Curs 3 Permutari cu repetitie. Combinari. Algoritmi de ordonare si generare

Mărimea: px
Porniți afișarea la pagina:

Download "Curs 3 Permutari cu repetitie. Combinari. Algoritmi de ordonare si generare"

Transcriere

1 Curs 3 Permutări cu repetiţie. Combinări. Algoritmi de ordonare şi generare Octombrie 2015

2 Cuprins Algoritmi de ordonare şi generare pentru permutări cu repetiţie Reprezentarea binară a submulţimilor Algoritmi de ordonare şi generare Generarea rapidă a combinărilor Coduri Gray; propertăţi Submulţimi ordonate lexicografic Generarea -combinărilor

3 Permutări cu repetiţie r-permutările cu repetiţie ale unui alfabet A = {a 1,..., a n } sunt secvenţele ordonate de forma unde x 1,..., x r A. x 1,..., x r Acelaşi simbol poate să apară de mai multe ori în o r-permutare cu repetiţie Conform regulii produsului, există n r r-permutări cu repetiţie

4 Permutări cu repetiţie Algoritmi de ordonare şi generare în ordine lexicografică r-permutările cu repetiţie pot fi ordonate lexicografic, la fel ca şi r-permutările obişnuite. Exemplu (A = {a 1, a 2 } cu a 1 < a 2, r = 3 r-permutare cu repetiţie a lui A rang a 1, a 1, a 1 0 a 1, a 1, a 2 1 a 1, a 2, a 1 2 a 1, a 2, a 2 3 a 2, a 1, a 1 4 a 2, a 1, a 2 5 a 2, a 2, a 1 6 a 2, a 2, a 2 7 Definiţie (Ordonare lexicografică x 1,..., x r < y 1,..., y r dacă există {1,..., n} astfel încât x < y şi x i = y i pentru toţi 1 i <.

5 Ordonarea şi generarea r-permutărilor cu repetiţie Observaţii Fie A = {a 1, a 2,..., a n } cu a 1 < a 2 <... < a n. Dacă definim index(a i := i 1 pentru 1 i n şi înlocuim a i cu index(a i în enumerarea lexicografică a r-permutărilor, avem r-permutare cu repetiţie a lui A rang a 1,..., a 1, a 1, a 1 0,..., 0, 0, a 1,..., a 1, a 1, a n 0,..., 0, 0, n 1 n 1 a 1,..., a 1, a 2, a 1 0,..., 0, 1, 0 1 n.. a 1,..., a 1, a 2, a n 0,..., 0, 1, n 1 2 n 1. Observaţie: r-permutarea cu repetiţie a indecşilor este reprezentarea în baza n a rangului..

6 Ordonarea şi generarea r-permutărilor cu repetiţie Exerciţii 1 Să se definească un algoritm care calculează rangul unei r-permutări cu repetiţie x 1,..., x r a lui A = {1,..., n} în raport cu ordinea lexicografică. 2 Să se definească un algoritm care calculează r-permutarea cu repetiţie a lui A = {1,..., n} care are rangul în raport cu ordinea lexicografică. 3 Să se definească un algoritm care calculează r-permutarea cu repetiţie care urmează imediat după r-permutarea cu repetiţie x 1,..., x r a lui A.

7 Combinări Reprezentarea binară a submulţimilor O r-combinare a unei mulţimi A cu n elemente este o submulţime cu r elemente a lui A. Există o correspondenţă bijectivă între şirurile de n-biţi şi submulţimile mulţimii A = {a 1, a 2,..., a n }: { 1 dacă an i B B A b n 1 b n 2... b 0 unde b i = 0 în caz contrar. şir de n-biţi b 0 b 1... b n 1 submulţimea {a n i b i = 1} lui A Exemplu A = {a 1, a 2, a 3, a 4, a 5 } unde a 1 = a, a 2 = b, a 3 = c, a 4 = d, a 5 = e {a, b} {c, d, e} {a} {a, c} {b, c, d, e} {b} {a, d} {a, b, d, e} {c} {a, e} {a, c, d, e} {d} {b, c} {a, b, c, d} {e} {a, b, c, d, e} 11111

8 Calculul codificării ca şir binar a lunei submulţimi BitString(B: submultime a lui A, A: multime ordonata {a 1,..., a n } int bit string[0..n 1] for i:=0 to n 1 do if a i B then bit string[n i] := 1 else bit string[n i] := 0 return bit string

9 Calcului combinării corespunzătoare unui şir de n-biţi Combination(b[0..n-1]: sir de biti, A: multime ordonata {a 1,..., a n } B:= for i:=0 to n 1 do if b[i] = 1 then adauga a n i la B return B

10 Ordonarea submulţimilor folosind codificări cu şiruri binare Există o corespondenţă bijectivă între codificările cu şiruri binare de n-biţi şi numerele cuprinse între 0 şi 2 n 1 : n 1 şir de n biţi b[0.. n 1] numărul b[i] 2 i număr 0 r < 2 n şirul de n-biţi b[0.. n 1] unde ci b[i] := 2 i unde c i este restul împărţirii lui r cu 2 i+1. i=0 Definiţie Rangul unei submulţimi B a mulţimii ordonate A cu n elemente este n 1 Ran(B, A := b[i] 2 i unde b[0.. n 1] este codificarea cu şir de n-biţi a lui B ca submulţime a lui A. i=0

11 Ordonarea submulţimilor unei mulţimi prin intermediul şirurilor de biţi Exemplu (A = {a 0, a 1, a 2 } submulţime codificare binară rang b 2 b 1 b {a 0 } {a 1 } {a 0, a 1 } {a 2 } {a 0, a 2 } {a 1, a 2 } {a 0, a 1, a 2 } Observaţie. Acest mod de enumerare a submulţimilor unei mulţimi de numeşte ordonare canonică, iar şirul b 2 b 1 b 0 se numeşte cod canonic (sau binar.

12 Ordonarea submulţimilor cu ajutorul şirurilor de biţi (2 B a 0,..., a n 1 BitString(B, A n-biţi b[0..n 1] pentru codificarea binară Ran(B, A calcul direct n 1 b[i] 2 i i=0

13 Enumerarea submulţimilor prin intermediul reprezentării binare Se dă o mulţime ordonată A = {a 0, a 1,..., a n 1 }, şi 0 r < 2 n Să se determine submulţimea B a lui A cu rangul r 0 r < 2 n n-bit string encoding b[0.. n 1] b[i] := c/2 i unde c := r mod 2 i+1 pentru 0 i < n Unran(A, r Combination(b, A B := {a i b[n i 1] = 1}

14 Enumerarea submulţimilor prin intermediul reprezentării binare Problema 1: Se dă o submulţime B a mulţimii ordonate A. Să se determine submulţimea lui A care urmează după B în ordonarea prin intermediul reprezentării binare. Sugestie: Se poate defini NextBinaryRanSubset(A,B folosind algoritmii anteriori de ordonare şi enumerare.

