Curs 8 Derivabilitate şi diferenţiabilitate pentru funcţii reale 8.1 Derivata şi diferenţiala unei funcţii reale. Propriet¼aţi generale De niţia 8.1.1

Mărimea: px
Porniți afișarea la pagina:

Download "Curs 8 Derivabilitate şi diferenţiabilitate pentru funcţii reale 8.1 Derivata şi diferenţiala unei funcţii reale. Propriet¼aţi generale De niţia 8.1.1"

Transcriere

1 Curs 8 Derivbilitte şi diferenţibilitte pentru funcţii rele 8.1 Derivt şi diferenţil unei funcţii rele. Propriet¼ţi generle De niţi (i) Fie f A R! R şi 2 A 0 \ A Spunem c¼ f re derivt¼ în punctul dc¼ eist¼ în R it f() (8.1) Vom not cest¼ it¼ cu f 0 () şi o vom numi derivt funcţiei f în punctul. Dc¼ f 0 () 2 R, spunem c¼ f este derivbil¼ în punctul (ii) Spunem c¼ funcţi f A R! R este derivbil¼ pe mulţime D A; dc¼ f este derivbil¼ în ecre punct din D. Funcţi nott¼ f 0 ; f 0 D! R; cre sociz¼ ec¼rui punct 2 D derivt f 0 () se numeşte derivt funcţiei f pe mulţime D De niţi (i) Fie I R un intervl deschis şi f I! R. Spunem c¼ f este diferenţibil¼ în 2 I dc¼ eist¼ A 2 R şi I! R, cu () = () = 0; stfel încât = f() + A( ) + ()( ); (8.2) pentru orice 2 I În cest cz, plicţi linir¼ R 3h 7! A h 2 R se notez¼ cu df() şi se numeşte diferenţil funcţiei f în punctul (ii) Spunem c¼ f este diferenţibil¼ pe I dc¼ f este diferenţibil¼ în orice punct 2 I. Observţi Anlizând de niţi nterior¼, observ¼m c¼, în czul unei funcţii f diferenţibile în ; diferenţ f() este proimt¼ locl de funcţi linir¼ A( ) S¼ observ¼m cum c¼, în czul funcţiilor rele, noţiunile de derivt¼ şi de diferenţil¼ sunt echivlente. Teorem Dc¼ I R este un intervl deschis, tunci f I! R este diferenţibil¼ în 2 I dc¼ şi numi dc¼ f este derivbil¼ în. În cest cz, df()(h) = f 0 () h; 8h 2 R. (8.3) 1

2 2 CURS 8. DERIVABILITATE ŞI DIFERENŢIABILITATE PENTRU FUNCŢII REALE Demonstrţie. \ ) " Presupunem c¼ f este diferenţibil¼ în punctul 2 I Atunci eist¼ A 2 R şi I! R cu () = () = 0; stfel încât = f() + A( ) + ()( ); pentru orice 2 I Luând 2 I n fg şi împ¼rţind prin vem Obţinem eistenţ itei dic¼ f este derivbil¼ în f() = A + () f() = A 2 R; \ ( " Invers, s¼ presupunem c¼ f este derivbil¼ în ; deci eist¼ f 0 () 2 R Fie funcţi 8 < f() f () = 0 (); dc¼ 2 I n fg 0; dc¼ = Observ¼m c¼ () = () = 0 şi din de niţi lui vem pentru 2 I n fg; = f() + f 0 ()( ) + ()( ) f() = Evident, eglitte de mi sus re loc şi pentru = ; cee ce însemn¼ c¼ f este diferenţibil¼ în şi df()(h) = f 0 () h. Observţi S¼ observ¼m c¼, în czul funcţiei g R! R, g() = ; obţinem din teorem nterior¼ c¼, pentru orice 2 R, Folosind cest¼ relţie şi (8.3), vom scrie d(h) = dg()(h) = g 0 () h = h; 8h 2 R. df() = f 0 () d (8.4) c eglitte de funcţii. De semene, vând în vedere eglitte nterior¼, uneori derivt unei funcţii mi este nott¼ şi f 0 = df d (8.5) Interpretre geometric¼ derivtei şi diferenţilei Pentru o funcţie derivbil¼ într-un punct, gr cul funcţiei dmite tngent¼ în punctul (; f()); ir vlore f 0 () reprezint¼ pnt tngentei l gr cul lui f în punctul (; f()) Astfel, tngent respectiv¼ re urm¼tore ecuţie y f() = f 0 ()( ) De semene, vem c¼ df()( ) = f 0 ()( )

3 8.1. DERIVATA ŞI DIFERENŢIALA UNEI FUNCŢII REALE. PROPRIET ¼AŢI GENERALE3 Figur 8.1 Interpretre geometric¼ derivtei şi diferenţilei Cu lte cuvinte, gr cul diferenţilei df() este trnslţi tngentei l gr cul funcţiei f în origine. Desigur, pentru puncte diferite din domeniul funcţiei f în cre cest este derivbil¼, tngentele pot ve pnte diferite, şi implicit trnslţiile lor în origine. În cest fel, putem observ c¼ diferenţil unei funcţii f de neşte, pentru ecre punct în cre eist¼, câte o plicţie linir¼, l c¼rei gr c este trnslţi tngentei duse în punctul corespunz¼tor l gr cul funcţiei în origine. Urm¼tore propoziţie ne d¼ o condiţie necesr¼ pentru derivbilitte. Propoziţi Dc¼ funcţi f A R! R este derivbil¼ în punctul 2 A 0 \A; tunci f este continu¼ în Demonstrţie. Pentru 2 A; 6= re loc eglitte = f() + f() ( ) Trecând l it¼ cu! şi ţinând cont de operţiile cu ite de funcţii, obţinem eistenţ itei şi în plus Obţinem deci c¼ f este continu¼ în = f() + f 0 () 0 = f() Observţi Reciproc propoziţiei nteriore nu este dev¼rt¼. Astfel, funcţi f R! R; = jj este continu¼ în punctul = 0, dr nu este derivbil¼ în cest punct. Introducem cum conceptele de derivt¼ şi derivbilitte lterl¼. De niţi (i) Spunem c¼ funcţi f A R! R re derivt¼ l stâng în punctul 2 A 0 s \ A dc¼ eist¼ în R it < f() (8.6)

4 4 CURS 8. DERIVABILITATE ŞI DIFERENŢIABILITATE PENTRU FUNCŢII REALE Vom not cest¼ it¼ cu fs() 0 şi o vom numi derivt l stâng funcţiei f în punctul Dc¼ fs() 0 2 R, vom spune c¼ f este derivbil¼ l stâng în. (ii) Spunem c¼ funcţi f A R! R re derivt¼ l drept în punctul 2 A 0 d \A dc¼ eist¼ în R it > f() (8.7) Vom not cest¼ it¼ cu fd 0 () şi o vom numi derivt l drept funcţiei f în punctul Dc¼ fd 0 () 2 R, vom spune c¼ f este derivbil¼ l drept în. Folosind crcterizre itei prin intermediul itelor lterle, putem deduce urm¼torele. Teorem Funcţi f A R! R este derivbil¼ în punctul 2 A 0 s \ A 0 d \ A dc¼ şi numi dc¼ f este derivbil¼ l stâng şi l drept în şi fs() 0 = fd 0 () În cest cz derivtele lterle sunt egle şi cu f 0 () Formul¼m în continure rezultte referitore l operţii şi reguli de clcul cu funcţii derivbile. Propoziţi (Reguli de clcul pentru derivte) Fie f; g A R! R; 2 R şi 2 A \ A 0 Dc¼ f şi g sunt derivbile în ; tunci funcţiile f + g; f; f g sunt derivbile în şi (f + g) 0 () = f 0 () + g 0 (); (f) 0 () = f 0 (); (f g) 0 () = f 0 ()g() + f()g 0 () Dc¼, în plus, g() 6= 0; tunci funcţi f g este derivbil¼ în şi 0 f () = f 0 ()g() f()g 0 () g g 2 () Demonstrţie. Vom demonstr rmţi dor în czul rportului, celellte rezultând nlog, cu demonstrţii chir mi simple. Dc¼ g() 6= 0; ir g ind derivbil¼ este continu¼ în ; rezult¼ c¼ g() 6= 0 pentru orice dintr-o vecin¼tte U lui Atunci, pentru orice 2 (U \ A) n fg ; vom ve f () g f () g = = g() f() g() g() g() ( ) f() g() f() g() g() g() g() f() Cum = f 0 g() () 2 R; din continuitte funcţiei g; ne rezult¼ c¼ eist¼ g() = g 0 () 2 R şi g() = g() 6= 0 f () g f () g = f 0 ()g() f()g 0 () g 2 () 2 R, deci f g este derivbil¼ în şi re loc formul enunţt¼ mi sus.

