2.1 Vocabularul teoriei grafurilor
|
|
- Mara Niță
- 2 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 108. TEORIA GRAFURILOR.1 Vocabularul teoriei grafurilor Un graf este o pereche (V,E) formată din o mulţime de noduri V ş i o l i s t ă de muchii E. Muchiile reprezintă conexiuni dintre noduri. Fiecare muchie e E are două capete x, y V,numitenodurileadiacente la e, şispunem că e este incidentă la nodurile x ş i y. Muchiile pot fi orientate sau nu. Un graf orientat are toate muchiile orientate, iar un graf neorientat are toate muchiile neorientate. Muchiile orientate, numite şi arce, au o direcţie de la un capăt numit sursă la celălalt capăt, numit destinaţie. Folosim notaţiile x!y pentru un arc de la x la y, csix y pentru o muchie neorientată incidentă la x ş i y. În general, dacă x = y atunci x!y = y!x dar x y = y x. Din acest motiv, identificăm x!y cu perechea ordonată hx, yi V V, şi x y cu mulţimea {x, y}. Grafurile orientate se numesc şi digrafuri, O buclă este o muchie incidentă la un singur nod. În general, fiecare muchie e E are o multiplicitate m(e) N {0} care indică de câte ori apare e î n E. Tipuri de grafuri Un graf G =(V,E) estesimplu dacă nu conţine bucle şi m(e) =1pentru toate muchiile e E. G este pseudograf dacă nu conţine bucle şi există e E cu m(e) > 1. G este multigraf dacă conţine bucle şi există e E cu m(e) > 1. Graful suport al unui graf G =(V,E) este graful simplu G 0 =(V,E 0 ) a cărui mulţime de muchii se obţine eliminând din E buclele şi presupunând că toate celelalte muchii au multiplicitatea 1. Un graf ponderat este o pereche (G, w) formată din un graf G =(V,E) ş i o f u n c ţ i e w : E! R care atribuie fiecărei muchii e o pondere sau greutate w(e). Reprezentarea vizuală a unui graf ponderat include şi valoarea ponderii de-a lungul fiecărei muchii. Figura de mai jos ilustrează un graf ponderat cu distanţele drumurilor dintre câteva oraşe din România: Arad 5 Timişoara 10 Lugoj Reşiţa Caransebeş Deva 0 18 Hunedoara Haţeg Simeria
2 .1. VOCABULARUL TEORIEI GRAFURILOR 10 Reprezentări vizuale Grafurile sunt reprezentate vizual ca figuri constând din puncte (forme geometrice mici: puncte, cercuri, pătrate, etc.) care reprezintă nodurile grafului, şi curbe care conectează capetele muchiilor din graf. Pentru fiecare muchie e desenăm m(e) curbe între capetele ei, iar dacă e este orientată, îi indicăm direcţia cu o săgeată. Putem adăuga etichete (numere, nume, etc.) nodurilor şi muchiilor pentru a obţine reprezentări vizuale mai bune. Trei reprezentări în plan ale grafului simplu G =({1,,,, 5,, 7, 8}, {1, 1, 1,,,, 5 7}) sunt: sau sau iar pseudograful G 1 =({a, b, c, d}, {a b, a b, a c, c d, c d}), multigraful G = ({1,,,, 5, }, {1 1, 5 5, 1,,,, 1 5, 5, 5 }) şi digraful G =({a, b, c, d, e}, {a!b, a!e, a!d, b!e, c!b, d!c, e!a} au reprezentările în plan a b 1 5 c b a 7 c G 1 d G d e G.1.1 Noţiuni fundamentale În cele ce urmează vom presupune implicit că G este un graf. Vom folosi notaţia V (G) pentrumulţimeadenodurialuig, şie(g) pentru colecţia (mulţime sau multiset) de muchii a lui G. Ordinul lui G este numărul de noduri din V (G), iar mărimea lui G este numărul de muchii din E(G). Vecinătatea aunuinodx este mulţimea {y x y E(G)} dacă G este neorientat, V (x) = {y x!y E(G)} dacă G este orientat iar vecinătatea închisă aluix este V [x] =V (x) [{x}. Dacă S este o mulţime de noduri, atunci vecinătatea lui S este V (S) = S xs V (x) iar vecinătatea închisă a lui S este V [S] =V (S) [ S. Pentru grafuri orientate definim gradul interior şi gradul exterior al unui nod x deg (x) = X 1, deg + (x) = X 1. y!xe(g) x!ye(g)