15 Enumerarea submulţimilor prin intermediul reprezentării binare Problema 1: Se dă o submulţime B a mulţimii ordonate A. Să se determine submulţimea lui A care urmează după B în ordonarea prin intermediul reprezentării binare. Sugestie: Se poate defini NextBinaryRanSubset(A,B folosind algoritmii anteriori de ordonare şi enumerare. Problema 2: Să se genereze lista tuturor submulţimilor lui A în ordinea crescătoare a rangului calculat prin intermediul codificării binare. Sugestie: Se poate folosi funcţia Unran(A, r definită anterior.

16 Enumerarea submulţimilor cu modificări minime Coduri Grey Exemplu Fran Grey a descoperit în 1953 o metodă de enumerare a tuturor submulţimilor unei mulţimi într-o ordine în care submulţimile consecutive diferă prin inserarea sau ştergerea unui singur element. Această schemă de enumerare se numeşte cod Grey reflectat standard. Folosind metoda lui Grey, submulţimile of {a, b, c} sunt enumerate în ordinea următoare: {}, {c}, {b, c}, {b}, {a, b}, {a, b, c}, {a, c}, {a} Codificările ca şiruri binare b 0 b 1 b 2 ale acestor submulţimi sunt: 000, 100, 110, 010, 011, 111, 101, 001

17 Codul Grey reflectat standard Descriere Se doreşte enumerarea submulţimilor mulţimii A = {a 0, a 1,..., a n 1 } într-o ordine cu modificări minime între submulţimi consecutive. Fie G n lista respectivă. Procedăm recursiv: 1 Se calculează lista G n 1 a submulţimilor lui B = {a 1,..., a n 1 } într-o ordine Grey cu modificări minime. 2 Fie G n 1 lista obţintă prin adăugarea lui a 0 la fiecare element al unei copii inversate a listei G n 1. 3 G n este rezultatul concatenării listei G n 1 cu G n 1.

18 Propertăţi ale codurilor Grey reflectate Se presupune că B este submulţime a mulţimii ordonate A cu n elemente. Dacă atunci m este rangul lui B in în ordinea enumerării lui Grey, şi m = n 1 i=0 b i 2 i Codificarea ca şir de n biţi a lui B este c 0 c 1... c n 1 c i = (b i + b i+1 mod 2 for all 0 i < n, unde b n = 0. Reciproc, se poate demonstra că b i = (c i + c i c n 1 mod 2 pentru toţi 0 i < n.

19 Coduri Grey Exemplu (A = {a, b, c} cu a < b < c submulţime rang Grey b 0 b 1 b 2 şir de biţi rang B m astfel încât al lui B al lui B m = 2 i=0 b 2 i2 i c 0 c 1 c 2 {} {c} {b, c} {b} {a, b} {a, b, c} {a, c} {a} Se observă că c i = (b i + b i+1 mod 2 pentru toţi 0 i < 3, unde b 3 = 0.

20 Exerciţii 1 Folosiţi ecuaţiile de pe slide-ul precedent ca să implementaţi metodele de ordonare RanGrey(B,A şi de enumerare UnranGrey(A,r pentru enumerarea submulţimilor bazată pe coduri Grey. 2 Să se definescă metoda NextGreyRanSubset(A,B care calculează submulţimea lui A care urmează imediat după submulţimea B în enumerarea submulţimilor bazată pe coduri Grey.

21 -combinări Generarea -combinărilor Se dă o mulţime ordonată A cu n elemente şi 0 n. Să se genereze toate -combinările lui A.

22 -combinări Generarea -combinărilor Se dă o mulţime ordonată A cu n elemente şi 0 n. Să se genereze toate -combinările lui A. Metoda 1 (naivă şi ineficientă: generare şi testare 1 Se generează toate cele 2 n submulţimi ale lui A 2 Se elimină submulţimile generate care nu au elemente.

23 -combinări Generarea -combinărilor Se dă o mulţime ordonată A cu n elemente şi 0 n. Să se genereze toate -combinările lui A. Metoda 1 (naivă şi ineficientă: generare şi testare 1 Se generează toate cele 2 n submulţimi ale lui A 2 Se elimină submulţimile generate care nu au elemente. Metoda 2 (recursie simplă: Dacă A = {a} B unde a B este cel mai mic element al lui A atunci 1 Generează lista L 1 a tuturor ( 1-combinărilor lui B, şi fie L 2 lista tuturor -combinărilor lui B. 2 Fie L 3 lista ce se obţine adăugând a la toate elementele lui L 1. 3 Returnează rezultatul concatenării listelor L 2 şi L 3.

24 Ordonarea lexicografică a -combinărilor Enunţul problemei. Observaţii preliminare (1 Se presupune că A = {1, 2,..., n} şi X = {x 1, x 2,..., x } A astfel încât x 1 < x 2 <... < x. Î: Care este rangul lui X în enumerarea lexicografică a -combinărilor lui A? -combinările care apar înaintea lui X în ordine lexicografică sunt de 2 feluri: 1 Cele care conţin un element mai mic decât x 1. 2 Cele al căror element minim este x 1, dar restul elementelor este o ( 1-combinare mai mică decât {x 2, x 3,..., x }.

25 Ordonarea lexicografică a -combinărilor Enunţul problemei. Observaţii preliminare (1 Se presupune că A = {1, 2,..., n} şi X = {x 1, x 2,..., x } A astfel încât x 1 < x 2 <... < x. Î: Care este rangul lui X în enumerarea lexicografică a -combinărilor lui A? -combinările care apar înaintea lui X în ordine lexicografică sunt de 2 feluri: 1 Cele care conţin un element mai mic decât x 1. 2 Cele al căror element minim este x 1, dar restul elementelor este o ( 1-combinare mai mică decât {x 2, x 3,..., x }. rangul lui X în enumerarea lexicografică a -combinărilor lui A este N 1 + N 2 unde N 1 este numărul -combinărilor de primul fel N 2 este numărul -combinărilor de al doilea fel

26 Ordonarea lexicografică a -combinărilor Observaţii preliminare (2 Ipoteză: A = {1, 2,..., n}. Cum putem calcula N 1?

27 Ordonarea lexicografică a -combinărilor Observaţii preliminare (2 Ipoteză: A = {1, 2,..., n}. Cum putem calcula N 1? Numărul -combinărilor lui A care au pe i cel mai mic element este

