Matematica - Clasa 9 - Clubul matematicienilor

Transcriere

1 Marius PERANU Florian DUMTREL Matematice clasa a X-a filiera teoreticd: profil real (matematicd-informaticd, gtiinfe ale naturii) filiera tehnologicd: toate profilurile (tehnic, servicii, resurse naturale) filiera vocationald : profil militar (rnatematics-informaticd)

2 CupnlNS RLCfgnA Capitolul 1. Mullimea numeretor reale 1.1. Numere ra[ionale gi irationale. Reprezentdri zecimale 1.2. Operaliialgebrice cu numere reale Formule de calcul prescurtat. ldentitdti (extindere) 1.4. Ordonarea numerelor reale lnegalitali algebrice (extindere) lntervale de numere reale. Operalii cu intervale Teste de evaluore '1.7. Modulul unui numdr real Partea intreagd 5i partea frac[ionard a unui numdr real AproximEri ale numerelor reale... Teste de evaluore Probleme pentru performan{a 5colara 5i olimpiade ALGEBRA Capitolul2. Elemente de logici matematici 2."1. Propozi[ie. Predicat. Operafii logice elementare 2.2. Ra[ionament prin reducere la absurd 2.3. lnductia matematici Mulfimi probreme de ",;;;;;;":::::::.:::.:...:...::.: Teste de evaluore Probleme pentru performantd 5colard 5iolimpiade ALGEBRA Capitolul3. $iruride numere reale 3.1. $iruri de numere reale. $iruri monotone. $iruri marginite Progresii aritmetice Progresii geometrice Probleme cu progresii aritmetice gi geometrice Probleme pentru performanta 5colara giolimpiade F X 77fi H 89 91

3 ALGEBRA Capitolul4. Funclii. Lecturi grafice 4.1. Funclii. Proprietd[i generale. Lecturi grafice lmaginea unei func[ii. Preimagine. Func[ii mdrginite """""" Func[ia de gradul...'... """""" Funclii pare. Funclii impare. Axe de simetrie. Centre de simetrie Funcfii monotone """""' Funclii periodice """"""' Compunerea funcliilor...'... """"" 117 Testedeevaluare """"""' Probleme pentru performanli gcolard 5iolimpiade """"""" 124 ALGEBRA Capitolul 5. Funclia de gradul al ll-lea Ecualia de gradul al doilea. Relaliile lui Vidte ""' 131 Definilia funcliei de gradul al doilea. Reprezentarea graficd Monotonia funcfiei de gradul al doilea """""""" 139 Semnul funcliei de gradul al doilea """""""""""' 141 Sisteme cu ecualii de gradul al doilea """"""""" 144 Testedeevaluare """"""' 149 Probleme pentru performanld gcolari 5i olimpiade """""""' 152 ul OE E =f 6c G o L f z OE E 4. 'tr (E = GEOMETRE Capitolul 6. Vectoriin plan Segment orientat. Relalia de echipolenla. Vectori """"""""' 157 Adunarea vectorilor """' 160 inmul[irea vectorilor cu scalari """"' 162 Descompunerea unui vectori dups doi vectori necoliniari Reper cartezian in plan """""""""""" 167 Testedeevaluare """"""" 170 GEOMETRE Capitolul 7. Concuren!5, coliniaritate, paralelism' Calcul vectorial in geometria plani 7.1. Vectorul de pozilie al unui punct. Teorema lui Thales Centre de greutate. Relafia lui Leibniz """"""""" " Teorema bisectoarei. Vectorul de pozi[ie al centrului cercului inscris Ortocentrul unui triunghi. Relalia lui Sylvester."""""""""""' Teorema lui Menelau. Probleme de coliniaritate..."' ""' Teorema lui Ceva. Probleme de concurente..'... """""" 189 Testedeevoluare """"""' Probleme pentru performan!5 5colari 5i olimpiade """""""' 194 6

