Grafuri - Concepte de baza. Tipuri de grafuri. Modalitati de reprezentare
|
|
- Victor Dinu
- 4 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 Concepte de bază. Tipuri de grafuri. Modalităţi de reprezentare Mircea Marin Departamentul of Informatică Universitatea de Vest din Timişoara 9 noiembrie 2018
2 Introducere Ce este un graf? Graf: structură de date discretă formată din noduri şi muchii de legătură între noduri.
3 Introducere Ce este un graf? Graf: structură de date discretă formată din noduri şi muchii de legătură între noduri. Utilă pentru modelarea unui număr mare de probleme: legături rutiere sau feroviare între localităţi relaţii de subordonare în o organizaţie rezultatul final al unui turneu...
4 Introducere Ce este un graf? Graf: structură de date discretă formată din noduri şi muchii de legătură între noduri. Utilă pentru modelarea unui număr mare de probleme: legături rutiere sau feroviare între localităţi relaţii de subordonare în o organizaţie rezultatul final al unui turneu... Notaţie matematică G = (V, E) unde: V : mulţime finită de noduri E : mulţime finită de muchii
5 Introducere Ce este un graf? Graf: structură de date discretă formată din noduri şi muchii de legătură între noduri. Utilă pentru modelarea unui număr mare de probleme: legături rutiere sau feroviare între localităţi relaţii de subordonare în o organizaţie rezultatul final al unui turneu... Notaţie matematică G = (V, E) unde: V : mulţime finită de noduri E : mulţime finită de muchii Probleme diferite pot fi modelate cu tipuri de grafuri diferite: grafuri simple, multigrafuri, pseudografuri, grafuri orientate, etc.
6 Graf simplu Exemplu: calculatoare din oraşe diferite conectate prin legături telefonice Noduri V : locaţiile geografice ale calculatoarelor: San Francisco (SF), Los Angeles (LA), Denver (Dn), Chicago (C), Detroit (Dt), New York (NY), Washington (W) Muchii E: legăturile dintre calculatoare; presupunem că 1 Nu există legături de la un nod la el însuşi. 2 Există cel mult o legătură între calculatoare diferite. C Dt W NY SF Dn LA
7 Graf simplu Exemplu: calculatoare din oraşe diferite conectate prin legături telefonice Noduri V : locaţiile geografice ale calculatoarelor: San Francisco (SF), Los Angeles (LA), Denver (Dn), Chicago (C), Detroit (Dt), New York (NY), Washington (W) Muchii E: legăturile dintre calculatoare; presupunem că 1 Nu există legături de la un nod la el însuşi. 2 Există cel mult o legătură între calculatoare diferite. SF LA Dn C Dt W NY V={SF,LA,Dn,C,Dt,NY,W} E = {{SF, LA}, {SF, Dn}, {LA, Dn}, {Dn, C}, {C, Dt}, {Dt, NY}, {C, NY}, {C, W}, {W, NY}}
8 Graf simplu Exemplu: calculatoare din oraşe diferite conectate prin legături telefonice Noduri V : locaţiile geografice ale calculatoarelor: San Francisco (SF), Los Angeles (LA), Denver (Dn), Chicago (C), Detroit (Dt), New York (NY), Washington (W) Muchii E: legăturile dintre calculatoare; presupunem că 1 Nu există legături de la un nod la el însuşi. 2 Există cel mult o legătură între calculatoare diferite. SF LA Dn C Dt W NY V={SF,LA,Dn,C,Dt,NY,W} E = {{SF, LA}, {SF, Dn}, {LA, Dn}, {Dn, C}, {C, Dt}, {Dt, NY}, {C, NY}, {C, W}, {W, NY}} Remarcă: Muchiile unui graf simplu sunt specificate ca o submulţime a mulţimii {{x, y} x, y V, x y}. muchiile sunt neorientate (ordinea nodurilor este irelevantă). De exemplu: {C, NY} = {NY, C}
9 Multigraf Exemplu: calculatoare din oraşe diferite conectate prin legături telefonice Pentru evitarea supraîncărcării legăturilor telefonice, calculatoare diferite pot fi conectate cu mai multe linii telefonice: e 5 e 6 C e 8 e 11 Dt e 10 W e 9 e 12 NY e 13 SF e 2 LA e 1 e 3 e 4 Dn e 7
10 Multigraf Exemplu: calculatoare din oraşe diferite conectate prin legături telefonice Pentru evitarea supraîncărcării legăturilor telefonice, calculatoare diferite pot fi conectate cu mai multe linii telefonice: SF e 2 LA e 1 e 3 e 4 Dn e 5 e 6 e 7 C e 8 e 11 Dt e 10 W e 9 e 12 NY e 13 V={SF,LA,Dn,C,Dt,NY,W} E = {e 1, e 2, e 3,..., e 11, e 12, e 13 } f : E {{x, y} x, y V, x y}, f returnează capetele fiecărei muchii: f (e 1 ) = {SF, Dn}, f (e 2 ) = {SF, LA}, f (e 3 ) = f (e 4 ) = {LA, Dn}, f (e 5 ) = f (e 6 ) = f (e 7 ) = {Dn, C}, f (e 8 ) = {C, Dt}, f (e 9 ) = {Dt, NY},...
11 Multigraf Exemplu: calculatoare din oraşe diferite conectate prin legături telefonice Pentru evitarea supraîncărcării legăturilor telefonice, calculatoare diferite pot fi conectate cu mai multe linii telefonice: SF e 2 LA e 1 e 3 e 4 Dn e 5 e 6 e 7 C e 8 e 11 Dt e 10 W e 9 e 12 NY e 13 V={SF,LA,Dn,C,Dt,NY,W} E = {e 1, e 2, e 3,..., e 11, e 12, e 13 } f : E {{x, y} x, y V, x y}, f returnează capetele fiecărei muchii: f (e 1 ) = {SF, Dn}, f (e 2 ) = {SF, LA}, f (e 3 ) = f (e 4 ) = {LA, Dn}, f (e 5 ) = f (e 6 ) = f (e 7 ) = {Dn, C}, f (e 8 ) = {C, Dt}, f (e 9 ) = {Dt, NY},... Remarcă: Un multigraf G este specificat de către mulţimile V, E şi o funcţie f : E {{x, y} x, y V, x y}. e, e E sunt paralele dacă f (e) = f (e ).