28 Ordonarea lexicografică a -combinărilor Observaţii preliminare (2 Ipoteză: A = {1, 2,..., n}. Cum putem calcula N 1? Numărul -combinărilor lui A care au pe i cel mai mic element este ( n i 1

29 Ordonarea lexicografică a -combinărilor Observaţii preliminare (2 Ipoteză: A = {1, 2,..., n}. Cum putem calcula N 1? Numărul -combinărilor lui A care au pe i cel mai mic element este N1 = x 1 1 (regula sumei ( n i 1 i=1 ( n i 1

30 Ordonarea lexicografică a -combinărilor Observaţii preliminare (2 Ipoteză: A = {1, 2,..., n}. Cum putem calcula N 1? ( Numărul -combinărilor lui A care au pe i cel mai mic element este n i 1 N1 = x 1 1 ( n i i=1 1 (regula sumei Ştim că ( ( n = n 1 ( 1 + n 1 (vezi curs 1

31 Ordonarea lexicografică a -combinărilor Observaţii preliminare (2 Ipoteză: A = {1, 2,..., n}. Cum putem calcula N 1? ( Numărul -combinărilor lui A care au pe i cel mai mic element este n i 1 N1 = x 1 1 ( n i i=1 1 (regula sumei Ştim că ( ( n = n 1 ( 1 + n 1 (vezi curs 1 N 1 = ( x (n i ( i=1 n i = ( ( n n x1+1 Cum putem calcula N 2?

32 Ordonarea lexicografică a -combinărilor Observaţii preliminare (2 Ipoteză: A = {1, 2,..., n}. Cum putem calcula N 1? ( Numărul -combinărilor lui A care au pe i cel mai mic element este n i 1 N1 = x 1 1 ( n i i=1 1 (regula sumei Ştim că ( ( n = n 1 ( 1 + n 1 (vezi curs 1 N 1 = ( x (n i ( i=1 n i = ( ( n n x1+1 Cum putem calcula N 2? N 2 este rangul lui {x 2,..., x } în enumerarea lexicografică a ( 1-combinărilor lui {x 1 + 1, x 1 + 2,..., n 1, n}

33 Ordonarea lexicografică a -combinărilor Observaţii preliminare (2 Ipoteză: A = {1, 2,..., n}. Cum putem calcula N 1? ( Numărul -combinărilor lui A care au pe i cel mai mic element este n i 1 N1 = x 1 1 ( n i i=1 1 (regula sumei Ştim că ( ( n = n 1 ( 1 + n 1 (vezi curs 1 N 1 = ( x (n i ( i=1 n i = ( ( n n x1+1 Cum putem calcula N 2? N 2 este rangul lui {x 2,..., x } în enumerarea lexicografică a ( 1-combinărilor lui {x 1 + 1, x 1 + 2,..., n 1, n} N 2 se poate calcula recursiv.

34 Ordonarea lexicografică a -combinărilor Din observaţiile anterioare rezultă următoarea implementare recursivă a operaţiei de calcul al rangului: RanKSubset({x 1,..., x }, {l,..., n} calculează rangul în ordine lexicografică a -combinării {x 1,..., x } a mulţimii ordonate {l, l + 1,..., n 1, n}. Se presupune că x 1 < x 2 <... < x. RanKSubset({x 1,..., x }, {l, l + 1,..., n} if (n = or =0 return 0, p := x 1 l + 1 if ( = 1 return p 1 else return ( n ( n p+1 + RanKSubset({x2,..., x }, {x 1 + 1,..., n}

35 Enumerarea lexicografică a -combinărilor Enunţul problemei. Observaţii preliminare Ipoteze: A = {1, 2,..., n} şi X = {x 1, x 2,..., x } cu x 1 < x 2 <... < x este submulţimea lui A cu rangul m în enumerarea lexicografică a tuturor -combinărilor lui A. [Reţinem că 0 m < ( n.] Î: Care sunt valorile lui x 1, x 2,..., x?

36 Enumerarea lexicografică a -combinărilor Enunţul problemei. Observaţii preliminare 1 Numărul total al -combinărilor lui A care conţin un element < x 1 este x 1 1 i=1 ( n i ( n = 1 ( n x1 + 1 m. (1 unde ( n i 1 este numărul -combinărilor în care cel mai mic element este i {1,..., x 1 1}. Acest număr este m fiindcă toate aceste -combinări sunt lexicografic mai mici decât X, care are rangul m.

37 Enumerarea lexicografică a -combinărilor Enunţul problemei. Observaţii preliminare 1 Numărul total al -combinărilor lui A care conţin un element < x 1 este x 1 1 i=1 ( n i ( n = 1 ( n x1 + 1 m. (1 unde ( n i 1 este numărul -combinărilor în care cel mai mic element este i {1,..., x 1 1}. Acest număr este m fiindcă toate aceste -combinări sunt lexicografic mai mici decât X, care are rangul m. 2 Numărul total al -combinărilor lui A care conţin un element x 1 este x 1 ( n i ( n ( n x1 = > m. (2 1 i=1 unde ( n i 1 este numărul -combinărilor în care cel mai mic element este i {1,..., x 1 }. Acest număr este > m deoarece sunt m + 1 întregi i între 0 şi rangul lui X (care este m, şi toate -combinările cu un astfel de rang i conţin un element x 1.

38 Enumerarea lexicografică a -combinărilor Enunţul problemei. Observaţii preliminare 1 Numărul total al -combinărilor lui A care conţin un element < x 1 este x 1 1 i=1 ( n i ( n = 1 ( n x1 + 1 m. (1 unde ( n i 1 este numărul -combinărilor în care cel mai mic element este i {1,..., x 1 1}. Acest număr este m fiindcă toate aceste -combinări sunt lexicografic mai mici decât X, care are rangul m. 2 Numărul total al -combinărilor lui A care conţin un element x 1 este x 1 ( n i ( n ( n x1 = > m. (2 1 i=1 unde ( n i 1 este numărul -combinărilor în care cel mai mic element este i {1,..., x 1 }. Acest număr este > m deoarece sunt m + 1 întregi i între 0 şi rangul lui X (care este m, şi toate -combinările cu un astfel de rang i conţin un element x 1. putem folosi (1 şi (2 ca să aflăm x 1 : ( n ( n x1 +1 m < ( n ( n x1

39 Enumerarea lexicografică a -combinărilor Enunţul problemei. Observaţii preliminare 1 Numărul total al -combinărilor lui A care conţin un element < x 1 este x 1 1 i=1 ( n i ( n = 1 ( n x1 + 1 m. (1 unde ( n i 1 este numărul -combinărilor în care cel mai mic element este i {1,..., x 1 1}. Acest număr este m fiindcă toate aceste -combinări sunt lexicografic mai mici decât X, care are rangul m. 2 Numărul total al -combinărilor lui A care conţin un element x 1 este x 1 ( n i ( n ( n x1 = > m. (2 1 i=1 unde ( n i 1 este numărul -combinărilor în care cel mai mic element este i {1,..., x 1 }. Acest număr este > m deoarece sunt m + 1 întregi i între 0 şi rangul lui X (care este m, şi toate -combinările cu un astfel de rang i conţin un element x 1. putem folosi (1 şi (2 ca să aflăm x 1 : ( n ( n x1 +1 ( m < n ( n x1 Celelalte elemente x 2,..., x se pot determina recursiv.

