Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),

Transcriere

1 Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + + σ c Fie z A, z B, z C şi z Q afixele punctelor A, B, C şi Q Scopul nostru este să arătăm că între aceste numere complexe are loc relaţia care spune că scalarii reali z Q = σ z A + σ z B + σ c σ z C, () λ A = σ, λ B = σ, λ C = σ c σ, sunt coordonatele baricentrice absolute ale lui Q relative la triunghiul ABC, adică z Q = λ A z A + λ B z B + λ C z C cu λ A + λ B + λ C =, λ A, λ B, λ C R (2) Figura Coordonate baricentrice

2 Fie A, B şi C intersecţiile dreptelor AQ, BQ şi CQ cu laturile opuse Amintim că dreptele AQ, BQ şi CQ se numesc ceviene deoarece sunt trei drepte concurente duse prin vârfurile unui triunghi Lema Raportul în care ceviana AQ împarte latura opusă vârfului A este egal cu rapotul ariilor triunghiurilor QAB şi QCA, mai precis BA A C = σ c Demonstraţia este imediată Fie B 0 şi C 0 proiecţiile ortogonale ale punctelor B şi C pe AQ Avem: σ c = 2 AQ BB 0 2 AQ CC 0 = BB 0 CC 0 = BA A C Fără legătură directă cu scopul nostru, doar pentru a evidenţia utilitatea acestei leme, vom demonstra: Teorema lui Ceva Dreptele AA, BB şi CC sunt concurente dacă şi numai dacă BA A C CB B A AC C B = Demonstraţie Dacă ştim că AA, BB şi CC sunt concurente într-un punct Q, atunci, conform lemei, BA A C CB B A AC C B = σ c σa σ c σb = Afirmaţia reciprocă se demonstrează prin reducere la absurd, folosind unicitatea punctului care împarte un segment într-un raport dat Un alt rezultat auxiliar: Lema 2 Raportul în care Q împarte ceviana AA este dat de rapotul ariilor triunghiurilor QBC şi ABC, mai precis QA AA = σ Demonstraţie Fie A 0 şi Q 0 proiecţiile ortogonale ale punctelor A şi Q pe BC Atunci: σ = BC QQ 2 0 BC AA = QQ 0 = QA 2 0 AA 0 AA Probăm şi utilitatea acestei leme, justificând Teorema lui Van Aubel Cu notaţiile precizate, are loc relaţia AQ QA = AC C B + AB B C 2

3 Demonstraţia constă în proporţii derivate: AA = σ AA QA QA QA = σ AQ QA = + σ c AQ QA = AC C B + AB B C În sfârşit, să revenim la formula coordonatelor baricentrice Din coliniaritatea B A C şi din proporţia BA A C = σ c deducem z A z B z C z A Analog, din A Q A şi = σ c z A = z B + σ c z C + σ c QA AA = σ, obţinem z A z Q z A z = A σ z Q = σ ( a σ z A + σ Deoarece σ = + + σ c, urmează formula căutată: z Q = σ z A + + σ c σbz B + σ c z C σ + σ c ) z A = z A + z B + σ c z C σ Observaţie Am justificat formula () numai în cazul în care Q este în interiorul triunghiului ABC, caz în care λ A > 0, λ B > 0 şi λ C > 0 Relaţia rămâne valabilă şi pentru Q în exteriorul triunghiului ABC, dacă se consideră triunghiuri orientate: aria se ia cu semnul + dacă triunghiul este parcurs în sens trigonometric, şi cu semnul dacă este parcurs în sens antitrigonometric, astfel încât relaţia σ = + + σ c să se păstreze în toate cazurile Observaţie Relaţia (), scrisă sub forma z Q = z A + z B + σ c z C + + σ c (3) ne spune că, şi σ c sunt coordonate baricentrice omogene pentru punctul Q şi notăm aceasta prin : : σ c Spre deosebire coordonatele baricentrice absolute, λ A, λ B şi λ C, definite de relaţia (2), coordonatele baricentrice omogene nu sunt unice, două triplete direct proporţionale α : β : γ şi α 2 : β 2 : γ 2 determinând acelaşi punct Q Altfel spus, prin definiţie, α : β : γ = α 2 : β 2 : γ 2 3