12 Pseudograf Exemplu: calculatoare din oraşe diferite conectate prin legături telefonice Putem considera şi legături telefonice de la un calculator la el însuşi (de exemplu, pentru diagnosticare): e 14 e 5 e 6 C e 8 e 11 Dt e 10 W e 9 e 12 NY e 13 e 16 SF e 2 LA e 1 e 3 e 4 Dn e 7 e 15
13 Pseudograf Exemplu: calculatoare din oraşe diferite conectate prin legături telefonice Putem considera şi legături telefonice de la un calculator la el însuşi (de exemplu, pentru diagnosticare): e 14 SF e 2 LA e 15 e 1 e 3 e 4 Dn e 5 e 6 e 7 C e 8 e 11 Dt e 10 W e 9 e 12 NY e 13 e 16 V={SF,LA,Dn,C,Dt,NY,W} E = {e 1, e 2, e 3,..., e 11, e 12, e 13, e 14, e 15, e 16 } f : E {{x, y} x, y V, x y}, f returnează capetele fiecărei muchii: f (e 1 ) = {SF, Dn}, f (e 2 ) = {SF, LA}, f (e 3 ) = f (e 4 ) = {LA, Dn}, f (e 5 ) = f (e 6 ) = f (e 7 ) = {Dn, C}, f (e 8 ) = {C, Dt}, f (e 9 ) = {Dt, NY},..., f (e 16 ) = {NY}
14 Pseudograf Exemplu: calculatoare din oraşe diferite conectate prin legături telefonice Putem considera şi legături telefonice de la un calculator la el însuşi (de exemplu, pentru diagnosticare): e 14 SF e 2 LA e 15 e 1 e 3 e 4 Dn e 5 e 6 e 7 C e 8 e 11 Dt e 10 W e 9 e 12 NY e 13 e 16 V={SF,LA,Dn,C,Dt,NY,W} E = {e 1, e 2, e 3,..., e 11, e 12, e 13, e 14, e 15, e 16 } f : E {{x, y} x, y V, x y}, f returnează capetele fiecărei muchii: f (e 1 ) = {SF, Dn}, f (e 2 ) = {SF, LA}, f (e 3 ) = f (e 4 ) = {LA, Dn}, f (e 5 ) = f (e 6 ) = f (e 7 ) = {Dn, C}, f (e 8 ) = {C, Dt}, f (e 9 ) = {Dt, NY},..., f (e 16 ) = {NY} Remarcă: Un pseudograf G este specificat de către mulţimile V, E şi o funcţie f : E {{x, y} x, y V }. e E este o buclă dacă f (e) = {x}, x V. Exemple: e 14, e 15, e 16 sunt bucle.
15 Graf orientat (digraf) Exemplu: calculatoare din oraşe diferite conectate prin legături telefonice Muchiile sunt orientate de la un nod sursă la un nod destinaţie Există cel mult o legătură de la un calculator la altul. C Dt W NY SF Dn LA
16 Graf orientat (digraf) Exemplu: calculatoare din oraşe diferite conectate prin legături telefonice Muchiile sunt orientate de la un nod sursă la un nod destinaţie Există cel mult o legătură de la un calculator la altul. SF LA Dn C Dt W NY V={SF,LA,Dn,C,Dt,NY,W} E = {(SF, SF), (Dn, SF), (Dn, LA), (LA, Dn), (LA, SF), (Dn, C), (C, Dn), (C, Dt), (Dt, NY), (C, NY), (C, W), (W, NY), (NY, W), (NY, NY)}
17 Graf orientat (digraf) Exemplu: calculatoare din oraşe diferite conectate prin legături telefonice Muchiile sunt orientate de la un nod sursă la un nod destinaţie Există cel mult o legătură de la un calculator la altul. SF LA Dn C Dt W NY V={SF,LA,Dn,C,Dt,NY,W} E = {(SF, SF), (Dn, SF), (Dn, LA), (LA, Dn), (LA, SF), (Dn, C), (C, Dn), (C, Dt), (Dt, NY), (C, NY), (C, W), (W, NY), (NY, W), (NY, NY)} Observaţii: Muchiile unui digraf G = (V, E) sunt o submulţime E (V V ).
18 Graf orientat (digraf) Exemplu: calculatoare din oraşe diferite conectate prin legături telefonice Muchiile sunt orientate de la un nod sursă la un nod destinaţie Există cel mult o legătură de la un calculator la altul. SF LA Dn C Dt W NY V={SF,LA,Dn,C,Dt,NY,W} E = {(SF, SF), (Dn, SF), (Dn, LA), (LA, Dn), (LA, SF), (Dn, C), (C, Dn), (C, Dt), (Dt, NY), (C, NY), (C, W), (W, NY), (NY, W), (NY, NY)} Observaţii: Muchiile unui digraf G = (V, E) sunt o submulţime E (V V ). Dacă u v atunci (u, v) (v, u).
19 Multigraf orientat Exemplu: calculatoare din oraşe diferite conectate prin legături telefonice Muchiile sunt orientate de la un nod sursă la un nod destinaţie Putem avea muchii multiple (paralele) de la o sursă la o destinaţie. e 14 e 5 e 6 C e 8 e 11 Dt e 10 W e 9 e 12 NY e 13 e 16 SF e 2 LA e 1 e 3 e 4 Dn e 7 e 15
20 Multigraf orientat Exemplu: calculatoare din oraşe diferite conectate prin legături telefonice Muchiile sunt orientate de la un nod sursă la un nod destinaţie Putem avea muchii multiple (paralele) de la o sursă la o destinaţie. e 14 SF e 2 LA e 15 e 1 e 3 e 4 Dn e 5 e 6 e 7 C e 8 e 11 Dt e 10 W e 9 e 12 NY e 13 e 16 V={SF,LA,Dn,C,Dt,NY,W} E = {e 1, e 2, e 3,..., e 11, e 12, e 13, e 14, e 15, e 16 } f : E V V, f returnează sursa şi destinaţia fiecărei muchii: f (e 1 ) = (Dn, SF), f (e 2 ) = (LA, SF), f (e 3 ) = (LA, Dn), f (e 4 ) = (Dn, LA), f (e 5 ) = f (e 6 ) = (Dn, C), f (e 7 ) = (C, Dn), f (e 8 ) = (C, Dt),..., f (e 16 ) = (NY, NY)
21 Multigraf orientat Exemplu: calculatoare din oraşe diferite conectate prin legături telefonice Muchiile sunt orientate de la un nod sursă la un nod destinaţie Putem avea muchii multiple (paralele) de la o sursă la o destinaţie. e 14 SF e 2 LA e 15 e 1 e 3 e 4 Dn e 5 e 6 e 7 C e 8 e 11 Dt e 10 W e 9 e 12 NY e 13 e 16 V={SF,LA,Dn,C,Dt,NY,W} E = {e 1, e 2, e 3,..., e 11, e 12, e 13, e 14, e 15, e 16 } f : E V V, f returnează sursa şi destinaţia fiecărei muchii: f (e 1 ) = (Dn, SF), f (e 2 ) = (LA, SF), f (e 3 ) = (LA, Dn), f (e 4 ) = (Dn, LA), f (e 5 ) = f (e 6 ) = (Dn, C), f (e 7 ) = (C, Dn), f (e 8 ) = (C, Dt),..., f (e 16 ) = (NY, NY) Remarcă: Un multigraf orientat G este specificat de către mulţimile V, E şi o funcţie f : E V V.
22 Graf ponderat Exemplu: reţea de legături feroviare între nişte oraşe Un graf G = (V, E) împreună cu o funcţie w : E Y care asociază o greutate (sau pondere) w(e) fiecărei muchii e E. De obicei, ponderile sunt numere reale (A R) În acest exemplu, ponderile sunt distanţele în kilometri dintre oraşe.
