Teoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A 1,...,
|
|
- Liliana Florea
- 4 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 Teoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A,..., A r unde A,..., A r sunt elemente distincte dintr-o mulţime cu n elemente. Formula de calcul n! este P (n, r) = = n (n )... (n r + ) (n r)! C(n, r) este numărul de submulţimi cu r elemente al unei mulţimi cu n elemente. n! Formula de calcul este C(n, r) = r!(n r)! În total, o mulţime cu n elemente are n submulţimi. Exerciţii rezolvate. Fie L mulţimea literelor {A, B, C, D, E}. (a) Câte şiruri de 7 litere din L există? (b) Câte şiruri de 9 litere din L conţin A de exact ori si B de exact 3 ori? (c) Câte şiruri de litere din L conţin A de cel puţin ori şi B de cel puţin ori? Răspuns: Mai întâi, observăm că L are litere. (a) _: cele 7 poziţii trebuiesc completate cu litere din L: Fiecare poziţie poate fi completată în feluri. Conform regulii produsului, avem 7 posibilităţi de a construi şirul de 7 litere 7 şiruri.
2 (b) _: cele 9 poziţii trebuiesc completate cu din 9 poziţii cu A C(9, ) posibilităţi, şi mai rămân de completat 7 poziţii din 7 poziţii cu B C(7, ) posibilităţi, şi mai rămân de completat poziţii cu litere diferite de A, B poziţii rămase cu litere din {C, D, E} 3 posibilităţi (conform regulii produsului) Conform regulii produsului, avem un total de C(9, ) C(7, ) 3 posibilităţi C(9, ) C(7, ) 3 şiruri. (c) Mai întâi, identificăm toate cazurile distincte posibile: A de ori, B de ori C(, ) C(, ) 3 posibilităţi A de ori, B de 3 ori C(, ) C(, 3) 3 posibilităţi A de ori, B de ori C(, ) C(, ) posibilităţi A de 3 ori, B de ori C(, 3) C(3, ) 3 posibilităţi A de 3 ori, B de 3 ori C(, 3) C(3, 3) posibilităţi A de ori, B de ori C(, ) C(, ) posibilităţi Conform regulii sumei, numărul total de astfel de şiruri este C(, ) C(, ) 3 + C(, ) C(, 3) 3 + C(, ) C(, )+ C(, 3) C(3, ) 3 + C(, 3) C(3, 3) + C(, ) C(, ). Fie M = {,, 3,, A, B, C, D, E, F, G}. (a) Câte submulţimi ale lui M conţin cifre şi 3 litere? (b) Câte submulţimi ale lui M conţin litera A sau cifra? Răspuns (a) Numărăm în câte feluri putem construi o mulţime de forma X Y unde X {,, 3, } are cifre, şi Y {A, B, C, D, E, F, G} are 3 litere. Pentru X avem de ales din cifre C(, ) posibilităţi. Pentru Y avem de ales 3 din 7 litere C(7, 3) posibilităţi. În total, sunt C(, ) C(7, 3) de astfel de submulţimi.
3 (b) Această problemă se rezolvă cu principiul incluziunii şi excluziunii. Numărul căutat este N + N N 3 unde N este numărul submulţimilor care conţin A; Orice astfel de submulţime este {A} X unde X {,, 3,, B, C, D, E, F, G}, deci N = 0. N este numărul submulţimilor care conţin ; Orice astfel de submulţime este {} X unde X {,, 3, A, B, C, D, E, F, G}, deci N = 0. N 3 este numărul submulţimilor care conţin A şi ; Orice astfel de submulţime este {A, } X unde X {,, 3, B, C, D, E, F, G}, deci N = 9. numărul căutat este = 3 9 = Să se rezolve ecuaţia P (n, ) =. Rezolvare: P (n, ) = n (n ), deci avem de rezolvat n(n ) = n n = 0 n = ± + = ± = ± Rezultă că n = 8 sau n = 7. Deoarece, din punct de vedere combinatorial, n nu trebuie să fie negativ, rezultă că n = 8.. Să se rezolve ecuaţia C(n, ) = P (n, 3). Rezolvare: Avem de rezolvat ecuaţia n(n ) = n(n )(n ) n(n ) n(n )(n ) = 0 n(n )(3 n) = 0 n = 0 sau n = sau n = 3.. Câte numere cuprinse între 0 şi 88 inclusiv (a) Sunt divizibile cu sau 7? (b) Sunt divizibile cu dar nu sunt divizibile cu 7? (c) Nu sunt divizibile nici cu nici cu 7? Răspuns: Această problemă se rezolvă aplicând principiul incluziunii şi excluziunii. Fie M = {n 0 n 88}, A = {n M n este divizibil cu }, B = {n M n este divizibil cu 7}, şi C = {n M n este divizibil cu şi cu 7, adică cu 3}. 3
4 Deasemenea, fie N numărul elementelor lui M divizibile cu sau 7, N numărul celor divizibile cu dar nu cu 7, şi N 3 numărul celor care nu sunt divizibile nici cu nici cu 7. Avem de calculat N, N şi N 3. N = C A C B M N = A C N 3 = M ( A + B C ) Ar trebui să ştiţi că dacă L R atunci Mulţimea {n L n R} are R L + elemente. Deci M = = 79. Dacă p > 0 atunci mulţimea multiplilor lui p cuprinşi între L şi R este dacă L/p > R/p, şi {p d L/p d R/p } în caz contrar. Deci, numărul multiplilor de p din mulţimea {n L n R} este max(0, R/p L/p + ) În particular, A = 88/ 0/ + = 37 + = 3, B = 88/7 0/7 + = 3 + = 3, C = 88/3 0/3 + = + =. Deci răspunsurile sunt: (a) N = C = (b) N = A C = 3 = 37 (c) N 3 = M ( A + B C ) = 79 (3 + 3 ) = 9. Fie n > 0. Câte funcţii surjective există de la o mulţime cu n + elemente la o mulţime cu n elemente? Răspuns: Trebuie să numărăm în câte feluri putem defini o funcţie surjectivă f : A B când A = n + şi B = n. Se observă că f este surjectivă dacă şi numai dacă Două elemente diferite a, a A sunt mapate la acelaşi element b B. Elementele din a A \ {a, a } sunt mapate la elemente diferite din B \ {b}.
5 Deci pentru a defini funcţia surjectivă f trebuie să alegem: Două elemente diferite a, a A. Sunt C(n +, ) posibilităţi (fiindcă A are n + elemente). Un element b B pentru care f(a ) = f(a ) = b. Sunt n posibilităţi. Pentru fiecare a A {a, a } (care are n elemente) un element diferit din A {a} (care are n elemente). Sunt (n )! posibilităţi. Conform regulii produsului, în total există C(n +, ) n (n )! = C(n +, ) n! = (n + )! n 7. Denis are mărgele roşii şi 8 mărgele verzi. În câte feluri poate înşira Denis cele mărgele pe o aţă dacă prima mărgea din şirag trebuie să fie roşie, şi este permis să se pună cel mult o mărgea verde între două mărgele roşii? R????????????? Sugestie: aplicaţi regula produsului numărând câte posibilităţi aveţi pentru plasarea următoarei mărgele roşii în raport cu mărgeaua roşie precedentă. Rezolvare: Întrucăt la poziţia p = este mărgea roşie, trebuie să numărăm în câte feluri putem alege poziţiile celorlalte mărgele roşii din mulţimea {, 3,,,, 7, 8, 9, 0,,, 3, }. Fie p < p 3 < p < p < p poziţiile acestor mărgele. Deoarece putem avea cel mult o mărgea verde între mărgele roşii, rezultă că p {p +, p + } = {, 3}, deci avem valori posibile pentru p p 3 {p +, p + } {3,, }, deci avem valori posibile pentru p 3 p {p 3 +, p 3 + } {,,, 7}, deci avem valori posibile pentru p p {p, p + } {,, 7, 8, 9}, deci avem valori posibile pentru p p {p, p + } {, 7, 8, 9, 0, }, deci avem valori posibile pentru p Conform regulii produsului, există = 3 posibilităţi de a alege poziţiile p, p + 3, p, p, p. Deci, Denis poate înşira mărgelele în 3 feluri.
