Retele Petri si Aplicatii
|
|
|
- Gențiana Popescu
- 4 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 3 RPA (2019) Curs 3 1 / 48
2 Conţinutul cursului 1 Arbori de acoperire 2 Probleme de decizie în reţele Petri 3 Invarianţi tranziţie RPA (2019) Curs 3 2 / 48
3 Arbori de acoperire Conţinutul cursului 1 Arbori de acoperire 2 Probleme de decizie în reţele Petri 3 Invarianţi tranziţie RPA (2019) Curs 3 3 / 48
4 Arbori de acoperire Notaţii Fie γ = (N,M 0 ) o reţea marcată şi T γ = (V,E,l V,l E ) arborele ei de acoperire. Dacă (v 1,v 2 ) E, l E (v 1,v 2 ) = t, l V (v 1 ) = M 1 şi l V (v 2 ) = M 2, atunci vom nota v 1 : M 1 t v 2 : M 2. În manieră naturală se poate extinde relaţia t la w, unde w T. RPA (2019) Curs 3 4 / 48
5 Arbori de acoperire Notaţii Fie γ = (N,M 0 ) o reţea marcată şi T γ = (V,E,l V,l E ) arborele ei de acoperire. Dacă (v 1,v 2 ) E, l E (v 1,v 2 ) = t, l V (v 1 ) = M 1 şi l V (v 2 ) = M 2, atunci vom nota v 1 : M 1 t v 2 : M 2. În manieră naturală se poate extinde relaţia t la w, unde w T. Fie v V cu l V (v) = M. Ω(M) = {p P M(p) = ω}. RPA (2019) Curs 3 4 / 48
6 Arbori de acoperire Notaţii Fie γ = (N,M 0 ) o reţea marcată şi T γ = (V,E,l V,l E ) arborele ei de acoperire. Dacă (v 1,v 2 ) E, l E (v 1,v 2 ) = t, l V (v 1 ) = M 1 şi l V (v 2 ) = M 2, atunci vom nota v 1 : M 1 t v 2 : M 2. În manieră naturală se poate extinde relaţia t la w, unde w T. Fie v V cu l V (v) = M. Ω(M) = {p P M(p) = ω}. Lab(T γ ) este mulţimea etichetelor nodurilor arborelui de acoperire corespunzător lui γ: Lab(T γ ) = {l V (v) v V} RPA (2019) Curs 3 4 / 48
7 Arbori de acoperire Proprietăţi pentru arborele de acoperire Propoziţie 1 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată şi T γ = (V,E,l V,l E ) arborele său de acoperire. Au loc următoarele proprietăţi: 1 T γ este finit ramificat 2 Fie v i0,v i1,...,v im noduri distincte două câte două astfel încât v ij d(v 0,v ij+1 ) pentru orice 0 j m 1. 1 Dacă l V (v i0 ) = l V (v i1 ) =... = l V (v im ), atunci m 1; 2 Dacă l V (v i0 ) < l V (v i1 ) <... < l V (v im ), atunci m P ; 3 T (γ) este finit. RPA (2019) Curs 3 5 / 48
8 Arbori de acoperire Proprietăţi pentru arborele de acoperire Lema 1.1 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată şi T γ = (V,E,l V,l E ) arborele său de acoperire. Dacă v 1,v 2 V, l V (v 1 ) = M 1, l V (v 2 ) = M 2, w T şi w v 1 : M 1 v2 : M 2, atunci: M 2 (p) = (M 1 + w)(p) pentru orice p P \Ω(M 2 ). RPA (2019) Curs 3 6 / 48
9 Arbori de acoperire Proprietăţi pentru arborele de acoperire Lema 1.1 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată şi T γ = (V,E,l V,l E ) arborele său de acoperire. Dacă v 1,v 2 V, l V (v 1 ) = M 1, l V (v 2 ) = M 2, w T şi w v 1 : M 1 v2 : M 2, atunci: M 2 (p) = (M 1 + w)(p) pentru orice p P \Ω(M 2 ). Definiţie 1 Fie γ o reţea Petri marcată, T γ arborele său de acoperire şi M o marcare. M este acoperibilă în T γ dacă există un nod v V : l V (v) M. RPA (2019) Curs 3 6 / 48
10 Arbori de acoperire Proprietăţi pentru arborele de acoperire Lema 1.2 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată, T γ = (V,E,l V,l E ) arborele său de acoperire. Orice marcare accesibilă în γ este acoperibilă în T γ. RPA (2019) Curs 3 7 / 48
11 Arbori de acoperire Proprietăţi pentru arborele de acoperire Lema 1.2 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată, T γ = (V,E,l V,l E ) arborele său de acoperire. Orice marcare accesibilă în γ este acoperibilă în T γ. Demonstraţie: Fie M [M 0. Există σ astfel încât M 0[σ M. Inducţie după σ Baza: σ = 0: M = M 0, există v 0, l V(v 0) = M 0 M 0. Pas inductiv: presupunem că, pentru M cu M 0[σ M şi σ = n, există un nod v V : l V(v) M. Fie M 0[σ M şi σ = n+1. Se arată că există v cu l V(v) M. RPA (2019) Curs 3 7 / 48
12 Arbori de acoperire Proprietăţi pentru arborele de acoperire Lema 1.3 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată, T γ = (V,E,l V,l E ) arborele ei de acoperire şi M o marcare a lui N. Dacă M este acoperibilă în T γ, atunci M este acoperibilă în γ. RPA (2019) Curs 3 8 / 48
13 Arbori de acoperire Proprietăţi pentru arborele de acoperire Teorema 1 Fie γ = (N,M 0 ) o o reţea Petri marcată, T γ = (V,E,l V,l E ) arborele ei de acoperire şi M o marcare a lui N. M este acoperibilă în T γ ddacă M este acoperibilă în γ. Propoziţie 2 Fie γ = (Σ,M 0 ) o reţea Petri marcată, T γ = (V,E,l V,l E ) arborele ei de acoperire şi t T. Atunci, are loc: ( M [M 0 : M[t ) ( (v,v ) E : l E (v,v ) = t). RPA (2019) Curs 3 9 / 48
14 Arbori de acoperire Proprietăţi pentru arborele de acoperire Propoziţie 3 Fie γ o reţea Petri marcată şi T γ = (V,E,l V,l E ) arborele său de acoperire. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: (1) Lab(T γ ) N P ; (2) [M 0 = Lab(T γ ); (3) [M 0 este finită. RPA (2019) Curs 3 10 / 48
15 Probleme de decizie în reţele Petri Conţinutul cursului 1 Arbori de acoperire 2 Probleme de decizie în reţele Petri 3 Invarianţi tranziţie RPA (2019) Curs 3 11 / 48
16 Probleme de decizie în reţele Petri Probleme de decizie Problema mărginirii unei locaţii: dată o reţea Petri marcată γ şi o locaţie p, este p mărginită? RPA (2019) Curs 3 12 / 48
