Spatii vectoriale

Transcriere

1 Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017

2 ii

3 Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale Codarea mesajelor Mesajele transmise, cum ar fi datele provenite de la un satelit, sunt intotdeauna supuse interferentelor. E important asadar sa putem cripta mesajele in asa fel incat, dupa ce sunt alterate de interferente, sa poata fi decriptate la forma lor originala. Acest lucru se face uneori prin repetarea mesajului de doua sau trei ori, un lucru de altfel comun si in vorbire. Insa multiplicarea informatiilor stocate intr-un computer va duce la supraincarcarea memoriei acestuia. E important sa incercam sa gasim cai de a decoda mesajele dupa ce sunt distorsionate de interferente. Acest proces se numeste coding. Un cod care detecteaza erorile 1

4 intr-un mesaj distorsionat de interferente (scrambled message) se numeste detector de erori. Daca, in plus, poate corecte erorile se numeste corector de erori. Tehnici de baza de coding: Cele mai multe mesaje sunt trimise sub forma unui sir digital de 0-uri si 1-ri, ca de exemplu sau , asadar sa presupunem ca vrem sa transmitem mesajul Acest cuvant binar poate reprezenta un cuvant adevarat ca si cumpara sau o intreaga propozitie cumpara actiuni. O varianta de criptare a lui 1011 ar fi sa ii atasam o coada binara in asa fel incat daca mesajul este deformat, sa zicem in 0011, putem sa detectam eroarea. O astfel de coada poate fi 1 sau 0, in functie de numarul de 1-uri din mesaj. Mai precis adaugam un 1 daca avem un numar impar de 1-uri in cuvantul binar transmis si 0 daca avem un numar par. In acest fel toate cuvintele criptate vor avea un numar par de 1-uri. Deci 1011 va fi codificat ca si Acum daca acest mesaj este deformat in stim ca a aparut o eroare din moment ce avem un numar impar de 1-ri. Aceasta metoda de detectare a erorilor se numeste verificarea paritatii si e prea simpla pentru a fi utila. De exemplu daca doua cifre sunt schimbate, metoda noastra nu va detecta eroarea. Alta abordare ar fi sa repetam de doua ori mesajul si sa transmitem Acum daca este receptionat, stim ca una din cele doua copii a fost deformata. Si aceasta metoda da rezultate slabe si nu este prea des folosita. O tehnica avansata de codare: codul Hamming In anii 50 R.H. Hamming a introdus o metoda de corectare a unei singure erori care e acum cunoscuta ca find codarea Hamming. Pentru a examina detaliile acestei tehnici avem nevoie de cateva notiuni de algebra liniara. Spatii vectoriale peste corpul K = Z 2 Multimea Z 2 = {0, 1} a resturilor la impartirea cu 2 impreuna cu adunarea si inmultirea definite mai jos: = 1, = 1, = 0, = = 0, 1 0 = 0, 1 1 = 1, 0 0 = 0 formeaza un corp. Reamintim ca structura de spatiu vectorial a lui R n este data de adunarea vectoriala: (x 1, x 2,..., x n ) (y 1, y 2,..., y n ) := (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) si inmultirea cu scalari: λ (x 1, x 2,..., x n ) := (λx 1, λx 2,..., λx n ) pentru x 1, x 2,..., x n, y 1, y 2,..., y n si λ numere reale. Analog echipam Z n 2 cu o adunare vectoriala definita de adunarea binara pe componente si o inmultire cu scalari (0 sau 1). De exemplu in Z 3 2 avem: (1, 0, 1) (1, 1, 0) = (0, 1, 1) 0 (1, 0, 1) = (0, 0, 0) 2

