MergedFile

Transcriere

1 GHID DE PREDARE A MATEMATICII CU AJUTORUL METODELOR DIGITALE Clasa a VI-a Realizat de Szasz Szilard, profesor Digitaliada, Nicoleta Duma, profesor Digitaliada, Aura Bârdeș, profesor Digitaliada, coordonat de Adina Roșca, expert educațional

2 Textul și ilustrațiile din acest document începând cu pagina 2 sunt licențiate de Fundația Orange conform termenilor și condițiilor licenței Attribution-NonCommercial- ShareAlike 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0) care poate fi consultată pe pagina web Ilustrațiile din acest document reprezintă capturi din aplicațiile recomandate pentru utilizare. Coperta (pagina 1), ilustrațiile, mărcile înregistrate, logo-urile Fundația Orange, Digitaliada și orice alte elemente de marcă incluse pe copertă sunt protejate prin drepturi de proprietate intelectuală exclusive și nu pot fi utilizate fără consimțământul anterior expres al titularilor de drepturi.

3 Mulțimi CUPRINS: Relații între mulțimi... p. 6 Operații cu mulțimi... p. 10 Recapitulare... p. 5 Mulțimea numerelor naturale Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime... p. 14 Determinarea c.m.m.d.c. și a c.m.m.m.c; numere prime între ele... p. 15 Recapitulare... p. 5 Rapoarte și Proporții Rapoarte. Procente... p. 18 Recapitulare... p. 5 Mărimi Mărimi direct proporționale/mărimi invers proporționale... p. 5 Reprezentarea datelor prin grafice... p. 21 Recapitulare... p. 5 Mulțimea numerelor întregi. Numere întregi 1 Adunarea numerelor întregi, proprietăți... p. 24 Scăderea numerelor întregi... p. 24 Înmulțirea numerelor întregi, proprietăți... p. 24 Împărțirea numerelor întregi... p. 24 Ecuații în mulțimea numerelor întregi... p. 24 Inecuații în mulțimea numerelor întregi... p. 24 Recapitulare... p. 5 Mulțimea numerelor raționale Simplificarea numerelor raționale... p. 28 Compararea numerelor raționale... p. 28 Transformarea numerelor raționale... p. 28 Scoaterea și introducerea întregilor... p. 28 Adunarea numerelor raționale... p. 31 Scăderea numerelor raționale... p. 31 1

4 Înmulțirea numerelor raționale cu un număr întreg... p. 31 Înmulțirea numerelor raționale... p. 31 Împărțirea numerelor raționale... p. 31 Ecuații și inecuații în mulțimea numerelor raționale p. 35 Unghiuri Unghiuri adiacente; bisectoarea unui unghi... p. 37 Perpendicularitate Perpendicularitate Drepte perpendiculare. Drepte oblice. Distanța de la un punct la o dreaptă... p. 40 Drepte perpendiculare în plan... p. 41 Mediatoarea unui segment... p. 41 Paralelism Cercul Drepte paralele; axioma paralelelor. Aplicații practice... p. 46 Criterii de paralelism... p. 48 Cerc; elemente în cerc... p. 49 Pozițiile relative ale unei drepte față de un cerc... p. 53 Triunghiul Anexe Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi... p. 57 Construcția triunghiurilor... p. 58 Metoda triunghiurilor congruente... p. 62 Cercul înscris în triunghi... p. 66 Cercul circumscris unui triunghi... p. 68 Proprietățile triunghiului isoscel... p. 70 Proprietățile triunghiului echilateral... p. 74 Proprietățile triunghiului dreptunghic 1... p. 77 Proprietățile triunghiului dreptunghic 2... p. 80 Dreapta lui Euler... p. 84 Dreapta lui Simson... p. 87 Anexa 1 - Aplicații/Legendă/Recomandări... p. 3 Anexa 2 - Instrumente pentru consolidarea și evaluarea cunoștințelor/recomandări... p. 5 Anexa 3 - Planificare... p. 90 2

5 Anexa 4 - Proiecte didactice recomandate... p. 99 Anexa 1 Aplicații/Legendă/ Recomandare Aplicația recomandată Titlul lecției Sets 1. Relații între mulțimi 2. Operații cu mulțimi Primes numbers & Divisibility 1. Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime 2. Determinarea c.m.m.d.c. și a c.m.m.m.c; numere prime între ele Negative Numbers Torrential Maths 1. Adunarea numerelor întregi, proprietăți 2. Scăderea numerelor întregi 3. Înmulțirea numerelor întregi, proprietăți 4. Împărțirea numerelor întregi 5. Ecuații în mulțimea numerelor întregi 6. Inecuații în mulțimea numerelor întregi 1. Procente 2. Ecuații în mulțimea numerelor întregi 3. Inecuații în mulțimea numerelor întregi Chart Draw 1. Reprezentarea datelor GeoGebra 1. Unghiuri adiacente. Bisectoarea unui unghi 2. Drepte perpendiculare în plan. Mediatoarea unui segment 3. Drepte paralele; axioma paralelelor. Aplicații practice 4. Cerc: elemente în cerc 3

6 Pythagorea 5. Pozițiile relative ale unei drepte față de un cerc 6. Construcția triunghiurilor 7. Metoda triunghiurilor congruente 8. Cercul înscris în triunghi 9. Cercul circumscris unui triunghi 10. Proprietățile triunghiului isoscel 11. Proprietățile triunghiului echilateral 12. Proprietățile triunghiului dreptunghic Proprietățile triunghiului dreptunghic Dreapta lui Euler 15. Dreapta lui Simson 1. Drepte perpendiculare. Drepte oblice. Distanța de la un punct la o dreaptă. 2. Pozițiile relative ale unei drepte față de un cerc Angles 1. Criterii de paralelism 2. Suma măsurilor unghiurilor într-un triunghi Fraction 1. Simplificarea numerelor raționale 2. Compararea numerelor raționale 3. Transformarea numerelor raționale 4. Scoaterea și introducerea întregilor 5. Adunarea numerelor raționale 6. Scăderea numerelor raționale 7. Înmulțirea numerelor raționale cu un număr întreg 8. Înmulțirea numerelor raționale 9. Împărțirea numerelor raționale 10. Ecuații și inecuații în mulțimea numerelor raționale 4

7 Anexa 2 Instrumente pentru consolidarea și evaluarea cunostințelor/recomandări Aplicația recomadată Titlul lecției 1. Mulțimi Recapitulare Mulțimea numerelor 3. Rapoarte și proporții - Recapitulare 4. Mărimi direct/invers proporționale 1. Mulțimi Recapitulare 2. Rapoarte și proporții. Procente - Recapitulare Mărimi 4. Numere întregi Mulțimea numerelor întregi, axă, opus, modul, comparare 6.Operații cu numere întregi 7.Ecuații, inecuații și probleme în Z 8.Numere raționale 9.Triunghiul-noțiuni teoretice 10.Triunghiul - probleme 11.Congruența triunghiurilor 12.Triunghiuri particulare 5

