Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc

Transcriere

1 ,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel încât u v X = v u n n n n * n x ( ) ( ) ( ) ( ) b) Să se arate că n, n yn a + b + a b a+ b a b A =, unde xn, y y n n x = = n c) Să se rezolve în mulţimea ( ) 3 1 X = 1 Se consideră 7 6 a şi polinomul f X ax 5ˆ [ X] = + + a) Să se verifice că, pentru orice b 7, b ˆ0, are loc relaţia b 6 = ˆ b) Să se arate că x + ˆ5 = ( x 4)( ˆ x + 4), ˆ x 7 c) Să se demonstreze că pentru orice 7 7 a, polinomul f este reductibil în [ ] 7 X

2 SUBIECTUL II (30p) Varianta 00 1 Se consideră matricea A M ( ), A = 1 1 a) Să se arate că există a astfel încât 009 b) Să se calculeze ( A A ) t A = aa 5 c) Să se rezolve ecuaţia X = A, X ( ) M Pentru ab, din mulţimea M = [0, ) se defineşte operaţia a b= ln( e + e 1) a) Să se arate că dacă a, b M, atunci a b M b) Să se arate că legea de compoziţie este asociativă c) Pentru n, n, să se determine a M astfel încât a a a= a de nori a a b

3 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricea A = M 3 ( ) a) Să se verifice egalitatea b) Să se calculeze 1 A A A = I c) Să se arate că A 009 A ( A I3 ) Se consideră cunoscut că (,, ) + = + 3 este un inel comutativ, unde x y = x+ y 3 şi x y = x y 3x 3y+ 1, x, y a) Să se arate că elementul neutru al legii de compoziţie este 4 b) Să se determine ab, astfel încât între inelele (,, ) şi (, +, ) să existe un izomorfism de forma f :, f( x) = a x+ b c) Să se rezolve în mulţimea ecuaţia de 009 ori x 009 x x x= + 3

4 Varianta 4 4 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricea A = 1 a) Să se calculeze rangul matricei A t b) Să se demonstreze că det( A A) = 0 c) Să se determine o matrice nenulă B M 3, ( ) astfel încât AB= O Se ştie că ( G, ) este grup, unde G = (3, ) şi x y = ( x 3)( y 3) + 3 Se consideră funcţia f :(0, ) G, f( x) = x+ 3 a) Să se calculeze b) Să se demonstreze că funcţia f este un izomorfism de grupuri, de la ((0, ), ) G c) Să se demonstreze că dacă H este un subgrup al lui G care conţine toate numerele naturale k 4, atunci H conţine toate numerele raţionale q > 3 la (, )

5 Varianta 5 5 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră punctele A(0, 6), B(1, 4), C( 1, 8) şi matricea M = a b, unde ab, a) Să se arate că punctele A, B, C sunt coliniare b) Să se determine rangul matricei M în cazul a= 3, b= 0 c) Să se arate că dacă unul dintre minorii de ordin trei ai lui M, care conţin ultima coloană, este nul, atunci rang( M ) = Pe mulţimea definim legea de compoziţie x y = 5xy+ 6x+ 6y+ 6 a) Să se arate că legea este asociativă b) Să se determine elementele simetrizabile ale mulţimii în raport cu legea c) Să se rezolve ecuaţia x x x x= 1 de 009 ori x

6 Varianta 6 6 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră permutarea σ= S a) Să se calculeze 009 σ b) Să se dea exemplu de o permutare τ S5 astfel încât τσ e şi ( τσ ) = e c) Să se demonstreze că, pentru orice τ S5, există p astfel încât τ = e 3 Se consideră a, x 1, x, x3 rădăcinile ecuaţiei x x + x a= 0 şi determinantul x1 x x3 = x3 x1 x x x x 3 1 a) Pentru a = 1, să se determine x1, x şi x 3 b) Să se arate că, pentru orice a, ecuaţia are o singură rădăcină reală c) Să se arate că valoarea determinantului nu depinde de a p

7 7 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricele A= 0 1 3, B= ( ) a) Să se determine rangul matricei A b) Să se determine mulţimea soluţiilor sistemului c) Să se demonstreze că ecuaţia XA B = nu are soluţii ( ) X M 1,3 x+ y+ 3z+ 4t = 3 şi sistemul y+ z+ 3t = z + t = 1 k k Se consideră mulţimea G A ( k ) k k k = =, şi pentru fiecare t notăm cu t = { ( 1) } Se admite faptul că (, ) H A kt k G este un grup, unde este înmulţirea matricelor a) Să se arate că n, p, An ( ) Ap ( ) = An ( + p+ 1) b) Să se demonstreze că, pentru orice t, H t este un subgrup al grupului ( G, ) c) Să se demonstreze că grupurile ( G, ) şi (, + ) sunt izomorfe

8 Varianta 8 8 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricea A = M 3( ) a) Să se calculeze det ( A ) b) Să se arate că c) Să se determine n n n 1 + A = A + I3, pentru orice n A 3 Se consideră a şi ecuaţia x x+ a= 0, cu rădăcinile complexe x1, x, x 3 a) Să se calculeze ( x1+ 1)( x + 1)( x3 + 1) b) Să se determine x şi x 3 ştiind că x 1 = c) Să se determine a pentru care x1, x, x 3 sunt numere întregi

9 Varianta 9 9 SUBIECTUL II (30p) Varianta Fie A( x, y ), B( x, y ), C( x, y ) trei puncte din plan şi matricea M = x y 1 ( ) A A B B C C x x A B C y y A B C 1 1 M a) Să se arate că, dacă A, B, C se află pe dreapta de ecuaţie y= x, atunci det ( M ) = 0 b) Să se arate că, dacă triunghiul ABC este dreptunghic şi are catetele de lungime 1, atunci det ( M ) =± 1 c) Să se arate că, dacă matricea M este inversabilă, atunci suma elementelor matricei 3 1 M este 1 a b Se consideră mulţimea de matrice A= a, b 3b a a) Să se arate că, dacă X A şi Y A, atunci X + Y A b) Să se arate că, dacă X A,Y A şi XY = O, atunci X = O sau Y = O c) Admitem cunoscut faptul că A este inel în raport cu adunarea şi înmulţirea matricelor Să se determine elementele inversabile ale acestui inel

10 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră permutările e, α S3, e = 1 3, 1 3 α= a) Să se calculeze α b) Să se rezolve ecuaţia α 009 x= e, x S3 c) Să se demonstreze că, oricare ar fi ordinea factorilor, produsul tuturor permutărilor din S 3 este permutare impară Fie inelul [] i = { a+ bi a, b } a) Să se dea exemplu de un număr complex z astfel încât z [] i z i b) Să se determine elementele inversabile ale inelului [] i c) Să se arate că mulţimea H = ( m+ n) + ( m n) i m, n este parte stabilă a lui [] i în raport cu înmulţirea { } şi [ ]

11 11 Varianta 11 SUBIECTUL II (30p) Varianta 011 a b c d b a d c 1 Pentru abcd,,,, se consideră matricea A = c d a b d c b a a) Pentru a = c = 1 şi b= d = 0, să se calculeze det ( A ) t b) Să se arate că A A =α I4, unde α= a + b + c + d c) Să se demonstreze că dacă A O4, atunci A este inversabilă Se consideră a, b, c şi polinomul încât x1 1, x 1, x3 1 a) Să se demonstreze că a 3 b) Să se arate că, dacă 0 c) Să se arate că, dacă a= 1, c= 1, atunci b = 1 t şi matricea transpusă A 3 f = X + ax + bx + c, cu rădăcinile x1, x, x3, astfel c <, polinomul are cel puţin o rădăcină reală în intervalul ( ) 0,

