Teoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A 1,...,

Mărimea: px
Porniți afișarea la pagina:

Download "Teoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A 1,...,"

Transcriere

1 Teoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A,..., A r unde A,..., A r sunt elemente distincte dintr-o mulţime cu n elemente. Formula de calcul n! este P (n, r) = = n (n )... (n r + ) (n r)! C(n, r) este numărul de submulţimi cu r elemente al unei mulţimi cu n elemente. n! Formula de calcul este C(n, r) = r!(n r)! În total, o mulţime cu n elemente are n submulţimi. Exerciţii rezolvate. Fie L mulţimea literelor {A, B, C, D, E}. (a) Câte şiruri de 7 litere din L există? (b) Câte şiruri de 9 litere din L conţin A de exact ori si B de exact 3 ori? (c) Câte şiruri de litere din L conţin A de cel puţin ori şi B de cel puţin ori? Răspuns: Mai întâi, observăm că L are litere. (a) _: cele 7 poziţii trebuiesc completate cu litere din L: Fiecare poziţie poate fi completată în feluri. Conform regulii produsului, avem 7 posibilităţi de a construi şirul de 7 litere 7 şiruri.

2 (b) _: cele 9 poziţii trebuiesc completate cu din 9 poziţii cu A C(9, ) posibilităţi, şi mai rămân de completat 7 poziţii din 7 poziţii cu B C(7, ) posibilităţi, şi mai rămân de completat poziţii cu litere diferite de A, B poziţii rămase cu litere din {C, D, E} 3 posibilităţi (conform regulii produsului) Conform regulii produsului, avem un total de C(9, ) C(7, ) 3 posibilităţi C(9, ) C(7, ) 3 şiruri. (c) Mai întâi, identificăm toate cazurile distincte posibile: A de ori, B de ori C(, ) C(, ) 3 posibilităţi A de ori, B de 3 ori C(, ) C(, 3) 3 posibilităţi A de ori, B de ori C(, ) C(, ) posibilităţi A de 3 ori, B de ori C(, 3) C(3, ) 3 posibilităţi A de 3 ori, B de 3 ori C(, 3) C(3, 3) posibilităţi A de ori, B de ori C(, ) C(, ) posibilităţi Conform regulii sumei, numărul total de astfel de şiruri este C(, ) C(, ) 3 + C(, ) C(, 3) 3 + C(, ) C(, )+ C(, 3) C(3, ) 3 + C(, 3) C(3, 3) + C(, ) C(, ). Fie M = {,, 3,, A, B, C, D, E, F, G}. (a) Câte submulţimi ale lui M conţin cifre şi 3 litere? (b) Câte submulţimi ale lui M conţin litera A sau cifra? Răspuns (a) Numărăm în câte feluri putem construi o mulţime de forma X Y unde X {,, 3, } are cifre, şi Y {A, B, C, D, E, F, G} are 3 litere. Pentru X avem de ales din cifre C(, ) posibilităţi. Pentru Y avem de ales 3 din 7 litere C(7, 3) posibilităţi. În total, sunt C(, ) C(7, 3) de astfel de submulţimi.

3 (b) Această problemă se rezolvă cu principiul incluziunii şi excluziunii. Numărul căutat este N + N N 3 unde N este numărul submulţimilor care conţin A; Orice astfel de submulţime este {A} X unde X {,, 3,, B, C, D, E, F, G}, deci N = 0. N este numărul submulţimilor care conţin ; Orice astfel de submulţime este {} X unde X {,, 3, A, B, C, D, E, F, G}, deci N = 0. N 3 este numărul submulţimilor care conţin A şi ; Orice astfel de submulţime este {A, } X unde X {,, 3, B, C, D, E, F, G}, deci N = 9. numărul căutat este = 3 9 = Să se rezolve ecuaţia P (n, ) =. Rezolvare: P (n, ) = n (n ), deci avem de rezolvat n(n ) = n n = 0 n = ± + = ± = ± Rezultă că n = 8 sau n = 7. Deoarece, din punct de vedere combinatorial, n nu trebuie să fie negativ, rezultă că n = 8.. Să se rezolve ecuaţia C(n, ) = P (n, 3). Rezolvare: Avem de rezolvat ecuaţia n(n ) = n(n )(n ) n(n ) n(n )(n ) = 0 n(n )(3 n) = 0 n = 0 sau n = sau n = 3.. Câte numere cuprinse între 0 şi 88 inclusiv (a) Sunt divizibile cu sau 7? (b) Sunt divizibile cu dar nu sunt divizibile cu 7? (c) Nu sunt divizibile nici cu nici cu 7? Răspuns: Această problemă se rezolvă aplicând principiul incluziunii şi excluziunii. Fie M = {n 0 n 88}, A = {n M n este divizibil cu }, B = {n M n este divizibil cu 7}, şi C = {n M n este divizibil cu şi cu 7, adică cu 3}. 3

4 Deasemenea, fie N numărul elementelor lui M divizibile cu sau 7, N numărul celor divizibile cu dar nu cu 7, şi N 3 numărul celor care nu sunt divizibile nici cu nici cu 7. Avem de calculat N, N şi N 3. N = C A C B M N = A C N 3 = M ( A + B C ) Ar trebui să ştiţi că dacă L R atunci Mulţimea {n L n R} are R L + elemente. Deci M = = 79. Dacă p > 0 atunci mulţimea multiplilor lui p cuprinşi între L şi R este dacă L/p > R/p, şi {p d L/p d R/p } în caz contrar. Deci, numărul multiplilor de p din mulţimea {n L n R} este max(0, R/p L/p + ) În particular, A = 88/ 0/ + = 37 + = 3, B = 88/7 0/7 + = 3 + = 3, C = 88/3 0/3 + = + =. Deci răspunsurile sunt: (a) N = C = (b) N = A C = 3 = 37 (c) N 3 = M ( A + B C ) = 79 (3 + 3 ) = 9. Fie n > 0. Câte funcţii surjective există de la o mulţime cu n + elemente la o mulţime cu n elemente? Răspuns: Trebuie să numărăm în câte feluri putem defini o funcţie surjectivă f : A B când A = n + şi B = n. Se observă că f este surjectivă dacă şi numai dacă Două elemente diferite a, a A sunt mapate la acelaşi element b B. Elementele din a A \ {a, a } sunt mapate la elemente diferite din B \ {b}.

5 Deci pentru a defini funcţia surjectivă f trebuie să alegem: Două elemente diferite a, a A. Sunt C(n +, ) posibilităţi (fiindcă A are n + elemente). Un element b B pentru care f(a ) = f(a ) = b. Sunt n posibilităţi. Pentru fiecare a A {a, a } (care are n elemente) un element diferit din A {a} (care are n elemente). Sunt (n )! posibilităţi. Conform regulii produsului, în total există C(n +, ) n (n )! = C(n +, ) n! = (n + )! n 7. Denis are mărgele roşii şi 8 mărgele verzi. În câte feluri poate înşira Denis cele mărgele pe o aţă dacă prima mărgea din şirag trebuie să fie roşie, şi este permis să se pună cel mult o mărgea verde între două mărgele roşii? R????????????? Sugestie: aplicaţi regula produsului numărând câte posibilităţi aveţi pentru plasarea următoarei mărgele roşii în raport cu mărgeaua roşie precedentă. Rezolvare: Întrucăt la poziţia p = este mărgea roşie, trebuie să numărăm în câte feluri putem alege poziţiile celorlalte mărgele roşii din mulţimea {, 3,,,, 7, 8, 9, 0,,, 3, }. Fie p < p 3 < p < p < p poziţiile acestor mărgele. Deoarece putem avea cel mult o mărgea verde între mărgele roşii, rezultă că p {p +, p + } = {, 3}, deci avem valori posibile pentru p p 3 {p +, p + } {3,, }, deci avem valori posibile pentru p 3 p {p 3 +, p 3 + } {,,, 7}, deci avem valori posibile pentru p p {p, p + } {,, 7, 8, 9}, deci avem valori posibile pentru p p {p, p + } {, 7, 8, 9, 0, }, deci avem valori posibile pentru p Conform regulii produsului, există = 3 posibilităţi de a alege poziţiile p, p + 3, p, p, p. Deci, Denis poate înşira mărgelele în 3 feluri.

