Universitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x

Transcriere

1 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima formulă trigonometrică fundamentală sin x + cos x 1 obţinem: 8 sin x 1 cos x 1 Valoarea expresiei E ctg 0 cos 90 sin 15 este: (6 pct ( 1 1 b 9 a 1; b ; c ; d 1 ; e 0; f 1 Soluţie Se observă că unul dintre factorii numărătorului este nul (cos 90 0 deci E 0 e Altfel Aplicând formula sin(x y sin x cos y sin y cos x pentru x 60 şi y 5 obţinem sin 15 sin 60 cos 5 sin 5 cos E ( 1/( 0 Altfel Aplicând formula sin x 1 cos x pentru x 15 rezultă sin 15 1 cos 0 1 ( / deci sin 15 Folosind formula a ± a + c b ± a b şi varianta cu obţinem c 1 şi a a + c a c 1 1 b sin deci E ( 1/( 0 a c unde c a b pentru 1 1 Să se determine valoarea parametrului m R ştiind că punctul A(m aparţine dreptei de ecuaţie d : x + y (6 pct a 1 ; b 1; c 0; d 1 ; e ; f 1 15 Soluţie Punctul A se află pe dreapta d doar dacă coordoatele sale satisfac ecuaţia dreptei Prin înlocuire directă obţinem: m + m 1 deci m 1 16 d 19 Se consideră triunghiul ABC în care AB 1 BC ˆB Atunci AC este: (6 pct 17 a ; b 1 ; c ; d 1; e 1 ; f 18 Soluţie Cunoaştem unghiul ˆB şi laturile aferente din triunghi AB şi BC deci aplicăm teorema cosinusului cos ˆB AB + BC AC AB BC de unde rezultă AC 1 şi deoarece AC > 0 obţinem AC AC 1 AC d Altfel Considerăm triunghiul dreptunghic isoscel MNP cu unghiurile ˆM ˆN ˆP şi laturile 0 MN MP 1 NP Se observă că triunghiurile ABC şi MNP sunt congruente (cazul LUL 1 cu BA NM 1 BC NP şi ˆB ˆN deci AC MP 1 Altfel Înălţimea BA dusă din B pe AC are lungimea BA AC cos ˆB 1 Dar segmentul BA are aceeaşi lungime cu distanţa minimă BA de la B la AC şi A AC deci A A Prin urmare unghiul coincide cu şi este de mărime Triunghiul dreptunghic ABC este isoscel (Ĉ ˆB ˆB 5 6 deci AC AB 1 Enunţuri şi soluţii UPB 019 * G1-1