12 Varianta 1 1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 01 1 Se consideră polinoamele f, g [ X], f = X + X + 1, cu rădăcinile complexe x1, x şi c b a g = ax + bx + c, cu a 0 Fie matricele AV M, 3 ( ), A = a c b şi V = 1 x b a c 1 x 1 x1 x a) Să se arate că det ( V ) = 3( x x1) g(1) g( x1) g( x) b) Să se arate că A V = g(1) x1g( x1) xg( x) g(1) x1g( x1) xg( x) c) Să se arate că det ( A ) = 0 dacă şi numai dacă a+ b+ c= 0 sau a = b = c Se consideră funcţia f : 5 5, f ( x) = x + 4x a) Să se calculeze f (0) ˆ şi f (1) ˆ b) Să se arate că funcţia f nu este surjectivă 4 c) Să se descompună polinomul X + ˆ4 X 5[ X] în factori ireductibili peste 5 4 ˆ

13 13 Varianta 13 SUBIECTUL II (30p) Varianta x y+ z = 1 1 Se consideră sistemul de ecuaţii x + y + z = 3, unde m Pentru fiecare m, notăm cu m mx+ y+ z = 3m mulţimea soluţiilor reale ale sistemului a) Să se determine m pentru care sistemul are soluţie unică b) Să se arate că pentru orice m sistemul este compatibil c) Să se determine min { x y z ( x, y, z) S } 1 Se consideră matricele { ( ) det ( ) 1} G = X M X = a) Să se verifice că + + A 0 1 = 1 0, B 0 1 = 1 1, 1 0 I = 0 1, C = A B şi mulţimea A 4 = B 6 = I b) Să se arate că ( G, ) este un subgrup al grupului multiplicativ al matricelor inversabile de ordin doi, cu elemente numere complexe c) Să se demonstreze că C I, pentru orice n n

14 14 SUBIECTUL II (30p) Varianta a b c 1 Se consideră matricea A a b c =, unde abc,, 3a 3b 3c a) Să se calculeze rangul matricei A b) Să se arate că există d astfel încât A = da c) Să se arate că există matricele ( ) K M 3,1 Se consideră numărul a 3 şi L M 1,3 ( ) = i şi polinomul f [ X] a) Să se arate că f( a ) = 0 b) Să se determine rădăcinile polinomului f c) Să se arate că polinomul f este ireductibil în [ X ] astfel încât A= K L, 4 f = X 4X + 16

15 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta 015 a b c 1 Fie a, b, c şi matricea A = c a b b c a a) Să se calculeze det ( A ) b) Să se arate că dacă a b c şi A nu este inversabilă în ( ) 1 ax+ by+ cz = x 1 c) Să se arate că sistemul de ecuaţii liniare cx+ ay+ bz = y 1 bx+ cy+ az = z Se consideră polinomul f [ X] a) Să se calculeze, x x x x M, atunci a = b = c 3 admite numai soluţia x= y = z = 0 f = X 5X + 5, cu rădăcinile x1, x, x3, x4 b) Să se arate că polinomul f are toate rădăcinile reale c) Să se arate că dacă g este un polinom cu coeficienţi reali care are proprietatea că pentru orice x real g( x) f( x), atunci există a [ 1,1] astfel încât g = af

16 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta 016 a b 1 Se consideră mulţimea G= X = a, b, a> a) Să se arate că dacă A, B G, atunci AB G b) Să se găsească două matrice C, D G pentru care CD DC c) Să se arate că dacă A G, atunci Se consideră abc,, şi polinomul I A+ A G 3 f = X + ax + bx + c a) Să se determine a, b, c astfel încât polinomul f să aibă rădăcinile x1 = x = 1 şi x 3 = b) Să se arate că dacă f are rădăcina, atunci f are o rădăcină raţională c) Să se arate că dacă abc,,, iar numerele f (0) şi f (1) sunt impare, atunci polinomul f nu are rădăcini întregi

17 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricele A = 0 1 şi 3 8 B = 1 3 a) Să se calculeze A B 3 4 b) Să se calculeze det( I + A+ A + A + A ) c) Să se arate că ecuaţia X = I are o infinitate de soluţii în ( ) 4 3 Se consideră polinoamele f, g [ X], f X X X X M şi g = X 1 a) Să se determine restul împărţirii polinomului f la polinomul g 1 x 1 x 1 x 1 x b) Să se calculeze ( 1) ( ) ( 3) ( 4) c) Să se calculeze g ( x ) g( x ) g( x ) g( x ) = , cu rădăcinile x1, x, x3, x4

18 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricea A = M 3( ) a) Să se calculeze 3 A b) Să se afle rangul matricei I3 + A + A c) Să se determine inversa matricei 3 t 3 Se consideră ab, şi polinomul f = X + 4aX + 0X + b, cu rădăcinile x1, x, x3 a) Să se determine x1, x, x 3 în cazul a=, b= 0 b) Să se demonstreze că ( x1 x) + ( x1 x3) + ( x x3) = 8(4a 15) c) Să se determine ab, astfel încât polinomul f să aibă o rădăcină dublă egală cu a

19 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta 019 x + y+ z+ t = 1 x y + z + t = 0 1 Se consideră sistemul şi A matricea sistemului x + y z + t = 0 x + y+ z t = 0 a) Să se calculeze det ( A ) b) Să se rezolve sistemul c) Să se determine 1 A Fie polinomul f X 4 X 3 ax X 1 [ X] a) Să se calculeze b) Să se arate că ( ) = şi x1, x, x3, x4 rădăcinile sale x x x x f x = x x + x + a+, x x x c) Să se determine a pentru care toate rădăcinile polinomului f sunt numere reale

20 Varianta 0 0 SUBIECTUL II (30p) Varianta 00 1 Se consideră triunghiul ABC, cu laturile AB = c, BC = a, CA = b şi sistemul ay+ bx= c cx+ az = b bz+ cy = a a) Să se rezolve sistemul în cazul a= 3, b= 4, c= 5 b) Să se demonstreze că, pentru orice triunghi, sistemul are soluţie unică,, x, y, z 1,1 c) Ştiind că soluţia sistemului este ( x y z ), să se demonstreze că ( ) a b Se consideră mulţimea G= a, b b a 3 a) Să se determine numărul elementelor mulţimii G b) Să se arate că AB G, pentru orice A, B G c) Să se determine numărul matricelor din mulţimea G care au determinantul nul

21 Varianta 1 1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 01 1 Pentru abc,,, se consideră sistemul ax+ by+ cz = b cx+ ay+ bz = a bx+ cy+ az = c, xyz,, a) Să se arate că determinantul sistemului este = ( a + b + c)( a + b + c ab ac bc) b) Să se rezolve sistemul în cazul în care este compatibil determinat c) Ştiind că a + b + c ab ac bc = 0, să se arate că sistemul are o infinitate de soluţii ( x, y, z ), astfel încât x + y = z 1 a b Se consideră mulţimea G= abc,, 0 c 4 a) Să se determine numărul elementelor mulţimii G b) Să se dea un exemplu de matrice A G cu proprietatea că det A 0ˆ şi 1ˆ 0ˆ c) Să se determine numărul soluţiilor ecuaţiei X = 0ˆ 0ˆ, X G det A = 0ˆ

