Aproximarea functiilor prin metoda celor mai mici patrate
|
|
- Flaviu Tudor
- 4 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 Aproximarea funcţiilor prin metoda celor mai mici pătrate Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, /30 Cuprins 1 2 2/30
2 Interpolare vs. aproximare Date 0.1 Interpolare 0.1 Date Aproximare Interpolare Aproximare Se dă un set de date (x k, y k ), k = 0,...,m, unde y k = f(x k ). Se caută o aproximare notată g(x), unde g(x k ) y k. 3/30 Ideea metodei Funcţia de aproximare se caută a.î: g(x) f(x) minimă Deoarece f este cunoscută într-un număr discret de puncte norma discretă (de exemplu norma Euclidiană discretă). Metoda celor mai mici pătrate (CMMP) caută g a.î: E = (f(x k ) g(x k )) 2 minimă (1) 4/30
3 Regresia liniară g(x) = c 0 + c 1 x c 0 =?, c 1 =?. 5 Exemplu: m = 3: (1,3), (2,1), (4,4). 4.5 Regresie liniara prin cmmp E(c 0, c 1 ) = (y 0 c 0 c 1 x 0 ) (y 1 c 0 c 1 x 1 ) (y 2 c 0 c 1 x 2 ) 2 = = (3 c 0 c 1 ) (1 c 0 2c 1 ) (4 c 0 4c 1 ) 2. y x 5/30 Regresia liniară E(c 0, c 1 ) = (y 0 c 0 c 1 x 0 ) 2 + (y 1 c 0 c 1 x 1 ) 2 + (y 2 c 0 c 1 x 2 ) 2 = E c 0 = 0, E c 1 = 0. = (3 c 0 c 1 ) 2 + (1 c 0 2c 1 ) 2 + (4 c 0 4c 1 ) 2. (2) { 3c0 + 7c 1 = 8, 7c c 1 = 21 c 0 = 1.5, c 1 = 0.5. (3) 5 Regresie liniara prin cmmp y g(1) = 2, g(2) = 2.5, g(3) = 3.5; min E = (3 2) 2 +(1 2.5) 2 +(4 3.5) x 6/30
4 Regresia liniară E(c 0, c 1 ) = (y 0 c 0 c 1 x 0 ) 2 + (y 1 c 0 c 1 x 1 ) 2 + (y 2 c 0 c 1 x 2 ) 2 = E c 0 = 0, E c 1 = 0. = (3 c 0 c 1 ) 2 + (1 c 0 2c 1 ) 2 + (4 c 0 4c 1 ) 2. (2) { 3c0 + 7c 1 = 8, 7c c 1 = 21 c 0 = 1.5, c 1 = 0.5. (3) 5 Regresie liniara prin cmmp y g(1) = 2, g(2) = 2.5, g(3) = 3.5; min E = (3 2) 2 +(1 2.5) 2 +(4 3.5) x 6/30 Regresia liniară Set oarecare de date: E(c 0, c 1 ) = (y k c 0 c 1 x k ) 2, (4) { E c 0 = 0, E c 1 = 0. { 2(y k c 0 c 1 x k ) = 0, 2x k(y k c 0 c 1 x k ) = 0. (5) { c0 (m+1)+c m 1 x k = y k, c m 0 x k + c m 1 x2 k = x ky k. Sistem normal (6) 7/30
5 Regresia liniară Soluţia se poate calcula explicit: unde c 0 = d 0 d, c 1 = d 1 d, (7) ( m ) 2 d = (m+1) xk 2 x k, (8) d 0 = d 1 ( m xk 2 = (m+1) )( ( m )( ) y k ) x k x k y k, (9) ( m )( ) x k y k x k y k. (10) 8/30 Regresia liniară - alt raţionament Condiţiile de interpolare pentru datele din tabel şi g(x) = c 0 + c 1 x: c 0 + c 1 x k = y k, k = 1,...,m, (11) sistem supradeterminat de ecuaţii. Dacă notăm 1 x 0 y 0 1 x 1 A =.., y = y 1., (12) 1 x m y m atunci (11) se scriu compact unde c = [c 0 c 1 ] T, iar sistemul normal este Ac = y, (13) A T Ac = A T y. (14) 9/30
6 Regresia liniară - alt raţionament Reluăm exemplul simplu: m = 3: (1,3), (2,1), (4,4) A = 1 2, y = A T A = [ ], A T y = [ 8 21, (15) ]. (16) { 3c0 + 7c 1 = 8, 7c c 1 = 21 c 0 = 1.5, c 1 = 0.5. (17) 10/30 Cazul general Metoda celor mai mici pătrate nu este limitată la polinoame de gradul întâi. Exemplu: g(x) = c 0 ln(x)+c 1 sin(x)+c 2 x. 1 Se minimizează funcţia definită de E = (f(x k) g(x k )) 2 ; 2 Se impun condiţiile de minimizare; 3 Se rezolvă un sistem algebric liniar de dimensiune 3. 11/30
7 Cazul general În general, se caută o aproximare de forma unui polinom generalizat n g(x) = c j ϕ j (x), (18) j=0 unde ϕ i (x) se numesc funcţii de bază. OBS: n+1 < m+1 E(c 0, c 1,..., c n ) = (g(x k ) f(x k )) 2 = n c j ϕ j (x k ) y k j=0 (19) 2. 12/30 Cazul general E(c 0, c 1,..., c n ) = (g(x k ) f(x k )) 2 = n c j ϕ j (x k ) y k j=0 Punctul de minim al acestei funcţii este un punct critic: (20) E c i = 0, i = 0,...,n. (21) Înlocuind expresia (20) în (21) rezultă ( n ) ϕ i (x k )ϕ j (x k ) c j = y k ϕ i (x k ), i = 0,...,n. (22) j=0 Sistem normal dificil de rezolvat dacă ϕ k nu sunt alese potrivit /30
