Calcul diferenţial şi integral (notiţe de curs) Şt. Balint E. Kaslik, L. Tǎnasie, A. Tomoioagă, I. Rodilǎ, N. Bonchiş, S. Mariş Cuprins I Introducere

Transcriere

1 Clcul diferenţil şi integrl (notiţe de curs) Şt. Blint E. Kslik, L. Tǎnsie, A. Tomoiogă, I. Rodilǎ, N. Bonchiş, S. Mriş Cuprins I Introducere 6 1 Noţiunile: mulţime, element l unei mulţimi, prtenenţ l o mulţime: sunt noţiuni fundmentle în mtemticǎ. 6 2 Simboluri folosite în teori mulţimilor. 6 3 Operţii cu mulţimi. 7 4 Relţii binre. 9 5 Funcţii Funcţi compusǎ. Invers unei funcţii Simboluri logice Afirmţi contrrǎ, teorem contrrǎ şi teorem reciprocǎ Condiţie necesrǎ şi condiţie suficientǎ. 14 II Clcul diferenţil şi integrl pentru funcţii rele de o vribilǎ relǎ Elemente de topologie în R

2 11 Şiruri de numere rele Convergenţ şirurilor de numere rele Reguli privind convergenţ şirurilor de numere rele Punct limitǎ l unui şir de numere rele Serii de numere rele Reguli privind convergenţ seriilor de numere rele Serii bsolut convergente Limit într-un punct unei funcţii Reguli privind limit funcţiei într-un punct Limite lterle Limite infinite Punctele limitǎ le unei funcţii într-un punct Continuitte unei funcţii într-un punct Reguli privind continuitte unei funcţii într-un punct Proprietǎţi le funcţiilor continue Şiruri de funcţii. Mulţime de convergenţǎ Convergenţ uniformǎ unui şir de funcţii şi continuitte Şiruri de funcţii rele egl continue şi egl mǎrginite Serii de funcţii. Convergenţǎ şi convergenţ uniformǎ Criterii de convergenţǎ pentru serii de funcţii. 53 2

3 31 Serii de puteri Operţii cu serii de puteri Derivbilitte funcţiilor Reguli de derivbilitte Extreme locle Proprietǎţi fundmentle le funcţiilor derivbile Derivbilitte (diferenţibilitte) de ordin superior Polinome Tylor Teorem de clsificre punctelor de extrem Integrl Riemnn-Drboux Proprietǎţi le integrlei Riemnn-Drboux Clse de funcţii integrbile Riemnn-Drboux Teoreme de medie Teorem fundmentlǎ de clcul integrl Tehnici de determinre primitivelor Integrre prin pǎrţi Schimbre de vribilǎ Integrle improprii Serii Fourier Diferite forme le seriei Fourier. 99 3

4 III Clcul diferenţil şi integrl pentru funcţii de n vribile rele Elemente de topologie în R n Limit într-un punct unei funcţii de n vribile Continuitte funcţiilor de n vribile Proprietǎţi remrcbile le funcţiilor continue de n vribile Diferenţibilitte funcţiilor de n vribile Proprietǎţi fundmentle le funcţiilor diferenţibile Diferenţilǎ de ordin superior Teoremele lui Tylor Teoreme de clsificre extremelor locle Extreme condiţionte Integrl Riemnn-Drboux dublǎ pe un intervl bidimensionl Clculul integrlei Riemnn-Drboux duble pe un intervl bidimensionl Integrl Riemnn-Drboux dublǎ pe o mulţime mǎsurbilǎ Jordn Clculul integrlei Riemnn-Drboux duble pe o mulţime mǎsurbilǎ Jordn Integrl Riemnn-Drboux pe o mulţime n-dimensionlǎ mǎsurbilǎ Jordn Clculul integrlei Riemnn-Drboux pe o mulţime n-dimensionlǎ mǎsurbilǎ Jordn Curbe simple şi curbe simple închise

5 66 Integrl curbilinie de speţ întâi Integrl curbilinie de speţ dou Trnsformre integrlelor duble în integrle curbilinii Suprfeţe simple Integrle de suprfţǎ de speţ întâi Integrle de suprfţǎ de speţ dou Proprietǎţi le integrlelor de suprfţǎ Derivre integrlelor cu prmetru

6 Prte I Introducere 1 Noţiunile: mulţime, element l unei mulţimi, prtenenţ l o mulţime: sunt noţiuni fundmentle în mtemticǎ. Într-un curs de mtemticǎ precis, noţiunile cre se folosesc trebuiesc definite. O definiţie descrie o noţiune (A) folosind o ltǎ noţiune (B) presupusǎ cunoscutǎ su în orice cz mi simplǎ decât (A). Noţiune (B) l rândul ei trebuie şi e sǎ fie definitǎ şi în definiţi ei se v folosi o ltǎ noţiune (C) mi simplǎ c (B), şi ş mi deprte. Prin urmre, pentru construcţi unei teorii mtemtice, în cre noţiunile sunt definite, e nevoie de un set restrâns de noţiuni simple l cre celellte pot fi reduse şi cre l rândul lor nu sunt definite. Noţiunile din cest set vor fi numite noţiuni fundmentle. Noţiunile fundmentle în mtemticǎ trebuie sǎ fie ş de evidente c sǎ nu necesite definiţii. Semnificţi noţiunilor fundmentle se descrie prin exemple. Noţiunile: mulţime, element l unei mulţimi, prtenenţ unui element l o mulţime, sunt noţiuni fundmentle în mtemticǎ. Nu existǎ definiţii precise cestor noţiuni, dr semnificţi lor se pote clrific prin exemple. Sǎ considerǎm noţiune de mulţime. Putem vorbi fǎrǎ nici o mbiguitte despre: mulţime studenţilor dintr-o slǎ de curs, mulţime zilelor dintr-un n, mulţime punctelor dintr-un pln, etc. În czurile enumerte; fiecre student din sl de curs, fiecre zi nului, fiecre punct l plnului este un element l mulţimii respective. Atunci când se considerǎ o mulţime concretǎ cee ce este esenţil este c sǎ existe un criteriu în bz cǎrui se pote decide pentru orice element dcǎ prţine su nu prţine l mulţime. Astfel, în czul mulţimii zilelor unui n; 20 mi, 3 iulie, 29 decembrie sunt elemente le mulţimii, ir miercuri, vineri, ziu liberǎ, ziu lucrǎtore nu sunt elemente le mulţimii. În czul mulţimii punctelor dintr-un pln dor punctele din plnul considert sunt elemente le mulţimii. Dcǎ un punct nu este în plnul considert su dcǎ elementul nu este un punct, tunci punctul su elementul nu este element l mulţimii. Pentru defini o mulţime concretǎ este necesr sǎ se descrie clr elementele cre prţin cestei mulţimi. Orice descriere defectuosǎ pote duce l contrdicţie logicǎ. 2 Simboluri folosite în teori mulţimilor. Dcǎ x este un element l mulţimii A, tunci cest se notezǎ stfel x A. Dcǎ x nu este element l mulţimii A, tunci cest se notezǎ cu x / A. Simbolul se numeşte simbolul prtenenţei. Douǎ mulţimi A şi B cre sunt formte exct din celeşi elemente se zic egle. Astfel în fmili mulţimilor eglitte A = B însemnǎ cǎ ceeşi mulţime se notezǎ cu litere diferite, su ltfel, A şi B sunt nume diferite pentru ceeşi mulţime. Notţi 6

