Metode Numerice. Prof. Bogdan Gavrea. Aproximarea în sensul celor mai mici pătrate. Rezolvarea numerică a ecuaţiilor neliniare CTI
|
|
|
- Carol Eftimie
- 3 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 Metode Numerice Prof. Bogdan Gavrea CTI Aproximarea în sensul celor mai mici pătrate. Rezolvarea numerică a ecuaţiilor neliniare
2 Cea mai bună aproximare în sensul celor mai mici pătrate Fie m n, A M m,n(r) şi b R m. În cele ce urmează vom considera că matricea A are rangul n. Considerăm următoarea problemă: Să se determine x ca soluţie a problemei de optimizare min x b Ax 2. (1)
3 Cea mai bună aproximare în sensul celor mai mici pătrate Fie m n, A M m,n(r) şi b R m. În cele ce urmează vom considera că matricea A are rangul n. Considerăm următoarea problemă: Să se determine x ca soluţie a problemei de optimizare min x b Ax 2. (1) Problema de mai sus se numeşte problema liniară de aproximare în sensul celor mai mici pătrate (linear least squares). Se observă uşor că (1) este echivalentă cu problema de minim: 1 min x 2 b Ax 2 2. (2)
4 Cea mai bună aproximare în sensul celor mai mici pătrate Fie m n, A M m,n(r) şi b R m. În cele ce urmează vom considera că matricea A are rangul n. Considerăm următoarea problemă: Să se determine x ca soluţie a problemei de optimizare min x b Ax 2. (1) Problema de mai sus se numeşte problema liniară de aproximare în sensul celor mai mici pătrate (linear least squares). Se observă uşor că (1) este echivalentă cu problema de minim: 1 min x 2 b Ax 2 2. (2) Teoremă Fie m n, A M m,n(r), b R m şi rang(a) = n. Atunci x este o soluţie a problemei (1) dacă şi numai dacă x verifică: ( ) A T A x = A T b (ecuaţiile normale). Matricea A := ( A T A ) 1 A T se numeşte pseudo-inversa (pseudo-inverse) matricii A.
5 Ecuaţii neliniare. Ordin de convergenţă. În cele ce urmează vom considera ecuaţii neliniare de forma f (x) = 0 şi vom căuta procedee aproximative pentru determinarea unei rădăcini α.
6 Ecuaţii neliniare. Ordin de convergenţă. În cele ce urmează vom considera ecuaţii neliniare de forma f (x) = 0 şi vom căuta procedee aproximative pentru determinarea unei rădăcini α. Definiţie Spunem că un şir (x n ) n N converge cu rapiditate de ordin p către α, dacă există c > 0 şi N 0 N astfel încât x n+1 α c x n α p, n N 0. Fie f : [a, b] R o funcţie continuă astfel încât f (a)f (b) < 0. - Din condiţia de mai sus şi din continuitatea funcţiei f (x), rezultă că f (x) = 0 admite cel puţin o rădăcină în intervalul [a, b].
7 Ecuaţii neliniare. Ordin de convergenţă. În cele ce urmează vom considera ecuaţii neliniare de forma f (x) = 0 şi vom căuta procedee aproximative pentru determinarea unei rădăcini α. Definiţie Spunem că un şir (x n ) n N converge cu rapiditate de ordin p către α, dacă există c > 0 şi N 0 N astfel încât x n+1 α c x n α p, n N 0. Fie f : [a, b] R o funcţie continuă astfel încât f (a)f (b) < 0. - Din condiţia de mai sus şi din continuitatea funcţiei f (x), rezultă că f (x) = 0 admite cel puţin o rădăcină în intervalul [a, b].(putem spune mai mult despre numărul de rădăcini?).