6 Exerciţii propuse (Set ). Câte submulţimi cu număr par de elemente are o mulţime cu elemente?. Câte permutări are mulţimii {,, 3,, } au primul element mai mic decât al doilea element? 3. Câte submulţimi ale mulţimii {a, b, c, d,,, 3} conţin cel puţin o literă şi cel puţin o cifră?. Câte funcţii surjective există de la o mulţime cu n + elemente la o mulţime cu n elemente?. Fie M mulţimea numerelor cuprinse între 0 şi 73 inclusiv. (a) Câte elemente are mulţimea M? (b) Câte numere din M sunt divizibile cu sau 7? (c) Câte numere din M sunt divizibile cu dar nu sunt divizibile cu 7?. Un roboţel plasat în originea cu coordonatele (0,0) poate face doar două operaţii: să meargă unitate la dreapta, sau unitate în sus. În câte feluri se poate deplasa roboţelul din origine la punctul de coordonate (m, n) dacă m, n N? Observaţi că, în total, roboţelul trebuie să facă m + n operaţii. sus (0,0) dreapta 7. La o tombolă participă bărbaţi şi 0 femei şi se acordă 3 premii de 00 lei şi premii de 00 lei. Se ştie că o persoană poate câştiga cel mult un premiu. (a) (b) (c) În câte feluri se pot acorda cele premii? În câte feluri se pot acorda cele premii dacă se ştie că exact bărbaţi sunt câştigători? În câte feluri se pot acorda cele premii dacă se ştie că nici o femeie nu a câştigat un premiu de 00 lei?

7 Generarea şi ordonarea permutărilor Permutările unei mulţimi A = {,,..., n} se pot ordona lexicografic. De exemplu, ordonarea lexicografică a permutărilor mulţimii A = {,, 3} este Permutare:,, 3, 3,,, 3, 3, 3,, 3,, Rang: 0 3 Rangul unei permutări în ordonare lexicografică este poziţia permutării în enumerarea lexicografică. Prima permutare are rangul 0. În general, dacă A = {a, a,..., a n } cu a < a <... < a n atunci rangul permutării a p, a p,..., a pn a lui A este egal cu rangul permutării p, p,..., p n a mulţimii {,,..., n}. Dacă p, p,..., p n este permutare a mulţimii {,,..., n} atunci rang p, p,..., p n = (p ) (n )! + rang p,..., p n Dacă p, p,..., p n este permutare a mulţimii {,,..., n} cu rangul r atunci r p = p = + (n )! Exemple de calcul al rangului unei permutări în ordine lexicografică:. Rangul permutării,, 3,, a mulţimii {,, 3,, } este: rang,, 3,, = ( )! + rang, 3 3,, = 7 + rang, 3,, = 7 + ( ) ( )!+rang 3,, 3 = 7+rang,, 3 = 7+( ) (3 )!+rang, 3 = rang, = 7+( ) ( )!+rang = 7+rang = 7+0 = 7.. Rangul permutării d, b, a, c a mulţimii A = { a, b, 3 c, d} cu a < b < c < d este: rang d, b, a, 3 c = rang,,, 3 = ( ) ( )!+rang,, 3 = 8+( ) (3 )!+rang, 3 = 8++rang, = 0+( ) ( )!+rang = 0+0 = 0. Exemple de calcul al unei permutări care are un rang dat: 7

8 . Ce permutare a lui {,, 3,, } are rangul 73? Trebuie calculată permutarea p, p, p 3, p, p lui {,, 3,, } astfel încât rang p, p, p 3, p, p = 73. q = 73! + = p = şi rămâne de calculat permutarea p, p 3, p, p mulţimii {,, 3 3, } cu rangul 73 (q )! = 73 7 = q = 3! + = p = şi rămâne de calculat permutarea p 3, p, p mulţimii {, 3, 3 } cu rangul (q ) 3! =! + = p3 = şi rămâne de calculat permutarea p, p mulţimii { 3, } cu rangul (q )! =! + = p = şi rămâne de calculat permutarea p mulţimii { 3} cu rangul (q )! = 0. Rezultă că p = 3. Deci permutarea lui,, 3,, cu rangul 73 este,,,, 3. Exemple de calcul al permutării care urmează după o permutare dată în ordine lexicografică:. Ce permutare urmează după permutarea,, 3, 8,,, 9, 7, 3 în ordine lexicografică? Răspuns: Mai întâi detectăm cel mai lung sufix descrescător al permutării: 9,7,3. Apoi permutăm elementul dinaintea sufixului (care este ) cu cel mai mic element din sufix care este mai mare decât (adică 7):,, 3, 8,,, 9, 7, 3,, 3, 8,, 7, 9,, 3 În final, inversăm ordinea elementelor din sufix, încât să apară în ordine crescătoare:,, 3, 8,, 7, 9,, 3,, 3, 8,, 7, 3,, 9. Ce permutare urmează după, 3,,, în ordine lexicografică? Răspuns:,, 3,, 8

9 3. Ce permutare urmează după,, 3,, în ordine lexicografică? Răspuns: nici una.. Ce permutare urmează după, 3,, 7,,, în ordine lexicografică? Răspuns:, 3,,,,, 7. Generarea şi ordonarea permutărilor cu repetiţie Reţineţi că O r-permutare cu repetiţie a unei mulţimi ordonate A = {A,..., A n } pentru care presupunem că A < A <... < A n, este A p, A p,..., A pr în care p,..., p r {,..., n} nu trebuie să fie distincte Există n r permutări cu repetiţie ale lui A = {A,..., A n }, iar acestea pot fi ordonate lexicografic. De exemplu, A = {a, b, c} are nouă -permutări cu repetiţie, iar ordonarea lor lexicografică este Permutare cu repetiţie: a, a a, b a, c b, a b, b b, c c, a c, b c, c Rang: Rangul unei r-permutări cu repetiţie A p, A p,..., A pr a lui A = {A,..., A n } în ordine lexicografică este valoarea lui q q... q r în baza n, unde q i = p i pentru toţi i. Permutarea cu repetiţie a mulţimii A = {A,..., A n } care are rangul k este A q +, A q +,..., A qr+ unde (q q... q r ) n este reprezentarea lui k în baza n, folosind r cifre. Exemple. Care este rangul 3-permutării cu repetiţie b, a, a, d a mulţimii A = { 0 a, b, c, 3 d, e} în ordine lexicografică? Răspuns: rang b, a, a, d = 003 = = 8. 9

10 . Care este -permutarea cu repetiţie a lui A = { 0 a, b, c, 3 d, e, f} cu rangul 3? Răspuns: A are elemente, deci trebuie să calculăm reprezentarea lui 9 în baza folosind r = cifre. 3 = = 0 -permutarea cu repetiţie căutată este a, b, c, f. Generarea şi ordonarea combinărilor O combinare a unei mulţimi este o submulţime a unei mulţimi. Orice submulţime a unei mulţimi ordonate A = {A, A,..., A n } are o reprezentare unică ca şir de n biţi. Valoarea în baza a acestui şir se numeşte rangul binar al submulţimii respective: De exemplu, submulţimile lui A = {a, b, c} au rangurile binare indicate în tabelul de mai jos: Observaţi că: şir binar rang binar c b a submulţime {a} 0 0 {b} 3 0 {a, b} 0 0 {c} 0 {a, c} 0 {b, c} 7 {a, b, c} Coloanele tabelului sunt enumerate în ordine descrescătoare, adică A n, A n,..., A, A. Un şir binar b n... b b reprezintă submulţimea {A i b i = }. Enumerarea submulţimilor lui A în ordine crescătoare a rangului binar se numeşte ordonare binară. Submulţimile unei mulţimi ordonate A = {A, A,..., A n } pot fi ordonate şi lexicografic. De exemplu, enumerarea lexicografică a submulţimilor lui A = {a, b, c} este, {a}, {a, b}, {a, b, c}, {a, c}, {b}, {b, c}, {c}. 0