8 Cazul general - alt raţionament Condiţiile de interpolare pentru datele din tabel şi g(x) g(x k ) = y k, k = 1,...,m, (23) sistem supradeterminat de ecuaţii. Notăm ϕ 0 (x 0 ) ϕ 1 (x 0 ) ϕ n (x 0 ) ϕ 0 (x 1 ) ϕ 1 (x 1 ) ϕ n (x 1 ) A =......, y = ϕ 0 (x m ) ϕ 1 (x m ) ϕ n (x m ) atunci (23) se scriu compact y 0 y 1.. y m, (24) Ac = y, (25) unde c = [c 0, c 1... c n+1 ] T. Sistemul normal: A T Ac = A T y. (26) 14/30 clasice Sistemul normal de rezolvat are, în cazul regresiei liniare forma N = [ m+1 x k x k x2 k Nc = t (27) ] [, t = y ] k m x. (28) ky k 15/30
9 clasice Sistemul normal de rezolvat Nc = t (29) are, în cazul regresiei parabolice g(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2, forma: m+1 m x k x2 k N = m x y k k, t = m x ky k x2 k x2 k m x3 k x3 k m x4 k m x2 k y k. (30) OBS: Generalizarea este uşoara pentru n > 2, dar sistemul este slab condiţionat. :( 16/30 clasice Sistemul normal de rezolvat Nc = t (29) are, în cazul regresiei parabolice g(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2, forma: m+1 m x k x2 k N = m x y k k, t = m x ky k x2 k x2 k m x3 k x3 k m x4 k m x2 k y k. (30) OBS: Generalizarea este uşoara pentru n > 2, dar sistemul este slab condiţionat. :( Remedii? 16/30
10 clasice Remedii: 1 Folosirea unor alte funcţii de bază; 2 O altă strategie pentru CMMP, care nu rezolvă sistemul normal. 17/30 - polinoame Chebyshev În cazul în care se caută polinoamelor algebrice, atunci folosirea polinoamelor Chebyshev, definite recursiv ca: T 0 (x) = 1, (31) T 1 (x) = x, (32) T j (x) = 2xT j 1 (x) T j 2 (x), (33) generează un sistem de ecuaţii mult mai bine condiţionat. OBS: Există un algoritm mai eficient de evaluare a aproximării g(x) cu polinoame Chebyshev, decât rezolvarea sistemului normal [Cheney07]. 18/30
11 ortonormale Ideal (din p.d.v. al condiţionării) - varianta în care matricea coeficienţilor este matricea unitate, adică dacă ϕ i (x k )ϕ j (x k ) = δ ij, unde δ ij = { 1 dacă i = j 0 dacă i j, (34) ceea ce înseamnă că funcţiile de bază sunt ortonormale. c j = y k ϕ j (x k ), j = 0,...,n. (35) 19/30 ortonormale Dacă notăm cu G spaţiul vectorial al funcţiilor generat de funcţii de bază ϕ j (x) G = g : c 0, c 1,... c n, astfel încât g(x) = n c j ϕ j (x), (36) j=0 atunci o bază ortonormală se poate construi de exemplu printr-o procedură Gram-Schmidt. 20/30
12 - paşi principali Date: tabelul de valori; valorile în care se doreşte evaluarea polinomului de aproximare. Se aleg: funcţiile de bază (în consecinţă şi gradul polinomului de aproximare). Se calculează: valorile polinomului de aproximare în punctele dorite. 21/30 - paşi principali CMMP_SistemNormal 1. Asamblează A şi y 2. Calculează N = A T A şi t = A T y 3. Rezolvă sistemul pătrat Nc = t c 4. Evaluează polinomul de aproximare g(x) în punctul dorit 22/30