3 110. TEORIA GRAFURILOR Gradul unui nod x este numărul de muchii la care x este adiacent: 8 X >< + X 1 dacă G este neorientat, deg(x) = x xe(g) x ye(g) x=y >: deg (x)+deg + (x) dacă G este digraf. Observaţi că buclele se numără de două ori! Secvenţa de grade a lui G este lista cu gradele nodurilor lui G în ordine descrescătoare. Exemplul 1. Fie grafurile G 1 : 1 5 G : 1 5 G 1 este un multigraf neorientat cu V (G 1 )={1,,,, 5, }, E(G 1 ) =şi caracteristicile următoare ale nodurilor: v V (v) V [v] deg(v) 1 {1,, 5} {1,, 5} {1,, } {1,,, } {, } {,, } {, } {,, } 5 {1} {1, 5} 1 ; {} 0 Secvenţa de grade a lui G 1 este lista [,,,, 1, 0]. G este un digraf cu V (G )={a, b, c, d, x, y}, E(G ) = 7 şi caracteristicile următoare ale nodurilor: v V (v) V [v] deg (v) deg + (v) deg(v) 1 {1,, 5} {1,, 5} {1,,, 5} {1,,,, 5} 5 {, } {,, } 1 1 {, } {,, } {1, } {1,, 5} 1 1 ; {} Secvenţa de grade a lui G este lista [5,,,, 1, 0]. Se observă că în ambele cazuri avem P xv (G i ) deg(x) = E(G i) Gradul minim al lui G este (G) =min{deg(x) x V (G)} iar gradul
4 .1. VOCABULARUL TEORIEI GRAFURILOR 111 maxim al lui G este (G) = max{deg(x) x V (G)}. Geste regulat dacă toate nodurile au acelaşi grad şi k-regulat dacă toate nodurile au gradul k. Un exemplu de graf -regulat este graful lui Petersen Un nod x V (G) este izolat dacă deg(x) = 0, şi terminal dacă deg(x) = Proprietăţi fundamentale Prima Teoremă a Teoriei Grafurilor. Într-un graf, suma gradelor nodurilor este egală cu dublul numărului de muchii. X xv (G) deg(x) = E(G). Prin urmare, numărul de noduri cu grad impar este par. Demonstraţie: Fie N = P xv (G) deg(x). Se observă că, atunci când calculăm N, numărăm fiecare muchie e de exact ori fiindcă contribuie cu 1 la gradele ambelor noduri adiacente la e. Deci N = E(G). Întrucât N = P xv (G) deg(x) este par, este necesar ca numărul de noduri cu grad impar să fie par. A Doua Teoremă a Teoriei Grafurilor. Orice drum de la x la y conţine un drum elementar de la x la y. Demonstraţie: Fie =[x 1,...,x n ]undrumdelax la y, adică un drum în care x 1 = x ş i x n = y. Demonstrăm teorema prin inducţie după lungimea n a drumului. Dacă n = 1 atunci x = x 1 = x n = y, deci =[x] estedrum elementar. Dacă n>1şi nu este elementar, atunci există 1 apple i<japple n cu x i = x j şi avem situaţia ilustrată mai jos: x i 1 x i x j x x j 1 x i+1 x n 1 x 1 x j+1 =[x 1,...,x i,...,x j,...,x n ] x n x i 1 x x j+1 i x x n 1 ) x1 x n 0 =[x 1,...,x i,x j+1,...,x n ]
5 11. TEORIA GRAFURILOR Rezultă că 0 = [x 1,...,x i,x j+1,...,x n ]esteundrumdelax 1 = x la x n = y. Lungimea lui 0 este n (j i) <n. Conform ipotezei inductive, drumul conţine un drum elementar 00. Deoarece îl conţine pe 0,rezultă că îl conţine şi pe Grafuri izomorfe Două grafuri sunt considerate identice, în sensul că au aceeaşi structură, dacă putem redenumi nodurile primului graf astfel încât să coincidă cu al doilea graf. În teoria grafurilor, acest proces de redenumire a nodurilor este descris de o funcţie bijectivă numită izomorfism: B Două grafuri neorientate simple G, H sunt izomorfe,şi scriemg ' H, dacă există o bijecţie ' : V (G)! V (H) astfel încât x y E(G) dacă şi numai dacă '(x) '(y) E(H). B Două grafuri orientate simple G, H sunt izomorfe, şi scriem G ' H, dacă există o bijecţie ' : V (G)! V (H) astfel încât x!y E(G) dacă şi numai dacă '(x)!'(y) E(H). Exemplul. Grafurile ilustrate mai jos sunt izomorfe deşi reprezentările lor vizuale arată diferit: G 1 ' H 1 fiindcă funcţia ' 1 5 a h de mai jos este izomorfism: G 1 : G : 8 d c x 7 b z a H 1 : i H : 1 5 g c b n d '(1) =a, '() =h, '() =d, '() =i, '(5) =g, '() =b, '(7) =n, '(8) =c. G ' H fiindcă funcţia ' de mai jos este izomorfism: '(a) =1, '(b) =, '(c) =, '(d) =, '(x) =5, '(z) =.,,' este o relaţie de echivalenţă pe mulţimea grafurilor, iar aflarea răspunsului la întrebarea,,g ' H? este o problemă a cărei clasă de complexitate nu ştim dacă este polinomială sau NP completă. În prezent, cel mai eficient program de testare a izomorfismului este Nauty (abreviere de la No AUTomorphisms, Yes?), propus de McKay [10] şi implementat în C. În 015, Babai a anunţat descoperirea unui algoritm de testare a izomorfismului de grafuri în timp quasipolinomial O((log n)c) unde c>0 este o constantă [].
