Săptămâna 1 Partea I Nr. item Rezultate a) {1; 2; 3; 4; 5; 8} {2} {2; 3; 5; 6; 7} 55 [AE b) {2; 4} C {1; 3; 4; 5; 7} 55 AD c) {1; 3; 5} {2;
|
|
- Flaviu Ioniță
- 4 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 Săptămân ) {; ; ; 4; ; 8} {} {; ; ; 6; 7} [AE b) {; 4} C {; ; 4; ; 7} AD c) {; ; } {; } Cls VII- Mtemtică Răspunsuri {; 4} AF. ) A {0,,,, 4, }, B {, 4,, 6, 7}. b) A Ç B {, 4, }; A È B {0,,,, 4,, 6, 7}; A \ B {0,, }; B \ A {6, 7}; (A \ B) (B \ A) {(0; 6), (0; 7), (; 6), (; 7), (; 6), (; 7)}.. ) Deducem DN cm, AD cm, deci D este mijlocul segmentului (AB). Cum ND este înălţime şi medină, rezultă că triunghiul ABN este isoscel. b) [ AC] [ ND] CC.. ACM NDA [ CM ] [ DA] c) Din ΔACM ΔNDA [AM] [AN] () m( MAN) 80 [m( CAM) + m( DAN)] () Din () şi () rezultă că triunghiul AMN este dreptunghic isoscel.. ) Avem congruenţele: AOB BOC(din ip.) LU.. L. [ OA] [ OC] (din ip.) AOB COB [ AB] [ BC] () [ OB] [ OB] (lt.com.) Anlog, se rtă că ΔCOB º ΔCOA [BC] [CA]. () Din () şi () rezultă că triunghiul ABC este echilterl. b) Semidrept [OX nu pote fi bisectore unghiului BAC pentru că nu re ceeşi origine. Bisectore unghiului BAC este [AO. c) Drept OY include semidrept [BO cre este bisectore în ΔABC echilterl, deci şi medină. Prin urmre OY conţine mijlocul lui (AC). d) OD este meditore segmentului (AB) şi coincide cu drept OZ, deci punctele C, O, D sunt colinire. Săptămân ) A {4; ; ; 6} 8 dreptunghi jumătte b) F { ; 0; 7} pătrt pătrt c) F { ; 0; ; } 0; ; ; ; 4; romb dreptunghi ) Perechile şi, 4 şi 4, 6 şi 6 sunt numere opuse. b) x Î {±; ±; ±; ±6}, de unde x Î {; ; 4; 7; 0; ; ; }.. ) 8 + (+) ( 4) b) 6 + ( ) + (+6) c) 007 : 00 [ ( )] [ ( )] 4 ( + 0) 4 (+8) AB CE. ) ABEC [ AB] [ CE] prlelogrm b) Având AD BC AD EF BC EF ADEF prlelogrm AD BC AD EF ADEF dreptunghi BC EF m( DAB) 90 c) În prlelogrmul ABEC, mijlocul digonlei (BC) este şi mijlocul digonlei (AE). Deci O este mijlocul ipotenuzei (AE) triunghiului ADE, cre este dreptunghic în D. Prin urmre DO AE (m folosit fptul că în dreptunghiul ADEF digonlele se înjumătăţesc). d) Punctul M este centrul pătrtului ABCD, ir N este centrul pătrtului BCEF. Se deduce că MBNC este romb; cum m( MBC) 4 şi m( CBN) 4, rezultă m( MBN) 90. Prin urmre MBNC este pătrt.
2 Săptămân Nr. item 4 ) {0; 0} b) { ; 0; ; ; 0} ; 9 4 ; ; 7 ; 9 4 ; ; c) ;,; ;, ;, ;, 9 0 simetrice simetric din F punctul O xe; O nu re; P 4 xe; Q ,(),,. ) şi,, şi 9, şi sunt perechi de numere opuse. 4 b) 4 4 ; ; ; ; ; ; ; ; ;. 9, 4, (), ) B ; ; ; ; ;, C ; 8, ;. 9 9 b) Punem condiţi x 4, x Î. Găsim x Î {,, 4}. c) Condiţi x Î { 0; ; ; }. Găsim x Î { 8; ; 0; }.. ) s b) s O 4. ) Exemplu: Dreptunghiul re două xe de simetrie şi centrul de simetrie este l intersecţi digonlelor. s O s O s s b) Triunghiul echilterl re liniile importnte xe de simetrie, ir punctul lor de intersecţie este centrul său. s Săptămân 4 ) 7 6 b) 8 c) 6 9, F prlele, neprlele 0 4 F isoscel 90, 90, A perpendiculră 67. ) Mi întâi ducem frcţiile l celşi numitor comun: 4 ; ; ; ; 4 ; 4 ; 4 ; 4. Ordine crescătore v fi: < < < < < < < dică 7 < < < < < < < b) Avem, x x {,, 0,,, } x. ) x. b) x ;. c) x imposibil, deci nu există x cu propriette c modulul său să fie negtiv.. ) AB şi CD fiind bze nu pot ve ceeşi lungime. D 7 C b) Deorece digonlele [AC] şi [BD] sunt congruente, 7 deducem că trpezul este isoscel. A 4 B Rezultă AB CD 7 cm, deci P ABCD cm. c) Din MN êê BC rezultă BCNM trpez isoscel, deci A digonlele [BN] şi [CM] sunt congruente. M N B C
3 d) m ABC 80 m BAD 00 m( ADC) 00 ABCD trpez isoscel cu lturile [AB] şi [CD]. B A Săptămân ) 8 b) c) ) : : semiprodusul 60 înălţime corespunzătore trpez b) : : ) ( 6 ) c) Efectuăm dou prnteză: 000 ( 000 ( Rezulttul exerciţiului este 0, deorece produsul dintre orice număr şi zero este zero. D C BC AD 0. ) Aflăm ri: A ABC cm. Exprimând ri în funcţie de înălţime CE obţinem relţi: AB CE 8 CE A ABC 0 8 CE A CE 0 : 8 CE 6, cm. 8 b) Figur reprezintă desfăşurre unei prisme triunghiulre regulte. Ari unei feţe lterle B D 0 este 4 4, ir ri lterlă este A l 4.. ) A t corp ( ) ( ) 6 A t corp b) Corpul este un prlelipiped dreptunghic, ir corpul este o pirmidă ptrulteră regultă. 4. ) Ari unei plăci este (0,) m 0,09 m. Ari prdoselii este,6 7,8 m. Vor fi necesre 7,8 : 0,009 86,(6) 87 plăci. b) 87 : 0 4,; cetăţenul trebuie să cumpere cutii. c) Trebuie să flăm cât costă o cutie cu gresie: 0 plăci 0,09 m,8 m se coperă cu plăcile dintr-o cutie;,8 m 4 lei/m 7,8 lei costă o cutie; 7,8 69 lei costă totă gresi; d) 7 lei costă lintul; 8 8 lei costă chitul; 7,8 7 lei costă mnoper. În totl, cetăţenul cheltuieşte lei. C
4 Săptămân 6 ) prlelogrmul cu două lturi consecutive congruente, 0 cm b) perpendiculre 9 0º c) pătrt 8 60º ) ; b) 0.. Prim prnteză se mi scrie: şi obţinem stfel rezulttul.. m( EAD)0º, ADE este isoscel, m( ADE)7º şi m( EDC)º. Săptămân 7 ) 0º 0º romb, 79 7 b) cm 60º 0 0, 7 68 c) 9 cm 8 0º 0 8. ) > ; > ;... ; >, deci > 0; > ; > ;...; >, deci b > b) + b, m (, b) ; c) b < 0, deci < b Din < m (, b) < b şi punctul ), obţinem 0 < < < b. Din b > 0, rezultă şi b <.. Indicţii: punctele E şi F sunt punctele de intersecţie bisectorelor în ABD respectiv CBD.. b) Conform ) sum devine: Săptămân 8 ) mic 0 4 b 0 b) trpez isoscel 0, c) suplementre 4 -. Obţinem >, devărt; ) m( DAC ) 60º m( ADC ) 0º m( DCA ) 0º m( ACB ) 90º AC ^ BC. b) m( DAC ) 0º m( CAB ) (AC este bisectore DAB. c) ABC dreptunghic, m( CAB ) 0º AB BC DC.. ) Fie AD Ç BC {O}. Din congruenţ triunghiurilor AOC º AOB º DOB º DOC (AB) º (BD) º (DC) º (AC) şi ABCD romb. b) M este mijlocul segmentelor (AD) şi (BC), deci ABCD prlelogrm. Dr m( A ) 90º, deci ABCD dreptunghi. c) Conform ) ABCD romb. Dr m( A ) 90º, deci ABCD pătrt.
