CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),

Mărimea: px
Porniți afișarea la pagina:

Download "CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),"

Transcriere

1 CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul gradelor polinoamelor x, y, z se numeşte gradul curbei. Alegerea funcţiilor din această clasă pentru parametrizări de curbe (şi suprafeţe) este justificată de calculele simple necesare pentru evaluarea lor, ceea ce ne conduce la mărirea vitezei de lucru şi la reducerea cumulării erorilor de calcul. Cu ajutorul curbelor şi suprafeţelor astfel parametrizate se pot modela o mare diversitate de forme. Un argument în plus îl constituie teorema lui Weierstrass care afirmă că orice funcţie continuă f : [a, b] R este limita uniformă a unui şir de funcţii polinomiale. Cu alte cuvinte o funcţie continuă poate fi reprezentată, cu precizie arbitrar fixată, de o funcţie polinomială. O observaţie simplă ne asigură că nu se restrânge generalitatea considerând curbe polinomiale cu parametrizarea definită pe intervalul [0, ]. Mai precis orice curbă polinomială C : [0, ] R 3 poate fi reparametrizată polinomial de o aplicaţie C : [0, ] R 3, iar aceasta se poate face cu ajutorul schimbării de variabilă φ : [0, ] [a, b], φ(s) = ( s) a + s b, considerând C = C φ. Fie C o curbă polinomială de grad n. Atunci putem scrie C(t) = x(t) y(t) = a 0 + a t a n t n a 20 + a 2 t a 2n t n z(t) a 30 + a 3 t a 3n t n şi considerăm punctele A i (a i, a 2i, a 3i ), i = 0, n. Astfel, formal, C(t) se scrie sub forma: C(t) = A 0 + t A t n A n. Scrierea este formală deoarece + t + t t n şi deci nu are semnificaţie geometrică (dacă suma ar fi, atunci C(t) ar fi o combinaţie baricentrică a punctelor A i, i = 0, n). S-a încercat, însă fară succes, găsirea unei interpretări în care modificarea unuia sau a multor puncte A i influenţează geometria curbei. Prin urmare, aceste puncte nu au semnificaţie geometrică şi deci exprimarea unei parametrizări polinomiale relativ la baza canonică = {, t,..., t n } nu este utilă. În încercarea de a proiecta forme cât mai variate pentru capotele de automobile, ézier, inginer la uzinele Renault, a avut ideea exprimării funcţiilor polinomiale de grad n relativ la baza ernstein = { n 0 (t), n (t),..., n n(t)} în locul bazei canonice. Polinoamele ernstein sunt definite astfel: n i (t) = C i n t i ( t) n i cu C i n = n! i! (n i)!.

2 2 CURE ÉZIER Observaţie. Polinoamele ernstein definite pe un interval arbitrar [a, b] se exprimă prin: ( ) u a i ( ) b u n i i n (u) = Cn i cu u [a, b]. b a b a Proprietăţi ale polinoamelor ernstein: ) i n(t) > 0 şi n i n (t) =, t [0, ]; i=0 2) n 0 (0) = (0) = 0, i =,..., n n n() = () = 0, i = 0,,..., n ; n i 3) Avem relaţia de recurenţă: n i i n (t) = ( t) i n (t) + t i n (t). O mulţime ordonată de puncte (b 0, b,..., b n ) se numeşte poligon de control (sau poligon caracteristic); punctele b 0, b,..., b n se numesc puncte de control (sau puncte caracteristice). Dacă b 0 = b n atunci avem un poligon închis. Se numeşte curbă ézier definită de poligonul de control de mai sus, curba polinomială exprimată în baza ernstein prin: n b(t) = b i i n (t). Proprietăţi. i=0 ) Gradul unei curbe ézier este mai mic cu o unitate decât numărul punctelor sale de control. 2) O curbă ézier interpolează extremităţile poligonului său de control, deoarece b(0) = b 0 şi b() = b n ; prin urmare, dacă b 0 = b n, curba ézier este închisă. Figure. Curbă ézier închisă 3) O curbă ézier este inclusă în înfăşurătoarea convexă a punctelor sale de control (curba ézier fiind o combinaţie convexă a punctelor de control). 4) O curbă ézier este invariantă faţă de inversarea ordinii punctelor sale de control, i.e. poligoanele de control (b 0, b,..., b n ) şi (b n, b n,..., b 0 ) definesc aceeaşi curbă. Această proprietate este o consecinţă a relaţiei evidente: i n(t) = n n i ( t). 5) O curbă ézier este invariantă la schimbări afine de parametru.

3 CURE ÉZIER 3 6) O curbă ézier este invariantă la transformări afine. Această proprietate este foarte utilă, de exemplu, atunci când curba este supusă unei succesiuni de rotaţii şi translaţii. Aşadar, se va aplica transformarea afină doar punctelor de control, după care se va genera curba ézier definită de acest nou poligon de control.. Algoritmul Horner ézier de evaluare a parametrizării ernstein a unei curbe ézier Considerăm poligonul de control (b 0, b,..., b n ) şi fie b(t) = n b(i) i n(t)= i=0 =C 0 ns n b 0 + C ns n t b C n nt n b n =(C 0 ns b 0 + C nt b ) s n + C 2 ns n 2 t 2 b C n nt n b n =[(C 0 ns b 0 + C nt b ) s + C 2 ns n 2 t 2 b 2 ] s n C n nt n b n =[...[(C 0 ns b 0 + C nt b ) s + C 2 ns n 2 t 2 b 2 ] s +...] s + C n nt n b n unde s = t. Această metodă de eşalonare a operaţiilor, pentru evaluarea lui b(t) se numeşte metoda Horner ézier. Pentru calculul combinărilor vom folosi relaţia: Algoritmul Horner ézier: C i n = C i n combin combinări: Cn i b[i] punctul de control b i t parametrul punct = b(t) grad gradul curbei (n i + )/i s = t; fact=; /* fact = t k */ combin = ; /* intiţializarea C 0 n = */ punct = b[0] s; for(i=; i< grad; i++) { fact = t; combin = combin (grad-i+) / i; punct = (punct + fact combin b[i]) s; } punct += fact t b[grad]; 2. Reprezentarea procedurală a curbelor ézier. Algoritmul lui de Casteljau De Casteljau a dat o altă definiţie a curbelor ézier. Lucrările sale privind această problematică au fost elaborate înaintea celor ale lui ézier, dar nu au fost niciodată publicate, ci au fost păstrate sub forma unor rapoarte tehnice ale firmei Citroën. Rapoartele au devenit cunoscute mult mai târziu, când metoda dată de ézier devenise deja uzuală. Astfel aceste curbe poartă doar numele lui ézier. Pentru a deduce schema lui de Casteljau de generare a

