Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
|
|
- Roxelana Aanei
- 4 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
2 Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) Spaţiul R n Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor de o variabil¼a real¼a cu valori vectoriale Teoremele Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy şi aplicaţii... 6 Index 24 2
3 Capitolul 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 4.6 Spaţiul R n Dac¼a pe R n = f( ; 2 ; : : : ; n ) : i 2 R, oricare ar i 2 f; 2; : : : ngg de nim adunarea şi înmulţirea cu scalari din R în maniera de mai jos ( ; 2 ; : : : ; n ) + ( ; 2 ; : : : ; n ) = ( + ; ; : : : ; n + n ) ( ; 2 ; : : : ; n ) = ( ; 2 ; : : : ; n ), atunci este uşor de observat c¼a sunt îndeplinite condiţiile cerute de de niţia spaţiului vectorial şi deci R n este spaţiu vectorial peste R. Pe acest spaţiu orice dou¼a norme sunt echivalente. Vom nota cu jjjj, jjjj ; jjjj 2 urm¼atoarele norme uzuale pe R n : jjxjj = max jn jx jj; jjxjj = nx jx j j ; jjxjj 2 = j=! =2 nx jx j j 2 pentru orice x = (x ; x 2 ; : : : ; x n ) 2 R n. Norma jjjj 2 se numeşte norm¼a euclidian¼a şi provine din produsul scalar nx hx; yi = x j y j 3 j= j=
4 M¼ad¼alina Roxana Buneci pentru orice x = (x ; x 2 ; : : : ; x n ) şi y = (y ; y 2 ; : : : ; y n ) 2 R n. Acest produs scalar este numit produsul scalar canonic pe R n. Distanţa asociat¼a acestei norme este v u nx d (x; y) = t jx j y j j 2 j= pentru orice x = (x ; x 2 ; : : : ; x n ), y = (y ; y 2 ; : : : ; y n ) 2 R n şi este numit¼a distanţa euclidian¼a pe R n. Pentru n = 2 (respectiv, n = 3) distanţa euclidian¼a dintre (a ; a 2 ) şi (b ; b 2 ) (respectiv, (a ; a 2 ; a 3 ) şi (b ; b 2 ; b 3 )) coincide cu lungimea segmentului de capete A (a ; a 2 ) şi B (b ; b 2 ) (respectiv, de capete A (a ; a 2 ; a 3 ) şi B (b ; b 2 ; b 3 )). R n este spaţiu Hilbert (în raport cu produsul scalar canonic) şi deci R n este spaţiu Banach (în raport cu norma jjjj 2 indus¼a de produsul scalar). În particular, R n este spaţiu metric complet (în raport cu distanţa euclidian¼a, adic¼a indus¼a de norma jjjj 2 ) şi deci R n este spaţiu topologic (în raport cu topologia indus¼a de distanţa euclidian¼a). Normele jjjj, jjjj şi jjjj 2 sunt norme echivalente pe R n. Ca urmare induc aceeaşi topologie pe R n. Mai mult, se poate ar¼ata c¼a orice norm¼a pe R n este echivalent¼a cu jjjj 2. Topologia indus¼a de jjjj 2 se numeşte topologia uzual¼a pe R n. În raport cu topologia uzual¼a, R n este spaţiu local compact. În raport cu topologia uzual¼a, o submulţime A R n este compact¼a dac¼a şi numai dac¼a este închis¼a (echivalent, conţine limita ec¼arui şir convergent cu termeni din A) şi m¼arginit¼a (echivalent, exist¼a M > 0 astfel încât jjxjj 2 M pentru orice x 2 A). Şirul (a p ) p din R n, unde a p = (x p ; x p2 ; : : : ; x pn ) pentru orice p, este convergent dac¼a şi numai dac¼a pentru orice k 2 f; 2; ::; ng şirul (x pk ) p este convergent. În aceast¼a situaţie avem lim a p = p! lim p! x p; lim p! x 2p ; :::; lim p! x np 4.
5 Analiz¼a Matematic¼a - curs 6 În cazul n = 2 vom scrie (x; y) în loc de (x ; x 2 ), iar în cazul n = 3 vom scrie (x; y; z) în loc de (x ; x 2 ; x 3 ). Exemplul 4.6. În R 4 avem lim p! p ; + p p ; 2 = lim p! p ; lim + p ; lim p! p p! p ; p pp = p ; lim 2 p! pp p = (0; e; 0; )). Exemple S¼a se studieze continuitatea în punctul (0; 0) a um¼atoarelor funcţii:. f : R 2! R f (x; y) = ( x 2 +y 2 ; (x; y) 6= (0; 0) 0; (x; y) = (0; 0) jxj+jyj R: Ar¼at¼am c¼a lim (x;y)!(0;0) f (x; y) = 0 = f (0; 0) şi ca urmare f este continu¼a în (0; 0). Fie " > 0. Pentru orice (x; y) 6= (0; 0) avem 0 x2 + y 2 jxj + jyj = (jxj + jyj)2 jxj + jyj 2 jxj jyj jxj + jyj jxj + jyj. Ca urmare dac¼a lu¼am " = " > 0, avem jf (x; y) 2 0j < " pentru orice (x; y) 6= (0; 0) cu k(x; y) (0; 0)k < " (sau echivalent jxj < ", jyj < " ). 2. f : R 2! R f (x; y) = 2xy x 2 +y 2 ; (x; y) 6= (0; 0) 0; (x; y) = (0; 0) R: Ar¼at¼am c¼a f nu are limit¼a în (0; 0) ca urmare nu este continu¼a în (0; 0). Fie şirurile (a n ) n şi (b n ) n de nite prin a n = n ; şi n b n = n ; 2 pentru orice n 2 N. Atunci a n 6= (0; 0), b n 6= (0; 0), n lim a n = lim b n = (0; 0) şi lim f (a n ) = lim f n! n! n! n! n ; =, iar n 5
6 M¼ad¼alina Roxana Buneci lim f (b n) = lim f n! n! n ; 2 = 4. Deoarece lim n 5 f (a n) 6= lim f (b n ), n! n! rezult¼a c¼a f nu are limit¼a în (0; 0). 6
7 Capitolul 5 Calcul diferenţial 5. Derivatele funcţiilor de o variabil¼a real¼a cu valori vectoriale De niţia 5.. (Derivata) Fie A R, E un spaţiu normat real, B E, f : A! B o funcţie şi a 2 A \ A 0 (un punct din A care este şi punct de acumulare). Funcţia f se numeşte derivabil¼a în a def, exist¼a în E limita lim x!a (f (x) f (a)). x a Dac¼a exist¼a limita precedent¼a se noteaz¼a cu f 0 (a) sau df (a) şi se numeşte dx derivata lui f în a. Dac¼a A A \ A 0, funcţia f : A! E se numeşte derivabil¼a pe A dac¼a este derivabil¼a în orice punct a 2 A. Dac¼a A f = fa 2 A \ A 0 : f : A! E este derivabil¼a în ag, se noteaz¼a cu f 0 funcţia f 0 : A f! E care asociaz¼a ec¼arui element a 2 A f derivata funcţiei f în a, adic¼a funcţia a 7! f 0 (a) [: A f! E]. Funcţia f 0 este numit¼a derivata (de ordinul I) funcţiei f. Funcţia f : A! E se numeşte derivabil¼a la stânga (respectiv, la dreapta) în a def, exist¼a în E limita lim x!a x<a x a (f (x) f (a)) (respectiv, lim x!a x>a 7 (f (x) f (a)) ). x a
