PowerPoint-Präsentation

Transcriere

1 Univrsitt Trnsilvni in Brşov Lbortorul Vr Artificilă Robustă şi Control Mto Numric Curs 0 Clcul mtricil și rori clcul numric Gigl Măcșnu

2 Cuprins Clcul mtricl Surs rori Eror bsolută și ror rltivă Propgr rorilor

3 Clcul mtricil Prin mtric s înțlg un tblou cu n linii și m colon Elmntl uni mtrici i,j pot fi numr rl su compl. Notți mtric: A n m =,,m n, n,m Czuri prticulr: n = m mtric pătrtă n = mtric lini (vctor lini) m = mtric colonă (vctor colonă) i,j = 0, i > j mtric triunghiulră infrior i,j = 0, i < j mtric triunghiulră suprior i,j = 0, i j și i,j 0, i = j mtric igonlă i,j = 0, i j și i,j, i = j mtric unitt i,j = j,i mtric simtrică 3

4 Clcul mtricil Oprții lmntr cu mtrici Trnspunr: Constă în schimbr liniilor în colon A t trnspus mtrici A Aunr: S pot un numi mtrici vân clşi imnsiuni A n m + B n m = C n m ; c i,j = i,j + b i,j un i =, n și j =, m Proprități: comuttivă, socitivă, istributivă Scăr: S pot scă numi mtrici vân clși imnsiuni A n m B n m = C n m ; c i,j = i,j b i,j un i =, n și j =, m Proprități: socitivă, istributivă 4

5 Clcul mtricil Oprții lmntr cu mtrici Înmulțir: S pot înmulți numi mtrici cr înplinsc următor coniți: numărul colon mtricii înmulțit st gl cu numărul linii mtricii înmulțitor: l A n l B l m = C n m ; c i,j = k= i,k b k,j ; un i =, n și j =, m Proprități: socitivă, istributivă Riicr l putr: S pot riic l o putr întrgă numi mtrici pătrt. Oprţi rprzintă o înmulţir rpttă. A n = A A A, n ori Proprități: socitivă, istributivă 5

6 Dtrminntul uni mtrici Ficări mtrici pătrt A i s pot soci o cntitt sclră (un număr rl), nott: numit trmint. A =,,m n, n,m Pntru finir trmintului s utilizză noțiunil : Minor: Un minor orin n- st un trminnt obținut prin liminr uni linii și uni colon in trminntul t. Minorul corspunzător trmnului i,j s obțin liminân lini i și colon j. Coftor: Ficărui lmnt i,j i s sociză un cofctor, A i,j, gl cu prousul intr ( ) i+j lmntului i,j. şi trminntul minorului corspunzător Vlor trmintului uni mtrici pătrt st glă cu: A = n j= i,j A i,j, cu i =, n A = n i= i,j A i,j, cu j =, n 6

7 Dtrminntul uni mtrici Clculul trminnților orinul : A =, A = Clculul trminnților orinul 3 (Rgul lui Srrus): A = , 33 A = Clculul t. orinul 4: A = , A = ( ) = = = 7

8 Invrs uni mtrici Pntru ficr mtric pătrtă nsingulră (vân trminntul nnul) istă o mtric invrsă, nottă A cr stisfc rlți: A A = A A = U un U st mtric unitt Mtric invrsă s trmină cu următor rlți: A = A Aj A un, Aj A st mtric junctă mtricii A Mtric junctă uni mtrici s finșt c fiin trnspus mtricii cofctorilor mtricii t, ică: Aj A = n n nn, un ij = ( ) i+j A ij, i, j =, n, A ij st minorul lmntului ij in mtric trnspusă 8

9 Clculul mtrici invrs Mto Guss - Jorn. S construișt un tbl cr conțin mtric c trbui rzolvtă (A) și mtric unitt (I). Algr unui lmnt nnul ( ij ), numit pivot; 3. S moifică lmntl in tbl stfl: Elmntl p lini pivotului s împrt l pivot, ir pivotul vin ; Colon pivotului s compltză cu zro Rstul lmntlor s trmină upă rgul rptunghiului:.. b.. c = b c b un, b st pivotul, st lmntul c trbui înlocuit, st nou vlor lmntului Dcă p lini pivotului istă un lmnt gl cu zro, tunci colon cstui lmnt s copiză. Anlog și pntru colonă. S riu pșii și 3 până cân p ficr lini s- ls cât un pivot După fctur tuturor pșilor, mtric A vin I, ir I vin A 9

