveză dreptunghiul cu dle stfel încât oricre două dle lăturte să iă culori diferite. ) Câte pvări simetrice există? ) Câte pvări u propriette că oricre trei dle consecutive u culori diferite? Rezolvre ) Czul I nk, imposiilă efecture unei pvări simetrice c mi sus, cele două dle din mijloc vând ceeşi culore Czul II nk vom discut modlităţile de pvre în funcţie de dl din mijloc spre drept, ţinând cont că pvre este simetrică. 4
38 k k k k 4 posiilităţi posiilităţi Totl, conform regulii produsului 4 k posiilităţi. ) 4 n 4 posiilităţi posiilităţi posiilităţi Totl, ² ⁿ 4 ⁿ posiilităţi. R..5.Să se determine numărul de digonle le unui ptrulter convex cu n lturi. Rezolvre Numărul de digonle numărul de segmente determinte de cele n vârfuri din cre n( n ) n( n ) scotem cele n lturi C n n. R..6. Cre sunt poligonele convexe cre u propriette: numărul digonlelor lor este egl cu numărul punctelor de intersecţie le cestor digonle situte în interiorul poligonului şi nu există trei digonle concurente în interiorul poligonului? Rezolvre n( n ) Numărul digonlelor 4 Numărul punctelor dte C n deorece intersecţi două digonle în interiorul ptrulterului convex reprezintă intersecţi digonlelor în ptrulterul convex determint de 4 vârfuri le poligonului corespunzătore celor două digonle şi reciproc 4 vârfuri le poligonului determină două digonle cre se intersecteză în interiorul poligonului. 4 n( n ) Deci rămâne de rezolvt ecuţi C n, n 4 (n-)(n-) n5 Poligonele căutte sunt pentgonele convexe. R..7. Cre este numărul mxim de unghiuri scuţite pe cre le pote ve un poligon convex cu n lturi? Rezolvre Considerăm că poligonul re k unghiuri scuţite. Deci sum unghiurilor sle este mi mică decât k 90º(n-k) 80º. Pe de ltă prte sum unghiurilor unui poligon cu n lturi 44
39 este eglă cu (n-) 80º. Deci (n-) 80º< k 90º(n-k) 80º > k<4 > k numărul mxim (vezi czul unui triunghi scuţitunghic). R..8. Fiecărui punct din pln i se sociză un număr rel stfel încât numărul socit centrului cercului înscris într-un triunghi să fie egl cu medi ritmetică numerelor socite vârfurilor triunghiului, oricre r fi cest. Să se rte că tuturor punctelor din pln le este socit celşi număr. Rezolvre Fie ABCDEF hexgon regult D,E lese ritrr, de l ele pornind construcţi. A(), B(), C(c), D(d), E(e), X(x) unde {X}AF BC ACE şi BDF - triunghiuri echilterle cu centrul 0 > c e f d. XBF şi XAC u celeşi centru pentru cercurile înscrise dtorită simetriei fţă de drept OX. x f x c > f c > d e q.e.d, D şi E fiind lese ritrr. O este centrul hexgonului regult X A B F O C E D R..9. În interiorul unui pătrt de ltură se consideră 9 puncte. Să se rte că putem lege dintre ceste să fie vârfurile unui triunghi cu ri cel mult eglă cu /8. Rezolvre A P B Se iu mijlocele lturilor pătrtului c în figură. R N Conform principiului lui Dirichlet, cel puţin se flă într-un pătrt mic. D Q C 45
40 A F G S F E P G M R Ducem ES MR (czul când un din lturile triunghiului este prlelă cu o ltură pătrtului su inclusă în e este trivil). h SE hse SE( h h ) A [EFG] A [FES] A [ESG] q.e.d. FF h GG h 8 Biliogrfie Mnul cls. X- - M.Gng-Editur Mth Press Proleme elementre de mtemtică -M.Gng-Editur Mth Press 00 Proleme de teori numerelor şi comintorică pentru juniori- L.Pnitopol, D.Şerănescu Olimpide lcnice pentru juniori- D.Brânzei, I.Şerden, V. Şerden 46
41 . Prlelism în spţiu În cdrul temei vom prezent principlele teoreme de prlelism respectiv teorem de prlelism unei drepte cu un pln, plne prlele şi lte teoreme de prlelism deoseit de utile în rezolvre prolemelor, definire corpurilor geometrice, secţiunilor în corpuri geometrice, determinre unor distnţe în spţiu, unghiului două drepte... Drepte prlele Definiţi... Două drepte coplnre cre nu u nici un punct comun se numesc drepte prlele. Axiom... ( Axiom prlelelor Axiom lui Euclid ) Printr-un punct exterior unei drepte putem construi o singură prlelă l drept dtă... Dreptă prlelă cu un pln Definiţi.. O dreptă este prlelă cu un pln dcă nu re nici un punct comun cu plnul. Notţie: Dcă d α Φ, notăm d α su α d. În rezolvre prolemelor pelăm mi puţin l definiţie şi mi mult l teorem de prlelism. Teorem.. Dcă o dreptă este prlelă cu o dreptă inclusă într-un pln tunci e este prlelă cu plnul su inclusă în pln. Demonstrţie: d α Fie plnul α şi drept d α. Fie ď o dreptă inclusă în α şi d ď. Dreptele d şi ď sunt coplnre, (d; ď) β. Presupunem că d α, tunci dα {A } A d β, dr A α β A ď tunci d ď {A }, contrzice ipotez, rezultă că presupunere este flsă. d α. Teorem.. Fie d o dreptă prlelă cu un pln α, ir β un pln cre conţine drept d. Atunci α β su β intersecteză pe α după o dreptă ď şi d ď. d Demonstrţie ď A α ď A Presupunem că α β, tunci αβ ď şi demonstrăm că d ď. Presupunem că d ď, d şi ď sunt coplnre d ď {A}. Din A d şi 47