8 M¼ad¼alina Roxana Buneci Dac¼a exist¼a limita precedent¼a se noteaz¼a cu fs 0 (a) (respectiv, fd 0 (a)) şi se numeşte derivata la stânga(respectiv, la dreapta) lui f în a. Este uşor de observat c¼a f este derivabil¼a în a dac¼a şi numai dac¼a f este derivabil¼a la stânga şi la dreapta în a şi fs 0 (a) = fd 0 (a). În plus, în acest caz f 0 (a) = f 0 s (a) = f 0 d (a). Propoziţia 5..2 (Derivabilitatea ) continuitatea) Fie A R, E un spaţiu normat real, f : A! E o funcţie şi a 2 A \ A 0. Dac¼a f este derivabil¼a în a, atunci f este continu¼a în a. Demonstraţie. Pentru orice t 2 A, t 6= a, avem kf (x) f (a)k = (x a) x a (f (x) f (a)) f 0 (a) + f (a) 0 jx aj x a (f (x) f (a)) f 0 (a) + jx aj kf 0 (a)k. Ca urmare lim x!a f (x) = f (a), de unde rezult¼a c¼a f este continu¼a în a. Propoziţia 5..3 (Operaţii cu funcţii derivabile) Fie E un spaţiu normat real.. Dac¼a A R, a 2 A \ A 0, f; g : A! E sunt dou¼a funcţii derivabile în a şi dac¼a, 2 R, atunci funcţia f + g este derivabil¼a în a şi (f + g) 0 (a) = f 0 (a) + g 0 (a). 2. Dac¼a A R, a 2 A \ A 0 iar f : A! R şi g : A! E sunt dou¼a funcţii derivabile în a, atunci fg este derivabil¼a în a şi (fg) 0 (a) = f 0 (a) g (a) + f (a) g 0 (a). 3. Dac¼a A R, a 2 A \ A 0 iar f : A! R este o funcţie derivabil¼a în a cu proprietatea c¼a f (t) 6= 0 pentru orice t 2 A, atunci funcţia este f derivabil¼a în a şi 0 (a) = f f 0 (a) f 2 (a). 8
9 Analiz¼a Matematic¼a - curs 6 4. Dac¼a A R, a 2 A \ A 0 iar g : A! R şi f : A! E sunt dou¼a funcţii derivabile în a şi g (t) 6= 0 pentru orice t 2 A, atunci f este g derivabil¼a în a şi g f 0 (a) = g 2 (a) (g (a) f 0 (a) g 0 (a) f (a)). 5. Dac¼a A; B R, g : A! B este o funcţie derivabil¼a în a 2 A \ A 0 şi f : B! E o funcţie derivabil¼a în g (a) 2 B \ B 0, atunci funcţia f g este derivabil¼a în a şi (f g) 0 (a) = g 0 (a) f 0 (g (a)). Demonstraţie. Se utilizeaz¼a de niţia derivatei şi inegalit¼aţi de tipul kx yk jj kxk + jj kyk pentru orice ; 2 R şi x; y 2 E. Propoziţia 5..4 (Formule de derivare) Fie A R o reuniune de intervale deschise, f : A! R o funcţie derivabil¼a pe A şi f 0 : A! R derivata lui f. În cele ce urmeaz¼a scriem (f (x)) 0 în loc de f 0 (x) (x 2 A). Avem. (c) 0 = 0, c constant¼a 2. (x) 0 = 3. (x n ) 0 = nx n, x 2 R (n 2 N, n 2, n xat) 4. (x n ) 0 = nx n, x 2 R (n 2 Z, n xat) 5. (x ) 0 = x a 0, x > 0 ( 2 R, xat). În particular, = x x, x 2 R iar ( p x) 0 = 2 p x, x > 0 sau mai general, ( pp x) 0 B C A = p x p = p pp x p ). 9
10 M¼ad¼alina Roxana Buneci 6. (a x ) 0 = a x ln (a), x 2 R (a > 0, a xat). În particular, (e x ) 0 = e x, x 2 R. 7. (log a (x)) 0 = (ln (x)) 0 = x, x > (sin (x)) 0 = cos (x), x 2 R, x > 0 (a > 0, a 6=, a xat). În particular, x ln (a) 9. (cos (x)) 0 = sin (x), x 2 R 0. (tg (x)) 0 = cos 2 (x) = + tg2 (x), x 2 Rn n(2k + ) o 2, k 2 Z. (ctg (x)) 0 = 2. (arcsin (x)) 0 = sin 2 (x) = ctg2 (x), x 2 Rn fk, k 2 Zg p, x 2 ( ; ) x 2 3. (arccos (x)) 0 = p, x 2 ( ; ) x 2 4. (arctg (x)) 0 = + x 2, x 2 R Exemple 5..5 S¼a se calculeze derivatele urm¼atoarelor funcţii:. Fie f : R! R, f (x) = cos (x 2 arctg (x)). R: Deoarece f (x) = g (u (x)) unde g (u) = cos (u) iar u (x) = x 2 arctg (x), pentru orice x 2 R avem f 0 (x) = g 0 (u (x)) u 0 (x) = sin x 2 arctg (x) x 2 arctg (x) 0 = sin x 2 arctg (x) x 2 0 arctg (x) x 2 (arctg (x)) 0 = sin x 2 arctg (x) x 2 2xarctg (x). + x 2 0
11 Analiz¼a Matematic¼a - curs 6 2. Fie I R o reuniune de intervale deschise şi e a; b : I! R, dou¼a funcţii derivabile pe I astfel încât a (x) > 0 pentru orice x 2 I. Atunci pentru orice x 2 I avem a (x) b(x) 0 = a (x) b(x) ln (a (x)) b 0 (x) + b (x) a (x) b(x) a 0 (x). R: Într-adev¼ar, pentru orice x 2 I avem: a (x) b(x) 0 = e ln(a(x)b(x) ) 0 = e b(x) ln(a(x)) 0 = e b(x) ln(a(x)) (b (x) ln (a (x))) 0 = e b(x) ln(a(x)) b 0 (x) ln (a (x)) + b (x) (ln (a (x))) 0 = e b(x) ln(a(x)) b 0 (x) ln (a (x)) + b (x) a0 (x) a (x) = e ln(a(x)b(x) ) b 0 (x) ln (a (x)) + b (x) a0 (x) a (x) = a (x) b(x) b 0 (x) ln (a (x)) + b (x) a0 (x) a (x) = a (x) b(x) ln (a (x)) b 0 (x) + b (x) a (x) b(x) a 0 (x). Propoziţia 5..6 Fie A R, f = (f ; f 2 ; :::; f n ) : A! R n o funcţie şi a 2 A \ A 0. Funcţia f este derivabil¼a în a dac¼a şi numai dac¼a toate componentele ei scalare f, f 2,..., f n sunt derivabile în a. În plus, f 0 (a) = (f 0 (a) ; f 0 2 (a) ; :::; f 0 n (a)). Demonstraţie. Deoarece pentru orice t 2 A, t 6= a, avem (f (t) f (a)) = t a t a (f (t) f (a)) ; = rezult¼a c¼a t a (f 2 (t) f 2 (a)) ; :::; t a (f n (t) f n (a)), lim (f (t) f (a)) = t a = lim t!a t a (f (t) f (a)) ; lim t!a t a (f 2 (t) f 2 (a)) ; :::; lim t!a t a (f n (t) f n (a)). t!a
