TOPOLOGIE. FUNDAMENTE ŞI APLICAŢII. Alina Gavriluţ, Maricel Agop

Transcriere

1 TOPOLOGIE. FUNDAMENTE ŞI APLICAŢII Alina Gavriluţ, Maricel Agop

2

3 Cuprins Introducere 4 1 Elemente de topologie. Noţiuni teoretice Elemente de topologie generală Elemente de topologie generală. Aplicaţii 59 3 Aplicaţii ale topologiei în Fizică 87 Anexă. Fundamente de teoria spaţiilor metrice 87 3

4 4

5 Introducere Termenul topologie provine din contracţia substantivelor greceşti topos şi logos, care semnifică loc, respectiv studiu. Aşadar, topologie înseamnă literal studiul locului. Topologia, ca disciplină matematică bine definită, îşi are originea în prima parte a secolului al XX-lea, dar unele rezultate izolate pot fi urmărite cu câteva secole în urmă. Printre acestea se numără anumite întrebări de geometrie cercetate de matematicianul Leonhard Euler. Astfel, în 1736, Euler a publicat lucrarea intitulată Problema celor şapte poduri de la Königsberg (acum Kaliningrad), despre care se poate spune că stă la baza acestei ramuri matematice. Punctul de plecare a fost problema pe care şi-au pus-o locuitorii oraşului, de a găsi un drum care să treacă o singură dată prin toate cele şapte poduri din Königsberg. Euler a demonstrat că acest lucru este imposibil, neexistând soluţie a acestei probleme. Acest rezultat nu depindea de lungimea podurilor sau de distanţa lor unul faţă de celălalt, ci doar de proprietăţile de conectivitate: care poduri se conectează la care insule sau maluri de râu. Această problemă a celor şapte poduri din Königsberg a dus la ramura matematicii cunoscută sub numele de teoria grafurilor. Pentru ca problema să devină viabilă, Euler a propus construirea unui al optulea pod, lucru care s-a şi realizat în secolul XX. Lucrarea din 1736 a lui Euler despre cele şapte poduri din Königsberg este considerată una dintre primele aplicaţii practice ale topologiei. La 14 noiembrie 1750, Euler îi scria unui prieten că îşi dăduse seama de importanţa marginilor unui poliedru. Acest lucru a dus la formula sa pentru poliedru, V E + F = 2 (unde V, E şi F indică numărul de vârfuri, muchii şi feţe ale poliedrului). Unii consideră această analiză drept prima teoremă semnalând naşterea topologiei. Contribuţii suplimentare au fost aduse de Augustin-Louis Cauchy, Ludwig Schläfli, Johann Benedict Listing, Bernhard Riemannand Enrico Betti. 5

6 6 Termenul de topologie este introdus mult mai târziu de Johann Benedict Listing în articolul Vorstudien zur Topologie, scris în limba germană natală, în 1847, folosind cuvântul timp de zece ani în corespondenţã înainte de prima apariţie tipărită. Listing ar fi preferat să numească acest domeniu, drept geometria poziţiei, dar această sintagmă fusese deja folosită de Karl von Staudt pentru a desemna geometria proiectivă. Forma engleză topologie a fost folosită în 1883 în necrologul lui Listing din revista Nature pentru a distinge geometria calitativă de geometria obişnuită în care sunt tratate în principal relaţiile cantitative. Lucrările lor au fost corectate, consolidate şi extinse foarte mult de Henri Poincaré. În 1895, el a publicat lucrarea sa despre Analiza situs, care a introdus conceptele acum cunoscute sub denumirea de omotopie şi omologie, care sunt considerate acum parte a topologiei algebrice. Unificând munca asupra spaţiilor funcţionale ale lui Georg Cantor, Vito Volterra, Cesare Arzelà, Jacques Hadamard, Giulio Ascoli şi mulţi alţii, Maurice Fréchet a introdus spaţiul metric în Un spaţiu metric este acum considerat un caz special al unui spaţiu topologic general. În 1914, Felix Hausdorff a inventat termenul spaţiu topologic şi a dat definiţia pentru ceea ce se numeşte acum un spaţiu Hausdorff. În prezent, un spaţiu topologic este o uşoară generalizare a spaţiilor Hausdorff, dată în 1922 de Kazimierz Kuratowski. Spaţiile euclidiene şi, în general, spaţiile metrice sunt exemple de spaţii topologic, deoarece orice distanţă sau metrică defineşte o topologie. Topologia modernă are ca punct de plecare teoria mulţimilor, dezvoltată de Georg Cantor în a doua jumătate a secolului al XIX-lea, la care se adaugă studiile privind seriile Fourier şi mulţimile punctuale din cadrul teoriei spaţiilor euclidiene. Topologia este o ramură a matematicii, mai precis o extensie a geometriei, mai precis, geometria formelor care pot fi deformate sau distorsionate în moduri extrem de complicate şi de aceea mai este denumită geometria formelor de cauciuc (cum ar fi banda lui Möbius, exemplu remarcabil de obiect cu o singură suprafaţă şi o singură muchie, care se obţine prin răsucirea cu 180 şi apoi lipirea unei panglici de hârtie). Topologia studiază deformările spaţiului prin transformări continue, practic proprietăţile mulţimilor de puncte neschimbătoare faţă de unele transformări. Tot ceea ce contează este continuitatea, aceasta însemnând că dacă înainte de transformare două puncte sunt suficient de apropiate, după aceea vor fi de asemenea apropiate, de unde imaginea benzii de cauciuc. Topologia tratează problema formelor şi figurilor din punct de vedere cal-

7 itativ, operând cu noţiuni de bază precum dimensiunea şi homeomorfismul. Deformaţiile care sunt studiate în topologie sunt homeomorfismele şi omotopiile. O proprietate care este invariantă în raport cu astfel de deformări este o proprietate topologică. Exemple elementare de ale proprietăţi topologice sunt, de exemplu, următoarele: dimensiunea, care permite distincţia între o linie şi suprafaţă; compactitatea, care permite distincţia între o linie şi un cerc; conexiunea, care permite distincţia între un cerc şi două cercuri care nu se intersecteazã. Motivaţia care stă în spatele topologiei este aceea că anumite probleme geometrice depind nu neapărat de forma precisă a obiectelor implicate, ci, mai mult, de modul în care acestea se plaseaza. De exemplu, cercul şi pătratul au numeroase caracteristici comune. Ambele sunt obiecte unidimensionale din punct de vedere topologic şi amândouă separă planul în două regiuni, interiorul şi exteriorul. Astfel, pentru a trata probleme care nu se bazează pe forma exactă a obiectelor, trebuie sã fie clar pe ce proprietăţi se bazează aceste probleme. Din această necesitate apare noţiunea de homeomorfism. Intuitiv, două spaţii sunt homeomorfe dacă unul dintre ele poate fi deformat în celălalt fără tăiere sau lipire. O glumă tradiţională este aceea că un topolog nu poate distinge o cană de cafea de o gogoaşă, deoarece o gogoaşă suficient de pliabilă ar putea fi reconfigurată ca o ceaşcă de cafea, creându-se o gropiţă care să fie mărită progresiv, în timp ce se micşorează gaura într-un mâner. Homeomorfismul poate fi considerat cea mai de bază echivalenţă topologică. O alta este echivalenţa omotopică. Dacă două spaţii sunt homeomorfe, atunci acestea au proprietăţi topologice identice şi în consecinţă aceste spaţii sunt considerate a fi topologic identice. Cubul şi sfera sunt homeomorfe, la fel ca şi ceaşca de cafea şi gogoaşa. Dar cercul nu este homeomorf cu gogoaşa. Topologia studiază felul în care figurile pot fi distorsionate într-un spaţiu care se comportă ca un cauciuc. De exemplu, o cană poate fi deformată întrun tor şi invers, un cerc poate fi deformat şi transformat într-un triunghi, triunghiul poate fi deformat până se obţine o insulă Koch. De asemenea, un cerc poate fi transformat într-un pătrat şi invers, aceste forme sunt echivalente din punct de vedere topologic. În topologie nu se face distincţie între un cerc şi un oval, sau între o sferă şi un elipsoid. În topologie, liniile drepte pot fi curbate, dar nu totul poate fi topologic transformat. Intersecţiile dreptelor, de exemplu, sunt invariante: ele nu pot fi distruse şi nici numărul lor nu poate fi modificat. 7

8 8 Topologia generală are drept obiectiv studiul acelor proprietăţi matematice care se păstrează prin deformări continue. În matematică, topologia se ocupă cu studiul proprietăţilor unui obiect geometric care se păstrează în contextul unor deformări continue, cum ar fi întinderea, răsucirea, şi îndoirea, dar nu ruperea sau lipirea. De exemplu, proprietatea unui şir de puncte dintr-o mulţime de a converge la un punct al acelei mulţimi se conservă dacă deformăm mulţimea în mod continuu (adică fără să o rupem). Topologia generală reprezintă ramura topologiei care se ocupă cu definiţiile şi construcţiile teoretice de bază ale mulţimilor utilizate în topologie. Este fundamentul majorităţii celorlalte ramuri ale topologiei, inclusiv topologia diferenţială, topologia geometrică şi topologia algebrică. Topologia generală reprezintă cadrul general în care putem introduce şi studia noţiuni fundamentale în analiza matematică, precum: limită, şir convergent, funcţie continuă etc. şi constituie, în principal subiectul acestei cărţi. În mod informal, o topologie spune cum se raportează spaţial, unele la altele, elementele unei mulţimi. Mai precis, dacă X este o mulţime oarecare, nevidă iar P(X) familia părţilor lui X, atunci τ P(X) se numeşte topologie pe X dacă: 1. Atât mulţimea vidă, cât şi spaţiul X sunt elemente ale lui τ. 2. Orice reuniune de elemente ale lui τ este un element al lui τ. 3. Orice intersecţie finită de elemente ale lui τ este un element al lui τ. Perechea (X, τ) se numeşte spaţiu topologic. Obiectul de bază al studiului îl constituie spaţiile topologice, care sunt mulţimi înzestrate cu o topologie, adică o familie de submulţimi, numite mulţimi deschise, familie care este închisă la intersecţii finite şi la reuniuni oarecare (finite sau infinite). Conceptele fundamentale ale topologiei, cum ar fi continuitatea, compactitatea şi conectivitatea, pot fi definite în termeni de mulţimi deschise. Intuitiv, funcţiile continue într-un punct duc punctele dintr-o vecinătate suficient de mică a punctului respectiv într-o vecinătate oricât de mică a imaginii punctului prin funcţia respectivă. Mulţimile compacte sunt cele care pot fi acoperite de un număr finit de mulţimi oricât de mici. Mulţimile conexe sunt mulţimi care nu pot fi împărţite în două părţi care sunt departe una de alta. Cuvinte ambigue, cum ar fi: în apropiere, oricât de mici, departe, aproape, toate pot fi precizate folosind mulţimi deschise şi implicit, vecinătăţi. Pe un acelaşi spaşiu dat, pot fi definite mai multe topologii şi în raport cu fiecare spaţiul devine un altul, cu proprietăţi distincte. Schimbarea unei topologii constă în schimbarea familiei de mulţimi deschise.

9 În timp ce spaţiile topologice pot fi extrem de variate şi exotice, multe domenii ale topologiei se concentrează asupra unei clase mai familiare de spaţii, cunoscute sub numele de varietăţi. O varietate este un spaţiu topologic care seamănă cu spaţiul euclidian în apropierea fiecărui punct. Mai precis, fiecare punct al unei varietăţi n-dimensionale are o vecinătate care este homeomorfă cu spaţiul euclidian de dimensiune n. Liniile şi cercurile, dar nu cifrele opt, sunt varietăţi unidimensionale. Varietăţile bidimensionale sunt, de asemenea, numite suprafeţe, deşi nu toate suprafeţele sunt varietăţi. Exemple imediate includ planul, sfera şi torul. Continuitatea este un aspect fundamental al lumii reale şi orice studiu aprofundat al continuităţii conduce la topologie. De altfel, aplicaţii ale ideilor topologice apar în domenii diverse, cum ar fi, teoria haosului, teoria cuantică a câmpurilor, biologia moleculară, unde descrierea şi analiza răsucirilor şi deformărilor moleculei de ADN necesită concepte topologice. Mai precis, aşa numita topologie a nodurilor permite înţelegerea modului în care cele două şuviţe spirale care alcătuiesc structura dublu elicoidală a moleculei de ADN se desfac atunci când planul genetic controlează dezvoltarea fiinţei vii. Teoria nodurilor studiază efectele anumitor enzime asupra ADN-ului. Aceste enzime taie, răsucesc şi reconectează ADN-ul, provocând înnodarea cu efecte observabile, cum ar fi electroforeza mai lentă. Topologia este folosită şi în biologia evolutivă pentru a reprezenta relaţia dintre genotip şi fenotip. Formele fenotipice care apar destul de diferite pot fi separate prin doar câteva mutaţii, în funcţie de modul în care modificările genetice cartografiază modificările fenotipice în timpul dezvoltării. În neuroştiinţe, noţiuni topologice precum caracteristica Euler şi numărul Betti au fost utilizate pentru a măsura complexitatea tiparelor de activitate în reţelele neuronale. De asemenea, termenul de topologie este folosit şi pentru desemnarea manierei de proiectare a unei reţele (network topology - topologie de reţea). În acest context, pentru a evidenţia interconexiunile fizice (reale) şi logice (virtuale) dintre noduri, se disting două tipuri corespunzătoare de topologii: una fizică, respectiv, una logică. Topologia fizică a reţelei se referă la configuraţia mediilor de transmisie, a calculatoarelor şi a perifericelor, iar topologia logică reprezintă metoda folosită pentru transferul informaţiilor de la un calculator la altul. Analiza topologică a datelor foloseţte tehnici din topologia algebrică pentru a determina structura pe scară largă a unei mulţimi. Mai multe ramuri ale semanticii limbajului de programare, cum ar fi teoria domeniilor, sunt formalizate folosind topologia. În acest context, Steve Vickers, bazat pe lucrările lui Samson Abramsky şi Michael B. Smyth, caracterizează spaţiile 9

10 10 topologice drept algebre booleene sau Heyting peste mulţimi deschise. De asemenea, topologia joacă un rol fundamental într-o teorie nouă, teoria supercorzilor, în care se consideră că particulele elementare nu sunt particule punctuale, ci corzi vibrante minuscule de energie, închise sau cu capete libere, având dimensiunea aproximativă (de ori mai mică decât a unui proton). Ele vibrează, se răsucesc şi se ondulează în moduri diferite, generând toate particulele elementare. Supercorzile se pot înfăşura sau nu în jurul unei dimensiuni a spaţiului. Fizica supercorzilor, nemaimplicând particule elementare, necesită un nou tip de geometrie, numită geometrie cuantică, care diferă de geometria riemanniană, bazată pe conceptul de distanţă între puncte şi care este fundamentul teoriei lui Einstein. Topologia este relevantă pentru fizică în domenii precum fizica materiei condensate, teoria cuantică a câmpurilor şi cosmologia fizică. Dependenţa topologică a proprietăţilor mecanice în solide este de interes pentru disciplinele inginerie mecanică şi ştiinţa materialelor. Proprietăţile electrice şi mecanice depind de aranjarea şi felul în care se constituie structura de reţea a moleculelor şi unităţilor elementare din materiale. Topologia are de asemenea o importanţă suplimentară în mecanica de contact, unde dependenţa de rigiditate şi frecare asupra dimensionalităţii structurilor de suprafaţă este subiectul de interes pentru aplicaţiile în fizica multi-corp. O teorie topologică a câmpurilor cuantice (sau teoria topologică a câmpurilor) este o teorie cuantică a câmpurilor care calculeazã invarianţe topologice. Cu toate că teoria topologică a câmpurilor a fost introdusă de către fizicieni, ea prezintă, de asemenea, şi interes matematic, fiind legată, printre altele, de teoria nodurilor, de teoria 4-varietăţilor în topologia algebrică. Donaldson, Jones, Witten şi Kontsevich au câştigat medalii Fields pentru lucrări legate de teoria topologică a câmpurilor. Recent, David Thouless, Duncan Haldane şi Michael Kosterlitz au primit Premiul Nobel pentru fizică în 2016 pentru studiile lor asupra stărilor exotice ale materiei. Au fost inspiraţi de observaţia conform căreia unele materiale au proprietăţi electrice neobişnuite, iar investigaţiile lor i-au condus la topologie. Topologia operează în toate dimensiunile, dar fizica este în cea mai mare parte preocupată de universul nostru tridimensional. Când studiem proprietăţile electrice ale materialelor, ne ocupăm cu siguranţă de trei dimensiuni. Chiar şi un fir subţire posedă lungime, lăţime şi înălţime. Pentru un conductor electric fix, de exemplu un fir de cupru, este posibil de obicei să se determine relaţia dintre tensiunea plasată pe fir şi curentul care curge. Uneori, însă, materialele se confruntă cu o tranziţie de fază electrică (de exemplu,

11 supraconductivitatea, care se obţine prin scăderea temperaturii materialului) şi în acest caz ecuaţiile obişnuite care descriu tensiunea şi curentul nu mai sunt valabile. Thouless, Haldane şi Kosterlitz au descoperit că, din punct de vedere matematic, aceste tranziţii corespund unei schimbări abrupte a caracterului topologic al materialului. Cu siguranţă, anumite pelicule subţiri pot fi considerate ca fiind bidimensionale (ne putem imagina, de exemplu, o suprafaţă care are doar un atom grosime) şi curentul electric curge adesea pe canale de pe suprafaţă cu rezistenţă scăzută. Prin urmare, există puncte în care electronii curg într-o mişcare circulară, uneori în sensul acelor de ceasornic şi alteori în sensul invers acelor de ceasornic, iar numărul de astfel de puncte se poate modifica pe măsură ce materialul suferă o tranziţie de fază. Topologia a oferit instrumente în fizică şi în alte moduri, cum ar fi dezvoltarea teoriilor de câmp cuantic topologic. Teoria stringurilor este o generalizare a acestei idei în care particulele sunt modelate de obiecte unidimensionale numite stringuri. Aceste teorii, spre deosebire de spaţiul în patru dimensiuni al lui Einstein, necesită dimensiuni suplimentare pentru a fi consecvente, de exemplu, pot fi 10, 11 sau 26 de dimensiuni, în funcţie de modelul care se preferă. De ce nu pot fi observate aceste dimensiuni? Răspunsul cel mai des întâlnit este acela că aceste dimensiuni sunt mici şi se încolăcesc în ele însele, astfel încât nu sunt observabile. Aceste dimensiuni suplimentare formează un tip de spaţiu numit varietate Calabi-Yau. Clasificarea topologică a varietăţilor Calabi-Yau are aşadar implicaţii importante în teoria stringurilor, deoarece diferite varietăţi pot susţine teoretic diferite tipuri de stringuri. Aşadar, o mare parte din fizica teoretică se bazează pe concepte matematice sofisticate. Folosind idei din topologie, geometrie algebrică şi algebră abstractă, ecuaţii diferenţiale şi probabilităţi, fizicienii încearcă să dea sens universului nostru. Deşi matematica nu are propriul premiu Nobel, multe dintre progresele semnificative din alte discipline nu ar fi fost posibile fără dezvoltarea unui aparat matematic sofisticat care să ofere un limbaj adecvat (de exemplu, principiul incertitudinii al lui Heisenberg). În cele din urmă, descoperirile făcute de Thouless, Haldane şi Kosterlitz au condus la construirea de dispozitive practice utilizate în prezent în industrie (de exemplu, hard disk-uri eficiente în computere) şi pot duce în continuare la progrese în calculul cuantic. Înţelegerea modului în care electronii se mişcă în materiale este crucială pentru construirea de computere şi instrumente mai performante. 11

12 12 În cosmologie, topologia poate fi utilizată pentru a descrie forma de ansamblu a universului. Acest domeniu de cercetare este cunoscută ca topologie spaţiu-timp. În robotică, poziţiile posibile ale unui robot pot fi descrise de o varietate numită spaţiu de configurare. În zona de planificare a mişcării, se pot găsi drumuri între două puncte din spaţiul de configurare. Aceste căi reprezintă o mişcare a îmbinărilor robotului şi a altor părţi în poziţia doritã. Nu în ultimul rând, şi în artă, pentru a crea o îmbinare continuă de piese într-o construcţie modulară, este necesarã crearea unei căi continue într-o ordine care înconjoară fiecare piesă şi traversează fiecare muchie o singură dată. Această carte este structurată pe trei capitole precum şi o anexă, după cum urmează: În primul capitol, sunt prezentate pricipalele noţiuni şi rezultate teoretice din teoria generală a topologiei. Al doilea capitol este format din o serie de probleme rezolvate în detaliu, probleme ce reprezintă aplicaţii ale teoriei prezentate în primul capitol. Al treilea capitol este dedicat unui studiu ce vizează problemele din fizica teoretică, în care intervin elemente de topologie. Cartea se încheie cu o anexă conţinând rezultate de bază din teoria spaţiilor metrice.

13 Capitolul 1 Elemente de topologie. Noţiuni teoretice În acest capitol, prezentăm principalele noţiuni şi rezultate teoretice din teoria topologiei generale. 1.1 Elemente de topologie generală Definiţie. Fie X o mulţime oarecare nevidă. I) O familie τ P(X) se spune că este o topologie pe X dacă sunt îndeplinite următoarele condiţii: i) {D i } i I τ, rezultă că i I D i τ; ii) D 1, D 2 τ, rezultă că D 1 D 2 τ (această proprietate se extinde uşor prin inducţie la un număr finit de mulţimi); iii) X, τ. II. Cuplul (X, τ) se numeşte spaţiu topologic. III. Elementele lui τ se numesc mulţimi deschise sau deschişi. Prin urmare, într-o topologie, orice reuniune de deschişi este o mulţime deschisă şi orice intersecţie finită de deschişi este o mulţime deschisă. Exemple de topologii. I. 1) Se constată cu uşurinţă că dacă X = {a, b, c, d}, atunci τ 1 = {X,, {a}, {b}, {c, d}, {b, c, d}} 13

14 14 nu este o topologie, dar τ 2 = {X,, {a, b}, {b, c}, {b}, {a, b, c}, {b, c, d}} este o topologie pe mulţimea X. 2) Dacă X = {a, b, c, d, e}, atunci τ = {X,, {a}, {a, b}, {a, c, d}, {a, b, c, d}, {a, b, e}} este o topologie pe mulţimea X. 3) Dacă X = N, atunci este o topologie pe N. τ = {{n, n + 1, n + 2,...}} n N { } II. Fie X o mulţime oarecare nevidă. 1) τ = {X, } este cea mai grosieră topologie care se poate introduce pe mulţimea X, numită topologia nondiscretă. 2) τ = P(X)(= {A X}) este cea mai amplă (fină) topologie care se poate introduce pe mulţimea X, numită topologia discretă. 3) Dacă A X este o mulţime nevidă arbitrară, atunci τ = {X,, A, ca} este o topologie pe X. 4) τ = {A X; ca este finită} { } este o topologie pe X numită topologia cofinită. 5) Dacă X este mulţime infinită, atunci τ = {A X; ca este numărabilă} { } este o topologie pe X numită topologia conumărabilă.

15 Pe o mulţime oarecare nevidă se pot introduce în general mai multe topologii şi în raport cu fiecare, spaţiul devine un altul, cu proprietăţi distincte. IV) O mulţime A (X, τ) se numeşte mulţime închisă dacă ca τ (adică ca este deschisă). Observaţie. Datorită relaţiilor lui de Morgan, orice intersecţie de închişi este un închis, orice reuniune finită de închişi este un închis şi X, sunt mulţimi închise: Într-adevăr, dacă I este familia mulţimilor închise, atunci: i) {I j } j J I, rezultă că I j I. j J Într-adevăr, c( I j ) = ci j τ; j J j J }{{} τ ii) I 1, I 2 I, rezultă că I 1 I 2 I. Într-adevăr, c(i 1 I 2 ) = ci 1 ci 2 τ; τ τ iii) cx =, c = X, deci X, I. Definiţie. O mulţime A (X, τ) se numeşte de tip: i) G δ dacă se poate reprezenta ca o intersecţie numărabilă de mulţimi deschise; 15 ii) F σ închise. dacă se poate reprezenta ca o reuniune numărabilă de mulţimi Exemple de topologii. I. Fie (X, d) un spaţiu metric oarecare. Pentru x X, fie sfera deschisă centrată în x şi de rază r, S(x, r) = {y X; d(x, y) < r} şi fie τ d, familia tuturor mulţimilor deschise din (X, d), adică τ d = {D X; x D, S(x, r) D} { } (numită topologia indusă de metrica d pe X). Atunci τ d este o topologie veritabilă pe X. În particular, dacă X = R n (n 1) şi d este metrica euclidiană pe n R n : x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n, d(x, y) = (x i y i ) 2, atunci τ d = τ 0 = τ u = {D R n ; x D, S(x, r) D} { } se numeşte topologia uzuală (obişnuită) (naturală) a lui R n. i=1

16 16 În particular, dacă X = R iar d este metrica indusă de modul: x, y R, d(x, y) = x y, atunci τ d = τ 0 = τ u = {D R; x D, (x r, x + r) D} { }. II. Fie X. i) Clasa τ = {X, } este o topologie pe X, numită topologia nondiscretă (grosieră) pe X. Clasa τ = P(X) este o topologie pe X, numită topologia discretă pe X. Amintim că dacă d 0 este metrica discretă pe X ( x, y X, d 0 (x, y) = { 1, x y 0, x = y ), atunci τ d 0 (topologia indusă de metrica discretă) este chiar P(X) (topologia discretă). Evident, în această topologie, orice mulţime este simultan deschisă şi închisă. III. Dacă X, atunci τ 0 = {A X; ca finită} { } este o topologie, numită topologia cofinită. IV. Dacă X este o mulţime infinită, atunci τ c = {A X; ca cel mult numărabilă} { } este o topologie, numită topologia conumărabilă. Definiţie. i) Dacă X şi τ 1, τ 2 sunt două topologii diferite pe X, spunem că τ 1 este mai puţin fină decât τ 2 (sau τ 2 este mai fină decât τ 1 ) dacă τ 1 τ 2. Notăm aceasta prin τ 1 τ 2. ii) Spunem că τ 1 este strict mai puţin fină decât τ 2 (sau τ 2 este strict mai fină decât τ 1 ) dacă τ 1 τ 2 şi τ 1 τ 2. τ 1 = τ 2 τ 1 τ 2 şi τ 2 τ 1. Observaţie. Relaţia de fineţe este o relaţie de ordine parţială pe familia topologiilor pe o mulţime X (este reflexivă (τ τ, τ), antisimetrică (τ 1 τ 2 şi τ 2 τ 1 τ 1 = τ 2 ) şi tranzitivă (τ 1 τ 2 şi τ 2 τ 3 τ 1 τ 3 ). Întrucât relaţia de fineţe este introdusă cu ajutorul incluziunii, nu este în general o relaţie de ordine totală (nu orice două topologii sunt comparabile). Evident, aşa cum am observat deja, topologia nondiscretă este cea mai puţin fină topologie, iar topologia discretă este cea mai fină topologie pe X.