5 Echipata cu aceste operatii multimea Z n 2 devine un spatiu vectorial peste corpul K = Z 2 si putem discuta despre liniar independenta, sisteme de generatori, subspatii, dimensiune. Spre deosebire de R n spatiul vectorial Z n 2 contine un numar finit de 2 n vectori. Codul Hamming (7, 4): pentru doua numere intregi k n, un subspatiu vectorial alui a Z n 2 de dimensiune k se numeste cod liniar (n, k). Consideram matricea H cu elemente in Z 2 a carei coloane notate c 1, c 2,..., c 7 sunt formate din cei 7 vectori nenuli din Z 3 : H = Subspatiul liniar: x 1 x 1 0 x 2 x ker H := Z : H =... 0 x 7 poarta numele de codul Hamming (7, 4) Se poate arata ca: x 7 B = {(1, 0, 0, 0, 0, 1, 1), (0, 1, 0, 0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1, 1, 1, 1)} formeaza o baza a spatiului vectorial ker H. Matricea G ale carei linii sunt elementele bazei B se numeste matricea generatoare a codului Hamming (7,4): G := Mai jos explicam procedura codului Hamming si corectarea erorilor dar pentru aceasta trebuie sa facem urmatoarele remarci. Fie {e 1, e 2,..., e 7 } baza canonica in Z 7 2. Putem verifica relatiile He i = c i pentru orice i = 1, 7 si prin urmare niciunul dintre vectorii bazei canonice nu se afla in ker H. 1. Daca v apartine lui ker H atunci v + e i nu apartin lui ker H pentru orice i. 2. Daca v este un vector din Z 7 2 pentru care exista un i astfel ca Hv = c i atunci v + e i apartine lui ker H si pentru j i avem ca v + e j nu apartin acestei multimi. 3

6 Algoritmul pentru corectarea erorilor cu codul (7,4) Sa presupunem ca vrem sa transmitem un cuvant u constand din patru cifre binare u 1, u 2, u 3, u 4, si presupunem ca acesta ar putea fi deformat de interferente care ii schimba doar o componenta. Fie w cuvantul primit. 1. Pentru a coda u, formam combinatia liniara v a elementelor din baza B de mai sus cu cele patru componente a lui u ca si coeficienti. De fapt v poate fi obtinut din cuvantul original prin inmultirea cu matricea G: ) v = ( u 1 u 2 u 3 u 4 G Prin constructie vectorul v apartine ) lui ker H. De remarcat ca rezultatul calculului ( u 1 u 2 u 3 u 4 G este un vector cu sapte componente ale carui prime patru componente reprezinta mesajul original. 2. Se calculeaza Hw, unde H este matricea descrisa mai sus. 3. Daca Hw = 0, atunci w partine lui ker H. Astfel, prezenta unei singure erori va insemna ca w nu apartine lui ker H. In acest caz concluzionam ca nu au existat deformari si u este reprezentat de primele patru componente ale lui w. 4. Daca Hw = c i pentru un anumit i, atunci v + e i este un vector din ker H iar v + e j nu apartine lui ker H pentru j i. In acest caz schimbam componenta a i-a in w (de le 0 la 1 sau de la 1 la 0) si obtinem un nou vector w. Primele sale patru componente vor fi acum reprezentate de cuvantul u In tehnica de mai sus cuvintele trimise sunt foarte scurte: doar 4 componente. In realitate mesajele electronice contin mult mai multe componente si decodarea nu poate fi facuta decat cu ajutorul calculatorului, calculele fiind enorme. O problema cu codul Hamming (7,4) este ca nu poate detecta mai mult de o eroare. Puteti exersa cele prezentate mai sus: Problema: Am receptionat mesajul w = criptat cu ajutorul codului Hamming (4, 7). Stim ca s-a scurs cel mult o eroare in transmisia sa. Aflati mesajul original. 4