6 Exerciţii propuse (Set ). Câte submulţimi cu număr par de elemente are o mulţime cu elemente?. Câte permutări are mulţimii {,, 3,, } au primul element mai mic decât al doilea element? 3. Câte submulţimi ale mulţimii {a, b, c, d,,, 3} conţin cel puţin o literă şi cel puţin o cifră?. Câte funcţii surjective există de la o mulţime cu n + elemente la o mulţime cu n elemente?. Fie M mulţimea numerelor cuprinse între 0 şi 73 inclusiv. (a) Câte elemente are mulţimea M? (b) Câte numere din M sunt divizibile cu sau 7? (c) Câte numere din M sunt divizibile cu dar nu sunt divizibile cu 7?. Un roboţel plasat în originea cu coordonatele (0,0) poate face doar două operaţii: să meargă unitate la dreapta, sau unitate în sus. În câte feluri se poate deplasa roboţelul din origine la punctul de coordonate (m, n) dacă m, n N? Observaţi că, în total, roboţelul trebuie să facă m + n operaţii. sus (0,0) dreapta 7. La o tombolă participă bărbaţi şi 0 femei şi se acordă 3 premii de 00 lei şi premii de 00 lei. Se ştie că o persoană poate câştiga cel mult un premiu. (a) (b) (c) În câte feluri se pot acorda cele premii? În câte feluri se pot acorda cele premii dacă se ştie că exact bărbaţi sunt câştigători? În câte feluri se pot acorda cele premii dacă se ştie că nici o femeie nu a câştigat un premiu de 00 lei?
7 Generarea şi ordonarea permutărilor Permutările unei mulţimi A = {,,..., n} se pot ordona lexicografic. De exemplu, ordonarea lexicografică a permutărilor mulţimii A = {,, 3} este Permutare:,, 3, 3,,, 3, 3, 3,, 3,, Rang: 0 3 Rangul unei permutări în ordonare lexicografică este poziţia permutării în enumerarea lexicografică. Prima permutare are rangul 0. În general, dacă A = {a, a,..., a n } cu a < a <... < a n atunci rangul permutării a p, a p,..., a pn a lui A este egal cu rangul permutării p, p,..., p n a mulţimii {,,..., n}. Dacă p, p,..., p n este permutare a mulţimii {,,..., n} atunci rang p, p,..., p n = (p ) (n )! + rang p,..., p n Dacă p, p,..., p n este permutare a mulţimii {,,..., n} cu rangul r atunci r p = p = + (n )! Exemple de calcul al rangului unei permutări în ordine lexicografică:. Rangul permutării,, 3,, a mulţimii {,, 3,, } este: rang,, 3,, = ( )! + rang, 3 3,, = 7 + rang, 3,, = 7 + ( ) ( )!+rang 3,, 3 = 7+rang,, 3 = 7+( ) (3 )!+rang, 3 = rang, = 7+( ) ( )!+rang = 7+rang = 7+0 = 7.. Rangul permutării d, b, a, c a mulţimii A = { a, b, 3 c, d} cu a < b < c < d este: rang d, b, a, 3 c = rang,,, 3 = ( ) ( )!+rang,, 3 = 8+( ) (3 )!+rang, 3 = 8++rang, = 0+( ) ( )!+rang = 0+0 = 0. Exemple de calcul al unei permutări care are un rang dat: 7
8 . Ce permutare a lui {,, 3,, } are rangul 73? Trebuie calculată permutarea p, p, p 3, p, p lui {,, 3,, } astfel încât rang p, p, p 3, p, p = 73. q = 73! + = p = şi rămâne de calculat permutarea p, p 3, p, p mulţimii {,, 3 3, } cu rangul 73 (q )! = 73 7 = q = 3! + = p = şi rămâne de calculat permutarea p 3, p, p mulţimii {, 3, 3 } cu rangul (q ) 3! =! + = p3 = şi rămâne de calculat permutarea p, p mulţimii { 3, } cu rangul (q )! =! + = p = şi rămâne de calculat permutarea p mulţimii { 3} cu rangul (q )! = 0. Rezultă că p = 3. Deci permutarea lui,, 3,, cu rangul 73 este,,,, 3. Exemple de calcul al permutării care urmează după o permutare dată în ordine lexicografică:. Ce permutare urmează după permutarea,, 3, 8,,, 9, 7, 3 în ordine lexicografică? Răspuns: Mai întâi detectăm cel mai lung sufix descrescător al permutării: 9,7,3. Apoi permutăm elementul dinaintea sufixului (care este ) cu cel mai mic element din sufix care este mai mare decât (adică 7):,, 3, 8,,, 9, 7, 3,, 3, 8,, 7, 9,, 3 În final, inversăm ordinea elementelor din sufix, încât să apară în ordine crescătoare:,, 3, 8,, 7, 9,, 3,, 3, 8,, 7, 3,, 9. Ce permutare urmează după, 3,,, în ordine lexicografică? Răspuns:,, 3,, 8
9 3. Ce permutare urmează după,, 3,, în ordine lexicografică? Răspuns: nici una.. Ce permutare urmează după, 3,, 7,,, în ordine lexicografică? Răspuns:, 3,,,,, 7. Generarea şi ordonarea permutărilor cu repetiţie Reţineţi că O r-permutare cu repetiţie a unei mulţimi ordonate A = {A,..., A n } pentru care presupunem că A < A <... < A n, este A p, A p,..., A pr în care p,..., p r {,..., n} nu trebuie să fie distincte Există n r permutări cu repetiţie ale lui A = {A,..., A n }, iar acestea pot fi ordonate lexicografic. De exemplu, A = {a, b, c} are nouă -permutări cu repetiţie, iar ordonarea lor lexicografică este Permutare cu repetiţie: a, a a, b a, c b, a b, b b, c c, a c, b c, c Rang: Rangul unei r-permutări cu repetiţie A p, A p,..., A pr a lui A = {A,..., A n } în ordine lexicografică este valoarea lui q q... q r în baza n, unde q i = p i pentru toţi i. Permutarea cu repetiţie a mulţimii A = {A,..., A n } care are rangul k este A q +, A q +,..., A qr+ unde (q q... q r ) n este reprezentarea lui k în baza n, folosind r cifre. Exemple. Care este rangul 3-permutării cu repetiţie b, a, a, d a mulţimii A = { 0 a, b, c, 3 d, e} în ordine lexicografică? Răspuns: rang b, a, a, d = 003 = = 8. 9