13 - paşi principali Obs: În cazuri particulare, se poate evita calculul explicit al coeficienţilor c. Se poate ca tabelul de valori să includă numere complexe. În acest caz: N = A H A, t = A H y unde A H (notată uneori şi cu A ) este transpusa hermitiană adica (a H ) ij = a ji. Sistemul normal A H Ac = A H y este nesingular dcaă şi numai dacă A este de rang complet [Trefethen97]. 23/30 Probleme de CMMP neliniare Până acum polinoamele de interpolare = combinaţii liniare de coeficienţi necunoscuţi. Dar dacă: Pentru setul de date (x k, y k ), k = 0, m se caută g(x) = e cx? Metoda CMMP minimizează funcţia E(c) = (e cx k y k ) 2 (37) Minimul are loc pentru E (c) = 0, deci 2 (e cx k y k ) e cx k x k = 0, (38) 24/30
14 Probleme de CMMP neliniare Pentru setul de date (x k, y k ), k = 0, m se caută g(x) = e cx. CMMP duce la (e cx k y k ) e cx k x k = 0, (39) ecuaţie neliniară în c rezolvare de ecuaţii neliniare; metode de minimizare. 25/30 Probleme de CMMP neliniare Pentru setul de date (x k, y k ), k = 0, m se caută g(x) = e cx. Acestea sunt probleme de CMMP neliniare. OBS: Reformulare ca o problemă de CMMP liniară: Pentru setul de date (x k, ln(y k )), k = 0, m se caută h(x) = cx. Valoarea c din problema reformulată nu este soluţia ecuaţiei neliniare (39), dar aproximarea e h(x) s-ar putea să fie satisfăcătoare. 26/30
15 Concluzii Se caută aproximarea unor date dintr-un tabel de valori; CMMP găseşte o funcţie a.î. distanţa dintre ea şi tabelul de date să fie minimă (în normă Euclidiană); Aceasta problemă este echivalentă cu rezolvarea unui sistem de ecuaţii supradimensionat Ac = y; Acesta se poate aduce la un sistem de ecuaţii normal, cu matricea coeficienţilor pătrată; Condiţionarea sistemului normal depinde de alegerea funcţiilor de bază; 27/30 Concluzii Polinoamele algebrice clasice se pot folosi pentru regresii liniare sau parabolice; Pentru ordine mai mari e mai bine să se folosească polinoame Chebyshev; O procedură eficientă poate folosi polinoame ortogonale adaptate setului de date; Găsirea ordinului optim se poate facând o analiză statistică. 28/30
16 Concluzii CMMP poate fi privită ca o metodă de rezolvare a unui sistem supradeterminat, care a fost notat Ac = y. Minimizarea normei Euclidiene discrete este echivalentă cu minimizarea normei reziduului r = Ac y. Există şi alţi algoritmi CMMP, care nu asamblează sistemul normal (bazaţi pe factorizare QR sau SVD). 29/30 Lectură obligatorie [Ioan98] D. Ioan et al., Metode numerice in ingineria electrica, Ed. Matrix Rom, Bucuresti, (Capitolul 13) Cartea se găseşte la biblioteca UPB, puteţi verifica accesând catalogul 30/30
PAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi C
PAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi Calculatoare Universitatea Politehnica Bucureşti PAS
Mai multMETODE NUMERICE ÎN INGINERIE
METODE NUMERICE ÎN INGINERIE REZOLVAREA NUMERICĂ A SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE Aspecte generale (1) (2) (3) (4) (5) Unicitatea soluţiei Un sistem de ecuaţii liniare are o soluţie unică numai dacă matricea
Mai multEcuatii si sisteme de ecuatii neliniare 1 Metoda lui Newton Algorithm 1 Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. Date de intrare: - Funcţia f - Apro
Ecuatii si sisteme de ecuatii neliniare Metoda lui Newton Algorithm Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. - Funcţia f - Aproximaţia iniţială x - Eroarea admisă ε - Numărul maxim de iteraţii ITMAX
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 6 2019 Anca Ignat Algoritmul lui Givens Fie A o matrice reală pătratică de dimensiune n. Pp. că avem: A QR unde Q este o matrice ortogonală iar R este o matrice superior triunghiulară.