5 Săptămân 9 ) , b) c) , 0,. ) Notăm cu x lungime trseului şi obţinem: 4 x+ + 4 x + + x. x 0 km. b) 4 km.. Ecuţi se mi scrie: x+ x + + x + x x x x x ( x ) x.. MNPQ este dreptunghi cu lungimile lturilor egle cu jumătte lungimilor digonlelor rombului. d d 40 cm. Ari dreptunghiului d d 0 cm. Săptămân 0 ) 6, 80 0 b) c) x 6, y, z.. Aplicăm propriette (, b) [, b] b şi obţinem: x 4x [, x] ; [ 4, x] ; x 4x (, x) (4, x) (, x) (, x ) ( 4, x ) x (; x) (4; x) (; x). Deorece (; x) ; (4; x) 4 şi (; x) x, obţinem (; x) ; (4; x) 4; (; x) x x.. Demonstrăm că: AECG şi BFDH sunt prlelogrme; AHB º BEC º CFD º DGA; AQH este dreptunghic; HQ este linie mijlocie în ADP. Notăm HQ x şi obţinem DP x, AQ QP x. Din A ADG cm A AHQ + A HQPD + A DPG x, obţinem x cm şi ri pătrtului MNPQ 4 cm. Săptămân ) 4 0,9 4, 0,9 b) 0 80,9 6; 4 c) , 0º 87. ) 7; b) 4 ;. ) Preţ Preţ Preţ finl iniţil intermedir în lei x y în % 00% din x % din x % din y Rezolvăm prin metod mersului invers: % din y y lei % din x x lei b) lei; c),%;
6 . ) 48 cm ; b) A CPN A ABC cm A ABPN 48 cm cm 6 cm. c) [MN] linie mijlocie în ABC MN êê DP; [DM] medină în triunghiul dreptunghic ADB DM [PN] linie mijlocie în ABC PN d) 4. AB DM PN. AB ; Săptămân ) 6 4,4, b) 0,,, 4, c) 9. ) 6 cm; b) 0 cm;. ) 784; b) ; c) 4;. ) 0; b) ; c) ; d) 8 4. Săptămân Nr. item 4 ) 0; 4,8 b) Æ 8,8 c) 8 9. ) O prlelă l un din lturile unui triunghi determină pe celellte două (su pe prelungirile cestor) segmente proporţionle. b) Dcă o dreptă determină pe două lturi le unui triunghi (su pe prelungirile lor) segmente proporţionle, tunci e este prlelă cu trei ltură triunghiului. c) Bisectore unui unghi l unui triunghi determină pe ltur opusă două segmente proporţionle cu lturile unghiului.. ) 008 re ultim cifră 8. Nici un pătrt perfect nu re ultim cifră ; ; 7 su 8. Su < 008 < 0 4 ; n Î n + 8 re ultim cifră 8 su. etc... b) <, 4< <. ) A; b) F; c) A;. ) 6; b) 4,; c) ; d) 90º. Săptămân 4 ) b) c) ) 7 < ; b) 6; D 6. ) Construim CE êê BD CD BE, h ir m( ACE) 90º. Dcă CF ^ AE CF FA FE, h b (su din CFA EFC). A Fie M mijlocul [CD] şi N mijlocul [AB]; D MN + b ; NP b ; + b b h MP ^ AB. MP 4b MP MP b. A 4 O C b F B M O Pb N C E B
7 b) h 8 4cm ; c) 6 4 x 4 x 6 x 9.. ) ADC BCA (u două lturi respectiv proporţionle şi unghiurile dintre ceste respectiv º ) b) BC BC,7 cm; P 7 cm;,7 cm. 4 c) OBM ODN NOD º MOB (opuse l vârf) 6 0 d) EDC EAB P EDC ED + DC + EC cm. Săptămân ) 6 6 { 0 ; ; 6},4 b) 0, 4 4 ; π 0,4 c). ) 0,6; b) x ; y,; M g,. b c. ) b c/ ; b c , 4, 0 0; b 0; c 4; b) 0%; c) 80%;. ) u lturile respectiv proporţionle; b) 4 ; {0; } c) BAO º ODC; m( ODC) + m( OCD) 90º. Dcă AB Ç CD {S} m( ASC) 90º. d) În DCB punctul A este ortocentru l triunghiului deci AD ^ BC. Săptămân 6. ) ; π ; 0. b) număr irţionl; c) 4 ( + 7)+ ( 7 ). k. ) F; b) k, ;; c) A {, ; 7 ; }.. ) x ; b) ; c) A. 4. ) m( F ) 70 ; b) DE cm; c) DF 6 cm... ) AC 7, cm; b) DE 8 cm; c) BC 4 cm.. ) S S b) S S 00 0 S n : : n 99 n 0 p.p n( n+ ) n n+ n n + n ( ) n+ n b n 8 : :, n b n + : n + 6 : + + : b ( ) 6 c : + : ( + ) 9 b< c b c< 0 > b c n este negtiv., n 0 n + 4
8 . i) AB AD BEN; AD EN BE EN CEM AD EM CD AD : CE ME BA CD EBC : AD BC BE CE AD AD EN ME EN ME ii) ) AFE BAM (corespondente) AEF CED (opuse l vârf) AFE AEF AE AF B C 90 m B C 90 m BAM DEC TThles CE AE CE + AE b) AM DE CAM CD MD CD + DM AE BC AB DM.. Săptămân 7. ), < < 0< < < ; b) 0 ; c).. ) + 8 ; b) ; c). 0. ),8 +,; b) b; c) x 6 ; y 0; z 6 ; y > x> z. [ ] [ ] AC AC AB MC MC BC 4. ) AD cm; b) BC 0 cm; c) Din teorem bisectorei: AD DC 64 AE AD 64 AD ; ABC : DE BC AE AD AB AC BE AB AE 64. i) ) BC ; b) BD BA ; ii) PQ BC ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) + ( ) ( ) ( + ) b b) Se plică ineglitte: b < + pentru fiecre termen. < + < : < < + < : < < 00 0 < : 0 < Prin dunre, rezultă: < termeni < 0. 0
9 . ), b, c Î + ( ) + ( ) b 00 c b c Din propriette modulului Þ b 0 b c 0 c 00 + b + c M 000. b) ( ) < ( ) ( 4 ) ( + ): < ( ): ( ) + ( ) + c) Ex : : x x + + x x + + x x E( x) + x x + x D x x ;. { }. i) În ABD, plicăm teorem bisectorei: AB AE BD ED Se plică teorem bisectorei şi în ACD: AC CF AD FD AC AE EF AD ED FD AB AC Din propriette de loc geometric meditorei DA DB Conform reciprocei teoremei lui Thles EF AC. m ( A) 60 m DAE m DAC 0 4 m BAD m EAC ii) ) m DA C B UU m 4.. ADC BAC. C unghi comun AD DC AC b) ADC BAC ( UU..) BA AC BC În AED vem: m DAE 0 m ( AED) 90 m ( ADE) 60 Conform teoremei unghiului de 0º în DAE m DAE 0, vem m ( AED) 90 DE AD AD DE AD AC DE AC DE BC AB AC. BA BC AB BC