2 5 În triunghiul ABC are loc relaţia cos ˆB + cos Ĉ sin ˆB + sin Ĉ Atunci sin este: (6 pct 7 a ; b 1; c 1 ; d 1 ; e 1; f 8 Soluţie Ridicând la pătrat relaţia din enunţ se rescrie: cos ˆB + sin ˆB sin ˆB cos ˆB cos Ĉ + sin Ĉ sin Ĉ cos Ĉ Aplicând formula trigonometrică fundamentală cos x + sin x 1 şi formula de arc dublu sin x cos x sin x pentru x ˆB şi pentru x Ĉ relaţia devine 9 0 Folosind egalitatea sin x sin y sin x y Există două posibilităţi: (i sin( ˆB Ĉ 0 care conduce la 1 sin ˆB 1 sin Ĉ sin ˆB sin Ĉ 0 cos x + y pentru x ˆB şi x Ĉ obţinem: sin( ˆB Ĉ cos( ˆB + Ĉ 0 (1 ˆB Ĉ {k k Z} ˆB Ĉ 0 ˆB Ĉ triunghi isoscel ceea ce conduce folosind relaţia din enunţ la cos ˆB sin ˆB sin ˆB cos ˆB cos ˆB sin ˆB cos ˆB sin ˆB Dar cos ˆB 0 (altfel cos ˆB 0 B iar egalitatea cos ˆB sin ˆB 1 devine 0 1 fals Deci împărţind egalitatea cos ˆB sin ˆB prin cos ˆB obţinem tg B 1 ˆB Însă deoarece ˆB Ĉ rezultă B C ( ˆB + Ĉ deci sin 1 (ii Dacă cos( ˆB + Ĉ 0 folosind ( ˆB + Ĉ obţinem cos 0 sin 1 În final obţinem sin 1 e 5 6 Altfel Folosind formulele cos x+cos y cos x+y cos x y şi sin x+sin y sin x+y cos x y pentru x ˆB şi y Ĉ egalitatea din enunţ devine cos ˆB + Ĉ cos ˆB Ĉ sin ˆB + Ĉ cos ˆB Ĉ ( ( ˆB Ĉ cos cos ˆB + Ĉ Distingem două cazuri: (i cos ˆB Ĉ 0 ˆB Ĉ ˆB +c imposibil; (ii cos ˆB + Ĉ 0 Folosind egalităţile ˆB + Ĉ şi cos( x sin x sin( 7 sin sin şi cum (0 (0 cos 8 obţinând tg 1 deci sin 1 9 Altfel sin x y Folosind formula cos x sin ( x pentru x ˆB şin x cos x + y sin ˆB + Ĉ 0 sin ˆB + Ĉ x cos x pentru x rezultă 0 putem împărţi egalitatea prin cos 0 şi apoi de egalitatea ˆB + Ĉ relaţia din enunţ se rescrie: ( sin ˆB sin ˆB sin (Ĉ Ĉ sin ( sin ˆB sin (Ĉ 0 sin ( sin ˆB ( ˆB + Ĉ Ĉ urmată de sin x sin y cos (Ĉ sin cos(ĉ ˆB 0 cos Distingem două cazuri: (i ( sin ˆB + Ĉ 0 ˆB + Ĉ 0 ˆB + Ĉ ; 0 1 şi (ii cos(ĉ ˆB 0 Ĉ ˆB Ĉ + ˆB deci egalitatea din enunţ devine cos ˆB + cos( + ˆB sin ˆB + sin( + ˆB Folosind formulele sin( + x cos x şi cos( + x sin x pentru x ˆB obţinem cos ˆB sin ˆB sin ˆB + cos ˆB sin ˆB 0 imposibil deoarece ˆB (0 sin ˆB > 0 În concluzie singurul caz care produce soluţii este (i sin 1 Enunţuri şi soluţii UPB 019 * G1 -

3 6 Aria triunghiului de vârfuri A(0 0 B( 0 C(1 1 este: (6 pct a 1; b 1 ; c ; d ; e ; f 1 5 Soluţie Folosind formula ariei A a triunghiului de vârfuri A(x A y A B(x B y B C(x C y C : A 1 x A y A 1 x B y B 1 x C y C Altfel Folosind formula distanţei dintre două puncte din plan obţinem 1 1 a AB (x B x A + (y B y A (0 + ( şi similar BC CA Este evident că aceste laturi verifcă egalitatea BC + CA AB deci triunghiul este dreptunghic isoscel şi A 1 AB BC 1 1 Altfel Reprezentând grafic cele trei puncte în sistemul cartezian xoy se observă că acestea determină triunghiul ABC în care înălţimea corespuzătoare bazei AB este de lungime h 1 deci aria triunghiului este A b h Să se calculeze sin 105 (6 pct a 6 ; b 6+ ; c 6 ; d 6+ ; e ; f 6 Soluţie Folosind formula sin(x + y sin x cos y + sin y cos x pentru x 60 şi y 5 obţinem sin 105 sin 60 cos 5 + sin 60 cos deci sin d Altfel Folosind formula sin(x + y sin x cos y + sin y cos x pentru x 90 şi y 15 obţinem sin 105 sin 90 cos 15 + sin 15 cos 90 cos 15 1+cos x Din formula de arc pe jumătate cos x aplicată pentru x 15 obţinem 1 + cos 0 cos ( / + Rescriem numărătorul folosind formula a + a + c a c b + cu c a b pentru a b şi obţinem c 1 şi cos 15 5 În final sin 105 cos Altfel Aplicând formula de unghi dublu sin x pentru x 0 obţinem 1 cos x pentru x 105 şi formula cos( + x cos x 55 deci sin 105 sin cos cos 0 + Se continuă ca la primul răspuns 1 + ( / + 8 Aflaţi valoarea parametrului m R\{0} astfel încât unghiul format de vectorii ū 56 ī j şi v ī + m j să fie 6 (6 pct 57 a 1; b 5; c ; d ; e ; f 58 Soluţie Unghiul α 6 format de cei doi vectori satisface egalitatea cos α ū v ū v m 1 + m m + 1 m Enunţuri şi soluţii UPB 019 * G1 -

