1. Notiunea de sistem (shema bloc, parti componente, si definitii; exemplificare pe sistemul cu rezervor).

Transcriere

1 1. Notiunea de sistem (shema bloc, parti componente, si definitii; exemplificare pe sistemul cu rezervor). Un sistem este o grupare de elemente pasive şi active organizate astfel ca să execute, la o comandă, o funcţie determinată. Exista o mare varietate de sisteme atât fizice (sisteme de telecomunicaţii, de transport, procese tehnologice) cât şi economice (distribuirea de produse), biologice. Un sistem constituie o unitate relativ delimitată faţă de mediu printr-o anumită structură internă. Pentru instalaţia tehnologică din fig. 1.1 se observă că: a) elementele care contribuie la menţinerea constantă a nivelului h în rezervor acţionează într-o anumită ordine şi sunt intercorelate. Ele concretizează o structură şi formează o unitate. Încălzirea sau răcirea lichidului din rezervor nu aparţin acestei unităţi şi reprezintă mediul exterior. S-a evidenţiat astfel un sistem. b) elementele care contribuie la menţinerea constantă a temperaturii Θ a lichidului din rezervor constituie o altă unitate, deci un nou sistem. În acest caz variaţia nivelului lichidului aparţine unităţii deoarece temperatura Θ depinde de debitele Qi, Qe. Rezultă principalele caracterizări ale noţiunii de sistem: a) Părţile componente ale unui sistem se află într-o anumită relaţie, pe baza căreia se delimitează sistemul faţă de mediul înconjurător; b) Elementele sistemului au funcţii precise şi ocupă în cadrul sistemului poziţii bine determinate; sistemul are deci o anumită structură; c) Între mărimile fizice ale sistemului există legături de cauzalitate. Mărimile cauză se numesc mărimi de intrare, iar mărimile efect se numesc mărimi de ieşire. în cadrul sistemului să existe legături inverse - reacţii - (pozitive sau negative). În cazul instalaţiei din fig. 1.1 aceste legături inverse se realizează fie prin intermediul operatorului uman, fie prin intermediul traductoarelor: de nivel Th şi de temperatura TΘ. d) Acţiunea comună a părţilor sistemului asigură realizarea unui anumit scop, stabilizarea nivelului şi temperaturii pentru instalaţia din fig e) Realizarea scopului propus se poate face folosind un operator uman sau un regulator automat. Cele doua soluţii, din punct de vedere funcţional, au la bază aceeaşi structură abstractă a comunicaţiilor între părţile sistemului, respective sunt izomorfe. f) Noţiunea de sistem este relativă. O parte a unui sistem se numeşte subsistem. şi noţiunea de subsistem este relativă. Aceeaşi realitate fizică poate conţine unul sau mai multe sisteme distincte.

2 Fig. 1.2 Un sistem se reprezintă grafic sub forma unui dreptunghi, ca în fig Schema bloc a unui sistem evidenţiază părţile componente, relaţiile (legăturile) dintre acestea, mărimile fizice care se transmit între aceste părţi şi sensul de transmitere a mărimilor respective. În fig. 1.3 procesul este constituit din rezervorul 1 şi conductele de alimentare şi de evacuare a lichidului. Blocurile de comparare şi de decizie sunt incluse în regulatorul Rh. Blocul de reglare, care acţionează asupra procesului este constituit din contactorul static CS2, motorul M şi pompa P. Blocul de măsurare este format din traductorul de nivel Th. 2. Semnale: definitie, clasificare, descriere. Semnale utile in TS (reprezentare temporala) Prin informaţie, în vorbirea curentă, se înteleg acele date sau evenimente despre lumea înconjurătoare care rezultă din procesele de cunoaştere, de adaptare şi de modificare ale acesteia. În sens ştiinţific, ceea ce este comun tuturor informaţiilor: faptul că acestea nu sunt cunoscute dinainte. O mărime fizică ce transmite o informaţie se numeşte semnal. Caracteristica fizică care se modifică în dependenţă de informaţie se numeşte parametru informaţional. Pentru masurarea temperaturii se poate utiliza: - termometru cu coloana de mercur - Punte Wheatstone Semnalele care transmit informatii despre temperatura: - Lungimea coloanei de mercur la termometru - Tensiunea continua din diagonala puntii Wheatstone Parametrul informaţional este valoarea lungimii coloanei de mercur, respectiv valoarea tensiunii in cazul puntii. Informaţia este furnizată de un emiţător şi este destinată unui receptor. Sistemul receptor trebuie să poată extrage informaţia din semnal. La emitator se stabileste o coresondenta intre valorile posibile ale parametrului informational si informatie. In semnal se realizeaza o succesiune de semne imaginea informatiei de transmis. Receptorul extrage informatia din aceasta succesiune de semne. Relatia dintre informatie si materializarea ei in semnal se numeste cod. Clasificarea semnalelor: După efectele produse asupra unui sistem :

3 a) semnale utile, care introduc efecte dorite în comportarea unui sistem (de exemplu tensiunea de alimentare a unui motor electric, debitul de intrare într-un rezervor în care se menşine nivelul constant etc). b) semnale perturbatoare (perturbatii), care introduce efecte nedorite în comportarea unui sistem (de exemplu, tensiunea de zgomot la intrarea unui amplificator, cuplul rezistent al unei maşini de lucru). După natura mărimilor fizice se evidenţiază: a) semnale mecanice: forţă, cuplu, deplasare liniară, deplasare unghiulară etc. b) semnale electrice: tensiune, curent, rezistenţă, frecvenţă, fază etc.. c) semnale pneumatice: presiune etc. După valorile pe care le ia parametrul informational semnalele se împart în: a) semnale analogice la care parametrul informaţional ia valori pe mulţimi incluse în mulţimea numerelor reale. Semnalele analogice sunt descrise de funcţii reale dependente de variabila continua t, reprezentând timpul. x:t x(t) b) semnale discrete (numerice) la care parametrul informaţional ia valori pe mulţimi incluse în mulţimea numerelor naturale. Aceste semnale sunt descrise de funcţii, unde k este un întreg (pozitiv sau negativ), iar t ia valori discrete t1, t2,... x:k x(k) x:t=kt x(kt) În al doilea caz se vorbeşte de un semnal eşantionat. Daca parametrul informaţional x(kt) ia valori întregi, multiplu al unei unităţi şi, semnalele discrete se numesc digitale, fig Când x(kt) sau x(k) ia numai două valori, semnalele discrete se numesc binare, fig Dupa valoarea parametrului timp semnalele pot fi: a) semnale continue (netede) - pentru fiecare valoare a timpului se defineşte o valoare oarecare a parametrului informaţional. b) semnale discrete în timp - parametrul informaţional este definit numai pentru anumite valori admisibile ale timpului. După previzibilitatea evoluţiei în timp se deosebesc: a) semnale deterministe, pentru care valoarea parametrului informational este cunoscuta aprioric oricare ar fi valoarea admisibila a timpului. b) semnale stocastice pentru care valoarea parametrului informaţional nu este cunoscuta aprioric decât sub aspect probabilistic. Un semnal stocastic (aleator), fig. 1.8, nu poate fi descris de o expresie analitică x(t) este o variabilă aleatoare accesibilă prin încercări (măsurători); ea va fi descrisă prin proprietăţi statistice. În funcţie de timp semnalele pot fi: a) semnale continue; b) semnale discontinue;

4 Descrierea semnalelor: 1.Semnale definite printr-o suma. Aparatele cu care se măsoară diferite semnale analogice au o comportare integratoare. Un semnal x(t) aplicat la intrarea unui asemenea aparat determină apariţia la ieşirea acestuia a unui semnal I= x(σ)dσ Integrala (1.3) poate fi aproximată printr-o sumă discretă. Intervalul de integrare [0, t0] este divizat în k0 intervale de durată identică T (fig.1.9) σ = i T, i fiind un indice curent întreg. Aplicând metoda dreptunghiurilor (fig. 1.9.a şi fig. 1.9.b) respective metoda trapezelor (fig. 1.9.c), se stabilesc următoarele expresii recursive. a) I (i) = I (i - 1)+T x ( i - 1) ; i = 1, k, I (0) = 0 ; b) I(i) = I(i -1) + T x(i) ; c) I (i) = I(i - 1) + T [ x(i) + x (i - 1)] / 2. 2.Semnale definite printr-o diferenta. Sunt semnale analogice care se pot defini ca derivate dx(t)/dt ale unor funcţii x(t). Derivata într-un punct este limita unei diferenţe. Pentru semnalele numerice se pot defini două funcţii diferenţe finite: - forma avansată, (1.9.a), Ax(k) = x(k+1) - x(k) - forma întârziată, (1.9.b). Ix(k) = x(k) - x(k - 1) Derivata dx/dt a unei funcţii x(t) poate fi aproximată printr-o diferenţă (cu o eroare admisibilă): 3.Semnale definite printr-o distributie: Se consideră un exemplu: circuitul electric fără rezistenţă din fig Se presupune ca la momentul t= 0, se inchide comutatorul K. Tensiunea la bornele condensatorului va fi: Curentul i(t) se calculează cu relaţia:

5 - Curentul i(t) este nul tot timpul exceptând, t = 0, unde nu se poate calcula pentru că u(t) este o funcţie discontinuă. - Curentul i(t) există la t = 0, pentru că are loc un transfer de sarcină Q = C E de la sursa de tensiune la condensator. Deşi i(t) nu este accesibil, este o certitudine, deoarece apare sarcina Q pe armăturile condensatorului. Dar curentul i(t) se exprimă prin: Integrala Riemann a functiei i(t) aproape peste tot nula, nu este nulă. i(t) nu este o funcţie ci o distribuţie. Semnale utile in TS (Reprezentarea Temporala) Semnale continue în timp deterministe. 1. Semnalul treapta unitara σ (t) sau functia Heaviside este definita de relatia: Si are graficul din fig σ (t) nu este definita pentru t = 0 ; σ (0+ )= 1 si σ (0-) = 0. Functia treapta unitara reala σ ε (t) este definita de relatie, si are graficul din fig Se considera: 2.Impulsul unitar δ (t). Impulsul Dirac. Derivand pe σ ε (t) se obtine δ ε (t) care este un impuls dreptunghiular de amplitudine 1/ ε si durata (în intervalul [- ε /2, ε /2 ]), fig a

6 Se observa ca aria acestui impuls este egala cu 1 oricare ar fi ε Daca ε tinde la zero, δ nu tinde catre o limita în sensul functiilor; dar δ, în sensul distributiilor, tinde spre distributia Dirac, δ (t), fig b: δ ε (t) este derivata lui σ ε (t). σ (t) nu este derivabila în zero în sensul functiilor, dar este derivabila în sensul distributiilor si deci: Notatia δ (t) = δ '(t), este incorecta, corespunde formalismul ui functiilor si nu a distributiilor. Reluând integrala (1.36) se scrie relatia: Care este un mod de definitie a lui δ (t). Impulsul Dirac δ (t) se numeste unitar pentru ca masura sa, sau ponderea sa, sau aria sa este Semnalul rampa unitara r(t). Semnalul rampa unitara este definit de relatia: Graficul lui r(t) este prezentat în fig Semnalul armonic sinusoidal Semnalul sinusoidal este un semnal periodic. Se foloseste frecvent sinusoida eterna (necauzala): Se utilizeaza acest semnal pentru a studia comportarea sistemelor în