10 Săptămân 8 ) 6x + x E( ) 4x + 4 BC 6 AB { } b) x 0x 4xy 4y x ; AB cm c) 6 6 x y 4x 4 7 cm. ) A { ; }; B { 0 ; ; }; C {}. ; ( A B) ( B A) { } b) A B C {} \ \ ;;.. ) x x 6 y y 49 M x+ y xy 88 7, ; M h 0 69 x+ y M g x y 7 6. b) m p x k + y p, k, p - ponderile lui x, respectiv y. k + p 6k + 49 p 7k 6 p k + p k, p k 6 k, p - minime p 7. ) ABC dreptunghic O - mijlocul lui BC } Þ O este centrul cercului circumscris Þ AO BO cm Þ BD 8 cm OC cm Þ DC cm } Þ BC 0 cm Din teorem înălţimii Þ AD BD DC Þ AD 4 cm Aplicăm teorem ctetei Þ AB BD BC Þ AB 0 cm AC DC BC Þ AC 40 cm. b) BD 6 cm în ABD plicăm teorem ctetei Þ AB BM BD Þ BM 4 cm MN BD BM MN 6 8 Þ MN 8 cm. Săptămân 9 ) x 6x 7 6 cm AD cm b) cm A 0 cm c) 6x 6x 000 ( 6) 0 0x + 6 cm A 60 cm + ( ) + ( ). ) + b + c b+ c b c 0 O sumă de termeni pozitivi este 0 dcă fiecre termen este egl cu zero. 0 b triunghiul este isoscel. b 0 b c 0 c
11 ( ) b) + x x + + x x x 9 + x x + x x 9 x + 6x 9 ( x 6x+ 9) ( x ) < 0, x.. ) ( + b + c ) ( + b+ c) + b + c + b + c + b + c + bc + ( ) + ( ) b c b c 0 b, cb, c b c b + + b + b c. b) n x+ y 8 + x+ y + 0 n x y+ 8 + x+ y + 0 4< x < 0 n 8. 6< y < 8 ( + ) 0 < x+ y< 8 b c c) + b+ cc c bc + c c bc + b c b c b bc,, > 0 c c b( + c) b b + c. + c. i) Notăm AB. Conform teoremei unghiului de 0º Þ BC. Din teorem lui Pitgor Þ AC. P ( + ) AB 6 ; AC 8; BC. ii) DM MBC NCD BMC CND m CND + m( NCP ) 90 ( NPC 90 m MPD 90 m ) MP + DP MD MP + DP. Săptămân 0 Nr. item ) x( x + y ); x + ; b) ( x ) ( x+ ); N ( x+ y) ( x+ + y) ; + c) x + ( x ). x+ x 7. ( + ) Nr. item 4 ) n x ; b) x + y 9 cm, b 4 cm, c cm ; b BD ; ; BC ; c) ( x ) ( x+ ) x + x. 6 cm CD.. ) x ( x+ ) 4x( x+ )+ 4( x + ) ( x+ ) ( x 4x+ 4) ( x+ ) ( x ) ; b) ( x+ y ) ( x+ y ) ( x+ y + ) ( x+ y 6) ( x+ y+ 4) ;
12 4 4 c) 4b 8b + 4b 9c 4b + 9c 4b 9c b ( c) b ( ) c b ( ) c. ; d) x + 4 x x 4x x + 4x x + x x + + x 4 4 e) x + 4x + x + 6x + x+ 0 x x+ + x x+ + x x + 4 ( x+ ) ( x + x + ).. ) + b + b + + b + b 0+ + b ( ) ; + ( ) b) xy + zt xy zt xy zt xy zt + 7 4xyzt ( x y + zt ) 7 8xyzt 7 xyzt ; + b c) x ( + b ) + b x y M g x y, b, > 0. + b 4b b y b. i) Notăm cu l ltur rombului. Ducem DE AB. m B m D m A m C 0 0 AO - bisectore m BOA m BDE } UU AOB DEB ABO - comun În AED, conform teoremei unghiului de 0º Þ DE AO DE AB OB d l l d d l d d DB EB l d. l ii) ) ADC: MP este linie mijlocie MP DC DC 4 PQ AB DC AB 0 cm fie CE AB CE BC BE AB CD CE 9 6 CE 4 cm BE BC AD AE cm Conform teoremei lui Pitgor AC AE + CE AC 6 cm. b) AO AB AO AB AO AB AOB DOC OC CD AO + OC AB + CD AC AB + CD AC AB AO AO AB+ CD AOB AOB este isoscel P + 0 cm. 7 7 Săptămân ) ( )(x ) şi (x 4)(x + 4) 6 b) 4( x)( + x) 6 c) ( + 7) 0, şi 0, + 9 ) x + 8x+ 8+ x + +. (p) Vlore minimă expresiei este. (p) b) (p) 4 + b 0 b 4. (p)
13 c) x x+ 6 + y + 8y+ 6 0 (p) ( x 6) + y+ 4 0 x 6 şi y ( ) (p) (p) (0p). ) Relizre desenului. (p) Completre desenului. (p) b) Scriind teorem ctetei în triunghiul dreptunghic ABD, se obţine lungime proiecţiei lui AD pe AB este cu 4 cm. (p) c) Distnţ de l mijlocul bzei l un dintre lturile congruente este înălţime în triunghi dreptunghic. Aplicând teorem înălţimii, se obţine distnţ căuttă eglă cu. (p) d) BD cm (p) P ABC cm. (p) Săptămân ) 0 b) c) coordontele (negtiv) Reprezentre punctelor Reprezentre punctelor Reprezentre punctelor Reprezentre punctelor (, ) Desenul corect ) Reprezentre corectă punctelor A, B, C, D. (8p) Ptrulterul ABCD este un trpez dreptunghic. (p) b) BC ; AD ; CD 7 (p) ( b+ B) h 7 A ABCD. (p). Reprezentre punctelor M, A, R într-un sistem y R de xe ortogonle. (6p) 4 Se construiesc prlele prin A, respectiv M l A x Ox şi se noteză cu B, respectiv C proiecţiile B x punctului R pe ceste prlele. (p) O B(; ); C(; ). (p) M C Din triunghiul dreptunghic BAR, tg(a). (p) Din triunghiul dreptunghic CMR, tg(m). (p) Dreptele AR şi MR u ceeşi pntă, deci M, A şi R sunt colinire. (p). ) Relizre corectă figurii. (p) BC 7 7 b) sin ( A) BC AC (p) AC Aplicând teorem ctetei, obţinem BC,96 AC; (p) AC cm, BC 7 cm, AB 4 cm; (p) P ABC 6 cm. (p) c) BE 6,7 cm; (p) cos( EBA) 7 ; (p) tg ( CBE) 7. 4 Săptămân ) Reprezentre corectă punctelor b) (4; ) 9 ( ; 4) c) (; ) 0 (; ) (p) (; ) u 6 0