42 A ď α; A α; A d α, contrdicţie cu d α; presupunere este flsă d ď. Teorem.. Fie d o dreptă inclusă, su prlelă cu un pln α şi fie ď o dreptă prlelă cu d, dusă printr-un punct A l plnului α, tunci d este inclusă în plnul α. Demonstrţie: Czul d α Fie β (d; ď). Plnele α şi β coincid, vând drept şi punctul A în comun. Rezultă ď α d α A ď d Czul d α Notăm β (d; ď). Dcă β α d, tunci conform teoremei precedente rezultă d ď.dcă d şi d nu coincid tunci prin A trec două prlele l d, cee ce contrzice xiom prlelelor rezultă că ď d. Teorem..4. Dcă,, c, sunt trei drepte stfel încât şi c tunci c (trnzitivitte relţiei de prlelism). Teorem..5 Fie X O Y şi X O Y două unghiuri diferite. Dcă OX O X şi OY O Y, tunci unghiurile X O Y şi sunt congruente su suplementre. X O Y. Măsur unghiului două drepte în spţiu Fie dreptele şi stfel încât { O } Atunci O ^ O ^ 80 - m (opuse l vârf) 4 m ) O^ O^ 4 (opuse l vârf) Definiţi...: Ce mi mică dintre măsurile m şi 80 - m se numeşte măsur unghiului dreptelor concurente şi. Oservţii: Dcă m90 tunci ; Dcă m 0 tunci ; Definiţi...: Măsur unghiului dreptelor şi este măsur unghiului dreptelor şi prlele cu şi, duse printr-un punct orecre P. (conform teoremei unghiurilor cu lturile prlele). Dcă m(; ) 90 ; 48
43 Proleme rezolvte R.4.. Fie A,B,C,D ptru puncte necoplnre stfel încât BCBD. Bisectorele unghiurilor ABC şi ABD intersecteză pe AC în P şi respectiv pe AD în Q.. Demonstrţi că PQ (BCD). Perpendiculrele duse din A pe isectorele BP şi respectiv BQ intersecteză pe BP în E şi pe BC în M, şi respectiv pe BQ în F şi pe BD în N, determinţi poziţi dreptei EF fţă de plnul (ACD).. Determinţi intersecţi plnelor (PCD) şi (MNF). Soluţie: d. În ABC,(BP este isectore) A BC CP T. isectorei: () BA PA În ABD, (BQ este isectore) BD DQ Q T. isectorei: () BA QA P BC BD (ip). () F Din relţiile (), (), şi () D CP DQ E PA QA R.T.Thles ACD PO CD CD (BCD) PQ (BCD). C M N B. În ABM, BE isectore şi înălţime ABM isoscel BE- medină AE EM () În ABN, BF isectore şi înălţime BF- medină AF FN (4) Din relţiile () şi (4) EF linie mijlocie în AMN EF MN MN (BCD) ABM isoscel BM BA ABN isoscel BN BA BM BN, ir din ipoteză BCBD MN CD şi CD (ACD) MN (ACD) MN EF EF (ACD). 49
44 . CD MN CD (ACD) (AMN) (ACD) d MN (AMN) A d şi d CD MN A (AMN) (ACD) Dr (AMN) (MNF) şi (PCD) (ACD) (ACD) (MNF) d R.4..: Se consideră punctele necoplnre A, B, C, D. Printr-un punct M de pe segmentele (AB) se duce un pln prlel cu AC şi BD. Acest pln intersecteză pe BC în Q, pe CD în P şi pe AD în N. ) Să se rte că MNPQ este prlelogrm; ) În ce condiţii ptrulterul MNPQ este dreptunghi? ) În czul AM x, AB 5 cm, AC cm, BD 7 cm, să se clculeze, în funcţie de x, perimetrul ptrulterului MNPQ. Soluţie: A. Notăm cu α plnul ce trece prin M şi Α AC şi α BD BD α (ABD) α { MN } MN BD () BD α (BCD) α { PQ } PQ BD () Din relţiile () şi () MN PQ () M x 7 α N D Q P C AC α (ABC) α { MQ } MQ AC (4) B AC α NP NP AC (5) Din relţiile (4) şi (5) NP AC (6) Din relţiile () şi (6) MNPQ este prlelogrm (ACD) α { }. MN BD MQ AC BD AC MN MQ Deci MNPQ este dreptunghi dcă AC BD.. Din MN BD în ABD T.F.A. AMN ~ ABD 50
45 AM MN x MN AB BD 5 7x MN 7 5 Din MQ AC în ABC T.f.. BMQ ~ BAC BM MQ 5 x MQ BA 5 MQ (5 x) 5 7x (5 x) 4 x 0 x x 0 p MNPQ MN MQ R.4..: Fie O şi G centrele de greutte le triunghiurilor BDC şi respectiv ACD situte în plne diferite. Dcă N este mijlocul segmentului [ CD ], ir M (AB) stfel AM încât şi MN AO { E }, demonstrţi că EG (BCD). AB 5 C Soluţie O centrul de greutte l BO BCD ON O N G. Centrul de greutte l S AG ACD D G GN B BO AG E dr ON GN R.T.Thles în ABN OG AB M A Fie OG MN { S } În NBM, OS BM (T.F.A) NOS ~ NBM OS ON BM OS BM NB AM BM AB Din BM AB 5 AB 5 AB BM tunci înlocuind în relţi OS OS 5 AB 5 AM AB 5 din OS AM AEM ~ OES OS AM OE EA OS AM 5