5 8.1. DERIVATA ŞI DIFERENŢIALA UNEI FUNCŢII REALE. PROPRIET ¼AŢI GENERALE5 Teorem (Derivbilitte funcţiilor compuse) Fie I; J R intervle. Dc¼ funcţi f I! J; este derivbil¼ în 2 I; ir funcţi g J! R este derivbil¼ în punctul b = f() 2 J; tunci compus lor g f I! R este derivbil¼ în şi (g f) 0 () = g 0 (f()) f 0 () Demonstrţie. Fie funcţi h J! R; de nit¼ prin 8 < g(y) g(b) ; y 2 J n fbg h(y) = y b g 0 (b); dc¼ y = b Cum g este derivbil¼ în b; eist¼ y!b h(y) = g 0 (b) = h(b) Prin urmre, h este continu¼ în b Este clr c¼ pentru orice y 2 J; de unde, g(y) g(b) = h(y) (y b) g() g(f()) = h() ( f()) pentru orice 2 I Pentru 2 I n fg putem scrie g() g(f()) = h() f() Deorece compunere h f este continu¼ în (din teorem de continuitte compunerii), prin trecere l it! obţinem c¼ eist¼ (g f) 0 () = h(f())f 0 () = g 0 (f())f 0 () Teorem (Derivbilitte funcţiei inverse) Fie I; J R intervle şi funcţi f I! J; continu¼ şi bijectiv¼. Dc¼ f este derivbil¼ în 2 I şi f 0 () 6= 0; tunci funcţi invers¼ g = f 1 este derivbil¼ în b = f() 2 J şi (f 1 ) 0 (b) = 1 f 0 () Demonstrţie. Deorece f este continu¼ şi bijectiv¼ rezult¼ c¼ este strict monoton¼ ir g = f 1 este monoton¼ şi continu¼. Pentru y 2 J nfbg lu¼m 2 I nfg stfel încât = y Avem g(y) g(b) g() g(f()) = = y b f() f() = 1 f() Când y! b vem g(y)! g(b); deci! b Prin trecere l it¼ în eglitte de mi sus obţinem g 0 (b) = 1 f 0 () Desigur, în virtute Teoremei şi formulei (8.3) putem deduce reguli de clcul pentru diferenţilele funcţiilor rele. Propoziţi (Reguli de clcul pentru diferenţile) Fie I R un intervl deschis şi f; g I! R; 2 R şi 2 I Dc¼ f şi g sunt diferenţibile în ; tunci funcţiile f + g; f; f g sunt diferenţibile în şi d(f + g)() = df() + dg(); d(f)() = df(); d(f g)() = df() g() + f() dg()

6 6 CURS 8. DERIVABILITATE ŞI DIFERENŢIABILITATE PENTRU FUNCŢII REALE Dc¼, în plus, g() 6= 0; tunci funcţi f g este diferenţibil¼ în şi f d () = df()g() f()dg() g g 2 () Teorem (Diferenţil funcţiilor compuse) Fie I; J R intervle deschise. Dc¼ funcţi f I! J; este diferenţibil¼ în 2 I; ir funcţi g J! R este diferenţibil¼ în punctul b = f() 2 J; tunci compus lor g f I! R este diferenţibil¼ în şi d(g f)() = dg(f()) df() (8.8) Demonstrţie. Ştim din Teorem c¼ g f este derivbil¼, deci diferenţibil¼ în S¼ r¼t¼m (8.8). Avem, pentru orice u 2 R deci pentru orice h 2 R vom ve dg(b)(u) = g 0 (b) u; dg(f())(u) = g 0 (f()) u; [dg(f()) df()](h) = dg(f())(df()(h)) = dg(f())(f 0 () h) = g 0 (f()) f 0 () h = (g f) 0 () h = d(g f)()(h); de unde rezult¼ relţi ce trebui r¼tt¼. 8.2 Teoremele fundmentle le clculului diferenţil rel Acest¼ secţiune conţine unele propriet¼ţi importnte le funcţiilor derivbile, precum şi plicţii le cestor în studiul diverse specte legte de comportmentul cestor, cum r monotoni, proimre, punctele de etrem etc. Pentru cest, introducem mi întâi noţiune de punct de etrem. De niţi Fie f A R! R. Spunem c¼ 2 A este (i) punct de minim locl pentru f dc¼ eist¼ o vecin¼tte V punctului stfel încât f() ; pentru orice 2 A \ V ; (ii) punct de mim locl pentru f dc¼ eist¼ o vecin¼tte V punctului stfel încât f() ; pentru orice 2 A \ V ; (iii) punct de etrem locl pentru f dc¼ e punct de minim su de mim locl; (iv) punct de minim globl pentru f dc¼ f() ; pentru orice 2 A; (v) punct de mim globl pentru f dc¼ f() ; pentru orice 2 A; (vi) punct de etrem globl pentru f dc¼ e punct de minim su de mim globl. Observ¼m imedit c¼ orice punct de minim (respectiv, mim) globl este punct de minim (respectiv, mim) locl, dr reciproc nu este dev¼rt¼. Teorem (Fermt) Fie I R un intervl şi 2 I. Dc¼ f I! R este derivbil¼ în ; ir este punct de etrem locl pentru f; tunci f 0 () = 0

7 8.2. TEOREMELE FUNDAMENTALE ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL REAL 7 Demonstrţie. S¼ presupunem c¼ este punct de minim locl. Eist¼ o vecin¼tte V lui stfel încât pentru orice 2 V \ A s¼ ib¼ loc f() Cum 2 I; putem presupune c V A Deci dc¼ 2 V; < ; frcţi f() este pozitiv¼, ir dc¼ 2 V; < ; frcţi este negtiv¼. Prin trecere l it¼ în ecre cz în prte, obţinem fs() 0 0 şi fd 0 () 0 Cum f este derivbil¼ în ; cele dou¼ derivte lterle sunt egle, deci sunt egle cu 0 Observţi Reciproc teoremei lui Fermt nu este devrt¼ de eemplu derivt funcţiei f R! R; = 3 se nulez¼ în 0 f¼r¼ c cest punct s¼ e punct de etrem. 2. Condiţi c s¼ e interior intervlului I este esentil¼, dic¼ în lips cestei ipoteze concluzi nu se mi p¼strez¼ de eemplu f [0; 1]! [0; 1]; = re în = 0 un punct de minim în cre derivt nu se nulez¼. 3. Teorem lui Fermt precizez¼ condiţii necesre pentru c un punct s¼ e de etrem locl. Aş cum m v¼zut mi sus, ceste condiţii nu sunt şi su ciente. Deci, în plicţii, rezolvând ecuţi f 0 () = 0 obţinem ş-numitele puncte critice, cre sunt cndidţii pentru punctele de etrem. Pentru decide dc¼ un punct critic este şi punct de etrem trebuie studit¼ vriţi funcţiei în jurul respectivului punct ( se vede consecinţele Teoremei lui Lgrnge de mi jos). Teorem (Rolle) Fie ; b 2 R; < b şi f [; b]! R o funcţie continu¼ pe [; b]; derivbil¼ pe (; b) stfel încât f() = f(b). Atunci eist¼ c 2 (; b) stfel încât f 0 (c) = 0 Demonstrţie. Dc¼ f este constnt¼ pe [; b]; tunci f 0 (c) = 0 pentru orice c 2 (; b); deci re loc concluzi. Presupunem c¼ f nu este constnt¼. Cum f este continu¼ pe mulţime compct¼ [; b]; este m¼rginit¼ şi îşi tinge mrginile conform Teoremei lui Weierstrss. Fie ; 2 [; b] stfel încât f() = inff j 2 [; b]g şi f() = supf j 2 [; b]g Este clr c¼ f() < f() şi deci c¼ nu putem ve simultn = şi = b (prin ipotez¼, f() = f(b)). Eist¼ şdr un punct de etrem locl (chir globl) în interiorul intervlului [; b] şi f este derivbil¼ în cel punct. Utilizând Teorem lui Fermt, rezult¼ concluzi. O funcţie f [; b]! R cu propriet¼ţile c¼ este continu¼ pe [; b] şi derivbil¼ pe (; b) se mi numeşte funcţie Rolle. Trecem l un rezultt, forte importnt în specil dtorit¼ consecinţelor sle. Teorem (Lgrnge) Fie ; b 2 R; < b şi f [; b]! R o funcţie continu¼ pe [; b]; derivbil¼ pe (; b) Atunci eist¼ c 2 (; b) stfel încât f 0 (c) = f(b) f() b Demonstrţie. Consider¼m funcţi uilir¼ g [; b]! R de form g() = + f() f(b) b Funcţi g stisfce ipotezele Teoremei lui Rolle şi deci eist¼ c 2 (; b) stfel încât g 0 (c) = 0 Obţinem f 0 (c) + f() f(b) = 0; b de unde concluzi.

