Cursul 8. Teoria Grafurilor. Introducere. noiembrie Cursul 8
|
|
- Gherghina Mazilescu
- 2 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 Teoria Grafurilor. Introducere noiembrie 2020
2 Teoria Grafurilor Cuprins Graf = structură de date pentru modelarea relaţiilor binare dintre componentele unui sistem. G = (V, E) unde V : mulţime de noduri = componentele sistemului E : listă de muchii = legături/relaţii dintre noduri Tipuri de grafuri: Neorientate: b a c d e V = {a, b, c, d, e} E = [a b, b c, b c, e c, e e, d e, d a, c a] b c V = {a, b, c, d, e} e Orientate: E = [a b, b c, c b, e c, a d e e, e d, d a, c a] Muchiile orientate se numesc si arce (singular: arc). Observaţie: Dacă a b atunci: În grafuri neorientate: a b = b a (orientarea nu contează) În grafuri orientate: a b b a (orientarea contează!)
3 Vocabularul teoriei grafurilor Terminologie Orice muchie este incidentă la 2 noduri (capetele muchiei). Un arc a b are sursa a şi destinaţia b. Muchiile de forma a a sau a a se numesc bucle. Apariţiile multiple ale unei muchii în E se numesc muchii paralele. Exemplu: b c în E = [a b, b c, b c, e c, e e, d e, d a, c a] Un graf orientat se numeşte şi digraf (engl. directed graph). Un pseudograf este un graf cu bucle şi muchii paralele. Un multigraf este un graf fără bucle şi cu muchii paralele. Un graf simplu este un graf fără bucle şi fără muchii paralele. dacă G = (V, E) este graf simplu atunci E V V şi scriem a b în loc de a, b E. cel mai adesea, vom studia grafuri simple.
4 Grafuri ponderate Graf ponderat (G, w) unde G = (V, E) este un graf w : E R unde w(e) este ponderea sau greutatea muchiei e E. Dacă G este graf simplu iar e = x y sau e = x y, atunci scriem w(x, y) în loc de w(e). Exemplu b a 3 4 e c d 7 12 f w(a, b) = 3, w(a, e) = 4, w(b, c) = 2 w(c, b) = 9, w(c, f ) = 12, w(c, e) = 1 w(e, b) = 5, w(e, d) = 1, w(d, f ) = 7
5 Vocabularul teoriei grafurilor Ordinul unui graf = numărul de noduri Mărimea unui graf = numărul de muchii Mulţimea de vecini a unui nod x V : V (x) = {y x y E} dacă graful este neorientat V (x) = {y x y E} dacă graful este orientat Dacă S V atunci V (S) = x S V (x). V [x] = V (x) {x} x este nod terminal dacă are un singur vecin: V (x) = 1 x este nod izolat dacă nu are vecini: V (x) = 0 Dacă G este graf neorientat: gradul lui x este deg(x) = {y x y E} + {y y x E} secvenţa de grade a lui G este lista gradelor nodurilor din G, în ordine descrescătoare. Dacă G este digraf: gradul interior al lui x este deg (x) = {y y x E} gradul exterior al lui x este deg + (x) = {y x y E}
6 Vocabularul teoriei grafurilor Exemplu Mărimea: Ordinul: 6 v V (v) V [v] deg(v) 1 {1, 2, 5} {1, 2, 5} 4 2 {1, 3, 4} {1, 2, 3, 4} 3 3 {2, 4} {2, 3, 4} 2 4 {2, 3} {2, 3, 4} 2 5 {1} {1, 5} 1 6 {6} 0 Secvenţa de grade este [4, 3, 2, 2, 1, 0]. Nodul 5 este terminal. Nodul 6 este izolat.
7 Vocabularul teoriei grafurilor Exemplu Mărimea: Ordinul: 7 v V (v) V [v] deg (v) deg + (v) deg(v) 1 {1, 2, 5} {1, 2, 5} {1, 3, 4, 5} {1, 2, 3, 4, 5} {2, 4} {2, 3, 4} {2, 3} {2, 3, 4} {1, 3} {1, 3, 5} {6} Secvenţa de grade este lista [5, 4, 2, 2, 1, 0].
8 Grafuri izomorfe Grafurile simple G = (V, E) şi H = (V, E ) sunt izomorfe, şi scriem G H, dacă există o funcţie bijectivă f : V V astfel încât x y E dacă şi numai dacă f (x) f (y) E x y E dacă şi numai dacă f (x) f (y) E Remarcă. Două grafuri sunt izomorfe dacă putem redenumi nodurile primului graf cu numele nodurilor celui de-al doilea graf în aşa fel încât muchiile dintre noduri să rămână aceleaşi. De exemplu G H unde G: H: a g c b n h 3 7 i d
9 Vocabularul teoriei grafurilor Conectivitate (1) Dacă G = (V, E) este graf neorientat atunci Un drum sau cale de la x la y în G este o listă de noduri π = [x 1, x 2,..., x n ] astfel încât n 2, x 1 = x, x n = y şi x i x i+1 E pentru 1 i < n. Lungimea drumului este n 1. Dacă G = (V, E) este graf orientat atunci Un drum sau cale de la x la y în G este o listă de noduri π = [x 1, x 2,..., x n ] astfel încât n 2, x 1 = x, x n = y şi x i x i+1 E pentru 1 i < n. Lungimea drumului este n 1.