4 4 CURE ÉZIER unui punct pe o curbă ézier definită de poligonul de control (b 0,..., b n ) definim operatorul (cf. de ex. [?]) E : {b 0,..., b n } {b,..., b n }, E(b i ) = b i+, şi scriem b(t) = (( t) I + t E) n b 0. Notăm: Avem forma recursivă: b r,r+,...,s (t) = (( t) + t E) s r b r. b r,...,s (t) = ( t + t E) ( t + t E) s r b r = ( t) b r,...,s + t E ( t + t E) s r b r = ( t) b r,...,s + t ( t + t E) s r b r = ( t) b r,...,s + t b r+,...,s. În cazul când s = r + avem: b rs (t) = ( t) b r + t b s (b r (t) = b r pentru r = s) iar pentru r = 0, s = n avem: b 0,,...,n (t) = ( t + t E) n 0 b 0 = b(t). Rezultă următoarea schemă de evaluare a unui punct de pe curba ézier, corespunzător parametrului t: b 0 b b 0, b 2 b,2 b 0,,2... b n b n 2,n b n 3,n 2,n... b 0,,...,n b n b n,n b n 2,n,n... b,2,...,n b 0,,...,n Fiecare punct din matricea triunghiulară se obţine ca o combinaţie convexă, cu coeficienţii ( t), t a două puncte situate pe coloana precedentă şi pe aceeaşi linie, respectiv linia de deasupra, i.e. de exemplu: b i,i+,i+2 = ( t) b i,i+ + t b i+,i+2. Dacă se reindexează punctele din matricea de mai sus, şi anume: b 0 0 b 0 b 0 b 0 2 b 0 b b 0 n b n 2 b2 n 3... bn 0 b 0 n b n b2 n 2... bn b n 0 avem următoarea relaţie recursivă: b r j (t) = ( t) br j (t) + t b r j+ (t) cu r =, n, j = 0, n r. Pentru a schiţa algoritmul de calcul facem următoarele notaţii: bez[i] punctul de control b i t parametrul punct b(t)

5 grad gradul curbei Avem astfel următorul algoritm: for(i=0; i <= grad; i++) bezaux[i] = bez[i]; s = t; for(r=; r <= grad; i++) for(i=0; i <= (grad-r); i++) bezaux[i] = s bezaux[i] + t bezaux[i+]; punct = bezaux[0]; CURE ÉZIER Interpretarea geometrică a algoritmului de Casteljau. Fie b i, i = 0, 3 patru puncte (de control). Pentru fiecare t [0, ] definim: b 0 (t) = ( t) b 0 + t b b (t) = ( t) b + t b 2 b 2 (t) = ( t) b 2 + t b 3. Prin urmare, în prima etapă a schemei de Casteljau se realizează interpolarea afină a punctelor de control succesive. Pentru t fixat, punctele b 0 (t), b (t), b 2 (t) împart segmentele corespunzătoare în acelaşi raport (vezi figura). t t b3 t = 0.8 b2 b0 b Figure 2. Algoritmul lui de Casteljau În etapa următoare se interpolează aceste puncte şi se obţin: [ b 2 0 (t) = ( t) b 0 (t) + t b (t) b 2 (t) = ( t) b (t) + t b 2 (t). În fine Să facem calculele: b 3 0(t) = ( t) b 2 0(t) + t b 2 (t).