6 .1. VOCABULARUL TEORIEI GRAFURILOR Conectivitate Fie G =(V,E) un graf. Un drum (sau cale) delax 1 la x k î n G este o listă de noduri =[x 1,x,...,x k ] cu proprietatea că 1. (x i x i+1 ) E pentru toţi 1 apple i<kdacă G este graf neorientat. O altă notaţie folosită pentru acest drum este x 1 x... x k.. (x i!x i+1 ) E pentru toţi 1 apple i<kdacă G este digraf. O altă notaţie folosită pentru acest drum este x 1!x!...!x k. Vom scrie x y ca să indicăm că există un drum de la x la y, şix y ca să indicăm că este un drum de la x la y. Un drum este elementar dacă nu conţine de mai multe ori acelaşi nod, şi simplu dacă nu conţine de mai multe ori aceeaşi muchie. Un ciclu este un drum simplu [x 1,x,...,x k,x 1 ]. Ciclul este elementar dacă [x 1,x,...,x k ] este drum elementar. Orice drum sau ciclu elementar este simplu, dar reciproca nu este adevărată. Lungimea unui drum sau ciclu este numărul de muchii din el. Un drum sau ciclu este hamiltonian dacă este elementar şi trece prin toate nodurile grafului. Un drum este eulerian dacă este simplu şi traversează toate muchiile grafului. Un graf este hamiltonian dacă are un ciclu hamiltonian, şi eulerian dacă are un ciclu eulerian. Exemplul. G: Graful G este hamiltomian şi eulerian pentru că are ciclul hamiltonian [1,,,, 8, 7, 5,,, 1]. are ciclul eulerian [1,,,, 5, 7, 8,,, 8, 5,,,, 1]. [1,,,,,, 8] este un drum de la 1 la 8 care nu este simplu pentru că traversează de ori muchia, nu este elementar pentru că trece de ori prin nodurile şi. 8 Drumul [,, 8,,, ] este simplu dar nu este elementar. Drumul [1,,,, 8, 7, 5,, ] este elementar.
7 11. TEORIA GRAFURILOR.1.5 Componente conexe Componentele conexe sunt definite pentru grafuri neorientate. În această subsecţiune presupunem că G este graf neorientat. Două noduri sunt conectate dacă există un drum de la unul la celălalt. Se observă că relaţia de conectivitate este o relaţie de echivalenţă pe V (G). Clasele de echivalenţă ale lui se numesc componente conexe ale lui G. G este conex dacă are o singură componentă conexă, adică dacă oricare două noduri din V (G) sunt conectate. Exemplul. Graful din Exemplul este conex, iar graful are componente conexe: {1,,,, 5}, {, 8, } ş i {7}..1. Componente tare conexe Componentele tari sunt definite pentru grafuri orientate. În această subsecţiune presupunem că G este un digraf. Relaţia binară ct definită pe V (G) astfel: x ct y :, x y ş i y x este o relaţie de echivalenţă numită conectivitate tare. Clasele de echivalenţă ale lui ct sunt componentele tari ale lui G. G este tare conex dacă are o singură componentă tare. Exemplul 5. Fie G 1 ş i G digrafurile G 1 : G : G 1 este tare conex, iar G are trei componente tari: C 1 = {1,,,, 5}, C = {, 8, } ş i C = {7}.
8 .1. VOCABULARUL TEORIEI GRAFURILOR Clase de grafuri K n este graful complet de ordinul n. Acesta are V (K n )={1,,...,n} ş i E(K n )={i j 1 apple i = j apple n}. K n are n noduri şi n(n 1)/ muchii. K 1 K K K K 5 E n este graful nul de ordinul n. Acesta are V (E n ) = {1,,...,n} ş i E(E n )=;, adică n noduri şi nici o muchie. E 1 E E E E 5 C n este graful ciclic de ordinul n. Acesta are V (C n )={1,,...,n} ş i E(C n )={i j 1 apple i apple n, j =1+(i mod n)}. C n are n noduri şi n muchii. C 1 C C C C 5 C P n este drumul de ordinul n. Acesta are V (P n )={1,,...,n} ş i m u l ţ i m e a de muchii E(P n )={i j 1 apple i<n,j= i +1}. P n are n noduri şi n 1 n 1 n 1muchii. Clasa grafurilor bipartite complete K m,n este definită pentru numere naturale strict pozitive m, n. K m,n este graful neorientat cu mulţimea de noduri V (K m,n )=X m [Y n unde X m = {x 1,x,...,x m }, Y n = {y 1,y,...,y n }, ş i m u l ţ i m e a d e n o d u r i E(K m,n )={x i y j hx i,y j ix m Y n }.Deexemplu
9 11. TEORIA GRAFURILOR X 1 Y 1 X 1 Y X Y X Y K 1,1 K 1, K, K, K m,n are m + n noduri şi m n muchii. Mulţimea de noduri a lui K m,n este oreuniunedesubmulţimidisjunctex m ş i Y n, iar toate muchiile sunt între un nod din X m ş i u n n o d d i n Y n. Un arbore de ordinul n este un graf neorientat cu n noduri care este conex şi fără cicluri. Mulţimea, sau clasa, acestor arbori, se notează cu T n. De exemplu, grafurile de mai jos sunt arbori din clasa T 5 : G 1 : G : G : Secvenţele de grade ale arborilor G 1,G,G sunt [, 1, 1, 1, 1], [,, 1, 1, 1] şi [,,, 1, 1]. Deoarece sunt diferite, rezultă că G i ' G j dacă 1 apple i<japple. Orice arbore din clasa T n are n noduri şi n 1muchii..1.8 Grafuri parţiale, subgrafuri şi subdiviziuni Fie G =(V,E) un graf şi S V. Un graf parţial al lui G este un graf (V,E 0 )cue 0 E. Subgraful indus de S î n G este graful G[S] =(S, E 0 ) unde E 0 = {e E e este incidentă doar la noduri din S}. Spunem că H este subgraf al lui G (sau că H este conţinut î n G) dacă H = G[S] pentru omulţimedenoduris V. Un subgraf parţial al lui G este un graf parţial al unui subgraf al lui G. Exemplul. Fie G graful u t Un subgraf al lui G este subgraful indus G[{u, v, x, y, s, t}]: iar un subgraf parţial al lui G este w s v z u t x y s v x y u t s v x y