8 Ecuaţii neliniare. Ordin de convergenţă. În cele ce urmează vom considera ecuaţii neliniare de forma f (x) = 0 şi vom căuta procedee aproximative pentru determinarea unei rădăcini α. Definiţie Spunem că un şir (x n ) n N converge cu rapiditate de ordin p către α, dacă există c > 0 şi N 0 N astfel încât x n+1 α c x n α p, n N 0. Fie f : [a, b] R o funcţie continuă astfel încât f (a)f (b) < 0. - Din condiţia de mai sus şi din continuitatea funcţiei f (x), rezultă că f (x) = 0 admite cel puţin o rădăcină în intervalul [a, b].(putem spune mai mult despre numărul de rădăcini?). - În general, intervalul [a, b] se alege astfel încât să conţină doar o rădăcină.
9 Metoda bisecţiei Fie ɛ > 0 şi a, b valori specificate de utilizator astfel încât f (a)f (b) < 0. Metoda bisecţiei constă în următorul algoritm: 1) Fie c := a+b 2 ; 2) Dacă b c < ɛ, atunci α := c, exit; 3) Dacă sgn(f (c)) sgn(f (b)) 0, atunci a := c. În caz contrar b := c; 4) Întoarcere la pasul 1).
10 Metoda bisecţiei Fie ɛ > 0 şi a, b valori specificate de utilizator astfel încât f (a)f (b) < 0. Metoda bisecţiei constă în următorul algoritm: 1) Fie c := a+b 2 ; 2) Dacă b c < ɛ, atunci α := c, exit; 3) Dacă sgn(f (c)) sgn(f (b)) 0, atunci a := c. În caz contrar b := c; 4) Întoarcere la pasul 1). Observaţii: - Dacă notăm cu c n şirul generat de algoritmul de mai sus, atunci este uşor de remarcat că: ( ) n 1 c n α (b a). 2
11 Metoda bisecţiei Fie ɛ > 0 şi a, b valori specificate de utilizator astfel încât f (a)f (b) < 0. Metoda bisecţiei constă în următorul algoritm: 1) Fie c := a+b 2 ; 2) Dacă b c < ɛ, atunci α := c, exit; 3) Dacă sgn(f (c)) sgn(f (b)) 0, atunci a := c. În caz contrar b := c; 4) Întoarcere la pasul 1). Observaţii: - Dacă notăm cu c n şirul generat de algoritmul de mai sus, atunci este uşor de remarcat că: ( ) n 1 c n α (b a). 2 - Ce ordin de convergenţă are metoda?
12 Metoda bisecţiei Fie ɛ > 0 şi a, b valori specificate de utilizator astfel încât f (a)f (b) < 0. Metoda bisecţiei constă în următorul algoritm: 1) Fie c := a+b 2 ; 2) Dacă b c < ɛ, atunci α := c, exit; 3) Dacă sgn(f (c)) sgn(f (b)) 0, atunci a := c. În caz contrar b := c; 4) Întoarcere la pasul 1). Observaţii: - Dacă notăm cu c n şirul generat de algoritmul de mai sus, atunci este uşor de remarcat că: ( ) n 1 c n α (b a). 2 - Ce ordin de convergenţă are metoda? Avantaje şi dezavantaje: - (Pro) Convergenţă garantată pentru funcţii continue;
13 Metoda bisecţiei Fie ɛ > 0 şi a, b valori specificate de utilizator astfel încât f (a)f (b) < 0. Metoda bisecţiei constă în următorul algoritm: 1) Fie c := a+b 2 ; 2) Dacă b c < ɛ, atunci α := c, exit; 3) Dacă sgn(f (c)) sgn(f (b)) 0, atunci a := c. În caz contrar b := c; 4) Întoarcere la pasul 1). Observaţii: - Dacă notăm cu c n şirul generat de algoritmul de mai sus, atunci este uşor de remarcat că: ( ) n 1 c n α (b a). 2 - Ce ordin de convergenţă are metoda? Avantaje şi dezavantaje: - (Pro) Convergenţă garantată pentru funcţii continue; - (Contra) Metoda converge încet ; sensibilă la erori de trunchiere.