7 domeniul frecventelor. Se foloseste de asemenea semnalul matematic e jωt mult mai simplu de manipulat: Cu aceasta semnalul sinusoidal poate fi exprimat: 5.Semnalul cauzal întârziat Un semnal cauzal întârziat x(t) este repreze-tat în fig si este definit de relatia: Semnale discrete in timp 1. Semnale numerice naturale. Numarul calatorilor care pleaca dintr-o gara, într-o zi, este reprezentat printr-un semnal numeric. Acest numar depinde de numarul trenului, fiecarui tren atribuindu-i-se un numar întreg 1, 2,..., n. Semnalul numeric este o functie x, care la orice k (numarul trenului) asociaza un numar real x(k) (numarul calatorilor) : x : k x(k); k є Z. Pentru a pune în evidenta caracterul discret al dependentei de variabila k, functia x va fi notata [x(k)] sau [x(kt)]; x(k) reprezinta valoarea reala a acestei functii în k. 2.Semnale numerice esantionate. Valorile zilnice ale temperaturii într-o statie meteorological sunt numere prelevate în fiecare zi ( T = 1 zi ) pe un semnal continuu x(t). Semnalul obtinut este un semnal discret [x(kt)]. T - este o constanta pozitiva cu dimensiuni de timp, numita pas de discretizare sau perioada de esantionare. Functia [x(kt)] este chiar functia x(t) pentru care variabila continua t a fost restrânsa la multipli întregi ai perioadei de esantionare: kt, k є Z. Numarul x(kt) este deci obtinut luând t = kt în x(t). Pentru perioada de esantionare T = 1, se scrie [x(k)] pentru [x(kt)] pentru un semnal discret oarecare. Un semnal esantionat este format dintr-o succesiune de impulsuri care rezulta din esantionarea (testarea) unui semnal continuu pe o durata de timp Δt = є 0 si la intervale de timp T, de obicei constante. Se considera circuitul din fig Tensiunea u1 = x(t) este masurata cu voltmetrul V conectat prin intermediul întrerupatorului I, închis periodic cu o perioada T. Întrerupatorul I ramâne închis un timp foarte scurt ε << T, dar suficient de lung pentru ca acul voltmetrului sa aiba timp sa devieze si sa sesizeze impulsul xe(t) la care este supus. Prin esantionare simpla, dintr-un semnal continuu se obtine un tren de impulsuri analogice de durata ε a caror amplitudine coincide

8 cu semnalul analogic din intervalele de timp (kt, kt + ε), fig Elementul de impuls transforma un semnal continuu, aplicat la intrarea sa, într-un semnal discret obtinut la iesire. Pentru un proces cu o intrare u(t) si o iesire y(t), fig. 1.32, ambele scalare si continue, în cazul conducerii cu calculatorul numeric, marimea de intrare va avea o variatie în scara, fig a, (numita functie cuantificata, daca multimea valorilor este numarabila) notata u(t). Functia scara u(t) are expresia: Functia scara u(t) este complet definita prin valorile ei în momentele de discretizare t = kt, k є Z, fig b. Marimea de iesire y(t), fig c este o functie continua. Pentru calculul marimii de comanda a procesului calculatorul va prelua valorile acesteia la momentele kt, k є Z, fig d. Fig Semnale tipice continue in timp. Semnale tipice esantionate. 1.Treapta unitara si cauzala σ(kt) = σ(k)

9 2. Impulsul Dirac unitar si centrat δ(kt) = δ(k) 3. Rampa unitara r(kt) = r(k) 4. Semnalul întârziat sau avansat Se defineste operatorul de deplasare înapoi cu un pas (de întârziere cu un pas) notat cu q -1 cu relatia: (1.79) si operatorul de deplasare înainte cu un pas (avans cu un pas), notat cu q, cu relatia: (1.80) În fig sunt evidentiate efectul operatiilor de deplasare a semnalului f(k), fig a, cu un pas în avans, fig b, respectiv cu un pas înapoi, fig c. Prin aplicarea repetata a acestor operatori se pot defini deplasari cu un numar oarecare de pasi prin:

10 4.Interpretarea sistematica a unui Proces. O prima caracterizare a unui proces ce se desfasoara într-o instalatie industriala se poate face prin evidentierea unui ansamblu de fenomene fizice care implica transferuri si transformari de masa si energetice. Descrierea cantitativa a procesului presupune evidentierea unor marimi caracteristice si stabilirea legaturilor cauzale dintre ele, care determina evolutia lor în timp. Pentru instalatia din fig. 1.1 aceste marimi pot fi debitele de masa si de energie de intrare si de iesire, temperatura si nivelul lichidului din rezervor. Se noteaza generic cu Qi debitele de substanta si de energie introduse în rezervor si cu Qe debitele corespunzatoare de iesire, fig Doua regimuri de functionare : a) regimuri de echilibru stationare (regimuri stationare) în care sunt îndeplinite conditiile de bilant de masa si de energie pe ansamblu, ce pot fi exprimate prin relatia: b) regimuri dinamice sau tranzitorii (regimurile de trecere de la un regim stationar la altul) în care relatia (1.90) nu mai este respectata Închiderea dinamica a bilantului se realizeaza acum prin variatia unui set de marimi unic determinate si care descriu fenomenele de acumulare (dezacumulare) ce au loc în proces. Aceste marimi se numesc marimi de stare. Pentru o singura marime de stare, relatia (1.91) se scrie: In regimurile stationare marimile de stare sunt constante, deci: În regimurile tranzitorii marimile de stare variaza deci:

11 Din relatia (1.92) rezulta ca fenomenele de acumulare (dezacumulare) au loc atât timp cât Qi - Qe diferit de 0, pentru ca: atunci procesul de acumulare (ΔQ > 0) sau de dezacumulare (ΔQ < 0) nu ar înceta niciodata, adica: Ecuatia (1.97) caracterizeaza procesele fara autoechilibrare. Pentru procese care poseda proprietatea de autoechilibrare, ecuatia (1.92) se scrie sub forma: Solutia ecuatiei (1.98) este formata din doua componente: xl(t) este componenta libera - regimul tranzitoriu xf(t) este componenta fortata - regimul fortat. unde β(t) este o functie ce urmeaza sa fie determinate astfel ca xf(t) sa satisfaca ecuatia (1.98). Se gaseste: Înlocuind (1.101) si (1.103) în (1.99) se obtine: Din satisfacerea conditiei initiale se determina constanta C: Daca ΔQ = const., solutia (1.104) a ecuatiei (1.98) poate fi scrisa:

12 xs(t) = xp(t) este componenta permanenta a raspunsului fortat, xt(t) este componenta tranzitorie, Termenul x0e at determinat de conditiile initiale nenule, termenul ΔQ/a)eat - determinat de marimea de intrare u(t) = ΔQ Raspunsurile sistemelor fara autoechilibrare (1.97) si cu autoechilibrare (1.106) sunt reprezentate îin fig Din ecuatia (1.98) se obtine pentru regimul stationar urmatoarele relatii: Adica regimul stationar poate corespundeunor debite diferite de substanta sau energie. Conducerea procesului are ca obiectiv principal mentinerea unor valori prescrise sau nominale ale variabilelor de stare: Variatiilor debitelor de iesire Qe au caracter perturbator asupra constantei regimurilor stationare (1.98) Variatiile debitelor Qe trebuie compensate printr-o modificare adecvata a debitelor de intrare Qi, Modificarea debitului Qi se realizeaza prin intermediul marimii de comanda u: unde u este marimea de comanda, b este un factor de proportionalitate. Efectul perturbator al debitului de iesire Qe se evidentiaza prin relatia: unde v este marimea perturbatoare, considerata de semn opus debitului Qe, ; e-este un factor de proportionalitate Calitatea procesului este apreciata printr-un set de marimi notate cu z si numite marimi de calitate Z=dX, d - este un factor de proportionalitate. Se efectueaza masuratori asupra procesului. Se noteaza cu y marimea masurata, dependent de starea x, y = cx. Inlocuind expresiile pentru Qi si Qe în relatia (1.98) si adaugând relatiile pentru marimile z si y se obtine:

13 Relatiile (1.117) exprima interpretarea sistemica elementara a procesului considerat, asociate cu reprezentarea grafica din fig Schema bloc sau schema functionala evidentiaza principalele parti ale sistemului si (eventual) functiile pe care acestea le îndeplinesc. - Elementul de executie EE, fig. 1.48, amplifica în putere comanda u, furnizeaza marimea de executie m care intervine direct în proces. - Traductorul T converteste marimea de calitate într-o marime fizica (electrica sau pneumatica) ce poate fi usor prelucrata din punct de vedere informatic de elementele de automatizare sau de sistemele de prelucrare automata a datelor. In sistemele de reglare automata, marimea de comanda (de conducere) u se obtine din prelucrarea dupa un anumit algoritm a unei marimi (semnal) de eroare ε, dat de diferenta dintre valoarea dorita (impusa) y* (sau referinta r = z) a marimii de iesire si valoarea reala a acestei marimi y, fig Proprietatile interne ale sistemelor dinamice Proprietatile interne fundamentale ale sistemelor dinamice sunt: a) observabilitatea; Un sistem dinamic este de stare observabila, daca pe baza cunoasterii intrarii b) controlabilitatea; Un sistem dinamic este de stare controlabila daca exista comenzi ω(t), care realizeaza tranzitia starii x(t) din orice stare initiala x( Ƭ) în orice stare finala x(t1), în intervalul de timp finit [ Ƭ, t1]. c) stabilitatea; Stabilitatea reprezinta proprietatea unui sistem, care fiind perturbat dintr-o stare de echilibru stationar, revine dupa disparitia cauzei în aceeasi stare de echilibru în mod natural. Notiunea de stare de echilibru stationar folosita aici este similara celei din mecanica d) adaptabilitatea; Un sistem dinamic este adaptabil daca se poate evidentia în interiorul lui o variabila α care admite pentru t aparține T o variatie conform unei legi impuse ῃ1. Variabila α se numeste de adaptare iar functia ῃ 1 se numeste criteriu de adaptare e) identificabilitatea; Un sistem este identificabil daca se poate evidentia în interiorul lui o variabila β, masurabila pentru t aparține T, numita de identificare care conform unui criteriu ῃ2, sa ofere o imagine asupra proprietatilor sale interne, respectiv asupra structurii si parametrilor sai. f) structurabilitatea.

14 Pentru a evidentia o structura, un sistem dinamic este discretizat într-un ansamblu de parti numite elemente sau subsisteme legate functional astfel încât sa respecte tranzitia cauzala intrare-iesire: ω ->ϒ Se numesc subsisteme de baza sau elemente de baza sistemele cele mai reduse din punct de vedere al variabilei de stare si care nu mai pot fi descompuse 6-Sisteme dinamice cu structură deschisă Clasificarea sistemelor dinamice - dupa criterii: O structura fundamentala reprezinta o reuniune de elemente de baza, cu proprietati impuse. Aceste proprietati nu se regasesc în elementele de baza, ci în reuniunea lor. Se deosebesc doua grupe de sisteme dinamice: a) sisteme dinamice cu structura deschisa ; b) sisteme dinamice cu structura inchisa. Sisteme dinamice cu structura deschisa - sunt constituite prin reuniunea de elemente de baza cuplate functional astfel ca marimea de intrare a oricarui element sa nu fie influentata de marimea sa de iesire, direct sau indirect. Din aceasta categorie fac parte : a1) sistemele de comanda automata Sistemele de comanda automata sunt sisteme care reactioneaza numai la modificarile marimii de intrare a2) sistemele de compensare automat Rotorul G al generatorului - antrenat de motorul asincron MA cu o viteza unghiulara ω = constant. Înfasurarea de excitatie a generatorului este parcursa de curentul ie, care produce fluxul magnetic Фe. Curentul ie depinde de valoarea rezistentei variabile, realizata cu potentiometrul P2, determinata de pozitia x2 a cursorului acestuia, rigidizat cu armatura mobila a electromagnetului EM. Deplasarea acestei armaturi depinde de diferenta dintre forta F dezvoltata de electromagnet si forta Fr a resortului R. În functie de pozitia x1 a cursorului potentiometrului P1 se obtine tensiunea ui = u1 care este amplificata de amplificatorul A. Tensiunea de iesire a amplificatorului, u2, alimenteaza înfasurarea electromagnetului EM care produce forta F. În înfasurarea rotorica a generatorului se induce o tensiune electromotoare E, care determina un curent I ce parcurge aceasta înfasurare de rezistenta Rg si rezistenta de sarcina Rs. Tensiunea la bornele generatorului UG, constituie marimea de iesire a sistemului, UG = y, si este data de relatia

