E_c_matematica_M_mate-info_2017_var_02_LRO

Transcriere

1 Matmatică M_mat-info Toat subictl sunt obligatorii. S acordă punct din oficiu. Timpul d lucru fctiv st d or. 5p. S considră numărul compl z + i. Arătați că z z zz 9 5p. Dtrminați numărul ral m, știind că punctul (, ) f +. 5p. Rzolvaţi în mulţima numrlor ral cuaţia ( )( ) Varianta + +, und z st conjugatul lui z. A m aparțin graficului funcții f : R R, log log. 5p 4. Calculaţi probabilitata ca, algând un număr din mulțima numrlor natural d două cifr, acsta să aibă cifra zcilor strict mai mică dcât cifra unităților. 5p 5. În rprul cartzian Oy s considră punctl (,) A, B (,) și C (,). Dtrminaţi lungima mdiani din C a triunghiului ABC. π 5p 6. Arătați că ( + tg ) cos ( + ctg ) sin, pntru oric,. + y + z. S considră matrica A( a) a și sistmul d cuații + y + az, und a st y + z număr ral. dt A 9. 5p a) Arătați că ( ) 5p Dtrminați valoril ral al lui a pntru car sistmul ar soluți unică. 5p Dmonstrați că, dacă sistmul ar soluția (, y, z ), cu, y și z numr ral nnul, atunci + y + z + y + z.. P mulțima numrlor ral s dfinșt lga d compoziți y y y p a) Arătați că y ( )( y ) , pntru oric numr ral și y. 5p Dtrminați numrl ral, știind că. a 5p Dtrminați numărul ral a, știind că 5p S considră funcţia f :(, + ) R, f ( ) ln a) Arătaţi că f '( ) + ln ( ), (, + ). 5p Dtrminați cuația asimptoti orizontal spr + la graficul funcții f. 5p Dmonstrați că ln. S considră funcţia f : 5p a) Arătați că 5p Arătaţi că >, pntru oric (, ) f d. 7 f d R R, f ( ) +. 5p Dtrminați numărul natural nnul n, pntru car suprafaţa plană dlimitată d graficul funcţii g : R R, g ( ) f ( ), aa O şi drptl d cuaţii și n ar aria gală cu n n +. Probă scrisă la matmatică M_mat-info Varianta Pagina din

2 Matmatică M_mat-info BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta Pntru oric soluţi corctă, chiar dacă st difrită d ca din barm, s acordă punctajul corspunzător. Nu s acordă fracţiuni d punct, dar s pot acorda punctaj intrmdiar pntru rzolvări parţial, în limitl punctajului indicat în barm. S acordă punct din oficiu. Nota finală s calculază prin împărţira la a punctajului total acordat pntru lucrar.. z z zz i i ( i)( i) i 9 p. f m + m m p. log sau log sau 4, car convin p 4. Mulțima numrlor natural d două cifr ar 9 d lmnt, dci sunt 9 d cazuri posibil p Mulțima numrlor natural d două cifr, car au cifra zcilor strict mai mică dcât cifra unităților ar 6 d lmnt, dci sunt 6 d cazuri favorabil p nr. cazuri favorabil 6 p nr. cazuri posibil 9 5 p 5. M (,), und punctul M st mijlocul sgmntului AB 6. CM p sin cos + tg cos + ctg sin + cos + sin cos sin ( π cos + sin sin + cos ), pntru oric,.a) A( 9) 9 dt ( A( 9) ) 9 Probă scrisă la matmatică M_mat-info Varianta Pagina din p 6 + ( ) + ( 8) ( 8) ( 9) ( ) dt A a a 9 a Sistmul ar soluți unică dt ( A( a) ), dci a R \ { 9} Sistmul ar soluția (, y, z ), cu, y și sistmului st d forma ( 5 α, 7 α, α ), α R y z 5α ( 7α ) α α ( 5α ( 7α ) α ) ( y z ) z numr ral nnul, dci a 9 și soluția p.a) y y y p y y y + 7 7, pntru oric numr ral și y p p

3 ( + 7) 7, dci ( ) ( 7)( 6) 7 a + + sau p a a 7 a p.a) f ' ( ) ( ) ln ( ) ( ) + ln + ln ( ) ( ), (, + ) p ln lim f ( ) lim lim Drapta d cuați y st asimptotă orizontală spr + la graficul funcţii f p g :(, + ) R, g ( ) ln g '( ) ln Funcția g st strict crscătoar p (, + ) și, cum g ( ).a) ln >, pntru oric (, + ) +, dci g '( ) > pntru oric (, ) lim, obținm g ( ) > +, dci ( f ( ) ) d ( + ) d d p f ( ) d ( + ) d ( ) p 4 4 n n n g A g d d n n n n + n n + n p p Probă scrisă la matmatică M_mat-info Varianta Pagina din