14 Metoda lui Newton Fie f : (a, b) R o funcţie derivabilă şi α (a, b) astfel încât f (α) = 0 şi f (α) 0. Metoda lui Newton constă în generarea unui şir (x n ) n N după formula: unde x 0 este dat. x n+1 = x n f (x n) f, n = 0, 1, 2,... (3) (x n )
15 Metoda lui Newton Fie f : (a, b) R o funcţie derivabilă şi α (a, b) astfel încât f (α) = 0 şi f (α) 0. Metoda lui Newton constă în generarea unui şir (x n ) n N după formula: x n+1 = x n f (x n) f, n = 0, 1, 2,... (3) (x n ) unde x 0 este dat. Metoda lui Newton poate fi obţinută în următorii paşi:
16 Metoda lui Newton Fie f : (a, b) R o funcţie derivabilă şi α (a, b) astfel încât f (α) = 0 şi f (α) 0. Metoda lui Newton constă în generarea unui şir (x n ) n N după formula: x n+1 = x n f (x n) f, n = 0, 1, 2,... (3) (x n ) unde x 0 este dat. Metoda lui Newton poate fi obţinută în următorii paşi: - Presupunând că f satisface condiţiile necesare de derivabilitate şi continuitate a derivatelor, din dezvoltarea Taylor în jurul lui x n avem f (x) = f (x n ) + (x x n )f (x n ) + (x x n) 2 f (c n ). (4) 2
17 Metoda lui Newton Fie f : (a, b) R o funcţie derivabilă şi α (a, b) astfel încât f (α) = 0 şi f (α) 0. Metoda lui Newton constă în generarea unui şir (x n ) n N după formula: x n+1 = x n f (x n) f, n = 0, 1, 2,... (3) (x n ) unde x 0 este dat. Metoda lui Newton poate fi obţinută în următorii paşi: - Presupunând că f satisface condiţiile necesare de derivabilitate şi continuitate a derivatelor, din dezvoltarea Taylor în jurul lui x n avem f (x) = f (x n ) + (x x n )f (x n ) + (x x n) 2 f (c n ). (4) 2 - Înlocuind funcţia f (x) cu primii doi termeni din identitatea de mai sus şi egalând cu 0, ne conduce la x n+1 ca soluţie a ecuaţiei liniare: 0 = f (x n ) + (x x n )f (x n ).
18 Convergenţa metodei lui Newton Teoremă Fie ɛ > 0 şi I = [α ɛ, α + ɛ] astfel încât f C 2 (I ). Presupunem că f (α) = 0 şi f (x) 0, x I. Atunci pentru x 0 ales suficient de aproape de α şirul (x n) n N generat prin metoda lui Newton converge la α şi Demonstraţie (pe scurt) α x n+1 lim n (α x = f (α) n) 2 2f (α). (5)
19 Convergenţa metodei lui Newton Teoremă Fie ɛ > 0 şi I = [α ɛ, α + ɛ] astfel încât f C 2 (I ). Presupunem că f (α) = 0 şi f (x) 0, x I. Atunci pentru x 0 ales suficient de aproape de α şirul (x n) n N generat prin metoda lui Newton converge la α şi Demonstraţie (pe scurt) - Dacă în ecuaţia (4), luăm x := α, obţinem: α x n+1 lim n (α x = f (α) n) 2 2f (α). (5) α x n+1 = (α x n) 2 f (c n), n 0. (6) 2f (x n)
20 Convergenţa metodei lui Newton Teoremă Fie ɛ > 0 şi I = [α ɛ, α + ɛ] astfel încât f C 2 (I ). Presupunem că f (α) = 0 şi f (x) 0, x I. Atunci pentru x 0 ales suficient de aproape de α şirul (x n) n N generat prin metoda lui Newton converge la α şi Demonstraţie (pe scurt) - Dacă în ecuaţia (4), luăm x := α, obţinem: α x n+1 lim n (α x = f (α) n) 2 2f (α). (5) α x n+1 = (α x n) 2 f (c n), n 0. (6) 2f (x n) - Fie M = max x I f (x) 2 min x I f (x) şi alegem x 0 astfel încât α x 0 < ɛ şi M α x 0 < 1.
