MD-05, CHIŞINĂU, STR. STUDENȚILOR, 7, TEL: 0 50-99-01 FAX: 0 50-99-05, www.utm.md METODE ŞI MODELE DE CALCUL 1. Date despre unitatea de curs/modul Facultatea Calculatoare, Informatică și Microelectronică Departamentul Informatică şi Ingineria Sistemelor Ciclul de studii Studii superioare de licenţă, ciclul I Programul de studiu 0613.5 Informatică Aplicată Anul de studiu Semestrul Tip de Categoria evaluare formativă F unitate de II ( cu frecvenţă) 3 E curs fundamentală Categoria de opţionalitate O - unitate de curs obligatorie Credite ECTS 7. Timpul total estimat Din care Total ore în Ore auditoriale Lucrul individual planul de Proiect de Studiul materialului Curs Laborator/seminar Pregătire aplicaţii an teoretic 10 60 30/15 105 105 3. Precondiţii de acces la unitatea de curs/modul Matematici speciale I, Matematici speciale II, Matematica Conform planului de computațională, Programarea calculatoarelor, Structuri de date şi algoritmi Operarea adecvată cu conceptele fundamentale ale ştiinţelor exacte, Conform competenţelor informaticii aplicate şi ştiinţei calculatoarelor Curs. Condiţii de desfăşurare a procesului educaţional pentru Laborator/seminar Pentru prezentarea materialului teoretic în sala de curs este nevoie de proiector şi calculator. Nu vor fi tolerate întârzierile studenţilor, precum şi convorbirile telefonice în timpul cursului. Studenţii vor perfecta rapoarte conform condiţiilor impuse de indicaţiile metodice. Termenul de predare a lucrării de laborator o săptămână după finalizarea acesteia. Pentru predarea cu întârziere a lucrării aceasta se depunctează cu 1pct./săptămână de întârziere. 5. Competenţe specifice acumulate Competenţe profesionale Cunoştinţe teoretice şi experimentale de bază proprii informaticii aplicate și ştiinţelor inginerești aplicate. Explicarea structurii şi funcţionării componentelor diferitelor tipuri de modele de gestiune a informației, utilizând teorii şi instrumente specifice. Aplicarea principiilor, tehnicilor şi metodelor de bază din disciplinele fundamentale ale științelor exacte necesare în procesul de prelucrare şi tratare a informaţiilor specifice domeniului şi specializării. Utilizarea metodelor de validare a soluţiilor constructive pentru componentele si structurile proiectate. Aplicarea cunoştinţelor teoretice la identificarea şi analiza tendinţelor de dezvoltare, a metodelor de modelare şi de utilizare a aplicaţiilor din domeniul managementului informațional.
Competenţe profesionale Competenţe transversale Modelarea proceselor şi sistemelor cu aplicaţii în domenii economice și inginerești Identificarea metodelor de modelare a proceselor şi sistemelor utilizabile în domenii inginereşti şi economice. Argumentarea adoptării diferitelor tehnici de modelare ţinând seama de factorii şi interacțiunile care determină proprietăţile unui proces / sistem. Analiza proceselor şi sistemelor prin simularea funcţionării în diferite regimuri folosind modele matematice adecvate. Evaluarea proprietăţilor şi performanţelor modelelor prin comparaţie cu rezultate experimentale sau prin supunere la scenarii de simulare tip, acceptate în domeniu. Elaborarea de metodologii de parcurgere a etapelor necesare unui proces de investigare complet (modelare/simulare, realizarea de măsurători / calcule, prelucrare şi interpretare a datelor). Rezolvarea problemelor economice și inginereşti folosind metode matematice, metode statistice şi tehnici informatice. Identificarea problemelor economice și inginereşti care se pretează la modelare matematică şi statistică precum şi a metodelor utilizabile din informatica aplicată. Însușirea cunoştinţelor teoretice şi a deprinderilor de actualizare a acestora, necesare în procesul de interpretare a rezultatelor experimentale. Abilitatea de a utiliza şi adapta şabloane de soluţii specifice matematicii şi informaticii aplicate pentru rezolvarea problemelor economice și inginereşti. Utilizarea criteriilor și metodelor de evaluare pentru adoptarea procedeelor, tehnicilor şi metodelor de bază, necesare creșterii performanțelor. Analiza cerinţelor pieţei şi tendinţelor