Rezistenţa materialelor volumul II Prefaţă Realizarea progresului tehnic în toate ramurile industriale în care intervin structuri de rezistenţă necesi

Mărimea: px
Porniți afișarea la pagina:

Download "Rezistenţa materialelor volumul II Prefaţă Realizarea progresului tehnic în toate ramurile industriale în care intervin structuri de rezistenţă necesi"

Transcriere

1 Prefaţă Reaizarea progresuui tehic î toate ramurie idustriae î care itervi structuri de rezisteţă ecesită atât cuoştiţe mutipe şi aprofudate di domeiu Rezisteţei materiaeor cât şi deprideri avasate de cacu. Reducerea cosumuui de materiae, ceea ce echivaează cu dimesiui mai reduse petru piese, este posibiă umai pe baza uor studii detaiate privid rezisteţa, deformabiitatea,stabiitatea şi durabiitatea eemeteor astfe îcât odată cu creşterea performaţeor tehoogice, siguraţa î epoatare, pe toată durata de fucţioare să fie depiă. Petru acest ucru, voumu II prezită oţiuie ştiiţifice, metodee şi procedeee cocrete de cacu şi dimesioare ae structurior sub o formă adecvată atât îţeegerii aspecteor fizice cât şi apicării or î cazuri specifice reae di domeiu costrucţiei de maşii şi utiaje. Î acest voum s-a cotiuat iia matematizării totae a tuturor feomeeor şi epicarea fiecărui detaiu î parte. Acest mod de ucru, ia o buă parte di timp şi di spaţiu,dar fără acest sti u se poate îţeege î mod ştiiţific Rezisteţa materiaeor. Î acest voum, capitoee au o egătura mare ître ee, capitou VII ( Fambaju ) î demostrarea tuturor feomeeor se poreşte de e ecuaţia fibrei medii deformate, cu codiţiie de rigoare ae fiecărui caz î parte. Î capitou VIII ( Soicitări diamice pri şoc ) se observă egăturie cu soicitărie statice şi mai itervi uee codiţii specifice acestui capito. La trasarea diagrameor de eforturi petru baree cotite s-au foosit toate metodee de cacu, îcărcărie au fost reative simpe. --

2 Petru muca depusă şi sugestiie făcute cu ocazia citirii mauscrisuui aduc muţumiri deosebite referetuui ştiiţific prof.dr.igmarce Nǎforiţǎ. Autoru --

3 Cupris voumu II Capitou VI Soictarea a îcovoiere Deformarea bareor drepte soicitate a îcovoiere 6..Itegrarea aaitică a ecuatiei difereţiae a fibrei medii deformate î cazu grizior de secţiue costată şi eecutate di aceaşi materia adică [ E E E E] cu mai mute câmpuri de variaţie a mometuui îcovoietor. Procedeu Cebsch sau a idetificării costateor de itegrare Teoremee ui Castigiao Metoda grafo-aaitică de itegrare a ecuaţiei difereţiae de ordia a II-ea a fibrei medii deformate Studiu depasărior pri metode eergetice. Lucru mecaic a forţeor eterioare Bara supusă a îtidere sau compresiue Bara supusă a soicitarea de îcovoiere pură Bara supusă a soicitarea de îcovoiere simpă Bara supusă a soicitarea de răsucire a uui arbore Teoremee reciprocităţii ucruui mecaic şi a depasărior Teorema ui Betti Studiu depasărior pri metoda Mohr-Mawe. Metoda de itegrare Vereşceaghi Grizi drepte static edetermiate Itroducere Ecuaţia ceor trei momete ( ecuatia ui Capeyro ) Teorema reciprocităţii depasărior sau teorema ui Mawe. Capitou VII Stabiitatea eastică ( Fambaju ) 7..Defiiţia fambajuui --

4 7.. Formua ui Euer petru cacuu forţei critice de fambaj a baree drepte Bara articuată a ambee capete Bara îcastrată a u capăt şi iberă a ceăat capăt Bara îcastrată a u capăt şi articuată a ceăat capăt Bara îcastrată a ambee capete Limita de vaabiitate a formuei ui Euer. Fambaju î zoa eastică şi î zoa pastică Cacuu de rezisteţă a fambaj Cacuu de rezisteţă a fambaj petru piesee de maşii Cacuu de rezisteţă a fambaj î costrucţiie metaice...9 Capitou VIII Soicitări diamice pri şoc 8.. Soicitarea de îtidere sau compresiue pri şoc Soicitarea a îcovoiere pri şoc Soicitarea a răsucire pri şoc...77 Capitou IX Echiibru sistemeor pae acătuite di bare rigide egate ître ee pri articuaţii Grizi cu zăbree 9.. Defiiţii Cacuu grizii cu zăbree Cacuu eforturior Metoda izoării odurior metoda aaitică Metoda izoării odurior metoda grafică Costrucţia epurei Cremoa pri otarea bareor Costrucţia epurei Cremoa pri otarea regiuior Metoda aaitică a secţiuior. Metoda Ritter 9.. Deformaţia grizior cu zăbree

5 Capitou X Trasarea diagrameor de eforturi petru baree cotite.. Geeraităţi... Trasarea diagrameor de eforturi petru baree cotite.. -5-

6 Cupris voumu I Capitou I. Itroducere.. Noţiui itroductive..7.. Obiectu şi probemee rezisteţei materiaeor.7.. Casificarea corpurior..8.. Cosiderete ecoomice Puctee de apicatie ae forţeor..6. Casificarea forţeor..6.. Forţee eterioare..6..forţee iterioare eforturi uitare eforturi sau eemete de reducţie 9.9.Ecuaţiie de echivaeţă.....statica apicată a rezovarea probemeor de rezisteţa materiaeor.....casificarea reazemeor..... Reazem simpu Reazem cu articuaţie fiă Reazem îţepeit ( îcastrat )..... Deformaţii şi depasări Deformaţii iiare Deformaţii ughiuare...7 Capitou II Ipotezee de bază di rezisteţa materiaeor.. Geeraităţi..... Ipoteza cotiuităţii materiei..... Ipoteza omogeităţii materiei..... Ipoteza mediuui izotrop Ipoteza easticităţii materiauui...6. Ipoteza deformaţiior mici Ipoteza proporţioaităţii ître tesiui şi deformaţii.. -6-

7 .8. Pricipiu ui Sait Veat Ipoteza stării ormae.... Ipoteza ui Beroui ( ipoteza secţiuior pae ).5.. Diagramee caracteristice ae materiaeor 6... Diagrama caracteristică Curba caracteristică a îtidere petru u oţe.8... Curba caracteristică a oţeuui a compresiue Curba caracteristică a torsiue Curbee caracteristice petru materiaee care u ascută de egea ui Hooke.... Factorii care ifuieţează caracteristicie mecaice şi eastice ae materiaeor.... Teoreme şi metode eergetice. Eergia poteţiaă de deformaţie...5 Capitou III Soicitarea a îtidere sau compresiue..soicitări aiae 7... Reaţiie difereţiae ître sarcii şi eforturi a soicitarea aiaă Cacuu tesiuii ormae petru soicitarea aiaă Deformaţii şi depasări î bare soicitate aia Eergia poteţiaǎ de deformaţie Teoremee ui Castigiao Teorema a I-a a ui Castigiao apicată a soicitarea aiaă 6.5. Cacuu bareor de greutate mare soicitate aia Bara de egaă rezisteţă a soicitări aiae Reaizarea practică a barei de egaă rezisteţă a soicitarea aiaǎ Probeme static edetermiate a soicitarea aiaă Tesiui cauzate de variaţii de temperatură 88.. Tesiui pe o secţiue îciată

8 Capitou IV Soicitarea a forfecare.. Noţiui geerae.. Cacuu tesiuii tageţiae.. Lucru mecaic specific de deformaţie a soicitarea de forfecare..... Tesiui îtr-o secţiue îciată Cacuu a presiue de cotact ( strivire ).8 Capitou V Soicitarea a răsucire 5.. Răsucirea arborior de secţiue circuară şi respectiv ieară Cacuu mometuui de răsucire a arbori de trasmisie Tesiui şi deformaţii a rǎsucire Caracteristicie geometrice ae secţiuior trasversae Secţiuea traversaă circuară Secţiuea traversaă circuară ieară Eergia de deformaţie a răsucire Cacuu arcurior eicoidae cu spire strâse Cacuu săgeţii arcuui Reaţiie difereţiae ître sarcii şi eforturi a soicitarea de răsucire Arbori static edetermiaţi.58 Capitou VI 6.. Caracteristicie geometrice ae suprafeţeor pae Momete statice Momete de ierţie geometrice Variaţia mometeor de ierţie faţă de ae paraee. Teoremee ui Steier Variaţia mometeor de ierţie faţă de ae cocurete Secţiuea trasversaă dreptughiuară

9 6..6. Secţiuea trasversaă triughiuară Secţiuea trasversaă sector de cerc Secţiuea trasversaă circuară Secţiuea trasversaă circuară ieară Soicitarea a îcovoiere. Noţiui geerae Cacuu tesiuii ormae Studiu eperimeta a deformaţiei grizii soicitată a îcovoiere pură Cacuu tesiuii ormae σ. Reaţia ui Navier Reaţiie difereţiae ître sarcii şi eforturi Duaitatea tesiuior tageţiae Cacuu tesiuii tageţiae. Reaţia ui Juravschi Variaţia tesiuior tageţiae petru diferite forme ae secţiuii trasversae ae bareor Secţiuea dreptughiuară Secţiuea dreptughiuară cu go Secţiuea circuară Eergia poteţiaă de deformaţie îmagaziată îtr-o bară supusă a soicitarea de îcovoiere Bare de egaă rezisteţă a îcovoiere Grida î cosoă, cu secţiue dreptughiuară a care îăţimea secţiuii trasversae este variabiă Grida î cosoă, cu secţiue dreptughiuară cu ăţime variabiă Grida î cosoă cu secţiue circuară Bare de egaă rezisteţă de secţiue circuară îcǎrcate ca î figurie 5 şi Deformarea bareor drepte soicitate a îcovoiere Metoda itegrării aaitice a ecuaţiei difereţiae a fibrei medii deformate Grida simpu rezemată cu sarciă uiform repartizată

10 --

11 Capitou VI Soicitarea a îcovoiere Deformarea bareor drepte soicitate a îcovoiere 6.. Itegrarea aaitică a ecuaţiei difereţiae a fibrei medii deformate î cazu grizior de secţiue costată şi eecutate di aceaş materia adică ( E E E E ) cu mai mute câmpuri de variaţie a mometuui îcovoietor. Procedeu ui Cebsch sau a idetificării costateor de itegrare. Acest procedeu reduce umăru costateor de itegrare a două C şi D, pe câd a metoda aaitică se itroducea petru fiecare regiue câte două costate de itegrare, ca atare petru o bară cu trei sau mai mute regiui, metoda aaitică devie destu de compicată. Procedeu Cebsch impue aumite restricţii : ) origiea de măsură a absciseor se fiează îtotdeaua a uu di capetee barei, idiferet dacă este reazem sau capăt de cosoă. ) origiea odată aeasă rămâe eschimbată pe tot timpu rezovării probemei, poziţioarea forţeor ( sarciior) şi a secţiuior curete se face umai faţă de această origie. ) toţi termeii epresiei mometuui îcovoietor di regiuea ( câmpu ) precedetă trebuie ăsaţi eschimbaţi ca formă î fucţia mometuui îcovoietor a regiuii următoare a grizii. ) toţi termeii epresiei mometuui îcovoietor care apar î regiuea următoare, îcepâd cu regiuea a doua, trebuie să coţiă biomu ( i aj ). 5) itegrarea ecuaţiei difereţiae, trebuie făcută fără a se desface paratezee biomuui ( i aj ). 6) trosoaee barei să fie di aceaşi materia şi secţiuea trasversaă să fie costată pe toată ugimea barei. De aici reiese particuaritatea acestui procedeu. --

12 i j se t se difereţiază Câd eistă de rezovat itegraa de forma: ( a ) d face schimbarea de variabiă ( i a j ) d( ) i a j ' i j dt ( a ) d dt d dt t ( i a j ) d t dt C ude t ( i a j ), şi deci ( ) ( ) i a j i a j d C. Să demostrăm eisteţa a umai două costate de itegrare C şi D, petru o gridă îcărcată ca î figură, acest caz particuar duce pri iducţia matematică a rezovarea oricărui tip de îcărcare. Apicăm metoda aaitică de cacu a săgeţior şi a rotirior secţiuior trasversae, petru fiecare regiue î parte şi e foosim de faptu că fucţia aei de simetrie deformată trebuie să fie cotiuă şi derivabiă pe tot domeiu maim de defiiţie. Figura --