11 Submulţimea care urmează după {A p, A p,..., A pk } în ordine lexicografică se calculează astfel: Exerciţii. Dacă {A p, A p,..., A pk } = atunci submulţimea următoare este {A }.. Dacă {A p, A p,..., A pk } = {A n } atunci nu există submulţime următoare. 3. În caz contrar, dacă p k = n atunci submulţimea următoare este {A q, A q,..., A qk } unde q i = p i pentru i < k şi q k = p k +.. În caz contrar, submulţimea următoare este {A p, A p,..., A pk, A pk +}.. Să se calculeze rangul binar al submulţimii {b, c, e} al mulţimii {a, b, c, d, e, f}. Răspuns: Submulţime f e d c b a {a, c, e} rangul binar al lui {a, c, e} este 000 = + + =.. Să se determine submulţimea lui {,, 3,, } cu rangul în ordonarea binară. Răspuns: = reprezentarea lui în baza cu biţi este 00, deci 3 Submulţime 0 0 {,, } Submulţimea căutată este {,, }. 3. Să se determine submulţimile lui A = {a, b, c, d, e} care urmeză, în ordine lexicografică, după (a) (b) {a, b, e} (c) {b, c} Răspuns: (a) Submulţimea care urmează după este {A } = {a}. (b) {a, b, e} = {A, A, A } după ea urmează {A, A 3 } = {a, c}. (c) {b, c} = {A, A 3 } după ea urmează {A, A } = {b, d}.

12 Tehnici avansate de numărare Se urmăreşte Verificarea abilităţilor de găsire a unei relaţii de recurenţă pentru rezolvarea unor probleme concrete. Utilizarea corectă a tehnicilor de rezolvare a relaţiilor de recurenţă liniară omogenă şi neomogenă. Exerciţii rezolvate. Fie a n numărul de şiruri de n biţi care nu conţin trei zerouri consecutive. (a) Să se determine o formulă de calcul pentru a n. (b) Care este valoarea lui a? Răspuns: (a) Fie s n un şir de n biţi care nu conţine 000. Numărăm în câte feluri putem construi un astfel de şir. Dacă n = 0, s n poate fi doar şirul vid, care nu conţine 000. Deci a 0 =. Dacă n = atunci s n {0, } şi s n nu conţine 000 a =. Dacă n = atunci s n {00, 0, 0, } nu conţine 000 a =. Dacă n 3 atunci distingem următoarele cazuri distincte: C. s n = s n. În acest caz s n nu trebuie să conţină 000 a n posibilităţi. C. s n = 0s n. În acest caz s n nu trebuie să conţină 000 a n posibilităţi. C3. s n = 00s n 3. În acest caz s n 3 nu trebuie să conţină 000 a n 3 posibilităţi. Conform regulii sumei, pentru n 3 avem în total a n + a n + a n 3 posibilităţi de a construi un şir s n. Am dedus relaţia de recurenţă liniară: a 0 =, a =, a =, a n = a n + a n + a n 3 dacă n 3. (b) a 3 = a 0 + a + a = 7 a = a + a + a 3 = 3 a = a + a 3 + a = a = a 3 + a + a =

13 . Fie z n numărul de şiruri de n biţi care conţin trei zerouri consecutive. (a) Să se determine o formulă de calcul pentru z n. (b) Să se calculeze valoarea lui z. Răspuns: (a) Fie s n un şir de lungime n, şi a n numărul de şiruri de lungime n care conţin 000. Observăm că: Există n astfel de şiruri s n. s n satisface exact una din urmatoarele condiţii: s n conţine 000, sau s n nu conţine 000. Rezultă că n = a n + z n. Din exerciţiul precedent ştim cun să calculăm a n pentru n 0. Deci z n = n a n unde a 0 =, a =, a = şi a n = a n + a n + a n 3 pentru n 3. (b) z = a = = Fie A n numărul de feluri în care poate fi achitată o sumă de n lei dacă aveţi la dispoziţie bancnote de leu, lei şi 0 lei (ordinea în care se plătesc bancnotele nu contează). De exemplu, A = deoarece lei pot fi achitaţi în feluri: ) 0LEI + LEU ) LEI + LEU 3) LEI + 7 LEU ) LEU (a) Să se deducă o formulă recursivă pentru calculul lui A n. (b) Folosiţi formula pe care aţi descoperit-o pentru a calcula A. Răspuns: (a) Fie S o mulţime de tipuri de bancnote posibile pentru a achita o sumă, adică S {,, 0}. Deasemenea, fie A S n în câte feluri se pot achita n lei folosind toate tipurile de bancnote din S şi doar acestea. De exemplu, A {,0} n reprezintă în câte feluri se pot achita n lei folosind cel puţin bancnotă de leu, cel puţin bancnotă de lei, şi doar bancnote de leu şi de lei. 3

14 { Este evident că A {k} dacă n este multiplu de k, n = 0 în caz contrar. Conform regulii sumei, avem: A n = A {,,0} n + A n {,} + A n {,0} + A {,0} + A n {} + A n {} + A {0} n Dacă S are cel puţin elemente şi k S atunci { 0 dacă n < k, A S n = A S n k + AS {k} n k dacă n k. (b) A = A {,,0} + A {,} + A {,0} + A {,0} + A {} + A {} + A {0}. Deoarece nu este multiplu de şi nici de 0, A {} = A {0} = 0. Deasemenea, A {} = şi A {,0} = 0 deoarece < 0. Deci A = A {,,0} + A {,} + A {,0} +. A {,,0} = A {,,0} + A {,} = = 0. A {,} = A {,} 7 + A {} 7 = A {,} 7 + = A {,} + A {} + = = A {,0} = A {,0} + A {} = 0 + =. Rezultă că A = =.. Să se rezolve relaţia de recurenţă liniară omogenă a = 8, a = 7, a n = a n a n dacă n 3. Rezolvare: Ecuaţia caracteristică a relaţiei de recurenţă este r r + = 0 r = r =. Deoarece este rădăcină cu multiplicitatea, a n este un polinom de grad înmulţit cu n : a n = (A n + B) n for all n Mai avem de calculat valorile lui A şi B: a =8 = (A + B) = A + B a =7 = ( A + B) = 8 A + B A = 9, B =. Deci a n = ( 9 n/ + /) n.

15 . Să se rezolve relaţia de recurenţă liniară neomogenă a =, a = 7, a n = a n a n + (n + n + ) n dacă n 3. Rezolvare: Ştim că soluţia acestei relaţii de recurenţă este unde a n = a (h) n + a (p) n a (h) n este o soluţie a relaţiei de recurenţă omogene a (h) n = a (h) n a (h) n a (h) n = (A n + B) n. Deoarece r = are multiplicitatea în ecuaţia caracteristică a recurenţei omogene, iar partea neomogenă este (n + n + ) n, rezultă că Din faptul că a (p) n că a (p) n = n (C n + D n + E) n. = a (p) n a (p) n + (n + n + ) n pentru toţi n 3 rezultă (( C ) n +( D C ) n+ E D+ C ) n = 0 pentru toţi n 3. Rezultă că C = 0 D C = 0 E D + C = 0 C = / D = / E = 7/ deci a n = (A n + B) n + n (n / + n/ + 7/) n = (n / + n 3 / + 7 n / + A n + B) n Din a =, a = 7 rezultă A =, B = 3, deci a n = ( n + 3) n + n (n / + n/ + 7/) n pentru toţi n 3.