40 Enumerarea lexicografică a -combinărilor UnranKSubset(m,, {a 1,..., a n } produce -combinarea {x 1,..., x } cu rangul m a lui {a 1,..., a n } în ordine lexicografică. Se presupune că x 1 <... < x şi a 1 <... < a n. UnranKSubset(m,, {a 1,..., a n} if ( = 1 return a +1 else if (m = 0 return {a 1,..., a m} else u := ( n i := 1 while ( i < u m i++ x1:=n (i 1 return {a n i+1 } UnranKSubset(m u + ( n x1+1, 1,{an i+2,..., a n}

41 Bibliografie S. Pemmaraju, S. Siena. Combinatorics and Graph Theory with Mathematica. Section 2.3: Combinations. Cambridge University Press

Teoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A 1,...,

Teoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A 1,..., Teoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A,..., A r unde A,..., A r sunt elemente distincte dintr-o

Mai mult

ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine număru

ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine număru ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine numărul de operaţii efectuate de către un algoritm care determină

Mai mult

Probleme proiect TP BITPERM Implementați un algoritm care citește de la intrarea standard două numere naturale și scrie la ieșirea standard da

Probleme proiect TP BITPERM Implementați un algoritm care citește de la intrarea standard două numere naturale și scrie la ieșirea standard da Probleme proiect TP 2016 1. BITPERM Implementați un algoritm care citește de la intrarea standard două numere naturale și scrie la ieșirea standard dacă reprezentarea binară a unuia dintre numere poate

Mai mult

ALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja f

ALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja f ALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja far Mohammed ibn Musâ al- Khowârizmî în cartea sa intitulată

Mai mult

Metode de sortare - pregătire admitere - Conf.dr. Alexandru Popa Lect. dr. Andrei Pătraşcu Universitatea din Bucureşti 1

Metode de sortare - pregătire admitere - Conf.dr. Alexandru Popa Lect. dr. Andrei Pătraşcu Universitatea din Bucureşti 1 Metode de sortare - pregătire admitere - Conf.dr. Alexandru Popa Lect. dr. Andrei Pătraşcu Universitatea din Bucureşti 1 Cuprins Problema sortării Algoritmul de sortare prin interschimbare (Bubble sort)

Mai mult

Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u

Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:

Mai mult

Logică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014

Logică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea   marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014 Logică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014 Un exemplu: automatul de cafea acțiuni (utilizator): introdu

Mai mult

Capitole Speciale de Informatică Curs 2: Determinarea vocabularului de termeni şi a listelor de postări 4 octombrie 2018 Reamintim că listele de indec

Capitole Speciale de Informatică Curs 2: Determinarea vocabularului de termeni şi a listelor de postări 4 octombrie 2018 Reamintim că listele de indec Capitole Speciale de Informatică Curs 2: Determinarea vocabularului de termeni şi a listelor de postări 4 octombrie 2018 Reamintim că listele de indecşi inversaţi se construiesc în 4 paşi: 1. Se colectează

Mai mult

Capitole Speciale de Informatică Curs 1: Extragerea informaţiilor. Modelul boolean şi modelul boolean extins 27 septembrie 2018 Extragerea informaţiil

Capitole Speciale de Informatică Curs 1: Extragerea informaţiilor. Modelul boolean şi modelul boolean extins 27 septembrie 2018 Extragerea informaţiil Capitole Speciale de Informatică Curs 1: Extragerea informaţiilor. Modelul boolean şi modelul boolean extins 27 septembrie 2018 Extragerea informaţiilor (engl. Information Retrieval, IR) constă în găsirea

Mai mult

Programarea şi utilizarea calculatoarelor

Programarea şi utilizarea calculatoarelor Universitatea Constantin Brâncuşi din Târgu-Jiu Facultatea de Inginerie Departamentul de Automatică, Energie şi Mediu Programarea calculatoarelor Lect.dr. Adrian Runceanu Curs 6 Instrucţiunile limbajului

Mai mult

Analiză statică Analiza fluxului de date 23 octombrie 2014

Analiză statică Analiza fluxului de date 23 octombrie 2014 Analiză statică Analiza fluxului de date 23 octombrie 2014 Analiză statică: definiție O analiză a codului sursă (fără a executa programul), cu scopul de a determina proprietăți ale programului sursă. (in

Mai mult

Microsoft Word - Algoritmi genetici.docx

Microsoft Word - Algoritmi genetici.docx 1.1 Generalităţi Algoritmii genetici fac parte din categoria algoritmilor de calcul evoluționist și sunt inspirați de teoria lui Darwin asupra evoluției. Idea calculului evoluționist a fost introdusă în

Mai mult

Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc

Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc ,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel

Mai mult

Curs 6: Clasificarea surselor de informatii - Clasificarea Bayes Naiva. Modelul Bernoulli

Curs 6: Clasificarea surselor de informatii - Clasificarea Bayes Naiva. Modelul Bernoulli Clasificarea Bayes Naivă. Modelul Bernoulli 1 noiembrie 2018 Problema de clasificare Definiţie generală. Clasificarea documentelor Se dau (1) o mulţime C = {c 1, c 2,...} de clase de obiecte şi (2) un

Mai mult

Algoritmi elementari Metode de căutare secvenţială binară Metode de ordonare metoda bulelor metoda inserţiei metoda selecţiei metoda numărării Intercl

Algoritmi elementari Metode de căutare secvenţială binară Metode de ordonare metoda bulelor metoda inserţiei metoda selecţiei metoda numărării Intercl Algoritmi elementari Metode de căutare secvenţială binară Metode de ordonare metoda bulelor metoda inserţiei metoda selecţiei metoda numărării Interclasare Analiza complexităţii unui algoritm Metode de

Mai mult

Capitole Speciale de Informatică Curs 4: Calculul scorurilor în un sistem complet de extragere a informaţiilor 18 octombrie 2018 Reamintim că în cursu

Capitole Speciale de Informatică Curs 4: Calculul scorurilor în un sistem complet de extragere a informaţiilor 18 octombrie 2018 Reamintim că în cursu Capitole Speciale de Informatică Curs 4: Calculul scorurilor în un sistem complet de extragere a informaţiilor 18 octombrie 2018 Reamintim că în cursul precedent am prezentat modelul de spaţiu vectorial

Mai mult

Microsoft PowerPoint - Curs_SDA_9_RO_2019_v2.pptx

Microsoft PowerPoint - Curs_SDA_9_RO_2019_v2.pptx SDA (PC2) Curs 9 Liste / Grafuri / Arbori Iulian Năstac Lista dublu înlănțuită Recapitulare Într-o astfel de listă fiecare nod conţine doi pointeri: unul spre nodul următor şi unul spre nodul precedent.