21 Convergenţa metodei lui Newton Teoremă Fie ɛ > 0 şi I = [α ɛ, α + ɛ] astfel încât f C 2 (I ). Presupunem că f (α) = 0 şi f (x) 0, x I. Atunci pentru x 0 ales suficient de aproape de α şirul (x n) n N generat prin metoda lui Newton converge la α şi Demonstraţie (continuare) α x n+1 lim n (α x = f (α) n) 2 2f (α). - Se arată că x x n < ɛ şi M x x n < 1 n N.
22 Convergenţa metodei lui Newton Teoremă Fie ɛ > 0 şi I = [α ɛ, α + ɛ] astfel încât f C 2 (I ). Presupunem că f (α) = 0 şi f (x) 0, x I. Atunci pentru x 0 ales suficient de aproape de α şirul (x n) n N generat prin metoda lui Newton converge la α şi Demonstraţie (continuare) α x n+1 lim n (α x = f (α) n) 2 2f (α). - Se arată că x x n < ɛ şi M x x n < 1 n N. - Convergenţa şirului (x n) se obţine din M α x n (M α x 0 ) 2n.
23 Convergenţa metodei lui Newton Teoremă Fie ɛ > 0 şi I = [α ɛ, α + ɛ] astfel încât f C 2 (I ). Presupunem că f (α) = 0 şi f (x) 0, x I. Atunci pentru x 0 ales suficient de aproape de α şirul (x n) n N generat prin metoda lui Newton converge la α şi Demonstraţie (continuare) α x n+1 lim n (α x = f (α) n) 2 2f (α). - Se arată că x x n < ɛ şi M x x n < 1 n N. - Convergenţa şirului (x n) se obţine din M α x n (M α x 0 ) 2n. - Valoarea limitei de mai sus se obţine din (6) după ce se împarte la (α x n) 2 şi se trece la limită.
24 Metoda secantei Fie x 0 şi x 1 date. Metoda secantei este definită de iteraţia: x n x n 1 x n+1 = x n f (x n ), n = 1, 2,... (7) f (x n ) f (x n 1 ) Teoremă Fie ɛ > 0 şi I = [α ɛ, α + ɛ] astfel încât f C 2 (I ). Presupunem că f (α) = 0 şi f (x) 0, x I. Atunci pentru x 0 şi x 1 aleşi suficient de aproape de α şirul (x n ) n N generat prin metoda secantei converge la α şi ordinul de convergenţă este p =
Metode Numerice
Metode Numerice Prof. Bogdan Gavrea CTI 2019 pentru rezolvarea numerică a sistemelor liniare Matrici diagonal dominante Definiţie O matrice A M n,n (C), A = (a ij ) 1 i,j n se numeşte diagonal dominantă
Autoevaluare curs MN.doc
Anul II, IEI IFR Semestrul I Metode numerice Chestionar de autoevaluare C1 1 Să se scrie o procedură care să calculeze produsul scalar a doi vectori 2 Să se scrie o procedură de înmulţire a matricelor
Microsoft Word - probleme_analiza_numerica_ses_ian09.rtf
Universitatea Spiru Haret Facultatea de Matematica-Informatica Disciplina obligatorie; Anul 3, Sem. 1,Matematica si Informatica CONTINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI Metode numerice de rezolvare a sistemelor
Ecuatii si sisteme de ecuatii neliniare 1 Metoda lui Newton Algorithm 1 Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. Date de intrare: - Funcţia f - Apro
Ecuatii si sisteme de ecuatii neliniare Metoda lui Newton Algorithm Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. - Funcţia f - Aproximaţia iniţială x - Eroarea admisă ε - Numărul maxim de iteraţii ITMAX
LUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL Aspecte generale Programarea neliniară are o foart
LUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL 0 8.. Aspecte generale Programarea neliniară are o foarte mare importanţă în rezolvarea problemelor de optimizări,
Calcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 6 2019 Anca Ignat Algoritmul lui Givens Fie A o matrice reală pătratică de dimensiune n. Pp. că avem: A QR unde Q este o matrice ortogonală iar R este o matrice superior triunghiulară.