15 unde: k, Ce sunt constante de proportionalitate Prin deplasarea x1 a cursorului potentiometrului P1 se impune valoarea dorita y* a marimii de iesire, deci a tensiunii UG. Schema care ilustreaza transferul informational al acestui system Acest sistem are o structura deschisa pentru ca marimea de iesire nu influenteaza în nici un fel marimea de intrare în oricare din elementele sistemului.în schema bloc se pun în evidenta doua subsisteme înseriate reprezentate în figură: S1 - subsistemul principal (condus) asigura dependenta marimii de iesire y de marimea de executie m ; S2 - subsistemul de comanda asigura dependenta marimii de executie m de marimea de intrare în sistem, care este marimea impusa (dorita) y* (sau de referinta r). Asupra subsistemelor S1 si S2 actioneaza deseori si alte marimi exterioare care, au de obicei, un caracter perturbator. In cazul generatorului - marimea perturbatoare este curentul I. Tensiunea UG scade la cresterea curentului I datorita caderii de tensiune pe rezistenta Rg a rotorului. a2) Sistemele de compensare automata - functioneaza pe principiului compensarii efectului nedorit al marimilor perturbatoare. principiu Victor Poncelet savant francez Pentru eliminarea sau diminuarea efectului perturbatiilor asupra marimii de iesire se introduce un subsistem S3 (fig. 1.57), astfel încât marimea de executie m sa depinda si de perturbatia v. Sistemul obtinut este tot cu structura deschisa deoarece nu exista nici un element la care marimea de

16 intrare sa depinda de marimea de iesire direct sau indirect. În cazul sistemului de reglare a tensiunii generatorului de curent continuu, fig pentru compensarea perturbatiilor se utilizeaza un semnal proportional cu curentul I, ur = RrI, tensiunea de intrare în amplificatorul A devine: u1 = ui - ur. Tensiunea ui corespunde valorii dorite a tensiunii UG. La cresterea curentului I, UG scade, creste ur, scad : u1, u2 si forta F dezvoltata de electromagnet. Forta Fr devine mai mare decât forta F si armatura electromagnetului se deplaseaza în sensul micsorarii rezistentei potentiometrului P2 din circuitul de excitatie al generatorului. Ca urmare, cresc ie si tensiunea electromotoare E, iar tensiunea UG tinde la valoarea dorita. În acest fel efectul perturbatiei este compensat. În acest sistem curentul de excitatie ie, deci marimea de executie m, devine dependent si de curentul I (perturbatia din sistem). 7 -Sisteme dinamice cu structura închisa contin cel putin un subsistem la care marimea sa de intrare este influentata de marimea de iesire direct sau indirect. Structura cea mai simpla a acestor sisteme (fig. 1.59) cuprinde urmatoarele subsisteme: subsistemul principal (condus) S1 care asigura o anumita dependenta a marimii de iesire y de marimea de executie m ; subsistemul secundar (de reactie) S2 asigura reactia inversa (feed-back), prin care se transmit informatii despre evolutia marimii de iesire la subsistemul S3 ; Subsistemul decizional S3 asigura o decizie asupra tipului si modului de variatie a marimii de executie m, pentru a se realiza tranzitia intrare-iesire dorita. Acest subsistem utilizeaza un algoritm în care marimea de intrare u si de reactie yr au un rol important Din aceasta grupa fac parte sistemele cu schema bloc din fig în care subsistemele S3 realizeaza o comparatie liniar - aditiva între o variabila r1, dependenta de r, si yr dependenta de marimea de iesire y, de forma apoi pe baza unui algoritm se obtine marimea de executie m

17 Daca sistemul se numeste cu reactie inversa negativa sau sistem de reglare automata. Marimea ε se numeste abatere sau eroare. Daca r1 = r = y* ; yr = y, ε = y* - y = r - y reprezinta efectiv abaterea dintre valoarea impusa (de referinta) si valoarea reala a marimii reglate Pentru generatorul de curent continuu - schema din fig Se utilizeaza un semnal ur egal sau proportional cu UG, care se compara cu ui. Tensiunea de intrare în amplificator este: u1 = ui - ur. La scaderea tensiunii UG, deci a lui ur, cresc: u1, u2, F; armatura electromagnetului se deplaseaza în sensul micsorarii rezistentei potentiometrului P2, înseriata cu înfasurarea de excitatie. Curentul ie creste si determina cresterea t.e.m E si astfel UG tinde la valoarea dorita. În fig se prezinta schema bloc a sistemului din fig unde Clasificarea sistemelor dinamice dupa adaptabilitate Doua grupe de sisteme a) sisteme conventionale; b) sisteme adaptive

18 Sistemele conventionale contin procese invariante ale caror modele matematice nu sunt influentate de perturbatiile care inteevin in functionarea acestora.exista procese ale caror modele matematice (caracteristici de transfer) se modifica, de obicei nepredictibil, sub actiunea unor perturbatii, denumite parametrice. Pentru automatizarea acestor procese se utilizeaza dispozitive automate care realizeaza identificarea automata a parametrilor si si în conformitate cu tranzitiile cauzale intrare-iesire dorite, genereaza comenzile corespunzatoare desfasurarii proceselor, cu satisfacerea criteriilor de performante impuse. Asemenea sisteme automate se numesc sisteme adaptive În fig se prezinta structura generala a unui sistem adaptiv in care : S1 - subsistemul de baza (principal), S2 - subsistemul de adaptare, constituit din: a) elementul de identificare - elaboreaza variabila de identificare β functie de parametrii procesului. b) blocul de calcul care elaboreaza variabila de adaptare α în conformitate cu criteriul de adaptare η1. 8-Modele intrare-ieșire pentru susteme dinamice monovariabile Sisteme dinamice continue în timp (netede). Ecuaţii diferenţiale ale sistemelor dinamice netede Pentru deducerea unui model cât mai exact al unui sistem dat este necesar să se definească mai întâi scopul întocmirii modelului, să se delimiteze legăturile cu mediul înconjurător, să se evidenţieze variabilele de interes pentru structura considerată. Elaborarea unui model cuprinde următoarele etape: a) se descompune sistemul în elemente componente; b) pentru fiecare element component, pe baza legilor fizicii, mecanicii, se alege un model idealizat - exprimat printr-o relaţie matematică ce leagă mărimea de intrare şi de ieşire; c) se determină legăturile între elementele componente ale sistemului şi se stabilesc expresiile matematice ale acestora; d) se selectează mărimile de ieşire ale căror evoluţie se studiază în funcţie de mărimile de intrare; se stabileşte modelul întregului sistem prezentat prin relaţii algebrice, ecuaţii diferenţiale, expresii integrale liniare sau neliniare, cu coeficienţi constanţi sau variabili în timp În cazul unui sistem liniar monovariabil neted (continuu în timp), cu o intrare şi o ieşire, modelul matematic intrare-ieşire este o ecuaţie diferenţială cu coeficienţi constanţi Modelul intrare-stare-ieşire este descris de ecuaţii vectorial-matriciale de forma: unde x este vectorul de stare de dimensiune n; u, y sunt mărimi scalare; u - mărime de intrare, y - mărime de ieşire; A - este o matrice constantă de dimensiune n x n; b, c sunt vectori constanţi de dimensiune n; d este o constantă scalară. Tranziţia intare-ieşire a sistemului este descrisă de o ecuaţie diferenţială de ordinul n, cu coeficienţi constanţi:

19 unde y(k)(t), k =1,n de ordinul k a mărimii y şi derivata de ordinul j a mărimii u. u(j)(t), j = 1,m reprezinta respectiv derivata Se introduce operatorul de derivare p = d(.)/dt si prima ecuație devine: Exemplul 2.1. Se consideră un motor de curent continuu cu excitaţie separată Functionarea motorului este descrisă de: a) ecuaţia de echilibru a tensiunilor din circuitul indusului, obţinută prin aplicarea teoremei a 2-a a lui Kirchhoff; b) ecuaţia de echilibru mecanic al cuplurilor care intervin în funcţionarea acestuia unde ua este tensiunea de alimentare a indusului (rotorului) motorului şi reprezintă mărimea de comandă a acestui sistem; ia - curentul din circuitul indusului; Ra, La - rezistenţa şi respectiv inductanţa indusului; e - tensiunea contraelectromotoare; k1, k2, k3 - constante de proporţionalitate; mm - cuplul electromagnetic dezvoltat de motor; mr - cuplul rezistent util produs de sarcină (maşina de lucru acţionată de motor), care reprezintă mărimea perturbatoare pentru sistem; mf - cuplul de frecare vâscoasă; ω - viteza unghiulară care reprezintă mărimea de ieşire a sistemului; J- momentul de inerţie al maselor în mişcare de rotaţie. Se aleg ca variabile de stare, curentul ia şi viteza unghiulară ω : x1 = ia ; x2 = ω ; mărimea de ieşire este y = ω = x2. Ţinând seama de ecuaţiile vectorial-matriciale intrare-stare-ieşire ale sistemului sunt

20 Ţinând cont că mărimea de intrare este u = ua şi mărimea de ieşire este y = ω, pentru motorul de curent continuu ecuaţia operaţională devine 9-Transformata Laplace în studiul sistemelor dinamice Transformata Laplace constituie una din metodele de calcul operaţional utilizată pentru rezolvarea ecuaţiilor integro-diferenţiale. Funcţiile pentru care se poate defini transformata Laplace se numesc funcţii original. O funcţie original este o funcţie de timp f(t) care satisface condiţiile: a) f(t) = 0 pentru t < 0 ;

21 b) b) pe fiecare interval finit al axei reale, f(t) are cel mult un număr finit de discontinuităţi de speţa întâia ; c) există două numere reale M şi σ0 astfel că: Transformata Laplace a unei funcţii original se defineşte prin relaţia: (1) Funcţia F(s) se numeşte imaginea lui f(t) şi se notează: Deoarece integrala se aplică pe semiaxa (0, + ) transformata Laplace definită de (1)este unilaterală.integrala din (1)este convergentă numai pentru Real s > σ0. În acest domeniu F(s) este olomorfă. Transformata F(s) definită de (1)este univocă şi se numeşte transformata Laplace directă. Transformata Laplace inversă este univocă numai în cazul funcţiilor f(t) continue şi se defineşte prin relaţia: Transformata Laplace inversă permite determinarea funcţiei original f(t), când se cunoaşte funcţia imagine F(s) Avantaje ale transformatei Laplace: 1.transformă operaţiile de derivare şi de integrare din domeniul timpului în operaţii algebrice (înmulţire şi împărţire cu s). 2.În domeniul timpului, la rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale se determină mai întâi o soluţie generală dependentă de n constante de integrare, care sunt apoi determinate impunând ca soluţia generală să satisfacă anumite condiţii iniţiale. Prin utilizarea transformatei Laplace, condiţiile iniţiale sunt considerate de la început. 3. În domeniul timpului se determină întâi soluţia generală a ecuaţiei omogene şi apoi utilizând metoda variaţiei constantelor, se determină o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene. În domeniul complex utilizând transformata Laplace soluţiile ecuaţiei omogene şi ecuaţiei neomogene se pot determina independent. Transformata Laplace se poate aplica şi distribuţiilor. Deoarece transformata Laplace unilaterală se aplică funcţiilor definite pe [0, + ), se consideră numai distribuţiile din (-, + ) cu suport în [0, + ).