8 Algebră Mulțimi Titlul lecției: Relații între mulțimi Aplicația recomandată: Sets Tipul lecției: Însușire de noi cunoștințe Relații între mulțimi Competențe generale si specifice: CG. 1 Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite CS. 1.1 Identificarea în limbajul cotidian sau în enunțuri matematice a unor noțiuni specifice teoriei mulțimilor CG 2 Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse informaționale CS. 2.1 Evidenţierea în exemple a relaţiilor de apartenenţă, de incluziune, de egalitate și a criteriilor de divizibilitate cu 2, 5, 10 n, 3 și 9 în N CG. 4 Exprimarea în limbajul specific matematicii a informațiilor, a concluziilor și a demersurilor de rezolvare pentru o situaţie dată CS 4.1 Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete care se pot descrie utilizând mulţimile și divizibilitatea în N Sugestie de utilizare a aplicației: După prezentarea legendei aplicației SETS, folosind o adaptare a metodei CUBULUI, elevii sunt împărțiți în șase grupe, fiecare desemnându-și un reprezentant care să prezinte la final achizițiile dobândite în fața colegilor de clasă, asumându-și rolul de profesor. Fiecare grupă va exersa timp de 4 minute o opțiune a aplicației SETS, după cum urmează: G1. Membership G2. Subsets G3. Cardinality G4. Union G5. Intersection G6. Difference La final, conectând tableta la videoproiector, reprezentantul fiecărei grupe va prezenta timp de 2 minute opțiunea exersată de grupa sa. 1. ELEMENT, RELAŢIA DE APARTENENŢĂ (MEMBERSHIP): Utilizând opțiunea MEMBERSHIP, pentru o mulțime generată, utilizatorul trebuie să precizeze un element al acesteia. Elementul precizat drept răspuns, trebuie să fie format dintr-o singură cifră. După validarea răspunsului, utilizatorul primește explicații teoretice, referitoare la definiția mulțimii și notațiile specifice pentru apartenență/nonapartenență. Răspunsul este contorizat prin opțiunea SCORE, ca fiind valid/invalid. După validare, apare un mesaj privind corectitudinea/incorectitudinea răspunsului. Utilizând tasta N, putem genera alte mulțimi pentru a exersa. 6

9 2. RELAȚIA DE INCLUZIUNE (SUBSETS): Utilizând opțiunea SUBSETS, pentru două mulțimi generate, utilizatorul trebuie să precizeze prin notația specifică dacă prima mulțime este sau nu submulțime pentru cea de a doua. După validarea răspunsului apare un mesaj privind corectitudinea/incorectitudinea acestuia, iar utilizatorul vizualizează o reprezentare grafică sugestivă pentru fixarea noțiunii teoretice. Răspunsul este contorizat prin opțiunea SCORE, ca fiind valid/invalid. Utilizând tasta N, putem genera alte mulțimi pentru a exersa. 7

10 3. CARDINALUL UNEI MULȚIMI FINITE (CARDINALITY): Utilizând opțiunea CARDINALITY, pentru două mulțimi generate, utilizatorul trebuie să precizeze numărul de elemente pentru cea de a doua. După validarea răspunsului, în cazul în care acesta este corect apare un mesaj de confirmare, în caz contrar răspunsul greșit este doar contorizat de opțiunea SCORE. Indiferent de corectitudinea răspunsului, după validarea acestuia, utilizatorul poate vizualiza cardinalul corect pentru fiecare dintre cele două mulțimi generate. Utilizând tasta N, putem genera alte mulțimi pentru a exersa. 8

11 9

12 Titlul lecției: Operații cu mulțimi Aplicația recomandată: Sets Tipul lecției: Însușire de noi cunoștințe Operații cu mulțimi Competențe generale și specifice: CG. 3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice CS Utilizarea unor modalităţi adecvate de reprezentare a mulţimilor și de determinare a c.m.m.d.c. şi a c.m.m.m.c. CG. 6. Modelarea matematică a unei situaţii date, prin integrarea achizițiilor din diferite domenii CS Transpunerea, în limbaj matematic, a unor situaţii date utilizând mulţimi, operații cu mulțimi și divizibilitatea în N 1. Operația de reuniune (union): Utilizând opțiunea UNION, pentru două mulțimi generate, utilizatorul trebuie să precizeze un element al reuniunii acestora. După validarea răspunsului, utilizatorul poate vizualiza o reprezentare grafică a operației pentru o mai bună însușire a noțiunii teoretice. Răspunsul este contorizat prin opțiunea SCORE, ca fiind valid/invalid. Utilizând tasta N, putem genera alte mulțimi pentru a exersa operația. 10

13 2. Operația de intersecție (intersection): Utilizând opțiunea INTERSECTION, pentru două mulțimi generate, utilizatorul trebuie să precizeze un element al intersecției acestora. După validarea răspunsului, utilizatorul poate vizualiza o reprezentare grafică a operației pentru o mai bună însușire a noțiunii teoretice. Răspunsul este contorizat prin opțiunea SCORE, ca fiind valid/invalid. După validare, apare un mesaj privind corectitudinea/incorectitudinea răspunsului. Utilizând tasta N, putem genera alte mulțimi pentru a exersa operația. 11

14 3. Diferența a două mulțimi (DIFFERENCE): Utilizând opțiunea DIFFERENCE, pentru două mulțimi generate, utilizatorul trebuie să precizeze un element din prima mulțime care nu se regăsește în a ceea de a doua. După validarea răspunsului apare un mesaj privind corectitudinea/incorectitudina răspunsului și utilizatorul poate vizualiza o reprezentare grafică a operației pentru o mai bună însușire a noțiunii teoretice precum și rezultatul diferenței celor două mulțimi, pentru a se convinge de corectitudinea/incorectitudinea răspunsului dat. Răspunsul este contorizat prin opțiunea SCORE, ca fiind valid/invalid. Utilizând tasta N, putem genera alte mulțimi pentru a exersa operația. 12

15 4. Produs cartezian a două mulțimi finite (CARTESIAN PRODUCT) Pentru elevii pasionați de matematică, care au rezolvat mai rapid sarcinile primite, profesorul poate propune și operația de produs cartezian a două mulțimi finite. Utilizând opțiunea CARTESIAN PRODUCT, pentru două mulțimi generate, utilizatorul trebuie să precizeze o variantă corectă pentru primul element al unei perechi din produsul cartezian al celor două mulțimi, al doilea element fiind cunoscut. După validarea răspunsului, în cazul în care acesta este corect apare un mesaj de confirmare, în caz contrar răspunsul greșit este doar contorizat de opțiunea SCORE. Utilizând tasta N, putem genera alte mulțimi pentru a exersa. 13

16 Mulțimea numerelor naturale Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime Titlul lecției: Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime Aplicația recomandată: Primes and divisibility Tipul lecției: Fixarea și consolidarea cunoștințelor Competențe generale și specifice: CG. 1 Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar CS. 1.1 Identificarea unor noţiuni specifice mulţimilor și relației de divizibilitate în N CG. 2 Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse informaționale CS. 2.1 Evidenţierea în exemple a relaţiilor de apartenenţă, de incluziune, de egalitate și a criteriilor de divizibilitate cu 2, 5,, 3 și 9 în N 1. Prime factorization: Pentru un număr natural generat, utlizatorul trebuie să selecteze descompunerea sa în factori primi, din patru variante posibile. În colțul din dreapta sus există un cronometru, fiind generate întrebări până când utilizatorul oferă 10 răspunsuri corecte, contorizate prin cerculețele verzi situate în partea de sus a ferestrei. La final, utilizatorul poate vizualiza timpul în care a răspuns, numărul total de întrebări și numărul de răspunsuri greșite. Utilizând butonul utilizatorul poate vizualiza mesajul Congratulations! dacă a răspuns corect la toate întrebările, respectiv răspunsul corect pentru fiecare întrebare la care a oferit o soluție greșită. 14