4 GEOMETRE Capitolul 8. Elemente de trigonometrie 8.1. Cercul trigonometric. Funcliile sin 5i cos definite pe [0,2n] Funcfiile trigonometrice sin, cos, tg, ctg Relatii intre functiile trigonometrice sin, cos, tg, ctg Formule trigonometrice pentru sume gi diferen[e Transformarea sumelor in produse gi a produselor in sume Probleme pentru performanli gcolard giolimpiade GEOMETRE Capitolu! 9. Aplicatii ale trigonometriei gi ale produsuluiscalarin geometria plani Produsul scalar a doi vectori Aplica[ii ale produsului scalar in geometrie. Teorema cosinusului Aplicatii ale trigonometriei in geometrie. Teorema sinusurilor. Rezolvarea triunghiurilor oarecare.. Formule pentru aria triunghiului. Raza cercului inscris gi raza cercului circumscris in triunghi Teste de evaluore SNTEZE Capitolul 10. Variante de subiecte pentru tezi 10. Variante de subiecte pentru tezi 243 solutil 249 lndice de autori 351 Bibliografie 3s2 te x (g 6! t) E lll =

5 CAPTOLUL MUMEA NUMERELOR REALE Tema 1.1. Numere rationale gi ira[ionale. Reprezentiri zecimale Tema 1.2. Opera[iialgebrice cu numere reale Tema 1.3. Formule de calcul prescurtat. ldentitdti (extindere) Tema 1.4. Ordonarea numerelor reale Tema 1.5. lnegalitdti algebrice (extindere) Tema 1.5. lntervale de numere reale. Opera[ii cu intervale Tema.7. Modulul unuinumdr real Tema 1.8. Partea intreagd gi partea fractionard a unui numdr real Tema 1.9. Aproximiriale numerelor reale Tema Probleme pentru performanld 5colari giolimpiade

6 Tema.t Numere rationale gi ira[ionale. Reprezentiri zecimale Notm cu N mu[imea numerelor naturale qi w Z mul]imea numerelor intregi. Astfel, N: {0,1,2,3,...\ Si Z- {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\. Fracfiile i qi (a,cez,b,dez*) se numesc echivolente dacd ad=6c; scriem 'bd + =:. Mullimea tuturor fractiilor echivalente cu o fracfie datii se numeqte numdr ralional. bd Pentru simplificarea exprimlrii, vom identifica un numir rafional cu oricare dintre fracliile echivalente care il reprezinti. Mu[imea numerelor rafionale se noteazd cu Q. Agadar, a={4 lq Cu ajutorul algoritmului de impirlire a doul numere naturale, orice fraclie ordinard L q (p20, q > 0) se poate scrie sub formi de fraclie zecimall periodicd, cu perioada diferita de (9). Reciproc, orice fraclie periodicd, cu perioada diferiti de (9), se poate scrie sub forml de fraclie ordinard. Dacd a este o fraclie periodicd simpld, adic[ are forma a = eo,(ara2...or), unde ao e N qi a*dr,...,a0 e {0,1,2,...,9}, atunci p,e ez, n *O\. QrA2...Ap q=d^+-. "ujp ori in cazul cilnd a estefraclie periodicd mixtd, adicd a = qo,ata2...ak(ao*reu*r...a0,, ), avem. ataz...akrp - ala2...ak d=d0t-. -#'r;i Q este mu[imea tuturor fracliilor periodice (frac]iile zecimale finite sunt considerate fraclii periodice cu perioada (0) ). Existd fracf;i zecimale infinite qi neperiodice, de exemphr a= 0, O astfel de frac\ie zecimal5 se numegte numdr iralional. Reunind mullimea numerelor rafionale cu mu[imea numerelor iralionale oblinem mullimea numerelor reale pe care o notim cu lr.. Agadar, JR este mullimea tuturor fracfiilor zecimale, periodice sau neperiodice. Notiim lr* = R. \ {0}. Au loc incluziunile: N c Z c Q c R. (! x 6 (o ro U t, = E 11