46 Dcă OE EA NG R.T.Thles- ANO EG NO GA NO (BCD) EG (BCD).4. Plne prlele Definiţi.4. : Două plne α şi β sunt prlele dcă nu u nici un punct comun. Notăm: α β. Dcă α β Φ tunci α β. În rezolvre prolemelor nu este suficientă definiţi pentru determin soluţi unei proleme, fiind nevoie de o teoremă cre să justifice prlelismul plnelor. Lem.4.. (teoremă jutătore). Dcă şi sunt două drepte prlele, ir α şi β două plne stfel încât α şi β şi α β c, tunci c este prlelă cu şi. Teorem.4.. Dcă un pln conţine două drepte concurente, prlele cu celăllt pln tunci plnele sunt prlele. Demonstrţie: fie plnul α stfel încât, α, { O } şi O exterior plnului α. Prin O ducem dreptele şi, rezultă că α şi α Dreptele şi determină plnul β. Dcă α β tunci se intersecteză după β O drept c, tunci conform lemei (..) rezultă că c şi c, dr { O } contrzice xiom prlelelor rezultă că c presupunere este flsă α β. α O Teorem.4.. Fiind dte un pln α şi un punct A exterior plnului, există un pln unic, ce conţine punctul A şi este prlele cu plnul α Demonstrţie : x Prin A ducem dreptele Ax şi Ay prlele cu α, β y tunci β α, β (Ax; Ay). Vom demonstr că plnul β este unic.fie şi incluse în plnul α şi Ax şi Ay α Orice pln γ cre conţine pe A şi este prlel cu α, este prlel cu şi. Conform teoremei (..) plnul γ treuie să conţină dreptele Ax şi Ax prin urmre γ β Teorem.4. Dcă două plne sunt prlele, orice pln cre intersecteză pe primul îl intersecteză şi pe l doile şi dreptele de intersecţie sunt prlele. Teorem.4.4. Două plne distincte prlele cu l treile sunt prlele între ele. Teorem.4.5. Dcă trei plne nu u tote trei un punct comun dr se tie două câte două tunci dreptele de intersecţie sunt prlele. 5
47 Demonstrţie : presupunem că,tunci { C },dr în ceste condiţii C α β γ, contrzice ipotez, rezultă că presupunere este flsă, nlog c. C α c γ β Teorem.4.6 (teorem lui Thles în spţiu). Mi multe plne prlele determină pe două drepte orecre, cre le intersecteză pe ceste, segmente proporţionle. d d Demonstrţie: Fie α β γ şi distincte două câte două. A α A Dreptele d şi d sunt distincte şi tie cele Trei plne A, B, C respectiv A, B,C. B B B Ducem prin A drept d cu β şi γ. Atunci β în A C C vem B B C C rezultă C C AB AB γ C Conform teoremei lui Thles că () BC BC Dr A B A B, B C B C şi A A B B C C tunci A B B A şi B C C B sunt prlelogrme AB AB A B A B şi B C B C, înlocuind în relţi () oţinem BC BC Proleme rezolvte R.7. Fie α şi β două plne prlele, ir A şi B α; C şi D β stfel încât A,B,C,D să fie necoplnre. Dcă M este mijlocul lui(ac) şi N este mijlocul lui (BD) ir AN β { F }, BM β { E }, demonstrţi că: ABCE şi ABDF sunt prlelogrme; (AED) (BCF); B A ADE BCF α Soluţie : α β M N (ABC) α AB AB CE () (ABC) β CE AMB CME (ULU) (AM) (MC) C F M^ M^ β ( opuse l vârf) E D ^ ^ A C (lt. int.) 5
48 (AB) (CE) (). Din relţiile () şi () ABCE prlelogrm Anlog demonstrăm că ABFD este prlelogrm. ABCE prlelogrm AE BC ABFD- prlelogrm AD CF (ADE) (BCF) ADE EAD CBF ( u lt. prlele) (AE) (BC) (op.în ) (L.UL.) ADE BCF BCF (AD) (BF) (op.în ) R.7.. În triunghiul ABC, c c c c. Fie D ( ABC) şi G, G. G respectiv centrele de greutte le triunghiurilor DBC, DAB, DAC. Să se rte că: (G, G. G ) (ABC); D G G G G ; În DBC, DM este medină, M BC şi G este DG centrul de greutte G () GM G A În DAB, DN este medină, N AB şi G este DG centrul de greutte P ( ) GN N ir în triunghiul DAC, DP este medină, P AC şi G este centrul de greutte. B M DG () din relţiile (), (), () GP DG DG DG GM GN GP Aplicăm reciproc teoremei lui Thles în triunghiurile DMN şi DNP şi rezultă că: G G MN; MN (ABC) G G (ABC) G G NP ; NP (ABC) G G (ABC) (G G G ) (ABC) C Din c c c c. Rezultă că ( c)- c( c) (c )( -cc ) : ( c) şi oţinem c c c -c c Din R.T.P. ABC dreptunghic în A. Din G G MN; MN AC G G AC (4) G G MP ; MP AB G G AB (5) Din relţiile (4) şi (5) şi AC AB rezultă că G G G G 54