12 M¼ad¼alina Roxana Buneci Exemplul 5..7 Fie f : R! R 3 funcţia de nit¼a prin f (t) = sin (t) ; t 3 + ; arctg (t) pentruorice t 2 R. Atunci f 0 (t) = cos (t) ; 3t 2 ; + t 2 pentru orice t 2 R. Teorema 5..8 (J. Dieudonné) Fie a; b 2 R astfel încât a < b, E un spaţiu normat real, f : [a; b]! E şi g : [a; b]! R dou¼a funcţii continue pe [a; b] şi derivabile la dreapta în orice punct x 2 (a; b). Dac¼a kf 0 d (x)k g0 d (x) pentru orice x 2 (a; b), atunci kf (b) f (a)k g (b) g (a). ([P. Flondor şi O. St¼an¼aşil¼a, Lecţii de analiz¼a matematic¼a/p. 98, Ediţia a II-a, Editura ALL, Bucureşti, 996]) Teorema 5..9 (Teorema creşterilor nite) Fie a; b 2 R astfel încât a < b, E un spaţiu normat real şi f : [a; b]! E o funcţie continu¼a pe [a; b] derivabil¼a pe (a; b). Atunci kf (b) f (a)k sup kf 0 (x)k (b a). x2(a;b) Demonstraţie. Dac¼a sup x2(a;b) kf 0 (x)k =, atunci rezultatul este evident. Dac¼a M = sup x2(a;b) kf 0 (x)k <, atunci lu¼am g : [a; b]! R, de nit¼a prin g (x) = Mx pentru orice x 2 R. Deoarece kf 0 (x)k g 0 (x) pentru orice x 2 (a; b), conform teoremei anterioare, avem kf (b) f (a)k g (b) g (a) = sup kf 0 (x)k (b a). x2(a;b) De niţia 5..0 (Derivate de ordin superior) Fie A R, a 2 A\A 0, V o vecin¼atate a lui a, E un spaţiu normat real şi f : A! E o funcţie derivabil¼a pe V \ A. Se spune c¼a f este de dou¼a ori derivabil¼a în a dac¼a (fj V \A ) 0 este derivabil¼a în a. În acest caz se noteaz¼a (fj V \A ) 0 0 (a) = f 00 (a) şi se numeşte derivata de ordinul 2 a lui f în a. Dac¼a A 2;f = fa 2 A \ A 0 : f : A! E este de dou¼a ori derivabil¼a în ag, 2
13 Analiz¼a Matematic¼a - curs 6 se noteaz¼a cu f 00 sau f (2) funcţia f 00 : A 2;f! E care asociaz¼a ec¼arui element a 2 A 2;f derivata de ordinul 2 funcţiei f în a, adic¼a funcţia a 7! f 00 (a) [: A 2;f! E]. Funcţia f 00 este numit¼a derivata de ordinul 2 a funcţiei f. Mai general, prin recursivitate se de neşte derivata de ordinul n a funcţiei f, notat¼a f (n), ca ind derivata derivatei de ordinul n a lui f: f (n) = f (n ) 0, n 2. Se noteaz¼a f (0) = f: Exemple 5.. Fie n 2 N şi f : D f! R o funcţie de n ori derivabil¼a pe D f.. Dac¼a a 2 (0; ) n fag şi f (x) = a x pentru orice x 2 R, atunci f (n) (x) = ln n (a) a x pentru orice x 2 R. În particular, dac¼a f (x) = e x pentru orice x 2 R, atunci f (n) (x) = e x pentru orice x 2 R. 2. Dac¼a f (x) = sin (x) pentru orice x 2 R, atunci f (n) (x) = sin x + n 2 pentru orice x 2 R. 3. Dac¼a f (x) = cos (x) pentru orice x 2 R, atunci f (n) (x) = cos x + n 2 pentru orice x 2 R. 4. Dac¼a f (x) = (ax + b) k pentru orice x 2 R (unde k 2 N), atunci k (k ) ::: (k n + ) a f (n) (x) = n (ax + b) k n, dac¼a n k 0, dac¼a n > k. pentru orice x 2 R. 5. Dac¼a f (x) = (ax + b) k b pentru orice x 2 ; (unde a 6= 0 a şi k =2 N), atunci f (n) (x) = k (k ) ::: (k n + ) a n (ax + b) k n b pentru orice x 2 ;. a 6. Dac¼a f (x) = pentru orice x 2 R n b (unde k 2 N ), (ax+b) k a atunci f (n) n k(k+):::(k+n ) (x) = ( a) În particular, dac¼a f (x) = x a a. pentru orice x 2 R n b (ax+b) k+n pentru orice x 2 R n fag, atunci f (n) (x) = ( ) n n! (x a) n+ pentru orice x 2 R n fag. 3
14 M¼ad¼alina Roxana Buneci b 7. Dac¼a f (x) = ln (ax + b) pentru orice x 2 ; (unde a 6= 0), a atunci f (n) (x) = ( a) n (n )! a pentru orice x 2 b ; şi n. (ax+b) n a Pentru veri carea a rmaţiilor de mai sus se raţioneaz¼a prin inducţie dup¼a n. De niţia 5..2 Fie A R, E un spaţiu normat real şi f : A! E o funcţie. Presupunem c¼a f este de n-ori derivabil¼a în a 2 A. Se numeşte polinomul Taylor de ordinul n asociat funcţiei f în a polinomul notat T n (f; a) şi de nit prin T n (f; a) (X) = f (a)+ (X a) f 0 (a)+! (X a)2 f (2) (a)+:::+ (X 2! a)n f (n) (a). n! Teorema 5..3 (Formula Taylor) Fie A R o mulţime dechis¼a, E un spaţiu normat real şi f : A! E o funcţie. Presupunem c¼a f este de n-ori derivabil¼a în a 2 A. Atunci exist¼a o funcţie R n (f; a) : A! E, numit¼a restul de ordinul n, astfel încât pentru orice x 2 A f (x) = T n (f; a) (x) + R n (f; a) (x), şi lim x!a (x a) n R n (f; a) (x) = 0. Demonstraţie. Pentru orice x 2 A, de nim Demonstr¼am prin inducţie dup¼a n c¼a R n (f; a) (x) = f (x) T n (f; a) (x). P (n) : lim x!a (x a) n (f (x) T n (f; a) (x)) = 0 pentru orice funcţie f de n ori derivabil¼a în a. este adev¼arat¼a pentru orice n. Pasul de veri care: P () : lim x!a (x a) (f (x) T (f; a) (x)) = 0 pentru orice funcţie f derivabil¼a în a. 4
15 Analiz¼a Matematic¼a - curs 6 Deoarece pentru orice funcţie f derivabil¼a în a, avem lim x!a (x a) (f (x) f (a)) = f 0 (a), rezult¼a c¼a lim x!a (x a) (f (x) T (f; a) (x)) = = lim f (x) x!a (x a) f (a) + = lim x!a (x a) (f (x) f (a)) f 0 (a) = f 0 (a) f 0 (a) = 0. (x a) f 0 (a)! Demonstr¼am P (n) ) P (n + ). Fie " > 0 şi f o funcţie de n + ori derivabil¼a în a. Atunci f 0 este de n-ori derivabil¼a în a şi ca urmare din ipoteza de inducţie P (n) rezult¼a lim x!a (x a) n (f 0 (x) T n (f 0 ; a) (x)) = 0. Ca urmare exist¼a " > 0 astfel încât pentru orice x 2 (a e ; a + " ) A avem kf 0 (x) T n (f 0 ; a) (x)k < " jx aj n. (5.) Pe de alt¼a parte, pentru orice x 2 (a nite, avem e ; a + " ), conform teoremei creşterilor kf (x) T n+ (f; a) (x) (f (a) T n+ (f; a) (a))k M jx aj, unde M = sup z2ix f 0 (z) I x = [x; a] dac¼a x < a. Cum T n (f; a) (a) = a T 0 n+ (f; a) (z), iar I x = [a; x] dac¼a a x sau kf (x) T n+ (f; a) (x)k sup z2i y f 0 (z) T 0 n+ (f; a) (z) jx aj 5