16 . Să se rezolve relaţia de recurenţă liniară omogenă a 0 =, a = 7, a n = a n + a n dacă n. Rezolvare: Ecuaţia caracteristică a recurenţei liniare este r + r = 0 r =, r = a n = A ( ) n + B n = A ( ) n + B pentru toţi n 0. Mai avem de calculat valorile lui A şi B. = a 0 = 7 = a = Exerciţii propuse (Set ) } A + B A =, B = a A + B n = ( ) n.. Un şir de litere din mulţimea {a, b, c, d} este acceptabil dacă nu conţine subşirul aa. Fie A n mulţimea de şiruri acceptabile de lungime n. (a) Să se determine o formulă de calcul pentru A n. (b) Care este valoarea lui A?. Un şir de litere din mulţimea {a, b, c, d, e} este alternant dacă nu conţine două litere consecutive identice. Fie a n mulţimea de şiruri alternante de lungime n. (a) Să se determine o formulă de calcul pentru a n. (b) Care este valoarea lui a? 3. Fie x n numărul de şiruri de n biţi care nu conţin subşirul 0. Să se determine o formulă de calcul pentru x n.. Un şir de cifre zecimale este special dacă are un număr par de zerouri. Fie S n numărul şirurilor speciale de lungime n. (a) Să se găsească o formulă de calcul a lui S n. (b) Care este valoarea lui S? Structura ciclică a permutărilor Reţineţi că

17 O permutare π = p, p,..., p n reprezintă şi funcţia bijectivă π : {,,..., n} {,,..., n}, π(i) = p i pentru i n. Rezultă că putem calcula cu permutări ca funcţii: să le compunem (π π ), să le inversăm (π ), să le ridicăm la putere (π n = π }. {{.. π } ; π 0 =,,..., n ). n ori Interpretarea unei permutări π ca funcţie bijectivă cu ajutorul reprezentării poziţionale: n... π = p p... p n Un ciclu este o funcţie bijectivă π : {a, a,..., a n } {a, a,..., a n } astfel încât π(a ) = a, π(a ) = a 3,..., π(a n ) = a. Notaţia pentru un ciclu: (a, a,..., a n ) Interpretarea unui ciclu ca funcţie bijectivă: (a a... a n ) Orice permutare poate fi descompusă într-o compoziţie de cicluri disjuncte, numită structură ciclică a permutării respective. Reprezentarea permutărilor ca structuri ciclice permite studiul grupului de simetrii al unor configuraţii de interes (vezi Teoria lui Pólya). Exemple. Fie π = 7,,,, 3,,. (a) Să se indice structura ciclică şi tipul permutării π. (b) Să se calculeze permutările π şi π. Răspuns: Ştim că 3 7 π = 7 3 (a) π are structura ciclică π = (, 7, )(, )(3, ). Rezultă că tipul permutării π este [0,,, 0, 0, 0, 0] 7

18 (b) 3 7 π = π π = π = 7 3 =,,, 7, 3,,. Fie permutarea π = (, 0, 3, 7, )()(, 9)()(8,, ). (a) Să se calculeze permutările π, π 3 şi π. (b) Să se indice reprezentarea poziţională a permutării π. Răspuns: (a) π = π π = (, 3,, 0, 7)()()(9)()(8,, ) π 3 = π π = (, 7, 0,, 3)()(, 9)()(8)()() π = (,, 7, 3, 0)()(, 9)()(8,, ) (b) π = 0,, 7, 9,,,,,, 3, 8, Teoria lui Polya Oferă criterii de numărare a tuturor configuraţiilor posibile, dacă se ţine cont de grupul de simetrii al configuraţiei câte culori se pot folosi pentru a colora configuraţia respectivă. Exemple comentate: Ex. Se consideră un şirag de mărgele cu culori dintr-o colecţie de m culori. Configuraţia spaţială a şiragului este 3 Fiecare cerculeţ n reprezintă poziţia n a unei mărgele în şirag. Câte şiraguri diferite de acest fel se pot alcătui? 8

19 Răspuns: Lema lui Burnside ne permite să răspundem la această întrebare. Mai întâi determinăm operaţiile care nu modifică aranjamentul spaţial al acestei configuraţii. Mulţimea acestor operaţii se numeşte grup de simetrii al configuraţiei. În acest exemplu, grupul de simetrii G este format din operaţiile următoare: (a) Permutarea identitate (nu mută nici o mărgea): ()()(3)()()() (b) Rotaţia cu 80 în jurul mijlocului segmentului 3 : (, )(, )(3, ) 3 3 (c) Rotaţia în jurul axei verticale de simetrie: (, )(, )(3, ) 3 3 9

20 (d) Rotaţia în jurul axei orizontale de simetrie: (, )(3)()(, ) 3 3 G = { ()()(3)()()(), (, )(, )(3, ), (, )(, )(3, ), (, )(3)()(, )}. Conform lemei lui Burnside, dacă avem m culori disponibile numărul de şiraguri diferite de acest fel este N = C π, unde G π G G este numărul de permutări din G, C π este m a unde a este numărul de cicluri al permutării π. Pentru şiragul nostru, numărul de variante posibile este N = ( C ()()(3)()()() + C (,)(,)(3,) + C (,)(,)(3,) + C (,)(3)()(,) ) = ( m + m 3 + m 3 + m ) = (m + m + m 3 )/ Observaţie: Pentru a aplica Lema lui Burnside, trebuie să descoperiţi toate simetriile unei configuraţii. Lema lui Burnside se poate aplica şi pentru configuraţii spaţiale. (Vezi exemplul următor.) Ex.. În câte feluri pot fi colorate vârfurile unui tetraedru regulat cu cel mult 3 culori? Răspuns: Vom desena un tetraedru regulat cu vârfurile numerotate de la la, şi vom determina grupul de simetrii al configuraţiei tetraedrale: 3 0

21 Cea mai evidentă simetrie este permutarea identitate, care nu schimbă poziţia nici unui colţ: ()()(3)() Apoi, putem răsuci teraedrul cu 0 sau cu 0 în jurul unei înălţimi: În jurul înălţimii din vârful : ()(, 3, ), ()(,, 3) În jurul înălţimii din vârful : ()(, 3, ), ()(,, 3) În jurul înălţimii din vârful 3: (3)(, 3, ), (3)(,, 3) În jurul înălţimii din vârful : ()(,, 3), ()(, 3, ) Alt tip de simetrii răsucesc tetraedrul cu 80 în jurul uneia din cele trei axe care trec prin mijloacele a două muchii opuse: 3 (, )(3, ) (, 3)(, ) 3 3 (, )(, 3) G = { ()()(3)(), ()(, 3, ), ()(,, 3), ()(, 3, ), ()(,, 3), (3)(,, ), (3)(,, ), ()(,, 3), ()(, 3, ), (, )(3, ), (, 3)(, ), (, )(, 3)} Numărul căutat este N = (m + m ) pentru m = 3, adică (3 + 3 )/ = (8 + 99)/ =.

22 Exerciţii propuse (Set 3). Câte coliere diferite cu mărgele de cel mult 3 culori există? 3. În câte feluri se pot colora muchiile unui tetraedru cu cel mult 3 culori? 3 3. Să se calculeze numărul de colorări diferite a configuraţiei următoare cu cel mult culori. 3 7 Pólya a descoperit şi o metodă de calcul al colorărilor diferite al unei configuraţii C, daca se precizează de câte ori se foloseşte fiecere culoare: La fel ca şi pentru Lema lui Burnside, mai întâi se determină grupul de simetrii G al configurţiei C. Apoi se calculează inventarul de modele al configuraţiei C pentru m culori. Dacă configuraţia C are n componente care se colorează cu cel mult m culori y, y,..., y m, atunci inventarul de modele este polinomul F G (y,..., y m ) cu coeficienţi întregi şi variabilele y, y,..., y n astfel încât F G (y,..., y m ) = a (k,k,...,k m)y k y k... ym km k,...,k m unde fiecare a (k,...,k m) este numărul de colorări diferite a configuraţiei C cu