17 Titlul lecției: Determinarea c.m.m.d.c. și a c.m.m.m.c; numere prime între ele Aplicația recomandată: Primes and Divisibility Tipul lecției: Fixarea și consolidarea cunoștințelor Determinarea c.m.m.d.c. și a c.m.m.m.c; numere prime între ele Competențe generale și specifice: CG 1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite CS 1.1 Identificarea unor noţiuni specifice mulţimilor și relației de divizibilitate în N CG. 3 Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice CS. 3.1 Utilizarea unor modalităţi adecvate de reprezentare a mulţimilor și de determinare a c.m.m.d.c. şi a c.m.m.m.c. Sugestie de utilizare a aplicației: Elevii sunt împărțiți în grupe de câte trei, fiecare membru al grupei exersând una dintre opțiunile PRIME FACTORIZATION, GREATEST COMMON DIVISOR I, LEAST COMMON MULTIPLE I, timp de 4 minute. Ulterior, fiecare membru prezintă grupei din care face parte rezultatele dobândite timp de două minute. La final, grupa al cărei număr de ordine are cel mai mare număr de divizori naturali, va prezenta colegilor de clasă noțiunile însușite pentru fixarea și consolidarea acestora precum și pentru corectarea erorilor (4 min.). Profesorul oferă suport fiecărei grupe, în cazul constatării necesității acestuia. 1. GREATEST COMMON DIVISOR I Utilizatorul trebuie să selecteze c.m.m.d.c. pentru două numere naturale generate, din patru variante posibile. În colțul din dreapta sus există un cronometru, fiind generate întrebări până când utilizatorul oferă 10 răspunsuri corecte, contorizate prin cerculețele verzi situate în partea de sus a ferestrei. La final, utilizatorul poate vizualiza timpul în care a răspuns, numărul total de întrebări și numărul de răspunsuri greșite. Utilizând butonul, utilizatorul poate vizualiza mesajul Congratulations! dacă a răspuns corect la toate întrebările, respectiv răspunsul corect pentru fiecare întrebare la care a oferit o soluție eronată. 15

18 2. LEAST COMMON MULTIPLE I Utilizatorul trebuie să selecteze c.m.m.m.c. pentru două numere naturale generate, din patru variante posibile. În colțul din dreapta sus există un cronometru, fiind generate întrebări până când utilizatorul oferă 10 răspunsuri corecte, contorizate prin cerculețele verzi situate în partea de sus a ferestrei. La final, utilizatorul poate vizualiza timpul în care a răspuns, numărul total de întrebări și numărul de răspunsuri greșite. Utilizând butonul, utilizatorul poate vizualiza mesajul Congratulations! dacă a răspuns corect la toate întrebările, respectiv răspunsul corect pentru fiecare întrebare la care a oferit o soluție eronată. 16

19 17

20 Rapoarte și Proporții Titlul lecției: Rapoarte. Procente Aplicația recomandată: Torrential Maths Tipul lecției: Însușire de noi cunoștințe Rapoarte. Procente Competențe generale și specifice: CG. 2 Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse informaționale CS. 2.2 Prelucrarea cantitativă a unor date utilizând rapoarte și proporţii pentru organizarea de date CG. 5 Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii date CS. 5.1 Analizarea unor situaţii date în care intervin numere naturale pentru a estima sau pentru a verifica validitatea unor calculi 1. Descriere În cadrul fiecărei opțiuni: PERCENTAGES I și PERCENTAGES II, utilizatorul trebuie să aleagă timpul de lucru, având ca variante 60, 100 sau 200 sec. Pentru fiecare întrebare, timpul maxim de răspuns va fi de 10 secunde după expirarea acestora fiind generată o altă întrebare. Răspunsul corect primește două puncte, iar pentru un răspuns greșit utilizatorul pierde un punct (în cadrul PERCENTAGES I), respectiv două puncte (în cadrul PERCENTAGES II). 18

21 2. Percentages I: Utilizând PERCENTAGES I sunt generate întrebări care implică determinarea unui procent dintr-un număr natural în maximum 10 secunde și selectarea răspunsului corect din patru variante posibile. Opțiunea PERCENTAGES I are cinci nivele de dificultate, iar la expirarea timpului selectat utilizatorul poate vizualiza nivelul la care a ajuns și scorul. Răspunsul corect primește două puncte, iar pentru un răspuns greșit utilizatorul pierde un punct (în cadrul PERCENTAGES I). 19

22 3. Percentages II: Utilizând PERCENTAGES II sunt generate întrebări care implică determinarea unui procent dintr-un număr natural în maximum 10 secunde și selectarea răspunsului corect din patru variante posibile. Opțiunea PERCENTAGES II are nouă nivele de dificultate, iar la expirarea timpului selectat utilizatorul poate vizualiza nivelul la care a ajuns și scorul. Răspunsul corect primește două puncte, iar pentru un răspuns greșit utilizatorul pierde două puncte (în cadrul PERCENTAGES II). 20

23 Mărimi Titlul lecției: Reprezentarea datelor prin grafice Aplicația recomandată: CHART DRAW Tipul lecției: Însușire de noi cunoștințe Reprezentarea datelor prin grafice Competențe generale și specifice: CG. 1 Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar CG. 1.1 Identificarea unor noţiuni specifice mulţimilor și relației de divizibilitate în N CG. 2 Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse informaționale CS. 2.2 Prelucrarea cantitativă a unor date utilizând rapoarte și proporţii pentru organizarea de date CG. 5 Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii date CS. 5.2 Analizarea unor situaţii practice cu ajutorul rapoartelor, proporţiilor şi a colecţiilor de date 1. Descriere Aplicația CHART DRAW poate fi utilizată de către profesor fie pentru a realiza o diagramă și a solicita elevilor să rezolve un set de sarcini, cu scopul de a verifica în ce măsură aceștia interpretează corect datele reprezentate, fie pentru a solicita elevilor să realizeze ei înșiși diagrame, pornind de la un set de date cunoscute. 21

24 1. Curve Chart Sarcini de lucru: 1. Care este cantitatea maximă de cereale recoltate și de ce tip? 2. Cu cât este mai mare cantitatea de grâu decât cea de secară? 3. Care este cantitatea medie recoltată? 4. Ce procent din cantitatea de porumb reprezintă cantitatea de secară? 5. Care este raportul dintre cantitatea minimă și cantitatea maximă recoltată? 6. Pentru câte tipuri de cereale s-au recoltat mai mult de 10 tone? 22

25 2. Pie Chart SUGESTIE DE UTILIZARE: Pornind de la tabelul de mai jos, profesorul solicită elevilor să realizeze, la alegere, o diagramă de reprezentare a acestora utilizând aplicația CHAT DRAW și un set de întrebări pornind de la datele reprezentate, pe care să le adreseze colegului de bancă. Notă Nr. elevi

26 Mulțimea numerelor întregi. Numere întregi 1 Titlul lecțiilor: Adunarea numerelor întregi, proprietăți Scăderea numerelor întregi Adunarea numerelor întregi, proprietăți Scăderea numerelor întregi Înmulțirea numerelor întregi Împarțirea numerelor întregi Ecuații în mulțimea numerelor întregi Inecuații în mulțimea numerelor întregi Înmulțirea numerelor întregi Împărțirea numerelor întregi Ecuații în mulțimea numerelor întregi Inecuații în mulțimea numerelor întregi Aplicații recomandată: Negative Numbers/Torrential Maths Tipul lecției: Dobândirea de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG. 1 Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar. CS. 1.3 Identificarea caracteristicilor numerelor întregi în contexte variate; CG. 2 Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse informaționale CS 2.3. Utilizarea operațiilor cu numere întregi pentru rezolvarea ecuațiilor și inecuațiilor CG. 3 Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice. CS. 3.3 Aplicarea regulilor de calcul şi folosirea parantezelor în efectuarea operaţiilor cu numere întregi; CG. 5 Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii date. CS. 5.3 Interpretarea unor date din probleme care se rezolvă utilizând numerele întregi. 1. Descriere Aplicația Negative Numbers Jocul conţine șapte capitole, fiecare cu câte 10 exerciții/probleme în care intervin numere negative: cele patru operații cu numere negative, ecuații și inecuații cu coeficienți numere întregi și un ultim capitol ce conține tipuri diferite de exerciții cu numere întregi. Jocul permite cronometrarea perioadei de rezolvare și oferă un feedback la finalul celor 10 întrebări: se afișează câte răspunsuri corecte/greșite au oferit, iar pentru cele greșite afișează răspunsul corect. Elevii au posibilitatea de a relua exercițiul cu cerințe de același tip. 2. Descriere Aplicația Torrential Maths Acest joc este o aplicație matematică complexă, care permite elevilor să-și exerseze cunoștințele despre noțiunile algebrice studiate în gimnaziu. Aplicația permite elevilor să afle imediat dacă au rezolvat corect un exercițiu și să găsească răspunsul. Pentru a trece un nivel este nevoie de trei răspunsuri corecte. Dacă răspunsul este greșit, nivelul scade. Capitolul Math Inferno conține diverse probleme cu numere întregi, precum și secțiunile Addition II, Substraction II, Multiplication II, Division II pentru exersarea operațiilor cu numere întregi. Capitolele Inequalities și Equation conțin diverse probleme cu ecuații și inecuații. 24