METODE NUMERICE ÎN INGINERIE
METODE NUMERICE ÎN INGINERIE REZOLVAREA NUMERICĂ A SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE Aspecte generale (1) (2) (3) (4) (5) Unicitatea soluţiei Un sistem de ecuaţii liniare are o soluţie unică numai dacă matricea
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de Informatică 1.3 Departamentul Informatică 1.4 Domeniul
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
PAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi C
PAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi Calculatoare Universitatea Politehnica Bucureşti PAS
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
MD.09. Teoria stabilităţii 1
MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,
Elemente de aritmetica
Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al
gaussx.dvi
Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care
Slide 1
Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice PROIECTAREA OPTIMALĂ A DISPOZITIVELOR ELECTROMAGNETICE PODE CURS 2 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@et.utcluj.ro 2/46 Proiectarea
PROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
ETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți
Seminar Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferențiale Folosind transformata Laplace, putem reolva ecuații și sisteme diferențiale. Cu ajutorul proprietăților transformatei
Examenul de bacalaureat 2012
CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,
Aero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D
Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire
Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n
Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului
BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7
Fisa MMC IA
MD-05, CHIŞINĂU, STR. STUDENȚILOR, 7, TEL: 0 50-99-01 FAX: 0 50-99-05, www.utm.md METODE ŞI MODELE DE CALCUL 1. Date despre unitatea de curs/modul Facultatea Calculatoare, Informatică și Microelectronică
CLP_UTCN-grila-2012.dvi
Liceul: Numele: Punctaj: Prenumele: Concursul liceelor partenere cu Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Test grilă Ediţia a treia mai 0 Clasa a X-a În casuţa din stânga întrebării se va scrie litera
Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Modelarea si Simularea Sistemelor de Calcul
Modelarea şi Simularea Sistemelor de Calcul Generarea de numere aleatoare ( lab. 5) Numim variabilă aleatoare acea funcţie X : (Ω, δ, P) R, care în cazul mai multor experimente efectuate în condiţii identice
Microsoft PowerPoint - Prezentarea_programelor_de_studii_de_licenta_2019
Universitateadin București Facultatea de Matematică și Informatică Programele de studii de licență - descriere și admitere - Scurt istoric 1864 Se înființează Facultateade Științe, cu o secție de Matematică
Microsoft Word - 2 Filtre neliniare.doc
20 Capitolul 2 - Filtre neliniare 21 CAPITOLUL 2 FILTRE NELINIARE 2-1. PRELIMINARII Răspunsul la impuls determină capacitatea filtrului de a elimina zgomotul de impulsuri. Un filtru cu răspunsul la impuls
Aproximarea functiilor prin metoda celor mai mici patrate
Aproximarea funcţiilor prin metoda celor mai mici pătrate Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 2017-2018
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
Slide 1
Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice PROIECTAREA OPTIMALĂ A DISPOZITIVELOR ELECTROMAGNETICE PODE Disciplină obligatorie An IV ET CURS 1 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro
Calcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 7 2019 Aca Igat Memorarea matricelor rare - se memorează doar valorile eule şi suficiete iformaţii despre idici astfel ca să se poată recostitui complet matricea Pp. că matricea A
..MINISTERUL EDUCAŢIEI NAȚIONALE ŞI CERCETARII STIINTIFICE UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIȘOARA.I CENTRUL DE DEZVOLTARE ACADEMICĂ. FIȘA DISCIPLINEI 1.