22 Daca functia f(t) este continua în t = 0, f(0+) = f(0-), transformata Laplace a derivatei în sens distributii coincide cu transformata derivatei obisnuite. Pentru o functie f(t) cu discontinuitati de speta întâi derivata sa generalizata va contine impulsuri Dirac în punctele de discontinuitate. 10-Functii de transfer ale sistemelor dinamice netede Marimea de iesire, y(t), a unui sistem dinamic, este influentata de marimea de intrare u(t) si de evolutia anterioara a sistemului. Se considera sistemele monovariabile care pleaca din repaus, deci Se considera un sistem liniar continuu monovariabil, descris de ecuatia diferentiala (1) Se presupune ca sistemul fizic, realizeaza derivarea în sens distributii. Transformatele Laplace ale marimilor de intrare si iesire sunt Se aplica transformata Laplace directa, ecuatiei (1) pentru conditiile initiale nule si se obtine: Definitie: Functia de transfer a unui sistem liniar monovariabil continuu este raportul dintre transformata Laplace a marimii de iesire si transformata Laplace a marimii de intrare, pentru conditii initiale nule ale sistemului Schema bloc

23 PROPRIETATI 1.O functie de variabila complexa, care este reala atunci când variabila independenta este reala, se numeste functie reala în sens larg. Deoarece coeficientii care apar în functia H(s) sunt reali, rezulta ca functiile de transfer ale elementelor rationale de transfer sunt functii reale.o consecinta a acestui fapt este proprietatea de reflexie a functiei de transfer. Radacinile numaratorului functiei H(s), deci ale ecuatiei Q(s) = 0, notate z1, z2,..., zm sunt zerourile finite ale functiei H(s). Radacinile numitorului functiei H(s), deci ale ecuatiei P(s) = 0 notate p1, p2,..., pn sunt polii finiti ai functiei H(s). Daca m > n, la cei n poli finiti se adauga si punctul de la ca pol de ordinul m - n, astfel ca numarul total de poli este n+(m - n)= = m, egal cu numarul de zerouri. Daca m < n, la cele m zerouri finite se adauga si punctul de la ca zerou de ordinul n - m, astfel ca numarul total de zerouri este m+(n - m)=n, deci egal cu numarul de poli. 11-Reprezentari grafice ale functiei de transfer.principiul argumentului. Conturul Nyquist Orice functie de transfer H(s), fiind o functie de variabila complexa s = σ + jω, poate fi scrisa si poate fi reprezentata într-un plan complex cu coordonatele HRe si jhim denumit planul H(s). Daca variabila complexa s descrie un contur închis C în planul s, fig. 2.8.a, atunci H(s) descrie de asemenea un contur închis în planul H(s), fig. 2.8.b. Teorema (Cauchy): Daca o functie meromorfa H(s) are z zerouri si p poli în interiorul unui contur închis C si nu are nici un zerou si nici un pol pe conturul C, atunci:

24 Se aplica teorema reziduurilor derivatei logaritmice a functiei de transfer H(s). Se presupune ca în interiorul conturului C, H(s) are zerourile zi, cu ordinele de multiplicitate mi, i = 1, 2,..., μ, si polii pj, cu ordinele de multiplicitate nj, j = 1, 2,..., v, astfel ca: Pentru functia H'(s)/H(s), atât zerourile zi cât si polii pj sunt singularitati de tip pol. Fie z1 zeroul de ordin de multiplicitate m1. Se pot scrie relatiile: Rezulta ca z1 este pol pentru H'(s)/H(s) si ca m1/(s - z1) este termenul de rang (-1) din dezvoltarea în serie in relatia de mai sus Laurent a functiei H'(s)/H(s) Coeficientul acestui termen este reziduul corespunzator polului z1 al functiei H'(s)/H(s) (2.66) unde Cz1 este un contur ce cuprinde în interiorul sau zeroul z1. Daca se repeta rationamentul pentru toate zerourile z1, z2,..., zμ rezulta Pentru polul p1 de multiplicitate n1 se pot scrie relatiile:

25 Din (2.68) rezulta ca p1 este pol pentru functia H'(s)/H(s), iar reziduul corespunzator acestui pol este: Calculând reziduurile pentru toti polii p1, p2,..., pv rezulta Din (2.66) si (2.70) se obtine imediat relatia (2.64) O consecinta importanta a acestei teoreme, cunoscuta si sub numele de principiul argumentului rezulta prin integrarea membrului stâng din relatia (2.64). Dintre toate contururile C posibile, în studiul sistemelor automate prezinta interes conturul Nyquist care este un semicerc cu centrul în originea axelor planului s având raza infinit mare si limitat la stânga de axa imaginara, fig Conturul Nyquist exploreaza semiplanul drept al planului s în vederea analizei stabilitatii sistemelor dinamice. Parcurgerea axei imaginare din cadrul acestui contur, pentru valori ale lui ω ( -, + ), echivaleaza cu cunoasterea hodofrafului vectorului H(jω) care reprezinta raspunsul la frecventa al unui sistem dinamic caracterizat de functia de transfer H(s). Unele functii de transfer au adesea poli si zerouri situati pe axa imaginara a planului s, care constituie puncte singular. Aceste puncte se exclud din conturul C prin ocolirea lor cu semicercuri de raza infinit mica, asa cum se arata în fig Ex: Fie functia de transfer:

26 Sa se reprezinte grafic H(s) si H(jω) pentru s apar tinând conturului Nyquist si respectiv axei imaginare a planului s. Aceasta functie de transfer admite un pol în origine si unul în semiplanul s stâng. Pentru aceasta functie: m = 0, n = 2, z = 0, p = 0, z0 = 0, p0 = 1. Conturul Nyquist pentru H(s) este reprezentat în fig a de mai sus. Pe semicercul de raza infinit mica s = r.ejυ, r 0, s+1/t2 = 1/T2 Conturul Nyquist pentru H(s) este reprezentat în fig a. Pe semicercul de raza infinit mica s = r. e jφ, r 0, s + 1/T2= 1/T2 si 12-Conexiuni de bază ale elementelor raționale Utilizarea notiunii de functie de transfer permite determinarea simpla a proprietatilor dinamice ale unui sistem (constituit dintr-un ansamblu de elemente interconectate), atunci când se cunosc proprietatile dinamice (functiile de transfer) ale elementelor componente Sunt trei conexiuni de baza ale elementelor componente: conexiunea serie, conexiunea paralel si conexiunea reactie inversa. 1.SERIE Pentru fiecare element se poate scrie Functia de transfer a elementului echivalent:

27 Deci functia de transfer echivalenta pentru mai multe elemente rationale conectate în serie este egala cu produsul functiilor de transfer ale acestor elemente. 2. PARALEL Elementele rationale cu functiile de transfer H1(s), H2(s),..., Hn(s) sunt conectate în paralel daca au aceeasi marime de intrare iar iesirile se însumeaza (algebric): Asadar functia de transfer echivalenta pentru mai multe elemente conectate în paralel este egala cu suma functiilor de transfer ale acestor elemente. 3.CU REACȚIE INVERSĂ Conexiunea cu reactie inversa a doua elemente cu functiile de transfer H1(s) si H2(s) unde elementul cu functia de transfer H2(s) este conectat pe calea de reactie a elementului cu functia de transfer H1(s). În conformitate cu aceasta schema se pot scrie relatiile: Daca în prima relatie, apare semnul '+' se spune ca reactia este pozitiva iar daca apare semnul '-', se spune ca reactia este negativa. (*)

28 Daca reactia este adusa direct de la iesirea unui element, se spune ca reactia este unitara. În acest caz functia de transfer echivalenta se gaseste considerând în U2(s) = Y2(s), adica H2(s) = 1 Deci functia de transfer H(s) echivalenta conexiunii cu reactie inversa este egala cu raportul dintre functia de transfer a caii directe H1(s) si suma sau diferenta (pentru reactie inversa negativa, respectiv pozitiva) dintre unitate si functia de transfer a buclei (calea directa si calea de reactie), considerata deschisa în punctul P Exemplu. Motorul de curent continuu. Pentru motorul de curent continuu cu excitatie separata functionarea este descrisa de ecuatiile(*). Se presupune ca motorul pleaca din repaus (conditiile initiale sunt nule) si aplicând transformata Laplace în se obtine 13-Identități de transformare ale schemelor bloc Schemele bloc structurale ale sistemelor dinamice prezinta un avantaj pentru ca permit trecerea de la ecuatiile scrise pentru partile cele mai simple ale sistemelor la descrierea matematica a sistemelor în ansamblu. Pentru transformarea schemelor bloc nu se pot formula reguli exacte ci se pot enunta urmatoarele reguli generale : 1) Se reduc la blocuri echivalente blocurile conectate în serie fara derivatii intermediare; 2) Se reduc la blocuri echivalente blocurile conectate în paralel, fara derivatii la iesirile blocurilor 3) Se deplaseaza convenabil derivatiile si sumatoarele în conformitate cu identitatile de transformare ce se vor prezenta ; 4) Se reduc la blocuri echivalente circuitele închise (cu reactie inversa) începând cu cele interioare ;

29 5) Se repeta si/sau se combina operatiile de la punctele 1-4 în functie de natura schemei si de scopul urmarit. Identități de transformare ale schemelor bloc 1.Deplasarea sumatorului de la ieșire la intrare Sumatorul de la iesirea blocului H(s) este translat la intrarea sa 2.Translarea unui bloc după sumator Blocul cu functia de transfer H2(s) este translat dupa sumator.pe cealalta intrare în sumator se înseriaza un bloc cu functia de transfer 1/H2(s). 3. Translarea punctului de ramificatie de la iesirea unui bloc Ramificatia de la iesirea blocului H(s) este translata la intrarea sa. Pe fiecare ramura apare cîte un bloc cu functia de transfer H(s). 4. Translarea punctului de ramificatie de la intrare la iesirea unui bloc Punctul de ramificatie de la intrarea blocului H(s), fig a, este translat la iesirea sa, fig b. Pe ramificatie apare un bloc cu functia de transfer 1/H(s).