8 8 CURS 8. DERIVABILITATE ŞI DIFERENŢIABILITATE PENTRU FUNCŢII REALE Observţi Dc¼ d¼ug¼m condiţi f() = f(b); obţinem din Teorem lui Lgrnge concluzi Teoremei lui Rolle. Aşdr, cum demonstrţi Teoremei lui Lgrnge s- bzt pe Teorem lui Rolle, deducem c¼ ceste dou¼ rezultte sunt, de fpt, echivlente. Observţi Interprette geometric¼ Teoremei lui Lgrnge este urm¼tore dc¼ f stisfce condiţiile precizte, tunci eist¼ cel puţin un punct c interior intervlului [; b] pentru cre tngent l gr cul funcţiei în (c; f(c)) este prlel¼ (su coincide) cu drept determint¼ de punctele (; f()) şi (b; f(b)) O generlizre Teoremei lui Lgrnge este urm¼tore. Teorem (Cuchy) Fie ; b 2 R; < b şi f; g [; b]! R sunt dou¼ funcţii continue pe [; b]; derivbile pe (; b) stfel încât g 0 () 6= 0; pentru orice 2 (; b) Atunci g(b) g() 6= 0 şi eist¼ c 2 (; b) stfel încât f 0 (c) g 0 (c) = f(b) f() g(b) g() Demonstrţie. Dc¼ g(b) = g(); din Terorem lui Rolle obţinem c¼ g 0 se nulez¼ într-un punct din (; b); în contrdicţie cu ipotez. În continure proced¼m c în czul Teoremei lui Lgrnge, considerând funcţi uilir¼ h [; b]! R de form h() = + f() g(b) f(b) g() g() Funcţi h stisfce ipotezele Teoremei lui Rolle şi deci eist¼ c 2 (; b) stfel încât h 0 (c) = 0 Obţinem f 0 (c) + f() f(b) g(b) g() g0 (c) = 0; de unde concluzi. Observţi Teorem lui Lgrnge se pote obţine din Teorem lui Cuchy pentru g() =. De semene, cum demonstrţi Teoremei lui Cuchy se bzez¼ tot pe Teorem lui Rolle, deducem c¼, de fpt, tote cele trei teoreme sunt echivlente. Urm¼torele consecinţe le Teoremei lui Lgrnge sunt importnte, deschizând cle studiului monotoniei funcţiilor prin intermediul derivtelor. Propoziţi Fie I R un intervl şi f I! R; derivbil¼ pe I (i) Dc¼ f 0 () = 0 pentru orice 2 I; tunci f este constnt¼ pe I (ii) Dc¼ f 0 () > 0 pentru orice 2 I; tunci f este strict cresc¼tore pe I. (iii) Dc¼ f 0 () 0 pentru orice 2 I; tunci f este cresc¼tore pe I. (iv) Dc¼ f 0 () < 0 pentru orice 2 I; tunci f este strict descresc¼tore pe I (v) Dc¼ f 0 () < 0 pentru orice 2 I; tunci f este strict descresc¼tore. Demonstrţie. (i) Fi¼m 2 I şi lu¼m 2 I rbitrr. Aplicând Teorem lui Lgrnge pe intervlul de cpete şi deducem c¼ eist¼ c stfel încât f() = f 0 (c)( ) Cum f 0 (c) = 0; vom ve c¼ = f() şi deci f este constnt¼ pe I (ii) Fie 1 ; 2 2 I cu 1 < 2 Conform Teoremei lui Lgrnge, eist¼ c 2 ( 1 ; 2 ) stfel încât f( 2 ) f( 1 ) = f 0 (c)( 2 1 ) Cum f 0 (c) > 0 şi 2 > 1 ; deducem c¼ f( 2 ) > f( 1 ) Rezult¼ f strict cresc¼tore pe I Celellte czuri se demonstrez¼ similr.

9 8.2. TEOREMELE FUNDAMENTALE ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL REAL 9 Observţi Evident reciproc rmţiei de l (i) este devrt¼. În celellte czuri sunt dev¼rte reciprocele dor pentru monotonie nestrict¼ (şi ineglitti nestricte). Strict monotonie nu implic¼ în generl strict pozitivitte derivtei din cuz fptului c¼, prin trecere l it¼, ineglit¼ţile stricte nu se p¼strez¼ între ite. De eemplu funcţi f R! R, = 3 este strict cresc¼tore pe R, dr derivt s se nulez¼ în 0 Urm¼tore consecinţ¼ Teoremei lui Lgrnge pote util¼ uneori în studiul derivbilit¼ţii funcţiilor. Propoziţi Fie I R; un intervl, 2 I, f I! R; f continu¼. Dc¼ f este derivbil¼ pe I n fg şi eist¼ f 0 () ( nit¼ su in nit¼), tunci eist¼ derivt funcţiei f în, f 0 (); şi f 0 () = f 0 () Demonstrţie. Fie ( n ) I n fg un şir descresc¼tor cu it Aplic¼m Teorem lui Lgrnge pe intervlul [; n ] Eist¼ tunci c n 2 (; n ) stfel încât f 0 (c n ) = f( n) n f() Cum n! ; v rezult c¼ c n! Deorece eist¼ it f 0 () = ` 2 R; v rezult folosind crcterizre cu şiruri itei c¼ f 0 (c n )! ` Rezult¼, folosind crcterizre cu şiruri itei l stâng, c¼ eist¼ < f() = f 0 s() = ` Anlog se rt¼ c¼ eist¼ fd 0 () = ` Propoziţi este demonstrt¼. Eemplul S¼ plic¼m propoziţi nterior¼ l studiul derivbilit¼ţii funcţiei f R! R; = 2 ; dc¼ < 0 3 ; dc¼ 0 Observ¼m c¼ f este derivbil¼ pe R n f0g c funcţie elementr¼ şi c¼ f 0 () = De semene, eist¼ f 0 () = 0 =!0 <0!0 >0 2; dc¼ < ; dc¼ > 0 f 0 (); deci!0 f 0 () = 0 Rezult¼ conform propoziţiei precedente c¼ eist¼ f 0 (0) = 0; deci f este derivbil¼ în 0; deci pe R. Observţi Conform rezulttului precedent, dc¼ eist¼ şi este nit¼ f 0 (); tunci f este derivbil¼ în şi funcţi derivt¼ este continu¼ în Propoziţi de mi sus precizez¼ conditii su ciente, dr nu şi necesre pentru eistenţ derivtei în De eemplu, funcţi f R! R; = 2 sin 1 ; dc¼ 6= 0 0; dc¼ = 0

10 10CURS 8. DERIVABILITATE ŞI DIFERENŢIABILITATE PENTRU FUNCŢII REALE este derivbil¼ conform de nitiei în = 0 Într-dev¼r,!0 f(0) 0 =!0 2 sin 1 Clculând derivt funcţiei f pentru 6= 0; vem =!0 sin 1 = 0 f 0 () = 2 sin 1 cos 1 ; deci nu eist¼!0 f 0 () Aşdr, nu putem plic Propoziţi pentru deduce derivbilitte funcţiei f în 0 Observţi În generl, derivt unei funcţii derivbile nu este continu¼. De eemplu, m r¼tt mi sus c¼ funcţi f R! R; = 2 sin 1 ; dc¼ 6= 0 0; dc¼ = 0 este derivbil¼ pe R, dr 2 sin f 0 1 cos 1 ; 6= 0; dc¼ 6= 0 () = 0; dc¼ = 0 nu este continu¼ în 0 Teorem (Cuchy) Fie I R un intervl şi f; g I! R, 2 I, cre veri c¼ ipotezele (i) f() = g() = 0; (ii) f; g sunt derivbile în ; (iii) g 0 () 6= 0. Atunci eist¼ V 2 V() stfel încât g() 6= 0; pentru orice 2 V nfg şi g() = f 0 () g 0 () Demonstrţie. Cum g 0 () 6= 0; eist¼ o vecin¼tte V lui stfel încât, pentru orice 2 V n fg; g() g() 6= 0; de unde g() 6= g() = 0 pentru orice 2 V n fg Fie 2 V n fg. Atunci g() = f() g() g() f() = g() 1 g() În ipotezele noste deducem c eist¼ g() = f 0 () g 0 () Teorem (Regul lui L Hôpitl) Fie f; g (; b)! R; unde 1 < b 1 Dc¼ (i) f; g sunt derivbile pe (; b) cu g 0 6= 0 pe (; b); f 0 () (ii) eist¼ g 0 () = L 2 R; >

11 8.2. TEOREMELE FUNDAMENTALE ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL REAL 11 (iii) = g() = 0 su > > (iii) 0 g() = 1; > tunci eist¼ g() > = L (8.9) Demonstrţie. S¼ observ¼m c¼, pentru r¼t (8.9), este su cient s¼ demonstr¼m c¼, dc¼ 1 L < 1 şi L 1 > L; eist¼ 1 > stfel încât g() < L 1; 8 2 (; 1 ); (8.10) ir dc¼ 1 < L 1 şi L < L 2 ; c¼ eist¼ 2 > stfel încât g() > L 2; 8 2 (; 2 ) (8.11) Într-dev¼r, dc¼ L 2 R, pentru orice " > 0; vom g¼si = min f 1 ; 2 g > stfel încât, folosind cele dou¼ relţii nteriore cu L 1 = L + " şi L 2 = L ", vom ve c¼, pentru orice 2 (; ); L " < g() < L + "; deci g() = L > S¼ r¼t¼m c¼ re loc (8.10). Alegem 2 (L; L 1 ) rbitrr. Conform ipotezei (ii), g¼sim > stfel încât f 0 () g 0 () < ; 8 2 (; ) Fie cum ; y stfel încât < < y < Putem plic Teorem lui Cuchy pe intervlul [; y] (; ); şi g¼sim c 2 (; y) stfel încât f(y) g(y) g() = f 0 (c) g 0 (c) < (8.12) Dc¼ este stisf¼cut¼ ipotez (iii), ţinem y t şi fcem & în (8.12) pentru junge l < f(y) g(y) g() = f(y) g(y) < L 1; 8y 2 (; ); dic¼ (8.10) este stisf¼cut¼. S¼ presupunem cum c¼ (iii) este îndeplinit¼. Din g() = 1 ne rezult¼ eistenţ unui 1 > stfel încât, > g() > 0 şi g() > g(y); 8 2 (; 1 ); 8y > 1