10 Vocabularul teoriei grafurilor Conectivitate (2) Scriem x y dacă există drum de la x la y, şi x π y dacă π este un drum de la x la y. Un drum este elementar dacă nu conţine de mai multe ori acelaşi nod, hamiltonian dacă este elementar şi conţine toate nodurile grafului. simplu dacă nu conţine de mai multe ori aceeaşi muchie, eulerian dacă este simplu şi conţine toate muchiile grafului. Un ciclu este un drum simplu de la un nod x la x. Un ciclu [x 1,..., x n, x 1 ] este hamiltonian dacă [x 1,..., x n ] este drum eulerian. eulerian dacă este drum eulerian.
11 Vocabularul teoriei grafurilor Conectivitate [5, 1, 2, 3, 4, 2] este un drum simplu dar neelementar de lungime 5. [5, 1, 2, 4] şi [5, 1, 2, 3] sunt drumuri elementare de lungime 3. [2, 1, 5, 2, 3, 4, 2] este un ciclu neelementar de lungime 6. [2, 3, 4, 2] este un ciclu elementar de lungime 3. [1, 2, 5, 1, 4, 3, 2, 4] este un drum eulerian. [2, 5, 1, 4, 3, 2] este un ciclu hamiltonian.
12 Vocabularul teoriei grafurilor Conectivitate [5, 1, 2, 3, 4, 2] este un drum simplu dar neelementar de lungime 5. [5, 1, 2, 4] şi [5, 1, 2, 3] sunt drumuri elementare de lungime 3. [2, 1, 5, 2, 3, 4, 2] este un ciclu neelementar de lungime 6. [2, 3, 4, 2] este un ciclu elementar de lungime 3. [1, 2, 5, 1, 4, 3, 2, 4] este un drum eulerian. [2, 5, 1, 4, 3, 2] este un ciclu hamiltonian are drumul hamiltonian [3, 1, 2, 5, 4] şi ciclul eulerian [5, 4, 5, 1, 3, 1, 2, 5].
13 Vocabularul teoriei grafurilor Componente conexe Componentele conexe sunt definite pentru grafuri neorientate G = (V, E). Relaţia de conectivitate este o relaţie de echivalenţă clasele de echivalenţă ale lui se numesc componente conexe ale lui G. Exemplu are 3 componente conexe: {1, 2, 3, 4, 5}, {6, 8, 9} şi {7}.
14 Vocabularul teoriei grafurilor Componente tare conexe Componentele tare conexe, sau tari, sunt definite pentru grafuri neorientate G = (V, E). Conectivitatea tare x ct y : x y şi y x este o relaţie de echivalenţă. Clasele de echivalenţă ale lui ct se numesc componente tari ale lui G. G este tare conex dacă are o singură componentă tare, adică dacă oricare două noduri din V sunt conectate tare. Exemplu are 3 componente tari: {1, 2, 3, 4, 5}, {6, 8, 9} şi {7}.
15 Teoreme fundamentale ale Teoriei Grafurilor Teorema 1. Într-un graf, suma gradelor nodurilor este egală cu dublul numărului de muchii. deg(x) = 2 E(G). x V (G) Teorema 2. Orice drum de la x la y conţine un drum elementar de la x la y. Schiţă de demonstraţie:
16 Clase de grafuri Grafuri complete (K n), grafuri nule (E n) Graful complet K n (n 1) are V = {1, 2,..., n} şi E = {i j 1 i < j n}. K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 Graful nul E n (n 1) are V = {1, 2,..., n} şi E =. E 1 E 2 E 3 E 4 E 5
17 Clase de grafuri Grafuri ciclice (C n), grafuri bipartite complete (K m,n) Graful ciclic C n (n 1) are V = {1, 2,..., n} şi E = {i j 1 i n, j = 1 + (i mod n)}. C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 Pentru m, n > 0, graful bipartit complet K m,n are V = {x i 1 i m} {y j 1 j n} şi E = {x i y j 1 i m, 1 j n}
18 Clase de grafuri Căi şi arbori Calea P n este graful cu V = {1, 2,..., n} şi E = {i j 1 i < n, j = i + 1}. 1 2 n 1 n Un arbore de ordinul n este un graf simplu conex cu n noduri şi fără cicluri. Mulţimea acestor arbori se notează cu T n. Remarcă. Toţi arborii din T n au n noduri şi n 1 muchii. Exemplu. Arbori din clasa T 5 : G 1 : G 2 : G 3 :
19 Subgraf, subgraf parţial Fie G = (V, E) un graf şi S V. Subgraful indus de S în G este graful G = (S, E ) unde E = {e E capetele lui e sunt în S}. G este subgraf al lui G dacă G = G[S] pentru un S V. În acest caz, mai spunem şi că G este conţinut în G. G = (V, E ) este subgraf parţial al lui G dacă V V şi E E.