17 Probleme de decizie în reţele Petri Probleme de decizie Problema mărginirii unei locaţii: dată o reţea Petri marcată γ şi o locaţie p, este p mărginită? Problema mărginirii: dată o reţea Petri marcată γ, este γ mărginită? RPA (2019) Curs 3 12 / 48
18 Probleme de decizie în reţele Petri Probleme de decizie Problema mărginirii unei locaţii: dată o reţea Petri marcată γ şi o locaţie p, este p mărginită? Problema mărginirii: dată o reţea Petri marcată γ, este γ mărginită? Problema pseudo-viabilităţii: dată o reţea Petri marcată γ, este γ pseudo-viabilă? RPA (2019) Curs 3 12 / 48
19 Probleme de decizie în reţele Petri Probleme de decizie Problema mărginirii unei locaţii: dată o reţea Petri marcată γ şi o locaţie p, este p mărginită? Problema mărginirii: dată o reţea Petri marcată γ, este γ mărginită? Problema pseudo-viabilităţii: dată o reţea Petri marcată γ, este γ pseudo-viabilă? Problema acoperirii: dată o reţea Petri marcată γ şi o marcare M, este M acoperibilă în γ? RPA (2019) Curs 3 12 / 48
20 Probleme de decizie în reţele Petri Probleme de decizie Problema mărginirii unei locaţii: dată o reţea Petri marcată γ şi o locaţie p, este p mărginită? Problema mărginirii: dată o reţea Petri marcată γ, este γ mărginită? Problema pseudo-viabilităţii: dată o reţea Petri marcată γ, este γ pseudo-viabilă? Problema acoperirii: dată o reţea Petri marcată γ şi o marcare M, este M acoperibilă în γ? Problema accesibilităţii: dată o reţea Petri marcată γ şi o marcare M, M [M 0? RPA (2019) Curs 3 12 / 48
21 Probleme de decizie în reţele Petri Probleme de decizie Problema mărginirii unei locaţii: dată o reţea Petri marcată γ şi o locaţie p, este p mărginită? Problema mărginirii: dată o reţea Petri marcată γ, este γ mărginită? Problema pseudo-viabilităţii: dată o reţea Petri marcată γ, este γ pseudo-viabilă? Problema acoperirii: dată o reţea Petri marcată γ şi o marcare M, este M acoperibilă în γ? Problema accesibilităţii: dată o reţea Petri marcată γ şi o marcare M, M [M 0? Problema viabilităţii: dată o reţea Petri marcată γ, este γ viabilă? RPA (2019) Curs 3 12 / 48
22 Probleme de decizie în reţele Petri Probleme de decizie Problema mărginirii unei locaţii: dată o reţea Petri marcată γ şi o locaţie p, este p mărginită? Problema mărginirii: dată o reţea Petri marcată γ, este γ mărginită? Problema pseudo-viabilităţii: dată o reţea Petri marcată γ, este γ pseudo-viabilă? Problema acoperirii: dată o reţea Petri marcată γ şi o marcare M, este M acoperibilă în γ? Problema accesibilităţii: dată o reţea Petri marcată γ şi o marcare M, M [M 0? Problema viabilităţii: dată o reţea Petri marcată γ, este γ viabilă? Problema marcării acasă: dată o reţea Petri marcată γ şi o marcare H, este H marcare acasă în γ? RPA (2019) Curs 3 12 / 48
23 Probleme de decizie în reţele Petri Fie γ o reţea Petri marcată şi T γ = (V,E,l V,l E ) arborele său de acoperire. O locaţie p P este nemărginită ddacă v V astfel încât l V (v)(p) = ω. (Prop. 3) Reţeaua γ este mărginită ddacă Lab(T γ ) N P (Prop. 3) O tranziţie t a lui γ este pseudo-viabilă ddacă (v,v ) E : l E (v,v ) = t. (Prop. 2) O marcare M a lui γ este acoperibilă ddacă există un nod v V: l V (v) = M M M. (Teorema 1) RPA (2019) Curs 3 13 / 48
24 Probleme de decizie în reţele Petri Fie γ o reţea Petri marcată şi T γ = (V,E,l V,l E ) arborele său de acoperire. O locaţie p P este nemărginită ddacă v V astfel încât l V (v)(p) = ω. (Prop. 3) Reţeaua γ este mărginită ddacă Lab(T γ ) N P (Prop. 3) O tranziţie t a lui γ este pseudo-viabilă ddacă (v,v ) E : l E (v,v ) = t. (Prop. 2) O marcare M a lui γ este acoperibilă ddacă există un nod v V: l V (v) = M M M. (Teorema 1) Teorema 2 Problemele acoperirii, mărginirii şi pseudo-viabilităţii sunt decidabile RPA (2019) Curs 3 13 / 48
25 Probleme de decizie în reţele Petri Exemplu t2 p1 t1 p2 t3 p3 t4 Reţea pseudo-viabilă Reţea nemărginită (toate locaţiile nemărginite) Marcarea (1, 2, 3) acoperibilă RPA (2019) Curs 3 14 / 48
26 Probleme de decizie în reţele Petri Exemplu p1 (1,0,0) t2 t1 p3 p2 2 t1 (0,1,2) t2 (1,0,w) t2 t1 (0,1,w) Marcarea (1, 0, 3) nu este accesibilă. RPA (2019) Curs 3 15 / 48
27 Probleme de decizie în reţele Petri Probleme de decizie în reţele Petri Problema accesibilităţii este decidabilă pentru reţele Petri ( dar nu pe baza arborelui de acoperire!) Mayr 1981, Kosaraju 1982, Lambert 1992 există condiţii necesare pentru accesibilitate, bazate pe structura reţelei există clase particulare de reţele Petri pentru care problema accesibilităţii se poate rezolva în timp polinomial RPA (2019) Curs 3 16 / 48
28 Probleme de decizie în reţele Petri Probleme de decizie în reţele Petri Problema accesibilităţii este decidabilă pentru reţele Petri ( dar nu pe baza arborelui de acoperire!) Mayr 1981, Kosaraju 1982, Lambert 1992 există condiţii necesare pentru accesibilitate, bazate pe structura reţelei există clase particulare de reţele Petri pentru care problema accesibilităţii se poate rezolva în timp polinomial Problema viabilităţii este decidabilă pentru reţele Petri problema este recursiv echivalentă cu problema accesibiltăţii (Hack 1975) există condiţii necesare pentru viabilitate, bazate pe structura reţelei RPA (2019) Curs 3 16 / 48