16 M¼ad¼alina Roxana Buneci şi deoarece T 0 n+ (f; a) (z) = T n (f 0 ; a) (z) avem kf (x) T n+ (f; a) (y)k jx aj n+ < (5:) = ". jx aj n sup kf 0 (z) z2i y jx aj n " jx aj n T n (f 0 ; a) (z)k Ca urmare lim x!a şi deci P (n + ) este adev¼arat¼a. (x a) n+ (f (x) T n+ (f; a) (x)) = Teoremele Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy şi aplicaţii De niţia 5.2. Fie f : A! B R o funcţie şi a 2 A. Punctul a se numeşte punct de minim (global) pentru f def, f (a) f (x) pentru orice x 2 A; punct de maxim (global) pentru f def, f (a) f (x) pentru orice x 2 A; punct de extrem (global) pentru f def, a este punct de minim (global) sau de maxim (global). Dac¼a în plus, A este o submulţime a unui spaţiu topologic, punctul a se numeşte punct de minim local pentru f def, exist¼a o vecin¼atate V a lui a astfel încât f (a) f (x) pentru orice x 2 A \ V ; punct de maxim local pentru f def, exist¼a o vecin¼atate V a lui a astfel încât f (a) f (x) pentru orice x 2 A \ V ; 6
17 Analiz¼a Matematic¼a - curs 6 punct de extrem local pentru f def, a este punct de minim local sau de maxim local. Teorema (Teorema lui Fermat) Fie I un interval deschis de numere reale, a 2 I şi f : I! R o funcţie derivabil¼a în a. Dac¼a a este punct de extrem local pentru f, atunci f 0 (a) = 0. Demonstraţie. Ţinând cont c¼a a este punct de maxim local pentru f dac¼a şi numai dac¼a a este punct de minim local pentru f, f¼ar¼a a reduce generalitatea, putem presupune c¼a a este punct de minim pentru f. Ca urmare exist¼a o vecin¼atate V a lui a pe care o putem presupune inclus¼a în I astfel încât f (a) f (x) pentru orice x 2 V. De aici rezult¼a c¼a şi Aşadar şi f (x) x f (x) x În consecinţ¼a, f 0 (a) = 0. f (a) 0 pentru orice x a a f (a) 0 pentru orice x a. a f 0 (a) = f 0 s (a) = lim x!a x<a f 0 (a) = f 0 d (a) = lim x!a x>a f (x) x f (x) x f (a) 0 a f (a) 0. a De niţia Fie a; b 2 R astfel încât a < b:o funcţie f : [a; b]! R se numeşte funcţie Rolle def,. f este continu¼a pe [a; b] 2. f este derivabil¼a pe (a; b). Teorema (Teorema lui Rolle) Fie f : [a; b]! R o funcţie Rolle cu proprietatea c¼a f (a) = f (b). Atunci exist¼a c 2 (a; b) astfel încât f 0 (c) = 0. 7
18 M¼ad¼alina Roxana Buneci Demonstraţie. Dac¼a f este o funcţie constant¼a, atunci concluzia este evident¼a. Presupunem în continuare c¼a f nu este constant¼a. Deoarece f este o funcţie continu¼a pe intervalul compact [a; b], f îşi atinge extremele (conform teoremei Teorema (Weierstrass)), adic¼a exist¼a x min ; x max 2 X astfel încât f(x min ) f(x) f(x max ) pentru orice x 2 [a; b]. Cum f (a) = f (b) şi f nu este constant¼a, cel puţin unul dintre punctele x min sau x max este în interiorul intervalului [a; b]. Dac¼a not¼am cu c acest punct, atunci conform teoremei lui Fermat f 0 (c) = 0. Teorema (Teorema lui Lagrange) Fie f : [a; b]! R o funcţie Rolle. Atunci exist¼a c 2 (a; b) astfel încât f (b) f (a) = (b a) f 0 (c). Demonstraţie. Fie funcţia ' : [a; b]! R de nit¼a prin ' (x) = (f (b) f (a)) x (b a) f (x) pentru orice x 2 [a; b]. Atunci ' este o funcţie Rolle şi ' (a) = ' (b). Conform teoremei lui Rolle exist¼a c 2 (a; b) astfel încât ' 0 (c) = 0 sau echivalent f (b) f (a) (b a) f 0 (c) = 0. Teorema (Teorema lui Cauchy) Fie f,g : [a; b]! R dou¼a funcţii Rolle. Atunci exist¼a c 2 (a; b) astfel încât f (b) f (a) g 0 (c) = (g (b) g (a)) f 0 (c). Demonstraţie. Fie funcţia ' : [a; b]! R de nit¼a prin ' (x) = (f (b) f (a)) g (x) (g (b) g (a)) f (x) pentru orice x 2 [a; b]. Atunci ' este o funcţie Rolle şi ' (a) = ' (b). Conform teoremei lui Rolle exist¼a c 2 (a; b) astfel încât ' 0 (c) = 0 sau echivalent (f (b) f (a)) g 0 (c) (g (b) g (a)) f (c) = 0. 8
19 Analiz¼a Matematic¼a - curs 6 Dac¼a în plus, g 0 (x) 6= 0 pentru orice x 2 (a; b), rezultatul din teorema precedent¼a poate reformulat în felul urm¼ator: exist¼a c 2 (a; b) astfel încât f (b) g (b) f (a) g (a) = f 0 (c) g 0 (c). Teorema (Formula lui Taylor cu restul Lagrange) Fie I R un interval deschis, a 2 I şi f : A! R o funcţie de n + -ori derivabil¼a pe A. Atunci pentru orice x 2 I exist¼a t x 2 (0; ) astfel încât a)n+ f (x) = T n (f; a) (x) + (x (n + )! f (n+) (a + t x (x a)), unde T n (f; a) este polinomul Taylor de ordinul n asociat funcţiei f în a: T n (f; a) (x) = f (a)+ (x a) f 0 (a)+! (x a)2 f (2) (a)+:::+ (x 2! a)n f (n) (a). n! Demonstraţie. Dac¼a x = a rezultatul este evident. Presupunem x 6= a, [a; x] dac¼a a < x not¼am I x = [x; a] dac¼a x < a şi consider¼am funcţia ' : I x! R de nit¼a prin ' (y) = f (x) T n (f; y) (x) np (x y) k = f (x) f (y) f (k) (y), y 2 I x k! k= 9
20 Pentru orice y 2 I x avem ' 0 (y) = f 0 (y) np k= M¼ad¼alina Roxana Buneci k (x y) k f (k) (y) + (x k!! y)k f (k+) (y) k! P = f 0 (y) + n (x y) k np f (k) (x y) k (y) f (k+) (y) k= (k )! k= k! = f 0 (y) + n P (x y) j np f (j+) (x y) k (y) f (k+) (y) j=0 j! k= k! = f 0 (y) + f 0 (y) + n P (x y) j np f (j+) (x y) k (y) f (k+) (y) j! k! j= = n P (x y) j f (j+) (y) j= j! (x y) n = f (n+) (y) : n! De nim funcţia : I x! R prin np k= (x y)n+ (y) = ' (y) (n + )! k= (x y) k f (k+) (y) k! pentru orice y 2 I x, (5.2) (x y) n f (n+) (y) n! unde este o constant¼a real¼a pe care o determin¼am punând condiţia (a) = (x), care conduce la (x a)n+ ' (a) (n + )! = 0, sau echivalent = (n+)!'(a) (x a) n+. Funcţia este o funcţie Rolle şi (a) = (b). Conform teoremei lui Rolle exist¼a c 2 I x astfel încât 0 (c) = 0 sau echivalent ' 0 (n + ) (x (c) + c)n = 0. (n + )! Ţinând cont de (5.2) obţinem (x c) n f (n+) (c) + (x n! 20 c)n n! = 0