17 Definiţie. Fie (X, τ) un spaţiu topologic oarecare şi fie x X. O mulţime V X se numeşte vecinătate a lui x dacă există mulţime deschisă D (adică D τ) astfel ca x D V. Prin urmare, în definiţia noţiunii de vecinătate a unui punct într-un spaţiu topologic, locul sferelor deschise din spaţii metrice este luat de mulţimile deschise. Mulţimea V(x) a tuturor vecinătăţilor lui x se numeşte sistemul (familia) vecinătăţilor punctului x. Definiţie. Fie (X, τ) un spaţiu topologic oarecare şi fie A X. O mulţime V X se numeşte vecinătate a mulţimii A dacă există o mulţime D τ astfel ca A D V. Teoremă. Fie (X, τ) un spaţiu topologic oarecare. Atunci o mulţime nevidă D este deschisă dacă şi numai dacă D este vecinătate pentru orice punct al său. Demonstraţie. Necesitatea. Fie D o mulţime deschisă nevidă. x D, avem x D D şi cum D τ rezultă că D V(x). Suficienţa. Fie D o mulţime nevidă a lui X care este vecinătate pentru orice punct al său. Atunci x D, D x τ, x D x D. Prin urmare, D = {x} D x D, deci D = D x, ceea ce înseamnă că D x D x D x D este deschisă (din definiţia unei topologii, orice reuniune de deschişi este un deschis). Teoremă (de structură a mulţimilor deschise din (R, τ u )). O mulţime nevidă D τ u, D R este deschisă dacă şi numai dacă se poate reprezenta ca o reuniune cel mult numărabilă de intervale deschise, nevide (de forma (a, b), a, b R, (, a), a R, (b, + ), b R) şi disjuncte două câte două, iar această reprezentare este unică până la ordinea termenilor reuniunii. 17 Proprietăţi ale sistemului de vecinătăţi ale unui punct V 1 ) V V(x), U V, rezultă că U V(x); Prin urmare, orice supramulţime a unei vecinătăţi a unui punct este de asemenea vecinătate a punctului;

18 18 V 2 ) V 1, V 2 V(x), rezulă că V 1 V 2 V(x); Prin urmare, orice intersecţie finită de vecinătăţi ale unui punct este vecinătate a punctului; V 3 ) V V(x) x V ; V 4 ) V V(x), W V(x) astfel ca y W, avem V V(y). Demonstraţie. V 1 ) Deoarece V V(x), D τ astfel ca x D V. Atunci cu atât mai mult x D V U. V 2 ) Întrucât V 1 V(x), D 1 τ astfel ca x D 1 V 1. Analog, deoarece V 2 V(x), D 2 τ astfel încât x D 2 V 2. Atunci D = D 1 D 2 ( τ), x D V 1 V 2, de unde V 1 V 2 V(x). V 3 ) Deoarece V V(x), D τ astfel ca x D V. V 4 ) Întrucât V V(x), D τ aşa încât x D V. Deci există W = D( V(x)). Fie y W (= D τ), arbitrar. Atunci conform teoremei anterioare, W V(y). Prin urmare, y D = W V şi cum W V(y) rezultă că V V(y). Teoremă. Fie X. Presupunem că x X, V(x) ce satisface proprietăţile V 1 ) V 4 ). Atunci există o unică topologie τ pe X în raport cu care pentru fiecare punct x X, V(x) este sistemul vecinătăţilor lui x. Demonstraţie. Fie X şi presupunem că x X, V(x) ce satisface proprietăţile V 1 ) V 4 ). Fie τ = {D X; x D, D V(x)} { }. Arătăm că τ este o topologie pe X : 1) Fie {D i } i I τ, oarecare. Arătăm că D = D i τ : i I Dacă D =, atunci D τ. Dacă D, atunci x D, D i0 astfel ca x D i0, deci, din definiţia lui τ, D i0 V(x) şi cum x D i0 D, cu atât mai mult D V(x), deci D τ. 2) Fie D 1, D 2 τ. oarecare. Arătăm că D = D 1 D 2 τ : Dacă D =, atunci D τ. Dacă D, atunci x D, avem x D 1 şi x D 2 de unde, din definiţia lui τ, D 1 V(x) şi D 2 V(x), deci D = D 1 D 2 V(x). Prin urmare, D τ. 3) Evident, X, τ. Deci (X, τ) este spaţiu topologic. Pentru x X, fie Ṽ(x), sistemul tuturor vecinătăţilor lui x în raport cu topologia τ.

19 Arătăm că Ṽ(x) = V(x) : Ṽ(x) V(x) : V Ṽ(x), rezultă din definiţie că D τ, x D V. Prin urmare, D V(x) şi cum V D, rezultă că V V(x). V(x) Ṽ(x) : V V(x), fie V 0 = {y X; V V(y)}. Evident, x V 0 V. Arătăm că V 0 τ (va rezulta atunci că V Ṽ(x)). Fie y V 0. Atunci V V(y) şi din V 4 ), W V(y) astfel ca z W, V V(z). Prin urmare, W V 0 şi cum W V(y), obţinem că V 0 V(y), ceea ce arată că într-adevăr V 0 τ. Să arătăm acum unicitatea topologiei. Presupunem că σ este o altă topologie pe X pentru care V σ (x) (sistemul tuturor vecinătăţilor lui x în raport cu topologia σ) = V(x), x X. Atunci o mulţime nevidă D este deschisă în topologia σ dacă şi numai dacă D V σ (x)(= V(x)), x X, adică, dacă şi numai dacă D este deschisă în topologia τ. Cu alte cuvinte, D σ dacă şi numai dacă D τ, ceea ce înseamnă că σ = τ. Prin urmare, τ este unica topologie pe X pentru care x X, V(x) este sistemul vecinătăţilor lui x. Definiţie. Fie (X, τ) un spaţiu topologic, x X, V(x) sistemul vecinătăţilor lui x. O clasă U(x) P(X) se numeşte sistem fundamental de vecinătăţi ( sau bază locală) pentru x dacă: i) U(x) V(x); ii) V V(x), U U(x) aşa ca U V. Practic, un sistem fundamental de vecinătăţi pentru un punct este format din vecinătăţi oricât de mici ale punctului. Exemplu. Dacă (X, d) este un spaţiu metric oarecare iar τ d este topologia indusă de metrica d, atunci x X, U(x) = {S(x, r)} r>0 formează un sistem fundamental de vecinătăţi iar U(x) = {S(x, 1 )} n n N formează un sistem fundamental numărabil de vecinătăţi. 19 Definiţie. Spunem că un spaţiu topologic satisface axioma C 1 (sau axioma I a numărabilităţii) dacă pentru orice punct din spaţiu se poate indica un sistem fundamental numărabil de vecinătăţi. De exemplu, orice spaţiu metric satisface axioma I a numărabilităţii.

20 20 Puncte interioare. Puncte aderente. Puncte de acumulare Definiţie. Fie (X, τ) un spaţiu topologic. Un punct x A se numeşte punct interior lui A dacă A V(x). Totalitatea punctelor interioare se notează prin A sau inta şi se numeşte interiorul lui A. Proprietăţi. i) A A, A X; ii) A B A B; iii) A B = iv) A B A B, A, B X; A B, A, B X; Observaţie. Incluziunea poate fi strictă: A = [0, 1), B = [1, 2], A = (0, 1), B = (1, 2),  B = (0, 2) (0, 1) (1, 2); v) A = D (interiorul unei mulţimi A este cea mai amplă mulţime D τ d,d A (în sensul incluziunii) deschisă conţinută în A); vi) A este mulţime deschisă; vii) A este mulţime deschisă dacă şi numai dacă A = A. Demonstraţie. i) Afirmaţia este imediată. ii) x A, rezultă că A V(x), deci pentru B (X, d), cu B A, avem B V(x), deci x B. iii) Conform cu ii),  B A şi  B B, deci  B A B. Pentru incluziunea inversă, x A B, rezultă că A V(x) şi B V(x), deci A B V(x), ceea ce înseamnă că x  B. iv) Afirmaţia rezultă imediat aplicând ii). v) Necesitatea. Din i), A A. Pentru incluziunea inversă, deoarece A este mulţime deschisă, rezultă că x A, avem A V(x), adică x A, deci A A. Suficienţa. Deoarece A = A, aceasta înseamnă că x A, avem x A, adică A V(x), deci A este deschisă.

21 21 vi) Necesitatea. x A, r > 0 aşa ca x S(x, r) A, deci x D (S(x, r) τ d). D τ d,d A Suficienţa. x D, D 0 τ d, D 0 A astfel ca x D 0, deci D τ d,d A D 0 V(x). Cum D 0 A, obţinem că A V(x), deci x A. Observaţie. Dacă X este o mulţime nevidă oarecare se poate defini aplicaţia ϕ : P(X) P(X), cu proprietăţile: i) A X, ϕ(a) A; ii) A, B X, ϕ(a B) = ϕ(a) ϕ(b); iii) ϕ(x) = X; iv) A X, ϕ(ϕ(a)) = ϕ(a). ϕ este un operator topologic, numit operator interior. Există o unică topologie τ pe X pentru care interiorul în această topologie să coincidă cu operatorul ϕ : τ = {A X; A = ϕ(a)}. Definiţie. Fie (X, τ) un spaţiu topologic. Un punct x X se numeşte punct aderent lui A dacă V V(X), V A. Totalitatea punctelor aderente se notează prin A şi se numeşte aderenţa (închiderea) lui A. Teoremă. Dacă (X, τ) este un spaţiu topologic, x X este oarecare iar U(x) este un sistem fundamental de vecinătăţi pentru x, atunci x A dacă şi numai dacă U U(X), U A. Teoremă (relaţiile (duale) de legătură între interior şi aderenţă). i) c(a) = ĉa (complementara aderenţei este interiorul complementarei); ii) c( A) = ca (complementara interiorului este aderenţa complementarei). Demonstraţie. i) x c(a) dacă şi numai dacă x / A ceea ce înseamnă că ε 0 > 0 aşa ca S(x, ε 0 ) A =, adică, echivalent, ε 0 > 0 aşa ca S(x, ε 0 ) ca x ĉa. ii) Se poate proceda analog analog sau putem observa că c(ca) = A, adică, echivalent, c( A) = ca. ĉca =

22 22 Propoziţie. (proprietăţi ale aderenţei unei mulţimi) i) A A, A (X, d); ii) A B, A, B (X, d), cu A B; iii) A B = A B, A, B (X, d); iv) A B A B, A, B (X, d); v) Mulţimea A este mulţime închisă dacă şi numai dacă A = A; vi) A = cf τ d,f A F (aderenţa unei mulţimi A este cea mai mică mulţime (în sensul incluziunii) închisă care conţine A). Demonstraţie. i) Afirmaţia este imediată. ii) x A, rezultă că V V(x), avem V A, deci cu atât mai mult vom avea V B, ceea ce înseamnă că x B. ĉa ĉb c(a B) = c(a B) = ca cb = c(a B), iii) ca cb = deci concluzia. iv) Afirmaţia este imediată aplicând ii). v) Mulţimea A este închisă dacă şi numai dacă ca este deschisă, adică ca = ĉa = ca, de unde concluzia. vi) Deoarece A A şi ca τ d, rezultă că F A. cf τ d,f A Pentru incluziunea inversă, observăm că F A, cu cf τ d, avem F = F A, deci A F. cf τ d,f A ( ca(= ca) se numeşte exteriorul lui A). Observaţie. Dacă X este o mulţime nevidă oarecare se poate defini aplicaţia ϕ : P(X) P(X), cu proprietăţile: i) A X, ϕ(a) A; ii) A, B X, ϕ(a B) = ϕ(a) ϕ(b); iii) ϕ( ) = ; iv) A X, ϕ(ϕ(a)) = ϕ(a). ϕ este un operator topologic, numit operator de închidere. Există o unică topologie τ pe X pentru care aderenţa în această topologie să coincidă cu operatorul ϕ : τ = {A X; ca = ϕ(ca)}. Definiţie. O mulţime A (X, τ) se numeşte rară dacă A =.

23 Definiţie. O mulţime A (X, τ) se numeşte: i) de prima categorie dacă se poate reprezenta ca o reuniune numărabilă de mulţimi rare; ii) de categoria a doua dacă nu este de prima categorie. Complementara unei mulţimi de prima categorie se numeşte un rezidual. Definiţie. Fie (X, τ) un spaţiu topologic. i) O mulţime A X se numeşte densă (în X) dacă A = X. ii) (X, τ) se numeşte spaţiu separabil (sau de tip numărabil) dacă există o mulţime A X numărabilă şi densă în X. Exemple. i) (R, τ 0 ) este spaţiu separabil: Q R numărabilă şi densă în R. Mai general, (R n, τ 0 ) este spaţiu separabil: Q n R n numărabilă şi densă în R n. ii) Fie C([a, b]) = {f : [a, b] R; f continuă pe [a, b]} şi : C([a, b]) R +. f = sup f(x), f C([a, b]), numită norma uniformă (norma Cebâşev). x [a,b] Atunci (C([a, b]), ) este spaţiu separabil. Definiţie. Fie (X, τ) un spaţiu topologic şi A X oarecare. i) Numim frontiera lui A, notată F ra = A\ A(= A ca). ii) Un punct x X se numeşte punct de acumulare pentru A dacă V V(X), (V \{x}) A. Totalitatea punctelor de acumulare se notează prin A mulţimea derivată lui A. 23 şi se numeşte iii) Un punct x A se numeşte punct izolat al mulţimii A dacă nu este punct de acumulare pentru A, adică V 0 V(x), V 0 A = {x}. iv) O mulţime închisă care nu are puncte izolate se numeşte mulţime perfectă. Teoremă. Fie (X, τ) un spaţiu topologic şi A X o mulţime oarecare. Atunci: i) A = A\F ra; ii) A = A F ra.

24 24 Demonstraţie. i) A\F ra = A c(a c A) = A [ca A] = (A ca) (A A) = (A\A) A = A. ii) A F ra = A [A c A] = (A A) (A c A) = A X = A. Propoziţie. Fie (X, τ) un spaţiu topologic şi A X o mulţime oarecare. Atunci: i) F ra este mulţime închisă; ii) F ra = F r(ca). Demonstraţie. i) Afirmaţia rezultă imediat din definiţia frontierei, ca intersecţie de mulţimi închise. ii) F ra = A ca = ca A = ca cca = F r(ca). Teoremă. Dacă (X, τ) este un spaţiu topologic, x X este oarecare iar U(x) este un sistem fundamental de vecinătăţi pentru x, atunci x A dacă şi numai dacă U U(x), (U\{x}) A. Proprietăţi. Fie (X, τ) un spaţiu topologic şi A, B X mulţimi oarecare. Atunci: i) A A; ii) A B A B ; iii) A B = (A B) ; iv) A = A A. Demonstraţie. i) Afirmaţia este evidentă. ii) x A, rezultă că V V(x), [V \{x}] A, deci cu atât mai mult vom avea [V \{x}] B, ceea ce înseamnă că x B. iii) Datorită ii), obţinem imediat că A B (A B). Pentru incluziunea inversă, pentru x (A B) avem că pentru V V(x), [V \{x}] A] [V \{x}] B], ceea ce înseamnă că [V \{x}] A sau [V \{x}] B (deci x A B ) (într-adevăr, dacă presupunem prin reducere la absurd că V 1 V(x) astfel ca [V 1 \{x}] A = şi V 2 V(x) astfel ca [V 2 \{x}] B =, atunci pentru V = V 1 V 2 se obţine imediat contradicţia). iv) A A şi A A, deci A A A. Pentru incluziunea inversă, fie x A, oarecare. Dacă x A, atunci x A A. Dacă x / A, cum x A, rezultă că pentru orice V V(x), [V \{x}] A, ceea ce înseamnă că x A, deci x A A.

25 Definiţie. Fie (X, τ) un spaţiu topologic oarecare. Topologia τ se numeşte metrizabilă dacă există o metrică d pe X astfel ca τ = τ d. Exemple. Pe orice mulţime nevidă X se pot defini următoarele două metrici: d 0 {, d 1 : X X R +, d 0 (x, y) = 0 (metrica nulă), x, y X şi 0, x = y d 1 (x, y) =, x, y X (metrica discretă). 1, x y τ d0 = {X, } (topologia non-discretă), τ d1 = P(X) (topologia discretă). Aşadar, ambele topologii, şi cea discretă şi cea non-discretă sunt metrizabile. 25 Bază pentru o topologie Definiţie. Fie (X, τ) un spaţiu topologic oarecare. I) O familie B P(X) se numeşte bază pentru topologia τ dacă: i) B τ; ii) D τ, (B i ) i I B, D = i I B i. II) Spunem că (X, τ) satisface axioma a doua a numărabilităţii (sau axioma C 2 ) dacă pentru τ se poate indica o bază numărabilă (B n ) n N. Exemple. I) Dacă (X, d) este un spaţiu metric, atunci B = {S(x, r)} r>0 este o bază pentru τ d, topologia indusă de metrica d. Într-adevăr, i) B τ d ; ii) D τ d, (B i ) i I B, D = B i : i I Întrucât D τ d, x D, S(x, r x ) D. Atunci D = {x} S(x, r x ) x D x D D, de unde D = S(x, r x ). x D II) Dacă (X, P(X)) (o mulţime oarecare înzestrată cu topologia discretă), atunci B = {{a}; a X} este o bază pentru această topologie. Într-adevăr, i) B P(X); ii) D P(X) (adică D X), D = d D {d}.şi d D, {d} B. III) Fie (R, τ u ). Atunci B = {(p, q) R; p, q Q, p < q} este o bază pentru τ u. Într-adevăr, i) B τ u ;

26 26 ii) D τ u, D se poate exprima ca o reuniune cel mult numărabilă de intervale deschise de forma (a, b) şi, la rândul său, orice astfel de interval (a, b) = (p, q). p,q Q,a<p<q<b În plus, familia B este numărabilă, deci (R, τ u ) satisface axioma a doua a numărabilităţii. Teoremă (de caracterizare). Fie (X, τ) un spaţiu topologic. O familie B τ este o bază pentru topologia τ dacă şi numai dacă x X, clasa B x = {B X; B B, x B} formează un sistem fundamental de vecinătăţi (bază locală) pentru x. Demonstraţie. Necesitatea. Presupunem că B este bază pentru τ şi arătăm că x X, B x = {B X; B B, x B} formează un sistem fundamental de vecinătăţi pentru x. Într-adevăr, i) B x V(x) : B B x B B( τ), x B. Deci B τ, x B, ceea ce înseamnă că B V(x). ii) V V(x), B 0 B(x) aşa ca B 0 V : V V(x), D τ, x D V. Întrucât B este bază pentru τ, (B i) i I B astfel ca D = B i. Cum i I x D, i0 I astfel încât x B i0 D V, B i0 B(x). B i0 este atunci B 0 căutată. Suficienţa. Presupunem că x X, B x = {B X; B B, x B} formează un sistem fundamental de vecinătăţi pentru x şi arătăm că B este bază pentru τ. Într-adevăr, deoarece B τ (din ipoteză), rămâne să arătăm că D τ, (B i ) i I B, D = B i : i I Fie deci D τ oarecare. Din presupunerea făcută, x D, B x este sistem fundamental de vecinătăţi pentru x. Cum x D şi D τ, rezultă că D V(x), deci B x B x încât B x D. Deoarece B x B x, avem că B x B, x B x. Prin urmare, D = {x} B x D, de unde x X x X D = B x, (B x ) x X B. Atunci (B i ) i I = (B x ) x X. x X Teoremă (de caracterizare). Fie (X, τ) un spaţiu topologic. O familie B τ este o bază pentru topologia τ dacă şi numai dacă B 1, B 2 B, x B 1 B 2, B B, x B B 1 B 2. Propoziţie. Fie (X, τ) un spaţiu topologic. Dacă (X, τ) satisface axioma C 2, atunci satisface şi axioma C 1 (C 2 C 1 ).

27 Demonstraţie. Fie B = {B 1, B 2,..., B n,...} o bază numărabilă pentru τ. Fie x X oarecare. Vom arăta că pentru x există un sistem fundamental numărabil de vecinătăţi. Definim V 0 (x) = {B n B; x B n }. Arătăm că V 0 (x) este sistem fundamental (numărabil) de vecinătăţi pentru x. Într-adevăr, deoarece B τ şi V 0 (x) B, V 0 (x) este format din mulţimi deschise ce conţin pe x şi deci V 0 (x) V(x). Apoi, V V(x), D τ, x D V. Întrucât B este bază pentru τ, N 0 N astfel ca D = B n. n N0 Deoarece x D, n 0 N 0 astfel ca x B n0 D V, deci B n0 V 0 (x). Astfel, V 0 (x) este sistem fundamental (numărabil) de vecinătăţi pentru x, deci (X, τ) satisface axioma C 1. Propoziţie. Fie (X, τ) un spaţiu topologic. Dacă (X, τ) satisface axioma C 2, atunci este separabil (C 2 spaţiu separabil). Demonstraţie. Deoarece (X, τ) satisface axioma C 2, B = {B n } n o bază pentru τ. Considerăm mulţimea A = {x n ; x n B n } n N (mulţime numărabilă) şi vom arăta că A = X (A este densă în X). Presupunem prin reducere la absurd că A X, deci ca şi cum ca τ iar B este bază pentru τ, N 0 N astfel ca ca = B n ( ). n N0 Fie A 0 = {x n ; x n B n } n N0. Deci A 0, A 0 A A, A 0 ca, de unde A 0 A ca =, ceea ce este fals. Observaţie. Reciproca afirmaţiei precedente nu este în general adevărată: există spaţii topologice separabile care nu satisfac axioma C 2. Teoremă. Orice spaţiu metric separabil satisface axioma C 2 (spaţiu metric separabil C 2 ). Demonstraţie. Fie (X, d) un spaţiu metric şi τ d topologia indusă de metrica d. Întrucât (X, d) este separabil, A = {x n} n N o mulţime numărabilă şi densă în X. Fie B = {S(x n, 1); n N, k k N }( τ d ). Evident, familia B este numărabilă. Rămâne să arătăm că D τ d, D se poate reprezenta ca o reuniune de mulţimi din B: D τ d, D, x D, S(x, ε 0 ) D. Evident, r 0 Q astfel ca 0 < r 0 < ε 0. Cum x X = A, n 0 N astfel ca d(x, x n0 ) < r. Evident, S(x 2 n 0, r ) B 2 şi y S(x n0, r ), avem d(x, y) d(x, x 2 n 0 ) + d(x n0, y) < r + r = r < ε, deci 2 2 x S(x n0, r ) S(x, ε 2 0) D. 27

28 28 Astfel, am arătat că x D, B x = S(x n0, r ) B aşa încât x B 2 x D. De aici, D = {x} B x D, ceea ce antrenează D = B x. În x D x D x D consecinţă, D se exprimă ca reuniune de mulţimi din B, deci B este baza numărabilă pentru τ d. Consecinţă. Prin urmare, orice spaţiu metric separabil satisface axioma C 2 şi, la rândul său, orice spaţiu topologic satisfăcând axioma C 2 este spaţiu separabil. Prin urmare, un spaţiu metric (X, d) este separabil dacă şi numai dacă topologia τ d admite o bază numărabilă (satisface axioma C 2 ). Exemplu. Spaţiul (C([a, b]), τ u ) satisface C 2. Funcţii continue Definiţie. Fie (X, τ) şi (Y, σ) două spaţii topologice. Spunem că o funcţie f : (X, τ) (Y, σ) este: i) continuă într-un punct x 0 X dacă V V σ (f(x 0 )), U V τ (x 0 ) astfel ca f(u) V. ii) continuă (global) pe X dacă este continuă în orice punct din X. Teoremă. f : (X, τ) (Y, σ) este continuă în x 0 X dacă şi numai dacă V V σ (f(x 0 )), f 1 (V ) V τ (x 0 ) ( f întoarce vecinătăţi din (Y, σ) în vecinătăţi din (X, τ)). Demonstraţie. Necesitatea. Presupunem că f este continuă în x 0 X. Fie V V σ (f(x 0 )) oarecare. atunci conform definiţiei anterioare U V τ (x 0 ) astfel ca f(u) V, de unde U f 1 (V ). Cum U V τ (x 0 ) rezultă că f 1 (V ) V τ (x 0 ). Suficienţa. Fie V V σ (f(x 0 )) oarecare. Atunci, conform ipotezei, f 1 (V ) V τ (x 0 ). Există atunci U V τ (x 0 ) astfel încât U f 1 (V ), ceea ce implică f(u) V. Teoremă. Fie f : (X, τ) (Y, τ ) şi g : (Y, τ ) (Z, τ ). Dacă f este continuă în x 0 X iar g este continuă în y 0 = f(x 0 ), atunci g f : (X, τ) (Z, τ ) este continuă în x 0.

29 Demonstraţie. Fie V V τ (g f)(x 0 )(= V τ (g(f(x 0 )) = V τ (g(y 0 ))) oarecare. Trebuie să arătăm că (g f) 1 (V ) V τ (x 0 ). Într-adevăr, deoarece g este continuă în y 0, avem g 1 (V ) V τ (f(x 0 ))(= V τ (y 0 )) iar cum (g f) 1 (V ) = f 1 (g 1 (V )) şi f este continuă în x 0, rezultă concluzia. Corolar. Fie f : (X, τ) (Y, τ ) şi g : (Y, τ ) (Z, τ ). Dacă f este continuă pe X iar g este continuă pe Y, atunci g f : (X, τ) (Z, τ ) este continuă pe X. Teoremă (de caracterizare a continuităţii globale). Fie f : (X, τ) (Y, σ). Următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) f este continuă pe X; ii) A X, f(a) f(a); iii) Fînchisă în (Y, σ), f 1 (F )închisă în (X, τ) (adică f întoarce închişi în închişi); iv) D σ (adică D deschisă în (Y, σ)), f 1 (D) τ (adică f 1 (D) deschisă în (X, τ)) (adică f întoarce deschişi în deschişi). Demonstraţie. i) ii): Fie A X oarecare. Arătăm că f(a) f(a) : Pentru aceasta, fie y f(a) oarecare. atunci x A astfel ca y = f(x). Arătăm că y f(a). Într-adevăr, V V(y) = V(f(x)), cum f este continuă în x, rezultă că f 1 (V ) V(x) şi cum x A, obţinem că A f 1 (V ). Există aşadar x A şi x f 1 (V ), de unde f(x ) V f(a), deci V f(a), ceea ce antrenează că y f(a). ii) iii): Fie Fînchisă în (Y, σ) oarecare şi fie A = f 1 (F ). Arătăm că A este închisă, adică, echivalent, că A = A. Deoarece întotdeauna A A, este suficient să arătăm că A A : Aplicăm mulţimii A = f 1 (F ) presupunerea ii). Atunci f(f 1 (F )) f(f 1 (F )) F = F, de unde A = f 1 (F ) f 1 (F ) = A. iii) iv): D σ, rezultă că cd este închisă în (Y, σ) şi atunci conform presupunerii iii), f 1 (cd) este închisă în (X, τ). Deoarece f 1 (cd) = cf 1 (D) obţinem în final că f 1 (D) este deschisă, adică f 1 (D) τ. iv) i): Fie x 0 X oarecare. Arătăm că f este continuă în x 0 : Fie V V(f(x 0 )) oarecare. atunci D σ astfel ca f(x 0 ) D V, de unde x 0 f 1 (D) f 1 (V ). Conform cu iv), f 1 (D) τ, ceea ce antrenează f 1 (V ) V(x 0 ). Aceasta înseamnă că f este continuă în x 0 şi cum x 0 este oarecare, rezultă în final că f este continuă pe X. 29

30 30 Observaţie. O funcţie continuă nu conservă în general deschişii (adică nu duce în general un deschis tot într-un deschis), după cum se poate imediat observa din exemplul următor: Exemplu. Fie aplicaţia identică i : (R, τ 0 ) (R, τ d ) (i(x) = x, x R, τ 0 topologia discretă pe R). Observăm că (0, 1) este închis în (R, τ 0 ), dar i((0, 1)) = (0, 1) nu este închis în (R, τ d ). De asemenea, [0, 1] este deschis în (R, τ 0 ), dar i([0, 1]) = [0, 1] nu este deschis în (R, τ d ). Definiţie. Spunem că o aplicaţie f : (X, τ) (Y, σ) este: i) deschisă dacă D τ, f(d) σ (adică, duce deschişi tot în deschişi); ii) închisă dacă F închisă în τ, f(f ) este închisă în σ (adică, duce închişi tot în închişi). Definiţie. Spunem că o aplicaţie f : (X, τ) (Y, σ) este homeomorfism (izomorfism topologic) dacă este bijectivă şi bicontinuă (adică, f şi f 1 sunt continue). Definiţie. i) Două spaţii topologice se numesc homeomorfe dacă există un homeomorfism între ele. ii) O proprietate se numeşte topologică dacă se conservă prin homeomorfisme. De exemplu, separabilitatea, satisfacerea axiomelor C 1, C 2 sunt proprietăţi topologice. Teoremă. O aplicaţie bijectivă f : (X, τ) (Y, σ) este homeomorfism dacă şi numai dacă A X, f(a) = f(a). Demonstraţie. Necesitatea. Fie A X, oarecare. Deoarece f este continuă, avem f(a) f(a). Rămâne să arătăm că f(a) f(a). Întradevăr, deoarece f 1 este continuă, rezultă că B Y, f 1 (B) f 1 (B). În particular, pentru B = f(a), avem f 1 (f(a)) f 1 (f(a)) A, de unde f(a) f(a). Suficienţa. Deoarece ( ) A X, f(a) = f(a), avem f(a) f(a), deci f este continuă. Rămâne să arătăm că f 1 este continuă. Pentru aceasta, fie B Y, oarecare. Arătăm că f 1 (B) f 1 (B). În ( ) fie în particular A = f 1 (B). Atunci f(f 1 (B)) = f(f 1 (B)) B, ceea ce antrenează f 1 (B) f 1 (B).