7 Notiuni teoretice: un spatiu vectorial (V,,, K) peste corpul (K, +, ) este reprezentat de catre o multime V ale carei elemente se numesc vectori (putem sa ni-i imaginam ca fiind niste imagini) pe care am definit o operatie de adunare (simpla lipire a imaginilor) si de scalare (marire-micsorare a imaginilor). Operatiile mai sus amintite trebuie sa satisfaca urmatoarele axiome: A 1 : Nu conteaza ordinea in care lipim imaginile, obtinem aceeasi panorama u ( v w) = ( u v) w, u, v, w V A 2 : Exista o imagine nula care prin lipire nu schimba nimic 0 V, v 0 = 0 v = v A 3 : Exista o imagine inversa care prin lipire anuleaza totul v, ( v), v ( v) = ( v) v = 0 S 1 : Daca scalam imaginea β% si apoi α% este ca si cum am scala (α β)% α (β v) = (α β) v, α K, v V S 2 : Daca scalam α% doua imagini lipite este ca si cum am lipi intai imaginile scalate α% anterior α ( u v) = (α u) (α v) S 3 : Putem lipi imagini scalate diferit dupa regula (α v) (β v) = (α + β) v S 4 : O scalare 100% nu modifica imaginea 1 v = v 5

8 un sistem de vectori S = {v 1, v 2,..., v p } ai unui spatiu vectorial se numeste liniar independent daca: λ 1 v 1 + λ 2 v λ p v p = θ = λ 1 = λ 2 =... = λ p = 0. Practic S este un sistem liniar independent daca niciun vector din S nu se poate exprima ca o combinatie liniara de vectori din S. Mod practic de studiu al liniar independentei: Fie (V,,, K) un spatiu vectorial si B c = {e 1, e 2,..., e n } o baza canonica a sa. Pentru stabilirea liniar independentei unui sistem de p vectori: S = {v 1, v 2,..., v p } se exprima fiecare dintre acestia in functie de vectorii bazei B c. Matricea formata cu coeficientii (scalarii) acestor reprezentari o notam cu A. Daca: rang(a) = numar de vectori ai sistemului S = p atunci S este liniar independent. Remarca: O baza canonica a spatiului IR 3 este: e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1) O baza canonica a spatiului IR 2 [X] este: e 1 = X 2, e 2 = X, e 3 = 1. O baza canonica a spatiului M 2 (IR) este: E 1 = 1 0, E 2 = 0 1, E 3 = 0 0, E 4 = un sistem de vectori S = {v 1, v 2,..., v p } se numeste sistem de generatori a spatiului vectorial V daca pentru orice vector v V exista scalarii λ 1, λ 2,..., λ p K astfel ca: v = λ 1 v 1 + λ 2 v λ p v p. Adica orice vector al spatiului se poate exprima ca o combinatie liniara a vectorilor sistemului S. 6

9 Mod practic de studiu al sistemelor de generatori: Fie (V,,, K) un spatiu vectorial si B c = {e 1, e 2,..., e n } o baza canonica a sa. Pentru a stabili daca un sistem de p vectori: S = {v 1, v 2,..., v p } este un sistem de generatori a lui V se exprima fiecare dintre acestia in functie de vectorii bazei B c. Matricea formata cu coeficientii (scalarii) acestor reprezentari o notam cu A. Daca: rang(a) = dimensiunea spatiului vectorial V = n atunci S este sistem de generatori. Baza a spatiului vectorial= sistem lin. independent+sistem de generatori daca relativ la o baza B = {e 1, e 2,..., e n } avem scrierea: v = α 1 e 1 + α 2 e α n e n numim α 1, α 2,..., α n coordonate ale vectorului v relativ la baza B si notam: si α 1 α 2 [v] B =.. α n daca B 1 = {e 1, e 2,..., e n } si B 2 = {e 1, e 2,..., e n} sunt baze in (V, +,, K) e 1 = a 11 e 1 + a 21 e a n1 e n e 1 = a 12 e 1 + a 22 e a n2 e n e n = a 1n e 1 + a 2n e a nn e n se numeste matricea de trecere de la baza B 1 la baza B 2 matricea: a 11 a a 1n a 21 a a 2n T B1B 2 = a p1 a p2... a pn daca T B1B 2 loc relatiile: si: este matricea de trecere de la baza B 1 la baza B 2 atunci au T B1B 2 [v] B2 T B1B 2 = T 1 B 2B 1 = T B1B T BB2 = T 1 B 1B 2 [v] B1. 7

