Concursul Interjudeţean de Matematică Cristian S. Calude Galaţi, 26 noiembrie 2005 Inspectoratul Şcolar al Judeţului Galaţi, Societatea de Ştiinţe Mat

Transcriere

1 Cocursul Iterjudeţea de Matematică Cristia S. Calude Galaţi, 6 oiembrie 005 Ispectoratul Şcolar al Judeţului Galaţi, Societatea de Ştiiţe Matematice di Româia, Filiala Galaţi şi catedra de matematică a Colegiului Naţioal Vasile Alecsadri Galaţi orgaieaă, î fiecare a, î lua octombrie sau oiembrie, Cocursul Itejudeţea de Matematică Cristia S. Calude. Î aul şcolar cocursul a programat iiţial pe data de 9 octombrie 005, dar datorită apariţiei virusului H5N (gripa aviară) î apropierea judeţului Galaţi şi a uei deciii a Miisterului Educaţiei şi Cercetării, cocursul a fost amâat petru 6 oimbrie 005. Deşi pe data de 6 oiembrie 005 îvâtămîtul preuiveristar era î grevă cocursul s-a desfăşurat şi la el s-au îscris 403 de elevi di Republica Modova (Chişiău), Bucureşti şi di 0 judeţe: Suceava, Brăila, Braşov, Buău, Costaţa, Galaţi, Iaşi, Tulcea, Vaslui, Vracea care au participat la ediţia a VI-a a acestui cocurs, orgaiat sub patroajul domului profesor Cristia S. Calude, fost elev al Colegiului Naţioal Vasile Alecsadri Galaţi şi, î preet, profesor la Uiveritatea di Aucklad, Noua Zeeladă.Subiectele, soluţiile şi reultatele coursului pot fi cosulatate pe Iteret la adresa Î cotiuare vă preetăm subiectele propuse la această ediţie a cocursului. Clasa a V-a Să se determie u umăr de 3 cifre, ştiid că produsul lui cu 7 se termiă cu 64. Mariaa Ato, Galaţi a) Să se determie umărul umerelor cu 4 cifre care au cifra miilor si cifra uitatilor. b) Să se determie umărul umerelor cu 5 cifre care îdepliesc codiţiile : cifra ecilor de mii şi cifra uitaţilor sut, iar cifra miilor, sutelor si respectiv ecilor sut disticte ître ele. a) De-a lugul uui gard sut pomi fructiferi. Numărul fructelor di oricare pomi vecii difera cu. Se culeg toate fructele di toţi pomii. Numărul total al fructelor poate fi 47? Justificaţi răspusul. b) Să se determie toate umerele aturale eule petru care! +! + 3! ! este pătrat perfect. (se defieşte! = 3...,ude este umăr atural eul) Clasa a VI-a Fie S = a) Câte umere aturale sut î acest şir fiit de aduări şi scăderi? b) Arătaţi că S este pătrat perfect.

2 c) Este umărul atural S diviibil cu 369? Gheorghe Huţau, Galaţi (problema G:877 di RMG r.5/005) I. Să se afle cardialul mulţimii A ì 005! ( x, y ) N N y x 7 N ü = í Î Î ý î þ. Romeo Zamfir, Galaţi II. Se ordoeaă crescător umerele aturale scrise î baa 0 umai cu cifrele 0,,,3 şi 4. a) Câţi ditre primii 000 de termei ai şirului au ultima cifră egală cu. b) Preciaţi care este al 005 -lea terme al şirului. c) Să se scrie umărul atural 00 (3) î baa 5, ude idicele repreită baa de umeraţie. Mariaa Coadă, Galaţi I. Fie Î N, ³. Să se determie umerele aturale impare eule a, a, a3,..., a ştiid că: a + a a = + şi a < a <... < a. Rodica şi Dumitru Băla, Galaţi II. U umăr de şase cifre de forma abcdef se umeşte iteresat dacă a f + b e + c d = 66. Să se arate că suma tuturor umerelor iteresate de şase cifre se divide cu 3. Ioaa şi Gheorghe Crăciu, Plopei, Prahova (problema CG:008 di RMG r.5/005 Clasa a VII-a Fie pătratul ABCD şi E mijlocul laturii [ ] [ AC ] î puctul F. Să se arate că puctele C, B, F sut coliiare. Ioel Patriche, Galaţi AB. Dreapta DE iterseacteaă perpediculara î A pe Î iteriorul triughiului ABC se cosideră puctele M si N astfel îcât S ABM º SMBN º S NBC si S ACM º S MCN º NVCB. Ştiid că S BAC º S CMN, aflaţi măsura S BAC. Petre Batrâetu, Galaţi a) Arataţi că " k Î N, b) Scrieţi fracţia 005 =. k( k + ) k k + ca o sumă de 005 uitaţi fracţioare diferite (pri uitate fracţioară îţelegem o fracţie cu umărătorul egal cu, adică, m N Î ). m c) Determiaţi 005 fracţii mai mici ca fracţia şi mai mari decat fracţia, astfel îcât toate fracţiile să aibă acelaşi umărător şi umitorii umere aturale cosecutive. Câte di fracţiile găsite sut reductibile? Petre Batrâetu, Galaţi