FIȘA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1. Instituția de învățământ superior Universitatea de Vest din Timișoara 1.2. Facultatea Matematică și Informatică 1.3. Departamentul Informatică 1.4. Domeniul
rrs_12_2012.indd
Corelaţia dintre Produsul Intern Brut/locuitor şi Rata de ocupare a populaţiei model econometric de analiză Drd. Ligia PRODAN Academia de Studii Economice, Bucureşti Abstract Se prezintă evoluţia Ratei
Clustere şi impurităţi în sisteme complexe
C: Soluţii numerice ale ecuaţiei Schrödinger independentă de timp. Metoda Tirului BIBLIOGRAFIE Ion. I. Cotaescu. Curs de Mecanica Cuantică, Tipografia UVT 990 Epperson J, An introduction to numerical methods
GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007
GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de
FIŞA DISCIPLINEI
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1.Instituţia de învăţământ superior Universitatea SPIRU HARET 1.2.Facultatea Inginerie, Informatică şi Geografie 1.3.Departamentul Informatică şi Geografie 1.4.Domeniul
Microsoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Calcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 4 2019 Anca Ignat Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Fie matricea nesingulară A nn şi b n. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare Ax=b se poate face folosind regula
Cursul 10 Fractali de tip Newton Vom prezenta în continuare o nouă modalitate de generare a fractalilor, modalitate care îşi are originea într-o probl
Cursul 10 Fractali de tip Newton Vom prezenta în continuare o nouă modalitate de generare a fractalilor, modalitate care îşi are originea într-o problemă formulată în anul 1879 de Arthur Cayley (1821 1895)
CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se
Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să
20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do
SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul
Cursul 12 Şiruri recurente în planul complex Vom studia, în continuare, comportarea în raport cu data iniţială a şirurilor definite prin relaţii de re
Cursul 12 Şiruri recurente în planul complex Vom studia, în continuare, comportarea în raport cu data iniţială a şirurilor definite prin relaţii de recurenţă de forma z n+1 = f(z n ), n = 0, 1, 2,...,
Microsoft Word - Algoritmi genetici.docx
1.1 Generalităţi Algoritmii genetici fac parte din categoria algoritmilor de calcul evoluționist și sunt inspirați de teoria lui Darwin asupra evoluției. Idea calculului evoluționist a fost introdusă în
02. Analiza matematica 3 - MI 2
FIȘA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1. Instituția de învățământ superior Universitatea de Vest din Timișoara 1.2. Facultatea Matematică și Informatică 1.3. Departamentul Matematică 1.4. Domeniul
Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l
Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative la R n, în principal), sunt prezentate aici elemente
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Geometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 12 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 3 Apendix 2
Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru,
Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru, adică f (t, 0) = 0, t t 0. In acest paragraf, funcţia
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
PowerPoint-Präsentation
Universitatea Transilvania din Braşov Laboratorul de Vedere Artificială Robustă şi Control Metode Numerice Curs 01 Introducere Gigel Măceșanu 1 Cuprins Obiectivele cursului Organizare: Structura cursului
Examenul de bacalaureat 2012
PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,
ETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 10 Transformata Fourier Integrala Fourier Seriile Fourier sînt utile pentru dez
Seminar 1 Transformata Fourier Integrala Fourier Seriile Fourier sînt utile pentru dezvoltarea unor funcții periodice (sau convertibile în unele periodice). Însă dacă funcțiile sînt arbitrare, se folosește
Examenul de bacalaureat 2012
INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen
Curs 3 Permutari cu repetitie. Combinari. Algoritmi de ordonare si generare
Curs 3 Permutări cu repetiţie. Combinări. Algoritmi de ordonare şi generare Octombrie 2015 Cuprins Algoritmi de ordonare şi generare pentru permutări cu repetiţie Reprezentarea binară a submulţimilor Algoritmi
Copyright c 2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la
Copyright c 1 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, Profilurile: fizica-matematica, economie,
Microsoft Word - Capitolul_07
Viziunea computerizată în exemple şi aplicaţii practice Filtrarea în domeniul frecvenţă Introducere Filtrele de frecvenţă modifică valorile pixelului în funcţie de periodicitate şi distribuţia spaţială
Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL
Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.
