Ecuatii si sisteme de ecuatii neliniare 1 Metoda lui Newton Algorithm 1 Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. Date de intrare: - Funcţia f - Apro
|
|
- Ancuța Florea
- 4 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 Ecuatii si sisteme de ecuatii neliniare Metoda lui Newton Algorithm Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. - Funcţia f - Aproximaţia iniţială x - Eroarea admisă ε - Numărul maxim de iteraţii ITMAX - Ultima aproximaţie calculată x - Numărul de iteraţii efectuate n n = while f(x) > ε şi n IT MAX do x = x f(x) f (x) n = n + end while if n > IT MAX then În ITMAX iteraţii nu a fost realizată aproximarea dorită else Aproximarea obţinută este x end if Exemplul. Pentru ecuaţia: xe x = 0 cu algoritmul descris anterior se obţin rezultatele din tabelul următor, tabel în care ultima coloană conţine
2 valorile absolute ale funcţiei f(x) = xe x (erorile de aproximare): n x n f(x n ) 0 0, , , , , , , , , , , În Algoritmul se aplică metoda lui Newton pentru aproximarea radicalului de ordin p dintr-un număr real pozitiv a, cu o eroare dată ε, într-un număr de iteraţii dat ITMAX. Algorithm Metoda lui Newton pentru p a. - Numărul real, pozitiv a - Ordinul radicalului p - Aproximaţia iniţială x - Eroarea admisă ε - Numărul maxim de iteraţii ITMAX n = - Ultima aproximaţie calculată x - Numărul de iteraţii efectuate n while x p a > ε şi n IT MAX do x = [ (p )x + a ] p x p n = n + end while if n > IT MAX then În ITMAX iteraţii nu a fost realizată aproximarea dorită else Aproximarea obţinută este x end if În tabelul următor sunt date aproximaţiile numerelor şi, luând x 0 =, respectiv x 0 =, calculate cu formula x n+ = [ (p )x n + a ] p x p, n 0. n
3 n 0, 5, 5, , , , , 44564, În Algoritmul se aplică metoda secantei pentru aproximarea soluţiei ecuaţiei f(x) = 0 cu o eroare dată ε, într-un număr de iteraţii dat ITMAX. x n+ = x n f(x n)(x n x n ) f(x n ) f(x n ). Pentru ecuaţia din exemplul. se obţin următoarele rezultate: n x n f(x n ) 0 0, , , , , , , , , , , , ,
4 Algorithm Metoda secantei pentru ecuaţia f(x) = 0. - Funcţia f - Aproximaţiile iniţiale x 0, x - Eroarea admisă ε - Numărul maxim de iteraţii ITMAX - Ultima aproximaţie calculată x - Numărul de iteraţii efectuate n n = while f(x ) > ε şi n IT MAX do x = x f(x )(x x 0 ) f(x ) f(x 0 ) x 0 = x x = x n = n + end while if n > IT MAX then În ITMAX iteraţii nu a fost realizată aproximarea dorită else Aproximarea obţinută este x end if 4
5 Metoda aproximaţiilor succesive Algorithm 4 Metoda aproximaţiilor succesive pentru ecuaţia x = f(x). - Funcţia f - Aproximaţia iniţială x - Eroarea admisă ε - Numărul maxim de iteraţii ITMAX - Ultima aproximaţie calculată x - Numărul de iteraţii efectuate n n = while x f(x) > ε şi n IT MAX do x = f(x) n = n + end while if n > IT MAX then În ITMAX iteraţii nu a fost realizată aproximarea dorită else Aproximarea obţinută este x end if Exemplul. Pentru ecuaţia: x = e x în tabelul următor sunt prezentate rezultatele aplicării metodei aproximaţiilor succesive. În ultima coloană sunt valorile absolute ale erorilor de aproximare x n f(x n ), unde f(x) = e x. n x n x n f(x n ) , , , , , , , , , , , ,
6 Ecuaţii şi sisteme de ecuaţii neliniare Metoda lui Bairstow Exemplul. Pentru ecuaţia: x x + = 0, luând ca aproximaţii iniţiale p 0 = q 0 = 0, şi oprind iteraţiile atunci când: max { R, S } < 0, se obţine descompunerea: x x + = (x +, 8799)(x, 8799x + 0, 509) Rădăcinile ecuaţiei sunt: x =, 8799, x =, 509, x = 0, 470. Exemplul. Pentru ecuaţia: x 4 + x 0x 4x 6 = 0, luând ca aproximaţii iniţiale p 0 = 0,, q 0 = 0 şi oprind iteraţiile atunci când: max { R, S } < 0, se obţine descompunerea: x 4 + x 0x 4x 6 = = ( x, 868x 4, 5806 ) ( x +, 868x + 5, 676 ) Rădăcinile ecuaţiei sunt: x = 4, 0047, x =, 46, x, 4 =, 945 ±, 9i.