contemporane privind dezvoltarea unor soluții la problemele economice și inginerești folosind principii şi metode ale matematicii, statisticii şi informaticii aplicate. Aplicarea, în contextul respectării legislaţiei, a drepturilor de proprietate intelectuala (inclusiv transfer tehnologic), a metodologiei de certificare a produselor, a principiilor, normelor şi valorilor codului de etică profesională în cadrul propriei strategii de muncă riguroasă, eficientă şi responsabilă Identificarea oportunităţilor de formare continuă şi valorificarea eficientă a resurselor şi tehnicilor de învăţare pentru propria dezvoltare. 6. Obiectivele unităţii de curs/modulului Obiectivul general Obiectivele specifice Dezvoltarea deprinderilor studenţilor de a utiliza metodele numerice pentru rezolvarea diverselor probleme cu caracter ştiinţific sau tehnic, precum şi aprofundarea cunoştinţelor în domeniul programării pe calculator. La nivel de aplicare şi integrare studentul trebuie să fie capabili să elaboreze algoritmul rezolvării problemei considerate şi să scrie programul într-un limbaj de programare (C sau C++) conform algoritmului și să poată utiliza soft-urile specializate. 7. Conţinutul unităţii de curs/modulului Tematica activităţilor didactice cu frecvenţă Tematica prelegerilor T1. Numere aproximative. Aritmetica virgulei mobilă și erorile de rotunjire. Numărul de ore cu frecvenţă redusă
Determinarea parametrilor unui sistem de calcul. Efectul erorilor de rotunjire. T. Rezolvarea numerică a ecuaţiilor algebrice şi transcendente. Separarea rădăcinilor. Metoda înjumătățirii intervalului. Metoda aproximațiilor succesive. Metoda lui Newton. Criterii de oprire în metodele iterative. Rezolvarea aproximativă a ecuațiilor algebrice. T3. Elemente de analiză matriceală. Norme de vectori și de matrice. Matrice speciale. Funcţii de matrice şi proprietăţile lor. T. Metode numerice de rezolvare a sistemelor de ecuaţii algebrice liniare. Metode directe. Metode iterative de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare. Metoda suprarelaxării succesive. Sisteme liniare supradeterminate şi metoda celor mai mici pătrate. Metode bazate pe sisteme normale. Stabilitatea algoritmilor T5. Calculul valorilor şi vectorilor proprii. Metode bazate pe transformări de asemănare ortogonală. Algoritmul QR. T6. Rezolvarea numerică a sistemelor de ecuaţii neliniare. Metoda aproximaţiilor succesive. Metoda Gauss-Seidel neliniară. Metoda lui Newton. Metoda gradientului. T7. Aproximarea funcţiilor. Polinoame de interpolare. Aproximarea trigonometrică şi exponenţială a funcţiilor. Aproximarea cu funcţii spline. Aproximarea în medie. Metoda celor mai mici pătrate.. Integrarea şi derivarea numerică. T8. Rezolvarea numerică a ecuaţiilor diferenţiale. Metode numerice directe. Metode numerice. indirecte. Metode numerice pentru sisteme şi ecuaţii de ordin superior Total prelegeri : 30 I T9. Elemente de analiză convexă. Mulţimi convexe. Tronson. Poliedre convexe. Puncte extreme. Teoreme de separare a mulţimilor convexe. Funcţii convexe. Funcţii strict şi tare convexe. Gradientul funcţiei. Matricea hessiană (Hesse). Criterii de convexitate. T10. Optimizarea necondiţionată. Condiţiile de extrem în optimizarea necondiţionată. Metode de gradient. Metoda celei mai rapide descreşteri. Metoda gradientului cu fracţionarea pasului. Metoda Newton-Raphson. Metode cvasi-newton. Metode de direcţii conjugate. Minimizarea funcţiilor pătratice şi rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare. Algoritmul Hestenes-Stiefel. Minimizarea unei funcţii strict convexe oarecare. Algoritmul Fletcher-Reevs şi versiunea Polak- Ribiere. T11. Problema generală de programare liniară. Exemple de probleme de programare liniară. Forme ale unei probleme de programare liniară. Interpretarea geometrică a problemelor de programare liniară şi rezolvarea lor 6 grafică. Metoda simplex. Soluţie admisibilă de bază. Criteriul de optimalitate. Tabele simplex. Determinarea soluţiei iniţiale de bază. T1. Dualitatea în programarea liniară Probleme duale simetrice. Teoreme duale ale programării liniare. Algoritmul simplex dual. Reoptimizarea şi parametrizarea în programarea liniară. Analiza sensibilităţii soluţiilor optime. T13. Rezolvarea problemelor de transport. Determinarea soluţiei iniţiale de bază. Metoda potenţialelor. Reţele de transport. Aplicaţii. T1. Programarea liniară în numere întregi. Problema rucsacului. Problema de 6