13 Regiuea îtâi ( a ) M ( ) VA iz ecuaţia fibrei medii d y deformate va fi : EI z M ( iz ) V A, d Figura pri itegrări succesive se obţi, următoaree epresii dv VA EI z C d VA EI zv( ) C D 6 Petru regiuea a II-a [ ) ( ) ( ) a a M iz VA F a ecuaţia fibrei d y EI z M iz ( ) VA F a d pri itegrări succesive se obţi, următoaree epresii: -- medii deformate va fi : ( )

14 -- ( ) ( ) 6 6 ) ( D C a F V v EI C a F V d dv EI A z A z ( ) Puem codiţiie de cotiuitate şi derivabiitate ae fucţiior ce eprimă săgeţie şi rotirie secţiuior trasversae, î secţiuea ( ) [fucţia y() v() să fie cotiuă şi derivabiă]. Deci ) ( ) ( ) ( ) ( d dv a d dv a v a v a a fe şi ) ( ) ( ) ( ) ( d dv a EI d dv a EI v a EI v a EI z z z z De ude rezută : C a V C a V D a C a V D a C a V A A A A de aici impică C C şi D D. S-a precizat că acest procedeu este itat a baree eecutate di aceaş materia şi u variază dimesiuie secţiuior trasversae. Regiuea a III-a [ ) a a ( ) ( ) ( ) a F a F V M A iz ecuaţia fibrei medii deformate va fi : ( ) ( ) ) ( a F a F V M d y d EI A iz z

15 -5- Figura ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( D C a F a F V v EI C a F a F V d dv EI A z A z Puem codiţiie de cotiuitate şi derivabiitate ae fucţiior ce eprimă săgeţie şi rotirie secţiuior trasversae, î secţiuea ( ) [fucţia y() v() trebuie să fie cotiuă şi derivabiă]. ) ( ) ( ) ( ) ( d dv a d dv a v a v a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C a a F a a F a V C a a F a a F a V D a C a a F a V D a C a a F a V A A A A

16 Figura de aici impică C C C şi D D D. Pri iducţie matematică rezută că : C C C C C şi D D D. D D, ude C EI z * ϕ v este săgeata î origie, iar φ rotirea î origie a D EI z * v secţiuii trasversae. Probema r.5 Să se cacueze săgeţie şi rotirie secţiuior trasversae Q şi S petru bara di figura 5, ştiid că : E,. 5 N/mm q 6 N / m, m, secţiuea trasversaă fiid dreptughiuară cu b 6 mm şi h 8 mm. Rezovare: Cacuăm săgeţie şi rotirie secţiuior trasversae Q şi S cu ajutoru procedeuui Cebsch petru grida di figura 5, aegem ca origie, articuaţia di (A). Se scrie ecuaţia mometuui geeraizator di utima regiue (B-S), apoi se cacuează epresia fucţiior petru săgeţi şi rotiri tot cu -6-

17 eemete geeraizatoare. q ( ) ( ) M iz ( ) 5q q 9q( ) cu q( ) q( ) 8 q R ( ) q ( 9 ) îcărcarea trapezoidaă s-a desfăcut îtru triughi şi îtr-u dreptughi. Forţa rezutată petru triughi q. R ( ) ( ), forţa rezutată petru dreptughi 6 Rdreptughi()q()(-), petru trapezu dreptughic variabi di figura 6, s-a apicat pricipiu suprapuerii efecteor. Deasemeea petru a avea î epresia mometuui îcovoietor termeii biomiai ( i - aj ) s- a pus a mometu îcovoietor cocetrat Miz ( Q ) q braţu ( ) [ orice umăr a puterea zero este ega cu uu ], apoi s-a preugit fucţia de îcărcare q() q di regiuea a II-a [ sus şi jos pe aceeaşi ugime ( - )] ca urmare a apicării pricipiuui suprapuerii efecteor. Fucţia de îcărcare petru regiuea a III-a ( fiid triughiuară ) se afă di teorema ui Thaes : q( ) 9 q 6 9 q( ) ( 9 ) q 6 6 q( 9 ) q [ q q( ) ] ( ) q R ( ( ) ( ) ) 6 q Rdreptughi R ( ) q( [ ] ( 9 )( ) câd se eprimă mometee îcovoietoare ae sarciii distribuite dată de îcărcarea trapezoidaă faţă de secţiuea ( ), se obţi defacat mometu îcovoietor petru îcărcarea triughiuară şi respectiv mometu îcovoietor petru îcărcarea dreptughiuară. -7-

18 Figura 6 Figura 5-8-

19 q q M izdreptughi ( ) ( 9 )( ) ( 6)( ) 6 6 q ( ) q( ) 6 q M ( ) ( ) q( ) iz, mometu îcovoietor petru 6 îcărcarea dreptughiuară di regiuea a III-a, q ( )( ) q M ( ) ( ) iz mometu 6 9 îcovoietor petru îcărcarea triughiuară di regiuea a III-a. Mometuui geeraizator di utima regiue: Figura 7 q ( ) ( ) q ( ) ( ) q( ) M iz ( ) 5q q 9q 8 Apicăm ecuaţia fibrei medii deformate: d y d y EI z M ( ) iz EI z d d [ 5q q ( ) q ( ) 9q ( ) q ( ) q( ) ] pri itegrări succesive se obţi, următoaree epresii -9-8

20 dv 5q q 9q EI z q ( ) ( ) ( ) d 6 q q ( ) ( ) C 7 5q q ( ) q( ) q( ) q( ) EI zv( ) q( ) C D 6 S-au obţiut epresiie săgeţior şi a rotirior secţiuior trasversae î forme geeraizatoare, se afă costatee C şi D di codiţiie de spriji ( de reazem ) ae barei. O primă codiţie este : v( ) a fe şi EI z v( ) î regiuea îtâi, [ ) ( ) 5q Figura 8 M iz petru epresia mometuui îcovoietor di regiuea îtâi, se ia di epresia mometuui îcovoietor geeraizator umai primu terme, a fe se ţie cot şi î epresiie săgeţior sau rotirior. --

21 dv q EI 5 z C d 5q EI zv ( ) C D 6 5q EI z v( ) C. D 6 D. A doua codiţie de reazem va fi: v ( ).Codiţiie de reazem ( de spriji ) sut cuprise î codiţiie de cotiuitate şi derivabiitate ae fucţiei fibrei medii deformate. Î regiuea a II-a, [ ) Figura 9 ( ) q M iz ( ) 5q q ( ) petru epresia mometuui îcovoietor di regiuea a II-a, se ia di mometuui îcovoietor geeraizator umai termeii care dau momet îcovoietor petru regiuea a II-a, î mod aaog se procedează a epresiie --

22 săgeţior şi a rotirior secţiuior traversae, se iau umai primii trei termei a care se adaugă cotribuţia ui C şi D. EI z v ( ) 5q q ( ) q( ) EI z v ( ) EI z C D 6 5q() q ( ) q( ) C. D 6 C - 9,8 q. Avâd determiate costatee de itegrare C şi D, s-au obţiut fucţiie săgeţior şi rotirior secţiuior trasversae peru orice puct de pe bară. dv 5q q 9q EI z q ( ) ( ) ( ) d 6 q q ( ) ( ) 9,8q 7 5q q ( ) q( ) q( ) q( ) EI zv( ) q( ) 9,8q. 6 Acum se cacuează săgeata şi rotirea î puctu Q, care se afă î regiuea îtâi deci se ia umai primu terme a care se adaugă cotribuţia C şi D : v ( ) vq EI z 5q 6 5q 6 8,996. q 9,8q EI z 9,8q EI z --

23 v Q 8,996. q EI,mm dv d 7,. q EI z z ϕ z Q 7,. q ϕq EI (.) 6N 8,996. m 5 N,. mm 5q 6N 7,. m 5 N,. mm 6 7,.6.. mm 5,..56mm (,) m 6.8 mm 9,8q EI (,) 6.8 mm,79[ rad] m (.) 9 8, mm 5,..56mm z EI z 5q 9,8q vq -, mm. Petru secţiuea di puctu S se iau epresiie geeraizatoare, deoarece (S ) cade î utima regiue petru care s-a făcut mometu îcovoietor geeraizator. 5q q EI zϕ S [ q 9 6 q q ( ) ( ) 9,8q ] 7 5q q EI zvs [ q( ) q( ) 9,8q. ] 8 6 ( ) ( ) ( ) ( ) q( ) q( ) 9q --

24 ( 9) 5q EI zϕ S [ q q q 7 5q EI zvs [ 6 5 q( 9 ) 9,8q.9] 6 q vs,77 EI q ϕ S 7, EI ( 9 ) ( 9 ) ( 9 ) ( 9 ) ( 9 ) ( 9) q ( 9 ) q( 9 ) q( 9 ) q( 9 ) z q 6 9,8q ] z 6N,77 (,) m 9,77. q m,77.6. (.). mm v 9, mm S EI z N 6.8 mm,..56mm 8 5 5,. mm 6N 7,. (,) m 6 7,. q 7,.6. (.). mm ϕ m S 5 EI z 5 N 6.8 mm,..56mm,. mm,789[ rad]. 9q 6.. Teoremee ui Castigiao Dacă eistǎ o bară îcărcată ca î figura : 8 Figura --

25 L L v S săgeata î puctu S, iar P M izq ϕq rotirea secţiuii trasversae di puctu Q. M iz ( ) M iz ( ) M iz ( ) M iz ( ) vs d ϕ Q d EI P z EI M z izq M iz ( ) L d L fiid ucru mecaic eastic de deformaţie EI z îmagaziat îtr-o bară supusă a îcovoiere. Î cazu î care se cere să cacuăm î (S) şi rotirea secţiuii trasvesae, trebuie să itroducem î S u momet îcovoietor cocetrat fictiv Miz (S) kn.m, apoi se cacuează VA şi Miz (A) fucţie de Miz( S), a sfârşitu rezovării probemei se face Miz (S) kn.m. Figura Î mod aaog dacă se cere săgeata î Q, se itroduce î secţiuea trasversaă di puctu Q, se itroduce o forţă cocetrată fictivă PQ [ kn ] şi se procedează î aceaşi mod, adică cacuăm forţa de reacţiue VA, respectiv mometu de reacţiue Miz(A) şi î fucţie de PQ, apoi a sfârşitu rezovării probemei se îocuieşte PQ [ kn ]. -5-

26 Probema r. 6 Să se cacueze săgeata şi rotirea secţiuii trasversae di Q, petru bara di figura, ştiid că : E,. 5 N/mm q,5 N/m, m, secţiuea trasversaă fiid circuară cu diametru 6 mm. Figura Deoarece î puctu Q u avem momet îcovoietor cocetrat, se itroduce u momet îcovoietor cocetrat fictiv Miz(Q) [ kn.m ] a urmă se itroduce vaoarea ui umerică. Se cacuează VA şi Miz (A) fucţie de Miz( Q) şi de forţa cocetrată PQ cu meţiuea că a sfîrşitu rezovării probemei se îocuiesc Miz( Q ) [ kn.m ] şi PQ q. F y VA q PQ VA q PQ M iz ( A) M iz ( A) q. q M izq PQ.9 M iz ( A) q M izq PQ. 9. La apicarea teoremeor ui Castigiao petru îceput trebuie să se ucreze cu tabeee, fiid mai uşor de cacuat, după o aumită perioadă de acomodare cu aceste metode atuci se poate trece peste aumite etape de cacu. q Regiuea îtâi ( ). ( ) M iz VA M iz A q M iz ( ) ( q PQ ) 9PQ M izq q -6-

27 Observaţie Petru regiuea a II-a este bie să se ia origiea î puctu S petru că se uşurează cacuu itegraeor, de eempu dacă avem : b b ( b a ) cazu( I ) d a cazu ( II ) a c c c d î cazu a doiea este mai avatajos de cacuat. Regiuea îtâi Miz() ( q P ) Q 9P Q M iz ( ) PQ M iz ( ) M izq (...) q 9 - () M izq q.. P M q Q izq - () PQ. M izq - () a II-a ( ) a III-a Figura -7-

28 Regiuea a II-a ( ] ( ) M ( ) P M q iz Q izq Regiuea a III-a ( ] M iz ( ) PQ M izq tabeu este idicat să se facă, deoarece ajută a cacu. M iz ( ) M iz ( ) L vq d EI z PQ PQ M iz ( ) M iz ( ) L ϕ Q d EI z M izq M izq q ( ) 9 ( ) q P Q PQ M izq q d ϕq EI z [( ) ]( ) PQ M izq q d EI z ( P. M )( ) d Q izq Figura -8-

29 -9- Figura 5 acum se fac îocuirie cu vaorie or : PQ q MizQ [ kn.m ] ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) z z Q d q EI d q q d q q q q q EI ) (. 9 ϕ [ ] ( ) z z Q d q EI d q q d q q q EI ) (. 6 ϕ z z Q EI q q q q q q q EI,6 6 6 ϕ Q Q iz z iz Q P L d P M EI M v ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) [ ]( ) [ ]( ) 9 9 d M P EI d q M P EI d q q M P P q EI v izq Q z izq Q z izq Q Q z Q Acum se îocuiesc PQ şi MizQ cu vaorie or şi aume : PQ q MizQ [ kn.m ]