10 . Care este -permutarea cu repetiţie a lui A = { 0 a, b, c, 3 d, e, f} cu rangul 3? Răspuns: A are elemente, deci trebuie să calculăm reprezentarea lui 9 în baza folosind r = cifre. 3 = = 0 -permutarea cu repetiţie căutată este a, b, c, f. Generarea şi ordonarea combinărilor O combinare a unei mulţimi este o submulţime a unei mulţimi. Orice submulţime a unei mulţimi ordonate A = {A, A,..., A n } are o reprezentare unică ca şir de n biţi. Valoarea în baza a acestui şir se numeşte rangul binar al submulţimii respective: De exemplu, submulţimile lui A = {a, b, c} au rangurile binare indicate în tabelul de mai jos: Observaţi că: şir binar rang binar c b a submulţime {a} 0 0 {b} 3 0 {a, b} 0 0 {c} 0 {a, c} 0 {b, c} 7 {a, b, c} Coloanele tabelului sunt enumerate în ordine descrescătoare, adică A n, A n,..., A, A. Un şir binar b n... b b reprezintă submulţimea {A i b i = }. Enumerarea submulţimilor lui A în ordine crescătoare a rangului binar se numeşte ordonare binară. Submulţimile unei mulţimi ordonate A = {A, A,..., A n } pot fi ordonate şi lexicografic. De exemplu, enumerarea lexicografică a submulţimilor lui A = {a, b, c} este, {a}, {a, b}, {a, b, c}, {a, c}, {b}, {b, c}, {c}. 0
11 Submulţimea care urmează după {A p, A p,..., A pk } în ordine lexicografică se calculează astfel: Exerciţii. Dacă {A p, A p,..., A pk } = atunci submulţimea următoare este {A }.. Dacă {A p, A p,..., A pk } = {A n } atunci nu există submulţime următoare. 3. În caz contrar, dacă p k = n atunci submulţimea următoare este {A q, A q,..., A qk } unde q i = p i pentru i < k şi q k = p k +.. În caz contrar, submulţimea următoare este {A p, A p,..., A pk, A pk +}.. Să se calculeze rangul binar al submulţimii {b, c, e} al mulţimii {a, b, c, d, e, f}. Răspuns: Submulţime f e d c b a {a, c, e} rangul binar al lui {a, c, e} este 000 = + + =.. Să se determine submulţimea lui {,, 3,, } cu rangul în ordonarea binară. Răspuns: = reprezentarea lui în baza cu biţi este 00, deci 3 Submulţime 0 0 {,, } Submulţimea căutată este {,, }. 3. Să se determine submulţimile lui A = {a, b, c, d, e} care urmeză, în ordine lexicografică, după (a) (b) {a, b, e} (c) {b, c} Răspuns: (a) Submulţimea care urmează după este {A } = {a}. (b) {a, b, e} = {A, A, A } după ea urmează {A, A 3 } = {a, c}. (c) {b, c} = {A, A 3 } după ea urmează {A, A } = {b, d}.
12 Tehnici avansate de numărare Se urmăreşte Verificarea abilităţilor de găsire a unei relaţii de recurenţă pentru rezolvarea unor probleme concrete. Utilizarea corectă a tehnicilor de rezolvare a relaţiilor de recurenţă liniară omogenă şi neomogenă. Exerciţii rezolvate. Fie a n numărul de şiruri de n biţi care nu conţin trei zerouri consecutive. (a) Să se determine o formulă de calcul pentru a n. (b) Care este valoarea lui a? Răspuns: (a) Fie s n un şir de n biţi care nu conţine 000. Numărăm în câte feluri putem construi un astfel de şir. Dacă n = 0, s n poate fi doar şirul vid, care nu conţine 000. Deci a 0 =. Dacă n = atunci s n {0, } şi s n nu conţine 000 a =. Dacă n = atunci s n {00, 0, 0, } nu conţine 000 a =. Dacă n 3 atunci distingem următoarele cazuri distincte: C. s n = s n. În acest caz s n nu trebuie să conţină 000 a n posibilităţi. C. s n = 0s n. În acest caz s n nu trebuie să conţină 000 a n posibilităţi. C3. s n = 00s n 3. În acest caz s n 3 nu trebuie să conţină 000 a n 3 posibilităţi. Conform regulii sumei, pentru n 3 avem în total a n + a n + a n 3 posibilităţi de a construi un şir s n. Am dedus relaţia de recurenţă liniară: a 0 =, a =, a =, a n = a n + a n + a n 3 dacă n 3. (b) a 3 = a 0 + a + a = 7 a = a + a + a 3 = 3 a = a + a 3 + a = a = a 3 + a + a =
13 . Fie z n numărul de şiruri de n biţi care conţin trei zerouri consecutive. (a) Să se determine o formulă de calcul pentru z n. (b) Să se calculeze valoarea lui z. Răspuns: (a) Fie s n un şir de lungime n, şi a n numărul de şiruri de lungime n care conţin 000. Observăm că: Există n astfel de şiruri s n. s n satisface exact una din urmatoarele condiţii: s n conţine 000, sau s n nu conţine 000. Rezultă că n = a n + z n. Din exerciţiul precedent ştim cun să calculăm a n pentru n 0. Deci z n = n a n unde a 0 =, a =, a = şi a n = a n + a n + a n 3 pentru n 3. (b) z = a = = Fie A n numărul de feluri în care poate fi achitată o sumă de n lei dacă aveţi la dispoziţie bancnote de leu, lei şi 0 lei (ordinea în care se plătesc bancnotele nu contează). De exemplu, A = deoarece lei pot fi achitaţi în feluri: ) 0LEI + LEU ) LEI + LEU 3) LEI + 7 LEU ) LEU (a) Să se deducă o formulă recursivă pentru calculul lui A n. (b) Folosiţi formula pe care aţi descoperit-o pentru a calcula A. Răspuns: (a) Fie S o mulţime de tipuri de bancnote posibile pentru a achita o sumă, adică S {,, 0}. Deasemenea, fie A S n în câte feluri se pot achita n lei folosind toate tipurile de bancnote din S şi doar acestea. De exemplu, A {,0} n reprezintă în câte feluri se pot achita n lei folosind cel puţin bancnotă de leu, cel puţin bancnotă de lei, şi doar bancnote de leu şi de lei. 3
14 { Este evident că A {k} dacă n este multiplu de k, n = 0 în caz contrar. Conform regulii sumei, avem: A n = A {,,0} n + A n {,} + A n {,0} + A {,0} + A n {} + A n {} + A {0} n Dacă S are cel puţin elemente şi k S atunci { 0 dacă n < k, A S n = A S n k + AS {k} n k dacă n k. (b) A = A {,,0} + A {,} + A {,0} + A {,0} + A {} + A {} + A {0}. Deoarece nu este multiplu de şi nici de 0, A {} = A {0} = 0. Deasemenea, A {} = şi A {,0} = 0 deoarece < 0. Deci A = A {,,0} + A {,} + A {,0} +. A {,,0} = A {,,0} + A {,} = = 0. A {,} = A {,} 7 + A {} 7 = A {,} 7 + = A {,} + A {} + = = A {,0} = A {,0} + A {} = 0 + =. Rezultă că A = =.. Să se rezolve relaţia de recurenţă liniară omogenă a = 8, a = 7, a n = a n a n dacă n 3. Rezolvare: Ecuaţia caracteristică a relaţiei de recurenţă este r r + = 0 r = r =. Deoarece este rădăcină cu multiplicitatea, a n este un polinom de grad înmulţit cu n : a n = (A n + B) n for all n Mai avem de calculat valorile lui A şi B: a =8 = (A + B) = A + B a =7 = ( A + B) = 8 A + B A = 9, B =. Deci a n = ( 9 n/ + /) n.