23 k componente colorate cu culoarea y k componente colorate cu culoarea y... k m componente colorate cu culoarea y m. F G (y,..., y m ) se poate calcula în paşi: P. Mai întâi se determină polinomul în x,..., x n : P G (x, x,..., x n ) = G M π (x, x,..., x n ) unde M π (x, x,..., x n ) = x λ x λ... x λn n şi permutarea π are tipul [λ, λ,..., λ n ]. ( m ) m m P. F G (y, y,..., y m ) = P G y i, yi,..., Exemplu ilustrat: i= i= Altfel spus, F G (y, y,..., y m ) we obţine din P G (x, x,..., x n ) înlocuind x cu y + y y m x cu y + y y m... x n cu y n + y n y n m De multe ori, calculul inventarului de modele F G (y, y,..., y m ) este foarte costisitor. Se recomandă folosirea unui sistem de calcul simbolic (de exemplu, Mathematica) pentru efectuarea de calcule cu aceste polinoame. Ex.3. Două molecule sunt izomeri dacă au aceeaşi compoziţie de atomi, dar au structuri spaţiale diferite. Molecula de naftalină are 0 atomi de carbon dispuşi în colţurile unei structuri dublu hexagonale, iar 8 din cei 0 atomi, situaţi la poziţiile numerotate în figura de mai jos, sunt legaţi la câte un atom de hidrogen: π G i= y n i (a) Naftolul se obţine înlocuind unul din atomii de hidrogen ai naftalinei de la poziţiile numerotate cu un grup hidroxil (OH). Câţi izomeri de naftol există? 3

24 (b) Tetrametilnaftalina se obţine înlocuind patru din atomii de hidrogen ai naftalinei de la poziţiile numerotate cu grupuri de metil (CH 3 ). Câţi izomeri de tetrametilnaftalină există? Răspuns: Răspunsurile la ambele întrebări pot fi găsite calculând inventarul de modele al moleculei de naftalină, căreia i se colorează nodurile numerotate de la la 8 cu două culori: roşu (r) şi galben (g). Vom considera că poziţiile colorate cu roşu sunt cele cu carbon legat la hidrogen. Atunci Coeficientul lui r 7 g este numărul de izomeri de naftol. Coeficientul lui r g este numărul de izomeri de tetrametilnaftalină. Se vede uşor că grupul de simetrii al naftalinei este G = { ()()(3)()()()(7)(8), (, )(, )(3, 7)(, 8), (, )(, 3)(, 8)(, 7), (, 8)(, 7)(3, )(, )} Rezultă că P G (x, x, x 3, x, x, x, x 7, x 8 ) = (x8 + 3 x ), deci F G (r, g) = ( r + g) (r + g ) ) = r 8 + r 7 g + 0 r g + r g 3 + r g + r 3 g g 8 Coeficientul lui r 7 g este sunt izomeri de naftol. Coeficientul lui r g este sunt izomeri de tetrametilnaftalină. Exerciţii propuse (Set ). Câte coliere diferite cu mărgele se pot forma dacă se folosesc mărgele verzi, două galbene, şi două roşii? 3. În câte feluri se pot colora muchii ale unui tetraedru cu roşu, una cu albastru, şi 3 cu galben?

25 3 3. Câte zaruri diferite se pot alcătui dacă i se numerotează feţele cu numere de la la?. Benzenul este o hidrocarbură cu atomi de carbon plasaţi în vârfurile unui hexagon regulat, şi atomi de hidrogen, fiecare legat la câte un atom de carbon. 3 (a) Câţi izomeri se pot obţine dacă în molecula de benzen se înlocuiesc doi atomi de hidrogen cu doi atomi de clor? (b) Câţi izomeri se pot obţine dacă în molecula de benzen se înlocuiesc doi atomi de hidrogen cu doi atomi de clor şi alţi atomi de hidrogen cu doi atomi de brom? Numere Stirling [ n k] = numărul Stirling de cicluri: în câte feluri pot fi puse n persoane la k mese rotunde identice astfel încât nici o masă să nu rămână neocupată. Exemplu: [ 3 ] = deoarece sunt posibilităţi de a pune 3 persoane la o masă rotundă: 3 posibilitatea ciclul (, 3, ) 3 posibilitatea ciclul (,, 3)

26 { n k} = numărul Stirling de mulţimi: în câte feluri se poate partiţiona o mulţime cu n elemente în k submulţimi nevide disjuncte. Exemplu: { 3 } = 3 deoarece sunt 3 posibilităţi de împărţire în grupuri: Formule de calcul pentru C(n, k) ( n 0) = ( n n) =. Dacă n > k > 0 atunci ( n k grup grup posibilitatea {, 3} {} posibilitatea {, 3} {} posibilitatea 3 {, } {3} ) ( = n ) ( + n k k ). Triunghiul numerelor C(n, k) (sau ( n k) ): ( n ) k k = n! n = Formule de calcul pentru [ ] n k. [ { ] n dacă n = 0 0 = 0 dacă n > 0 Dacă n atunci [ ] [ n = şi n Dacă n şi k atunci [ n k n ] = C(n, ) = n(n )/ ] [ = (n ) n ] [ + n ] k k.

27 Triunghiul numerelor [ n k] : [ n ] k k = n! n = Formule de calcul pentru { } n k { { { n } = n { n} =. n } dacă n = 0, 0 = 0 dacă n > 0. Dacă n > k atunci { } { n k = k n } { k + n k }. Triunghiul numerelor { n k} : } k = { n k n = Exerciţii rezolvate. În câte feluri se poate forma un şir de 7 caractere, dacă se folosesc doar litere din mulţimea {a, b, c, d} şi fiecare literă trebuie să apară cel puţin o dată în şir? 7

28 Răspuns: Fie s un astfel de şir, şi f(x) mulţimea poziţiilor din x unde apare litera x {a, b, c, d}. De exemplu, dacă s = aabddcb atunci f(a) = {, }, f(b) = {3, 7}, f(c) = {} şi f(d) = {, }. Se observă că f este o funcţie bijectivă de la mulţimea A = {a, b, c, d} la P, unde P este o partiţie a mulţimii de poziţii {,, 3,,,, 7} în grupuri astfel încât fiecare grup să aibe cel puţin un element. Ştim că Numărul de astfel de partiţii P este numărul Stirling de mulţimi { 7 }. Pentru fiecare astfel de partiţie P există! funcţii bijective de la A la P (deoarece A şi P sunt mulţimi cu elemente.) Conform regulii produsului, există! {7 } = 30 = 800 astfel de funcţii f, deci 800 astfel de şiruri.. Fie r n,k numărul de posibilităţi de a împărţi n persoane în k grupuri disjuncte, astfel încât fiecare grup să aibe cel puţin persoane. Folosiţi un raţionament combinatorial pentru a demonstra că, dacă n > k >, atunci r n,k = k r n,k + (n ) r n,k. Răspuns: Faptul că partea dreaptă este o sumă de termeni ne sugerează să încercăm să aplicăm regula sumei. Distingem două cazuri disjuncte: Cazul : Persoana n face parte dintr-un grup de persoane. Acest caz poate fi descompus în o secvenţă de paşi: () alegem una din celelalte n persoane care să stea la masă cu persoana n, apoi () formăm k grupuri de cel puţin persoane din clee n persoane rămase. Conform regulii produsului, acest caz se poate realiza în (n ) r n,k moduri. Cazul : Persoana n face parte dintr-un grup de cel puţin 3 persoane. Şi acest caz poate fi descompus în o secvenţă de paşi: () formăm k grupuri de cel puţin persoane cu primele n persoane, apoi () adăugăm persoana n la oricare din cele k grupuri formate la primul pas. Conform regulii produsului, acest caz se poate realiza în r n,k k moduri. Conform regulii sumei, rezultă că r n,k = (n ) r n,k + r n,k k = k r n,k + (n ) r n,k. Exerciţii propuse (Set ) 8

29 . Folosiţi un raţionament combinatorial (regula sumei, regula produsului) pentru a găsi o fomulă simplă de calcul a numărului Stirling [ ] n+ n când n.. Folosiţi un raţionament combinatorial (regula sumei, regula produsului) pentru a găsi o fomulă simplă de calcul a numărului Stirling { } n+ n când n. 3. Fie A = {a, b, c,..., x, y, z} alfabetul de caractere latine minuscule. Câte şiruri de 0 de caractere din A se pot forma dacă fiecare literă din A trebuie să apară cel puţin o dată?. Folosiţi un raţionament combinatorial pentru a demonstra că, dacă n > k >, atunci C(n, k) = C(n, k) + C(n, k ). 9

Curs 3 Permutari cu repetitie. Combinari. Algoritmi de ordonare si generare

Curs 3  Permutari cu repetitie. Combinari.  Algoritmi de ordonare si generare Curs 3 Permutări cu repetiţie. Combinări. Algoritmi de ordonare şi generare Octombrie 2015 Cuprins Algoritmi de ordonare şi generare pentru permutări cu repetiţie Reprezentarea binară a submulţimilor Algoritmi

Mai mult

Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc

Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc ,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel

Mai mult

PROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL

PROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.