10 Probleme rezolvate Problema 1. Putem forma o baza a lui R 3 care sa contina vectorii: v 1 = (1, 2, 3) si v 2 = (1, 1, 0)? Solutie: Spatiul vectorial R 3 are dimensiunea 3 si vom avea nevoie de trei vectori pentru a forma o baza a sa. Daca dorim ca acesti doi vectori sa faca parte din aceasta baza (pe care trebuie sa o construim) atunci v 1 si v 2 trebuie sa fie liniar independenti. Verificam liniar independenta acestora folosind criteriul practic de studiu al liniar independentei. O baza canonica in R 3 este: B c = {e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1)} In functie de acesti vectori avem urmatoarele reprezentari: v 1 = 1 e e e 3 v 2 = 1 e e e 3 Coordonatele lui v 1, v 2 relativ la baza canonica se colecteaza in matricea: 1 1 A = Deoarece rang A = 2 = numar de vectori = v 1, v 2 sunt liniar independenti. Orice sistem de vectori liniar independenti poate fi completat la o baza a spatiului vectorial. Vom afla vectorul lipsa notand-ul v 3 = (a, b, c). Daca dorim ca v 1, v 2 si v 3 sa formeze o baza aceasti vectori trebuie sa formeze impreuna un sistem liniar independent si un sistem de generatori. Oricare dintre aceste doua conditii se traduc, datorit criteriilor enuntate anterior in fisa seminarului, prin: 1 1 a det 2 1 b c caci doar astfel rangul matricei, formate cu coordonatele vectorilor relativ la baza canonica, este 3=numar de vectori=dimensiunea spatiului. Gasim destul de usor ca pentru a = 1, b = 0, c = 0 se obtine un determinant nenul. Asadar putem completa cu v 3 = (1, 0, 0) cei doi vectori pentru a forma baza B = {v 1, v 2, v 3 }. 8

11 Problema 2. Sa se scrie matricea de trecere de la baza B 1 = {3X + 1, 5X + 1} la baza din R 1 [X]. B 2 = {X + 3, X + 2} Solutie: Metoda 1: Scriem vectorii din baza B 2 in functie de vectorii din baza B 1 : X + 3 = α(3x + 1) + β(5x + 2) si dupa ce identificam coeficientii obtinem sistemul de ecuatii: { 1 = 3α + 5β 3 = α + 2β cu solutia α = 13, β = 8 Analog X + 2 = γ(3x + 1) + δ(5x + 2) si dupa ce identificam coeficientii: { 1 = 3γ + 5δ 2 = γ + 2δ cu solutia α = 12, β = 7 Prin urmare matricea de trecere este: T B1B 2 = Metoda 2: Intotdeauna putem afla usor matricea de trecere de la baza canonica a spatiului la o baza data In acest caz baza canonica este B c = {1, X} si matricea de trecere de la baza B c la baza B 1 este: T BcB 1 = iar de la B c la B 2 : T BcB 2 = Putem alfa matricea de trecere de la baza B 1 la B 2 folosind formula: T B1B2 = T B1B c T BcB 2 dar noi stim T BcB 1, legatura cu T B1B c este: T B1B c = T 1 B cb 1 9

12 deci: T B1B2 = T B1B c T BcB 2 = T 1 B cb 1 T BcB 2 = = Problema 3. Vectorul v R 3 are relativ la baza: B = {w 1 = (1, 1, 0), w 2 = (1, 0, 0), w 3 = (1, 1, 1)} coordonatele ( 1, 2, 1). Care sunt coordonatele sale relativ la baza canonica din R 3? Care sunt coordonatele sale relativ la baza: B 1 = {u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (1, 2, 1), u 3 = (1, 2, 1)}? Soluţie: Din enunt deducem ca: 1 [v] B = 2 1 prin urmare, avem reprezentarea: v = 1(1, 1, 0) + 2(1, 0, 0) + 1(1, 1, 1) = (0, 0, 1) Asadar vectorul v este de fapt vectorul (0, 0, 1) din R 3. Intrucat, in mod natural, vectorii din R 3 sunt reprezentati relativ la baza canonica, avem: 0 [v] Bc = 0 1 Pentru a afla coordonatele lui v relativ la baza B 1 putem sa utilizam fie coordonatele sale relativ la baza B fie relativ la baza B c. Relatiile schimbare a coordonatelor la o schimbare a bazei sunt: deci [v] B1 = T B1B[v] B = T B1B c T BcB[v] B = T 1 B cb 1 T BcB[v] B [v] B1 = Putem folosi coordonatele relativ la baza canonica si atunci: [v] B1 = T B1B c [v] Bc = T 1 B cb 1 [v] Bc =

