Seminarul 1

Transcriere

1 Mtemtici specile Seminrul Februrie 8

2 ii

3 Fr bteri de l norm progresul nu este posibil. Frnk Zpp Integrle improprii Motivtie: Folosind integrl definit putem integr functii continue pe intervle mrginite. In prctic suntem nevoiti uneori s extindem notiune de integrl pentru pute mnevr functii nemrginite su intervle de integrre nemrginite. De exemplu, dc in cmpul grvittionl l Pmntului se fl un corp de ms m l distnt r (msurt ft de centrul Pmntului) cre se deplsez continuu ft de cest (r ). Clculul lucrului mecnic relizt W, de ctre fort cre deplsez corpul, conduce l urmtore integrl: W = G mm dr = GmM r r r dr r unde G-constnt grvittionl, M-ms Pmntului.

4 Introducere: S considerm functi: f(x) = Evident re loc lim f(x) =. x x< x, x <. Putem clcul ri hsurt flt sub grfic cu tote c functi creste necontrolt cnd se propie de cptul din drept intervlului? Dup cum vedeti pe desen grficul functiei nu v tinge niciodt mrgine din drept si intre mrgine si grfic se v form o suprft nemrginit! Strtegie: Aflm ri suprfetei situt sub grfic dr mrginit in drept de o brier β < : Ari = β dx = x x β = β + Interpretm ri hsurt c fiind limit riilor mrginite l drept: Ari hsurt = β dx := lim dx = x β x β< Alt situtie: S considerm functi: f(x) = x, x. Putem fl ri suprfetei hsurte de sub grfic chir dc intervlul de integrre necesr este nemrginit?

5 Vom folosi ceesi bordre. Integrm pn l o mrgine superior β > : β x dx = β = x β + si ne imginm ri suprfetei hsurte c fiind limit unor stfel de rii: β dx := lim dx =. x β x Definitie: Integrl generlizt (improprie) de tip I Fie < < b si f : [, b) R continu. Functi f se numeste integrbil generlizt pe [, b), tunci cnd urmtore limit exist si este finit: β lim f(x)dx = f(x)dx β b β<b Anlog este trtt czul < b < : lim α α> α f(x)dx = f(x)dx Uneori se notez + f(x)dx pentru o integrl generlizt (improprie). f(x)dx su Tocmi cnd credei c i inteles: Pentru functi f(x) = x 3, x R se pote construi o integrl cu limite simetrice: α x 3 dx = x4 α = 4 α α 3

6 Si poi s trecem l limit: α lim α α x 3 dx =. In cest situtie vlore gsit nu re sens s o sociem unei rii. Mi mult de tt integrlele cre r trebui s msore riile suprfetelor dintre x OX si grficul lui f si nume x 3 dx = lim x 3 dx = + α α si nu exist. x 3 dx = lim κ κ x 3 dx = + Definitie: Integrl generlizt de tip II Fie < b si f : (, b) R continu. Functi se numeste integrbil generlizt pe (, b), tunci cnd pentru un c (, b) exist si sunt finite integrlele improprii: c f(x)dx = lim α α> c α f(x)dx si Vom defini: c β f(x)dx = lim f(x)dx. β b c β<b f(x)dx := c f(x)dx + c f(x)dx. 4

7 Remrc: Se pote observ c vlore f(x)dx nu depinde de legere lui c. Exemple fundmentle: Fie p > si, b >, tunci: { convergent, dc p > dx = xp divergent, dc p (, ] si: { convergent, dc p < dx = xp divergent, dc p Mi mult de tt vem: { convergent, dc p < dx = (b x) p divergent, dc p si un rezultt similr: { convergent, dc p < dx = (x ) p divergent, dc p In finl, q > : q x dx = { convergent, dc q < divergent, dc q Anlog integrlei generlizte este urmtore notiune: 5

8 Definitie: Vlore principl Cuchy Fie < b si c (, b) un numr rel. Functi f : (, c) (c, b) R e integrbil Riemnn. Dc exist limit: vom numi p.v. p.v. f(x)dx := lim ε ε> ( c ε f(x)dx vlore principl Cuchy. ) b f(x)dx + f(x)dx c+ε Fie f : R R o functie continu, tunci numim de semene vlore principl Cuchy limit (dc exist): R p.v. f(x)dx := lim f(x)dx R R Cnd integrl generlizt spir l nemurire: Dc integrl exist in sens generlizt tunci e exist si in sensul vlorii principle Cuchy si cele dou vlori coincid. In schimb existent integrlei in sensul vlorii principle Cuchy nu implic existent in sensul generlizt. Asdr vlore principl Cuchy este util tunci cnd functi nu este integrbil generlizt! Functi f(x) = x este discontinu in x =. Integrl generlizt 3 dx este divergent, pentru c: x 3 dx x = dx 3 x + dx β x = lim β β< dx x + lim α α> 3 = lim ln x β + lim ln x 3 = + ln α β β< α α> α dx x Niciun dintre subintegrle nu exist! In schimb exist vlore principl Cuchy: 3 p.v. dx x = lim ε ε> ( ε dx 3 ) x + dx +ε x = lim(ln ε + ln ln ε) = ln. ε ε> Criteriile de convergent le integrlelor generlizte vor semn forte mult cu cele corespunztore seriilor numerice. 6