49 R.7.. Dcă ptru drepte prlele intersecteză un pln α în vârfurile A,B,C,D le unui prlelogrm, tunci, ele determină pe orice pln cre le intersecteză vârfurile unui prlelogrm. Dreptele şi AB determină un pln (;AB), dreptele d şi CD determină plnul (d; CD) şi d, AB CD plnele (d;cd) şi (; AB) sunt prlele, nlog plnele (;AB) (;BC), tunci orice pln β cre intersecteză dreptele v determin: β (;AB) A B β (d;cd) C D A B C D () (;AB) (d;cd) A D B C β (;AD) A D β (;BC) B C A D B C () (;AD) (;BC) A D B C Din relţiile () şi () A B C D este prlelogrm d c Biliogrfie D.Brânzei şi colectivul, Plnul şi spţiul euclidin; Ed. Acdemiei 986 D.Brânzei şi colortorii, Bzele rţionmentului geometric, Ed. Acdemiei 98 J. Hdmrd, Lecţii de geometrie elementră, Geometrie în spţiu, Ed. Tehnică 96 A.N. Kolmogorov, A.F. Semenovici, F.F. Nghiiu, R.S. Cerkosov, V.A. Guşev, Geometrie pentru clsele VI-VIII, EDP 979 K. Telemn, M. Florescu, C. Rădulescu, D. Morru, E. Stătescu, Mtemticăgeometrie şi trigonometrie cls X-, EDP 979 M. Miculiţ, Introducere în geometri tetredrului, Ed. Minied, Işi 994 I. Cuculescu şi colectivul, Mtemtică- Geometrie- Mnul pentru cls VIII-, EDP 997 A. Negrilă, M. Negrilă, Algeră-Geometrie - cls VIII-, Ed. Prlel 45/ 00 A. Bălăucă, I. Ţiclo, Mtemtică-Geometrie în spţiu, Ed. Ax Botoşni 996 pg 7- D. Brânzei şi colectivul: Mtemtic în concursurile şcolre, Ed. Prlel 45, 00,00 pg 55-84(00);pg 56-7(00) Gh. Ţiţeic, Proleme de geometrie, Ed. Tehnică 98,pg C. Hărăor, D.Săvulescu, I. Cheşcă, A.Ţifre: Mtemtică pentru clsele V-VIII - Olimpidele judeţene, interjudeţene, nţionle, Ed. Teor 996, pg E. Feru, I. Olivotto, Cum gândim prolemele de geometrie în spţiu, Ed. Art Bucureşti 994, pg 9-55
50 . Perpendiculritte în spţiu Tem v cuprinde principlele teoreme de perpendiculritte şi nume: teorem de perpendiculritte unei drepte pe un pln, teorem celor trei perpendiculre, plne perpendiculre, unghiul unei drepte cu un pln, unghiul două plne, proiecţii, teoreme deoseit de utile în ordre prolemelor de perpendiculritte şi studiul corpurilor geometrice... Dreptă perpendiculră pe un pln Definiţi... Două drepte şi din spţiu sunt perpendiculre dcă prlelele duse printr-un punct P l ele sunt perpendiculre. Definiţi... O dreptă este perpendiculră pe un pln dcă este perpendiculră pe orice dreptă plnului. Notţie: d α su α d În rezolvre de proleme nu este eficientă definiţi fiind necesră teorem de perpendiculritte cre reduce condiţi l perpendiculritte dreptei pe două drepte concurente din cel pln. Teorem... Dcă o dreptă este perpendiculră pe două drepte concurente dintr-un pln, tunci drept este perpendiculră pe pln. Teorem... Dintr-un punct M se pote duce pe un pln α, o unică perpendiculră. Teorem... Două plne perpendiculre pe ceeşi dreptă sunt prlele între ele. Teorem..4. Există un pln unic perpendiculr într-un punct pe o dreptă. Teorem..5. Două drepte perpepndiculre pe un pln sunt prlele. Definiţi... Fie un pln α şi trei perpendiculre necolinire A, B, C. Dcă D este un punct ce nu prţine plnului α, tunci plnele (DAB), (DBC), (DAC) vor intersect α după triunghiul ABC. Mulţime punctelor interiore triunghiurilor DAB, DBC, DAC, ABC reunită cu mulţime punctelor segmentelor [AB], [BC], [CA]; [DA], [DB], [DC], formeză tetredrul DABC su ABCD. D α A C B Elementele tetredrului: - vârfurile: A, B, C, D - feţele tetredrului: DAB, DAC, DBC, ABC 56
51 - muchiile tetredrului: [DA], [DB], [DC], [AB], [AC], [BC] - z tetredrului: ABC, dr oricre fţă pote fi z - înălţime este perpendiculr din vârf pe ză. Tetredrul regult este tetredrul cu tote muchiile congruente. Definiţi..4. Fiind dt un poligon convex A A A n conţinut într-un pln α şi un punct V ce nu prţine lui α, interiorele triunghiurilor V A A, V A A,, V A n A n, reunite cu interiorul poligonului convex dt şi cu mulţime punctelor segmentelor [A A ], [A A ],, [A n A ]; [VA ],, [VA n ]; formeză o pirmidă de ză A A A n şi vârf V. Definiţi..5. Fie α şi β două plne prlele şi un poligon A A A n, situt în plnul α şi o dreptă d ce intersecteză α într-un singur punct. Prin fiecre punct P l poligonului A A A n construim un segment PP prlel cu d şi P β. Mulţime punctelor P formeză în plnul β un poligon A A A n congruent cu A A A n. Mulţime tuturor segmentelor PP reunită cu mulţime punctelor interiore celor două