12 12CURS 8. DERIVABILITATE ŞI DIFERENŢIABILITATE PENTRU FUNCŢII REALE Înmulţind (8.12) cu g() g(y) ; vom obţine, pentru orice 2 (; 1 ); y > 1 ; g() f(y) g() g(y) < ; g() g() f(y) g() g() < g(y) g() ; g() < f(y) g(y) g() f(y) g(y) Având în vedere c¼, pentru y t, vom ve c¼ g() < stfel încât f(y) g(y) g() Luând 1 = min f; 1 ; 2 g ; vom ve < L 1 ; 8 2 (; 2 ) = 0; v eist 2 > g() < L 1; 8 2 (; 1 ); (8.10) este stisf¼cut¼ şi în cest¼ situţie. Cum (8.11) se rt¼ l fel, teorem este demonstrt¼. Observţi Teorem nterior¼ se pote reformul, vând demonstrţii forte sem¼n¼tore, considerând în loc de!b ; su punând în loc de (iii) 0, un din ipotezele >b < (iii) 00 g() = 1; respectiv < (iii) 000 g() = 1!b >b Dc¼, în plus, punctul considert în Teorem lui L Hôpitl este punct de cumulre pentru domeniile funcţiilor f; g (şi nu dor punct de cumulre l drept), combinând teorem în form prezentt¼ şi observţi nterior¼ pentru, re loc Regul lui L Hôpitl pentru Eerciţiul 8.1 Clculţi it e cos 1!0 sin(sin ) > Observ¼m c¼ sunt îndeplinite condiţiile Teoremei lui L Hôpitl. Clcul¼m (e cos 1) 0!0 (sin(sin )) 0 Rezult¼ c¼ it c¼utt¼ re vlore 1 e cos e sin =!0 cos(sin ) cos = Limite fundmentle. Einre nedetermin¼rilor S¼ remrc¼m fptul c¼ Teorem lui L Hôpitl ofer¼ un instrument puternic de einre nedetermin¼rilor în czul clculului itelor de funcţii, i.e. czurilor eceptte în Teorem??. Urm¼torele ite sunt considerte fundmentle (i) = e;!1 = 1

13 8.2. TEOREMELE FUNDAMENTALE ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL REAL 13 (ii)!0 (1 + ) 1 = e; (iii)!0 ln(1 + ) (iv)!0 1 sin (v)!0 = 1; = 1; = ln ; > 0; tg (vi)!0 = 1; rcsin (vii) = 1;!0 rctg (viii) = 1;!0 ln (i)!1 = 0; () = 0; n 2 N; > 1 (i) ln = +1; ln = 1;!1!0!1 n >0 (ii) rctg =!1 2 ; rctg =! 1 2 ; (iii) tg = +1; tg = 1!=2 <=2!=2 >=2 Einre nedetermin¼rilor se fce, de obicei, stfel (i) Czurile 0 0 ; 1 se ein¼ e folosind itele fundmentle, e cu Regul lui 1 L Hôpitl. (ii) Czurile 0 1; 0 ( 1) se reduc l czurile 0 0 ; 1 1 stfel e f; g A! R; 2 A0 ; stfel încât eist¼ = 0; g() = 1( 1) şi eist¼ U 2 V() stfel încât 6= 0; g() 6= 0; 8 2 U n fg; putem scrie g() = 1 şi stfel nedeterminre dt¼ se g() reduce l o nedeterminre 0 g() su g() = 1 şi vom obtine o nedeterminre de tip (iii) Czul 1 1 se reduce, de obicei, l czul 0 1 stfel e f; g A! R; 2 A 0 ; stfel încât eist¼ = 1; g() = 1 şi eist¼ U 2 V() stfel încât 6= g() g() 0; 8 2 U n fg; putem scrie ( g()) = 1 Dc¼ = 1, tunci g() nedeterminre dt¼ se reduce l o nedeterminre 0 1; dc¼ > 1(< 1), tunci ( g()) = 1 (+1). (iv) Czurile 0 0 ; 1 0 se reduc l czul 0 1 stfel e f; g A! R; 2 A 0 ; stfel încât eist¼ = 0 (+1), g() = 0 şi e-ist¼ U 2 V() stfel încât > 0; 8 2 U \ A n fg Putem scrie g() = e g() ln şi it de l eponent este o nedeterminre de tip 0 ( 1) (respectiv 0 1). (v) Czul 1 1 se reduce tot l czul 01 e prin metod de l punctul iv), e stfel dc¼ f; g A! R; 2 A 0 ; stfel încât eist¼ = 1, g() = 1 şi eist¼ U 2 V () stfel încât 6= 1; 8 2 U n fg; tunci vom scrie g() = f[1 + ( 1)] 1 g g()( 1). 1 Avem [1 + ( 1)] 1 = e; ir g()( 1) este o nedeterminre de tip 0 1 1

14 14CURS 8. DERIVABILITATE ŞI DIFERENŢIABILITATE PENTRU FUNCŢII REALE 8.3 Derivte şi diferenţile de ordin superior. Formul lui Tylor Dup¼ cum m v¼zut în secţiune nterior¼, în czul unei funcţii rele f; derivbil¼ (su, echivlent, diferenţibil¼) într-un punct ; vlorile funcţiei într-o vecin¼tte lui pot proimte prin f() + f 0 () ( ) Pe prcursul cestei secţiuni vom r¼t c¼ cest tip de proimre se pote r n în czul funcţiilor derivbile de ordin mi mre decât unu. În cest scop, s¼ d¼m pentru început câtev de niţii. De niţi Fie A R; o mulţime deschis¼. (i) Spunem c¼ funcţi f A! R este derivbil¼ de dou¼ ori în punctul 2 A (respectiv pe A) dc¼ f este derivbil¼ într-o vecin¼tte punctului şi funcţi derivt¼ f 0 este derivbil¼ în (respectiv pe A). În cest cz, derivt lui f 0 în se numeşte derivt dou lui f în şi se notez¼ f 00 (); su f (2) () (ii) Spunem c¼ funcţi f A! R este diferenţibil¼ de ordinul l doile în punctul 2 A; dc¼ f este derivbil¼ într-o vecin¼tte punctului şi funcţi derivt¼ f 0 este diferenţibil¼ în În cest cz, funcţi d 2 f() R! R dt¼ prin su, echivlent, prin d 2 f() = f 00 ()(d) 2 = f 00 ()d 2 d 2 f()(h) = f 00 () h 2 ; 8h 2 R se numeşte diferenţil dou lui f în S¼ observ¼m c¼, potrivit Teoremei plict¼ funcţiei f 0, o funcţie este de dou¼ ori derivbil¼ în punctul (respectiv pe A) dc¼ şi numi dc¼ este diferenţibil¼ de ordinul l doile în (respectiv pe A). De niţi Fie A R; o mulţime deschis¼, n 2 N, n 2 (i) Spunem c¼ f este de n ori derivbil¼ în 2 A (respectiv pe A) dc¼ f (n 1) este derivbil¼ într-o vecin¼tte punctului şi funcţi derivt¼ f (n 1) este derivbil¼ în În cest cz, derivt lui f (n 1) în se numeşte derivt de ordin n lui f în şi se notez¼ f (n) () (n 1) (ii) Spunem c¼ f este de n ori diferenţibil¼ în 2 A (respectiv pe A) dc¼ f este derivbil¼ într-o vecin¼tte punctului şi funcţi derivt¼ f (n 1) este diferenţibil¼ în (respectiv pe A). În cest cz, funcţi d n f() R! R dt¼ prin su, echivlent, prin d n f() = f (n) ()(d) n = f (n) ()d n d n f()(h) = f (n) () h n ; 8h 2 R se numeşte diferenţil de ordinul n lui f în De niţi Fie D R o mulţime deschis¼ şi f D! R Spunem c¼ f este de cls¼ C n pe D (n 2 N ) dc¼ f este de n ori derivbil¼ pe D; ir derivt de ordin n, f (n) ; este continu¼ pe D Not¼m C n (A) = ff A! R j f este de cls¼ C n pe Ag; n 2 N şi, prin conventie, C 0 (A) = ff A! R j f continu¼ pe Ag

15 8.3. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE DE ORDIN SUPERIOR. FORMULA LUI TAYLOR15 De semene, vom not prin convenţie f (0) = f Spunem c¼ f este de cls¼ C 1 pe D dc¼ f este derivbil¼ de orice ordin pe D Vom not C 1 (A) = ff A! R; f este de cls¼ C 1 pe Ag Teorem (Formul lui Leibniz) Fie f; g A! R de n ori derivbile în 2 A. Atunci f g este de n ori derivbil¼ în şi re loc formul (f g) (n) () = nx Cnf i (i) ()g (n i) () (8.13) i=0 Demonstrţie. Vom fce demonstrţi prin inducţie. Pentru n = 1; rezulttul este r¼tt în Teorem S¼ presupunem rezulttul dev¼rt pentru n = k 1 Ştim şdr c¼ f g este de k 1 ori derivbil¼ în şi Xk 1 (f g) (k 1) () = Ck i 1f (i) ()g (k 1 i) () i=0 Cum toţi membrii sumei sunt funcţii derivbile (folosind ipotez), ne rezult¼ c¼ (f g) (k este derivbil¼ în Eist¼ şdr (f g) (k) () şi re loc 1) () (f g) (k) () = Xk 1 Ck i 1f (i) ()g (k 1 i) () i=0 Xk 1 = Ck i 1 f (i+1) ()g (k 1 i) () + f (i) ()g (k i) () = i=0 kx i=1 C i 1 k 1 f (i) ()g (k i) () + Xk 1 = f (k) () + g (k) () + = kx Ckf i (i) ()g (k i=0 Am folosit mi sus identitte i=1 i) ()! 0 Xk 1 Ck i 1f (i) ()g (k i) () i=0 (C i 1 C i k = C i 1 k 1 + Ci k 1 k 1 + Ci k 1)f (i) ()g (k i) () Am r¼tt şdr c¼ rezulttul este dev¼rt pentru n = k Conform procedeului inducţiei mtemtice, ne rezult¼ concluzi. Formul lui Tylor Fie P () = n n un polinom de grd n cu coe cienti reli ( n 6= 0 şi i 2 R; i = 1; n). Dorim pentru început s¼ r¼t¼m c¼ putem scrie polinomul de mi sus în mod unic în form P () = A 0 + A 1 ( ) + + A n ( ) n