23 Tipuri de grafuri Terminologie Tip muchii muchii multiple? Bucle? Graf simplu neorientate nu nu Multigraf neorientate da nu Pseudograf neorientate da da Graf orientat orientate nu da Multigraf orientat orientate da da
24 Modele bazate pe grafuri 1. Graf de suprapunere de nişă: Graf simplu ce modelează interacţiunea dintre specii diferite de animale: fiecare specie este reprezentată de un nod muchiile sunt între specii îm competiţie pentru resurse comune de mâncare raton şoim bufniţă oposum veveriţă cioară napârcă şoarece ciocănitoare
25 Modele bazate pe grafuri 2. Graf de turneu Graf orientat (V, E) care modelează un campionat în care fiecare echipă joacă o singură dată cu fiecare din celelalte echipe: Fiecare echipa este reprezentată ca nod în graf (a, b) E indică faptul că echipa a a învins echipa b. Exemplu: turneu de 6 echipe Echipa 1 Echipa 2 Echipa 6 Echipa 3 Echipa 5 Echipa 4
26 Modele bazate pe grafuri 3. Graf de precedenţă Graf orientat G = (V, E) care descrie relaţiile de dependenţă dintre instrucţiunile unui program P: Nodurile corespund instrucţiunilor din programul P (s, s ) E dacă instrucţiunea s nu poate fi executată înaintea instrucţiunii s. Exemplu:
27 Alte modele bazate pe grafuri 4. Arbore de familie al unei persoane X : graf orientat care reprezintă toţi strămoşii cunoscuţi ai lui X : Noduri: X şi toţi strămoşii cunoscuţi ai lui X Muchii: (a, b) reprezintă faptul că b este copilul lui a. Exemplu: arbore de familie al lui JFK: John F. Kennedy Joseph P. Kennedy Rose F. Kennedy Patrick J. Kennedy Mary A. Hickey John F. Fitzgerald Mary J. Hannon 5. Graful web: WWW poate fi modelat ca un graf orientat nodurile sunt paginile web o muchie de la A la B indică existenţa unui hyperlink din pagina A la pagina B.
28 Noţiuni de bază Terminologie pentru grafuri neorientate G = (V, E) (1) Nodurile u, v sunt incidente dacă e = {u, v} E. Muchia e este incidentă cu nodul u şi cu nodul v. Nodurile u, v sunt capetele muchiei e. u este vecinul lui v, şi v este vecinul lui u. Gradul deg(u) unui nod u este numărul de muchii incidente cu u; buclele contribuie de 2 ori la gradul unui nod. u este izolat dacă deg(u) = 0, şi pendant dacă deg(u) = 1.
29 Noţiuni de bază Terminologie pentru grafuri neorientate G = (V, E) (1) Exemplu Nodurile u, v sunt incidente dacă e = {u, v} E. Muchia e este incidentă cu nodul u şi cu nodul v. Nodurile u, v sunt capetele muchiei e. u este vecinul lui v, şi v este vecinul lui u. Gradul deg(u) unui nod u este numărul de muchii incidente cu u; buclele contribuie de 2 ori la gradul unui nod. u este izolat dacă deg(u) = 0, şi pendant dacă deg(u) = 1. b c d a b c a f e g e d G H În G: deg(a) = 2, deg(b) = deg(c) = deg(f ) = 4, deg(d) = 1, deg(e) = 3, deg(g) = 0. În H: deg(a) = 4, deg(b) = deg(e) = 6, deg(c) = 1, deg(d) = 5.
30 Noţiuni de bază pentru grafuri neorientate Terminologie pentru G = (V, E) (2) Ordinul lui G este V, numărul de noduri. Mărimea lui G este E, numărul de muchii. Vecinătatea lui x V este N(x) := {y y este vecin al lui x} Vecinătatea închisă a lui x este N[x] := N(x) {x} Gradul minim al lui G este δ(g) = min{deg(x) x V } Gradul maxim al lui G este (G) = max{deg(x) x V }
31 Noţiuni de bază pentru grafuri neorientate Terminologie pentru G = (V, E) (2) Exemplu Ordinul lui G este V, numărul de noduri. Mărimea lui G este E, numărul de muchii. Vecinătatea lui x V este N(x) := {y y este vecin al lui x} Vecinătatea închisă a lui x este N[x] := N(x) {x} Gradul minim al lui G este δ(g) = min{deg(x) x V } Gradul maxim al lui G este (G) = max{deg(x) x V } a b c d e f g h G = (V, E) unde V = {a, b, c, d, e, f }, E = {{a, d}, {a, e}, {b, c}, {b, e}, {b, g}, {c, f }, {d, f }, {d, g}, {g, h}} N(d) = {a, f, g}, N[d] = {a, d, f, g}, (G) = deg(b) = 3, δ(g) = deg(h) = 1.
32 Noţiuni de bază pentru grafuri neorientate Conectivitate (3) Fie G = (V, E) un graf neorientat. Un lanţ (sau cale) de la v 1 la v n este o secvenţă de noduri d = (v 1, v 2,..., v n ) astfel încât v i+1 este vecinul lui v i pentru orice 1 i < n. Lungimea lanţului d este n 1. d este elementar dacă nodurile v 1,..., v n sunt distincte. d este simplu dacă nu conţine de mai multe ori aceeaşi muchie. d este ciclu dacă este lanţ simplu de lungime 3 şi, v 1 = v n. Un ciclu d = (v 1,..., v n, v 1 ) este elementar dacă nodurile v 1,..., v n sunt distincte. v şi v sunt conectate dacă există un lanţ de la v la v. G este conex dacă orice 2 noduri sunt conectate.
33 Noţiuni de bază pentru grafuri neorientate Terminologie pentru G = (V, E) (4) Exemplu c f a (f ) este lanţ de lungime 0. (a, c, f, c, b, d) este lanţ de lungime 5. b Acest lanţ nu este nici simplu nici elementar. d e (b, a, c, b, d, b) este ciclu de lungime 4. Acest ciclu este simplu şi ne-elementar. g (d, g, b, a, c, f, e) este lanţ simplu şi elementar de lungime 6. (g, d, b, c, a, b, g) este ciclu simplu dar ne-elementar. (e, d, b, a, c, f, e) este ciclu elementar.
34 Noţiuni de bază pentru grafuri neorientate Terminologie pentru G = (V, E) (4) Exemplu c f a (f ) este lanţ de lungime 0. (a, c, f, c, b, d) este lanţ de lungime 5. b Acest lanţ nu este nici simplu nici elementar. d e (b, a, c, b, d, b) este ciclu de lungime 4. Acest ciclu este simplu şi ne-elementar. g (d, g, b, a, c, f, e) este lanţ simplu şi elementar de lungime 6. (g, d, b, c, a, b, g) este ciclu simplu dar ne-elementar. (e, d, b, a, c, f, e) este ciclu elementar. Observaţii:
35 Noţiuni de bază pentru grafuri neorientate Terminologie pentru G = (V, E) (4) Exemplu c f a (f ) este lanţ de lungime 0. (a, c, f, c, b, d) este lanţ de lungime 5. b Acest lanţ nu este nici simplu nici elementar. d e (b, a, c, b, d, b) este ciclu de lungime 4. Acest ciclu este simplu şi ne-elementar. g (d, g, b, a, c, f, e) este lanţ simplu şi elementar de lungime 6. (g, d, b, c, a, b, g) este ciclu simplu dar ne-elementar. (e, d, b, a, c, f, e) este ciclu elementar. Observaţii: 1 Un lanţ sau ciclu elementar este simplu.