20 Subgraf, subgraf parţial Fie G = (V, E) un graf şi S V. Subgraful indus de S în G este graful G = (S, E ) unde E = {e E capetele lui e sunt în S}. G este subgraf al lui G dacă G = G[S] pentru un S V. În acest caz, mai spunem şi că G este conţinut în G. G = (V, E ) este subgraf parţial al lui G dacă V V şi E E. Exemplu. Fie G graful Subgraf: u t s Subgraf parţial: v u t u t x y s w v s v z x y x y
21 Vocabularul teoriei grafurilor Clică, subdiviziune O n-clică (sau doar clică) a unui graf neorientat G este un subgraf al lui G izomorf cu K n. De exemplu: G 2 G 3 G 4 O subdiviziune a unui graf neorientat G este un graf obţinut prin una sau mai multe inserări succesive de noduri noi pe muchiile lui G. De exemplu: este subdiviziune a lui K 2,2. nu este subdiviziune a lui K 2,2.
22 Operaţii cu grafuri Fie G = (V, E) un graf, x V, S V şi T E. G S este subgraful indus G[V S] G T este subgraful parţial (V, E T ) G \ S este graful (V, E ) obţinut din contracţia nodurilor din S în un singur nod nou x S : V = (V S) {x S } Dacă G este neorientat atunci E ={x y x, y V S şi x y E} {x x S există x y E cu x V S şi y S}. Dacă G este digraf atunci E ={x y x, y V (G) S şi x y E} {x x S există x y E cu x V S şi y S} {x S y există x y E cu x S şi y V S}. G \ e este graful G \ S unde S sunt capetele muchiei e.
23 Operaţii cu grafuri Exemple G 1 : G 1 {1, 5} G 2 : G 1 (1 5) 9 3 x {1,2,3,4,5} x {1,5} 2 4 G 1 \ {1, 5} = G 1 (1 5) G 2 {2} G 2 {2 3, 6 3} 6 8 G 2 \{1, 2, 3, 4, 5}
24 Vocabularul teoriei grafurilor δ(g), (G), α(g), ω(g) Fie G = (V, E) un graf neorientat şi S V. Gradul minim al lui G este δ(g) = min{deg(x) x V } Gradul maxim al lui G este (G) = max{deg(x) x V } Mulţimea de noduri S este stabilă sau independentă dacă nu există nici o muchie între noduri din S. Numărul de independenţă al lui G este α(g) = max{ S S este mulţime independentă în G}. Numărul de clică ω(g) al lui G este ordinul maxim al unei clici din G, adică ω(g) = max{n H este n-clică a lui G}.
25 Vocabularul teoriei grafurilor Exemple b c y z G 1 : x a G 2 : s d t e δ(g 1 ) = (G 1 ) = 3, α(g 1 ) = 4, ω(g 1 ) = 2. δ(g 2 ) = 2, (G 2 ) = 6, α(g 2 ) = 3, ω(g 2 ) = 4.
26 Vocabularul teoriei grafurilor Articulaţii şi punţi Fie G = (V, E) un graf neorientat conex. x V (G) este nod de articulaţie (engl. cut vertex) dacă G {x} nu este conex. Altfel spus, ştergerea lui x distruge conectivitatea lui G. e E(G) este o punte (engl. bridge) dacă G e nu este conex. Altfel spus, ştergerea muchiei e distruge conectivitatea lui G. S V (G) este o mulţime de articulaţie (engl. vertex cut set) a lui G dacă graful G S nu este conex. Altfel spus, ştergerea nodurilor din S distruge conectivitatea lui G.
27 Vocabularul teoriei grafurilor grad de conectivitate, distanţă, excentricitate, centru, periferie, rază, diametru Gradul de conectivitate κ(g) al unui graf incomplet G este numărul minim de noduri ce trebuie eliminate din G pentru a-l deconecta, adică κ(g) = min{ S S este mulţime de articulaţie a lui G}. Dacă k este un întreg strict pozitiv, spunem că G este k-conex dacă k κ(g). Distanţa d(x, y) de la x la y este cea mai mică lungime a unui drum de la x la y. Excentricitatea e(x) a nodului x este distanţa cea mai mare de la x la un nod în G, adică e(x) = max{d(x, y) y V }. Centrul lui G este mulţimea nodurilor cu excentricitate minimă. Periferia lui G este mulţimea nodurilor cu excentricitate maximă. Raza lui G este excentricitatea unui nod din centrul lui G, adică radius(g) = min{e(x) x V }. Diametrul lui G este excentricitatea unui nod de la periferia lui G, adică diam(g) = max{e(x) x V }.
28 Vocabularul teoriei grafurilor Exemple 1 2 G 1 : a b c d e g f h are 3 puncte de articulaţie (cele încercuite) şi 2 punţi (cele îngroşate). a b c G 2 : d e g f h nu are puncte de articulaţie şi nici punţi, dar are mulţimi de articulaţie cu 2 noduri, de exemplu {c, e}, {f, g} sau {b, e}. Deci κ(g 2 ) = 2.
29 Vocabularul teoriei grafurilor Exemple G: r a x v s c u z e d(x, c) = 2, d(r, z) = 4, e(x) = e(e) = 2, e(z) = e(z) = 4, radius(g) = 2, diam(g) = 4, G are centrul {x, e}, G are periferia {r, z}.