13 Remarca: Motivul pentru care matricea de trecere de la o baza la alta se obtine trecand coordonatele vectorilor pe coloane tine de cele doua moduri in care putem scrie relatia de mai sus. Daca dorim sa exprimam [v] B1 sub forma unei matrice linie [v] B1 = (a, b, c) atunci in matricea de trecere de la o baza la alta nu trebuie sa asezam coordonatele pe coloane si obtinem relatii de tipul urmator: ( ) [v] B1 = [v] Bc T B1B c = [v] Bc T 1 B cb 1 = In ambele cazuri obtinem: [v] B1 = Putem verica faptul ca: v = (0, 0, 1) = 1 2 u u u 3 Remarca: Putem sa discutam despre perpendicularitatea vectorilor (ortogonalitate) daca introducem un produs scalar intre vectorii unui spatiu vectorial. De exemplu pentru doi vectori v = a 1 e 1 +b 1 e 2 +c 1 e 3 si w = a 2 e 1 +b 2 e 2 +c 2 e 3 putem defini: v w = a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 In felul acesta spunem ca doi vectori v, w sunt ortogonali v w = 0 Prin calcul se poate observa ca vectorii bazei B 1 sunt ortogonali doi cate doi. La fel si vectorii bazei canonice. Problema 4. Teoria curbelor Bezier, folosita in animatia 3D, se bazeaza pe ideea ca urmatoarele polinoame, numite polinoame Bernstein: p k = C k nx k (1 x) n k, k = 0, n formeaza o baza pentru multimea R n [X] a polinoamelor de grad cel mult n. Verificati daca: formeaza o baza in R 2 [X]. p 0 = (1 X) 2, p 1 = 2X(1 X) p 2 = X 2, 11

14 Soluţie: Metoda 1: Avand trei vectori p 0, p 1, p 2 intr-un spatiu 3-dimensional este suficient sa testam ca deta 0 datorita celor doua criterii de studiu a liniar independentei si al sistemelor de generatori. Formam intai matricea coordonatelor relativ la baza canonica B c = {X, X, 1}: Asadar: p 0 = 1 X 2 2 X p 1 = 2 X X p 2 = 1 X X A = si verificam deta = 2 0 = ranga = 3=numar de vectori=dim R 2 [X]. = p 0, p 1, p 2 formeaza o baza a lui R 2 [X]. Metoda a doua: Putem sa consideram functiile polinomiale asociate celor trei polinoame: p 0 (x) = (1 x) 2, p 1 (x) = 2x(1 x), p 2 (x) = x 2. Pentru a arata ca cele trei functii obtinute sunt liniar independente aratam ca wronskianul asociat este nenul: p 0 (x) p 1 (x) p 2 (x) W (p 0, p 1, p 2 )(x) = p 0(x) p 1(x) p 2(x) 0, x R p 0(x) p 1(x) p 2(x) (1 x) 2 2x(1 x) x 2 W (p 0, p 1, p 2 )(x) = 2(1 x) 2x + 2(1 x) 2x = 4 0, x R Folosim apoi propozitia: Intr-un spatiu vectorial n-dimensional orice sistem de n vectori liniar independenti formeaza o baza a sa. Problema 5. Sa se arate ca pentru o matrice oarecare A M n n (R) multimea: kera := { v M n 1 (R) : A v = 0} formeaza un subspatiu vectorial al lui M n 1 (R). Soluţie: In kera se afla toti vectorii coloana care in urma aplicarii matricei A devin vectorul coloana nul. O submultime S a unui spatiu vectorial este subspatiu vectorial daca si numai daca: α, β K, v, w S = α v + β w S asadar orice combinatie liniara de vectori din S trebuie sa ramana in S. 12