6 6 CURE ÉZIER b 2 0 (t) = ( t) [( t) b 0 + t b ] + t [( t) b + t b 2 ] = ( t) 2 b t ( t) b + t 2 b 2 ) b 2 (t) = ( t) [( t) b + t b 2 ] + t [( t) b 2 + t b 3 ] = ( t) 2 b + 2 t ( t) b 2 + t 2 b 3 ) b 3 0 = ( t)3 b t ( t) 2 b + ( t) 2 t 2 b 2 +t ( t) 2 b + 2 t 2 ( t) b 2 + t 3 b 3 = = ( t) 3 b t ( t) 2 b + 3 t 2 ( t) b 2 + t 3 b 3 adică parametrizarea ézier a unei curbe cubice. Observaţie: (cf. e.g. [?]) Considerăm curba ézier definită de poligonul de control (b 0,..., b n ). Atunci punctele b n 2 0 (t), b n 2 (t) şi b n 2 2 (t) evaluate în etapa n 2 a schemei de Casteljau determină planul osculator al curbei în punctul b(t) (aceasta în cazul în care curba este definită în spaţiu). Numărul operaţiilor în evaluarea unui punct pe o curbă ézier de gradul n este liniar în n în cazul algoritmului Horner-ézier, şi respectiv pătratic, în cazul algoritmului de Casteljau. Totuşi este de preferat algoritmul de Casteljau, fiind numeric mai stabil şi furnizând în etapa n şi direcţia tangentei în punctul evaluat. 3. Relaţii între poligonul de control şi forma curbei ézier asociate Curbele ézier au fost introduse în ideea de a genera curbe care se apropie de forma poligonului de control. Pentru a reproduce forma unei curbe se consideră un poligon de control şi apoi se generează curba ézier asociată. Dacă forma obţinută este necorespunzătoare, se ajustează punctele de control până ce obţinem forma curbei cât mai apropiată de cea desenată liber. Modificarea adecvată a unor puncte ale poligonului iniţial necesită cunoaşterea modului în care o anumită schimbare în poziţia punctelor de control influenţează geometria curbei. Fie b(t) curba ézier definită de poligonul şi b(t) curba ézier definită de poligonul Avem: b(t) = n i=0,i j (b 0, b,..., b j, b j, b j+,..., b n ) (b 0, b,..., b j, c j, b j+,..., b n ). b(i) n i (t) + c j n j (t) = = n b(i) i n(t) + (c j b j ) j n(t) = i=0 = b(t) + b j c j n j (t) Rezultă că b(t) b(t) = n j (t) b j c j. Pentru j {, 2,..., n } polinoamele ernstein j n se anulează doar în 0 şi, astfel curba b se deplasează pe direcţia lui bj c j cu excepţia extremităţilor b 0 şi b n. Cum maximul funcţiei

7 n j CURE ÉZIER 7 este atins pentru t = j n rezultă că, înlocuind punctul de control b j cu c j curba este cel mai mult afectată într-o vecinătate a punctului b( j n ). b4 b3 b2 b0 b c Figure 3. Modificarea formei unui arc ézier când se schimbă un punct de control Posibilităţile de control a formei curbei ézier, precum şi stabilitatea numerică a algoritmului de Casteljan fac ca acestea să constituie standardul geometric ideal pentru reprezentarea curbelor polinomiale pe porţiuni. 4. Subdivizarea unei curbe ézier Fie b : [0, ] R 3 curba ézier definită de poligonul de control (b 0, b,..., b n ), şi exprimată în baza ernstein. Fie de asemenea α (0, ) fixat. Considerăm arcele γ = b [0,α] şi γ 2 = b [α,] (care admit parametrizări de grad n, fiind restricţii ale lui b). Ne punem problema găsirii punctelor de control care definesc aceste arce ca şi curbe ézier. Procesul prin care se asociază curbei ézier două arce ézier adiacente şi a căror reuniune este curba iniţială se numeşte proces de subdivizare. Dacă b este o curbă ézier definită de poligonul de control (b 0, b,..., b n ) şi α (0, ) ca mai sus atunci: poligonul de control asociat arcului b [0,α] este: (b 0 0 (α), b 0 (α),..., bn 0 (α)); poligonul de control asociat arcului b [α,] este: (b 0 n(α), b n (α),..., bn 0 (α)); punctele care intervin fiind generate de schema de Casteljau. Ideea de demonstraţie a acestei afirmaţii în ceea ce priveşte b [0,α] constă în a face schimbarea de parametru φ : [0, ] [0, α]; φ(τ) = α τ şi de a utiliza relaţia :

8 8 CURE ÉZIER i n(α τ) = n j i (α) n j (τ) j=0 Pentru celălalt arc b [α,] se va ţine cont de invarianţa curbei ézier la schimbarea ordinii punctelor de control, deci se va considera b(t) = b( t). Avem astfel arcul b [0, α] (vezi de ex. [EP]). Descriem mai jos procedura de subdivizare (aceasta va determina poligoanele de control de subdiviziune în punctul corespunzător lui α). Fie variabilele grad, i şi r de tip int iar alfa şi beta de tip double. Corpul funcţiei de subdivizare poate fi scris astfel: { /* subpoligonul stang */ } beta = alfa; for(i = 0; i <= grad; i + +) pstg[i] = b[i]; for (r = ; r <= grad; r + +) for (i = 0; i <= grad r; i + +) pstg[i] = beta pstg[i] + alfa pstg[i+]; /* subpoligonul drept */ alfa = alfa; beta = beta; for (i = 0; i <= grad; i + +) pdr[grad i] = b[i]; for (r = ; r <= grad; r + +) for (i = 0; i <= grad r; i + +) pdr[i] = beta pdr[i] + alfa pdr[i+]; Vom observa şi în figura următoare că procesul de subdivizare este controlat de schema de Casteljau şi valoarea lui α. 4.. Mărirea gradului parametrizării unei cubei ézier. Să considerăm curba ézier definită de poligonul de control (b 0,..., b n ). Se pune problema dacă această curbă poate fi generată de n + 2 puncte de control, adică dacă se poate reparametriza curba printr-un polinom de grad mai mare ca n. Propoziţie. Curba ézier definită de poligonul de control (b 0,..., b n ) şi curba ézier asociată poligonului (c 0,..., c n, c n+ ), unde c 0 = b 0, c n+ = b n c i = coincid. i n+ b i + ( i n+ ) b i, i =, n Creşterea gradului parametrizării unei curbe ézier este utilă de exemplu în generarea suprafeţelor (toate curbele care intervin trebuie să aibă acelaşi grad). 5. Racordul de clasă C şi C 2 a două arce ézier Curbele ézier deşi utile în desenul liber prezintă câteva dezavantaje şi anume, dacă curba ce trebuie modelată are formă complexă, atunci reprezentarea ei ézier necesită multe puncte