27 3. Rezolvarea exercițiilor de la Capitolul Addition, Aplicația Negative Numbers sau Aplicația Torrential Maths 4. Rezolvarea exercițiilor de la Capitolul Subtraction, Aplicația Negative Numbers sau Aplicația Torrential Maths 25

28 5. Rezolvarea exercițiilor de la Capitolul - Multiplication, Aplicația Negative Numbers sau Aplicația Torrential Math 6. Rezolvarea exercițiilor de la Capitolul Division, Aplicația Negative Numbers sau Aplicația Torrential Math 26

29 7. Rezolvarea exercițiilor de la Capitolul - Equations, Aplicația Negative Numbers sau Aplicația Torrential Maths 8. Rezolvarea exercițiilor de la Capitolul Inequalities, Aplicația Negative Numbers sau Aplicația Torrential Math. 27

30 Mulțimea numerelor raționale Simplificarea numerelor raționale Compararea numerelor raționale Transformarea numerelor raționale Scoaterea și introducerea întregilor Titlul lecției: Simplificarea, compararea, transformarea numerelor raționale și scoaterea/introducerea întregilor Aplicația recomandată: Fractions Tipul lecției: Fixarea și consolidarea cunoștințelor Competențe generale și specifice: CG 1. Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar CS 1.4. Recunoaşterea fracţiilor echivalente, a fracţiilor ireductibile şi a formelor de scriere a unui număr raţional CG 3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice CS 3.4.Utilizarea proprietăţilor operaţiilor pentru compararea și efectuarea calculelor cu numere raţionale CG 5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii date CS 5.4. Determinarea unor metode eficiente în efectuarea calculelor cu numere raţionale 1. Descriere Jocul conţine douăsprezece capitole, fiecare cu câte 10 exerciții/probleme (ultimul capitol 30) în care intervin numere raționale: cele patru operații cu numere raționale cu două capitole cu înmulțire, simplificare, comparare, transformare a fracțiilor, scoaterea/introducerea întregilor, ecuații și inecuații cu coeficienți numere raționale și un ultim capitol ce conține tipuri diferite de exerciții cu numere raționale. Jocul permite cronometrarea perioadei de rezolvare și oferă un feedback la finalul celor 10 întrebări: se afișează câte răspunsuri corecte/greșite au oferit, iar pentru cele greșite afișează răspunsul corect. Elevii au posibilitatea de a relua exercițiul cu cerințe de același tip. 2. Fraction Simplification 28

31 Pentru un număr rațional generat, utilizatorul trebuie să selecteze forma ei ireductibilă din patru variante posibile. 3. Fraction Comparison Sunt generate două numere raționale separate prin semnul întrebării. Utilizatorul trebuie să selecteze unul din cele patru simboluri de comparare date, înlocuind astfel semnul întrebării. 29

32 4. Fractions, Decimal Numbers, and Percents Pentru un număr rațional generat, utilizatorul trebuie să selecteze din patru variante posibile forma lui. 5. Improper Fractions and Mixed Numbers Pentru un număr rațional generat, utilizatorul trebuie să selecteze din patru variante posibile forma lui. 30

33 În colțul din dreapta sus există un cronometru, fiind generate întrebări până când utilizatorul oferă 10 răspunsuri corecte, contorizate prin cerculețele verzi situate în partea de sus a ferestrei. La final, utilizatorul poate vizualiza timpul în care a răspuns, numărul total de întrebări și numărul de răspunsuri greșite. Utilizând butonul utilizatorul poate vizualiza mesajul Congratulations! dacă a răspuns corect la toate întrebările, respectiv răspunsul corect pentru fiecare întrebare la care a oferit o soluție greșită. Titlul lecției: Operații cu numere raționale Aplicația recomandată: Fractions Tipul lecției: Fixarea și consolidarea cunoștințelor Adunarea numerelor raționale Scăderea numerelor raționale Înmulțirea numerelor raționale cu un număr întreg Înmulțirea numerelor raționale Împărțirea numerelor raționale Competențe generale și specifice: CG 1. Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar CS 1.4. Recunoaşterea fracţiilor echivalente, a fracţiilor ireductibile şi a formelor de scriere a unui număr raţional CG 3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice CS 3.4.Utilizarea proprietăţilor operaţiilor pentru compararea și efectuarea calculelor cu numere raţionale CG 5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii date CS 5.4. Determinarea unor metode eficiente în efectuarea calculelor cu numere raţionale 1. Descriere Jocul conţine douăsprezece capitole, fiecare cu câte 10 exerciții/probleme (ultimul capitol 30) în care intervin numere raționale: cele patru operații cu numere raționale cu două capitole cu înmulțire, simplificare, comparare, transformare a fracțiilor, scoaterea/introducerea întregilor, ecuații și inecuații cu coeficienți numere raționale și un ultim capitol ce conține mai multe tipuri diferite de exerciții cu numere întregi. Jocul permite cronometrarea perioadei de rezolvare și oferă un feedback la finalul celor 10 întrebări: se afișează câte răspunsuri corecte/greșite au oferit, iar pentru cele greșite afișează răspunsul corect. Elevii au posibilitatea de a relua exercițiul cu alte cerințe de același tip. 31

34 2. Fraction Addition Sunt generate două numere raționale. Utilizatorul trebuie să selecteze din patru variante rezultatul adunării numerelor. 3. Fraction Substraction Sunt generate două numere raționale. Utilizatorul trebuie să selecteze din patru variante rezultatul scăderii numerelor. 32

35 4. Simple Fraction Multiplication Este generat un număr rațional și un număr natural. Utilizatorul trebuie să selecteze din patru variante rezultatul înmulțirii numerelor date. 5. Advanced Fraction Multiplication Sunt generate două numere raționale. Utilizatorul trebuie să selecteze din patru variante rezultatul înmulțirii celor două numere. 33

36 6. Fraction Divison Sunt generate două numere raționale. Utilizatorul trebuie să selecteze din patru variante rezultatul împărțirii numerelor. În colțul din dreapta sus există un cronometru, fiind generate întrebări până când utilizatorul oferă 10 răspunsuri corecte, contorizate prin cerculețele verzi situate în partea de sus a ferestrei. La final, utilizatorul poate vizualiza timpul în care a răspuns, numărul total de întrebări și numărul de răspunsuri greșite. Utilizând butonul utilizatorul poate vizualiza mesajul Congratulations! dacă a răspuns corect la toate întrebările, respectiv răspunsul corect pentru fiecare întrebare la care a oferit o soluție greșită. 34

37 Ecuații și inecuații în mulțimea numerelor raționale Titlul lecției: Ecuații și inecuații în mulțimea numerelor raționale Aplicația recomandată: Fractions Tipul lecției: Fixarea și consolidarea cunoștințelor Competențe generale și specifice: CG 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse informaționale CS 2.4. Aplicarea regulilor de calcul cu numere raţionale pentru rezolvarea ecuaţiilor de tipul: x + a = b, x a = b, x : a = b (a 0), ax + b = c, unde a, b și c sunt numere raționale CG 4. Exprimarea în limbajul specific matematicii a informațiilor, a concluziilor și a demersurilor de rezolvare pentru o situaţie dată CS 4.4. Redactarea etapelor de rezolvare a unor probleme, folosind operații în mulţimea numerelor raţionale CG 6 Modelarea matematică a unei situaţii date, prin integrarea achizițiilor din diferite domenii CS 6.4. Interpretarea matematică a unor probleme practice prin utilizarea operaţiilor cu numere raţionale 1. Descriere Jocul conţine douăsprezece capitole, fiecare cu câte 10 exerciții/probleme (ultimul capitol 30) în care intervin numere raționale: cele patru operații cu numere raționale cu două capitole cu înmulțire, simplificare, comparare, transformăre a fracțiilor, scoaterea/introducerea întregii, ecuații și inecuații cu coeficienți numere raționale și un ultim capitol ce conține tipuri diferite de exerciții cu numere întregi. Jocul permite cronometrarea perioadei de rezolvare și oferă un feedback la finalul celor 10 întrebări: se afișează câte răspunsuri corecte/greșite au oferit, iar pentru cele greșite afișează răspunsul corect. Elevii au posibilitatea de a relua exercițiul cu cerințe de același tip. 2. Fraction Equations Este generată o ecuație cu coeficienți numere raționale. Utilizatorul trebuie să selecteze din patru variante soluția ecuației. 35