7 Algorithm Metoda lui Bairstow. - Gradul ecuaţiei n - Coeficienţii ecuaţiei: a 0, a,..., a n - Pentru fiecare n aproximaţiile iniţiale p, q şi eroarea ε - Pentru fiecare n rădăcinile ecuaţiei x +px+q = 0, iar în final rădăcinile unei ecuaţii de gradul doi (pentru n = ) sau rădăcina unei ecuaţii de gradul întâi (pentru n = ) while n do repeat b 0 = a 0 b = a pb 0 for i =,,..., n do b i = a i pb i qb i end for c 0 = b 0 c = b pc 0 for i =,,..., n do c i = b i pc i qc i end for δ = c n c n c n + c n b n P = b n c n + b n c n Q = b n c n + b n c n b n p = p P δ q = q Q δ until max { b n, b n + pb n } < ε Rezolvă ecuaţia x + px + q = 0 n = n for i = 0,,..., n do a i = b i end for end while if n = then Rezolvă ecuaţia a 0 x + a x + a = 0 else Rezolvă ecuaţia a 0 x + a = 0 end if
8 Metoda lui Bernoulli Exemplul. Fie ecuaţia: Pentru acest exemplu se obţin valorile: P (x) = 0, P (x) = x 5 + 5x 4 5. y 0 = 5, y = 5, y = 5, y = 5, y 4 = 65. Procesul iterativ este în acest caz: y i+5 = 5 (y i y i+4 ), i 0. Se obţin rezultatele din următorul tabel: Avem: y k i k = i + 5 y k y k , , , , , , P ( 4, 99948) = 0, Deci rădăcina reală, maximă în valoare absolută, a ecuaţiei date este aproximativ egală cu 4,
9 Algorithm Metoda lui Bernoulli. - Gradul ecuaţiei n - Coeficienţii ecuaţiei: a 0, a,..., a n - Eroarea admisă ε - Numărul maxim de iteraţii ITMAX - Aproximaţiile calculate x pentru rădăcina maximă în valoare absolută - Numărul de iteraţii efectuate m y 0 = n y = a a 0 for i =,,..., n do a a a i y i = y i y i... y a 0 a 0 a 0 end for i = 0 m = 0 repeat a a y n+i = y n+i y n+i a 0 i a i a 0 a n... y i a 0 a 0 x = y n+i y n+i m = m + i = i + until a 0 x n + a x n a n < ε sau m > IT MAX if m > IT MAX then În ITMAX iteraţii nu a fost realizată aproximarea dorită else Aproximarea obţinută este x end if 4
10 Matrice. Proceduri de triangularizare Triangularizarea superioară a matricei A R n n se realizează într-un număr de etape în care se determină matricele A () = A, A (),..., A (n) de forma: a (k) a (k)... a (k) k a (k) k... a (k) n A (k) = 0 a (k)... a (k) k a (k) k... a (k) n a (k) k k a (k) a (k) k k... a (k) k n kk... a (k) kn a (k) nk... a (k) nn, k n. Elementele matricei A (k+) se calculează astfel: a (k) ij pentru i k, i j n a (k+) ij = 0 pentru j k, j + i n a (k) ij m ik a (k) kj pentru k + i, j n = a(k) ij a(k) kk a(k) ik a(k) kj a (k) kk Aşadar, matricea A (k) se transformă în matricea A (k+) după următoarele reguli: R. Liniile,,..., k şi coloanele,,..., k, (k > ), nu se modifică. R. Elementele subdiagonale din coloana k se anulează. R. Elementele situate în liniile şi coloanele k +, k +,..., n se transformă după regula dreptunghiului. În Algoritmul se realizează triangularizarea superioară a unei matrice A R n n folosind regulile R R. Calculele se fac în matricea A. Să presupunem acum că în etapa k elementul a (k) kk de pivotare parţială sau totală. 0. Procedura de pivotare parţială. Se caută în coloana k acel element a (k) i k k cu proprietatea: = max a (k) i k k () = 0. În acest caz se folosesc aşa numitele proceduri a (k) ik k i n În Algoritmul se realizează triangularizarea superioară a unei matrice A R n n aplicând în fiecare etapă procedura de pivotare parţială şi regulile R R. Calculele se fac în matricea A. 0. Procedura de pivotare totală. În această procedură se determină elementul a (k) i k j k cu proprietatea: a (k) i k j k =. max a (k) ij k i,j n În Algoritmul se realizează triangularizarea superioară a unei matrice A R n n aplicând în fiecare etapă procedura de pivotare totală şi regulile R R. Calculele se fac în matricea A..
11 Algoritmul Procedură de triangularizare a unei matrice A (varianta ). - Matricea A = (a ij ) i, j n. - Matricea superior triunghiulară obţinută în A Pentru k =,,..., n execută: Dacă a kk 0 atunci: Pentru i = k +, k +,..., n execută: Pentru j = k +, k +,..., n execută: a ij = a ij a ika kj a kk a ik = 0 altfel: Matricea A nu poate fi triangularizată prin acest algoritm. STOP Algoritmul Procedură de triangularizare a unei matrice A (varianta ). - Matricea A = (a ij ) i, j n. - Matricea superior triunghiulară obţinută în A Pentru k =,,..., n execută: a pk = max k i n a ik Dacă a pk 0 atunci: Dacă p k atunci: Permută liniile p şi k Pentru i = k +, k +,..., n execută: Pentru j = k +, k +,..., n execută: a ij = a ij a ika kj a kk a ik = 0
12 Algoritmul Procedură de triangularizare a unei matrice A (varianta ). - Matricea A = (a ij ) i, j n. - Matricea superior triunghiulară obţinută în A Pentru k =,,..., n execută: a pq = max k i,j n a ij Dacă a pq 0 atunci: Dacă p k atunci: Permută liniile p şi k Dacă q k atunci: Permută coloanele q şi k Pentru i = k +, k +,..., n execută: Pentru j = k +, k +,..., n execută: a ij = a ij a ika kj a kk a ik = 0 altfel: Matricea A este superior triunghiulară STOP
13 Exemplul 0. Să se triangularizeze matricea: A = Soluţii. a) În cazul algoritmului obişnuit (metoda lui Gauss), fără pivotare parţială sau totală, se parcurg următoarele etape: Etapa. A () = A, a () =, m =, m =, Etapa. M = M = b) Pivotare parţială. Etapa. Avem: , A () = M A () = a () =, m =,, A () = M A () = A () = A, max a () i i = a () Se permută în A () liniile,. Se obţine matricea: P A () =, P = Se aplică regulile R R matricei P A (). Rezultă: 0 0 A () = = M P A (), M = 0. 0 Etapa. Avem: max a () i i = a ()., P = I. Nu sunt necesare permutări de linii. Se aplică regulile R R matricei A (). Rezultă: A () = = M P A () = M A (), M = c) Pivotare totală. Etapa. Avem: A () = A, max a () ij i,j = a (). 4