31 31 Compararea topologiilor Teoremă. Fie (X, τ 1, τ 2 ). Atunci τ 1 este mai puţin fină decât τ 2 dacă şi numai dacă aplicaţia identică i : (X, τ 2 ) (X, τ 1 ) este continuă. Demonstraţie. Aplicaţia identică i : (X, τ 2 ) (X, τ 1 ) este continuă dacă şi numai dacă D τ 1, avem i 1 (D) = D τ 2. Aceasta implică τ 1 τ 2, adică, echivalent, τ 1 τ 2. Teoremă. Fie (X, d 1, d 2 ), τ d1, τ d2. Atunci: i) Dacă M > 0 astfel ca d 1 (x, y) Md 2 (x, y), x, y X, atunci τ d1 τ d2 ; i ) Mai mult, dacă metricile d 1, d 2 provin din norme: (X, 1, 2 ), atunci x 1 M x 2, x X τ d1 τ d2 ; ii) Dacă m, M > 0 astfel ca md 2 (x, y) d 1 (x, y) Md 2 (x, y), x, y X, atunci τ d1 = τ d2 ; ii ) Mai mult, dacă metricile d 1, d 2 provin din norme: (X, 1, 2 ), atunci m x 2 x 1 M x 2, x X τ d1 = τ d2. Demonstraţie. Vezi Precupanu [ ]. Subbază a unei topologii Definiţie. Fie (X, τ) un spaţiu topologic. O familie S P(X) este subbază pentru topologia τ dacă: i) S τ; ii) Clasa B formată din toate intersecţiile finite de elemente din S formează o bază pentru τ. Exemplu. Fie (R, τ 0 ). Atunci {(, α), (β, + ); α, β R} este subbază pentru topologia uzuală τ 0. Teoremă. Fie {(Y i, τ i )} i I o familie oarecare de spaţii topologice, X şi f i : X (Y i, τ i ), i I o familie de funcţii. Atunci familia S = {A X; A = f 1 i (D i ), D i τ i } formează o subbază pentru o topologie τ pe X astfel încât aplicaţiile f i : (X, τ) (Y i, τ i ), i I să fie continue pe X iar τ este cea mai puţin fină topologie pe X pentru care toate aplicaţiile f i sunt continue.

32 32 Observaţie. Dacă (Y, τ ), X şi f : X (Y, τ ), atunci τ, cea mai puţin fină topologie pe X pentru care f : (X, τ) (Y, τ ) este continuă pe X, se numeşte topologia imagine reciprocă prin f a topologiei τ. Observaţie. Dacă (X, τ i ) şi f i = i : X (X, τ i ), i I este aplicaţia identică, atunci τ, cea mai puţin fină topologie pe X pentru care aplicaţia identică i : (X, τ) (X, τ i ), i I este continuă pe X, se numeşte topologia margine superioară a topologiilor τ i. Topologia produs În cele ce urmează, vom introduce şi studia produsul unei familii de spaţii topologice. Fie (X 1, τ 1 ), (X 2, τ 2 ) două spaţii topologice oarecare şi X = X 1 X 2 spaţiul produs cartezian. Fie aplicaţiile de proiecţie p 1 : X X 1, p 2 : X X 2 : x = (x 1, x 2 ) X, x 1 X 1, x 2 X 2, p 1 (x) = x 1, p 2 (x) = x 2. Clasa B = {A X; A = D 1 D 2, D 1 τ 1, D 2 τ 2 } este o bază pentru o topologie τ pe X. Mai mult, τ este cea mai puţin fină topologie pe X pentru care aplicaţiile de proiecţie p 1, p 2 sunt continue pe X. D i τ i, i = 1, 2, p 1 1 (D 1 ) = D 1 X 2 τ, p 1 2 (D 2 ) = X 1 D 2 τ. τ se numeşte topologia produs a topologiilor τ 1, τ 2. Prin urmare, topologia produs este inclusă în orice altă topologie pe X faţă de care aplicaţiile de proiecţie sunt continue. Procedăm analog pentru produsul unei familii finite de spaţii topologice: Fie (X i, τ i ), i = 1, n spaţii topologice oarecare şi X = X 1 X 2... X 2 spaţiul produs cartezian. Atunci clasa B = {A X; A = D 1 D 2... D n, D i τ i, i = 1, n} este o bază pentru o topologie τ pe X. Fie aplicaţiile de proiecţie p i : X X i, i = 1, n : x = (x 1, x 2,..., x n ) X, x i X i, i = 1, n, p i (x) = x i. τ este cea mai puţin fină topologie pe X pentru care aplicaţiile de proiecţie p i, i = 1, n sunt continue pe X. τ se numeşte topologia produs a topologiilor τ i, i = 1, n. În general, fie o familie arbitrară de spaţii topologice (X i, τ i ), i I.

33 Mulţimea de funcţii X = Π X i (= {f; f : I X i, f(i) X i, i I}) se i I i I numeşte produsul cartezian al mulţimilor X i, i I (datorită axiomei alegerii, produsul cartezian este o mulţime nevidă). Fie aplicaţiile de proiecţie p i : X X i, p i (x) = x i, i I. Numim topologie produs a topologiilor τ i, i I, cea mai puţin fină topologie pe X faţă de care aplicaţiile de proiecţie p i : (X, τ) (X i, τ i ), i I sunt continue pe X. Baza pentru această topologie este B = {B X; B = Π D i Π X i, J finită, D i τ i, i I}. i J i I\J Subbaza acestei topologii este S = {A X; A = p 1 i I}. 33 p 1 i (D i ) = i J (D i ), D i τ i, i Observaţie. Un produs cartezian de deschişi nu este neapărat un deschis. Teoremă. Fie {(X i, τ i )} i I o familie arbitrară de spaţii topologice şi fie (X, τ) spaţiul topologic produs. Fie (Y, τ ) un spaţiu topologic arbitrar şi f : (Y, τ ) (X, τ). Fie y Y arbitrar, fixat. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) f este continuă în y; ii) p i f : (Y, τ ) (X i, τ i ) este continuă în y, i I. Demonstraţie. i) ii): Afirmaţia este imediată deoarece aplicaţiile de proiecţie sunt continue, iar compunerea a două aplicaţii continue este continuă. ii) i): Presupunem că p i f este continuă în y, i I şi să arătăm că f este continuă în y. Pentru aceasta, fie V V(f(y)). B B astfel ca f(y) B V, deci y f 1 (B) f 1 (V ). Întrucât B B, rezultă că B = i J p 1 i (D i ), J finită, D i τ i, i I. Prin urmare, y f 1 (B) = f 1 ( p 1 i (D i )) = f 1 (p 1 i (D i )) = (p i f) 1 (D i ) f 1 (V ). Cum i J i J i J p i f sunt continue în y, urmează că (p i f) 1 (D i ) V(y), i J, deci (p i f) 1 (D i ) V(y), ceea ce implică f 1 (V ) V(y). În concluzie, V i J V(f(y)), f 1 (V ) V(y), ceea ce arată că f este continuă în y.

34 34 Topologia cât Fie (X, τ) un spaţiu topologic oarecare, Y şi f : (X, τ) Y. Să introducem pe Y o topologie τ astfel încât aplicaţia f : (X, τ) (Y, τ ) să fie continuă (adică, D τ, f 1 (D) τ). Definim τ c = {E Y ; f 1 (E) τ}. Arătăm că τ c este o topologie pe Y : i) Fie (E i ) i I τ c, oarecare. Arătăm că E = E i τ c : i I Deoarece (E i ) i I τ c, rezultă că i I, E i τ c, deci i I, f 1 (E i ) τ. Aceasta implică f 1 (E) = f 1 ( E i ) = f 1 (E i ) τ, de unde E = E i i I i I i I τ c. ii) Fie (E i ) i J τ c (J finită), oarecare. Arătăm că E = E i τ c : i J Într-adevăr, întrucât (E i ) i J τ c, rezultă că i J, E i τ c, deci i J, f 1 (E i ) τ. Prin urmare, f 1 (E) = f 1 ( E i ) = f 1 (E i ) τ, ceea ce i J i J antrenează E = E i τ c. i J iii) X, τ c. Deci τ c este o topologie pe Y. Să arătăm că este cea mai fină topologie pe Y în raport cu care f este continuă. Fie τ o altă topologie pe Y astfel ca aplicaţia f : (X, τ) (Y, τ ) să fie continuă. Atunci D τ, avem f 1 (D) τ, adică D τ c. Prin urmare, τ τ c, deci într-adevăr τ τ c. τ c se numeşte topologia cât. Putem introduce aşadar următoarea: Definiţie. Fie (X, τ) un spaţiu topologic, Y şi f : (X, τ) Y. Numim topologie cât pe Y relativă la topologia τ şi aplicaţia f, cea mai fină topologie pe Y faţă de care funcţia f : (X, τ) (Y, τ ) este continuă. Observaţie. Fie (X, τ) un spaţiu topologic şi R o relaţie de echivalenţă pe X. Fie X /R = {[x]; x X}, mulţimea claselor de echivalenţă. Atunci aplicaţia q : (X, τ) X /R este o surjecţie, numită aplicaţia cât. q este continuă. Pe spaţiul claselor X /R, topologia τ c în raport cu (X, τ) şi funcţia q se numeşte topologia cât. Teoremă. Fie (X, τ) un spaţiu topologic, Y şi f : (X, τ) (Y, τ ). Presupunem că f este aplicaţie surjectivă, continuă şi deschisă (respectiv închisă). Atunci τ = τ c, topologia cât pe Y relativă la topologia τ şi aplicaţia f.

35 Demonstraţie. Evident, τ τ c. Rămâne să arătăm că τ c τ, adică D τ c, rezultă că D τ. Într-adevăr, cum D τ c, avem f 1 (D) τ. Întrucât D este surjectivă şi deschisă, rezultă că f(f 1 (D)) = D τ. 35 Subspaţii topologice ale unui spaţiu topologic Fie (X, τ) un spaţiu topologic oarecare, Y, Y X. Considerăm clasa de părţi τ = {D Y ; D = D Y, D τ}. Să arătăm că τ este o topologie pe Y : i) Fie {Di } i I τ, oarecare. Arătăm că Di τ : i I i I, Di τ, de unde, i I, Di = D i Y, ceea ce implică Di = i I (D i Y ) = Y ( i I i I D i }{{} τ ) τ ; ii) Fie {D i } i J τ (J finită), oarecare. Arătăm că i J D i τ : i I, D i τ, de unde, i I, D i = D i Y, ceea ce implică (D i Y ) = Y ( i J iii) = }{{} τ i J D i }{{} τ ) τ ; Y τ, Y = X }{{} τ Y. i J D i = Definiţie. Fie (X, τ) un spaţiu topologic oarecare şi Y, Y X. Spunem că Y este subspaţiu al lui (X, τ) dacă Y este înzestrat cu topologia τ, numită urma topologiei τ pe Y (sau topologia indusă de τ pe Y ). Teoremă. Fie (X, τ) un spaţiu topologic oarecare şi Y, Y X, (Y, τ ), τ fiind topologia indusă de τ pe Y. O mulţime F este închisă în τ dacă şi numai dacă F = F Y, unde F este o mulţime închisă în τ (adică F este urma unei multimi închise din Y ). Demonstraţie. Necesitatea. Presupunem că F este închisă în τ. Atunci Y \F τ, adică Y \F = Y D, D τ. Prin urmare, F = Y \(D Y ) = Y c(d Y ) = Y (cd cy ) = Y cd = Y F, cu F = cd evident mulţime închisă în X întrucât D τ. Suficienţa. Presupunem că F = F Y, unde F este o mulţime închisă în τ. Arătăm că F este închisă în τ, adică, echivalent, că Y \F τ. Întradevăr, Y \F = Y \(F Y ) = Y c(f Y ) = Y (cf cy ) = Y cf = Y D, unde D = cf este evident deschisa în τ.

36 36 Teoremă. Fie (X, τ) un spaţiu topologic, Y, Y X, (Y, τ ), τ fiind topologia indusă de τ pe Y. Fie x Y un punct oarecare. O mulţime V este vecinătate a lui x în τ dacă şi numai dacă V = V Y, unde V este o vecinătate a lui x în τ (adică F este urma unei vecinătăţi a lui x din Y ). Teoremă. Fie (X, τ) un spaţiu topologic, Y, Y X, (Y, τ ), τ fiind topologia indusă de τ pe Y. Atunci orice mulţime D care este deschisă în τ este deschisă şi în τ dacă şi numai dacă Y τ. Demonstraţie. Necesitatea. Presupunem că orice mulţime D τ D τ. Întrucât Y τ, rezultă că Y τ. Suficienţa. Presupunem că Y τ şi fie D τ oarecare. Arătăm că D τ. Într-adevăr, D = D }{{} τ Y }{{} τ τ. Teoria convergenţei în cadrul spaţiilor topologice Fie (X, d) un spaţiu metric. Amintim că un şir (x n ) n X este convergent (sau converge) la x X dacă V V(x), n V N astfel ca n n V x n V. Fie (X, τ) un spaţiu topologic. Am putea fi tentaţi să extindem în acest cadru definiţia precedentă: (x n ) n X este convergent (sau converge) la x X (x n τ x) dacă V V(x), n V N astfel ca n n V x n V. Să vedem la ce ne-ar conduce o astfel de definiţie. În spaţii metrice, proprietăţile topologice (printre care şi continuitatea) pot fi caracterizate cu ajutorul şirurilor. Acest lucru nu mai este valabil într-un spaţiu topologic general. Pentru a remedia această deficienţă, vom introduce noţiunea de şir generalizat. Să analizăm însă mai întâi următorul Exemplu. Fie (R, τ c ), unde τ c = {D R; cd este numărabilă}. De asemenea, înzestrăm R cu τ u, topologia uzuală pe R. Fie aplicaţia identică i : (R, τ c ) (R, τ u ), i(x) = x, x R. i nu este continuă: (0, 1) τ 0, dar i 1 ((0, 1)) = (0, 1) / τ c. Să arătăm că este totuşi secvenţial continuă (continuă prin şiruri): Fie (x n ) n R, x n τ c a. Vom arăta că (xn ) n este şirul constant de termen a. Raţionăm prin reducere la absurd. Fie D = R\(x n ) n ( τ c ), cu a D. Există atunci n D N astfel ca n n D x n D, contradicţie. Prin urmare, i(x n ) = i(a) = a τu a = i(a).

37 Prin urmare, aplicaţia i este secvenţial continuă, dar nu este continuă. Aceasta impune necesitatea introducerii unei noţiuni adecvate, cea de şir generalizat. Definiţie. Fie I o mulţime arbitrară şi o relaţie de ordine parţială pe I (reflexivă şi tranzitivă). Perechea (I, ) se numeşte dirijată (la dreapta) dacă i, j I, k I astfel ca i k, j k. De exemplu, (P(X), ) este dirijată la dreapta deoarece A, B P(X), avem A A B, B A B. Condiţia de dirijare a unei mulţimi ordonate compensează parţial lipsa proprietăţii de a fi totală a relaţiei. Observaţie. Dacă (I, ), (J, ) sunt două mulţimi dirijate, atunci pe produsul cartezian I J se poate introduce de asemenea o relaţie de dirijare astfel (pe componente): (i 1, j 1 ) (i 2, j 2 ) i 1 i 2 şi j 1 j 2. Definiţie. Fie I o mulţime arbitrară şi o relaţie de ordine parţială pe I (reflexivă şi tranzitivă). Perechea (I, ) se numeşte dirijată la stânga dacă i, j I, k I astfel ca k i, k j. Definiţie. Fie I o mulţime dirijată (la dreapta). Numim şir generalizat în spaţiul X, o funcţie f : I X care asociază pentru i I, f(i) = x i X. x i se numeşte termenul general al şirului (x i ) i I. Exemplu. i) Dacă (I, ) este total ordonată, atunci orice funcţie f : I X este şir generalizat; ii) f : R R este şir generalizat; iii) Fie f : [a, b] R, D = { }, : a = x 0 < x 1 <... < x n = b. Atunci mulţimea şirurilor Darboux superioare {S } D, precum şi mulţimea şirurilor Darboux inferioare {s } D sunt şiruri generalizate. Definiţie. Fie (X, τ) un spaţiu topologic, (x i ) i I un şir generalizat. Spunem că un punct x X este limita şirului generalizat (x i ) i I dacă V V(x), i V I astfel încât i i V, x i V. Notăm lim i I x i = x sau x i τ x. 37

38 38 x se numeşte limita şirului (x i ) i I. Observaţie. În general, într-un spaţiu topologic limita unui şir generalizat convergent nu este unică. Fie (X, τ) un spaţiu topologic şi x X arbitrar fixat. Presupunem că familia V(x) este dirijată prin ordine inversă, adică: V 1 V 2 V 2 V 1 (într-adevăr, relaţia inversă incluziunii este reflexivă şi tranzitivă şi V, W V(x), V W V(x), V W V, V W W, deci V W V, V W W. Lemă. Fie (X, τ) un spaţiu topologic şi x X arbitrar fixat. Atunci şirul generalizat (x V ) V V(x), unde x V V, V V(x), are limita x. Demonstraţie. Aici, I = V(x). Evident, V V(x), W V(x), cu W V. Prin urmare, i 0 = W V(x) = I. Fie i = V i 0 = W. Atunci x i = x V V W V, deci x i V. Teoremă. Fie (X, τ) un spaţiu topologic şi A X. Atunci x A dacă şi numai dacă (x α ) α Γ A, x α x. Demonstraţie. Necesitatea. Presupunem că x A. Atunci V V(x), V A, deci x V A şi x V V. Dar din lema anterioară, (x V ) V V(x) este şir generalizat cu limita x. Prin urmare, (x α ) α Γ = (x V ) V V(x). Suficienţa. Presupunem că (x α ) α Γ A, x α x. Atunci V V(x), α 0 Γ astfel ca α α 0, x α V. Prin urmare, (x α ) α Γ,α α0 V A, deci V V(x), V A. În consecinţă, x A. Teoremă. Fie (X, τ) un spaţiu topologic şi A X. Atunci x A dacă şi numai dacă (x α ) α Γ A\{x}, x α x. Teoremă (de caracterizare a continuităţii). Fie (X, τ), (Y, τ ), f : (X, τ) (Y, τ ). Funcţia f este continuă într-un punct x 0 X dacă şi numai dacă (x α ) α Γ, x α x 0, are loc f(x α ) f(x 0 ). Demonstraţie. Necesitatea. Presupunem că f este continuă în x 0 X. Aceasta înseamnă că V V(f(x 0 )), U V(x 0 ), f(u) V. Fie (x α ) α Γ, x α x 0 şir generalizat oarecare. Atunci pentru U V(x 0 ), α U Γ astfel ca α α U, x α U.

39 În consecinţă, V V(f(x 0 )), α U = α V Γ astfel ca α α U, x α U, deci f(x α ) f(u) V. Prin urmare, V V(f(x 0 )), α V Γ astfel ca α α V, f(x α ) V, ceea ce înseamnă că f(x α ) f(x 0 ). Suficienţa. Fie x 0 X oarecare. Arătam că f este continuă în x 0, adică, V V(f(x 0 )), U V(x 0 ), f(u) V. Presupunem prin reducere la absurd că V 0 V(f(x 0 )) încât U V(x 0 ), f(u) V 0. În consecinţă, U V(x 0), x U U astfel ca f(x U ) / V 0. Cum (x U ) U V(x0 ) este şir generalizat convergent la x 0, conform ipotezei rezultă că f(x U ) f(x 0 ), deci pentru V 0 V(f(x 0 )), U 0 V(x 0 ) astfel ca U U 0, f(x U ) V 0, contradicţie. 39 Convergenţa în spaţiul topologic produs Amintim mai întâi următoarele: Fie (X 1, d 1 ),..., (X p, d p ) p spaţii metrice oarecare, X = p Π i=1 X i, iar d metrica produs ( x = (x 1,..., x p ), y = (y 1,..., y p ) X = X 1... X p, d(x, y) = d 2 1(x 1, y 1 ) d 2 p(x p, y p )). Fie (x n ) n N X, x n = (x n,1,..., x n,p ) şi fie de asemenea x = (x 1,..., x p ) X. Atunci x X X n x dacă şi numai dacă x k n,k xk, k = 1, p. Teoremă. Fie {(X i, τ i )} i I o familie oarecare de spaţii topologice şi (X, τ) spaţiul topologic produs. Fie un şir generalizat (x α ) α Γ X, x α = (x α,i ) i I, x = (x i ) i I X. Atunci x α X x dacă şi numai dacă x α,i X i x i, i I. Demonstraţie. Necesitatea. Presupunem că x X X α x şi arătăm că x i α,i x i, i I. Fie aplicaţiile de proiecţie pr i : (X, τ) (X i, τ i ), pr i (x) = x i, i I. Întrucât aplicaţiile de proiecţie pr i sunt continue şi x α X x, obţinem că pr i (x α ) = x α,i X i X i pri (x) = x i. X Suficienţa. Presupunem că x i α,i xi, i I şi arătăm că x X α x. Fie V V(x) oarecare. Atunci B B, B V, B = Π D i Π X i, J i J i I\J finită. Întrucât x α,i X i xi, i J, J finită, rezultă că i J, J finită şi

40 40 D i τ i, α i Γ astfel încât α α i, x α,i D i. Întrucât Γ este dirijată, α 0 Γ astfel încât α 0 α i, i J. Prin urmare, α α 0, x α B V, ceea ce antrenează că x X α x. Filtre Fie X şi P(X), familia tutror părţilor sale. Definiţie. O familie F P(X), F se numeşte filtru dacă: i) F F, F F, rezultă că F F; ii) F 1, F 2 F rezultă că F 1 F 2 F; iii) / F. Observaţie. Orice filtru este închis la intersecţii finite. Exemplu. 1) Dacă (X, τ) este un spaţiu topologic, atunci x X, V(x) formează un filtru, numit filtrul vecinătăţilor punctului x. Într-adevăr, i) V V(x), Ṽ V, rezultă că Ṽ V(x); ii) V 1, V 2 V(x) rezultă că V 1 V 2 V(x); iii) / V(x) (x V(x), deci {x} V(x)). 2) Dacă (x n ) n N X, n N, S n = {x m ; m n}, atunci F = {F X; S p F } formează un filtru, numit filtru Fréchet. Într-adevăr, i) F F, S n0 F. Atunci cu atât mai mult, F F, S n0 F F, deci F F. ii) F 1, F 2 F, n 1, n 2 N, S n1 F 1, S n2 F 2. Fie n 0 = max{n 1, n 2 }. Atunci S n0 S n1 F 1, S n0 S n2 F 2, deci S n0 F 1 F 2, ceea ce înseamnă că F 1 F 2 F; iii) Evident / F. Definiţie. Fie X şi F 1, F 2 două filtre arbitrare. Spunem că F 1 este mai puţin fin decât F 2 (F 2 este mai fin decât F 1 ) (şi notăm aceasta prin F 1 F 2 ) dacă F 1 F 2. Definiţie. Fie X şi B P(X). Spunem că B este o bază de filtru dacă: i) B = ; ii) B 1, B 2 B, B B astfel ca B B 1 B 2 ; iii) / B.

41 Definiţie. Numim filtru generat de baza de filtru B, clasa F(B) formată din toate supramulţimile mulţimilor ce aparţin lui B. Prin urmare, dacă B este o bază de filtru, atunci filtrul generat de B este F(B) = {F X; B B, B F }. Exemplu. i) Fie (X, τ) un spaţiu topologic şi x 0 X. Fie B un sistem fundamental de vecinătăţi (bază locală) pentru x 0. Atunci B este o bază pentru filtrul vecinătăţilor lui x 0. Într-adevăr, conform unei teoreme anterioare, B 1, B 2 B, x B 1 B 2, B B astfel ca x B B 1 B 2. În plus, evident, B = şi / B. ii) Fie (x α ) α Γ un şir generalizat în X. Fie F α = {x β ; β α}, α Γ. Atunci clasa B = {F α } α Γ formează o bază pentru filtrul generat de B: F(B) = {F X; F α F }, numit filtrul secţiunilor. Într-adevăr, B, / B. În plus, F α 1, F α2 B, α 0 α 1, α 0 α 2 şi evident F α0 F α1 F α2. În particular, dacă (x n ) n N X este un şir numeric, fie B = {S n } n N, unde S n = {x m ; m n}, n N. Atunci B este o bază de filtru, iar filtrul generat de B se numeşte filtru Fréchet. Definiţie. Fie (X, τ) un spaţiu topologic şi F un filtru de părţi ale lui X. Spunem că filtrul F este convergent la x X (şi notăm aceasta prin lim F = x) dacă filtrul F este mai fin decât filtrul vecinătaţilor punctului x, adică V(x) F. Definiţie. Fie (X, τ) un spaţiu topologic şi B o bază de filtru pe X. Spunem că baza de filtru B este convergentă la x X dacă filtrul generat de B este mai fin decât filtrul vecinătăţilor lui x, adică V(x) F(B). Teoremă (de caracterizare a relaţiei de fineţe între filtre cu ajutorul bazelor). Fie (X, τ) un spaţiu topologic şi F, F filtre de baze B, B. Atunci F F dacă şi numai dacă F B, F B, F F. Definiţie. Fie (X, τ) un spaţiu topologic. i) Fie (x α ) α Γ un şir generalizat în X. Ca şi în precedent, îi asociem F α = {x β ; β α}. Am văzut că B = {F α } α Γ formează o bază de filtru. Filtrul F generat de B se numeşte filtrul asociat şirului generalizat (x α ) α Γ (filtrul secţiunilor). 41

42 42 Pri urmare, pornind de la un şir generalizat, putem construi un filtru. Dar şi reciproc, pornind de la un filtru, putem construi un şir generalizat: ii) Fie F un filtru pe X. Atunci F F, x F. Fie α = (x, F ), unde x F. Analog, fie β = (y, F ), y F. Definim o relaţie de ordine astfel: α β dacă F F (observăm că este o relaţie de dirijare). Se formează atunci un şir generalizat asociat filtrului F : (x α ) α Γ, α = (x, F ). Teoremă. Fie (X, τ) un spaţiu topologic şi (x α ) α Γ un şir generalizat în X. Dacă F este filtrul asociat lui (x α ) α Γ, atunci lim x α = lim F. Demonstraţie. Arătăm mai întâi că lim x α lim F. Fie deci x lim x α oarecare. Atunci V V(x), α 0 Γ astfel ca α α 0, x α V. Fie F α0 = {x α ; α α 0 } B. Aceasta arată că V V(x), F α0 B astfel ca F α0 V. Prin urmare, datorită teoremei de caracterizare a relaţiei de fineţe între filtre cu ajutorul bazelor, avem V(x) F, deci, conform definiţiei, x lim F şi în consecinţă lim x α lim F. Să arătăm acum că lim F lim x α. Pentru aceasta, fie x lim F oarecare. Aceasta antrenează că V(x) F, deci V V(x), F α0 B astfel ca F α0 V. Aceasta înseamnă că V V(x), α 0 Γ astfel ca α α 0, x α V, adică x lim x α. În concluzie, lim F lim x α. Teoremă. Fie (X, τ) un spaţiu topologic şi F un filtru pe X. Dacă (x α ) α Γ este şirul generalizat asociat filtrului F, atunci lim F = lim x α. Demonstraţie. Arătăm mai întâi că lim F lim x α. Pentru aceasta, fie x lim F, ceea ce înseamnă că V(x) F, adică V V(x) V F. Întrucât (x α ) α Γ este şirul generalizat asociat filtrului F, rezultă că F F, α = (x, F ), cu x F, avem x α = x. Trebuie să arătăm că x lim x α, adică, V V(x) să arătăm că α 0 Γ astfel ca α α 0, x α V. Într-adevăr, V V(x), rezultă că V F, deci y V. Fie atunci α 0 = (y, V )( Γ). Evident, α α 0, α = (z, F ) (evident, cu z F ), avem F V (deoarece α α 0 ). Prin urmare, x α = z F V. În concluzie, V V(x), α 0 Γ încât α α 0, x α V, de unde x lim x α.