22 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta 0 x+ y+ z = 0 1 Fie sistemul ax + by + cz = 0, cu a, b, c, distincte două câte două şi A matricea sistemului ax+ by+ cz= 1 a) Să se arate că det ( A) = ( a+ b+ c)( c b)( c a)( b a) b) Să se rezolve sistemul în cazul a+ b+ c 0 c) Să se demonstreze că dacă a+ b+ c= 0, atunci sistemul este incompatibil Se consideră şirul de numere reale ( an) n, cu a 0 = 0 şi f [ X], cu f (0) = 0 şi cu proprietatea că a) Să se calculeze f ( 5) b) Să se arate că n, f ( a ) c) Să se arate că f = X n = a n an 1 an 1 + = +, n şi polinomul f( x + 1) = ( f( x)) + 1, x

23 Varianta 3 3 SUBIECTUL II (30p) Varianta 03 b C A = X = a, b a Se consideră matricea A = 1 0 şi mulţimea ( ) a 5 b a) Să se arate că X C( A), XA = AX b) Să se arate că dacă Y C( A) şi Y = O Y O c) Să se arate că dacă Z C( A), Z O =, atunci şi Z are toate elementele raţionale, atunci det Z 0 Se consideră 3 f = X 3 + ˆ X + a 3 X f 0 ˆ + f 1 ˆ + f ˆ a şi polinomul [ ] a) Să se calculeze ( ) ( ) ( ) b) Pentru a = ˆ, să se determine rădăcinile din 3 ale polinomului f c) Să se determine a 3 pentru care polinomul f este ireductibil în 3 [ X ]

24 Varianta 4 4 SUBIECTUL II (30p) Varianta 04 1 Se consideră o matrice A M ( ) a) Să se demonstreze că z b) Să se demonstreze că det ( A A ) = 0 c) Ştiind că t 3 Se notează cu t A transpusa matricei A 3, X M ( ), det ( zx) z det ( X) t A A, să se demonstreze că rang ( A A ) = 3 4 t = Se consideră polinomul f [ X], cu f = X 5X + 4 a) Să se determine rădăcinile polinomului f b) Să se determine polinomul h [ X ], pentru care h (0) = 1şi ale cărui rădăcini sunt inversele rădăcinilor polinomului f g = g 1 = g 1 = g =, c) Ştiind că g este un polinom cu coeficienţi întregi, astfel încât ( ) ( ) ( ) ( ) să se arate că ecuaţia g( x ) = 0 nu are soluţii întregi

25 Varianta 5 5 SUBIECTUL II (30p) Varianta 05 1 În mulţimea S 3 a permutărilor de 3 elemente se consideră permutarea a) Să se verifice că permutarea σ este pară b) Să se determine toate permutările x S3, astfel încât xσ=σ x x c) Să se rezolve ecuaţia = σ, cu x S3 Se consideră matricea A = σ= 3 1 { \ 1 } şi mulţimea G = X ( a) = I + aa a { } a) Să se arate că ab, \{ 1}, X ( a) X ( b) = X ( ab+ a+ b) b) Să se arate că ( G, ) este un grup abelian, unde,, reprezintă înmulţirea matricelor c) Să se determine t astfel încât X(1) X() X(009) = X( t 1)

26 Varianta 6 6 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricele A = 1 0 şi cos t sin t B = sin t cos t, cu t a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există ab,, astfel încât a b X = b a b) Să se demonstreze că n, * n cos nt sin nt B = sin nt cos nt c) Să se rezolve în mulţimea M ( ) ecuaţia X = A Se consideră a şi polinomul a) Să se calculeze f = 3X X + X + ax 1 [ X] , unde x1, x, x3, x4 sunt rădăcinile polinomului f x x x x b) Să se determine restul împărţirii polinomului f la ( X 1) c) Să se demonstreze că f nu are toate rădăcinile reale

27 Varianta 7 7 SUBIECTUL II (30p) Varianta 07 1 În mulţimea M ( ) ', se consideră matricele a) Să se determine rangul matricei A+ I 0 0 A = 1 0 şi 1 0 I = 0 1 b) Să se demonstreze că dacă X M'( ) astfel încât AX = XA, atunci există x, y astfel x 0 încât X = y x c) Să se demonstreze că ecuaţia Y = A nu are nicio soluţie în mulţimea M'( ) Pe mulţimea se defineşte legea de compoziţie x y = x+ y+ xy a) Să se arate că legea este asociativă b) Fie funcţia f :, f ( x) = x+ 1 Să se verifice relaţia f ( x y) = f ( x) f ( y), x, y c) Să se calculeze

28 8 Varianta 8 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricea A = a) Să se rezolve ecuaţia det( A xi) = 0 X M verifică relaţia AX = XA, atunci există ab, astfel b) Să se arate că dacă matricea ( ) încât a 0 X = 0 b c) Să se determine numărul de soluţii ale ecuaţiei 3 X Se consideră mulţimea de funcţii ( ) = A, X M ( ) * { ab, : ab,,, } G = f f x = ax+ b a b a) Să se calculeze f 1, f 1,, unde este compunerea funcţiilor b) Să se demonstreze că ( G, ) este un grup c) Să se arate că grupul G conţine o infinitate de elemente de ordin

29 Varianta 9 9 SUBIECTUL II (30p) Varianta 09 x+ y+ z = 0 1 Se consideră sistemul mx + y + z = m 1, m şi matricea x + my + z = 1 a) Să se determine m pentru care det ( A ) = A= m m b) Să se arate că pentru orice m sistemul este compatibil c) Să se determine m ştiind că sistemul are o soluţie ( x0, y0, z 0) cu z 0 = Se consideră mulţimea M( 3), submulţimea ( ) O 0ˆ 0ˆ 1ˆ 0ˆ = 0ˆ 0ˆ şi I = ˆ ˆ 0 1 a) Să se verifice că dacă x, y 3, atunci b) Să se arate că mulţimea H G\{ O} inversabile din M( 3) c) Să se rezolve ecuaţia x y ˆ0 G X a ˆ b = M 3 X = b a şi matricele + = dacă şi numai dacă x= y = ˆ0 = este un subgrup al grupului multiplicativ al matricelor X = I X G,

30 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră numerele reale a, b, c, funcţia A = a b c şi a b c B = a b c f( a) f( b) f( c) a) Să se arate că A = ( a b)( b c)( c a)( a+ b+ c) 3 f :, f( x) = x + x+ 3 şi determinanţii b) Să se arate că A= B c) Să se arate că, pentru orice trei puncte distincte, cu coordonate naturale, situate pe graficul funcţiei f, aria triunghiului cu vârfurile în aceste puncte este un număr natural divizibil cu 3 Se consideră matricea a) Să se arate că ab, 1 3 A = 3 9, X ( a) X ( 0) X ( a) b) Să se arate că mulţimea ( ) înmulţirea matricelor c) Să se rezolve ecuaţia şi mulţimea ( ) { } G = X a = I + aa a = şi X ( axb ) ( ) = Xa ( + b 10 ab) 1 H = X a a \ 10 X = I X G, este parte stabilă a lui ( ) M în raport cu