10 .1. VOCABULARUL TEORIEI GRAFURILOR 117 O n-clică, sau doar clică, a unui graf neorientat G este un subgraf izomorf cu K n al lui G. De exemplu, fiecare din grafurile G n de mai jos are o n-clică ale cărei muchii le-am indicat cu linii îngroşate. G G G Un graf obţinut prin inserarea unui nod nou z pe o muchie e E(G) este graful (V (G) [{z},(e(g) {e}) [{e 1,e })unde e 1 = x z ş i e = z y dacă e = x y. e 1 = x!z ş i e = z!y dacă e = x!y. O subdiviziune aluig este un graf obţinut prin una sau mai multe inserări succesive de noduri noi pe muchiile lui G. Exemplul 7. Fie grafurile G 1 : ş i G : G 1 este o subdiviziune a lui K,. G nu este subdiviziune a lui K,..1. Operaţii pe grafuri Fie G un graf, S V (G) şit E(G). Definim operaţiile: G S este subgraful indus G[V (G) S]. Scriem G x î n l o c d e G {x}. G T este graful parţial G 0 cu V (G 0 )=V (G) şie(g 0 )=E(G) T. Scriem G e î n l o c d e G {e}. Graful G \ S obţinut prin contracţia nodurilor din S este graful cu I V (G \ S) =(V (G) S) [{x S } unde x S este un nod nou care înlocuieşte toate nodurile din S. I Dacă G este neorientat atunci E(G \ S) este {x y x, y V (G) S ş i x y E(G)}[ {x x S există x y E(G) cux V (G) S ş i y S}.
11 118. TEORIA GRAFURILOR iar dacă G este orientat atunci E(G \ S) ={x!y x, y V (G) {x!x S există x!y E(G) cu x V (G) S ş i y S}[ {x S!y există x!y E(G) cu x S ş i y V (G) S ş i x!y E(G)}[ Graful G \ e obţinut prin contracţia muchiei e este graful G \ S unde S este mulţimea de noduri incidente la e. Exemplul 8. Fie G 1 ş i G grafurile următoare: G 1 : 1 5 Mai jos sunt ilustrate efectele acestor operaţii. S}. 1 7 G : 5 8 G 1 {1, 5} 1 5 G 1 (1 5) x {1,5} G 1 \{1, 5} = G 1 (1 5) x {1,,,,5} 5 8 G 5 8 G {!,!} 8 G \{1,,,, 5} 5 8 G \(!).1.10 Statistici descriptive Statistica descriptivă a grafurilor cuprinde calculul unor valori numerice care ne permit să ne formăm o părere generală despre structura unui graf. Aceste valori sunt utile mai ales în analiza grafurilor mari, cu sute de mii sau milioane de noduri sau muchii, care sunt greu de vizualizat în detaliu. Cele mai importante valori caracteristice ale un graf au fost deja definite, şi sunt: (1) ordinul, adică numaărul total de noduri. () mărimea,
12 .1. VOCABULARUL TEORIEI GRAFURILOR 11 adică numărul total de conexiuni, şi () (G) şi (G), care sunt limitele între care variază numărul de vecini ai unui nod. Alte valori caracteristice importante sunt: numărul de independenţă, numărul de clică, gradul de conectivitate, raza ai diametrul. Aceste valori statistice descriptive vor fi definite în continuare. Fie G un graf neorientat. OmulţimedenoduriS V (G) estestabilă sau independentă î n G dacă nu există nici o muchie între nodurile sale, adică x y E(G) pentru orice x, y S. Numărul de independenţă (G) al lui G este numărul maxim de noduri din o mulţime stabilă a lui G, adică (G) = max{ S S este mulţime independentă în G}. Numărul de clică!(g) al lui G este ordinul maxim al unei clici din G, adică!(g) = max{n H este n-clică a lui G}. Exemplul. Fie grafurile b c y z G 1 : x a ş i G : s d t e G 1 este graful lui Petersen. G 1 are numărul de independenţă (G 1 )=şi numărul de clică!(g 1 ) =. În G 1, {a, c, s, t} ş i {x, y, s, t} sunt mulţimi stabile maxime (mai sunt şi altele), iar o clică de ordin maxim este G 1 [{d, e}]. (G )=şi!(g ) =. În G, o mulţime stabilă maximă este {5,, 7} iar o clică de ordin maxim este G 1 [{1,,, 7}]. Fie G un graf neorientat conex. x V (G) estenod de articulaţie (engl. cut vertex) dacă G x nu este conex. Altfel spus, ştergerea lui e distruge conectivitatea lui G. e E(G) esteopunte (engl. bridge) dacă G e nu este conex. Altfel spus, ştergerea muchiei e distruge conectivitatea lui G. S ( V (G) esteomulţime de articulaţie (engl. vertex cut set) alui G dacă graful G S nu este conex. Altfel spus, ştergerea nodurilor din S distruge conectivitatea lui G.