Mai mult

Microsoft Word - cap1p4.doc

Microsoft Word - cap1p4.doc Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu

Mai mult

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim

Mai mult

Logică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014

Logică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea   marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014 Logică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014 Un exemplu: automatul de cafea acțiuni (utilizator): introdu

Mai mult

1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x.

1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x. 1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x. Date de intrare: arr [] = {10, 2, 14, 4, 7, 6}, x =

Mai mult

DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT

DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ

Mai mult

COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati

COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan

Mai mult

I

I METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei

Mai mult

Grafuri neorinetate Aplicatii 1 Care este numărul maxim de componente conexe pe care le poate avea un graf neorientat cu 20 noduri şi 12 muchii? a. 6

Grafuri neorinetate Aplicatii 1 Care este numărul maxim de componente conexe pe care le poate avea un graf neorientat cu 20 noduri şi 12 muchii? a. 6 Grafuri neorinetate Aplicatii 1 Care este numărul maxim de componente conexe pe care le poate avea un graf neorientat cu 20 noduri şi 12 muchii? a. 6 b. 12 c. 10 d. 15 2 Câte grafuri neorientate, distincte,

Mai mult

Probleme rezolvate informatica: Probleme rezolvate grafuri si a

Probleme rezolvate informatica: Probleme rezolvate grafuri si a Mai multe Creați blog Autentificare LUNI, 11 MARTIE 2013 Probleme rezolvate grafuri si arbori Probleme rezolvate de catre : Ginghina Cristian Onica Viorel Neculai Alexandru Anton Cosmin INFORMATICA Teorie

Mai mult

ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine număru

ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine număru ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine numărul de operaţii efectuate de către un algoritm care determină

Mai mult

CLP_UTCN-grila-2012.dvi

CLP_UTCN-grila-2012.dvi Liceul: Numele: Punctaj: Prenumele: Concursul liceelor partenere cu Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Test grilă Ediţia a treia mai 0 Clasa a X-a În casuţa din stânga întrebării se va scrie litera

Mai mult

Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA

Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea

Mai mult

Metode de sortare - pregătire admitere - Conf.dr. Alexandru Popa Lect. dr. Andrei Pătraşcu Universitatea din Bucureşti 1

Metode de sortare - pregătire admitere - Conf.dr. Alexandru Popa Lect. dr. Andrei Pătraşcu Universitatea din Bucureşti 1 Metode de sortare - pregătire admitere - Conf.dr. Alexandru Popa Lect. dr. Andrei Pătraşcu Universitatea din Bucureşti 1 Cuprins Problema sortării Algoritmul de sortare prin interschimbare (Bubble sort)

Mai mult

Subiectul 1

Subiectul 1 Subiectul 1 În fişierul Numere.txt pe prima linie este memorat un număr natural n (n

Mai mult

Probleme proiect TP BITPERM Implementați un algoritm care citește de la intrarea standard două numere naturale și scrie la ieșirea standard da

Probleme proiect TP BITPERM Implementați un algoritm care citește de la intrarea standard două numere naturale și scrie la ieșirea standard da Probleme proiect TP 2016 1. BITPERM Implementați un algoritm care citește de la intrarea standard două numere naturale și scrie la ieșirea standard dacă reprezentarea binară a unuia dintre numere poate

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,

Mai mult

Clasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul

Clasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.

Mai mult

Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor

Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)

Mai mult

Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-

Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII- Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale

Mai mult

Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac

Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire

Mai mult

E_d_Informatica_sp_SN_2014_bar_10_LRO

E_d_Informatica_sp_SN_2014_bar_10_LRO Examenul de bacalaureat naţional 2014 Proba E. d) Informatică Varianta 10 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. În rezolvările cerute,

Mai mult

2.1.Tipul tablou unidimensional

2.1.Tipul tablou unidimensional 7. Grafuri 7.1. Grafuri neorientate - Teste grilă 1. V_88_I_5. Care este numărul minim de noduri pe care îl poate conţine un graf neorientat cu 50 de muchii, şi în care 15 noduri sunt izolate? a. 25 b.

Mai mult

Noțiuni matematice de bază

Noțiuni matematice de bază Sistem cartezian definitie. Coordonate carteziene Sistem cartezian definiţie Un sistem cartezian de coordonate (coordonatele carteziene) reprezintă un sistem de coordonate plane ce permit determinarea

Mai mult

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0911_roman.doc

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0911_roman.doc Matematika román nyelven középszint 0911 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Indicaţii

Mai mult

Microsoft Word - Concursul SFERA.doc

Microsoft Word - Concursul SFERA.doc CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ SFERA EDIŢIA a II-a BĂILEŞTI, 1 martie 005 CLASA a IV-a Pentru întrebările 1-5 scrieţi pe lucrare litera corespunzătoare răspunsului corect 1. Care este numărul care

Mai mult

Microsoft Word - Lab1a.doc

Microsoft Word - Lab1a.doc Sisteme de numeraţie şi coduri numerice 1.1. Sisteme de numeraţie 1.2. Conversii generale între sisteme de numeraţie 1.3. Reprezentarea numerelor binare negative 1.4. Coduri numerice 1.5. Aplicaţii In

Mai mult

Şcoala ………

Şcoala ……… Şcoala... Clasa a X-a Disciplina: Matematică TC + CD Anul şcolar: 07-08 TC = trunchi comun 35 săptămâni: 8 săptămâni semestrul I CD = curriculum diferenţiat Nr. ore: 3 ore / săptămână 7 săptămâni semestrul

Mai mult

Microsoft Word - Curs1.docx

Microsoft Word - Curs1.docx 1. REPREZENTAREA INFORMAȚIILOR ÎN CALCULATOR 1.1. CONCEPTUL DE DATĂ ȘI INFORMAȚIE Datele desemnează elementele primare, provenind din diverse surse, fără o formă organizată care să permită luarea unor

Mai mult

Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u

Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:

Mai mult

Secţiunea 9-10 avansaţi Concurs online de informatică Categoria PROGRAMARE PROBLEMA 1 TEXT 100 puncte Un text este format din una sau mai multe propoz

Secţiunea 9-10 avansaţi Concurs online de informatică Categoria PROGRAMARE PROBLEMA 1 TEXT 100 puncte Un text este format din una sau mai multe propoz PROBLEMA TEXT 00 puncte Un text este format din una sau mai multe propoziții separate pe linii. O propoziție este formată din două sau mai multe cuvinte separate prin câte un spațiu. Fiecare cuvânt este

Mai mult

Microsoft PowerPoint - Curs_SDA_9_RO_2019_v2.pptx

Microsoft PowerPoint - Curs_SDA_9_RO_2019_v2.pptx SDA (PC2) Curs 9 Liste / Grafuri / Arbori Iulian Năstac Lista dublu înlănțuită Recapitulare Într-o astfel de listă fiecare nod conţine doi pointeri: unul spre nodul următor şi unul spre nodul precedent.