31 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta 031 x+ 1 x 1 1 x 1 1 Pentru x se consideră matricea Ax ( ) = ( ) a) Să se verifice că ( ) A( x) = xa( x) M b) Să se determine toate numerele complexe x pentru care ( ) ( ) c) Să se arate că ecuaţia X A( 0, ) X M ( ) Se consideră polinomul f [ X] f = a X + a X + + a X + a a) Să se calculeze a a 99 = nu are soluţii , f ( X i) ( X i) b) Să se determine restul împărţirii polinomului f la X 1 c) Să se demonstreze că polinomul f are toate rădăcinile reale 4 A( x) + A( x) = O = + +, care are forma algebrică

32 Varianta 3 3 SUBIECTUL II (30p) Varianta 03 ax + y + z = Se consideră în sistemul x + ay + z = 1, a x + y + az = a a) Să se arate că determinantul matricei sistemului are valoarea ( a+ )( a 1) b) Să se rezolve sistemul în cazul în care este compatibil determinat c) Să se rezolve sistemul în cazul a = a 10b Se consideră mulţimea G M ( ), G= a, b, a 10b = 1 b a a) Să se verifice că A= G 6 19 b) Să se arate că X Y G, pentru oricare X, Y G c) Să se demonstreze că mulţimea G este infinită

33 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricele I3 = 0 1 0, a) Să se calculeze B 1 b) Să se calculeze B c) Să se demonstreze că abc,,, ( a+ b+ c) det ( A) 0 Se consideră corpul ( 7,, ) H = { x x 7} a) Să se arate că H = {0,1, ˆˆˆˆ,4} b) Să se arate că, pentru orice a 7 există xy, 7 astfel încât 000 c) Să se arate că { x x } = H B = şi A = ai bb + cb, abc,, a = x + y

34 34 Varianta 34 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricele K = ( ) M1,3 ( ), L= 5 M3,1 ( ) şi A= LK 6 a) Să se calculeze suma elementelor matricei A b) Să se arate că A = 3A n c) Să se arate că rangul matricei A este 1, oricare ar fi n Pe mulţimea se consideră legea de compoziţie x y = axy x y+ 6, x, y, unde a este o constantă reală 1 a) Pentru a =, să se demonstreze că legea este asociativă 3 1 b) Să se arate că legea admite element neutru dacă şi numai dacă a = 3 c) Să se arate că, dacă intervalul [ 0, 6 ] este parte stabilă a lui în raport cu legea, atunci a 1 1, 6 3

35 35 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricele A = 0 şi a) Să se arate că ecuaţia AX B b) Să se verifice că A 3 = 10A c) Să se determine rangul matricei B = 1 5 = are o infinitate de soluţii ( ) * A, adjuncta matricei A X M Se consideră mulţimea [ ] = { a+ b a, b }, funcţia f : [ ], f( a+ b ) = a b, ab, a) Să se arate că 7+ 5 A b) Să se arate că, pentru orice xy, c) Să se arate că mulţimea A este infinită 3,1 { 1} şi mulţimea A x f ( x) = =, f ( xy) f ( x) f ( y) =

36 36 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricele O a b = 0 0 a) Să se arate că a+ d = 0 b) Să se arate că matricea I + A este inversabilă c) Să se arate că ecuaţia AX O Se consideră polinomul şi A = c d M ( ), cu proprietatea că M = are o infinitate de soluţii în mulţimea ( ) 4 A = O f = X X + 9, cu rădăcinile x1, x, x3, x4, numărul a= + i { } {,grad 3} şi mulţimile A = g( a) g [ X] şi B h( a) h [ X] ( h) a) Să se calculeze f ( a ) b) Să se calculeze x1 + x + x3 + x4 c) Să se arate că A= B =

37 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta 037 a a+ 1 a+ 1 Se consideră matricea A= b b+ 1 b+, cu ab, 1 1 a a) Să se arate că det ( A) ( a b)( a 1) t b) Să se calculeze det ( A A ) = c) Să se arate că rang A, ab, Se consideră polinomul f [ X] x1, x, x3, 3 f X px qx r = + + +, cu pqr,, ( 0, ) 0, a) Să se demonstreze că f nu are rădăcini în intervalul [ ) şi cu rădăcinile b) Să se calculeze x1 + x + x3 în funcţie de p, q şi r c) Să se demonstreze că dacă a, b, c sunt trei numere reale astfel încât a+ b+ c< 0, ab + bc + ca > 0 şi 0 abc <, atunci,, (,0) abc

38 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricea A = şi mulţimea de matrice a) Să se calculeze A b) Să se arate că dacă X M3 ( ) şi AX XA c) Să se arate că ecuaţia Se consideră polinomul X a) Să se arate că numărul f ( 3) f ( 1) b) Să se arate că, pentru orice, = A nu are soluţii în M ( ) 4 f = ax + bx + c, cu abc,, este număr par xy, numărul f ( x) f ( y) 3 a 0 0 M= b a 0 abc,, c b a este divizibil cu x y c) Să se determine coeficienţii polinomului f ştiind că f (1) = 4 şi f( b ) = 3

39 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta 039 x+ y+ z = 0 1 Se consideră sistemul ax + by + cz = 0, cu abc,, şi A matricea sistemului bcx + acy + abz = 0 a) Să se calculeze det ( A ) b) Să se rezolve sistemul, în cazul în care a, b, c sunt distincte două câte două c) Să se determine mulţimea soluţiilor sistemului, în cazul în care a = b c Se consideră mulţimea M = { a+ b 5 a, b, a 5b = 1} a) Să se arate că x = M b) Să se demonstreze că M este grup în raport cu înmulţirea numerelor reale c) Să se demonstreze că mulţimea M are o infinitate de elemente

40 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricele I 3 = 0 1 0, A = 3 9 6, B = I3 + A, C = I3 + aa, cu a a) Să se calculeze S = A XY b) Să se determine a astfel încât BC = I3 c) Să se arate că Se consideră polinomul n+ 1 n A = 14 A, n a) Să se demonstreze că ε +ε+ 1= X = 3 f = X 1 [ X] şi numărul \ b) Să se rezolve în mulţimea numerelor complexe sistemul , Y = ( 1 3 ), ε, astfel încât ( ) 0 x+ y+ z= 0 x + y ε+ z ε = x + y ε + z ε= f ε = c) Să se arate că, dacă f divide f ( X ) + Xf ( X ) + X f ( X ), unde f1, f, f 3 sunt polinoame cu coeficienţi complecşi, atunci fiecare dintre polinoamele f1, f, f 3 este divizibil cu X 1

41 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Pentru pqr,,, se consideră sistemul x + py + p z = p 3 x + qy + q z = q 3 x + ry + r z = r 3 a) Să se arate că determinantul sistemului este = ( p q)( q r)( r p) b) Dacă p, q, r sunt distincte, să se rezolve sistemul 1,1,1, atunci cel puţin două dintre numerele pqr,, c) Să se arate că, dacă sistemul are soluţia ( ) sunt egale a b Se consideră inelul ( A, +, ) unde A= a, b 5 b a a) Să se determine numărul elementelor mulţimii A b) Să se rezolve în mulţimea A ecuaţia X = I c) Să se arate că ( A, +, ) nu este corp