15 . Să se rezolve relaţia de recurenţă liniară neomogenă a =, a = 7, a n = a n a n + (n + n + ) n dacă n 3. Rezolvare: Ştim că soluţia acestei relaţii de recurenţă este unde a n = a (h) n + a (p) n a (h) n este o soluţie a relaţiei de recurenţă omogene a (h) n = a (h) n a (h) n a (h) n = (A n + B) n. Deoarece r = are multiplicitatea în ecuaţia caracteristică a recurenţei omogene, iar partea neomogenă este (n + n + ) n, rezultă că Din faptul că a (p) n că a (p) n = n (C n + D n + E) n. = a (p) n a (p) n + (n + n + ) n pentru toţi n 3 rezultă (( C ) n +( D C ) n+ E D+ C ) n = 0 pentru toţi n 3. Rezultă că C = 0 D C = 0 E D + C = 0 C = / D = / E = 7/ deci a n = (A n + B) n + n (n / + n/ + 7/) n = (n / + n 3 / + 7 n / + A n + B) n Din a =, a = 7 rezultă A =, B = 3, deci a n = ( n + 3) n + n (n / + n/ + 7/) n pentru toţi n 3.
16 . Să se rezolve relaţia de recurenţă liniară omogenă a 0 =, a = 7, a n = a n + a n dacă n. Rezolvare: Ecuaţia caracteristică a recurenţei liniare este r + r = 0 r =, r = a n = A ( ) n + B n = A ( ) n + B pentru toţi n 0. Mai avem de calculat valorile lui A şi B. = a 0 = 7 = a = Exerciţii propuse (Set ) } A + B A =, B = a A + B n = ( ) n.. Un şir de litere din mulţimea {a, b, c, d} este acceptabil dacă nu conţine subşirul aa. Fie A n mulţimea de şiruri acceptabile de lungime n. (a) Să se determine o formulă de calcul pentru A n. (b) Care este valoarea lui A?. Un şir de litere din mulţimea {a, b, c, d, e} este alternant dacă nu conţine două litere consecutive identice. Fie a n mulţimea de şiruri alternante de lungime n. (a) Să se determine o formulă de calcul pentru a n. (b) Care este valoarea lui a? 3. Fie x n numărul de şiruri de n biţi care nu conţin subşirul 0. Să se determine o formulă de calcul pentru x n.. Un şir de cifre zecimale este special dacă are un număr par de zerouri. Fie S n numărul şirurilor speciale de lungime n. (a) Să se găsească o formulă de calcul a lui S n. (b) Care este valoarea lui S? Structura ciclică a permutărilor Reţineţi că
17 O permutare π = p, p,..., p n reprezintă şi funcţia bijectivă π : {,,..., n} {,,..., n}, π(i) = p i pentru i n. Rezultă că putem calcula cu permutări ca funcţii: să le compunem (π π ), să le inversăm (π ), să le ridicăm la putere (π n = π }. {{.. π } ; π 0 =,,..., n ). n ori Interpretarea unei permutări π ca funcţie bijectivă cu ajutorul reprezentării poziţionale: n... π = p p... p n Un ciclu este o funcţie bijectivă π : {a, a,..., a n } {a, a,..., a n } astfel încât π(a ) = a, π(a ) = a 3,..., π(a n ) = a. Notaţia pentru un ciclu: (a, a,..., a n ) Interpretarea unui ciclu ca funcţie bijectivă: (a a... a n ) Orice permutare poate fi descompusă într-o compoziţie de cicluri disjuncte, numită structură ciclică a permutării respective. Reprezentarea permutărilor ca structuri ciclice permite studiul grupului de simetrii al unor configuraţii de interes (vezi Teoria lui Pólya). Exemple. Fie π = 7,,,, 3,,. (a) Să se indice structura ciclică şi tipul permutării π. (b) Să se calculeze permutările π şi π. Răspuns: Ştim că 3 7 π = 7 3 (a) π are structura ciclică π = (, 7, )(, )(3, ). Rezultă că tipul permutării π este [0,,, 0, 0, 0, 0] 7
18 (b) 3 7 π = π π = π = 7 3 =,,, 7, 3,,. Fie permutarea π = (, 0, 3, 7, )()(, 9)()(8,, ). (a) Să se calculeze permutările π, π 3 şi π. (b) Să se indice reprezentarea poziţională a permutării π. Răspuns: (a) π = π π = (, 3,, 0, 7)()()(9)()(8,, ) π 3 = π π = (, 7, 0,, 3)()(, 9)()(8)()() π = (,, 7, 3, 0)()(, 9)()(8,, ) (b) π = 0,, 7, 9,,,,,, 3, 8, Teoria lui Polya Oferă criterii de numărare a tuturor configuraţiilor posibile, dacă se ţine cont de grupul de simetrii al configuraţiei câte culori se pot folosi pentru a colora configuraţia respectivă. Exemple comentate: Ex. Se consideră un şirag de mărgele cu culori dintr-o colecţie de m culori. Configuraţia spaţială a şiragului este 3 Fiecare cerculeţ n reprezintă poziţia n a unei mărgele în şirag. Câte şiraguri diferite de acest fel se pot alcătui? 8
19 Răspuns: Lema lui Burnside ne permite să răspundem la această întrebare. Mai întâi determinăm operaţiile care nu modifică aranjamentul spaţial al acestei configuraţii. Mulţimea acestor operaţii se numeşte grup de simetrii al configuraţiei. În acest exemplu, grupul de simetrii G este format din operaţiile următoare: (a) Permutarea identitate (nu mută nici o mărgea): ()()(3)()()() (b) Rotaţia cu 80 în jurul mijlocului segmentului 3 : (, )(, )(3, ) 3 3 (c) Rotaţia în jurul axei verticale de simetrie: (, )(, )(3, ) 3 3 9
20 (d) Rotaţia în jurul axei orizontale de simetrie: (, )(3)()(, ) 3 3 G = { ()()(3)()()(), (, )(, )(3, ), (, )(, )(3, ), (, )(3)()(, )}. Conform lemei lui Burnside, dacă avem m culori disponibile numărul de şiraguri diferite de acest fel este N = C π, unde G π G G este numărul de permutări din G, C π este m a unde a este numărul de cicluri al permutării π. Pentru şiragul nostru, numărul de variante posibile este N = ( C ()()(3)()()() + C (,)(,)(3,) + C (,)(,)(3,) + C (,)(3)()(,) ) = ( m + m 3 + m 3 + m ) = (m + m + m 3 )/ Observaţie: Pentru a aplica Lema lui Burnside, trebuie să descoperiţi toate simetriile unei configuraţii. Lema lui Burnside se poate aplica şi pentru configuraţii spaţiale. (Vezi exemplul următor.) Ex.. În câte feluri pot fi colorate vârfurile unui tetraedru regulat cu cel mult 3 culori? Răspuns: Vom desena un tetraedru regulat cu vârfurile numerotate de la la, şi vom determina grupul de simetrii al configuraţiei tetraedrale: 3 0
21 Cea mai evidentă simetrie este permutarea identitate, care nu schimbă poziţia nici unui colţ: ()()(3)() Apoi, putem răsuci teraedrul cu 0 sau cu 0 în jurul unei înălţimi: În jurul înălţimii din vârful : ()(, 3, ), ()(,, 3) În jurul înălţimii din vârful : ()(, 3, ), ()(,, 3) În jurul înălţimii din vârful 3: (3)(, 3, ), (3)(,, 3) În jurul înălţimii din vârful : ()(,, 3), ()(, 3, ) Alt tip de simetrii răsucesc tetraedrul cu 80 în jurul uneia din cele trei axe care trec prin mijloacele a două muchii opuse: 3 (, )(3, ) (, 3)(, ) 3 3 (, )(, 3) G = { ()()(3)(), ()(, 3, ), ()(,, 3), ()(, 3, ), ()(,, 3), (3)(,, ), (3)(,, ), ()(,, 3), ()(, 3, ), (, )(3, ), (, 3)(, ), (, )(, 3)} Numărul căutat este N = (m + m ) pentru m = 3, adică (3 + 3 )/ = (8 + 99)/ =.