4 dacă există factorul de proporţionalitate λ R astfel încât caz în care α z A + β z B + γ z C α + β + γ pentru orice ABC plan α 2 = λα, β 2 = λβ, γ 2 = λγ, = α 2z A + β 2 z B + γ 2 z C α 2 + β 2 + γ 2, Puncte importante în triunghi Punctul G, centrul de greutate, se află la intersecţia medianelor, prin urmare, = BA A C = σ c σ c = σ c, şi, analog pentru celelalte laturi Figura 2 Punctul G Obţinem = = σ c = σ, deci centrul de greutate are coordonatele baricentrice omogene 3 : : σ c = σ 3 : σ 3 : σ 3 = : : şi afixul z G = z A + z B + z C 3 4

5 Punctul I, centrul de cercului înscris, se află la intersecţia bisectoarelor interioare Aplicând teorema bisectoarei, avem Figura 3 Punctul I c b = BA A C = σ c b = σ c c, şi, analog, pentru celelalte laturi Obţinem a = b = σ c c adică : : σ c = a : b : c Acelaşi rezultat se obţine şi calculând ariile triunghiurilor cu vârful în I utilizând raza r a cercului înscris: = ar 2 a = r 2 = const În concluzie, punctul I are coordonatele omogene şi afixul : : σ c = a : b : c z I = az A + bz B + cz C a + b + c 5

6 Punctul O, centrul de cercului circumscris, se află la intersecţia mediatoarelor laturilor Fie C (O, R) cercul circumscris triunghiului ABC Unghiul la centru BOC are măsura cât arcul BC de pe cerc, iar unghiul înscris în cerc BAC are măsura jumătate din măsura lui BC Rezultă că prin urmare BOC = 2A, = aria ( BOC) = 2 OB OC sin BOC = 2 R2 sin 2A Obţinem proporţionalitatea sin 2A = deci, pentru punctul O, avem şi, prin urmare, Figura 4 Punctul O sin 2B = σ c sin 2C = 2 R2, : : σ c = sin 2A : sin 2B : sin 2C, z O = sin 2A z A + sin 2B z B + sin 2C z C sin 2A + sin 2B + sin 2C Alt set de coordonate omogene pentru O se obţine aplicând teorema sinusurilor şi teorema cosinusului Să le reamintim În triunghiul isoscel BOC mediana OM este şi bisectoare, şi înălţime, deci BOM = BOC = A, 2 de unde urmează sin A = sin BOM = BM BO = a 2R 6

7 Obţinem astfel teorema sinusurilor: a sin A = de unde rezultă b sin B = c sin C = 2R, a : b : c = sin A : sin B : sin C, relaţie utilă la determinarea punctului I, de exemplu Pentru teorema cosinusului, calculăm a 2 = z C z B 2 cu ajutorul produsului scalar Pentru oricare două numere complexe u, v C avem prin urmare u + v 2 =< u + v, u + v >=< u, u > +2 < u, v > + < v, v >= = u < u, v > + v 2, a 2 = z C z B 2 = (z C z A ) + (z A z B ) 2 = = z C z A < z C z A, z A z B > + z A z B 2 = = z C z A 2 2 < z C z A, z B z A > + z B z A 2 = b 2 2bc cos A + c 2, şi am demonstrat astfel teorema cosinusului: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A Revenim la coordonatele baricentrice ale punctului O şi calculăm a sin 2A = 2 sin A cos A = 2 2R b2 + c 2 a 2, 2bc de unde urmează că fracţia sin 2A a 2 (b 2 + c 2 a 2 ) = Rabc = const este constantă la permutări circulare ale vârfurilor triunghiului Am arătat că punctul O admite şi următorul set de coordonate baricentrice omogene: a 2 (b 2 + c 2 a 2 ) : b 2 (c 2 + a 2 b 2 ) : c 2 (a 2 + b 2 c 2 ) Punctul H, orocentrul, este punctul de intersecţie al înălţimilor Fie A punctul diametral opus lui A în C (O, R), cercul circumscris triunghiului ABC Avem ABA = ACA = 90, ca unghiuri înscrise în semicerc Rezultă imediat că HBA C este un paralelogram, deci BH = A C = AA cos AA C = 2R cos B şi CH = A B = AA cos AA B = 2R cos C deoarece AA C = ABC şi AA B = ACB, ca unghiuri înscrise în cerc care subîntind acelaşi arc Mai avem şi BHC = BA C = 80 A, 7