9 Criteriul comprtiei: Fie, b R cu < b si f : (, b) R continu. Exist un c (, b) si functiile g : (, c ] (, ) si g : [c, b) (, ), stfel c: i) c g (x)dx, c g (x)dx sunt convergente ii) f(x) g (x) pe [, c ] ir f(x) g (x) pe [c, b] Atunci functi f este integrbil generlizt pe (, b). Functiile g si g se numesc mjornti i lui f. Acelsi criteriu se pote utiliz pentru integrlele generlizte de tip I. Observtie util: Cnd f(x) g(x) si integrl integrl f(x)dx v fi divergent. g(x)dx este divergent, tunci si S vedem criteriul l lucru: Integrl este convergent deorece x cos x x dx este convergent. In schimb integrl improprie dx e divergent. x cos x x x ir integrl e x x dx este divergent, deorece ex x si integrl x Mult mi prctic este urmtore propozitie: 7

10 Criteriul limitei: Fie < < b. Dc functiile f, g : [, b) sunt continue si exist limit: L = lim f(x) g(x) tunci: i) Pentru L (, ), integrl ii) g(x) dx converge. Dc L = si bsolut convergent. x b x<b f(x) dx converge dc si numi dc g(x)dx este bsolut convergent, tunci f(x)dx este ii) f(x) dx este di- Dc L = si vergent. g(x) dx este divergent, tunci Remrc: Cnd stim c f(x) si g(x) > subpunctul ii) devine: ii) Dc L = si convergent. g(x)dx este convergent, tunci f(x)dx este Consecint prctic: Fie I = f(x)dx, >, f continu si: exist si este finit. Atunci: lim x xp f(x) = L f(x) dx = { convergent, dc p > divergent, dc p (, ] Pentru o integrl J = f(x)dx, cu f : [, b) R continu si cu propriette c: exist si e finit: lim(b x) p f(x) = L x b x<b 8

11 f(x) dx = { convergent, dc p < divergent, dc p Anlog, pentru K = exist si e finit: f(x)dx, unde f : (, b] R continu, stfel c: lim (x ) p f(x) = L x x> f(x) dx = { convergent, dc p < divergent, dc p Exist, evident, o reltie intre integrlele improprii si seriile numerice: Criteriul integrl: Fie f : [k, ) [, ) monoton descresctore. Atunci seri f(n) este f(x)dx este conver- convergent dc si numi dc integrl improprie gent. k n=k S considerm seri rmonic generlizt: n= Astfel cndittul nturl este functi: Dr: Exemplu: sdr criteriul integrl implic: n=, p > np f : [, ) R, f(x) =, p > xp { convergent, pentru p > dx = xp divergent, pentru p (, ] n p = { convergent, pentru p > divergent, pentru p (, ] 9

12 Criteriul lui Dirichlet: Fie < b si f : [, b) [, ) continu, stfel c F (u) = u f(x)dx este mrginit. Pentru fiecre functie monoton g : [, b) R cu propriette c lim g(x) = este integrl x b x<b f(x)g(x)dx convergent. Studiem convergent integrlei: Avem descompunere: sin x x Exemplu: Deorece lim x x> o prelungire continu: sin x x dx sin x sin x sin x dx = dx + dx. x x x sin x sin x = lim x x x x = = v ve functi h(x) = x> h(x) = Deci prim integrl v fi convergent si { sin x x, dc x, dc x = sin x x dx = h(x)dx. Pentru dou integrl notm f(x) = sin x si g(x) = x. Functi g este monoton descresctore si lim g(x) =. x Pentru plic criteriul lui Dirichlet considerm functi: F (u) = u f(x) = u sin xdx = cos u + cos [, ] cre v fi mrginit. Prin urmre conform criteriului lui Dirichlet este sin x dou integrl convergent, deci si dx v fi convergent. x

13 Probleme rezolvte Problem. Studiti folosind dor definiti convergent integrlei: x dx. lim x x> Solutie: Functi f(x) = f(x) = +. Considerm functi F (u) = 3 este continu in punctul = si + x x dx si conform definitiei integrlei improprii v trebui s clculm limit: lim x x> 7 F (u) = lim x x> u u 3 + x dx = lim x x> ( + x) 3 3 = 3 lim ( ( + u) ) = 6. x x> Prin urmre, integrl este convergent si: 7 u x dx = 6 Problem. S se studieze convergent integrlelor: i) x + x 4 + dx ii) 3 x + x + x + 3 dx intervlul este ne- Solutie: i) Prim integrl este generlizt pentru c mrginit. Se observ c: x + lim x3 x x 4 + =. Pentru studi convergent folosim consecintele prctice le Criteriului limitei x + pentru p = 3 >. Deci x 4 dx este convergent. + ii) Pentru dou integrl integrndul x + devine nemrginit x + x + 3 cnd se propie de punctele = si b = 3. Alegem un punct intermedir, de exemplu, si descompunem: 3 x + x + x + 3 dx = = x + 3 x + x + 3 dx + x + (x + )(3 x) dx + 3 x + x + x + 3 dx x + (x + )(3 x) dx