poligone convexe congruente se numeşte PRISMĂ. Elementele prismei: * zele prismei sunt poligonele: A A A n şi A A A n * feţele lterle sunt prlelogrmele: A A A A ; ; A n A A A n * muchiile lterle sunt segmentele: [A A ]; [A A ]; ; [A n A n ] * muchiile zelor sunt segmentele: [A A ]; [A A ]; ; [A n A ]; [A A ]; [A A ]; ; [A n A ] * înălţime prismei este distnţ dintre ze. Prism dreptă este prism cre re înălţime eglă cu lungime muchiei lterle. Prlelipipedul este prism cre re tote feţele prlelogrme. Prlelipipedul dreptunghic este prism cu tote feţele dreptunghiuri. Cuul este prlelipipedul dreptunghic cu tote muchiile congruente. Proleme rezolvte R... Dreptunghiurile ABCD şi CDEF sunt situte în plne diferite. Demonstrţi că: ) CD (ADE) E ) m(cd; AE) 90 o F ) AB (BCF) D C Soluţie: ) ABCD dreptunghi CD AD CDEF dreptunghi CD DE CD (ADE). A ) Din CD (ADE) AE (ADE) CD AE m( (CD;AE))90 0 B 57
OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE 1. Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul Obi
OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE CTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢRE. Cunoştere şi înţelegere conceptelor, terminologiei şi procedurilor de clcul Obiective de referinţă L sfârşitul clsei VII- elevul v fi cpbil..să
Mai multModel de planificare calendaristică
Liceul Greco-Ctolic Timotei Cipriu Avizt. Director, Vicenţiu RUSU. Şef Ctedră, PLANIFICARE CALENDARISTICĂ ANUL ŞCOLAR 04-05 Disciplin MATEMATICĂ, Filieră TEORETICĂ, progrm nr. 35/3.0.006 Cls XI-, profil
Mai multSăptămâna 1 Partea I Nr. item Rezultate a) {1; 2; 3; 4; 5; 8} {2} {2; 3; 5; 6; 7} 55 [AE b) {2; 4} C {1; 3; 4; 5; 7} 55 AD c) {1; 3; 5} {2;
Săptămân ) {; ; ; 4; ; 8} {} {; ; ; 6; 7} [AE b) {; 4} C {; ; 4; ; 7} AD c) {; ; } {; } Cls VII- Mtemtică Răspunsuri {; 4} AF. ) A {0,,,, 4, }, B {, 4,, 6, 7}. b) A Ç B {, 4, }; A È B {0,,,, 4,, 6, 7};
Mai multSocietatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Naţională, Braşov, 2 aprilie 2013
Societte de Ştiinţe Mtemtice din Români Ministerul Educţiei Nţionle Olimpid Nţionlă de Mtemtică Etp Nţionlă, Brşov, 2 prilie 213 Cls XII- Problem 1. Să se determine funcţiile continue f : R R cu propriette
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 11 INTEGRALA LEBESGUE Cursul 10 Observaţia Cum am văzut în Teorema 11.46, orice funcţie integrabilă
D.Rusu, Teori măsurii şi integrl Lebesgue 11 INTEGRALA LEBESGUE Cursul 10 Observţi 11.50 Cum m văzut în Teorem 11.46, orice funcţie integrbilă Riemnn e un intervl mărginit [, b] este continuă µ-..t.. Prin
Mai multCurs 8 Derivabilitate şi diferenţiabilitate pentru funcţii reale 8.1 Derivata şi diferenţiala unei funcţii reale. Propriet¼aţi generale De niţia 8.1.1
Curs 8 Derivbilitte şi diferenţibilitte pentru funcţii rele 8.1 Derivt şi diferenţil unei funcţii rele. Propriet¼ţi generle De niţi 8.1.1 (i) Fie f A R! R şi 2 A 0 \ A Spunem c¼ f re derivt¼ în punctul
Mai multOLM_2009_barem.pdf
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Societatea de Ştiinţe Matematice din Romania Olimpiada Naţională de Matematică Etapa finală, Neptun Mangalia, 13 aprilie 2009 CLASA A VII-a, SOLUŢII ŞI BAREMURI
Mai multI
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
Mai multSeminarul 1
Mtemtici specile Seminrul Februrie 8 ii Fr bteri de l norm progresul nu este posibil. Frnk Zpp Integrle improprii Motivtie: Folosind integrl definit putem integr functii continue pe intervle mrginite.
Mai multjoined_document_27.pdf
INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ, CLASA a V - a FEBRUARIE 014 a). Pe un stadion intră la un meci un număr de persoane după următoarea regulă: în primul
Mai multGheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Mai multM1-ACS, , M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 9 Extreme cu legături. Integrale improprii 1 Extreme condiționate Atunci cînd domeniul de
Seminr 9 Extreme u legături. Integrle improprii Extreme ondiționte Atuni înd domeniul de definiție l unei funții de mi multe vribile onține, l rîndul său numite euții (numite, generi, legături, problemele
Mai multTeoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.
Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului
Mai multClasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Mai multLABORATOR 9 - VECTORI ŞI VALORI PROPRII. INTERPOLAREA FUNCŢIILOR 1. Vectori Şi valori proprii. Metoda rotaţiilor a lui Jacobi Fie A o matrice p¼atrati
LABORATOR 9 - VECTORI ŞI VALORI PROPRII INTERPOLAREA FUNCŢIILOR Vectori Şi vlori rorii Metod rotţiilor lui Jcobi Fie A o mtrice ¼trtic¼ Un vector x R n se numeşte vector roriu în rort cu A dc¼ x 6= 0 şi
Mai multUniversitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x
1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima
Mai multSubiecte_funar_2006.doc
Clasa a VIII-a A. 1. Exista numere n Z astfel încât n si n+ sa fie patrate perfecte? (Gheorghe Stoica) A. 2. Se considera A N o multime cu 7 elemente si k N*. Aratati ca ecuatia 4x 2 4ax+b 2 +10k = 0,
Mai multCoordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),
Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + +
Mai multDAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Mai multAlgebra: 1. Numere naturale. Operatii cu numere naturale. Ordinea operatiilor. Puteri si reguli de calcul cu puteri. Compararea puterilor. Multimea nu
Algebr: 1. Numere turle. Opertii cu umere turle. Ordie opertiilor. Puteri si reguli de clcul cu puteri. Comprre puterilor. Multime umerelor turle este * N 0,1,2,3,...,,... si N N {0} 1,2,3,...,,.... Pe
Mai multMicrosoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc
ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru
Mai multCERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, tri
CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI 19 3. CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, triunghiuri şi alte guri geometrice. Galileo Galilei 3
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Mai multCalcul diferenţial şi integral (notiţe de curs) Şt. Balint E. Kaslik, L. Tǎnasie, A. Tomoioagă, I. Rodilǎ, N. Bonchiş, S. Mariş Cuprins I Introducere
Clcul diferenţil şi integrl (notiţe de curs) Şt. Blint E. Kslik, L. Tǎnsie, A. Tomoiogă, I. Rodilǎ, N. Bonchiş, S. Mriş Cuprins I Introducere 6 1 Noţiunile: mulţime, element l unei mulţimi, prtenenţ l
Mai multFIŞA NR
Prof CORNELI MESTECN Prof RRODIC TRIŞCĂ CLUJ-NPOC 009 CUPRINS FIŞ NR NUMERE RELE Pg 6 FIŞ NR ECUŢII Pg 8 FIŞ NR FUNCŢII TEORIE Pg 0 4 FIŞ NR 4 FUNCŢII EXERCIŢII Pg FIŞ NR ECUŢII IRŢIONLE, ECUŢII EXPONENŢILE
Mai multMicrosoft Word - Concursul SFERA.doc
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ SFERA EDIŢIA a II-a BĂILEŞTI, 1 martie 005 CLASA a IV-a Pentru întrebările 1-5 scrieţi pe lucrare litera corespunzătoare răspunsului corect 1. Care este numărul care
Mai multConcursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r car
Concursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r care satisfac simultan următoarele condiții: qr p 4 1
Mai multDorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
Mai multCursul 6 Integrala în complex Fie f : D C o funcţie continuă pe domeniul D C. Ne punem problema existenţei unei primitive a lui f, adică a unei funcţi
Cursul 6 Integrl în complex Fie f : D C o funcţie continuă pe domeniul D C. Ne punem problem existenţei unei primitive lui f, dică unei funcţii olomorfe F : D C stfel încât F = f. În czul funcţiilor rele,
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a X-a - 20 aprilie 2019 Clasa a IV-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE SUBIECTUL I Se punctează doar rezult
CONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a X-a - 0 aprilie 09 Clasa a IV-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE Se punctează doar rezultatul: pentru fiecare răspuns se acordă fie uncte, fie 0 puncte Nu
Mai multCopyright c 2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la
Copyright c 1 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, Profilurile: fizica-matematica, economie,
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se
Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să
Mai multMergedFile
PROIECT DIDACTIC Clasa a VII-a Matematică Proiect didactic realizat de Ana-Cristina Blanariu-Șugar, profesor Digitaliada, revizuit de Ioan Popa, profesor Digitaliada Textul și ilustrațiile din acest document
Mai multPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele
Mai multMatematica VI
There are no translations available. Datorita unor probleme tehnice, site-ul nu poate fi vizionat cu Internet Explorer 8, partea de teste (apare pagina alba). Pentru navigare, va recomandam Chrome, Mozilla,
Mai multNoțiuni matematice de bază
Sistem cartezian definitie. Coordonate carteziene Sistem cartezian definiţie Un sistem cartezian de coordonate (coordonatele carteziene) reprezintă un sistem de coordonate plane ce permit determinarea
Mai multAnaliz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multTEST DE PROMOVARE ÎN CLASELE DE EXCELENȚĂ Clasa a V-a BAREM SUBIECTUL I a) Determinați numărul natural a din egalitatea: 315 :
TEST DE PROMOVARE ÎN CLASELE DE EXCELENȚĂ Clasa a V-a 29.09.2018 BAREM SUBIECTUL I a) Determinați numărul natural a din egalitatea: 315 : 7 9 4 22 5 204 : 2 2 a 16 : 4 43 b) Se consideră șirul următor
Mai multTema 5
Tem 5 Etensini le integrlei Riemnn Modll 5. - Integrle definite, c prmetr. Integrle improprii. Integrle definite, c prmetr Stdil integrlelor definite c prmetr rel este intim legt de reprezentre integrlă
Mai multMicrosoft Word - Programa_Evaluare_Nationala_2011_Matematica.doc
C E N T R U L NAłIONAL DE EVALUARE ŞI E X A M I N A R E PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ EVALUAREA NAłIONALĂ PENTRU ELEVII CLASEI A VIII A Pagina 1 din 5 PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ I. STATUTUL
Mai multsubiecte clasa7
Concursul interjudeńean de matematică Gheorghe Vrănceanu, Bacău-007 Clasa a VII-a Subiectul I Să se demonstreze că există un punct M în interiorul unui triunghi ABC astfel încât triunghiurile ABM, BCM
Mai multPachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL
Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.