7 A = {x, y, z,...} însemnǎ cǎ mulţime A este formtǎ din elementele x, y, z,... Dcǎ într-o semene notţie numite simboluri se repetǎ ceste desemnezǎ celşi element. De exemplu: {1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}. O mulţime A formtǎ din tote elementele x le unei mulţimi B cre u o numitǎ propriette, se notezǎ stfel: A = {x B...}, unde propriette este specifictǎ dupǎ lini verticlǎ. De exemplu, fie şi b douǎ numere rele stfel { încât < b. Mulţime } de puncte le intervlului închis [, b] este mulţime [, b] = x R 1 x b, unde R 1 este mulţime tuturor numerelor rele. Dcǎ orice element dintr-o mulţime A este element l unei mulţimi B, tunci zicem cǎ A este o submulţime mulţimii B şi notǎm A B su B A. Relţi A B se citeşte stfel mulţime A este inclusǎ în mulţime B, ir relţi B A se citeşte stfel mulţime B include mulţime A. Se vede uşor cǎ A = B dcǎ şi numi dcǎ A B şi B A. 3 Operţii cu mulţimi. Definiţi 3.1. Oricre r fi mulţimile A şi B reuniune A B este mulţime de elemente cre prţin l A su l B su l mbele mulţimi. Definiţi 3.2. Oricre r fi mulţimile A şi B intersecţi A B este mulţime de elemente cre prţin l A şi l B. Definiţi 3.3. Oricre r fi mulţimile A şi B diferenţ A B este mulţime de elemente din A cre nu prţin l B. Dcǎ mulţime B este o submulţime mulţimii A tunci mulţime A B se numeşte complementr lui B în A şi se notezǎ C A B. Comentriu: 1. Este posibil c douǎ mulţimi A şi B sǎ nu ibǎ nici un element în comun. Într-un semene cz intersecţi A B nu re nici un element. Cu tote ceste convenim c şi în semene czuri sǎ considerǎm intersecţi A B drept mulţime; cre nu conţine nici un element. Acestǎ mulţime se numeşte mulţime vidǎ (su mulţime nulǎ) şi se notezǎ cu simbolul. 2. Noţiunile de reuniune douǎ mulţimi şi de intersecţie douǎ mulţimi pot fi extinse l trei, ptru, cinci su mi multe mulţimi. Astfel: Dcǎ A 1, A 2,..., A n sunt n mulţimi tunci: - reuniune A 1 A 2... A n este mulţime elementelor cre prţin l cel puţin un din mulţimile A 1, A 2,..., A n. - intersecţi A 1 A 2... A n este mulţime elementelor cre prţin l tote mulţimile A 1, A 2,..., A n. 3. Oricre r fi mulţime A sunt devǎrte urmǎtorele incluziuni: A A şi A. Altfel spus mulţime A şi mulţime vidǎ sunt submulţimi le mulţimii A. Aceste douǎ submulţimi le lui A se numesc submulţimi improprii le mulţimii A. O submulţime B mulţimii A diferitǎ de A şi se numeşte submulţime proprie mulţimii A. 7

8 4. Uneori reuniune mulţimilor portǎ denumire de sum mulţimilor şi intersecţi mulţimilor portǎ denumire de produs l mulţimilor. 5. Operţiile de reuniune şi intersecţie sunt definite de obicei pe mulţime tuturor submulţimilor (pǎrţilor) unei mulţimi S, cre se notezǎ cu P(S). Operţiile de reuniune şi intersecţie u urmǎtorele proprietǎţi: - socitivitte: - comuttivitte: (A B) C = A (B C) oricre r fi A, B, C P(S) (A B) C = A (B C) oricre r fi A, B, C P(S) A B = B A A B = B A - intersecţi este distributivǎ fţǎ de reuniune: oricre r fi A, B P(S) oricre r fi A, B P(S) A (B C) = (A B) (A C) oricre r fi A, B, C P(S) - reuniune este distributivǎ fţǎ de intersecţie: A (B C) = (A B) (A C) oricre r fi A, B, C P(S) - pentru orice A P(S) existǎ un singur B P(S) stfel încât sǎ vem A B = S şi A B =. Mulţime B este mulţime C S A. - pentru orice A P(S) vem A S = S şi A =. - pentru orice A, B P(S) vem: C S (A B) = C S A C S B C S (A B) = C S A C S B Aceste eglitǎţi se numesc legiile lui De Morgn. Definiţi 3.4. Oricre r fi mulţimile A şi B produsul crtezin A B este mulţime de perechi ordonte (, b) cu A şi b B. A B = {(, b) A, b B}. Produsul crtezin este distributiv fţǎ de reuniune şi intersecţie: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) oricre r fi A, B, C oricre r fi A, B, C 8

9 4 Relţii binre. Definiţi 4.1. O relţie binrǎ în (su pe) mulţime A este o submulţime R produsului crtezin A A : R A A. Prin trdiţie prtenenţ (x, y) R se notezǎ cu xry. Definiţi 4.2. O relţie binrǎ R în mulţime A este reflexivǎ dcǎ pentru orice x A vem xrx. Definiţi 4.3. O relţie binrǎ R în mulţime A este simetricǎ dcǎ xry yrx pentru orice x, y A Definiţi 4.4. O relţie binrǎ R în mulţime A este ntisimetricǎ dcǎ xry şi yrx x = y pentru orice x, y A Definiţi 4.5. O relţie binrǎ R în mulţime A este trnzitivǎ dcǎ: xry şi yrz xrz pentru orice x, y, z A. Definiţi 4.6. O relţie binrǎ R în mulţime A este totlǎ dcǎ pentru orice x, y A este devǎrtǎ cel puţin un dintre urmǎtorele douǎ firmţii: xry, yrx. Definiţi 4.7. O relţie binrǎ R în mulţime A este prţilǎ dcǎ existǎ x, y A stfel încât nici un din urmǎtorele douǎ serţiuni nu este devǎrtǎ: xry, yrx. Definiţi 4.8. O relţie binrǎ R în mulţime A este o relţie de ordine prţilǎ dcǎ re urmǎtorele proprietǎţi: R este relţie prţilǎ; R este reflexivǎ; R este ntisimetricǎ; R este trnzitivǎ. Definiţi 4.9. O relţie binrǎ R în mulţime A este relţie de ordine totlǎ dcǎ re urmǎtorele proprietǎţi: R este relţie totlǎ; R este reflexivǎ; R este ntisimetricǎ; R este trnzitivǎ. Definiţi O mulţime A împreunǎ cu o relţie de ordine prţilǎ în A se numeşte sistem prţil ordont şi se notezǎ cu (A, R). Definiţi O mulţime A împreunǎ cu o relţie de ordine totlǎ R în A se numeşte sistem totl ordont şi se notezǎ tot cu (A, R). Definiţi Fie (A, R) un sistem prţil ordont şi A o submulţime lui A : A A. Un element A este mjornt pentru mulţime A dcǎ verificǎ R oricre r fi A. Un mjornt pentru A este mrgine superiorǎ pentru A dcǎ verificǎ R pentru orice mjornt l lui A. Mrgine superiorǎ lui A dcǎ existǎ se notezǎ cu sup A. Definiţi Fie (A, R) un sistem prţil ordont şi A o submulţime lui A : A A. Un element A este minornt pentru mulţime A dcǎ verificǎ R pentru orice A. Un minornt pentru A este mrgine inferiorǎ pentru A dcǎ verificǎ R pentru orice minornt l lui A. Mrgine inferiorǎ lui A dcǎ existǎ se notezǎ cu inf A. 9

10 Definiţi Fie (A, R) un sistem prţil ordont. Un element A este mximl dcǎ pentru orice A cu propriette R rezultǎ R. Remrc 4.1. Fmili P (X) pǎrţilor unei mulţimi X cu relţi de incluziune R = este un exemplu bun pentru ilustrre cestor concepte. Sistemul prţil ordont este (P (X); ). O mrgine superiorǎ unei mulţimi B P (X) este orice submulţime mulţimii X cre conţine mulţime B, ir mulţime B este mrgine superiorǎ B B B B mulţimii B. Anlog, mulţime B este mrgine inferiorǎ mulţimii B. Singurul B B element mximl în mulţime P (X) este mulţime X. Definiţi O relţie R în mulţime A este relţie de echivlenţǎ dcǎ re urmǎtorele proprietǎţi: R este reflexivǎ, R este simetricǎ şi R este trnzitivǎ. Un exemplu de relţie de echivlenţǎ este eglitte în mulţime pǎrţilor P (X) le unei mulţimi X. Definiţi O relţie R între elementele unei mulţimi A şi elementele unei mulţimi B este o submulţime produsului crtezin A B; R A B. Prin trdiţie dcǎ (x, y) R se notezǎ cu xry. Definiţi O funcţie f definitǎ pe o mulţime A şi cu vlori în mulţime B este o relţie R între elementele mulţimii A şi elementele lui B (R A B) cre re urmǎtorele proprietǎţi: ) pentru orice x A, existǎ y B stfel încât xry. b) dcǎ pentru x A şi y 1, y 2 B vem xry 1 şi xry 2, tunci y 1 = y 2. Prin trdiţie, o funcţie f definitǎ pe mulţime A şi cu vlori în mulţime B se notezǎ cu f : A B. 5 Funcţii. Noţiune de funcţie jocǎ un rol importnt în mtemticǎ. Nu este o noţiune fundmentlǎ pentru cǎ ş cum m vǎzut pote fi definitǎ folosind noţiune de mulţime (o relţie binrǎ cu numite proprietǎţi). Cu tote ceste pentru cei cre bi încep sǎ studieze nliz mtemticǎ este mi uşor dcǎ considerǎ noţiune de funcţie drept noţiune fundmentlǎ clrificând semnificţi ei prin exemple şi descriind-o de o mnierǎ stisfǎcǎtore (pentru sensul comun). Descriere 5.1. Dcǎ l fiecre element x l unei mulţimi A (x A) m pus în corespondenţǎ (m socit) un element y dintr-o mulţime B (y B) pe bz unei reguli, tunci zicem cǎ m definit o funcţie (corespondenţǎ, plicţie) f pe mulţime A cu vlori în mulţime B şi o notǎm cu f : A B. Astfel o funcţie este determintǎ de mulţimile A şi B, precum şi de regul de corespondenţǎ (lege) cre socizǎ unui element x A un element y B. De ce Descriere 5.1. funcţiei nu este o definiţie? Ce-i lipseşte? Descriere 5.1. foloseşte noţiunile de corespondenţǎ şi regulǎ cre nu u fost definite în prelbil şi de 10