29 Conţinutul cursului 1 Arbori de acoperire 2 Probleme de decizie în reţele Petri 3 Invarianţi tranziţie RPA (2019) Curs 3 17 / 48
30 Proprietăţile reţelelor Petri pot fi studiate cu ajutorul grafului de accesibilitate (pentru reţele Petri mărginite ) sau a structurilor de acoperire. Dimensiunea grafurilor de accesibilitate/acoperire este foarte mare, deci analiza ineficientă Există tehnici de analiză a proprietăţilor comportamentale bazate pe structura reţelei Invarianţi RPA (2019) Curs 3 18 / 48
31 Matricea de incidenţă Matricea de incidenţă descrie structura reţelelor Petri. Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri. Dacă P = {p 1,...,p m } şi T = {t 1,t 2,...t n }, atunci vom consideră p 1 < p 2 <... < p m şi t 1 < t 2 <... < t n. Definiţie 2 Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri. Matricea m n - dimensională dată prin: C(i,j) = W(t j,p i ) W(p i,t j ), 1 i m,1 j n se numeşte matricea de incidenţă a reţelei N. RPA (2019) Curs 3 19 / 48
32 Matricea de incidenţă C(i,j) = t j (p i ) numărul de puncte cu care se modifică marcarea locaţiei p i prin producerea lui t j. C = p 1 p 2 p 3 p 4 t1 t 2 t Matricea C are drept componente numere întregi. Orice matrice sau vector linie/coloană cu toate componentele 0 se va nota 0. RPA (2019) Curs 3 20 / 48
33 Observaţie Dată o matrice C cu coeficienţi în Z, există o infinitate de reţele Petri cu matricea de incidenţă C, dar o unică reţea pură cu matricea de incidenţă C. C = p 1 p 2 p 3 t1 t p1 t1 p2 2 3 p1 t1 p t2 p3 t2 p3 RPA (2019) Curs 3 21 / 48
34 Fie M o marcare şi t j o tranziţie posibilă la M, M[t j M. Dacă privim M ca pe un vector coloană m - dimensional, atunci: M = M +C f unde f este un vector coloană n - dimensional, cu 1 pe linia j şi 0 în rest. RPA (2019) Curs 3 22 / 48
35 Fie M o marcare şi t j o tranziţie posibilă la M, M[t j M. Dacă privim M ca pe un vector coloană m - dimensional, atunci: M = M +C f unde f este un vector coloană n - dimensional, cu 1 pe linia j şi 0 în rest. Fie σ T. Funcţia caracteristică a lui σ este σ : {1,...,n} N, astfel încât σ(i) este numărul de apariţii al tranziţiei t i în σ. σ se poate reprezenta sub forma unui vector coloană n-dimensional (vectorul caracteristic al secvenţei σ). RPA (2019) Curs 3 22 / 48
36 Fie M o marcare şi t j o tranziţie posibilă la M, M[t j M. Dacă privim M ca pe un vector coloană m - dimensional, atunci: M = M +C f unde f este un vector coloană n - dimensional, cu 1 pe linia j şi 0 în rest. Fie σ T. Funcţia caracteristică a lui σ este σ : {1,...,n} N, astfel încât σ(i) este numărul de apariţii al tranziţiei t i în σ. σ se poate reprezenta sub forma unui vector coloană n-dimensional (vectorul caracteristic al secvenţei σ). Teorema 3 Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri şi M, M două marcări. Dacă M [M, atunci există un vector f astfel încât M = M +C f RPA (2019) Curs 3 22 / 48
37 Matricea de incidenţă-exemplu M 1 = C = M 1 [t 1 t 3 t 1 M 2. M 2 = M 1 +C = = = RPA (2019) Curs 3 23 / 48
38 Un invariant locaţie este un vector reprezentând ponderi ataşate locaţiilor. Descriu modul în care punctele se conservă în reţea în marcările accesibile. Folosiţi pentru construcţia unor relaţii care sunt satisfăcute pentru toate marcările accesibile ale reţelei. Pe baza acestor relaţii se pot determina proprietăţi ale reţelei, cunoscând doar structura acesteia şi marcarea iniţială. RPA (2019) Curs 3 24 / 48
39 p1 2 t1 p2 t2 2 p3 t3 Marcări accesibile: M 0 = (2,0,0)[t 1 M 1 = (0,1,0)[t 2 M 2 = (0,0,2)[t 3 M 3 = (1,0,1)[t 3 M 0 = (2,0,0)[t 1... RPA (2019) Curs 3 25 / 48
40 p1 2 t1 p2 t2 2 p3 t3 Fie vectorul linie: i = (1,2,1). Marcări accesibile: M 0 = (2,0,0)[t 1 M 1 = (0,1,0)[t 2 M 2 = (0,0,2)[t 3 M 3 = (1,0,1)[t 3 M 0 = (2,0,0)[t 1... RPA (2019) Curs 3 25 / 48
41 p1 t1 p2 t2 p3 2 2 t3 Fie vectorul linie: i = (1,2,1). Pentru orice marcare M [M 0, M = Marcări accesibile: M 0 = (2,0,0)[t 1 M 1 = (0,1,0)[t 2 M 2 = (0,0,2)[t 3 M 3 = (1,0,1)[t 3 M 0 = (2,0,0)[t 1... M(p 1 ) M(p 2 ) M(p 3 ) i M = (1,2,1) M = M(p 1 )+2 M(p 2 )+M(p 3 ). RPA (2019) Curs 3 25 / 48
42 p1 t1 p2 t2 p3 2 2 t3 Fie vectorul linie: i = (1,2,1). Pentru orice marcare M [M 0, M = Marcări accesibile: M 0 = (2,0,0)[t 1 M 1 = (0,1,0)[t 2 M 2 = (0,0,2)[t 3 M 3 = (1,0,1)[t 3 M 0 = (2,0,0)[t 1... M(p 1 ) M(p 2 ) M(p 3 ) i M = (1,2,1) M = M(p 1 )+2 M(p 2 )+M(p 3 ). Observaţie: i M 0 = i M 1 = i M 2 = i M 3 = 2. Pentru orice M: i M = 2 M(p 1 )+2 M(p 2 )+M(p 3 ) = 2. RPA (2019) Curs 3 25 / 48
43 Pentru o reţea oarecare, cum se determină un vector de ponderi x astfel încât pentru orice marcări accesibile M,M, să aibă loc x M = x M? se ştie că: f : M = M 0 +C f f : M = M 0 +C f dacă x M = x M, am avea x M 0 +x C f = x M 0 +x C f deci x C (f f ) = 0 deci trebuie găsit x astfel încât x C = 0. RPA (2019) Curs 3 26 / 48