9 CURE ÉZIER 9 b2 b b3 b0 b50 b5 b4 Figure 4. Subdivizarea unei curbe ézier de grad 5 în punctul corespunzător parametrului α = 2 3 de control şi deci va avea grad mai mare. Cu cât gradul creşte, sunt implicate mai multe operaţii în evaluarea parametrizării şi deci din rotunjiri succesive se amplifică erorile. Pentru a evita lucrul cu parametrizări de grad mare (> 0) se fac modelări folosind curbe ézier compozite. O curbă ézier compozită este o curbă Γ obţinută prin racordarea mai multor arce ézier de acelaşi grad. Mai precis să presupunem că avem L arce ézier de grad n, definite respectiv de poligoanele de control (b in, b in+,..., b in+n ), i = 0,,..., L. Ultimul punct de control al fiecărui poligon coincide cu primul punct de control al poligonului următor. Cum o curbă ézier interpolează extremităţile poligonului de control, rezultă că reuniunea celor L arce defineşte o curbă continuă. Pe fiecare arc avem parametrizarea ernstein r i+ : [0, ] R 2, r i+ (t) = (problema se pune şi are soluţie şi în R 3 ). n b in+j j n (t), i = 0,,..., L j=0 Căutăm o parametrizare globală a curbei Γ.

10 0 CURE ÉZIER Fie [u 0, u L ] un interval arbritar. Considerăm divizarea u 0 < u <... < u L şi schimbările afine de parametru φ i : [u i, u i ] [0, ], φ i (u) = u u i. u i u i Astfel, putem defini o parametrizare globală a funcţiei ézier compozite: r : [u 0, u L ] R 3, r(u) = (r i φ i )(u), u [u i, u i ], i =,..., L. Evident r este continuă şi r(u i ) = b ni, i = 0,..., L. Şirul punctelor de diviziune ale intervalului [u 0, u L ] se numeşte şir de noduri, punctele r(u i ) se numesc puncte de joncţiune sau de racord. Notăm i = u i+ u i, i = 0,..., L. Parametrul u este parametrul global al curbei compozite iar t = local pentru parametrizarea ernstein a arcului r([u i, u i+ ]). u u i u i+ u i este parametrul În continuare vom deduce relaţiile între punctele de control a două arce adiacente pentru ca Γ să fie de clasă C în fiecare nod u i =, 2,..., L. Ne restrângem la cazul a două arce ézier şi considerăm r : [u 0, u 2 ] R 2 curba ézier compozită. Avem u 0 < u < u 2 iar poligoanele de control pe cele două porţiuni sunt (b 0, b,..., b n ), respectiv (b n, b n+,..., b 2n ). Atunci Γ este de clasă C în u dacă şi numai dacă punctele b n, b n, b n+ sunt coliniare şi b n = 0 b n + b n Să arătăm acest { lucru: r (ϕ Avem r(u) = (u)) pentru u [u 0, u ] r 2 (ϕ 2 (u)) pentru u [u, u 2 ]. Atunci r este de clasă C în u dacă şi numai dacă vectorii tangenţi la arcele r([u 0, u ]), r([u, u 2 ]) în punctul r(u ) coincid. Astfel, Dar ϕ (u) = u u 0 u u 0, ϕ 2 (u) = u u u 2 u d dt r (ϕ (u )) ϕ (u ) = d dt r 2(ϕ 2 (u )) ϕ 2(u ). d dt r () şi prin urmare condiţia este echivalentă cu u u 0 = d dt r 2(0) u 2 u. Pe de altă parte, r (t) = n b j j n(t) şi r 2(t) = n b n+j j n(t). j=0 Ştim că j n(t) = Cj nt j ( t) n j şi dorim să calculăm j n (0), respectiv j n (). Avem: { 0 n(t) = C0 n( t) n 0 n (t) = n ( n t)n 0 (0) = n 0 n () = 0 n(t) = C nt( t) n n (t) = C n[( t) n (n )t( t) n 2 ] { n (0) = n n() = 0 pentru j 2 şi j < n : j n(t) = Cj nt j ( t) n j j n (t) = [ Cj n j t j ( t) n j (n j)t j ( t) n j ] j=0

11 { n n j (0) = 0 j () = 0 n n (t) = Cn n t n ( t) { n n n (0) = 0 n n () = n CURE ÉZIER n n n(t) = C n nt n n n (t) = nt n Rezultă astfel că: d dt r () = n(b n b n ), (t) = Cn n [(n )t n 2 ( t) t n ] { n n (0) = 0 n n () = n. d dt r 2(0) = n(b n+ b n ). Prin urmare avem: n(b n b n ) = n(b n+ b n ) b n b n = 0 b n+ 0 b n 0 ( 0 + b n ) = 0 b n+ + b n+ b n = b n b n Să deducem acum condiţia de clasă C 2. Calculăm limitele laterale ale derivatei de ordinul al doilea: Derivata la stânga = d2 r dt 2 2 (ϕ (u )) (ϕ (u )) 2 + d dt (r )(ϕ (u )) ϕ (u ) }{{} =0 (ϕ fiind de grad ) = d2 r () dt 2 (u u 0. ) 2 Analog, derivata la dreapta = d2 r 2 dt 2 (0) (u 2 u ) 2. Avem următoarele expresii pentru derivatele de ordinul al doilea ale polinoamelor ernstein: [ 0 n (t) = n(n )( n t)n 2 0 (0) = n(n ) 0 n [ () = 0 2(n )( t) n 2 + (n )(n 2)t( t) n 3] n (t) = C n [ n (0) = 2n(n ) n () = 0 2 n (t) = C2 n[2( t) n 2 2(n 2)t( t) n 3 [ + 2(n 2)t( t) n 3 + +(n 2)(n 3)t 2 ( t) n 4 n ] 2 (0) = n(n ) 2 n [ () = 0 n pentru j > 2 şi j < n 2 2 (0) = 0 2 n () = 0 Mai avem de asemenea: [ n n 2 (0) = 0 () = n (n ) n n 2 [ n n (0) = 0 () = 2n (n ) n n