43 Să arătăm acum că lim x α lim F. Fie deci x lim x α oarecare. Arătăm că V(x) F, adică V V(x), F 0 F astfel ca F 0 V. Fie deci V V(x). Întrucât x lim x α, rezultă că α 0 Γ astfel ca α α 0, x α V. Evident, α 0 = (y, F 0 ), cu y F 0. Fie z F şi fie α = (z, F )( Γ). α α 0 implică F F 0. În concluzie, F 0 F astfel ca α α 0, avem z F F 0, deci z F 0. Aceasta implică x α = z V, de unde F 0 V. Prin urmare, lim F lim x α. Proprietăţi de separaţie 43 Spaţii T 2 Definiţie. Un spaţiu topologic (X, τ) se numeşte spaţiu Hausdorff sau spaţiu separat T 2 dacă x, y X, x y, D x, D y, x D x, y D y, D x, D y τ, D x D y = (adică, orice două puncte distincte pot fi separate prin vecinătăţi deschise disjuncte ale lor). Exemplu. După cum este cunoscut, orice spaţiu metric (X, d) este T 2. În particular, (R, τ u ) şi mai general (R n, τ u ) sunt separate T 2. Teoremă (de caracterizare). Un spaţiu topologic (X, τ) este separat T 2 dacă şi numai dacă orice şir generalizat de puncte din X admite cel mult un punct limită. Demonstraţie. Necesitatea. Presupunem că (X, τ) este separat T 2 şi arătăm că orice şir generalizat de puncte din X admite cel mult un punct limită. Presupunem prin reducere la absurd că ar exista un şir generalizat (x α ) α Γ astfel ca x α x şi x α y, x y. Conform ipotezei, pentru x y, D x, D y, x D x, y D y, D x, D y τ, D x D y =. Întrucât x α x, α 1 Γ astfel ca α α 1, x α D x. Analog, cum x α y, α 2 Γ astfel ca α α 2, x α D y. Acum, pentru α 1, α 2 Γ, α 0 Γ astfel încât α 0 α 1, α 0 α 2. Pentru α α 0, avem x α D x, x α D y, deci D x D y, ceea ce este fals. În concluzie, x = y. Suficienţa. Presupunem că orice şir generalizat (x α ) α Γ din X admite cel mult un punct limită şi arătăm că spaţiul X este T 2. Presupunem prin

44 44 reducere la absurd că nu este T 2. Atunci x, y X, x y astfel încât V x V(x), U y V(y), V x, U y τ, avem V x U y. Există atunci un punct comun ce depinde de ambele vecinătăţi, x Vx,Uy V x şi x Vx,Uy U y. Introducem relaţia cunoscută de dirijare pe V x V y : (V 1, U 1 ) (V 2, U 2 ) V 2 V 1 şi U 2 U 1. Obţinem atunci şirul generalizat (x Vx,Uy ) (Vx,Uy) V x V y. Să arătăm că x Vx,Uy x (analog se obţine că x Vx,Uy y, ceea ce contrazice ipoteza). Fie I = V x V y. Avem deci (x Vx,Uy ) (Vx,Uy) V x V y = (x i ) i I. Acum, V V(x), fie i 0 = (V, X) I. Atunci pentru i = (V, X) I, cu i i 0, rezultă că x i = x Vx,Uy V X V X = V, ceea ce arată că x Vx,Uy x. Definiţie. Fie (X, τ) un spaţiu topologic. Se numeşte diagonala spaţiului X, mulţimea (X) = {(x, x); x X} X X. Produsul cartezian X X se înzestrează cu τ, topologia produs. Teoremă. Un spaţiu topologic (X, τ) este T 2 dacă şi numai dacă mulţimea (X) este închisă în spaţiul topologic produs (X X, τ). Demonstraţie. Necesitatea. Presupunem că spaţiul (X, τ) este T 2 şi arătăm că (X) = (X). Întrucât întotdeauna (X) (X), rămâne să arătăm că (X) (X). Pentru aceasta, fie u (X). Există atunci (u α ) α = ((x α, x α )) α (X), (x α ) α X, u α = (x α, x α ) X X u = (x, y). Prin urmare, x α X x şi x α X y şi cum X este T 2, rezultă că x = y. Prin urmare, u = (x, x) (X), ceea ce trebuia demonstrat. Suficienţa. Presupunem că (X) = (X) şi arătăm că (X, τ) este T 2, adică, echivalent, că (x α ) α Γ X, (x α ) α are cel mult un punct limită. Presupunem prin reducere la absurd că x α X x şi x α X y, x y. Deoarece α Γ, u α = (x α, x α ) (X) şi u α = (x α, x α ) (x, y), rezultă că (x, y) (X) = (X), de unde x = y, contradicţie. Teoremă. Un spaţiu topologic (X, τ) este T 2 dacă şi numai dacă x X, {x} = V x V x V x. Demonstraţie. : x X, x V x V x, deci {x} V x. V x V x : V x {x} : Trebuie să arătăm că y V x rezultă că V x V x V x V x y = x. Presupunem prin reducere la absurd că y 0 V x, y 0 x. Din V x V x

45 condiţia T 2, D, G τ, x D, y 0 G, D G =. Atunci D V x şi y 0 D. Pe de altă parte, G V y0 şi G D =, ceea ce contrazice y 0 D. 45 Spaţii T 0 (spaţii Kolmogorov). Spaţii T 1 Definiţie. Un spaţiu topologic (X, τ) se numeşte spaţiu T 0 sau spaţiu Kolmogorov dacă x, y X, x y, D τ încât fie (x D, y / D), fie (y D, x / D) (adică, orice două puncte distincte pot fi separate printr-un deschis care să conţină doar unul din puncte). Definiţie. Un spaţiu topologic (X, τ) se numeşte spaţiu T 1 sau spaţiu Frechet dacă x, y X, x y, D 1, D 2 τ încât (x D 1, y / D 1 ) şi (y D 2, x / D 2 ). Observaţie. i) Evident, orice spaţiu T 1 este spaţiu T 0. Există însă spaţii T 0 care nu sunt T 1 : fie X = {a, b}, τ = {, {a}, {a, b}}. Se observă că τ este o topologie pe X. X este spaţiu T 0 (pentru a b, {a} τ, a {a}, b / {a}). X nu este spaţiu T 1 (nu există niciun deschis care să conţină pe b şi să nu conţină pe a). ii) Evident, orice spaţiu T 2 este spaţiu T 1 (prin urmare, T 2 T 1 T 0 ). Reciproca nu are loc în general, după cum arată următorul: Exemplu. Fie X o mulţime infinită nenumărabilă şi τ co = {D X; cd numărabilă} (topologia conumărabilă). Atunci X este spaţiu T 1, dar nu este T 2. Într-adevăr, să observăm că este T 1 : x, y X, x y, fie A = {x n ; n N} aşa încât x A, y / A. Fie D 1 = ca. Atunci D 1 τ co, y D 1, x / D 1. Fie de asemenea B = {y n ; n N} aşa încât y B, x / B. Fie D 2 = cb. Atunci D 2 τ co, x D 2, y / D 2. Prin urmare, X este T 1. Să presupunem acum prin reducere la absurd că X este T 2. Atunci x, y X, x y, D 1, D 2 τ co încât D 1 D 2 =, x D 1, y D 2. Cum D 1 D 2 =, rezultă că c(d 1 D 2 ) = X = cd 1 cd 2. Deoarece D 1, D 2 τ co, rezultă că cd 1, cd 2 sunt numărabile, de unde X este numărabilă, ceea ce este fals. Teoremă. Un spaţiu topologic (X, τ) este T 1 dacă şi numai dacă x X, mulţimea {x} este închisă.

46 46 Demonstraţie. Necesitatea. Fie x X oarecare şi fie y X, y x, oarecare. Există atunci D x, D y τ încât fie (x D x, y / D x ), fie (y D y, x / D y ). Fără a restrânge generalitatea, presupunem că y D y, x / D y. Atunci c{x} = X\{x} = {y X; y x} D y X\{x} = c{x}, y X;y x deci c{x} = D y, ceea ce implică c{x} τ, de unde mulţimea {x} este y X;y x închisă. Suficienţa. Fie x, y X, x y. Atunci y c{x} = D 1 τ (din ipoteză, {x} este închisă). Analog, x c{y} = D 2 τ. Prin urmare, D 1, D 2 τ încât (x D 2, y / D 2 ) şi (y D 1, x / D 1 ). Spaţii T 3 Definiţie. Un spaţiu topologic (X, τ) se numeşte T 3 dacă x X, F X, F închisă, cu x / F, D 1, D 2 τ încât D 1 D 2 =, x D 1, F D 2 (orice punct şi orice mulţime închisă care nu îl conţine pot fi separate prin mulţimi deschise care le conţin). Observaţie. Proprietatea T 3 nu implică niciuna din proprietăţile T 2, T 1, T 0, după cum arată următorul: Exemplu. Fie X = {a, b, c}, τ = {X,, {a}, {b, c}}. Se observă că τ este o topologie pe X. Să arătăm că (X, τ) este T 3, dar nu este T 0 (va rezulta atunci că nu este nici T 2, nici T 1 ). Clasa mulţimilor închise este {X,, {a}, {b, c}}. Punctul a / F = {b, c}, deci doi deschişi disjuncţi D 1 = {a} a, D 2 = {b, c} = F. Punctul b / F = {a}, deci doi deschişi disjuncţi D 1 = {b, c} b, D 2 = {a} = F. Analog pentru c, deci X este T 3. X nu este T 0 (pentru b c, nu există niciun deschis care să le separe). Definiţie. Un spaţiu topologic (X, τ) se numeşte regulat dacă este T 0 şi T 3. Teoremă. Orice spaţiu regulat este spaţiu Hausdorff (T 2 )(T 0 + T 3 T 2 ).

47 Demonstraţie. Cum (X, τ) este T 0, pentru x, y X, x y, D τ, x D, y / D, deci x / cd = F mulţime închisă şi atunci în baza proprietăţii T 3, D 1, D 2 τ încât D 1 D 2 =, x D 1, F D 2. Cum y / D, rezultă că y cd = F D 2, deci y D 2. Prin urmare, D 1, D 2 τ încât D 1 D 2 =, x D 1, y D 2, deci X este T 2. Teoremă. Un spaţiu topologic (X, τ) este T 3 dacă şi nu mai dacă x X, D τ, x D, D 1 τ astfel ca x D 1 D 1 D (într-un spaţiu topologic, pentru orice punct putem găsi un sistem fundamental de vecinătăţi închise). Demonstraţie. Necesitatea. Presupunem că spaţiul (X, τ) este T 3. Fie x X, D τ oarecare încât x D. Atunci x cd = F şi F este închisă. Întrucât (X, τ) este T 3, D 1, D 2 τ încât D 1 D 2 =, x D 1, F D 2. Cum D 1 D 2 =, urmează că D 1 cd 2, deci D 1 cd 2 = cd 2 cf = D. Prin urmare, x D 1 D, deci am arătat că D 1 τ încât x D 1 D 1 D. Suficienţa. Fie x X şi F X o mulţime închisă, cu x / F. Prin urmare x cf = D τ şi atunci, conform ipotezei, D 1 τ încât x D 1 D 1 D. Aceasta implică D 1 cd 1 =. Să notăm cd 1 = D 2. Atunci D 1 D 2 =, D 2 τ, x D 1, F = cd cd 1 = D 2, deci (X, τ) este T Spaţii T 4 Definiţie. Un spaţiu topologic (X, τ) se spune că este T 4 dacă F 1, F 2 X, F 1, F 2 închise, F 1 F 2 =, D 1, D 2 τ încât D 1 D 2 =, F 1 D 1, F 2 D 2 (orice două mulţimi închise disjuncte pot fi separate prin mulţimi deschise). Definiţie. Un spaţiu topologic (X, τ) se spune că este normal dacă este T 1 şi T 4. Teoremă. Orice spaţiu metric (X, d) este spaţiu normal. Demonstraţie. Deoarece (X, d) este spaţiu metric, rezultă că este T 2, deci şi T 1. Fie A, B X mulţimi închise, disjuncte, oarecare. Fie D 1 = {x X; d(x, A) < d(x, B)}, D 2 = {x X; d(x, A) > d(x, B)}. Atunci evident D 1 D 2 =. Să arătăm că A D 1. Fie x A oarecare. Cum A = A, rezultă că x A, deci d(x, A) = 0 d(x, B). Să arătăm

48 48 că d(x, A) < d(x, B). Presupunem prin reducere la absurd că x 0 A, cu d(x 0, A) = d(x 0, B). Atunci d(x 0, B) = 0, ceea ce implică x 0 B = B, deci A B, ceea ce este fals. În mod analog se arată că B D 2. Rămâne să arătăm că D 1, D 2 τ. Pentru aceasta, fie f : X R, f(x) = d(x, A) d(x, B). Atunci f este continuă pe X (funcţia distanţă de la un punct la o mulţime este continuă iar f este diferenţa dintre două funcţii continue). Observăm că D 1 = {x X; f(x) < 0} = f 1 ((, 0)) şi cum f este continuă iar (, 0) este mulţime deschisă în (R, τ 0 ) rezultă că D 1 τ (orice funcţie continuă întoarce deschişi în deschişi). Analog, D 2 τ. În consecinţă, (X, d) este spaţiu normal. Teoremă. Orice spaţiu topologic normal (X, τ) este regulat (T 1 + T 4 T 0 + T 3 ). Demonstraţie. Întrucât (X, τ) este T 1 rezultă că este şi T 0. Rămâne să arătăm că este T 3. Pentru aceasta, fie x X, F X, închisă, oarecare încât x / F. Fie {x} = F. X fiind spaţiu T 1 rezultă că F este închisă. Cum x / F, avem F F =. Aplicând proprietatea de separaţie T 4 rezultă că D 1, D 2 τ încât D 1 D 2 =, F = {x} D 1, F D 2, ceea ce arată că (X, τ) este T 3. Teoremă. Un spaţiu topologic (X, τ) este T 4 dacă şi numai dacă F X închisă, D τ, F D, D 1 τ astfel ca F D 1 D 1 D (într-un spaţiu topologic, pentru orice mulţime putem găsi un sistem fundamental de vecinătăţi închise). Demonstraţie. Necesitatea. Fie F X închisă, D τ oarecare încât F D. Atunci F cd =, cd not. = F este închisă. Deoarece F F =, din proprietatea de separaţie T 4 rezultă că D 1, D 2 τ încât D 1 D 2 =, F D 1, F D 2. Atunci F D 1 D 1. De asemenea, cum D 1 D 2 =, urmează că D 1 cd 2, de unde D 1 cd 2 = cd 2 cf = D. Prin urmare, am obţinut că D 1 τ astfel ca F D 1 D 1 D. Suficienţa. Fie F 1, F 2 X, F 1, F 2 închise, F 1 F 2 =. Atunci F 1 not. cf 2 = D τ şi atunci din ipoteză rezultă că D 1 τ astfel ca F 1 D 1 D 1 D. Întrucât D 1 D 1 rezultă că D 1 cd 1 =. Fie D 2 = cd 1. Evident, D 2 τ şi, deoarece D 1 D, rezultă că cd = F 2 cd 1 = D 2. În consecinţă, D 1, D 2 τ încât D 1 D 2 =, F 1 D 1, F 2 D 2, adică (X, τ) este T 4.

49 49 Spaţii topologice compacte Definiţie. Un spaţiu topologic (X, τ) se numeşte compact dacă din orice acoperire a sa cu deschişi se poate extrage o subacoperire finită: D = {D i } i I, D i τ, i I, X = D i, J I finită astfel ca X = D i. i I i J Definiţie. Fie (X, τ) un spaţiu topologic. O mulţime A X se numeşte compactă dacă privită ca subspaţiu topologic este compact, adică D = {D i } i I, D i τ, i I, A D i, J I finită astfel ca A D i. i I i J Definiţie. O familie de mulţimi (A i ) i I spunem că are proprietatea intersecţiei finite dacă i J A i, J I finită. Teoremă. Fie (X, τ) un spaţiu topologic. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) (X, τ) este compact; ii) {F i } i I, F i X închisă, i I, cu F i =, J I finită astfel ca i I F i = ; i J iii) {F i } i I, F i X închisă, i I, cu proprietatea intersecţiei finite, F i. i I Demonstraţie. i) ii): Fie {F i } i I, F i X închisă, i I, cu F i = i I. Prin urmare, c( F i ) = c = X = cf i = D i, unde D i = cf i, deci i I i I i I D i τ, i I. Întrucât X este compact, J I finită astfel ca X = i J D i, de unde cx = = c( i J D i ) = i J cd i = i J F i. ii) i): Fie {D i } i I, D i τ, i I, X = D i. Atunci cx = = i I c( D i ) = cd i = F i, unde F i = cd i, deci F i este închisă, i I. i I i I i I Conform cu ii), J I finită astfel ca F i = = cd i, de unde X = i J i J c = c( cd i ) = cc( D i ) = D i, ceea ce arată că (X, τ) este compact. i J i J i J ii) iii) Afirmaţia este imediată întrucât (P Q) ( Q P ).

50 50 Subspaţii ale spaţiilor topologice compacte Teoremă. Dacă (X, τ) este un spaţiu topologic compact iar A X este o mulţime închisă, atunci A este compactă. Demonstraţie. Fie D = {D i } i I, D i τ, i I, A i I D i. Întrucât A este închisă, rezultă că ca τ, deci D = {Di } i I ca este o acoperire deschisă pentru X. Cum X este compact, D 0 D o subacoperire finită, deci D 0 = D 0 \ca D este o subacoperire finită pentru A, ceea ce arată că A este compactă. Teoremă. Fie (X, τ) un spaţiu topologic T 2 şi A X o mulţime compactă. Atunci A este închisă. Demonstraţie. Trebuie să arătăm că ca τ, adică, echivalent, că ca V(x), x ca, adică, echivalent, că D τ astfel ca x D ca. Fie deci x ca, y A, oarecare. Atunci y x şi cum (X, τ) este T 2, rezultă că Dx, y D y τ, Dx y D y = astfel ca x Dx, y y D y. Atunci A = {y} D y şi cum A este compactă, y 1, y 2,..., y n A astfel încât y A y A A n D yi (subacoperire finită). Pentru fiecare D yi se poate găsi D y i x τ i=1 încât x D y i x, i = 1, n şi D yi D y i x =. Notăm D = n D y i x ( τ). Evident, x D şi A D =, deci D ca. i=1 Prin urmare, D τ astfel ca x D ca şi în consecinţă ca V(x). Corolar. Fie (X, τ) un spaţiu topologic compact şi T 2 iar A X, oarecare. Atunci mulţimea A X este închisă dacă şi numai dacă este compactă. Teoremă. Orice spaţiu topologic compact şi T 2 (X, τ) este normal. Demonstraţie. Întrucât (X, τ) este T 2, rezultă că este şi T 1. Rămâne să arătăm că este T 4. Pentru aceasta, fie F 1, F 2 X, F 1, F 2 închise, F 1 F 2 =. Din corolarul anterior rezultă că F 1, F 2 sunt compacte. Am redus aşadar problema la următoarea: Să arătăm, mai mult, că K 1, K 2 X, K 1, K 2 compacte, cu K 1 K 2 =, D 1, D 2 τ încât D 1 D 2 =, K 1 D 1, K 2 D 2. Să studiem următoarele situaţii:

51 i) K 1 = {x}, K 2 compactă oarecare. Cum K 1 K 2 =, rezultă că x / K 2. Fie y K 2, x y. Cum X este spaţiu T 2, Dx, y D y τ aşa ca Dx y D y =, x Dx, y y D y. Atunci K 2 = {y} y K2 51 D y şi cum K 2 este compactă, y 1, y 2,..., y n y K2 K 2 încât K 2 n not. D yi = D 2 ( τ). Pentru fiecare y i găsim D y i x i=1 τ astfel ca x D y i x şi D y i x D yi =, i = 1, n. Fie n D y not. i x = D 1 ( τ). Prin urmare, D 1, D 2 i=1 τ încât D 1 D 2 =, K 1 = {x} D 1, K 2 D 2. ii) Fie K 1, K 2 compacte, cu K 1 K 2 =, oarecare. Atunci x K 1 x / K 2 şi atunci din i), D x, DK x 2 τ încât D x DK x 2 =, x D x, K 2 DK x 2. Prin urmare, K 1 = {x} D x şi cum K 1 este com- x K1 x K1 pactă, x 1, x 2,..., x p K 1 încât K 1 p not. D xi = D 1 ( τ). Prin urmare, i=1 i = 1, p, D x i K 2 τ, K 2 D x i K 2, D xi D x i K 2 =. Fie D 2 = p D x i K i=1 2 ( τ). Atunci D 1 D 2 =, K 2 D 2. În consecinţă, D 1, D 2 τ încât D 1 D 2 =, K 1 D 1, K 2 D 2. Definiţie. Un spaţiu topologic se spune că este local compact dacă pentru orice punct al său se poate găsi o vecinătate compactă. Teoremă. regulat. Orice spaţiu topologic Hausdorff local compact (X, τ) este Funcţii continue pe mulţimi compacte Teoremă. Orice funcţie continuă f : (X, τ) (Y, τ ) aplică mulţimi compacte pe mulţimi compacte. Demonstraţie. Pentru uşurinţa exprimării, presupunem că X este compact. Arătăm că f(x) este compactă. Fie deci {D i } i I τ încât f(x) D i. Cum f este continuă, rezultă că f 1 (D i ) τ, i I. i I În consecinţă, X f 1 ( D i ) = f 1 (D i ) şi cum X este compactă, i I i I J I finită încât X f 1 (D i ), de unde f(x) f( f 1 (D i )) = i J i J i J f(f 1 (D i )) i J D i, ceea ce implică f(x) compactă.

52 52 Teoremă. Dacă funcţia f : (X, τ) (R, τ u ) este continuă iar X este compact, atunci f este mărginită şi îşi atinge marginile. Demonstraţie. f(x) este compactă în R, deci mărginită, deci M = sup x X Întrucât f este continuă pe compactul X rezultă că f(x), m = inf f(x) x X f(x). Dar f(x) este şi închisă, de unde f(x) = f(x). Prin urmare, M, m f(x), ceea ce înseamnă că x M, x m X încât f(x M ) = M, f(x m ) = m, deci f este mărginită şi îşi atinge marginile. Corolar. Dacă funcţia f : R R este continuă, atunci imaginea oricărui interval compact al lui R este mulţime compactă. Corolar (Weierstrass). Orice funcţie continuă pe un interval compact al lui R, cu valori reale este mărginită şi îşi atinge marginile. Definiţie. Fie (X, τ) un spaţiu topologic oarecare. Spunem că un şir generalizat (x α ) α Γ este şir universal dacă A X, α Γ, avem fie că x α A pentru α α 0, fie că x α / A pentru α α 0. Teoremă. Un spaţiu topologic (X, τ) este compact dacă şi numai dacă orice şir universal este convergent la un punct din spaţiu. Teoremă. Fie {(X i, d i )} i=1,n o familie finită de spaţii metrice oarecare şi (X, d) spaţiul metric produs, X = n Π i=1 X i. Dacă i = 1, n, X i este compact, atunci X este compact. Rezultatul rămâne valabil pentru o familie oarecare de spaţii topologice: Teoremă (Tihonov). Fie {(X i, τ i )} i I o familie oarecare de spaţii topologice şi (X, τ) spaţiul topologic produs, X = Π X i. Atunci (X, τ) este compact i I dacă şi numai dacă i I, (X i, τ i ) este compact. Teoremă (Tihonov). Fie {(X i, τ i )} i I o familie oarecare de spaţii topologice şi (X, τ) spaţiul topologic produs, X = Π X i. Atunci (X, τ) este compact i I dacă şi numai dacă i I, (X i, τ i ) este compact. Demonstraţie. Necesitatea. Presupunem că (X, τ) este compact şi arătăm că i I, (X i, τ i ) este compact. Într-adevăr, aplicaţiile de proiecţie

53 pr i : (X, τ) (X i, τ i ) sunt continue, i I şi cum imaginea unui compact printr-o funcţie continuă este tot un compact, rezultă că (X i, τ i ) este compact, i I (pr i (X) = X i, i I). Suficienţa. Lemă. Un spaţiu topologic (X, τ) este compact dacă şi numai dacă orice şir generalizat conţine un subşir generalizat convergent la un punct din X. Lemă. Dacă un şir generalizat converge la un element al unui spaţiu topologic, atunci orice subşir generalizat al său este de asemenea convergent la aceeaşi limită. Presupunem că i I, (X i, τ i ) este compact şi arătăm că (X, τ) este compact. Vom arăta, echivalent, că orice şir generalizat conţine un subşir generalizat convergent la un punct din X. I) Facem raţionamentul mai întâi pentru două spaţii: (X 1, τ 1 ), (X 2, τ 2 ).X = X 1 X 2, τ = τ 1 τ 2 (topologia produs). Fie şirul generalizat (x α ) α Γ, x α = (x 1 α, x 2 α), x 1 α X 1, x 2 α X 2, α Γ. Considerăm şirul generalizat (x 1 α) α Γ (X 1, τ 1 ) care este spaţiu compact şi atunci (y j ) j Γ subşir generalizat al lui (x 1 α) α Γ, care converge în X 1 : X y 1 j x 1 0. Fie şirul generalizat (x 2 α) α Γ (X 2, τ 2 ). Considerăm subşirul (z j) j Γ, care este subşir generalizat al lui (x 2 α) α Γ. Cum (X 2, τ 2 ) este compact, rezultă că (z j) j Γ conţine un subşir generalizat (z j) j Γ care converge în X 2 : z j x 2 0. Fie (y j) j Γ subşirul generalizat al lui (y j ) j Γ corespunzător lui (z j) j Γ. Formăm x j = (y j, z j), j Γ. Atunci (x j) j Γ este subşir generalizat al lui X 1 (x α ) α Γ. În plus, întrucât y j x 1 0 şi z j x 2 0, rezultă că x X j x 0 = (x 1 0, x 2 0). Am arătat aşadar că orice şir generalizat conţine un subşir generalizat convergent la un punct din X, deci (X, τ) este spaţiu topologic compact. II) Prin inducţie se arată rezultatul pentru n spaţii topologice compacte. III) Pentru demonstrarea cazului general se utilizează caracterizarea compactităţii folosind noţiunea de şir universal. X 2 53 X 2

54 54 Spaţii topologice local compacte Observaţie. i) Spaţiul (R, τ u ) nu este compact, dar are proprietatea de locală compactitate: x R, [a, b] V(x), x [a, b]; ii) Spaţiul (R n, τ u ) nu este compact, dar are proprietatea de locală compactitate: pentru orice punct x găsim o sferă închisă (şi mărginită) (deci compactă) care să îl conţină pe x. Definiţie. Un spaţiu topologic (X, τ) se spune că este local compact dacă orice punct posedă o vecinătate compactă: x X, V V(x), V compactă. Teoremă. regulat. Orice spaţiu topologic separat Hausdorff local compact este Definiţie. Fie (X, τ) un spaţiu topologic necompact. Spaţiul ( X, τ) se numeşte compactificat al spaţiului (X, τ) dacă sunt satisfăcute condiţiile: i) ( X, τ) este compact; ii) Y X astfel ca Y = X şi ( X, τ) este homeomorf cu (Y, τ /Y ). Punctele din X\Y se numesc punctele de la infinit ale spaţiului X. Definiţie. Dacă (X, τ) este un spaţiu topologic necompact, atunci un compactificat al său cu un punct se numeşte compactificat Alexandrov. Teoremă (Alexandrov). Orice spaţiu local compact admite un compactificat cu un punct, unic determinat până la un homeomorfism. Spaţii topologice conexe Definiţie. Un spaţiu topologic (X, τ) se numeşte conex dacă D 1, D 2 τ, D 1, D 2, X = D 1 D 2, D 1 D 2 =. Definiţie. Un spaţiu topologic (X, τ) se numeşte neconex (sau disconex) dacă nu este conex. Definiţie. O mulţime A (X, τ) se numeşte conexă dacă privită ca subspaţiu este conex, adică, D 1, D 2 τ, D 1 A, D 2 A, A D 1 D 2, D 1 D 2 A =.