14 Se permută în A () liniile, şi coloanele,. Se obţine matricea: 0 0 P A () S =, P = Se aplică acum regulile R R matricei P A () S. Rezultă: 5 7 A () = 0 5 = M P A () S, M = 0 Etapa. Avem: max a () ij i,j = a (). = S Se permută în A () coloanele,. Se obţine matricea: 7 5 P A () S = 0 5, P = I, S = Se aplică acum regulile R R matricei P A () S. Rezultă: 7 5 A () = = M P A () S, M =
15 Matrice. Sisteme de ecuaţii liniare Factorizarea LR Exemplul. Rezultă: A = L = () , R = () Algoritmul Factorizare LR pentru o matrice A. - Matricea A = (a ij ) i, j n. - Elementele matricelor L şi R obţinute în A Pentru k =,,..., n execută: Dacă a kk 0 atunci: Pentru i = k +, k +,..., n execută: Pentru j = k +, k +,..., n execută: a ij = a ij a ika kj a kk a ik = a ik a kk altfel: Matricea A nu poate fi factorizată LR cu acest algoritm. STOP
16 Pentru factorizarea Doolittle se obţin formulele: r j = a j, j n l i = a i, i n r Pentru k =,,..., n : r kj = a kj k l kh r hj, k j n l ik = ( r kk r nn = a nn n h= a ik k h= h= l nh r hn l ih r hk ), k + i n () Algoritmul Factorizare LR Doolittle pentru o matrice A. - Matricea A = (a ij ) i, j n - Elementele matricelor L şi R obţinute în A Dacă a = 0 atunci: Matricea A nu poate fi factorizată cu formulele STOP altfel: Pentru i =,,..., n execută: a i = a i a Pentru k =,,..., n execută: Pentru j = k, k +,..., n execută: a kj = a kj k a kh a hj h= Dacă a kk = 0 atunci: Matricea A nu poate fi factorizată cu formulele STOP altfel: Pentru i = k +, k +,..., n execută: a ik = ( ) a ik k a ih a hk a kk a nn = a nn n a nh a hn h= h=
17 Matrice. Sisteme de ecuaţii liniare Factorizarea QR Exemplul. Să se realizeze o factorizare QR pentru matricea: A = Soluţie. Etapa. A () = A, v = +, 0 0 H = I v v t v tv = A () = H A () = 0 0,. Etapa. v = H = I v v t v tv = 0 + 6, ,
18 Rezultă: A () = H A () = Q = H H = R = A () = , 6. 6
19 Algoritmul Factorizare QR a unei matrice A - Matricea A = (a ij ) i,j n - Matricele R = A şi Q Q = I Pentru k =,,..., n execută: n σ = a ik i=k Dacă σ 0 atunci: Dacă a kk < 0 atunci: σ = σ v k = a kk + σ Pentru i =,,..., k execută: v i = 0 Pentru i = k +, k +,..., n execută: v i = a ik β = n vi i=k Pentru i =,,..., n execută: Pentru j =,,..., n execută: Dacă i j atunci: h ij = v iv j β altfel: h ij = v i β A = H A Q = Q H
20 Metode directe de rezolvare a sistemelor liniare Considerăm sistemul de ecuaţii liniare: unde A R n n, b R n. Ax = b, () Metode directe bazate pe proceduri de triangularizare Exemplul. Să se rezolve sistemul: 5x + x + x = 5x 6x + x = 4x + x + x = Metoda. Vom nota cu B (k) matricea extinsă obţinută în etapa k. Avem: 5 5 B () = (A, b) = 5 6, B () = 0 8, B () = Sistemul corespunzător matricei B () este: 5y + y + y = 8y + y = 9 4 y = 7 4 Soluţia acestui sistem este: y = Deoarece nu s-au efectuat permutări de coloane rezultă S = I şi deci soluţia sistemului dat este: x = y =...
21 Metoda. Metoda pivotării totale. Fie: B () = 5 6 = 5 4 Aplicând procedura de pivotare totală obţinem: Se permută liniile, şi coloanele,. Obţinem: ( A (), b ()), A () = A, b () = b. max b () ij i,j = 6 = = P (A () S, b ()), P = S = Se aplică regulile R R matricei P ( A () S, b ()). Rezultă: b () B () 0 = 0 7 = M ( P A () S, b ()), M =. 0 Aplicăm din nou procedura de pivotare totală. Avem: max b () ij = 0 b i,j = (). Nu sunt necesare permutări de linii sau coloane. Se aplică regulile R R matricei B (). Obţinem: B () 0 = Sistemul corespunzător matricei B () este: 6y + 5y + y = 0 y + 5 y = y = 7 4 Soluţia acestui sistem este: Soluţia sistemului dat este: 0 0 = M B (), M = y = x = Sy = S y =....
22 Algoritmul Metode directe pentru sisteme liniare bazate pe proceduri de triangularizare. - Matricea sistemului A = (a ij ) i,j n - Termenii liberi a in+ = b i, i n - Matricea R = A, unde A are forma din ultima etapă - Vectorul c de componente: c i = a in+, i n - y = (y i ) i n soluţia sistemului Ry = c - x = Sy, x = (x i ) i n, soluţia sistemului Ax = b S = I Pentru k =,,..., n execută: a pq = max k i,j n a ij Dacă a pq 0 atunci: Dacă p k atunci: Permută liniile p şi k în (A, b) Dacă q k atunci: Permută coloanele q şi k în (A, b) şi S Pentru i = k +, k +,..., n execută: Pentru j = k +, k +,..., n + execută: a ij = a ij a ika kj a kk a ik = 0 altfel: Sistemul Ax = b nu poate fi rezolvat prin acest algoritm STOP y n = a nn+ a nn Pentru i = ( n, n,..., execută: ) y i = a in+ n a ik y k a ii k=i+ Pentru i =,,..., n execută: x i = n k= (S) ik y k
23 Metode directe bazate pe proceduri de factorizare LR si QR Exemplul. Să se rezolve sistemul: Soluţie. Pentru matricea sistemului: x + x + x = 7 4x + 5x + 6x = 5 x + x + x = 5 A = am realizat factorizarea Doolittle A = LR cu: Sistemul Ly = b, unde b = Sistemul Rx = y are soluţia: x = L = R = , , are soluţia: y =. Rezultă că sistemul dat are soluţia: x = x = x =
24 Algoritmul Metode directe de rezolvare a sistemelor liniare bazate pe proceduri de factorizare LR. - Matricea sistemului: A = (a ij ) i,j n - Termenii liberi: b = (b i ) i n - Elementele eventual nenule ale matricei L: l ij = a ij, j < i n, l ii =, i n - Elementele eventual nenule ale matricei R: r ij = a ij, i j n - y = (y i ) i n soluţia sistemului Ly = b - x = (x i ) i n soluţia sistemului Rx = y Aplică algoritmu de factorizare LR a matricei A y = b Pentru i =,,..., n execută: y i = b i i a ik y k k= x n = y n a nn Pentru i = ( n, n,..., ) execută: x i = y i n a ik x k a ii k=i+ 5