44 Pentru o reţea oarecare, cum se determină un vector de ponderi x astfel încât pentru orice marcări accesibile M,M, să aibă loc x M = x M? se ştie că: f : M = M 0 +C f f : M = M 0 +C f dacă x M = x M, am avea x M 0 +x C f = x M 0 +x C f deci x C (f f ) = 0 deci trebuie găsit x astfel încât x C = 0. Definiţie 3 Fie N = (P,T,F.W) o reţea Petri. Se numeşte invariant locaţie (P-invariant) pentru N orice vector linie m-dimensional de numere întregi x, care verifică: x C = 0. RPA (2019) Curs 3 26 / 48
45 Exemplu p1 t1 p2 t2 p3 2 2 C = t x C = (1,2,1) = (0,0,0) = x = (1,2,1) este P-invariant. RPA (2019) Curs 3 27 / 48
46 - definiţii Definiţie 4 Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri. Dacă x este P-invariant al reţelei N, atunci mulţimea x = {p P x(p) 0} este numită suportul P-invariantului x. P-invariantul x este numit pozitiv dacă x 0. Un P-invariant pozitiv x > 0 este numit minimal dacă nu există un alt P-invariant x astfel încât 0 < x < x. RPA (2019) Curs 3 28 / 48
47 Observaţii Orice reţea are cel puţin un P-invariant, x = 0, dar ne vor interesa invarianţii nenuli. Vom spune că o reţea are P-invarianţi dacă are cel puţin un P-invariant nenul. Dacă x 1,x 2,...,x k sunt P-invarianţi pentru o reţea şi n 1,n 2,...,n k Z, atunci n 1 x 1 +n 2 x n k x k este P-invariant al reţelei. RPA (2019) Curs 3 29 / 48
48 Observaţii Orice reţea are cel puţin un P-invariant, x = 0, dar ne vor interesa invarianţii nenuli. Vom spune că o reţea are P-invarianţi dacă are cel puţin un P-invariant nenul. Dacă x 1,x 2,...,x k sunt P-invarianţi pentru o reţea şi n 1,n 2,...,n k Z, atunci n 1 x 1 +n 2 x n k x k este P-invariant al reţelei. p1 2 t1 t2 p2 p3 t3 (x 1,x 2,x 3 ) x 1 x 2 = 0 2x 1 +x 3 = 0 x 2 x 3 = = 0 Nu există P - invarianţi (singura soluţie a sistemului este (0, 0, 0). RPA (2019) Curs 3 29 / 48
49 Exemple p2 t2 p3 t1 t3 p1 p (x 1,x 2,x 3,x 4 ) x 1 +x 2 = = 0 = x 1 x 2 +x 3 x 4 = 0 x 3 +x 4 = O infinitate de invarianţi de forma (α,α,β,β). Invarianţi minimali: (1,1,0,0), (0,0,1,1). RPA (2019) Curs 3 30 / 48
50 Proprietăţi Teorema 4 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. Dacă x este un P-invariant nenul, atunci, pentru orice M [M 0, are loc: x M = x M 0. RPA (2019) Curs 3 31 / 48
51 Proprietăţi Teorema 4 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. Dacă x este un P-invariant nenul, atunci, pentru orice M [M 0, are loc: x M = x M 0. Teorema reprezintă o condiţie necesară pentru accesibilitate: dacă M este o marcare şi există un P-invariant x astfel încât x M x M 0, atunci M [M 0 RPA (2019) Curs 3 31 / 48
52 Exemplu p1 t1 p2 t3 p3 t2 C = p4 M 0 = (1,0,0,0) T P-invarianţi de forma: (α,0,α,α). Fie marcarea M = (0,0,2,1) T şi invariantul x = (1,0,1,1) x M = 3, x M 0 = 1, deci M [M 0. RPA (2019) Curs 3 32 / 48
53 Proprietăţi Reciproca teoremei nu este adevărată: există marcări M pentru care are loc: x M = x M 0, dar care nu sunt accesibile: p1 t1 p2 t3 p3 t2 p4 Fie M = (0,0,1,0), M 0 = (1,0,0,0) Fie x = (α,0,α,α) x M = α = x M 0 M [M 0! RPA (2019) Curs 3 33 / 48
54 Proprietăţi Teorema 5 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată şi pseudo-viabilă. Dacă x este un vector nenul de numere întregi ce verifică x M = x M 0 pentru orice M [M 0, atunci x este P-invariant al reţelei γ. RPA (2019) Curs 3 34 / 48
55 Proprietăţi Teorema 5 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată şi pseudo-viabilă. Dacă x este un vector nenul de numere întregi ce verifică x M = x M 0 pentru orice M [M 0, atunci x este P-invariant al reţelei γ. Consecinţă 1 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată şi pseudo-viabilă şi x un vector nenul de numere întregi. Atunci ( M [M 0 )(x M = x M 0 ) x este P-invariant. RPA (2019) Curs 3 34 / 48
56 Proprietăţi Condiţia de pseudo-viabilitate esenţială: p1 p2 t1 t2 p3 t 2 nu este pseudo-viabilă C = Marcări accesibile: M 0 = (1,0,0),M 1 = (0,0,1). Fie x = (1,1,1). x M 0 = x M 1 = x nu este P-invariant: (1,1,1) 0 1 = (0, 2). 1 0 RPA (2019) Curs 3 35 / 48
57 Proprietăţi Propoziţie 4 x este invariant locaţie ddacă t T : p P x(p) W(p,t) = p P x(p) W(t,p) RPA (2019) Curs 3 36 / 48
58 Definiţie 5 Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri. Spunem că N este acoperită cu P-invarianţi dacă pentru fiecare locaţie p P există un P-invariant pozitiv x p cu x p (p) 0. RPA (2019) Curs 3 37 / 48
59 Definiţie 5 Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri. Spunem că N este acoperită cu P-invarianţi dacă pentru fiecare locaţie p P există un P-invariant pozitiv x p cu x p (p) 0. t1 2 p1 t2 p2 t (x 1,x 2,x 3 ) = 0 = P-invarianţi de forma (0, α, α) p3 Reţeaua nu poate fi acoperită cu P-invarianţi (nu există x > 0 cu x(p 1 ) 0) RPA (2019) Curs 3 37 / 48
60 Definiţie 5 Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri. Spunem că N este acoperită cu P-invarianţi dacă pentru fiecare locaţie p P există un P-invariant pozitiv x p cu x p (p) 0. Lema 3.1 Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri. N este acoperită cu P-invarianţi ddacă există un P-invariant x cu x = P. RPA (2019) Curs 3 37 / 48
61 Teorema 6 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. (1) Dacă x > 0 este un P-invariant al reţelei γ, atunci orice locaţie p x este mărginită. (2) Dacă γ este acoperită cu P-invarianţi, atunci γ este mărginită. RPA (2019) Curs 3 38 / 48