21 Analiz¼a Matematic¼a - curs 6 de unde deducem = f (n+) (c) şi cum = (n+)!'(a) (x a) n+ rezult¼a (n + )!' (a) (x a) n+ = f (n+) (c) sau echivalent ' (a) = (x a)n+ f (n+) (c) : (n + )! f (x) T n (f; a) (x) = (x a)n+ f (n+) (c). (n + )! Faptul c¼a c este în interiorul intervalului I x este echivalent cu existenţa unui t x 2 (0; ) astfel încât c = a + t x (x a) (lu¼am t x = c a x a ). Observaţia Dac¼a P m este un polinom de grad m şi T n (P m ; a) este polinomul Taylor de ordinul n asociat funcţiei polinomiale x 7! P m (x) în a, atunci T n (P m ; a) (x) = P m (x) pentru orice n m. Într-adev¼ar, conform formulei Taylor cu restul lui Lagrange avem: a)n+ P m (x) = T n (P m ; a) (x) + (x (n + )! P (n+) m (a + t x (x a)), şi ţinând cont c¼a P k m (y) = 0 pentru orice k > m şi orice y 2 R, obţinem P m (x) = T n (P m ; a) (x) pentru orice n m. Exemplul Calcul¼am sin (62 ) cu patru cifre zecimale exacte. Aplic¼am formula Taylor cu restul lui Lagrange: a)n+ f (x) = T n (f; a) (x) + (x (n + )! f (n+) (a + t x (x a)) în punctul a = 60 =, pentru x = 3 62 = 3 şi funcţia f : R! R, de nit¼a 90 prin f (x) = sin (x) pentru orice x 2 R. Deoarece f (n+) (y) = sin y + n 2 pentru orice y 2 R, avem (x a) n+ f (n+) (a + t x (x a)) (n + )! (x a) n+ (n + )!. 2
22 M¼ad¼alina Roxana Buneci Not¼am h = x a şi punem condiţia h n+ (n + )! < 0. 4 Pentru n = 0 se obţine h = h2 = 0:0349:::, n = se obţine = 2 = h 0:0006:::, iar pentru n = 2, 3 = 3 = 0 5 0:7:::. Deci pentru 3! n = 2 restul din formula Taylor este în modul mai mic decât 0 4. Ca urmare polinomul Taylor T 2 f; aproximeaz¼a sin 3 90 cu patru cifre zecimale exacte. Avem T 2 f; 3 = f + h ! f 0 + h2 3 2! f (2) 3 h 2 = sin + h cos sin p p = = 2 + p p Aproximând p 3 = :732:::şi = 3:4, se obţine T 2 f; = 0:8829:::, şi deci 0:8829 este o aproximaţie a lui sin (62 ) cu patru cifre zecimale exacte. Teorema (Formula lui Mac Laurin) Fie I R un interval deschis cu proprietatea c¼a 0 2 I şi f : I! R o funcţie de n + -ori derivabil¼a pe I. Atunci pentru orice x 2 I exist¼a t x 2 (0; ) astfel încât f (x) = f (0) + x! f 0 (0) + x2 2! f (2) (0) + ::: + xn n! f (n) (0) + xn+ (n + )! f (n+) (t x x). Demonstraţie. Se aplic¼a formula Taylor cu restul Lagrange în punctul a = 0 (teorema 5.2.7). Exemple 5.2. Aplicând formula Mac Laurin funcţiilor f (cu f(x) = e x, f(x) = sin (x), f(x) = cos (x), f(x) = ln ( + x), respectiv, f(x) = ( + x) ) se obţin formulele: 22
23 Analiz¼a Matematic¼a - curs 6. Pentru orice x 2 R exist¼a t x 2 (0; ) astfel încât e x = + x! + x2 2! + ::: + xn n! + xn+ (n + )! etxx. 2. Pentru orice x 2 R exist¼a t x 2 (0; ) astfel încât sin (x) = x x3 3! +x5 5! +:::+( x 2n+ t )n (2n + )! + x2n+2 (2n + 2)! sin x x + (2n + 2) Pentru orice x 2 R exist¼a t x 2 (0; ) astfel încât cos (x) = x2 2! +x4 4! +:::+( x 2n )n (2n)! + x2n+ (2n + )! cos t x x + (2n + ) 2 4. Pentru orice x 2 ( ; ) exist¼a t x 2 (0; ) astfel încât. ln ( + x) = + x x ::: + ( )n x n n + ( x n+ )n n + (t x x + ) n+. 5. Pentru orice x 2 ( ; ) exist¼a t x 2 (0; ) astfel încât ( + x) = + (a ) x + x 2 ( ) ::: ( n + ) +:::+ x n +! 2! n! ( ) ::: ( n + ) ( n) x n+ ( + t x x) n. (n + )! Teorema (Teorema lui L Hospital) Fie a; b 2 R, a < b, I un interval astfel încât (a; b) I [a; b], x 0 2 [a; b] şi f; g : I n fx 0 g dou¼a funcţii cu propriet¼aţile. lim x!x0 f (x) = lim x!x0 g (x) = 0 (respectiv, lim x!x0 jg (x)j = ) 2. f şi g sunt derivabile şi g 0 (x) 6= 0 pentru orice x 2 I n fx 0 g. f 3. lim 0 (x) x!x0 g 0 (x) exist¼a (în R). 23
24 M¼ad¼alina Roxana Buneci Atunci g (x) 6= 0 pentru orice x 2 I n fx 0 g (respectiv, exist¼a o vecin¼atate V a lui x 0 astfel încât g (x) 6= 0 pentru orice x 2 V \ I n fx 0 g) şi limita exist¼a şi este egal¼a cu lim. ([Gh. Sireţchi, Calcul diferenţial f(x) lim x!x g(x) 0 f 0 (x) x!x g 0 (x) 0 şi integral, Vol. /p. 27, Editura Ştiinţi c¼a şi Enciclopedic¼a, Bucureşti, 985]) ln(x) x Exemplul S¼a se calculeze lim 2 + = 0 x! sin((x )) 0. R: Avem (ln (x) x 2 + ) 0 lim x! (sin ( (x ))) 0 = lim x! Ca urmare lim x! ln(x) x 2 + sin((x )) =. 2x x cos ( (x )) 0 =. 24
25 Index derivat¼a de ordin superior, 3 derivata într-un punct, 7 derivata la dreapta, 8 derivata la stânga, 8 distanţ¼a distanţ¼a euclidian¼a, 4 formula Mac Laurin, 22 formula Taylor, 4 cu restul Lagrange, 9 funcţie derivabil¼a, 7 derivata, 7 derivata de ordin superior, 3 funcţie Rolle, 7 teorema creşterilor nite, 2 teorema lui Cauchy, 8 teorema lui Fermat, 7 teorema lui Lagrange, 8 teorema lui Rolle, 7 topologie topologia uzual¼a pe R n, 4 norm¼a euclidian¼a, 3 polinom Taylor, 4 produs scalar produs scalar canonic pe R n, 4 punct de extrem, 6 punct de extrem local, 7 punct de maxim, 6 punct de maxim local, 6 punct de minim, 6 punct de minim local, 6 restul în formula Taylor, 4 25