14 . x < x { ; 0 ; } (p) y y { ; 0 ; ; ; } (p) Reprezentre corectă punctelor ( ; ), ( ; ), ( ; 0), ( ; ), ( ; ), (0; ), (0; ), (0; 0), (0; ), (0; ), (; ), (; ), (; 0), (; ), (; ). (p). ) Reprezentre corectă punctelor A şi B. (p) 7 b) Drept AB este dtă de ecuţi y x 4. (p) E intersecteză x Ox în punctul de coordonte (4; 0) 7 şi x Oy în punctul de coordonte 0;. 4 tg ( AB, Oy) 4. (p) 7 c) Aplicând teorem lui Pitgor în triunghiuri dreptunghice, se clculeză: AB 7; PA ( ) + 9; PB ( 6 ) + 4. (p) Scriind torem lui Pitgor în triunghiul dreprunghic PAB, obţinem: PB PA + AB (p) 4. (p). ) Se construieşte CD ^ AB. (p) În triunghiul CAD dreptunghic isoscel, CD DA cm (p) În triunghiul dreptunghic BCD, m( B) 0º BC 0 cm, BD 6 cm (p) AB AD + BD cm. (p) b) BE ^ AC (p) În ABE,sin A BE BE ( + AB ) cm. (p) Sãptãmân 4 ) b) 6 c) 9 { ; } x +. ) Notăm cu x sum iniţilă. (p) Prim dtă, person cheltuit x, poi x şi în cele din urmă x. (p) Clculând restul finl, obţinem ecuţi 7 x x 47 x 000. (p) Person vut iniţil 000 lei. b) Sum rămsă reprezintă 6 (p) 49 - prte din sum iniţilă. (p) 000. ) x 40 9 ; (p) b) x 9 4 (p) + ) c) x (p) 9. ) Relizre desenului. (p) Completre desenului. (p) b) AC 4 cm. (p) AD cm. (p) BD 7cm. (p) c) P ABCD AB + BC + CD + DA. (p) P ABCD 0 +. (4p) d) Notăm cu O intersecţi digonlelor. DO AD OB AB 4. (p)
15 Săptămân ) segment închis fls 9 b) { ; } semidreptă deschisă devărt, 60 c) {0; } reprezentre corectă 4,7 0, 8. ) 006 x (p) x (p) + x+ 6x x 0 b) ( 6x ) (p) 8 7x 8 0 x 7 (p) 4 x 4 0 x (p). ) BD cm (p) b) Notăm AM x. (p) AM BD A ABM x (p) A ABC 9 (p) x 9 < 0< x < (p) 6 x c) 7 x 4 9 (p). În ABD, AO este medină (p) A AOB A AOD (p) AO OD sin0 A AOD (p) A ABCD cm (p) Scriind teorem lui Pitgor în ABD, obţinem: (p) L + l 44, ir din formul riei dreptunghiului vem: + L l 6 L+ l 6 L l 6 6 P ABCD 6 cm. (p) Săptămân 6. ) S {}; b) S 6 ; c) S {4}; d) S {}; e) S { 0}.. ) S {0,, }; b) S {, 4,,, 0,,,, 4, }; c) S {,, }; d) S +.. ) S {±}; b) S {, 4}; c) S {, +} A ) OP 6 ; b) m MN 0 ; c) m MQN 40. Săptămân 7. ) S {( ; )}; b) S {(; )}.. ) S {( ; )}; b) S {(; 6)} m(<aob) 0 m(<oab) 0 MA tngentă l cerc m(<mao) 90 m(<mab) ) m ABD 0 m AD 40 m CD m CD m AB ( ADB) m ABC 80 ( ADC) 90. BC OAB 90 4 b) m DCB m CD m BC c) m e) m. ) m m m BOC 90 OAB cm ; b) OM 4. d) m ( ACB) OAB dreptunghic isoscel
16 Săptămân 8 {}. ) S {(; 0)}; b)s ; ; c) 8 S ; ; d) S {(; 7)}.. ) Se noteză x+ y 4 şi b x y+ ; 8 şi b x 7 6 şi y 49 6 ; b) S {(8; )}. m BC m AC m AB. m A m B m C 90 ; 60 ; 0 ABC dreptunghic în A; AB 8 ; AC 8 ; A ABC 6 cm. MO CO CM 4. ) MOC MOB MO BO BM MO MO 6 MBO dreptunghic BM MO BO b) BM 8 şi MC 6 BC. MC OC c) A MBC 8 cm.. ) R b c R 0 cm; b) 96 cm. 4A Săptămân 9.. ) S {( ; )}; b) S ( ) { } ; ;c) S ; b 0; b + ; b > 7 şi b. + b 66. 6; b b ) BD cm BD R R cm; b) 9 08 cm.. AM ^ DC AM 4,4 cm; DM 0,8 cm; AC 4 cm (Reciproc T. lui Pitgor) AD + AC DC DA ^ AC DC R R cm. b) ABCD 76,48 cm. Săptămân 0 b ( + b). ) 4 0; b 6. 0% + b 9 + b 40. ; b ( b+ 4) l l l. l + ; şi l+ l + l 60 l ; l 0; l. l 4. ) l l 0 cm; 00 cm ; b) R d ; c) 0π cm.. ) L π; b) 6π cm ; c) l 6 ; ; d) 6 ; A 6 4 cm. Săptămân ) b) {,, } {0,, } < 6 echilterl 6 < < dreptunghic π c) {} < < < + două 44 π
17 ( 0, ) 6, 06 0, 06 6, ) ; 004,, 04 b) Pentru n pr: ( ) Pentru n impr: ( ) ;. ) Ecuţi este echivlentă cu: 8x x+ 6 x x x+ x + 6 x ( + ) x +. b) x< x<. c) Folosim metod reducerii : x y x y x x x+ y 9x+ y 6 y y x Deci S {(; )}.. ) AC 8 cm; MQ linie mijlocie în triunghiul ABD, deci MQ BD cm şi MQ BD. Anlog NP cm, NP BD; MN 4 cm PQ, MN AC PQ. Ptrulterul MNPQ este dreptunghi, MP este digonlă, MP cm. BD AO 6 b) A ABD 4 cm. c) A A A A AC BD 86 d) A ABCD 4 cm. BMN ABC ABCD ABCD A MNPQ 4 cm..de8 ori. Săptămân ) {,, } < x+ 4 y (EB) º (CG) b) {, 4} < < b 80º c) {(; ), (; 4), (, ), (; 4), (; ) (; 4)} < < < 00x 0y obtuzunghic şi isoscel. ) Notăm cu n numărul copiilor şi cu m numărul merelor. Trnscriem mtemtic dtele problemei: 4 + ( n 6 ) m 6n m n m ( ) n m n m n+ m n 0 n Deci sunt copii. b) m Răspuns: 88 mere.. ) 9 9 x + x x+ x x x x b) x y. c) ( x 4x+ 4)+ ( x x+ )+ x + ( x + x+ )+ ( x + 4x + 4) x ) AB. b) d( BAD, ) BD ; d( BCD, ). c) P ABD d) P ABCD ABCD 6 ; A. L+ l h L h egle
18 Săptămân ) {; } flsă b) {; ; } devărtă 0 c) Æ devărtă,. ) k k k k { ; ; ; },. Găsim k Î { ; ; 4; 8} Ç {4; 8}; corespunzător x Î{; } A. 7 k 7 k 7 k k { ; },. Găsim k Î{ ; 4}; corespunzător x Î {; 7} B. b) A Ç B {}, A È B {; ; 7}, A \ B {}, B \ A {7}.. ) Observăm că reprezentările grficelor G y G g sunt trei drepte prlele. f G b) Triunghiul determint de h G g şi xele Ox şi Oy este dreptunghic isoscel de ctete. x 0 Deci A. c) d( Gf, Gg) ; d( Gf, Gh) ; d( Gg, Gh) +. c r c b. ) S π π π π ; nlog S. 8 8 b c b c b) S S + S + ABC + π π + A. 8 8 c) Notăm cu σ ri porţiunii gri. σ este diferenţ dintre ri semidiscului de dimetru BC şi ri triunghiului: b + c π π σ b c ( b + c ) b c 8. d) Ari părţii hşurte este eglă cu: S ri semidiscului de dimetru BC, conform notţiilor de l subpunctele nteriore. A ABC. πb πc bc π b + c bc Săptămân 4 {4}, {; 4}, {; 4}, ) {; 4}, {; ; 4}, {; ; 4}, {; ; 4}, < 4 x + 90º {; ; ; 4} b) < b < < nu este PAB c) ± < < < r Indicţii. b) ( ) 0 8 0, b( ) Cum 8< < 9 0. c) ( ). ) < < < <. > 0 > 0 > 0 b) < < <. c) < >. > 0 > 0