36 Noţiuni de bază pentru grafuri neorientate Terminologie pentru G = (V, E) (4) Exemplu c f a (f ) este lanţ de lungime 0. (a, c, f, c, b, d) este lanţ de lungime 5. b Acest lanţ nu este nici simplu nici elementar. d e (b, a, c, b, d, b) este ciclu de lungime 4. Acest ciclu este simplu şi ne-elementar. g (d, g, b, a, c, f, e) este lanţ simplu şi elementar de lungime 6. (g, d, b, c, a, b, g) este ciclu simplu dar ne-elementar. (e, d, b, a, c, f, e) este ciclu elementar. Observaţii: 1 Un lanţ sau ciclu elementar este simplu. 2 Teorema Fundamentală 1: v V deg(v) = 2 E.
37 Noţiuni de bază pentru grafuri neorientate Terminologie pentru G = (V, E) (4) Exemplu c f a (f ) este lanţ de lungime 0. (a, c, f, c, b, d) este lanţ de lungime 5. b Acest lanţ nu este nici simplu nici elementar. d e (b, a, c, b, d, b) este ciclu de lungime 4. Acest ciclu este simplu şi ne-elementar. g (d, g, b, a, c, f, e) este lanţ simplu şi elementar de lungime 6. (g, d, b, c, a, b, g) este ciclu simplu dar ne-elementar. (e, d, b, a, c, f, e) este ciclu elementar. Observaţii: 1 Un lanţ sau ciclu elementar este simplu. 2 Teorema Fundamentală 1: v V deg(v) = 2 E. 3 Teorema Fundamentală 2: Dacă v şi v sunt conectate atunci există un lanţ elementar de la v la v.
38 Tipuri speciale de grafuri simple (1) K n, C n, E n le complete K n K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 le cale P n sunt lanţurile elementare de n noduri v 1 v 2 v 3 v n le vide E n au n noduri, şi nu au nici o muchie. v 1 v 2 v 3... v n le ciclice C n constau din cicluri de lungime n C 3 C 4
39 Tipuri speciale de grafuri simple (2) bipartite G = (V, E) este bipartit dacă V = X Y unde X Y şi X Y = Toate muchiile au un capăt în X şi celălalt în Y. Exemplu de graf bipartit : X Y
40 Tipuri speciale de grafuri simple (2) bipartite G = (V, E) este bipartit dacă V = X Y unde X Y şi X Y = Toate muchiile au un capăt în X şi celălalt în Y. Exemplu de graf bipartit : X Y Un graf bipartit complet K m,n este un graf bipartit între X şi Y cu X = m, Y = n, astfel încât există o muchie între orice pereche de noduri (x, y) X Y.
41 Tipuri speciale de grafuri simple (2) bipartite G = (V, E) este bipartit dacă V = X Y unde X Y şi X Y = Toate muchiile au un capăt în X şi celălalt în Y. Exemplu de graf bipartit : X Y Un graf bipartit complet K m,n este un graf bipartit între X şi Y cu X = m, Y = n, astfel încât există o muchie între orice pereche de noduri (x, y) X Y. Exemple de grafuri bipartite complete K 1,4 K 3,4 K 3,2
42 Noţiuni de bază pentru grafuri orientate Terminologie pentru G = (V, E) (1) Exemplu Muchiile lui G se numesc arce. Scriem (u, v) E dacă E conţine un arc cu sursa u şi destinaţia v. u, v sunt adiacente dacă (u, v) E. Gradul interior al unui nod v este deg (v) = {e E e are destinaţia v}. Gradul exterior al unui nod v este deg + (v) = {e E e are sursa v}. a b e c d f Nod x deg (x) deg + (x) a 0 2 b 3 1 c 1 3 d 1 1 e 2 2 f 2 0
43 Noţiuni de bază pentru grafuri orientate Terminologie pentru G = (V, E) (1) Exemplu Muchiile lui G se numesc arce. Scriem (u, v) E dacă E conţine un arc cu sursa u şi destinaţia v. u, v sunt adiacente dacă (u, v) E. Gradul interior al unui nod v este deg (v) = {e E e are destinaţia v}. Gradul exterior al unui nod v este deg + (v) = {e E e are sursa v}. a b e c d f Nod x deg (x) deg + (x) a 0 2 b 3 1 c 1 3 d 1 1 e 2 2 f 2 0 Observaţie: v V deg (v) = v V deg + (v).
44 Noţiuni de bază pentru grafuri orientate Conectivitate: Drumuri şi circuite (2) Un drum de la v 1 la v n este o secvenţă de noduri d = (v 1, v 2,..., v n ) astfel încât (v i, v i 1 ) E pentru orice 1 i < n. Lungimea drumului d este n 1. d este simplu dacă arcele (v 1, v 2 ),..., (v n 1, v n ) sunt distincte două câte două. d este elementar dacă nodurile v 1,..., v n sunt distincte. Observaţie: orice drum elementar este simplu. Un circuit este un drum simplu d = (v 1, v 2,..., v n ) cu v 1 = v n. Circuitul d = (v 1,..., v n, v 1 ) este elementar dacă nodurile v 1,..., v n sunt distincte.
45 izomorfe a c d b g e f h Dacă putem redenumi şi repoziţiona nodurile primului graf, cele 2 grafuri devin identice.
46 izomorfe a c d b g e f h Dacă putem redenumi şi repoziţiona nodurile primului graf, cele 2 grafuri devin identice.
47 izomorfe a c d b g e f h Dacă putem redenumi şi repoziţiona nodurile primului graf, cele 2 grafuri devin identice. izomorfe G = (V 1, E 1 ) şi H = (V 2, E 2 ) sunt izomorfe dacă există o funcţie bijectivă f : V 1 V 2 astfel încât {x, y} E 1 dacă şi numai dacă {f (x), f (y)} E 2, sau (x, y) E 1 dacă şi numai dacă (f (x), f (y)) E 2.
48 izomorfe a c d b g e f h Dacă putem redenumi şi repoziţiona nodurile primului graf, cele 2 grafuri devin identice. izomorfe G = (V 1, E 1 ) şi H = (V 2, E 2 ) sunt izomorfe dacă există o funcţie bijectivă f : V 1 V 2 astfel încât {x, y} E 1 dacă şi numai dacă {f (x), f (y)} E 2, sau (x, y) E 1 dacă şi numai dacă (f (x), f (y)) E 2. Remarcă: Când 2 grafuri G şi H sunt izomorfe, se obişnuieşte să se spună că G este H şi să se scrie G = H.