programa_olimpiada_matematica_IX-XII_
R O M  N I A MINISTERUL EDUCAłIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI DIRECłIA GENERALĂ MANAGEMENT ÎNVĂłĂMÂNT PREUNIVERSITAR CONSILIUL NAłIONAL PENTRU CURRICULUM ŞI EVALUARE ÎN ÎNVĂłĂMÂNTUL PREUNIVERITAR PROGRAMA
CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),
![CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),](/thumbs/101/150500936.jpg "CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),")
CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul
Microsoft Word - 4_Fd_Teoria_sist_I_2013_2014_MLF_Calc
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Sapientia din Cluj-Napoca 1.2 Facultatea Ştiinţe Tehnice şi Umaniste 1.3 Departamentul Inginerie Mecanică 1.4
Algebra si Geometri pentru Computer Science
Natura este scrisă în limbaj matematic. Galileo Galilei 5 Aplicatii liniare Grafica vectoriala In grafica pe calculator, grafica vectoriala este un procedeu prin care imaginile sunt construite cu ajutorul
Curs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi
Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a
Analiză de flux de date 29 octombrie 2012
Analiză de flux de date 29 octombrie 2012 Analiză statică: definiţie O analiză a codului sursă (fără a executa programul), cu scopul de a determina proprietăţi ale programului sursă. (in principal corectitudinea,
Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_jav_utmut0513V28_roman.doc
Matematika román nyelven középszint 0513 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 8. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN MATEMATICĂ KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA EXAMEN DE BACALAUREAT NIVEL MEDIU Az írásbeli vizsga időtartama:
ALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja f
ALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja far Mohammed ibn Musâ al- Khowârizmî în cartea sa intitulată
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot
matematica, liceu-specializ. matematica-informatica
Anexa 2 la ordinul ministrului educaţiei şi cercetării nr. 3252/ 13.02.2006 MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII CONSILIUL NAŢIONAL PENTRU CURRICULUM PROGRAME ŞCOLARE PENTRU CICLUL SUPERIOR AL LICEULUI MATEMATICĂ
SUBPROGRAME
SUBPROGRAME Un subprogram este un ansamblu ce poate conţine tipuri de date, variabile şi instrucţiuni destinate unei anumite prelucrări (calcule, citiri, scrieri). Subprogramul poate fi executat doar dacă
1. Operatii cu matrici 1 Cerinte: Sa se realizeze functii pentru operatii cu matrici patratice (de dimensiune maxima 10x10). Operatiile cerute sunt: A
1. Operatii cu matrici 1 Sa se realizeze functii pentru operatii cu matrici patratice (de dimensiune maxima 10x10). Operatiile cerute sunt: A+B (adunare), aa (inmultire cu scalar), A-B scadere), AT (Transpusa),
Spatii vectoriale
Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale
Lecții de pregă,re la informa,că Admitere 2019 Tema: Discutarea problemelor date la ul,mele sesiuni de admitere Bogdan Alexe
Lecții de pregă,re la informa,că Admitere 2019 Tema: Discutarea problemelor date la ul,mele sesiuni de admitere Bogdan Alexe bogdan.alexe@fmi.unibuc.ro Cuprinsul lecției de azi Enunțuri și rezolvări pentru
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim
ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine număru
ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine numărul de operaţii efectuate de către un algoritm care determină
2
C5: Metoda matricilor de transfer BIBLIOGRAFIE E. Tulcan Paulescu, M. Paulescu Algorithms for electronic states in artificial semiconductors of use in intermediate band solar cells engineering. In Physics
Cursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această ev
Cursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această evoluţie, exprimată succint prin şirul de incluziuni
SSC-Impartire
Adunarea Înmulțirea Numere și operații în virgulă mobilă 1 Împărțirea cu refacerea restului parțial Împărțirea fără refacerea restului parțial 2 Primul operand: deîmpărțit (X) Al doilea operand: împărțitor