3 Să se determie mulţimea: ( ) Clasa a VIII-a {, } A = x y Î Z Q x + + x + = y. Totolici Mihai, Galaţi Tăiem o piramidă triughiulară SABC SABC pritr-u pla paralel cu baa ABC. Fie D, E, F puctele de itersecţie ale acestui pla cu muchiile SA, SB, SC. Dacă plaul secat se deplaseaă paralel cu el îsuşi, să se afle locul geometric descris de puctul de itersecţie al plaelor AEF, BDF, CDE. Se dă u segmet [ AB] î pla. Spuem că u puct C di pla este acceptabil petru segmetul [ AB ] dacă petru orice puct D de pe segmetul ( AC ) avem CB < DB. Se cere să se găsească toate puctele C di pla care sut acceptabile petru segmetul [ AB ] şi petru care AC + CB este maximă. Prof. Uiv. Dr. Cristia S. Calude, Uiversitatea Aucklad, Noua Zeeladă Clasa a IX-a a)să se stabilească valoarea de adevăr a propoiţiei: a + b " a, b umere reale, a < şi b < < + ab prelucrare, Dumbravă Vasile,Galaţi b)să se determie umerele reale a petru care: x + ( a + ) x + ³ 0, petru orice x umăr îtreg. prelucrare, Costati Ursu, Galaţi Să se determie puctele P di iteriorul triughiului ascuţitughic ABC petru care: uuur uuur uuur a PA + b PB + c PC = 4 S ude a, b, c sut lugimile laturilor, iar S este aria triughiului ABC. a) Se cosideră u umăr atural prof. Costati Ursu, Galaţi ³ şi mulţimile P { ( i, k ) i k, i, k {,,..., } } ( ) {(, ) (, ) {,,..., } (, ) } = < Î, M = i k ÎP i k ÎP Þ " mî k m ì P. Care este umărul maxim de elemete di mulţimea M? Justificare. b) Pe o dreaptă sut marcate 005 pucte diferite. Fiecare puct este colorat cu o sigură culoare ditre patru culori date. Să se demostree că există u segmet (îchis) care coţie două pucte de două culori diferite şi cel puţi u puct colorat cu o culoare di celelalte două culori rămase. prelucrare Costati Ursu, Galaţi

4 Clasa a X-a Fie A A A3 A4 u patrulater covex cu vârfurile A, A, A 3, A 4, de afixe,, 3 respectiv, astfel îcât 4 a) = = 3 = 4 = r b) - = r c) mi a ( a ) = aîr 4 4 r Să se arate că A A A3 A4 este trape isoscel. Băla Dumitru si Rodica Dumitru, Galaţi é Să se afle k Î Z dacă este adevărată egalitatea: [ ] ù k x = ê k x - x +, " x Î[ 0;) ë ú û Vasile Popa, Galaţi Fie ABCD u patrulater iscriptibil, { } AM DN N Î ( CD ) cu = = k, MN Ç EF = { O}, ude k > 0. MB NC a) Să se determie k astfel îcât MN ^ EF. AE b) Petru valoarea lui k, aflata la puctul a), să se arate că ED segmetului ( EF ). A B Î M R, Fie ( ) a) dacă A B B A b) dacă. Să se demostree că: =, atuci ( A B ) A = I, ude N c) dacă A B O det + ³ 0. I = AC Ç BD, AD P BC, E pr I, F pr I, Vasile Popa, Galaţi Clasa a XI - a Î +, atuci det ( A I ) det ( A I ) =, atuci ( I A B A B ) det ³ 0. Să se demostree că dacă şirul de umere reale ( ) + ³ -. SILVIU - STŐSSEL 3 3 a+ + a < < a+ + a, " Î N, atuci şirul este coverget. D. M. Bătieţu N = = M Î ( AB ), AD AD MO BF = = şi că O este mijlocul ON FC a satisface codiţiile: a < Î + a şi