16 16CURS 8. DERIVABILITATE ŞI DIFERENŢIABILITATE PENTRU FUNCŢII REALE pentru un 2 R t. Un mod de r¼t cest lucru este urm¼torul. Este clr c¼ termenul liber A 0 este egl cu P (). Mi deprte, prin derivre, obţinem P 0 () = A 1 + 2A 2 ( ) + + A n ( ) n 1 ; de unde A 1 = P 0 () În mod nlog, derivând în continure, obţinem A k = 1 k! P (k) (); pentru k = 1; n Asdr, P () = P () + 1 1! P 0 ()( ) P (n) ()( ) n Dorim cum s¼ etindem formul precedent¼ l situţi mi generl¼ când în locul polinomului P vem o funcţie f I! R, unde I R este un intervl deschis. Vom numi polinomul T n () = f() + f 0 () 1! ( ) + f 00 () 2! ( ) f (n) () ( ) n polinomul Tylor de ordin n socit funcţiei f în punctul Problem cre se pune este în ce m¼sur¼ cest polinom proimez¼ funcţi f Am v¼zut c¼ în czul în cre f este un polinom de grd mi mic su egl cu n, tunci T n = f S¼ not¼m R n () = T n () pentru orice 2 I Tocmi comportre lui R n m¼sor grdul de proimre l funcţiei f prin polinomul Tylor. Teorem (Formul lui Tylor cu restul lui Peno) Fie I R; un intervl deschis şi n 2 N. Dc¼ f I! R este o funcţie de n ori derivbil¼ în 2 I; tunci eist¼ o funcţie I! R cu propriette () = () = 0; stfel încât pentru orice 2 I = f() + f 0 () 1! + f (n) () ( ) n + () ( ) + f 00 () ( ) 2 + 2! ( )n ; Demonstrţie. Fie T n polinomul Tylor de ordin n socit funcţiei f în De nim urm¼tore funcţie I! R dt¼ prin 8 < T n() ; dc¼ 2 I n fg () = ( ) n 0 dc¼ = Evident, pentru orice 2 I; = T n () + () ( )n Este su cient s r¼t¼m continuitte lui în 0 Fie funcţiile F; G I! R; F () = G() = ( ) n T n () şi

17 8.3. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE DE ORDIN SUPERIOR. FORMULA LUI TAYLOR17 Se observ¼ imedit c¼ F şi G sunt de n ori derivbile în şi F (k) () = 0 pentru k = 1; n şi G (k) () = 0 pentru k = 1; n 1 În plus, G (n) () = 6= 0 Aplicând Teorem lui Cuchy (form generlizt¼, i.e. Teorem??), obţinem c¼ eist¼ Rezult¼ concluzi. () = 0 = 0 Teorem (Formul lui Tylor cu restul lui Lgrnge) Fie I R un intervl deschis, 2 I şi n 2 N. Dc¼ f I! R este o funcţie de (n + 1) ori derivbil¼ pe I; tunci pentru orice 2 I; 6= eist¼ c 2 (; ) su c 2 (; ) stfel încât = f() + f 0 () 1! Demonstrţie. S¼ c¼utm restul de form Fie funcţi ' I! R dt¼ prin '(t) = f(t) + f 0 (t) 1! ( ) + f 00 () ( ) 2 + 2! + f (n) () ( ) n + f (n+1) (c) (n + 1)! ( )n+1 R n () = A( ) n+1 ; 2 I ( t) + f 00 (t) 2! ( t) f (n) (t) ( t) n + A ( t) n+1 Funcţi ' este derivbil¼ pe I şi '() = ir '() = T n () + R n () = Suntem în condiţiile teoremei lui Rolle pe [; ] su [; ] şi deci eist¼ c 2 (; ) su c 2 (; ) stfel încât ' 0 (c) = 0 Dr ' 0 (t) = f (n+1) (t) pentru orice t 2 I Cum c 6= ; obţinem ( t) n A(n + 1)( t) n de unde rezult¼ concluzi. A = f (n+1) (c) (n + 1)! Prticulrizând = 0 se obtine formul lui McLurin. Propoziţi (Formul lui McLurin) Fie I R un intervl deschis, 0 2 I şi n 2 N. Dc¼ f I! R este o funcţie de (n + 1) ori derivbil¼ pe I; tunci pentru orice 2 I; 6= 0 eist¼ c 2 (; 0) su c 2 (0; ) stfel încât = f(0) + f 0 (0) 1! + f 00 (0) 2 + 2! + f (n) (0) n + f (n+1) (c) (n + 1)! n+1

18 18CURS 8. DERIVABILITATE ŞI DIFERENŢIABILITATE PENTRU FUNCŢII REALE Eemplul În formul lui McLurin, cum c 2 (; 0) su c 2 (0; ) putem s¼ lu¼m c de form c = unde 2 (0; 1) Astfel se obţin dezvolt¼rile de mi jos. 1. Fie f R! R; = e Acest¼ funcţie este de cls¼ C 1 şi scriind formul lui McLurin cu restul de ordin n obţinem c¼ pentru orice 2 R eist¼ 2 (0; 1) stfel încât e = 1 + 1! + 2 2! + + n + n+1 (n + 1)! e 2. Fie f R! R; = sin Acest¼ funcţie este de cls¼ C 1 şi pentru orice n 2 N re loc f (n) () = sin( + n ) Scriind formul McLurin de ordin 2n + 1 vem pentru orice 2 2 R un 2 (0; 1) stfel încât sin = 1! 3 3! + + ( 1)n 1 2n 1 + ( 1) n 2n sin (2n 1)! (2n)! Anlog, pentru f R! R, = cos obţinem pentru orice 2 R un 2 (0; 1) stfel încât 2 cos = 1 2! + 4 4! + + ( 1)n 2n + ( 1) n+1 2n+1 cos (2n)! (2n + 1)! 3. Fie f ( 1; 1)! R; = ln( + 1) Are loc dezvoltre ln( + 1) = ( 1)n 1 n n + ( 1 n + 1 (1 + ) n+1 n+1 1)n pentru orice 2 ( 1; 1); unde 2 (0; 1). Formulele de mi sus pot folosite pentru determinre unor ite. Eempli c¼m cu urm¼torul eerciţiu. Eerciţiul 8.2 Pentru ce vlori le lui n 2 N eist¼, este nit¼ şi nenul¼ it 6 sin ( 6 6)?!0 n Conform teoriei de mi sus, pentru orice 2 R eist¼ 2 (0; 1) stfel încât sin 3 = sin Înlocuind în it de mi sus obţinem n = 15 şi vlore itei De semene, derivtele de ordin superior pot utile în determinre punctelor de etrem. Teorem (Puncte de etrem) Fie I R un intervl deschis, f I! R o funcţie de n ori derivbil¼ în 2 I; (n 2 N; n 2); stfel încât 1 20 f 0 () = 0; f 00 () = 0; ; f (n 1) () = 0; f (n) () 6= 0 (8.14) (i) Dc¼ n este pr, tunci este punct de etrem, mi ect punct de mim locl dc¼ f (n) () < 0 şi punct de minim locl dc¼ f (n) () > 0. (ii) Dc¼ n este impr, tunci nu este punct de etrem.

19 8.3. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE DE ORDIN SUPERIOR. FORMULA LUI TAYLOR19 Demonstrţie. Cum f este de n ori derivbil¼ în ; putem scrie formul lui Tylor cu restul lui Peno, dic¼, pentru orice 2 I; = f() + f 0 () 1! + f (n) () ( ) n + () ( ) + f 00 () ( ) 2 + 2! ( )n ; unde I! R; () = () = 0 Folosind (8.14), obţinem f() = ( )n [f (n) () + ()] Dr [f (n) () + ()] = f (n) () Dc¼ f (n) () > 0; eist¼ o vecin¼tte V lui stfel încât f (n) () + () > 0 pentru orice 2 V; ir dc¼ f (n) () < 0; eist¼ o vecin¼tte V lui stfel încât f (n) () + () < 0; pentru orice 2 V (i) Dc¼ n este pr şi f (n) () > 0, tunci, cum ( )n 0 pentru orice ; vem c¼ f() = ( )n [f (n) () + ()] 0; 8 2 V Czul n pr şi f (n) () < 0 rezult¼ nlog. (ii) Dc¼ n este impr şi f (n) () > 0, legem " > 0 su cient de mic stfel încât ( ( )n ( )n "; ") V Atunci < 0 pentru orice 2 ( "; ) şi > 0 pentru orice 2 (; + "); de unde f() < 0; 8 2 ( "; ) şi f() > 0; 8 2 (; + ") Aşdr, nu este punct de etrem. Czul cel¼llt rezult¼ nlog.