4 Matmatică M_şt-nat Varianta Filira tortică, profilul ral, spcializara ştiinţ al naturii Toat subictl sunt obligatorii. S acordă punct din oficiu. Timpul d lucru fctiv st d or. a n n, ştiind că a 4 și a 7. 5p. Dtrminați al trila trmn al progrsii aritmtic 4 +. Arătați că ( ) 5p. S considră și soluțiil cuații p. Rzolvaţi în mulţima numrlor ral cuaţia p 4. Calculaţi probabilitata ca, algând un număr din mulțima numrlor natural d două cifr, acsta să fi multiplu d 5. 5p 5. În rprul cartzian Oy s considră punctl A (,), B (,) și C (, ) ral. Dtrminați numărul ral a, știind că punctl A, B și C sunt coliniar. 5p 6. S considră triunghiul ABC cu AB 4, AC 4 și. S considră matrica A( ) 5p a) Arătați că ( ) dt A. A A y 5p Dmonstrați că a, und a st număr sin C. Calculați sin B., und st număr ral. yi, pntru oric numr ral și y, und I. a a+ a+ 5p Dtrminați numărul ral a, știind că A( ) A( ) A( ) A( 7). S considră polinomul. f X + mx + X 4, und m st număr ral. 5p a) Pntru f. 5p Arătați că, dacă polinomul f s divid cu X +, atunci rstul împărțirii lui f la X + st gal cu. 5p Dtrminați numărul ral m, știind că , und, și sunt rădăcinil polinomului f S considră funcţia f : R R, f ( ). ( + 6) 5p a) Arătaţi că f '( ), R. 5p Dtrminați cuaţia tangnti la graficul funcţii f în punctul d abscisă, situat p graficul funcții f. m, arătați că 5p Dmonstrați că funcția f st convă p [ 5, + ).. S considră funcţia f : 5p a) Arătați că 4 d. f ( ) f R R, +. 5p Dtrminați primitiva F a funcţii f, știind că F 5p Dtrminați numărul natural n, știind că n π +. 4 f d ln5. Probă scrisă la matmatică M_şt-nat Varianta Filira tortică, profilul ral, spcializara ştiinţ al naturii Pagina din

5 Matmatică M_şt-nat BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta Filira tortică, profilul ral, spcializara ştiinţ al naturii Pntru oric soluţi corctă, chiar dacă st difrită d ca din barm, s acordă punctajul corspunzător. Nu s acordă fracţiuni d punct, dar s pot acorda punctaj intrmdiar pntru rzolvări parţial, în limitl punctajului indicat în barm. S acordă punct din oficiu. Nota finală s calculază prin împărţira la a punctajului total acordat pntru lucrar.. r a a a p. + 4, p p 4. Mulțima numrlor natural d două cifr ar 9 d lmnt, dci sunt 9 d cazuri posibil p În mulțima numrlor natural d două cifr, multiplii d 5 sunt numrl 5,, 45, 6, 75 și 9, dci sunt 6 cazuri favorabil p nr. cazuri favorabil 6 p nr. cazuri posibil 9 5 p 5. a m AB, mac p a mab mac a 6. 4 AB AC sin B sin C sin B 4 p.a) A dt ( A( ) ) p y y A( ) A( y) y y y yi, pntru oric numr ral și y p a a+ a+ a+ A( ) A( ) A( ) A( ) a+ a+ A( ) A( 7), d und obținm a p.a) f X X X f p Probă scrisă la matmatică M_şt-nat Varianta Filira tortică, profilul ral, spcializara ştiinţ al naturii Pagina din

6 f ( ) m 4, dci f X + 4X + X 4 f ( ) p + + m, + +, ( + + ) m, dci m p.a) f ' ( ) ' + 7 ( + 7)( ) ( ) ' ( ) 7 + 6, R f ( ) 7, '( ) 6 Ecuația tangnti st y f ( ) f '( )( ) f p, adică y f ''( ), R p f ''( ) pntru oric [ 5, + ), dci f st convă p [ 5, + ).a) ( + ) d p F : R R, F ( ) arctg + c, und c R p π F c c 4 ( ) +, dci F ( ) arctg + n n n f ( ) d d ln ( + ) ln ( n + ) + ln n + ln 5, dci n + 5, d und obținm n p p Probă scrisă la matmatică M_şt-nat Varianta Filira tortică, profilul ral, spcializara ştiinţ al naturii Pagina din