62 Teorema 6 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. (1) Dacă x > 0 este un P-invariant al reţelei γ, atunci orice locaţie p x este mărginită. (2) Dacă γ este acoperită cu P-invarianţi, atunci γ este mărginită. Afirmaţia (2) poate fi reformulată astfel: Dacă există x > 0 un P-invariant al reţelei γ cu x = P, atunci γ este mărginită. RPA (2019) Curs 3 38 / 48
63 Teorema 6 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. (1) Dacă x > 0 este un P-invariant al reţelei γ, atunci orice locaţie p x este mărginită. (2) Dacă γ este acoperită cu P-invarianţi, atunci γ este mărginită. Afirmaţia (2) poate fi reformulată astfel: Dacă există x > 0 un P-invariant al reţelei γ cu x = P, atunci γ este mărginită. Reciproca teoremei nu este adevărată RPA (2019) Curs 3 38 / 48
64 Exemplu invarianţi (α,β,α,β,0) reţea mărginită RPA (2019) Curs 3 39 / 48
65 Invarianţi tranziţie Invarianţi tranziţie Descriu secvenţe de tranziţii care au un efect total nul (conduc la aceeaşi marcare). RPA (2019) Curs 3 40 / 48
66 Invarianţi tranziţie Invarianţi tranziţie Descriu secvenţe de tranziţii care au un efect total nul (conduc la aceeaşi marcare). Definiţie 6 O marcare M a unei reţele Petri N este numită reproductibilă dacă există o secvenţă nevidă de tranziţii w astfel încât M [w M. RPA (2019) Curs 3 40 / 48
67 Invarianţi tranziţie Invarianţi tranziţie Descriu secvenţe de tranziţii care au un efect total nul (conduc la aceeaşi marcare). Definiţie 6 O marcare M a unei reţele Petri N este numită reproductibilă dacă există o secvenţă nevidă de tranziţii w astfel încât M [w M. Dacă M este reproductibilă, există secvenţa de tranziţii w astfel încât M[w M, M [M, deci există un vector f astfel încât M = M +C f, deci C f = 0. RPA (2019) Curs 3 40 / 48
68 Invarianţi tranziţie Invarianţi tranziţie Definiţie 7 Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri. Se numeşte T-invariant al reţelei N orice vector coloană n-dimensional y de numere întregi ce verifică relaţia C y = 0, unde C este matricea de incidenţă a reţelei N. RPA (2019) Curs 3 41 / 48
69 Invarianţi tranziţie Invarianţi tranziţie Definiţie 7 Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri. Se numeşte T-invariant al reţelei N orice vector coloană n-dimensional y de numere întregi ce verifică relaţia C y = 0, unde C este matricea de incidenţă a reţelei N. Definiţie 8 1 Dacă y este T-invariant al reţelei N, atunci mulţimea y = {t k T y(k) 0} este numită suportul T-invariantului y. 2 T-invariantul y este numit pozitiv dacă y 0. 3 Un T-invariant pozitiv y > 0 este numit minimal dacă nu există un alt T-invariant y astfel încât 0 < y < y. RPA (2019) Curs 3 41 / 48
70 Invarianţi tranziţie Observaţii Orice reţea are cel puţin un T-invariant, y = 0. Vom spune că o reţea are T-invarianţi dacă are cel puţin un T-invariant nenul. Dacă y 1,y 2,...,y n sunt T-invarianţi pentru o reţea şi z 1,z 2,...,z n Z, atunci z 1 y 1 +z 2 y z n y n este T-invariant al reţelei. RPA (2019) Curs 3 42 / 48
71 Invarianţi tranziţie Invarianţi tranziţie Teorema 7 O reţea Petri N are T-invarianţi pozitivi y > 0 ddacă N are marcări reproductibile. RPA (2019) Curs 3 43 / 48
72 Invarianţi tranziţie Invarianţi tranziţie Teorema 7 O reţea Petri N are T-invarianţi pozitivi y > 0 ddacă N are marcări reproductibile. (= ): Fie y > 0 un T-invariant al reţelei N. Considerăm marcarea M dată prin M(p) = t k p y(k) W(p,t k ), pentru orice p P. Fie secvenţa: Are loc: M [w M. Marcarea M este reproductibilă. w = t y(1) 1...t y(n) n RPA (2019) Curs 3 43 / 48
73 Invarianţi tranziţie Invarianţi tranziţie Teorema 7 O reţea Petri N are T-invarianţi pozitivi y > 0 ddacă N are marcări reproductibile. ( =) Fie M[w M. Atunci M = M +C w. Deci C w = 0 şi w este T-invariant. RPA (2019) Curs 3 43 / 48
74 Invarianţi tranziţie Invarianţi tranziţie Definiţie 9 Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri. Spunem că N este acoperită cu T-invarianţi dacă pentru fiecare tranziţie t T există un T-invariant pozitiv y t > 0 cu t y t. RPA (2019) Curs 3 44 / 48
75 Invarianţi tranziţie Invarianţi tranziţie Definiţie 9 Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri. Spunem că N este acoperită cu T-invarianţi dacă pentru fiecare tranziţie t T există un T-invariant pozitiv y t > 0 cu t y t. Lema 3.2 N = (P,T,F,W) este o reţea Petri acoperită cu T-invarianţi ddacă există un T-invariant y > 0 cu y = T. RPA (2019) Curs 3 44 / 48
76 Invarianţi tranziţie Exemplu p1 t1 t2 2 2 p2 t3 p x y z = 0 = T-invarianţi de forma (α, α, 2α). Reţeaua acoperită cu T-invarianţi. Marcări reproductibile: M 0 [t 2 t 3 t 3 t 1 M 0 sau (1,2,2)[t 1 t 2 t 3 t 3 (1,2,2). RPA (2019) Curs 3 45 / 48
77 Invarianţi tranziţie Invarianţi tranziţie Teorema 8 Orice reţea Petri marcată viabilă şi mărginită este acoperită cu T-invarianţi. RPA (2019) Curs 3 46 / 48
78 Invarianţi tranziţie Invarianţi tranziţie Teorema 8 Orice reţea Petri marcată viabilă şi mărginită este acoperită cu T-invarianţi. Se ştie că: dacă o reţea este viabilă şi mărginită, atunci există o marcare accesibilă M [M 0 şi o secvenţă de tranziţii σ astfel încât σ conţine toate tranziţiile din T M[σ M y = σ este T-invariant cu y = T. RPA (2019) Curs 3 46 / 48