42 4 Varianta 4 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricele AB, M ( ), cu AB BA = A şi matricele A0 = 0 0, 1 0 B0 = 0 a) Să se determine rangul matricei A 0 b) Să se arate că A0B0 B0A0 = A0 n n n c) Să se demonstreze că A B BA = na, pentru orice n, n Se consideră polinomul f [ X], 3 f = 4X 1X + ax + b a) Să se determine ab,, astfel încât polinomul f să se dividă cu polinomul X 1 b) Să se determine ab,, astfel încât ecuaţia f ( x ) = 0 să aibă soluţia x= i c) Să se determine ab,, astfel încât polinomul să aibă rădăcinile x1, x, x 3 în progresie aritmetică şi, în plus, x + x + x =

43 43 Varianta 43 SUBIECTUL II (30p) Varianta 043 a b 1 1 Se consideră mulţimea M = a, b, c, d c d şi matricea A = M 1 3 a) Câte matrice din mulţimea M au suma elementelor egală cu 1? 1 b) Să se arate că A M 1 c) Să se determine toate matricele inversabile B M care au proprietatea B M 4 3 Se consideră ecuaţia x 8x + ax + 8x+ b= 0, cu ab, şi cu soluţiile x1, x, x3, x4 x + x x + x + x x + x x + x + x x x + x + x x x = a a) Să se arate că ( )( ) ( ) ( ) b) Să se determine a astfel încât x1+ x4 = x + x3 c) Să se determine ab,, astfel încât x1, x, x3, x 4 să fie în progresie aritmetică

44 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricele A = şi B = a) Să se calculeze AB + BA rang A + B = rang A+ rang B b) Să se arate că ( ) n n n c) Să se demonstreze că ( ), A+ B = A + B n Se consideră polinomul f X 4 ax 3 4X 1 [ X] = cu rădăcinile x1, x, x3, x4 a) Să se determine a astfel încât polinomul f să se dividă cu X b) Să se arate că polinomul g = X + 4X + ax + 1 are rădăcinile,,, x x x x c) Să se arate că, pentru orice a, polinomul f nu are toate rădăcinile reale

45 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricele A = 3, 1 0 B = 1 1 a) Să se arate că B C( A) b) Să se arate că dacă X C( A) c) Să se rezolve ecuaţia { } şi mulţimea ( ) ( ), atunci există x, y, astfel încât X + X = A Se consideră mulţimea G = ( 1,1), funcţia : ( x, y) x y, unde x+ y x y=, x, y G 1 + xy f G, f ( x) C A = X M XA = AX x 0 X = y x 1 x = şi corespondenţa 1 + x a) Să se arate că această corespondenţă defineşte o lege de compoziţie pe G b) Să se arate că x, y G, f( x y) = f( x) f( y) c) Ştiind că operaţia " " este asociativă, să se calculeze

46 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta 046 a b 1 Se consideră matricea A = ( ) c d M a) Să se demonstreze că x b) Dacă c) Ştiind că, ( ) ( ) A = O, să se demonstreze că a+ d = 0 A O =, să se calculeze det ( A I ) Se consideră mulţimea ( ) ( a, b) ( c, d) ( ac 3 bd, ad bc) = + + det A xi = x a + d x + ad bc + {, 3 1 } G = a b a b = şi operaţia a) Să se determine a pentru care ( a,15) G b) Să se arate că, pentru orice ( a, b),( c, d) G, (, ) (, ) c) Să se arate că ( G, ) este grup a b c d G

47 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricele A = 3 4, 1 1 B = 0 1 f ( X) = AX XA a) Să se determine rangul matricei A b) Să se calculeze f ( B ) c) Să se arate că ecuaţia f ( X) = B nu are soluţii Se consideră polinoamele f, g [ X], x1, x, x3 rădăcinile polinomului f şi funcţia f : M ( ) M ( ) 3 f = X + a X a,, 3 g = ax a X 1, cu a) Să se calculeze x1 + x + x3 b) Să se arate că rădăcinile polinomului g sunt inversele rădăcinilor polinomului f c) Să se arate că polinoamele f şi g nu au rădăcini reale comune * a şi

48 48 Varianta 48 SUBIECTUL II (30p) Varianta 048 x+ y+ z = 1 1 Se consideră sistemul x y+ z = 1, unde a şi b sunt parametri reali 7x y+ az = b a) Să se determine a pentru care determinantul sistemului este egal cu zero b) Să se determine valorile parametrilor ab, pentru care sistemul este incompatibil c) Să se arate există o infinitate de valori ale numerelor a şi b pentru care sistemul admite o soluţie x, y, z, cu x, y, z în progresie aritmetică ( ) cos t sin t Se consideră mulţimea G= X () t = t sin t cos t a) Să se arate că X () t X ( u) = X ( t+ u), t, u b) Să se determine t ştiind că X () t M ( ) c) Să se arate că mulţimea G formează grup abelian în raport cu înmulţirea matricelor

49 49 Varianta 49 SUBIECTUL II (30p) Varianta 049 x+ ay = 1 1 Se consideră a, sistemul y + az = a şi A matricea sa z + x 1 a) Să se arate că det A 0 b) Să se arate că soluţia sistemului este formată din trei numere în progresie geometrică c) Să se determine inversa matricei A Se consideră pe legea de compoziţie dată de relaţia x y= xy 5x 5y+ 30, x, y şi mulţimea G = ( 5, ) a) Să se arate că legea " " are element neutru b) Să se demonstreze că G este grup abelian în raport cu legea " " c) Să se rezolve în grupul ( G, ) sistemul x y = z y z = x z x = y

50 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta 050 a 1 Se consideră matricele 1 a a3 t A =, 3 ( ) b1 b b M, transpusa A M3, 3 ( ), B = AA t, şi punctele Pk ( ak, b k), unde k { 1,, 3} a) Să se calculeze B ştiind că P1(1,), P(,4), P3( 3, 6) b) Să se arate că det ( B) 0, oricare ar fi punctele P1, P, P 3 c) Să se arate că det ( ) 0 B = dacă şi numai dacă punctele P1, P, P 3 sunt coliniare pe o dreaptă care trece prin originea axelor ˆ1 a b Se consideră mulţimea 0ˆ 1ˆ 0 ˆ M = a, b 5 0ˆ 0ˆ 1ˆ a) Să se determine numărul elementelor mulţimii M b) Să se arate că AB M, pentru orice A, B M c) Să se arate că ( M, ) este un grup, unde este înmulţirea matricelor

51 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Fie şirul ( n ) n 0 F, dat de F 1 = F + F 1, n, F0 = 0, F1 = 1 şi matricea n+ n n a) Să se verifice relaţia b) Să se arate că, dacă X M( ), X O şi AX = XA, atunci X este inversabilă n F c) Să se arate că n 1 F A + n =, n 1 Fn F n Fie σπ, S5, σ=, π= a) Să se demonstreze că σπ πσ n b) Să se determine numărul elementelor mulţimii H { n * } n c) Să se arate că H = { π n * } este un subgrup al grupului 5 = π ( S, ) A = 1 0

52 Varianta 5 5 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră permutarea σ S6, σ= a) Să se determine 1 σ b) Să se arate că permutările σ şi c) Să se arate că ecuaţia 1 σ au acelaşi număr de inversiuni 4 x =σ nu are soluţii în grupul ( 6, ) S Fie legea de compoziţie, definită pe prin x y = xy x y+, x, y, şi funcţia f :, f( x) = x+ 1 a) Să se arate că (1, ) este parte stabilă în raport cu b) Să se demonstreze că f( xy) = f( x) f( y) pentru orice xy, c) Ştiind că legea este asociativă, să se rezolve în ecuaţia x x x= 105 de 10 ori x