Mai multMicrosoft Word - probleme_analiza_numerica_ses_ian09.rtf
Universitatea Spiru Haret Facultatea de Matematica-Informatica Disciplina obligatorie; Anul 3, Sem. 1,Matematica si Informatica CONTINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI Metode numerice de rezolvare a sistemelor
Mai multFisa disciplinei_Utilizarea_Calc_CFDP_ _var2_
UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCȚII BUCUREȘTI FIŞA DISCIPLINEI (COD PO-09_F-01) Denumirea Utilizarea calculatoarelor Codul 1.OB05.DPF Anul de studiu I Semestrul 1 Tipul de evaluare finală (E, CO, V) CO
Mai multAutoevaluare curs MN.doc
Anul II, IEI IFR Semestrul I Metode numerice Chestionar de autoevaluare C1 1 Să se scrie o procedură care să calculeze produsul scalar a doi vectori 2 Să se scrie o procedură de înmulţire a matricelor
Mai mult..MINISTERUL EDUCAŢIEI NAȚIONALE ŞI CERCETARII STIINTIFICE UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIȘOARA.I CENTRUL DE DEZVOLTARE ACADEMICĂ. FIȘA DISCIPLINEI 1.
FIȘA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1. Instituția de învățământ superior Universitatea de Vest din Timișoara 1.2. Facultatea Matematică și Informatică 1.3. Departamentul Informatică 1.4. Domeniul
Mai multCursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai multDAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
Mai multLUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL Aspecte generale Programarea neliniară are o foart
LUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL 0 8.. Aspecte generale Programarea neliniară are o foarte mare importanţă în rezolvarea problemelor de optimizări,
Mai multUniversitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică şi Informatică ERNEST SCHEIBER ANALIZĂ NUMERICĂ Braşov
Universitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică şi Informatică ERNEST SCHEIBER ANALIZĂ NUMERICĂ Braşov Cuprins I INTERPOLARE ŞI APLICAŢII 9 1 Diferenţe finite 11 11 Diferenţe finite 11
Mai multFIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de Informatică 1.3 Departamentul Informatică 1.4 Domeniul
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multTiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n
Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului
Mai multLaborator 4 Modele sistemice liniare. Reprezentare numerică. Conversii. Conexiuni 4.1 Tema Formarea deprinderilor de utilizare a convenţiilor MATLAB d
Laborator 4 Modele sistemice liniare Reprezentare numerică Conversii Conexiuni 41 Tema Formarea deprinderilor de utilizare a convenţiilor MATLAB de reprezentare numerică a modelelor sitemice de stare şi
Mai multPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
Mai multFisa MMC IA
MD-05, CHIŞINĂU, STR. STUDENȚILOR, 7, TEL: 0 50-99-01 FAX: 0 50-99-05, www.utm.md METODE ŞI MODELE DE CALCUL 1. Date despre unitatea de curs/modul Facultatea Calculatoare, Informatică și Microelectronică
Mai multClasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Mai multMD.09. Teoria stabilităţii 1
MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7
Mai multPrelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)
Mai multFacultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:
Mai multPrelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi
Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte
Mai multMicrosoft Word - matem_aplicate in Economie aa FD Bala.doc
FIŞA DISCIPLINEI ANUL UNIVERSITAR 05-06. DATE DESPRE PROGRAM. Instituţia de învăţământ superior UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA. Facultatea Economie și Administrarea Afacerilor.3 Departamentul Management, Marketing
Mai multLaborator 1-Teoria probabilitatilor si statistica matematica Sef lucrari dr.mat. Daniel N.Pop Departamentul de calculatoare si inginerie electrica 1 P
Laborator 1-Teoria probabilitatilor si statistica matematica Sef lucrari dr.mat. Daniel N.Pop Departamentul de calculatoare si inginerie electrica 1 Prezentare generală Matlab 1.1 Help on-line 1. Limbajul
Mai multSlide 1
Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice PROIECTAREA OPTIMALĂ A DISPOZITIVELOR ELECTROMAGNETICE PODE CURS 2 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@et.utcluj.ro 2/46 Proiectarea
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,
Mai multAnaliz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Mai mult43 Prelegerea 4 Protocoale de distribuire a cheilor 4.1 Introducere Am văzut că sistemele bazate pe chei publice nu necesită un canal sigur pentru tra
43 Prelegerea 4 Protocoale de distribuire a cheilor 4.1 Introducere Am văzut că sistemele bazate pe chei publice nu necesită un canal sigur pentru transmiterea unei chei private. Aceste avantaj este compensat
Mai multFIŞA DISCIPLINEI
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1.Instituţia de învăţământ superior Universitatea SPIRU HARET 1.2.Facultatea Inginerie, Informatică şi Geografie 1.3.Departamentul Informatică şi Geografie 1.4.Domeniul
Mai multgaussx.dvi
Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care
Mai multSpatii vectoriale
Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale
Mai multPowerPoint Presentation
Calculul Aproximativ al Derivatelor Funcțiilor umerice Ș.l. Dr. ing. Levente CZUMBIL E-mail: Levente.Czumbil@ethm.utcluj.ro WebPage: http://users.utcluj.ro/~czumbil Determinarea distribuţiei de sarcină
Mai multMicrosoft Word - Algoritmi genetici.docx
1.1 Generalităţi Algoritmii genetici fac parte din categoria algoritmilor de calcul evoluționist și sunt inspirați de teoria lui Darwin asupra evoluției. Idea calculului evoluționist a fost introdusă în
Mai multCURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),
CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul
Mai mult1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x.
1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x. Date de intrare: arr [] = {10, 2, 14, 4, 7, 6}, x =
Mai multŞcoala ………
Şcoala... Clasa a X-a Disciplina: Matematică TC + CD Anul şcolar: 07-08 TC = trunchi comun 35 săptămâni: 8 săptămâni semestrul I CD = curriculum diferenţiat Nr. ore: 3 ore / săptămână 7 săptămâni semestrul
Mai multMicrosoft Word - Tema 06 - Convertoare analog-numerice.doc
Convertoare analog-numerice (ADC) Convertoarele analog-numerice sunt circuite electronice (în variantă integrată sau hibridă) care, printr-un algoritm intrinsec de funcţionare, asociază valorilor tensiunii
Mai multMicrosoft Word - FiltrareaNyquist-rezumat.doc
Filtrarea semnalelor de date Necesitate - unul din efectele limitării benzii unui impuls rectangular de perioadă T s, datorită filtrării, este extinderea sa în timp, care conduce la apariţia interferenţei
Mai multFIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de Matematica 1.3 Departamentul Matematica Didactic 1.4
Mai multMicrosoft Word - l10.doc
Metode Numerice - Lucrarea de laborator 0 Lucrarea de laborator nr. 0 I. Scopul lucrării Aproximarea funcţiilor. Polinoame de interpolare. II. Conţinutul lucrării. Polinom de interpolare. Definiţie. Eroarea
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Mai multprograma_olimpiada_matematica_IX-XII_
R O M  N I A MINISTERUL EDUCAłIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI DIRECłIA GENERALĂ MANAGEMENT ÎNVĂłĂMÂNT PREUNIVERSITAR CONSILIUL NAłIONAL PENTRU CURRICULUM ŞI EVALUARE ÎN ÎNVĂłĂMÂNTUL PREUNIVERITAR PROGRAMA
Mai mult2
C5: Metoda matricilor de transfer BIBLIOGRAFIE E. Tulcan Paulescu, M. Paulescu Algorithms for electronic states in artificial semiconductors of use in intermediate band solar cells engineering. In Physics
Mai multFIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de Matematică 1.3 Departamentul Matematică Didactic 1.4
Mai multCursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l
Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative la R n, în principal), sunt prezentate aici elemente
Mai multMicrosoft Word - MK_An_I_Matematica_aplicata_in_economie.docx
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Dunărea de Jos din Galaţi 1.2 Facultatea Facultatea de Economie şi Administrarea Afacerilor 1.3 Departamentul
Mai multI
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
Mai multLogică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea marius/curs/lsd/ 3 noiembrie 2014
Logică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 3 noiembrie 2014 Unde aplicăm verificarea realizabilității? probleme de căutare și
Mai multLucrarea 7 Filtrarea imaginilor BREVIAR TEORETIC Filtrarea imaginilor se înscrie în clasa operaţiilor de îmbunătăţire, principalul scop al acesteia fi
Lucrarea 7 Filtrarea imaginilor BREVIAR TEORETIC Filtrarea imaginilor se înscrie în clasa operaţiilor de îmbunătăţire, principalul scop al acesteia fiind eliminarea zgomotului suprapus unei imagini. Filtrarea
Mai multMicrosoft Word - TIC5
CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE CAPITOLUL 5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE În Capitolul 3, am văzut că putem utiliza codarea sursă pentru a reduce redundanţa inerentă a unei surse de informaţie
Mai multFIŞA DISCIPLINEI 1 1. Date despre program 1.1 Instituţ ia de învăţ ământ superior Universitatea Politehnica Timişoara 1.2 Facultatea 2 / Departamentul
FIŞA DISCIPLINEI 1 1. Date despre program 1.1 Instituţ ia de învăţ ământ superior Universitatea Politehnica Timişoara 1.2 Facultatea 2 / Departamentul 3 Facultatea Automatică şi Calculatoare / Departamentul
Mai multLaborator 9- Estimarea parametrilor Sef lucrari dr.mat. Daniel N.Pop Departamentul de calculatoare si inginerie electrica 29.nov
Laborator 9- Estimarea parametrilor Sef lucrari dr.mat. Daniel N.Pop Departamentul de calculatoare si inginerie electrica 29.nov.2017 1 2 1 Estimarea parametrilor in ToolBox-ul Statistics Functiile de
Mai multTeoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A 1,...,
Teoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A,..., A r unde A,..., A r sunt elemente distincte dintr-o
Mai multPowerPoint-Präsentation
Universitatea Transilvania din Braşov Laboratorul de Vedere Artificială Robustă şi Control Metode Numerice Curs 01 Introducere Gigel Măceșanu 1 Cuprins Obiectivele cursului Organizare: Structura cursului
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,
Mai multTeme pentru Gradul I ( V
Teme pentru lucrări metodico-ştiinţifice pentru gradul I în învăţământ Specializarea MATEMATICA I. ALGEBRĂ 1. Ecuaţii algebrice cu coeficienţi întregi. 2. Ecuaţii algebrice de grad mai mic sau egal cu
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen
Mai multOPERATII DE PRELUCRAREA IMAGINILOR 1
OPERATII DE PRELUCRAREA IMAGINILOR Prelucrarea imaginilor 2 Tipuri de operatii de prelucrare Clasificare dupa numarul de pixeli din imaginea initiala folositi pentru calculul valorii unui pixel din imaginea
Mai multCuantizare Vectoriala.doc
4. Metoda de quadro în compresie fractala optimizata rata-distorsiune În cele ce urmeaza descriem o metoda de quadro bazata pe optimizarea criteriului ratadistorsiune în compresia fractala a imaginilor.