12 2 CURE ÉZIER [ n n (0) = 0 n n () = n (n ). Aşadar, condiţia ca r să fie de clasă C 2 în u se rescrie în forma: 2 (b n 2 2b n + b n ) = 0 2 (b n 2b n+ + b n+2 ). Întrucât r este de clasă C în u avem condiţia: Înlocuind, avem: 2 0 b n = 0 + b n b n+ (b n 2 2b n + αb n + ( α)b n+ ) = = 2 (αb n + ( α)b n+ 2b n+ + b n 2 ) α. Avem succesiv: ] (α 2) α b 2 n = [ ] b n+2 + (α+) + α b 2 2 n+ 2 0 ) ) α b n = b n+2 + ( α + (α )α2 b ( α) 2 n+ ) 2 bn 2 + α2 2α +2α α 2 αb ( α 2 ) n = b n+2 + α2 +α 2 : α α b n+ (α ) unde α = 0 +. Astfel 0 = α [ b 2 n = 2 ( 2 ( α α) bn 2 + (α 2) α 2 ( α) 2 ( α α α α b n 2 + α b n = α α b n+2 + α b n+. Am obţinut combinaţii afine de b n, b n 2 respectiv b n+, b n+2. Notăm d punctul de intersecţie a dreptelor b n b n 2 cu b n+ b n+2. Avem α α b n 2 + α b n = d b n = α b n 2 + ( α) d ( ) α α b n+2 + α b n+ = d b n+ = α d + ( α) b n+2. Concluzionăm că: r este de clasă C 2 în nodul de joncţiune u dacă şi numai dacă există un punct d astfel încât punctele din tripletele (b n 2, b n, d) şi (d, b n+, b n+2 ) să fie coliniare şi, în plus, să avem relaţia ( ). Punctul d asociat racordului de clasă C 2 a două arce ézier se numeşte punct de oor.

Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de

Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),

Mai mult

Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac

Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire

Mai mult

PROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL

PROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.

Mai mult

Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont

Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi

Mai mult

Microsoft Word - cap1p4.doc

Microsoft Word - cap1p4.doc Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu

Mai mult

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim

Mai mult

Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL

Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.

Mai mult

Spatii vectoriale

Spatii vectoriale Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale

Mai mult

Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u

Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,

Mai mult

Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-

Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII- Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale

Mai mult

Laborator 4 Modele sistemice liniare. Reprezentare numerică. Conversii. Conexiuni 4.1 Tema Formarea deprinderilor de utilizare a convenţiilor MATLAB d

Laborator 4 Modele sistemice liniare. Reprezentare numerică. Conversii. Conexiuni 4.1 Tema Formarea deprinderilor de utilizare a convenţiilor MATLAB d Laborator 4 Modele sistemice liniare Reprezentare numerică Conversii Conexiuni 41 Tema Formarea deprinderilor de utilizare a convenţiilor MATLAB de reprezentare numerică a modelelor sitemice de stare şi

Mai mult

Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29

Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale

Mai mult

G.I.S. Curs 3

G.I.S. Curs 3 G.I.S. Curs 3 Geogafia Mediului 1.04.2014 Dr. Constantin Nistor Formatul de date vectorial Datele vectoriale descriu lumea sub forma unui spaţiu populat de linii în variate aspecte şi feluri: puncte, linii,

Mai mult

I

I METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei

Mai mult

Calcul Numeric

Calcul Numeric Calcul Numeric Cursul 4 2019 Anca Ignat Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Fie matricea nesingulară A nn şi b n. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare Ax=b se poate face folosind regula

Mai mult

Aero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D

Aero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge

Mai mult

Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,

Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea

Mai mult

Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),

Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC), Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + +

Mai mult

Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru,

Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru, Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru, adică f (t, 0) = 0, t t 0. In acest paragraf, funcţia

Mai mult

ETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți

ETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți Seminar Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferențiale Folosind transformata Laplace, putem reolva ecuații și sisteme diferențiale. Cu ajutorul proprietăților transformatei

Mai mult

Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi

Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen

Mai mult

MD.09. Teoria stabilităţii 1

MD.09. Teoria stabilităţii 1 MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,

Mai mult

Algebra si Geometri pentru Computer Science

Algebra si Geometri pentru Computer Science Natura este scrisă în limbaj matematic. Galileo Galilei 5 Aplicatii liniare Grafica vectoriala In grafica pe calculator, grafica vectoriala este un procedeu prin care imaginile sunt construite cu ajutorul

Mai mult

OPERATII DE PRELUCRAREA IMAGINILOR 1

OPERATII DE PRELUCRAREA IMAGINILOR 1 OPERATII DE PRELUCRAREA IMAGINILOR Prelucrarea imaginilor 2 Tipuri de operatii de prelucrare Clasificare dupa numarul de pixeli din imaginea initiala folositi pentru calculul valorii unui pixel din imaginea

Mai mult

Cursul 10 Fractali de tip Newton Vom prezenta în continuare o nouă modalitate de generare a fractalilor, modalitate care îşi are originea într-o probl

Cursul 10 Fractali de tip Newton Vom prezenta în continuare o nouă modalitate de generare a fractalilor, modalitate care îşi are originea într-o probl Cursul 10 Fractali de tip Newton Vom prezenta în continuare o nouă modalitate de generare a fractalilor, modalitate care îşi are originea într-o problemă formulată în anul 1879 de Arthur Cayley (1821 1895)

Mai mult

Laborator 1-Teoria probabilitatilor si statistica matematica Sef lucrari dr.mat. Daniel N.Pop Departamentul de calculatoare si inginerie electrica 1 P