13 10. TEORIA GRAFURILOR Gradul de conectivitate apple(g) al unui graf incomplet G este numărul minim de noduri ce trebuie eliminate din G pentru a-l deconecta, adică apple(g) = min{ S S este mulţime de articulaţie a lui G}. Dacă k este un întreg strict pozitiv, spunem că G este k-conex dacă k apple apple(g). Distanţa d(x, y) delax la y este cea mai mică lungime a unui drum de la x la y. Excentricitatea e(x) a nodului x este distanţa cea mai mare de la x la un nod în G, adică e(x) = max{d(x, y) y V (G)}. Centrul lui G este mulţimea nodurilor cu excentricitate minimă. Periferia lui G este mulţimea nodurilor cu excentricitate maximă. Raza lui G este excentricitatea unui nod din centrul lui G, adică radius(g) =min{e(x) x V (G)}. Diametrul lui G este excentricitatea unui nod de la periferia lui G, adică diam(g) = max{e(x) x V (G)}. Exemplul 10. Graful conex G 1 : a b c d e g are puncte de articulaţie (cele încercuite) şi punţi (cele îngroşate). Deci apple(g 1 ) = 1. Graful conex G : f a b c d e g nu are puncte de articulaţie şi nici punţi, dar are mulţimi de articulaţie cu noduri,deexemplu{c, e}, {f, g} sau {b, e}. Deciapple(G ) =. Exemplul 11. În graful conex G: r a x v s c e f u h h z
14 .1. VOCABULARUL TEORIEI GRAFURILOR 11 avem d(x, c) =, d(r, z) =, e(x) =, e(z) =, radius(g) = şi diam(g) =. G are centrul {x, e} ş i p e r i f e r i a {r, z} Concluzii În secţiunea introductivă.1 an descris diferitele tipuri de grafuri şi vocabularul teoriei grafurilor. Reţinem că: Grafurile sunt modele de relaţii binare între componentele unui sistem. Ele sunt perechi (V,E) în care V este o mulţime de noduri (sau vârfuri) iar E este o mulţime de muchii. Nodurile reprezintă componentele unui sistem, iar muchiile reprezintă muchiile dintre ele. Grafurile sunt neorientate sau orientate. Grafurile orientate se numesc şi digrafuri. Un graf neorientat are E {{x, y} x, y V }. Scriem x y î n l o c de {x, y} şi numim nodurile x, y capetele muchiei x y. Muchiile sunt neorientate pentru că x y coincide cu y x. Un digraf are E V V. Scriem x!y î n l o c d e hx, yi ş i n u m i m nodurile x, y capetele muchiei x!y. Muchiile sunt orientate pentru că, dacă x = y, atunci x!y = y!x. O muchie orientată se numeşte arc. O buclă este o muchie ale cărei capete coincid, adică x x sau x!x. Fiecare muchie e are o multiplicitate m(e) N {0}. Distingem trei tipuri de grafuri: grafuri simple, pseudografuri şi multigrafuri. Un graf simplu nu are bucle şi toate muchiile au multiplicitatea 1. Un pseudograf nu are bucle dar are muchii cu multiplicitate mai mare ca 1. Un multigraf are bucle şi muchii cu multiplicitate mai mare ca 1. Un graf ponderat are şi o funcţie w : E! R care asociază fiecărei muchii e o pondere w(e)..1.1 Exerciţii 1. Există un graf simplu neorientat cu secvenţa de grade [,, 5,,,, ]?. Există un graf simplu neorientat cu n noduri şi secvenţa de grade [0, 1,,...,n,n 1]?
Grafuri - Concepte de baza. Tipuri de grafuri. Modalitati de reprezentare
Concepte de bază. Tipuri de grafuri. Modalităţi de reprezentare Mircea Marin Departamentul of Informatică Universitatea de Vest din Timişoara mircea.marin@e-uvt.ro 9 noiembrie 2018 Introducere Ce este
Mai multGrafuri neorinetate Aplicatii 1 Care este numărul maxim de componente conexe pe care le poate avea un graf neorientat cu 20 noduri şi 12 muchii? a. 6
Grafuri neorinetate Aplicatii 1 Care este numărul maxim de componente conexe pe care le poate avea un graf neorientat cu 20 noduri şi 12 muchii? a. 6 b. 12 c. 10 d. 15 2 Câte grafuri neorientate, distincte,
Mai mult2.1.Tipul tablou unidimensional
7. Grafuri 7.1. Grafuri neorientate - Teste grilă 1. V_88_I_5. Care este numărul minim de noduri pe care îl poate conţine un graf neorientat cu 50 de muchii, şi în care 15 noduri sunt izolate? a. 25 b.
Mai multProbleme rezolvate informatica: Probleme rezolvate grafuri si a
Mai multe Creați blog Autentificare LUNI, 11 MARTIE 2013 Probleme rezolvate grafuri si arbori Probleme rezolvate de catre : Ginghina Cristian Onica Viorel Neculai Alexandru Anton Cosmin INFORMATICA Teorie
Mai multMicrosoft Word - _arbori.docx
ARBORI Să presupunem că o firmă doreşte să conecteze la TV, prin cablu, cele n case ale unui sat. Cum vor fi conectate casele la cablu? Logic, va trebui ca fiecare casă să fie conectată. Apoi, la o casă
Mai multMicrosoft PowerPoint - Curs_SDA_9_RO_2019_v2.pptx
SDA (PC2) Curs 9 Liste / Grafuri / Arbori Iulian Năstac Lista dublu înlănțuită Recapitulare Într-o astfel de listă fiecare nod conţine doi pointeri: unul spre nodul următor şi unul spre nodul precedent.