Mai mult

Algebra si Geometri pentru Computer Science

Algebra si Geometri pentru Computer Science Natura este scrisă în limbaj matematic. Galileo Galilei 5 Aplicatii liniare Grafica vectoriala In grafica pe calculator, grafica vectoriala este un procedeu prin care imaginile sunt construite cu ajutorul

Mai mult

E_d_Informatica_sp_MI_2015_bar_02_LRO

E_d_Informatica_sp_MI_2015_bar_02_LRO Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. d) Informatică Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializările: matematică-informatică matematică-informatică intensiv informatică Toate subiectele

Mai mult

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7

Mai mult

Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci

Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor

Mai mult

FIŞA DISCIPLINEI

FIŞA DISCIPLINEI FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1.Instituţia de învăţământ superior Universitatea SPIRU HARET 1.2.Facultatea Inginerie, Informatică şi Geografie 1.3.Departamentul Informatică şi Geografie 1.4.Domeniul

Mai mult

Noțiuni de bază ale criptografiei

Noțiuni de bază ale criptografiei CIFRURI DE SUBSTITUŢIE Clasificarea metodelor simetrice 1. Cifruri substituţie; 2. Cifruri transpoziţie; 3. Cifruri combinate. CIFRURI DE SUBSTITUŢIE Cifruri de substituţie monoalfabetică (monoalphabetic

Mai mult

TEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:

TEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail: TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins

Mai mult

Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29

Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale

Mai mult

Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de

Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),

Mai mult

Subiecte_funar_2006.doc

Subiecte_funar_2006.doc Clasa a VIII-a A. 1. Exista numere n Z astfel încât n si n+ sa fie patrate perfecte? (Gheorghe Stoica) A. 2. Se considera A N o multime cu 7 elemente si k N*. Aratati ca ecuatia 4x 2 4ax+b 2 +10k = 0,

Mai mult

Slide 1

Slide 1 Arhitectura Sistemelor de Calcul Curs 8 Universitatea Politehnica Bucuresti Facultatea de Automatica si Calculatoare cs.pub.ro curs.cs.pub.ro Structura SIMD Cuprins Probleme de Comunicatii intre Procesoarele

Mai mult

SSC-Impartire

SSC-Impartire Adunarea Înmulțirea Numere și operații în virgulă mobilă 1 Împărțirea cu refacerea restului parțial Împărțirea fără refacerea restului parțial 2 Primul operand: deîmpărțit (X) Al doilea operand: împărțitor

Mai mult

Concursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r car

Concursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r car Concursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r care satisfac simultan următoarele condiții: qr p 4 1

Mai mult

Ecuatii si sisteme de ecuatii neliniare 1 Metoda lui Newton Algorithm 1 Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. Date de intrare: - Funcţia f - Apro

Ecuatii si sisteme de ecuatii neliniare 1 Metoda lui Newton Algorithm 1 Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. Date de intrare: - Funcţia f - Apro Ecuatii si sisteme de ecuatii neliniare Metoda lui Newton Algorithm Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. - Funcţia f - Aproximaţia iniţială x - Eroarea admisă ε - Numărul maxim de iteraţii ITMAX

Mai mult

Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; pa

Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; pa Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; paranteze: (, ); simbolul de egalitate =; cuantificatorul

Mai mult

Lecții de pregă,re la informa,că Admitere 2019 Tema: Discutarea problemelor date la ul,mele sesiuni de admitere Bogdan Alexe

Lecții de pregă,re la informa,că Admitere 2019 Tema: Discutarea problemelor date la ul,mele sesiuni de admitere Bogdan Alexe Lecții de pregă,re la informa,că Admitere 2019 Tema: Discutarea problemelor date la ul,mele sesiuni de admitere Bogdan Alexe bogdan.alexe@fmi.unibuc.ro Cuprinsul lecției de azi Enunțuri și rezolvări pentru

Mai mult

Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),

Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC), Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + +

Mai mult

Cursul 10 Fractali de tip Newton Vom prezenta în continuare o nouă modalitate de generare a fractalilor, modalitate care îşi are originea într-o probl

Cursul 10 Fractali de tip Newton Vom prezenta în continuare o nouă modalitate de generare a fractalilor, modalitate care îşi are originea într-o probl Cursul 10 Fractali de tip Newton Vom prezenta în continuare o nouă modalitate de generare a fractalilor, modalitate care îşi are originea într-o problemă formulată în anul 1879 de Arthur Cayley (1821 1895)

Mai mult

Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a

Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a 6.02.2016 si 13.02.2016 Material intocmit de prof. BAJAN MARIANA

Mai mult

Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică ş

Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică ş Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Academiei 4, RO 0004, Bucureşti, România

Mai mult

Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014

Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea   marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014 Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014 Relații în lumea reală și informatică Noțiunea matematică de

Mai mult

CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),

CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul

Mai mult

BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA ianuarie Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că

BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA ianuarie Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA 019 9 ianuarie 019 1. Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că x şi y sunt divizibili cu 11.. Fie Γ un cerc de centru

Mai mult

Introducere

Introducere Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic AEACD 17. Segmentarea imaginilor: Region-based segmentation. Graph Theory In Image Segmentation Region-based segmentation

Mai mult

MD.09. Teoria stabilităţii 1

MD.09. Teoria stabilităţii 1 MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,

Mai mult

gaussx.dvi

gaussx.dvi Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care

Mai mult

Laborator Implementarea algoritmului DES - Data Encryption Standard. Exemplu DES Algoritmul DES foloseşte numere b

Laborator Implementarea algoritmului DES - Data Encryption Standard. Exemplu DES Algoritmul DES foloseşte numere b Laborator 4 1.04-5.04.2019 8.04-12.04.2019 1. Implementarea algoritmului DES - Data Encryption Standard. Exemplu DES Algoritmul DES foloseşte numere binare. Fiecare grup de 4 biţi reprezintă un număr hexazecimal.

Mai mult

Grafuri - Concepte de baza. Tipuri de grafuri. Modalitati de reprezentare

Grafuri - Concepte de baza. Tipuri de grafuri. Modalitati de reprezentare Concepte de bază. Tipuri de grafuri. Modalităţi de reprezentare Mircea Marin Departamentul of Informatică Universitatea de Vest din Timişoara mircea.marin@e-uvt.ro 9 noiembrie 2018 Introducere Ce este

Mai mult

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac

Mai mult

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0

Mai mult

OPERATII DE PRELUCRAREA IMAGINILOR 1

OPERATII DE PRELUCRAREA IMAGINILOR 1 OPERATII DE PRELUCRAREA IMAGINILOR Prelucrarea imaginilor 2 Tipuri de operatii de prelucrare Clasificare dupa numarul de pixeli din imaginea initiala folositi pentru calculul valorii unui pixel din imaginea

Mai mult

programa_olimpiada_matematica_IX-XII_

programa_olimpiada_matematica_IX-XII_ R O M  N I A MINISTERUL EDUCAłIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI DIRECłIA GENERALĂ MANAGEMENT ÎNVĂłĂMÂNT PREUNIVERSITAR CONSILIUL NAłIONAL PENTRU CURRICULUM ŞI EVALUARE ÎN ÎNVĂłĂMÂNTUL PREUNIVERITAR PROGRAMA

Mai mult

Backtracking_2018

Backtracking_2018 Facultatea de Matematică și Informatică Lecții de pregătire Admitere 2019 Rezolvarea problemelor folosind metoda backtracking Exemplu: ieșirea din labirint 2 Exemplu: aranjarea a n regine 3 Exemplu: rezolvarea

Mai mult

20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do

20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul

Mai mult

Logică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu

Logică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu Logică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu casandra@cs.upt.ro https://tinyurl.com/lectureslsd Mulțimi aspecte teoretice Ce sunt mulțimile? Mulțimea e un concept matematic fundamental. Definiție

Mai mult

Spatii vectoriale

Spatii vectoriale Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale

Mai mult

Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL

Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.