30 5.Translarea sumatoarelor. Sumatoarele 1 si 2 din figură schimba locurile între ele. 6. Deplasarea unui sumator în afara buclei de reactie Fie sistemul cu reactie din fig a care contine pe legatura directa un sumator 2. Prin deplasarea sumatorului 2 în afara buclei de reactie se obtine schema echivalenta din figură. Pe intrarea u2 se introduce un bloc cu functia de transfer 1/[1 ± H1(s)H2(s)]. Se aplica principiul suprapunerii efectelor. Pentru U2(s) = 0 schema se reduce la schema din fig. a, iar pentru U1(s) = 0 aceeasi schema se reduce la schema din fig. b. Ecuatiile transferului intrareiesire pentru scheme sunt: Rezulta ca ecuatia de transfer intrare-iesire a schemei

31 14-Ecuatii cu diferente ale sistemelor dinamice discrete Ecuatiile cu diferente (sau ecuatii recurente) descriu matematic sistemele discrete (numerice si cu esantionare). O ecuatie cu diferente are o forma analoaga cu o ecuatie diferentiala, numai ca în locul derivatelor succesive ale intrarii si iesirii, apar valorile acelorasi functii la valori discrete ale timpului (la sistemele cu esantionare aceste valori sunt echidistante). Fie o ecuatie diferentiala ordinara de forma Se aproximeaza derivatele succesive ale marimilor u(t) si y(t) prin rapoartele incrementale successive unde Cp q = combinari de p, luate câte q. Se înlocuiesc în prima ecuatie derivatele marimilor u(t) si y(t) cu rapoartele de mai sus. Se va obtine

32 Ordonând dupa ordinul esantioanelor rezulta Se introduc notatiile:

33 Cu aceste notatii ecuatia (2.117) devine: Ecuatia (2.119) este o ecuatie cu diferente de ordin n cu esantioane intarziate, care descrie un sistem liniar monovariabil discret. Coeficientii ecuatiei cu diferente, depind de perioada de esantionare T. Pentru esantioanele în avans ale semnalelor de intrare si de iesire, ecuatia cu diferente care descrie un sistem liniar monovariabil discret devine: Pentru sistemele esantionate: t = kt, k apartine Z, t apartine R, si introducând timpul normat t/t, notat abuziv tot cu t, care este egal cu k apartine Z, ecuatiile recurente (cu diferente), (2.119) si (2.120), pentru un sistem liniar monovariabil discret, devin: În ecuatiile (2.121) si (2.122), pentru simplificarea scrierii s-a renuntat la indicele superior ' sau 1 al coeficientilor si s-a considerat an = 1. În cele doua ecuatii, coeficientii nu sunt identici. Aceste ecuatii reprezinta formele standard ale modelelor sistemelor dinamice liniare monovariabile discrete. Exemplul 2.6. Sa se determine modelul discret pentru un sistem monovariabil continuu, descris de ecuatia diferentiala de ordinul doi Se înlocuiesc în (2.123) derivatele lui u(t) si y(t), conform relatiilor (2.115), pentru o perioada de esantionare T = 0,1. Se obtine Se introduce timpul normat t/t = t = k. Pentru semnalele întârziate se obtine ecuatia cu diferente

34 Considerând semnalele în avans se obtine ecuatia cu diferente 16.Raspunsul la impuls al sistemelor monovariabile netede. Proprietati Se considera ca marimea de intrare a unui sistem monovariabil continuu este distributia Dirac. Raspunsul la impuls al unui sistem monovariabil neted se numeste functie/distributie pondere h(t). Principalele proprietati ale raspunsului la impuls sunt: 1. h(t) este nul pentru t < 0 2. Pentru t 0, h(t) satisface ecuatia : 3. Pentru t > 0, h(t) este o functie continua si infinit derivabila, care satisface ecuatia diferentiala omogena: 4. Pentru m <= n - 1, h(t) este o functie continua pentru t 0, care se poate exprima printr-o suma de exponentiale. Acestea se pot obtine aplicând transformata Laplace inversa a functiei de transfer H(s) si λi, i =1,,r sunt radacinile ecuatiei caracteristice fiecare de multiplicitate qi. Raspunsul la impuls se poate obtine experimental cu o buna aproximatie, daca la intrarea sistemului se aplica un impuls dreptunghiular de amplitudine cât mai mare (în limite admisibile pentru sistem), de durata cât mai mica si de energie suficienta, astfel ca sistemul sa reactioneze printr-un raspuns la iesire. Ex: a) Sa se determine raspunsul la impuls al sistemului descris de ecuatia si functia de transfer de mai jos. Raspunsul la impuls se calculeaza cu Valoarea initiala a raspunsului la impuls este h(0+) = b0= 0,5

35 Ex: b) Fie un sistem monovariabil descris de ecuatia diferentiala Functia de transfer a sistemului este Se calculeaza raspunsul la impuls si conditiile initiale, 17. Raspunsul indicial al sistemelor dinamice monovariabile netede Raspunsul unui sistem monovariabil liniar neted la un semnal de intrare treapta unitara, în conditii initiale nule, se numeste raspuns indicial sau functie indiciala notata cu w(t). Pentru ecuatia de transfer devine: În domeniul timpului se poate scrie: Principalele proprietati ale raspunsului indicial sunt: 1. Raspunsul indicial w(t) este nul pentru t < 0, 2. Pentru t 0 distributia w(t) satisface ecuatia: 3. Pentru t > 0, w(t) este o functie continua care satisface ecuatia neomogena 4. Pentru m n, functia indiciala nu contine distributia Dirac si derivatele ei. Valorile initiale la momentul t = 0+ ale functiei indiciale se calculeaza cu teorema valorii initiale.pentru m = n se poate stabili relatia:

36 Componenta permanenta a raspunsului indicial este Ex. a) Sa se determine raspunsul indicial al sistemului de ordinul 1 descris de functia de transfer, Aplicând transformata Laplace inversa rezulta: Valorile initiale la t=0+ sunt: w(0+) = 0 si w (1) (0+) =1/2. Ex: b) Fie sistemul descris de ecuatia diferentiala Raspunsul indicial al acestui sistem se determina cu relatia Valorile initiale la t = 0+ sunt: w(0+) = 0 ; w (1) (0+) = 0 ; w (2) (0+) = Utilizarea transformatelor Z pentru calculul raspunsurilor temporale ale sistemelor discrete Fie un sistem monovariabil discret descris de ecuatia:

37 În ecuatia (2.277) se efectueaza un decalaj la dreapta (întârziere) cu n pasi si se obtine: Se aplica în (2.278) transformata Z stiind ca Relatia (2.280) se poate aduce la forma: În ecuatia (2.277) se efectueaza un decalaj la dreapta (întârziere) cu n pasi si se obtine: Se aplica în (2.278) transformata Z stiind ca: Relatia (2.280) se poate aduce la forma: Daca sistemul pleaca din repaus, conditiile initiale sunt nule y(-1)=... = y(-n) = 0; u(-1) =... = u(-n) = 0, si al doilea termen din membrul drept din (2.281) se anuleaza. Primul termen reprezinta

38 produsul dintre functia de transfer H(z) si imaginea marimii de intrare U(z). Relatia (2.281) se reduce la forma Aplicând transformata Z inversa în relatia (2.281) se obtine y(k), solutie a ecuatiei cu diferente (2.277), pentru conditii initiale nule Exemplul. Fie sistemul discret descris de ecuatia Sa se determine marimea de iesire y(k) considerând ca u (k) = δ (k) În ecuatia (2.284) se efectueaza un decalaj la dreapta cu 2 pasi si se aplica transformata Z Pentru y(-1) = y(-2) = 0, u(-1) = u(-2) = 0 rezulta Se descompune în fractii simple Y(z)/z Aplicând transformata Z inversa în (2.289) rezulta Din (2.290) pentru k = 0 rezulta y(0) = 0, iar pentru k 1, δ(k)= 0 si y(k) coincide cu h(k). 19.Raspunsul la impuls al sistemelor monovariabile discrete Raspunsul cauzal al unui sistem liniar monovariabil discret, invariant în timp, la impulsul unitar discret δ(k) este denumit raspuns la impuls sau secventa de ponderare.un sistem monovariabil discret, de ordin oarecare, este descris de ecuatia:

39 respectiv de functia de transfer discreta Daca la intrarea sistemului se aplica un impuls unitar discre: Din ecuatia de transfer intrare-iesire, aplicand transformata Z inversa rezulta Rezulta din cele doua relatii anterioare ca functia de transfer discreta H(z) reprezinta transformata Z a raspunsului la impuls al unui sistem liniar monovariabil discret. Ex a). Fie sistemul monovariabil discret descris de ecuatia (1) Sa se determine raspunsul la impuls si rapunsul sistemului pentru (2) Aplicând transformata Z în ecuatia (1), tinând seama de (2) se obtine Aplicând transformata Z inversa, dupa descompunerea în fractii simple a expresiilor H(z)/z, Y(z)/z, se obtine pentru h(k) si y(k) Primul termen din ultima relatie reprezinta componenta fortata a raspunsului determinata de marimea de intrare u(k). Al doilea termen reprezinta influenta conditiilor initiale asupra raspunsului sistemului. 20. Raspunsul indicial al sistemelor dinamice discrete Raspunsul unui sistem dinamic liniar monovariabil discret la un semnal de intrare treapta unitara discreta σ(k), în conditii initiale nule, se numeste raspuns inidicial discret sau functie indiciala discreta, notata cu w(k).

40 Ecuatia de transfer devine: Ex: a)fie sistemul discret descris de functia de transfer în z Se aplica la intrare un semnal treapta unitara discreta, Raspunsul indicial al sistemului se obtine aplicând transformata Z inversa functiei: Utilizând metoda împartirii infinite relatia de mai sus este dezvoltata în serie de puteri dupa z Raspunsul indicial al sistemelor dinamice discrete. Raspunsul unui sistem dinamic linear monovariabil discret la un semnal de intrare treapta unitara discreta σ(k), în conditii initiale nule, se numeste raspuns inidicial discret sau functie indiciala discreta, notata cu w(k). (2.317) Ecuatia de transfer devine: În domeniul timpului se poate scrie:

41 Exemplul: Fie sistemul discret descris de functia de transfer în z: Se aplica la intrare un semnal treapta unitara discreta, definit de (2.317). Raspunsul indicial al sistemului se obtine aplicând transformata Z inversa functiei: Utilizând metoda împartirii infinite relatia (2.322) este dezvoltata în serie de puteri dupa z -1 În fig este prezentat raspunsul indicial al sistemului discret (2.321) 21.Transformata Fourier. Teorema esantionarii Shannon. Orice functie periodica care satisface conditiile: a) este univoca pe perioada T, b) are un numar finit de maxime si minime si un numar finit de discontinuitati de prima speta c) închide o suprafata finita, poate fi descompusa într-o serie infinita de functii armonice conform relatiei: În care ω0, T si b0 sunt respectiv: pulsatia, perioada si valoarea medie a functiei periodice f(t). Relatia (2.324) se poate aduce la forma:

42 Expresia (2.328) se numeste seria complexa Fourier a functiei f(t); ck este un coeficient complex numit amplitudinea complexa a armonicii k; e jkω0t este numita armonica de ordin k. Pentru o functie f(t) continua se defineste transformata Fourier F(jω) cu relatia: Cu transformata Fourier inversa se poate deternina originalul f(t) cand se stie functia imagine F(jω) Transformata Fourier F(jω) a functiei f(t) se numeste spectru frecvential al acestei functii, iar relatia (2.339) se numeste integrala Fourier sau transformata Fourier inversa. Admit transformata Fourier numai functiile f(t) (cu valori reale, mai rar complexe) de variabila reala t care satisfac conditiile lui Dirichlet : 1) f(t) este «integrabila» 2) 2) f(t) are un numar finit de discontinuitati de prima speta pe orice interval finit; 3) f(t) are un numar finit de maxime si minime pe orice interval de timp finit. Teorema esantionarii Shannon Daca un semnal f(t) nu contine frecvente mai ridicate ca ωc= 2πfc, atunci acesta este complet caracterizat de valorile sale masurate periodic cu o perioada T data de relatia (2.365). Atunci când conditia (2.365) nu este respectata, în spectrul I F*(jω) I nu se mai regaseste decât partial F(jω), iar semnalul f*(t) va contine erori importante numite erori de esantionare. În practica frecventa de esantionare se alege de (10-100) ori mai mare decât frecventa de taiere a sistemului. 22. Raspunsul la frecventa al sist. dinamice liniare monovariabile netede Pe baza transformatei Fourier s-a dezvoltat metoda operationala de studiu a sistemelor dinamice liniare monovariabile si invariante în timp denumita metoda frecventiala. Definitie: Raspunsul la frecventa al unui system dinamic monovariabil este raspunsul fortat al acestuia determinat de un semnal de intrare armonic (sinusoidal). Se considera un sistem monovariabil liniar neted descries de ecuatia

43 Se noteaza transformatele Fourier ale lui y(t) si u(t): Y(jω ) = F {y(t)} ; U(jω ) = F{u(t)} (2.367) Tinând seama de proprietatile transformatei Fourier din relatia (2.366) se obtine: Se noteaza cu H(jω) raportul: Functia complexa H(jω) se poate obtine direct din functia de transfer a sistemului, H(s), înlocuind s = jω. Ecuatia (2.370) se poate scrie sub forma: Y(jω ) = H(jω )U(jω ). (2.373) Revenind în domeniul timpului, conform teoremei produsului de convolutie, se obtine: h(t) este raspunsul la impuls al sistemului monovariabil. Definitia 2.6. Functia complexa H(jω) se numeste raspunsul la frecveta al unui sistem dinamic monovariabil si se defineste ca transformata Fourier a raspunsului la impuls al acestuia. Rezulta din (2.376) o interpretare fizica a transformatei Fourier: transformata H(jω) este o imagine frecventiala (spectrala) a originalului h(t). Deoarece H(s) este o functie reala, datorita proprietatii de reflexie (relatia (2.61)), rezulta ca: si deci: unde HR(ω) = Re(H(jω)) este partea reala si HI(ω) = Im(H(jω)) este partea imaginara a functiei H(jω). Pentru functia complexa H(jω) se definesc modulul M(ω) si argumentul φ(ω)

44 Raspunsul la frecventa H(jω) caracterizeaza complet raspunsul fortat al unui sistem monovariabil pentru o marime de intrare sinusoidala. Pentru marimea de intrare sinusoidala de forma: Marimea de iesire complexa se calculeaza cu produsul de convolutie (2.374) si se obtine: Marimea de iesire în regim fortat (permanent) este: Rezulta ca raspunsul fortat al sistemului este tot o oscilatie sinusoidala, de aceeasi pulsatie ω0 ca si marimea de intrare, dar de amplitudine si faza diferite de cele ale marimii de intrare. Din (2.382) si (2.383) se obtine: Deci modulul raspunsului la frecventa este egal cu raportul dintre amplitudinea oscilatiei de la iesire si amplitudinea oscilatiei de la intrare, iar argumentul sau este egal cu faza oscilatiei de la iesire. Pe baza raspunsului la frecventa s-a dezvoltat metoda de analiza si sinteza a sistemelor dinamice, denumita metoda frecventiala. Reprezentari grafice: Raspunsul la frecventa H(jω) este o functie complexa de variabila reala ω. Se utilizeaza reprezentarile grafice a) În planul complex HR(ω), jhi(ω) se traseaza hodograful fazorului H(jω), pentru ω apartine lui R care se denumeste loc de transfer al raspunsului la frecventa. Locul de transfer este o curba în planul H(jω) gradata în valori ale pulsatiei ω, fig

45 b) Se reprezinta grafic separat functiile M(ω) si φ(ω) pentru ω є [0, ) sau functiile HR(ω) si HI(ω) pentru ω є [0, ). M(ω) si φ(ω) se denumesc caracteristica modul-frecventa, respectiv caracteristica faza-frecventa. HR(ω) si HI(ω) se denumesc caracteristica reala de frecventa, respectiv, caracteristica imaginara de frecventa. c) Se reprezinta grafic caracteristica modul-faza, luând în abscisa faza φ(ω) iar în ordonata modulul M(ω) si se gradeaza curba in valori ale lui ω. O asemenea caracteristica se numeste locul lui Black. d) Se traseaza grafic M(ω) si φ(ω) în coordonate logaritmice. Aceste caracteristici constituie diagrama Bode. 23. Locul de transfer al raspunsului la frecventa Raspunsul la frecventa H(jω) fiind transformata Fourier a unei functii reale (raspunsul la impuls) satisface relatiile: Deci partea reala HR(ω) este o functie para, iar partea imaginara HI(ω) este o functie impara. M(ω) este o functie para, iar φ(ω) este o functie impara. Rezulta ca locul de transfer este simetric fata de axa reala. Locul pentru pulsatii pozitive ω є [0, ) numit si loc de transfer pozitiv. Locul de transfer negativ, corespunzator pulsatiilor negative ω є (-, 0) va fi simetricul fata de axa reala a locului de transfer pozitiv. Intersectiile locului de transfer cu cele doua axe se obtin rezolvamd ecuatiile: HR(ω) = 0 ; HI (ω) = 0. (2.396) Locul de transfer în domeniul frecventelor foarte mari Forma locului de transfer în domeniul frecventelor foarte mari va depinde de diferenta m - n. Pentru ω tinzând la infinit se obtine:

46 Pentru m - n 1, /H(jω)/ = pentru ω, locul de transfer tinde la infinit tangent la semiaxa de unghi φ = (m - n)π/2 daca sgn bm = + 1 sau φ = +(m - n)π/2 + π daca sgn bm= - 1. Pentru m - n = 0, deci punctul corespunzator apartine axei reale, pe semiaxa pozitiva daca sgn(bm)= 1 sau pe semiaxa negativa daca sgn(bm)= -1. Pentru m - n -1, locul de transfer ajunge în origine fiind tangent la semiaxa de argument. Atât pentru m - n 1 cât si pen-tru m - n - 1 se pune în evidenta o periodicitate de 4. Pentru sgn(bm) > 0 si -4 m - n 4, în fig.2.56 se prezinta forma locului de transfer la frecvente foarte mari, în toate situatiile posibile. Locul de transfer în domeniul frecventelor foarte mici Se considera ca locul de transfer H(jω) are în origine un pol de multiplicitate α, conform relatiei: Forma locului de transfer în domeniul frecventelor mici va depinde de α. Astfel pentru ω 0, din (2.398) se obtine: Pentru α = 0, H(0+) = constant, apartine axei reale. Pentru α 0-1, IH(jω)Iω=0+ = 0, locul de transfer pentru ω 0 ajunge în originea axelor, fiind tangent (în origine) la semiaxa de argument: Pentru α -1, IH(jω)Iω=0+ =, locul de transfer tinde la infinit, tangent la semiaxa de argument:

47 În cazul când α = +1 se poate arata ca IHR(0+)I este finit, iar IHI(0+)I=, deci locul de transfer va avea ca asimptota dreapta de abscisa HR(0+). Pentru aceasta se scrie H(jω) sub forma urmatoare: În relatia (2.400) se amplifica cu conjugata numitorului în membrul drept si se separa partea reala si partea imaginara. Pentru α - 1 si pentru α 1 se pune în evidenta o periodicitate de 4. În fig se prezinta forma locului de transfer pentru ω 0+, pentru toate situatiile - 4 α 4, si sgn k = Caracteristici de frecventa. Diagrama Bode. Caracteristicile de frecventa se reprezinta de obicei în coordonate rectangulare simple. Caracteristicile M(ω) si φ(ω) se pot reprezenta si în coordonate logaritmice. Se introduce o masura a amplificarii sistemului (a modulului M(ω)) definita prin (2.407)

48 AdB(ω) se numeste atenuare si se masoara cu o unitate de masura a amplificarii, introdusa în mod artificial, numita decibel si notata db. Astfel, de exemplu, pentru o amplificare de 1000 corespunde o atenuare de 60 db. Caracteristica AdB(ω) se numeste caracteristica atenuare-frecventa si se reprezinta luând în ordonata o scara liniara pentru atenuarea în decibeli. Pentru caracteristica faza-frecventa în ordonata se iau valorile fazei φ exprimate în grade sau în radiani. Perechea de caracteristici: AdB(ω) - atenuare-frecventa si φ(ω)-faza-frecventa reprezinta diagrama Bode sau caracteristicile logaritmice de frecventa. Avantaje: 1. În cazul sistemelor formate din elemente conectate în serie, operatiilor de multiplicare le corespund în diagrama Bode operatii de sumare algebrica. Astfel pentru n elemente înseriate raspunsul la frecventa se poate exprima în forma: Logaritmând expresia modulului si înmultind-o cu 20 se obtine: Pentru elementele conectate în serie atenuarea rezultanta este suma atenuarilor elementelor componente, iar faza rezultanta φ(ω) este egala cu suma fazelor respectivelor elemente. 2. Pe diagrama Bode apare posibilitatea trasarii mult mai usoare a caracteristicii AkdB(ω) a fiecarui element k cu ajutorul celor doua asimptote determinate pentru frecventele foarte mici si pentru frecventele foarte mari. 3. Utilizarea caracteristicilor logaritmice de frecventa permite cuprinderea unor domenii mai întinse de valori pentru pulsatia ω. În cazul elementelor cu functii de transfer rationale care admit zerourile z1, z2,..., zm si respectiv polii p1, p2,..., pn presupuse reale si distincte, se poate scrie: Se definesc constantele de timp:

49 Functia de transfer (2.411) devine: Raspunsul la frecventa al sistemului rezulta din (2.413) pentru s = jω. Modulul raspunsului la frecventa va fi: iar atenuarea se poate scrie: Pentru trasarea rapida a caracteristici atenuare-frecventa pentru fiecare termen elementar de forma: se determina asimptotele pentru ω 0 si ω. Aceste asimptote sunt de panta 20 db/decada.

50 Din (2.417) rezulta ca se poate obtine caracteristica atenuare rezultanta prin însumarea algebrica a caracteristicilor termenilor elementari. Deci daca ω variaza de la 0 la, la fiecare valoare a pulsatiei ωk = 1/Tk în sumele din membrul drept apare un termen si deci se modifica panta caracteristicii asimptotice de frecventa.punctele de abscisa ωl = 1/Tl' si ωi = 1/Ti se numesc puncte de frângere ale caracteristicii. Deoarece din însumarea a doua functii liniare continue de pante m1 si m2 se obtine o functie liniara continua de panta m1 + m2, rezulta din (2.417) ca se poate reprezenta caracteristica atenuare-frecventa asimptotica printr-o linie frânta. Modificarile de panta sunt de + 20 db/dec în punctele de frângere corespunzatoare termenilor pozitivi (respectiv zerourilor ωl = 1/Tl' = - zl) si de - 20 db/dec în punctele de frângere corespunzatoare termenilor negativi (respectiv polilor functiei de transfer ωi = 1/Ti = - pi). Pentru frecventele foarte joase: caracteristica atenuare-frecventa are asimptota: Cu aceste date se poate trasa caracteristica atenuare-frecventa dupa urmatorul algoritm: a) Se trec pe axa absciselor punctele de frângere. b) Se traseaza asimptota de joasa frecventa (2.422). c) La fiecare punct de frângere panta caracteristicii creste cu 20 db/dec fata de valoarea precedenta, daca punctul de frângere corespunde unui zerou, respectiv scade cu 20 db/de daca punctul de frângere corespunde unui pol al functiei de transfer 25.Clasificarea elementelor tipice. Sistemele la care mărimea de ieşire urmăreşte instantaneu orice modificare a mărimii de intrare se numesc sisteme (elemente) neinerţiale sau ideale. Se deosebesc trei comportări tipice neinertiale de bază: Element cu comportare proportională P Element cu comportare integratoare I

51 Element cu comportare derivativă D Sistemele reale netede, datorită elementelor acumulatoare de energie sau substantă şi disipative (rezistive), se caracterizează printr-o întârziere sau inerţie. Ordinul de întârziere sau de inertie este determinat de numărul elementelor acumulatoare de energie sau substantă (capacităti) înseriate si coincide cu ordinul ecuatiei diferentiale.elementele cu întârziere de ordin 1 şi 2. element de întârziere de ordin 1 - (T1) element de întârziere de ordinul 2 - (T2) Cu ajutorul elementelor tipice, P, I, D, T1, T2 prin conexiunile serie, paralel şi cu reactie se pot obtine sisteme dinamice oricât de complicate. Pentru o functie de transfer de mai jos se utilizeaza simbolizarea (P+I2+D)T2 sau PI2DT2. Sisteme cu timp mort la care intre momentul modificării mărimii de intrare şi momentul aparitiei mărimii de ieşire există un interval de timp numit întârziere pură sau timp mort. Timpul mort este determinat de timpul de transport de substantă, de transfer de energie, sau de propagare de semnale. Din acest punct de vedere sistemele dinamice se împart în două grupe : a) sisteme fără timp mort, b) sisteme cu timp mort. Functie de pozitia polilor şi zerourilor functiei de transfer se deosebesc: a) sisteme cu poli în tot planul s (pentru sistemele continue), respectiv în tot planul z (pentru sisteme discrete).polii functiei de transfer situati în Re s > 0 (respectiv poli din IzI>1) sau polii