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 11 INTEGRALA LEBESGUE Cursul 10 Observaţia Cum am văzut în Teorema 11.46, orice funcţie integrabilă

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 11 INTEGRALA LEBESGUE Cursul 10 Observaţia Cum am văzut în Teorema 11.46, orice funcţie integrabilă D.Rusu, Teori măsurii şi integrl Lebesgue 11 INTEGRALA LEBESGUE Cursul 10 Observţi 11.50 Cum m văzut în Teorem 11.46, orice funcţie integrbilă Riemnn e un intervl mărginit [, b] este continuă µ-..t.. Prin

Mai mult

LABORATOR 9 - VECTORI ŞI VALORI PROPRII. INTERPOLAREA FUNCŢIILOR 1. Vectori Şi valori proprii. Metoda rotaţiilor a lui Jacobi Fie A o matrice p¼atrati

LABORATOR 9 - VECTORI ŞI VALORI PROPRII. INTERPOLAREA FUNCŢIILOR 1. Vectori Şi valori proprii. Metoda rotaţiilor a lui Jacobi Fie A o matrice p¼atrati LABORATOR 9 - VECTORI ŞI VALORI PROPRII INTERPOLAREA FUNCŢIILOR Vectori Şi vlori rorii Metod rotţiilor lui Jcobi Fie A o mtrice ¼trtic¼ Un vector x R n se numeşte vector roriu în rort cu A dc¼ x 6= 0 şi

Mai mult

Seminarul 1

Seminarul 1 Mtemtici specile Seminrul Februrie 8 ii Fr bteri de l norm progresul nu este posibil. Frnk Zpp Integrle improprii Motivtie: Folosind integrl definit putem integr functii continue pe intervle mrginite.

Mai mult

Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Naţională, Braşov, 2 aprilie 2013

Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Naţională, Braşov, 2 aprilie 2013 Societte de Ştiinţe Mtemtice din Români Ministerul Educţiei Nţionle Olimpid Nţionlă de Mtemtică Etp Nţionlă, Brşov, 2 prilie 213 Cls XII- Problem 1. Să se determine funcţiile continue f : R R cu propriette

Mai mult

{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud

{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud { 3 + 3, < Eemple. ) Fie f : R R, f() + 4,. Funcţia f este derivabilă pe R\{} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să studiem derivabilitatea în a. Atunci f s() 3+3 6,< 3, f d f() f() (),> funcţia

Mai mult

Model de planificare calendaristică

Model de planificare calendaristică Liceul Greco-Ctolic Timotei Cipriu Avizt. Director, Vicenţiu RUSU. Şef Ctedră, PLANIFICARE CALENDARISTICĂ ANUL ŞCOLAR 04-05 Disciplin MATEMATICĂ, Filieră TEORETICĂ, progrm nr. 35/3.0.006 Cls XI-, profil

Mai mult

Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci

Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor

Mai mult

M1-ACS, , M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 9 Extreme cu legături. Integrale improprii 1 Extreme condiționate Atunci cînd domeniul de

M1-ACS, , M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 9 Extreme cu legături. Integrale improprii 1 Extreme condiționate Atunci cînd domeniul de Seminr 9 Extreme u legături. Integrle improprii Extreme ondiționte Atuni înd domeniul de definiție l unei funții de mi multe vribile onține, l rîndul său numite euții (numite, generi, legături, problemele

Mai mult

Curs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi

Curs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a

Mai mult

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Metode Numerice de Integrre și Derivre Funcțiilor dte Numeric Ș.l. Dr. ing. Levente CZUMBIL E-mil: Levente.Czumil@ethm.utcluj.ro WePge: http://users.utcluj.ro/~czumil Formul clsică trpezelor rezultă prin

Mai mult

Cursul 6 Integrala în complex Fie f : D C o funcţie continuă pe domeniul D C. Ne punem problema existenţei unei primitive a lui f, adică a unei funcţi

Cursul 6 Integrala în complex Fie f : D C o funcţie continuă pe domeniul D C. Ne punem problema existenţei unei primitive a lui f, adică a unei funcţi Cursul 6 Integrl în complex Fie f : D C o funcţie continuă pe domeniul D C. Ne punem problem existenţei unei primitive lui f, dică unei funcţii olomorfe F : D C stfel încât F = f. În czul funcţiilor rele,

Mai mult

Calcul diferenţial şi integral (notiţe de curs) Şt. Balint E. Kaslik, L. Tǎnasie, A. Tomoioagă, I. Rodilǎ, N. Bonchiş, S. Mariş Cuprins I Introducere

Calcul diferenţial şi integral (notiţe de curs) Şt. Balint E. Kaslik, L. Tǎnasie, A. Tomoioagă, I. Rodilǎ, N. Bonchiş, S. Mariş Cuprins I Introducere Clcul diferenţil şi integrl (notiţe de curs) Şt. Blint E. Kslik, L. Tǎnsie, A. Tomoiogă, I. Rodilǎ, N. Bonchiş, S. Mriş Cuprins I Introducere 6 1 Noţiunile: mulţime, element l unei mulţimi, prtenenţ l

Mai mult

Algebra: 1. Numere naturale. Operatii cu numere naturale. Ordinea operatiilor. Puteri si reguli de calcul cu puteri. Compararea puterilor. Multimea nu

Algebra: 1. Numere naturale. Operatii cu numere naturale. Ordinea operatiilor. Puteri si reguli de calcul cu puteri. Compararea puterilor. Multimea nu Algebr: 1. Numere turle. Opertii cu umere turle. Ordie opertiilor. Puteri si reguli de clcul cu puteri. Comprre puterilor. Multime umerelor turle este * N 0,1,2,3,...,,... si N N {0} 1,2,3,...,,.... Pe

Mai mult

Tema 5

Tema 5 Tem 5 Etensini le integrlei Riemnn Modll 5. - Integrle definite, c prmetr. Integrle improprii. Integrle definite, c prmetr Stdil integrlelor definite c prmetr rel este intim legt de reprezentre integrlă

Mai mult

OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE 1. Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul Obi

OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE 1. Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul Obi OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE CTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢRE. Cunoştere şi înţelegere conceptelor, terminologiei şi procedurilor de clcul Obiective de referinţă L sfârşitul clsei VII- elevul v fi cpbil..să

Mai mult

Aero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D

Aero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge

Mai mult

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Curs 9 Integrre Numerică Clculul Numeric l Integrlelor cu plicții în Ingineri Electrică Ș.l. Dr. ing. Levente CZUMBIL Lortorul de Cercetre în Metode Numerice Deprtmentul de Electrotehnică, Inginerie Electrică

Mai mult

Microsoft Word - MD.05.

Microsoft Word - MD.05. pitolul uvite-cheie serii de puteri, puct regult, puct sigulr, ecuţie idicilă osideră o ecuţie difereţilă de ordi k ( k ) L(,,,,..., ) () Se pote căut soluţi sub for uei serii de puteri î jurul puctului

Mai mult

Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29

Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale

Mai mult

OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE 1. Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul Obi

OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE 1. Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul Obi OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE. Cunoştere şi înţelegere conceptelor, terminologiei şi procedurilor de clcul Oiective de referinţă Exemple de ctivităţi de învăţre L sfârşitul

Mai mult

Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de

Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),

Mai mult

Microsoft Word - cap1p4.doc

Microsoft Word - cap1p4.doc Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu

Mai mult

Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac

Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire

Mai mult

Algebr¼a liniar¼a, geometrie analitic¼a şi diferenţial¼a B¼arb¼acioru Iuliana Carmen Seminarul 2

Algebr¼a liniar¼a, geometrie analitic¼a şi diferenţial¼a B¼arb¼acioru Iuliana Carmen Seminarul 2 lgebr¼a liniar¼a, geometrie analitic¼a şi diferenţial¼a ¼arb¼acioru Iuliana armen uprins. Spaţii vectoriale............................. 4. Modi carea coordonatelor unui vector atunci când se schimb¼a

Mai mult

UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM

UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot

Mai mult

Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u

Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:

Mai mult

ETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 10 Transformata Fourier Integrala Fourier Seriile Fourier sînt utile pentru dez

ETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 10 Transformata Fourier Integrala Fourier Seriile Fourier sînt utile pentru dez Seminar 1 Transformata Fourier Integrala Fourier Seriile Fourier sînt utile pentru dezvoltarea unor funcții periodice (sau convertibile în unele periodice). Însă dacă funcțiile sînt arbitrare, se folosește

Mai mult

MD.09. Teoria stabilităţii 1

MD.09. Teoria stabilităţii 1 MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,

Mai mult

Teoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.

Teoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP. Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului

Mai mult

TEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:

TEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail: TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins

Mai mult

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim

Mai mult

FIŞA NR

FIŞA NR Prof CORNELI MESTECN Prof RRODIC TRIŞCĂ CLUJ-NPOC 009 CUPRINS FIŞ NR NUMERE RELE Pg 6 FIŞ NR ECUŢII Pg 8 FIŞ NR FUNCŢII TEORIE Pg 0 4 FIŞ NR 4 FUNCŢII EXERCIŢII Pg FIŞ NR ECUŢII IRŢIONLE, ECUŢII EXPONENŢILE

Mai mult

Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont

Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi

Mai mult

PROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL

PROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.