7 Matmatică M_thnologic Varianta Filira thnologică: profilul srvicii, toat calificăril profsional; profilul rsurs, toat calificăril profsional; profilul thnic, toat calificăril profsional Toat subictl sunt obligatorii. S acordă punct din oficiu. Timpul d lucru fctiv st d or. 4 5p. Arătați că p. Arătați că, und și sunt soluțiil cuații 5p. Rzolvaţi în mulţima numrlor ral cuaţia + 8. Probă scrisă la matmatică M_thnologic Varianta Filira thnologică: profilul srvicii, toat calificăril profsional; profilul rsurs, toat calificăril profsional; profilul thnic, toat calificăril profsional Pagina din p 4. Calculaţi probabilitata ca, algând un număr din mulțima A {,,, 4,5, 6, 7,8,9}, acsta să fi multiplu d 4. 5p 5. În rprul cartzian Oy s considră punctl A (,) şi B ( 4,) triunghiului OAB. 5p 6. Arătați că sin 5 + sin 6.. S considră matricl A și B, und a st număr ral. a 5p a) Arătați că dt A 5. 5p Dtrminaţi numărul ral a pntru car B B B. 5p Arătați că ( A B B A) dt, pntru oric număr ral a.. Calculați primtrul. P mulțima numrlor ral s dfinșt lga d compoziți y y y +. 5p a) Arătaţi că. 5p Dmonstrați că y ( )( y ) +, pntru oric numr ral și y. 5p Dtrminați numărul ral, pntru car ( ).. S considră funcţia f : 5p a) Arătaţi că f '( ) ( ) 5p Arătați că R R, f ( ) , R. ( ) f ' lim. + 5 f 9 5p Dmonstrați că, pntru oric [,]. S considră funcţia f : 5p a) Arătaţi că ( ) f + d. 4 f d. 5p Arătaţi că. R R, f ( ) 4. 5p Dtrminaţi aria suprafți plan dlimitat d graficul funcții f, aa Oși drptl d cuații și.

8 Matmatică M_thnologic BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta Filira thnologică: profilul srvicii, toat calificăril profsional; profilul rsurs, toat calificăril profsional; profilul thnic, toat calificăril profsional Pntru oric soluţi corctă, chiar dacă st difrită d ca din barm, s acordă punctajul corspunzător. Nu s acordă fracţiuni d punct, dar s pot acorda punctaj intrmdiar pntru rzolvări parţial, în limitl punctajului indicat în barm. S acordă punct din oficiu. Nota finală s calculază prin împărţira la a punctajului total acordat pntru lucrar p. + 4, p p 4. Mulțima A ar 9 lmnt, dci sunt 9 cazuri posibil p Multiplii d 4 din mulțima A sunt 4 și 8, dci sunt cazuri favorabil p nr. cazuri favorabil p nr. cazuri posibil 9 p 5. AB 4 + 5, AO, BO 4 P AOB AB + AO + BO p 6. sin5, sin 6 sin 5 + sin Probă scrisă la matmatică M_thnologic Varianta Filira thnologică: profilul srvicii, toat calificăril profsional; profilul rsurs, toat calificăril profsional; profilul thnic, toat calificăril profsional Pagina din p.a) dt A p a + B B a + a + p B, dci B B B a a 5 + a 5 5 a A B B A 5 + a + a + a a a dt ( A B B A) ( a ), pntru oric număr ral a a p

9 .a) p y y y p ( ) +, ( ) ( ) y y + y +, pntru oric numr ral și y ( ) + + p.a) ( ) ( ) f '( ) ( + ) f ' p + 6 +, R lim lim + + ( + ) +, f ' [ ] >, dci f st crscătoar p [,] Cum f ( ) 5 și f ( ) 9, obținm 5 f ( ) 9, pntru oric [,].a) ( ) p p f + d 4 + d 4 d p 4 ( 4 ) ( 4 4 ) f d + d d p ( ) A 4 f ( ) d ( 4 ) d p Probă scrisă la matmatică M_thnologic Varianta Filira thnologică: profilul srvicii, toat calificăril profsional; profilul rsurs, toat calificăril profsional; profilul thnic, toat calificăril profsional Pagina din

10 Matmatică M_pdagogic Filira vocaţională, profilul pdagogic, spcializara învăţător-ducatoar Toat subictl sunt obligatorii. S acordă punct din oficiu. Timpul d lucru fctiv st d or. Varianta 7 5p. Arătați că + : p. Dtrminaţi numărul ral a pntru car f f +, und f : R R, f ( ) + a. 5p. Rzolvaţi în mulţima numrlor ral cuaţia log ( ) log ( ) p 4. Prțul unui obict st d li. Dtrminați prțul obictului după c s iftinșt d două ori, succsiv, cu cât %. 5p 5. În rprul cartzian Oy s considră punctl O (,), A(,) și B (,) d la punctul O la punctul M, und M st mijlocul sgmntului AB. 5p 6. Calculaţi aria triunghiului ABC, ştiind că m( C ) 45 şi AB AC. P mulţima numrlor ral s dfinşt lga d compoziţi asociativă y + y 6. 5p. Arătaţi că 6. 5p. Arătaţi că lga d compoziți st comutativă. 5p. Vrificați dacă 6 st lmntul nutru al lgii d compoziți. 5p 4. Dtrminaţi numrl ral pntru car. 5p 5. Arătaţi că p 6. Dtrminați numrl natural par nnul n pntru car n n n < 6. S considră matrica A( a) 5p. Arătaţi că ( ) dt A 5. 5p. Dmonstrați că A( a) A( a) A( ) a, und a st număr ral. 4 d 6 ori n +, pntru oric număr ral a. 5p. Arătaţi că invrsa matrici A ( ) st matrica. 4 5p 4. Dtrminați valoril ral al lui a pntru car matrica A( a ) st invrsabilă. 5p 5. Dtrminaţi numrl ral a pntru car 4 ( ) A a A a A O +, und 5p 6. Dtrminaţi numrl ral a pntru car ( A( a) A) a dt Dtrminaţi distanţa O. Probă scrisă la matmatică M_pdagogic Varianta Filira vocaţională, profilul pdagogic, spcializara învăţător-ducatoar Pagina din