22 Exerciţii propuse (Set 3). Câte coliere diferite cu mărgele de cel mult 3 culori există? 3. În câte feluri se pot colora muchiile unui tetraedru cu cel mult 3 culori? 3 3. Să se calculeze numărul de colorări diferite a configuraţiei următoare cu cel mult culori. 3 7 Pólya a descoperit şi o metodă de calcul al colorărilor diferite al unei configuraţii C, daca se precizează de câte ori se foloseşte fiecere culoare: La fel ca şi pentru Lema lui Burnside, mai întâi se determină grupul de simetrii G al configurţiei C. Apoi se calculează inventarul de modele al configuraţiei C pentru m culori. Dacă configuraţia C are n componente care se colorează cu cel mult m culori y, y,..., y m, atunci inventarul de modele este polinomul F G (y,..., y m ) cu coeficienţi întregi şi variabilele y, y,..., y n astfel încât F G (y,..., y m ) = a (k,k,...,k m)y k y k... ym km k,...,k m unde fiecare a (k,...,k m) este numărul de colorări diferite a configuraţiei C cu
23 k componente colorate cu culoarea y k componente colorate cu culoarea y... k m componente colorate cu culoarea y m. F G (y,..., y m ) se poate calcula în paşi: P. Mai întâi se determină polinomul în x,..., x n : P G (x, x,..., x n ) = G M π (x, x,..., x n ) unde M π (x, x,..., x n ) = x λ x λ... x λn n şi permutarea π are tipul [λ, λ,..., λ n ]. ( m ) m m P. F G (y, y,..., y m ) = P G y i, yi,..., Exemplu ilustrat: i= i= Altfel spus, F G (y, y,..., y m ) we obţine din P G (x, x,..., x n ) înlocuind x cu y + y y m x cu y + y y m... x n cu y n + y n y n m De multe ori, calculul inventarului de modele F G (y, y,..., y m ) este foarte costisitor. Se recomandă folosirea unui sistem de calcul simbolic (de exemplu, Mathematica) pentru efectuarea de calcule cu aceste polinoame. Ex.3. Două molecule sunt izomeri dacă au aceeaşi compoziţie de atomi, dar au structuri spaţiale diferite. Molecula de naftalină are 0 atomi de carbon dispuşi în colţurile unei structuri dublu hexagonale, iar 8 din cei 0 atomi, situaţi la poziţiile numerotate în figura de mai jos, sunt legaţi la câte un atom de hidrogen: π G i= y n i (a) Naftolul se obţine înlocuind unul din atomii de hidrogen ai naftalinei de la poziţiile numerotate cu un grup hidroxil (OH). Câţi izomeri de naftol există? 3
24 (b) Tetrametilnaftalina se obţine înlocuind patru din atomii de hidrogen ai naftalinei de la poziţiile numerotate cu grupuri de metil (CH 3 ). Câţi izomeri de tetrametilnaftalină există? Răspuns: Răspunsurile la ambele întrebări pot fi găsite calculând inventarul de modele al moleculei de naftalină, căreia i se colorează nodurile numerotate de la la 8 cu două culori: roşu (r) şi galben (g). Vom considera că poziţiile colorate cu roşu sunt cele cu carbon legat la hidrogen. Atunci Coeficientul lui r 7 g este numărul de izomeri de naftol. Coeficientul lui r g este numărul de izomeri de tetrametilnaftalină. Se vede uşor că grupul de simetrii al naftalinei este G = { ()()(3)()()()(7)(8), (, )(, )(3, 7)(, 8), (, )(, 3)(, 8)(, 7), (, 8)(, 7)(3, )(, )} Rezultă că P G (x, x, x 3, x, x, x, x 7, x 8 ) = (x8 + 3 x ), deci F G (r, g) = ( r + g) (r + g ) ) = r 8 + r 7 g + 0 r g + r g 3 + r g + r 3 g g 8 Coeficientul lui r 7 g este sunt izomeri de naftol. Coeficientul lui r g este sunt izomeri de tetrametilnaftalină. Exerciţii propuse (Set ). Câte coliere diferite cu mărgele se pot forma dacă se folosesc mărgele verzi, două galbene, şi două roşii? 3. În câte feluri se pot colora muchii ale unui tetraedru cu roşu, una cu albastru, şi 3 cu galben?
25 3 3. Câte zaruri diferite se pot alcătui dacă i se numerotează feţele cu numere de la la?. Benzenul este o hidrocarbură cu atomi de carbon plasaţi în vârfurile unui hexagon regulat, şi atomi de hidrogen, fiecare legat la câte un atom de carbon. 3 (a) Câţi izomeri se pot obţine dacă în molecula de benzen se înlocuiesc doi atomi de hidrogen cu doi atomi de clor? (b) Câţi izomeri se pot obţine dacă în molecula de benzen se înlocuiesc doi atomi de hidrogen cu doi atomi de clor şi alţi atomi de hidrogen cu doi atomi de brom? Numere Stirling [ n k] = numărul Stirling de cicluri: în câte feluri pot fi puse n persoane la k mese rotunde identice astfel încât nici o masă să nu rămână neocupată. Exemplu: [ 3 ] = deoarece sunt posibilităţi de a pune 3 persoane la o masă rotundă: 3 posibilitatea ciclul (, 3, ) 3 posibilitatea ciclul (,, 3)
26 { n k} = numărul Stirling de mulţimi: în câte feluri se poate partiţiona o mulţime cu n elemente în k submulţimi nevide disjuncte. Exemplu: { 3 } = 3 deoarece sunt 3 posibilităţi de împărţire în grupuri: Formule de calcul pentru C(n, k) ( n 0) = ( n n) =. Dacă n > k > 0 atunci ( n k grup grup posibilitatea {, 3} {} posibilitatea {, 3} {} posibilitatea 3 {, } {3} ) ( = n ) ( + n k k ). Triunghiul numerelor C(n, k) (sau ( n k) ): ( n ) k k = n! n = Formule de calcul pentru [ ] n k. [ { ] n dacă n = 0 0 = 0 dacă n > 0 Dacă n atunci [ ] [ n = şi n Dacă n şi k atunci [ n k n ] = C(n, ) = n(n )/ ] [ = (n ) n ] [ + n ] k k.