Laborator 1-Teoria probabilitatilor si statistica matematica Sef lucrari dr.mat. Daniel N.Pop Departamentul de calculatoare si inginerie electrica 1 P Laborator 1-Teoria probabilitatilor si statistica matematica Sef lucrari dr.mat. Daniel N.Pop Departamentul de calculatoare si inginerie electrica 1 Prezentare generală Matlab 1.1 Help on-line 1. Limbajul

Mai mult

Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci

Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor

Mai mult

Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA

Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea

Mai mult

Noțiuni matematice de bază

Noțiuni matematice de bază Sistem cartezian definitie. Coordonate carteziene Sistem cartezian definiţie Un sistem cartezian de coordonate (coordonatele carteziene) reprezintă un sistem de coordonate plane ce permit determinarea

Mai mult

Geometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla

Geometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea   cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 12 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 3 Apendix 2

Mai mult

Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n

Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului

Mai mult

Subiectul 1

Subiectul 1 Subiectul 1 În fişierul Numere.txt pe prima linie este memorat un număr natural n (n

Mai mult

Slide 1

Slide 1 ELECTROTEHNCĂ ET An - SA CRS 8 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCRAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro . ntroducere în teoria circuitelor electrice. Puteri în regim armonic 3. Caracterizarea în complex a

Mai mult

Analiză de flux de date 29 octombrie 2012

Analiză de flux de date 29 octombrie 2012 Analiză de flux de date 29 octombrie 2012 Analiză statică: definiţie O analiză a codului sursă (fără a executa programul), cu scopul de a determina proprietăţi ale programului sursă. (in principal corectitudinea,

Mai mult

Microsoft Word - probleme_analiza_numerica_ses_ian09.rtf

Microsoft Word - probleme_analiza_numerica_ses_ian09.rtf Universitatea Spiru Haret Facultatea de Matematica-Informatica Disciplina obligatorie; Anul 3, Sem. 1,Matematica si Informatica CONTINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI Metode numerice de rezolvare a sistemelor

Mai mult

Microsoft Word - TIC5

Microsoft Word - TIC5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE CAPITOLUL 5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE În Capitolul 3, am văzut că putem utiliza codarea sursă pentru a reduce redundanţa inerentă a unei surse de informaţie

Mai mult

Lucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009

Lucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009 Lucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009 CUPRINS Pg. INTRODUCERE. Noţiuni preliminare (L. Turdeanu, G. Pop)... 6 Probleme... 11 1. GEOMETRIA

Mai mult

METODE NUMERICE ÎN INGINERIE

METODE NUMERICE ÎN INGINERIE METODE NUMERICE ÎN INGINERIE REZOLVAREA NUMERICĂ A SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE Aspecte generale (1) (2) (3) (4) (5) Unicitatea soluţiei Un sistem de ecuaţii liniare are o soluţie unică numai dacă matricea

Mai mult

C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi

C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi urs 4 Integrale curbilinii 4.1 Drumuri şi curbe Definiţie 4.1. O funcţie continuă γ : [a,b] R m se numeşte drum plan dacă m = 2 sau drum în spaţiu dacă m = 3. Punctul γ(a) se numeşte originea drumului,

Mai mult

Analiză statică Analiza fluxului de date 23 octombrie 2014

Analiză statică Analiza fluxului de date 23 octombrie 2014 Analiză statică Analiza fluxului de date 23 octombrie 2014 Analiză statică: definiție O analiză a codului sursă (fără a executa programul), cu scopul de a determina proprietăți ale programului sursă. (in

Mai mult

Calcul Numeric

Calcul Numeric Calcul Numeric Cursul 6 2019 Anca Ignat Algoritmul lui Givens Fie A o matrice reală pătratică de dimensiune n. Pp. că avem: A QR unde Q este o matrice ortogonală iar R este o matrice superior triunghiulară.

Mai mult

Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014

Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea   marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014 Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014 Relații în lumea reală și informatică Noțiunea matematică de

Mai mult

Microsoft Word - 2 Filtre neliniare.doc

Microsoft Word - 2 Filtre neliniare.doc 20 Capitolul 2 - Filtre neliniare 21 CAPITOLUL 2 FILTRE NELINIARE 2-1. PRELIMINARII Răspunsul la impuls determină capacitatea filtrului de a elimina zgomotul de impulsuri. Un filtru cu răspunsul la impuls

Mai mult

PAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi C

PAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi C PAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi Calculatoare Universitatea Politehnica Bucureşti PAS

Mai mult

Retele Petri si Aplicatii

Retele Petri si Aplicatii Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 3 RPA (2019) Curs 3 1 / 48 Conţinutul cursului 1 Arbori de acoperire 2 Probleme de decizie în reţele Petri 3 Invarianţi tranziţie RPA (2019) Curs 3 2 / 48 Arbori de acoperire

Mai mult

DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT

DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ

Mai mult

Microsoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc

Microsoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru

Mai mult

gaussx.dvi

gaussx.dvi Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care

Mai mult

Logică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014

Logică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea   marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014 Logică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014 Un exemplu: automatul de cafea acțiuni (utilizator): introdu

Mai mult

LUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL Aspecte generale Programarea neliniară are o foart

LUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL Aspecte generale Programarea neliniară are o foart LUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL 0 8.. Aspecte generale Programarea neliniară are o foarte mare importanţă în rezolvarea problemelor de optimizări,

Mai mult

Curs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi

Curs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a

Mai mult

Cursul 14 Mulţimea lui Mandelbrot Mulţimile şi funcţiile cu caracter excepţional (mulţimea lui Cantor, insula lui Koch, funcţiile lui Weierstrass şi T

Cursul 14 Mulţimea lui Mandelbrot Mulţimile şi funcţiile cu caracter excepţional (mulţimea lui Cantor, insula lui Koch, funcţiile lui Weierstrass şi T Cursul 14 Mulţimea lui Mandelbrot Mulţimile şi funcţiile cu caracter excepţional (mulţimea lui Cantor, insula lui Koch, funcţiile lui Weierstrass şi Takagi, curbele lui Peano, mulţimile Julia, ş.a.) au

Mai mult

1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x.