Mai multPrelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)
Mai multPerformanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a
Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a 6.02.2016 si 13.02.2016 Material intocmit de prof. BAJAN MARIANA
Mai multclasa I Se recomandă citirea enunţurilor de către învăţător. 1. Continuă numărarea şi află câţi morcovi a mâncat iepuraşul. 6, 7, 8, 9,. A) 3 B) 10 C)
clasa I Se recomandă citirea enunţurilor de către învăţător.. Continuă numărarea şi află câţi morcovi a mâncat iepuraşul. 6, 7, 8, 9,. A) B) 0 C) D) 9 E). Vecinul mai mic al numărului 70 este: A) 60 B)
Mai multwww. didactic.ro Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie Trecem în revistă următoarele rezultate importante: 1) Teorema sinusurilor: Teorema cosinus
Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie Trecem în revistă următoarele rezultate importante: 1) Teorema sinusurilor: Teorema cosinusurilor: Fiind dat triunghiul ABC, vom folosi următoarele notaţii:,,
Mai multFacultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:
Mai multCursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire
Mai mult1. Teorema lui Ceva Ene Mihai+Radu Vlad+Budacu Vlad
1. Teorema lui Ceva Ene Mihai+Radu Vlad+Budacu Vlad 2. Teorema lui Menelaus Ciocan Cristian+Cioară Alexandru+Răileanu Daniel 3. Teorema lui Pitagora Paraipan Rareș+Postelnicu Marius+Anghel Mircea
Mai multPowerPoint Presentation
Metode Numerice de Integrre și Derivre Funcțiilor dte Numeric Ș.l. Dr. ing. Levente CZUMBIL E-mil: Levente.Czumil@ethm.utcluj.ro WePge: http://users.utcluj.ro/~czumil Formul clsică trpezelor rezultă prin
Mai multMatematica Clasa 5 Culegere De Exercitii Si Probleme
uprins Teste de evaluare inițială... 7 4 I. Numere naturale. Numere naturale... 9. Scrierea şi citirea numerelor naturale... 9.2 xa numerelor naturale. ompararea şi ordonarea numerelor naturale... 4.3
Mai multRecMat dvi
Conice şi cubice în probleme elementare de loc geometric Ştefan DOMINTE 1 Abstract. In this Note, a number of simple problems are presented to support the idea that conic and cubic curves can frequently
Mai multInspectoratul Şcolar Judeţean Suceava Şcoala Gimnazială Luca Arbure CONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a VIII a 29 APRILIE 2017 Clasa a I
Clasa a IV a 1. Rezultatul calculului : 8 + [40 + 8 (00 : 5 7 : )] 0 este A) 0 B) C) 4 D) 8. Valoarea lui x din egalitatea [( x + 60 : ) + 4] 5 = 1985este : A) 1 B) 5 C) 1 D) 10. Suma dintre jumatatea
Mai multCurs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi
Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a
Mai multMatematica - Clasa teste pentru grupele de excelenta
2. Dacă abc cd = 262, calculaţi ab (c + d). 3. Calculaţi suma numerelor abc, dacă a < b şi c = a + b + 2. 4. Calculaţi suma dintre cea mai mică sumă S = a + b + c + d şi cea mai mare sumă S, dacă a 1 =
Mai multElemente de aritmetica
Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7
Mai multMicrosoft Word - Evaluare_initiala_Matematica_Cls07_Model_Test.doc
Precizări metodologice cu privire la testul de evaluare inińială la disciplina MATEMATICĂ, din anul şcolar 011-01 În anul şcolar 011-01, modelul propus pentru testare inińială la disciplina Matematică
Mai multŞiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
Mai multSimilitudini în plan şi puncte Torricelli asociate Cătălin ŢIGĂERU 1 Subiectul lucrării îl reprezintă operaţia de compunere a similitudinilor aplicată
Similitudini în plan şi puncte Torricelli asociate Cătălin ŢIGĂERU 1 Subiectul lucrării îl reprezintă operaţia de compunere a similitudinilor aplicată unei configuraţii geometrice: un triunghi ABC şi două
Mai multMicrosoft Word - MD.05.
pitolul uvite-cheie serii de puteri, puct regult, puct sigulr, ecuţie idicilă osideră o ecuţie difereţilă de ordi k ( k ) L(,,,,..., ) () Se pote căut soluţi sub for uei serii de puteri î jurul puctului
Mai multBR_409995
RAEI Prte II- DESCRIEREA ACTIVITĂŢILOR DE ÎMBUNĂTĂŢIRE A CALITĂŢII REALIZATE Obiective Termene Responsbilitţi Indictori Nr. Activitţi Tipul crt ctivitte 1 relizre 1 6 Activitte l Îmbuntţire octombrie Echip
Mai multTEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:
TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins
Mai multINDICAŢII ŞI RĂSPUNSURI III.5.2. PROBLEME RECAPITULATIVE PROPUSE SPRE REZOLVARE 2 ALGEBRĂ 1. x 16 y 8y x 16 x 4 x 16 y 4 x x 4 Condiţiile radica
INDICAŢII ŞI RĂSPUNSURI III.5.. PROBLEME RECAPITULATIVE PROPUSE SPRE REZOLVARE ALGEBRĂ 1. x 16 y 8y x 16 x x 16 x 16 16 x Condiţiile radicalilor: 16 0 16 x 16 ecuaţia devine: 16 x 0 16 y y0; 8 S x y 16
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 4 2019 Anca Ignat Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Fie matricea nesingulară A nn şi b n. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare Ax=b se poate face folosind regula
Mai multMergedFile
PROIECT DIDACTIC Clasa a VII-a Matematică Proiect didactic realizat în cadrul programului - pilot Digitaliada, revizuit de Simona Roșu, profesor Digitaliada Textul și ilustrațiile din acest document începând
Mai multUNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot
Mai multSubiectul I (20 puncte) CONCURSUL ȘCOLAR NAȚIONAL DE GEOGRAFIE,,TERRA ETAPA NAȚIONALĂ 18 mai 2019 CLASA a V-a Citește fiecare cerință și analizează cu
Suiectul I (20 puncte) CONCURSUL ȘCOLAR NAȚIONAL DE GEOGRAFIE,,TERRA ETAPA NAȚIONALĂ 18 mi 2019 CLASA V- Citește fiecre cerință și nlizeză cu tenție desenele su imginile de mi jos. Selecteză cerculețul