19 . ) Notăm numărul căutt cu x. 6 % x x 6, x x x x b) d 4i+ 0; d + i 7 4i+ 0 + i 7 i 07 i. Nu există numerele căutte.. ) Cum 4 y y ; propoziţi este flsă. b) Propoziţi este verifictă pentru x dr nu pentru orice x, număr rel; firmţi este flsă. c) Propoziţi este devărtă deorece sum modulelor este 0. Avem eglitte pentru z.. ) m ( A ) m B m C m A m B m C Obţinem m A m B m C 7, 4, 60. b) Din triunghiul ADB, deducem BD 0 cm, AB 0 6 cm. Din triunghiul ACD, flăm CD 0 cm şi AC 0 cm, BC cm. P ABC cm. c) Ptrulterul MPDN este trpez dreptunghic de bze DN şi PM. Cu teorem bisectorei în ABC: AM MB 0 6 MB MB MB 0 cm. AC CB Triunghiul BPM este dreptunghic isoscel; MP PB 0 cm. DP BD BP cm. În triunghiul CDN: tg0 ND ND 0 ND cm CN CD 0 În triunghiul CPM: CM MP 0 cm; 0 cm deci: MN CM CN cm. 0 P MPDN MP + PD + DN + NM 0 + ( 0 0) cm. AC CN sin0 d) A ANC cm. Săptămân ) flsă 60º, 60º, 60º o infinitte dreptunghic b) 0 flsă {; 6; 7;...} isoscel c) { ; ; 0; ; } devărtă Æ dreptunghic Indicţii. ) Orice mulţime cre conţine elementele, şi nu conţine pe. b) Rdiclul există deorece 0. Din definiţi rdiclului rezultă 0.. ) Contrexemplu. Pentru : 4. b) Contrexemplu. Pentru : 9. c), oricre r fi 0.. c) Adunând ecuţiile sistemului obţinem 0, fls.
20 . ) Folosim metod mersului invers : { 4+ ( + x) : 6 } : { 4+ ( + x) : 6 } : ( + x) : x : x : 6 6 ( + x) : 6 ( + x) (: ) x 7. b) Înlocuim x cu : Din () şi (), ţinând cont că AD BC (pentru că ABCD prlelogrm) rezultă (AE) º (EB), deci E este mijlocul lui AB. c) P ABC 60 dm.. ) Tngent este perpendiculră pe rz dusă în punctul de tngenţă, deci BC ^ AD. Deducem MN BC; O fiind mijlocul înălţimii [AD], rezultă M, N mijlocele lturilor AB, respectiv AC. b) ABC este un triunghi dreptunghic isoscel, de bză BC. c) AM r AB r ; BC 4r. PABC 4r + ( 4r+ r) r d) Ptrulterul BCMN este trpez isoscel. A BCNM r ) m DEC 80 A m EDC m ECD + E m ( ADC ) + m BCD 80 D Deci triunghiul DEC este dreptunghic în E. b) AED º EDC (c unghiuri lterne interne), EDC º ADE (din ipoteză) AED º ADE AD AE () Anlog se rtă că BC BE () D A E C C B B
joined_document_27.pdf
INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ, CLASA a V - a FEBRUARIE 014 a). Pe un stadion intră la un meci un număr de persoane după următoarea regulă: în primul
Mai multOLM_2009_barem.pdf
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Societatea de Ştiinţe Matematice din Romania Olimpiada Naţională de Matematică Etapa finală, Neptun Mangalia, 13 aprilie 2009 CLASA A VII-a, SOLUŢII ŞI BAREMURI
Mai multGheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Mai multMicrosoft Word - Concursul SFERA.doc
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ SFERA EDIŢIA a II-a BĂILEŞTI, 1 martie 005 CLASA a IV-a Pentru întrebările 1-5 scrieţi pe lucrare litera corespunzătoare răspunsului corect 1. Care este numărul care
Mai multI
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
Mai multConcursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r car
Concursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r care satisfac simultan următoarele condiții: qr p 4 1
Mai multCERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, tri
CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI 19 3. CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, triunghiuri şi alte guri geometrice. Galileo Galilei 3
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a X-a - 20 aprilie 2019 Clasa a IV-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE SUBIECTUL I Se punctează doar rezult
CONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a X-a - 0 aprilie 09 Clasa a IV-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE Se punctează doar rezultatul: pentru fiecare răspuns se acordă fie uncte, fie 0 puncte Nu
Mai multSubiecte_funar_2006.doc
Clasa a VIII-a A. 1. Exista numere n Z astfel încât n si n+ sa fie patrate perfecte? (Gheorghe Stoica) A. 2. Se considera A N o multime cu 7 elemente si k N*. Aratati ca ecuatia 4x 2 4ax+b 2 +10k = 0,
Mai multOBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE 1. Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul Obi
OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE. Cunoştere şi înţelegere conceptelor, terminologiei şi procedurilor de clcul Oiective de referinţă Exemple de ctivităţi de învăţre L sfârşitul
Mai multTeoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.
Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului
Mai multCoordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),
Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + +
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se
Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să
Mai multOBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE 1. Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul Obi
OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE CTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢRE. Cunoştere şi înţelegere conceptelor, terminologiei şi procedurilor de clcul Obiective de referinţă L sfârşitul clsei VII- elevul v fi cpbil..să
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 11 INTEGRALA LEBESGUE Cursul 10 Observaţia Cum am văzut în Teorema 11.46, orice funcţie integrabilă
D.Rusu, Teori măsurii şi integrl Lebesgue 11 INTEGRALA LEBESGUE Cursul 10 Observţi 11.50 Cum m văzut în Teorem 11.46, orice funcţie integrbilă Riemnn e un intervl mărginit [, b] este continuă µ-..t.. Prin
Mai multMicrosoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc
ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru
Mai multUniversitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x
1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima
Mai multTEST DE PROMOVARE ÎN CLASELE DE EXCELENȚĂ Clasa a V-a BAREM SUBIECTUL I a) Determinați numărul natural a din egalitatea: 315 :
TEST DE PROMOVARE ÎN CLASELE DE EXCELENȚĂ Clasa a V-a 29.09.2018 BAREM SUBIECTUL I a) Determinați numărul natural a din egalitatea: 315 : 7 9 4 22 5 204 : 2 2 a 16 : 4 43 b) Se consideră șirul următor
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Mai multCopyright c 2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la
Copyright c 1 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, Profilurile: fizica-matematica, economie,
Mai multCurs 8 Derivabilitate şi diferenţiabilitate pentru funcţii reale 8.1 Derivata şi diferenţiala unei funcţii reale. Propriet¼aţi generale De niţia 8.1.1
Curs 8 Derivbilitte şi diferenţibilitte pentru funcţii rele 8.1 Derivt şi diferenţil unei funcţii rele. Propriet¼ţi generle De niţi 8.1.1 (i) Fie f A R! R şi 2 A 0 \ A Spunem c¼ f re derivt¼ în punctul
Mai multsubiecte clasa7
Concursul interjudeńean de matematică Gheorghe Vrănceanu, Bacău-007 Clasa a VII-a Subiectul I Să se demonstreze că există un punct M în interiorul unui triunghi ABC astfel încât triunghiurile ABM, BCM
Mai multClasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Mai multINDICAŢII ŞI RĂSPUNSURI III.5.2. PROBLEME RECAPITULATIVE PROPUSE SPRE REZOLVARE 2 ALGEBRĂ 1. x 16 y 8y x 16 x 4 x 16 y 4 x x 4 Condiţiile radica
INDICAŢII ŞI RĂSPUNSURI III.5.. PROBLEME RECAPITULATIVE PROPUSE SPRE REZOLVARE ALGEBRĂ 1. x 16 y 8y x 16 x x 16 x 16 16 x Condiţiile radicalilor: 16 0 16 x 16 ecuaţia devine: 16 x 0 16 y y0; 8 S x y 16
Mai multMicrosoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0911_roman.doc
Matematika román nyelven középszint 0911 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Indicaţii
Mai multSeminarul 1
Mtemtici specile Seminrul Februrie 8 ii Fr bteri de l norm progresul nu este posibil. Frnk Zpp Integrle improprii Motivtie: Folosind integrl definit putem integr functii continue pe intervle mrginite.
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele
Mai multMergedFile
PROIECT DIDACTIC Clasa a VII-a Matematică Proiect didactic realizat de Ana-Cristina Blanariu-Șugar, profesor Digitaliada, revizuit de Ioan Popa, profesor Digitaliada Textul și ilustrațiile din acest document
Mai multFIŞA NR
Prof CORNELI MESTECN Prof RRODIC TRIŞCĂ CLUJ-NPOC 009 CUPRINS FIŞ NR NUMERE RELE Pg 6 FIŞ NR ECUŢII Pg 8 FIŞ NR FUNCŢII TEORIE Pg 0 4 FIŞ NR 4 FUNCŢII EXERCIŢII Pg FIŞ NR ECUŢII IRŢIONLE, ECUŢII EXPONENŢILE
Mai multInspectoratul Şcolar Judeţean Suceava Şcoala Gimnazială Luca Arbure CONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a VIII a 29 APRILIE 2017 Clasa a I
Clasa a IV a 1. Rezultatul calculului : 8 + [40 + 8 (00 : 5 7 : )] 0 este A) 0 B) C) 4 D) 8. Valoarea lui x din egalitatea [( x + 60 : ) + 4] 5 = 1985este : A) 1 B) 5 C) 1 D) 10. Suma dintre jumatatea
Mai multMicrosoft Word - Evaluare_initiala_Matematica_Cls07_Model_Test.doc
Precizări metodologice cu privire la testul de evaluare inińială la disciplina MATEMATICĂ, din anul şcolar 011-01 În anul şcolar 011-01, modelul propus pentru testare inińială la disciplina Matematică
Mai multclasa I Se recomandă citirea enunţurilor de către învăţător. 1. Continuă numărarea şi află câţi morcovi a mâncat iepuraşul. 6, 7, 8, 9,. A) 3 B) 10 C)
clasa I Se recomandă citirea enunţurilor de către învăţător.. Continuă numărarea şi află câţi morcovi a mâncat iepuraşul. 6, 7, 8, 9,. A) B) 0 C) D) 9 E). Vecinul mai mic al numărului 70 este: A) 60 B)
Mai multNoțiuni matematice de bază
Sistem cartezian definitie. Coordonate carteziene Sistem cartezian definiţie Un sistem cartezian de coordonate (coordonatele carteziene) reprezintă un sistem de coordonate plane ce permit determinarea
Mai multwww. didactic.ro Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie Trecem în revistă următoarele rezultate importante: 1) Teorema sinusurilor: Teorema cosinus
Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie Trecem în revistă următoarele rezultate importante: 1) Teorema sinusurilor: Teorema cosinusurilor: Fiind dat triunghiul ABC, vom folosi următoarele notaţii:,,
Mai multSocietatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Naţională, Braşov, 2 aprilie 2013
Societte de Ştiinţe Mtemtice din Români Ministerul Educţiei Nţionle Olimpid Nţionlă de Mtemtică Etp Nţionlă, Brşov, 2 prilie 213 Cls XII- Problem 1. Să se determine funcţiile continue f : R R cu propriette
Mai mult1. Teorema lui Ceva Ene Mihai+Radu Vlad+Budacu Vlad
1. Teorema lui Ceva Ene Mihai+Radu Vlad+Budacu Vlad 2. Teorema lui Menelaus Ciocan Cristian+Cioară Alexandru+Răileanu Daniel 3. Teorema lui Pitagora Paraipan Rareș+Postelnicu Marius+Anghel Mircea
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Mai multMergedFile
PROIECT DIDACTIC Clasa a VII-a Matematică Proiect didactic realizat în cadrul programului - pilot Digitaliada, revizuit de Simona Roșu, profesor Digitaliada Textul și ilustrațiile din acest document începând
Mai multSimilitudini în plan şi puncte Torricelli asociate Cătălin ŢIGĂERU 1 Subiectul lucrării îl reprezintă operaţia de compunere a similitudinilor aplicată
Similitudini în plan şi puncte Torricelli asociate Cătălin ŢIGĂERU 1 Subiectul lucrării îl reprezintă operaţia de compunere a similitudinilor aplicată unei configuraţii geometrice: un triunghi ABC şi două
Mai multMicrosoft Word - SUBIECTE FAZA LOCALA FEBRUARIE 2007
CLASA a - V a 1 007 1. a) ArătaŃi că umărul A= 1+ + + +... + este divizibil cu 15. b) La u cocurs de matematică au participat elevi di clasele a V-a A, a V-a B şi a V-a C. 7 de elevi u sut di clasa a V-a
Mai multUNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot
Mai multAlgebra: 1. Numere naturale. Operatii cu numere naturale. Ordinea operatiilor. Puteri si reguli de calcul cu puteri. Compararea puterilor. Multimea nu
Algebr: 1. Numere turle. Opertii cu umere turle. Ordie opertiilor. Puteri si reguli de clcul cu puteri. Comprre puterilor. Multime umerelor turle este * N 0,1,2,3,...,,... si N N {0} 1,2,3,...,,.... Pe
Mai multRecMat dvi
Conice şi cubice în probleme elementare de loc geometric Ştefan DOMINTE 1 Abstract. In this Note, a number of simple problems are presented to support the idea that conic and cubic curves can frequently