25 Algoritmul Metode directe de rezolvare a sistemelor liniare bazate pe proceduri de factorizare QR. - Matricea sistemului: A = (a ij ) i,j n - Termenii liberi: b = (b i ) i n - Elementele matricei Q: q ij, i, j n - Elementele eventual nenule ale matricei R: r ij = a ij, i j n - y = (y i ) i n soluţia sistemului Qy = b - x = (x i ) i n soluţia sistemului Rx = y Aplică algoritm defactorizare QR a matricei A P rod = n a kk k= Dacă P rod 0 atunci: Pentru i =,,..., n execută: y i = n k= q ki b k x n = y n a nn Pentru i = ( n, n,..., execută: ) x i = y i n a ik x k a ii k=i+ altfel: Sistemul nu poate fi rezolvat prin acest algoritm 6
26 Metode iterative de rezolvare a sistemelor liniare Metodele Seidel-Gauss şi Jacobi ) Metoda Seidel - Gauss: ( ) t x (0) = x (0) x (0)... x (0) n R n, Pentru k 0 : ( x (k+) i = b i i a ij x (k+) j n a ii j= j=i+ a ij x (k) j ), i n. () ) Metoda Jacobi: x (0) = ( ) t x (0) x (0)... x (0) n R n, Pentru k 0 : x (k+) i = a ii b i n j= j i a ij x (k) j, i n. () Observatie. Oprirea procesului iterativ () sau () se face atunci când: unde ε este precizia impusă pentru aproximarea soluţiei. q k ( q d x (), x (0)) < ε. () Metoda relaxării Exemplul. Să se aproximeze soluţia sistemului: x 0, x 0, x +, = 0 0, x x 0, x +, = 0 0, x 0, x x +, 4 = 0 Soluţie. Considerăm x (0) = (0 0 0) t. Rezultă: R (0) =,, R (0) =,, R (0) =, 4
27 Algoritmul Metoda Seidel-Gauss. - Matricea sistemului: A = (a ij ) i,j n - Termenii liberi ai sistemului: b = (b i ) i n - Eroarea admisă ε - Aproximaţia iniţială a soluţiei: x = (x i ) i n - Ultima aproximaţie calculată: y = (y i ) i n - Numărul de iteraţii efectuate k Determină: n a ij q = max i n sau: q = max j n j= j i a ii n a ij i= i j a jj Dacă q < atunci: m = Pentru i =,,..., n execută: y i = (b i i a ij y j n a ij x j ) a ii j= j=i+ Determină cel mai mic număr natural k cu proprietatea: Pentru m =,,..., k execută: Pentru i =,,..., n execută: x i = y i Pentru i =,,..., n execută: y i = (b i i a ij y j n a ij x j ) a ii j= j=i+ altfel: Nu este asigurată convergenţa algoritmului STOP q k q max i n x i y i < ε
28 Algoritmul Metoda Jacobi. - Matricea sistemului: A = (a ij ) i,j n - Termenii liberi ai sistemului: b = (b i ) i n - Eroarea admisibilă ε - Aproximaţia iniţială a soluţiei: x = (x i ) i n - Ultima aproximaţie calculată: y = (y i ) i n - Numărul de iteraţii efectuate k Determină: n a ij q = max i n sau: q = max j n j= j i a ii n a ij i= i j a jj Dacă q < atunci: m = Pentru i =,,..., n execută: y i = (b i n a ij x j ) a ii j= j i Determină cel mai mic număr natural k cu proprietatea: Pentru m =,,..., k execută: Pentru i =,,..., n execută: x i = y i Pentru i =,,..., n execută: y i = (b i n a ij x j ) a ii j= j i altfel: Nu este asigurată convergenţa algoritmului STOP q k q max i n x i y i < ε
29 Deoarece R (0) = max R (0) i i următoarea aproximaţie a soluţiei va fi: x () = (0 0, 4) t. ş.a.m.d. Efectuând calculele cu două zecimale exacte se obţin rezultatele din tabelul care urmează: Iteraţia x R x R x R 0 0, 0 0, 0 0, 40 0, 4 0, 4, 40, 40 0, 06 0, 6, ,, 6, 6 0, 0 0, 94, 6 0, 40 0, 0, 94 0, 94 0, 9 0, 9 0, 94 0, 00, 6 0, 9, 40 0, 4 0, 04 0, 04 0, 4 0, 4 4 0, 94 0, 04, 6 0, 5 0, 98 0, 00 0, 0 0, 5 0, 5 0, 0 5 0, 94 0, 06, 0 0, 00 0, 98 0, 0 0, 06 0, 06 0, 0 0, 0 6, 00 0, 00, 0 0, 0 0, 98 0, 0 0, 00 0, 00 0, 0 0, 0 7, 00 0, 00, 0 0, 0, 00 0, 00 0, 00 0, 0 0, 0 0, 00, 00 0, 00, 00 0, 00, 00 0, 00 Dupa 7 iteraţii s-a obţinut soluţia: x =, x =, x =. 4
30 Algoritmul Metoda relaxării. - Ecuaţiile sistemului: b i x i + n a ij x j = 0, i n - Eroarea admisibilă ε j= j i - Aproximaţia iniţială a soluţiei: x i, i n - Numărul maxim de iteraţii ITMAX - Ultima aproximaţie calculată: x i, i n - Numărul de iteraţii efectuate m m = Pentru i =,,..., n execută: R i = b i x i + n j= j i a ij x j Cât timp max i n R i ε şi m IT MAX execută: R p = max i n R i x p = x p + R p Pentru q =,,..., n execută: Dacă q p atunci: R q = R q + a qp R p altfel: R q = 0 m = m + Sfârşit Cât timp Dacă m > IT MAX atunci: În ITMAX iteraţii nu este obţinută aproximarea dorită STOP altfel: Aproximarea obţinută este: x i, i n 5
31 Calculul determinantului si inversei unei matrici Metoda condensarii pivotale pentru calculul determinanţilor Exemplul. Să se calculeze valoarea determinantului: 0 0 d = Soluţie. Permutăm liniile,. Obţinem: 0 0 d = Obţinem succesiv: d = = = 5 8 = = 8 =
32 Algoritmul Calculul determinanţilor cu metoda condensării pivotale. - Matricea A = (a ij ) i,j n - Determinantul matricei A: det (A) t = Cât timp n execută: a pq = max i,j n a ij Dacă a pq = 0 atunci: det (A) = 0 STOP altfel: Dacă p atunci: Permută în A liniile şi p t = t Dacă q atunci: Permută în A coloanele şi q t = t Pentru i =, 4,..., n execută: Pentru j =,,..., n execută: a ij = a ij a Pentru i =,,..., n execută: Pentru j =,,..., n execută: b ij = a a i+j+ a i+ a j+ n = n Pentru i =,,..., n execută: Pentru j =,,..., n execută: a ij = b ij Sfârşit Cât timp det (A) = t (a a a a )
33 Metode pentru inversarea matricelor Exemplul. Pentru matricea: avem: Obţinem: A = B () = (A, I) = B (4) = Inversa matricei A este A = S S C. Rezultă: B () = B () = A = = (I, C)