Mai mult

LOGICA MATEMATICA SI COMPUTATIONALA Sem. I,

LOGICA MATEMATICA SI COMPUTATIONALA  Sem. I, LOGICA MATEMATICĂ ŞI COMPUTAŢIONALĂ Sem. I, 2017-2018 Ioana Leustean FMI, UB Partea III Calculul propoziţional clasic Consistenţă şi satisfiabilitate Teorema de completitudine Algebra Lindenbaum-Tarski

Mai mult

Microsoft Word - Curs1.docx

Microsoft Word - Curs1.docx 1. REPREZENTAREA INFORMAȚIILOR ÎN CALCULATOR 1.1. CONCEPTUL DE DATĂ ȘI INFORMAȚIE Datele desemnează elementele primare, provenind din diverse surse, fără o formă organizată care să permită luarea unor

Mai mult

Backtracking_2018

Backtracking_2018 Facultatea de Matematică și Informatică Lecții de pregătire Admitere 2019 Rezolvarea problemelor folosind metoda backtracking Exemplu: ieșirea din labirint 2 Exemplu: aranjarea a n regine 3 Exemplu: rezolvarea

Mai mult

FIŞA DISCIPLINEI

FIŞA DISCIPLINEI FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1.Instituţia de învăţământ superior Universitatea SPIRU HARET 1.2.Facultatea Inginerie, Informatică şi Geografie 1.3.Departamentul Informatică şi Geografie 1.4.Domeniul

Mai mult

Logică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea marius/curs/lsd/ 3 noiembrie 2014

Logică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea   marius/curs/lsd/ 3 noiembrie 2014 Logică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 3 noiembrie 2014 Unde aplicăm verificarea realizabilității? probleme de căutare și

Mai mult

Microsoft Word - O problema cu bits.doc

Microsoft Word - O problema cu bits.doc O problemă cu bits 1 Tiberiu Socaciu Enunţul Pe pagina Proful de Mate de pe Facebook 2 am primit de la un elev de clasa a IX-a următoarea provocare 3 : Vom oferi două soluţii, una folosind manipulări de

Mai mult

Tablouri unidimensionale Problema 1 Să se determine mulţimea cifrelor unui număr natural n > 0, dat. Exemplu: n= Cifre = {1,2,3,7} Se cere să s

Tablouri unidimensionale Problema 1 Să se determine mulţimea cifrelor unui număr natural n > 0, dat. Exemplu: n= Cifre = {1,2,3,7} Se cere să s Tablouri unidimensionale Problema 1 Să se determine mulţimea cifrelor unui număr natural n > 0, dat. Exemplu: n=1723237 Cifre = {1,2,3,7 Se cere să se utilizeze subprograme care să comunice între ele şi

Mai mult

Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014

Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea   marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014 Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014 Relații în lumea reală și informatică Noțiunea matematică de

Mai mult

SUBPROGRAME

SUBPROGRAME SUBPROGRAME Un subprogram este un ansamblu ce poate conţine tipuri de date, variabile şi instrucţiuni destinate unei anumite prelucrări (calcule, citiri, scrieri). Subprogramul poate fi executat doar dacă

Mai mult

Microsoft PowerPoint - Curs_SDA_10_RO_2019_v1.pptx

Microsoft PowerPoint - Curs_SDA_10_RO_2019_v1.pptx SDA (PC2) Curs 10 Arbori Iulian Năstac Definiția 1: Arbori Recapitulare Arborele este un graf orientat, aciclic și simplu conex. Definiția 2: Un arbore este un ansamblu de structuri de date de natură recursivă

Mai mult

ALGORITHMICS

ALGORITHMICS CURS 2: Descrierea algoritmilor în pseudocod =Exemple= 1 Structura Descrierea unor algoritmi simpli Specificarea și utilizarea subalgoritmilor 2 Exemplu 1 Considerăm un tabel cu informații despre studenți

Mai mult

Curs 8: Tehnica divizării (I) Algoritmi si structuri de date - Curs 8 1

Curs 8: Tehnica divizării (I) Algoritmi si structuri de date - Curs 8 1 Curs : Tehnica divizării (I) 1 In cursul anterior am văzut cum se analizează eficiența algoritmilor recursivi Se scrie relația de recurență corespunzătoare timpului de execuție Se rezolvă relația de recurență

Mai mult

Laborator 2: Instrucţiuni Java şi lucru cu şiruri de caractere Întocmit de: Adina Neculai Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu 18 octombrie 2011

Laborator 2: Instrucţiuni Java şi lucru cu şiruri de caractere Întocmit de: Adina Neculai Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu 18 octombrie 2011 Laborator 2: Instrucţiuni Java şi lucru cu şiruri de caractere Întocmit de: Adina Neculai Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu 18 octombrie 2011 I. NOŢIUNI TEORETICE A. Instrucţiuni condiţionale 1. Intrucţiunea

Mai mult

SSC-Impartire

SSC-Impartire Adunarea Înmulțirea Numere și operații în virgulă mobilă 1 Împărțirea cu refacerea restului parțial Împărțirea fără refacerea restului parțial 2 Primul operand: deîmpărțit (X) Al doilea operand: împărțitor

Mai mult

E_d_Informatica_sp_SN_2014_bar_10_LRO

E_d_Informatica_sp_SN_2014_bar_10_LRO Examenul de bacalaureat naţional 2014 Proba E. d) Informatică Varianta 10 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. În rezolvările cerute,

Mai mult

Probleme rezolvate informatica: Probleme rezolvate grafuri si a

Probleme rezolvate informatica: Probleme rezolvate grafuri si a Mai multe Creați blog Autentificare LUNI, 11 MARTIE 2013 Probleme rezolvate grafuri si arbori Probleme rezolvate de catre : Ginghina Cristian Onica Viorel Neculai Alexandru Anton Cosmin INFORMATICA Teorie

Mai mult

Capitole Speciale de Informatica - Curs 5: Extragerea informatiilor prin feedback de relevanta. Metode probabiliste de extragere a informatiilor