52 multipli de pe axa imaginară Re s = 0 (respectiv pe IzI=1) contribuie la răspunsul la impuls h(t) cu termeni ce tind spre infinit când timpul tinde spre infinit. Astfel că: Asemenea elemente se numesc instabile. b) sisteme cu poli în Re s < 0 sau cu poli simpli pe Re s = 0 (pentru sisteme continue), respectiv cu poli în interiorul cercului de rază unitară, IzI < 1, sau cu poli simpli pe IzI = 1 (pentru sistemele discrete). Asemenea sisteme se numesc stabile. După pozitia zerourilor functiei de transfer sistemele stabile se împart în două grupe: b1) sisteme cu zerouri numai în Re s < 0 (cazul continuu) sau numai în IzI < 1 (cazul discret). Aceste sisteme se numesc sisteme (elemente) de fază minimă. b2) sisteme cu zerouri în tot planul s respectiv în tot planul z. Asemenea sisteme se numesc sisteme (elemente) de fază neminimă. 26.Elementul T1,raspuns la impuls si raspunsul indicial. Comportarea sa este descrisǎ de o ecuatie diferentialǎ de ordinul 1, de formele: T1 = 1/a0 este o constantǎ realǎ. Din conditia de omogenitate dimensionalǎ a relatiei (2.529) T1 se exprimă în unitǎţi de timp şi se numeşte constanta de timp a elementului. Constanta kp = b0/a0 se numeşte factorul de amplificare al elementului. Functia de transfer a acestui element si raspunsul la impuls sunt:

53 În fig este reprezentat rǎspunsul la impuls normat h(t)/kp. Subtangenta în origine la acest grafic este egalǎ cu T1. Rǎspunsul indicial se obtine pentru u(t) = σ(t)şi y(0-) = 0 Componenta permanentǎ a rǎspunsului indicial este: Componenta tranzitorie a rǎspunsului indicial: Rǎspunsul indicial normat w(t)/kp, este reprezentat în fig Valorile initiale ale rǎspunsului indicial sunt: 27. Elementul T1,raspuns la frecventa. Caracteristicile de frecvenţǎ:

54 În fig a sunt reprezentate caracteristicile de frecventǎ normate HR(ω)/kp si HI(ω)/kp iar în fig b sunt reprezentate caracteristicile M(ω)/kp şi φ(ω). Din caracteristica modul - frecventǎ M(ω) rezultǎ cǎ elementul T1 permite trecerea frecventelor joase, deci se comportǎ ca un filtru trece - jos. Intervalul de frecvenţe cuprinse între 0 şi ωt în care: se numeşte bandǎ de trecere. Frecventa (pulsatia) ωt se numeşte frecvenţǎ de tǎiere şi se determinǎ din conditia: Pentru a afla locul de transfer al elementului T1 se eliminǎ η = ωt1 între functiile HR(ω) şi HI(ω). Din (2.539) rezultǎ: 28.Elementul T2, raspuns la frecventa. Elementul de întârziere de ordinul doi contine douǎ elemente acumulatoare de energie sau substantǎ. Pentru elementul de ordin doi ecuatia diferentialǎ se poate scrie în mai multe forme, ca de exemplu: Dintre toate sistemele care au acelaşi modul al rǎspunsului la frecvenţǎ, numai sistemele de fazǎ minimǎ introduc cel mai mic defazaj dintre mǎrimea de intrare şi mǎrimea de ieşire, oricare ar fi ω. În functia de transfer a oricǎrui sistem de faza neminimǎ se poate pune în evidentǎ un factor care

55 corespunde unui sistem cu fazǎ minimǎ şi un factor care corespunde unui element de tip trecetot sau defazor pur. Functia de transfer a unui element de faza neminima se poate scrie in forma factorizata: în care P(s) şi Q2(s) sunt polinoame cu zerouri în Re s < 0, iar Q1(s) este un polinom cu zerouri numai în Re s > 0. Polinomul Q1(-s) are toate zerourile în Re s < 0. Ht(s) este funcţia de transfer a unui element trece-tot sau defazor pur. Hm(s) este funcţia de transfer a unui sistem de fazǎ minimǎ. Rǎspunsul la frecventǎ a elementului trece-tot este: În functia de transfer a unui element trece-tot gradul numǎrǎtorului este egal cu gradul numitorului. Fie n gradul numitorului şi m gradul numǎrǎtorului functiei de transfer Hm(s) a sistemului de fazǎ minimǎ. Deoarece sistemul de fazǎ minimǎ are zerourile şi polii numai în Re s < 0, conform principiului argumentului acest sistem va introduce un defazaj dintre mǎrimea de intrare şi mǎrimea de ieşire φm(ω) dat de relaţia: Deoarece sistemul de fazǎ neminimǎ cu functia de transfer Hnm(s), corespunzǎtor sistemului de fazǎ minimǎ Hm(s), are z zerouri în Re s > 0, corespunzǎtoare la z elemente trece-tot înseriate cu sistemul de fazǎ minimǎ Hm(s), va introduce un defazaj dintre mǎrimea de intrare şi ieşire - φnm(ω), conform relatiei (2.84) de forma: Comparând relatiile (2.674) şi (2.675) este evident cǎ: Din relatia (2.675) rezultǎ cǎ în cazul sistemelor cu fazǎ neminimǎ hodograful vectorului Hnm(jω) înconjoarǎ originea axelor în sens pozitiv de z ori, adicǎ de atâtea ori câte elemente trece-tot (defazori puri) are funcţia de transfer Hnm(s). Din relatiile (2.670), (2.673) rezultǎ cǎ rǎspunsurile la frecventǎ Hnm(jω) şi Hm(jω) au acelaşi modul:

56 Toate sistemele monovariabile, caracterizate prin acelaşi modul al rǎspunsului la frecventǎ, se deosebesc numai prin elemente trece-tot (2.672) conform factorizǎrii (2.670). 29. Stabilitatea. Criteriul fundamental de stabilitate. Criteriul Hurvitz. Criteriul Cremer-Mihailov. Criteriul Nyquist. Stabilitatea este una din proprietăţile interne ale sistemelor dinamice reflectată de dependenţa funcţiei de tranziţie a stărilor x(t) = φ(t,τ,xτ,ω), de faza iniţială (τ,x(τ)). Se spune că un sistem liniar este stabil dacă, lăsat să evolueze liber (respectiv cu toate intrările în sistem identic nule, u(t) = 0), în condiţii iniţiale arbitrare, tinde să atingă o stare de echilibru dinamic caracterizată prin valori finite ale variabilelor funcţionale (de stare şi de ieşire). Deoarece în acest caz evoluţia sistemului este influenţată doar de mărimea de stare (prin conditiile iniţiale x(τ), rezultatele privitoare la stabilitate se încadrează în aşa numita stabilitate internă Proprietatea de stabilitate care face referire la mărimile externe poartă denumirea de stabilitate externă sau stabilitate intrare-ieşire. Se spune că un sistem liniar este stabil dacă pentru orice mărime de intrare u(t), mărginită pe intervalul (0, ), mărimea de ieşire y(t) este de asemenea o funcţie mărginită. Din această cauză acest tip de stabilitate este denumit şi stabilitate intrare mărginită - ieşire mărginită (IMEM sau BIBO (bounded input-bounded output)). Criteriul fundamental de stabilitate: Pentru un sistem monovariabil funcţia de transfer este o fracţie raţională ireductibilă de forma: (2.60) Răspunsul la impuls (funcţia pondere), pentru t > 0, satisface ecuaţia diferenţială omogenă (2.228) a cărei ecuaţie caracteristică este numitorul funcţiei de transfer: Calculând răspunsul la impuls prin aplicarea transformatei Laplace inversă funcţiei de transfer descompusă în fracţii simple se obţine: Se observă din (4.10) că fiecare pol λi contribuie cu o componentă hi(t) în răspunsul la impuls h(t), după cum urmează:

57 pentru un pol simplu λi = αi є R pentru un pol real λi = αi є R de multiplicitate qi pentru o pereche de poli complecşi conjugaţi simpli λi,i+1 = αi ±jβi, Funcţia pondere h(t) va fi mărginită dacă şi numai dacă fiecare termen hi(t) este mărginit, adică există Mi > 0 astfel încât: Pentru λi є R simple, cazul (4.11a), condiţia (4.12) este satisfăcută dacă λi = αi 0. În cazul (4.11c) al unei perechi de poli conjugaţi simpli, termenul hi(t) corespunzător (4.11.c) este mărginit dacă şi numai dacă αi = Re λi 0 (funcţia sinusoidală fiind mărginită). În continuare se consideră o funcţie f(t) = t l e at, l 1, l є N, a є R, a cărei derivată este f'(t) = (lt l-1 + at l )e at. Pentru a > 0, f'(t) > 0, f(t) este monoton crescătoare şi deci nemărginită. Pentru a < 0, f'(t) = 0 la t = - l/a unde f(t) are un maxim. Deoarece pe (0, ) f(t) este pozitivă, rezultă că este mărginită. Functia f(t) este mărginită dacă şi numai dacă a < 0. Rezultă că termenii hi(t) corespunzători polilor multipli sunt mărginiţi, dacă λi = αi < 0 în cazul polilor reali (cazul 4.11b) si αi = Re λi < 0 pentru polii complecşi conjugaţi (cazul 4.11d). În aceste condiţii termenii hi(t) sunt mărginiţi şi deci h(t) este mărginită (relaţia (4.2) este satisfăcută) şi sistemul este stabil IMEM.) Criteriul fundamental de stabilitate IMEM enunţ: Un sistem liniar monovariabil neted este stabil IMEM dacă şi numai dacă toate rădăcinile ecuaţiei caracteristice P(s) = 0 (toţi polii funcţiei de transfer H(s)) au partea reală negativă sau nulă: iar toate rădăcinile (toţi polii) cu partea reală nulă sunt simple. Pentru ca sistemul dinamic stabil să fie asimptotic stabil trebuie să fie satisfăcută şi condiţia (4.3) ceea ce implică, din (4.10), ca fiecare din termenii hi(t) să satisfacă condiţia: Din relaţiile (4.11.a-d) rezultă că această condiţie este satisfăcută dacă toate rădăcinile ecuaţiei caracteristice (polii funcţiei de transfer) au partea reală negativă.