7 {,,F 1. a) 1ridtalicd, pentru ortce me N, fracfia 4+ este ireductibil[. ' 3m+2 D) Determinali n e N pentru care frac{ia ' 3n+l!+2, "rt"reductibild. 2. Scrieli ca ftaclie zecimald fiecare dintre numerele: o)5; '14 /T, 4i, o-;; e)r; n X; e -l; ntf,: tt fl; i,-# 3. Transformali in fracfii ordinare urmltoarele fraclii zecimale: a) 5,(7); b) - l,(13); c) 0,23(7); d) - t,0t(02); e) -3,2(123). 4. Fie a e 1R \ Q. Este posibil caaz qia3 sd fie numere ra{ionale? 5. a) Aflali a 100- a zecimalda numlrului rational '13 1. b) Ariiali cd exist[ un multiplu de 13 format numai cu cifral. 6.Fie a eq Ci rn,n en*, (m,n)=l.ardtali cd,dacd maez Si naez,atunci aez. 7. Ardtati cd, dacd o singur[ cifrl din reprezentarea zecimald, a unui numdr real se repetl de o infinitate de ori, atunci numdrul este rafional. 8. Ar[tafi cb un numlr ra]ional pozitiv e N*, (p,q) = l) se reprezintdca fraclie q zecimald. finiti dacd qi numai dacd q = 2".50, unde a, B e N. J 9. Se consider[ numdrul a = 0, ul E a) Ardtali cd a este numdr irafional. b) AfTalia 1000-a zecimald,anumirului a. e = Q Calcda[isumaprimelor 1000 zecimaleale numlrului a. 10. a)fie r,.yeq gi aejr.\q.tu5tali cd x+y.a=0 dacdqinumai dacd x=!=0. 55 * b)fie x,y,zeq.ar[ta]i ca xji+yji*rji=0 daclginumai dacd, x:y-z=0. Z 11. Demonstrali afirmaliile: # a)dacd req 9i aelr.\q,atunci r+aer\q; H Qdacd req* gi aer\q,atunci raer\e; rl E c)dacd aer\q,atunci -elr.\q; =a r d) dacd,aejr\q, a)0,atunci GelR\e. 12 **

8 12. Fie zen. Ardta\icd: 0 Ji.N<>n =k2,ften; U JieQeJieN. 13. Ardta,ti cd existi o infinitate de perechi (a,b) de mrmere iralionale ct a+beq Si a.beq , Artali cd numdrul ",6 *.6 *.fr este iralional. Ar[tali c[, pentru orice n e N*, urmitoarele numere sunt iralionale: O 'ls'ii b) J1rfi; c) \i7 +sr+? : Determinali numerele naturale k pentru care numdrul "[k' Fie mullimea y ={r+bjl a,b e q, a2-3b'= a)2+jiem; b) x,yem > xyem; c) M este infiniti. 1}. Aratati ca: +31, +la este ra]ional. 18. a) Fie rn,n e N*. Demonshali ca Ji + Ji e Q dacd 9i numai dacd Ji, fi e X. b) Determinali perechile (x, y) de numere naturale astfel incdt Ji * J y = 10\ Fie a,be1r\q astfelincdt a+beq qi m,nen, ra *n. Ardtati cinumerele a-b qr ma + nb sunt iralionale. *** Determinali x,y e N* astfel incdt * = 0,58(3). xy fudta,ti ci, pentru oice ne N*, numlrut Ji +J"+t este iralional. Determinali numerele naturale n pentru care num[ru] Jn+l+J4nil este ra{ional..e x 6 (6 (o U U =uj F = 13

9 ul E =o (o o L =z se l o. '= (o = E 14 Tema 1.2 Operalii algebrice cu numere reale Calculul cu numere reale se bazeazdpeproprietilile adunlrii qi inmu(irii numerelor reale. Adunarea este operalia prin care oriclrei perechi de numere reale (x,y) i se asociazd unnnmdrreal,notat cu x+y,ntmitsumanumerelor x,i y. Proprietitile adunirii 1. Adunarea este asociativd: (a + b) + c = a + (b + c), oricare ar ft a,b,c er. 2. Adunarea este comutativd: a+b =b+a,oicare arfi a,d e R. ' 3. Num[rul real 0 este element neutru pentru adunare, adicd oricare ar fi a e R, avem a+0=0+a=a. 4. Orice numlr real a are un opus, adicd exist[ un num[r real notat cu -a, astfel inc6t a+(-a)=(-a)+a=0. Daca x,y elr., se noteazd x-y=x+(-x) (diferenlanumerelor x Si y). inmullirea este operalia prin care oric[rei perechi de numere reale (x,y) i se asociazd unnumlrreal,notat ct x'y sau rj,,nrttitproduszlnumerelor x qi y. ProprietSf ile inmultidi f. inmullirea este asociativd: (ab)c = a(bc), oricare ar fr a,b,c er. 2. inmulfirea este comutativd: ab = ba, oricare ar fi a,d e R. 3. Numdrul real este element neutru pentru inmulflre, adicl oricare ar fi a e )R, avema-l=l.a=a. 4. Orice num[r real a+0 are un invers, adic[ exist[ un numir real, notat cu a-', astfel incdt aa':a'a=7. -l -t 5. inmu[irea este distributivd fald de adunare, adicd oricare at fr a,b,c elr., au loc egalitdlile: a(b+ c) = ab + qc, Daca x,y ejr qi /*0,senoteazd x v (a+b)c=ac+bc. = xy-t lcatul numerelor reale x qi y ). 1. Calculali (-l)'. 0, 1(3) + (-1)"*'. 0, + (-l)'*2'zu * r-rr*'' ], u"de n e N. 2.carcurali:,)i6-#-#; rl,,f 3. a)dacd, S=o,ararq..., calculali dzooo-erooo si q+ar*...taroo. b) Dacd, S = 0, ororor..., calculali as + arc + als qoo. u#c E+-T_G