30 v Q EI v Q EI EI z ( q ) q 9. q q ( 9 ) [( ) q q ]( ) d [ q ]( ) d z EI EI ( 9 ) [ q q ]( ) d [ q ]( ) d z q 6q q z z,6q de ude vq.după ce s-a făcut primu tabe se poate EI z face şi u a doiea tabe cu vaorie îocuite petru PQ şi MizQ:,5 N,6..(,m) ϕ m Q 5 N,..6,585. mm mm,57. [ rad] Regiuea barei Miz() EI q z d (,),6.,5.. 5,..6,585. M iz ( ) PQ 6 d M iz ( ) M izq (...) îtâi q q 6q 9 - () a II-a q q - () a III-a q - () --

31 ,5 N,6..(,m) 9,6.,5. (,). v m Q,695mm. 5 5 N,..6,585.,..6,585. mm mm 6.5. Metoda grafo-aaitică de itegrare a ecuaţiei difereţiae de ordiu a II-ea a fibrei medii deformate Fie bara di figura 6, îcărcată cu o sarciă distribuită oarecare, d v ecuaţia fibrei medii deformate este : EI z M iz ( ) pri d dv itegrare se va obţie, EI z M iz ( ) d C d M iz ( )d Ao, reprezită aria diagramei de momete îcovoietoare pe porţiuea o- care se otează cu Ao. Impică reaţia, dv EI z Ao C costata C se cacuează d Figura 6 --

32 di codiţia iiţiaă a ui Cauchy, dv C tgϕ ϕ [ Ao C] ϕ d EI z EI z C EI z ϕ dv A EI z Ao EI zϕ se itegreză îcă o d dată şi vom obţie: EI z v( ) EI z. Aod D Acum se itegrează pri părţi Aod f ( ) Ao df d da o dg d d dg d g ( ) formua de itegrare pri părţi este: f ( ) g ( ) d f ( ). g( ) f ( ) g( )d Aod. Ao. dao cum di figura 6, reiese că a a, iar. da o reprezită mometu static a suprafeţei diagramei de momete îcovoietoare de pe porţiuea o- faţă de origie, deci. da o a Ao ude a a A od. Ao Ao. a Ao ( a a a ) a. Ao So. So a A o reprezită mometu static a suprafeţei diagramei de momete îcovoietoare de pe porţiuea o- faţă de secţiuea ( ). EI z v( ) EI zϕ So D costata( D ) se afă di codiţia iiţiaă a ui Cauchy : So D D v( ) v ϕ v EI z EI z EI z --

33 EI v EI ϕ S vei. D v. E Iz z ( ) z o z Figura 7 Această metodă este o combiaţie ître metoda grafică şi cea aaitică, dar petru epresii mai dificie ae sarciii distribuite de îcărcare q() f(), devie mai greu de apicat, metoda aceasta ajută a demostrarea ecuaţiei ceor trei momete ( ecuaţia ui Capeyro ), care este foosită a rezovarea grizior cotiuie. Probema r. 7 Să se cacueze săgeata şi rotirea secţiuii trasversae di puctu Q,petru bara di figura, ştiid că : E,. 5 N/mm, m avâd secţiuea trasversaă circuară ieară cu d mm şi D 5 mm. Rezovare: ( 5 ) 8,6. mm I z π 6 Afăm forţee de reacţiue VA şi VB di codiţiie de echiibru: --

34 F y VA - kn VB ecuaţia de verificare. M iz ( A) kn.,m kn. m VB.,6m,9kN V B, 85kN M iz ( B),6,5kN kn.,5m kn. m VA.,6m V A, 85kN,6 VA - kn VB ecuaţia de verificare,,85 kn kn,85 kn este îdepiită ecuaţia de verificare, deci s-au cacuat corect forţee de reacţiue. Deoarece VB -,85 kn, se schimbă sesu, acest ucru u este obigatoriu. Regiuea îtâi [, m) ( ) M iz,85kn. M iz ( ) M iz ( ),85kN.,m,85kN. m,m Figura 8 Regiuea a II-a [,m, 7m) M iz ( ),85kN. kn(, m) M iz ( ),85kN.,m,85kN. m,m --

35 M iz.,7m ( ),85kN.,7m kn.,6m,6875kn m Figura 9 Figura Regiuea a III-a (, 9m] M iz ( ),85kN. M iz,85kn.,9m,65kn.,9m ( ) m -5-

36 M iz ( ). Se ia ca origie uu di capetee barei A - O, această origie trebuie să rămâă eschimbată pe tot timpu rezovării probemei. dv EI z EI zϕ Ao EI zv( ) EI zϕ S vei z dar d v î cazu ostru, EI zv( ) EI zϕ So petru a afa pe φ ( rotirea secţiuii trasversae î origie ) foosim a II-a codiţie de reazem, aume săgeata î B este egaă cu zero ( vb ). v,6m ( ) S ϕ.,6m EI v OB z B EI z,6m z ( EI ϕ S z o ) Figura ϕ SOB EI z,6m. S-a desfăcut trapezu dreptughic îtr-u triughi şi u dreptughi, coform pricipiuui suprapuerii efecteor. -6-

37 ,85kN. m.,m,m S OB,5m,65kN. m.,9m,85kn. m.,6m,875knm.,6m (,m,9m),5. kn. m 9,5. N. mm (,m,9m) (,6m) 9 SOB,5. N. mm ϕ,6m. EI 5 N z,..8,6. mm.,6. mm. mm,68. [ rad] Petru a afa săgeata şi rotirea secţiuii trasversae di puctu Q, trebuie să ţiem cot de origiea care se afă î A O. dv EI z EI zϕ Ao d petru Q avem : EI zv( ) EI zϕ So Ao dv EI zϕ Ao Q m EI ϕ ϕ,7 z,7m d,7m EI z AOQ ϕ Q ϕ EI z,85kn. m.,m,875kn. m.,6m A OQ,85kN. m.,6m 9,596kN. m,596. N. mm ϕ,68. Q, [ rad] 9,596. N. mm [ rad] 5 N,. 8,6. mm mm -7-

38 v Q,7m S ϕ.,7m EI EI ϕ S OQ z z EI z o,7 S m ϕ EI o z,85knm.,m,m S OQ,6m,85kNm.,6m.,m,875kNm.,6m,m,78kNm S OQ,78. N. mm v Q,68. [ rad],78. N. mm 5 N,..8,6. mm.,7. mm mm,67mm. Probema r.8 Să se cacueze săgeata şi rotirea secţiuii trasversae di puctu Q, petru bara di figura, ştiid că : E,. 5 N/mm P kn,6 m cu secţiuea trasversaă di figura. Rezovare: Afăm forţee de raecţiue VA şi VB di codiţiie de echiibru: F y VA VB P ecuaţia de verificare. P M iz ( A) P. VB. V B. P M iz ( B) -. P. VA. V A P P VA VB P ecuaţia de verificare P P P, este îdepiită ecuaţia de verificare, deci s-au cacuat corect forţee de reacţiue. -8-

39 Figura Se cacuează mai îtâi caracteristicie secţiuii trasversae, apoi se cacuează şi ceeate date ae probemei. Figura -9-

40 I z I z I II I z I z I. I z I II. 9. I z I z II 9. I z Figura Figura 5 Iz 9,9. 6 mm za z A mm.8. mm 95mm.9mm z G A A 8mm 9mm 89,mm cu z mm A.mm A 8 mm z 5 mm A 9. mm 9 mm petru cacuu săgeţior şi a rotirior, vom apica metoda grafo-aaitică. --

41 dv EI z EI zϕ Ao d dar cum săgeata î articuaţia A EI zv( ) EI zϕ vei z So este egaă cu zero, v, dv EI z EI zϕ Ao d ( ) şi φ ( rotirea di origie ) se afă cu EI zv EI zϕ So ajutoru ceei de a II-a codiţie de reazem. v ( ) S ϕ. EI v OB z B EI z,6m z ( EI ϕ S z o ) ϕ SOB EI P 9P SOB AOQ. AQB.,5P să 8 8 cacuăm şi cu ajutoru cacuuui itegra. Regiuea îtâi z Figura 6 M iz P VA ( ) ( ) --

42 Figura 7 P iz B Regiuea a-ii-a ( ) M ( ) V Figura 8 S OB Figura 9 ( ) M ( ) d M ( ) d ( ) P d iz S OB,5P -- iz P d

43 SOB,5P,5.kN. (,6m) ϕ EI 5 N z EI z 6.,. 9,9. mm mm 6,5.. N. (,6) mm 5 N 6.,. 9,9. mm mm φ,. - [ rad ]. Săgeata şi rotirea î Q : Ao dv EI zϕ Ao Q EI ϕ ϕ z d EI z AOQ ϕ Q ϕ EI z AOQ ϕ Q,. [ rad] EI z 6 P.kN. (,6m). N(,6) mm A OQ 8 8 9, Nmm 9, Nmm ϕq,. [ rad] 5 N 6,. 9,9. mm mm,59. [ rad] Săgeata di puctu Q : EI zϕ So So SOQ vq EI z ϕ EI ϕ. z EI z P P SOQ AOQ 8 8 sau cacuăm cu itegraa: P ( ) ( ) ( ) P SOQ M iz d d 8 --

44 9 (,6m) N(,6) mm kn. S OQ,65. Nmm 8,65. N. mm v Q,. [ rad],6. mm 5 N 6,. 9,9. mm mm,55mm Figura 6.6. Studiu depasărior pri metode eergetice Lucru mecaic a forţeor eterioare Bara supusă a îtidere sau compresiue Figura Barei di figura se apică o forţă de îtidere, a cărei vaoare creşte progresiv de a zero a P. P δ kp EA Lucru mecaic eemetar a uei forţe P, corespuzător depasării d a puctuui de apicaţie este coform defiiţiei di mecaică: --

45 dl P. d P. d. cos α, ude ughiu α fiid ughiu ître direcţia forţei şi cea a depasării. Figura Î cazu ostru, bara fiid soicitată a îtidere, α cos α cos şi d dδ, iar ucru mecaic eemetar dl P. dδ P k dp dl k P dp P P δp dl kpdp k PdP k kp. face şi petru ate soicitări simpe. această reaţie se poate Bara supusă a îcovoiere pură Di figura, rezută : (,) M iz ( ) M Lucru mecaic de deformaţie îmagaziat î această bară va fi : M iz ( ) L d M iz ( ) M costat EI z -5-

46 ( ) ( M ) M iz L d EI z M M d EI z EI z EI z L M M Dar ughiuu î capătu iber a barei este: ϕ M EI z EI z M deci ucru mecaic a cupuui eterior M, fiid ϕ L. Figura Figura -6-

47 6.6.. Bara supusă a soicitarea de îcovoiere simpă (,) M iz ( ) P M iz ( ) ( P) M iz ( ) ( P) P M iz L EI v D Figura 5 ( ) ( P) P P d d EI EI 6EI z z z L P P P. v Pf f D L D f fd. P 6EI z EI z Bara supusă a soicitarea de răsucire a uui arbore z ( ) M t ( ) M t M ( ) t M t ( ) d, M t L d d GI p GI p GI p M t GI p M t GI p -7-

48 L M t M t. M ϕ B t ϕ L B. Î toate cazurie M t GI p GI p î care reaţia ître forţă sau cupu eterior şi deformaţia corespuzătoare este iiară, iar apicarea sarciii se face static, ucru mecaic a forţeor eterioare este ega cu eergia de deformaţie Figura 6 acumuată avâd o epresie dată de formuee arătate mai sus. Aceste epresii pe grafic reprezită aria triughiuui OAB. Figura 7-8-

49 6.7.Teoremee reciprocităţii ucruui mecaic şi a depasărior. Teorema ui Betti Asupra uui corp oarecare se apică două stări succesive de soicitare, produse de două grupe succesive de sarcii, apicâd asupra corpuui prima stare de soicitare, puctee de apicaţie ae forţeor suferă depasări, deci forţee produc ucru mecaic, iar corpu acumuează eergia L. Primu idice ( ) idică faptu că ucru mecaic este produs de forţee di prima stare de soicitare, a doiea idice ( ) idică depasărie di prima stare. Apoi pe corpu deformat se apică o a doua grupă de forţe, deci o a doua stare de soicitare, care cauzează o a doua grupă de depasări, î acest momet, forţee di a doua stare produse, corespuzător depasărior produse de ee, ucru mecaic L. Î aceaşi timp îsă, forţee di prima stare, care se afau apicate pe corp, produc, datorită depasărior, produse di a doua stare, ucru mecaic L, î fia eergia acumuată de corp, egaă cu ucru mecaic a forţeor eterioare, este L L L. Schimbâd ordiea de apicare a sarciior, deci îcepâd cu a doua şi apicâd aceaşi raţioamet, rezută ucru mecaic tota L L L, ude L este ucru mecaic datorită forţeor di a doua stare şi depasărie produse de prima, î fod eergia totaă fiid aceeaşi deci : L L L L L L. Impică L L aceasta fiid teorema reciprocităţii ucruui mecaic sau teorema ui Betti care este : dacă asupra uui corp deformabi se apică două stări de îcărcare succesive, ucru mecaic efectuat de forţee ( şi cupurie ) di prima stare cu depasărie ( săgeţi şi ughiuri ) di a doua este ega cu ucru mecaic efectuat di a doua stare cu depasărie di prima stare de îcărcare. Probema r.9 Să se cacueze săgeata di puctu D, petru bara di figura 8 a), ştiid că : E,. 5 N/mm F kn,7 m, secţiuea trasversaă fiid circuară cu diametru d 6 mm. -9-