Mai multCURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),
CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul
Mai multSlide 1
SCTR -SZOKE ENIKO - Curs 4 continuare curs 3 3. Componentele hard ale unui sistem de calcul in timp real 3.1 Unitatea centrala de calcul 3.1.1 Moduri de adresare 3.1.2 Clase de arhitecturi ale unitatii
Mai multGheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Mai multLimbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; pa
Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; paranteze: (, ); simbolul de egalitate =; cuantificatorul
Mai multMinisterul Educatiei, Cercetarii si Tineretului Grup Scolar Gh. Asachi Galati Proiect pentru obtinerea certificatului de competente profesionale Speci
Ministerul Educatiei, Cercetarii si Tineretului Grup Scolar Gh. Asachi Galati Proiect pentru obtinerea certificatului de competente profesionale Specializare : matematica-informatica 2006-2007 Tema proiectului:
Mai multSlide 1
ELECTROTEHNCĂ ET An - SA CRS 8 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCRAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro . ntroducere în teoria circuitelor electrice. Puteri în regim armonic 3. Caracterizarea în complex a
Mai mult1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai
1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai mare decât cifra sutelor. b. Se consideră algoritmul
Mai multPrelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)
Mai multSlide 1
BAZELE ELECTROTEHNICII I BE An I - ETTI CURS 1 Conf. dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro BAZELE ELECTROTEHNICII I (BE) ETTI Curs Seria A - Prof. dr. ing. Vasile ȚOPA Vasile.Topa@ethm.utcluj.ro
Mai multPrelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi
Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte
Mai multUniversitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x
1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima
Mai multLogică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014
Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014 Relații în lumea reală și informatică Noțiunea matematică de
Mai multCursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire
Mai multIntroducere
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic AEACD 17. Segmentarea imaginilor: Region-based segmentation. Graph Theory In Image Segmentation Region-based segmentation
Mai multAnaliz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Mai multI
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
Mai multElemente de aritmetica
Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al
Mai multAnaliză de flux de date 29 octombrie 2012
Analiză de flux de date 29 octombrie 2012 Analiză statică: definiţie O analiză a codului sursă (fără a executa programul), cu scopul de a determina proprietăţi ale programului sursă. (in principal corectitudinea,
Mai multSECURITATE ȘI CRIPTOGRAFIE
Noțiuni de bază ale criptografiei Criptografia este studiul metodelor matematice legate de securitatea informației, capabile să asigure confidențialitatea, autentificarea și non-repudierea mesajelor, precum
Mai multŞiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
Mai multLogică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014
Logică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014 Un exemplu: automatul de cafea acțiuni (utilizator): introdu
Mai multNr. 932 din Avizat ISJ Vâlcea, Inspector școlar informatică, Ciochină Luisa EXAMEN DE ATESTARE A COMPETENȚELOR PROFESIONALE A ABSOLVENȚILOR
Nr. 932 din 12.12.2018 Avizat ISJ Vâlcea, Inspector școlar informatică, Ciochină Luisa EXAMEN DE ATESTARE A COMPETENȚELOR PROFESIONALE A ABSOLVENȚILOR DE MATEMATICĂ INFORMATICĂ ȘI MATEMATICĂ INFORMATICĂ,
Mai multRetele Petri si Aplicatii
Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 3 RPA (2019) Curs 3 1 / 48 Conţinutul cursului 1 Arbori de acoperire 2 Probleme de decizie în reţele Petri 3 Invarianţi tranziţie RPA (2019) Curs 3 2 / 48 Arbori de acoperire
Mai multSlide 1
BAZELE ELECTOTEHNICII I BE An I - ETTI CS 2 Conf. dr.ing.ec. Claudia PĂCA e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro CAPITOLL I CICITE ELECTICE DE CENT CONTIN GENEALITĂȚI Circuitul electric de curent continuu
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Mai multCursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont
Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi
Mai multE_d_Informatica_sp_MI_2015_bar_02_LRO
Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. d) Informatică Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializările: matematică-informatică matematică-informatică intensiv informatică Toate subiectele
Mai multFacultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:
Mai mult1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x.
1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x. Date de intrare: arr [] = {10, 2, 14, 4, 7, 6}, x =
Mai multSlide 1
STRUCTURI DE DATE Arbori B Sisteme de Gestiune a Bazelor de Date Relaţionale (SGBDR): operatie importanta regasirea rapida a datelor indecsi. Indexul: colecţie de perechi
Mai multDistanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,
Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea
Mai multTeoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A 1,...,
Teoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A,..., A r unde A,..., A r sunt elemente distincte dintr-o
Mai multG.I.S. Curs 3
G.I.S. Curs 3 Geogafia Mediului 1.04.2014 Dr. Constantin Nistor Formatul de date vectorial Datele vectoriale descriu lumea sub forma unui spaţiu populat de linii în variate aspecte şi feluri: puncte, linii,
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multClasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Mai multLogică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea marius/curs/lsd/ 3 noiembrie 2014
Logică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 3 noiembrie 2014 Unde aplicăm verificarea realizabilității? probleme de căutare și
Mai multSubiectul 1
Subiectul 1 În fişierul Numere.txt pe prima linie este memorat un număr natural n (n
Mai multRecMat dvi
Conice şi cubice în probleme elementare de loc geometric Ştefan DOMINTE 1 Abstract. In this Note, a number of simple problems are presented to support the idea that conic and cubic curves can frequently
Mai multFIŞA DISCIPLINEI
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1.Instituţia de învăţământ superior Universitatea SPIRU HARET 1.2.Facultatea Inginerie, Informatică şi Geografie 1.3.Departamentul Informatică şi Geografie 1.4.Domeniul
Mai multExamView Pro - Untitled.tst
Class: Date: Subiecte logica computationala licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Fie formula
Mai multNoțiuni matematice de bază
Sistem cartezian definitie. Coordonate carteziene Sistem cartezian definiţie Un sistem cartezian de coordonate (coordonatele carteziene) reprezintă un sistem de coordonate plane ce permit determinarea
Mai multCurs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi
Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a
Mai multTeoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.
Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului
Mai multAnaliză statică Analiza fluxului de date 23 octombrie 2014
Analiză statică Analiza fluxului de date 23 octombrie 2014 Analiză statică: definiție O analiză a codului sursă (fără a executa programul), cu scopul de a determina proprietăți ale programului sursă. (in
Mai multCursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l
Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative la R n, în principal), sunt prezentate aici elemente
Mai multDorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
Mai multLaboratorul 2 Problema tăieturii minime Considerăm un graf (neorientat) G = (V, E) (V e mulţimea vârfurilor, E e mulţimea muchiilor) care este conex (
Laboratorul 2 Problema tăieturii minime Considerăm un graf (neorientat) G = (V, E) (V e mulţimea vârfurilor, E e mulţimea muchiilor) care este conex (adică, între oricare două vârfuri există cel puţin
Mai multMD.09. Teoria stabilităţii 1
MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,
Mai multOLM_2009_barem.pdf
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Societatea de Ştiinţe Matematice din Romania Olimpiada Naţională de Matematică Etapa finală, Neptun Mangalia, 13 aprilie 2009 CLASA A VII-a, SOLUŢII ŞI BAREMURI
Mai multSlide 1
BAZELE ELECTOTEHNICII BE I An I - ETTI CUS 3 Conf. dr.ing.ec. Claudia PĂCUA e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro CICUITE ELECTICE DE CUENT CONTINUU Teorema conservării puterilor Enunț: Puterea primită
Mai mult8
9.5 Fluxul unui vector printr-o suprafaţă deschisă-continuare Observaţie: Dacă vrem să calculăm fluxul vectorului a = P x y z i + Q x y z j + R x y z k (,, ) (,, ) (,, ) prin suprafaţa definită de ecuaţia
Mai multcarteInvataturaEd_2.0_lectia5.pdf
Lect ia3 Diagrame Veitch-Karnaugh 5.1 Noţiuni teoretice Diagramele Veich-Karnaugh (V-K) sunt o modalitate de reprezentare grafică a funcţiilor logice. Pentru o funct ie de N variabile, diagrama corespunz
Mai multCursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac
Mai multMicrosoft Word - Programa_Evaluare_Nationala_2011_Matematica.doc
C E N T R U L NAłIONAL DE EVALUARE ŞI E X A M I N A R E PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ EVALUAREA NAłIONALĂ PENTRU ELEVII CLASEI A VIII A Pagina 1 din 5 PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ I. STATUTUL
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se
Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să
Mai multMicrosoft Word - V_4_Inmultirea_nr_nat.doc
3 Înmulţirea numerelor naturale De acum, pentru înmulţire vom folosi semnul în loc de Ex În loc de 32 9 vom scrie 32 9 Dacă a şi b sunt două numere naturale, prin produsul lor vom înţelege a b Ex a) Produsul
Mai multMicrosoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc
ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru
Mai multSlide 1
Arhitectura Sistemelor de Calcul Curs 8 Universitatea Politehnica Bucuresti Facultatea de Automatica si Calculatoare cs.pub.ro curs.cs.pub.ro Structura SIMD Cuprins Probleme de Comunicatii intre Procesoarele
Mai multStructuri de date pentru partiţii de mulţimi O partiţie finită a unei mulţimi nevide S este o mulţime finită de submulţimi ale lui S: {S 1, S 2,..., S
Structuri de date pentru partiţii de mulţimi O partiţie finită a unei mulţimi nevide S este o mulţime finită de submulţimi ale lui S: {S 1, S 2,..., S n P(S) care satisface condiţiile următoare: S i 0
Mai multINDICATORI AI REPARTIŢIEI DE FRECVENŢĂ
STATISTICA DESCRIPTIVĂ observarea Obiective: organizarea sintetizarea descrierea datelor Analiza descriptivă a datelor Analiza statistică descriptivă reperezintă un tip de analiză ce servește la descrierea,
Mai multLecții de pregă,re la informa,că Admitere 2019 Tema: Discutarea problemelor date la ul,mele sesiuni de admitere Bogdan Alexe
Lecții de pregă,re la informa,că Admitere 2019 Tema: Discutarea problemelor date la ul,mele sesiuni de admitere Bogdan Alexe bogdan.alexe@fmi.unibuc.ro Cuprinsul lecției de azi Enunțuri și rezolvări pentru
Mai multCurs 3 Permutari cu repetitie. Combinari. Algoritmi de ordonare si generare
Curs 3 Permutări cu repetiţie. Combinări. Algoritmi de ordonare şi generare Octombrie 2015 Cuprins Algoritmi de ordonare şi generare pentru permutări cu repetiţie Reprezentarea binară a submulţimilor Algoritmi
Mai multCoordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),
Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + +
Mai multPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a X-a - 20 aprilie 2019 Clasa a IV-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE SUBIECTUL I Se punctează doar rezult
CONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a X-a - 0 aprilie 09 Clasa a IV-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE Se punctează doar rezultatul: pentru fiecare răspuns se acordă fie uncte, fie 0 puncte Nu
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