11 Matmatică M_pdagogic BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta Filira vocaţională, profilul pdagogic, spcializara învăţător-ducatoar Pntru oric soluţi corctă, chiar dacă st difrită d ca din barm, s acordă punctajul corspunzător. Nu s acordă fracţiuni d punct, dar s pot acorda punctaj intrmdiar pntru rzolvări parţial, în limitl punctajului indicat în barm. S acordă punct din oficiu. Nota finală s calculază prin împărţira la a punctajului total acordat pntru lucrar : 8 8 p f a f + a p. +, f + f a, dci a. + + sau, car convin p 4. După prima iftinir cu %, prțul obictului st % 7 d li După a doua iftinir cu %, prțul obictului st 7 % 7 4 d li p 5. M (,) 6. OM p AB AC ABC st drptunghic în A, dci A ABC 6 p Probă scrisă la matmatică M_pdagogic Varianta Filira vocaţională, profilul pdagogic, spcializara învăţător-ducatoar Pagina din p. y + y 6 y + 6 y, pntru oric numr ral și y, dci lga d compoziţi st comutativă p p , pntru oric număr ral, dci 6 st lmntul nutru al lgii d compoziți 4. 6, p 6 5. ( ) ( 4) ( 5 6) ( 7 8) ( 9 ) ( ) ( 8) p n n n 6n d 6 ori n 6n < 6 n < 6 și, cum n st număr natural par nnul, obținm n sau n 4. p A dt ( A( ) ) p

12 a 4 A( a) A( a) + A( a) A( ), pntru oric număr ral a p A( ) I p A I, dci matrica st invrsa A matrici a dt ( A( a) ) a 8 p 4 Matrica A( a ) st invrsabilă ( ) 4 ( ) 8 dt A a a 8 a R \ a a 4a + A a A a A a + A 4 a 4a + a 4a +, d und obținm a sau a a + 4 a + 4 A( a) + A( ) dt ( A( a) + A( ) ) 6( a + ) 6a p 6a a 5 a 6a + 5, d und obținm a sau a 5 p Probă scrisă la matmatică M_pdagogic Varianta Filira vocaţională, profilul pdagogic, spcializara învăţător-ducatoar Pagina din

13 Varianta d rzrva Matmatică M_mat-info Toat subictl sunt obligatorii. S acordă punct din oficiu. Timpul d lucru fctiv st d or. Varianta 9 5p. S considră numrl compl z 5 + i și z i. Arătați că z + z. 5p. S considră funcțiil f : R R, f ( ) + și g : R R, g ( ) +. Dtrminați abscisa punctului d intrscți a graficlor clor două funcții. 5p. Rzolvaţi în mulţima numrlor ral cuaţia +. 5p 4. Calculaţi probabilitata ca, algând un număr din mulțima numrlor natural d două cifr, acsta să fi divizibil cu și cu 5. 5p 5. În rprul cartzian Oy s considră punctl A (,), B (,4) și C ( m,) ral. Dtrminați numărul ral m, știind că punctl A, B și C sunt coliniar. 5p 6. Calculați lungima laturii BC a triunghiului ABC, ştiind că AB 4, AC 8 și. S considră matrica A( ), und st număr ral. ( ) 5p a) Arătați că dt ( A ( ) ). 5p Dmonstrați că dt ( A( ) A( ) ), pntru oric număr ral. 5p Arătați că, dacă numrl natural m și n vrifică rlația A( m) A( n) A( ). S considră polinomul 5p a) Dtrminați numărul ral a, știind că f ( ). f X + X + ax +, und a st număr ral., und m st număr A π., atunci m + n. 5p Pntru a, calculați câtul și rstul împărțirii polinomului f la polinomul X + X +. 5p Dtrminați numrl ral a pntru car rădăcinil polinomului f au modull gal.. S considră funcţia f :(, + ) R, f ( ) ln ( ) 5p a) Arătați că f '( ), (, ) p Dmonstrați că funcția f st convă p (, ) f ( ) 5p Calculați lim Pntru ficar număr natural nnul n, s considră numărul 5p a) Arătaţi că d. 5p Dmonstraţi că In+ In, pntru oric număr natural nnul n. 5p Dmonstraţi că n+ n n. I ln d I + n + I, pntru oric număr natural nnul n. n Probă scrisă la matmatică M_mat-info Varianta 9 Pagina din