53 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Pentru orice matrice A ( ) M, se notează C( A) = { X M ( ) AX = XA} Se consideră matricele E1 =, E, E3, E4 0 0 = 1 0 = = a) Să se arate că dacă X, Y C( A), atunci X + Y C( A) b) Să se arate că dacă E1, E C( A), atunci există α astfel încât A=α I c) Să se arate că dacă C( A ) conţine trei dintre matricele E1, E, E3, E 4, atunci o conţine şi pe a patra Fie a = , b = două permutări din grupul ( S5, ) a) Să se rezolve în S 5 ecuaţia ax = b b) Să se determine ordinul elementului ab în grupul ( S5, ) c) Fie k cu k b = e Să se arate că 6 divide k

54 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricele A = 1 0 şi B 0 1 = 1 1 a) Să se verifice că AB BA b) Să se arate că 4 6 A + B = I c) Să se arate că, pentru orice n, ( AB) n I F, F = 0, F = 1, F = F + F, n 1 şi polinoamele Se consideră şirul ( n) 0 1 n+ 1 n n 1 n n n n n n 1 3 P, Q [ X], P= X X 1, Q = X F X F, n a) Să se arate că polinomul X X 1 este divizibil cu P b) Să se determine rădăcinile reale ale polinomului Q 3 c) Să se arate că, pentru orice n, polinomul Q n este divizibil cu P

55 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta 055 a b 1 Matricea A = ( ) b a a) Să se arate că b) Să se arate că, dacă a M şi şirurile ( x ), ( y ) n+ n+ n n x 1+ y 1 = ( a + b )( x + y ), n + b 1, atunci şirurile ( x ), ( y ) n n n n verifică n+ 1 yn+ 1 n n n n c) Să se arate că, dacă a = 1 şi b = 3, atunci xn+ 6 64xn Se consideră corpul ( 11,, ) a) Să se arate că ecuaţia x = ˆ8 nu are soluţii în 11 b) Să se determine numărul polinoamelor de grad doi din 11[ X ] c) Să se arate că polinomul X + X + ˆ1 este ireductibil în [ ] 11 X x x A n =, n y n sunt mărginite

56 56 Varianta 56 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricea A = ( ) 1 M şi funcţia f : M( ) M( ), f ( X) = AX a) Să se arate că f ( A) = I b) Să se arate că f( X + f( X)) = X + f( X), X M ( ) c) Să se arate că funcţia f este bijectivă 1 0 Se consideră matricea A = 1 1 şi mulţimea M = { X M ( ) AX = XA} a) Să se arate că dacă X, Y M, atunci XY M b) Să se arate că G = { X M detx 0} este grup în raport cu înmulţirea matricelor c) Să se determine elementele de ordin doi din grupul G, definit la punctul b)

57 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta x 1 Fie matricele A ( ) şi n x = M,1( ), 3 M y cu n+ 1 xn A, n n y = n+ 1 y şi x0 = 1, y0 = 0 n a) Să se determine x1, x, y 1 şi y b) Să se arate că x + y = (3+ ), n n n n c) Să se arate că xn+ 6xn+ 1+ xn = 0, n 0 Se consideră mulţimile de clase de resturi ˆˆˆˆˆˆ ˆ 7 = {0,1,,3,4,5,6} şi 6 = {0,1,,3,4,5} a) Să se rezolve în corpul ( 7, +, ) ecuaţia 3ˆx + 4ˆ = 0 ˆ b) Să se determine ordinul elementului ˆ3 în grupul ( 7, ) * 6 7 c) Să se arate că nu există niciun morfism de grupuri f :(, + ) (, ) cu ( ) 3ˆ f =

58 58 SUBIECTUL II (30p) Varianta a b 1 Fie abcd>,,, 0, matricea A = c d şi funcţia ( ) ( ) : 0, 0,, ( ) ax + b f f x = cx + d n a Se notează n b A n = cn d n, unde n * a) Să se arate că dacă det A = 0, atunci f este funcţie constantă b) Să se arate că, dacă det A 0, atunci funcţia f este injectivă c) Să se arate că ( )( ) ax n + bn f f f f x =, n cx+ d de n ori f n Se consideră matricele A=, B 0 0 = 0 0 şi mulţimea G= { I + aa+ bb a, b, a 1} a) Să se arate că orice matrice din G este inversabilă b) Să se arate că G este un subgrup al grupului multiplicativ al matricelor inversabile din ( ) c) Să se arate că ecuaţia X = I are o infinitate de soluţii în G n

59 59 SUBIECTUL II (30p) Varianta mx + y + z = 0 1 Se consideră sistemul x + 3y + z = 0, cu m x y 4z 0 a) Să se determine m pentru care matricea sistemului are determinantul nenul b) Să se determine m astfel încât sistemul să admită cel puţin două soluţii c) Să se determine m pentru care dreptele d1: mx+ y+ 1= 0, d: x+ 3y+ = 0, d3: x y+ 4= 0 sunt concurente m n Se consideră mulţimea H = m, n 5, m=± a) Să se verifice că dacă = şi = 1 0 1, atunci B A= A B b) Să se arate că H este un grup cu 10 elemente în raport cu înmulţirea matricelor c) Să se determine numărul elementelor de ordinul din grupul H

60 60 Varianta 60 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricea = 4 şi funcţia f : M( ) M ( ), f ( X) = AX a) Să se calculeze f ( A ) b) Să se arate că ( f f)( X) = O, X M( ) c) Să se arate că f( X) + f( Y) I, X, Y M( ) { t } Se consideră mulţimea M ( ) P = A AA = I, unde t A este transpusa matricei A 0 1 a) Să se verifice dacă matricea 1 0 aparţine mulţimii P b) Să se arate că înmulţirea matricelor determină pe mulţimea P o structură de grup necomutativ c) Să se arate că, dacă AB, P, X M ( ) şi AX = B, atunci X P

61 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta a b 1 Se consideră mulţimea G= Mab, Mab, = 0 1 0, a, b M 3( ) a) Să se arate că M, M, = M,, a, b, c, d a b c d a+ c b+ d b) Să se arate că orice matrice din G este inversabilă c) Să se calculeze, în funcţie de a şi b, rangul matricei Ma, b Ma, b ( M ab, este transpusa lui M ab, ) Se consideră un grup ( K, ), unde K { eabc,,, } a) Să se rezolve în grupul K ecuaţia b) Să se arate că ab = c c) Să se arate că grupul (, ) 3 x =, e este elementul neutru şi = e K nu este izomorf cu grupul ( ) 4,+ t t a = b = c = e

62 6 Varianta 6 SUBIECTUL II (30p) Varianta 06 a b 1 Fie matricea A = ( ) c d M cu proprietatea că A = A 3 1 a) Să se arate că matricea = 3 1 verifică relaţia B = B b) Să se arate că, dacă a+ d, atunci A = O sau A = I c) Să se arate că, dacă a d det A = 0 Se consideră polinoamele + =, atunci ( ) 4 6 f, g [ X], f = X 1, g = X 1 a) Să se arate că un cel mai mare divizor comun al polinoamelor f şi g este X 1 b) Să se determine numărul soluţiilor complexe distincte ale ecuaţiei f ( x) g( x ) = 0 c) Să se descompună polinomul f în factori ireductibili în [ X ]