27 Triunghiul numerelor [ n k] : [ n ] k k = n! n = Formule de calcul pentru { } n k { { { n } = n { n} =. n } dacă n = 0, 0 = 0 dacă n > 0. Dacă n > k atunci { } { n k = k n } { k + n k }. Triunghiul numerelor { n k} : } k = { n k n = Exerciţii rezolvate. În câte feluri se poate forma un şir de 7 caractere, dacă se folosesc doar litere din mulţimea {a, b, c, d} şi fiecare literă trebuie să apară cel puţin o dată în şir? 7
28 Răspuns: Fie s un astfel de şir, şi f(x) mulţimea poziţiilor din x unde apare litera x {a, b, c, d}. De exemplu, dacă s = aabddcb atunci f(a) = {, }, f(b) = {3, 7}, f(c) = {} şi f(d) = {, }. Se observă că f este o funcţie bijectivă de la mulţimea A = {a, b, c, d} la P, unde P este o partiţie a mulţimii de poziţii {,, 3,,,, 7} în grupuri astfel încât fiecare grup să aibe cel puţin un element. Ştim că Numărul de astfel de partiţii P este numărul Stirling de mulţimi { 7 }. Pentru fiecare astfel de partiţie P există! funcţii bijective de la A la P (deoarece A şi P sunt mulţimi cu elemente.) Conform regulii produsului, există! {7 } = 30 = 800 astfel de funcţii f, deci 800 astfel de şiruri.. Fie r n,k numărul de posibilităţi de a împărţi n persoane în k grupuri disjuncte, astfel încât fiecare grup să aibe cel puţin persoane. Folosiţi un raţionament combinatorial pentru a demonstra că, dacă n > k >, atunci r n,k = k r n,k + (n ) r n,k. Răspuns: Faptul că partea dreaptă este o sumă de termeni ne sugerează să încercăm să aplicăm regula sumei. Distingem două cazuri disjuncte: Cazul : Persoana n face parte dintr-un grup de persoane. Acest caz poate fi descompus în o secvenţă de paşi: () alegem una din celelalte n persoane care să stea la masă cu persoana n, apoi () formăm k grupuri de cel puţin persoane din clee n persoane rămase. Conform regulii produsului, acest caz se poate realiza în (n ) r n,k moduri. Cazul : Persoana n face parte dintr-un grup de cel puţin 3 persoane. Şi acest caz poate fi descompus în o secvenţă de paşi: () formăm k grupuri de cel puţin persoane cu primele n persoane, apoi () adăugăm persoana n la oricare din cele k grupuri formate la primul pas. Conform regulii produsului, acest caz se poate realiza în r n,k k moduri. Conform regulii sumei, rezultă că r n,k = (n ) r n,k + r n,k k = k r n,k + (n ) r n,k. Exerciţii propuse (Set ) 8
29 . Folosiţi un raţionament combinatorial (regula sumei, regula produsului) pentru a găsi o fomulă simplă de calcul a numărului Stirling [ ] n+ n când n.. Folosiţi un raţionament combinatorial (regula sumei, regula produsului) pentru a găsi o fomulă simplă de calcul a numărului Stirling { } n+ n când n. 3. Fie A = {a, b, c,..., x, y, z} alfabetul de caractere latine minuscule. Câte şiruri de 0 de caractere din A se pot forma dacă fiecare literă din A trebuie să apară cel puţin o dată?. Folosiţi un raţionament combinatorial pentru a demonstra că, dacă n > k >, atunci C(n, k) = C(n, k) + C(n, k ). 9
Curs 3 Permutari cu repetitie. Combinari. Algoritmi de ordonare si generare
Curs 3 Permutări cu repetiţie. Combinări. Algoritmi de ordonare şi generare Octombrie 2015 Cuprins Algoritmi de ordonare şi generare pentru permutări cu repetiţie Reprezentarea binară a submulţimilor Algoritmi
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Mai multPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim
Mai multLogică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014
Logică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014 Un exemplu: automatul de cafea acțiuni (utilizator): introdu
Mai mult1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x.
1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x. Date de intrare: arr [] = {10, 2, 14, 4, 7, 6}, x =
Mai multDAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
Mai multCOMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati
COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan
Mai multI
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
Mai multGrafuri neorinetate Aplicatii 1 Care este numărul maxim de componente conexe pe care le poate avea un graf neorientat cu 20 noduri şi 12 muchii? a. 6
Grafuri neorinetate Aplicatii 1 Care este numărul maxim de componente conexe pe care le poate avea un graf neorientat cu 20 noduri şi 12 muchii? a. 6 b. 12 c. 10 d. 15 2 Câte grafuri neorientate, distincte,
Mai multProbleme rezolvate informatica: Probleme rezolvate grafuri si a
Mai multe Creați blog Autentificare LUNI, 11 MARTIE 2013 Probleme rezolvate grafuri si arbori Probleme rezolvate de catre : Ginghina Cristian Onica Viorel Neculai Alexandru Anton Cosmin INFORMATICA Teorie
Mai multALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine număru
ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine numărul de operaţii efectuate de către un algoritm care determină
Mai multCLP_UTCN-grila-2012.dvi
Liceul: Numele: Punctaj: Prenumele: Concursul liceelor partenere cu Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Test grilă Ediţia a treia mai 0 Clasa a X-a În casuţa din stânga întrebării se va scrie litera
Mai multDorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
Mai multMetode de sortare - pregătire admitere - Conf.dr. Alexandru Popa Lect. dr. Andrei Pătraşcu Universitatea din Bucureşti 1
Metode de sortare - pregătire admitere - Conf.dr. Alexandru Popa Lect. dr. Andrei Pătraşcu Universitatea din Bucureşti 1 Cuprins Problema sortării Algoritmul de sortare prin interschimbare (Bubble sort)
Mai multSubiectul 1
Subiectul 1 În fişierul Numere.txt pe prima linie este memorat un număr natural n (n
Mai multProbleme proiect TP BITPERM Implementați un algoritm care citește de la intrarea standard două numere naturale și scrie la ieșirea standard da
Probleme proiect TP 2016 1. BITPERM Implementați un algoritm care citește de la intrarea standard două numere naturale și scrie la ieșirea standard dacă reprezentarea binară a unuia dintre numere poate
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,
Mai multClasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Mai multPrelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)
Mai multGheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Mai multCursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire
Mai multE_d_Informatica_sp_SN_2014_bar_10_LRO
Examenul de bacalaureat naţional 2014 Proba E. d) Informatică Varianta 10 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. În rezolvările cerute,
Mai mult2.1.Tipul tablou unidimensional
7. Grafuri 7.1. Grafuri neorientate - Teste grilă 1. V_88_I_5. Care este numărul minim de noduri pe care îl poate conţine un graf neorientat cu 50 de muchii, şi în care 15 noduri sunt izolate? a. 25 b.