Mai multMergedFile
PROIECT DIDACTIC Clasa a VII-a Matematică Proiect didactic realizat de profesor Tatiana Predoană, Fundația Noi Orizonturi, în cadrul programului - pilot Digitaliada, revizuit de Monica Popovici, profesor
Mai multDorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
Mai mult1 Concursul de matematic¼a NICOLAE COCULESCU EDIŢIA a VIII-a SLATINA 29 noiembrie 2012 Clasa a III-a 1. Numere, numere. a) Cinci prieteni se î
1 Concursul de matematic¼a NICOLAE COCULESCU 2011-12 EDIŢIA a VIII-a SLATINA 29 noiembrie 2012 Clasa a III-a 1. Numere, numere. a) Cinci prieteni se întâlnesc. Ei se salut¼a, ecare dând mâna cu ecare,
Mai multARTUR BĂLĂUCĂ ARITMETICĂ Teme pentru centre de excelență MODELE DE PROBLEME REZOLVATE DE PROBLEME SEMNIFICATIVE PENTRU OLIMPIADE, CONCURS
ARTUR BĂLĂUCĂ ARITMETICĂ Teme pentru centre de excelență + 0 MODELE DE PROBLEME REZOLVATE + 1130 DE PROBLEME SEMNIFICATIVE PENTRU OLIMPIADE, CONCURSURI ŞI CENTRE DE EXCELENŢĂ Clasa a V-a Ediţia a X-a EDITURA
Mai multMicrosoft Word - Programa_Evaluare_Nationala_2011_Matematica.doc
C E N T R U L NAłIONAL DE EVALUARE ŞI E X A M I N A R E PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ EVALUAREA NAłIONALĂ PENTRU ELEVII CLASEI A VIII A Pagina 1 din 5 PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ I. STATUTUL
Mai multModel de planificare calendaristică
Liceul Greco-Ctolic Timotei Cipriu Avizt. Director, Vicenţiu RUSU. Şef Ctedră, PLANIFICARE CALENDARISTICĂ ANUL ŞCOLAR 04-05 Disciplin MATEMATICĂ, Filieră TEORETICĂ, progrm nr. 35/3.0.006 Cls XI-, profil
Mai multLABORATOR 9 - VECTORI ŞI VALORI PROPRII. INTERPOLAREA FUNCŢIILOR 1. Vectori Şi valori proprii. Metoda rotaţiilor a lui Jacobi Fie A o matrice p¼atrati
LABORATOR 9 - VECTORI ŞI VALORI PROPRII INTERPOLAREA FUNCŢIILOR Vectori Şi vlori rorii Metod rotţiilor lui Jcobi Fie A o mtrice ¼trtic¼ Un vector x R n se numeşte vector roriu în rort cu A dc¼ x 6= 0 şi
Mai multCalcul diferenţial şi integral (notiţe de curs) Şt. Balint E. Kaslik, L. Tǎnasie, A. Tomoioagă, I. Rodilǎ, N. Bonchiş, S. Mariş Cuprins I Introducere
Clcul diferenţil şi integrl (notiţe de curs) Şt. Blint E. Kslik, L. Tǎnsie, A. Tomoiogă, I. Rodilǎ, N. Bonchiş, S. Mriş Cuprins I Introducere 6 1 Noţiunile: mulţime, element l unei mulţimi, prtenenţ l
Mai multDAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
Mai multrecmat dvi
Concursul de matematică Florica T.Câmpan Etapa judeţeană, 5-6 mai 2005 Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: cl. a IV-a 90 de minute, cl. V-VIII 2 ore. ClasaaIV-a 1. Să seafledouă numere
Mai mult1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai
1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai mare decât cifra sutelor. b. Se consideră algoritmul
Mai multMatematica VI
There are no translations available. Datorita unor probleme tehnice, site-ul nu poate fi vizionat cu Internet Explorer 8, partea de teste (apare pagina alba). Pentru navigare, va recomandam Chrome, Mozilla,
Mai multClasele primare Probleme propuse 1 P.164. Scrie vecinii vecinului comun al numerelor 16 şi 18. (Clasa I ) Diana Tănăsoaie, elevă, Iaşi P.165. După ce
Clasele primare Probleme propuse 1 P.164. Scrie vecinii vecinului comun al numerelor 16 şi 18. (Clasa I ) Diana Tănăsoaie, elevă, Iaşi P.165. După ce dau celor doi fraţi mai mari câte două banane, mănânc
Mai multRepublica Serbia MINISTERUL ÎNVĂŢĂMÂNTULUI, ŞTIINŢEI ŞI DEZVOLTĂRII TEHNOLOGICE INSTITUTUL PENTRU EVALUAREA CALITĂŢII ÎNVĂŢĂMÂNTULUI ŞI EDUCAŢIEI INST
Republica Serbia MINISTERUL ÎNVĂŢĂMÂNTULUI, ŞTIINŢEI ŞI DEZVOLTĂRII TEHNOLOGICE INSTITUTUL PENTRU EVALUAREA CALITĂŢII ÎNVĂŢĂMÂNTULUI ŞI EDUCAŢIEI INSTITUTUL PEDAGOGIC AL VOIVODINEI EXAMENUL FINAL ÎN ÎNVĂŢĂMÂNTUL
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector
Mai multc o l e c i a EDITURA PARALELA 45
c o l e c i a Autorii aduc mulumiri speciale Societii de tiine Matematice din România pentru sprijinul acordat. Redactare: Ramona Rossall Tehnoredactare: Iuliana Ene Pregtire de tipar: Marius Badea Design
Mai multMatematica - Clasa teste pentru grupele de excelenta
2. Dacă abc cd = 262, calculaţi ab (c + d). 3. Calculaţi suma numerelor abc, dacă a < b şi c = a + b + 2. 4. Calculaţi suma dintre cea mai mică sumă S = a + b + c + d şi cea mai mare sumă S, dacă a 1 =
Mai multPerformanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a
Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a 6.02.2016 si 13.02.2016 Material intocmit de prof. BAJAN MARIANA
Mai multBARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA ianuarie Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că
BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA 019 9 ianuarie 019 1. Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că x şi y sunt divizibili cu 11.. Fie Γ un cerc de centru
Mai multASDN
PROIECTAREA LOGICĂ Laboratorul PL Suport de Laborator II 1. Să se găsească sumele minimale şi produsele minimale pentru următoarele funcţii: (a) f = m(0 + 2 + 4 + 8 + 10 + 12), (b) f = m(2 + 3 + 6 + 7
Mai multAnaliz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Mai multMicrosoft Word - Rezolvarea Test nr. 11.doc
Testul nr. 11 Problema 1 (30 puncte = 10 puncte + 10 puncte + 10 puncte) a) Să se calculeze ( 42 : 2 + 23 ) :11+ 2 5 16. b) Să se determine cifrele a și b din egalitatea { a b} 2 + 42 : 2 + 23 :11+ 2 5
Mai multMatematica Clasa 5 Culegere De Exercitii Si Probleme
uprins Teste de evaluare inițială... 7 4 I. Numere naturale. Numere naturale... 9. Scrierea şi citirea numerelor naturale... 9.2 xa numerelor naturale. ompararea şi ordonarea numerelor naturale... 4.3
Mai multRevista Electronică MateInfo.ro ISSN August APLICAŢII ALE ANALIZEI MATEMATICE ÎN GEOMETRIA ÎN SPAŢIU (2) Prof. Poenaru
APLICAŢII ALE ANALIZEI MATEMATICE ÎN GEOMETRIA ÎN SPAŢIU Pro. Poenaru Dan, Colegiul Economic I.Pop Cluj -Napoca Aşa cum s-a putut urmări în articolele precedente, pentru rezolvarea unor probleme de geometrie
Mai multM1-ACS, , M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 9 Extreme cu legături. Integrale improprii 1 Extreme condiționate Atunci cînd domeniul de
Seminr 9 Extreme u legături. Integrle improprii Extreme ondiționte Atuni înd domeniul de definiție l unei funții de mi multe vribile onține, l rîndul său numite euții (numite, generi, legături, problemele
Mai multSoluţiile problemelor propuse în nr. 1/2014 Clasele primare P.283. Scrieţi + sau în fiecare pătrăţel din = astfel încât să obţineţi o
Soluţiile problemelor propuse în nr. /204 Clasele primare P.283. Scrieţi + sau în fiecare pătrăţel din 2 3 4 = 7 2 4 astfel încât să obţineţi o egalitate. Câte soluţii există? Explicaţi! (Clasa I ) Codruţa
Mai multMatematika román nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1813 ÉRETTSÉGI VIZSGA május 7. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VI
Matematika román nyelven középszint 83 ÉRETTSÉGI VIZSGA 09. május 7. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Informaţii utile
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multCursul 6 Integrala în complex Fie f : D C o funcţie continuă pe domeniul D C. Ne punem problema existenţei unei primitive a lui f, adică a unei funcţi
Cursul 6 Integrl în complex Fie f : D C o funcţie continuă pe domeniul D C. Ne punem problem existenţei unei primitive lui f, dică unei funcţii olomorfe F : D C stfel încât F = f. În czul funcţiilor rele,
Mai multPachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL
Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.