38 3. Fraction Inequalities Este generată o inecuație cu coeficienți numere raționale. Utilizatorul trebuie să selecteze din patru variante inecuația echivalentă cu cea generată. În colțul din dreapta sus există un cronometru, fiind generate întrebări până când utilizatorul oferă 10 răspunsuri corecte, contorizate prin cerculețele verzi situate în partea de sus a ferestrei. La final, utilizatorul poate vizualiza timpul în care a răspuns, numărul total de întrebări și numărul de răspunsuri greșite. Utilizând butonul utilizatorul poate vizualiza mesajul Congratulations! dacă a răspuns corect la toate întrebările, respectiv răspunsul corect pentru fiecare întrebare la care a oferit o soluție greșită. 36

39 Titlul lecției: Unghiuri adiacente; bisectoarea unui unghi Aplicația recomandată: GeoGebra Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe UNGHIURI Unghiuri adiacente; bisectoarea unui unghi Competențe generale și specifice: CG 2 Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse informaționale CS.2.5. Recunoașterea coliniarităţii unor puncte, a faptului că două unghiuri sunt opuse la vârf, adiacente, complementare sau suplementare şi a paralelismului sau perpendicularității a două drepte CG. 5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii date CS Analizarea seturilor de date numerice sau a reprezentărilor geometrice în vederea optimizării calculelor cu lungimi de segmente, distanţe, măsuri de unghiuri şi de arce de cerc Definiție: Unghiurile adiacente sunt două unghiuri cu același vârf, care au o latură comună și interioarele disjuncte. Pași: Unghi 1. Construim unghiul ABC. Semidreaptă 2. Construim semidreapta cu originea în punctul B, care trece prin punctul A. Construim semidreapta cu originea în punctul B, care trece prin punctul C. Punct 3. Construim punctul D, interior unghiului ABC. Semidreaptă 4. Construim semidreapta cu originea în punctul B, care trece prin punctul D. 5. Salvare construcţie 37

40 Definiție: Bisectoarea unui unghi este semidreapta interioară unghiului, cu originea în vârful unghiului, ce determină cu laturile unghiului două unghiuri congruente. Pași: 1. Unghi Construim unghiul ABC. 2. Semidreaptă Construim semidreapta cu originea în punctul B, care trece prin punctul A. Construim semidreapta cu originea în punctul B, care trece prin punctul C. 3. Bisectoare unghiulară Construim bisectoarea unghiului ABC. 4. Salvare construcţie 38

41 Construcția bisectoarei unui unghi cu rigla și compasul Figură: Pași: Unghi Construim unghiul ABC. Semidreaptă Construim semidreapta cu originea în punctul B, care trece prin punctul A. Construim semidreapta cu originea în punctul B, care trece prin punctul C. Cerc cu centrul prin punct Construim cercul cu centrul în B, care trece prin punctul A. Intersecție Determinăm punctul de intersecție D, al cercului cu semidreapta [BC. Compas Construim cercul cu centrul în A şi de rază AB. Construim cercul cu centrul în D şi de rază AB. Intersecție Determinăm punctul de intersecție E, al cercurilor cu centrul în A şi D. Semidreaptă Construim semidreapta [BE. 8. Salvare construcţie 39

42 PERPENDICULARITATE Perpendicularitate - Drepte perpendiculare. Drepte oblice. Distanța de la un punct la o dreaptă Titlul lectiei Drepte perpendiculare. Drepte oblice. Distanța de la un punct la o dreaptă Aplicația recomandată Pythagorea Tipul lecției Lecţie de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG. 1 Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar CS 1.5. Recunoaşterea unor figuri geometrice plane (drepte, unghiuri, cercuri, arce de cerc) în configuraţii date CG. 2 Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse informaționale CS 2.5. Recunoașterea coliniarităţii unor puncte, a faptului că două unghiuri sunt opuse la vârf, adiacente, complementare sau suplementare şi a paralelismului sau perpendicularității a două drepte CG. 3 Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice CS 3.5. Utilizarea unor proprietăţi referitoare la distanţe, drepte, unghiuri, cerc pentru realizarea unor construcții geometrice CG. 6 Modelarea matematică a unei situaţii date, prin integrarea achizițiilor din diferite domenii a matematică a unei situaţii date, prin integrarea achizițiilor din diferite domenii CS 6.5. Interpretarea informaţiilor conţinute în reprezentări geometrice pentru determinarea unor lungimi de segmente, distanţe şi a unor măsuri de unghiuri/arce de cerc Jocul Pythagorea conţine 26 teme. Pentru această lecție alegem tema Rectangles, în cadrul căreia trebuie să construim o dreaptă prin punctul A, perpendiculară pe dreapta data și două drepte perpendiculare care trec prin două perechi de puncte disjuncte dintre punctele date. 40

43 Drepte perpendiculare în plan Mediatoarea unui segment Titlul lecției: Drepte perpendiculare în plan. Mediatoarea unui segment Aplicația recomandată: GeoGebra/Pythagorea Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG 3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice. CS. 3.5 Utilizarea unor proprietăţi referitoare la distanţe, drepte, unghiuri, cerc pentru realizarea unor construcții geometrice. CG. 2 Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse informaționale. CS Utilizarea instrumentelor geometrice pentru a măsura sau pentru a construi configurații geometrice. Definiție: Drepte perpendiculare = două drepte care determină un unghi drept Figură: 41

44 Pași: Dreaptă prin două puncte Construim dreapta AB. Punct Construim un punct C, care nu aparţine dreptei AB. Perpendiculară Construim perpendiculara din C pe dreapta AB. Intersecţie Determinăm punctul de intersecţie al celor două drepte. Unghi Evidenţiem unghiul drept. 6. Salvare construcţie Construcția perpendicularei pe o dreaptă cu rigla și compasul Figură: 42

45 Pași: Dreaptă prin două puncte Construim dreapta AB. Cerc cu centrul prin punct Construim cercul cu centrul în A și care trece prin punctul C. Intersecție Determinăm punctele de intersecție a dreptei AB cu cercul, punctele D și E. Cerc cu centrul prin punct Construim cercul cu centrul în D și care trece prin punctul F, DF>AD. Compas Construim cercul cu centrul în E şi de rază DF. Intersecție Determinăm punctul de intersecție al celor două cercuri, punctele G şi H. Dreaptă prin două puncte Construim dreapta GH. Unghi Evidenţiem unghiul drept. 9. Salvare construcție 43

46 Definiţie: Mediatoarea unui segment = dreapta perpendiculară pe segment în mijlocul acestuia. Figură: Paşi: Segment Construim segmentul [AB]. Mediatoare Construim mediatoarea segmentului [AB]. Intersecţie Determinăm punctul de intersecţie al celor două drepte. Unghi Evidenţiem unghiul drept. 5. Salvare construcţie Segment între două puncte Construim segmentul [AB]. Mijloc sau centru Determinăm mijlocul segmentului [AB]. Perpendiculară Construim perpendiculara dusă prin mijlocul segmentului. Unghi Evidenţiem unghiul drept. 44