50 Figura 8.6 I z π 6585mm prima stare de îcărcare, se ia 6 îcărcarea reaă a barei, iar drept a doua stare se apică o forţă egaă cu uitatea ( forţa versor a forţei P ) î secţiuea ude urmează a se afa săgeata [ figura 8 cazu b)]. Deci bara este supusă succesiv a forţee P P u P P, este forţa versor ( uitate) şi se apică î secţiuea trasversaă D. Lucru mecaic a forţeor di prima stare de îcărcare, adică a forţei P, cu depasarea corespuzătoare de a a doua stare este L - Pv v vq ( s-a uat cu mius petru că v este î ses ivers cu forţa P ). -5-

51 Aaog, forţa versor ( uitară) de a a doua stare cu depasarea di dreptu ei de a prima stare dă L -.f ( semu mius petru că forţa uitară s-a uat de ses cotrar săgeţii f ) deci : L L -Pv -.f rezută că Pv.f, [Pv] [.f ] [P] [v] [].[f ] [kn]. [m ] [kn]. [m] ( forţa uitate poate fi : kn N etc. ). Petru bara di figura 8 cazu b) : F y V A V B ecauţia de verificare. M iz ( A). VB. 6 V B M ( B) iz -. VA. 6 V A. Figura 9 V A V B ecauţia de verificare, este îdepiită ecauţia de verificare. Apicăm procedeu Cebsch, petru cacuu săgeţior şi a rotirior, î cazu ostru trebuie să determiăm rotirea î puctu A ( rotirea î origie ), am uat ca origie capătu A ( A O şi această origie rămâe eschimbată pe tot timpu rezovării probemei). M iz ( ) ( ) ( 6) este epresia mometuui d v geeraizator di utima regiue, EI z M iz ( ) d -5-

52 d v EI z ( ) ( 6) d dv ( ) ( 6) EI z C d 6 ( ) ( ) ( 6) EI zv C D C D 9 D v( ) v A EI z EI z deci, D. Afăm pe C di a doua codiţie de reazem: ( ) C v( ) v 9 6 B 6 6 EI z rezută că, (6) () C EI z ( ) ( 6) C, dv EI z,. d 6 dv ( ) ( 6) ϕ B [,. ] 6 d 6 6 EI z,78 ϕ B. EI z Di figura 9 porţiuea BQ u este soicitată deci Miz (), apicăm ecuaţia fibrei medii deformate pe această regiue şi se obţie: d v d v EI z EI z CBQ EI zv( ) CBQ DBQ d d y ( ) v( ) ( CBQ DBQ ) este ecuţia dreptei BM (ecuaţia fibrei EI z medii deformate). -5-

53 Î triughiu BQM di figura 8 cazu b) apicăm fucţiie trigoometrice : v Q,78 tgϕ B ϕ B vq. ϕ B EI z săgeata î D, fiid fd f. f P. vq P. v (,7m),78P,78.. kn. f EI z 5 N,..6585mm mm,78p f EI. z mm,78.. kn. 5 N,..6585mm mm (,7m),78.. N. (,7),. 5 N mm 9 mm.6585mm 6.8. Studiu depasărior pri metoda Mohr- Mawe Metoda de itegrare a ui Vereşceaghi Fie o bară asupra căreia acţioează forţee: F F F, fiid prima stare de îcărcare ( cea reaă ) şi î a doiea caz asupra ei acţioează o forţă egaă cu uitatea ( forţa versor di puctu E ), forţa uitate ( ) se pue cu puctu de apicaţie î secţiuea î care vrem să cacuăm depasarea iiară. Dacă uăm u eemet ifiitezima di bară ( d ), î prima stare forţa aiaă N(), iar î a doua stare o forţă aiaă, care î cazu de faţă este egaă cu uu, adică, forţa versor ( se egijează greutatea proprie a barei ) dar î cazu geera are o vaoare oarecare. Epicităm ucru mecaic dl petru -5-

54 eemetu ifiitezima di bară ( d ), ude dl se datoreşte forţei N () de a prima stare de îcărcare şi depasării produse de forţa. d ( ) de a a doua stare, care se poate scrie: ( d) EA N. dl N( ) * ( d) d se itegrează epresia şi se obţie, EA Figura N. dl L d. EA Î care N(), este forţa aiaă îtr- secţiue curetă, datorită îcărcării reae a barei, iar ( ), este forţa aiaă î secţiue curetă, datorită îcărcării versor ( uitare ) apicată î puctu şi pe direcţia N( ). depasării căutate. L δ δ L L δ d, di EA -5-

55 ( ) d N. [ N].[ ] [ N].[ N]. δ [].[δ] [ d] [N]. [m] [ m] EA [ E].[ A] N [ ].[ m ] m [N]. [m] [N]. [m]. La o bară soicitată a îcovoiere di figura a), a fe apicăm teorema reciprocităţii a ui Betti, prima stare de îcărcare este cea reaă, căreia îi corespude diagrama de momete Miz ( ), petru a determia săgeata î secţiuea ( ) afată a distaţa 5 faţă de reazemu di A, a doua stare de îcărcare este cea produsă de forţa Figura versor (uitară) apicată î secţiuea cosiderată şi pe direcţia săgeţii căutate şi petru această stare de îcărcare am făcut diagrama de momete îcovoietoare miz ( ). Dacă se iau eemete ifiitezimae d,di cee două bare îcărcate astfe, cupurie miz () di a doua stare de îcărcare produc miz ( ) u ughi de rotire : ϕ d î acest caz EI z M iz ( ). miz ( ), dl M iz ( ). ϕ d se itegrează, EI z -55-

56 Figura a M iz ( ). miz ( ) dl L d EI z L L L. δ δ M iz ( ). miz ( )d dl L δ, care este o formă EI z particuară a teoremei Mohr-Mawe petru cacuu depasărior. M iz ( ). miz ( ) [ M ( ) ( ). δ d iz ].[ miz ] [ ].[ δ ] [ d] EI [ E][ I ] z [ N. m].[ N. m] [ N ][ m] [ m] [ N. m] [ Nm] N [ ][ m ] m z -56-

57 Dacă se geeraizează, apicâd forţa versor (uitară) sau mometu versor ( uitar ) î secţiue şi pe direcţia depasării căutate produce eforturi :, t, miz, mt epresia depasării devie: N( ). ( ) k. T ( ). t( ) M iz ( ). miz ( ) δ d d d EA GA EI z M t ( ). mt ( ) d GI d, ude (), N(), mt (), miz () sut respectiv forţa aiaă, forţa tăietoare, mometu de torsiue şi mometu îcovoietor produse de sarcia versor ( uitară ) îtr-o secţiue curetă. Dacă eistă u sistem de bare curbe, atuci epresia petru δ va fi : N( s). ( s) k. T ( s). t( s) M iz ( s). miz ( s) δ ds ds ds EA GA EI s s s z. M t ( s). mt ( s) ds GI s d Câd depasarea rezută di cacu pozitivă, îseamă că, ea are sesu forţei versor ( uitare ) sau a mometuui versor ( uitar ). M iz ( ) miz ( ) Petru îcovoiere δ d EI z avem produsu a două fucţii Miz () şi miz (), cu meţiuea că miz () petru baree drepte, va fi tot timpu o fucţie iiară şi de aici se va apica metoda ui Vereşceaghi de cacu a itegraeor. Această metodă de cacu fiid o metodă grafo-aaitică de cacu di figura b, dacă petru o bară cu EIz costat, rămâe de cacuat M iz ( ). miz ( )d, di dese miz () tg α î triughiu AMN, MN miz ( ) tg α tgα AM miz ().tg α eemetu de arie da, a diagramei Miz () este, da Miz (). d se itegrează şi se obţie: -57-

58 M iz ( ). m ( ) d M ( ) d. m ( ) da. m ( ) iz tgα. da iz ( tgα. )(. A. ) C iz iz da.. tgα C tgα PQ yc. Iar C fiid cetruui de greutate a primei diagrame Miz (). Ude (A ) este egaă cu aria totaă a diagramei Miz (), di diagramă se observă că, M iz ( ). miz ( ) d A. yc se îmuţeşte aria îtreagă a diagramei Miz (), cu ordoata yc pe care o are diagrama iiară miz () î dreptu cetruui de greutate a primei diagrame. Dar î cazu ostru, cum avem diagramee pe mai mute regiui şi diagrama ui miz () este formată ditr-o iie frâtă atuci se cacuează astfe: M iz ( ), miz ( ) d Ai yic ude (i ) i reprezită umăru de segmete de dreaptă care formează diagrama miz (). Figura b -58-

59 Probema r. Petru bara di figura, să se determie ughiurie de pe reazemee A şi B, adică φa respectiv φb, pri metoda Mohr-Mawe, ştiid că : q,7 N/m,85 m E,. 5 N/mm secţiuea pătrată cu go cu: a mm şi b mm. F y VA VB q ecauţia de verificare. ( A) M iz q.q VB.9 q V B ( B) M iz - 5q q.8q VA.9 V A VA VB q ecauţia de 5q verificare Figura q 6q q ecauţia de verificare este îdepiită Figura -59-

60 ( ] M iz ( ) Regiuea îtâi 5q q. 5q q Figura 5 5q. ( ) ( ) ( ) q M iz q dm iz ( ) 5q d M iz ( ) q q < cocavă. d d Metoda a doua de cacu a ui Miz () : dt ( ) q d dt - q.d dt ( ) T ( ) qd q C determiăm costata C, di codiţiie iiţiae ae ui Cauchy: 5q. 5q T ( ) q. C, deci C. -6-

61 ( ) 5q dm T ( ) q. d q C q iar iz T ( ) d dm iz ( ) T ( ) d itegrăm, 5q dm iz ( ) M iz ( ) T ( ) d q d determiăm q 5q D costata D, di codiţiie iiţiae ae ui Cauchy, q. 5q. M iz ( ) D D q 5 ( ) q M iz Reguaea a III-a ( 6] ( ) q M iz M iz ( ) q. ( ) ( 6) M iz q. 6 Metoda a doua de cacu dt ( ) q ( ) q( ) dt.d d dt ( ) T ( ) d C determiăm costata C, di codiţiie iiţiae ae ui Cauchy Figura 6-6-

62 T q. ( ) C, deci q C ( ) T ( ) dm iz ( ) T ( ) d q dm T ( ) iar iz d itegrăm, dm iz ( ) M iz ( ) q q T ( ) d d D determiăm costata D, di codiţiie iiţiae ae ui Cauchy, q. q M iz ( ) D D M iz ( ). Regiuea a II-a [ ) Figura 7 q( 6 ) ( ) q M iz q q M iz ( ) q q q q. ( ) ( 6 ) M iz q q Metoda a doua de cacu -6-

63 dt ( ) ( ) q ( ) q dt.d d dt ( ) T ( ) d C determiăm costata C, di codiţiie iiţiae ae ui Cauchy: q. q T ( ) C, deci C ( ) T ( ) ( ) T ( ) d q dm T ( ) iar iz d dm iz itegrăm, dm iz ( ) M iz ( ) q q T ( ) d d D determiăm costata D, di codiţiie iiţiae ae ui Cauchy, q. M iz ( ) q D D q q ( ) M iz q. Petru a cacua rotirea î A, se apică î articuţia di A u momet M iz uitar ( u M iz momet versor ), se cacuează forţee de M iz ' ' reacţiue V A, VB di codiţiie de echiibru ae barei di figura 8a. ' ' F y V A V B ecauţia de verificare. ' ' M iz ( A) V B.9 V B M iz ( B) 9 ' ' ' ' V A.9 V A V A V B ecauţia de verificare 9 ecauţia de verificare este îdepiită

64 miz ( ) [ ] m ( ) [ ] M iz ( ) miz ( ) ϕ A d EI z iz ϕ A Figura 8a -6- ( 6 ) 6 5q q q q d q d EI z 9 9 5,q EI z m iz pe regiui : Se epicitează variaţia ( ) ( ) 6 d 9 (, ) ( ) m iz (,) 9 m iz ( ). 9 (, 6) ( ) m iz. 9 Trebuie ca epresiie ui Miz () şi miz() să fie parcurse î aceaşi ses şi să aibă aceeaşi origie petru amâdouă epresiie, atfe u are ses. Acum petru cacuu rotirii secţiuii trasversae di articuatia B, se pue u momet îcovoietor cocetrat uitar î B di figura 8b,

65 M iz [ momet versor ( uitate ) m iz ]. M '' '' F y V A V B ecauţia de verificare. '' '' M iz ( A) V B.9 V B M iz ( B) 9 iz Figura 8b '' '' ' ' V A.9 V A V A V B ecauţia de verificare 9 ecauţia de verificare este îdepiită. 9 9 (, 9) m iz ( ) 9 ( ) m ( ) 9 M iz ( ) miz ( ) miz ( ) [ ] ϕ d B EI z Se epicitează variaţia m iz ( ) pe regiui : (, ) m iz ( ) (,) 9 ( ) ( 6 ) m iz 9 (, 6) ( ) m iz iz

66 -66- ( ) z z B EI q d q d q q d q q EI 6,98 9 ] 9 6 [ 9 5. ϕ Figura 9 5. mm I z ( ) ( ) ] [,...,..85 5,.,7..,.,85.,7 5, rad mm mm N m m N A ϕ ( ) ( ) ] [,97..,..85,98.,7..,.,85.,7, rad mm mm N m m N B ϕ.