Metode de sortare - pregătire admitere - Conf.dr. Alexandru Popa Lect. dr. Andrei Pătraşcu Universitatea din Bucureşti 1
Metode de sortare - pregătire admitere - Conf.dr. Alexandru Popa Lect. dr. Andrei Pătraşcu Universitatea din Bucureşti 1 Cuprins Problema sortării Algoritmul de sortare prin interschimbare (Bubble sort)
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:
I
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
Entrepreneurship and Technological Management
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Proiectarea Algoritmilor 33. Algoritmul de tip Monte Carlo Bibliografie [1] C. Giumale Introducere in Analiza Algoritmilor
Clasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Microsoft Word - Lab1a.doc
Sisteme de numeraţie şi coduri numerice 1.1. Sisteme de numeraţie 1.2. Conversii generale între sisteme de numeraţie 1.3. Reprezentarea numerelor binare negative 1.4. Coduri numerice 1.5. Aplicaţii In
Universitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x
1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima
Subiectul 1
Subiectul 1 În fişierul Numere.txt pe prima linie este memorat un număr natural n (n
Microsoft Word - TIC5
CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE CAPITOLUL 5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE În Capitolul 3, am văzut că putem utiliza codarea sursă pentru a reduce redundanţa inerentă a unei surse de informaţie
43 Prelegerea 4 Protocoale de distribuire a cheilor 4.1 Introducere Am văzut că sistemele bazate pe chei publice nu necesită un canal sigur pentru tra
43 Prelegerea 4 Protocoale de distribuire a cheilor 4.1 Introducere Am văzut că sistemele bazate pe chei publice nu necesită un canal sigur pentru transmiterea unei chei private. Aceste avantaj este compensat
Microsoft Word - 03 Dominica MOISE.doc
CONFERINȚA NAȚIONALĂ DE INSTRUMENTAȚIE VIRTUALĂ, EDIȚIA A V-A, BUCURE TI, 20 MAI 2008 13 Pachet de programe care ilustrează capitole din matematică, fizică şi studiul fractalilor Luminița Dominica MOISE,
Geometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial Vari
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial 1 11 Varietăţi liniare 1 12 Spaţiul director şi dimensiunea unei varietăţi
10. Analiza numerica - MA 2
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea de Vest din Timisoara 1.2 Facultatea / Departamentul Matematica si Informatica 1.3 Catedra Matematica 1.4 Domeniul
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 12 SPAŢII L P Cursul 11 Proprietăţi de densitate în spaţiile L p Proprietăţile de densitate ne permit să
DRs, Teoria măsrii şi integrala Lebesge 12 SPAŢII L P Crsl 11 Prorietăţi de densitate în saţiile L Prorietăţile de densitate ne ermit să aroximăm fncţiile din L ( c fncţii din L ( c o strctră mai simlă,
Microsoft Word - l10.doc
Metode Numerice - Lucrarea de laborator 0 Lucrarea de laborator nr. 0 I. Scopul lucrării Aproximarea funcţiilor. Polinoame de interpolare. II. Conţinutul lucrării. Polinom de interpolare. Definiţie. Eroarea
Cuantizare Vectoriala.doc
4. Metoda de quadro în compresie fractala optimizata rata-distorsiune În cele ce urmeaza descriem o metoda de quadro bazata pe optimizarea criteriului ratadistorsiune în compresia fractala a imaginilor.
Analiză statică Analiza fluxului de date 23 octombrie 2014
Analiză statică Analiza fluxului de date 23 octombrie 2014 Analiză statică: definiție O analiză a codului sursă (fără a executa programul), cu scopul de a determina proprietăți ale programului sursă. (in
Fisa disciplinei_Utilizarea_Calc_CFDP_ _var2_
UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCȚII BUCUREȘTI FIŞA DISCIPLINEI (COD PO-09_F-01) Denumirea Utilizarea calculatoarelor Codul 1.OB05.DPF Anul de studiu I Semestrul 1 Tipul de evaluare finală (E, CO, V) CO
Microsoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc
ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru