Microsoft Word - LogaritmiBac2009.doc

Transcriere

1 Logaritmi. EcuaŃii logaritmice Logaritmi DefiniŃie. Fie a R * +, a şi b R * + douã numere reale. Se numeşte logaritm al numãrului real strict pozitiv b exponentul la care trebuie ridicat numãrul a, numit bazã, pentru a obńine numãrul b. Logaritmul numãrului b în baza a se noteazã log a b log Evident a b b = a. Pentru a = 0 obńinem logaritmi zecimali (lgx), iar pentru a = e obńinem logaritmi naturali (lnx). ProprietãŃi: log. Identitatea logaritmica fundamentală a b a = b unde a > 0, a si b > 0.. log a b = log a c b = c, (b,c > 0);. log a a = ;. log a = 0 5. log a a c = c; log a b =- log ab; log a x n = n log a x, x 0 m 6. loga b = log a b, ( b > 0, m N, m ) ; m 7. log a balog b a = ; logc b 8. Formula de schimbare a bazei logaritmului: loga b = logc a 9. x>0 şi y>0 log a xy = log a x + log a y; x 0. x>0 şi y>0 log a y = log ax log a y;. a> şi x (0,) log a x < 0; a> şi x> log a x > 0;. 0<a< şi x (0,) log a x > 0; 0<a< şi x> log a x < 0;. a> şi 0<x<y log a x < log a y; loga x logb x. x>0, y>0, a>0, b>0, a, b = ; loga y logb y 5. x>0, a>0, a, n N nalog a x = log a x n; 6. x R, a>0, a a x = e xlna.

2 EcuaŃii şi inecuańii logaritmice fundamentale. log a x = b, a>0, a, b R. SoluŃia: x = a b.. log a x > b, b R. Fie S mulńimea soluńiilor. Avem: a S a > (a b, + ) 0 < a < (0, a b ). log a x < b, b R. Fie S mulńimea soluńiilor. Avem: a S a > (0, a b ) 0 < a < (a b, + ). Ecuatia log a f(x) = log a g(x) (a > 0, a ) este echivalentă cu f(x) = g(x), cu condińiile f(x) > 0, g(x) > 0 5. Ecuatia log h(x) f(x) = log h(x) g(x) este echivalenta cu f(x) = g(x), CondiŃii: h(x) > 0, h(x), f(x) > 0, g(x) > 0 D domeniul de rezolvabilitate Probleme propuse. Se consideră funcńia f : (0,+ ) R, f(x) = log x. Să se calculeze f()+f() f().. Să se arate că log =+a, unde a = log.. Să se rezolve în mulńimea numerelor reale ecuańia lg x lgx+=0.. Se consideră numărul a = log. Să se arate că log 8=a+. 5. logx Să se rezolve ecuańia =. 6. Să se rezolve în mulńimea numerelor reale ecuańia log x =. 7. Să se rezolve în mulńimea numerelor reale ecuańia lg x lgx+=0. 8. Să se rezolve în mulńimea numerelor reale ecuańia ( x x ) ( x ) log log =. 9. Să se arate că log +log log 6=log Să se calculeze log 8.. Să se determine soluńiile reale ale ecuańiei log 5 (x+)=+log 5 (x ). log58 log5. Să se calculeze. log5. Să se verifice că log 5+log log 0=.

3 . Să se arate că numerele, log 9 şi 6 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. 5. Să se rezolve în mulńimea numerelor reale ecuańia log x + =. 6. Să se rezolve în mulńimea numerelor reale ecuańia lg(x+)+lg(x+)=lg( x). 7. Să se calculeze log Să se rezolve în mulńimea numerelor reale ecuańia 5 ( x x ) log + =. 9. Să se rezolve în mulńimea numerelor reale ecuańia log x = Să se arate că numărul A = log + log + log + + log este natural. 8. Să se determine soluńiile reale ale ecuańiei ( x x ) log =.. Să se rezolve în mulńimea numerelor reale ecuańia log (x+) log (x+)=.. Să se determine soluńiile reale ale ecuańiei log 7 (x+) =.. Să se calculeze log 6 +log 6 0 log Să se determine domeniul maxim de definińie D al funcńiei f:d R, f (x)=lg(x ). 6. Să se arate că log +log 9< Să se calculeze log 5 5 log Să se rezolve în mulńimea numerelor reale ecuańia ( x x ) 9. Să se arate că numărul ( log 8 ) este natural. log + 0 =. 0. Să se compare numerele şi log.. Să se calculeze log 5+log 6 log Să se verifice că lg + lg lg =. 0. Să se calculeze log log.. Să se rezolve în mulńimea numerelor reale ecuańia log 5 (x+)=. 5. Să se rezolve în mulńimea numerelor reale ecuańia log (0 x)=. 6. Să se rezolve în mulńimea numerelor reale ecuańia log 5 (x+)=. 7. Să se rezolve în mulńimea numerelor reale ecuańia log 5 (9 x )=. 8. Să se calculeze log Să se rezolve în mulńimea numerelor reale ecuańia log (x )=log (x+). 0. Să se calculeze log 5 0+log 5 log Să se rezolve în mulńimea numerelor reale ecuańia log ( x ) log ( x ) + = +.