11 cee Descriere 5.1. nu este o definiţie. Desigur intuitiv este clr ce este o regulǎ şi ce este o corespondenţǎ. În czuri simple, ceste noţiuni nu conduc l confuzii şi sunt suficient de clre pentru conferii noţiunii de funcţie clitte de noţiune fundmentlǎ. Altfel spus şi noţiune de funcţie pote fi considertǎ noţiune fundmentlǎ. Trebuie însǎ sǎ reţinem cǎ cest lucru nu este necesr pentru cǎ funcţi pote fi definitǎ cu jutorul noţiunii de mulţime. Este de semene importnt de reţinut cǎ în czul în cre funcţi f : A B este gânditǎ c noţiune fundmentlǎ descrisǎ de 5.1., tunci regul prin cre unui element x A se socizǎ un element y B este plicbilǎ fiecǎrui element x din mulţime A. Elementul x A se numeşte rgumentul funcţiei, ir elementul y B ce corespunde lui x se numeşte vlore funcţiei şi se notezǎ y = f(x). Într-o semene notţie şi viziune funcţi f pre c o regulǎ cre trnsformǎ fiecre element x A într-un element y = f(x) B. De cee funcţi se numeşte dese şi trnsformre. Mulţime A se numeşte domeniul de definiţie l funcţiei f şi mulţime elementelor y B pentru cre existǎ x A stfel c y = f(x), se numeşte domeniul de vlori l funcţiei f. Acest se notezǎ de obicei cu f(a) : { } f(a) = y B existǎ x A stfel încât f(x) = y şi se numeşte dese imgine mulţimii A prin funcţi f. În cele ce urmezǎ, v trebui sǎ considerǎm funcţii cre socizǎ l fiecre numǎr rel x dintr-o submulţime A mulţimii numerelor rele; x A R; un numǎr rel = f(x) R 1. Acest gen de funcţii se numesc funcţii rele de o vribilǎ relǎ şi în czul unor regul de corespondenţǎ este dtǎ de o expresie lgebricǎ explicitǎ. De exemplu: y = x 2 + 2x; y = 1 x x + 2 ; y = x Membrii drepţi i cestor eglitǎţi reprezintǎ regul dupǎ cre x se trnsformǎ în y. Regul în primul cz este: fiecre x se ridicǎ l pǎtrt şi poi se dugǎ dublul lui x. Regulile în cel de-l doile şi cel de-l treile cz pot fi formulte în mod semǎntor. Regul pote fi formultǎ şi cu jutorul funcţiilor elementre exp, log, sin, cos, tg, ctg, rctg, etc în combinţie cu operţii lgebrice. De exemplu: y = log sin x; y = 1 tgx 2 x. Membrii drepţi i cestor eglitǎţi rtǎ regul dupǎ cre x se trnsformǎ în y. O ltǎ metodǎ, utiliztǎ frecvent, pentru defini o regulǎ este urmǎtore: se considerǎ douǎ funcţii f 1 şi f 2 definite printr-o expresie c cele prezentte mi sus şi un numǎr, dupǎ cre se scrie: { f1 (x) pentru x < f(x) = f 2 (x) pentru x Eglitte cest se interpretezǎ c o regulǎ cre l un numǎr x mi mic decât fce sǎ corespundǎ un numǎr y dupǎ regul f 1 şi l un numǎr x mi mre su egl cu fce sǎ corespundǎ un numǎr y dupǎ regul f 2. 11

12 6 Funcţi compusǎ. Invers unei funcţii. Definiţi 6.1. Fie f : X Y şi g : Y Z douǎ funcţii. Pentru orice x X elementul g(f(x)) prţine mulţimii Z. Corespondenţ: x g(f(x)) defineşte o funcţie pe mulţime X cu vlori în mulţime Z, cre se notezǎ cu g f : X Z şi se numeşte compus funcţiilor g şi f. Comentriu: Regul dupǎ cre elementului x X i se socizǎ elementul g(f(x)) se formulezǎ în cuvinte stfel: prim orǎ se plicǎ f elementului x şi se obţine elementul f(x) Y, dupǎ cee se plicǎ funcţi g elementului f(x) şi se obţine elementul g(f(x)) din mulţime Z. De exemplu: f(x) = sin x ; g(y) = y 2 (g f)(x) = g(f(x)) = sin 2 x f(x) = x 2 ; g(y) = tg y (g f)(x) = g(f(x)) = tg x 2 f(x) = x 2 ; g(y) = cos y (g f)(x) = g(f(x)) = cos x 2 Definiţi 6.2. Funcţi f : X Y este injectivǎ dcǎ pentru orice x 1, x 2 X, x 1 x 2 rezultǎ f(x 1 ) f(x 2 ). Definiţi 6.3. Funcţi f : X Y este surjectivǎ dcǎ pentru orice y Y existǎ x X stfel încât f(x) = y. Definiţi 6.4. Funcţi f : X Y este bijectivǎ dcǎ este injectivǎ şi surjectivǎ. Comentriu: O funcţie injectivǎ f : X Y re urmǎtore propriette: dcǎ f(x 1 ) = f(x 2 ) tunci x 1 = x 2. Funcţiile numerice: y = 5x; y = e x ; y = rctg x sunt injective. O funcţie surjectivǎ f : X Y se numeşte funcţie cu vlori pe Y. Dcǎ funcţi definitǎ pe X este cu vlori pe Y tunci pentru orice y Y ecuţi f(x) = y re cel puţin o soluţie în X. Funcţi numericǎ y = sin x este o funcţie definitǎ pe mulţime R 1 numerelor rele şi cu vlori pe segmentul închis [ 1, 1] şi nu este o funcţie surjectivǎ pe mulţime R 1 tuturor numerelor rele. (Ecuţi sin x = 2 nu re soluţie). O funcţie bijectivǎ f : X Y este o corespondenţǎ unu l unu. Acest însemnǎ cǎ: orice x X re un corespondent y Y, y = f(x) şi l diferiţi x corespund y diferiţi; pentru orice y Y existǎ x X stfel c y = f(x) şi pentru diferiţi x, elementele y sunt diferite. Definiţi 6.5. Fie f : X Y o funcţie bijectivǎ. Pentru orice y Y existǎ un x X, unic! stfel c f(x) = y. Corespondenţ y cel x pentru cre f(x) = y defineşte o funcţie pe mulţime Y cu vlori pe mulţime X, cre se numeşte invers funcţiei f şi se notezǎ cu f 1 ; f 1 : Y X. Comentriu: Regul de corespondenţǎ din definiţi 6.5 implicǎ urmǎtore propriette funcţiei inverse: f(f 1 (y)) = y pentru orice y Y 12

13 f 1 (f(x)) = x pentru orice x X Funcţiile f şi f 1 sunt mutul inverse; dicǎ: (f 1 ) 1 = f Pentru gǎsi invers unei funcţii numerice y = f(x) (dcǎ f este bijectivǎ) trebuie sǎ exprimǎm x în funcţie de y. Astfel de exemplu: dcǎ y = 3x + 2 funcţi inversǎ este x = y 2 3 ; dcǎ y = x3 funcţi inversǎ este: x = 3 y. 7 Simboluri logice. În mtemticǎ se folosesc frecvent urmǎtorele expresii: pentru orice element şi existǎ. Aceste expresii sunt notte cu simboluri specile. Expresi: pentru orice element se notezǎ cu simbolul cre se obţine prin inversre literei A; prim literǎ din cuvântul Any. Expresi existǎ se notezǎ cu simbolul cre este imgine în oglindǎ literei E; prim literǎ din cuvântul Exist. Se foloseşte de semene simbolul cu semnificţi rezultǎ. Dcǎ A şi B sunt douǎ firmţii tunci A B însemnǎ cǎ din A rezultǎ B. Dcǎ A B şi B A tunci firmţiile A şi B sunt echivlente şi cest se notezǎ cu A B. A B însemnǎ cǎ firmţi A este devǎrtǎ dcǎ şi numi dcǎ B este devǎrtǎ. Folosind ceste notţii injectivitte unei funcţii f : X Y pote fi scrisǎ sub form: x 1, x 2 X, x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) ir surjectivitte celeşi funcţii sub form: y Y x X f(x) = y. Lini verticlǎ ininte eglitǎţii f(x) = y se citeşte stfel încât. Notţi A def B se foloseşte când vrem sǎ descriem o firmţie A folosind o firmţie B. E se citeşte: prin definiţie A este B. Astfel de exemplu notţi: A B def {( x)(x A) (x B)} defineşte A c submulţime mulţimii B. Prte dreptǎ notţiei se citeşte stfel: orice element x din A este element l mulţimii B. 8 Afirmţi contrrǎ, teorem contrrǎ şi teorem reciprocǎ. Oricre r fi firmţi A, notǎm cu Ā firmţi: firmţi A este flsǎ. Afirmţi Ā se numeşte firmţi contrrǎ. 13