30 Reprezentarea grafurilor pe calculator 1 Listă de noduri + listă de muchii 2 Liste de adiacenţă 3 Matrice de adiacenţă 4 Matrice de incidenţă 5 Matrice de ponderi
31 Reprezentarea grafurilor 1. Cu listă de noduri + listă de muchii Exemplu b a c d e Listă de noduri V = [a, b, c, d, e] Listă de muchii E = [a b, a c, a d, b c, c e, d e] Observaţii: a b = b a, a c = c a, etc. muchia a b mulţimea {a, b} b a c d e Listă de noduri V = [a, b, c, d, e] Listă de arce E = [a b, c a, c b, d a, e c, e d] Observaţii: a b b a, a c c a, etc. arcul a b perechea a, b Remarcă Dacă nu există noduri izolate, nu este necesar să fie reţinută lista de noduri V : V se poate calcula din E
32 Reprezentarea grafurilor 2. Cu liste de adiacenţă Pentru fiecare nod u V se reţine lista de vecini a lui u. Exemplu b a c d e adj[a] = [b, c, d] adj[b] = [a, c] adj[c] = [a, b, e] adj[d] = [a, e] adj[e] = [c, d] b a c d e adj[a] = [b] adj[b] = [] adj[c] = [a, b] adj[d] = [a] adj[e] = [c, d]
33 Reprezentarea grafurilor 3. Cu matrice de adiacenţă Presupunem că G = (V, E) este un graf cu n noduri. 1 Fixăm o enumerare [x 1, x 2,..., x n ] a nodurilor din V. 2 Matricea de adiacenţă este A G = (a ij ) de dimensiune n n cu a ij := numărul de muchii de la nodul x i la nodul x j. Observaţii 1 Înainte de a construi A G din G, trebuie fixată o enumerare a tuturor nodurilor: [x 1, x 2,..., x n ] 2 Dacă G este neorientat, A G este matrice simetrică 3 Dacă G este graf simplu, A G conţine doar 0 şi 1
34 Reprezentarea grafurilor cu matrice de adiacenţă Exemple b G: a b G: a c d c d e e Enumerarea nodurilor: [a, b, c, d, e] A G = Enumerarea nodurilor: [a, b, c, d, e] A G =
35 Reprezentarea digrafurilor 4. Cu matrice de incidenţă Presupunem că G = (V, E) este digraf. 1 Fixăm o enumerare V = [v 1,..., v n ] a nodurilor din V 2 Fixăm o enumerare E = [e 1,..., e p ] a muchiilor din E Matricea de incidenţă M G = (m ij ) are dimensiunea n p şi 1 dacă e j are sursa v i m ij = 1 dacă e j are destinaţia v i 0 în toate celelalte cazuri. Exemplu Dacă V = [a, b, c, d, e], E = [e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8 ] şi M G = a e 1 e 6 e e8 b e 4 e 5 e 7 e 2 e 3 d c
36 Reprezentarea grafurilor simple ponderate 5. Cu matrice de ponderi Presupunem că G = ((V, E), w) este un graf simplu ponderat. Fixăm o enumerare [x 1, x 2,..., x n ] a nodurilor din V. Matricea de ponderi W G = (w ij ) a lui (G, w) este matricea de dimensiune n n cu w ij = 0 dacă i = j, w(x i, x j ) dacă x i x j E sau x i x j E, + în celelalte cazuri. Exemplu (Digraf ponderat cu enumerare de noduri [a, b, c, d, e, f ]) G : a 3 4 b e c d 7 12 f W G =
37 Reprezentarea grafurilor Studiu comparativ pentru un graf cu n noduri şi m muchii Reprezentarea cu listă de muchii Adecvată pentru reprezentarea grafurilor simple fără noduri izolate, cu m n 2 Complexitate spaţială (memorie ocupată): O(m) Reprezentarea cu liste de adiacenţă Permite enumerarea rapidă a vecinilor unui nod Complexitate spaţială (memorie ocupată): O(n + m) Reprezentarea cu matrice de adiacenţă A G = (a ij ) sau cu matrice de ponderi W G = (w ij ) Test rapid de conectivitate directă între 2 noduri: O(1) (v i, v j ) E dacă a ij = 0 sau dacă w ij = Complexitate spaţială (memorie ocupată): O(n 2 ) - reprezentare neadecvată când m n 2 Reprezentarea cu matrice de incidenţă M G Complexitate temporală: O(n m)
38 Un Java API pentru lucrul cu grafuri Pentru familiarizarea cu algoritmii fundamentali de lucru cu grafuri, vom folosi biblioteca de clase java algs4.jar. Detalii despre ce oferă această bibliotecă găsiţi aici. Sugestii de instalare şi utilizare pe laptop-ul personal: Instalaţi/actualizaţi Eclipse IDE for Java Developers de aici Descărcaţi algs4.jar de aici. Creaţi un proiect Java EduGraph. Creaţi package-ul ro.uvt.cs.graphs în cadrul proiectului EduGraph. Adăugati biblioteca externă algs4.jar: Properties Java Build Path Libraries Add External JARs
Grafuri - Concepte de baza. Tipuri de grafuri. Modalitati de reprezentare
Concepte de bază. Tipuri de grafuri. Modalităţi de reprezentare Mircea Marin Departamentul of Informatică Universitatea de Vest din Timişoara mircea.marin@e-uvt.ro 9 noiembrie 2018 Introducere Ce este
Mai multGrafuri neorinetate Aplicatii 1 Care este numărul maxim de componente conexe pe care le poate avea un graf neorientat cu 20 noduri şi 12 muchii? a. 6
Grafuri neorinetate Aplicatii 1 Care este numărul maxim de componente conexe pe care le poate avea un graf neorientat cu 20 noduri şi 12 muchii? a. 6 b. 12 c. 10 d. 15 2 Câte grafuri neorientate, distincte,
Mai mult2.1.Tipul tablou unidimensional
7. Grafuri 7.1. Grafuri neorientate - Teste grilă 1. V_88_I_5. Care este numărul minim de noduri pe care îl poate conţine un graf neorientat cu 50 de muchii, şi în care 15 noduri sunt izolate? a. 25 b.