49 Modalităţi de reprezentare a grafurilor 1 Listă de noduri + listă de muchii 2 Liste de adiacenţă 3 Matrice de adiacenţă 4 Matrice de incidenţă 5 Matrice de ponderi
50 simple Reprezentarea cu listă de noduri + listă de muchii Exemplu b a c d e Listă de noduri V = [a, b, c, d, e] Listă de muchii E = [{a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {c, e}, {d, e}] Observaţii: {a, b} = {b, a}, {a, c} = {c, a}, etc. muchie mulţimea de noduri adiacente la muchie b a c d e Listă de noduri V = [a, b, c, d, e] Listă de arce E = [(a, b), (c, a), (c, b), (d, a), (e, c), (e, d)] Observaţii: (a, b) (b, a), (a, c) (c, a), etc. muchie pereche (start,end) Remarcă Dacă nu există noduri izolate (cu 0 vecini), nu este necesar să fie reţinută lista de noduri V : V se poate calcula din E
51 simple Reprezentarea cu liste de adiacenţă Pentru fiecare nod u V se reţine lista de noduri adiacente la u Dacă G este neorientat, v este adiacent la u dacă există o muchie cu capetele u şi v. În grafuri neorientate, relaţia de adiacenţă este simetrică. Dacă G este orientat, v este adiacent la u dacă există un arc e E de la u la v, adică start(e) = u şi end(e) = v. Exemplu b a c d e a [b, c, d] b [a, c] c [a, b, e] d [a, e] e [c, d] b a c d e a [b] b [] c [a, b] d [a] e [c, d]
52 Matrice de adiacenţă Presupunem că G = (V, E) este un graf cu V = n noduri. Matricea de adiacenţă a lui G este A G = (m ij ) de dimensiune n n şi m ij := numărul de muchii de la al i-lea nod la al j-lea nod. Observaţii 1 Înainte de a construi A G din G, trebuie să fixăm o enumerare a tuturor nodurilor: [v 1, v 2,..., v n ] 2 Dacă G este neorientat, A G este matrice simetrică 3 Dacă G este graf simplu, A G conţine doar 0 şi 1
53 Matrici de adiacenţă pentru grafuri neorientate Vizualizarea unui graf neorientat reprezentat de A G Dacă A este o matrice simetrică n n cu a ij N pentru toţi i, j, un graf neorientat G care are matricea de adiacenţă A se construieşte astfel: 1 Se desenează n noduri v 1,..., v n în plan 2 Pentru orice i, j {1,..., n}, se trasează a ij muchii distincte între v i şi v j Exemplu v 2 v 3 A = v 1 v 4
54 Matrici de adiacenţă pentru grafuri orientate b Graful G : a c e are matricea de adiacenţă d A G = pentru enumerarea nodurilor [a, b, c, d, e].
55 Reprezentarea digrafurilor ponderate Matrici de ponderi Matricea de ponderi W G = (w ij ) a unui graf simplu ponderat, sau digraf ponderat G cu n noduri [v 1,..., v n ] are dimensiunea n n şi w ii = 0 pentru toţi 1 i n. w ij = w({v i, v j }) pentru orice muchie {v i, v j } E, dacă G este neorientat. w ij = w((v i, v j )) pentru orice arc (v i, v j ) E, dacă G este orientat. w ij = în toate celelalte cazuri.
56 Reprezentarea digrafurilor ponderate Matrici de ponderi Matricea de ponderi W G = (w ij ) a unui graf simplu ponderat, sau digraf ponderat G cu n noduri [v 1,..., v n ] are dimensiunea n n şi w ii = 0 pentru toţi 1 i n. w ij = w({v i, v j }) pentru orice muchie {v i, v j } E, dacă G este neorientat. w ij = w((v i, v j )) pentru orice arc (v i, v j ) E, dacă G este orientat. w ij = în toate celelalte cazuri. Digraf ponderat cu enumerare de noduri [a, b, c, d, e, f ] G : a 3 4 b e c d 7 12 f W G =
57 Modalităţi de reprezentare a grafurilor Studiu comparativ Reprezentarea cu listă de muchii Adecvată pentru reprezentarea grafurilor simple fără noduri izolate, cu E V Complexitate spaţială (memorie ocupată): O( E ) Reprezentarea cu liste de adiacenţă Permite enumerarea rapidă a vecinilor unui nod Complexitate spaţială (memorie ocupată): O( V + E ) Reprezentarea cu matrice de adiacenţă A G = (a ij ) sau cu matrice de ponderi W G = (w ij ) Test rapid de conectivitate directă între 2 noduri: O(1) (v i, v j ) E dacă a ij = 0 sau dacă w ij = Complexitate spaţială (memorie ocupată): O( V 2 ) - reprezentare neadecvată când E V 2 Reprezentare cu matrice de incidenţă M G Complexitate temporală: O( V E )
58 Operaţii pe grafuri Presupunem că G = (V, E) este un graf neorientat, v V, S V, e E, T E Ştergere de noduri: G v este graful care se obţine eliminând din G nodul v şi toate muchiile incidente la v. G S este graful care se obţine eliminând din G nodurile din S şi toate muchiile incidente la un nod din S. Un subgraf al lui G este orice graf G S. Ştergere de muchii G e este graful care se obţine eliminând din G muchia e. Capetele lui e nu se elimină. G T este graful care se obţine eliminând din G toate muchiile din T.
59 parţiale şi subgrafuri Fie G = (V, E ) şi G = (V, E ). G este un graf parţial al lui G dacă V V şi G se obţine din G prin ştergeri succesive de noduri si muchii. G este un subgraf al lui G dacă V V şi G se obţine ştergând din G nodurile din V V. G este o componentă a lui G dacă este un subgraf maximal care este conex. G este o clică a lui G dacă (1) G este subgraf al lui G şi (2) G este (izomorf cu) un graf complet K n, n 2. v este un nod de tăiere al lui G dacă G v are mai multe componente decât G. e este o punte a lui G dacă G e are mai multe componente decât G. S este o mulţime de tăiere a unui graf conex G dacă S V, şi G S nu este conex.
60 neorientate Componente conexe Exemple 1 2 G 1 : G 2 : c a d b e c f g a d b e este conex. nu este conex. G 2 are 3 componente: G 2 {e, f, g}, G 2 {a, b, c, d, e}, şi G 3 = G 2 {a, b, c, d, f, g}. c b 3 G 3 : d a nu este conex. G 3 are 2 componente: e f G 3 {b, d, f } şi G 3 {a, c, e}.
61 Operaţii pe grafuri Exemplu: ştergere de noduri şi muchii a b c e f g G d a b c d e f g G a b c d e f g G {{c, d}} a b c d e f g G {{e, g}, {f, g}}
62 Operaţii pe grafuri Exemplu: ştergere de noduri şi muchii b e a g c f b e a d g c f b e a d g c f G d G G {{c, d}} d este nod de tăiere în G. a b c d e f g G {{e, g}, {f, g}}
63 Operaţii pe grafuri Exemplu: ştergere de noduri şi muchii b e a g c f b e a d g c f b e a d g c f G d G G {{c, d}} d este nod de tăiere în G. {a, b} este punte în G. a b c d e f g G {{e, g}, {f, g}}
64 parţiale şi subgrafuri Fie G, G două grafuri. Quiz Spunem că G este liber de G, sau G -liber, dacă G nu este subgraf al lui G. Se consideră grafurile K 1,3 Z 1 N Care din grafurile următoare sunt K 1,3 -libere? Care sunt Z 1 -libere? Care sunt N-libere?
Grafuri neorinetate Aplicatii 1 Care este numărul maxim de componente conexe pe care le poate avea un graf neorientat cu 20 noduri şi 12 muchii? a. 6
Grafuri neorinetate Aplicatii 1 Care este numărul maxim de componente conexe pe care le poate avea un graf neorientat cu 20 noduri şi 12 muchii? a. 6 b. 12 c. 10 d. 15 2 Câte grafuri neorientate, distincte,
Mai mult2.1.Tipul tablou unidimensional
7. Grafuri 7.1. Grafuri neorientate - Teste grilă 1. V_88_I_5. Care este numărul minim de noduri pe care îl poate conţine un graf neorientat cu 50 de muchii, şi în care 15 noduri sunt izolate? a. 25 b.