Mai multNoțiuni matematice de bază
Sistem cartezian definitie. Coordonate carteziene Sistem cartezian definiţie Un sistem cartezian de coordonate (coordonatele carteziene) reprezintă un sistem de coordonate plane ce permit determinarea
Mai multMicrosoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0911_roman.doc
Matematika román nyelven középszint 0911 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Indicaţii
Mai multMicrosoft Word - Concursul SFERA.doc
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ SFERA EDIŢIA a II-a BĂILEŞTI, 1 martie 005 CLASA a IV-a Pentru întrebările 1-5 scrieţi pe lucrare litera corespunzătoare răspunsului corect 1. Care este numărul care
Mai multMicrosoft Word - Lab1a.doc
Sisteme de numeraţie şi coduri numerice 1.1. Sisteme de numeraţie 1.2. Conversii generale între sisteme de numeraţie 1.3. Reprezentarea numerelor binare negative 1.4. Coduri numerice 1.5. Aplicaţii In
Mai multŞcoala ………
Şcoala... Clasa a X-a Disciplina: Matematică TC + CD Anul şcolar: 07-08 TC = trunchi comun 35 săptămâni: 8 săptămâni semestrul I CD = curriculum diferenţiat Nr. ore: 3 ore / săptămână 7 săptămâni semestrul
Mai multMicrosoft Word - Curs1.docx
1. REPREZENTAREA INFORMAȚIILOR ÎN CALCULATOR 1.1. CONCEPTUL DE DATĂ ȘI INFORMAȚIE Datele desemnează elementele primare, provenind din diverse surse, fără o formă organizată care să permită luarea unor
Mai multFacultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:
Mai multSecţiunea 9-10 avansaţi Concurs online de informatică Categoria PROGRAMARE PROBLEMA 1 TEXT 100 puncte Un text este format din una sau mai multe propoz
PROBLEMA TEXT 00 puncte Un text este format din una sau mai multe propoziții separate pe linii. O propoziție este formată din două sau mai multe cuvinte separate prin câte un spațiu. Fiecare cuvânt este
Mai multMicrosoft PowerPoint - Curs_SDA_9_RO_2019_v2.pptx
SDA (PC2) Curs 9 Liste / Grafuri / Arbori Iulian Năstac Lista dublu înlănțuită Recapitulare Într-o astfel de listă fiecare nod conţine doi pointeri: unul spre nodul următor şi unul spre nodul precedent.
Mai multAlgebra si Geometri pentru Computer Science
Natura este scrisă în limbaj matematic. Galileo Galilei 5 Aplicatii liniare Grafica vectoriala In grafica pe calculator, grafica vectoriala este un procedeu prin care imaginile sunt construite cu ajutorul
Mai multE_d_Informatica_sp_MI_2015_bar_02_LRO
Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. d) Informatică Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializările: matematică-informatică matematică-informatică intensiv informatică Toate subiectele
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7
Mai multAnaliz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Mai multFIŞA DISCIPLINEI
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1.Instituţia de învăţământ superior Universitatea SPIRU HARET 1.2.Facultatea Inginerie, Informatică şi Geografie 1.3.Departamentul Informatică şi Geografie 1.4.Domeniul
Mai multNoțiuni de bază ale criptografiei
CIFRURI DE SUBSTITUŢIE Clasificarea metodelor simetrice 1. Cifruri substituţie; 2. Cifruri transpoziţie; 3. Cifruri combinate. CIFRURI DE SUBSTITUŢIE Cifruri de substituţie monoalfabetică (monoalphabetic
Mai multTEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:
TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins
Mai multŞiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
Mai multCursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai multSubiecte_funar_2006.doc
Clasa a VIII-a A. 1. Exista numere n Z astfel încât n si n+ sa fie patrate perfecte? (Gheorghe Stoica) A. 2. Se considera A N o multime cu 7 elemente si k N*. Aratati ca ecuatia 4x 2 4ax+b 2 +10k = 0,
Mai multSlide 1
Arhitectura Sistemelor de Calcul Curs 8 Universitatea Politehnica Bucuresti Facultatea de Automatica si Calculatoare cs.pub.ro curs.cs.pub.ro Structura SIMD Cuprins Probleme de Comunicatii intre Procesoarele
Mai multSSC-Impartire
Adunarea Înmulțirea Numere și operații în virgulă mobilă 1 Împărțirea cu refacerea restului parțial Împărțirea fără refacerea restului parțial 2 Primul operand: deîmpărțit (X) Al doilea operand: împărțitor
Mai multConcursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r car
Concursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r care satisfac simultan următoarele condiții: qr p 4 1
Mai multEcuatii si sisteme de ecuatii neliniare 1 Metoda lui Newton Algorithm 1 Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. Date de intrare: - Funcţia f - Apro
Ecuatii si sisteme de ecuatii neliniare Metoda lui Newton Algorithm Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. - Funcţia f - Aproximaţia iniţială x - Eroarea admisă ε - Numărul maxim de iteraţii ITMAX
Mai multLimbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; pa
Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; paranteze: (, ); simbolul de egalitate =; cuantificatorul
Mai multLecții de pregă,re la informa,că Admitere 2019 Tema: Discutarea problemelor date la ul,mele sesiuni de admitere Bogdan Alexe
Lecții de pregă,re la informa,că Admitere 2019 Tema: Discutarea problemelor date la ul,mele sesiuni de admitere Bogdan Alexe bogdan.alexe@fmi.unibuc.ro Cuprinsul lecției de azi Enunțuri și rezolvări pentru
Mai multCoordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),
Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + +
Mai multCursul 10 Fractali de tip Newton Vom prezenta în continuare o nouă modalitate de generare a fractalilor, modalitate care îşi are originea într-o probl
Cursul 10 Fractali de tip Newton Vom prezenta în continuare o nouă modalitate de generare a fractalilor, modalitate care îşi are originea într-o problemă formulată în anul 1879 de Arthur Cayley (1821 1895)
Mai multPerformanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a
Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a 6.02.2016 si 13.02.2016 Material intocmit de prof. BAJAN MARIANA
Mai multProbleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică ş
Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Academiei 4, RO 0004, Bucureşti, România
Mai multLogică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014
Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014 Relații în lumea reală și informatică Noțiunea matematică de
Mai multCURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),
CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul
Mai multBARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA ianuarie Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că
BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA 019 9 ianuarie 019 1. Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că x şi y sunt divizibili cu 11.. Fie Γ un cerc de centru
Mai multIntroducere
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic AEACD 17. Segmentarea imaginilor: Region-based segmentation. Graph Theory In Image Segmentation Region-based segmentation
Mai multMD.09. Teoria stabilităţii 1
MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,
Mai multgaussx.dvi
Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care
Mai multLaborator Implementarea algoritmului DES - Data Encryption Standard. Exemplu DES Algoritmul DES foloseşte numere b
Laborator 4 1.04-5.04.2019 8.04-12.04.2019 1. Implementarea algoritmului DES - Data Encryption Standard. Exemplu DES Algoritmul DES foloseşte numere binare. Fiecare grup de 4 biţi reprezintă un număr hexazecimal.
Mai multGrafuri - Concepte de baza. Tipuri de grafuri. Modalitati de reprezentare
Concepte de bază. Tipuri de grafuri. Modalităţi de reprezentare Mircea Marin Departamentul of Informatică Universitatea de Vest din Timişoara mircea.marin@e-uvt.ro 9 noiembrie 2018 Introducere Ce este
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Mai multOPERATII DE PRELUCRAREA IMAGINILOR 1
OPERATII DE PRELUCRAREA IMAGINILOR Prelucrarea imaginilor 2 Tipuri de operatii de prelucrare Clasificare dupa numarul de pixeli din imaginea initiala folositi pentru calculul valorii unui pixel din imaginea
Mai multprograma_olimpiada_matematica_IX-XII_
R O M  N I A MINISTERUL EDUCAłIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI DIRECłIA GENERALĂ MANAGEMENT ÎNVĂłĂMÂNT PREUNIVERSITAR CONSILIUL NAłIONAL PENTRU CURRICULUM ŞI EVALUARE ÎN ÎNVĂłĂMÂNTUL PREUNIVERITAR PROGRAMA
Mai multBacktracking_2018
Facultatea de Matematică și Informatică Lecții de pregătire Admitere 2019 Rezolvarea problemelor folosind metoda backtracking Exemplu: ieșirea din labirint 2 Exemplu: aranjarea a n regine 3 Exemplu: rezolvarea
Mai mult20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do
SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul
Mai multLogică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu
Logică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu casandra@cs.upt.ro https://tinyurl.com/lectureslsd Mulțimi aspecte teoretice Ce sunt mulțimile? Mulțimea e un concept matematic fundamental. Definiție
Mai multSpatii vectoriale
Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale
Mai multPachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL
Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.