15 In cazul nostru va trebui sa aratam ca: α, β R, v, w kera = α v + β w kera Fie asadar v, w kera, adica A v = 0 si A w = 0. Observam ca: A(α v + β w) = αa v + βa w = α 0 + β 0 = 0 deci si α v + β w este transformat tot in 0 de catre matricea A. = α v + β w kera. 13

16 Probleme propuse Problema 1. In matematica de liceu apare de multe ori rationamentul numit identificarea coeficientilor. De fiecare data in spatele scenei sta ascuns un spatiu vectorial: In multimea numerelor complexe stim ca: a + bi = c + di a = c, b = d Deci am identicat coeficientii. i) Arati ca V = C impreuna cu adunarea si inmultirea cu scalari din K = C este un spatiu vectorial si B = {1, i} este o baza a acestuia. Doua polinoame de grad trei p = a 1 X 2 + b 1 X + c 1 si q = a 2 X 2 + b 2 X + c 2 sunt egale a 1 = a 2, b 1 = b 2 si c 1 = c 2 ii) Arati ca V = {ax 2 + bx + c : a, b, c R} impreuna cu adunarea polinoamelor si inmultirea cu scalari din K = R este un spatiu vectorial si B = {1, X, X 2 } este o baza a acestuia. Doua matrice de ordin doi A = a b si B = x y sunt egale c d z t a = x, b = y, c = z si d = t. iii) Care este spatiul vectorial care permite aceasta identificare? Cum arata o baza a sa? Putem sa interpretam matricele ca pe niste vectori multidimensionali? Problema 2. Aratati ca multimea: V = {(x, y, z, t) R 4 : 2x 3y + z t = 0} impreuna cu adunarea si inmultirea cu scalari obisnuite din R 4 formeaza un spatiu vectorial. Problema 3. Sa se studieze daca urmatoarele sisteme de vectori sunt liniar independente. In caz contrar, sa se determine un subsistem S maximal liniar independent, precum si dependenta liniara a acestora: a) S = {p 1 = X 2 +7X+8, p 2 = X 2 +3X+2, p 3 = X 2 X+1} IR 2 [X]. b) S = {v 1 = (1, 1, 1), v 2 = (1.0, 2), v 3 = (0, 1, 3)} IR 3 Problema 4. Sa se studieze care din sistemele de vectori date sunt sisteme de generatori pentru spatiile mentionate: a) S = {p 1 = X 2 + X + 1, p 2 = X 2 + X, p 3 = X 2 } IR 2 [X] b) S = A 1 = 1, A 2 = 1, A 3 = M 2,1(IR) c) S = {v 1 = (i, 0, i), v 2 = (0, i, 0), v 3 = (2i, i, 2i)} lc 3. 14

17 Problema 5. Fie sistemele de vectori: B 1 = {f 1 = (1, 1, 0), f 2 = (1, 0, 0), f 3 = (1, 1, 2)} B 2 = {g 1 = (1, 1, 3), g 2 = (1, 1, 2), g 3 = (3, 2, 4)}. a) Aratati ca B 1 si B 2 sunt baze ale spatiului vectorial IR 3 b) Aflati matricea de trecere T B1B 2 c) Sa se determine coordonatele vectorului v relativ la baza B 1 daca acesta este dat prin v = 2g 1 + g 2 + 3g 3. Problema 6. Fie baza B = {v 1 = (2, 1), v 2 = (3, 2)} IR 2. Se cere: a) Sa se determine baza B 1 IR 2 stiind ca T BB1 = a) Sa se determine baza B 2 IR 2 stiind ca T B2B = Problema 7. Sa se arate ca vectorii v 1 = (1, 1, 1), v 2 = (1, 1, 0) si v 3 = (1, 0, 0) formeaza o baza pentru IR 3 si sa se determine coordonatele vectorului u = (1, 2, 3) in aceasta baza. 15