Mai multMicrosoft PowerPoint - Curs_SDA_9_RO_2019_v2.pptx
SDA (PC2) Curs 9 Liste / Grafuri / Arbori Iulian Năstac Lista dublu înlănțuită Recapitulare Într-o astfel de listă fiecare nod conţine doi pointeri: unul spre nodul următor şi unul spre nodul precedent.
Mai multProbleme rezolvate informatica: Probleme rezolvate grafuri si a
Mai multe Creați blog Autentificare LUNI, 11 MARTIE 2013 Probleme rezolvate grafuri si arbori Probleme rezolvate de catre : Ginghina Cristian Onica Viorel Neculai Alexandru Anton Cosmin INFORMATICA Teorie
Mai multMicrosoft Word - _arbori.docx
ARBORI Să presupunem că o firmă doreşte să conecteze la TV, prin cablu, cele n case ale unui sat. Cum vor fi conectate casele la cablu? Logic, va trebui ca fiecare casă să fie conectată. Apoi, la o casă
Mai multStructuri de date pentru partiţii de mulţimi O partiţie finită a unei mulţimi nevide S este o mulţime finită de submulţimi ale lui S: {S 1, S 2,..., S
Structuri de date pentru partiţii de mulţimi O partiţie finită a unei mulţimi nevide S este o mulţime finită de submulţimi ale lui S: {S 1, S 2,..., S n P(S) care satisface condiţiile următoare: S i 0
Mai multLogică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014
Logică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014 Un exemplu: automatul de cafea acțiuni (utilizator): introdu
Mai multLogică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea marius/curs/lsd/ 3 noiembrie 2014
Logică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 3 noiembrie 2014 Unde aplicăm verificarea realizabilității? probleme de căutare și
Mai multSlide 1
SCTR -SZOKE ENIKO - Curs 4 continuare curs 3 3. Componentele hard ale unui sistem de calcul in timp real 3.1 Unitatea centrala de calcul 3.1.1 Moduri de adresare 3.1.2 Clase de arhitecturi ale unitatii
Mai multE_d_Informatica_sp_MI_2015_bar_02_LRO
Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. d) Informatică Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializările: matematică-informatică matematică-informatică intensiv informatică Toate subiectele
Mai multLogică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014
Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014 Relații în lumea reală și informatică Noțiunea matematică de
Mai multNr. 932 din Avizat ISJ Vâlcea, Inspector școlar informatică, Ciochină Luisa EXAMEN DE ATESTARE A COMPETENȚELOR PROFESIONALE A ABSOLVENȚILOR
Nr. 932 din 12.12.2018 Avizat ISJ Vâlcea, Inspector școlar informatică, Ciochină Luisa EXAMEN DE ATESTARE A COMPETENȚELOR PROFESIONALE A ABSOLVENȚILOR DE MATEMATICĂ INFORMATICĂ ȘI MATEMATICĂ INFORMATICĂ,
Mai multFacultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:
Mai multIntroducere
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic AEACD 17. Segmentarea imaginilor: Region-based segmentation. Graph Theory In Image Segmentation Region-based segmentation
Mai multAnaliză de flux de date 29 octombrie 2012
Analiză de flux de date 29 octombrie 2012 Analiză statică: definiţie O analiză a codului sursă (fără a executa programul), cu scopul de a determina proprietăţi ale programului sursă. (in principal corectitudinea,
Mai multRetele Petri si Aplicatii
Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 3 RPA (2019) Curs 3 1 / 48 Conţinutul cursului 1 Arbori de acoperire 2 Probleme de decizie în reţele Petri 3 Invarianţi tranziţie RPA (2019) Curs 3 2 / 48 Arbori de acoperire
Mai multMinisterul Educatiei, Cercetarii si Tineretului Grup Scolar Gh. Asachi Galati Proiect pentru obtinerea certificatului de competente profesionale Speci
Ministerul Educatiei, Cercetarii si Tineretului Grup Scolar Gh. Asachi Galati Proiect pentru obtinerea certificatului de competente profesionale Specializare : matematica-informatica 2006-2007 Tema proiectului:
Mai multPrelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)
Mai mult1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x.
1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x. Date de intrare: arr [] = {10, 2, 14, 4, 7, 6}, x =
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multExamView Pro - Untitled.tst
Class: Date: Subiecte logica computationala licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Fie formula
Mai multLecții de pregă,re la informa,că Admitere 2019 Tema: Discutarea problemelor date la ul,mele sesiuni de admitere Bogdan Alexe
Lecții de pregă,re la informa,că Admitere 2019 Tema: Discutarea problemelor date la ul,mele sesiuni de admitere Bogdan Alexe bogdan.alexe@fmi.unibuc.ro Cuprinsul lecției de azi Enunțuri și rezolvări pentru
Mai multGheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Mai multCursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai multI
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
Mai multTeoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A 1,...,
Teoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A,..., A r unde A,..., A r sunt elemente distincte dintr-o
Mai multSlide 1
BAZELE ELECTOTEHNICII BE I An I - ETTI CUS 3 Conf. dr.ing.ec. Claudia PĂCUA e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro CICUITE ELECTICE DE CUENT CONTINUU Teorema conservării puterilor Enunț: Puterea primită
Mai multG.I.S. Curs 3
G.I.S. Curs 3 Geogafia Mediului 1.04.2014 Dr. Constantin Nistor Formatul de date vectorial Datele vectoriale descriu lumea sub forma unui spaţiu populat de linii în variate aspecte şi feluri: puncte, linii,
Mai multMicrosoft Word - V_4_Inmultirea_nr_nat.doc
3 Înmulţirea numerelor naturale De acum, pentru înmulţire vom folosi semnul în loc de Ex În loc de 32 9 vom scrie 32 9 Dacă a şi b sunt două numere naturale, prin produsul lor vom înţelege a b Ex a) Produsul
Mai multAlgebra si Geometri pentru Computer Science
Natura este scrisă în limbaj matematic. Galileo Galilei 5 Aplicatii liniare Grafica vectoriala In grafica pe calculator, grafica vectoriala este un procedeu prin care imaginile sunt construite cu ajutorul
Mai multLimbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; pa
Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; paranteze: (, ); simbolul de egalitate =; cuantificatorul
Mai multSECURITATE ȘI CRIPTOGRAFIE
Noțiuni de bază ale criptografiei Criptografia este studiul metodelor matematice legate de securitatea informației, capabile să asigure confidențialitatea, autentificarea și non-repudierea mesajelor, precum
Mai multSlide 1
Arhitectura Sistemelor de Calcul Curs 8 Universitatea Politehnica Bucuresti Facultatea de Automatica si Calculatoare cs.pub.ro curs.cs.pub.ro Structura SIMD Cuprins Probleme de Comunicatii intre Procesoarele
Mai multSlide 1