14 Exemplul 8.1. Dcǎ A este firmţi: 7 este un numǎr impr tunci Ā este firmţi: 7 nu este un numǎr impr. Dcǎ A este firmţi: mâine v plou tunci firmţi Ā v fi: mâine nu v plou. Dcǎ A este firmţi: tote rchetele vor tinge ţint, tunci Ā este firmţi: cel puţin o rchetǎ nu v tinge ţint. Pentru teorem dcǎ A tunci B firmţi dcǎ Ā tunci B se numeşte teoremǎ contrrǎ. Teorem contrrǎ teoremei contrre este teorem iniţilǎ. Exemplul 8.2. A= sum mǎrimilor douǎ unghiuri opuse într-un ptrulter este eglǎ cu 180 o, B= ptrulterul este inscriptibil, Ā= sum mǎrimilor douǎ unghiuri opuse într-un ptrulter nu este eglǎ cu 180 o, B= ptrulterul nu este inscriptibil Teorem dcǎ A tunci B se formulezǎ stfel: dcǎ sum mimilor douǎ unghiuri opuse într-un ptrulter este egl cu 180 o tunci ptrulterul este inscriptibil. Teorem contrrǎ: dcǎ Ā tunci B se formulezǎ stfel: dcǎ sum mǎrimilor douǎ unghiuri opuse într-un ptrulter nu este eglǎ cu 180 o tunci ptrulterul nu este inscriptibil În cest exemplu mbele teoreme: ce directǎ şi ce contrrǎ sunt devǎrte. Pentru orice firmţie în mtemticǎ (teoremele inclusiv) cre u form A B se pote construi o nouǎ firmţie permutând A şi B. Astfel se obţine firmţi B A cre se numeşte firmţie reciprocǎ su teoremǎ reciprocǎ. Mi exct teorem B A este reciproc teoremei A B. Reciproc teoremei reciproce este teorem iniţilǎ. De cee teoremele A B şi B A se zic mutul reciproce. Dcǎ teorem directǎ A B este devǎrtǎ, reciproc ei B A pote fi devǎrtǎ su flsǎ. Exemplul 8.3. Teorem directǎ (teorem lui Pitgor) este: dcǎ triunghiul este dreptunghic tunci pǎtrtul lturii celei mi mri triunghiului este egl cu sum pǎtrtelor celorllte douǎ lturi. Teorem reciprocǎ este: dcǎ pǎtrtul lturii celei mi mri triunghiului este egl cu sum pǎtrtelor celorllte douǎ lturi tunci triunghiul este dreptunghic. În cest exemplu tât teorem directǎ cât şi ce reciprocǎ sunt devǎrte. Exemplul 8.4. Teorem directǎ: dcǎ douǎ unghiuri sunt drepte tunci cele douǎ unghiuri sunt egle. Teorem reciprocǎ: dcǎ douǎ unhiuri sunt egle tunci cele douǎ unghiuri sunt drepte. În cest exemplu teorem directǎ este devǎrtǎ, ir teorem reciprocǎ este flsǎ. Teorem reciprocǎ este echivlentǎ cu teorem contrrǎ. Acest însemnǎ cǎ teorem reciprocǎ este devǎrtǎ dcǎ şi numi dcǎ teorem contrrǎ este devǎrtǎ. 9 Condiţie necesrǎ şi condiţie suficientǎ. Dcǎ teorem A B este devǎrtǎ tunci: condiţi A este suficientǎ pentru B şi condiţi B este necesrǎ pentru A. Dcǎ teorem reciprocǎ B A este devǎrtǎ tunci: condiţi B este suficientǎ pentru 14

15 A şi condiţi A este necesrǎ pentru B. Dcǎ teorem directǎ A B şi teorem reciprocǎ B A sunt devǎrte tunci : condiţi A este necesrǎ şi suficientǎ pentru B şi condiţi B este necesrǎ şi suficientǎ pentru A. Cu lte cuvinte condiţiile A şi B sunt echivlente. A este devǎrtǎ dcǎ şi numi dcǎ B este devǎrtǎ. Exemplul 9.1. Teorem lui Bézout este: Dcǎ α este o rǎdǎcinǎ polinomului P (x) tunci polinomul P (x) este divizibil cu x α. Reciproc teoremei lui Bézout este: Dcǎ polinomul P (x) este divizibil cu x α tunci α este o rǎdǎcinǎ polinomului P (x). Ştim cǎ tât teorem lui Bézout cât şi reciproc ei sunt devǎrte. Rezultǎ de ici cǎ o condiţie necesrǎ şi suficientǎ pentru c numǎrul α sǎ fie rǎdǎcinǎ polinomului P (x) este c polinomul P (x) sǎ fie divizibil cu x α. Prin urmre, este devǎrtǎ teorem: polinomul P (x) este divizibil cu x α dcǎ şi numi dcǎ α este rǎdǎcinǎ polinomului P (x). Prte II Clcul diferenţil şi integrl pentru funcţii rele de o vribilǎ relǎ 10 Elemente de topologie în R 1. Definiţi O vecinǎtte punctului x R 1 este o mulţime V R 1 cre conţine un intervl deschis (, b) R 1 ce conţine pe x: dicǎ x (, b) V. Orice intervl deschis cre conţine pe x este vecinǎtte pentru x. Un intervl deschis este vecinǎtte pentru orice x ce prţine intervlului. Definiţi Un punct x R 1 este punct interior l mulţimii A R 1 dcǎ existǎ un intervl deschis (, b) stfel încât x (, b) A. Un punct x l intervlului (, b) este un punct interior l mulţimii (, b). Definiţi Interiorul unei mulţimi A R 1 este mulţime punctelor interiore le lui A. Trdiţionl interiorul mulţimii A se notezǎ cu Int(A) su cu Å. Dcǎ A = (, b), tunci Å = (, b) = A. Definiţi Mulţime A R 1 este deschisǎ dcǎ A = Å. 15

16 Orice intervl deschis este o mulţime deschisǎ. Mulţime A R 1 este deschisǎ, dcǎ şi numi dcǎ fiecre punct l ei este în mulţime cu o întregǎ vecinǎtte. Reuniune unei fmilii de mulţimi deschise este o mulţime deschisǎ. Intersecţi unui numǎr finit de mulţimi deschise este mulţime deschisǎ. Mulţime numerelor rele R 1 şi mulţime vidǎ sunt mulţimi deschise. Definiţi Mulţime A R 1 deschisǎ. este închisǎ dcǎ complementr ei C R 1A este Orice intervl închis [, b] este o mulţime închisǎ. Intersecţi unei fmilii de mulţimi închise este închisǎ. Reuniune unui numǎr finit de mulţimi închise este o mulţime închisǎ. Mulţime numerelor rele R 1 şi mulţime vidǎ sunt mulţimi închise. Definiţi Punctul x R 1 este punct limitǎ su punct de cumulre l mulţimii A R 1, dcǎ orice vecinǎtte V lui x conţine cel puţin un punct y A diferit de x; y x. Definiţi Închidere Ā mulţimii A R1 este închise cre conţin mulţime A. intersecţi tuturor mulţimilor Închidere unei mulţimi A re urmǎtorele proprietǎţi: Ā A; Ā = Ā; A B = Ā B; Ā = A dcǎ şi numi dcǎ A este mulţime închisǎ. x Ā dcǎ şi numi dcǎ orice vecinǎtte V lui x intersectezǎ mulţime A (V A ). Definiţi Mulţime A R 1 este mǎrginitǎ dcǎ existǎ m, M R 1 stfel încât m x M pentru orice x A. Definiţi Mulţime A R 1 este compctǎ dcǎ este mǎrginitǎ şi închisǎ. Orice intervl închis [, b] este mulţime compctǎ. 11 Şiruri de numere rele. Definiţi O funcţie definitǎ pe mulţime numerelor nturle N = {1, 2, 3,..., n,...} şi cu vlori în mulţime R 1 numerelor rele se numeşte şir de numere rele. Comentriu: Vlore funcţiei, cre defineşte şirul de numere rele, în 1 se notezǎ cu 1, vlore în 2 se notezǎ cu 2,..., vlore în n cu n,.... Trdiţionl 1 se numeşte primul termen l şirului, 2 cel de-l doile termen l şirului,..., n cel de-l n-le termen l şirului su termenul generl. Şirul 1, 2,..., n,... se notezǎ trdiţionl cu ( n ). Pentru defini un şir trebuie sǎ definim toţi termenii şirului. Altfel spus trebuie dtǎ o regulǎ cre permite determinre fiecǎrui termen l şirului. 16