Capitole Speciale de Informatica - Curs 5: Extragerea informatiilor prin feedback de relevanta.  Metode probabiliste de extragere a informatiilor Curs 5: Extragerea informaţiilor prin feedback de relevanţă. Metode probabiliste de extragere a informaţiilor 25 octombrie 2018 Extragerea informaţiilor prin feedback de relevanţă Idee de bază 1 Utilizatorul

Mai mult

CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),

CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul

Mai mult

Microsoft Word - Lab1a.doc

Microsoft Word - Lab1a.doc Sisteme de numeraţie şi coduri numerice 1.1. Sisteme de numeraţie 1.2. Conversii generale între sisteme de numeraţie 1.3. Reprezentarea numerelor binare negative 1.4. Coduri numerice 1.5. Aplicaţii In

Mai mult

Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor

Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)

Mai mult

Analiză de flux de date 29 octombrie 2012

Analiză de flux de date 29 octombrie 2012 Analiză de flux de date 29 octombrie 2012 Analiză statică: definiţie O analiză a codului sursă (fără a executa programul), cu scopul de a determina proprietăţi ale programului sursă. (in principal corectitudinea,

Mai mult

Elemente de aritmetica

Elemente de aritmetica Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al

Mai mult

Spatii vectoriale

Spatii vectoriale Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale

Mai mult

Microsoft Word - Software pentru ordonarea multirang a componentelor unei colectivitati.doc

Microsoft Word - Software pentru ordonarea multirang a componentelor unei colectivitati.doc Software pentru ordonarea multirang a componentelor unei colectivităţi S e prezintă un algoritm pentru dispunerea elementelor unei colectivităţi în raport cu mai multe criterii şi un software aferent,

Mai mult

Microsoft Word - CarteC.doc

Microsoft Word - CarteC.doc INSTRUCŢIUNILE LIMBAJULUI C (2) Instrucţiuni repetitive Instrucţiunea while Instrucţiunea while are formatul: while(expresie) Expresie DA Instrucţiune NU Instrucţiunea while produce în primul rând evaluarea

Mai mult

Microsoft Word - CarteC.doc

Microsoft Word - CarteC.doc Introducere în limbajul de programare C - C este un limbaj de programare ale cărui caracteristici sunt economia de expresie, structuri moderne de control al fluxului şi de date, precum şi un set bogat

Mai mult

Microsoft Word - TIC5

Microsoft Word - TIC5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE CAPITOLUL 5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE În Capitolul 3, am văzut că putem utiliza codarea sursă pentru a reduce redundanţa inerentă a unei surse de informaţie

Mai mult

Microsoft Word - cap1p4.doc

Microsoft Word - cap1p4.doc Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu

Mai mult

Şcoala ………

Şcoala ……… Şcoala... Clasa a X-a Disciplina: Matematică TC + CD Anul şcolar: 07-08 TC = trunchi comun 35 săptămâni: 8 săptămâni semestrul I CD = curriculum diferenţiat Nr. ore: 3 ore / săptămână 7 săptămâni semestrul

Mai mult

Ministerul Educatiei, Cercetarii si Tineretului Grup Scolar Gh. Asachi Galati Proiect pentru obtinerea certificatului de competente profesionale Speci

Ministerul Educatiei, Cercetarii si Tineretului Grup Scolar Gh. Asachi Galati Proiect pentru obtinerea certificatului de competente profesionale Speci Ministerul Educatiei, Cercetarii si Tineretului Grup Scolar Gh. Asachi Galati Proiect pentru obtinerea certificatului de competente profesionale Specializare : matematica-informatica 2006-2007 Tema proiectului:

Mai mult

PROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL

PROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.

Mai mult

O teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with ap

O teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with ap O teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with applications to Erdős-Suranyi sequences. We start from

Mai mult

DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT

DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ

Mai mult

Ecuatii si sisteme de ecuatii neliniare 1 Metoda lui Newton Algorithm 1 Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. Date de intrare: - Funcţia f - Apro

Ecuatii si sisteme de ecuatii neliniare 1 Metoda lui Newton Algorithm 1 Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. Date de intrare: - Funcţia f - Apro Ecuatii si sisteme de ecuatii neliniare Metoda lui Newton Algorithm Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. - Funcţia f - Aproximaţia iniţială x - Eroarea admisă ε - Numărul maxim de iteraţii ITMAX

Mai mult

Laborator Implementarea algoritmului DES - Data Encryption Standard. Exemplu DES Algoritmul DES foloseşte numere b

Laborator Implementarea algoritmului DES - Data Encryption Standard. Exemplu DES Algoritmul DES foloseşte numere b Laborator 4 1.04-5.04.2019 8.04-12.04.2019 1. Implementarea algoritmului DES - Data Encryption Standard. Exemplu DES Algoritmul DES foloseşte numere binare. Fiecare grup de 4 biţi reprezintă un număr hexazecimal.

Mai mult

Subiectul 1

Subiectul 1 Subiectul 1 În fişierul Numere.txt pe prima linie este memorat un număr natural n (n

Mai mult

1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x.

1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x. 1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x. Date de intrare: arr [] = {10, 2, 14, 4, 7, 6}, x =

Mai mult

1

1 Contents 1 Automate finite... 2 1.1 Probleme cu AF... 2 1.2 Structuri de date pentru automate finite... 4 2 Gramatici si limbaje; gram. indep. de context... 5 2.1 Limbaje... 5 2.2 Gramatici si limbaje...

Mai mult

Slide 1

Slide 1 Arhitectura Sistemelor de Calcul Curs 8 Universitatea Politehnica Bucuresti Facultatea de Automatica si Calculatoare cs.pub.ro curs.cs.pub.ro Structura SIMD Cuprins Probleme de Comunicatii intre Procesoarele

Mai mult

Managementul Resurselor Umane

Managementul Resurselor Umane Universitatea Politehnica București Catedra de Calculatoare Laborator 4 Cereri SQL Autori Conf. Dr. Ing. Alexandru Boicea Ș.L. Dr. Ing. Ciprian-Octavian Truică Cuprins Cereri SQL Cereri simple 10.03.2019

Mai mult

Diapositive 1

Diapositive 1 Tablouri Operatii pe tablouri bidimensionale Lectii de pregatire pentru Admitere 09 / 03 / 2019 1 Cuprins Operatii pe tablouri bidimensionale 0. Tablouri unidimensionale scurta recapitulare 1.Tablouri

Mai mult

Operatorii in C Expresii Operatori aritmetici Operatori de asignare Operatori de incrementare si decrementare Operatori relationali Operatori logici O