Mai multSubiectul I (20 puncte) CONCURSUL ȘCOLAR NAȚIONAL DE GEOGRAFIE,,TERRA ETAPA NAȚIONALĂ 18 mai 2019 CLASA a V-a Citește fiecare cerință și analizează cu
Suiectul I (20 puncte) CONCURSUL ȘCOLAR NAȚIONAL DE GEOGRAFIE,,TERRA ETAPA NAȚIONALĂ 18 mi 2019 CLASA V- Citește fiecre cerință și nlizeză cu tenție desenele su imginile de mi jos. Selecteză cerculețul
Mai multMicrosoft Word - fmnl06.doc
Metode Numerce Lucrre de lbortor r. 6 I. Scopul lucrăr Metode tertve de rezolvre sstemelor lre. II. Coţutul lucrăr. Metode tertve de rezolvre sstemelor lre. Geerltăţ. 2. Metod Jcob. 3. Metod Guss-Sedel.
Mai multMicrosoft Word - MD.05.
pitolul uvite-cheie serii de puteri, puct regult, puct sigulr, ecuţie idicilă osideră o ecuţie difereţilă de ordi k ( k ) L(,,,,..., ) () Se pote căut soluţi sub for uei serii de puteri î jurul puctului
Mai multCOMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati
COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen
Mai multLucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009
Lucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009 CUPRINS Pg. INTRODUCERE. Noţiuni preliminare (L. Turdeanu, G. Pop)... 6 Probleme... 11 1. GEOMETRIA
Mai mult20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do
SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul
Mai multENVI_2018_matematica_si_stiinte_Test_1_Caietul_elevului_Limba_romana
EVALUAREA NAŢIONALĂ LA FINALUL CLASEI a VI-a Anul școlar 2017-2018 Matematică şi Ştiinţe ale naturii TEST 1 Judeţul/sectorul... Localitatea... Unitatea de învățământ... Numele şi prenumele elevei/elevului......
Mai multValerica Doina MUNTEAN, Ovidiu T. POP, Maria REIZ Petru BRAICA, Adrian BUD, Virgil POP, Călin POPESCU, LUPOU Agota, CZIPROK Andrei, KOCZINGER Eva, Nic
Valerica Doina MUNTEAN, Ovidiu T. POP, Maria REIZ Petru BRAICA, Adrian BUD, Virgil POP, Călin POPESCU, LUPOU Agota, CZIPROK Andrei, KOCZINGER Eva, Nicoleta CUIBUȘ, Traian TĂMÎIAN, Manuela POPESCU, Cristian
Mai multMicrosoft Word - V_4_Inmultirea_nr_nat.doc
3 Înmulţirea numerelor naturale De acum, pentru înmulţire vom folosi semnul în loc de Ex În loc de 32 9 vom scrie 32 9 Dacă a şi b sunt două numere naturale, prin produsul lor vom înţelege a b Ex a) Produsul
Mai mult0 Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică 1. Să se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) x 4 ; b) x 3 dx dx
Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică. ă se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) + x ; b) x dx dx; c) + x x + x ) ; dx x d) x + x ) ; e) dx; f) x p e xq dx, p >,
Mai multE_c_matematica_M_mate-info_2017_var_02_LRO
Matmatică M_mat-info Toat subictl sunt obligatorii. S acordă punct din oficiu. Timpul d lucru fctiv st d or. 5p. S considră numărul compl z + i. Arătați că z z zz 9 5p. Dtrminați numărul ral m, știind
Mai multElectricitate II
Electricitate II Circuitul electric. Legile circuitului electric. Sumar Circuitul electric simplu Legile lui Ohm Legile lui Kirchhoff Gruparea rezistorilor Transformarea stea-triunghi Gruparea generatoarelor
Mai multMergedFile
Olimpiada de Fizică X Etapa pe judeţ 5 februarie Barem de ealuare şi de notare Se punctează oricare altă modalitate de rezolare corectă a problemei Problema I Geamandura Sarcina de lucru nr. Nr. item Punctaj.a.
Mai multMicrosoft Word - a5+s1-5.doc
Unitatea şcolară: Şcoala cu cls. I-VIII Sf. Vineri Profesor: Gh. CRACIUN Disciplina: Matematică Clasa a V-a / 4 ore pe săpt./ Anul şcolar 007-008 PROIECTAREA DIDACTICĂ ANUALĂ Număr săptămâni: 35 Număr
Mai multMicrosoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_jav_utmut0513V28_roman.doc
Matematika román nyelven középszint 0513 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 8. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN MATEMATICĂ KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA EXAMEN DE BACALAUREAT NIVEL MEDIU Az írásbeli vizsga időtartama:
Mai multRecMat dvi
Probleme propuse 1 P355. Găsiţi trei numere consecutive în şirul numerelor de la 1 la 30 care să aibă suma 30. (Clasa pregătitoare) Mariana Manoli, elevă, Iaşi P356. Colorează figura geometrică care nu
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,
Mai multTema 5
Tem 5 Etensini le integrlei Riemnn Modll 5. - Integrle definite, c prmetr. Integrle improprii. Integrle definite, c prmetr Stdil integrlelor definite c prmetr rel este intim legt de reprezentre integrlă
Mai multMicrosoft Word - LogaritmiBac2009.doc
Logaritmi. EcuaŃii logaritmice Logaritmi DefiiŃie. Fie a R * +, a şi b R * + douã umere reale. Se umeşte logaritm al umãrului real strict pozitiv b epoetul la care trebuie ridicat umãrul a, umit bazã,
Mai multPowerPoint Presentation
Metode Numerice de Integrre și Derivre Funcțiilor dte Numeric Ș.l. Dr. ing. Levente CZUMBIL E-mil: Levente.Czumil@ethm.utcluj.ro WePge: http://users.utcluj.ro/~czumil Formul clsică trpezelor rezultă prin
Mai multPROIECT DIDACTIC
Plan de lecție Informații generale Obiectul: Matematică Clasa: a VII - a Durata: 50 min Mijloace TIC: calculatorul profesorului cu videoproiector,calculatoare pentru elevi Tema lecției: Aria triunghiului
Mai multOBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVAŢARE 1. Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul Obi
OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE CTIVITĂŢI DE ÎNVŢRE. Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul Obiective de referinţă Exemple de activităţi de învăţare La
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac
Mai multO metodă de rafinare a unor inegalităţi geometrice Temistocle BÎRSAN 1, Marius DRĂGAN 2, Neculai STANCIU 3 Abstract. This paper presents a method to o
O metodă de rafinare a unor inegalităţi geometrice Temistocle BÎSAN 1, Marius DĂGAN, Neculai STANCIU 3 Abstract. This paper presents a method to obtain some refined geometric inequalities in a triangle,
Mai mult