55 Teoremă. Fie (X, τ) un spaţiu topologic. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) (X, τ) este conex; ii) F 1, F 2 închise, F 1, F 2, X = F 1 F 2, F 1 F 2 = ; iii) A X, A (adică submulţime proprie a lui X), simultan deschisă şi închisă. Demonstraţie. Afirmaţia este imediată. Definiţie. Fie (X, τ) un spaţiu topologic şi A, B X, nevide. Spunem că mulţimile A, B sunt separate dacă A B = şi A B = (adică, echivalent, A B =, A B =, A B = ). Observaţie. Evident, există mulţimi disjuncte care nu sunt separate, cum ar fi, de exemplu, [0, 1) şi [1, 2]. Teoremă. Un spaţiu topologic (X, τ) este conex dacă şi numai dacă A, B mulţimi separate astfel ca X = A B. Demonstraţie. Necesitatea. Presupunem că (X, τ) este conex şi arătăm că A, B mulţimi separate astfel ca X = A B. Presupunem prin reducere la absurd că există două mulţimi A, B separate, X = A B. Cum spaţiul X este mulţime închisă rezultă că X = X = A B = A B = A B, ceea ce implică A A B şi cum A B = (din condiţia de separare), rezultă că A A, deci A = A, adică A este închisă. Analog, B A B şi cum B A = (din condiţia de separare), rezultă că B B, deci B = B, adică B este închisă. Prin urmare, X = A B, A, B închise, disjuncte, deci (X, τ) nu este conex, contradicţie. Suficienţa. Presupunem că A, B mulţimi separate astfel ca X = A B şi arătăm că (X, τ) este conex. Presupunem prin reducere la absurd că (X, τ) este neconex. Atunci D 1, D 2 închise, D 1, D 2, X = D 1 D 2, D 1 D 2 =. Întrucât D 1 = D 1, D 2 = D 2, deci rezultă că D 1, D 2 sunt separate, ceea ce contrazice presupunerea. Teoremă. Fie (X, τ) un spaţiu topologic şi A X o mulţime conexă. Atunci B X, cu A B A, rezultă că B este conexă. Demonstraţie. Presupunem prin reducere la absurd că A X conexă şi B X, neconexă, cu A B A. 55

56 56 Întrucât B este neconexă, D 1, D 2 τ, D 1 B, D 2 B, B D 1 D 2, D 1 D 2 B =. Deoarece B A, obţinem că D 1 A, D 2 A. Din D 1 A, rezultă că x 1 D 1, x 1 A, deci D 1 A. Analog, din D 1 A, rezultă că D 2 A. De asemenea, din D 1 D 2 B =, obţinem că D 1 D 2 A =. În concluzie, D 1, D 2 τ, D 1 D 2 A =, D 1 A, D 2 A, ceea ce implică faptul că mulţimea A este neconexă, ceea ce este fals. Corolar. Fie (X, τ) un spaţiu topologic şi A X o mulţime conexă oarecare. Atunci A este conexă. Teoremă. Fie (X, τ) un spaţiu topologic şi (A i ) i I o familie oarecare de submulţimi conexe ale lui X. Dacă A i, atunci A = A i este conexă. i I i I Demonstraţie. Presupunem prin reducere la absurd că o familie de mulţimi conexe (A i ) i I, cu A i, dar încât A = A i este neconexă. i I i I Atunci D 1, D 2 τ, D 1 A, D 2 A, A D 1 D 2, D 1 D 2 A =. Din faptul că D 1 A, rezultă că x D 1, x A, deci x / D 2. Pe de altă parte, A i, deci y A i, i I, deci y A i = A i I i I D 1 D 2. Presupunem, pentru a face o alegere, că y D 1. Pe de altă parte, cum D 2 A = D 2 ( A i ) = (D 2 A i ), rezultă i I i I că i 0 I, D 2 A i0. Deoarece y A i, i I, rezultă că y A i0. În plus, pentru că y D 1 iar y A i0, rezultă că D 1 A i0. De asemenea, deoarece D 1 D 2 A =, iar A i0 A, rezultă că D 1 D 2 A i0 =. Aceasta înseamnă în final că A i0 este neconexă, ceea ce este fals. Teoremă. Fie (X, τ) un spaţiu topologic, A X o mulţime conexă şi f : (X, τ) (Y, τ ) o aplicaţie continuă. Atunci f(a) este conexă. Demonstraţie. Presupunem prin reducere la absurd că A X conexă astfel ca f(a) este neconexă. Atunci D 1, D 2 τ, D 1 f(a), D 2 f(a), f(a) D 1 D 2, D 1 D 2 f(a) =. Deoarece f este continuă, rezultă că întoarce deschişi tot în deschişi, deci f 1 (D 1 ) not. = D 1 τ şi analog f 1 (D 2 ) not. = D 2 τ. De asemenea, deoarece D 1 f(a), D 2 f(a), rezultă că D 1 A, D 1 A. În plus, din

57 f(a) D 1 D 2 rezultă că D 1 D 2 A =. În consecinţă, A este neconexă, ceea ce este fals. Corolar. Dacă o funcţie f : (X, τ) R este continuă, atunci imaginea prin f a oricărei mulţimi conexe din X este un interval. Corolar. Dacă o funcţie f : R R este continuă, atunci imaginea prin f a oricărei mulţimi conexe din R este un interval din R. Definiţie. O funcţie f : (X, τ) (Y, τ ) se spune că are proprietatea lui Darboux dacă imaginea oricărei mulţimi conexe din X este mulţime conexă în Y. Obţinem aşadar: Teoremă. Orice funcţie continuă f : (X, τ) (Y, τ ) are proprietatea lui Darboux. Observaţie. Orice funcţie reală se poate scrie ca suma a două funcţii cu proprietatea lui Darboux. Mulţimi conexe prin arce Definiţie. O mulţime A (X, τ) se spune că este conexă prin arce dacă există o funcţie continuă f : [0, 1] X, cu Imf = f([0, 1]) A, f(0) = a, f(1) = b, a, b A (adică orice două puncte din mulţime pot fi unite în mod continuu printr-un arc conţinut în mulţime). Teoremă. Orice mulţime A (X, τ) conexă prin arce este conexă. Propoziţie. Imaginea printr-o funcţie continuă a unei mulţimi conexe prin arce este mulţime conexă prin arce. Demonstraţie. Fie f : (X, τ) (Y, σ) o funcţie continuă şi A X o mulţime conexă prin arce. Arătăm că f(a) este de asemenea conexă prin arce. Într-adevăr, fie y 1, y 2 f(a), oarecare. Există atunci x 1, x 2 A astfel ca y 1 = f(x 1 ), y 2 = f(x 2 ). Întrucât A este conexă prin arce, pentru x 1, x 2 A, există o funcţie continuă g : [0, 1] A, astfel ca g(0) = x 1, g(1) = x 2 şi g(t) A, t [0, 1]. Atunci f g : [0, 1] f(a) este funcţie continuă, (f g)(0) = f(x 1 ) = y 1, (f g)(1) = f(x 2 ) = y 2 şi (f g)(t) = f(g(t)) f(a), t [0, 1], ceea ce implică faptul că f(a) este conexă prin arce. 57

58 58

59 Capitolul 2 Elemente de topologie generală. Aplicaţii În acest capitol, prezentăm, cu rezolvări complete, o serie de aplicaţii ale noţiunilor şi rezultatelor teoretice prezentate în Capitolul I precum şi în Anexă Scrieţi toate topologiile posibile pentru mulţimea X = {a, b}. Rezolvare. Se verifică cu uşurinţă că următoarele familii de mulţimi sunt toate topologii ale lui X (şi singurele): τ 1 = P(X)(= {X,, {a}, {b}, {a, b}}) (topologia discretă); τ 2 = {X, } (topologia nondiscretă); τ 3 = {X,, {a}}; τ 4 = {X,, {b}} Fie X = {a, b, c, d} o mulţime oarecare formată din 4 elemente. i) Precizaţi câte elemente are P(X); ii) Precizaţi care dintre următoarele clase de submulţimi ale lui X este o topologie pe X : τ 1 = {X,, {a}, {b}, {c, d}, {b, c, d}} τ 2 = {X,, {a, b}, {b, c}, {a, b, c}, {b, c, d}} τ 3 = {X,, {b}, {a, b}, {b, c}, {a, b, c}}. şi scrieţi familiile vecinătăţilor punctelor c şi a în raport cu aceasta. 59

60 60 Rezolvare. i) Amintim că, în general, pentru o mulţime finită X având n elemente, familia P(X) a părţilor sale are 2 n elemente. Prin urmare, P(X) are 2 4 = 16 elemente. ii) Se verifică cu uşurinţă că singura topologie este τ 3. Amintim că V V(x) D τ astfel ca x D V. Prin urmare, V τ3 (c) = {{b, c}, {a, b, c}, {a, b, c, d}}. V τ3 (a) = {a, b}, {a, b, c}, {a, b, c, d}} Fie clasa σ = {{ }, {A n } n N }, unde A n = {n, n+1, n+2,...}, n N. i) Arătaţi că σ este o topologie pe N. ii) Indicaţi toate mulţimile deschise care conţin numărul 9. iii) Precizaţi F, clasa mulţimilor închise în (N, σ). Rezolvare. i) 1. Fie (E i ) i I σ, oarecare. Evident, I N. Arătăm că E i σ : i I Dacă E i =, atunci E i σ. i I i I Presupunem că E i. i I Deoarece (E i ) i I σ, rezultă că i I, E i σ, deci i I, n i N astfel ca E i = A ni σ. Fără a restrânge generalitatea, presupunem că E i, i I. Acum, i I E i = i I A ni şi, renumerotând eventual, i I A ni (n k ) k N este un şir crescător de numere naturale, deci 2. Fie (E j ) j J σ, J finită. Arătăm că E = E j σ : j J Dacă E j =, atunci E j σ. j J j J = k=1 A nk, unde k=1 A n k = A n1 σ. Presupunem că E j, deci E j, j J. j J Deoarece (E j ) j J σ, rezultă că j J, E j σ, deci j J, n j N astfel ca E j = A nj σ, de unde E j = j J 3. Evident, N, σ. Prin urmare, σ este o topologie pe N. j J A nj = A max j J n j σ. ii) Mulţimile deschise care conţin numărul 9 sunt: A 0 = N, A 1, A 2, A 3,..., A 9. iii) c = N, cn =, ca 1 = {0}, ca 2 = {0, 1},..., ca n = {0, 1,..., n 1},..., deci F = {, N,{0}, {0, 1},..., {0, 1,..., n 1},...} = {{ }, {0, 1,..., n} n N } Fie X o mulţime oarecare, nevidă, şi τ = {X,, A}, unde A este o submulţime proprie a lui X. Stabiliţi dacă τ este o topologie pe X.

61 Rezolvare. Se constată că sunt verificate toate axiomele, deci τ este o topologie pe X Găsiţi toate topologiile formate din 4 mulţimi pe mulţimea X = {a, b, c}. Rezolvare. τ 1 = {X,, {a}, {a, b}}; τ 2 = {X,, {b}, {a, b}}; τ 3 = {X,, {a}, {a, c}}; τ 4 = {X,, {c}, {a, c}}; τ 5 = {X,, {b}, {b, c}}; τ 6 = {X,, {c}, {b, c}}; τ 7 = {X,, {a}, {b, c}}; τ 8 = {X,, {b}, {a, c}}; τ 9 = {X,, {c}, {a, b}} Fie X o mulţime oarecare care are cel puţin două elemente şi fie clasa τ = {X,, A, B}, unde A şi B sunt două submulţimi proprii ale lui X. Ce condiţii trebuie să îndeplinească A şi B astfel ca τ să fie topologie pe X? Rezolvare. Se constată că, deoarece trebuie îndeplnite axiomele unei topologii, sunt posibile doar următoarele situaţii referitoare la mulţimile A şi B: (i) A B = X, A B =, de unde rezultă că B = ca, deci {A, B} este partiţie a lui X; sau (ii) 1. A B = A, de unde B A; 2. A B = B, de unde A B, ceea ce înseamnă că τ este total ordonată în raport cu incluziunea Stabiliţi dacă clasa intervalelor deschise mărginite (degenerate sau nedegenerate) de numere reale este o topologie pe mulţimea R. Rezolvare. Metoda I. Fie τ, clasa intervalelor deschise mărginite (degenerate sau nedegenerate) de numere reale. Observăm că, de exemplu, (0, 1), (2, 3) τ, dar (0, 1) (2, 3) / τ. Metoda II. Observăm că (, )(= R) = n=0 ( n, n) ( x R, n x N astfel ca x ( n x, n x ). Într-adevăr, aceasta echivalează cu faptul că x n x, deci putem alege (cel mai mic) n x cu această proprietate: n x = [ x ] + 1). 61

62 62 Prin urmare, nu orice reuniune de intervale deschise mărginite este un interval cu aceleaşi proprietăţi. În concluzie, clasa intervalelor deschise mărginite (degenerate sau nedegenerate) de numere reale nu este o topologie pe R Fie f : X Y o aplicaţie şi σ o topologie pe Y. Arătaţi că familia f 1 (σ) = {f 1 (E); E σ} este o topologie pe X. Rezolvare. i) Fie (E i ) i I σ, oarecare. Arătăm că E = E i σ : i I Deoarece (E i ) i I σ, rezultă că i I, E i σ, deci i I, f 1 (E i ) σ. Prin urmare, f 1 (E) = f 1 ( E i ) = f 1 (E i ) σ, adică E = E i σ. i I i I i I ii) Fie (E i ) i J σ, J finită. Arătăm că E = E i σ : i J Într-adevăr, deoarece (E i ) i J σ, rezultă că i J, E i σ, deci i J, f 1 (E i ) σ, de unde f 1 (E) = f 1 ( implică E = i J E i σ. iii) Evident X, τ c. Prin urmare, σ este o topologie pe X Fie X = {a, b, c, d, e} şi familiile de mulţimi: τ 1 = {, X, {a}, {a, b}, {a, c}}; τ 2 = {, X, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, c, d}}; τ 3 = {, X, {a}, {a, b}, {a, c, d}, {a, b, c, d}}. Să se precizeze care dintre acestea sunt topologii. Rezolvare. Niciuna nu este topologie. E i ) = f 1 (E i ) τ, ceea ce i J i J Fie X o mulţime nevidă, oarecare şi τ c = {A X; ca este finită} { } (topologia cofinită). Arătaţi că τ c este o topologie veritabilă pe X. Rezolvare. i) Fie (D i ) i I τ c, oarecare. Arătăm că D i τ c : i I 1. Dacă D i =, atunci evident D i τ c. i I i I 2. Presupunem că D i. Prin urmare, i 0 I astfel ca D i0. i I Cum D i0 τ c, rezultă că cd i0 este finită. Întrucât c( D i) = cd i cd i0 i I i I şi cd i0 este finită, rezultă că c( D i ) este finită, deci D i τ c. i I i I ii) Fie D 1, D 2 τ c, oarecare. Arătăm că D 1 D 2 τ c :

63 1. Dacă D 1 D 2 =, atunci evident D 1 D 2 τ c. 2. Presupunem că D 1 D 2. Prin urmare, D 1 şi D 2. Cum D 1, D 2 τ c, obţinem că cd 1 şi cd 2 sunt amândouă finite, deci c(d 1 D 2 ) = cd 1 cd 2 este finită, ceea ce antrenează că D 1 D 2 τ c. iii) Evident, τ c. Deoarece cx = este finită, rezultă că şi X τ c Fie X o mulţime infinită, oarecare şi τ co = {A X; ca este cel mult numărabilă} { } (topologia conumărabilă). Arătaţi că τ co este o topologie veritabilă pe X. Rezolvare. i) Fie (D i ) i I τ co, oarecare. Arătăm că D i τ co : i I 1. Dacă D i =, atunci evident D i τ co. i I i I 2. Presupunem că D i. Prin urmare, i 0 I astfel ca D i0. i I Cum D i0 τ co, rezultă că cd i0 este cel mult numărabilă. Întrucât c( D i) = i I cd i cd i0 şi cd i0 este cel mult numărabilă, rezultă că c( D i ) este cel i I i I mult numărabilă, deci D i τ co. i I ii) Fie D 1, D 2 τ co, oarecare. Arătăm că D 1 D 2 τ co : 1. Dacă D 1 D 2 =, atunci evident D 1 D 2 τ co. 2. Presupunem că D 1 D 2. Prin urmare, D 1 şi D 2. Cum D 1, D 2 τ co, obţinem că cd 1 şi cd 2 sunt amândouă cel mult numărabile, deci c(d 1 D 2 ) = cd 1 cd 2 este cel mult numărabilă, ceea ce antrenează că D 1 D 2 τ co. iii) Evident, τ co. Deoarece cx = este finită, deci cel mult numărabilă, rezultă că şi X τ co Fie R şi clasa τ = {D R; x D x D} { }. Verificaţi că τ este o topologie pe R. Rezolvare. i) Fie (D i ) i I τ, oarecare. Arătăm că D i τ : i I 1. Dacă D i =, atunci evident D i τ. i I i I 2. Presupunem că D i. Fie atunci z D i, oarecare. Există i I i I atunci i 0 I astfel ca z D i0 şi cum D i0 τ, rezulă că z D i0 D i, i I ceea ce antrenează z D i. i I ii) Fie D 1, D 2 τ, oarecare. Arătăm că D 1 D 2 τ : 63

64 64 1. Dacă D 1 D 2 =, atunci evident D 1 D 2 τ. 2. Presupunem că D 1 D 2. Fie z D 1 D 2, oarecare. Atunci z D 1 şi z D 2 şi cum D 1, D 2 τ, obţinem că z D 1 şi z D 2, deci z D 1 D 2. iii) Evident,, R τ Fie X o mulţime oarecare, nevidă şi A o submulţime a sa. Fie τ(a) = { } {D X; D A}. a) Arătaţi că τ(a) este o topologie pe X; b) Arătaţi că τ(a 1 ) τ(a 2 ) dacă şi numai dacă A 1 A 2. Rezolvare. a) i) Fie (D i ) i I τ(a), oarecare. Arătăm că D i τ(a) : i I 1. Dacă D i =, atunci evident D i τ(a). i I i I 2. Presupunem că i I D i. Prin urmare, i 0 I astfel ca D i0 şi cum D i0 τ(a), rezultă că D i0 A, ceea ce antrenează i I D i D i0 A, deci i I D i τ(a). ii) Fie D 1, D 2 τ(a). Arătăm că D 1 D 2 τ(a) : 1. Dacă D 1 D 2 =, atunci evident D 1 D 2 τ(a). 2. Presupunem că D 1 D 2. Atunci D 1 şi D 2 şi cum D 1, D 2 τ(a), obţinem că D 1 A şi D 2 A, deci D 1 D 2 A, ceea ce implică D 1 D 2 τ(a). iii) Evident,, X τ(a). b) Evident, τ(a 1 ) = { } {D X; D A 1 } { } {D X; D A 2 } = τ(a 2 ) dacă şi numai dacă A 1 A Arătaţi că dacă (X, d) este un spaţiu metric oarecare, atunci τ d = {D X; x D, S(x, r) D} { } (topologia indusă de metrica d) este o topologie veritabilă pe X. Rezolvare. (D i ) i I τ d D i τ d : i I 1. Dacă D i =, atunci evident D i τ d. i I i I 2. Presupunem că D i. Fie atunci x D i, oarecare. Există i I i I atunci i 0 I astfel ca x D i0 şi cum D i0 τ d, rezulă că S(x, r 0 ) D i0 D i, ceea ce antrenează S(x, r 0 ) D i, deci D i τ d.. i I i I i I

65 ii) D 1, D 2 τ d D 1 D 2 τ d : 1. Dacă D 1 D 2 =, atunci evident D 1 D 2 τ d. 2. Presupunem că D 1 D 2. Fie x D 1 D 2, oarecare. Atunci x D 1 şi x D 2 şi cum D 1, D 2 τ d, obţinem că S(x, r 1 ) D 1 şi S(x, r 2 ) D 2. Fie r 0 = min{r 1, r 2 }. Atunci S(x, r 0 ) S(x, r 1 ) D 1 şi S(x, r 0 ) S(x, r 2 ) D 2, de unde S(x, r 0 ) D 1 D 2, deci D 1 D 2 τ d. iii) Evident,, X τ d Arătaţi că dacă (X, d) este un spaţiu metric iar x X este oarecare, atunci U 1 (x) = {S(x, r)} r>0 este un sistem fundamental de vecinătăţi ale lui x, iar U 2 (x) = {S(x, 1 )} n n N este un sistem fundamental numărabil de vecinătăţi ale lui x. 65 Rezolvare. I. i) Evident, U 1 (x) V(x) deoarece orice sferă deschisă este vecinătate penru orice punct al său, deci şi pentru centru. ii) De asemenea, din definiţia vecinătăţii unui punct, V V(x), U 0 = S(x, r 0 ) U 1 (x) astfel ca U 0 V, de unde concluzia. I. i) Evident, U 2 (x) V(x) deoarece orice sferă deschisă este vecinătate penru orice punct al său, deci şi pentru centru. ii) U 2 (x) este evident familie nmărabilă. De asemenea, din definiţia vecinătăţii unui punct, V V(x), U 0 = S(x, r 0 ) astfel ca U 0 V. Evident, pentru r 0 există n 0 N astfel încât 1 n 0 < r 0 (adică, echivalent, n 0 > 1 r 0. De exemplu, cel mai mic n 0 N cu această proprietate este n 0 = [ 1 r 0 ]+1). Prin urmare, S(x, 1 n 0 ) S(x, r 0 ) V, deci pentru V am găsit S(x, 1 n 0 ) U 2 (x), cu S(x, 1 n 0 ) V, şi cu aceasta demonstraţia se încheie Arătaţi că dacă (X, d) este un spaţiu metric oarecare, atunci: i) Dacă F X este o mulţime închisă, nevidă, atunci există un şir de mulţimi (D n ) n N τ d astfel ca F = n=1 D n (se spune că F este de tip G δ ); ii) Dacă G X este o mulţime deschisă, nevidă, atunci există un şir de mulţimi închise (F n ) n N X astfel ca G = n=1 F n (se spune că G este de tip F σ ). Rezolvare. i) Fie F X, o mulţime închisă, oarecare şi pentru n N, fie D n = {x F ; d(x, F ) < 1 n }. Arătăm că familia de mulţimi (D n) n N satisface proprietăţile cerute:

66 66 1. F = n=1 D n : Evident, x X, d(x, F ) = 0 < 1 n, deci x D n, n N, ceea ce implică x D n, de unde F D n. n=1 n=1 Pentru incluziunea inversă, fie x D n, oarecare. Aceasta înseamnă că n=1 x D n, n N, de unde d(x, F ) < 1, n n N, ceea ce implică d(x, F ) 0. Deoarece în general d(x, F ) 0, obţinem că d(x, F ) = 0, de unde x F = F (F este închisă, din ipoteză). 2. Arătăm că D n τ d, n N : Mai întâi, remarcăm că din F = D n, rezultă că F D n, n N, deci n=1 D n, n N. Fie atunci n N, x D n, oarecare. Arătăm că S(x, rn) x D n : Într-adevăr, deoarece x D n, rezultă că d(x, F ) < 1 şi fie atunci n rx n = 1 d(x, F ). Evident n rx n > 0. Fie acum y S(x, rn), x oarecare. Vom arăta că y D n, adică d(y, F ) < 1. n Întrucât y S(x, rn), x avem d(x, y) < rn x şi cum în general d(x, A) d(y, A) d(x, y), A (X, d), x, y X, obţinem că d(y, F ) d(x, F ) d(x, y) < rn, x ceea ce antrenează d(y, F ) < d(x, F ) + rn x = 1, adică tocmai n ceea ce intenţionam să arătăm. ii) Fie G τ d, oarecare. Atunci cg este închisă, deci conform cu i), (D n ) n N τ d astfel ca cg = D n. Aceasta, aplicând relaţile lui de n=1 Morgan antrenează G = ccg = c( D n ) = cd n = F n, unde pentru n=1 n=1 n=1 n N, F n = cd n este evident mulţime închisă fiind complementara unei mulţimi deschise Aflaţi interiorul, aderenţa, mulţimea derivată şi frontiera următoarelor mulţimi din (R, τ u ). Specificaţi pentru fiecare mulţime în parte dacă este deschisă, închisă: i) A = Q, A = R\Q; ii) A = [2, 3) {4} (5, 7); iii) A = { 1 n } n N ; iv) A = {(x, y); x 2 + y 2 1}; v) A = {(x, y); 0 < y < x + 1}; vi) A = {(x, y); x 2 + y 2 3}; vii) A = {(x, y); x 2 + y 2 4, x 0};

67 67 viii) A = {( 1 n, 1 n )} n N. Rezolvare. i) intq = : dacă presupunem prin reducere la absurd că intq 0, rezultă că există x 0 intq, deci există ε 0 > 0 astfel încât (x 0 ε 0, x 0 + ε 0 ) Q, ceea ce este absurd, întrucât orice interval conţine şi numere iraţionale. Analog, int(r\q) = : dacă presupunem prin reducere la absurd că int(r\q) 0, rezultă că există x 0 int(r\q), deci există ε 0 > 0 astfel încât (x 0 ε 0, x 0 + ε 0 ) (R\Q), ceea ce este absurd, întrucât orice interval conţine şi numere raţionale. Q = R : evident, Q R şi R Q (deoarece x 0 R, ε > 0, (x 0 ε 0, x 0 + ε 0 ) Q - orice interval conţine numere raţionale). R\Q = R : evident, R\Q R şi R R\Q (deoarece x 0 R\Q, ε > 0, (x 0 ε 0, x 0 + ε 0 ) (R\Q) - orice interval conţine numere iraţionale). Q = R : evident, Q R şi R Q (deoarece x 0 R, ε > 0, (x 0 ε 0, x 0 + ε 0 )\{x 0 } Q - orice interval conţine numere raţionale). (R\Q) = R : evident, (R\Q) R şi R (R\Q) (deoarece x 0 R\Q, ε > 0, (x 0 ε 0, x 0 + ε 0 )\{x 0 } (R\Q) - orice interval conţine numere iraţionale). F rq = Q\intQ = R, F r(r\q) = R\Q\int(R\Q) = R. ii) Folosind definiţiile şi proprietăţile aderenţei şi mulţimii derivate, obţinem că inta = (2, 3) (5, 7), A = [2, 3] {4} [5, 7], A = [2, 3] [5, 7], deci F ra = {2, 3, 4, 5, 7}. A A, deci mulţimea nu este închisă. inta A, deci mulţimea nu este deschisă. iii) A = { 1 } n n N Q, deci inta intq =, de unde inta =. Folosind caracterizarea punctelor de acumulare cu ajutorul şirurilor, observăm că A = {0}, ceea ce implică A = A A = { 1, 0} n n N. Prin urmare, F ra = A\intA = { 1, 0} n n N. A A, deci mulţimea nu este închisă. inta A, deci mulţimea nu este deschisă. iv) Folosind definiţiile (sau caracterizarea cu ε) se observă că inta = {(x, y); x 2 + y 2 < 1}, A = {(x, y); x 2 + y 2 1}, A = {(x, y); x 2 + y 2 1}. Rezultă că F ra = A\intA = {(x, y); x 2 + y 2 = 1}. A = A, deci mulţimea A este închisă. Nu este deschisă (A inta).