34 Algoritmul Metoda lui Gauss pentru inversarea matricelor. - Matricea A = (a ij ) i, j n. - Matricea A = (α ij ) i, j n, inversa matricei A Pentru i =,,..., n execută: Pentru j =,,..., n execută: Dacă i j atunci: a in+j = 0 s ij = 0 altfel: a in+j = s ij = Pentru k =,,..., n execută: a pq = max k i,j n a ij Dacă a pq 0 atunci: Dacă p k atunci: Permută în (A, I) liniile p şi k Dacă q k atunci: Permută în (A, I) şi S coloanele q şi k Pentru i =,,..., k, k +,..., n execută: Pentru j = k +, k +,..., n execută: a ij = a ij a ika kj a kk a ik = 0 Pentru j = n, n,..., k execută: a kj = a kj a kk altfel: Matricea A nu este inversabilă STOP 4
35 Dacă a nn 0 atunci: Pentru i =,,..., n execută: Pentru j = n +, n +,..., n execută: a ij = a ij a ina nj a nn a in = 0 Pentru j = n, n,..., n execută: a nj = a nj a nn altfel: Matricea A nu este inversabilă STOP Pentru i =,,..., n execută: Pentru j =,,..., n execută: α ij = n k= s ik a kn+j 5
36 Algoritmul Metoda iterativă pentru calculul inversei unei matrice A. - Matricea A = (a ij ) i,j n - A, inversa matricei A a = a Pentru k =,,..., n execută: Pentru i =,,..., k execută: u i = a ik+ v i = a k+i a k+k+ = a k+k+ k k v i a ij u j i= j= Pentru i =,,..., k execută: k a ik+ = a k+k+ a ij u j j= Pentru j =,,..., k execută: k a k+j = a k+k+ v i a ij i= Pentru i =,,..., k execută: Pentru j =,,..., k execută: a ij = a ij + a ik+a k+j a k+k+ 6
37 Polinom caracteristic. Vectori şi valori proprii. Metoda minorilor diagonali. Fie A = (a ij ) i, j n C n n. unde: Exemplul. Soluţie. p A (λ) = λ n σ λ n + σ λ n σ λ n ( ) n σ n, σ = n M i = n σ = i= i<j n a ii i= M ij =... σ n = M...n = det(a) A = i<j n a ii a ij a ji a jj σ = M + M + M + M 4 = = 0 σ = M + M + M 4 + M + M 4 + M 4 = = = 6 Se obţine: σ = M + M 4 + M 4 + M 4 = 0 = σ 4 = M 4 = det (A) = Metoda lui Leverrier. Se calculează A, A,..., A n.. Se calculează s k = tr ( A k), k n p A (λ) = λ 4 0λ + 6λ 0λ = 0
38 . Coeficienţii polinomului caracteristic: p A (λ) = λ n σ λ n ( ) n σ n se calculează cu formulele lui Newton: σ = s σ k = k [s σ k s σ k ( ) k s k σ + ( ) k+ s k ], k n. () Algoritmul Metoda lui Leverrier. - Matricea A = (a ij ) i,j n - Polinomul caracteristic: p A (λ) = λ n σ λ n ( ) n σ n - Determinantul maticei A B = I Pentru k =,,..., n execută: B = A B s k = n b ii i= σ = s Pentru k =,,..., n execută: σ k = k [k ( ) i+ s i σ k i + ( ) k+ s k ] i= Polinomul caracteristic este: p A (λ) = λ n σ λ n ( ) n σ n Determinantul matricei A este: σ n Exemplul. Pentru A = A = s = 5, s = 9, s = 7 σ = s = 5 σ = (s σ s ) = 8 σ = (s σ s σ + s ) = 4 0 0, A = Rezultă: p A (λ) = λ 5λ + 8λ 4. avem:
39 Metoda lui Fadeev Fie matricea A C n n. Metoda lui Fadeev este descrisă de formulele: A = A, σ = tr (A ), B = σ I A, A k = AB k, σ k = k tr (A k), B k = σ k I A k, k n () Exemplul. Soluţie. Rezultă: A = A, σ = 0, B = A = A = A 4 = A = , σ = 6, B =, σ = 0, B =,, σ 4 =, B 4 = O R p A (λ) = λ 4 0λ + 6λ 0λ +, A = B,
40 Algoritmul Metoda lui Fadeev. - Matricea A = (a ij ) i,j n - Polinomul caracteristic: p A (λ) = λ n σ λ n ( ) n σ n - Determinantul matricei A - Matricea A, inversa matricei A, atunci când A este inversabilă à = A σ = n ã ii i= Pentru i =,,..., n execută: Pentru j =,,..., n execută: Dacă i j atunci: b ij = ã ij altfel: b ij = σ ã ij Pentru k =,,..., n execută: à = A B σ k = n ã ii k i= Pentru i =,,..., n execută: Pentru j =,,..., n execută: Dacă i j atunci: b ij = ã ij altfel: b ij = σ k ã ij à = A B σ n = n ã ii n i= Polinomul caracteristic este: p A (λ) = λ n σ λ n ( ) n σ n Determinantul matricei A este: σ n Dacă σ n 0 atunci: Inversa matricei A este: A = B σ n altfel: Matricea A nu este inversabilă 4
41 4 Metoda lui Krîlov Algoritmul Metoda lui Krîlov. - Matricea A = (a ij ) i,j n - Polinomul caracteristic: p A (λ) = λ n + c λ n + c λ n c n - Determinantul matricei A Repetă Alege un vector nenul de componente y i0, i n Pentru i =,,..., n execută: Pentru k =,,..., n execută: y ki = n a kj y ji j= Calculează d determinantul matricei Y = (y ij ) i n; 0 j n până când d 0 Rezolvă sistemul de ecuaţii liniare: n i=0 c n i y ki = y kn, k n Polinomul caracteristic este: p A (λ) = λ n + c λ n + c λ n c n Determinantul matricei A este: ( ) n c n Exemplul 4. A = Soluţie. Pentru y (0) = 0 0 rezultă: y () = Ay (0) = y () = A y (0) = Ay () = y () = A y (0) = Ay () = Sistemul are determinantul nul în acest caz. Vom alege un alt vector iniţial y (0)
42 Pentru y (0) = 0 0 rezultă: y () = Sistemul este în acest caz:, y () = 5 6, y () = c + c = 7 5c c = 9 6c + c + c = 0 Acest sistem are soluţia unică: c = 6, c =, c = 6. Deci: p A (λ) = λ 6λ + λ Ecuaţia p A (λ) = 0 are rădăcinile: λ =, λ =, λ =. Pentru determinarea vectorilor proprii determinăm mai întâi polinoamele: Apoi vectorii proprii sunt: q (λ) = p A (λ) λ λ = λ 5λ + 6 q (λ) = p A (λ) λ λ = λ 4λ + q (λ) = p A (λ) λ λ = λ λ + y () 5y () + 6y (0) = 0, pentru λ = y () 4y () + y (0) =, pentru λ = y () y () + y (0) = 0, pentru λ = 6
Calcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 4 2019 Anca Ignat Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Fie matricea nesingulară A nn şi b n. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare Ax=b se poate face folosind regula
Mai multMETODE NUMERICE ÎN INGINERIE
METODE NUMERICE ÎN INGINERIE REZOLVAREA NUMERICĂ A SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE Aspecte generale (1) (2) (3) (4) (5) Unicitatea soluţiei Un sistem de ecuaţii liniare are o soluţie unică numai dacă matricea
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 6 2019 Anca Ignat Algoritmul lui Givens Fie A o matrice reală pătratică de dimensiune n. Pp. că avem: A QR unde Q este o matrice ortogonală iar R este o matrice superior triunghiulară.