4 Probleme rezolvate. Să se determine soluńiile reale ale ecuańiei log 5 (x + ) =. R. CondiŃii: x+>0 x > x > x, + =D, domeniul de rezolvabilitate. Din definińia logaritmului obńinem: 5 8 x + = x = x = 8 x = D, soluńie.. Să se determine soluńiile reale ale ecuańiei log (x + ) + log x =. x + > 0 R. CondiŃii: x (0, + ) = D. Aplicând proprietăńile logaritmilor: x > 0 log A + log B = log A B se obńine: log x( x + ) = şi din definińia logaritmului avem: a a a x( x + ) = x ( ) + x 8 = 0 cu soluńiile x = şi x =. SoluŃia ecuańiei este x=0d.. Să se determine soluńiile reale ale ecuańiei log ( x + ) log (x 5) =. x + > 0 x > R. CondiŃii: D = ( 5, + ). x 5 > 0 x > 5 Aplicând proprietăńile logaritmului ecuańia va fi: x + x + log = = x + = 8( x 5) x + = 8x 0 7x = x = 6 D. x 5 x 5. Să se determine valorile reale pozitive ale numărului x, ştiind că lg x, şi lg x sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. R. Verificăm proprietatea de medie aritmetică: lg x + lg x ( ) ( ) = lg x x = x = 0 x = 0 x = 0 = Să se calculeze log 7 log 8. R. Din definińia logaritmului avem log 7 = şi log 8 = log 7 log 8 = = Să se verifice că log 9 log 8 = log. R. log9 log8 = = şi log = log =.

5 7. Să se determine soluńiile reale ale ecuańiei log (x x) =log (x ). x x > 0 R. CondiŃii:, x > 0 x x = 0, x = 0, x =, x 0 + x x S =(,0)c(,+) x >0 x > x >, S =, +. Domeniul de rezolvabilitate D = S S = (, + ). Rezolvare: din injectivitatea funcńiei logaritmice avem x x = x x x + = 0 cu soluńiile x = şi x =. SoluŃia ecuańiei este x = care aparńine lui D. 8. Ştiind că log = a, să se verifice dacă log8 + log00 log5 = 5a. log 8 + log 00 log 5=log +log 0 -log 5 =log +log 5 -log 5= R. ( ) =a+log +log 5 -log 5 = a+a=5a. 9. Să se determine soluńiile reale ale ecuańiei log (x x+) =. R. CondiŃii x x+ > 0 (x ) >0 x şi D = R\{}. Rezolvare: x x+ = x x 5 = 0 cu soluńiile x = şi x = 5 care sunt soluńiile ecuańiei. 0. Să se determine soluńiile reale ale ecuańiei log (x + 5) =. R. CondiŃia x + 5 > 0 x > 5 x0( 5, +). Rezolvare: x + 5 = x + 5=8 x =.. Să se calculeze log log. R. log log = log log = log 6 log 6 = 0.. Să se calculeze log + log. R. log + log = log = log = 0.. Să se calculeze log 6 log 6. R. log6 log6 = log6 = log66 =. 5

6 . Să se calculeze log 6 + log log. 6 R. log 6 + log - log =log = log =. 5. Să se determine soluńiile reale ale ecuańiei log (x )=0. R. CondiŃia x >0 x>. Rezolvare: x = 0 x =, soluńie. 6. Să se calculeze lg 0 + lg lg 6. 0 R. lg 0 + lg lg 6 = lg = lg0 = Să se rezolve în mulńimea numerelor reale ecuańia log (x )=. R. CondiŃia x > 0 x 0(, )c(,+). Rezolvare: x = x = x, =± şi S ={,}. 6