68 68 v) inta = {(x, y); 0 < y < x + 1}, A = {(x, y); 0 y x + 1}, A = {(x, y); 0 y x + 1}, F ra = A\intA = {(x, y); y = 0, x [ 1, 0]} {(x, y); y = x + 1, y > 0}. A A, deci mulţimea A nu este închisă. Este deschisă (A = inta). vi) inta = {(x, y); x 2 + y 2 < 4, x > 0}, A = {(x, y); x 2 + y 2 4, x 0}, A = {(x, y); x 2 + y 2 4, x 0}, F ra = A\intA = {(x, y); x 2 + y 2 = 4, x > 0} {(x, y); x = 0, y ( 2, 2)}. A A, deci mulţimea A nu este închisă. Nu este deschisă (A inta). vii) inta = {(x, y); x 2 + y 2 < 2, x > y}, A = {(x, y); x 2 + y 2 2, x y}, A = {(x, y); x 2 + y 2 2, x y} A A, deci mulţimea A nu este închisă. Nu este deschisă (A inta). viii) Vom arăta că inta = : Metoda I. Folosim faptul că int(axb) = (inta)x(intb), de unde inta (intq)x(intq) =, deci inta =. Metoda II. Presupunem prin reducere la absurd că inta, adică există x 0 inta, ceea ce înseamnă că există ε 0 > 0 aşa ca S(x 0, ε) A = {( 1 n, 1 n )} n. Prin urmare, y S(x 0, ε), rezultă că există n 0 N aşa ca y = ( 1 n 0, 1 n 0 ), evident fals. Prin urmare, inta =. Folosind caracterizarea punctelor de acumulare cu ajutorul şirurilor, observăm că A = {(0, 0)}, ceea ce implică A = A A = {( 1 n, 1 n ), (0, 0)} n N. Prin urmare, F ra = A\intA = {( 1 n, 1 n ), (0, 0)} n N. Mulţimea A nu este deschisă (A inta), nici închisă (A A), deci nici compactă. Este mărginită (A S((0, 0), 2) i) Arătaţi că, în (R 2, τ u ) mulţimile A ε = {(x, y) R 2 ; max( x, y ) < ε}, ε > 0 formează un sistem fundamental de vecinătăţi ale originii. ii) Aceeaşi problemă pentru mulţimile B ε = {(x, y) R 2 ; x + y < ε}, ε > 0. Rezolvare. i) Arătăm mai întâi că ε > 0, A ε V(0, 0), ceea ce este evident deoarece ε > 0, r ε = ε > 0 astfel încât S((0, 0), r ε ) A ε ( x 2 + y 2 < ε antrenează max( x, y ) < ε). Arătăm acum că V V(0, 0), ε V > 0 aşa ca A εv V. Fie deci V V(0, 0) oarecare. Prin urmare, există r V > 0 astfel încât S((0, 0), r V ) V. Observăm că există ε V = rv 2 > 0 aşa ca A εv S((0, 0), r V ) V (max( x, y ) < rv 2 antrenează x 2 + y 2 < r V ).

69 ii) Arătăm mai întâi că ε > 0, B ε V(0, 0), ceea ce este evident deoarece ε > 0, r ε = ε 2 > 0 astfel încât S((0, 0), r ε ) A ε ( x 2 + y 2 < ε 2 antrenează ( x + y ) 2 2(x 2 + y 2 ) < ε 2, deci x + y < ε). Arătăm acum că V V(0, 0), ε V > 0 aşa ca B εv V. Fie deci V V(0, 0) oarecare. Prin urmare, există r V > 0 astfel încât S((0, 0), r V ) V. Observăm că există ε V = r V > 0 aşa ca B εv S((0, 0), r V ) V ( x + y < r V antrenează x 2 + y 2 x + y < r V ) Arătaţi că în orice spaţiu normat (X, ), S(x 0, r) = T (x 0, r). Rezolvare. S(x 0, r) T (x 0, r) : z S(x 0, r), rezultă că ε > 0, z ε S(x 0, r) şi z ε S(z, ε), de unde z x 0 z z ε + z ε x 0 < r + ε, deci z x 0 r, ceea ce înseamnă că z T (x 0, r). T (x 0, r) S(x 0, r) : z T (x 0, r), arătăm că ε > 0, z ε S(x 0, r), z ε S(z, ε). Fie z ε = λx 0 + (1 λ)z, λ (0, min(1, ε r )). Atunci z ε x 0 = (1 λ) z x 0 r(1 λ) < r, deci z ε S(x 0, r) şi z ε z = λ z x 0 λr < ε, deci z ε S(z, ε). Observaţie. Rezultatul anterior nu se păstrează pentru spaţii metrice. Astfel, în spaţiul metric discret, S(x, 1) = S(x, 1) = {x} T (x, 1) = X Fie X un spaţiu topologic şi A, B X, două submulţimi oarecare ale sale. Arătaţi că: i) Dacă A B = X, atunci A intb = X; ii) Dacă A B =, atunci A intb =. Rezolvare. i) Evident, A, intb X, deci A intb X. Rămâne să arătăm că X A intb: Într-adevăr, x X, Dacă x A, atunci x A intb, deci incluziunea se verifică. Dacă x / A, atunci x ca = int(ca) int(b) (deoarece ca B întrucât A B = X). Prin urmare, x int(b) A intb, deci din nou incluziunea se verifică. ii) Să presupunem, prin reducere la absurd, că A intb. Există atunci x A intb, adică x A şi x intb. Întrucât x A, urmează că V V(x), V A şi, deoarece x intb, avem B V(x), de unde A B, contradicţie. Prin urmare, A intb =. 69

70 Arătaţi că, într-un spaţiu topologic, o mulţime A este închisă dacă şi numai dacă A A. Rezolvare. Se ştie că A = A A. Prin urmare, A este închisă A = A A = A A A A Arătaţi că, într-un spaţiu topologic (X, τ), o mulţime D este deschisă dacă şi numai dacă A X, A D = implică A D =. Rezolvare. Necesitatea. Fie D,o mulţime D deschisă şi A X oarecare, cu proprietatea că A D =. Să presupunem, prin reducere la absurd, că A D. Prin urmare, x A D, deci D V(x) şi cum x A, rezultă că A D, contradicţie. Suficienţa. Să presupunem că A X, A D = implică A D = şi să arătăm că D τ. Fie în particular A = cd. Atunci A D =, deci, conform presupunerii, A D =, adică în cazul nostru, cd D =, ceea ce implică c(intd) D =, de unde c(intd) cd. Aceasta antrenează intd D şi cum întotdeauna intd D, obţinem că intd = D, adică D τ Fie X o mulţime oarecare, nevidă şi fie aplicaţia ϕ : P(X) P(X), ϕ(a) =, A X. Cercetaţi dacă ϕ este operator de închidere pe X. Rezolvare. Se verifică imediat că ϕ este operator de închidere pe X Fie X{ o mulţime oarecare, nevidă şi fie aplicaţia ϕ : P(X), A = P(X), ϕ(a) =, A X. Cercetaţi dacă ϕ este operator de X, A închidere pe X. Rezolvare. Se verifică imediat că ϕ este operator de închidere pe X Fie X o mulţime oarecare, nevidă şi fie aplicaţia ϕ : P(X) P(X), ϕ(a) = A, A X. Cercetaţi dacă ϕ este operator de derivare pe X. Rezolvare. Se verifică imediat că ϕ este operator de derivare pe X Fie X{ o mulţime oarecare, nevidă şi fie aplicaţia ϕ : P(X), A = P(X), ϕ(a) =, A X. Cercetaţi dacă ϕ este operator de X, A derivare pe X.

71 71 Rezolvare. Se verifică imediat că ϕ este operator de derivare pe X Fie X o mulţime oarecare, nevidă şi τ 1, τ 2, două topologii pe X astfel încât τ 1 τ 2. Arătaţi că: i) Dacă spaţiul (X, τ 2 ) este separabil, atunci şi (X, τ 1 ) este separabil; ii) Dacă x A τ 2, atunci A τ 1 ; iii) Găsiţi două spaţii topologice (X, τ 1 ), (X, τ 2 ), cu τ 1 τ 2 astfel încât, pentru o mulţime A X, un punct de acumulare a lui A în (X, τ 1 ) să nu fie punct de acumulare a lui A în (X, τ 2 ). Rezolvare. i) Afirmaţia este imediată folosind definiţile şi constatând că dacă A τ 2 = X atunci şi A τ 1 = X (deoarece τ 1 τ 2 ). ii) Afirmaţia este evidentă. iii) Fie (R, τ 0 ) şi (R, τ u ), unde τ 0 = P(R) este topologia discretă, iar τ u este topologia uzuală pe R. Fie de asemenea A = ( 1 ) n n N. Atunci evident τ u τ 0, 0 A τu, 0 / A τ 0. Într-adevăr, dacă am presupune prin reducere la absurd că 0 A τ 0, ar rezulta că V V(0), [V \{0}] A. Dar V V(0) dacă şi numai dacă există D τ 0 = P(R) (adică D R) astfel ca 0 D V. Este suficient atunci să considerăm V = {0, 2} (care este vecinătate a lui 0) iar [V \{0}] A =, contradicţie Arătaţi că, într-un spaţiu topologic (X, τ), o mulţime A este rară dacă şi numai dacă D τ, D, D 1 τ, D 1 astfel ca D 1 D şi D 1 A =. Rezolvare. Necesitatea. Să presupunem că int(a) = şi fie D τ, D, oarecare. Considerăm mulţimea D 1 = D\A. Deoarece A este mulţime închisă, rezultă că ca τ. Întrucât D τ, obţinem că D 1 = D ca τ. De asemenea, este evident că D 1 D iar D 1 A = D ca A = D (A\A) = D =. Rămâne să arătăm că D 1. Într-adevăr, dacă presupunem prin reducere la absurd că D 1 =, aceasta implică D A, de unde, int(d) int(a) =, deci int(d) =. Cum D τ, avem D = int(d), deci D =, contradicţie. Suficienţa. Să presupunem prin reducere la absurd că D not. = int(a). Evident, D τ şi atunci, conform ipotezei, D 1 τ, D 1 astfel ca D 1 D şi D 1 A =. Întrucât D 1, x D 1 D = int(a) A, aşadar x A. Pe de altă parte, deoarece D 1 τ şi x D 1, rezultă că D 1 V(x) şi cum x A, obţinem că D 1 A, contradicţie.

72 Arătaţi că orice reuniune finită de mulţimi rare este o mulţime rară. Rămâne rezultatul adevărat pentru reuniuni infinite? Rezolvare. Fie (A i ) i=1,p o familie finită de mulţimi rare. Arătăm că A = p i=1 A i este rară. Deoarece A 1 este rară, conform problemei anterioare avem: D τ, D, D 1 τ, D 1 astfel ca D 1 D şi D 1 A 1 =. Analog, deoarece A 2 este rară, pentru D 1 τ, D 1, D 2 τ, D 2 astfel ca D 2 D 1 (deci D 2 D) şi D 2 A 2 =. Cum D 1 A 1 = şi D 2 D 1, avem D 2 A 1 =. Aceasta implică D 2 (A 1 A 2 ) = (D 2 A 1 ) (D 2 A 2 ) =. Procedând similar, la pasul p, deci pentru mulţimea rară A p, avem că pentru D p 1 τ, D p 1, D p τ, D p astfel ca D p D p 1 (deci D p D) şi D p A = D p (A 1... A p ) =, de unde din nou, conform teoremei anterioare, obţinem că mulţimea A este rară. Observaţie. Evident, o reuniune infinită de mulţimi rare nu este neapărat o mulţime rară: Q = {r n }, n N, {r n } este rară: int({r n }) = int({r n }) = n=1, dar int(q) = int(r) = R, deci Q nu este rară Fie R = R {, + } şi τ i = {(α, + ); α R}, τ s = {(, α); α R}. Arătaţi că: 1. i) τ i este o topologie pe R (numită topologia inferioară pe R) şi τ i τ u. ii) O bază numărabilă pentru τ i este B = {(q, + ); q Q} (Prin urmare, (R, τ i ) satisface C 2 (axioma a doua a numărabilităţii)). 2. i) τ s este o topologie pe R (numită topologia superioară pe R) şi τ s τ u. ii) O bază numărabilă pentru τ s este B = {(, q); q Q} (deci (R, τ s ) satisface C 2 ). Observaţie. i) (R, τ i ) şi (R, τ s ) nu sunt metrizabile. ii) τ u este cea mai puţin fină topologie pe R care conţine τ i τ s. Rezolvare. Evident, τ i τ u şi τ s τ u. 1. i) Evident,, R = (, + ) τ i. Fie D 1, D 2 τ i, oarecare. Arătăm că D 1 D 2 τ i : Întrucât D 1, D 2 τ i, rezultă că D 1 = (α 1, + ), D 2 = (α 2, + ), α 1, α 2 R. Atunci D 1 D 2 = (α 1, + ) (α 2, + ) = (max{α 1, α 2 }, + ), deci D 1 D 2 τ i. Fie (D j ) j J τ i, oarecare. Arătăm că j J D j τ i :

73 Întrucât (D j ) j J τ i, rezultă că j J, D j = (α j, + ), α j R. Atunci D j = (α j, + ) = (inf α j J j J j, + ), deci D j τ i. j J j J ii) Evident, B τ i. În plus, arătăm că D τ i, (B j ) j J B astfel ca D = B j : j J Deoarece D τ i, avem D = (α, + ), α R. Dacă α =, atunci (, + ) = R = n=0 ( n, + ); Dacă α = +, atunci (+, + ) = ; Dacă α R,există evident un şir descrescător (r n ) n N Q, convergent la α, ceea ce implică imediat (α, + ) = n=0 (r n, + ). 2. i) Evident,, R = (, + ) τ s. Fie D 1, D 2 τ s, oarecare. Arătăm că D 1 D 2 τ s : Întrucât D 1, D 2 τ s, rezultă că D 1 = (, α 1 ), D 2 = (, α 2 ), α 1, α 2 R. Atunci D 1 D 2 = (, α 1 ) (, α 2 ) = (, min{α 1, α 2 }), deci D 1 D 2 τ s. Fie (D j ) j J τ s, oarecare. Arătăm că D j τ s : j J Întrucât (D j ) j J τ s, rezultă că j J, D j = (, α j ), α j R. Atunci D j = (, α j ) = (, supα j ), deci D j τ s. j J j J j J j J ii) Evident, B τ s. În plus, arătăm că D τ s, (B j ) j J B astfel ca D = j J B j : Deoarece D τ s, avem D = (, α), α R. Dacă α =, atunci (, ) = ; Dacă α = +, atunci (, + ) = R = n=0 (, n); Dacă α R,există evident un şir crescător (r n ) n N Q, convergent la α, ceea ce implică imediat (, α) = n=0 (, r n ) Fie f : (X, τ) (Y, σ), B o bază pentru σ şi S o subbază pentru σ. Arătaţi că următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) f este continuă pe X; ii) B B, f 1 (B) τ; iii) S S, f 1 (S) τ. Rezolvare. i) ii): Deoarece f este continuă pe X, rezultă că D σ, f 1 (D) τ. În particular, B B( σ), avem f 1 (B) τ. 73

74 74 ii) i): Fie D σ oarecare. Arătăm că f 1 (D) τ. Într-adevăr, deoarece B este bază pentru σ, rezultă că (B i ) i I B astfel ca D = B i. În i I consecinţă, f 1 (D) = f 1 ( B i ) = f 1 (B i ) şi cum din ipoteză f 1 (B i ) i I i I τ, i I, rezultă că şi f 1 (D) τ. i) iii): Deoarece f este continuă pe X, rezultă că D σ, f 1 (D) τ. În particular, S S( σ), avem f 1 (B) τ. iii) i): Fie D σ oarecare. Arătăm că f 1 (D) τ. Într-adevăr, deoarece B = { S i } J finită este bază pentru σ, rezultă că (S i,j ) j Γi S astfel ca D = ( S i,j ), de unde f 1 (D) = f 1 ( ( S i,j )) = f 1 ( S i,j ) = i J i J j Γi i J j Γi i J j Γi f 1 (S i,j ). Din ipoteză, i J, j Γ i, avem f 1 (S i,j ) τ şi atunci i J j Γ i f 1 (D) τ Fie X = {a, b, c}. Arătaţi că familia B = {{a, b}, {b, c}} nu este bază pentru nicio topologie pe X. Rezolvare. Topologiile pe X sunt: τ 1 = {X, }; τ 2 = {X,, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}} = P(X); τ 3 = {X,, {a}, {a, b}}; τ 4 = {X,, {a}, {a, c}}; τ 5 = {X,, {b}, {a, b}}; τ 6 = {X,, {c}, {a, c}}; τ 7 = {X,, {b}, {b, c}}; τ 8 = {X,, {c}, {b, c}}; τ 9 = {X,, {a}, {b, c}}; τ 10 = {X,, {b}, {a, c}}; τ 11 = {X,, {c}, {a, b}}. Observăm că singura topologie care să conţină B este τ 2, dar există mulţimi din τ 2 care nu pot fi scrise ca reuniuni de mulţimi din B (de exemplu, mulţimile punctuale) Arătaţi că dacă τ este o topologie pe o mulţime nevidă oarecare X, astfel ca orice funcţie reală f : (X, τ) (R, τ u ) este continuă pe X, atunci τ = P(X) (topologia discretă).

75 Rezolvare. Deoarece τ P(X), rămâne să arătăm că P(X) τ. Fie deci A X, oarecare şi pentru x X, fie funcţia caracteristică ℵ A (x) = { 1, x A 0, x ca. Din ipoteză, ℵ A este continuă pe X şi întrucât ca = f 1 ({0}) iar {0} este mulţime închisă, obţinem că ca este închisă, de unde A τ Fie f : (X, τ) (X, τ ) o funcţie oarecare. Arătaţi că: i) f este aplicaţie închisă dacă şi numai dacă A X, f(a) f(a); ii) f este aplicaţie deschisă dacă şi numai dacă A X, int(f(a)) f(inta). Rezolvare. i) Necesitatea. Fie A X oarecare. Deoarece A este închisă, conform ipotezei f(a) este închisă, deci f(a) = f(a). Pe de altă parte, A A, deci f(a) f(a), ceea ce implică f(a) f(a) = f(a). Suficienţa. Fie A X închisă. Arătăm că f(a) este închisă. Întradevăr, deoarece A este închisă, rezultă că f(a) = f(a) şi cum din ipoteză f(a) f(a), obţinem că f(a) f(a). Deoarece întotdeauna f(a) f(a), se obţine concluzia. ii) Necesitatea. Fie A X oarecare. Deoarece int(a) este deschisă, conform ipotezei f(int(a)) este deschisă, deci f(int(a)) = int(f(int(a))). Pe de altă parte, int(a) A, deci f(int(a)) f(a), ceea ce implică f(int(a)) = int(f(int(a))) int(f(a)). Suficienţa. Fie A X deschisă. Arătăm că f(a) este deschisă. Întradevăr, deoarece A este deschisă, rezultă că f(a) = f(int(a)) şi cum din ipoteză int(f(a)) f(inta), obţinem că f(a) = f(int(a)) int(f(a)). Deoarece întotdeauna int(f(a)) f(a), se obţine concluzia Arătaţi că a, b R, subspaţiile [a, b] şi [0, 1] (R, τ u ) sunt homeomorfe. Rezolvare. Se observă cu uşurinţă că aplicaţia f : [0, 1] [a, b], f(x) = (b a)x + a, x [0, 1] este bijectivă şi bicontinuă, deci homeomorfism Fie (X, τ) un spaţiu topologic oarecare, B o bază pentru τ şi (Y, τ ) un subspaţiu topologic al lui (X, τ). Arătaţi că B = {E Y ; E = B Y, B B} este o bază pentru τ. 75

76 76 Rezolvare. τ = {D Y ; D = D Y, D τ}. Deoarece B τ, rezultă că B = {E Y ; E = B Y, B B} τ = {D Y ; D = D Y, D τ}. Rămâne să arătăm că D τ, (B i ) i I B astfel ca D = i I B i. Fie deci D τ, oarecare. Atunci D τ astfel ca D = D Y. Deoarece D τ şi B este bază pentru τ, (B i ) i I B astfel ca D = B i. Prin urmare, i I D = D Y = ( B i ) Y = (B i Y ). Deoarece (B i ) i I B, rezultă că i I i I (B i Y ) i I B, de unde concluzia Fie X = {a, b, c, d, e, }, τ = {X,, {a}, {a, b}, {a, c, d}, {a, b, c, d}, {a, b, e}}. i) Arătaţi că τ este topologie pe X; ii) Aflaţi topologia τ indusă de τ pe Y = {a, d, e}; iii) Fie A = {a, e}. Aflaţi A τ ; iv) Fie A = {a, d}. Aflaţi F ra τ. Rezolvare. i) Se verifică imediat în mod direct că τ este topologie pe X. ii) τ = {D Y ; D τ} = {{a, d, e},, {a}, {a, d}, {a, e}}. iii) A τ = F A,F F F, unde F este familia tuturor mulţimilor închise în τ, deci F = {{a, d, e},, {d, e}, {e}, {d}}. Prin urmare, A τ = {a, d, e}. iv) F ra τ = A τ ca τ = ( F A,F F F ) ( {d, e} {e} = {e}. F ca,f F F ) = {a, d, e} Fie (X, τ) un spaţiu topologic oarecare şi (Y, τ ) un subspaţiu topologic al lui (X, τ). Arătaţi că: i) A τ = A Y ; ii) (inta) τ = (inta) Y. Rezolvare. i) A τ = F A,F F F, unde F este familia tuturor mulţimilor închise în τ, adică F = {F Y ; cf τ}. Prin urmare, A τ = (F Y ) = ( F ) Y = A Y. F A,cF τ F A,cF τ ii) Analog, (inta) τ =, D = {D Y ; D τ}. Prin urmare, D A,D τ D (inta) τ = (D Y ) = ( D) Y = (inta) Y. D A,D τ D A,D τ

77 2.39. Arătaţi că dacă f, g : (X, τ) (Y, σ) sunt funcţii continue, iar (Y, σ) este spaţiu separat T 2, atunci mulţimea A = {x X; f(x) = g(x)} este închisă. Dacă în plus (X, τ) este compact, arătaţi că A este compactă. Rezolvare. Să arătăm mai întâi că mulţimea A este închisă. Pentru aceasta, este suficient să arătăm că A A. Fie deci x A oarecare. Există atunci (x α ) α Γ A astfel ca x α x. Deoarece x α A, α Γ, rezultă f(x α ) = g(x α ), α Γ. Pe de altă parte, deoarece f, g sunt funcţii continue, iar x α x, rezultă f(x α ) f(x) şi g(x α ) g(x). Întrucât (Y, σ) este spaţiu separat T 2, limita oricărui şir generalizat este unică şi astfel obţinem că f(x) = g(x), adică x A. În concluzie, A A, de unde mulţimea A este închisă. Dacă în plus (X, τ) este compact, rezultă imediat că mulţimea A este compactă, fiind închisă Fie (X, τ) un spaţiu topologic compact, f : (X, τ) (R, τ u ) o funcţie continuă şi α, β R, oarecare. Arătaţi că următoarele submulţimi ale lui X sunt compacte: A 1 = {x X; f(x) α}; A 2 = {x X; f(x) α}; A 3 = {x X; f(x) = α}; A 4 = {x X; α f(x) β}. Rezolvare. Deoarece X este compact, este suficient să arătăm că fiecare dintre mulţimile A 1, A 2, A 3, A 4 este închisă. Într-adevăr, deoarece A 1 = {x X; f(x) [α, + )} = f 1 ([α, + )), f este aplicaţie continuă pe X iar mulţimea [α, + ) este închisă în (R, τ u ), rezultă că A 1 este închisă. Se raţionează analog pentru mulţimile A 2 = {x X; f(x) (, α]} = f 1 ((, α]) şi A 3 = {x X; f(x) {α}} = f 1 ({α}). Mulţimea A 4 = {x X; f(x) α} {x X; f(x) β}, deci este închisă, ca intersecţie a două mulţimi închise Fie f : (X, τ) (Y, σ) o funcţie bijectivă şi continuă. Arătaţi că dacă (X, τ) este compact, iar (Y, σ) este spaţiu separat T 2, atunci f este homeomorfism. Rezolvare. Arătăm că f 1 : (X, τ) (Y, σ) este aplicaţie continuă, adică, echivalent că este închisă (duce închişi tot în închişi). Fie deci A X 77

78 78 o mulţime închisă, oarecare. Arătăm că mulţimea f(a) este închisă. Întradevăr, cum spaţiul (X, τ) este compact, rezultă că mulţimea A este compactă şi cum f este continuă, rezultă că mulţimea f(a) este compactă, deci închisă (întrucât (Y, σ) este spaţiu separat T 2 ) Fie f : (X, τ) (Y, σ) o aplicaţie continuă şi A X o mulţime nevidă, oarecare. Fie x A. Implică aceasta întotdeauna că f(x) (f(a))? Rezolvare. Răspunsul este în general negativ. De exemplu, fie aplicaţia f : (R, τ u ) (([0, 1] {3}), τ u )), f(x) = 3, x R. Atunci f este continuă pe R şi x R, f(x) = 3 / ([0, 1] {3}) = [0, 1] Arătaţi că dacă X este o mulţime oarecare nevidă, iar τ 1, τ 2 P(X), atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) τ 1 τ 2 ; ii) D τ 1, rezultă că D τ 2 ; iii) F închisă în τ 1, rezultă că F este închisă în τ 2. Rezolvare. Evident, τ 1 τ 2 τ 1 τ 2 D τ 1, rezultă că D τ 2, deci i) ii). ii) iii): Fie F închisă în τ 1, oarecare. Atunci cf τ 1, de unde rezultă că cf τ 2, adică F este închisă în τ 2. Reciproc, dacă D τ 1 este oarecare, atunci cd este închisă în τ 1, de unde rezultă că cd este închisă în τ 2, adică D τ Arătaţi că dacă X este o mulţime infinită, atunci dintre toate topologiile T 1 pe X, cea mai puţin fină este topologia cofinită. Rezolvare. Fie τ o topologie arbitrară pe X încât spaţiul (X, τ) este separat T 1. Trebuie să arătăm că τ c τ, adică, echivalent, conform problemei anterioare, că F închisă în τ c, rezultă că F este închisă în τ. Deoarece F este mulţime închisă în τ c, aceasta înseamnă că cf τ c, deci F este finită, adică F = p i=1 {x i }. Spaţiul (X, τ) fiind separat T 1, {x i } este mulţime închisă (în τ), i = 1, p, ceea ce implică faptul că mulţimea F este de asemenea închisă (în τ) Fie (X, τ), (Y, σ) două spaţii topologice şi A X, B Y două mulţimi oarecare. Arătaţi că dacă A este închisă în X, iar B este închisă în Y, atunci A B este închisă în spaţiul topologic produs X Y.