67 6.9.Grizi drepte static edetermiate 6.9..Itroducere Dacă eforturie di secţiuie trasversae ae bareor sau ae sistemeor de bare, u se pot determia umai cu ajutoru metodeor de cacu ae staticii, fie di cauza uor egături supetare, fie di cauza formei sistemuui, baree şi sistemee de bare de acest fe se umesc bare sau sisteme de bare static edetermiate. Sistemee de bare static edetermiate pot fi : a) sisteme cu edetermiări eterioare Figura 5-67-

68 Figura 5 Figura 5-68-

69 Figura 5 b) sisteme cu edetermiări iterioare Figura 5-69-

70 Figura 55 c)sisteme cu edetermiări iterioare şi eterioare Figura 56-7-

71 Figura 57 a)sistemee cu edetermiări eterioare Bara dreaptă Bara curbă di figura 5. Cadre di figurie: 5, 5, 5. b)sistemee cu edetermiări iterioare Cadru îchis figura 5 Ie figura 55. c)sisteme cu edetermiări iterioare şi eterioare Ie îcastrat figura 57. Cadru etajat figura 56. Î acest capito se abordează umai baree static edetermiate, ude ridicarea edetermiărior eterioare se bazează pe codiţiie de egătură, aume, o bară dreaptă î îcastrare u are săgeată sau rotire ( sut egae cu zero ), î reazem rigid, bara u are săgeată ( este egaă cu zero ). Foosid codiţiie de egătură, a rezovarea probemeor static edetermiate se obţi ecuaţiie de echiibru eastic, cu ajutoru ecuaţiior de echiibru static şi eastic, se obţie u sistem de ecuaţii compatibi uic determiat ( admite o souţie uică ). -7-

72 Probeme static edetermiate Ridicarea edetermiării pri metoda itegării aaitice a ecuaţiei difereţiae a fibrei medii deformate Probema r: Să se dimesioeze bara di figura următoare, ştiid că : q N/m,78 m E,. 5 N/ mm σ N a 5. mm Figura 58 Scriem codiţiie de echiibru static: F y VA VB q ecauţia de verificare. M iz ( A) M iza q. VB. M izb VA VB q M iza M izb VB * 6q Avem ecuoscute (V A, V B, M iza, M izb ) şi două ecuaţii, probema este dubu static edetermiată. Ridicăm edetermiarea di codiţia de deformaţii, avem: v A, ϕ A, vb, ϕ B. ( ) AMN ASB di figura 59 apicăm teorema ui Thaes ( de q( ) q asemăare a triughiurior ) q() q -7-

73 Figura 59 q( ) q q q R() * M iz ( ) VA M iza * q M iz ( ) VA. M iz ( A) 9 Metoda a II-a de cacu a ui M iz ( ) q() ab este o dreaptă, sarcia distribuită. Aegem o origie A şi afăm pe a şi b di dese ( dacă se ştiu două pucte de pe o dreaptă se ştie toată dreapta ). q( ) q( ) ( a b) q a* > < > b b -7-

74 ( ) ( a b) q q q q a q a. Deci < < q() a b q() q b q dt q() q( ) dt -q() d, dt q( )d d q q T()- d C q T ( ) q. T()- C V A - C VA C VA > q T()V A dm ( ) iz T ( ) d dm iz ( ) T ( )d dm iz ( ) T ( )d q M iz ( ) VA d q q M iz ( ) VA D M iz ( ) VA D q M iz ( ) VA D 9 M ( ) iz q M iz ( A) V A * D M iz ( A) 9 > q D M iz ( A) deci M iz ( ) VA. M iz ( A) 9-7-

75 Apicăm ecuaţia fibrei medii deformate d v E I z M iz ( ) d d v q EI z V A M iz ( A) d 9 dv q E I z V A M iz ( A) C d 6 q 5 EI z v( ) V A M iz ( A) C D 6 8 C Am uat origiea î A,C, D, aici ϕ A ϕ EI z D v A v EI z, deci, dv VA q EI z M iza d 6 V q 5 ( ) A EI zv M iz ( A) 6 8 Di cee codiţii de reazem am foosit umai două, avem săgeata şi rotirea di A sut zero. ϕ A v A. Cee două ecuaţii care e mai foosim petru a ridica edetermiarea sut ϕ B şi v B ( săgeata şi rotirea di îcastrarea di B sut zero ). q VA M iz ( A) dv ϕ B 6 - d EI z < < q V A ( ) M iz ( A) ( ) 6 -,5 V A M iz ( A ),5 q -75-

76 - 9 q VA M iz ( A) 9 şi a patra ecuaţie o obţiem di : VA 5 q M iza v B v( ) 6 8 EI z < < V A ( ) ( ) q 5 M iza ( ) 6 8 EI z 5 VA 9 M iza q 6 8 -,5 V A,5 M iza,5 q ( ) VA VB q ( ) M iz ( A) VB M iz ( B) 6q ( ),5V A M iz ( A),5q ( ),5V A,5M iz ( A),5q Di ( ) şi ( ) rezovăm şi afăm pe V A şi M iz ( A),5V A M iz ( A),5q,5V A,5M iz ( A),5q -,5V A M iz ( A ),5 q,5 V A,5 M iz ( A ),5 q,9 rezută :,5 M iz ( A),9q M iz ( A ) q,5 M ( ) iz A,6q -76-

77 -,5 V A M iz ( A ),5 q -,5 V A *,6q,5q,5V A,5q,8 q q V A (,5,8 ),q,5 Di () V A V B q, q V B q V B, 9q Di () M iz ( A ) V B M iz ( B ) 6 q -,6q,9q * M izb 6q M iz ( B) q (,6,9 * 6),q iz B, V A, q V B, 9q M ( ) q Deci, dacă s-au obţiut M iz ( A) şi M ( B) M ( ) iz A,6q iz, egative e schimbăm sesu petru că iiţia -am pus a îtâmpare. Figura 6 Ne verificăm dacă am cacuat corect di ( Q), q *,6 q,q,9 * -77- M iz q (,,6,,9) q (,5,5) verifică. Dacă îtr-u puct u verifică, rezută că u s-au cacuat corect, s-a greşit a cacu. Această metodă aaitică se fooseşte c d avem ce mut două regiui petru că rezută u cacu mai greoi.

78 Figura 6 q M iz ( ) VA M iz ( A) 9 ude V A, q M iz ( A),6q se iau sesurie iiţiae. q M iz ( ),q,6q 9 q M iz ( ) [,q,6q ],6q 9 q M iz ( ) [,q,6q ],q 9 dm ( ) iz q d M iz ( ) q,q d d < cocavă. dm ( ) iz q,q d, ±,. ±, 5,5 ( ) '' M iz (,5) <, deci,5 este u puct de maim. q ( ) ( ) (,5) M iz,5,q,5,6q,56q 9-78-

79 M iz ma,q 6,6. N. mm,q,.. Dimesioăm cu reaţia: M iz d ma π. σ a d 9 mm. N mm (,78m).6,6. N. mm 5N π. mm π. d M iz ma Wzec σ a 8,6mm Ridicarea edetermiării pri procedeu Cebsch Probema r: Să se verifice bara di figura 6, ştiid că : q,8 N/m,5 N m σ a 9 iar secţiuea trasversaă a barei fiid cea di mm figura 6. Rezovare: Scriem codiţiie de echiibru static: F y () VA VB VC q 6q M iz ( A) () q. 6q.6 q VB. VC.7. Avem di codiţiie de echiibru cee două ecuaţii idepedete, iar umăru de ecuoscute sut trei ( VA, VB, VC ) deci probemă este simpu static edermiată, se ridică edetermiarea di codiţia de deformaţii, foosid procedeu Cebsch. Notă: Dacă se mai scrie M izb se obţie o ecuaţie care este o combiaţie iiară ditre ecuaţiie ( ) şi ( ), a fe şi petru -79-

80 Figura 6 Figura 6 M izc acest ucru s- a specificat de a u se greşi modu de abordare a probemeor static edetermiate. Figura 6-8-

81 -8- Figura 65 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 9. q q q V q V M B A iz ( ) ( ) q q di figura 6 ( ) ( ) q q ( ) ( ) ( ) ( ) q q R ( ) ( ) ( ) ( ) 9 q q M iz Ecuaţia fibrei medii deformate : ( ) ( ) ( ) ( ) ] 5 9. [ q q q V q V d v d EI B A z ( ) ( ) ( ) ( ) C q q q V q V d v d EI B A z

82 q q ( ) ( ) ( ) EI zv V A. VB q( ) q ( 5 ) C D 9 deoarece A fiid origiea : D EI z v v A D A doua codiţie de reazem: q VA C v( ) vb 6 EI z < < ( ) q - ( ) ( V A C * - ) q V ( ) A C q C VA 6 C,66 VA q, 66 C,66 VA,66q Foosid a III-a codiţie de reazem obţiem ecuaţia a III-a petru a ridica edetermiarea. q VB q EI zv( ) V A ( ) ( ) 6 6 q 5 q ( ) ( 5 ),66( VA q ) 9 q VB VA ( ) vc v( ) EI z < 7 < 7 q q 5 q ( ) ( ) ( 5 ),66( VA q ) 9 EI z -8-

83 ( 7) q( 7) VB VA ( 7 ) 6 6 EI z q q 5 q ( 7 ) ( 7 ) ( 7 5 ),66.7( VA q ) 9 EI z 8,56. V,5V q.78,76 ( ) A B VA VB VC q ( ) V B 7VC 5q ( ) 8,56V A,5V B 78,76q ( ) 7V A 7V B 7VC 7q ( ) V B 7VC 5q ( ) VA,7 q VB,9 q 7V A V B 5q VC,6 q. Acum trebuie să verificăm dacă s-a făcut corect cacuu forţeor de reacţiue, verificâd ecuaţia de echiibru M iz faţă de ce puţi două sau trei pucte, acest ucru se face statistic.,7q.,9q. q 6q.,6q.5 M iz ( N ) q (,9 9,8 5 8,5) se verifică.,7q.6,9q. q q.,6q. M iz ( M ) se verifică q ( 8,8 9,6,8). Rezută cacuu corect a forţeor de reacţiue: VA,7 q VB,9 q VC,6 q. -8-

84 Figura 66 M iz q ( ) V. V ( ) A B q Figura 67 ( ) q( ) q ( 5 ) se îocuie VA şi pe VB, de ude rezută: q q ( ) ( ) ( ),7q.,9q M iz q ( ) q ( 5 ) 9 epresia mometuui geeraizator. Regiuea îtâi 9-8-

85 ( ) ( ) q M iz,7q. q M ( ) ( iz,7q. ) q M iz ( ) (,7q. ),7q. q( ),q dm iz ( ),7q q d dm iz ( ),7q q,7 ( ), fiid u puct d de etrem. d M iz d ( ) q de maim, M M (,7) Regiuea a II-a ( 5 ) M iz < cocavă şi,7, este u puct (,7) q q iz ma iz,7q.,7, 8 ( ),7q.,9q( ) ( ) q 9 M q q q ( ) ( ) [,7q.,9q( ) ( ) q( ) iz 9 ],q q -85-

86 q M iz ( ) [,7q.,9q( ) 5 5 q( ) q( ) _ ],q 9 ' q( ) q( ) M iz ( ),7q. q,9q ( ) '' q M ( ) iz q q < ' M iz ( ),7q. q q,9q ( ) q( ).,7 ( ) 5,88,, u aparţi domeiuui maim de defiiţie, deci u avem pucte de etrem pe această regiue. Regiuea a III-a q q( ) M ( ) ( ) ( 5 7) iz,7q.,9q q( ) q ( ) 5 9 M 7 iz 7 ( ) [,7q.,9q( ) ( ) q( ) q M 5 q q ] 9 q [,7q. 5 ( ),9q( ) q ( ) q( ) iz 9 q ],q -86-