1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x. 1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x. Date de intrare: arr [] = {10, 2, 14, 4, 7, 6}, x =

Mai mult

Geometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial Vari

Geometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea   cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial Vari Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial 1 11 Varietăţi liniare 1 12 Spaţiul director şi dimensiunea unei varietăţi

Mai mult

Microsoft Word - a5+s1-5.doc

Microsoft Word - a5+s1-5.doc Unitatea şcolară: Şcoala cu cls. I-VIII Sf. Vineri Profesor: Gh. CRACIUN Disciplina: Matematică Clasa a V-a / 4 ore pe săpt./ Anul şcolar 007-008 PROIECTAREA DIDACTICĂ ANUALĂ Număr săptămâni: 35 Număr

Mai mult

1

1 4.3. Amplificatoare de semnal mic Amplificatoarele de semnal mic (ASM) au semnalul amplificat mic în raport cu tensiunile de c.c. de polarizare a tranzistoarelor. Tranzistoarele funcţionează într-o zonă

Mai mult

Microsoft Word - Curs_09.doc

Microsoft Word - Curs_09.doc Capitolul 7. Proiectarea conceptuală Scop: reprezentarea cerinţelor informale ale aplicaţiei în termenii descrierii complete şi formale dar independent de criteriul folosit pentru reprezentare în sistemul

Mai mult

Microsoft Word - Curs_10.doc

Microsoft Word - Curs_10.doc Capitolul 8. Proiectarea logică Scop - construirea unei scheme logice ce reprezintă corect şi eficient toate informaţiile descrise într-o schemă entitate-relaţie Etape: Restructurarea schemei E-R fază

Mai mult

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7

Mai mult

Microsoft PowerPoint - Curs_SDA_9_RO_2019_v2.pptx

Microsoft PowerPoint - Curs_SDA_9_RO_2019_v2.pptx SDA (PC2) Curs 9 Liste / Grafuri / Arbori Iulian Năstac Lista dublu înlănțuită Recapitulare Într-o astfel de listă fiecare nod conţine doi pointeri: unul spre nodul următor şi unul spre nodul precedent.

Mai mult

Slide 1

Slide 1 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice PROIECTAREA OPTIMALĂ A DISPOZITIVELOR ELECTROMAGNETICE PODE CURS 2 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@et.utcluj.ro 2/46 Proiectarea

Mai mult

Teoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.

Teoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP. Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului

Mai mult

Microsoft Word - FiltrareaNyquist-rezumat.doc

Microsoft Word - FiltrareaNyquist-rezumat.doc Filtrarea semnalelor de date Necesitate - unul din efectele limitării benzii unui impuls rectangular de perioadă T s, datorită filtrării, este extinderea sa în timp, care conduce la apariţia interferenţei

Mai mult

Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor

Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)

Mai mult

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac

Mai mult

Cuantizare Vectoriala.doc

Cuantizare Vectoriala.doc 4. Metoda de quadro în compresie fractala optimizata rata-distorsiune În cele ce urmeaza descriem o metoda de quadro bazata pe optimizarea criteriului ratadistorsiune în compresia fractala a imaginilor.

Mai mult

Microsoft Word - Programa_Evaluare_Nationala_2011_Matematica.doc

Microsoft Word - Programa_Evaluare_Nationala_2011_Matematica.doc C E N T R U L NAłIONAL DE EVALUARE ŞI E X A M I N A R E PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ EVALUAREA NAłIONALĂ PENTRU ELEVII CLASEI A VIII A Pagina 1 din 5 PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ I. STATUTUL

Mai mult

Curs 3 Permutari cu repetitie. Combinari. Algoritmi de ordonare si generare

Curs 3  Permutari cu repetitie. Combinari.  Algoritmi de ordonare si generare Curs 3 Permutări cu repetiţie. Combinări. Algoritmi de ordonare şi generare Octombrie 2015 Cuprins Algoritmi de ordonare şi generare pentru permutări cu repetiţie Reprezentarea binară a submulţimilor Algoritmi

Mai mult

{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud

{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud { 3 + 3, < Eemple. ) Fie f : R R, f() + 4,. Funcţia f este derivabilă pe R\{} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să studiem derivabilitatea în a. Atunci f s() 3+3 6,< 3, f d f() f() (),> funcţia

Mai mult

Lucrarea 7 Filtrarea imaginilor BREVIAR TEORETIC Filtrarea imaginilor se înscrie în clasa operaţiilor de îmbunătăţire, principalul scop al acesteia fi

Lucrarea 7 Filtrarea imaginilor BREVIAR TEORETIC Filtrarea imaginilor se înscrie în clasa operaţiilor de îmbunătăţire, principalul scop al acesteia fi Lucrarea 7 Filtrarea imaginilor BREVIAR TEORETIC Filtrarea imaginilor se înscrie în clasa operaţiilor de îmbunătăţire, principalul scop al acesteia fiind eliminarea zgomotului suprapus unei imagini. Filtrarea

Mai mult

Elemente de aritmetica

Elemente de aritmetica Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al

Mai mult

Aproximarea functiilor prin metoda celor mai mici patrate

Aproximarea functiilor prin metoda celor mai mici patrate Aproximarea funcţiilor prin metoda celor mai mici pătrate Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 2017-2018