Curs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi
Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a
Mai multCursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l
Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative la R n, în principal), sunt prezentate aici elemente
Mai multTiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n
Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului
Mai mult{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud
{ 3 + 3, < Eemple. ) Fie f : R R, f() + 4,. Funcţia f este derivabilă pe R\{} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să studiem derivabilitatea în a. Atunci f s() 3+3 6,< 3, f d f() f() (),> funcţia
Mai multAero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D
Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge
Mai multGHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007
GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de
Mai multDistanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,
Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea
Mai multŞiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
Mai multCursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire
Mai multFacultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim
Mai multCursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Mai mult0 Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică 1. Să se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) x 4 ; b) x 3 dx dx
Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică. ă se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) + x ; b) x dx dx; c) + x x + x ) ; dx x d) x + x ) ; e) dx; f) x p e xq dx, p >,
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac
Mai mult20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do
SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul
Mai multClasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,
Mai multTEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:
TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins
Mai multCopyright c 2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la
Copyright c 1 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, Profilurile: fizica-matematica, economie,
Mai multMD.09. Teoria stabilităţii 1
MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multcurs 9 v3 [Compatibility Mode]
Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 007 03 Aa prioritară nr. Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice
Mai mult02. Analiza matematica 3 - MI 2
FIȘA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1. Instituția de învățământ superior Universitatea de Vest din Timișoara 1.2. Facultatea Matematică și Informatică 1.3. Departamentul Matematică 1.4. Domeniul
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Mai multPrelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7
Mai multAutoevaluare curs MN.doc
Anul II, IEI IFR Semestrul I Metode numerice Chestionar de autoevaluare C1 1 Să se scrie o procedură care să calculeze produsul scalar a doi vectori 2 Să se scrie o procedură de înmulţire a matricelor
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele
Mai multCursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont
Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector
Mai multMicrosoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc
ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 4 2019 Anca Ignat Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Fie matricea nesingulară A nn şi b n. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare Ax=b se poate face folosind regula
Mai multAlgebr¼a liniar¼a, geometrie analitic¼a şi diferenţial¼a B¼arb¼acioru Iuliana Carmen Seminarul 2
lgebr¼a liniar¼a, geometrie analitic¼a şi diferenţial¼a ¼arb¼acioru Iuliana armen uprins. Spaţii vectoriale............................. 4. Modi carea coordonatelor unui vector atunci când se schimb¼a
Mai multCERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, tri
CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI 19 3. CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, triunghiuri şi alte guri geometrice. Galileo Galilei 3
Mai multDAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
Mai multMicrosoft Word - l10.doc
Metode Numerice - Lucrarea de laborator 0 Lucrarea de laborator nr. 0 I. Scopul lucrării Aproximarea funcţiilor. Polinoame de interpolare. II. Conţinutul lucrării. Polinom de interpolare. Definiţie. Eroarea
Mai multPrelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi
Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte
Mai multPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
Mai multUniversitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x
1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima
Mai multSpatii vectoriale
Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale
Mai multUNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot
Mai mult8
9.5 Fluxul unui vector printr-o suprafaţă deschisă-continuare Observaţie: Dacă vrem să calculăm fluxul vectorului a = P x y z i + Q x y z j + R x y z k (,, ) (,, ) (,, ) prin suprafaţa definită de ecuaţia