10 4. a) Calcula,ti suma dintre opusul gi inversul numlrului Ji 'Z. b) Calculali suma inverselor urmltoarelor numere: -1, 2 - J1,2 + Ji. 5. Determinati x e lr in fiecare dintre cazurile: a,) opusul numrului 2x-3 este 15 ; 6) inversul numlrului 3x-2 este 5; c) numlrul x2 -.r este inversabil. 6. Calculali media aritmetic[ gi media geometricd a numerelor: Q 3-2Ji qi 3+2Jr; u $o+ji+j7 si Jm- J\-J,. 7.Sedaunumerele: "=zjl-l,l-2, b:3ji-2jj, "=5d1-J. Calculafi: a) a+b+c; b) a2 +b2 +c2; c) ab+bc+ca. ** 8. Calculali: a)2,q)+7,(6); c) l,l(3)-2,07(27); D,) 0,(3) + 0,0(3) + 0,00(3) ; a1 1, - o,tg1 * - o,lztst t Calculali:, '(+-?.3)-,(,-;.i+),,rffi-+(,-,,1)',,-{[#-+ -t:?a+)),(-i)-i} (-,+) ro.determinali numerele reate x din egalitatea, i {r-*lr-i to-t)]}= t 11. Calculali cu doui zecimale exacte: a) Ji; b) 0,013; c) "[-slt; o + t 4 + * s r 2. carcurati. l' (t + o'z' z?'s i) - 1' Pt= s.,. - ^ s (s].+!*2,+s,4?)?-[,s62s 1 3. Se consider6 numerele reale a, b, x, y astfel incafi q - b =,{fra gi x + y :,'l;.ffi Calculali m-by+ay-bx. 14. Calculali: ot (zj-z +tji- s6xds - JO - Ji) ; q,!z*{t.,1{z-11 - (o x le (E (o tj rj =ltl = 15

11 =o ce 4 Jt. rlo + $..t/: +.,/: +.,6. J: - Jg * Aritali c6; o,li& -,li-ite =zji; q,!i -ifz *,li *,8 = Calculafi:,(#r./5-vs) '.("-*)(*.#)', (#ffi. #Ni)' {:,s*o,{o)) ; "t ' Jz+,lz+Ji --2iil* A-Jz_Jj =2-Ji -,lt;i$ 17. Ardtati"u ' q-. - *4. 4.4:4 x. Jto +J0 +Js +'.6 ', Jio -G*\6-\fi = " ' *** 18. cdturile oblinute prin imprrlirea numerelor #, #, f,uun num6r rational r > 0 sunt numere intregi. Aflali cel mai mare numlr ralional r cu aceastii proprietate. 19.Fie a,6er* astfelincdt t=!-* Calcutali ffi 2O.a) Ardtati cd ;-p L pentru orice k e N*. kjk +i(k;dji- = G-Tt *, ' D,) Calculali suma ' t@+rt r4.;'[="-;m+(n+ fr, rr rr-. c,) Determinali rz e N * astfel inc6t S. = 0, 75. ut OE ts o L 3 z s ctu A. f.u = 16