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,
Mai multCursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai multMicrosoft Word - 06-Rosu-Mihaela-RED-TR_Proiect_did_Bunat_toamnei_II_ROM.doc
Proiect de lecție Şcol Gimnzil,,Anghel Mnolche Scrioște Dt: 9 noiembrie 2017 Cls: II- A Disciplin: Comunicre în limb român Unitte temtic: File din crte tomnei Titlul lecției : Buntți de tomn Tipul lecţiei:
Mai multMergedFile
PROIECT DIDACTIC Clasa a VII-a Matematică Proiect didactic realizat de profesor Tatiana Predoană, Fundația Noi Orizonturi, în cadrul programului - pilot Digitaliada, revizuit de Monica Popovici, profesor
Mai multProgramul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 – 2013
GRUPUL DE ACŢIUNE LOCALĂ Județul Bistriț-Năsăud, orș BECLEAN, Zon de Agrement Fig, FN, Cod poștl 425100, Tel: 037-1408616, Fx: 037-1377056, e-mil: secretrit@gltinutulhiducilor.ro Progrmul Nţionl de Dezvoltre
Mai multBARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA ianuarie Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că
BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA 019 9 ianuarie 019 1. Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că x şi y sunt divizibili cu 11.. Fie Γ un cerc de centru
Mai multCOMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati
COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan
Mai multDistanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,
Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea
Mai multOBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVAŢARE 1. Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul Obi
OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE CTIVITĂŢI DE ÎNVŢRE. Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul Obiective de referinţă Exemple de activităţi de învăţare La
Mai multPowerPoint Presentation
Curs 9 Integrre Numerică Clculul Numeric l Integrlelor cu plicții în Ingineri Electrică Ș.l. Dr. ing. Levente CZUMBIL Lortorul de Cercetre în Metode Numerice Deprtmentul de Electrotehnică, Inginerie Electrică
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
urs 4 Integrale curbilinii 4.1 Drumuri şi curbe Definiţie 4.1. O funcţie continuă γ : [a,b] R m se numeşte drum plan dacă m = 2 sau drum în spaţiu dacă m = 3. Punctul γ(a) se numeşte originea drumului,
Mai multPROIECT DIDACTIC
Plan de lecție Informații generale Obiectul: Matematică Clasa: a VII - a Durata: 50 min Mijloace TIC: calculatorul profesorului cu videoproiector,calculatoare pentru elevi Tema lecției: Aria triunghiului
Mai mult1 Concursul de matematic¼a NICOLAE COCULESCU EDIŢIA a VIII-a SLATINA 29 noiembrie 2012 Clasa a III-a 1. Numere, numere. a) Cinci prieteni se î
1 Concursul de matematic¼a NICOLAE COCULESCU 2011-12 EDIŢIA a VIII-a SLATINA 29 noiembrie 2012 Clasa a III-a 1. Numere, numere. a) Cinci prieteni se întâlnesc. Ei se salut¼a, ecare dând mâna cu ecare,
Mai multMASTER TL-D 90 De Luxe |
Lighting Percepţi nturlă culorilor Acestă lmpă TL-D fce culorile să pră bogte, profun şi mplificte într-un mod nturl. Prin urmre, este forte cvtă pentru plicţii în cre este necesră o bună recunoştere culorilor:
Mai multRecMat dvi
Probleme propuse 1 P355. Găsiţi trei numere consecutive în şirul numerelor de la 1 la 30 care să aibă suma 30. (Clasa pregătitoare) Mariana Manoli, elevă, Iaşi P356. Colorează figura geometrică care nu
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim
Mai mult1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai
1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai mare decât cifra sutelor. b. Se consideră algoritmul
Mai multmatematica
MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII PROGRAMĂ ŞCOLARĂ M A T E M A T I C Ă CLASA A IX-A CICLUL INFERIOR AL LICEULUI Aprobată prin ordin al ministrului nr. / Bucureşti, 2009 NOTĂ DE PREZENTARE În
Mai multrecmat dvi
Concursul de matematică Florica T.Câmpan Etapa judeţeană, 5-6 mai 2005 Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: cl. a IV-a 90 de minute, cl. V-VIII 2 ore. ClasaaIV-a 1. Să seafledouă numere
Mai multCursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont
Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi
Mai multASDN
PROIECTAREA LOGICĂ Laboratorul PL Suport de Laborator II 1. Să se găsească sumele minimale şi produsele minimale pentru următoarele funcţii: (a) f = m(0 + 2 + 4 + 8 + 10 + 12), (b) f = m(2 + 3 + 6 + 7
Mai multTeoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A 1,...,
Teoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A,..., A r unde A,..., A r sunt elemente distincte dintr-o
Mai multgaussx.dvi
Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care
Mai multCURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),
CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul
Mai multMicrosoft Word - fmnl06.doc
Metode Numerce Lucrre de lbortor r. 6 I. Scopul lucrăr Metode tertve de rezolvre sstemelor lre. II. Coţutul lucrăr. Metode tertve de rezolvre sstemelor lre. Geerltăţ. 2. Metod Jcob. 3. Metod Guss-Sedel.
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen
Mai multMicrosoft Word - a5+s1-5.doc
Unitatea şcolară: Şcoala cu cls. I-VIII Sf. Vineri Profesor: Gh. CRACIUN Disciplina: Matematică Clasa a V-a / 4 ore pe săpt./ Anul şcolar 007-008 PROIECTAREA DIDACTICĂ ANUALĂ Număr săptămâni: 35 Număr
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac
Mai mult