47 Sau 5. Salvare construcţie Construcția mediatoarei cu rigla și compasul: Pași: Segment între două puncte Construim segmentul [AB]. Cerc cu centrul prin punct Construim cercul cu centrul în A și care trece prin punctul B. Construim cercul cu centrul în B și care trece prin punctul A. Intersecţie Determinăm punctele de intersecţie ale celor două cercuri, punctele C și D. Segment între două puncte Construim segmentul [CD]. Unghi Evidenţiem unghiul drept. 6. Salvare construcţie 45

48 PARALELISM Drepte paralele; axioma paralelelor. Aplicații practice Titlul lecției: Drepte paralele; axioma paralelelor. Aplicații practice Aplicația recomandată: GeoGebra/Pythagorea Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG. 1 Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar CS. 1.5 Recunoaşterea unor figuri geometrice plane (drepte, unghiuri, cercuri, arce de cerc) în configuraţii date CG. 3 Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice CS. 3.5 Utilizarea unor proprietăţi referitoare la distanţe, drepte, unghiuri, cerc pentru realizarea unor construcții geometrice Definiție: Două drepte se numesc drepte paralele dacă sunt coplanare şi nu au nici un punct comun. Figură: Pași: Dreaptă prin două puncte Construim dreapta AB. Paralelă Construim dreapta paralelă cu dreapta AB. 3. Salvare construcţie Construcția dreptelor paralele cu rigla și compasul: Figură: 46

49 Pași: Dreaptă prin două puncte Construim dreapta AB. Punct Construim un punct C, care nu aparţine dreptei AB. Compas Construim cercul cu centrul în A şi de rază BC. Construim cercul cu centrul în B şi de rază AC Intersecție Determinăm punctele de intersecție ale celor două cercuri. Dreaptă prin două puncte Construim dreapta CD. 6. Salvare construcţie Jocul Pythagorea conţine 26 teme. Pentru această lecție alegem tema Parallels, în cadrul căreia trebuie să construim perechi de drepte paralele, drepte paralele ce trec prin puncte date sau selectarea dreptelor paralele dintr-o configurație dată. 47

50 Titlul lecției: Criterii de paralelism Aplicația recomandată: Angles Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Criterii de paralelism Competențe generale și specifice: CG. 2 Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse informaționale CS. 2.5 Recunoașterea coliniarităţii unor puncte, a faptului că două unghiuri sunt opuse la vârf, adiacente, complementare sau suplementare şi a paralelismului sau perpendicularității a două drepte CG. 4 Exprimarea în limbajul specific matematicii a informațiilor, a concluziilor și a demersurilor de rezolvare pentru o situaţie dată CS. 4.5 Exprimarea, prin reprezentări geometrice sau în limbaj specific matematic, a noţiunilor legate de dreaptă, unghi şi cerc Jocul conţine cinci stagii, fiecare cu 20 de probleme de calcul cu unghiuri. În joc nu poţi trece mai departe decât dacă răspunsul este corect. Butonul HINT te ajută cu recapitularea teoriei de la problema respectivă. Jocul conține următoarele teme: Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi Criterii de paralelism Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater Unghiuri înscrise în cerc În cadrul acestei lecții vom folosi stagiul doi. 48

51 CERCUL Titlul lecției: Cerc; elemente în cerc Aplicația recomandată: GeoGebra Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Cerc; elemente în cerc Competențe generale și specifice: CG. 2 Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse informaționale CS. 2.5 Recunoașterea coliniarităţii unor puncte, a faptului că două unghiuri sunt opuse la vârf, adiacente, complementare sau suplementare şi a paralelismului sau perpendicularității a două drepte CG. 3 Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice 3.5 Utilizarea unor proprietăţi referitoare la distanţe, drepte, unghiuri, cerc pentru realizarea unor construcții geometrice CG. 5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii date CS. 6.5 Interpretarea informaţiilor conţinute în reprezentări geometrice pentru determinarea unor lungimi de segmente, distanţe şi a unor măsuri de unghiuri/arce de cerc Definiție: Cercul este mulțimea punctelor din plan egal depărtate de un punct fix. Figură: Pași: Cerc cu centrul prin punct Construim cercul cu centrul în A, care trece prin punctul B. Salvare construcţie Definiție: Raza este segmentul care uneşte centrul cercului cu un punct de pe cerc. Figură: 49

52 Pași: Cerc cu centrul prin punct Construim cercul cu centrul în A, care trece prin punctul B. Segment Construim segmentul AB. 3. Salvare construcţie Construcția cercului de centru A și rază dată: Figură: Pași: 1. Cerc cu centru și rază Construim cercul cu centrul în A și de rază dată. 2. Salvare construcţie Definiție: Coarda este segmentul cu capetele în două puncte ale unui cerc. Figură: 50

53 Pași: Cerc cu centrul prin punct Construim cercul cu centrul în A, care trece prin punctul B. Punct Construim punctul C aparţinând cercului Segment Construim segmentul BC. Salvare construcţie Definiţie: Diametrul este coarda care conţine centrul cercului. Pași: Cerc cu centrul prin punct Construim cercul cu centrul în A, care trece prin punctul B. Reflectare după un punct Determinăm simetricul punctului B faţă de punctul A. Segment Construim segmentul BB. 4. Salvare construcţie Definiţie: Un unghi care are vârful în centrul cercului se numeşte unghi la centru. Figură: 51

54 Pași: Cerc cu centrul prin punct Construim cercul cu centrul în A, care trece prin punctul B. Punct Construim punctul C aparţinând cercului. Segment Construim segmentele AB şi AC. Unghi Evidenţiem unghiul la centru BAC. 5. Salvare construcţie Construcția unghiului la centru cu măsura dată: Figură: Pași: Cerc cu centrul prin punct Construim cercul cu centrul în A, care trece prin punctul B. Unghi cu măsura dată Construim unghiul cu măsura dată. Segment Construim segmentele AB şi AB. 4. Salvare construcţie 52

55 Pozițiile relative unei drepte față de un cerc Titlul lecției: Pozițiile relative unei drepte față de un cerc Aplicația recomandată: GeoGebra Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG. 1 Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar CS. 1.5 Recunoaşterea unor figuri geometrice plane (drepte, unghiuri, cercuri, arce de cerc) în configuraţii date CG. 4 Exprimarea în limbajul specific matematicii a informațiilor, a concluziilor și a demersurilor de rezolvare pentru o situaţie dată CS. 4.5 Exprimarea, prin reprezentări geometrice sau în limbaj specific matematic, a noţiunilor legate de dreaptă, unghi şi cerc Punct exterior cercului Figură: Poziţiile relative ale unui punct faţă de un cerc Pași: Cerc cu centrul prin punct Construim cercul cu centrul în A, care trece prin punctul B. Punct Construim punctul C care nu aparţine cercului. Punct pe cerc Figură: 3. Salvare construcţie 53

56 Pași: 1. Cerc cu centrul prin punct Construim cercul cu centrul în A, care trece prin punctul B. Punctul B aparţine cercului. 2. Salvare construcţie Punct interior cercului Figură: Pași: Cerc cu centrul prin punct Construim cercul cu centrul în A, care trece prin punctul B. Punct Construim punctul C care nu aparţine cercului. 3. Salvare construcţie Dreaptă exterioară cercului Poziţiile relative ale unei drepte faţă de un cerc Figură: 54

57 Pași: Cerc cu centrul prin punct Construim cercul cu centrul în A, care trece prin punctul B. Dreaptă prin două puncte Construim dreapta CD, exterioară cercului. 3. Salvare construcţie Dreaptă secantă cercului Pași: Cerc cu centrul prin punct Construim cercul cu centrul în A, care trece prin punctul B. Punct Construim punctul C aparţinând cercului. Dreaptă prin două puncte Construim dreapta BC. 4. Salvare construcţie 55

58 Dreaptă tangentă cercului Figură: Pași: Cerc cu centrul prin punct Construim cercul cu centrul în A, care trece prin punctul B. Punct Construim punctul C, exterior cercului. Tangente Construim tangentele la cerc din punctul C. Intersecţie Determinăm punctele de intersecţie ale cercului cu cele două tangente. 5. Salvare construcţie 56