87 ( ) q( ) ' q M iz ( ),7q. q,9q ( ) '' q M iz ( ) q q < ' M iz ( ),7q. q.,7 ( ) q,9q ( ) q( ) 5,88,, umai 5,88 ( 5 7) maim. q,7q.5,88 M iz ma ( 5,88 ) ( 5,88 ) q( 5,88 ),9q ( 5,88 ) fii puct de q q ( 5,88 5 ) 9 M iz ma, 858q. Caracteristicie geometrice ae secţiuii trasversae: Figura

88 Figura 69 G ( ) G ( zy ) A 6. mm G ( 6 ) G ( zy ) A 8. 8 mm y A y A. 6.8 mm y G 5mm A 8 A mm I II I I z I z I z I z I zg A. d zg II I z I zg A. d zg.6 I I z I zg A. d zg. ( 5 ) mm 7. mm II I z I zg A. d zg ( 6 5) mm 6666,66mm Iz 6666,66 mm. -88-

89 I 6666,66mm W z z mi 9,96mm yma 85mm M iz ma σ ma reaţia de verificare. Wz mi N M iz ma,q,q,.,8 (,5m) m,.,8. (,5). N. mm,667. N, mm M iz ma,667. N. mm ma, 66 W z mi 9,96mm rezistă. N σ < σ mm a, bara Ridicarea edetermiării pri teoremee ui Castigiao Probema r:. N Să se dimesioeze bara di figura 7, ştiid că : q,5, m,9 m şi σ N a, d, 8. mm D Rezovare: 6q VA VB VD q () F y M iz A 6q q * VB * ( 5 ) VD *9 q V B * 8q 9V D * -89-

90 Figura 7 V B 9V D 8q( ) 9V D 8q V B V A VB VD 6,q( ) VD,6q, 57895V B VA 6,q VB,6q, 578V B VA,66q, 8V B Probema este simpu static edetermiată, sut două ecuaţii şi trei ecuoscute : VA, VB,VD.Am aes ca ecuoscută static edetermiată pe VB, î mod idirect a dus a epicitarea forţeor de reacţiue VA şi VD fucţie de VB. Regiu M iz ( )... M ( ) -ea iz VB îtâi,66q, 8V - B (,),8 a II-a,66 q,66 q, 8 VB ( -,8 (, ) ) () q q q,6q a III-a 7 8,578V B, iz A,66q, 8 B Regiuea îtâi ( ] M ( ) V ( V ) Regiuea a II-a: (, ] M iz ( ) V A ( ) q -,578 (,6-9-

91 Figura 7 ( ) (,66q,8V )( ) q,66q, V M iz B 8,66 q, 8 VB q ( ),66q,66q, 8V ( ) M iz B B Regiuea a III-a : (, 6) Figura 7 a q q q M iz ( ) VD 7 8 VD,6q, 578V B -9-

92 L ( ) M ( ) iz M iz d vb VB EI z VB (,66q,8V B )(,8) d EI z EI EI z z 6,8 q 7,8,8,578 q 8 q,6q,578v -9- B (,578) (,66q,66q,8V ( ) )[,8( ) ] (,66q,8V B ),66q,66q,66q,66q V 6 B 5 q 7 ( ) q q 8 ] d B d,6q,578v B d d d VB,5.q VA -,7577 q VD,56 q. M iz este ecuaţia de echiibru şi este îdepiită petru toate puctee di spaţiu sau pa, dar se ia umai puctee de pe bară, petru că se ştiu braţee forţeor, u trebuie să se ucreze a o aumită scară petru a măsura şi braţee forţeor. Deoarece VA a dat o vaoare egativă, i se schimbă sesu. M iz ( H ) 6q,7577q.,5q..,56q.8?? 6 q (,7577,5..,56.8 ) q,7577 9,86 7,666 6,8 ( )

93 verifică. M iz ( M ),7577q.5. q.,5q.,56q.?? (, ,5.,56. ) ( 6,655. 5,87,85 ) q q verifică. Regiuea îtâi ( ) M iz ( ), 7577q M iz ( ) (,7577q ) M iz ( ) (,7577q ),7577q Regiuea a II-a ( ] M iz ( ), 7577q q( ) M iz ( ) [,7577q q( ) ],7577q M iz ( ) [,7577q q( ) ] 7,7q Regiuea a III-a ( 6) q q q M iz ( ), 56q 7 8 q q q M iz ( ) [,56q ]

94 6 M iz 7,7q ( ) [,56q ] 6 q 7 ' q q q M iz ( ), 56q '' q q M iz ( ) q 56 8 '' q q M iz ( ) q 56 8 ( 6) fucţia este cocavă. ' q q q M iz ( ),56q ,558,885,887, ,558 -,7 -,,8,887 este puct de etrem. Miz ma M(,887 ) q,887,887,887,56*, q 8 q Miz ma 7,65q N 7,65q 7,65q 7,65.,5 (,9m) M iz ma 7,65.,5. (,9). N. mm,65. N. mm. m M iz ma,65. N. mm Reaţia de dimesioare : Wzec,59mm σ N a mm -9-

95 Figura 7 b π W z D πd ( D d ) (,8 ),579D,59mm,59mm D 6,8mm 7mm,579 d, mm, dar petru a da vaori îtregi, se adoptă D mm şi d 8 mm. 6.. Ecuaţia ceor trei momete ( ecuaţia ui Capeyro ) Dacă o bară are u umăr mai mare de reazeme, umită şi gridă cotiuă, petru ea eistă o metodă proprie de rezovare, umită ecuaţia ceor trei momete, dacă bara ar avea ( j ) reazeme simpe, statica e oferă umai două ecuaţii de echiibru ( F y şi M iz ) deci bara va fi de ( j- ) ori static edetermiată. Dacă eistă forţe eterioare îciate active, atuci î mod obigatoriu trebuie să avem di cee ( j ) reazeme şi o articuaţie fiă care să echiibreze rezutata pe orizotaă a forţeor îciate active. Î cazu î care avem o bară cu două reazeme ca î figura 7, mometee îcovoietoare î puctee Ai şi Ai, sut egae cu zero. -95-

96 Figura 7 Figura 7 Cazu II Figura

Limite de funcţii reale

Limite de funcţii reale ( =, a b ) + a + b o 3 L + M L + M = + = + a + b b a + a + b + A A L + M = = + + ( + + )( + ) + + o 4 + 3 3 = + + 8 8 + 4 +. Limita uei fucţii îtr-u puct Vom prezeta coceptul de "limită a uei fucţii îtr-u

Mai mult

T03.PDF

T03.PDF Capitou 3 Notiuni de reistenta materiaeor T.3.1. O bara dreapta confectionata din A fonta este soicitata a încovoiere ca în figura 3.1. Care din sectiunie indicate se comporta ce mai bine a aceasta M i

Mai mult

Pagina 1 din 5 Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Etapa județeană/a sectoarelor municipiului București a olimpia

Pagina 1 din 5 Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Etapa județeană/a sectoarelor municipiului București a olimpia Pagia 1 di 5 Problema I: Patru pitici Parţial Puctaj. Răsturarea uui co 5 pucte 1. oform primului dese semificația lucrului miim W este dată de relația W mg y ude y L h L Lsi L(1 si. u ajutorul relației

Mai mult

Slide 1

Slide 1 ELECTROTEHNICĂ ET A I - IA CUR 6 Cof.dr.ig.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro . Legea iducției electromagetice 2. Eergii și forțe î câmp magetic . Legea iducției electromagetice

Mai mult

Calcul Numeric

Calcul Numeric Calcul Numeric Cursul 7 2019 Aca Igat Memorarea matricelor rare - se memorează doar valorile eule şi suficiete iformaţii despre idici astfel ca să se poată recostitui complet matricea Pp. că matricea A

Mai mult

Microsoft Word - LogaritmiBac2009.doc

Microsoft Word - LogaritmiBac2009.doc Logaritmi. EcuaŃii logaritmice Logaritmi DefiiŃie. Fie a R * +, a şi b R * + douã umere reale. Se umeşte logaritm al umãrului real strict pozitiv b epoetul la care trebuie ridicat umãrul a, umit bazã,

Mai mult

ETTI-AN1, , C. Ghiu Notițe de Adrian Manea Seminar 4 Serii Fourier și recapitulare 1 Serii Fourier Pentru dezvoltarea în serie Fourier (care

ETTI-AN1, , C. Ghiu Notițe de Adrian Manea Seminar 4 Serii Fourier și recapitulare 1 Serii Fourier Pentru dezvoltarea în serie Fourier (care Semiar 4 Serii Fourier și recapitulare Serii Fourier Petru dezvoltarea î serie Fourier (care se poate aplica atuci cîd seriile Taylor sît imposibile, trebuie satisfăcute codițiile Dirichlet: (D Fucția

Mai mult

Microsoft Word - SUBIECTE FAZA LOCALA FEBRUARIE 2007

Microsoft Word - SUBIECTE  FAZA LOCALA FEBRUARIE 2007 CLASA a - V a 1 007 1. a) ArătaŃi că umărul A= 1+ + + +... + este divizibil cu 15. b) La u cocurs de matematică au participat elevi di clasele a V-a A, a V-a B şi a V-a C. 7 de elevi u sut di clasa a V-a

Mai mult

Microsoft Word - LogaritmiBac2009.doc

Microsoft Word - LogaritmiBac2009.doc Logaritmi. EcuaŃii logaritmice Logaritmi DefiiŃie. Fie a R * +, a şi b R * + douã umere reale. Se umeşte logaritm al umãrului real strict pozitiv b epoetul la care trebuie ridicat umãrul a, umit bazã,

Mai mult

Microsoft Word - 3 Transformata z.doc

Microsoft Word - 3 Transformata z.doc Capitolul 3 - Trasformata 05 06 CAPITOLUL 3 TRANSFORMATA BIDIMENSIONALĂ Defiim trasformata bidimesioală astfel: obţiem trasformata Fourier. (, e ω (3. şi (3. e ω Suprafaţa î plaul, defiită de şi va fi

Mai mult

Ce este decibelul si Caracteristica BODE

Ce este decibelul si Caracteristica BODE . Ce ete decibelul? Itoria utilizării acetei uităţi de măură ete legată de proprietăţile fiziologice ale itemului auditiv uma. Spre exemplu (figura ), dacă e aplică uui difuzor u emal cu o putere de W

Mai mult

Probleme rezolvate 1) Să se calculeze limitele următoarelor şiruri: 1 a) x n n = ( n+ 1)( n+ 2 )...( n+ n), n 2 n ( 1) 1 n n b) 2 3 n 5 n... ( 2

Probleme rezolvate 1) Să se calculeze limitele următoarelor şiruri: 1 a) x n n = ( n+ 1)( n+ 2 )...( n+ n), n 2 n ( 1) 1 n n b) 2 3 n 5 n... ( 2 Probleme rezolvate ) Să se calculeze itele următoarelor şiruri: a) x = ( + )( + )...( + ), 3 ( ) b) 3 5... ( x = e + e + + ) e Soluţie ( + )( + )...( + ) a) x = =... + + +. k l x = l +. Folosid coseciţa

Mai mult

STRUCTURA UNUI ARTICOL STIINTIFIC Un articol stiintific incepe cu titlul articolului, dupa care se scriu numele autorilor, in ordinea contributiei. Pe

STRUCTURA UNUI ARTICOL STIINTIFIC Un articol stiintific incepe cu titlul articolului, dupa care se scriu numele autorilor, in ordinea contributiei. Pe STRUCTURA UNUI ARTICOL STIINTIFIC U articol stiitific icepe cu titlul articolului, dupa care se scriu umele autorilor, i ordiea cotributiei. Petru fiecare autor trebuie metioata afilierea, adica istitutia

Mai mult

Realizarea fizică a dispozitivelor optoeletronice

Realizarea fizică a dispozitivelor optoeletronice Curs 03/04 Curs marti, 7-0, P4 C 3C 4*/3 9.33 9 0 C Capitolul B E t H D B J D t 0 t J Ecuatii costitutive D B J E H E I vid 0 4 0 7 H m 0 8,8540 F m c0,99790 0 0 0 8 m s X Simplificarea ecuatiilor lui

Mai mult

Microsoft Word - subiecte

Microsoft Word - subiecte Uiversitate Spiru Haret Facultatea de Matematica-Iformatica Algebră 1 Discipliă obligatorie; Aul I, Sem 1, ore săptămâal, îvăţămât de zi: curs, semiar, total ore semestru 56; 6 credite; exame I CONŢINUTUL

Mai mult

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Etapa Națională a Olimpiadei de FIZICĂ 3-7 Mai 2019, Târgoviște Barem de eval

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Etapa Națională a Olimpiadei de FIZICĂ 3-7 Mai 2019, Târgoviște Barem de eval BAEM DE COECTAE Clasa a -a Pagia di 9 Subiect - MECANICĂ CLASICĂ Parţial Puctaj Bare subiect ucte Problea. Mişcări ucte a.) Mișcarea puctului aterial este uifor ariată a / cost. Eidet rectiliie u poate

Mai mult

CURS 8

CURS 8 Trasformatorul perfect MATRCE POTV REAE M = = = s Φ Φ ( ( ) = ) = = l, = l (pe acelaşi miez), factor de cuplaj Petru cuplajul perfect ( = ) = l = = Traformatorul cu u cuplaj perfect: = sl Trasformatorul

Mai mult

CAPITOLUL 1

CAPITOLUL 1 3. CARACTERISTICI STATISTICE ALE UNEI SERII DE DATE 3.. INTRODUCERE Statistica matematică, mai precis metodele furizate de aceasta s-au implemetat puteric î metodologia de lucru a diferite domeii. Apelul

Mai mult

Preţ bază

Preţ bază OPERATORUL PIEŢEI DE ENERGIE ELECTRICĂ ŞI DE GAZE NATURALE DIN ROMÂNIA INDICATORI SPECIFICI PUBLICAŢI DE OPCOM SA PREŢURI ŞI INDICI DE PREŢ/VOLUM Piaţa petru Ziua Următoare (PZU) Preţuri orare [lei/mwh]

Mai mult

Microsoft Word - _Curs II_2_Mar17_2016out.doc

Microsoft Word - _Curs II_2_Mar17_2016out.doc CURS II Mar. 016 Prof. I. Lupea, Programare II, UTCluj 1. Operatorul SELECT -> aduare selectivă, umai elemete pozitive ditr-u şir. Tipuri de date şi culori asociate î diagramă.. For loop î For loop (imbricat).1.