Operatorii in C Expresii Operatori aritmetici Operatori de asignare Operatori de incrementare si decrementare Operatori relationali Operatori logici O Operatorii in C Expresii Operatori aritmetici Operatori de asignare Operatori de incrementare si decrementare Operatori relationali Operatori logici Operatii pe biti Operatorul conditional Operatori Logici

Mai mult

Declararea variabilelor

Declararea variabilelor Platforma 3. 1 Instructiuni diverse Declararea variabilelor Tipuri de Date Tipul de dată al unui obiect/variabila specifica tipul informaţiei pe care acel obiect îl poate stoca. Exemplu: numere întregi,

Mai mult

Slide 1

Slide 1 STRUCTURI DE DATE Arbori B Sisteme de Gestiune a Bazelor de Date Relaţionale (SGBDR): operatie importanta regasirea rapida a datelor indecsi. Indexul: colecţie de perechi

Mai mult

Microsoft PowerPoint - ImplementareLimbaj [Read-Only] [Compatibility Mode]

Microsoft PowerPoint - ImplementareLimbaj [Read-Only] [Compatibility Mode] Detalii de implementare. Declararea variabilelor, transmiterea parametrilor catre subprograme. Declararea variabilelor variabile globale -declarate in afara oricarei functii variabile locale -declarate

Mai mult

Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac

Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire

Mai mult

Aero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D

Aero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge

Mai mult

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,

Mai mult

E_d_Informatica_sp_MI_2015_bar_02_LRO

E_d_Informatica_sp_MI_2015_bar_02_LRO Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. d) Informatică Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializările: matematică-informatică matematică-informatică intensiv informatică Toate subiectele

Mai mult

Calcul Numeric

Calcul Numeric Calcul Numeric Cursul 4 2019 Anca Ignat Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Fie matricea nesingulară A nn şi b n. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare Ax=b se poate face folosind regula

Mai mult

Logică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu

Logică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu Logică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu casandra@cs.upt.ro https://tinyurl.com/lectureslsd Mulțimi aspecte teoretice Ce sunt mulțimile? Mulțimea e un concept matematic fundamental. Definiție

Mai mult

gaussx.dvi

gaussx.dvi Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care

Mai mult

TEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:

TEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail: TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins

Mai mult

8.1. Elemente de Aritmetică. 8. Aplicatii (15 aprilie 2019) Lema 8.1. Fie (A, +) un grup abelian şi H, K A. Atunci H K şi H + K = {h + k h H şi k K} s

8.1. Elemente de Aritmetică. 8. Aplicatii (15 aprilie 2019) Lema 8.1. Fie (A, +) un grup abelian şi H, K A. Atunci H K şi H + K = {h + k h H şi k K} s 8.1. Elemente de Aritmetică. 8. Aplicatii (15 aprilie 2019) Lema 8.1. Fie (A, +) un grup abelian şi H, K A. Atunci H K şi H + K = {h + k h H şi k K} sunt sungrupuri ale lui A. Propoziţia 8.2. Considerăm

Mai mult

Examen de licenţă Informatică Exemple de întrebări - Structuri discrete şi algoritmi In atenţia studenţilor: Proba scrisă a examenului de licen

Examen de licenţă Informatică Exemple de întrebări - Structuri discrete şi algoritmi In atenţia studenţilor: Proba scrisă a examenului de licen Examen de licenţă 2016 - Informatică Exemple de întrebări - Structuri discrete şi algoritmi In atenţia studenţilor: Proba scrisă a examenului de licenţă din sesiunile iulie-septembrie 2016 va consta din

Mai mult

CRIPTOSISTEME SIMETRICE I

CRIPTOSISTEME SIMETRICE I CRIPTOSISTEME SIMETRICE I Criptografie Anul II Martie 2019 Criptosistem P = mulţimea mesajelor în clar + K = mulţimea cheilor E C = mulţimea mesajelor criptate C = mulţimea mesajelor criptate + K = mulţimea

Mai mult

Microsoft Word - Curs_08.doc

Microsoft Word - Curs_08.doc Partea a II-a. Proiectarea bazelor de date Capitolul 6. Tehnici de proiectare şi modele În capitolele precedente s-au analizat modele de baze de date şi limbaje, presupunând în cele mai multe cazuri că

Mai mult

Cursul 14 Mulţimea lui Mandelbrot Mulţimile şi funcţiile cu caracter excepţional (mulţimea lui Cantor, insula lui Koch, funcţiile lui Weierstrass şi T

Cursul 14 Mulţimea lui Mandelbrot Mulţimile şi funcţiile cu caracter excepţional (mulţimea lui Cantor, insula lui Koch, funcţiile lui Weierstrass şi T Cursul 14 Mulţimea lui Mandelbrot Mulţimile şi funcţiile cu caracter excepţional (mulţimea lui Cantor, insula lui Koch, funcţiile lui Weierstrass şi Takagi, curbele lui Peano, mulţimile Julia, ş.a.) au

Mai mult

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Circuite Integrate Digitale Conf. Monica Dascălu Curs Seminar Laborator notă separată Notare: 40% seminar 20% teme // + TEMA SUPLIMENTARA 40% examen 2014 CID - curs 1 2 Bibliografie Note de curs Cursul

Mai mult

Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29

Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale

Mai mult

Lucrarea 7 Filtrarea imaginilor BREVIAR TEORETIC Filtrarea imaginilor se înscrie în clasa operaţiilor de îmbunătăţire, principalul scop al acesteia fi

Lucrarea 7 Filtrarea imaginilor BREVIAR TEORETIC Filtrarea imaginilor se înscrie în clasa operaţiilor de îmbunătăţire, principalul scop al acesteia fi Lucrarea 7 Filtrarea imaginilor BREVIAR TEORETIC Filtrarea imaginilor se înscrie în clasa operaţiilor de îmbunătăţire, principalul scop al acesteia fiind eliminarea zgomotului suprapus unei imagini. Filtrarea

Mai mult

ALGORITHMICS

ALGORITHMICS Curs 7: Gruparea datelor (II) Data mining - Curs 7 1 Structura Metode bazate pe densitate DBSCAN DENCLUE Metode probabiliste EM - Expectation Maximization Data mining - Curs 7 2 Metode bazate pe densitate

Mai mult

Noțiuni de bază ale criptografiei

Noțiuni de bază ale criptografiei CIFRURI DE SUBSTITUŢIE Clasificarea metodelor simetrice 1. Cifruri substituţie; 2. Cifruri transpoziţie; 3. Cifruri combinate. CIFRURI DE SUBSTITUŢIE Cifruri de substituţie monoalfabetică (monoalphabetic

Mai mult

Microsoft Word - CarteC.doc

Microsoft Word - CarteC.doc Transmiterea parametrilor unei funcții Parametrii se transmit de la funcţia apelantă la funcţia apelată prin intermediul stivei. La apelul unei funcţii, pe stivă se crează o înregistrare de activare, care