79 Invarianţi tranziţie Invarianţi tranziţie t1 p1 t2 t3 p2 T-invarianţi de forma (0, α, α). ( ) x y = 0 = z { x+y z = 0 y +z = 0 Reţeaua nu este acoperită cu T-invarianţi, deci nu este viabilă sau nu este mărginită. RPA (2019) Curs 3 47 / 48
80 Invarianţi tranziţie Invarianţi tranziţie Există reţele acoperite de T-invarianţi care nu sunt mărginite/viabile: t2 p1 t1 p3 p2 t x y z = 0 T-invarianţi de forma: (α,α,α) T Reţea acoperită de T-invarianţi, dar nemărginită RPA (2019) Curs 3 48 / 48
Retele Petri si Aplicatii
Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 4 RPA (2019) Curs 4 1 / 45 Cuprins 1 Analiza structurală a reţelelor Petri Sifoane Capcane Proprietăţi 2 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Reţele workflow 3
Microsoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Grafuri neorinetate Aplicatii 1 Care este numărul maxim de componente conexe pe care le poate avea un graf neorientat cu 20 noduri şi 12 muchii? a. 6
Grafuri neorinetate Aplicatii 1 Care este numărul maxim de componente conexe pe care le poate avea un graf neorientat cu 20 noduri şi 12 muchii? a. 6 b. 12 c. 10 d. 15 2 Câte grafuri neorientate, distincte,
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire
Elemente de aritmetica
Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
2.1.Tipul tablou unidimensional
7. Grafuri 7.1. Grafuri neorientate - Teste grilă 1. V_88_I_5. Care este numărul minim de noduri pe care îl poate conţine un graf neorientat cu 50 de muchii, şi în care 15 noduri sunt izolate? a. 25 b.
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:
Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi
Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)
Microsoft Word - _arbori.docx
ARBORI Să presupunem că o firmă doreşte să conecteze la TV, prin cablu, cele n case ale unui sat. Cum vor fi conectate casele la cablu? Logic, va trebui ca fiecare casă să fie conectată. Apoi, la o casă
Clasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
LOGICA MATEMATICA SI COMPUTATIONALA Sem. I,
LOGICA MATEMATICĂ ŞI COMPUTAŢIONALĂ Sem. I, 2017-2018 Ioana Leustean FMI, UB Partea III Calculul propoziţional clasic Consistenţă şi satisfiabilitate Teorema de completitudine Algebra Lindenbaum-Tarski
Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,
Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea
Logică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014
Logică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014 Un exemplu: automatul de cafea acțiuni (utilizator): introdu
Subiectul 1
Subiectul 1 În fişierul Numere.txt pe prima linie este memorat un număr natural n (n
Curs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi
Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a
Probleme rezolvate informatica: Probleme rezolvate grafuri si a
Mai multe Creați blog Autentificare LUNI, 11 MARTIE 2013 Probleme rezolvate grafuri si arbori Probleme rezolvate de catre : Ginghina Cristian Onica Viorel Neculai Alexandru Anton Cosmin INFORMATICA Teorie
Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n
Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului
TEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:
TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins
gaussx.dvi
Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care
CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),
![CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),](/thumbs/101/150500936.jpg "CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),")
CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul
Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; pa
Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; paranteze: (, ); simbolul de egalitate =; cuantificatorul
{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud
{ 3 + 3, < Eemple. ) Fie f : R R, f() + 4,. Funcţia f este derivabilă pe R\{} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să studiem derivabilitatea în a. Atunci f s() 3+3 6,< 3, f d f() f() (),> funcţia
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim
Geometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 12 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 3 Apendix 2
MD.09. Teoria stabilităţii 1
MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,
Grafuri - Concepte de baza. Tipuri de grafuri. Modalitati de reprezentare
Concepte de bază. Tipuri de grafuri. Modalităţi de reprezentare Mircea Marin Departamentul of Informatică Universitatea de Vest din Timişoara mircea.marin@e-uvt.ro 9 noiembrie 2018 Introducere Ce este
E_d_Informatica_sp_MI_2015_bar_02_LRO
Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. d) Informatică Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializările: matematică-informatică matematică-informatică intensiv informatică Toate subiectele
Microsoft PowerPoint - Curs_SDA_9_RO_2019_v2.pptx
SDA (PC2) Curs 9 Liste / Grafuri / Arbori Iulian Năstac Lista dublu înlănțuită Recapitulare Într-o astfel de listă fiecare nod conţine doi pointeri: unul spre nodul următor şi unul spre nodul precedent.