14 Consecint prctic criteriului limitei fce din nou toti bnii. Intruct: si: lim (x + ) x x> lim (3 x) x 3 x<3 sunt mbele integrle convergente. Problem 3. Demonstrti c integrl: x + (x + )(3 x) =, p = < x + (x + )(3 x) = 5, p = < Γ(p) = este convergent pentru p >. x p e x dx Solutie: Deorece mbele cpete de integrre sunt critice, descompunem integrl in: Γ(p) = x p e x dx + x p e x dx Pentru prim integrl utilizm pentru comprre functi g(x) = x p. Stim c x p dx = dx este convergent tunci cnd p >. x p Alegnd f(x) = x p e x se obtine: Conform f(x) L = lim x g(x) = lim e x = x x> criteriului limitei i) integrl x> x p e x dx este convergent cnd p >. Pentru dou integrl utilizm pentru comprre functi g(x) = e x (pentru compens crestere functiei x x p ). Prin urmre: f(x) L = lim x g(x) = lim x p e x x e = lim x x xp e x = Din criteriul limitei ii) obtinem convergent x p e x dx pentru tote vlorile p R, deorece integrl Γ(p) tunci cnd p >. e x dx este bsolut convergent. In concluzie exist Problem 4. Studiti convergent si clculti vlore integrlei: I = ln(sin x)dx

15 Solutie: Integrl este improprie deorece integrndul este o functie nemrginit: lim ln(sin x) =. x x> Artm c integrl este convergent folosind criteriul limitei. De remrct c vem nevoie de modul, intruct integrndul este o functie negtiv pe intervlul [, π ]. lim x x> ln(sin x) x Asdr integrl explicitre modul = lim x x> lim cos x x x> ln(sin x)dx este ln(sin x) x x sin x x = cos x L Hopitl sin x = lim x x> x 3 bsolut convergent conform criteriului limitei ii) = convergent. Clculul efectiv l integrlei este destul de tehnic si este prezentt mi jos dor c exemplu orienttiv. In seminriile viitore vom incerc s prezentm metode de clcul l vlorii integrlelor improprii mintind ici semnre cu czul seriilor numerice cnd sum seriei se proximez in prctic prin metode numerice mi degrb dect folosind metode excte de clcul. Pentru inceput este nevoie de o schimbre de vribil: x = π y si vem: deci: I = π x = π y = dx = dy ln(cos y)( dy) = ln(cos y)dy, deorece sin ( π y) = cos y Folosind cest informtie putem obtine urmtore reltie: I = = ln(sin x)dx + ln(cos x)dx = ( sin x ln ) dx = = π ln + ln dx + ln(sin x)dx. ln(sin x cos x)dx ln(sin x)dx Vom rt cum prin schimbri succesive de vribil c ultim integrl este de fpt egl cu I. Incepem prin x = y: ln(sin x)dx = ln(sin x)dx = I + π 3 ln(sin x)dx. ln(sin x)dx + π ln(sin x)dx

16 O nou schimbre de vribil y = π + x v demonstr c ultim integrl este si e egl cu I. In concluzie: ln(sin x)dx = I + I = I Revenind l prim reltie de recurent obtinut in problem vem: I = π ln + I I = π ln. Probleme propuse Problem. Studiti dc urmtorele integrle improprii exist: i) ii) iii) e x dx. e x dx. e αx sin(βx)dx, α >, β R. Indictie: integrre prin prti Problem. Investigti cre dintre urmtorele integrle improprii sunt convergente: i) ii) iii) iv) x + 5x + dx. dx. x 3 + x 3 dx. x + x sin x dx. Problem 3. Clculti, dc este posibil: i) ii) cos x dx cos xe x dx 4

17 iii) π sin x x dx iv) tg(x) dx Problem 4. Studiti convergent urmtorelor integrle improprii: ) b) c) d), 5 + x x 6 dx dx x 5 x 4x x 5 + 3x + 9 dx dx x 3 x Problem 5. Studiti dc urmtorele integrle sunt divergente. poi pentru fiecre vlore principl Cuchy. Precizti i) ii) iii) iv) 3 3 x 3 dx. tg(x)dx x + dx xdx Problem 6. Este seri: convergent? S = k= k e k Problem 7. Este integrl: convergent? De ce? x sin x e dx, >. x 5

18 6

19 Bibliogrfie [] C. I. Hedre. Notite de seminr: Mtemtici specile 6. [] O. Lipovn. Anliz Mtemtic: Clcul integrl Editur Politehnic. 7

20 8