Mai multCLP_UTCN-grila-2012.dvi
Liceul: Numele: Punctaj: Prenumele: Concursul liceelor partenere cu Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Test grilă Ediţia a treia mai 0 Clasa a X-a În casuţa din stânga întrebării se va scrie litera
Mai multMicrosoft Word - probleme_analiza_numerica_ses_ian09.rtf
Universitatea Spiru Haret Facultatea de Matematica-Informatica Disciplina obligatorie; Anul 3, Sem. 1,Matematica si Informatica CONTINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI Metode numerice de rezolvare a sistemelor
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se
Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să
Mai multLimbaje Formale, Automate si Compilatoare
Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare Curs 1 2018-19 LFAC (2018-19) Curs 1 1 / 45 Prezentare curs Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare - Curs 1 1 Prezentare curs 2 Limbaje formale 3 Mecanisme
Mai multElemente de aritmetica
Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al
Mai mult1 Concursul de matematic¼a NICOLAE COCULESCU EDIŢIA a VIII-a SLATINA 29 noiembrie 2012 Clasa a III-a 1. Numere, numere. a) Cinci prieteni se î
1 Concursul de matematic¼a NICOLAE COCULESCU 2011-12 EDIŢIA a VIII-a SLATINA 29 noiembrie 2012 Clasa a III-a 1. Numere, numere. a) Cinci prieteni se întâlnesc. Ei se salut¼a, ecare dând mâna cu ecare,
Mai multCuprins ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL CUPRINS Unitatea de învăţare Titlu Pagina INTRODUCERE 1 1 Primitive 3 Obiectivele unităţii de învăţare nr.
Cuprins CALCUL INTEGRAL CUPRINS Unitatea de învăţare Titlu Pagina INTRODUCERE 1 1 Primitive 3 Obiectivele unităţii de învăţare nr. 1 4 1.1. Primitive. Noțiuni generale 4 1.2. Calculul primitivelor Test
Mai multPachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL
Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.
Mai multMatematici Speciale - Ingineria Sistemelor Seminar 1 Probleme rezolvate 1. Studiaţi convergenţa integralelor improprii: Z 1 p Z 3 2x 2 a) I
Matematici Seciale - Ingineria Sistemelor 5-6 Seminar Probleme rezolvate. Studiaţi convergenţa integralelor imrorii: a) I d, b) J d, c) K + ;5 entru a d şi b c k. Soluţie: a) Integrala I este divergent¼a,
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 12 SPAŢII L P Cursul 11 Proprietăţi de densitate în spaţiile L p Proprietăţile de densitate ne permit să
DRs, Teoria măsrii şi integrala Lebesge 12 SPAŢII L P Crsl 11 Prorietăţi de densitate în saţiile L Prorietăţile de densitate ne ermit să aroximăm fncţiile din L ( c fncţii din L ( c o strctră mai simlă,
Mai multCURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),
CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul
Mai multCOMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati
COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan
Mai multI
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
urs 4 Integrale curbilinii 4.1 Drumuri şi curbe Definiţie 4.1. O funcţie continuă γ : [a,b] R m se numeşte drum plan dacă m = 2 sau drum în spaţiu dacă m = 3. Punctul γ(a) se numeşte originea drumului,
Mai multDorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
Mai multAproximarea functiilor prin metoda celor mai mici patrate
Aproximarea funcţiilor prin metoda celor mai mici pătrate Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 2017-2018
Mai multUniversitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică şi Informatică ERNEST SCHEIBER ANALIZĂ NUMERICĂ Braşov
Universitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică şi Informatică ERNEST SCHEIBER ANALIZĂ NUMERICĂ Braşov Cuprins I INTERPOLARE ŞI APLICAŢII 9 1 Diferenţe finite 11 11 Diferenţe finite 11
Mai multETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți
Seminar Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferențiale Folosind transformata Laplace, putem reolva ecuații și sisteme diferențiale. Cu ajutorul proprietăților transformatei
Mai multmatematica
MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII PROGRAMĂ ŞCOLARĂ M A T E M A T I C Ă CLASA A IX-A CICLUL INFERIOR AL LICEULUI Aprobată prin ordin al ministrului nr. / Bucureşti, 2009 NOTĂ DE PREZENTARE În
Mai multProbleme rezolvate 1) Să se calculeze limitele următoarelor şiruri: 1 a) x n n = ( n+ 1)( n+ 2 )...( n+ n), n 2 n ( 1) 1 n n b) 2 3 n 5 n... ( 2
Probleme rezolvate ) Să se calculeze itele următoarelor şiruri: a) x = ( + )( + )...( + ), 3 ( ) b) 3 5... ( x = e + e + + ) e Soluţie ( + )( + )...( + ) a) x = =... + + +. k l x = l +. Folosid coseciţa
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 6 2019 Anca Ignat Algoritmul lui Givens Fie A o matrice reală pătratică de dimensiune n. Pp. că avem: A QR unde Q este o matrice ortogonală iar R este o matrice superior triunghiulară.
Mai multSubiecte_funar_2006.doc
Clasa a VIII-a A. 1. Exista numere n Z astfel încât n si n+ sa fie patrate perfecte? (Gheorghe Stoica) A. 2. Se considera A N o multime cu 7 elemente si k N*. Aratati ca ecuatia 4x 2 4ax+b 2 +10k = 0,
Mai multTeoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.
Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului
Mai multMicrosoft Word - LogaritmiBac2009.doc
Logaritmi. EcuaŃii logaritmice Logaritmi DefiniŃie. Fie a R * +, a şi b R * + douã numere reale. Se numeşte logaritm al numãrului real strict pozitiv b exponentul la care trebuie ridicat numãrul a, numit
Mai multGeometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 12 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 3 Apendix 2
Mai multCursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această ev
Cursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această evoluţie, exprimată succint prin şirul de incluziuni
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI Etapa locală, 24 februarie 2017 PROFIL TEHNIC ŞI SERVICII, RESURSE NATURALE, PROTECŢIA MEDIU
SUBIECTE - clasa a IX-a 1. Determinați mulțimile: a) ; b) ; c). 2. Arătați că: a), ; b) dacă, atunci. 3. Considerăm dreptunghiul ABCD și punctele E, F și M, astfel încât, și. Dacă N este mijlocul lui (EF),
Mai multGheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Mai multMicrosoft Word - Lab1a.doc
Sisteme de numeraţie şi coduri numerice 1.1. Sisteme de numeraţie 1.2. Conversii generale între sisteme de numeraţie 1.3. Reprezentarea numerelor binare negative 1.4. Coduri numerice 1.5. Aplicaţii In
Mai multUniverstitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Anca Grad (născută Dumitru) Condiţii de optim îmbunătăţite pentru prob
Universtitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică nca Grad (născută Dumitru) Condiţii de optim îmbunătăţite pentru probleme de optimizare scalară, vectorială şi multivocă
Mai multRetele Petri si Aplicatii
Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 3 RPA (2019) Curs 3 1 / 48 Conţinutul cursului 1 Arbori de acoperire 2 Probleme de decizie în reţele Petri 3 Invarianţi tranziţie RPA (2019) Curs 3 2 / 48 Arbori de acoperire
Mai multE_c_matematica_M_mate-info_2017_var_02_LRO
Matmatică M_mat-info Toat subictl sunt obligatorii. S acordă punct din oficiu. Timpul d lucru fctiv st d or. 5p. S considră numărul compl z + i. Arătați că z z zz 9 5p. Dtrminați numărul ral m, știind
Mai multMicrosoft Word - TIC5
CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE CAPITOLUL 5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE În Capitolul 3, am văzut că putem utiliza codarea sursă pentru a reduce redundanţa inerentă a unei surse de informaţie
Mai multGabriela Grosu / EDCO 1 SEMINAR NR. 9, REZOLV ¼ARI EDCO, AIA 1:5: Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul întâi şi ecuaţii reductibile la acestea: ecu
Gabriela Grosu / EDCO SEMINAR NR. 9, REOLV ¼ARI EDCO, AIA :5: Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul înâi şi ecuaţii reducibile la acesea: ecuaţii Bernoulli, ecuaţii Riccai :5:: Ecuaţii diferenţiale liniare
Mai multprograma_olimpiada_matematica_IX-XII_
R O M  N I A MINISTERUL EDUCAłIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI DIRECłIA GENERALĂ MANAGEMENT ÎNVĂłĂMÂNT PREUNIVERSITAR CONSILIUL NAłIONAL PENTRU CURRICULUM ŞI EVALUARE ÎN ÎNVĂłĂMÂNTUL PREUNIVERITAR PROGRAMA
Mai multCapitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru,
Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru, adică f (t, 0) = 0, t t 0. In acest paragraf, funcţia
Mai multALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine număru
ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine numărul de operaţii efectuate de către un algoritm care determină
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 7 2019 Aca Igat Memorarea matricelor rare - se memorează doar valorile eule şi suficiete iformaţii despre idici astfel ca să se poată recostitui complet matricea Pp. că matricea A
Mai multFIŞA DISCIPLINEI
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1.Instituţia de învăţământ superior Universitatea SPIRU HARET 1.2.Facultatea Inginerie, Informatică şi Geografie 1.3.Departamentul Informatică şi Geografie 1.4.Domeniul
Mai multTeoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A 1,...,
Teoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A,..., A r unde A,..., A r sunt elemente distincte dintr-o
Mai multmatematica, liceu-specializ. matematica-informatica
Anexa 2 la ordinul ministrului educaţiei şi cercetării nr. 3252/ 13.02.2006 MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII CONSILIUL NAŢIONAL PENTRU CURRICULUM PROGRAME ŞCOLARE PENTRU CICLUL SUPERIOR AL LICEULUI MATEMATICĂ
Mai multGeometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial Vari
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial 1 11 Varietăţi liniare 1 12 Spaţiul director şi dimensiunea unei varietăţi
Mai multLOGICA MATEMATICA SI COMPUTATIONALA Sem. I,
LOGICA MATEMATICĂ ŞI COMPUTAŢIONALĂ Sem. I, 2017-2018 Ioana Leustean FMI, UB Partea III Calculul propoziţional clasic Consistenţă şi satisfiabilitate Teorema de completitudine Algebra Lindenbaum-Tarski
Mai multFIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de Matematică 1.3 Departamentul Matematică Didactic 1.4
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
2 MONITORUL OFICIAL AL ROMÂNIEI, PARTEA I, Nr. 696/7.IX.2016 ACTE ALE ORGANELOR DE SPECIALITATE ALE ADMINISTRAȚIEI PUBLICE CENTRALE MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE ȘI CERCETĂRII ȘTIINȚIFICE ORDIN privind
Mai multjoined_document_27.pdf
INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ, CLASA a V - a FEBRUARIE 014 a). Pe un stadion intră la un meci un număr de persoane după următoarea regulă: în primul
Mai multCursul 12 Şiruri recurente în planul complex Vom studia, în continuare, comportarea în raport cu data iniţială a şirurilor definite prin relaţii de re
Cursul 12 Şiruri recurente în planul complex Vom studia, în continuare, comportarea în raport cu data iniţială a şirurilor definite prin relaţii de recurenţă de forma z n+1 = f(z n ), n = 0, 1, 2,...,
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
2 MONITORUL OFICIAL AL ROMÂNIEI, PARTEA I, Nr. 696/7.IX.2016 ACTE ALE ORGANELOR DE SPECIALITATE ALE ADMINISTRAȚIEI PUBLICE CENTRALE MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE ȘI CERCETĂRII ȘTIINȚIFICE ORDIN privind
Mai multPowerPoint Presentation
Calculul Aproximativ al Derivatelor Funcțiilor umerice Ș.l. Dr. ing. Levente CZUMBIL E-mail: Levente.Czumbil@ethm.utcluj.ro WebPage: http://users.utcluj.ro/~czumbil Determinarea distribuţiei de sarcină
Mai multMicrosoft Word - 03 Dominica MOISE.doc
CONFERINȚA NAȚIONALĂ DE INSTRUMENTAȚIE VIRTUALĂ, EDIȚIA A V-A, BUCURE TI, 20 MAI 2008 13 Pachet de programe care ilustrează capitole din matematică, fizică şi studiul fractalilor Luminița Dominica MOISE,
Mai multALGORITHMICS
CURS 2: Descrierea algoritmilor în pseudocod =Exemple= 1 Structura Descrierea unor algoritmi simpli Specificarea și utilizarea subalgoritmilor 2 Exemplu 1 Considerăm un tabel cu informații despre studenți
Mai multProbleme proiect TP BITPERM Implementați un algoritm care citește de la intrarea standard două numere naturale și scrie la ieșirea standard da
Probleme proiect TP 2016 1. BITPERM Implementați un algoritm care citește de la intrarea standard două numere naturale și scrie la ieșirea standard dacă reprezentarea binară a unuia dintre numere poate
Mai mult