Mai mult

Dependenţă funcţională n Cursul 9 Fie funcţiile f : A R R, i 1, m. A mulțime nevidă. i Definiţia 1. Spunem că funcţia g: A R depinde de funcţiile f1,

Dependenţă funcţională n Cursul 9 Fie funcţiile f : A R R, i 1, m. A mulțime nevidă. i Definiţia 1. Spunem că funcţia g: A R depinde de funcţiile f1, Depedeţă ucţioală Cursul 9 Fie ucţiile : A R R, i, A ulție evidă i Deiiţia Spue că ucţia g: A R depide de ucţiile, eistă o ucţie h de variabile astel îcât pe ulţiea A dacă g h,,,, A Dacă u eistă o ucție

Mai mult

Calcul Numeric

Calcul Numeric Calcul Numeric Cursul 8 2019 Aca Igat Valori şi vectori proprii (eigevalues, eigevectors) Defiiţie Fie A. Numărul complex se umeşte valoare proprie a matricei A dacă există u vector u, u0 astfel ca: Au=u

Mai mult

Microsoft Word - MD.05.

Microsoft Word - MD.05. pitolul uvite-cheie serii de puteri, puct regult, puct sigulr, ecuţie idicilă osideră o ecuţie difereţilă de ordi k ( k ) L(,,,,..., ) () Se pote căut soluţi sub for uei serii de puteri î jurul puctului

Mai mult

1. Se masoara forta de presiune X (Kg/cm 3 ), la care un anumit material cedeaza. Se presupune ca X urmeaza o lege normala. Pentru 10 masuratori se ob

1. Se masoara forta de presiune X (Kg/cm 3 ), la care un anumit material cedeaza. Se presupune ca X urmeaza o lege normala. Pentru 10 masuratori se ob 1. Se masoara forta de presiue X (Kg/cm 3 ), la care u aumit material cedeaza. Se presupue ca X urmeaza o lege ormala. Petru 10 masuratori se obti urmatoarele valori: Cerite: 19.6 19.9 20.4 19.8 20.5 21.0

Mai mult

Programare Delphi Laborator 2 a. Serii. Elaboraţi câte un program pentru sumarea primilor 100 de termeni ai seriilor următoare şi verificaţi numeric e

Programare Delphi Laborator 2 a. Serii. Elaboraţi câte un program pentru sumarea primilor 100 de termeni ai seriilor următoare şi verificaţi numeric e Programare Delphi Laborator 2 a. Serii. Elaboraţi câte u program petru sumarea primilor 00 de termei ai seriilor următoare şi verificaţi umeric egalităţile date: () (2) (3) 2 + 3 4 + 5 + = l 2; 6 2 + 2

Mai mult

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A V-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE Subiectul I a) Calculaţi: 13 :

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A V-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE Subiectul I a) Calculaţi: 13 : OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ 1.0.01 CLASA A V-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE Subiectul I 5 5 a) Calculaţi: 1 :1 17 4 14 4 8 :17 5 :100 5:. b) Arătaţi că umărul x 74a 4a7 a74 este

Mai mult

SIMULARE EXAMEN DE BACALAUREAT LA MATEMATICA Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv

SIMULARE EXAMEN DE BACALAUREAT LA MATEMATICA Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv SIMULARE EXAMEN DE BACALAUREAT LA MATEMATICA 8.07.0 Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii. Se acordă 0 pucte di oficiu. Tipul efectiv de lucru este de ore. La toate subiectele se cer rezolvări

Mai mult

FIŞA NR

FIŞA NR Prof CORNELI MESTECN Prof RRODIC TRIŞCĂ CLUJ-NPOC 009 CUPRINS FIŞ NR NUMERE RELE Pg 6 FIŞ NR ECUŢII Pg 8 FIŞ NR FUNCŢII TEORIE Pg 0 4 FIŞ NR 4 FUNCŢII EXERCIŢII Pg FIŞ NR ECUŢII IRŢIONLE, ECUŢII EXPONENŢILE

Mai mult

Dumitru Mihai Rezolvarea problemelor de Rezistenta Materialelor cu programul - MD Solid 2D Iulie -2019

Dumitru Mihai Rezolvarea problemelor de Rezistenta Materialelor cu programul - MD Solid 2D Iulie -2019 Dumitru Mihai Rezolvarea problemelor de Rezistenta Materialelor cu programul - MD Solid 2D Iulie -2019 Rezolvarea problemelor de Rezistenta Materialelor cu ajutorul limbajului de programaremd-solid 3-1

Mai mult

Curbe de lărgime constantă. Triunghiul lui Reuleaux Temistocle BÎRSAN 1 Abstract. The aim of this article consists in informing the readers on the cur

Curbe de lărgime constantă. Triunghiul lui Reuleaux Temistocle BÎRSAN 1 Abstract. The aim of this article consists in informing the readers on the cur urbe de ărgime constantă. Triunghiu ui Reueaux Temistoce ÎRSAN 1 Abstract. The aim of this artice consists in informing the readers on the curves of constant width and - especiay - on the Reueaux triange

Mai mult

Microsoft Word - pag_006.doc

Microsoft Word - pag_006.doc ARTICOLE METODICO-ŞTIINŢIFICE O APLICAŢIE A CERCULUI LUI EULER Prof Ileaa Stoica, Liceul Adrei Mureşau Braşov La cocursul iterjudeţea Laureţiu Duica de la Braşov, ediţia 3 a fost propusă la clasa a VII-a

Mai mult

Microsoft Word - anmatcap1_3.doc

Microsoft Word - anmatcap1_3.doc . IRURI DE NUMERE Fie E omulimedeelemete,i o submulimedeidici,i. Defii ie:numim ir de umere reale o familie de umere reale cu idici umere aturale, pe care îl vom ota cu ( a ) ; a se ume te termeul geeral

Mai mult

Universitatea Politehnica din Bucureşti Facultatea de Electronică, TelecomunicaŃii şi Tehnologia InformaŃiei Tehnici Avansate de Prelucrarea şi Analiz

Universitatea Politehnica din Bucureşti Facultatea de Electronică, TelecomunicaŃii şi Tehnologia InformaŃiei Tehnici Avansate de Prelucrarea şi Analiz Uiversitatea Politehica di ucureşti Facultatea de Electroică, TelecomuicaŃii şi Tehologia IformaŃiei Tehici Avasate de Prelucrarea şi Aaliza Imagiilor urs 7 Morfologie matematică Pla urs 7 Morfologie matematică

Mai mult

Programa olimpiadei de matematică

Programa olimpiadei de matematică Programa olimpiadei de matematică petru clasele V VIII Petru fiecare clasă, î programa de olimpiadă sut icluse î mod implicit coţiuturile programelor de olimpiadă di clasele aterioare. Petru fiecare clasă,î

Mai mult

Matematici aplicate științelor biologie Lab10 MV

Matematici aplicate științelor biologie  Lab10 MV LP10 - TATITICA INFERENŢIALĂ. Itervale de îcredere. Cosiderații teoretice Majoritatea studiilor statistice u se realizează pe îtreaga populaţie statistică di uul sau mai multe icoveiete: - talia populaţie

Mai mult

CONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a X-a - 20 aprilie 2019 Clasa a IV-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE SUBIECTUL I Se punctează doar rezult

CONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a X-a - 20 aprilie 2019 Clasa a IV-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE SUBIECTUL I Se punctează doar rezult CONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a X-a - 0 aprilie 09 Clasa a IV-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE Se punctează doar rezultatul: pentru fiecare răspuns se acordă fie uncte, fie 0 puncte Nu

Mai mult

FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca 1.2 Facultatea Mecanică 1.3 Depart

FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca 1.2 Facultatea Mecanică 1.3 Depart FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca 1. Facultatea Mecanică 1.3 Departamentul Mecatronică și Dinamica Mașinilor 1.4 Domeniul

Mai mult

Universitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x

Universitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x 1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima

Mai mult

Concursul Interjudeţean de Matematică Cristian S. Calude Galaţi, 26 noiembrie 2005 Inspectoratul Şcolar al Judeţului Galaţi, Societatea de Ştiinţe Mat

Concursul Interjudeţean de Matematică Cristian S. Calude Galaţi, 26 noiembrie 2005 Inspectoratul Şcolar al Judeţului Galaţi, Societatea de Ştiinţe Mat Cocursul Iterjudeţea de Matematică Cristia S. Calude Galaţi, 6 oiembrie 005 Ispectoratul Şcolar al Judeţului Galaţi, Societatea de Ştiiţe Matematice di Româia, Filiala Galaţi şi catedra de matematică a

Mai mult

Soluţiile problemelor propuse în nr. 1 / 2006 Clasele primare P.104. Suma dintre predecesorul unui număr şi succesorul numărului următor lui este 29.

Soluţiile problemelor propuse în nr. 1 / 2006 Clasele primare P.104. Suma dintre predecesorul unui număr şi succesorul numărului următor lui este 29. Soluţiile problemelor propuse î r. / 006 Clasele primare P.04. Suma ditre predecesorul uui umăr şi succesorul umărului următor lui este 9. Careesteacestumăr? (Clasa I ) Iria Luca, elevă, Iaşi Soluţie.

Mai mult

Algebra: 1. Numere naturale. Operatii cu numere naturale. Ordinea operatiilor. Puteri si reguli de calcul cu puteri. Compararea puterilor. Multimea nu

Algebra: 1. Numere naturale. Operatii cu numere naturale. Ordinea operatiilor. Puteri si reguli de calcul cu puteri. Compararea puterilor. Multimea nu Algebr: 1. Numere turle. Opertii cu umere turle. Ordie opertiilor. Puteri si reguli de clcul cu puteri. Comprre puterilor. Multime umerelor turle este * N 0,1,2,3,...,,... si N N {0} 1,2,3,...,,.... Pe

Mai mult

E_c_matematica_M_mate-info_2019_var_06_LRO

E_c_matematica_M_mate-info_2019_var_06_LRO Matmatică M_mat-ifo Filira tortică, profilul ral, spcializara matmatică-iformatică Filira vocaţioală, profilul militar, spcializara matmatică-iformatică Toat subictl sut obligatorii. S acordă 0 puct di

Mai mult

FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca 1.2 Facultatea Mecanică 1.3 Depart

FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca 1.2 Facultatea Mecanică 1.3 Depart FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca 1.2 Facultatea Mecanică 1.3 Departamentul Autovehicule rutiere și transporturi 1.4 Domeniul

Mai mult

Microsoft Word - Concursul SFERA.doc

Microsoft Word - Concursul SFERA.doc CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ SFERA EDIŢIA a II-a BĂILEŞTI, 1 martie 005 CLASA a IV-a Pentru întrebările 1-5 scrieţi pe lucrare litera corespunzătoare răspunsului corect 1. Care este numărul care

Mai mult

Doina BOAZU

Doina  BOAZU Doina BOAZU REZISTENŢA MATERIALELOR Solicitările simple şi compuse ale barelor EDITURA EUROPLUS GALAŢI PREFAŢĂ Această carte conţine structura de bază a cursului de Rezistenţa materialelor predat studenţilor

Mai mult

{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud

{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud { 3 + 3, < Eemple. ) Fie f : R R, f() + 4,. Funcţia f este derivabilă pe R\{} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să studiem derivabilitatea în a. Atunci f s() 3+3 6,< 3, f d f() f() (),> funcţia