5 a ³ u şir de umere reale mooto crescător, astfel îcât a ³, Fie ( ) " ³, iar ( x ) şi ( y ) ³ ³ å é + [ k ak ] ù, y [ ] =å ak, ude [ ] două şiruri de umere reale, defiite pri x = ê ú a repreită partea k = ë k û k = ³ este u şir de umere reale strict poitive cu proprietatea îtregă aumărului real a. Dacă ( ) ( a ) + x - y lim = 0, să se calculee lim. Da Seclăma Clasa a XII-a æ ö Se dă fucţia f : I R, f ( x ) = arcsi x + 3 arccos x + arcsi ( x - x ) " x Î I = ç - ;. Fie è ø F ³ u şir de fucţii F : I R, F ' fucţie derivabilă petru orice Î N, F ( x) = f ( x ), ( ) ( ) ( ) F x F x ' + =, x I k ( x ) limå Fk. = æ ö " Î şi " Î N. Dacă F ç = şi F è3 p ø Emil Dumiterscu, Galaţi æ! ö ç =, " ³ 3 p, să se determie è ø Fie M o multime evidă şi o lege de compoiţie, defiită astfel :, (, ) M M M x y x y, asociativă, cu proprietatea ca există N, x y = y x, " x, y Î M. ) Să se arate că x y = y x, " x, y Î M. ) Dacă î plus legea are elemet eutru şi orice elemet di M este simetriabil (iversabil), atuci fucţia f : M M, p f ( x ) = x, " x Î M, ude p Î N, ( -, p ) =, este o fucţie surjectivă. Mari Dolteau, Galaţi Fie a, b R, a b Î <, I ( a, b) ( ) =, " x Î I. ( ) ( ) f g x h x Î ³,astfel îcât ( ) = şi fucţiile cotiue f, g, h : I I, h bijectivă cu proprietatea ) Să se arate ca fucţiile f şi g sut bijective. I = a, b sau I = ( a, b] sau I = [ a, b] reultatul de mai sus u se mai ) Arataţi că dacă [ ) păstreaă. Vasile Popa, Galaţi

6 LISTA PREMIANŢILOR Petru elevii care au obţiut cele mai mari puctaje, la liceu şi la gimaiu, s-au acordat urmaătoarele premii: Marele premiu al cocursului : ALEXANDRU SAVA elev î clasa a XII-a la Colegiul Naţioal Vasile Alecsadri Galaţi Premiul special petru gimaiu : ANDREI GAVRILĂ elev î clasa a V-a la Colegiul Naţioal Uirea Focşai Clasa a V-a Premiul I: VASILE PÎRVU, Colegiul Naţioal Uirea Focşai Premiul II :DANIEL TOTOLICI, Colegiul Naţioal Vasile Alecsadri Galaţi Premiul III :ANDRU MOCANU, Colegiul Naţioal Uirea Focşai Clasa a VI-a Premiul I: PAUL COSMA, Colegiul Naţioal Vasile Alecsadri Galaţi Premiul II :DAN DĂNĂILA, Colegiul Naţioal Vasile Alecsadri Galaţi Premiul III : MĂDĂLINA BOLBOCEANU, Şcoala Geerală r. 0 Focşai Clasa a VII-a Premiul I: DORIN CUCOŞ, Colegiul Naţioal Vasile Alecsadri Galaţi ANA MARIA CREŢU, Şcoala Geerală r. Buău MARIUS TIBA, Colegiul Naţioal Costache Negrui Iaşi Premiul II :CIPRIAN COCU, Colegiul Naţioal Vasile Alecsadri Galaţi TUDOR NICULESCU, Şcoala Geerală r.56 Jose Marti Bucureşti Premiul III : u s-a acordat (coform regulametului cocursului se pot acorda cel mult cici premii) Clasa a VIII-a Premiul I: IULIA PLEŞCA, Colegiul Naţioal Emil Racoviţă Iaşi Premiul II :IOANA OLAN, Colegiul Naţioal Costache Negrui Iaşi Premiul III :ANDRA CONSTANTINESCU, Colegiul Naţioal Costache Negrui Iaşi Clasa a IX-a Premiul I: ANDREI COZMA, Colegiul Naţioal Emil Racoviţă Iaşi Premiul II: COSMIN BURTEA, Colgiul Naţioal Mircea cel Bătrâ Costaţa Premiul III: SERGIU RUŢĂ, Colegiul Naţioal Iaşi Clasa a X-a Premiul I: RADU FRUNZĂ, Colegiul Naţioal Iaşi Premiul II: ALEXANDRU CEPOI, Colegiul Naţioal Ştefa cel Mare Suceava Premiul III: MIRCEA COŞBUC, Colegiul Naţioal Iaşi Clasa a XI-a Premiul I: ALIN IOAN, Colegiul Naţioal Nicolae Bălcescu Brăila Premiul II: ANDREI CARAGEA, Liceul Pedagogic Costache Negri Costaţa Premiul III: ANDREI DRAGOMIR, Colegiul Naţioal Mirecea cel Bătrâ Costaţa Clasa a XII-a Premiul I: MARIUS PACHIŢARIU, Colegiul Naţioal Iaşi

7 Premiul II: OVIDIU BRATU. Colegiul Naţioal Nicolae Bălcescu Brăila Premiul III: REMZI IBRAM, Colegiul Naţioal Mircea cel Bătrâ Costaţa