14 Matmatică M_mat-info BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 9 Pntru oric soluţi corctă, chiar dacă st difrită d ca din barm, s acordă punctajul corspunzător. Nu s acordă fracţiuni d punct, dar s pot acorda punctaj intrmdiar pntru rzolvări parţial, în limitl punctajului indicat în barm. S acordă punct din oficiu. Nota finală s calculază prin împărţira la a punctajului total acordat pntru lucrar.. z + z 5 + i + i 5 + 6i + 6 6i p p sau p 4. Mulțima numrlor natural d două cifr ar 9 d lmnt, dci sunt 9 d cazuri posibil p Mulțima numrlor natural d două cifr, car sunt divizibil cu și cu 5, ar 6 lmnt, dci sunt 6 cazuri favorabil p nr. cazuri favorabil 6 p nr. cazuri posibil 9 5 p 5. Ecuația drpti AB st y + p Punctul C aparțin drpti AB m 6. BC AB + AC AB AC cos A BC 4 p.a) A( ) dt ( A( ) ) + + ( ) p + + A( ) A( ) dt ( A( ) A( ) ) , pntru oric număr ral p A m A n A( mn) A( ).a) f mn mn A mn ( mn) mn, dci mn și, cum m și n sunt numr natural, obținm m + n p + + a + p a 4 Probă scrisă la matmatică M_mat-info Varianta 9 Pagina din

15 f X + X + X + și câtul st X + Rstul st p și p Cum f ar cl puțin o rădăcină rală, una dintr rădăcini st gală cu sau cu Dacă Dacă, obținm, obținm ( ).a) f '( ) ( ) ln ( ) f, dci a, ca c convin, doarc p f, dci a 4, ca c nu convin, doarc p p ' ' + ' p ( + )' f "( ) , (, ) +, (, + ) p f "( ), dci funcția f st convă p (, ) + lim lim p ln ( + ) lim lim p ln ( + ) f lim lim p.a) d p, ln ln p [ ] n In+ In ln ln d, dci In+ In, pntru oric număr natural nnul n n+ n+ n + n In+ ln d ln ln d n + I, dci I ( n ) I n n+ + +, pntru oric număr natural nnul n p n Probă scrisă la matmatică M_mat-info Varianta 9 Pagina din

16 Varianta d rzrva Matmatică M_thnologic Varianta 9 Filira thnologică: profilul srvicii, toat calificăril profsional; profilul rsurs, toat calificăril profsional; profilul thnic, toat calificăril profsional Toat subictl sunt obligatorii. S acordă punct din oficiu. Timpul d lucru fctiv st d or. 5p. Arătați că :. 5p. S considră funcția f : R R, f ( ) +. Calculați f ( ) f ( ). 5p. Rzolvaţi în mulţima numrlor ral cuaţia p 4. Calculaţi probabilitata ca, algând un număr din mulțima A {,,, 44,55, 66, 77,88,99}, acsta să fi multiplu d. 5p 5. În rprul cartzian Oy s considră punctl A (,) şi B(, ). Arătați că AO OB. 5p 6. Arătați că sin 45 cos S considră matricl A și B, und st număr ral. 5p a) Arătați că dt A 8. 5p Arătați că A A A 8I, und I. dt A B B A, pntru oric număr ral. 5p Dmonstrați că. S considră polinomul f X + X X. 5p a) Arătați că f ( ). 5p Dtrminaţi câtul și rstul împărțirii polinomului f la polinomul X +. 5p Dtrminați rădăcinil polinomului f.. S considră funcţia f : 5p a) Arătați că f '( ) 4( )( ) 5p Arătați că lim + 4 R R, f ( ) +. +, R f 5p Dtrminaţi cuația tangnti la graficul funcţii f în punctul d abscisă, situat p graficul funcții f.. S considră funcţia f : 5p a) Arătați că ( ) f + 4. R R, f + 4 d 7. 5p Dtrminați primitiva F a funcții f pntru car 5p Dtrminaţi numărul ral a pntru car f ( ) d a a F 7.. Probă scrisă la matmatică M_thnologic Varianta 9 Filira thnologică: profilul srvicii, toat calificăril profsional; profilul rsurs, toat calificăril profsional; profilul thnic, toat calificăril profsional Pagina din