Mai multProbleme rezolvate informatica: Probleme rezolvate grafuri si a
Mai multe Creați blog Autentificare LUNI, 11 MARTIE 2013 Probleme rezolvate grafuri si arbori Probleme rezolvate de catre : Ginghina Cristian Onica Viorel Neculai Alexandru Anton Cosmin INFORMATICA Teorie
Mai multSlide 1
SCTR -SZOKE ENIKO - Curs 4 continuare curs 3 3. Componentele hard ale unui sistem de calcul in timp real 3.1 Unitatea centrala de calcul 3.1.1 Moduri de adresare 3.1.2 Clase de arhitecturi ale unitatii
Mai multMicrosoft PowerPoint - Curs_SDA_9_RO_2019_v2.pptx
SDA (PC2) Curs 9 Liste / Grafuri / Arbori Iulian Năstac Lista dublu înlănțuită Recapitulare Într-o astfel de listă fiecare nod conţine doi pointeri: unul spre nodul următor şi unul spre nodul precedent.
Mai multMicrosoft Word - _arbori.docx
ARBORI Să presupunem că o firmă doreşte să conecteze la TV, prin cablu, cele n case ale unui sat. Cum vor fi conectate casele la cablu? Logic, va trebui ca fiecare casă să fie conectată. Apoi, la o casă
Mai multLogică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea marius/curs/lsd/ 3 noiembrie 2014
Logică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 3 noiembrie 2014 Unde aplicăm verificarea realizabilității? probleme de căutare și
Mai multMinisterul Educatiei, Cercetarii si Tineretului Grup Scolar Gh. Asachi Galati Proiect pentru obtinerea certificatului de competente profesionale Speci
Ministerul Educatiei, Cercetarii si Tineretului Grup Scolar Gh. Asachi Galati Proiect pentru obtinerea certificatului de competente profesionale Specializare : matematica-informatica 2006-2007 Tema proiectului:
Mai multLogică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014
Logică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014 Un exemplu: automatul de cafea acțiuni (utilizator): introdu
Mai multNr. 932 din Avizat ISJ Vâlcea, Inspector școlar informatică, Ciochină Luisa EXAMEN DE ATESTARE A COMPETENȚELOR PROFESIONALE A ABSOLVENȚILOR
Nr. 932 din 12.12.2018 Avizat ISJ Vâlcea, Inspector școlar informatică, Ciochină Luisa EXAMEN DE ATESTARE A COMPETENȚELOR PROFESIONALE A ABSOLVENȚILOR DE MATEMATICĂ INFORMATICĂ ȘI MATEMATICĂ INFORMATICĂ,
Mai multIntroducere
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic AEACD 17. Segmentarea imaginilor: Region-based segmentation. Graph Theory In Image Segmentation Region-based segmentation
Mai multAnaliză de flux de date 29 octombrie 2012
Analiză de flux de date 29 octombrie 2012 Analiză statică: definiţie O analiză a codului sursă (fără a executa programul), cu scopul de a determina proprietăţi ale programului sursă. (in principal corectitudinea,
Mai multLimbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; pa
Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; paranteze: (, ); simbolul de egalitate =; cuantificatorul
Mai multI
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
Mai multSlide 1
STRUCTURI DE DATE Arbori B Sisteme de Gestiune a Bazelor de Date Relaţionale (SGBDR): operatie importanta regasirea rapida a datelor indecsi. Indexul: colecţie de perechi
Mai multLogică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014
Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014 Relații în lumea reală și informatică Noțiunea matematică de
Mai multSlide 1
BAZELE ELECTOTEHNICII BE I An I - ETTI CUS 3 Conf. dr.ing.ec. Claudia PĂCUA e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro CICUITE ELECTICE DE CUENT CONTINUU Teorema conservării puterilor Enunț: Puterea primită
Mai multAnaliză statică Analiza fluxului de date 23 octombrie 2014
Analiză statică Analiza fluxului de date 23 octombrie 2014 Analiză statică: definiție O analiză a codului sursă (fără a executa programul), cu scopul de a determina proprietăți ale programului sursă. (in
Mai multRetele Petri si Aplicatii
Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 3 RPA (2019) Curs 3 1 / 48 Conţinutul cursului 1 Arbori de acoperire 2 Probleme de decizie în reţele Petri 3 Invarianţi tranziţie RPA (2019) Curs 3 2 / 48 Arbori de acoperire
Mai multGheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Mai multLecții de pregă,re la informa,că Admitere 2019 Tema: Discutarea problemelor date la ul,mele sesiuni de admitere Bogdan Alexe
Lecții de pregă,re la informa,că Admitere 2019 Tema: Discutarea problemelor date la ul,mele sesiuni de admitere Bogdan Alexe bogdan.alexe@fmi.unibuc.ro Cuprinsul lecției de azi Enunțuri și rezolvări pentru
Mai multTeoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A 1,...,
Teoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A,..., A r unde A,..., A r sunt elemente distincte dintr-o
Mai multE_d_Informatica_sp_MI_2015_bar_02_LRO
Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. d) Informatică Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializările: matematică-informatică matematică-informatică intensiv informatică Toate subiectele
Mai multPrelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi
Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte
Mai multSlide 1
BAZELE ELECTROTEHNICII I BE An I - ETTI CURS 1 Conf. dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro BAZELE ELECTROTEHNICII I (BE) ETTI Curs Seria A - Prof. dr. ing. Vasile ȚOPA Vasile.Topa@ethm.utcluj.ro
Mai multSlide 1
ELECTROTEHNCĂ ET An - SA CRS 8 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCRAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro . ntroducere în teoria circuitelor electrice. Puteri în regim armonic 3. Caracterizarea în complex a
Mai mult1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x.