63 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră mulţimile { ( ) t P = S S = S} 1 3 a) Să se arate că P 3 1 şi 0 Q 0 b) Să se arate că, dacă A, B Q, atunci AB P t { } M şi ( ) Q = A M A = A c) Să se arate că det ( X ) 0, oricare ar fi X Q Se consideră polinoamele f = X 3 + X + 3X + 45 [ X] şi f ˆ X 3 X ˆ1 [ X ] = + + a) Să se arate că rădăcinile din ale polinomului f nu sunt toate reale b) Să se arate că polinomul ˆf nu are rădăcini în c) Să se demonstreze că polinomul f nu poate fi scris ca produs de două polinoame neconstante, cu coeficienţi întregi

64 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta 064 x 3y 3 1 Fie mulţimea M = x, y y x şi matricea A = 1 a) Să se arate că dacă Y M ( ) şi AY = YA, atunci Y M b) Să se arate că dacă X M şi det ( X ) = 0, atunci X = O c) Să se arate că n * A M, n Se consideră polinomul f = X X + 3X X [ X] a) Să se determine o rădăcină întreagă a polinomului f b) Să se calculeze 1 5 x + x + + x, unde x1, x,, x 5 sunt rădăcinile polinomului f c) Să se arate că f are o singură rădăcină reală

65 65 Varianta 65 SUBIECTUL II (30p) Varianta 065 ax + y + z = 4 1 Se consideră sistemul x + y + 3z = 6, cu ab, 3x y z = b a) Să se determine ab, pentru care sistemul are soluţia (1, 1, 1) b) Să se determine ab, astfel încât sistemul să fie incompatibil c) Să se arate că pentru orice a există b astfel încât sistemul să admită soluţii cu toate componentele numere întregi a 0 0 Se consideră mulţimea de matrice A= 0 a 0 a, b, c b c a a) Să se determine numărul elementelor mulţimii A b) Să se arate că, pentru orice X A, X = I 3 sau X = O 3 c) Să se determine numărul matricelor X din mulţimea A care au proprietatea X = O 3

66 66 Varianta 66 SUBIECTUL II (30p) Varianta Fie dreptele d1: x+ y = 3, d:3x 4y = 1, d3:4x+ 3y = m, unde m a) Să se determine m astfel încât dreptele să fie concurente b) Să se demonstreze că există o infinitate de valori ale lui m pentru care vârfurile triunghiului determinat de cele trei drepte au toate coordonatele întregi c) Să se calculeze valorile lui m pentru care triunghiul determinat de cele trei drepte are aria 1 3 Fie polinomul f = X ax ax +, cu a şi cu rădăcinile complexe x1, x, x 3 a) Să se calculeze f ( 1) b) Să se determine a pentru care polinomul are trei rădăcini reale c) Să se determine a astfel încât x1 + x + x3 = 3

67 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta 067 x+ y+ z = 1 1 Fie sistemul x+ my+ z = 1, cu m şi matricea x+ my+ mz = a) Să se calculeze det ( A ) b) Să se arate că rang( A), oricare ar fi m A= 1 m 1 1 m m c) Să se determine valorile întregi ale lui m 1, pentru care sistemul are soluţie cu componente întregi Fie permutările α=, β=, γ= 431, elemente ale grupului ( S4, ) a) Să se verifice că γ este soluţie a ecuaţiei α x = xβ b) Să se arate că α 4 4 = β c) Să se determine o soluţie a ecuaţiei 3 3 xβ = α x în S 4

68 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricele A M 3 ( ) şi t B= A+ A, unde t a) Să se arate că B = B b) Să se demonstreze că, dacă B I det A 1 =, atunci ( ) c) Să se demonstreze că, dacă xy, şi matricea 3 t A este transpusa matricei A t xa+ ya este inversabilă, atunci x+ y 0 Se consideră ecuaţia x + px+ q= 0, p, q, şi x1, x, x 3 soluţiile complexe ale acesteia a) Ştiind că p = 1 şi q = 0, să se determine x1, x, x 3 b) Să se determine p şi q ştiind că x1 = 1+ i c) Să se arate că 1( x + x + x ) = 7( x + x + x )( x + x + x )

69 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Fie matricea A = M 3( ) a) Să se verifice relaţia b) Să se arate că n A 3 A= A I 3 n c) Să se arate că, pentru orice A A = A I3, n, n 3 n *, suma elementelor matricei Pentru fiecare n se defineşte polinomul Pn = X 1 [ X] a) Să se determine rădăcinile complexe ale polinomului P 4 b) Să se descompună polinomul P 3 în factori ireductibili în [ X ] c) Să se descompună polinomul 6 P în factori ireductibili în [ X ] n n A este n + 3

70 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Pentru orice două matrice AB M, ( ) se defineşte matricea [ A, B] = AB BA a) Pentru ( ), [ A, A ] b) Să se arate că, pentru orice ( ), * [ A, A ] = O, unde c) Să se arate că, pentru orice,, ( ) Se consideră intervalul H = ( 0,1) * A este adjuncta matricei A,[, ] +,[, ] +,[, ] = ABC M, [ A BC] [ B C A] [ C AB] O ab a) Să se arate că relaţia a b= defineşte o lege de compoziţie pe H ab+ (1 a)(1 b) x b) Să se arate că funcţia f: ( 0, + ) ( 0,1 ), f ( x) = are proprietatea f( xy) = f( x) f( y), x, y> 0, x + 1 unde legea " " este definită la punctul a) c) Ştiind că legea "" H, ecuaţia 1 x x x= definită la punctul a) este asociativă, să se rezolve în mulţimea ( )

71 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră determinantul de ordin n, 1 0 a) Să se calculeze D 3 = b) Să se verifice că Dn = Dn 1 Dn, n 4 c) Să se arate că D = n+ 1, n n D n = Un grup ( G, ), cu elementul neutru e, are proprietatea ( p) dacă x = e, x G a) Să se verifice că mulţimea, împreună cu legea de compoziţie dată de ( ab, ) ( cd, ) = ( a+ c, b+ d), abcd,,, este un grup care are proprietatea ( p ) b) Să se arate că dacă un grup G are proprietatea ( p ), atunci c) Să se arate că orice grup care are proprietatea ( p ) este comutativ ( xy) = x y, x, y G

72 Varianta 7 7 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricea A = M 3( ) a) Să se rezolve ecuaţia det( I + xa ) = 0, x 3 b) Să se determine o matrice B M 3 ( ) cu proprietatea B = A c) Să se arate că ( ) 3 C M ( ), x, det( C + xa)det( C xa) det C 3 Se consideră polinomul p = X X + m cu m şi cu rădăcinile x1, x, x3 a) Ştiind că m = 6, să se determine x1, x, x 3 b) Să se calculeze x x x c) Să se determine m pentru care polinomul p are toate rădăcinile întregi