59 TRIUNGHIUL Titlul lecției: Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi Aplicația recomandată: Angles Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi Competențe generale și specifice: CG 1 Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar CS 1.6 Recunoaşterea unor elemente de geometrie plană asociate noţiunii de triunghi CG 2 Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse informaționale CS 2.6 Calcularea unor lungimi de segmente, măsuri de unghiuri în contextul geometriei triunghiului Jocul conţine cinci stagii, fiecare cu 20 de probleme de calcul cu unghiuri. În joc nu poţi trece mai departe decât dacă răspunsul este corect. Butonul Hint te ajută cu recapitularea teoriei de la problema respectivă. Jocul conține următoarele teme: Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi Criterii de paralelism Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater Unghiuri înscrise în cerc În cadrul acestei lecții vom folosi stagiul 1. 57

60 Titlul lecției: Construcția triunghiurilor Aplicația recomandată: GeoGebra Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Construcția triunghiurilor Competențe generale și specifice: CG. 1 Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar CS. 1.6 Recunoaşterea unor elemente de geometrie plană asociate noţiunii de triunghi CG 2 Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse informaționale CS 2.6 Calcularea unor lungimi de segmente, măsuri de unghiuri în contextul geometriei triunghiului CG. 5 Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii date CS. 5.6 Analizarea unor construcţii geometrice în vederea evidenţierii unor proprietăţi ale triunghiurilor Construiți un triunghi cunoscând: a) Două laturi și unghiul determinat de ele b) O latură și unghiurile alăturate ei c) Cele trei laturi Exemple: a) Construiți un triunghi cunoscând, și ( ) Pași: Segment cu lungimea dată AB = 5 cm Unghi cu mărime dată ( ) Semidreaptă Cu originea în punctul A și trece prin punctul A. Cerc cu centru și rază Centru punctul A și rază 4 cm. Intersecție două obiecte Se intersectează semidreapta și cercul construit în punctul C. Poligon Triunghiul ABC. 7. Salvare construcție 58

61 59

62 b) Construiți un triunghi cunoscând că ( ) și ( ). Pași: Segment cu lungimea dată AB = 5 cm Unghi cu mărime dată ( ) ( ) Semidreaptă Cu originea în punctul A și trece prin punctul A Cu originea în punctul B și trece prin punctul B Intersecție două obiecte Determinăm punctul de intersecție a celor două semidrepte. Poligon Construim triunghiul ABC. 6. Salvare construcție 60

63 c) Construiți un triunghi cunoscând, și Pași: 1. Construim segmentul de lungime 8 cm Cerc cu centru și rază Construim cercul de centru punctul A și rază 5 cm. Construim cercul de centru punctul B și rază 5=6 cm. Intersecție două obiecte Determinăm punctul C care se află la intersecția cercurilor construite. Poligon Construim triunghiul ABC. 6 Salvare construcție 61

64 Titlul lecției: Metoda triunghiurilor congruente Aplicația recomandată: GeoGebra Tipul lecției: Lecție de recapitulare Metoda triunghiurilor congruente Competențe generale și specifice: CG. 3 Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice CS 3.6 Utilizarea criteriilor de congruenţă și a proprietăților unor triunghiuri particulare pentru determinarea caracteristicilor unei configurații geometrice CG 6. Modelarea matematică a unei situaţii date, prin integrarea achizițiilor din diferite domenii CS 6.6 Transpunerea, în limbaj specific, a unei situaţii date legate de geometria triunghiului, rezolvarea problemei obţinute şi interpretarea rezultatului Pași: Segment între două puncte Construim segmentul AC Segment cu lungime dată Construim segmentul BD, verificând condiția Mijloc sau centru Construim punctul M, mijlocul segmentului BC Cerc cu centru și rază Construim cercuri cu centru în A și D, cu rază mai mare decât segmentul AM Intersecție două obiecte Intersectăm cercurile în punctul N Segment între două puncte Construim laturile triunghiului AND Punct Alegem un punct E pe latura AN Unghi Măsurăm unghiul EMA Segment între două puncte Construim segmentul EM PROBLEMĂ: Punctele A, B, C, D verifică condițiile B (AC), C (BD), [AC] [BD], iar M este mijlocul segmentului [BC]. Dacă N AD, [NA] [ND] și E (AN), F (DN) astfel încât EMA FND, arătați că ΔEMA ΔFMD. 10. Unghi de mărime dată Construim unghiului FMD, congruent cu EMA Segment între două puncte Construim segmentul FM Unghi Verificăm măsura unghiului EAM și FDM Distanță sau lungime Verificăm măsura segmentelor AM și DM 62

65 Pasul 1 Pasul 2 Pasul 3 Pasul 4 Pasul 5 Pasul 6 Pasul 7 63

66 Pasul 8 Pasul 9 Pasul 10 Pasul 11 64

67 Pasul 12 Pasul 13 65

68 Titlul lecției: Cercul înscris în triunghi Aplicația recomandată: GeoGebra Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Cercul înscris în triunghi Competențe generale și specifice: CG. 1 Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar CS. 1.6 Recunoaşterea unor elemente de geometrie plană asociate noţiunii de triunghi CG. 5 Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii date CS. 5.6 Analizarea unor construcţii geometrice în vederea evidenţierii unor proprietăţi ale triunghiurilor Construiți triunghiul înscris în cerc. Pași: Segment între două puncte Construim triunghiul ABC Bisectoare unghiulară Construim bisectoarea unghiului ABC Bisectoare unghiulară Construim bisectoarea unghiului BCA Intersecție două obiecte Determinăm punctul I intersectând bisectoarele Perpendiculară Construim perpendiculara dusă din I la BC Intersecție două obiecte Determinăm punctul M intersectând BC cu perpendiculara Cerc cu centrul prin punct Construim cercul cu centrul în I, care trece prin punctul M 8. Salvare construcție 66

69 Pasul 1 Pasul 2 Pasul 3 Pasul 4 Pasul 5 Pasul 6 Pasul 7 67

70 Titlul lecției: Cercul circumscris unui triunghi Aplicația recomandată: GeoGebra Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Cercul circumscris unui triunghi Competențe generale și specifice: CG. 1 Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar CS. 1.6 Recunoaşterea unor elemente de geometrie plană asociate noţiunii de triunghi CG. 5 Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii date CS. 5.6 Analizarea unor construcţii geometrice în vederea evidenţierii unor proprietăţi ale triunghiurilor Construiți triunghiul înscris în cerc. Pași: Segment între două puncte Construim triunghiul ABC Mediatoare Construim mediatoarea triunghiului ABC Intersecție două obiecte Determinăm punctul O intersectând mediatoarele Cerc cu centrul prin punct Construim cercul cu centrul în O, care trece prin punctul A 5. Salvare construcție 68

71 Pasul 1 Pasul 2 Pasul 3 Pasul 4 69

72 Titlul lecției: Proprietățile triunghiului isoscel Aplicația recomandată: GeoGebra Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Proprietățile triunghiului isoscel Competențe generale și specifice: CG. 1 Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar CS. 1.6 Recunoaşterea unor elemente de geometrie plană asociate noţiunii de triunghi CG. 5 Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii date CS. 5.6 Analizarea unor construcţii geometrice în vederea evidenţierii unor proprietăţi ale triunghiurilor Proprietăți: Într-un triunghi isoscel unghiurile alăturate bazei sunt congruente. Într-un triunghi isoscel bisectoarea unghiului de la vârf, înălţimea şi mediana corespunzătoare bazei coincid şi sunt incluse în mediatoarea bazei. Pași: Segment între două puncte Construim baza triunghiului ABC Punct Alegem un punct D pe bază, unde CD este mai mare decât jumătate din lungimea segmentului BC Cerc cu centru și rază Construim un cerc cu rază egală cu CD și cu centru în C Cerc cu centru și rază Construim un cerc cu rază egală cu CD și cu centru în B Intersecție două obiecte Determinăm punctul A intersectând cercurile Segment între două puncte Construim laturile AC și AB Unghi Măsurăm unghiurile bazei Bisectoare unghiulară Construim bisectorul unghiului de la vârf Intersecție două obiecte Determinăm punctul E intersectând bisectorul și baza Unghi Măsurăm unghiul dintre bisector și bază Distanță sau lungime Măsurăm lungimea segmentului CE și EB 12. Salvare construcție 70