1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x. Date de intrare: arr [] = {10, 2, 14, 4, 7, 6}, x =
Mai multCURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),
CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul
Mai multExamView Pro - Untitled.tst
Class: Date: Subiecte logica computationala licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Fie formula
Mai multCursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai multStructuri de date pentru partiţii de mulţimi O partiţie finită a unei mulţimi nevide S este o mulţime finită de submulţimi ale lui S: {S 1, S 2,..., S
Structuri de date pentru partiţii de mulţimi O partiţie finită a unei mulţimi nevide S este o mulţime finită de submulţimi ale lui S: {S 1, S 2,..., S n P(S) care satisface condiţiile următoare: S i 0
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multLaboratorul 2 Problema tăieturii minime Considerăm un graf (neorientat) G = (V, E) (V e mulţimea vârfurilor, E e mulţimea muchiilor) care este conex (
Laboratorul 2 Problema tăieturii minime Considerăm un graf (neorientat) G = (V, E) (V e mulţimea vârfurilor, E e mulţimea muchiilor) care este conex (adică, între oricare două vârfuri există cel puţin
Mai multSECURITATE ȘI CRIPTOGRAFIE
Noțiuni de bază ale criptografiei Criptografia este studiul metodelor matematice legate de securitatea informației, capabile să asigure confidențialitatea, autentificarea și non-repudierea mesajelor, precum
Mai multSubiectul 1
Subiectul 1 În fişierul Numere.txt pe prima linie este memorat un număr natural n (n
Mai multPrelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)
Mai multSlide 1
Arhitectura Sistemelor de Calcul Curs 8 Universitatea Politehnica Bucuresti Facultatea de Automatica si Calculatoare cs.pub.ro curs.cs.pub.ro Structura SIMD Cuprins Probleme de Comunicatii intre Procesoarele
Mai multCursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l
Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative la R n, în principal), sunt prezentate aici elemente
Mai multG.I.S. Curs 3
G.I.S. Curs 3 Geogafia Mediului 1.04.2014 Dr. Constantin Nistor Formatul de date vectorial Datele vectoriale descriu lumea sub forma unui spaţiu populat de linii în variate aspecte şi feluri: puncte, linii,
Mai multDistanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,
Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea
Mai multSlide 1
METODE INTELIGENTE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR REALE Laura Dioşan Tema 2 Conţinut Probleme de optimizare combinatorială Problema rucsacului şi problema comisului voiajor Formularea problemei şi exemple
Mai multCapitole Speciale de Informatică Curs 4: Calculul scorurilor în un sistem complet de extragere a informaţiilor 18 octombrie 2018 Reamintim că în cursu
Capitole Speciale de Informatică Curs 4: Calculul scorurilor în un sistem complet de extragere a informaţiilor 18 octombrie 2018 Reamintim că în cursul precedent am prezentat modelul de spaţiu vectorial
Mai multProiectarea Algoritmilor
Proiectarea Algoritmilor Greedy Programare dinamica Greedy Greedy Metodă de rezolvare eficientă a unor probleme de optimizare Se pleacă de la o soluție parțială elementară Există un criteriu de optim local
Mai multDiapositive 1
Tablouri Operatii pe tablouri bidimensionale Lectii de pregatire pentru Admitere 09 / 03 / 2019 1 Cuprins Operatii pe tablouri bidimensionale 0. Tablouri unidimensionale scurta recapitulare 1.Tablouri
Mai multElemente de aritmetica
Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al
Mai multTeoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.
Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului
Mai multSlide 1
BAZELE ELECTOTEHNICII I BE An I - ETTI CS 2 Conf. dr.ing.ec. Claudia PĂCA e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro CAPITOLL I CICITE ELECTICE DE CENT CONTIN GENEALITĂȚI Circuitul electric de curent continuu
Mai multSlide 1
Gruparea (si clasificarea) fuzzy a datelor Introducere Aspecte teoretice generale Gruparea tranșantă Metode fuzzy FCM SC Utilizarea metodelor fuzzy în matlab. Exemplificare Introducere (1) Obiectivul grupării
Mai multPPSD
Modele paralele SPMD Modelul SPMD Comunicarea prin mesaje Message Passing Interface Modelul SPMD Modelul SPMD (Single Program Multiple Data) Acesta este un model adecvat calculatoarelor MIMD In cele ce
Mai multgaussx.dvi
Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care
Mai multUniversitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x
1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima
Mai multAlgoritmi genetici paraleli. Implementari Java. Continut laborator: 1. Obiectivul lucrarii. 2. Notiuni teoretice: 3. Cerinte laborator. 4. Tema. 1. Ob
Algoritmi genetici paraleli. Implementari Java. Continut laborator: 1. Obiectivul lucrarii. 2. Notiuni teoretice: 3. Cerinte laborator. 4. Tema. 1. Obiectivul lucrarii. Lucrarea de faţă are rolul de a
Mai multCapitole Speciale de Informatică Curs 1: Extragerea informaţiilor. Modelul boolean şi modelul boolean extins 27 septembrie 2018 Extragerea informaţiil
Capitole Speciale de Informatică Curs 1: Extragerea informaţiilor. Modelul boolean şi modelul boolean extins 27 septembrie 2018 Extragerea informaţiilor (engl. Information Retrieval, IR) constă în găsirea
Mai mult{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud
{ 3 + 3, < Eemple. ) Fie f : R R, f() + 4,. Funcţia f este derivabilă pe R\{} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să studiem derivabilitatea în a. Atunci f s() 3+3 6,< 3, f d f() f() (),> funcţia
Mai multcarteInvataturaEd_2.0_lectia5.pdf
Lect ia3 Diagrame Veitch-Karnaugh 5.1 Noţiuni teoretice Diagramele Veich-Karnaugh (V-K) sunt o modalitate de reprezentare grafică a funcţiilor logice. Pentru o funct ie de N variabile, diagrama corespunz
Mai multCursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont
Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi
Mai multFIŞA DISCIPLINEI
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1.Instituţia de învăţământ superior Universitatea SPIRU HARET 1.2.Facultatea Inginerie, Informatică şi Geografie 1.3.Departamentul Informatică şi Geografie 1.4.Domeniul
Mai multPowerPoint Presentation
CURS 2 Planificarea Tranzacţiilor Gestionarea Concurenţei Planificarea tranzacţiilor O planificare reprezintă ordonarea secvenţială a instrucţiunilor (Read / Write / Abort / Commit) a n tranzacţii astfel
Mai multFacultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:
Mai multUNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIȘOARA FACULTATEA DE FIZICA CONCURSUL NAȚIONAL DE FIZICĂ CONSTANTIN SĂLCEANU 30 MARTIE 2019 Sunt obligatorii toate subiec
UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIȘOARA FACULTATEA DE FIZICA CONCURSUL NAȚIONAL DE FIZICĂ CONSTANTIN SĂLCEANU 30 MARTIE 2019 Sunt obligatorii toate subiectele din două arii tematice (la alegere) dintre cele
Mai mult09. Informatica 2 - MM 1
FIȘA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1. Instituția de învățământ superior Universitatea de Vest din Timișoara 1.2. Facultatea Matematică și Informatică 1.3. Departamentul Matematică 1.4. Domeniul
Mai multMicrosoft Word - Tema 06 - Convertoare analog-numerice.doc
Convertoare analog-numerice (ADC) Convertoarele analog-numerice sunt circuite electronice (în variantă integrată sau hibridă) care, printr-un algoritm intrinsec de funcţionare, asociază valorilor tensiunii
Mai multElectricitate II
Electricitate II Circuitul electric. Legile circuitului electric. Sumar Circuitul electric simplu Legile lui Ohm Legile lui Kirchhoff Gruparea rezistorilor Transformarea stea-triunghi Gruparea generatoarelor
Mai multFIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de Matematică 1.3 Departamentul Matematică Didactic 1.4
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac
Mai multDorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
Mai multTeoria grafurilor
ADRIAN TRIF CRISTINA ŞTEFANA MIRON-BORZAN MARIAN BORZAN LOGISTICĂ. APLICAŢII WinQSB UTPRESS Cluj-Napoca, 2019 ISBN 978-606-737-381-3 Editura U.T.PRESS Str. Observatorului nr. 34 C.P. 42, O.P. 2, 400775
Mai mult20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do
SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul
Mai multMicrosoft Word - Programa_Evaluare_Nationala_2011_Matematica.doc
C E N T R U L NAłIONAL DE EVALUARE ŞI E X A M I N A R E PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ EVALUAREA NAłIONALĂ PENTRU ELEVII CLASEI A VIII A Pagina 1 din 5 PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ I. STATUTUL
Mai multLogică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu
Logică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu casandra@cs.upt.ro https://tinyurl.com/lectureslsd Mulțimi aspecte teoretice Ce sunt mulțimile? Mulțimea e un concept matematic fundamental. Definiție
Mai multLaborator 3
Laborator 3 Programare III săptămâna 8-12.10.2018 OBIECTIVE: - Folosirea modificatorilor unei clase (public, abstract, final) - Folosirea modificatorilor de acces în declaraţiile membrilor unei clase Noţiuni:
Mai multCursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire
Mai multGeometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 12 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 3 Apendix 2
Mai multLaborator 4 Modele sistemice liniare. Reprezentare numerică. Conversii. Conexiuni 4.1 Tema Formarea deprinderilor de utilizare a convenţiilor MATLAB d
Laborator 4 Modele sistemice liniare Reprezentare numerică Conversii Conexiuni 41 Tema Formarea deprinderilor de utilizare a convenţiilor MATLAB de reprezentare numerică a modelelor sitemice de stare şi
Mai multMicrosoft Word - Lucrarea_10_t.doc
Lucrarea 0 Sinteza Dispozitivelor de Înmulţire în Radix Superior Lucrarea urmăreşte o abordare practică, din punctul de vedere al designerului hardware, a problematicii sintezei dispozitivelor hardware
Mai multCRIPTOSISTEME SIMETRICE I
CRIPTOSISTEME SIMETRICE I Criptografie Anul II Martie 2019 Criptosistem P = mulţimea mesajelor în clar + K = mulţimea cheilor E C = mulţimea mesajelor criptate C = mulţimea mesajelor criptate + K = mulţimea
Mai multAlgebra si Geometri pentru Computer Science
Natura este scrisă în limbaj matematic. Galileo Galilei 5 Aplicatii liniare Grafica vectoriala In grafica pe calculator, grafica vectoriala este un procedeu prin care imaginile sunt construite cu ajutorul
Mai multCurs 3 Permutari cu repetitie. Combinari. Algoritmi de ordonare si generare
Curs 3 Permutări cu repetiţie. Combinări. Algoritmi de ordonare şi generare Octombrie 2015 Cuprins Algoritmi de ordonare şi generare pentru permutări cu repetiţie Reprezentarea binară a submulţimilor Algoritmi
Mai multNr
Anexa nr 2 FISA DISCIPLINEI 1 Date despre program 11 Institutia de învătământ superior UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMISOARA 12 Facultatea FIZICA 13 Departamentul FIZICA 14 Domeniul de studii FIZICA 15 Ciclul
Mai multBARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA ianuarie Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că
BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA 019 9 ianuarie 019 1. Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că x şi y sunt divizibili cu 11.. Fie Γ un cerc de centru
Mai multOLM_2009_barem.pdf
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Societatea de Ştiinţe Matematice din Romania Olimpiada Naţională de Matematică Etapa finală, Neptun Mangalia, 13 aprilie 2009 CLASA A VII-a, SOLUŢII ŞI BAREMURI
Mai multMihaela Stet 1.PDF
PROBLEMA TRANSPORTULUI ÎN DISTRIBUTIA MARFURILOR Mihaela STET Universitatea de Vest Vasile Goldis Arad filiala Baia Mare ABSTRACT: Freight distribution with its basic component, freight transport, supposes
Mai multSlide 1
STRUCTURI DE DATE Lista simpla Lista dubla LISTA LINIARA Lista liniara: Colectie de elemente denumite noduri; Relatie de ordine rezultata din pozitia nodurilor; Elemente de acelasi tip structura omogena;
Mai mult客厅电脑 酷影Q1000
CUPRINS 1. Noţiuni de bază... 2 1.1. Pornire... 2 1.2. Oprire... 3 1.3. Ecranul de întâmpinare... 3 1.4. Conectaţi-vă la o reţea Wi-Fi... 3 1.5. Setarea limbii... 4 1.6. Setarea rezoluţiei... 4 2. Caracteristici
Mai multMicrosoft PowerPoint - Curs_SDA_4_RO_2019_v2.pptx
Curs SDA (PC2) Curs 4 Structuri de date (continuare) Iulian Năstac 10. Funcţii pentru alocarea dinamică a memoriei (Recapitulare) Alocarea dinamică este caracteristica prin care un program poate obţine
Mai multMicrosoft Word - CarteC.doc
INSTRUCŢIUNILE LIMBAJULUI C (2) Instrucţiuni repetitive Instrucţiunea while Instrucţiunea while are formatul: while(expresie) Expresie DA Instrucţiune NU Instrucţiunea while produce în primul rând evaluarea
Mai multALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine număru
ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine numărul de operaţii efectuate de către un algoritm care determină
Mai multALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja f
ALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja far Mohammed ibn Musâ al- Khowârizmî în cartea sa intitulată
Mai multNoțiuni matematice de bază
Sistem cartezian definitie. Coordonate carteziene Sistem cartezian definiţie Un sistem cartezian de coordonate (coordonatele carteziene) reprezintă un sistem de coordonate plane ce permit determinarea
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Mai multA.E.F. - suport laborator nr.5 sem.ii Analiza suprafețelor prin utilizarea elementelor 2D În acest laborator sunt atinse următoarele aspecte: realizar
Analiza suprafețelor prin utilizarea elementelor 2D În acest laborator sunt atinse următoarele aspecte: realizarea manuală a rețelelor discretizate utilizarea elementelor 2d într-o analiză aplicarea unei
Mai mult1
Contents 1 Automate finite... 2 1.1 Probleme cu AF... 2 1.2 Structuri de date pentru automate finite... 4 2 Gramatici si limbaje; gram. indep. de context... 5 2.1 Limbaje... 5 2.2 Gramatici si limbaje...
Mai multCoordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),
Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + +
Mai multPachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL
Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Mai multPowerPoint Presentation
ELEMENTE DE MORFOLOGIE MATEMATICA Morfologia matematica Cadru de abordare diferit: Pana acum : Imaginea este o functie de doua variabile. Pixelii imaginii (valori si coordonate de pozitie) sunt structurati
Mai multPAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi C
PAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi Calculatoare Universitatea Politehnica Bucureşti PAS
Mai mult