73 73 Varianta 73 SUBIECTUL II (30p) Varianta a b 1 Fie matricea M = c d M ( ) Se asociază fiecărui punct A( xy, ) punctul AM ( x', y '), unde x' a b x = y ' c d y a) Ştiind că a= 1, b=, c= 3, d = 4 şi că A( 1,1), să se determine coordonatele punctului M b) Ştiind că a= 1, b=, c=, d = 4, să se arate că toate punctele A M se află pe dreapta c) Fie A, B, C trei puncte în plan Dacă se notează cu S şi S M ariile triunghiurilor ABC, respectiv A B C, atunci S = S det M M M M M a b c Se consideră mulţimea A= ˆ0 a d abcd,,, 0ˆ 0ˆ a a) Să se determine numărul elementelor mulţimii A b) Să se arate că mulţimea A este parte stabilă în raport cu înmulţirea matricelor din ( ) c) Să se rezolve ecuaţia X = X, cu X A M 3

74 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricea A = a) Să se calculeze det A b) Să se verifice relaţia A( A + 6 I ) = O 3 3 c) Să se arate că det( I + xa ) 0, x Se consideră ab, şi polinomul 3 3 p = X + ax + X + b, cu rădăcinile x1 x 3 x a) Ştiind că a = b = 1, să se afle rădăcinile polinomului p b) Să se determine a şi b, ştiind că polinomul p are rădăcina dublă 1 c) În cazul b = 1, să se determine valorile lui a pentru care polinomul p are o rădăcină raţională

75 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricele A = 1 1, 1 1 a) Să se calculeze produsul AB b) Să se arate că M xmy = Mxy, xy, c) Să se arate că, pentru orice x real nenul, ( ) Se consideră polinomul 4 3 * B = şi det M a) Să se verifice că x 1+ x + x 3 + x 4 = x x x x x x 1 M x = A+ B, cu 3 3x * x p= X ax ax + 1, cu a şi cu rădăcinile x1, x, x3, x b) Să se arate că polinomul p nu este divizibil cu c) Să se arate că dacă X 1 pentru nicio valoare a lui a 1 a =, atunci toate rădăcinile polinomului p au modulul 1

76 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta a ab ac 1 Se consideră matricea A = ba 1+ b bc ca cb 1+ c a) Să se calculeze determinantul matricei A * b) Să se verifice că ( ) det( A ) = det A, cu abc,, şi * A adjuncta sa c) Să se arate că matricea A I3 are rangul cel mult 1 se defineşte funcţia f : G G, Fie ( G, ) un grup Pentru fiecare element a G a) Să se arate că f a este bijectivă, pentru orice a G b) Să se arate că f f = f, a, b G a b ab c) Fie F ( G) = { f : G G a G} Să se arate că ( G) funcţiilor formează un grup a a f ( x) = ax, x G F împreună cu operaţia de compunere a a

77 77 Varianta 77 SUBIECTUL II (30p) Varianta 077 x y mz = 1 1 Se consideră sistemul mx+ y+ mz = 1 m, m mx + 3y + 3z = 1 a) Să se calculeze determinatul matricei sistemului b) Să se arate că, pentru orice m, matricea sistemului are rangul cel puţin egal cu c) Să se determine m pentru care sistemul este incompatibil Se consideră 0 G α = α, Pe R se defineşte legea de compoziţie x y = 3xy 6 x+ y + 7 α a) Să se arate că pentru, α> un număr real şi mulţimea ( ) ( ) α= cuplul ( G ) b) Să se arate că grupurile ( ),, G şi ( * +, ) este grup abelian sunt izomorfe, prin funcţia * + f : G, f( x) = 3x 6 c) Să se arate că, pentru orice α, mulţimea G α este parte stabilă a lui R în raport cu operaţia

78 V Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta 078 x 3y+ 4z 5t = 1 1 Se consideră sistemul x+ 9y+ mz+ t = 3, mn,, p 5x 6y+ 10z+ nt = p a) Să se determine p astfel încât sistemul să admită o soluţie (,,, ) x y z t cu z0 = t0 = b) Să se arate că, pentru orice mn,, rangul matricei sistemului este mai mare sau egal cu c) Să se determine mnp,, pentru care sistemul este compatibil, iar matricea sistemului are rangul m Fie mulţimea Q 0 = m, n Z, m şi n suntimpare şi G = Q0 Z Pe G se defineşte legea de n q, k q, k = q q, k + k, q, q Q, k, k Z compoziţie ( ) ( ) ( ) a) Să se arate că ( G, ) este grup abelian b) Să se calculeze ( 1,1 ) ( 1, ) ( 1,10 ) ( ) c) Să se arate că funcţia f : G, f ( q, k) = q k este un izomorfism între grupurile (, ) G şi ( ),

79 79 Varianta 79 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră sistemul x+ my+ z = 1 x + ( m 1 ) y 3z 1, m x + my ( m 3) z m 1 a) Să se determine m pentru care sistemul are soluţie unică b) Să se determine m pentru care sistemul este compatibil nedeterminat c) Pentru 1 m = să se determine soluţiile reale (,, ) Pe mulţimea [ 0,1) fracţionară a numărului real a x y z ale sistemului pentru care x y + 3z = 14 G = se defineşte legea de compoziţie x y= { x+ y}, unde {a} este partea a) Să se calculeze G, este grup abelian b) Să se arate că ( ) c) Să se rezolve ecuaţia 1 x x x=, x G

80 80 Varianta 80 SUBIECTUL II (30p) Varianta Fie permutarea σ= S a) Să se determine numărul inversiunilor lui σ b) Să se determine numărul elementelor mulţimii A c) Fie τ S5 astfel încât Fie f : n şi mulţimea A { σ n } = τσ = σ τ Să se arate că τσ = στ o funcţie şi mulţimea H = T f ( x+ T) = f ( x), x a) Să se arate că, dacă T H, atunci T H { } b) Să se demonstreze că H este subgrup al grupului (, + ) c) Să se determine mulţimea H pentru funcţia f :, f ( x) = { x}

81 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta 081,1 B 1 m, 1 Fie m şi punctele A( m ), ( ), C( m 1, m 1) m 1 1 M = 1 m 1 m+ 1 m+ 1 1 a) Să se calculeze det ( M ) + + Se consideră matricea b) Să se arate că punctele A, B, C sunt necoliniare, oricare ar fi m c) Să se arate că aria triunghiului ABC este mai mare sau egală cu 15 3 a b Fie mulţimea de matrice A= a, b 5 b a a) Să se dea un exemplu de matrice nenulă din mulţimea A care are determinantul ˆ0 ˆ 1ˆ 0ˆ 0ˆ b) Să se arate că există o matrice nenulă M A astfel încât M = 1ˆ ˆ 0ˆ 0ˆ ˆ 1ˆ c) Să se rezolve ecuaţia X = 1ˆ ˆ

82 Varianta 8 8 SUBIECTUL II (30p) Varianta 08 ( ) x+ ay+ b+ c z = 0 1 Se consideră sistemul de ecuaţii liniare cu coeficienţi reali x + by + ( c + a) z = 0 x + cy ( a b) z 0 a) Să se calculeze determinantul matricei sistemului b) Să se arate că, pentru orice abc,,, sistemul admite soluţii nenule c) Să se rezolve sistemul, ştiind că a b 1,1,1 este soluţie a sistemului şi că ( ) x iy Se consideră mulţimea G= x, y, x + y 0 iy x a) Să se demonstreze că G este parte stabilă în raport cu înmulţirea matricelor din ( ) b) Să se arate că ( G, ) este grup abelian c) Să se arate că funcţia f :(, ) ( G, ) grupuri cu ( ),, M x iy f x+ iy = x y iy x este izomorfism de