Mai multMatematici aplicate științelor biologie Lab05 MV
LP05 - PREZENTAREA DATELOR STATISTICE (1) Obiective: I. Prezentarea datelor prin tabele - Întocmirea tabelului de evidenţă primară Acest tabel conţine valori de observaţie distincte x i ale caracterului
Mai multMicrosoft Word - Algoritmi genetici.docx
1.1 Generalităţi Algoritmii genetici fac parte din categoria algoritmilor de calcul evoluționist și sunt inspirați de teoria lui Darwin asupra evoluției. Idea calculului evoluționist a fost introdusă în
Mai multConcurs online de informatică Categoria PROGRAMARE Secţiunea 5-6 avansaţi PROBLEMA puncte DANS De 1 Iunie - Ziua Copilului se organizează un spe
PROBLEMA 1 DANS De 1 Iunie - Ziua Copilului se organizează un spectacol de dans cu şi pentru copii. Acesta este programat să se desfăşoare în intervalul orar 10.30-12.00. În spectacol se înscriu n trupe
Mai multMicrosoft Word - Curs_08.doc
Partea a II-a. Proiectarea bazelor de date Capitolul 6. Tehnici de proiectare şi modele În capitolele precedente s-au analizat modele de baze de date şi limbaje, presupunând în cele mai multe cazuri că
Mai multMicrosoft Word - a5+s1-5.doc
Unitatea şcolară: Şcoala cu cls. I-VIII Sf. Vineri Profesor: Gh. CRACIUN Disciplina: Matematică Clasa a V-a / 4 ore pe săpt./ Anul şcolar 007-008 PROIECTAREA DIDACTICĂ ANUALĂ Număr săptămâni: 35 Număr
Mai multCapitole Speciale de Informatică Curs 4: Calculul scorurilor în un sistem complet de extragere a informaţiilor 18 octombrie 2018 Reamintim că în cursu
Capitole Speciale de Informatică Curs 4: Calculul scorurilor în un sistem complet de extragere a informaţiilor 18 octombrie 2018 Reamintim că în cursul precedent am prezentat modelul de spaţiu vectorial
Mai multMicrosoft Word - Curs_10.doc
Capitolul 8. Proiectarea logică Scop - construirea unei scheme logice ce reprezintă corect şi eficient toate informaţiile descrise într-o schemă entitate-relaţie Etape: Restructurarea schemei E-R fază
Mai multAproximarea functiilor prin metoda celor mai mici patrate
Aproximarea funcţiilor prin metoda celor mai mici pătrate Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 2017-2018
Mai multOperatorii in C Expresii Operatori aritmetici Operatori de asignare Operatori de incrementare si decrementare Operatori relationali Operatori logici O
Operatorii in C Expresii Operatori aritmetici Operatori de asignare Operatori de incrementare si decrementare Operatori relationali Operatori logici Operatii pe biti Operatorul conditional Operatori Logici
Mai multMicrosoft Word - TIC5
CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE CAPITOLUL 5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE În Capitolul 3, am văzut că putem utiliza codarea sursă pentru a reduce redundanţa inerentă a unei surse de informaţie
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen
Mai multDETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG
UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA SI FIZICA NUCLEARA BN-03 B DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG. Scopul lucrării Determinarea
Mai multANEXA NR. 4 INSCRIPTIONAREA AUTOMOBILELOR CNVCD 1. Panourile şi numere de competiţie Sunt aceleaşi cu numerele de licenţă ale piloţilor. Numerele şi p
ANEXA NR. 4 INSCRIPTIONAREA AUTOMOBILELOR CNVCD 1. Panourile şi numere de competiţie Sunt aceleaşi cu numerele de licenţă ale piloţilor. Numerele şi panourile aplicate pe automobilele de competiţii, prin
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele
Mai multLUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL Aspecte generale Programarea neliniară are o foart
LUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL 0 8.. Aspecte generale Programarea neliniară are o foarte mare importanţă în rezolvarea problemelor de optimizări,
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 4 2019 Anca Ignat Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Fie matricea nesingulară A nn şi b n. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare Ax=b se poate face folosind regula
Mai multAnaliză de flux de date 29 octombrie 2012
Analiză de flux de date 29 octombrie 2012 Analiză statică: definiţie O analiză a codului sursă (fără a executa programul), cu scopul de a determina proprietăţi ale programului sursă. (in principal corectitudinea,
Mai multfIŞE DE LUCRU
FIŞE DE LUCRU MICROSOFT OFFICE EXCEL FORMULE ŞI FUNCŢII EXCEL Obiective Aplicarea operaţiilor elementare şi a conceptelor de bază ale aplicaţiei Excel Utilizarea opţiunilor de formatare şi gestionare a
Mai multETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți
Seminar Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferențiale Folosind transformata Laplace, putem reolva ecuații și sisteme diferențiale. Cu ajutorul proprietăților transformatei
Mai multMicrosoft Word - V_4_Inmultirea_nr_nat.doc
3 Înmulţirea numerelor naturale De acum, pentru înmulţire vom folosi semnul în loc de Ex În loc de 32 9 vom scrie 32 9 Dacă a şi b sunt două numere naturale, prin produsul lor vom înţelege a b Ex a) Produsul
Mai multUNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot
Mai multSUBPROGRAME
SUBPROGRAME Un subprogram este un ansamblu ce poate conţine tipuri de date, variabile şi instrucţiuni destinate unei anumite prelucrări (calcule, citiri, scrieri). Subprogramul poate fi executat doar dacă
Mai multMETODE NUMERICE ÎN INGINERIE
METODE NUMERICE ÎN INGINERIE REZOLVAREA NUMERICĂ A SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE Aspecte generale (1) (2) (3) (4) (5) Unicitatea soluţiei Un sistem de ecuaţii liniare are o soluţie unică numai dacă matricea
Mai multNr. 932 din Avizat ISJ Vâlcea, Inspector școlar informatică, Ciochină Luisa EXAMEN DE ATESTARE A COMPETENȚELOR PROFESIONALE A ABSOLVENȚILOR
Nr. 932 din 12.12.2018 Avizat ISJ Vâlcea, Inspector școlar informatică, Ciochină Luisa EXAMEN DE ATESTARE A COMPETENȚELOR PROFESIONALE A ABSOLVENȚILOR DE MATEMATICĂ INFORMATICĂ ȘI MATEMATICĂ INFORMATICĂ,
Mai multCursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont
Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi
Mai multPrelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi
Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte
Mai multclasa I Se recomandă citirea enunţurilor de către învăţător. 1. Continuă numărarea şi află câţi morcovi a mâncat iepuraşul. 6, 7, 8, 9,. A) 3 B) 10 C)
clasa I Se recomandă citirea enunţurilor de către învăţător.. Continuă numărarea şi află câţi morcovi a mâncat iepuraşul. 6, 7, 8, 9,. A) B) 0 C) D) 9 E). Vecinul mai mic al numărului 70 este: A) 60 B)
Mai multALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja f
ALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja far Mohammed ibn Musâ al- Khowârizmî în cartea sa intitulată
Mai mult