17 Matmatică M_thnologic BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 9 Filira thnologică: profilul srvicii, toat calificăril profsional; profilul rsurs, toat calificăril profsional; profilul thnic, toat calificăril profsional Pntru oric soluţi corctă, chiar dacă st difrită d ca din barm, s acordă punctajul corspunzător. Nu s acordă fracţiuni d punct, dar s pot acorda punctaj intrmdiar pntru rzolvări parţial, în limitl punctajului indicat în barm. S acordă punct din oficiu. Nota finală s calculază prin împărţira la a punctajului total acordat pntru lucrar.. p : f p. f f f 4. + p 4. Mulțima A ar 9 lmnt, dci sunt 9 cazuri posibil p Multiplii d din mulțima A sunt, 44, 66 și 88, dci sunt 4 cazuri favorabil p nr. cazuri favorabil 4 p nr. cazuri posibil 9 p 5. AO 5 p BO 5 AO BO 6. sin 45, cos6 p sin 45 cos a) dt A 9 8 p 6 A A 6, A A A A 8 8I p A B, B A p A B B A dt ( A B B A) 9, pntru oric număr ral Probă scrisă la matmatică M_thnologic Varianta 9 Filira thnologică: profilul srvicii, toat calificăril profsional; profilul rsurs, toat calificăril profsional; profilul thnic, toat calificăril profsional Pagina din

18 .a) f ( ) + + p Câtul st X + X Rstul st p f ( X )( X X ) + + p 7 + 7, și sunt rădăcinil polinomului f 4 4.a).a) f ' , R p lim + 4 lim + + f lim + + f ' p ( ) F : f, Ecuația tangnti st y f ( ) f '( )( ) ( ), adică y f + 4 d d d p 8 7 F F c, und c R R R, ( ) 7 c 9, dci a F p a f ( ) d ( + 4) a + a 4a + a + a 4a + a a, dci a p p Probă scrisă la matmatică M_thnologic Varianta 9 Filira thnologică: profilul srvicii, toat calificăril profsional; profilul rsurs, toat calificăril profsional; profilul thnic, toat calificăril profsional Pagina din

19 Ssiuna spciala Matmatică M_mat-info Toat subictl sunt obligatorii. S acordă punct din oficiu. Timpul d lucru fctiv st d or. 5p. Calculați suma numrlor întrgi din intrvalul ( 5, 5). R R, 5p. S considră funcția f : f. Calculați ( f f )( ). 5p. Rzolvaţi în mulţima numrlor ral cuaţia +. 5p 4. Calculaţi probabilitata ca, algând un număr din mulțima A {,,,, } multiplu d. 5p 5. În rprul cartzian Oy s considră punctl M (,) și N ( 4,) Varianta 4, acsta să fi. Dtrminați coordonatl punctului P, situat p aa O, astfl încât PM PN. 5p 6. Calculați lungima razi crcului circumscris unui triunghi ABC, în car AB 6 şi. S considră matrica A( ) 5p a) Arătaţi că ( ) dt A. 5p Dmonstrați că 4, und st număr ral. ( A ) ( ) dt +, pntru oric număr ral p Arătați că A( ) + A( ) + A( ) + + A( 7) 7 ( ) ( 4 ) C π P mulțima numrlor ral s dfinșt lga d compoziți asociativă y 7y y p a) Arătați că y ( )( y ) 7 + +, pntru oric numr ral și y. 5p Dtrminați numrl ral pntru car. 5p Dmonstrați că, dacă a, b și c sunt numr natural astfl încât a b c 48, atunci numrl a, b și c sunt gal.. S considră funcţia f : R R, f ( ) p a) Arătați că f '( ), R. 5p Dtrminați cuaţia tangnti la graficul funcţii f în punctul d abscisă, situat p graficul funcții f. 6 5p Dmonstrați că f ( ), pntru oric [, + ).. S considră funcţia f :(, + ) R, f ( ) ( + ). + 5p a) Arătați că f ( ) d ln.,+. 5p Dmonstrați că oric primitivă a funcţii f st strict crscătoar p intrvalul 5p Dtrminați numărul ral m, m >, știind că suprafața plană dlimitată d graficul funcții g :(, + ) R, g ( ) ( ) f ( ) cu ln m +. m +, aa O și drptl d cuații și ar aria gală

20 Matmatică M_mat-info BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 4 Pntru oric soluţi corctă, chiar dacă st difrită d ca din barm, s acordă punctajul corspunzător. Nu s acordă fracţiuni d punct, dar s pot acorda punctaj intrmdiar pntru rzolvări parţial, în limitl punctajului indicat în barm. S acordă punct din oficiu. Nota finală s calculază prin împărţira la a punctajului total acordat pntru lucrar.. ( 4) + ( ) + ( ) + ( ) p. f ( ) p ( f f )( ) f ( f ( ) ) f ( ) car nu convin, 6 car convin p 4. În mulțima A sunt d numr, dci sunt d cazuri posibil p În mulțima A sunt 9 numr car sunt multipli d, dci sunt 9 cazuri favorabil p nr. cazuri favorabil 9 p nr. cazuri posibil p 5. P O y P p P P P PM PN AB 6 R R sin C 6 p.a) A( ) 4 dt ( A( ) ) 4 p dt ( A( ) ) 4 4 ( ) ( )( ) ( )( ) + + +, pntru oric număr ral p A( ) + A( ) + A( ) + + A( 7) ( ) 4( 4 ) ( ) ( 4 ) Probă scrisă la matmatică M_mat-info Varianta 4 Pagina din p