17 Exemplul n = q n 1, q 0; 1 = 1; 2 = q; 3 = q 2 ;... n = q n 1 ;... n = 1 n ; 1 = 1; 2 = 1 2 ; 3 = 1 3 ;... n = 1 n ;... n = n 2 ; 1 = 1; 2 = 4; 3 = 9;... n = n 2 ;... n = ( 1) n ; 1 = 1; 2 = 1; 3 = 1;... n = ( 1) n ;... n = 1 + ( 1)n 2 ; 1 = 0; 2 = 1; 3 = 0;... n = 1 + ( 1)n ;... 2 Se pote intâmpl c tunci când n creşte şi n creşte. Definiţi Şirul ( n ) este crescǎtor dcǎ pentru orice n N re loc ineglitte n n+1. Definiţi Un şir ( n ) este descrescǎtor dcǎ pentru orice n N re loc ineglitte n+1 n. Definiţi Un şir ( n ) este monoton dcǎ este crescǎtor su este descrescǎtor. Exemplul Dcǎ q > 1 tunci şirul n = q n este crescǎtor, ir dcǎ q (0, 1) tunci şirul n = q n este descrescǎtor. Dcǎ q (0, ) şi q 1 tunci şirul n = q n este monoton Definiţi Un şir ( n ) este mǎrginit dcǎ existǎ un numǎr M > 0 stfel încât pentru orice n N re loc ineglitte n M. Dcǎ q (0, 1) tunci şirul n = q n este mǎrginit ( n < 1). Şirul n = ( 1) n este mǎrginit ( n 1). Definiţi Un şir ( n ) este nemǎrginit dcǎ nu este mǎrginit. Altfel spus, pentru orice M > 0 existǎ n M N stfel încât nm > M. Dcǎ q > 1 tunci şirul n = q n este nemǎrginit. Definiţi Un subşir l şirului ( n ) este un şir de form ( nk ) unde (n k ) = n 1, n 2,... este un şi strict crescǎtor de numere nturle. Comentriu: Orice subşir l unui şir crescǎtor este şir crescǎtor. Orice subşir l unui şir descrescǎtor este şir descrescǎtor. Orice subşir l unui şir mǎrginit este şir mǎrginit. 12 Convergenţ şirurilor de numere rele. Se pote întâmpl c dcǎ n creşte termenii n i şirului ( n ) sǎ se propie de un numǎr L. În cest cz jungem l o noţiune mtemticǎ importntǎ, ce de convergenţǎ unui şir l un numǎr. 17

18 Definiţi Şirul de numere rele ( n ) converge l numǎrul L dcǎ pentru orice ε > 0 existǎ un numǎr N = N(ε) stfel c toţi termenii şirului de rng n > N(ε) sǎ verifice ineglitte: n L < ε Fptul cǎ şirul ( n ) converge l numǎrul L se notezǎ pe scurt cu lim n = L şi se exprimǎ n prin cuvintele: pentru n tinzând l infinit limit lui ( n ) este eglǎ cu L su n n L şi se exprimǎ prin cuvintele pentru n tinzând l infinit n tinde l L. În czul n n L se mi spune ( n ) converge l L. Comentriu: Dcǎ şirul ( n ) converge l L, tunci orice subşir ( nk ) l şirului ( n ) converge l L. Acest întrucât pentru orice ε > 0 existǎ N = N(ε) stfel încât pentru n > N(ε) sǎ vem n L < ε. De ici rezultǎ cǎ pentru orice n k > N vem nk L < ε. Nu orice şir este convergent. De exemplu, şirul n = ( 1) n nu converge. Acest întrucât subşirul 2k = ( 1) 2k = 1 converge l 1 şi subşirul 2k+1 = ( 1) 2k+1 = 1 converge l -1. Limit unui şir convergent este unicǎ. Afirmţi contrrǎ r însemn cǎ şirul ( n ) converge l L 1 şi L 2 cu L 1 L 2. Rezultǎ de ici cǎ existǎ N 1 şi N 2 stfel încât n L 1 < L 1 L 2 pentru orice n > N 1 2 şi n L 2 < L 1 L 2 pentru orice n > N 2. De ici rezultǎ cǎ pentru orice 2 n > mx{n 1, N 2 } vem: L 1 L 2 L 1 n + L 2 n < L 1 L 2 cee ce este bsurd. Dcǎ un şir ( n ) converge l L, tunci este mǎrginit. Acest întrucât existǎ N(1) stfel cǎ pentru orice n > N(1) sǎ vem: n L < 1 şi stfel n = n L + L < 1+ L pentru orice n > N(1). Rezultǎ în continure ineglitte: n mx{ 1,..., N(1), 1 + L } 1 Exemplul Vom rǎt cǎ lim n = 0. Considerǎm ε > 0 şi condiţi: n 1 0 n < ε Rezultǎ de ici ineglitte 1 < ε su 1 n n < ε2 echivlent cu n > 1 ε. [ ] [ ] Punem N(ε) = + 1, unde este prte întregǎ numǎrului. Este evident ε 2 ε 2 ε2 cǎ dcǎ n > N(ε) tunci n > 1 ε şi ineglitte 1 n 0 2 < ε este stisfǎcutǎ. În cest exemplu m demonstrt convergenţ l zero folosind definiţi convergenţei. În cele ce urmezǎ v trebui sǎ stbilim reguli cre permit stbilire convergenţei şi limitei de o mnierǎ mult mi simplǎ. În numite czuri se spune cǎ şirul ( n ) converge (tinde) l infinit. Sensul cestei noţiuni este precizt în urmǎtorele definiţii: 18

19 Definiţi Şirul ( n ) tinde l + dcǎ pentru orice M > 0 existǎ N(M) stfel încât n > M oricre r fi n > N(M). Şirul n = n 2 tinde l + în sensul cestei definiţii. Definiţi Şirul ( n ) tinde l dcǎ pentru orice M > 0 existǎ N(M) stfel încât n < M pentru n > N(M). Şirul n = n 2 tinde l în sensul cestei definiţii. 13 Reguli privind convergenţ şirurilor de numere rele. Fie ( n ) şi (b n ) douǎ şiruri de numere rele convergente l numerele şi respectiv b. Regul sumei: Şirul ( n + b n ) converge l + b. Demonstrţie. Fie ε > 0 şi ε = 1 2 ε. Deorece n n şi b n n b existǎ N 1 = N 1 (ε ) stfel încât n < ε, n > N 1 şi existǎ N 2 = N 2 (ε ) stfel încât b n b < ε, n > N 2. Fie N 3 = mx{n 1, N 2 }. Pentru orice n > N 3 vem: n b n b n + b n b < ε + ε = 2ε = ε Acest demonstrezǎ cǎ n + b n n + b. Regul produsului: Şirul ( n b n ) converge l b. Demonstrţie. Deorece b n n b existǎ M > 0 stfel c b n M pentru orice n N. Rezultǎ: n b n b = n b n b n + b n b = b n ( n ) + (b n b) b n n + b n b M n + b n b, n N Fie ε > 0 şi fie ε 1 = ε 2M, ε ε 2 = 2( + 1). Deorece n n, b n n b existǎ N 1 şi N 2 stfel încât: n < ε 1, n > N 1 şi b n b < ε 2, n > N 2. Fie N 3 = mx{n 1, N 2 }. Pentru orice n > N 3 vem: n b n b < ε. Altfel spus: n b n n b. Regul câtului: Dcǎ b n 0, n N şi b 0 tunci şirul n b n converge l b. 19