Mai multgaussx.dvi
Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Mai multAutoevaluare curs MN.doc
Anul II, IEI IFR Semestrul I Metode numerice Chestionar de autoevaluare C1 1 Să se scrie o procedură care să calculeze produsul scalar a doi vectori 2 Să se scrie o procedură de înmulţire a matricelor
Mai multMetode Numerice
Metode Numerice Prof. Bogdan Gavrea CTI 2019 pentru rezolvarea numerică a sistemelor liniare Matrici diagonal dominante Definiţie O matrice A M n,n (C), A = (a ij ) 1 i,j n se numeşte diagonal dominantă
Mai multMicrosoft Word - probleme_analiza_numerica_ses_ian09.rtf
Universitatea Spiru Haret Facultatea de Matematica-Informatica Disciplina obligatorie; Anul 3, Sem. 1,Matematica si Informatica CONTINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI Metode numerice de rezolvare a sistemelor
Mai multFIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de Informatică 1.3 Departamentul Informatică 1.4 Domeniul
Mai multClasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Mai mult1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai
1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai mare decât cifra sutelor. b. Se consideră algoritmul
Mai multAproximarea functiilor prin metoda celor mai mici patrate
Aproximarea funcţiilor prin metoda celor mai mici pătrate Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 2017-2018
Mai multPAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi C
PAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi Calculatoare Universitatea Politehnica Bucureşti PAS
Mai multPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 7 2019 Aca Igat Memorarea matricelor rare - se memorează doar valorile eule şi suficiete iformaţii despre idici astfel ca să se poată recostitui complet matricea Pp. că matricea A
Mai multALGORITHMICS
CURS 2: Descrierea algoritmilor în pseudocod =Exemple= 1 Structura Descrierea unor algoritmi simpli Specificarea și utilizarea subalgoritmilor 2 Exemplu 1 Considerăm un tabel cu informații despre studenți
Mai multSpatii vectoriale
Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale
Mai mult..MINISTERUL EDUCAŢIEI NAȚIONALE ŞI CERCETARII STIINTIFICE UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIȘOARA.I CENTRUL DE DEZVOLTARE ACADEMICĂ. FIȘA DISCIPLINEI 1.
FIȘA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1. Instituția de învățământ superior Universitatea de Vest din Timișoara 1.2. Facultatea Matematică și Informatică 1.3. Departamentul Informatică 1.4. Domeniul
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele
Mai multCLP_UTCN-grila-2012.dvi
Liceul: Numele: Punctaj: Prenumele: Concursul liceelor partenere cu Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Test grilă Ediţia a treia mai 0 Clasa a X-a În casuţa din stânga întrebării se va scrie litera
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Mai multUniversitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică şi Informatică ERNEST SCHEIBER ANALIZĂ NUMERICĂ Braşov
Universitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică şi Informatică ERNEST SCHEIBER ANALIZĂ NUMERICĂ Braşov Cuprins I INTERPOLARE ŞI APLICAŢII 9 1 Diferenţe finite 11 11 Diferenţe finite 11
Mai multLaborator 4 Modele sistemice liniare. Reprezentare numerică. Conversii. Conexiuni 4.1 Tema Formarea deprinderilor de utilizare a convenţiilor MATLAB d
Laborator 4 Modele sistemice liniare Reprezentare numerică Conversii Conexiuni 41 Tema Formarea deprinderilor de utilizare a convenţiilor MATLAB de reprezentare numerică a modelelor sitemice de stare şi
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine număru
ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine numărul de operaţii efectuate de către un algoritm care determină
Mai multDAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
Mai multALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja f
ALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja far Mohammed ibn Musâ al- Khowârizmî în cartea sa intitulată
Mai multGHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007
GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de
Mai multMetode de sortare - pregătire admitere - Conf.dr. Alexandru Popa Lect. dr. Andrei Pătraşcu Universitatea din Bucureşti 1
Metode de sortare - pregătire admitere - Conf.dr. Alexandru Popa Lect. dr. Andrei Pătraşcu Universitatea din Bucureşti 1 Cuprins Problema sortării Algoritmul de sortare prin interschimbare (Bubble sort)
Mai multAlgoritmi elementari Metode de căutare secvenţială binară Metode de ordonare metoda bulelor metoda inserţiei metoda selecţiei metoda numărării Intercl
Algoritmi elementari Metode de căutare secvenţială binară Metode de ordonare metoda bulelor metoda inserţiei metoda selecţiei metoda numărării Interclasare Analiza complexităţii unui algoritm Metode de
Mai multBacktracking_2018
Facultatea de Matematică și Informatică Lecții de pregătire Admitere 2019 Rezolvarea problemelor folosind metoda backtracking Exemplu: ieșirea din labirint 2 Exemplu: aranjarea a n regine 3 Exemplu: rezolvarea
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,
Mai multCurs 8: Tehnica divizării (I) Algoritmi si structuri de date - Curs 8 1
Curs : Tehnica divizării (I) 1 In cursul anterior am văzut cum se analizează eficiența algoritmilor recursivi Se scrie relația de recurență corespunzătoare timpului de execuție Se rezolvă relația de recurență
Mai multSlide 1
Arhitectura Sistemelor de Calcul Curs 8 Universitatea Politehnica Bucuresti Facultatea de Automatica si Calculatoare cs.pub.ro curs.cs.pub.ro Structura SIMD Cuprins Probleme de Comunicatii intre Procesoarele
Mai multDiapositive 1
Tablouri Operatii pe tablouri bidimensionale Lectii de pregatire pentru Admitere 09 / 03 / 2019 1 Cuprins Operatii pe tablouri bidimensionale 0. Tablouri unidimensionale scurta recapitulare 1.Tablouri
Mai multMicrosoft Word - l10.doc
Metode Numerice - Lucrarea de laborator 0 Lucrarea de laborator nr. 0 I. Scopul lucrării Aproximarea funcţiilor. Polinoame de interpolare. II. Conţinutul lucrării. Polinom de interpolare. Definiţie. Eroarea
Mai multLUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL Aspecte generale Programarea neliniară are o foart
LUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL 0 8.. Aspecte generale Programarea neliniară are o foarte mare importanţă în rezolvarea problemelor de optimizări,
Mai multCopyright c 2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la
Copyright c 1 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, Profilurile: fizica-matematica, economie,
Mai multUNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac
Mai multTeoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A 1,...,
Teoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A,..., A r unde A,..., A r sunt elemente distincte dintr-o
Mai multCursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai multLaborator Implementarea algoritmului DES - Data Encryption Standard. Exemplu DES Algoritmul DES foloseşte numere b
Laborator 4 1.04-5.04.2019 8.04-12.04.2019 1. Implementarea algoritmului DES - Data Encryption Standard. Exemplu DES Algoritmul DES foloseşte numere binare. Fiecare grup de 4 biţi reprezintă un număr hexazecimal.