8 de unde urmează Figura 5 Punctul H = aria ( BHC) = BH CH sin BHC = 2 = 2 2R cos B 2R cos C sin(80 A) = 2R 2 cos B cos C sin A = = 2R 2 cos B cos C cos A tg A Fracţia tg A = 2R2 cos B cos C cos A = const fiind invariantă la permutări circulare, am obţinut umătoarele coordonate omogene pentru ortocentru: şi, prin urmare, : : σ c = tg A : tg B : tg C, z H = tg A z A + tg B z B + tg C z C tg A + tg B + tg C Să observăm că, din egalitatea urmează că = 2R 2 cos B cos C sin A = 2R 2 a2 + c 2 b 2 2ac (a 2 + c 2 b 2 )(b 2 + a 2 c 2 ) = R b2 + a 2 c 2 2ba 4abc = const şi astfel obţinem încă un set de coordonate omogene pentru H: (a 2 + c 2 b 2 )(b 2 + a 2 c 2 ) : (b 2 + a 2 c 2 )(c 2 + b 2 a 2 ) : (c 2 + b 2 a 2 )(a 2 + c 2 b 2 ) a 2R 8

9 Transformarea baricentrică Fiind date în plan triunghiurile ABC şi A B C, putem defini imediat următoarea transformare afină care suprapune aceste două triunghiuri: pentru fiecare punct Q în plan considerăm coordonatele sale baricentrice absolute λ A, λ B şi λ C relative la ABC şi definim transformatul său, Q, ca fiind punctul care are exact aceste coordonate baricentrice, dar relative la triunghiul A B C Altfel spus, cu numere complexe, dacă cu λ A + λ B + λ C =, atunci z Q = λ A z A + λ B z B + λ C z C, z Q = λ A z A + λ B z B + λ C z C Este clar că transformarea Q = T (Q) este bijectivă şi este uşor de văzut că este o transformare afină, înţelegând prin aceasta că între coordonatele lui Q şi Q există relaţii de forma { x Q = a x Q + b y Q + c y Q = a 2 x Q + b 2 y Q + c 2 Această afirmaţie se justifică observând că, notând cu σ XY Z aria unui triunghi XY Z, avem pentru λ A, de exemplu, relaţia λ A = σ QBC x Q y Q = σ ABC 2σ ABC x B y B x C y C = ax Q + by Q + c, unde coeficienţii a, b şi c nu depind de Q Pentru calculul cu numere complexe este foarte utilă următoarea formulă x A y A 2σ ABC = x B y B x C y C = x A y A 0 x B x A y B y A 0 x C x A y C y A = = (x B x A )(y C y A ) (x C x A )(y C y A ) = = Im (z B z A )(z C z A ) Prin urmare, considerând pentru Q următorul set de coordonate omogene relativ la ABC σ QBC : σ QCA : σ QAB, obţinem că µ A = Im (z B z Q )(z C z Q ), µ B = Im (z C z Q )(z A z Q ), µ C = Im (z A z Q )(z B z Q ), formează alt set de coordonate omogene şi avem, în final, z Q = µ Az A + µ B z B + µ C z C µ A + µ B + µ C = µ Az A + µ B z B + µ C z C 2σ ABC 9