20 Demonstrţie. Prim orǎ rǎtǎm cǎ 1 1 b n n b. Pentru cest evluǎm diferenţ: 1 1 b n b şi gǎsim: 1 1 b n b = b n b b n b Întrucât b n n b existǎ N 1 stfel încât sǎ vem: b n b < 1 b pentru orice { } 2 2 n > N 1. Considerǎm numǎrul M = mx b, 1 b 1,..., 1 şi remrcǎm cǎ re loc b N1 ineglitte 1 b n < M pentru orice n. Fie cum ε > 0 şi ε = ε b M. Pentru ε > 0 existǎ N 2 = N 2 (ε ) stfel încât b n b < ε pentru orice n > N 2. De ici rezultǎ cǎ 1 1 b n b < ε pentru orice n > N 3 = mx{n 1, N 2 }. Cu lte cuvinte 1 1 b n n b. În virtute regulii produsului rezultǎ: n b n n b. Regul de înmulţire cu sclr: Şirul (k n ) converge l k pentru orice numǎr rel k. Regul de înmulţire cu un sclr este un cz specil l regulii produsului. Aplicţie 13.1 Determinţi limit: lim n n 2 + 2n + 3 4n 2 + 5n + 6 =? Soluţie: Regul câtului nu pote fi plictǎ direct pentru cǎ nici numǎrǎtorul nici n 2 + 2n + 3 numitorul frcţiei nu converge l o limitǎ finitǎ. 4n 2 + 5n + 6 Cu tote ceste dcǎ se dǎ fctor comun n 2 şi l numǎrǎtor şi l numitor şi frcţi se simplificǎ cu n 2 se obţine: n = n + 3 n n + 6 n 2 Se rtǎ uşor cǎ 1 n 0 şi cǎ şirul constnt (k) converge l k. Aplicând cum regul n sumei, produsului şi înmulţirii cu un sclr rezultǎ urmǎtorele convergenţe: n + 3 n 2 n n + 6 n 2 n 4 Aplicân în continure regul câtului obţinem urmǎtore convergenţǎ: 2 n = n2 + 2n n 2 + 5n + 6 = n + 3 n n + 6 n n 2 Regul cleştelui : Fie ( n ), (b n ), (c n ) trei şiruri de numere rele cre verificǎ: 1 4 n b n c n, n N 20

21 Dcǎ şirurile ( n ) şi (c n ) sunt convergente l ceeşi limitǎ L tunci şirul (b n ) converge l L. Demonstrţie. Deorece n b n c n, n N vem: n L b n L c n L, deci: b n L mx{ n L, c n L }, n. Pentru ε > 0 existǎ N 1 = N 1 (ε) şi N 2 = N 2 (ε) stfel încât sǎ vem: n şi Rezultǎ cǎ vem: Cu lte cuvinte b n n L. n L < ε, n > N 1 (ε) şi c n L < ε, n > N 2 (ε) b n L < ε, n > N 3 = N 3 (ε) = mx{n 1 (ε), N 2 (ε)}. Aplicţi Arǎtţi cǎ ( 1) n 1 n 2 Soluţie: Fie n = 1 n ; b 2 n = ( 1) n n 0. 1 n 2 ; c n = 1 n 2. Întrucât n n 0; c n n 0 şi n b n c n rezultǎ (plicând regul cleştelui) b n n 0. Regul de convergenţǎ şirurilor monotone: Dcǎ ( n ) este un şir monoton şi mǎrginit tunci este convergent. Demonstrţie. Vom demonstr firmţi pentru un şir crescǎtor şi mǎrginit. Demonstrţi este similrǎ pentru un şir descrescǎtor şi mǎrginit. Fie ( n ) un şir crescǎtor şi mǎrginit şi fie M 0 = sup{ n n N}. Pentru orice ε > 0 existǎ N = N(ε) stfel încât N > M 0 ε. Dcǎ n > N, tunci n N şi deci n > M 0 ε. În plus n M 0 pentru orice n N. Rezultǎ stfel cǎ n M < ε pentru n > N. Acest demonstrezǎ cǎ n n M 0. Aplicţie Un şir ( n ) este definit stfel: 1 = 1 şi n+1 = n + 1 pentru n Sǎ se rte cǎ: n n. 2 Soluţie: Prim orǎ se rtǎ, prin inducţie, cǎ şirul ( n ) este crescǎtor. Deorece 1 = 1 şi 2 = 2 vem: 1 2. Clculǎm cum diferenţ n+1 n şi gǎsim: n+1 n = n + 1 n = n n 1 n n Întrucât sum n n este pozitivǎ dcǎ n 1 n, tunci n n+1. Astfel rezultǎ prin inducţie cǎ şirul ( n ) este crescǎtor. Din relţi de recurenţǎ n+1 = n + 1 prin ridicre l pǎtrt se obţine eglitte: 2 n 2 n+1 = 2 n n 1 = ( n 1 2 ) şi deorece şirul ( n ) este crescǎtor vem: ( n 1 2 ) Din cestǎ ineglitte 4 rezultǎ imedit cǎ şirul ( n ) este mǎrginit superior de numǎrul Cu regul de 2 21

22 convergenţǎ şirurilor monotone deducem cǎ şirul ( n ) este convergent. Fie L = lim n. n Deorece n+1 n L obţinem cǎ L = L + 1 şi stfel L 2 = L + 1. Ecuţi de grdul l doile L 2 1 = L + 1 re douǎ rǎdǎcini: 2 (1 ± 5). Întrucât n 1, n N, rǎdǎcin pozitivǎ este limit. Adicǎ L = 1 2 (1 + 5). Teorem Teorem lui Weierstrss-Bolzno Dcǎ şirul de numere rele ( n ) este mǎrginit tunci conţine un subşir convergent. Demonstrţie. Fie S N = { n n > N}. Dcǎ fiecre mulţime S N re un cel mi mre element, tunci considerǎm urmǎtorul subşir l şirului ( n ): b 1 = n1 = mx S 1 ; b 2 = n2 = mx S n1 ; b 3 = n3 = mx S n2 ;... Şirul (b n ) este un subşir l şirului ( n ) şi este descrescǎtor. Deorece ( n ) este mǎrginit, şirul (b n ) este şi el mǎrginit. Rezultǎ stfel cǎ şirul (b n ) este convergent. Dcǎ pentru un M, S M nu re un cel mi mre element tunci pentru orice m cu m > M existǎ n cu n > m şi n > m. Fie c 1 = M+1 şi c 2 primul termen l şirului n dupǎ c 1 = M+1 cre re propriette c 2 > c 1. În continure fie c 3 primul termen l şirului ( n ) dupǎ c 2 cre verificǎ c 3 > c 2 şi ş mi deprte. Se obţine în cest fel un subşir (c n ) l şirului ( n ); cre este monoton crescǎtor. Deorece (c n ) este mǎrginit este convergent. Intuitiv este clr cǎ dcǎ n n L tunci termenii şirului cre u rng mre diferǎ puţin de L şi deci şi unul de celǎllt. Mi exct vem: Teorem Criteriul Cuchy de convergenţǎ l unui şir de numere rele. Un şir ( n ) de numere rele este convergent dcǎ şi numi dcǎ pentru orice ε > 0 existǎ N = N(ε) stfel încât sǎ vem: p q < ε, p, q > N(ε) Demonstrţie. Presupunem cǎ şirul ( n ) converge l L şi considerǎm un numǎr ε > 0. Existǎ N = N(ε) stfel încât n L < ε pentru orice n > N(ε). Prin urmre: 2 p L < ε 2 şi q L < ε, p, q > N(ε) şi rezultǎ cǎ: 2 p q p L + q L < ε, p, q > N(ε). Presupunem cum cǎ pentru orice ε > 0 existǎ N = N(ε) stfel încât p q < ε, p, q > N(ε). Pentru ε = 1 şi N 1 = N(1) les stfel încât p q < 1, p, q > N 1, vem: şi deci: n = n N N1 +1 n N N N1 +1, n N n mx{ 1, 2,..., N1, N } = M, n Cu lte cuvinte şirul ( n ) este mǎrginit. Conform teoremei lui Weierstrss-Bolzno şirul ( n ) conţine un subşir ( nk ) convergent. 22

23 Fie L = lim n n k k şi ε un numǎr rel pozitiv ε > 0. Existǎ N 1 = N 1 (ε) stfel încât nk L < ε 2, n k > N 1 şi existǎ N 2 = N 2 (ε) stfel încât p q < ε 2, p, q > N 2. De ici rezultǎ cǎ pentru orice n > N 3 = mx{n 1, N 2 } vem: unde n k este les stfel încât n k > N 3. n L n nk + nk L < ε 2 + ε 2 = ε 14 Punct limitǎ l unui şir de numere rele. Definiţi Un punct x R 1 este punct limitǎ l şirului ( n ) dcǎ existǎ un subşir ( nk ) l şirului ( n ) cre converge l x; nk n k x. Definiţi Mulţime punctelor x R 1 cre sunt puncte limitǎ le şirului ( n ) se notezǎ cu L( n ) şi se numeşte mulţime punctelor limitǎ su pe scurt mulţime limitǎ şirului ( n ). Şirul ( n ) converge l L ( n n L) dcǎ şi numi dcǎ L( n ) = {L}. Definiţi Limit superiorǎ şirului ( n ) este mrgine superiorǎ mulţimii L( n ). Limit superiorǎ şirului ( n ) se notezǎ trdiţionl cu lim sup n su cu lim n ; n n lim n = sup L( n ). n Definiţi Limit inferiorǎ şirului ( n ) este mrgine inferiorǎ mulţimii L( n ). Limit inferiorǎ şirului ( n ) se notezǎ trdiţionl cu lim inf n su cu lim n ; n n lim n = inf L( n ). n Şirul ( n ) converge dcǎ şi numi dcǎ re loc: lim n = lim n. n n Exemplul În czul şirului n = ( 1) n mulţime punctelor limitǎ L( n ) este: L( n ) = { 1, 1} şi: lim n = 1; n lim n = 1. n 15 Serii de numere rele. Fie ( n ) un şir de numere rele. Pentru orice n N fixt, sum: s n = n 23