21 .a) y 7y y + 7 p ( y ) ( y ) ( )( y ) ( + ), dci ( ) , pntru oric numr ral și y p 6 ( + ) 7 ( + ) sau sau ( a + )( b + )( c + ) 48 ( a + )( b + )( c + ) p Cum a, b și c sunt numr natural, obținm a + b + c +, dci a b c.a) ' ' ( ) f ( ) ( ) ( ) + + +, R p f ( ), '( ) Ecuația tangnti st y f ( ) f '( )( ) f p +, adică y f ( ) sau p [, ] f '( ), dci f st crscătoar p [,] și [, + ) f '( ), dci f st dscrscătoar p [,+ ) p.a) 6 Cum f ( ), f ( ), lim f ( ), obținm f ( ) [, + ) ( + ) f ( ) d d d + 6, pntru oric p ln + ln ln ln F st o primitivă a funcţii f F ( ) f ( ), (, ) F > ( ) + p + p, pntru oric (, + ), dci F st strict crscătoar p (,+ ) g ( ) g ( ) d d ln ( ) ln + A + + m + ln ln m p m Probă scrisă la matmatică M_mat-info Varianta 4 Pagina din

22 Ssiuna spciala Matmatică M_şt-nat Filira tortică, profilul ral, spcializara ştiinţ al naturii Toat subictl sunt obligatorii. S acordă punct din oficiu. Timpul d lucru fctiv st d or. 5p. S considră numrl compl z + i și z i 5p. Dtrminaţi numărul ral m, știind că punctul (, ) f. 5p. Rzolvaţi în mulţima numrlor ral cuaţia. Varianta 4. Arătați că numărul z + z st ral. M m aparțin graficului funcții f : R R, 5 5p 4. Calculaţi probabilitata ca, algând un număr din mulţima A {,,,, } multiplu d 5. 5p 5. În rprul cartzian Oy s considră punctl A(,5 ), B (,) și C ( m,) ral. Dtrminați numărul ral m, știind că punctul C aparțin drpti AB. 5p 6. S considră E ( ) cos sin. S considră matrica, acsta să fi, und m st număr +, und st număr ral. Arătați că E π. + A, und st număr ral. 5p a) Arătați că dt ( A ( ) ). 5p Dtrminați numărul ral, pntru car A( ) + A( + ) A( ). 5p În rprul cartzian Oy s considră punctl M ( n, n + ), N (, n ) și P (,) numărul natural n, știind că punctl M, N și P sunt coliniar.. S considră polinomul 5p a) Arătați că f f f X + ax + X, und a st număr ral. 4, pntru oric număr ral a. 5p Pntru a, calculați câtul și rstul împărțirii polinomului f la polinomul. Dtrminați Probă scrisă la matmatică M_şt-nat Varianta 4 Filira tortică, profilul ral, spcializara ştiinţ al naturii Pagina din X + X +. 5p Dtrminați numărul ral a pntru car , und, și sunt rădăcinil polinomului f.. S considră funcția f :(, + ) R, f ( ) 5p a) Arătați că f '( ) ( ) ( ), (, + ). +. 5p Dtrminați cuația tangnti la graficul funcții f în punctul d abscisă, situat p graficul funcții f. 5p Dmonstrați că. S considră funcţia f : 5p a) Arătați că ( ) ( ) f lim. + + f d. R R, f ( ) +. 5p Dtrminaţi volumul corpului obţinut prin rotația în jurul ai O a graficului funcţii g :[,] R, g ( ) f ( ). 5p Dtrminaţi numărul ral a, știind că a a f d +.

23 Matmatică M_şt-nat BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 4 Filira tortică, profilul ral, spcializara ştiinţ al naturii Pntru oric soluţi corctă, chiar dacă st difrită d ca din barm, s acordă punctajul corspunzător. Nu s acordă fracţiuni d punct, dar s pot acorda punctaj intrmdiar pntru rzolvări parţial, în limitl punctajului indicat în barm. S acordă punct din oficiu. Nota finală s calculază prin împărţira la a punctajului total acordat pntru lucrar.. z z ( i) ( i) p 6, car st număr ral. f ( ) m 4 m m p. 5 5 p 4. Mulțima A ar d lmnt, dci sunt d cazuri posibil p În mulțima A, multiplii d 5 sunt numrl 5,, 5 și, dci sunt 4 cazuri favorabil p nr. cazuri favorabil 4 p nr. cazuri posibil 5 p 5. Ecuația drpti AB st y + C AB m + m p 6. π cos + sin 6 p +.a) A( ) dt ( A( ) ) A( ) + A( + ) p 4 6 A( ) 4 4, dci 6 Punctl M ( n, n + ), N (, n ) și (,) n n +, dci n.a) n + P sunt coliniar n p f + a + a + p f + a + a f f a + a + 4, pntru oric număr ral a Probă scrisă la matmatică M_şt-nat Varianta 4 Filira tortică, profilul ral, spcializara ştiinţ al naturii Pagina din n p