Mai mult

SEMNALE ŞI SISTEME CURSUL 3 SEMNALE ANALOGICE Obiectivele acestui curs: Distribuţii. Funcţii singulare Distribuţii utile în studiul semnalelor. Transf

SEMNALE ŞI SISTEME CURSUL 3 SEMNALE ANALOGICE Obiectivele acestui curs: Distribuţii. Funcţii singulare Distribuţii utile în studiul semnalelor. Transf EMNALE ANALOGICE Obiecivele ceui cur: Diribuţii Funcţii ingulre Diribuţii uile în udiul emnlelor Trnform Fourier Funcţi de denie pecrlă Proprieăţi le rnformelor Fourier direcă şi inveră 3 Diribuţii Funcţii

Mai mult

GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007

GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007 GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de

Mai mult

Microsoft Word - fmnl06.doc

Microsoft Word - fmnl06.doc Metode Numerce Lucrre de lbortor r. 6 I. Scopul lucrăr Metode tertve de rezolvre sstemelor lre. II. Coţutul lucrăr. Metode tertve de rezolvre sstemelor lre. Geerltăţ. 2. Metod Jcob. 3. Metod Guss-Sedel.

Mai mult

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,

Mai mult

Microsoft Word - Analiza12BacRezolvate.doc

Microsoft Word - Analiza12BacRezolvate.doc ANALIZA MATEMATICA D : Fi I u itrvl şi f,f:i R FucŃi F s umşt primitivă lui f dcă: ) F st drivilă; ) F (f(, I Fi I u itrvl şi fucńi f:i R cr dmit primitiv Dcă F, F :I R sut primitiv l fucńii f, tuci F

Mai mult

Clasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul

Clasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.

Mai mult

Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor

Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)

Mai mult

Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi

Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte

Mai mult

Microsoft Word - 06-Rosu-Mihaela-RED-TR_Proiect_did_Bunat_toamnei_II_ROM.doc

Microsoft Word - 06-Rosu-Mihaela-RED-TR_Proiect_did_Bunat_toamnei_II_ROM.doc Proiect de lecție Şcol Gimnzil,,Anghel Mnolche Scrioște Dt: 9 noiembrie 2017 Cls: II- A Disciplin: Comunicre în limb român Unitte temtic: File din crte tomnei Titlul lecției : Buntți de tomn Tipul lecţiei:

Mai mult

Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; pa

Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; pa Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; paranteze: (, ); simbolul de egalitate =; cuantificatorul

Mai mult

ETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți

ETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți Seminar Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferențiale Folosind transformata Laplace, putem reolva ecuații și sisteme diferențiale. Cu ajutorul proprietăților transformatei

Mai mult

Modul de Calcul Manual Metode dendrom ÎN TEREN Înălţimi METODA Norme Ediţia 2000 Indicativ Structura Arboretelor Diametru Nr. de arbori la care se măs

Modul de Calcul Manual Metode dendrom ÎN TEREN Înălţimi METODA Norme Ediţia 2000 Indicativ Structura Arboretelor Diametru Nr. de arbori la care se măs oul e Clcul nul etoe enrom ÎN TEREN Înălţimi ETODA Norme Eiţi 000 Inictiv Structur Arboretelor Dimetru Nr. e rbori l cre se măsoră - H- Dim. e referinţă pentru măsurre - H-. Tbelelor e cubj 5.. E+P sp.

Mai mult

Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n

Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului

Mai mult

Săptămâna 1 Partea I Nr. item Rezultate a) {1; 2; 3; 4; 5; 8} {2} {2; 3; 5; 6; 7} 55 [AE b) {2; 4} C {1; 3; 4; 5; 7} 55 AD c) {1; 3; 5} {2;

Săptămâna 1 Partea I Nr. item Rezultate a) {1; 2; 3; 4; 5; 8} {2} {2; 3; 5; 6; 7} 55 [AE b) {2; 4} C {1; 3; 4; 5; 7} 55 AD c) {1; 3; 5} {2; Săptămân ) {; ; ; 4; ; 8} {} {; ; ; 6; 7} [AE b) {; 4} C {; ; 4; ; 7} AD c) {; ; } {; } Cls VII- Mtemtică Răspunsuri {; 4} AF. ) A {0,,,, 4, }, B {, 4,, 6, 7}. b) A Ç B {, 4, }; A È B {0,,,, 4,, 6, 7};

Mai mult

curs 9 v3 [Compatibility Mode]

curs 9 v3 [Compatibility Mode] Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 007 03 Aa prioritară nr. Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice

Mai mult

Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc

Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc ,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel

Mai mult

Modelarea deciziei financiare şi monetare

Modelarea deciziei financiare şi monetare ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREŞTI FACUTATEA DE FINANȚE, ASIGURĂRI, BĂNCI ŞI BURSE DE VAORI Modelarea deciziei financiare şi monetare Teoria producătorului Aleandru eonte Departamentul de Monedă

Mai mult

maracine.doc

maracine.doc Revist Inormtic Economic, nr. 1(25)/2003 123 Micro si mcro hedging utilizând contrcte utures Con.dr. Virgini MARACINE Ctedr de Cibernetic Economic, A.S.E. Bucuresti virgini_mrcine@yhoo.com For interest

Mai mult

SEMNALE ŞI SISTEME CURSUL 2 C.2. SEMNALE ANALOGICE 1.2. Reprezentări ale semnalelor prin diferite forme ale seriei Fourier Seria Fourier trigonometric

SEMNALE ŞI SISTEME CURSUL 2 C.2. SEMNALE ANALOGICE 1.2. Reprezentări ale semnalelor prin diferite forme ale seriei Fourier Seria Fourier trigonometric .. SEMNLE NLOGIE 1.. Reprezentări ale emnalelor prin diferite forme ale eriei Fourier Seria Fourier trigonometrică Seria Fourier trigonometrică utilizează pentru SFG (eria Fourier generalizată) itemul

Mai mult

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele

Mai mult

Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l

Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative la R n, în principal), sunt prezentate aici elemente

Mai mult

Cursul 10 Fractali de tip Newton Vom prezenta în continuare o nouă modalitate de generare a fractalilor, modalitate care îşi are originea într-o probl

Cursul 10 Fractali de tip Newton Vom prezenta în continuare o nouă modalitate de generare a fractalilor, modalitate care îşi are originea într-o probl Cursul 10 Fractali de tip Newton Vom prezenta în continuare o nouă modalitate de generare a fractalilor, modalitate care îşi are originea într-o problemă formulată în anul 1879 de Arthur Cayley (1821 1895)

Mai mult

Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014

Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea   marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014 Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014 Relații în lumea reală și informatică Noțiunea matematică de

Mai mult

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac

Mai mult

DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT

DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ

Mai mult

Elemente de aritmetica

Elemente de aritmetica Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al

Mai mult

Limite de funcţii reale

Limite de funcţii reale ( =, a b ) + a + b o 3 L + M L + M = + = + a + b b a + a + b + A A L + M = = + + ( + + )( + ) + + o 4 + 3 3 = + + 8 8 + 4 +. Limita uei fucţii îtr-u puct Vom prezeta coceptul de "limită a uei fucţii îtr-u

Mai mult

ETTI-AN1, , C. Ghiu Notițe de Adrian Manea Seminar 4 Serii Fourier și recapitulare 1 Serii Fourier Pentru dezvoltarea în serie Fourier (care

ETTI-AN1, , C. Ghiu Notițe de Adrian Manea Seminar 4 Serii Fourier și recapitulare 1 Serii Fourier Pentru dezvoltarea în serie Fourier (care Semiar 4 Serii Fourier și recapitulare Serii Fourier Petru dezvoltarea î serie Fourier (care se poate aplica atuci cîd seriile Taylor sît imposibile, trebuie satisfăcute codițiile Dirichlet: (D Fucția

Mai mult

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0

Mai mult

CLP_UTCN-grila-2012.dvi

CLP_UTCN-grila-2012.dvi Liceul: Numele: Punctaj: Prenumele: Concursul liceelor partenere cu Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Test grilă Ediţia a treia mai 0 Clasa a X-a În casuţa din stânga întrebării se va scrie litera

Mai mult

C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi

C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector

Mai mult

20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do

20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,

Mai mult

Microsoft Word - final7.doc

Microsoft Word - final7.doc Metode uerice î igieri electrică Cuvât-îite Lucrre iligvă roâă-frceză Metode uerice î igieri electrică Aplicţii î C++ şi Turo Pscl prezită o viziue proprie utorilor supr teoriei şi plicării etodelor uerice

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen

Mai mult

11811 Universitatea Transilvania din Brasov, SENATUL UNIVERSITATII Bulevardul Eroilor 29, _ Brasov tel.: (+40) fax: (+40)

11811 Universitatea Transilvania din Brasov, SENATUL UNIVERSITATII Bulevardul Eroilor 29, _ Brasov tel.: (+40) fax: (+40) 11811 Universitte Trnsilvni din Brsov, SENATUL UNIVERSITATII Bulevrdul Eroilor 29, 500036 _ Brsov tel.: (+40) 268.415.0641 fx: (+40) 268.415.064 presedintele-sentului@unitbv.ro METODOLOGIA de orgnizre

