PowerPoint Presentation

Transcriere

1 Metode Numerice de Integrre și Derivre Funcțiilor dte Numeric Ș.l. Dr. ing. Levente CZUMBIL E-mil: WePge:

2 Formul clsică trpezelor rezultă prin prticulrizre ce mi simplă versiunii clsice metodei Newton-Côtes, pentru n=1. Deci este o plicţie directǎ interpolǎrii linire Lgrnge în douǎ puncte. Se cunoşte funcţi în două noduri x x f x, f x ; h (, şi se doreşte clculul proximtiv l integrlei ) 0, definite xdx f x L x R x f 1 1, utilizând polinomul linir de interpolre Lgrnge dică scriind funcţi. Deci integrl clcultă cu formul trpezului este: x f dx ITrpez f x 1 x L1 dx R dx ITrpez L1 EroreTrpez Deci integrând polinomul Lgrnge şi restul se oţine formul trpezului: I Trpez f f xdx f f Deci formul trpezelor generliztă cu, I TrpezGen, este: f '' 1 n1 3 Erore Trpez f f xdx f f f xi n i1 f '' 1 n 3 Erore TrpezGen

3 x Fie funcţi, f x e sinx definită pe intervlul [, ] ; f :[, ] R. Se cere clculul vlorii integrlei definite pe intervlul [, ], utilizând formul trpezelor şi evlure erorii de clcul cestei formule. Psul 1. Se introduce funcţi f x : Psul. Se definesc cpetele intervlului de definire funcţiei, numărul N de puncte intermedire de clcul şi se fixeză psul de integrre h (distnţ dintre două puncte intermedire vecine pentru fix lungime suintervlelor echidistnte pe intervlul [, ] ): Psul 3. Se introduce vectorul x cărui elemente sunt vlorile sciselor x i cre reprezintă cpetele suintervlelor echidistnte în cre fost împărţit intervlul [, ]. Elementele cestui vector se definesc utilizându-se tst ([) pentru indicele i l vriilei x.

4 Psul 4. Se clculeză vlore integrlei definite pe intervlul [, ] utilizând formul trpezelor. Indicele forml trpez se introduce cu tst (.), ir sum prin intermediul comenzii Summtion din toolr-ul Clculus (shortcut: Ctrl #): Psul 5. Se evlueză erore metodei conform formulei: Psul 6. Se clculeză integrl definită pe intervlul [, ] cu jutorul opertorului de integrre din Mthcd prin pelre comenzii Definite Integrl toolr-ul Clculus (&):

5 Formul clsică lui Simpson rezultă prin prticulrizre versiunii generle metodei Newton-Côtes, pentru n=. Se cunosc vlorile funcţie f(x) în trei noduri echidistnte: x, x c, x f x, f x f x, x1 x0 h, x x0 h, h c c , Ir polinomul de interpolre Lgrnge de ordin doi este cel cu cre se proximeză funcţi x L x R x. Deci integrl definită v fi: f de su integrl definită, x f dx I Simpson f x x L dx R dx I Simson L EroreSimpson Deci formul lui Simpson se v scrie: I Simpson f f x dx 6 f ( ) 4 f ( c) f ( ) f ''' EroreSimpson Aplicând pentru fiecre suintervl formul clsică lui Simpson se oţine: I SimpsonGen 5 4 f m m1 ( f ) f xdx f ( x0) f ( xm) 4 f ( xk 1) f ( xk ) 4 6m k 1 k m Erore Simpson

6 x Fie funcţi, f x e sinx definită pe intervlul [, ] ; f :[, ] R. Se cere clculul vlorii integrlei definite pe intervlul [, ], utilizând formul lui Simpson şi să se evlueze erore de clcul cestei formule. Psul 1. Se defineşte funcţi f x : Psul. Se definesc limitele intervlului, numărul N de puncte intermedire de clcul şi se determină psul de integrre h : Psul 3. Se introduce vectorul x cărui elemente sunt vlorile sciselor x i cre reprezintă cpetele suintervlelor echidistnte în cre fost împărţit intervlul [, ]. Psul 4. Se clculeză vlore integrlei definite pe intervlul [, ] utilizând formul lui Simpson. Sumele se introduc prin intermediul opertorului Rnge Vrile Summtion din toolr-ul Clculus ($):

7 Să determine energi consumtă de un receptor pentru cre se cunoște cur de srcină referitore l putere ctivă înregistrtă pe o periodă de 1 ore: Se identifică psul de înregistrre dtelor și numărul N de suintervle ferent formulei Trpezelor și respectiv formulei lui Simpson: Se clculeză energi consumtă cu jutorul formulei Trpezelor: Se clculeză energi consumtă cu jutorul formulei lui Simpson:

8

9

10

11 x 6 3 Fie funcți: f x e sinx x 5 x x 1 să se determine derivt ei pe intervlul [5,10]. Psul 1. Se definește funcți f(x). f x 6 3 x: e sinx x 5 x x 1 Psul. Se definește intervlul de derivre și setul de puncte intemedire în cre se determină vlore derivtei. : 5 : 10 N : 100 h : h N 0 x i : x 0 hi yi : f ( xi ) x : Psul 3. Se clculeză derivt funției în puntele xi. j : 1.. N 1 i : 0..N der j 1 : y j1 y j1 h

12 Psul 4. Se determină derivt nlitică funcției f(x). f ` d dx x : f ( x) Psul 5. Se secompră grfic rezulttel oținute:

13 Metode Numerice de Integrre și Derivre Funcțiilor dte Numeric Ș.l. Dr.Ing. Levente CZUMBIL