24 f X + X + X, câtul st X + Rstul st X p + + a, + +, a +, dci a p.a) ( )( ) ( ) + f ( ) ( ) ( ), (, + ) ( ) ( ) p f ( ), f '( ) p Ecuația tangnti st y f ( ) f '( )( ), adică y.a) f + + lim lim lim ( )( + ) ( ) +, doarc + lim şi + ( ) f d + d d ( ) ( ) lim lim p π g V g d π 4 d 4π 4π p a a a a f ( ) d ( + ) d ( ) + ( a ) + + a a a a a a a a p a p Probă scrisă la matmatică M_şt-nat Varianta 4 Filira tortică, profilul ral, spcializara ştiinţ al naturii Pagina din

25 Ssiuna spciala Matmatică M_thnologic Varianta 4 Filira thnologică: profilul srvicii, toat calificăril profsional; profilul rsurs, toat calificăril profsional; profilul thnic, toat calificăril profsional Toat subictl sunt obligatorii. S acordă punct din oficiu. Timpul d lucru fctiv st d or. 7 5p. Arătați că + :. 6 5p. Arătați că + 6, und și sunt soluțiil cuații Probă scrisă la matmatică M_thnologic Varianta 4 Filira thnologică: profilul srvicii, toat calificăril profsional; profilul rsurs, toat calificăril profsional; profilul thnic, toat calificăril profsional Pagina din p. Rzolvaţi în mulţima numrlor ral cuaţia 5. 5p 4. După o iftinir cu 5%, prţul unui tlvizor st 6 d li. Dtrminați prţul tlvizorului înaint d iftinir. 5p 5. În rprul cartzian Oy s considră punctl (,) punctl O și M. 5p 6. Arătați că sin 5 + sin 45.. S considră matricl A și B. 5p a) Arătați că dt A. 5p Arătați că ( A + B)( B A). X M R, știind că A X B. 5p Dtrminați matrica O şi M ( 8,6). Calculaţi distanța dintr. P mulțima numrlor ral s dfinșt lga d compoziți asociativă y + y. 5p a) Arătaţi că. 5p Dtrminați numrl ral pntru car ( ). 5p Dtrminați numrl natural nnul n pntru car n n n n <.. S considră funcţia f : 5p a) Arătați că f '( ) ( )( ) f ( ) 5p Arătați că lim. + f '( ) R R, f ( ) , R p Dmonstrați că f ( ), pntru oric [, ). S considră funcţia f : 5p a) Arătați că ( ) f d. +. R R, f ( ) p Dmonstrați că funcţia F : R R, F ( ) st o primitivă a funcţii f. 5p Dtrminaţi numărul natural n, ştiind că suprafaţa plană dlimitată d graficul funcţii f, aa O şi drptl d cuaţii și ar aria gală cu 7 n.

26 Matmatică M_thnologic BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 4 Filira thnologică: profilul srvicii, toat calificăril profsional; profilul rsurs, toat calificăril profsional; profilul thnic, toat calificăril profsional Pntru oric soluţi corctă, chiar dacă st difrită d ca din barm, s acordă punctajul corspunzător. Nu s acordă fracţiuni d punct, dar s pot acorda punctaj intrmdiar pntru rzolvări parţial, în limitl punctajului indicat în barm. S acordă punct din oficiu. Nota finală s calculază prin împărţira la a punctajului total acordat pntru lucrar : 6 7 p. + 5, 4 p , car convin p 4. p 5% p 6, und p st prțul tlvizorului înaint d iftinir p 8 d li p 5. OM p 6. sin5, sin 45 p sin 5 + sin a) dt A p A + B p 4 B A ( A + B)( B A) 8 4 dt A, A X A B X p.a) + p Probă scrisă la matmatică M_thnologic Varianta 4 Filira thnologică: profilul srvicii, toat calificăril profsional; profilul rsurs, toat calificăril profsional; profilul thnic, toat calificăril profsional Pagina din

27 + + sau p n n n n 4n 9 p 4n 9 < n < și, cum n st număr natural nnul, obținm n sau n.a) f '( ) ( ) ( ) ( ) ' + ' + ' p f ( ) + + lim lim + f '( ) + ( + )( + ).a) , R + + lim f '( ) sau p, f '( ), dci funcția f st dscrscătoar p, și p, + f ' ( ), dci funcția f st crscătoar p, + f ( ) f pntru oric [ ), + și, cum 4 f 4, obținm f ( ), 7 7 p, + pntru oric [ ) ( ) ( ) f d + + d d p ' F '( ) f, R p f ( ) d ( + + ) d Cum n st număr natural, din n, obținm n p p Probă scrisă la matmatică M_thnologic Varianta 4 Filira thnologică: profilul srvicii, toat calificăril profsional; profilul rsurs, toat calificăril profsional; profilul thnic, toat calificăril profsional Pagina din