24 re sens. Dcǎ şirul (s n ) converge l s tunci s pote fi numit în mod justifict sum seriei infinite n = n +... Mi precis: Definiţi O serie infinitǎ de numere rele este un şir de numere rele (s n ) l cǎrui termen generl s n re form s n = n unde ( n ) este un şir de numere rele dt. În mod trdiţionl o serie infinitǎ se notezǎ cu simbolul trdiţie termenul generl l seriei. Tot prin trdiţie simbolul n n şi n se numeşte prin se numeşte serie ir şirul de numere rele (s n ) cu s n = n se numeşte şirul sumelor prţile le seriei. Definiţi Seri n convergent. Limit şirului (s n ) : n = s. Definiţi Seri n este divergentǎ dcǎ şirul sumelor prţile (s n ) este divergent. este convergentǎ dcǎ şirul sumelor prţile (s n ) este lim s n = s se numeşte sum seriei şi se notezǎ cu n Exemplul Sǎ se rte cǎ Soluţie: Şirul sumelor prţile l seriei s n n 1 rezultǎ cǎ seri Exemplul Sǎ se rte cǎ seri 1 2 n = n este s n = n k=1 1 2 este convergentǎ şi 1 n 2 = 1. n n este divergentǎ. 1 2 k = n. Deorece Soluţie: Şirul sumelor prţile l seriei n este s n = (s n ) este divergent seri n este divergentǎ. n k=1 k = 1 n(n + 1). Deorece şirul 2 24

25 Exemplul Sǎ se rte cǎ seri cu 1. 1 n 2 + n este convergentǎ şi sum ei este eglǎ Soluţie: Întrucât: 1 n 2 + n = 1 n(n + 1) = 1 n 1 n + 1 termenul generl l şirului sumelor prţile este: ( s n = 1 1 ) ( ) ( n 1 ) n + 1 = 1 1 n + 1 şi deci s n n 1. Comentriu: Exemplul 15.1 este un cz prticulr de serie geometricǎ vând form x n, în cre x este un numǎr rel. Remrcǎm cǎ ici însumre începe cu n = 0 şi nu n=0 cu n = 1. Pentru o serie geometricǎ sum primilor n termeni este: Un clcul stndrd rtǎ cǎ s n = + x + x x n 1 s n = (1 xn ) pentru x 1. 1 x De ici s n n x < 1. 1 x Deorece şirul (s n ) este divergent pentru x 1 obţinem urmǎtorul rezultt: Seri geometricǎ x n = + x + x x n +..., 0 converge dcǎ şi numi n=0 dcǎ x < 1. Mi mult sum seriei este 1 x. Deorece sum unei serii convergente este definitǎ c limit şirului sumelor prţile l seriei, rezulttele privind convergenţ şirurilor de numere rele pot fi folosite pentru stbili convergenţ seriilor. Urmezǎ un rezultt cre pote fi dese util pentru test divergenţ unei serii. Teorem Convergenţ l zero termenului generl Dcǎ seri n este convergentǎ tunci n n 0 Demonstrţie. Dcǎ seri n este convergentǎ tunci şirul sumelor prţile (s n ) converge l o limitǎ s. Rezultǎ cǎ şirul s n 1 converge tot l s şi stfel n = s n s n 1 converge l 0. Prin urmre n n 0. Aplicţie 15.1 Considerǎm seri seri considertǎ nu este convergentǎ. n n + 1. Deorece n = 25 n n rezultǎ cǎ

26 Trebuie reţinut cǎ dcǎ n n 0 nu rezultǎ cǎ seri exemplu în czul seriei şi ( n n 1) vem: n = n n 1 = s n = n k=1 n este convergentǎ. Astfel de 1 n + n + 1 n 0 k = n n + Criteriul lui Cuchy de convergenţǎ unei serii de numere rele Seri n converge dcǎ şi numi dcǎ pentru orice ε > 0 existǎ N = N(ε) stfel încât pentru n N(ε) şi p 1 sǎ vem: n+1 + n n+p < ε Demonstrţie. Seri n converge dcǎ şi numi dcǎ şirul sumelor prţile (s n ): s n = n ; converge. Şirul (s n ) converge dcǎ şi numi dcǎ pentru orice ɛ > 0 existǎ N = N(ε) stfel încât s q s r < ε pentru q, r > N(ε). Acest este echivlent cu condiţi: ε > 0 N = N(ε) stfel încât n N(ε) şi p 1 vem: n+1 + n n+p < ε. 16 Reguli privind convergenţ seriilor de numere rele. În continure prezentǎm câtev reguli reltive l convergenţ seriilor de numere rele, cre sunt utile în plicţii. Aceste reguli se obţin plicând regulile de convergenţǎ şirurilor l şirurile sumelor prţile. Regul sumei Dcǎ seriile n şi b n sunt convergente tunci seri sumǎ ( n + b n ) este convergentǎ şi re loc eglitte: ( n + b n ) = n + Regul de înmulţire cu un sclr Dcǎ seri n este convergentǎ tunci k R 1, seri 26 b n k n este convergentǎ şi

27 re loc eglitte: k n = k Criteriul 1 l comprţiei. Dcǎ 0 n b n, n N şi dcǎ seri convergentǎ, tunci seri n este convergentǎ. n b n este Demonstrţie. Fie s n = 0 s n t n. Dcǎ seri n k şi t n = k=1 n b k. k=1 Din ipotezǎ rezultǎ cǎ n N vem b n converge tunci şirul t n converge l un numǎr t: t n n t. Şirul (t n ) fiind crescǎtor pentru orice n re loc t n t. De ici şi din s n t n rezultǎ ineglitte s n t, n. Prin urmre şirul crescǎtor s n este mǎrginit superior şi deci este convergent. Acest însemnǎ cǎ seri n este convergentǎ. Exemplul Sǎ se rte cǎ seri 1 + cos n este convergentǎ. 3 2 n + 5 3n Soluţie. Fie n = 1 + cos n 3 2 n Pentru orice n vem n n 0 şi n 1 2. Considerǎm n şirul b n = 1 2 şi seri 1 b n n =. Acestǎ serie din urmǎ fiind convergentǎ rezultǎ 2n cǎ seri n este convergentǎ. Criteriul 2 l comprţiei. Dcǎ seriile ( n 0 şi b n 0) şi n L 0 tunci seri b n converge. n şi b n sunt cu termeni pozitivi n converge dcǎ şi numi dcǎ b n Demonstrţie. Presupunem cǎ seri b n este convergentǎ şi considerǎm sumele prţile: s n = n ; t n = b 1 + b b n Deorece n b L pentru ε = 1 existǎ N 1 = N(1) stfel încât sǎ vem: n n n L b n < 1, n > N 1. 27

28 De ici rezultǎ ineglitte: n = n b n = n L + L b n n L b n + L < 1 + L = k, n > N 1. b n Considerǎm cum seriile cu termeni pozitivi β n = k b N1 +n. Ineglitte 0 α n β n, n şi convergenţ seriei α n şi β n = β n unde α n = N1 +n şi n=n 1 +1 k b n implicǎ cǎ seri α n este convergentǎ. Deorece ntur unei serii nu se schimbǎ dcǎ se dugǎ l e un numǎr finit de termeni rezultǎ cǎ seri n este convergentǎ. Am rǎtt stfel cǎ din convergenţ seriei Reciproc cestei firmţii se rtǎ inversând rolurile lui n precedent şi observând cǎ b n 1 n n L. Exemplul Sǎ se rte cǎ seri b n rezultǎ convergenţ seriei 1 este convergentǎ. 7 3 n + 2 5n n. şi b n în rţionmentul 1 Demonstrţie. Fie n = 7 3 n şi b n n = 1 5. Rportul n converge l 1 0 şi seri n b n 2 1 b n = 5 este convergentǎ. Rezultǎ stfel cǎ seri n n este convergentǎ. Criteriul rportului.dcǎ seri α n = n+1 n L < 1 rezultǎ cǎ seri n este cu termeni poztivi ( n > 0) şi şirul converge l L tunci: din L > 1 rezultǎ cǎ seri n este divergentǎ; din n este covergentǎ; din L = 1 nu putem trge nici o concluzie. Demonstrţie. Presupunem L < 1 şi considerǎm ε = 1 (1 L). Observǎm cǎ ε > 0 şi L existǎ N = N(ε) 2 stfel încât α n = α n L + L L + ε = k < 1. Deorece α n n ε + L = k < 1, n > N(ε). De ici rezultǎ ineglitte n+1 k n, n > N(ε). Fie β n = N(ε)+n. Pentru orice n 1 vem β n+1 k β n şi prin inducţie rezultǎ ineglitte: β n+1 k n β 1, n N 28