4 Ridicând relaţia obţinută la pătrat rezultă (m + 1 m m + m + m 0 m(m + 0 m {0 } Deşi ambele valori obţinute pentru m satisfac egalitatea iniţială se observă că din enunţ avem condiţia m 0 deci singura soluţie acceptabilă este m f 9 Dreapta ce trece prin punctele A(0 1 şi B(1 0 are ecuaţia: (6 pct a x + y 1; b x y 1; c x + y 0; d x y 1; e x y 0; f x + y 1 Soluţie Aplicăm formula dreptei care trece prin punctele A şi B: x x A y y A x 0 x B x A y B y A 1 0 y 1 x + y 1 a 0 1 Altfel Folosim faptul că problema are variante de răspuns de tip grilă (cu o singură variantă corectă Se observă că coordonatele celor două puncte din enunţ satisfac doar ecuaţia dreptei indicate de varianta a 10 Distanţa de la punctul A( 1 la dreapta de ecuaţie x y este: (6 pct a 1; b ; c ; d ; e ; f Soluţie Folosim formula distanţei δ de la punctul A(x A y A la dreapta d : ax + by + c 0 δ ax A + by A + c δ c a + b 11 Mulţimea soluţiilor ecuaţiei cos x + sin x 1 din intervalul [ ] 0 67 este: (6 pct a { } { } { ; b 0 ; c 6 } { ; d 6 } { } { } ; e 0 6 ; f 0 68 Soluţie Folosind formula de arc dublu cos x 1 sin x şi apoi notând y sin x ecuaţia devine (1 y + y 1 y(y 1 0 y { 0 1 } Folosind ipoteza x [0 ] rezultă imediat că y sin x [0 1] deci ambele soluţii convin Din egalitatea 69 sin x y pentru soluţiile obţinute rezultă respectiv x {0 6 } e 70 1 Determinaţi valoarea parametrului m R astfel încât dreptele d1 : mx + y 0 şi d : x y + m să fie paralele (6 pct a 0; b ; c 1; d ; e ; f Soluţie Dreptele sunt paralele sau confundate doar dacă coeficienţii lui x şi y sunt corespunzător proporţionali deci m m 1 Dar pentru m 1 proporţionalitatea tuturor coeficienţilor celor două drepte revine la egalităţile Ultima egalitate fiind falsă rezultă că dreptele sunt distincte În concluzie pentru m 1 75 dreptele din enunţ sunt paralele c Valoarea parametrului m R pentru care vectorii ū mī + j şi v ī + j sunt perpendiculari este: (6 pct a 1; b ; c 1; d 0; e ; f Soluţie Cei doi vectori sunt perpendiculari dacă şi numai dacă produsul lor scalar este nul deci: ū v 0 m ( m + 0 m e Lungimea razei cercului circumscris unui triunghi echilateral de latură este: (6 pct a 1; b 1 ; c ; d ; e 1 ; f Soluţie Raza R a cercului circumscris triunghiului echilateral reprezintă / din înălţimea acestuia (centrul cecului circumscris coincizând cu ortocentrul şi cu centrul de greutate Dar înălţimea triunghiului echilateral de latură l este h l deci pentru l rezultă h Atunci R h d Enunţuri şi soluţii UPB 019 * G1 -

5 Se dau vectorii ū ī + j şi v ī + j Atunci vectorul ū v este: (6 pct a j; b j; c ī + j; d 10ī j; e 8ī; f ī + 6 j Soluţie Prin calcul direct grupând coeficienţii vectorilor ī şi j obţinem ū v (ī + j ( ī + j 10ī j d Enunţuri şi soluţii UPB 019 * G1-5