Mai mult

Microsoft Word - Predimensionare_arbori.DOC

Microsoft Word - Predimensionare_arbori.DOC 5. PROIECTAREA ARBORILOR - 1 / arbori- Arborii pe care se fixează roţile sunt solicitaţi la: - torsiune de momentele T I, II, III - considerate constante pe fiecare arbore între tronsoanele pe care se

Mai mult

Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-

Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII- Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale

Mai mult

COMUNA MIRCEA VODA MIRCEA VODA CONSTANTA SITUATIE PRIVIND MONITORIZAREA CHELTUIELILOR DE PERSONAL + PE LUNA...lULlE...ANUL CAP. 51 ADMINISTR

COMUNA MIRCEA VODA MIRCEA VODA CONSTANTA SITUATIE PRIVIND MONITORIZAREA CHELTUIELILOR DE PERSONAL + PE LUNA...lULlE...ANUL CAP. 51 ADMINISTR PRIVIND MONITORIZAREA CHELTUIELILOR DE PERSONAL + PE LUNA...lULlE...ANUL...217... CAP. 51 ADMINISTRATIE PUBLICA t Cc')/ rt. DENUMIRE INDICATORI TOTAL Cheltuieli cu salariile i bai Salarii de baza Salarii

Mai mult

UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM

UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot

Mai mult

1

1 APROXIMAREA PROFILULUI TRANSVERSAL AL DRUMURILOR PRIN FUNCŢII MATEMATICE ÎN VEDEREA EVALUARII PARAMETRILOR DE CALITATE AI SUPRAFEŢEI CAROSABILE Prof dr ig Bruj Adri Şef lucr dr ig Dim Mri Asist ig Cătăli

Mai mult

Microsoft Word - Documentatie_Finala_versiunea_IT

Microsoft Word - Documentatie_Finala_versiunea_IT I. Raportare fiaciara Nr proiect I. DATE GENERALE. Nume : I.. Date persoale ale directorului de proiect.2 Preume :.3 Telefo :.4 E-Mail : I..2 Istitutia coordoatoare a proiectului 2. Deumire istitutie,

Mai mult

MD.09. Teoria stabilităţii 1

MD.09. Teoria stabilităţii 1 MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,

Mai mult

Microsoft Word - Analiza12BacRezolvate.doc

Microsoft Word - Analiza12BacRezolvate.doc ANALIZA MATEMATICA D : Fi I u itrvl şi f,f:i R FucŃi F s umşt primitivă lui f dcă: ) F st drivilă; ) F (f(, I Fi I u itrvl şi fucńi f:i R cr dmit primitiv Dcă F, F :I R sut primitiv l fucńii f, tuci F

Mai mult

I

I METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei

Mai mult

Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de

Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),

Mai mult

1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai

1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai 1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai mare decât cifra sutelor. b. Se consideră algoritmul

Mai mult

OLM_2009_barem.pdf

OLM_2009_barem.pdf Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Societatea de Ştiinţe Matematice din Romania Olimpiada Naţională de Matematică Etapa finală, Neptun Mangalia, 13 aprilie 2009 CLASA A VII-a, SOLUŢII ŞI BAREMURI

Mai mult

subiecte clasa7

subiecte clasa7 Concursul interjudeńean de matematică Gheorghe Vrănceanu, Bacău-007 Clasa a VII-a Subiectul I Să se demonstreze că există un punct M în interiorul unui triunghi ABC astfel încât triunghiurile ABM, BCM

Mai mult

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0911_roman.doc

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0911_roman.doc Matematika román nyelven középszint 0911 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Indicaţii

Mai mult

Microsoft Word - Tsakiris Cristian - MECANICA FLUIDELOR

Microsoft Word - Tsakiris Cristian - MECANICA FLUIDELOR Cuvânt înainte Acest curs este destinat studenţilor care se specializează în profilul de Inginerie economică industrială al Facultăţii de Inginerie Managerială și a Mediului, care funcţionează în cadrul

Mai mult

Microsoft Word - cap1p4.doc

Microsoft Word - cap1p4.doc Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu

Mai mult

Cilindri.indd

Cilindri.indd Variate Model erie tadard Cilidri compac i eriile ø, ø, ø, ø, ø, ø, ø, ø, ø, ø, ø5, ø, ø0 ø, ø0 atorită gabaritului redus, cilidrii compac i ajută la realizarea de echipamete mai ușoare și mai compacte

Mai mult

Noțiuni matematice de bază

Noțiuni matematice de bază Sistem cartezian definitie. Coordonate carteziene Sistem cartezian definiţie Un sistem cartezian de coordonate (coordonatele carteziene) reprezintă un sistem de coordonate plane ce permit determinarea

Mai mult

Prelucrarea Semnalelor

Prelucrarea Semnalelor h periodicitate Ieºirea a momentu a unui sistem iniar x Agoritmu ui Goertze Prima ariantã de cacu a TFD ( ) Exprimare echiaentã a TFD [ ] = n = X x[, n= h y def [, x h p p] = u [ p] p Z y sumã de conouþie

Mai mult

Copyright c 2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la

Copyright c 2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician   1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la Copyright c 1 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, Profilurile: fizica-matematica, economie,

Mai mult

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să

Mai mult

Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),

Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC), Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + +

Mai mult

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7

Mai mult

6. Incovoierea [Compatibility Mode]

6. Incovoierea [Compatibility Mode] 6. ÎNCOVOIERE CU FORȚĂ AXIALĂ 6.1. IPOTEZE DE CALCUL Calculul la starea limită ultimă la încovoiere cu/fără forță axială se face pe baza ipotezelor simplificatoare: - secțiunile plane rămân plane și după

Mai mult

Microsoft Word - C05_Traductoare de deplasare de tip transformator

Microsoft Word - C05_Traductoare de deplasare de tip transformator Traductoare de deplasare de tip transformator Traductoare parametrice. Principiul de funcţionare: Modificarea inductivităţii mutuale a unor bobine cu întrefier variabil sau constant. Ecuaţia care exprimă

Mai mult

BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA ianuarie Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că

BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA ianuarie Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA 019 9 ianuarie 019 1. Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că x şi y sunt divizibili cu 11.. Fie Γ un cerc de centru

Mai mult

Microsoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc

Microsoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru

Mai mult

MECANICA FLUIDELOR

MECANICA FLUIDELOR MECANICA FLUIDELOR Generalităţi Orice substanţă care curge se numeşte fluid. În această categorie se încadrează atât lichidele cât şi gazele. Deoarece cu gazele se produc de obicei transformări termice,

Mai mult

joined_document_27.pdf

joined_document_27.pdf INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ, CLASA a V - a FEBRUARIE 014 a). Pe un stadion intră la un meci un număr de persoane după următoarea regulă: în primul

Mai mult

A.E.F. - suport laborator nr.1 sem.ii Noțiuni generale pentru analiza cu elemente finite utilizând Siemens NX Nastran (1) În acest laborator sunt atin

A.E.F. - suport laborator nr.1 sem.ii Noțiuni generale pentru analiza cu elemente finite utilizând Siemens NX Nastran (1) În acest laborator sunt atin Noțiuni generale pentru analiza cu elemente finite utilizând Siemens NX Nastran (1) În acest laborator sunt atinse următoarele aspecte: termeni și concepte uzuale din analiza cu elemente finite, noțiuni

Mai mult

Subiecte_funar_2006.doc

Subiecte_funar_2006.doc Clasa a VIII-a A. 1. Exista numere n Z astfel încât n si n+ sa fie patrate perfecte? (Gheorghe Stoica) A. 2. Se considera A N o multime cu 7 elemente si k N*. Aratati ca ecuatia 4x 2 4ax+b 2 +10k = 0,

Mai mult

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_jav_utmut0513V28_roman.doc

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_jav_utmut0513V28_roman.doc Matematika román nyelven középszint 0513 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 8. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN MATEMATICĂ KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA EXAMEN DE BACALAUREAT NIVEL MEDIU Az írásbeli vizsga időtartama:

Mai mult

Microsoft Word - F.Paladi_TD_manual.doc

Microsoft Word - F.Paladi_TD_manual.doc dq d d c lm lmt lm 0, T 0 dt T 0 dt T 0 d lt deoarece lm(lt ) La fel se poate demostra că ş T 0 cp cv lm 0, care tde către zero ma let decât dfereţa de la T 0 cp umărător c c P V 15 Etropa Exstă tre formulăr

Mai mult

Modelarea deciziei financiare şi monetare

Modelarea deciziei financiare şi monetare ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREŞTI FACUTATEA DE FINANȚE, ASIGURĂRI, BĂNCI ŞI BURSE DE VAORI Modelarea deciziei financiare şi monetare Teoria producătorului Aleandru eonte Departamentul de Monedă

Mai mult

¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬

¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬ la care participi are două părți, desemnate prin literele A și B. Pentru fiecare dintre acestea vei folosi numai materialele care se află în plicurile siilate A, respectiv B, de pe masa ta de lucru. Îți

Mai mult

Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL

Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.

Mai mult

HNT_vol_Vorbire_v_7_hhh.PDF

HNT_vol_Vorbire_v_7_hhh.PDF Utilizarea tehicilor uatate (fuzzy) si de diamica eliiara petru siteza adaptiva a vorbirii Horia-Nicolai L. Teodorescu cademia Româa, Sectia Stiita si Tehologia Iformatiei, Calea Victoriei 25, Bucuresti

Mai mult

Plansee colaborante 70:Layout 1

Plansee colaborante 70:Layout 1 Planșee colaborante CARACTERISTICI GEOMETRICE Faţa vopsită d Grosimea dalei de la la cm 96 APICAŢII este convenabil pentru planşeele de la etajele curente şi pentru terasele blocurilor de locuit sau de

Mai mult

Nr. 1 Septembrie/Octombrie pagini De la Ferme Adunate Proiecte: Programul Contract Grower Cum poţi deveni investitor cu

Nr. 1 Septembrie/Octombrie pagini De la Ferme Adunate Proiecte: Programul Contract Grower Cum poţi deveni investitor cu www.smithfieldferme.ro Nr. 1 Septembrie/Octombrie 2009 6 pagii De la Ferme Aduate Proiecte: Programul Cotract Grower Cum poţi devei ivestitor cu ajutorul Smithfield Ferme şi al Uiuii Europee Judeţele di

Mai mult

Curs 8 Variabile aleatoare continue 8.1 Funcţia caracteristică Definiţia Fie X o v. a. cu densitatea de probabilitate f. Funcţia ϕ X (t) = M [ e

Curs 8 Variabile aleatoare continue 8.1 Funcţia caracteristică Definiţia Fie X o v. a. cu densitatea de probabilitate f. Funcţia ϕ X (t) = M [ e Curs 8 Variabile aleaoare coiue 8 Fucţia caracerisică Defiiţia 8 Fie X o v a cu desiaea de probabiliae f Fucţia ϕ X ) = M [ e ix] = e ix fx)dx, se umeşe fucţia caracerisică corespuzăoare v a X Teorema

Mai mult

Elemente de aritmetica

Elemente de aritmetica Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al

Mai mult

C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi

C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector

Mai mult

Tuburi din beton Elis_mai 2019_A4.cdr

Tuburi din beton Elis_mai 2019_A4.cdr TUBURI IN BETON ȘI BETON ARMAT EEMENTE E CĂMINE EIȚIA FEBRUARIE 2019 www.eis.ro TUBURI Tenooia e fabricație a tuburior și eementeor pentru cămine este un proceeu e vibropresare a uui semiuscat în matrițe

Mai mult

Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29

Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale

Mai mult

DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT

DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ

Mai mult

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele

Mai mult

Matematika román nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1813 ÉRETTSÉGI VIZSGA május 7. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VI

Matematika román nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1813 ÉRETTSÉGI VIZSGA május 7. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VI Matematika román nyelven középszint 83 ÉRETTSÉGI VIZSGA 09. május 7. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Informaţii utile

Mai mult

carteInvataturaEd_2.0_lectia5.pdf

carteInvataturaEd_2.0_lectia5.pdf Lect ia3 Diagrame Veitch-Karnaugh 5.1 Noţiuni teoretice Diagramele Veich-Karnaugh (V-K) sunt o modalitate de reprezentare grafică a funcţiilor logice. Pentru o funct ie de N variabile, diagrama corespunz

Mai mult

Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci

Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor

Mai mult

Teoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.

Teoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP. Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului

Mai mult

3.STÁÔÉÊ-5Ç_ROM.p65

3.STÁÔÉÊ-5Ç_ROM.p65 Structuri antiseismice Proiectarea capacitatii de rezistenta - Analiza push over Preprocesor si postprocesor al programului STATIK-5 Introducerea grafica a geometriei cofrajelor din ACAD Managementul etajelor

Mai mult

ANEXA nr

ANEXA nr FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca 1. Facultatea de Inginerie 1.3 Departamentul de Inginerie Electrică, Electronică și Calculatoare

Mai mult

Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA

Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea

Mai mult