Mai mult

Matematici aplicate științelor biologie Lab05 MV

Matematici aplicate științelor biologie  Lab05 MV LP05 - PREZENTAREA DATELOR STATISTICE (1) Obiective: I. Prezentarea datelor prin tabele - Întocmirea tabelului de evidenţă primară Acest tabel conţine valori de observaţie distincte x i ale caracterului

Mai mult

Microsoft Word - Algoritmi genetici.docx

Microsoft Word - Algoritmi genetici.docx 1.1 Generalităţi Algoritmii genetici fac parte din categoria algoritmilor de calcul evoluționist și sunt inspirați de teoria lui Darwin asupra evoluției. Idea calculului evoluționist a fost introdusă în

Mai mult

Concurs online de informatică Categoria PROGRAMARE Secţiunea 5-6 avansaţi PROBLEMA puncte DANS De 1 Iunie - Ziua Copilului se organizează un spe

Concurs online de informatică Categoria PROGRAMARE Secţiunea 5-6 avansaţi PROBLEMA puncte DANS De 1 Iunie - Ziua Copilului se organizează un spe PROBLEMA 1 DANS De 1 Iunie - Ziua Copilului se organizează un spectacol de dans cu şi pentru copii. Acesta este programat să se desfăşoare în intervalul orar 10.30-12.00. În spectacol se înscriu n trupe

Mai mult

Microsoft Word - Curs_08.doc

Microsoft Word - Curs_08.doc Partea a II-a. Proiectarea bazelor de date Capitolul 6. Tehnici de proiectare şi modele În capitolele precedente s-au analizat modele de baze de date şi limbaje, presupunând în cele mai multe cazuri că

Mai mult

Microsoft Word - a5+s1-5.doc

Microsoft Word - a5+s1-5.doc Unitatea şcolară: Şcoala cu cls. I-VIII Sf. Vineri Profesor: Gh. CRACIUN Disciplina: Matematică Clasa a V-a / 4 ore pe săpt./ Anul şcolar 007-008 PROIECTAREA DIDACTICĂ ANUALĂ Număr săptămâni: 35 Număr

Mai mult

Capitole Speciale de Informatică Curs 4: Calculul scorurilor în un sistem complet de extragere a informaţiilor 18 octombrie 2018 Reamintim că în cursu

Capitole Speciale de Informatică Curs 4: Calculul scorurilor în un sistem complet de extragere a informaţiilor 18 octombrie 2018 Reamintim că în cursu Capitole Speciale de Informatică Curs 4: Calculul scorurilor în un sistem complet de extragere a informaţiilor 18 octombrie 2018 Reamintim că în cursul precedent am prezentat modelul de spaţiu vectorial

Mai mult

Microsoft Word - Curs_10.doc

Microsoft Word - Curs_10.doc Capitolul 8. Proiectarea logică Scop - construirea unei scheme logice ce reprezintă corect şi eficient toate informaţiile descrise într-o schemă entitate-relaţie Etape: Restructurarea schemei E-R fază

Mai mult

Aproximarea functiilor prin metoda celor mai mici patrate

Aproximarea functiilor prin metoda celor mai mici patrate Aproximarea funcţiilor prin metoda celor mai mici pătrate Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 2017-2018

Mai mult

Operatorii in C Expresii Operatori aritmetici Operatori de asignare Operatori de incrementare si decrementare Operatori relationali Operatori logici O

Operatorii in C Expresii Operatori aritmetici Operatori de asignare Operatori de incrementare si decrementare Operatori relationali Operatori logici O Operatorii in C Expresii Operatori aritmetici Operatori de asignare Operatori de incrementare si decrementare Operatori relationali Operatori logici Operatii pe biti Operatorul conditional Operatori Logici

Mai mult

Microsoft Word - TIC5

Microsoft Word - TIC5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE CAPITOLUL 5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE În Capitolul 3, am văzut că putem utiliza codarea sursă pentru a reduce redundanţa inerentă a unei surse de informaţie

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen

Mai mult

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA SI FIZICA NUCLEARA BN-03 B DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG. Scopul lucrării Determinarea

Mai mult

ANEXA NR. 4 INSCRIPTIONAREA AUTOMOBILELOR CNVCD 1. Panourile şi numere de competiţie Sunt aceleaşi cu numerele de licenţă ale piloţilor. Numerele şi p

ANEXA NR. 4 INSCRIPTIONAREA AUTOMOBILELOR CNVCD 1. Panourile şi numere de competiţie Sunt aceleaşi cu numerele de licenţă ale piloţilor. Numerele şi p ANEXA NR. 4 INSCRIPTIONAREA AUTOMOBILELOR CNVCD 1. Panourile şi numere de competiţie Sunt aceleaşi cu numerele de licenţă ale piloţilor. Numerele şi panourile aplicate pe automobilele de competiţii, prin

Mai mult

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele

Mai mult

LUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL Aspecte generale Programarea neliniară are o foart

LUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL Aspecte generale Programarea neliniară are o foart LUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL 0 8.. Aspecte generale Programarea neliniară are o foarte mare importanţă în rezolvarea problemelor de optimizări,

Mai mult

Calcul Numeric

Calcul Numeric Calcul Numeric Cursul 4 2019 Anca Ignat Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Fie matricea nesingulară A nn şi b n. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare Ax=b se poate face folosind regula

Mai mult

Analiză de flux de date 29 octombrie 2012

Analiză de flux de date 29 octombrie 2012 Analiză de flux de date 29 octombrie 2012 Analiză statică: definiţie O analiză a codului sursă (fără a executa programul), cu scopul de a determina proprietăţi ale programului sursă. (in principal corectitudinea,

Mai mult

fIŞE DE LUCRU

fIŞE DE LUCRU FIŞE DE LUCRU MICROSOFT OFFICE EXCEL FORMULE ŞI FUNCŢII EXCEL Obiective Aplicarea operaţiilor elementare şi a conceptelor de bază ale aplicaţiei Excel Utilizarea opţiunilor de formatare şi gestionare a

Mai mult

ETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți

ETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți Seminar Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferențiale Folosind transformata Laplace, putem reolva ecuații și sisteme diferențiale. Cu ajutorul proprietăților transformatei

Mai mult

Microsoft Word - V_4_Inmultirea_nr_nat.doc

Microsoft Word - V_4_Inmultirea_nr_nat.doc 3 Înmulţirea numerelor naturale De acum, pentru înmulţire vom folosi semnul în loc de Ex În loc de 32 9 vom scrie 32 9 Dacă a şi b sunt două numere naturale, prin produsul lor vom înţelege a b Ex a) Produsul

Mai mult

UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM

UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot

Mai mult

SUBPROGRAME

SUBPROGRAME SUBPROGRAME Un subprogram este un ansamblu ce poate conţine tipuri de date, variabile şi instrucţiuni destinate unei anumite prelucrări (calcule, citiri, scrieri). Subprogramul poate fi executat doar dacă

Mai mult

METODE NUMERICE ÎN INGINERIE

METODE NUMERICE ÎN INGINERIE METODE NUMERICE ÎN INGINERIE REZOLVAREA NUMERICĂ A SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE Aspecte generale (1) (2) (3) (4) (5) Unicitatea soluţiei Un sistem de ecuaţii liniare are o soluţie unică numai dacă matricea

Mai mult

Nr. 932 din Avizat ISJ Vâlcea, Inspector școlar informatică, Ciochină Luisa EXAMEN DE ATESTARE A COMPETENȚELOR PROFESIONALE A ABSOLVENȚILOR

Nr. 932 din Avizat ISJ Vâlcea, Inspector școlar informatică, Ciochină Luisa EXAMEN DE ATESTARE A COMPETENȚELOR PROFESIONALE A ABSOLVENȚILOR Nr. 932 din 12.12.2018 Avizat ISJ Vâlcea, Inspector școlar informatică, Ciochină Luisa EXAMEN DE ATESTARE A COMPETENȚELOR PROFESIONALE A ABSOLVENȚILOR DE MATEMATICĂ INFORMATICĂ ȘI MATEMATICĂ INFORMATICĂ,

Mai mult

Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont

Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi

Mai mult

Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi

Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte

Mai mult

clasa I Se recomandă citirea enunţurilor de către învăţător. 1. Continuă numărarea şi află câţi morcovi a mâncat iepuraşul. 6, 7, 8, 9,. A) 3 B) 10 C)

clasa I Se recomandă citirea enunţurilor de către învăţător. 1. Continuă numărarea şi află câţi morcovi a mâncat iepuraşul. 6, 7, 8, 9,. A) 3 B) 10 C) clasa I Se recomandă citirea enunţurilor de către învăţător.. Continuă numărarea şi află câţi morcovi a mâncat iepuraşul. 6, 7, 8, 9,. A) B) 0 C) D) 9 E). Vecinul mai mic al numărului 70 este: A) 60 B)

Mai mult

ALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja f

ALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja f ALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja far Mohammed ibn Musâ al- Khowârizmî în cartea sa intitulată

Mai mult