Mai multI. Partea introductivă Proiectul unității de învățare CONCEPTUL DE MATRICE ŞCOALA: Colegiul Național Petru Rareș Suceava CLASA: a XI a- matematică / a
I. Partea introductivă Proiectul unității de învățare CONCEPTUL DE MATRICE ŞCOALA: Colegiul Național Petru Rareș Suceava CLASA: a XI a- matematică / a XI a- informatică neintensiv PROFESOR: Dumitrașcu
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7
Mai multCurs 3 Permutari cu repetitie. Combinari. Algoritmi de ordonare si generare
Curs 3 Permutări cu repetiţie. Combinări. Algoritmi de ordonare şi generare Octombrie 2015 Cuprins Algoritmi de ordonare şi generare pentru permutări cu repetiţie Reprezentarea binară a submulţimilor Algoritmi
Mai multAnaliză de flux de date 29 octombrie 2012
Analiză de flux de date 29 octombrie 2012 Analiză statică: definiţie O analiză a codului sursă (fără a executa programul), cu scopul de a determina proprietăţi ale programului sursă. (in principal corectitudinea,
Mai multCurs8
Curs 8 Analiză sintactică LR(k) Termeni Predicție vezi LL(1) Manșa = simboluri din vârful stivei de lucru care formează (în ordine) pdp Analizor de tip deplasare - reducere: deplasează simboluripentru
Mai multPowerPoint Presentation
Calculul Aproximativ al Derivatelor Funcțiilor umerice Ș.l. Dr. ing. Levente CZUMBIL E-mail: Levente.Czumbil@ethm.utcluj.ro WebPage: http://users.utcluj.ro/~czumbil Determinarea distribuţiei de sarcină
Mai multLaborator 1-Teoria probabilitatilor si statistica matematica Sef lucrari dr.mat. Daniel N.Pop Departamentul de calculatoare si inginerie electrica 1 P
Laborator 1-Teoria probabilitatilor si statistica matematica Sef lucrari dr.mat. Daniel N.Pop Departamentul de calculatoare si inginerie electrica 1 Prezentare generală Matlab 1.1 Help on-line 1. Limbajul
Mai multAnaliză statică Analiza fluxului de date 23 octombrie 2014
Analiză statică Analiza fluxului de date 23 octombrie 2014 Analiză statică: definiție O analiză a codului sursă (fără a executa programul), cu scopul de a determina proprietăți ale programului sursă. (in
Mai multE_d_Informatica_sp_MI_2015_bar_02_LRO
Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. d) Informatică Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializările: matematică-informatică matematică-informatică intensiv informatică Toate subiectele
Mai multSlide 1
Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice PROIECTAREA OPTIMALĂ A DISPOZITIVELOR ELECTROMAGNETICE PODE CURS 2 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@et.utcluj.ro 2/46 Proiectarea
Mai multFisa MMC IA
MD-05, CHIŞINĂU, STR. STUDENȚILOR, 7, TEL: 0 50-99-01 FAX: 0 50-99-05, www.utm.md METODE ŞI MODELE DE CALCUL 1. Date despre unitatea de curs/modul Facultatea Calculatoare, Informatică și Microelectronică
Mai multGeometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial Vari
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial 1 11 Varietăţi liniare 1 12 Spaţiul director şi dimensiunea unei varietăţi
Mai multMicrosoft Word - Tematica examen AIS.doc
FACULTATEA DE AUTOMATICA SI CALCULATOARE Catedra Automatica si Ingineria Sistemelor Program master: Control Avansat si Sisteme in Timp Real Tematica examen: - Sisteme de conducere avansata a proceselor
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI Etapa locală, 24 februarie 2017 PROFIL TEHNIC ŞI SERVICII, RESURSE NATURALE, PROTECŢIA MEDIU
SUBIECTE - clasa a IX-a 1. Determinați mulțimile: a) ; b) ; c). 2. Arătați că: a), ; b) dacă, atunci. 3. Considerăm dreptunghiul ABCD și punctele E, F și M, astfel încât, și. Dacă N este mijlocul lui (EF),
Mai multCursul 13 Mulţimi Julia Fie f : C C o funcţie complexă şi fie f n = f f f iterata de ordin n a lui f. Peste tot în continuare vom presupune că f este
Cursul 13 Mulţimi Julia Fie f : C C o funcţie complexă şi fie f n = f f f iterata de ordin n a lui f. Peste tot în continuare vom presupune că f este dezvoltabilă în serie de puteri în tot planul (cum
Mai multSubiectul 1
Subiectul 1 În fişierul Numere.txt pe prima linie este memorat un număr natural n (n
Mai multDivide et Impera
Metoda Divide et Impera Lect. Dr. Marina Cidota Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti cidota@fmi.unibuc.ro Prezentare realizată pe baza: 1. Horia Georgescu. Tehnici de programare,
Mai multOperatorii in C Expresii Operatori aritmetici Operatori de asignare Operatori de incrementare si decrementare Operatori relationali Operatori logici O
Operatorii in C Expresii Operatori aritmetici Operatori de asignare Operatori de incrementare si decrementare Operatori relationali Operatori logici Operatii pe biti Operatorul conditional Operatori Logici
Mai multprograma_olimpiada_matematica_IX-XII_
R O M  N I A MINISTERUL EDUCAłIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI DIRECłIA GENERALĂ MANAGEMENT ÎNVĂłĂMÂNT PREUNIVERSITAR CONSILIUL NAłIONAL PENTRU CURRICULUM ŞI EVALUARE ÎN ÎNVĂłĂMÂNTUL PREUNIVERITAR PROGRAMA
Mai multCOMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati
COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan
Mai mult/*
Laborator 1 1) Să se scrie un program cu ajutorul căruia să se găsească cel mai mare divizor comun a două numere întregi pozitive a şi b. #include long cmmdc (long x, long y) long rest; do rest
Mai multLaborator 9- Estimarea parametrilor Sef lucrari dr.mat. Daniel N.Pop Departamentul de calculatoare si inginerie electrica 29.nov
Laborator 9- Estimarea parametrilor Sef lucrari dr.mat. Daniel N.Pop Departamentul de calculatoare si inginerie electrica 29.nov.2017 1 2 1 Estimarea parametrilor in ToolBox-ul Statistics Functiile de
Mai multTiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n
Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen
Mai multMatrici și vectori în VBA În VBA, o matrice este un grup de variabile de același tip. De ce ar trebui să utilizați o matrice? Presupunem că ați vrut s
Matrici și vectori în VBA În VBA, o matrice este un grup de variabile de același tip. De ce ar trebui să utilizați o matrice? Presupunem că ați vrut să stocați douăzeci de nume de angajați în variabile