ELECTROTEHNCĂ ET An - SA CRS 8 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCRAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro . ntroducere în teoria circuitelor electrice. Puteri în regim armonic 3. Caracterizarea în complex a
Mai multSlide 1
BAZELE ELECTROTEHNICII I BE An I - ETTI CURS 1 Conf. dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro BAZELE ELECTROTEHNICII I (BE) ETTI Curs Seria A - Prof. dr. ing. Vasile ȚOPA Vasile.Topa@ethm.utcluj.ro
Mai multSubiectul 1
Subiectul 1 În fişierul Numere.txt pe prima linie este memorat un număr natural n (n
Mai multCursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l
Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative la R n, în principal), sunt prezentate aici elemente
Mai multMatematica VI
There are no translations available. Datorita unor probleme tehnice, site-ul nu poate fi vizionat cu Internet Explorer 8, partea de teste (apare pagina alba). Pentru navigare, va recomandam Chrome, Mozilla,
Mai multDorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
Mai multLogică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu
Logică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu casandra@cs.upt.ro https://tinyurl.com/lectureslsd Mulțimi aspecte teoretice Ce sunt mulțimile? Mulțimea e un concept matematic fundamental. Definiție
Mai multCOMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati
COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan
Mai multAnaliză statică Analiza fluxului de date 23 octombrie 2014
Analiză statică Analiza fluxului de date 23 octombrie 2014 Analiză statică: definiție O analiză a codului sursă (fără a executa programul), cu scopul de a determina proprietăți ale programului sursă. (in
Mai multMicrosoft Word - Tema 06 - Convertoare analog-numerice.doc
Convertoare analog-numerice (ADC) Convertoarele analog-numerice sunt circuite electronice (în variantă integrată sau hibridă) care, printr-un algoritm intrinsec de funcţionare, asociază valorilor tensiunii
Mai multFILTRE DE REALIZARE CU CIRCUITE DE INTEGRARE
FILTRE ACTIVE BIQUAD REALIZATE CU CIRCUITE DE INTEGRARE. SCOPUL LUCRĂRII Măsurători asupra unor filtre active biquad de tip RC realizate cu circuite de integrare.. ASPECTE TEORETICE Considerăm funcţia
Mai multSlide 1
BAZELE ELECTOTEHNICII I BE An I - ETTI CS 2 Conf. dr.ing.ec. Claudia PĂCA e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro CAPITOLL I CICITE ELECTICE DE CENT CONTIN GENEALITĂȚI Circuitul electric de curent continuu
Mai multCURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),
CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul
Mai multCapitole Speciale de Informatică Curs 1: Extragerea informaţiilor. Modelul boolean şi modelul boolean extins 27 septembrie 2018 Extragerea informaţiil
Capitole Speciale de Informatică Curs 1: Extragerea informaţiilor. Modelul boolean şi modelul boolean extins 27 septembrie 2018 Extragerea informaţiilor (engl. Information Retrieval, IR) constă în găsirea
Mai multMicrosoft Word - a5+s1-5.doc
Unitatea şcolară: Şcoala cu cls. I-VIII Sf. Vineri Profesor: Gh. CRACIUN Disciplina: Matematică Clasa a V-a / 4 ore pe săpt./ Anul şcolar 007-008 PROIECTAREA DIDACTICĂ ANUALĂ Număr săptămâni: 35 Număr
Mai multMicrosoft Word - Probleme-PS.doc
PROBLEME PROPUSE PENTRU EXAMENUL LA PRELUCRAREA SEMNALELOR a) Să se demonstreze că pentru o secvenńă pară x[ n] x[ n] este adevărată egalitatea X( z) X( z) b) să se arate că polii (zerourile) acestei transformate
Mai multOPERATII DE PRELUCRAREA IMAGINILOR 1
OPERATII DE PRELUCRAREA IMAGINILOR Prelucrarea imaginilor 2 Tipuri de operatii de prelucrare Clasificare dupa numarul de pixeli din imaginea initiala folositi pentru calculul valorii unui pixel din imaginea
Mai mult20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do
SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul
Mai multŞiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
Mai multFIŞA DISCIPLINEI
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1.Instituţia de învăţământ superior Universitatea SPIRU HARET 1.2.Facultatea Inginerie, Informatică şi Geografie 1.3.Departamentul Informatică şi Geografie 1.4.Domeniul
Mai multALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine număru
ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine numărul de operaţii efectuate de către un algoritm care determină
Mai multDETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG
UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA SI FIZICA NUCLEARA BN-03 B DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG. Scopul lucrării Determinarea
Mai multCursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont
Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi
Mai multCRIPTOSISTEME SIMETRICE I
CRIPTOSISTEME SIMETRICE I Criptografie Anul II Martie 2019 Criptosistem P = mulţimea mesajelor în clar + K = mulţimea cheilor E C = mulţimea mesajelor criptate C = mulţimea mesajelor criptate + K = mulţimea
Mai multCurs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi
Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a
Mai multInstrucţiuni de asamblare USCĂTOARELE DE CEREALE ANTTI M06 3W CAPETELE CANALELOR DE AER 0,5 M (ro) ANTTI-TEOLLISUUS OY Koskentie 89 FI Ka
Instrucţiuni de asamblare USCĂTOARELE DE CEREALE ANTTI M06 W CAPETELE CANALELOR DE AER 0, M 00 (ro) ANTTI-TEOLLISUUS OY Koskentie FI-0 Kanunki, Salo Tel. + 00 E-mail: antti@antti-teollisuus.fi www.antti-teollisuus.fi
Mai multSlide 1
STRUCTURI DE DATE Arbori B Sisteme de Gestiune a Bazelor de Date Relaţionale (SGBDR): operatie importanta regasirea rapida a datelor indecsi. Indexul: colecţie de perechi
Mai multClasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Mai mult2
C5: Metoda matricilor de transfer BIBLIOGRAFIE E. Tulcan Paulescu, M. Paulescu Algorithms for electronic states in artificial semiconductors of use in intermediate band solar cells engineering. In Physics
Mai multProbleme proiect TP BITPERM Implementați un algoritm care citește de la intrarea standard două numere naturale și scrie la ieșirea standard da
Probleme proiect TP 2016 1. BITPERM Implementați un algoritm care citește de la intrarea standard două numere naturale și scrie la ieșirea standard dacă reprezentarea binară a unuia dintre numere poate
Mai multPrelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi
Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte
Mai multCapitole Speciale de Informatică Curs 4: Calculul scorurilor în un sistem complet de extragere a informaţiilor 18 octombrie 2018 Reamintim că în cursu
Capitole Speciale de Informatică Curs 4: Calculul scorurilor în un sistem complet de extragere a informaţiilor 18 octombrie 2018 Reamintim că în cursul precedent am prezentat modelul de spaţiu vectorial
Mai multTeoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.
Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului
Mai multModelarea si Simularea Sistemelor de Calcul
Modelarea şi Simularea Sistemelor de Calcul Generarea de numere aleatoare ( lab. 5) Numim variabilă aleatoare acea funcţie X : (Ω, δ, P) R, care în cazul mai multor experimente efectuate în condiţii identice
Mai multMicrosoft Word - CarteC.doc
INSTRUCŢIUNILE LIMBAJULUI C (2) Instrucţiuni repetitive Instrucţiunea while Instrucţiunea while are formatul: while(expresie) Expresie DA Instrucţiune NU Instrucţiunea while produce în primul rând evaluarea
Mai mult06. Modelarea continua si discreta a sistemelor - MAGS 1
FIȘA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1. Instituția de învățământ superior Universitatea de Vest din Timișoara 1.2. Facultatea Matematică și Informatică 1.3. Departamentul Matematică 1.4. Domeniul
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Mai multGHERCĂ MAGDA CASA CORPULUI DIDACTIC BRĂILA PORTOFOLIU EVALUARE INFORMATICĂ ȘI TIC PENTRU GIMNAZIU CLASA A V-A Neamț SERIA 1 GRUPA 1 CURSANT: GHERCĂ G
CASA CORPULUI DIDACTIC BRĂILA PORTOFOLIU EVALUARE INFORMATICĂ ȘI TIC PENTRU GIMNAZIU CLASA A V-A Neamț SERIA 1 GRUPA 1 CURSANT: GHERCĂ G MAGDA COLEGIUL NAŢIONAL ROMAN-VODĂ ROMAN PROIECTUL UNITĂŢII DE ÎNVĂŢARE
Mai multGeometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 12 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 3 Apendix 2
Mai multSlide 1
METODE INTELIGENTE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR REALE Laura Dioşan Tema 2 Conţinut Probleme de optimizare combinatorială Problema rucsacului şi problema comisului voiajor Formularea problemei şi exemple
Mai multALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja f
ALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja far Mohammed ibn Musâ al- Khowârizmî în cartea sa intitulată
Mai multCL2009R0976RO bi_cp 1..1
2009R0976 RO 31.12.2014 002.001 1 Acest document reprezintă un instrument de documentare, iar instituţiile nu îşi asumă responsabilitatea pentru conţinutul său. B REGULAMENTUL (CE) NR. 976/2009 AL COMISIEI
Mai multProiectarea Algoritmilor
Proiectarea Algoritmilor Greedy Programare dinamica Greedy Greedy Metodă de rezolvare eficientă a unor probleme de optimizare Se pleacă de la o soluție parțială elementară Există un criteriu de optim local
Mai multDistanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,
Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea
Mai multSlide 1
Gruparea (si clasificarea) fuzzy a datelor Introducere Aspecte teoretice generale Gruparea tranșantă Metode fuzzy FCM SC Utilizarea metodelor fuzzy în matlab. Exemplificare Introducere (1) Obiectivul grupării
Mai multLaborator 3
Laborator 3 Programare III săptămâna 8-12.10.2018 OBIECTIVE: - Folosirea modificatorilor unei clase (public, abstract, final) - Folosirea modificatorilor de acces în declaraţiile membrilor unei clase Noţiuni:
Mai multLimbaje Formale, Automate si Compilatoare
Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare Curs 1 2018-19 LFAC (2018-19) Curs 1 1 / 45 Prezentare curs Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare - Curs 1 1 Prezentare curs 2 Limbaje formale 3 Mecanisme
Mai mult2 BAZE TEORETICE ALE REȚELELOR DE CALCULATOARE CAPITOLUL 2 BAZE TEORETICE ALE REŢELELOR DE CALCULATOARE 2.1. Necesitatea standardizării (referenţierii
CAPITOLUL 2 BAZE TEORETICE ALE REŢELELOR DE CALCULATOARE 2.1. Necesitatea standardizării (referenţierii) reţelelor de calculatoare După cum am precizat în capitolul anterior, din punct de vedere fizic
Mai multMicrosoft Word - Tsakiris Cristian - MECANICA FLUIDELOR
Cuvânt înainte Acest curs este destinat studenţilor care se specializează în profilul de Inginerie economică industrială al Facultăţii de Inginerie Managerială și a Mediului, care funcţionează în cadrul
Mai multElectricitate II
Electricitate II Circuitul electric. Legile circuitului electric. Sumar Circuitul electric simplu Legile lui Ohm Legile lui Kirchhoff Gruparea rezistorilor Transformarea stea-triunghi Gruparea generatoarelor
Mai multPerformanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a
Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a 6.02.2016 si 13.02.2016 Material intocmit de prof. BAJAN MARIANA
Mai multSecţiunea 7-8 începători Concurs online de informatică Categoria PROGRAMARE PROBLEMA 1 ID 100 puncte Calculatoarele trebuie să se recunoască în rețeau
PROBLEMA ID 00 puncte Calculatoarele trebuie să se recunoască în rețeaua de Internet printr-un ID. În prezent, există metode de identificare a ID-ului folosite la scară globală: IPv4 și IPv6. Adresele
Mai multConcurs online de informatică Categoria PROGRAMARE Secţiunea 5-6 avansaţi PROBLEMA puncte DANS De 1 Iunie - Ziua Copilului se organizează un spe
PROBLEMA 1 DANS De 1 Iunie - Ziua Copilului se organizează un spectacol de dans cu şi pentru copii. Acesta este programat să se desfăşoare în intervalul orar 10.30-12.00. În spectacol se înscriu n trupe
Mai multMergedFile
PROIECT DIDACTIC Clasa a VII-a Matematică Proiect didactic realizat în cadrul programului - pilot Digitaliada, revizuit de Simona Roșu, profesor Digitaliada Textul și ilustrațiile din acest document începând
Mai multOLM_2009_barem.pdf
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Societatea de Ştiinţe Matematice din Romania Olimpiada Naţională de Matematică Etapa finală, Neptun Mangalia, 13 aprilie 2009 CLASA A VII-a, SOLUŢII ŞI BAREMURI
Mai multgaussx.dvi
Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care
Mai multA.E.F. - suport laborator nr.3 sem.ii Aplicațe privind utilizarea rețelelor 1D În acest laborator sunt atinse următoarele aspecte: realizarea schițelo
Aplicațe privind utilizarea rețelelor 1D În acest laborator sunt atinse următoarele aspecte: realizarea schițelor utilizate în crearea elementelor, orientarea corectă a elementelor în conformitate cu structura
Mai multSlide 1
STRUCTURI DE DATE Lista simpla Lista dubla LISTA LINIARA Lista liniara: Colectie de elemente denumite noduri; Relatie de ordine rezultata din pozitia nodurilor; Elemente de acelasi tip structura omogena;
Mai multElemente de aritmetica
Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al
Mai multMicrosoft Word - Curs_08.doc
Partea a II-a. Proiectarea bazelor de date Capitolul 6. Tehnici de proiectare şi modele În capitolele precedente s-au analizat modele de baze de date şi limbaje, presupunând în cele mai multe cazuri că
Mai multMD.09. Teoria stabilităţii 1
MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,
Mai multPachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL
Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.
Mai mult..MINISTERUL EDUCAŢIEI NAȚIONALE ŞI CERCETARII STIINTIFICE UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIȘOARA.I CENTRUL DE DEZVOLTARE ACADEMICĂ. FIȘA DISCIPLINEI 1.
FIȘA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1. Instituția de învățământ superior Universitatea de Vest din Timișoara 1.2. Facultatea Matematică și Informatică 1.3. Departamentul Informatică 1.4. Domeniul
Mai multMihaela Stet 1.PDF
PROBLEMA TRANSPORTULUI ÎN DISTRIBUTIA MARFURILOR Mihaela STET Universitatea de Vest Vasile Goldis Arad filiala Baia Mare ABSTRACT: Freight distribution with its basic component, freight transport, supposes
Mai multTablouri (continuare)
Vector Dinamic DYNAMIC ARRAY Observații 1. Un tablou este static: nu pot fi inserate sau şterse celule. 2. Vector - tablou unidimensional 3. Reprezentarea vectorilor este secvenţială, adică elementele
Mai mult