Clustere şi impurităţi în sisteme complexe

Transcriere

1 C: Soluţii numerice ale ecuaţiei Schrödinger independentă de timp. Metoda Tirului BIBLIOGRAFIE Ion. I. Cotaescu. Curs de Mecanica Cuantică, Tipografia UVT 990 Epperson J, An introduction to numerical methods and analysis, Wiley Interscience, Hoboken, 007. (Ch. 9: A survey of finite difference methods for partial differential equations) Harrison P, Quantum Wells, Wires and Dots. Theoretical and Computational Physics of Semiconductor Nanostructures Wiley 005 (Ch. 3 Numerical solutions). In cursul anterior am dezvoltat ecuaţia Schrödinger cu diferenţe finite şi am adoptat o soluţie matricială, metoda fiind ilustrată la rezolvarea problemei gropii infinite de potenţial. În acest curs pornim tot de la dezvoltarea ecuaţiei Schrödinger cu diferenţe finite, construim o soluţie iterativă (metoda tirului) şi aplicăm rezultatul la rezolvarea problemei gropii finite de potenţial... Metoda tirului Ca punct de plecare considerăm ecuaţia Schrödinger independentă de timp, ale cărei soluţii analitice au fost studiate extensiv în cursul de mecanică cuantică: ψ + V x x = E x m x ( ) ψ ( ) ψ ( ) In ecuaţia () potenţialul V(x) este nedefinit, în sensul că poate avea orice formă. In termeni de diferenţe finite a doua derivată se scrie: d f dx ( + δ ) + ( δ ) ( ) ( δ x) f x x f x x f x () Inlocuind () în ecuaţia Schrödinger () şi alegând δx suficient de mic se poate scrie: ()

2 ( x+ x) + ( x x) ( δ x) ψ δ ψ δ ψ + V E ψ = 0 m După câteva calcule algebrice simple rezultă: m ψ ( x δx) + = ( δx) V E + ψ x ψ x δx ( ) ( ) ( ) Ecuaţia (4) permite calculul funcţiei de undă în poziţia x + δx dacă aceasta este cunoscută în punctele x şi x - δx. Practic, folosind două valori cunoscute ale funcţiei de undă ψ ( x δx) şi ψ se poate calcula o a treia valoare ψ ( x δx) (3) (4) +. Folosind acest punct nou împreună cu punctul anterior funcţia de undă poate fi calculată în al patrulea punct ψ ( x δx) +, şi aşa mai departe. Astfel, funcţia de undă poate fi calculată pentru orice valoare a energiei. Acestă formă iterativă de rezolvare numerică a ecuaţiilor diferenţiale este cunoscută cu numele de metoda tirului (shooting method). Soluţiile în stările staţionare satisfac condiţiile pe frontieră: ψ Condiţiile iniţiale sunt de forma: x ± ψ x ± 0; 0 x ( x x) ψ δ = 0; ψ = (6) şi, în principiu, pot fi aplicate la rezolvarea ecuaţiei Schrödinger prin metoda tirului, indiferent de forma potenţialului. Ele pot fi doar parţial justificate matematic, dar sunt confirmate în totaliate de testele de convergenţă, aşa cum vom vedea la seminar. Amplitudinea funcţiei de undă nu este relevantă întrucât valorile proprii ale energiei nu se modifică dacă funcţia de undă este scalată cu o constantă. Având condiţiile iniţiale, în principiu se pot determina valorile proprii ale energiei E. Cum E este o necunoscută în ecuaţia (4), în realitate ψ este o funcţie atât de poziţie cât şi de energie. Practic, fiind date condiţiile iniţiale, pentru orice energie E poate fi calculată o funcţie de undă ψ ( xe, ). Energiile E la care avem solutii se supun condiţiei: ( E) (5) ψ, = 0 (7) Modul practic de implementare a metodei tirului va fi discutat in detaliu la seminar.

3 . Groapa finita de potential Considerăm problema gropii finite de potenţial cu geometria din Figura. In fiecare din cele trei regiuni ecuatia Schrodinger se scrie: l ( x ) V E, x m x ψ ψ ψ + = < ( ) ( ), l l x E x x m x ψ ψ = l ( x ) V E, x m x ψ + ψ = ψ > (8a) (8b) (8c) Figura Interpretarea probabilistică a funcţiei de undă impune: ψ ψ dx = (9) care relaţie se traduce în condiţiile stndard pe frontieră: ψ 0, ψ 0 x cand x ± (0) Folosind acest rezultat componentele exponenţiale crescătoare ale funcţiei de undă în interorul barierelor trebuie rejectate. Ca urmare putem scrie solutiile sistemului (8) astfel: α x l ψ = Ae, x < (a) ikx ikx l l ψ = Be + Ce, x (b) α x l ψ = De, x > (c) 3

4 Aceste funcţii de undă sunt reale şi reprezintă stări staţionare. In exteriorul gropii de potential solutiile sunt exponentiale reale, alese in asa fel incat functia de unda sa ramana marginita. Vectorul de undă k şi constanta de atenuare sunt: me k =, α = mv ( E) Pentru a determina stările staţionare impunem la interfeţe condiţii de continuitate de clasă C. In punctul x= + l avem: l l αl B exp ik + C exp ik = D exp (3a) l l αl ikb exp ik ikc exp ik = α D exp (3b) Impărţind cele două ecuaţii de mai sus, rezultă: l l B exp exp ik + C ik = (4) ik l l α B exp ik C exp ik In cazul starilor pare, functia de unda este cosinusoidala, ceea ce impune B = C. l cos k = (5) ik l α i sin k kl ctg k = α (6) de unde kl fp ( E) = ktg α = 0 (7) In cazul stărilor impare funcţia de undă în interiorul gropii de potenţial este sinusoidală şi in cazul ecuatiei (4) vom avea B = -C. Un calcul asemanator cu cel de mai sus conduce la: kl fi ( E) = kctg + α = 0 (8) () 4

5 Având în vedere că deopotrivă k şi α sunt funcţii de energie, rezultă că şi relaţiile (7) şi (8) sunt funcţii de energie. Ecuaţiile (7) şi (8) pot fi rezolvate numeric folosind algoritmul Newton-Raphson.3. Algoritmul Newton-Raphson (metoda tangentei) In procedura Newton-Raphson, dacă E n este o soluţie arbitrară a ecuaţiei f( E ) = 0, atunci o estimare mai bună a soluţiei este: f( En) E = n E + n f '( E ) (9) unde f '( E n) este derivata functiei f in punctul E n. Noua estimare E n este folosită apoi pentru a genera soluţia E n şi aşa mai departe, până când diferenţa dintre două valori consecutive devine suficient de mică. O demontratie a metodei Newton-Raphson poate fi facuta intuitiv dupa cum urmeaza. Sa presupunem ca functia f( E ) are graficul din Figura. Rezulta imediat: n de unde rezulta imediat relatia (9). f( En) tg ( α ) = = f '( En) E E n n+ (0) Figura In cazul gropii de potential finite, pentru a implementa algoritmul Newton-Raphson trebuie cunoscute derivatele f E. Pentru starile pare avem: 5

6 unde df p dk kl l dk dα = tg + k () de de kl cos de de dk m, d α = = m () de E de V E Iar pentru starile impare avem: dfi dk kl l dk dα = ctg + k + (3) de de kl sin de de TEMA SEMINAR: Să se rezolve problema gropii finite de potenţial folosind metoda tirului şi algoritmul Newton-Raphson cu o precizie de 0-6 ev. 6