79 Rezolvare. Deoarece X\A şi Y \B sunt mulţimi deschise, atunci şi (X\A) Y şi (Y \B) X sunt deschise (în X Y ). Prin urmare, (X Y )\(A B) = ((X\A) Y ) (X (Y \B)) este deschisă (în X Y ), de unde concluzia Fie (X, τ), (Y, σ) două spaţii topologice separate Hausdorff. Arătaţi că şi spaţiul topologic produs (X Y, τ σ) este separat Hausdorff. Rezolvare. Fie (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) două puncte distincte, oarecare din spaţiul topologic produs. Atunci x 1 x 2 sau y 1 y 2. Fără a restrânge generalitatea, presupunem că x 1 x 2. Întrucât (X, τ) este separat Hausdorff, există în X două vecinătăţi deschise disjuncte V 1 V(x 1 ), V 2 V(x 2 ). prin urmare, există în (X Y, τ σ) două vecinătăţi deschise disjuncte V 1 Y, V 2 Y ale lui (x 1, y 1 ), respectiv (x 2, y 2 ) Arătaţi că orice intersecţie finită de mulţimi compacte dintr-un spaţiu topologic separat T 2 este de asemenea mulţime compactă. Rezolvare. Fie (K i ) i=1,p o familie finită de mulţimi compacte într-un spaţiu topologic separat T 2. Din ipoteză, i = 1, p, K i este mulţime închisă, de unde p K i este închisă. Deoarece i = 1, p, K i K i iar K i este i=1 i=1 compact, rezultă că p i=1 K i este compactă Arătaţi că dacă (X, τ) este un spaţiu topologic, F este un filtru oarecare pe X, x 0 lim F, atunci x 0 este punct aderent pentru F (adică, F F, avem x 0 F ). Rezolvare. Întrucât x 0 lim F, rezultă că F V(x 0 ). Fie F F, oarecare. Vom arăta că x 0 F, adică, echivalent, că F V, V V(x 0 ). Fie deci V V(x 0 ), oarecare. Deoarece F V(x 0 ), obţinem că V F şi cum F F, iar / F, urmează că V F Fie X o mulţime infinită oarecare. Arătaţi că F = {F X; cf este finită} este un filtru pe X. Rezolvare. i) Fie F F şi F F, oarecare. Arătăm că F F. Întradevăr, deoarece F F, rezultă că cf este finită şi cum cf cf, obţinem că cf este finită, adică F F. p 79

80 80 ii) Fie F 1, F 2 F, oarecare. Arătăm că F 1 F 2 F. Într-adevăr, deoarece F 1, F 2 F, rezultă că cf 1, cf 2 sunt finite şi cum c(f 1 F 2 ) = cf 1 cf 2, obţinem că c(f 1 F 2 ) este finită, adică F 1 F 2 F. iii) Deoarece mulţimea c = X nu este finită, rezultă că / F. În plus, F deoarece îl conţine măcar pe X Arătaţi că într-un spaţiu topologic (X, τ) separat T 2, aderenţa oricărei mulţimi compacte este compactă. Rezolvare. Fie A, o mulţime compactă într-un spaţiu topologic (X, τ) separat T 2. Atunci A este închisă, deci A = A este compactă Arătaţi că într-un spaţiu topologic oarecare, dacă mulţimile A, B X sunt separate (adică A B = şi A B = ), iar A 1 A, B 1 B sunt submulţimi oarecare, atunci A 1, B 1 sunt de asemenea separate (proprietate de ereditate). Rezolvare. Afirmaţia este imediată întrucât A 1 A, B 1 B, iar relaţia de incluziune se păstrează prin trecere la aderenţă Fie A, B două submulţimi disjuncte ale unui spaţiu topologic. Arătaţi că dacă A, B sunt fie amândouă deschise, fie amândouă închise, atunci sunt separate. Rezolvare. 1. Să presupunem mai întâi că ambele mulţimi A, B sunt deschise. Vom arăta că A B = (prin dualitate, va rezulta că şi A B = ). Să presupunem, prin reducere la absurd, că A B, deci x 0 A şi x 0 B. Deoarece B este deschisă, avem B V(x 0 ) şi cum x 0 A, rezultă că A B, contradicţie. 2. Să presupunem acum că ambele mulţimi A, B sunt închise. Atunci evident A B = A B = şi A B = A B = Arătaţi că spaţiul X = {a, b} pentru care mulţimile deschise sunt, {a}, {a, b} este conex. Rezolvare. Evident, din ipoteză, τ = {, {a}, {a, b}}, deci X nu se poate partiţiona în două mulţimi deschise nevide disjuncte Arătaţi că orice spaţiu topologic cofinit (X, τ c ), unde X este infinită, este conex.

81 Rezolvare. Presupunem, prin reducere la absurd, că (X, τ c ) nu este conex. Prin urmare, D 1, D 2 τ c mulţimi nevide astfel ca = D 1 D 2, de unde X = c = cd 1 cd 2. Întrucât cd 1, cd 2 sunt finite, ar rezulta că X este mulţime finită, ceea ce este fals Arătaţi printr-un exemplu că proprietatea de conexiune nu are caracter ereditar. Rezolvare. Evident, (Q, τ u ) (R, τ u ), R = (, ) este interval, deci mulţime conexă, dar R nu este interval, deci nu este mulţime conexă Arătaţi că o aplicaţie bijectivă f : (X, τ) (X, τ ) este: i) deschisă dacă şi numai dacă f 1 : (X, τ ) (X, τ) este continuă pe X. ii) închisă dacă şi numai dacă este deschisă. iii) homeomorfism dacă şi numai dacă este aplicaţie continuă şi deschisă. Rezolvare. i) f 1 : (X, τ ) (X, τ) este continuă pe X dacă şi numai dacă D τ, avem (f 1 ) 1 (D) = f(d) τ, ceea ce înseamnă, echivalent, că f este deschisă. ii) Necesitatea. Fie D τ, oarecare. Atunci cd este mulţime închisă şi cum f este închisă, rezultă că mulţimea f(cd) = cf(d) (f este bijectivă) este închisă, adică f(d) este deschisă. Suficienţa. Fie F o mulţime τ-închisă, oarecare. Atunci cf τ şi cum f este deschisă, rezultă că mulţimea f(cf ) = cf(f ) este deschisă, adică f(f ) este închisă. iii) Se aplică i) Fie I = (, 0) R, (I, ). Fie şirul generalizat (x i ) i I R, x i = i, i I. Arătaţi că x i 0 în sens generalizat. Rezolvare. Arătăm că V V(0), i V I astfel ca i I, i i V, avem x i V. Fie atunci V V(0), oarecare. Fără a restrânge generalitatea, putem presupune că V = ( ε, ε), unde ε > 0 este oarecare. Evident, i V = ε( I). Fie i I, i > i V = ε. Atunci x i = i > ε şi cum i I = (, 0), rezultă că i < 0 < ε, de unde x i = i ( ε, ε) = V, deci concluzia Arătaţi că un spaţiu topologic format dintr-un singur punct este conex. 81

82 82 Rezolvare. Fie X = {a} o mulţime înzestrată cu o topologie τ. Atunci, în mod necesar, τ = {X, }, deci X nu se poate partiţiona în două mulţimi deschise nevide disjuncte Fie (X, τ), (Y, σ) două spaţii topologice. Arătaţi că: i) Dacă x X este arbitrar iar (Y, σ) este spaţiu conex, atunci {x} Y este de asemenea spaţiu conex; ii) Fie A X, B Y, mulţimi oarecare, nevide. Dacă X şi Y sunt mulţimi conexe, atunci (X Y )\(A B) este de asemenea spaţiu conex. Rezolvare. i) Arătaţi că dacă n N, atunci spaţiile R n şi R nu sunt homeomorfe. Rezolvare. Să presupunem, prin reducere la absurd, că există un homeomorfism f : R n R şi fie restricţia f : R n \{f 1 (0)} R\{0} a lui f. Se verifică cu uşurinţă că f este în continuare un homeomorfism. Conform problemei anterioare, deoarece R n \{f 1 (0) este conex, ar trebui ca şi R\{0} = (, 0) (0, + ) să fie conex, ceea ce este fals Fie X o mulţime oarecare, nevidă şi (τ j ) j J P(X), o familie oarecare de topologii pe X. Arătaţi că τ = τ j este de asemenea o topologie j J pe X. Rezolvare. Fie (A i ) i I τ, o familie oarecare. Arătăm că A i τ : i I Deoarece (A i ) i I τ, rezultă că i I, A i τ = τ j, deci i I, j j J J, A i τ j. Prin urmare, j J, A i τ j, de unde A i τ j = τ. i I i I j J ii) Fie (A i ) i I τ, I finită. Arătăm că A i τ : i I Într-adevăr, deoarece (A i ) i I τ, rezultă că i I, A i τ = τ j, deci j J i J, j J, A i τ j. Prin urmare, j J, A i τ j, de unde A i i I i I τ j = τ. j J iii) Evident, j J, X, τ j, deci X, τ = τ j. j J În consecinţă, τ este o topologie pe X Arătaţi că dacă (X, τ) este un spaţiu topologic conex şi τ este o topologie pe X astfel ca τ τ, atunci (X, τ ) este de asemenea conex.

83 83 Rezolvare. Afirmaţia este imediată aplicând definiţiile Fie (X, τ) un spaţiu topologic compact şi f : (X, τ) (R +, τ u ) o funcţie continuă şi pozitivă. Arătaţi că există α > 0 astfel ca f(x) α, x X. Rezolvare. Deoarece (X, τ) este spaţiu topologic compact şi f : (X, τ) (R +, τ u ) este funcţie continuă, rezultă că mulţimea f(x) R este compactă, deci este mărginită, ceea ce înseamnă că f este mărginită şi îşi atinge marginile pe X. Prin urmare, există în R, α = inf f(x) = f(x 1), cu x 1 X. x X Deoarece f : (X, τ) (R +, τ u ), rezultă că f(x 1 ) > 0, deci există α > 0 astfel ca f(x) inf f(x) = α, x X. x X Arătaţi că produsul al două topologii discrete este topologia discretă. Rezolvare. Fie X şi Y două mulţimi nevide, oarecare şi fie τ 1 = P(X), τ 2 = P(Y ). Atunci τ 1 τ 2 = P(X) P(Y ) = P(X Y ) Arătaţi că orice subspaţiu al unui spaţiu discret este spaţiu discret. Rezolvare. Fie X o mulţime oarecare, nevidă, (X, τ 0 = P(X)) şi fie Y X. Atunci τ 0Y = {D Y ; D = D Y, D τ 0 } = P(Y ) Arătaţi că aplicaţia f : (R, τ u ) (R, τ u ), f(x) = x 2 nu este deschisă. Rezolvare. Într-adevăr, f(( 1, 1)) = [0, 1) Arătaţi că topologia uzuală pe R 2 coincide cu topologia produs a topologiei uzuale pe R cu ea însăşi. Rezolvare. Vom arăta prin dublă incluziune că τu R2 = τu R τu R. Întradevăr, fie D τu R2, oarecare. Vom arăta că D τu R τu R. Fie (x, y) D, oarecare. Deoarece D τu R2, S((x, y), r) = intc((x, y), r) D. Evident, există r 1 > 0 astfel ca (x r 1, x + r 1 ) (y r 1, y + r 1 ) S(x, r) D. Întrucât (x r 1, x + r 1 ) (y r 1, y + r 1 ) τu R2 şi (x, y) (x r 1, x + r 1 ) (y r 1, y + r 1 ), rezultă că (x r 1, x + r 1 ) (y r 1, y + r 1 ) V τ u R τu R (x, y) şi cum (x r 1, x + r 1 ) (y r 1, y + r 1 ) D, urmează că D V τ u R τu R (x, y), deci D τu R τu R.

84 84 Invers, fie D τu R τu R, oarecare. Arătăm că D τu R2. Deoarece D τu R τu R, rezultă că D = D 1 D 2, D 1, D 2 τu R. Fie (x, y) D, oarecare. Atunci x D 1, y D 2 şi cum D 1, D 2 τu R, avem D 1 V τ u R (x), D2 V τ u R (y), deci există r1 > 0 astfel ca S(x, r 1 ) = (x r 1, x + r 1 ) D 1 şi există r 2 > 0 astfel ca S(y, r 2 ) = (y r 2, y + r 2 ) D 2. Evident, există r > 0 încât S((x, y), r) = intc((x, y), r) (x r 1, x+r 1 ) (y r 2, y+r 2 ) D 1 D 2 = D. Cum S((x, y), r) V τ R2 u (x, y), rezultă că D τ R 2 u şi demonstraţia se încheie Fie B 1 o bază pentru o topologie τ 1 pe o mulţime oarecare, nevidă, X 1 şi B 2 o bază pentru o topologie τ 2 pe o mulţime oarecare, nevidă, X 2. Arătaţi că clasa B = {B 1 B 2 ; B 1 B 1, B 2 B 2 } este o bază pentru topologia produs τ 1 τ 2 pe X 1 X 2. Rezolvare. Verificăm cele două axiome ale unei baze. i) Deoarece B 1 τ 1 şi B 2 τ 2, rezultă că B τ 1 τ 2. Într-adevăr, B B, B = B 1 B 2, unde B 1 B 1 şi B 2 B 2. Prin urmare, B = B 1 B 2, unde B 1 τ 1 şi B 2 τ 2, deci B τ 1 τ 2. ii) Fie D τ 1 τ 2, oarecare. Atunci D = D 1 D 2, unde D 1 τ 1 şi D 2 τ 2. Deoarece B 1 este bază pentru τ 1 şi B 2 este bază pentru τ 2, există (Bi 1 ) i I B 1 şi (Bj 2 ) j J B 2 aşa încât D 1 = Bi 1 i I urmare, D = ( Bi 1 ) ( Bj 2 ) = i I j J iar D 2 = j J B 2 j. Prin (i,j) I J (B1 i Bj 2 ). Evident, (i, j) I J, B 1 i B 2 j B. Prin urmare, B este bază pentru topologia produs τ 1 τ 2 pe X 1 X Fie X = {a, b} şi τ = {, {a}, X}. Arătaţi că: i) τ este o topologie pe X; ii) (X, τ) este separat T 0 ; iii) Este (X, τ) separat T 1? Rezolvare Fie (X, τ 1 ), (Y, τ 2 ) două spaţii topologice oarecare şi fie două mulţimi A, B, A X, B Y. i) Arătaţi că A B = A B; ii) Arătaţi că dacă (X, τ 1 ), (Y, τ 2 ) sunt spaţii separabile, atunci spaţiul topologic produs (X Y, τ 1 τ 2 ) este de asemenea separabil.

85 Rezolvare Arătaţi că dacă (X, τ 1 ), (Y, τ 2 ) sunt spaţii topologice care verifică prima axiomă a numărabilităţii, atunci şi spaţiul topologic produs (X Y, τ 1 τ 2 ) verifică prima axiomă a numărabilităţii. Rezolvare. Fie x X, y Y oarecare, V 1 (x) sistemul vecinătăţilor punctului x în (X, τ 1 ), V 2 (y) sistemul vecinătăţilor punctului y în (Y, τ 2 ) şi U 1 (x) = {Un(x)} 1 n N (X, τ 1 ), U 2 (y) = {Um(y)} 2 m N (Y, τ 2 ) sisteme fundamentale numărabile de vecinătăţi pentru x, respectiv y. Evident, U 1 (x) U 2 (y) = {Un(x) U 1 m(y)} 2 (n,m) N 2 este o familie numărabilă de mulţimi. Pe de altă parte, n N, Un(x) 1 U 1 (x) V 1 (x) şi m N, Um(x) 2 U 2 (y) V 2 (y). Prin urmare, n N, Dn 1 τ 1 aşa ca x Dn 1 Un(x) 1 şi analog, m N, Dm 2 τ 2 aşa ca y Dm 2 Um(y). 2 În consecinţă, n N, m N, Dn 1 Dm 2 τ 1 τ 2 aşa ca (x, y) Dn 1 Dm 2 Un(x) 1 Um(y) Arătaţi că oricare ar fi o mulţime nevidă X şi oricare ar fi o submulţime nevidă a sa, arbitrară dar fixată, clasa de mulţimi F = {F X; F A} este un filtru pe X. Rezolvare Arătaţi că dacă un spaţiu topologic (X, τ) conţine o mulţime densă conexă, atunci spaţiul X este conex. Rezolvare. Afirmaţia este imediată, ţinând seama de proprietatea conform căreia, aderenţa oricărei mulţimi conexe este de asemenea conexă Fie (X, τ) un spaţiu topologice şi A, B două mulţimi conexe ale sale. Arătaţi că mulţimea A B este conexă dacă şi numai dacă A B sau A B. Rezolvare Arătaţi că dacă S este o subbază a unei topologii τ pe o mulţime X, atunci τ este cea mai puţin fină topologie care conţine S. Rezolvare Considerăm topologiile superioară τ + şi inferioară τ pe R definite de următoarele baze (vezi Problema...): B + = {(a, + ); a R} şi B = {(, a); a R}. Arătaţi că, în spaţiile topologice (R, τ + ), (R, τ ), orice mulţime A R este conexă. 85

86 86 Rezolvare Arătaţi că un spaţiu topologic (X, τ) este conex dacă şi numai dacă orice submulţime proprie a sa are frontiera nevidă. Rezolvare Arătaţi că dacă A şi B sunt două mulţimi închise dintr-un spaţiu topologic (X, τ) astfel ca A B şi A B să fie conexe, atunci A şi B sunt conexe. Este necesară ipoteza ca mulţimile să fie închise? Rezolvare Arătaţi că dacă (X, τ) este un spaţiu topologic şi dacă orice funcţie continuă f : (X, τ) (X, τ) are un unic punct fix, atunci (X, τ) este conex. Rezolvare Arătaţi că o condiţie necesară şi suficientă ca un spaţiu topologic (X, τ) să fie conex este ca orice funcţie continuă f : (X, τ) (R, τ u ) care are o mulţime cel mult numărabilă de valori să fie constantă. Rezolvare Considerăm două spaţii topologice (X 1, τ 1 ), (X 2, τ 2 ) şi o funcţie f : (X 1, τ 1 ) (X 2, τ 2 ) cu proprietatea lui Darboux (adică invariază mulţimile conexe, adică, dacă mulţimea A este conexă, atunci şi f(a) este conexă). Arătaţi că pentru orice mulţime conexă A (X 1, τ 1 ), are loc f(a) f(a). Rezolvare.

87 Capitolul 3 Aplicaţii ale topologiei în Fizică 87

88 88

89 Anexă Fundamente de teoria spaţiilor metrice În această anexă, prezentăm principalele elemente de teoria spaţiilor metrice. A.1. Elemente de bază din teoria mulţimilor Printr-o mulţime X, vom înţelege o colecţie (un ansamblu, un set) de obiecte distincte (elementele mulţimii), bine determinată şi considerată ca o entitate. desemnează mulţimea vidă, deci care nu are nici un element. În cele ce urmează, vom presupune că mulţimea arbitrară X (spaţiul în care se operează) este nevidă, deci conţine măcar un element. Vom desemna prin N, mulţimea numerelor naturale {0, 1, 2, 3,...}, prin Z, mulţimea numerelor întregi {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...}, prin Q, mulţimea numerelor raţionale (cu zecimale periodice, alcătuite din fracţii p, unde p şi q q sunt întregi, iar q este nenul), prin R\Q, mulţimea numerelor iraţionale (ale căror dezvoltări zecimale nu repetă niciodată acelaşi bloc de cifre: 2, 3, e, π etc.), prin R, mulţimea numerelor reale, adică atât raţionale, cât şi iraţionale. Toate aceste numere reprezintă însuşiri ale lumii înconjurătoare, reflectă realitatea, dar nu sunt parte a ei. Timp de secole, un număr care părea să nu existe şi care continua să apară frecvent în calcule, intrigându-i pe matematicieni, a fost i, adică 1, aşa numitul număr imposibil sau imaginar, care provine din încercarea de a rezolva o ecuaţie de tipul x 2 = 1. Acest număr a schimbat complet faţa matematicii, conducând la necesitatea de a opera cu numere complexe, adică de forma a+bi, unde a, b sunt numere reale, numite partea reală, respectiv, partea imaginară. Mulţimea acestor numere 89

90 90 se notează prin C, mulţimea numerelor complexe. Dacă z = a + bi este un număr complex, z = a 2 + b 2 desemnează modulul său. În 1673, John Wallis a inventat o modalitate simpla de a reprezenta geometric numerele imaginare, ca puncte într-un plan. El a pornit de la reprezentarea uzuală a numerelor reale pe o dreaptă (dreapta reală), cu numerele pozitive la stânga şi cele negative la stânga. Fig. 1 Apoi a introdus o altă dreaptă, perpendiculară pe aceasta, cu punctul comun originea 0 şi de-a lungul acestei noi drepte a plasat numerele imaginare. Astfel, a apărut sistemul axelor de coordonate, în care numerele reale alcătuiesc una din axe, axa Ox, iar numerele imaginare, cealaltă axă, Oy. Restul planului corespunde numerelor complexe. Astfel, planul complex extinde dreapta reală şi oferă o reprezentare geometrică numerelor complexe. Fig. 2

91 De asemenea, un număr complex z = a + bi poate fi descris prin forma sa trigonometrică, astfel: z = r(cos t + i sin t) (vezi figura alăturată) 91 Fig. 3 Din punct de vedere algebric, în 1837, William Rowan Hamilton a definit, alternativ, numerele complexe ca perechi (a, b) de numere reale, cu nişte reguli specifice pentru adunarea şi înmulţirea perechilor: (a, b) + (c, d) = (a + b, c + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc). Din această perspectivă, o pereche de forma (a, 0) se asimilează numărului real a, iar perechea (0, 1) se asimilează lui i. În prezent, numerele complexe şi analiza funcţiilor complexe reprezintă o tehnică indispensabilă în numeroase domenii. De exemplu, intervin în studiul mişcărilor oscilatorii ale unei clădiri în timpul unui cutremur, al vibraţiilor autoturismului şi în transmiterea curentului electric alternativ. De asemenea, determină stabilitatea stărilor staţionare ale sistemelor dinamice şi sunt folosite în teoria controlului, care se ocupă cu metodele de stabilizare a sistemelor care altfel ar fi instabile. În plus, dezvoltarea unei teorii a funcţiilor complexe a făcut posibilă evidenţierea unei legături cu ecuaţiile cu derivate parţiale ale gravitaţiei, electricităţii, magnetismului şi ale unor anumite tipuri de curgere fluidă în plan. Fie A, B două mulţimi oarecare din spaţiul de bază X. Spunem că mulţimea A este inclusă în mulţimea B (sau că mulţimea A este submulţime a lui B) şi notăm aceasta prin A B dacă orice element

92 92 x al lui A (notat x A) se află şi în mulţimea B. Dacă un element x nu aparţine unei mulţimi A, notăm aceasta prin x / A. Spunem că mulţimea A este submulţime proprie a lui B dacă A B, A şi A B. Simbolul semnifică oricare,, există,!, există şi este unic, iar, dacă şi numai dacă. n! semnifică produsul n, unde n N. Prin P(X) desemnăm familia tuturor submulţimilor (părţilor) mulţimii X, iar prin P 0 (X), familia tuturor submulţimilor nevide ale lui X. De exemplu, dacă X = {1, 2, 3}, atunci P(X) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. Reuniunea mulţimilor A şi B este mulţimea A B = {x X; x A sau x B}. Intersecţia mulţimilor A şi B este mulţimea A B = {x X; x A şi x B}. Diferenţa mulţimilor A şi B este mulţimea A\B = {x X; x A şi x / B}. Complementara mulţimii A este mulţimea ca = {x X; x / A}. Produsul cartezian al mulţimilor A şi B este A B = {(a, b); a A, b B}, unde (a, b) semnifică perechea formată din elementele a A şi b B (în această ordine). Dacă a, b R, definim următoarele mulţimi: intervalul deschis (a, b) = {x R, a < x < b}, intervalul închis [a, b] = {x R, a x b}, intervalul deschis în a şi închis în b (a, b] = {x R, a < x b}, intervalul închis în a şi deschis în b [a, b) = {x R, a x < b}, intervalul deschis (a, ) = {x R, a < x}, intervalul închis [a, ) = {x R, a x}, intervalul deschis (, a) = {x R, x < a}, intervalul închis (, a] = {x R, x a}, (, ) = R. Prin modulul unui număr real x, notat x, înţelegem max{x, x}(= { x, x 0 x, x < 0 ). Dacă p N, prin i = 1, p, vom înţelege i {1, 2,..., p}. Adjuncţionând mulţimii R a numerelor reale două noi numere /puncte, + şi, obţinem dreapta reală încheiată, notată prin R. Apar astfel în plus noi tipuri de intervale, conţinând unul sau ambele astfel de puncte:

93 [a, + ], [, a], [, + ] = R. Dacă A R este o mulţime nevidă, atunci: I) un număr α R este pentru mulţimea A: i) majorant / minorant dacă α x (respectiv, α x), x A. ii) margine superioară ( sau supremum, notat sup A) / margine inferioară ( sau infimum, notat inf A) dacă α este cel mai mic majorant (respectiv, cel mai mare minorant) pentru mulţimea A. iii) maxim (notat max A) / minim (notat min A) dacă A admite supremum, respectiv, infimum, şi acesta aparţine mulţimii. II) mulţimea A este: i) majorată / minorată dacă admite majoranţi (respectiv, minoranţi). iii) mărginită dacă este simultan majorată şi minorată. De exemplu, intervalul [2, 7] este mulţime mărginită deci atât majorată cât şi minorată (sup A = 7 = max A, inf A = 2 = min A), intervalul (2, 7] este mulţime mărginită deci atât majorată cât şi minorată (sup A = 7 = max A, inf A = 2, min A nu există), intervalul (, 6) este mulţime majorată, dar care nu este minorată, N este mulţime minorata (de 0), dar care nu este majorată, iar Z nu este nici majorată, nici minorată. Propoziţie. Dacă A este o mulţime nevidă din R, atunci A admite supremum / infimum dacă şi numai dacă este majorată / minorată. În plus, marginea superioară / inferioară este unică. Vom spune că o mulţime este finită dacă aceasta conţine un număr finit de elemente. Printr-o funcţie f : A B (definită pe A şi luând valori în B), înţelegem o aplicaţie (relaţie, lege sau corespondenţă) care face ca oricărui element din A să-i corespundă un unic element din B : x A,!y = f(x) B. Uneori, funcţia f se mai exprimă şi astfel: x f(x). x se numeşte argumentul funcţiei, A, domeniul de definiţie al lui f (mulţimea în care f ia valori), iar B, codomeniul lui f (mulţimea valorilor lui f). O funcţie care asociază: i) unui element, o mulţime, se numeşte multifuncţie; ii) unei mulţimi, un element, se numeşte funcţie de mulţime; iii) unei mulţimi, tot o mulţime, se numeşte multifuncţie de mulţime. Date fiind două funcţii oarecare f : A B şi g : B C, numim compunerea lor, aplicaţia notată g f : A C, definită prin relaţia (g f)(x) = g(f(x)), x A. 93

94 94 Vom spune că funcţia f este crescătoare (respectiv, descrescătoare) dacă valorile sale cresc (respectiv, descresc) odată cu creşterea argumentelor: x 1, x 2 A, cu x 1 x 2, avem f(x 1 ) f(x 2 ) (respectiv, f(x 1 ) f(x 2 )). De exemplu, un şir (x n ) n N de elemente din spaţiul X este o funcţie f : N X, care asociază oricărui număr natural n N, un unic element x n X, numit termenul general al şirului. Dacă este satisfăcută următoarea condiţie: y B,!x A aşa ca y = f(x) (oricare element din B este imaginea unui unic element din A), atunci vom spune că funcţia f este bijectivă (o bijecţie sau aplicaţie biunivocă). Dacă aplicaţia f : A B este bijectivă, asociind oricărui element a A, imaginea sa b = f(a) B, atunci aplicaţia f 1 : B A care asociază elementului b B de mai sus, elementul a A, prin relaţia f 1 (b) = a, se numeşte inversa lui f. Are loc f 1 (f(x)) = x, x A. Spunem că: i) două mulţimi A şi B sunt echipotente ( sau cardinal echivalente) dacă există o bijecţie între ele (altfel spus, dacă sunt la fel de bogate în membri ); ii) o mulţime A este numărabilă dacă A şi mulţimea N a numerelor naturale sunt echipotente (altfel spus, elementele mulţimii A pot fi numărate, iar acest proces continuă la infinit). iii) o mulţime A este cel mult numărabilă dacă este finită sau numărabilă. Numim cardinal ( notat carda) clasa sau familia tuturor mulţimilor care sunt echipotente cu o mulţime dată A. Dacă mulţimea este finită, cardinalul său reprezintă numărul elementelor mulţimii. Dacă două mulţimi sunt echipotente se mai spune că au acelaşi cardinal sau au tot atâtea elemente. De exemplu, N, Z, Q, mulţimea numerelor pare, mulţimea numerelor impare sunt mulţimi numărabile. Există şi mulţimi infinite care nu sunt numărabile (numite nenumărabile), ca de exemplu R\Q, R etc. Mulţimile numărabile şi cele nenumărabile sunt mulţimi infinite. Cantor a notat cardn prin ℵ 0 (alef-zero, alef fiind prima literă din alfabetul ebraic). Unii infiniţi sunt mai mari decât alţi infiniţi. cardr, cardinalul mulţimii numerelor reale, se numeşte puterea continuului şi se notează prin c. De asemenea, R\Q şi orice interval de forma [a, b] au cardinalul c. În 1960 s-a demonstrat o relaţie remarcabilă între cele două tipuri de infiniţi, şi anume că c = 2 ℵ 0.