Mai mult

CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),

CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul

Mai mult

Calcul Numeric

Calcul Numeric Calcul Numeric Cursul 4 2019 Anca Ignat Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Fie matricea nesingulară A nn şi b n. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare Ax=b se poate face folosind regula

Mai mult

L4. TEOREMELE ALGEBREI BINARE. FUNCȚII LOGICE ELEMENTARE. OPERAȚII LOGICE PE BIT. SINTEZA FUNCȚIILOR LOGICE DIN TABELE DE ADEVĂR 1. Obiective Prin par

L4. TEOREMELE ALGEBREI BINARE. FUNCȚII LOGICE ELEMENTARE. OPERAȚII LOGICE PE BIT. SINTEZA FUNCȚIILOR LOGICE DIN TABELE DE ADEVĂR 1. Obiective Prin par L4. TEOREMELE LGEBREI BINRE. FUNCȚII LOGICE ELEMENTRE. OPERȚII LOGICE PE BIT. SINTEZ FUNCȚIILOR LOGICE DIN TBELE DE DEVĂR 1. Obiective Prin parcurgerea acestei ședințe de laborator studenții vor fi capabili:

Mai mult

¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬

¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬ Olimpid Nționlă de Fizică Timișor 216 Prob teoretică Subiectul 1A Ap minerlă Buziş A x C Pgin 1 din 6 Un dintre cele mi precite pe minerle româneşti se găseşte l Buziş, în judeţul Timiş. Crbogzificre unei

Mai mult

Copyright c 2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la

Copyright c 2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician   1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la Copyright c 1 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, Profilurile: fizica-matematica, economie,

Mai mult

O teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with ap

O teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with ap O teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with applications to Erdős-Suranyi sequences. We start from

Mai mult

L4. TEOREMELE ALGEBREI BINARE. FUNCȚII LOGICE ELEMENTARE. OPERAȚII LOGICE PE BIT. SINTEZA FUNCȚIILOR LOGICE DIN TABELE DE ADEVĂR 1. Obiective Prin par

L4. TEOREMELE ALGEBREI BINARE. FUNCȚII LOGICE ELEMENTARE. OPERAȚII LOGICE PE BIT. SINTEZA FUNCȚIILOR LOGICE DIN TABELE DE ADEVĂR 1. Obiective Prin par L4. TEOREMELE LGEBREI BINRE. FUNCȚII LOGICE ELEMENTRE. OPERȚII LOGICE PE BIT. SINTEZ FUNCȚIILOR LOGICE DIN TBELE DE DEVĂR 1. Obiective Prin parcurgerea acestei ședințe de laborator studenții vor fi capabili:

Mai mult

Microsoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc

Microsoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru

Mai mult

Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,

Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea

Mai mult

PowerPoint-Präsentation

PowerPoint-Präsentation Univrsitt Trnsilvni in Brşov Lbortorul Vr Artificilă Robustă şi Control Mto Numric Curs 0 Clcul mtricil și rori clcul numric Gigl Măcșnu Cuprins Clcul mtricl Surs rori Eror bsolută și ror rltivă Propgr

Mai mult

02. Analiza matematica 3 - MI 2

02. Analiza matematica 3 - MI 2 FIȘA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1. Instituția de învățământ superior Universitatea de Vest din Timișoara 1.2. Facultatea Matematică și Informatică 1.3. Departamentul Matematică 1.4. Domeniul

Mai mult

gaussx.dvi

gaussx.dvi Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care

Mai mult

Probleme rezolvate 1) Să se calculeze limitele următoarelor şiruri: 1 a) x n n = ( n+ 1)( n+ 2 )...( n+ n), n 2 n ( 1) 1 n n b) 2 3 n 5 n... ( 2

Probleme rezolvate 1) Să se calculeze limitele următoarelor şiruri: 1 a) x n n = ( n+ 1)( n+ 2 )...( n+ n), n 2 n ( 1) 1 n n b) 2 3 n 5 n... ( 2 Probleme rezolvate ) Să se calculeze itele următoarelor şiruri: a) x = ( + )( + )...( + ), 3 ( ) b) 3 5... ( x = e + e + + ) e Soluţie ( + )( + )...( + ) a) x = =... + + +. k l x = l +. Folosid coseciţa

Mai mult

Curs 3 Permutari cu repetitie. Combinari. Algoritmi de ordonare si generare

Curs 3  Permutari cu repetitie. Combinari.  Algoritmi de ordonare si generare Curs 3 Permutări cu repetiţie. Combinări. Algoritmi de ordonare şi generare Octombrie 2015 Cuprins Algoritmi de ordonare şi generare pentru permutări cu repetiţie Reprezentarea binară a submulţimilor Algoritmi

Mai mult

Similitudini în plan şi puncte Torricelli asociate Cătălin ŢIGĂERU 1 Subiectul lucrării îl reprezintă operaţia de compunere a similitudinilor aplicată

Similitudini în plan şi puncte Torricelli asociate Cătălin ŢIGĂERU 1 Subiectul lucrării îl reprezintă operaţia de compunere a similitudinilor aplicată Similitudini în plan şi puncte Torricelli asociate Cătălin ŢIGĂERU 1 Subiectul lucrării îl reprezintă operaţia de compunere a similitudinilor aplicată unei configuraţii geometrice: un triunghi ABC şi două

Mai mult

Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA

Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea

Mai mult

Investeşte în oameni

Investeşte în oameni FIŞA DISCIPLINEI 1 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Politehnică Timișoara 1. Facultatea / Departamentul 3 Facultatea de Inginerie Hunedoara / Inginerie Electrică

Mai mult

Matematici Speciale - Ingineria Sistemelor Seminar 1 Probleme rezolvate 1. Studiaţi convergenţa integralelor improprii: Z 1 p Z 3 2x 2 a) I

Matematici Speciale - Ingineria Sistemelor Seminar 1 Probleme rezolvate 1. Studiaţi convergenţa integralelor improprii: Z 1 p Z 3 2x 2 a) I Matematici Seciale - Ingineria Sistemelor 5-6 Seminar Probleme rezolvate. Studiaţi convergenţa integralelor imrorii: a) I d, b) J d, c) K + ;5 entru a d şi b c k. Soluţie: a) Integrala I este divergent¼a,

Mai mult

Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 – 2013

Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 – 2013 GRUPUL DE ACŢIUNE LOCALĂ Județul Bistriț-Năsăud, orș BECLEAN, Zon de Agrement Fig, FN, Cod poștl 425100, Tel: 037-1408616, Fx: 037-1377056, e-mil: secretrit@gltinutulhiducilor.ro Progrmul Nţionl de Dezvoltre

Mai mult

LOGICA MATEMATICA SI COMPUTATIONALA Sem. I,

LOGICA MATEMATICA SI COMPUTATIONALA  Sem. I, LOGICA MATEMATICĂ ŞI COMPUTAŢIONALĂ Sem. I, 2017-2018 Ioana Leustean FMI, UB Partea III Calculul propoziţional clasic Consistenţă şi satisfiabilitate Teorema de completitudine Algebra Lindenbaum-Tarski

Mai mult

Spatii vectoriale

Spatii vectoriale Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale

Mai mult

C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi

C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi urs 4 Integrale curbilinii 4.1 Drumuri şi curbe Definiţie 4.1. O funcţie continuă γ : [a,b] R m se numeşte drum plan dacă m = 2 sau drum în spaţiu dacă m = 3. Punctul γ(a) se numeşte originea drumului,

Mai mult

MASTER TL-D 90 De Luxe |

MASTER TL-D 90 De Luxe | Lighting Percepţi nturlă culorilor Acestă lmpă TL-D fce culorile să pră bogte, profun şi mplificte într-un mod nturl. Prin urmre, este forte cvtă pentru plicţii în cre este necesră o bună recunoştere culorilor:

Mai mult

Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru,

Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru, Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru, adică f (t, 0) = 0, t t 0. In acest paragraf, funcţia

Mai mult

FIŞA DISCIPLINEI

FIŞA DISCIPLINEI FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1.Instituţia de învăţământ superior Universitatea SPIRU HARET 1.2.Facultatea Inginerie, Informatică şi Geografie 1.3.Departamentul Informatică şi Geografie 1.4.Domeniul

Mai mult

Cursul 12 Şiruri recurente în planul complex Vom studia, în continuare, comportarea în raport cu data iniţială a şirurilor definite prin relaţii de re

Cursul 12 Şiruri recurente în planul complex Vom studia, în continuare, comportarea în raport cu data iniţială a şirurilor definite prin relaţii de re Cursul 12 Şiruri recurente în planul complex Vom studia, în continuare, comportarea în raport cu data iniţială a şirurilor definite prin relaţii de recurenţă de forma z n+1 = f(z n ), n = 0, 1, 2,...,

Mai mult

ORDIN 5397/2013 Emitent: Ministerul Educatiei si Cercetarii Domenii: Invatamint Vigoare M.O. 700/2013 Ordin pentru modificarea si completarea Metodolo

ORDIN 5397/2013 Emitent: Ministerul Educatiei si Cercetarii Domenii: Invatamint Vigoare M.O. 700/2013 Ordin pentru modificarea si completarea Metodolo ORDIN 5397/2013 Emitent: Ministerul Eductiei si Cercetrii Domenii: Invtmint Vigore M.O. 700/2013 Ordin pentru modificre si completre Metodologiei privind formre continu personlului din invtmntul preuniversitr,

Mai mult