Mai multMicrosoft Word - Capitolul_07
Viziunea computerizată în exemple şi aplicaţii practice Filtrarea în domeniul frecvenţă Introducere Filtrele de frecvenţă modifică valorile pixelului în funcţie de periodicitate şi distribuţia spaţială
Mai multClustere şi impurităţi în sisteme complexe
C: Soluţii numerice ale ecuaţiei Schrödinger independentă de timp. Metoda Tirului BIBLIOGRAFIE Ion. I. Cotaescu. Curs de Mecanica Cuantică, Tipografia UVT 990 Epperson J, An introduction to numerical methods
Mai multI
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
Mai multSlide 1
Gruparea (si clasificarea) fuzzy a datelor Introducere Aspecte teoretice generale Gruparea tranșantă Metode fuzzy FCM SC Utilizarea metodelor fuzzy în matlab. Exemplificare Introducere (1) Obiectivul grupării
Mai multCURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),
CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul
Mai multAero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D
Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge
Mai multBARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA ianuarie Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că
BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA 019 9 ianuarie 019 1. Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că x şi y sunt divizibili cu 11.. Fie Γ un cerc de centru
Mai multCursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire
Mai mult20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do
SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul
Mai multGeometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 12 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 3 Apendix 2
Mai multE_d_Informatica_sp_SN_2014_bar_10_LRO
Examenul de bacalaureat naţional 2014 Proba E. d) Informatică Varianta 10 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. În rezolvările cerute,
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se
Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să
Mai multCRIPTOSISTEME SIMETRICE I
CRIPTOSISTEME SIMETRICE I Criptografie Anul II Martie 2019 Criptosistem P = mulţimea mesajelor în clar + K = mulţimea cheilor E C = mulţimea mesajelor criptate C = mulţimea mesajelor criptate + K = mulţimea
Mai multCurs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi
Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a
Mai multLogică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014
Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014 Relații în lumea reală și informatică Noțiunea matematică de
Mai multOPERATII DE PRELUCRAREA IMAGINILOR 1
OPERATII DE PRELUCRAREA IMAGINILOR Prelucrarea imaginilor 2 Tipuri de operatii de prelucrare Clasificare dupa numarul de pixeli din imaginea initiala folositi pentru calculul valorii unui pixel din imaginea
Mai multALGORITHMICS
Curs 7: Gruparea datelor (II) Data mining - Curs 7 1 Structura Metode bazate pe densitate DBSCAN DENCLUE Metode probabiliste EM - Expectation Maximization Data mining - Curs 7 2 Metode bazate pe densitate
Mai multProgramarea şi utilizarea calculatoarelor
Universitatea Constantin Brâncuşi din Târgu-Jiu Facultatea de Inginerie Departamentul de Automatică, Energie şi Mediu Programarea calculatoarelor Lect.dr. Adrian Runceanu Curs 6 Instrucţiunile limbajului
Mai multcarte2008.dvi
Capitolul 6 Tehnica divizării Este o tehnică similară tehnicii reducerii însă rezolvarea unei probleme de dimensiune n nu se reduce la rezolvarea unei singure subprobleme de dimensiune mai mică ci la rezolvarea
Mai multMicrosoft Word - CarteC.doc
INSTRUCŢIUNILE LIMBAJULUI C (2) Instrucţiuni repetitive Instrucţiunea while Instrucţiunea while are formatul: while(expresie) Expresie DA Instrucţiune NU Instrucţiunea while produce în primul rând evaluarea
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (0p) Variana 1001 a b 1 Se consider maricea A = b a, cu a, b i b 0 a) S se arae c dac maricea X ( ) verific relaia AX = XA, aunci exis uv,, asfel încâ u v X = v u n n n n * n x ( ) ( )
Mai multCursul 10 Fractali de tip Newton Vom prezenta în continuare o nouă modalitate de generare a fractalilor, modalitate care îşi are originea într-o probl
Cursul 10 Fractali de tip Newton Vom prezenta în continuare o nouă modalitate de generare a fractalilor, modalitate care îşi are originea într-o problemă formulată în anul 1879 de Arthur Cayley (1821 1895)
Mai multCursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această ev
Cursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această evoluţie, exprimată succint prin şirul de incluziuni
Mai multPowerPoint-Präsentation
Universitatea Transilvania din Braşov Laboratorul de Vedere Artificială Robustă şi Control Metode Numerice Curs 01 Introducere Gigel Măceșanu 1 Cuprins Obiectivele cursului Organizare: Structura cursului
Mai multMicrosoft PowerPoint - Fp_2.ppt
C_2 / 12.10.2012 Fundamentele programării rii 2. Codificarea algoritmilor în limbajul Pascal Limbajul Pascal : elementele limbajului, structura programelor, tipuri simple de date. 1/17/17 Vocabularul şi
Mai multUniversitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x
1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima
Mai multFacultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:
Mai multSUBPROGRAME
SUBPROGRAME Un subprogram este un ansamblu ce poate conţine tipuri de date, variabile şi instrucţiuni destinate unei anumite prelucrări (calcule, citiri, scrieri). Subprogramul poate fi executat doar dacă
Mai multFACULTATEA DE MATEMATICĂ
FACULTATEA DE MATEMATICĂ TEME PENTRU GRADUL DIDACTIC I Nr. crt Seria 2014-2016 Conducător / Tema 1. Metode exacte de rezolvare a sistemelor algebrice liniare cu aplicaţii în matematica gimnazială Problemele
Mai multPattern Recognition Systems
Sisteme e Recunoaștere a Formelor Lab 7 Analiza Componentelor Principale 1. Obiective În această lucrare e laborator se escrie metoa e Analiză a Componentelor Principale (Principal Component Analysis PCA).
Mai mult