95 Revenind la operaţii cu mulţimi, putem considera reuniunea / intersecţia a trei mulţimi: A B C / A B C, apoi o reuniune / intersecţie finită not. de mulţimi: A 1 A 2... A n = n not. A i / A 1 A 2... A n = n A i. i=1 i=1 Continuând procesul, putem vorbi de reuniuni / intersecţii numărabile de mulţimi: A 1 A 2... A n... not. = A n / A 1 A 2... A n... not. = A n şi, n=1 n=1 în final, de reuniuni / intersecţii oarecare de mulţimi: A i / A i, I fiind o i I i I mulţime infinită oarecare de indici. 95 Fig. 4 Definiţie. Fie f : X Y o funcţie şi fie A X, B Y. Definim mulţimile f(a) = {y Y ; x A, y = f(x)} numită imaginea (sau imaginea directă) a lui A prin f şi f 1 (B) = {x X; f(x) B} numită imaginea reciprocă sau imaginea inversă sau contraimaginea lui B prin f. Observaţie. Fie mulţimile X, Y, Z, A X, B Y, C Z şi aplicaţiile f : X Y, g : Y Z. Atunci: i) f(f 1 (B)) B cu egalitate dacă f este surjectivă; ii) f 1 (f(a)) A cu egalitate dacă f este injectivă; iii) (g f) 1 (C) = f 1 (g 1 (C)); iv) f 1 (cb) = cf 1 (B); v) Dacă f este injectivă, atunci f(ca) cf(a); vi) Dacă f este surjectivă, atunci f(ca) cf(a); vii) f 1 ( B i ) = f 1 (B i ), f 1 ( B i ) = f 1 (B i ), unde (B i ) i I Y. i I i I i I i I Observaţie. Fie mulţimile X, Y, D X, E Y, (A i ) i I P(X), (B j ) j J P(Y ). Atunci:

96 96 i) ( A i ) E = (A i E), ( A i ) E = (A i E); i I i I i I i I ii) D ( B j ) = (D B j ), D ( B j ) = (D B j ); j J j J j J j J iii) ( A i ) ( B j ) = (A i B j ); i I j J (i,j) I J iv) ( A i ) ( B j ) = (A i B j ); i I j J (i,j) I J v) (A i B i ) = ( A i ) ( B i ); i I i I i I vi) (A i B i ) ( A i ) ( B i ). i I i I i I Definiţie. Fie A, B două mulţimi nevide, oarecare. i) O submulţime ρ a produsului cartezian A B se numeşte relaţie între elementele mulţimii A şi ale lui B. Notăm xρy dacă (x, y) ρ. Dacă A = B, spunem că ρ este o relaţie pe A. ii) O relaţie ρ pe mulţimea A se numeşte relaţie de echivalenţă dacă este reflexivă (adică x A, avem xρx), simetrică (adică x, y A, dacă avem xρy, atunci are loc şi yρx) şi tranzitivă (adică x, y, z A, dacă avem xρy şi yρz, atunci are loc şi xρz). Dacă avem o relaţie ρ de echivalenţă pe mulţimea A, atunci pentru fiecare element x A, definim ˆx = {y A; xρy}. Atunci familia A/ρ = {ˆx; x A} de părţi ale lui A este o partiţie a lui A şi se numeşte mulţimea cât (sau factor) a lui A prin ρ. iii) O relaţie ρ pe mulţimea A se numeşte relaţie de ordine dacă este reflexivă, antisimetrică (adică dacă xρy şi zρx, atunci x = y) şi tranzitivă. În acest caz, perechea (A, ρ) se numeşte mulţime ordonată. Dacă perechea (A, ρ) este o mulţime ordonată, spunem că două elemente ale sale sunt comparabile dacă avem xρy sau yρx. iv) O submulţime B a lui A se numeşte total ordonată dacă orice două elemente ale sale sunt comparabile (în raport cu relaţia indusă de ρ pe B). A.2. Spaţii metrice În 1843, Hamilton a conceput o algebră nu în două dimensiuni, ca până atunci, ci chiar în patru dimensiuni. El a introdus cuaternionii, a căror mulţime se notează cu H şi care sunt numere hipercomplexe. Aceştia seamănă cu numerele complexe, dar în loc de un singur număr i, există trei: i, j, k. Un cuaternion e o combinaţie a acestora, de exemplu, i 4j + 5k. Astfel, în timp ce numerele complexe sunt bidimensionale, fiind alcătuite

97 97 1 i j k 1 1 i j k i i -1 k -j j j -k -1 i k k j -i -1 Fig. 5 din două cantităţi independente, 1 şi i, cuaternionii sunt cvadridimensionali, fiind alcătuiţi din patru cantităţi independente 1, i, j, k. Legăturile dintre i, j, k sunt următoarele: i 2 = j 2 = k 2 = ijk = 1 şi se rezumă în următorul tabel de înmulţire: Deşi au fost înlocuiţi în majoritatea aplicaţiilor de vectori, cuaternionii sunt folosiţi în continuare atât în matematica teoretică, cât şi în cea aplicată, în special pentru calcule ce implică rotaţii tridimensionale. Cuaternionii au condus rapid la descrierea matematică a vectorului: un triplet (x, y, z) de numere reale, deschizând problematica spaţiilor n-dimensionale, ale căror elemente sunt vectori n-dimensionali, de forma (x 1, x 2,..., x n ), cu x 1, x 2,..., x n numere reale. Practic, dimensiunea unui spaţiu reprezintă atâtea numere câte sunt necesare pentru a caracteriza un obiect din spaţiul respectiv. Matematica spaţiilor multidimensionale, aşa cum e concepută astăzi, generalizează evident spaţiile cu mai puţine dimensiuni. Astfel, orice punct din plan (spaţiul bidimensional) este unic determinat prin cele două coordonate ale sale - abscisă şi ordonată, iar orice punct din spaţiu (spaţiul tridimensional) este unic determinat prin cele trei coordonate ale sale - abscisă, ordonată şi cotă. În 1908, Hermann Minkowski a pus în evidenţă faptul că cele trei coordonate ale spaţiului obişnuit, împreună cu una suplimentară pentru timp, formează un spaţiu-timp cvadridimensional. Un punct al său se numeşte eveniment şi poate fi interpretat ca fiind o particulă punctiformă, care ia fiinţă la un moment dat, apoi dispare. În ultimul timp, se consideră că, de fapt, spaţiul şi timpul sunt dimensiuni ale conştiinţei. Spaţiile cu mai multe dimensiuni îşi găsesc aplicabilitatea în tot mai multe domenii în zilele noastre: virusologii concep viruşii ca puncte într-un spaţiu al secvenţelor de ADN care au sute de dimensiuni, adică genomul lor conţine sute de baze ADN. Pentru a preciza poziţia scheletului uman este nevoie de cel puţin o sută de variabile.

98 98 Fizicienii care lucrează în teoria stringurilor (corzilor) cred că universul nostru ar avea nu patru, ci zece dimensiuni. De altfel, o nouă teorie a câştigat teren în ultimul timp, cea a universurilor multiple, aşa numita teorie M (multiple dimensions theory), în unsprezece dimensiuni. Se consideră că teoria M (al cărei nume provine de la Membrană şi a fost dat de fizicianul Edward Witten) este ultima versiune a teoriei corzilor. Diferenţa constă în presupunerea existenţei celei de-a unsprezecea dimensiuni, foarte mică, aproape invizibilă. Astfel, în cadrul acestei teorii, corzile nu mai sunt unidimensionale, ci bidimensionale - membrane, foarte mici în lăţime (10 20 mm.) A.3. Spaţiul R n Fie R, mulţimea numerelor reale, iar n N un număr natural fixat. Prin definiţie, spaţiul R n este produsul cartezian R } R {{... R }. n ori Prin urmare, un element x R n dacă şi numai dacă x = (x 1, x 2,..., x n ), unde x i R, i = 1, n se numesc componentele lui x. Elementele spaţiului R n se numesc vectori. Observăm următoarele: Pentru n = 1, se obţine R 1 = R, care reprezintă din punct de vedere geometric punctele axei reale (dreapta reală); Fig. 6 Pentru n = 2, se obţine R 2, care reprezintă mulţimea punctelor din plan (raportat la un sistem ortogonal de axe) (planul)

99 99 corespondenţă biunivocă Fig. 7 corespondenţă biunivocă OP x = (x 1, x 2 ) P (x 1, x 2 ) (vector de poziţie); Pentru n = 3, se obţine R 3, care reprezintă mulţimea punctelor din spaţiu (raportat la un sistem triortogonal de axe ) (spaţiul) Fig. 8 corespondenţă biunivocă corespondenţă biunivocă x = (x 1, x 2, x 3 ) P (x 1, x 2, x 3 ) (vector de poziţie). Fie x, y R n. Atunci x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ). OP Egalitatea a doi vectori: x = y x i = y i, i = 1, n. Vom defini în cele ce urmează suma (adunarea) vectorilor: După cum este cunoscut, în R 2, adunarea a doi vectori x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ) se face după regula paralelogramului, rezultând vectorul sumă, x+y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ).

100 100 Fig. 9 După acelaşi model, se defineşte adunarea în R n : x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ) R n, definim suma vectorilor x şi y, ca fiind vectorul (1) : x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) (se defineşte pe componente). Înmulţirea cu scalari (reali): x R n, λ R, definim (2) λx = (λx 1, λx 2,..., λx n ). Teorema 1. Spaţiul R n înzestrat cu operaţiile de adunare şi înmulţire cu scalari are structură de spaţiu liniar (sau vectorial) real. Verifică deci următoarele proprietăţi: 1) asociativitatea: x + (y + z) = (x + y) + z, x, y, z R n ; 2) existenţa elementului neutru: 0 = (0, 0,..., 0) R n (numit vectorul nul sau originea spaţiului R n ) astfel încât x R n, x + 0 = 0 + x = x; 3) x = (x 1, x 2,..., x k ) R n, x = ( x 1, x 2,..., x k ) R n (numit opusul lui x) astfel încât x + ( x) = ( x) + x = 0; 4) comutativitatea: x + y = y + x, x, y R n. 5) λ(x + y) = λx + λy, x, y R n, λ R; 6) (λ + µ)x = λx + µx, x R n, λ, µ R; 7) λ(µx) = (λµ)x, x R n, λ, µ R; 8) 1 x = x, x R n x, y R n, x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ), introducem produsul scalar al vectorilor x şi y, astfel: n (x, y)(=< x, y >) = x 1 y 1 + x 2 y x k y k = x i y i. Rezultă astfel aplicaţia <, >: R n XR n R. i=1

101 101 Teoremă. (proprietăţile fundamentale ale produsului scalar) P 1 < x, x > 0, x R n ; < x, x >= 0 x = 0 (pozitivitatea produsului scalar); P 2 < x, y >=< y, x >, x, y R n (simetria); P 3 λ < x, y >=< λx, y >, x, y R n, λ R (omogenitatea în raport cu (prima) componentă); P 4 < x + y, z >=< x, z > + < y, z >, x, y, z R n (aditivitatea în raport cu (prima) componentă). Exemplu. După cum se cunoaşte, mulţimea tuturor stărilor posibile ale unui proces dinamic se numeşte spaţiul fazelor. Fiecărei stări posibile a sistemului îi corespunde un unic punct în spaţiul fazelor. De exemplu, pentru un sistem mecanic, spaţiul fazelor este o mulţime în care fiecare element este dat de ansamblul poziţiilor şi vitezelor tuturor punctelor sistemului. În mecanica statistică, se numeşte fază, o stare microscopică a unui sistem termodinamic, valabilă la un moment dat, caracterizată prin valorile coordonatelor şi ale impulsurilor canonice ale punctelor materiale care îl alcătuiesc. O imagine geometrică pentru un sistem cu n grade de libertate, se obţine considerând coordonatele q 1, q 2,...q n şi impulsurile p 1, p 2,...p n, drept coordonatele unui punct într-un spaţiu 2n-dimensional, numit spaţiul fazelor, o fază fiind reprezentată de un punct în spaţiul fazelor. Evoluţia în timp a sistemului (dependenţa de timp a coordonatelor şi a impulsurilor) urmăreşte o curbă continuă, numită traiectoria punctului reprezentativ. A.4. Spaţii metrice A.4.1. Noţiuni introductive Aşa cum am remarcat deja, distanţa euclidiană în R n pemite stabilirea distanţei relative dintre orice două puncte din acest spaţiu. În 1906, Maurice Frechet a introdus conceptul de distanţă (sau metrică) între alte obiecte matematice de acelaşi tip, valabil de exemplu între puncte din R n, între şiruri de numere reale sau între funcţii. Introducerea acestei noţiuni a permis exprimarea elegantă şi riguroasă a unor concepte matematice fundamentale în analiza matematică (cum ar fi, noţiunile de convergenţă, limită, continuitate) şi, de asemenea, utilizarea unui limbaj geometric.

102 102 După cum vom vedea în continuare, spaţiile metrice pot fi privite ca un caz particular important de spaţii topologice. Definiţie. Fie X. O aplicaţie d : X X R + se numeşte distanţă sau metrică pe X dacă sunt satisfăcute următoarele condiţii: i) d(x, y) = 0 x = y; ii) d(x, y) = d(y, x), x, y X (simetria); iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y), x, y, z X (inegalitatea triunghiulară). Perechea (X, d) se numeşte spaţiu metric. Observaţie. Pe o aceeaşi mulţime se pot defini mai multe metrici, în raport cu care mulţimea devine un alt spaţiu, cu proprietăţi distincte. Propoziţie (proprietăţi ale unui spaţiu metric). Într-un spaţiu metric oarecare (X, d) au loc: i) d(x 1, x n ) d(x 1, x 2 ) + d(x 2, x 3 ) d(x n 1, x n ), x 1, x 2,..., x n X; ii) d(x, z) d(y, z) d(x, y), x, y, z X (interpretare în plan: lungimea oricărei laturi a unui triunghi este cel puţin egală cu diferenţa lungimilor celorlalte două); iii) d(x, y) d(x, y ) d(x, x ) + d(y, y ), x, y, x, y X (numită inegalitatea patrulaterului) (interpretare in plan: într-un patrulater, diferenţa lungimilor a două laturi este cel mult egală cu suma lungimilor celorlalte două laturi). Exemple de spaţii metrice: i) (R, d), unde d(x, y) = x y, x, y R, este spaţiu metric. ii) (R n, d), unde d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) (x n y n ) 2 = n (x i y i ) 2, i=1

103 103 x = (x 1, x 2,..., x k ), y = (y 1, y 2,..., y n ) R n (metrica euclidiană), este spaţiu metric, numit spaţiul metric euclidian. Pentru n = 2, d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 este distanţa obişnuită între două puncte x = (x 1, x 2 ) şi y = (y 1, y 2 ) din plan. Pentru n = 3, d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 + (x 3 y 3 ) 2 este distanţa obişnuită între două puncte x = (x 1, x 2, x 3 ) şi y = (y 1, y 2, y 3 ) din spaţiu. iii) (R n, d 1 ), (R n, d 2 ) sunt spaţii metrice, în raport cu două metrici d 1 şi d 2, definite după cum urmează: d 1 (x, y) = max x i y i i=1,n d 2 (x, y) = n x i y i, i=1 x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ) R n. iv) Mulţimea C a numerelor complexe înzestrată cu distanţa d(z 1, z 2 ) = z 1 z 2, z 1, z 2 C, formează un spaţiu metric. { v) Dacă X este o mulţime nevidă oarecare, funcţia d : X X R +, d(x, y) = 1, x y este o metrică pe X, numită metrica discretă. 0, x = y vi) Fie R, dreapta reală extinsă. Introducem următoarea funcţie: f : 1, x = R [ 1, 1], f(x) = 1, x =, x, x R 1+ x numită funcţia limitativă a lui Baire. f este o bijecţie, iar d : R R R +, d(x, y) = f(x) f(y), x, y R este o metrică pe R. Distanţa de la un punct la o mulţime. Vecinătate a unei mulţimi. Definiţie. Fie (X, d) un spaţiu metric, A o submulţime a sa şi r > 0. Numim: i) distanţa de la un punct x 0 X la mulţimea A, d(x, A) def. = inf{d(x, y); y A}. ii) sfera deschisă (respectiv închisă) generalizată cu centrul în mulţimea A şi de rază r, S(A, r) = {x X; d(x, A) < r}, respectiv, T (A, r) = {x X; d(x, A) r}.

104 104 iii) vecinătate a mulţimii A, o submulţime V (X, d) cu proprietatea că există S(A, r) V. A.4.2. Vecinătăţile unui punct Fie (X, d) un spaţiu metric şi x 0 X, r > 0 (r R) arbitrare, fixate. Definim S(x 0, r) = {x X; d(x, x 0 ) < r}, numită sfera deschisă (bila) de centru x 0 şi rază r, T (x 0, r) = {x X; d(x, x 0 ) r}, numită sfera închisă (discul) de centru x 0 şi rază r. Exemple. i) În (R, d) înzestrat cu distanţa obişnuită dintre două puncte ale dreptei reale d(x, y) = x y, x, y R, observăm că S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 + r), iar T (x 0, r) = [x 0 r, x 0 + r]. Fig. 10 ii) Dacă (X, d) este spaţiul metric discret, atunci S(x 0, r) = { {x0 }, r < 1 iar T (x 0, r) =. X, r 1 { {x0 }, r 1 X, r > 1 iii) Alte tipuri de bile, sau atunci când bilele nu sunt întotdeauna rotunde: În (R 2, d) (d fiind metrica euclidiană), S((0, 0), 1) reprezintă cercul centrat în origine şi de rază 1, iar T ((0, 0), 1), discul centrat în origine şi de rază 1.,

105 105 Fig. 11 max i=1,k Tot în R 2, de data aceasta înzestrat cu metrica d 1 definită prin d 1 (x, y) = { x 1 y 1, x 2 y 2 }, x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ) R 2, S((0, 0), 1) devine interiorul pătratului centrat în origine şi de latură 1, iar T ((0, 0), 1), interiorul pătratului centrat în origine şi de latură 1, cu tot cu contur. Fig. 12 De asemenea, în (R 2, d 2 ), d 2 (x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2, x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ) R 2, S((0, 0), 1) reprezintă interiorul pătratului din imagine, iar T ((0, 0), 1), interiorul pătratului cu tot cu contur.

106 106 Fig. 13 Definiţie. O mulţime V (X, d) se numeşte vecinătate a punctului x 0 X dacă există r > 0 astfel încât S(x 0, r) V, adică, odată cu punctul, vecinatatea conţine o întreagă sferă deschisă centrată în punct. Fig. 14 Notăm prin V(x 0 ), sistemul (familia) tuturor vecinătăţilor punctului x 0.

107 107 Teoremă (Proprietăţi de bază ale sistemului de vecinătăţi) V 1 ) x 0 V, V V(x 0 ) (orice vecinătate a unui punct sigur conţine punctul); V 2 ) V V(x 0 ), U V U V(x 0 ) (orice supramulţime a unei vecinătăţi a unui punct este de asemenea vecinătate a punctului); V 3 ) V 1, V 2 V(x 0 ) V 1 V 2 V(x 0 ) (intersecţia oricăror două vecinătăţi ale unui punct este de asemenea vecinătate a punctului); V 4 ) V V(x 0 ), W V(x 0 ) astfel încât y W W V(y) (orice vecinătate a unui punct conţine o subvecinătate mai mică, care este vecinătate pentru orice punct care îi aparţine). Observaţie. Din V 4 rezultă că S(x 0, r) V(y), y S(x 0, r) (orice sferă deschisă centrată într-un punct este vecinătate pentru orice punct al său). Teoremă (Proprietatea de separare Hausdorff) x, y (X, d), x y, V x V(x), V y V(y) astfel încât V x V y = (orice două puncte diferite dintr-un spaţiu metric pot fi separate prin vecinătăţi disjuncte ale lor). Observaţie. Mai general, dacă (X, τ) este un spaţiu topologic, putem defini noţiunea de vecinătate a unui punct ca fiind o mulţime care conţine odată cu punctul, o întreagă mulţime deschisă (aici, element al topologiei τ) conţinând punctul respectiv. Fig. 15

108 108 De asemenea, vom spune că spaţiul topologic satisface proprietatea T 2 (sau că este separat Hausdorff ) dacă orice două puncte ale sale pot fi separate prin vecinătăţi disjuncte ale lor. A.4.3. Sisteme fundamentale de vecinătăţi Definiţie. Dat fiind x 0 (X, d), o familie U(x 0 ) de părţi din (X, d) se numeşte sistem fundamental de vecinătăţi ( sau bază locală) pentru x 0 dacă: 1) U(x 0 ) V(x 0 ) şi 2) V V(x 0 ), U U(x 0 ) astfel încât U V. Această noţiune ne permite ca, în anumite probleme în care intervine mulţimea tututror vecinătăţilor unui punct, să ne limităm la o subfamilie a sa cu mai puţine elemente, dar care caracterizează la fel de bine proprietatea respectivă. Exemple. 1) U 1 (x 0 ) = {S(x 0, r)} r>0 (mulţimea tuturor sferelor deschise cu centrul într-un punct x 0 (X, d) formează un sistem fundamental de vecinătăţi pentru x 0 ). 2) U 2 (x 0 ) = {S(x 0, 1 )} n n N (în (X, d), orice punct posedă un sistem fundamental numărabil de vecinătăţi) - se mai spune că satisface axioma I a numărabilităţii (axioma C 1 ). (mulţimea tuturor sferelor deschise cu centrul într-un punct x 0 (X, d) şi de rază 1 formează un sistem fundamental numărabil de vecinătăţi pentru x n 0). 3) Mulţimile A ε = {(x, y) R 2 ; max( x, y ) < ε}, ε > 0 formează un sistem fundamental de vecinătăţi ale originii în R 2. Fig. 16

109 109 De asemenea, şi mulţimile B ε = {(x, y) R 2 ; x + y < ε}, ε > 0. 4) U 3 (x 0 ) = {I(x 0, r)} r>0 formează un sistem fundamental de vecinătăţi pentru x 0 = (x 1 0, x 2 0,..., x n 0) în R n, unde I(x 0, r) = (x 1 0 r, x r) (x 2 0 r, x r)... (x n 0 r, x n 0 + r) se numeşte interval n-dimensional din R n. Evident, pentru n = 1, I(x 0, r) = (x 1 0 r, x r) (interval din R); Fig. 17 pentru n = 2, I(x 0, r) = (x 1 0 r, x r) (x 2 0 r, x r) (dreptunghi din R 2 ); Fig. 18 pentru n = 3, I(x 0, r) = (x 1 0 r, x r) (x 2 0 r, x r) (x 3 0 r, x r) (paralelipiped din R 3 ) (vezi figura de mai jos).

110 110 Fig. 19 A.4.4. Compararea topologiilor Definiţie. Fie o mulţime oarecare nevidă X, două metrici d 1 şi d 2 pe X şi τ 1 (respectiv, τ 2 ) topologia indusă de metrica d 1 (respectiv, d 2 ). Spunem că: i) topologia τ 2 este mai fină decât topologia τ 1 (sau că topologia τ 1 este mai puţin fină decât topologia τ 2 ) dacă τ 1 τ 2. ii) metricile d 1 şi d 2 sunt echivalente dacă induc aceeaşi topologie, adică τ 1 = τ 2. Observaţie. i) În limbaj de vecinătăţi, topologia τ 2 este mai fină decât topologia τ 1 dacă orice vecinătate a unui punct în topologia τ 1, este de asemenea vecinătate a punctului şi în topologia τ 2. ii) În [18], E. Otlăcan propune o topologie aplicată, numită topologie informaţională. Se notează cu O, mulţimea tuturor persoanelor aflate întrun anumit areal şi se defineşte noţiunea de distanţă informaţională, ca fiind o funcţie notată cu d inf : O O R +, care asociază oricărei perechi de P şi Q din arealul O, timpul necesar unei informaţii care pleacă din P, să ajungă la Q. O astfel de funcţie satisface condiţiile din definiţia unei metrici (distanţe) şi astfel, pe baza ei, se poate defini în continuare noţiunea de sferă deschisă informaţională (discretă) S(P, r), ca fiind o colectivitate de persoane din arealul O care recepţionează informaţia provenind de la o persoană oarecare, fixată, P O, într-un timp mai scurt decât r. Pe baza acestei noţiuni se defineşte apoi în mod standard noţiunea de topologie informaţională. Cea mai fină astfel de topologie este evident cea dată de comunicarea prin internet