urs 4 Integrale curbilinii 4.1 Drumuri şi curbe Definiţie 4.1. O funcţie continuă γ : [a,b] R m se numeşte drum plan dacă m = 2 sau drum în spaţiu dacă m = 3. Punctul γ(a) se numeşte originea drumului,
Mai multLOGICA MATEMATICA SI COMPUTATIONALA Sem. I,
LOGICA MATEMATICĂ ŞI COMPUTAŢIONALĂ Sem. I, 2017-2018 Ioana Leustean FMI, UB Partea III Calculul propoziţional clasic Consistenţă şi satisfiabilitate Teorema de completitudine Algebra Lindenbaum-Tarski
Mai multCASA CORPULUI DIDACTIC BRAILA PROGRAM DE FORMARE INFORMATICA SI TIC PENTRU GIMNAZIU CLASA A V-A SERIA 1 GRUPA 2 CURSANT: TIMOFTI V. AFRODITA COLEGIUL
CASA CORPULUI DIDACTIC BRAILA PROGRAM DE FORMARE INFORMATICA SI TIC PENTRU GIMNAZIU CLASA A V-A SERIA 1 GRUPA 2 CURSANT: TIMOFTI V. AFRODITA COLEGIUL NATIONAL VASILE ALECSANDRI, BACAU TIMOFTI AFRODITA
Mai multCapitole Speciale de Informatică Curs 4: Calculul scorurilor în un sistem complet de extragere a informaţiilor 18 octombrie 2018 Reamintim că în cursu
Capitole Speciale de Informatică Curs 4: Calculul scorurilor în un sistem complet de extragere a informaţiilor 18 octombrie 2018 Reamintim că în cursul precedent am prezentat modelul de spaţiu vectorial
Mai mult0 Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică 1. Să se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) x 4 ; b) x 3 dx dx
Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică. ă se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) + x ; b) x dx dx; c) + x x + x ) ; dx x d) x + x ) ; e) dx; f) x p e xq dx, p >,
Mai multgaussx.dvi
Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care
Mai multMergedFile
PROIECT DIDACTIC Clasa a VII-a Matematică Proiect didactic realizat de profesor Tatiana Predoană, Fundația Noi Orizonturi, în cadrul programului - pilot Digitaliada, revizuit de Monica Popovici, profesor
Mai multjoined_document_27.pdf
INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ, CLASA a V - a FEBRUARIE 014 a). Pe un stadion intră la un meci un număr de persoane după următoarea regulă: în primul
Mai multBARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA ianuarie Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că
BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA 019 9 ianuarie 019 1. Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că x şi y sunt divizibili cu 11.. Fie Γ un cerc de centru
Mai multProbleme proiect TP BITPERM Implementați un algoritm care citește de la intrarea standard două numere naturale și scrie la ieșirea standard da
Probleme proiect TP 2016 1. BITPERM Implementați un algoritm care citește de la intrarea standard două numere naturale și scrie la ieșirea standard dacă reprezentarea binară a unuia dintre numere poate
Mai multMicrosoft Word - Tsakiris Cristian - MECANICA FLUIDELOR
Cuvânt înainte Acest curs este destinat studenţilor care se specializează în profilul de Inginerie economică industrială al Facultăţii de Inginerie Managerială și a Mediului, care funcţionează în cadrul
Mai multAero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D
Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge
Mai mult{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud
{ 3 + 3, < Eemple. ) Fie f : R R, f() + 4,. Funcţia f este derivabilă pe R\{} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să studiem derivabilitatea în a. Atunci f s() 3+3 6,< 3, f d f() f() (),> funcţia
Mai multALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine număru
ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine numărul de operaţii efectuate de către un algoritm care determină
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector
Mai multMicrosoft Word - PLANIFICARE CLASA 2.doc
Mariana Morãraºu Matematicã ºi Explorarea mediului Planificarea calendaristicã Proiectarea unitãþilor de învãþare Clasa a II-a Semestrul I Aria curriculară: Matematică și Științe ale naturii Disciplina:
Mai multRetele Petri si Aplicatii
Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 4 RPA (2019) Curs 4 1 / 45 Cuprins 1 Analiza structurală a reţelelor Petri Sifoane Capcane Proprietăţi 2 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Reţele workflow 3
Mai mult20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do
SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul
Mai multMergedFile
PROIECT DIDACTIC Clasa a VII-a Matematică Proiect didactic realizat în cadrul programului - pilot Digitaliada, revizuit de Simona Roșu, profesor Digitaliada Textul și ilustrațiile din acest document începând
Mai multUNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot
Mai multTEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:
TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins
Mai multElectricitate II
Electricitate II Circuitul electric. Legile circuitului electric. Sumar Circuitul electric simplu Legile lui Ohm Legile lui Kirchhoff Gruparea rezistorilor Transformarea stea-triunghi Gruparea generatoarelor
Mai multPachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL
Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.
Mai multDAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
Mai mult