73 Pasul 1 Pasul 2 Pasul 3 Pasul 4 71

74 Pasul 5 Pasul 6 Pasul 7 Pasul 8 72

75 Pasul 9 Pasul 10 Pasul 11 73

76 Titlul lecției: Proprietățile triunghiului echilateral Aplicația recomandată: GeoGebra Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Proprietățile triunghiului echilateral Competențe generale și specifice: CG. 1 Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar CS. 1.6 Recunoaşterea unor elemente de geometrie plană asociate noţiunii de triunghi CG. 5 Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii date CS. 5.6 Analizarea unor construcţii geometrice în vederea evidenţierii unor proprietăţi ale triunghiurilor Proprietăți: Într-un triunghi isoscel unghiurile alăturate bazei sunt congruente. Într-un triunghi isoscel bisectoarea unghiului de la vârf, înălţimea şi mediana corespunzătoare bazei coincid şi sunt incluse în mediatoarea bazei. Pași: Segment între două puncte Construim baza triunghiului ABC Cerc cu centru și rază Construim un cerc cu rază egală cu CB și cu centru în C Cerc cu centru și rază Construim un cerc cu rază egală cu CB și cu centru în B Intersecție două obiecte Determinăm punctul A intersectând cercurile Segment între două puncte Construim laturile AC și AB Unghi Măsurăm unghiurile triunghiului Distanță sau lungime Măsurăm lungimea laturii triunghiului 8. Salvare construcție 74

77 Pasul 1 Pasul 2 Pasul 3 75

78 Pasul 4 Pasul 5 Pasul 6 Pasul 7 76

79 Titlul lecției: Proprietățile triunghiului dreptunghic Aplicația recomandată: GeoGebra Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Proprietățile triunghiului dreptunghic 1 Competențe generale și specifice: CG. 1 Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar CS. 1.6 Recunoaşterea unor elemente de geometrie plană asociate noţiunii de triunghi CG. 5 Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii date CS. 5.6 Analizarea unor construcţii geometrice în vederea evidenţierii unor proprietăţi ale triunghiurilor Proprietăți: - Într-un triunghi dreptunghic lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei. - Centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic se află în mijlocul ipotenuzei. Pași: Segment între două puncte Construim ipotenuza triunghiului ABC Mijloc sau centru Luăm M mijlocul ipotenuzei Cerc cu centrul prin punct Construim cercul cu centrul în M, care trece prin punctul B Punct Luăm un punct A pe cerc Segment între două puncte Construim catetele triunghiului ABC Unghi Măsurăm unghiul drept Segment între două puncte Construim mediana corespunzător ipotenuzei Distanță sau lungime Măsurăm mediana și ipotenuza 9. Salvare construcție 77

80 Pasul 1 Pasul 2 Pasul 3 Pasul 4 Pasul 5 78

81 Pasul 6 Pasul 7 Pasul 8 79

82 Titlul lecției: Proprietățile triunghiului dreptunghic Aplicația recomandată: GeoGebra Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Proprietățile triunghiului dreptunghic 2 Competențe generale și specifice: CG. 1 Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar CS. 1.6 Recunoaşterea unor elemente de geometrie plană asociate noţiunii de triunghi CG. 5 Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii date CS. 5.6 Analizarea unor construcţii geometrice în vederea evidenţierii unor proprietăţi ale triunghiurilor Proprietăți: - Într-un triunghi dreptunghic, o catetă se opune unui unghi de 30, dacă şi numai dacă are lungimea egală cu jumătatea din lungimea ipotenuzei. Pași: Segment între două puncte Construim ipotenuza triunghiului ABC Mijloc sau centru Luăm M mijlocul ipotenuzei Cerc cu centrul prin punct Construim cercul cu centrul în M, care trece prin punctul B Unghi de mărime dată Construim un unghi de 30 pe ipotenuza Dreaptă prin două puncte Construim dreapta care are măsura de 30 cu ipotenuza Intersecție două obiecte Intersectăm dreapta cu cercul în punctul A Segment între două puncte Construim catetele triunghiului ABC Unghi Măsurăm unghiul drept Distanță sau lungime Măsurăm cateta ce se opune unghiului de 30 și ipotenuza 10. Salvare construcție 80

83 Pasul 1 Pasul 2 Pasul 3 Pasul 4 81

84 Pasul 5 Pasul 6 Pasul 7 Pasul 8 82

85 Pasul 9 83

86 Titlul lecției: Dreapta lui Euler Aplicația recomandată: GeoGebra Tipul lecției: Fixarea și consolidarea cunoștințelor Dreapta lui Euler Competențe generale și specifice: CG. 1 Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar CS. 1.6 Recunoaşterea unor elemente de geometrie plană asociate noţiunii de triunghi CG. 5 Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii date CS. 5.6 Analizarea unor construcţii geometrice în vederea evidenţierii unor proprietăţi ale triunghiurilor Problemă rezolvată în GeoGebra: Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC, G centrul de greutate şi H ortocentrul triunghiului. Punctele H, G şi O se găsesc pe o dreaptă (dreapta lui Euler) şi HG=2GO. Pași: Segment între două puncte Construim triunghiul ABC Mijloc sau centru Construim mijlocul laturii triunghiului ABC Segment între două puncte Construim medianele triunghiului ABC Intersecție două obiecte Determinăm centrul de greutate G intersectând medianele Perpendiculară Construim înălțimile triunghiului ABC Intersecție două obiecte Determinăm ortocentrul H intersectând înălțimile Mediatoare Construim mediatoarele triunghiului ABC Intersecție două obiecte Determinăm punctul O intersectând mediatoarele Distanță sau lungime Măsurăm segmentul GO Distanță sau lungime Măsurăm segmentul HG 11. Salvare construcție 84

87 Pasul 1 Pasul 2 Pasul 3 Pasul 4 Pasul 5 Pasul 6 85

88 Pasul 7 Pasul 8 Pasul 9 Pasul 10 Pasul 11 86

89 Titlul lecției: Dreapta lui Simson Aplicația recomandată: GeoGebra Tipul lecției: Fixarea și consolidarea cunoștințelor Dreapta lui Simson Competențe generale și specifice: CG. 1 Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar CS. 1.6 Recunoaşterea unor elemente de geometrie plană asociate noţiunii de triunghi CG. 5 Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii date CS. 5.6 Analizarea unor construcţii geometrice în vederea evidenţierii unor proprietăţi ale triunghiurilor Problemă rezolvată în GeoGebra: Dintr-un punct M al cercului circumscris unui triunghi ABC se duc perpendicularele MD, ME, MF pe BC, AC, AB. Să se arate că punctele D, E, F sunt coliniare (dreapta lui Simson). Pași: Dreaptă prin două puncte 1. Construim triunghiul ABC Mediatoare 2. Construim mediatoarele triunghiului ABC Intersecție două obiecte Determinăm punctul O intersectând mediatoarele Cerc cu centrul prin punct Construim cercul cu centrul în O, care trece prin punctul A Punct Luăm un punct M pe cercul circumscris Perpendiculară Construim perpendicularele din M pe laturele triunghiului Intersecție două obiecte Determinăm punctele D, E, F intersectând perpendicularele cu laturi Dreaptă prin două puncte Construim dreapta EF 9. Salvare construcție 87

90 Pasul 1 Pasul 2 Pasul 3 Pasul 4 Pasul 5 Pasul 6 88

91 Pasul 7 Pasul 8 89