58 Într-adevăr pentru cazul (4.11a) acest lucru este evident; iar pentru cazul (4.11c) se scrie: Într-adevăr pentru cazul (4.11a) acest lucru este evident; iar pentru cazul (4.11c) se scrie, dacă αi < 0. Dacă se ţine seama că: (unde s-a aplicat de l ori regula l'hopital) numai dacă a < 0, rezultă condiţia (4.15) şi în cazul polilor multipli. Se poate enunţa criteriul fundamental de stabilitate asimptotică astfel, Teorema 4.3. Un sistem dinamic liniar monovariabil neted este asimptotic stabil IMEM dacă şi numai dacă toţi polii funcţiei de transfer au partea reală strict negativă. Dacă se notează cu C - = {s є C I Re s < 0} mulţimea tuturor numerelor complexe cu partea reală strict negativă şi cu P[H(s)] mulţimea tuturor polilor funcţiei de transfer, condiţia (4.15) se poate scrie în forma: Criteriul fundamental de stabilitate poate fi formulat şi astfel. Un sistem dinamic liniar monovariabil neted este asimptotic stabil IMEM dacă şi numai dacă toţi polii funcţiei de transfer sunt situaţi în semiplanul stâng (deschis) al planului complex. În fig.4.1 se prezintă o configuraţie de poli corespunzătoare unui sistem (asimptotic) stabil. Astfel polul λ1 = α1 є R introduce o componentă aperiodică amortizată e α1t ), iar perechea de poli complecşi conjugaţi λ2,2 = λ3 introduce o componenta periodică amortizată:

59 Toţi polii reali situiaţi în stânga dreptei I vor introduce componente aperiodice amortizate mai puternic decât (e α1t ), iar toţi polii complecşi conjugaţi situaţi în interiorul dreptelor II, vor introduce componente periodice, cu amortizare mai mare decât ξ = cos θ. Polii λ1, λ2, 2 corespund stabilităţii asimptotice. Polul λ4 = 0 introduce o componentă constantă (e 0 = 1), iar perechea de poli pur imaginari λ5, 5 = λ6 determină o componentă periodică întreţinută, în raport cu timpul (1 - cos β5t). Polii λ4, 5, λ5 fiind situaţi pe axa imaginară, corespund limitei de stabilitate. Polii din Re s > 0 determină instabilitatea sistemului. Polul λ7 de exemplu introduce o componentă aperiodică neamortizată în raport cu timpul. Principala dificultate în aplicarea criteriului fundamental de stabilitate rezultă din necesitatea rezolvării unor ecuaţii algebrice de ordin superior. Au fost dezvoltate metode de analiză a stabilităţii care evită rezolvarea ecuaţiei caracteristice dintre care se menţionează: criteriul de stabilitate Hurwitz, criteriul de stabilitate Cremer- eonhard-mihailov, criteriul de stabilitate Nyquist Criteriul de stabilitate Hurwitz. Se presupune că ecuaţia caracteristică a unui sistem dinamic monovariabil liniar neted (4.9) Factorii din (4.17) care corespund rădăcinilor reale sunt de forma (s - λi)qi = (s + αi)qi cu αi > 0, respectiv sunt polinoamele de grad qi la care coeficienţii tuturor termenilor sunt strict pozitivi. Perechile de factori corespunzători unei perechi de rădăcini complex-conjugate λi,i+1 = - αi ± jβi (cu αi > 0), care au obligatoriu acelaşi ordin de multiplicitate qi = qi+1, conduc la un polinom de forma:

60 deci la un polinom de grad 2qi cu coeficienţii termenilor de toate gradele strict pozitivi. Se obţine deci următoarea condiţie necesară de stabilitate: Pentru ca un sistem dinamic să fie (strict) stabil extern este necesar ca polinomul său caracteristic P(s) (sau ecuaţia caracteristică P(s) = 0) să aibă toii coeficienţii pozitivi. Cu coeficienţii polinomului caracteristic se construieşte un determinant de ordin n, egal cu gradul polinomului, numit determinantul Hurwitz. Determinantul Hurwitz se construieşte astfel: pe diagonala principală se trec coeficienţii polinomului caracteristic P(s) scris în ordinea descrescătoare a puterilor lui s, ca în relaţia (4.9), începând cu an-1; pe fiecare coloană, sub diagonala principală se trec coeficienţii termenilor de grad superior, iar deasupra diagonalei principale se trec coeficienţii termenilor de grad inferior după epuizarea coeficienţilor locurile rămase libere se completează cu zerouri. Criteriul de stabilitate Hurwitz se formulează astfel: Teorema 4.4. O condiţie necesară şi suficientă pentru ca ecuaţia (4.9) să aibă toate rădăcinile situate în Re s < 0, respectiv ca sistemul cu funcţia de transfer (2.109) să fie stabil, este ca toti determinantii minori principali, inclusiv determinantul Hurwitz, să fie strict Pozitivi. Adica: Polinoamele caracteristice corespunzătoare sistemelor stabile se numesc polinoame hurwitziene. Exemplu: Să se verifice dacă polinomul caracteristic: Determinantul Hurwitz corespunzator este:

61 Criteriul de stabilitate Cremer-Leonhard- Mihailov Criteriul de stabilitate Cremer-Leonhard-Mihailov este un criteriu frecvenţial care se poate aplica uşor şi pentru sistemele dinamice de ordin mai ridicat, cu condiţia ca polinomul caracteristic P(s) să nu aibă rădăcini în s = 0. Enunt - Teorema 4.6. O condiţie necesară şi suficientă ca polinomul caracteristic P(s) - relaţia (4.9), să fie hurwitzian (deci ca sistemul cu funcţia de transfer (2.60) să fie stabil) este ca: Acest criteriu se utilizează sub formă grafică,conform enuntului: O condiţie necesară şi suficientă ca P(s) să fie hurwitzian este ca fazorul P(jω) să parcurgă succesiv şi în sens trigonometric pozitiv n cadrane, când ω variază de la 0 la. Polinomul nu este hurwitzian şi respectiv sistemul dinamic corespunzător nu este stabil, dacă sensul de parcurgere al cadranelor este invers trigonometric, sau dacă numărul cadranelor parcurse este mai mic decât gradul polinomului P(s). Analiza stabilitatii unui sistem cu o structura data Se considera conexiunile de baza, serie, paralel si cu reactie. Pentru simplitate se considera doar doua elemente cu functiile de transfer Hi(s) = Qi(s)/Pi(s), i = 1,2, Funcţia de transfer echivalenta a conexiunii serie: iar cea a conexiunii paralel este:

62 Polinomul caracteristic al sistemului format din cele doua elemente este P(s) = P1(s)P2(s), care este stabil dacă P1(s) si P2(s) sunt stabile. Rezulta ca orice structura obtinuta numai prin conectarea în serie sau în paralel a mai multor elemente stabile formeaza un sistem stabil. În cazul conexiunii cu reactie a celor doua elemente, fig. 4.3.a, funcţia de transfer echivalenta, conform relatiei (2.99) este Polinomul caracteristic al sistemului depinde si de polinoamele de la numaratorul functiilor de transfer. Deci problema stabilitatii sistemelor cu reactie trebuie analizată pentru fiecare caz în parte. Se constata usor ca structura cu reactie unitara din fig. 4.3.b are un polinom caracteristic identic cu cea din fig. 4.3.a, H1(s), H2(s) fiind aceleasi. Se poate limita studiul stabilitatii sistemelor cu reactie la structurile cu reactie unitara, fig. 4.3.c, în care H(s)= Q(s)/P(s) este funcţia de transfer în circuit deschis, iar: este funcţia de transfer în circuit închis. Criteriul de stabilitate Nyquist Criteriul de stabilitate Nyquist este de asemenea un criteriu frecvential care permite analiza stabilitatii unui sistem cu reactie unitara negativa, având forma din fig. 4.3.c (pe baza locului de transfer H(jω) a sistemului în circuit deschis si a cunoasterii numarului de poli ai funcţiei H(s) din semiplanul drept C + { s є C / Re s 0} al planului complex s.

63 De remarcat ca în orice sistem cu reactie neunitara fig. 4.4.a, prin transfigurarea schemei bloc se poate pune în evidenta o structura cu reactie unitara, fig. 4.4.b, în care pe legatura directa este funcţia de transfer a sistemului deschis H(s) = H1(s)H2(s) (a sistemului cu circuitul de reactie întrerupt în punctul P, fig. 4.4.a), numita si funcţie de transfer a circuitului sistemului. Marimea de intrare în structura închisa propriu-zisa din fig. 4.4.b se exprima prin: Se considera ca functia de transfer a sistemului deschis este unde P(s) si Q(s) sunt doua polinoame de grad n si respectiv m cu m n. Pentru structura închisa din fig. 4.3.c, respectiv fig. 4.4.b, functia de transfer se poate scrie: Din criteriul fundamental de stabilitate se stie ca sistemul cu structura închisa cu functia de transfer (4.30) este stabil IMEM daca polii sai sunt în Re s < 0, (C-). Din (4.30) rezulta ca polii sistemului închis sunt zerourile funcaiei G(s). Ca urmare conditia de stabilitate este ca G(s) sa nu aiba nici un zerou în semiplanul drept C+ al planului complex (Re s 0). Din (4.30) si (4.31) se constata ca polii functiei G(s) sunt chiar polii lui H(s), adica polii sistemului în circuit deschis. Determinarea localizarii zerourilor functiei (4.31) se poate face cu ajutorul teoremei argumentului (relatia (2.84)) aplicata functiei G(s), atunci când s parcurge conturul Nyquist, fig Din relatia (4.31) se observa ca G(s) este raportul a doua polinoame de grad n. În aceste conditii punctul de la nu introduce nici o variatie a argumentului fazorului G(jω) pentru ω є R. Daca G(s) are z zerouri si p poli în Re s > 0, z0,zerouri si p0 poli pe axa imaginara (Re s = 0), din teorema argumentului rezulta: Dar sistemul închis este stabil IMEM daca si numai daca G(s) nu are zerouri în Re s 0, adica daca si numai daca z = 0, z0= 0, atunci din (4.32) se obtine:

64 Pe baza relatiei (4.33) se poate enunta criteriul Nyquist : Teorema 4.8. Un sistem dinamic liniar constant monovariabil neted cu structura închisa, cu functia de transfer (4.30) este stabil IMEM daca si numai daca variatia argumentului fazorului G(jω), pentru ω є R satisface relatia (4.33), deci daca acest fazor înconjoara originea planului G(jω) de (p + p0/2) ori în sens trigonome-tric pozitiv, fig. 4.5, când ω є R. Deoarece polii functiei G(s) coincid cu polii functiei de transfer a sistemului deschis H(s) rezulta ca asupra sistemului deschis nu se pun restrictii, acesta putând fi instabil (daca p diferit de 0, p0 diferit de 0), p,p0 є C +. Pentru verificarea practica a conditiei (4.33) este suficient sa se reprezinte grafic hodograful H(jω). Hodograful G(jω) se poate obtine din hodograful H(jω) prin raportarea la o noua origine (-1, j0), în planul H(jω), fig Se poate acum formula criteriul Nyquist astfel: Un sistem dinamic liniar constant monovariabil neted cu structura închisa cu functia de transfer (4.30) este stabil IMEM daca si numai daca locul de transfer al sistemului deschis (hodograful H(jω)) înconjoara punctul (-1, j0) de (p + p0)/2 ori în sens trigonometric pozitiv, când ω variaza de la - la +. Daca sistemul deschis este stabil IMEM, respectiv p = 0, p0 = 0, criteriul Nyquist se numeste criteriul Nyquist simplificat si se enunta astfel: Un sistem dinamic liniar monovariabil cu structura închisa, cu functia de transfer (4.30) si sistemul deschis stabil IMEM, este stabil IMEM daca si numai daca locul de transfer H(jω) al sistemului deschis nu înconjoara punctul (-1, j0) atunci când ω variaza de la - la+. Avantajelel esentiale ale criteriului Nyquist: a)utilizând locul de transfer H(jω) se poate aprecia atât stabilitatea sistemului deschis cu functia de transfer H(s), cât si stabilitatea sistemului închis cu reacaie negativa unitara cu functia H(s) pe calea directa.

65 b)posibilitatea de a aprecia gradul de stabilitate al unui sistem în circuit închis pe baza notiunii de stabilitate relativa IMEM. Stabilitatea relativa se apreciaza prin: - marginea de amplificare (de câstig) m. - marginea de faza: Se poate aprecia ca sistemele închise stabile IMEM au o comportare cu atât mai buna cu cât hodograful H(jω) este mai departat de punctul critic (-1, j0). Aceasta implica valori mari pentru marginea de amplificare m si marginea de faza. Stabilitatea relativa se considera practic satisfacuta daca m 3 si γ 30 o. Se recomanda urmatoarele valori pentru o stabilitate IMEM satisfacatoare: mdb = db si γ = 30 o - 50 o.