10 Clculul mtrici invrs Mto Guss Jorn mplu S consiră mtric A și s orșt obținr mtrici invrs A A = I II III A I / I 3 A - = = ; = 3 = ; 3 0 = 0 = ; 0 = 3 = ; 0 = 0 = ; = 8 6 = ; 3 8 = = ; 0 3 = ; S pot vrific fptul că A A = I 3 ică, vm un clcul corct 0

11 Clculul mtrici invrs Algoritmul lui Hottling pntru clculr invrsi uni mtrici Algoritmul st mplifict consirânu-s mi întâi czul unui număr rl, poi s plic p mtrici Prsupunm că s cunoşt o primă proimr (/) invrsului numărului rl p cr o notăm. Coniţi convrgnţ lgoritmului st c: Algoritmul constă în trminr unui șir proimări, 3, 4,. invrsului numărului stfl încât roril să tină spr zro Pntru rliz coniți crută st ncsr să s trmin o rlți rcurnță stfl încât ror l un momnt t să potă fi primtă sub form uni putri lui. Acst orc: lim 0 k k

12 Clculul mtrici invrs S pun coniți: Și o s rzult succsiv: După oronr trmnilor vm: și Etpl ncsr obținrii invrsului numărului sunt următorl: Algoritmul continuă până cân k vin mi mic cât o vlor impusă k k k k k

13 Clculul mtrici invrs Algoritmul lui Hottling pntru clculr invrsi uni mtrici S introuc noțiun normă finită stfl: N n că tunci n A m i, j NA lim NA 0 n i j S finșt: A mtric pntru cr orim să clculăm invrs D prim proimr invrsi mtricii (clcultă cu lgoritmul ntrior) Eror s trmină stfl: E U A D un, U st mtric unitt 3

14 Clculul mtrici invrs Algoritmul lui Hottling pntru clculr invrsi uni mtrici Aproimăril mtrici invrs sunt obținut upă cum urmză: D D U E D E U - A D U E 3 D E3 U - A D3 D k D U E U k k k k E - A D Cân st înplinită coniți NE k procsul s oprșt ε st vlor inițilă impusă Dtrminr invrsi uni mtric s fc în ouă tp: trminr uni prim proimări invrsi prin lgoritmul invrsr przntt inițil (Guss Jorn); corctr vlorii invrsi prin prcurgr lgoritmului lui Hottling. 4

15 Surs rori Sunt finit 3 tipuri rori: Erori inrnt: Erori măsurători inițil, rori in clcul ntrior, rori cunoștr proimtivă: lgbric su trnscnnt ( π,, 3), rori convrsi (: trcr numărului zciml 0, în bz - 0, 0 = 0, 0(00) ) Erori mtoă su trunchir Sunt roril provnit in proimțiil făcut l ucr formullor clcul (. proimr sumi uni srii printr-o sum prțilă) Erori rotunjir tort rprzntării tlor și fctuării clcullor într-o ritmtică cu prcizi limittă ( mplu ritmtic virguli mobil). 5

16 Eror bsolută și ror rltivă Eror bsolută s finșt c ifrnț intr vlor ctă și c proimtivă: =, un st vlor ctă numărului ir st vlor proimtivă (clcultă) Eror rltivă ε st finită c rportul intr ror bsolută și vlor proimtivă ε = Eror rltivă s primă s în procnt: ε = 00% 6

17 Propgr rorilor S consiră ouă numr și, introus cu roril și = +, = + Propgr rorilor l unr: + = + + +, + = + Propgr rorilor l scăr: = +, = Propgr rorilor l înmulțir: = ( + ) ( + ) = S nglijză trmnul și s obțin: = + 7

18 8 Propgr rorilor Propgr rorilor l împărțir: Nglijân trmnul 0 in prsi ntrioră rzultă Nglijân trmnul s obțin prsi rori împărțir:

19 Contct: Emil: Wb: rovis.unitbv.ro 9