Slide 1
SCTR -SZOKE ENIKO - Curs 4 continuare curs 3 3. Componentele hard ale unui sistem de calcul in timp real 3.1 Unitatea centrala de calcul 3.1.1 Moduri de adresare 3.1.2 Clase de arhitecturi ale unitatii
PROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
ExamView Pro - Untitled.tst
Class: Date: Subiecte logica computationala licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Fie formula
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Analiză de flux de date 29 octombrie 2012
Analiză de flux de date 29 octombrie 2012 Analiză statică: definiţie O analiză a codului sursă (fără a executa programul), cu scopul de a determina proprietăţi ale programului sursă. (in principal corectitudinea,
Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014
Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014 Relații în lumea reală și informatică Noțiunea matematică de
Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică ş
Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Academiei 4, RO 0004, Bucureşti, România
Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Geometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial Vari
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial 1 11 Varietăţi liniare 1 12 Spaţiul director şi dimensiunea unei varietăţi
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Microsoft Word - probleme_analiza_numerica_ses_ian09.rtf
Universitatea Spiru Haret Facultatea de Matematica-Informatica Disciplina obligatorie; Anul 3, Sem. 1,Matematica si Informatica CONTINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI Metode numerice de rezolvare a sistemelor
Logică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea marius/curs/lsd/ 3 noiembrie 2014
Logică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 3 noiembrie 2014 Unde aplicăm verificarea realizabilității? probleme de căutare și
Calcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 4 2019 Anca Ignat Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Fie matricea nesingulară A nn şi b n. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare Ax=b se poate face folosind regula
Algebra si Geometri pentru Computer Science
Natura este scrisă în limbaj matematic. Galileo Galilei 5 Aplicatii liniare Grafica vectoriala In grafica pe calculator, grafica vectoriala este un procedeu prin care imaginile sunt construite cu ajutorul
Spatii vectoriale
Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale
Proiectarea Algoritmilor
Proiectarea Algoritmilor Greedy Programare dinamica Greedy Greedy Metodă de rezolvare eficientă a unor probleme de optimizare Se pleacă de la o soluție parțială elementară Există un criteriu de optim local
Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont
Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi
Calcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 6 2019 Anca Ignat Algoritmul lui Givens Fie A o matrice reală pătratică de dimensiune n. Pp. că avem: A QR unde Q este o matrice ortogonală iar R este o matrice superior triunghiulară.
Microsoft Word - 2 Filtre neliniare.doc
20 Capitolul 2 - Filtre neliniare 21 CAPITOLUL 2 FILTRE NELINIARE 2-1. PRELIMINARII Răspunsul la impuls determină capacitatea filtrului de a elimina zgomotul de impulsuri. Un filtru cu răspunsul la impuls
ALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja f
ALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja far Mohammed ibn Musâ al- Khowârizmî în cartea sa intitulată
CAPITOLUL I
CAPITOLUL I. LIMBAJE FORMALE 1.1. CONCEPTE DE BAZĂ Cunoaştem unele limbaje de nivel înalt, cum sunt Pascal, Fortran, Basic, C şi altele. Ne scriem programele în aceste limbaje iar când citim un program
1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x.
1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x. Date de intrare: arr [] = {10, 2, 14, 4, 7, 6}, x =
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
1
Contents 1 Automate finite... 2 1.1 Probleme cu AF... 2 1.2 Structuri de date pentru automate finite... 4 2 Gramatici si limbaje; gram. indep. de context... 5 2.1 Limbaje... 5 2.2 Gramatici si limbaje...
O teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with ap
O teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with applications to Erdős-Suranyi sequences. We start from
Introducere
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic AEACD 17. Segmentarea imaginilor: Region-based segmentation. Graph Theory In Image Segmentation Region-based segmentation
Nr. 932 din Avizat ISJ Vâlcea, Inspector școlar informatică, Ciochină Luisa EXAMEN DE ATESTARE A COMPETENȚELOR PROFESIONALE A ABSOLVENȚILOR
Nr. 932 din 12.12.2018 Avizat ISJ Vâlcea, Inspector școlar informatică, Ciochină Luisa EXAMEN DE ATESTARE A COMPETENȚELOR PROFESIONALE A ABSOLVENȚILOR DE MATEMATICĂ INFORMATICĂ ȘI MATEMATICĂ INFORMATICĂ,
Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a
Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a 6.02.2016 si 13.02.2016 Material intocmit de prof. BAJAN MARIANA
Slide 1
BAZELE ELECTOTEHNICII BE I An I - ETTI CUS 3 Conf. dr.ing.ec. Claudia PĂCUA e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro CICUITE ELECTICE DE CUENT CONTINUU Teorema conservării puterilor Enunț: Puterea primită
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
PAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi C
PAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi Calculatoare Universitatea Politehnica Bucureşti PAS
Slide 1
STRUCTURI DE DATE Arbori B Sisteme de Gestiune a Bazelor de Date Relaţionale (SGBDR): operatie importanta regasirea rapida a datelor indecsi. Indexul: colecţie de perechi
Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l
Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative la R n, în principal), sunt prezentate aici elemente
Aero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D
Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge
FIŞA DISCIPLINEI
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1.Instituţia de învăţământ superior Universitatea SPIRU HARET 1.2.Facultatea Inginerie, Informatică şi Geografie 1.3.Departamentul Informatică şi Geografie 1.4.Domeniul
Universitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x
1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima
Structuri de date pentru partiţii de mulţimi O partiţie finită a unei mulţimi nevide S este o mulţime finită de submulţimi ale lui S: {S 1, S 2,..., S
Structuri de date pentru partiţii de mulţimi O partiţie finită a unei mulţimi nevide S este o mulţime finită de submulţimi ale lui S: {S 1, S 2,..., S n P(S) care satisface condiţiile următoare: S i 0
2
C5: Metoda matricilor de transfer BIBLIOGRAFIE E. Tulcan Paulescu, M. Paulescu Algorithms for electronic states in artificial semiconductors of use in intermediate band solar cells engineering. In Physics
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
2
C4: Structuri nanocristaline. Modelul Kronig-Penney 1. Stucturi cuantice traditionale Reducerea dimensionalităţii unui sistem fizic (de exemplu material semiconductor) produsă prin confinarea particulelor
Analiză statică Analiza fluxului de date 23 octombrie 2014
Analiză statică Analiza fluxului de date 23 octombrie 2014 Analiză statică: definiție O analiză a codului sursă (fără a executa programul), cu scopul de a determina proprietăți ale programului sursă. (in
Teoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.
Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului
COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati
COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan
Microsoft PowerPoint - Curs_SDA_10_RO_2019_v1.pptx
SDA (PC2) Curs 10 Arbori Iulian Năstac Definiția 1: Arbori Recapitulare Arborele este un graf orientat, aciclic și simplu conex. Definiția 2: Un arbore este un ansamblu de structuri de date de natură recursivă
Examenul de bacalaureat 2012
CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,
Slide 1
ELECTROTEHNCĂ ET An - SA CRS 8 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCRAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro . ntroducere în teoria circuitelor electrice. Puteri în regim armonic 3. Caracterizarea în complex a
BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7
ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine număru
ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine numărul de operaţii efectuate de către un algoritm care determină
Microsoft Word - FiltrareaNyquist-rezumat.doc
Filtrarea semnalelor de date Necesitate - unul din efectele limitării benzii unui impuls rectangular de perioadă T s, datorită filtrării, este extinderea sa în timp, care conduce la apariţia interferenţei
SECURITATE ȘI CRIPTOGRAFIE
Noțiuni de bază ale criptografiei Criptografia este studiul metodelor matematice legate de securitatea informației, capabile să asigure confidențialitatea, autentificarea și non-repudierea mesajelor, precum
programa_olimpiada_matematica_IX-XII_
R O M  N I A MINISTERUL EDUCAłIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI DIRECłIA GENERALĂ MANAGEMENT ÎNVĂłĂMÂNT PREUNIVERSITAR CONSILIUL NAłIONAL PENTRU CURRICULUM ŞI EVALUARE ÎN ÎNVĂłĂMÂNTUL PREUNIVERITAR PROGRAMA
Mihaela Stet 1.PDF
PROBLEMA TRANSPORTULUI ÎN DISTRIBUTIA MARFURILOR Mihaela STET Universitatea de Vest Vasile Goldis Arad filiala Baia Mare ABSTRACT: Freight distribution with its basic component, freight transport, supposes
ALGEBRA PENTRU INFORMATICĂ GEORGE CIPRIAN MODOI Cuprins Bibliografie 2 1. Mulţimi, Funcţii, Relaţii Preliminarii logice 3 Exerciţii la Prelimin
ALGEBRA PENTRU INFORMATICĂ GEORGE CIPRIAN MODOI Cuprins Bibliografie 2 1. Mulţimi, Funcţii, Relaţii 3 1.1. Preliminarii logice 3 Exerciţii la Preliminarii logice 3 1.2. Mulţimi 3 Operaţii cu mulţimi 4
Slide 1
Bazele electrotehnicii BAZELE ELECTOTEHNC BE An - ETT CS 4 Conf. dr.ing.ec. Claudia PĂCA e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro Bazele electrotehnicii CCTE ELECTCE DE CENT CONTN 7. Teoreme de rezolvare
Laborator 4 Modele sistemice liniare. Reprezentare numerică. Conversii. Conexiuni 4.1 Tema Formarea deprinderilor de utilizare a convenţiilor MATLAB d
Laborator 4 Modele sistemice liniare Reprezentare numerică Conversii Conexiuni 41 Tema Formarea deprinderilor de utilizare a convenţiilor MATLAB de reprezentare numerică a modelelor sitemice de stare şi
RO Acte_RO+date et nr.doc
COMISIA EUROPEANĂ Bruxelles, 2/03/2009 SG-Greffe (2009) D/1275 Autoritatea Națională pentru Comunicații (ANC) Delea Nouă 2 030925 București România În atenția: Dlui. Liviu Nistoran Președinte Fax : +40
8.1. Elemente de Aritmetică. 8. Aplicatii (15 aprilie 2019) Lema 8.1. Fie (A, +) un grup abelian şi H, K A. Atunci H K şi H + K = {h + k h H şi k K} s
8.1. Elemente de Aritmetică. 8. Aplicatii (15 aprilie 2019) Lema 8.1. Fie (A, +) un grup abelian şi H, K A. Atunci H K şi H + K = {h + k h H şi k K} sunt sungrupuri ale lui A. Propoziţia 8.2. Considerăm
Microsoft Word - Curs_09.doc
Capitolul 7. Proiectarea conceptuală Scop: reprezentarea cerinţelor informale ale aplicaţiei în termenii descrierii complete şi formale dar independent de criteriul folosit pentru reprezentare în sistemul
PowerPoint Presentation
CURS 2 Planificarea Tranzacţiilor Gestionarea Concurenţei Planificarea tranzacţiilor O planificare reprezintă ordonarea secvenţială a instrucţiunilor (Read / Write / Abort / Commit) a n tranzacţii astfel
Entrepreneurship and Technological Management
Platformă e e-learning și urriulă e-ontent pentru învățământul uperior tehni Proietarea Algoritmilor 23. Flux. Rețele e flux. Operații u fluxuri. Rețele reziuale. Biliografie [1] C. Giumale Introuere in
C10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la
C10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la distanta b de centrul sferei. Alegem un sistem de coordonate
Microsoft Word - l10.doc
Metode Numerice - Lucrarea de laborator 0 Lucrarea de laborator nr. 0 I. Scopul lucrării Aproximarea funcţiilor. Polinoame de interpolare. II. Conţinutul lucrării. Polinom de interpolare. Definiţie. Eroarea
PowerPoint Presentation
Forme Normale 4 Redundanţa Redundanţa este cauza principală a majorităţii problemelor legate de structura bazelor de date relaţionale: spaţiu utilizat, anomalii de inserare / stergere / actualizare. Redundanţa
PowerPoint Presentation
Circuite Integrate Digitale Conf. Monica Dascălu Curs Seminar Laborator notă separată Notare: 40% seminar 20% teme // + TEMA SUPLIMENTARA 40% examen 2014 CID - curs 1 2 Bibliografie Note de curs Cursul
I
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
Microsoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc
ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru
Secţiunea 9-10 avansaţi Concurs online de informatică Categoria PROGRAMARE PROBLEMA 1 TEXT 100 puncte Un text este format din una sau mai multe propoz
PROBLEMA TEXT 00 puncte Un text este format din una sau mai multe propoziții separate pe linii. O propoziție este formată din două sau mai multe cuvinte separate prin câte un spațiu. Fiecare cuvânt este
Examenul de bacalaureat 2012
PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,