Mai mult

Microsoft Word - Tsakiris Cristian - MECANICA FLUIDELOR

Microsoft Word - Tsakiris Cristian - MECANICA FLUIDELOR Cuvânt înainte Acest curs este destinat studenţilor care se specializează în profilul de Inginerie economică industrială al Facultăţii de Inginerie Managerială și a Mediului, care funcţionează în cadrul

Mai mult

Autoevaluare curs MN.doc

Autoevaluare curs MN.doc Anul II, IEI IFR Semestrul I Metode numerice Chestionar de autoevaluare C1 1 Să se scrie o procedură care să calculeze produsul scalar a doi vectori 2 Să se scrie o procedură de înmulţire a matricelor

Mai mult

Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l

Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative la R n, în principal), sunt prezentate aici elemente

Mai mult

Curs 8: Tehnica divizării (I) Algoritmi si structuri de date - Curs 8 1

Curs 8: Tehnica divizării (I) Algoritmi si structuri de date - Curs 8 1 Curs : Tehnica divizării (I) 1 In cursul anterior am văzut cum se analizează eficiența algoritmilor recursivi Se scrie relația de recurență corespunzătoare timpului de execuție Se rezolvă relația de recurență

Mai mult

Şcoala ………

Şcoala ……… Şcoala... Clasa a X-a Disciplina: Matematică TC + CD Anul şcolar: 07-08 TC = trunchi comun 35 săptămâni: 8 săptămâni semestrul I CD = curriculum diferenţiat Nr. ore: 3 ore / săptămână 7 săptămâni semestrul

Mai mult

Microsoft Word - Curs_08.doc

Microsoft Word - Curs_08.doc Partea a II-a. Proiectarea bazelor de date Capitolul 6. Tehnici de proiectare şi modele În capitolele precedente s-au analizat modele de baze de date şi limbaje, presupunând în cele mai multe cazuri că

Mai mult

E_d_Informatica_sp_MI_2015_bar_02_LRO

E_d_Informatica_sp_MI_2015_bar_02_LRO Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. d) Informatică Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializările: matematică-informatică matematică-informatică intensiv informatică Toate subiectele

Mai mult

INDICATORI AI REPARTIŢIEI DE FRECVENŢĂ

INDICATORI AI REPARTIŢIEI DE FRECVENŢĂ STATISTICA DESCRIPTIVĂ observarea Obiective: organizarea sintetizarea descrierea datelor Analiza descriptivă a datelor Analiza statistică descriptivă reperezintă un tip de analiză ce servește la descrierea,

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 2 MONITORUL OFICIAL AL ROMÂNIEI, PARTEA I, Nr. 696/7.IX.2016 ACTE ALE ORGANELOR DE SPECIALITATE ALE ADMINISTRAȚIEI PUBLICE CENTRALE MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE ȘI CERCETĂRII ȘTIINȚIFICE ORDIN privind

Mai mult

TEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:

TEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail: TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins

Mai mult

8

8 9.5 Fluxul unui vector printr-o suprafaţă deschisă-continuare Observaţie: Dacă vrem să calculăm fluxul vectorului a = P x y z i + Q x y z j + R x y z k (,, ) (,, ) (,, ) prin suprafaţa definită de ecuaţia

Mai mult

Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; pa

Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; pa Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; paranteze: (, ); simbolul de egalitate =; cuantificatorul

Mai mult

MECANICA FLUIDELOR

MECANICA FLUIDELOR MECANICA FLUIDELOR Generalităţi Orice substanţă care curge se numeşte fluid. În această categorie se încadrează atât lichidele cât şi gazele. Deoarece cu gazele se produc de obicei transformări termice,

Mai mult

E_d_Informatica_sp_SN_2014_bar_10_LRO

E_d_Informatica_sp_SN_2014_bar_10_LRO Examenul de bacalaureat naţional 2014 Proba E. d) Informatică Varianta 10 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. În rezolvările cerute,

Mai mult

2

2 C5: Metoda matricilor de transfer BIBLIOGRAFIE E. Tulcan Paulescu, M. Paulescu Algorithms for electronic states in artificial semiconductors of use in intermediate band solar cells engineering. In Physics

Mai mult

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să

Mai mult

Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc

Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc ,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel

Mai mult

Probleme rezolvate informatica: Probleme rezolvate grafuri si a

Probleme rezolvate informatica: Probleme rezolvate grafuri si a Mai multe Creați blog Autentificare LUNI, 11 MARTIE 2013 Probleme rezolvate grafuri si arbori Probleme rezolvate de catre : Ginghina Cristian Onica Viorel Neculai Alexandru Anton Cosmin INFORMATICA Teorie

Mai mult

Matematica VI

Matematica VI There are no translations available. Datorita unor probleme tehnice, site-ul nu poate fi vizionat cu Internet Explorer 8, partea de teste (apare pagina alba). Pentru navigare, va recomandam Chrome, Mozilla,

Mai mult

C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi

C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector

Mai mult

Electricitate II

Electricitate II Electricitate II Circuitul electric. Legile circuitului electric. Sumar Circuitul electric simplu Legile lui Ohm Legile lui Kirchhoff Gruparea rezistorilor Transformarea stea-triunghi Gruparea generatoarelor

Mai mult

SUBPROGRAME

SUBPROGRAME SUBPROGRAME Un subprogram este un ansamblu ce poate conţine tipuri de date, variabile şi instrucţiuni destinate unei anumite prelucrări (calcule, citiri, scrieri). Subprogramul poate fi executat doar dacă

Mai mult

Slide 1

Slide 1 SCTR -SZOKE ENIKO - Curs 4 continuare curs 3 3. Componentele hard ale unui sistem de calcul in timp real 3.1 Unitatea centrala de calcul 3.1.1 Moduri de adresare 3.1.2 Clase de arhitecturi ale unitatii

Mai mult