Mai mult

Propunator: Morar Florin Colegiul National Silvania Zalau Discipina: Informatica Nivel liceal, cls. XI 1.Fişierul text bac.in conţine cel mult 1000 de

Propunator: Morar Florin Colegiul National Silvania Zalau Discipina: Informatica Nivel liceal, cls. XI 1.Fişierul text bac.in conţine cel mult 1000 de Propunator: Morar Florin Colegiul National Silvania Zalau Discipina: Informatica Nivel liceal, cls. XI 1.Fişierul text bac.in conţine cel mult 1000 de numere naturale cu cel mult patru cifre fiecare, despărţite

Mai mult

Microsoft Word - Tema 06 - Convertoare analog-numerice.doc

Microsoft Word - Tema 06 - Convertoare analog-numerice.doc Convertoare analog-numerice (ADC) Convertoarele analog-numerice sunt circuite electronice (în variantă integrată sau hibridă) care, printr-un algoritm intrinsec de funcţionare, asociază valorilor tensiunii

Mai mult

CAPITOLUL I

CAPITOLUL I CAPITOLUL I. LIMBAJE FORMALE 1.1. CONCEPTE DE BAZĂ Cunoaştem unele limbaje de nivel înalt, cum sunt Pascal, Fortran, Basic, C şi altele. Ne scriem programele în aceste limbaje iar când citim un program

Mai mult

CLP_UTCN-grila-2012.dvi

CLP_UTCN-grila-2012.dvi Liceul: Numele: Punctaj: Prenumele: Concursul liceelor partenere cu Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Test grilă Ediţia a treia mai 0 Clasa a X-a În casuţa din stânga întrebării se va scrie litera

Mai mult

tehnologii web

tehnologii web Universitatea Constantin Brâncuşi din Târgu-Jiu Facultatea de Inginerie Departamentul de Automatică, Energie şi Mediu Tehnologii Web Lector univ. dr. Adrian Runceanu 1 Curs 7 Limbajul PHP (partea II) 2

Mai mult

1. Operatii cu matrici 1 Cerinte: Sa se realizeze functii pentru operatii cu matrici patratice (de dimensiune maxima 10x10). Operatiile cerute sunt: A

1. Operatii cu matrici 1 Cerinte: Sa se realizeze functii pentru operatii cu matrici patratice (de dimensiune maxima 10x10). Operatiile cerute sunt: A 1. Operatii cu matrici 1 Sa se realizeze functii pentru operatii cu matrici patratice (de dimensiune maxima 10x10). Operatiile cerute sunt: A+B (adunare), aa (inmultire cu scalar), A-B scadere), AT (Transpusa),

Mai mult

OPERATII DE PRELUCRAREA IMAGINILOR 1

OPERATII DE PRELUCRAREA IMAGINILOR 1 OPERATII DE PRELUCRAREA IMAGINILOR Prelucrarea imaginilor 2 Tipuri de operatii de prelucrare Clasificare dupa numarul de pixeli din imaginea initiala folositi pentru calculul valorii unui pixel din imaginea

Mai mult

Examen de licenţă Informatică Exemple de întrebări - Structuri discrete şi algoritmi In atenţia studenţilor: Proba scrisă a examenului de licen

Examen de licenţă Informatică Exemple de întrebări - Structuri discrete şi algoritmi In atenţia studenţilor: Proba scrisă a examenului de licen Examen de licenţă 2013 - Informatică Exemple de întrebări - Structuri discrete şi algoritmi In atenţia studenţilor: Proba scrisă a examenului de licenţă din sesiunile iulie-septembrie 2013 va consta din

Mai mult

Curs8

Curs8 Curs 8 Analiză sintactică LR(k) Termeni Predicție vezi LL(1) Manșa = simboluri din vârful stivei de lucru care formează (în ordine) pdp Analizor de tip deplasare - reducere: deplasează simboluripentru

Mai mult

Lucrarea nr. 4 - Algoritmi de sortare şi ordonare Breviar teoretic Un algoritm de sortare este o metoda prin care se aranjează elementele unui tablou

Lucrarea nr. 4 - Algoritmi de sortare şi ordonare Breviar teoretic Un algoritm de sortare este o metoda prin care se aranjează elementele unui tablou Lucrarea nr. 4 - Algoritmi de sortare şi ordonare Breviar teoretic Un algoritm de sortare este o metoda prin care se aranjează elementele unui tablou într-o ordine precisă. Cele mai folosite tipuri de

Mai mult

Microsoft PowerPoint - Curs_SDA_4_RO_2019_v2.pptx

Microsoft PowerPoint - Curs_SDA_4_RO_2019_v2.pptx Curs SDA (PC2) Curs 4 Structuri de date (continuare) Iulian Năstac 10. Funcţii pentru alocarea dinamică a memoriei (Recapitulare) Alocarea dinamică este caracteristica prin care un program poate obţine

Mai mult

Propunator: Morar Florin Colegiul National Silvania Zalau Discipina: Informatica Nivel liceal, cls. XII 1.Să se scrie în limbajul C/C++ definiţia comp

Propunator: Morar Florin Colegiul National Silvania Zalau Discipina: Informatica Nivel liceal, cls. XII 1.Să se scrie în limbajul C/C++ definiţia comp Propunator: Morar Florin Colegiul National Silvania Zalau Discipina: Informatica Nivel liceal, cls. XII 1.Să se scrie în limbajul C/C++ definiţia completă a subprogramului calcul, care primeşte prin intermediul

Mai mult

Algebra si Geometri pentru Computer Science

Algebra si Geometri pentru Computer Science Natura este scrisă în limbaj matematic. Galileo Galilei 5 Aplicatii liniare Grafica vectoriala In grafica pe calculator, grafica vectoriala este un procedeu prin care imaginile sunt construite cu ajutorul

Mai mult

Clasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul

Clasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.

Mai mult

Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci

Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor

Mai mult

Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică ş

Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică ş Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Academiei 4, RO 0004, Bucureşti, România

Mai mult

Grile si probleme siruri de caractere in C++ ŞIRURI DE CARACTERE Itemii următori sunt preluaţi din variantele de bacalaureat În secvenţa de i

Grile si probleme siruri de caractere in C++ ŞIRURI DE CARACTERE Itemii următori sunt preluaţi din variantele de bacalaureat În secvenţa de i Grile si probleme siruri de caractere in C++ ŞIRURI DE CARACTERE Itemii următori sunt preluaţi din variantele de bacalaureat 2009. 1. În secvenţa de instrucţiuni de mai jos, variabila s memorează un şir

Mai mult