29 Seri seri k n β 1 este o serie geometricǎ convergentǎ pentru cǎ k < 1. De ici rezultǎ cǎ n=0 β n converge şi, prin urmre, seri n converge de semene. Presupunem cum L > 1 şi fie ε = L 1. Numǎrul ε este pozitiv (ε > 0) şi deorece α n L existǎ N = N(ε) stfel încât α n > L ε pentru orice n > N(ε). Rezultǎ cǎ n n+1 > n, n > N(ε) şi n > N(ε), n > N(ε). Deorece N(ε) 0 şirul ( n ) nu tinde l zero şi deci seri n este divergentǎ. Exemplul Sǎ se determine vlorile lui x pentru cre seri convergentǎ. Soluţie: Fie n = n (4x 2 ) n şi α n = (n + 1) (4x2 ) n+1 l 4x 2 ; α n n 4x2. De ici rezultǎ cǎ seri ( = 4x 2 n (4x 2 ) n n n (4x 2 ) n este ). Şirul (α n ) converge n este divergentǎ dcǎ 4x 2 > 1( x > 1 ) şi este convergentǎ 2 dcǎ x < 1 2. Nu ştim deocmdtǎ ce se întâmplǎ dcǎ x = 1 2. Dcǎ x = 1 2 tunci n = n şi deci seri este divergentǎ. În consecinţǎ seri n (4x 2 ) n este convergentǎ dcǎ şi numi dcǎ x < 1 2. Criteriul rǎdǎcinii. Fie seri n o serie cu termeni pozitivi. Dcǎ existǎ k (0, 1) şi N N stfel încât n n k, n > N tunci seri converge. Dcǎ n n 1 pentru o infinitte de termeni i seriei tunci seri este divergentǎ. Demonstrţie. Dcǎ existǎ k (0, 1) şi N stfel încât n n k pentru n > N tunci n k n pentru n > N. Prin urmre seri n pote fi comprtǎ cu seri geometricǎ k n, cre este convergentǎ pentru cǎ k < 1. Acest este demonstrţi în primul cz. k=1 Dcǎ n n 1 pentru o infinitte de termeni i seriei, tunci n 1 pentru o infinitte de termeni i şirului ( n ) şi n nu tinde l zero. Rezultǎ stfel cǎ seri este divergentǎ. Aplicţie Seri n 1 n = 1 n n 1, n este convergentǎ. Folosind criteriul rǎdǎcinii vem: nn 29

30 Criteriul pentru serii lternte (Leibnitz). Dcǎ şirul (b n ) este monoton converge. n descrescǎtor şi converge l zero (b n 0) tunci seri lterntǎ ( 1) n b n Demonstrţie. Considerǎm s m = prţile l seriei şi m ( 1) n 1 b n termenul generl l şirului sumelor ( 1) n 1 b n. Subşirul termenilor de rng pr s 2m re propriette: s 2m = b 1 (b 2 b 3 )... (b 2m 2 b 2m 1 ) b 2m b 1 s 2m = (b 1 b 2 ) + (b 3 b 4 ) (b 2m 1 b 2m ). Deci este mǎrginit superior şi este crescǎtor. Rezultǎ în cest fel cǎ şirul (s 2m ) este convergent. Fie s = lim s 2m. m În mod nlog se rtǎ cǎ subşirul termenilor de rng impr (s 2m+1 ) este descrescǎtor şi mǎrginit inferior. Rezultǎ stfel cǎ şirul (s 2m+1 ) este convergent şi fie t = lim s 2m+1. m Avem: t s = lim (s 2m+1 s 2m ) = lim b 2m+1 = 0 m m Arǎtǎm în finl cǎ s n s = t. n Pentru cest fie ε > 0 şi N 1 = N 1 (ε), N 2 = N 2 (ε) leşi stfel încât s 2m s < ε m > N 1 şi s 2m+1 s < ε, m > N 2. Fie N = mx{2n 1, 2N 2 + 1}. Orice n > N este pr n = 2m (m > N 1 ) su este impr n = 2m + 1 (m > N 2 ). În mbele czuri s n s < ε dcǎ n > N. Cu lte cuvinte şirul (s n ) converge l s şi deci seri ( 1) n b n este convergentǎ. Exemplul Seri descrescǎtor şi tinde l 0. ( 1) n 1 n este convergentǎ pentru cǎ şirul 1 n este monoton Criteriul integrl. Fie f : R 1 + R 1 + o funcţie continuǎ descrescǎtore şi n n = f(n), n N. Considerǎm şirul j n = f(x)dx. Seri n este convergentǎ dcǎ şi numi dcǎ şirul (j n ) converge. 1 Demonstrţi cestei teoreme v fi fǎcutǎ în secţiune în cre integrl Riemnn este definitǎ. 1 Aplicţie Arǎtţi cǎ seri converge dcǎ şi numi dcǎ p > 1. np Soluţie: Considerǎm funcţi f p (x) = 1 x p, x > 0 şi p > 0. Funcţi f p este continuǎ, 30

31 descrescǎtore şi f p (n) = 1 n p = n. Pentru p 1 vem: j n = Pentru p > 1 vem j n n vem: şi şirul (j n ) este divergent. n 1 1 x1 p dx = xp 1 p n 1 = 1 1 p (n1 p 1). 1 şi pentru p < 1 şirul (j p 1 n) este divergent. Pentru p = 1 j n = Remrc Dcǎ p 0 seri seriei nu tinde l zero. Exemplul Seri rmonicǎ n 1 1 x dx = ln x n 1 = ln(n) 1 n p este divergentǎ pentru cǎ termenul generl l 1 n este divergentǎ şi seri 1 este convergentǎ. n2 1 Comentriu. Seriile împreunǎ cu seriile geometrice constituie o clsǎ de serii np cǎror convergenţǎ (divergenţǎ) este cunoscutǎ. 17 Serii bsolut convergente. Definiţi Seri n este bsolut convergentǎ dcǎ seri vlorilor bsolute este convergentǎ. O serie convergentǎ cre nu este bsolut convergentǎ este serie simplu convergentǎ. n Convergenţ bsolutǎ implicǎ convergenţǎ. Dcǎ seri tunci seri n este convergentǎ. n este convergentǎ, Demonstrţie. Pentru orice n, m N, n > m vem: s n s m = m n m n Dcǎ seri n este convergentǎ, tunci pentru orice ε > 0 existǎ N = N(ε) stfel încât pentru orice n, m cu propriette n > m > N vem: m n < ε 31

32 De ici rezultǎ s n s m < ε, n, m, n > m > N(ε). Folosind criteriul lui Cuchy obţinem convergenţ seriei n. Exemplul Seri ( 1) n 2 n converge pentru cǎ este bsolut convergentǎ. ( 1) n Seri rmonicǎ lterntǎ este simplu convergentǎ. E converge (ş cum rezultǎ n 1 din criteriul lui Leibnitz), dr nu converge bsolut pentru cǎ seri este divergentǎ. n Comentriu. Convergenţ bsolutǎ pote fi stbilitǎ cu jutorul criteriilor de convergenţǎ prezentte pentru serii cu termeni pozitivi. Convergenţ bsolutǎ este importntǎ pentru cǎ sum unei serii bsolut convergente este independentǎ de ordine în cre se dunǎ termenii. Pe de ltǎ prte, se pote rǎt cǎ oricre r fi seri n simplu convergentǎ şi oricre r fi numǎrul rel S, prin rernjre termenilor seriei n putem ve: n = S. De exemplu, putem obţine orice numǎr rel prin rernjre termenilor seriei rmonice lternte. Produsul Cuchy douǎ serii. Dcǎ seriile n şi b n sunt bsolut convergente şi tunci seri c n = 1 b n + 2 b n n b 1 c n este bsolut convergentǎ şi re loc eglitte: ( ) ( ) c n = n b n Demonstrţie. Admitem l început cǎ seriile şi considerǎm produsele: n şi b n sunt serii cu termeni pozitivi 1 b 1 1 b 2 1 b b 1 2 b 2 2 b b 1 3 b 2 3 b Dcǎ w n este sum produselor din cest tbel situte în pǎtrtul n n cu vârful în 1 b 1 tunci w n = s n t n unde s n şi t n sunt sumele prţile le seriilor n şi b n. 32