Mai multPrezentarea cursului Didactica Matematicii Oana Constantinescu
Prezentarea cursului Didactica Matematicii Oana Constantinescu Didactica este stiinta conducerii procesului de predare-invatare-evaluare. Ea studiaza procesul de invatare in ansamblul sau, pe toate treptele
Mai multDiapositive 1
Tablouri Operatii pe tablouri bidimensionale Lectii de pregatire pentru Admitere 09 / 03 / 2019 1 Cuprins Operatii pe tablouri bidimensionale 0. Tablouri unidimensionale scurta recapitulare 1.Tablouri
Mai multUniversitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x
1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima
Mai multMicrosoft Word - L_TI_4_C2_Tehnici_de_Analiza_a_Imaginilor_Brad_Remus.doc
FIŞA DISCIPLINEI Valabilă an universitar: 017-018 1. Date despre program Instituţia de învăţământ superior Facultatea Departament Domeniul de studiu Ciclul de studii Specializarea Universitatea Lucian
Mai multrrs_12_2012.indd
Corelaţia dintre Produsul Intern Brut/locuitor şi Rata de ocupare a populaţiei model econometric de analiză Drd. Ligia PRODAN Academia de Studii Economice, Bucureşti Abstract Se prezintă evoluţia Ratei
Mai multFIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea de Vest din Timișoara 1.2 Facultatea Matematică și Informa
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea de Vest din Timișoara 1.2 Facultatea Matematică și Informatică 1.3 Departamentul Informatică 1.4 Domeniul de
Mai multPattern Recognition Systems
Sisteme e Recunoaștere a Formelor Lab 7 Analiza Componentelor Principale 1. Obiective În această lucrare e laborator se escrie metoa e Analiză a Componentelor Principale (Principal Component Analysis PCA).
Mai multU.T.Cluj-Napoca, C.U.N. Baia Mare Facultatea: Inginerie PLAN de INVĂŢĂMÂNT Domeniul: Calculatoare şi Tehnologia Informaţiei anul univ Progr
Domeniul: Calculatoare şi Tehnologia Informaţiei anul univ. 2015-2016 Anul I Cod 1 Analiză matematică I (Calcul diferenţial) 2 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială 3 Proiectare logică N
Mai multAlgebr¼a liniar¼a, geometrie analitic¼a şi diferenţial¼a B¼arb¼acioru Iuliana Carmen Seminarul 2
lgebr¼a liniar¼a, geometrie analitic¼a şi diferenţial¼a ¼arb¼acioru Iuliana armen uprins. Spaţii vectoriale............................. 4. Modi carea coordonatelor unui vector atunci când se schimb¼a
Mai multGeometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 12 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 3 Apendix 2
Mai multCentralizatorul temelor pentru elaborarea lucrărilor metodico-științifice în vederea obținerii gradului didactic I în învățământ SERIA PROF.
Centralizatorul temelor pentru elaborarea lucrărilor metodico-științifice în vederea obținerii gradului didactic I în învățământ SERIA 2018-2020 PROF. DR. IOAN BUCĂTARU 1. Transformări geometrice Transformările
Mai mult09. Informatica 2 - MM 1
FIȘA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1. Instituția de învățământ superior Universitatea de Vest din Timișoara 1.2. Facultatea Matematică și Informatică 1.3. Departamentul Matematică 1.4. Domeniul
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim
Mai multMicrosoft Word - 2 Filtre neliniare.doc
20 Capitolul 2 - Filtre neliniare 21 CAPITOLUL 2 FILTRE NELINIARE 2-1. PRELIMINARII Răspunsul la impuls determină capacitatea filtrului de a elimina zgomotul de impulsuri. Un filtru cu răspunsul la impuls
Mai multGeometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial Vari
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial 1 11 Varietăţi liniare 1 12 Spaţiul director şi dimensiunea unei varietăţi
Mai multFACULTATEA DE MATEMATICĂ
FACULTATEA DE MATEMATICĂ TEME PENTRU GRADUL DIDACTIC I Nr. crt Seria 2014-2016 Conducător / Tema 1. Metode exacte de rezolvare a sistemelor algebrice liniare cu aplicaţii în matematica gimnazială Problemele
Mai multInvesteşte în oameni
FIŞA DISCIPLINEI 1 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Politehnică Timișoara 1. Facultatea / Departamentul 3 Facultatea de Inginerie Hunedoara / Inginerie Electrică
Mai multALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine număru
ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine numărul de operaţii efectuate de către un algoritm care determină
Mai multGheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Mai multAero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D
Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge
Mai multCapitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru,
Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru, adică f (t, 0) = 0, t t 0. In acest paragraf, funcţia
Mai multLOGICA MATEMATICA SI COMPUTATIONALA Sem. I,
LOGICA MATEMATICĂ ŞI COMPUTAŢIONALĂ Sem. I, 2017-2018 Ioana Leustean FMI, UB Partea III Calculul propoziţional clasic Consistenţă şi satisfiabilitate Teorema de completitudine Algebra Lindenbaum-Tarski
Mai multMicrosoft Word - Tematica examen AIS.doc
FACULTATEA DE AUTOMATICA SI CALCULATOARE Catedra Automatica si Ingineria Sistemelor Program master: Control Avansat si Sisteme in Timp Real Tematica examen: - Sisteme de conducere avansata a proceselor
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 4 2019 Anca Ignat Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Fie matricea nesingulară A nn şi b n. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare Ax=b se poate face folosind regula
Mai multmatematica
MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII PROGRAMĂ ŞCOLARĂ M A T E M A T I C Ă CLASA A IX-A CICLUL INFERIOR AL LICEULUI Aprobată prin ordin al ministrului nr. / Bucureşti, 2009 NOTĂ DE PREZENTARE În
Mai mult..MINISTERUL EDUCAŢIEI NAȚIONALE ŞI CERCETARII STIINTIFICE UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIȘOARA.I CENTRUL DE DEZVOLTARE ACADEMICĂ. FIȘA DISCIPLINEI 1.
FIȘA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1. Instituția de învățământ superior Universitatea de Vest din Timișoara 1.2. Facultatea Matematică și Informatică 1.3. Departamentul Informatică 1.4. Domeniul
Mai multI. Partea introductivă Proiectul unității de învățare CONCEPTUL DE MATRICE ŞCOALA: Colegiul Național Petru Rareș Suceava CLASA: a XI a- matematică / a
I. Partea introductivă Proiectul unității de învățare CONCEPTUL DE MATRICE ŞCOALA: Colegiul Național Petru Rareș Suceava CLASA: a XI a- matematică / a XI a- informatică neintensiv PROFESOR: Dumitrașcu
Mai multAlgebra si Geometri pentru Computer Science
Natura este scrisă în limbaj matematic. Galileo Galilei 5 Aplicatii liniare Grafica vectoriala In grafica pe calculator, grafica vectoriala este un procedeu prin care imaginile sunt construite cu ajutorul
Mai multUNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot
Mai multFIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de Matematică 1.3 Departamentul Matematică Didactic 1.4
Mai multElectricitate II
Electricitate II Circuitul electric. Legile circuitului electric. Sumar Circuitul electric simplu Legile lui Ohm Legile lui Kirchhoff Gruparea rezistorilor Transformarea stea-triunghi Gruparea generatoarelor
Mai multUniversitatea POLITEHNICA Bucureşti Facultatea de Ştiinţe Aplicate Valabil în anul universitar Specializarile: Matematica si informatica apl
Specializarile: Matematica si informatica aplicata in inginerie, Inginerie fizica Anul: I S.I. Analiză matematică UPB.3.F.0.O.0 0 0 44 4 E Algebră liniară UPB.3.F.0.O.0 0 0 44 4 E 3 Fizica generală - noţiuni
Mai multSECURITATE ȘI CRIPTOGRAFIE
Noțiuni de bază ale criptografiei Criptografia este studiul metodelor matematice legate de securitatea informației, capabile să asigure confidențialitatea, autentificarea și non-repudierea mesajelor, precum
Mai multMicrosoft Word - _Curs II_2_Mar17_2016out.doc
CURS II Mar. 016 Prof. I. Lupea, Programare II, UTCluj 1. Operatorul SELECT -> aduare selectivă, umai elemete pozitive ditr-u şir. Tipuri de date şi culori asociate î diagramă.. For loop î For loop (imbricat).1.
Mai multModelarea si Simularea Sistemelor de Calcul
Modelarea şi Simularea Sistemelor de Calcul Generarea de numere aleatoare ( lab. 5) Numim variabilă aleatoare acea funcţie X : (Ω, δ, P) R, care în cazul mai multor experimente efectuate în condiţii identice
Mai mult