afectare. Problema voiajorului comercial. Metode de secţionare. Primul şi al doilea algoritm al lui Gomory. Metode de ramificare. Aplicaţii T15. Programarea liniar-fracţionară. Formularea problemei. Reducerea ei la o problemă de programare liniară. Aplicaţii. T16. Elemente de teoria jocurilor. Jocuri matriceale.formularea problemei. Exemple. Teorema de minimax. Rezolvarea grafică a jocurilor n şi m. Punct şa. Strategii mixte. Rezolvarea jocurilor folosind programarea liniară. Reducerea problemelor de programare liniară la un joc matriceal. Jocuri matriceale simetrice. Rezolvarea matriceală a jocurilor simetrice. Aplicaţii.. T17. Probleme de programare neliniară. Probleme de programare neliniară cu restricţii egalităţi. Funcţia Lagrange. Condiţii necesare şi suficiente de extrem. Probleme de programare neliniară cu restricţii inegalităţi. Condiţii Kunh-Tucker. Programarea pătratică. Metode de tip Newton. Aplicaţii. Total prelegeri I: 30 Total prelegeri : 60 Tematica activităţilor didactice cu frecvenţă Tematica lucrărilor de laborator LL1. Rezolvarea numerică a ecuațiilor algebrice și transcendente. LL. Metode numerice pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. LL3. Aproximarea funcțiilor de o singură variabilă. Interpolarea funcțiilor. LL. Rezolvarea numerică a ecuaţiilor diferenţiale 3 I LL5. Optimizarea necondiţionată. Metode de gradient. Metode de direcţii conjugate. LL6. Rezolvarea problemelor de programare liniară. LL7. Rezolvarea jocurilor matriceale. Programarea pătratică. Produsul informatic QM. LL8. Rezolvarea problemelor de programare neliniară. 3 Total lucrări de laborator: 30 Numărul de ore cu frecvenţă redusă Tematica lecțiilor practice LP1. Rezolvarea numerică a ecuațiilor neliniare. LP. Metode directe și iterative de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare. LP3. Aproximarea funcțiilor de o singură variabilă. Interpolarea. Funcții spline. LP. Rezolvarea numerică a ecuațiilor diferențiale. I LP5. Mulţimi şi funcţii convexe. Metode de gradient în optimizarea necondiţionată. Metode de direcţii conjugate. LP6. Probleme de programare liniară. Algoritmul simplex. Tabele simplex. Aplicaţii. LP7. Programarea liniară în numere întregi. Primul şi al doilea algoritm al lui
Gomory. LP8. Probleme de programare neliniară cu restricţii. Programarea pătratică. 1 Aplicaţii. Total lecții practice: 15 Principale 8. Referinţe bibliografice Suplimentare 1. Moraru V. Metode de calcul numeric şi optimizări. Note de curs. Secţia Redactare şi Editare a U.T.M., 009. -30 p. ISBN 978-9975-5-108-6.. Moraru V. Metode numerice în algebra liniară. Ciclu de prelegeri. Editura Cartea Universitară. U.T.M., Chişinău, 1995. 80 p. 3. Moraru V., Popescu A. Rezolvarea numerică a ecuaţiilor neliniare şi a problemelor de optimizare necondiţionată. Ciclu de prelegeri. Departamentul Editorial - Poligrafic al U.T.M., Chişinău, 1997.-88 p.. Moraru V. Numere cu virgulă mobilă. Material didactic. Departamentul Editorial - Poligrafic al U.T.M., Chişinău, 1998.-8 p. 5. Buzurniuc Şt., Moraru V. Metode numerice. Material didactic Departamentul Editorial - Poligrafic al U.T.M., Chişinău, 001-11 p.. 6. Buzurniuc Şt., Popescu A., Moraru V. Metode numerice. Îndrumar de laborator. Departamentul Editorial - Poligrafic al U.T.M., Chişinău, 1996. 7. Moraru V., Tutunaru E. Programare matematică. Material didactic. Departamentul Editorial - Poligrafic al U.T.M., Chişinău, 1999. 8. Marinescu Gh., Rizzoli I. ş.a. Probleme de analiză numerică rezolvate cu calculatorul. Editura Academiei Republicii România, Bucureşti, 1987.-6 p. 9. Larionescu Dan. Metode numerice. Editura Tehnică, Bucureşti, 1989. - p. 10. Iorga N., Jora B. Programare numerică. Teora, Bucureşti, 1996.-56 p. 11. Brătianu C, Bostan V., Cojocea L., Negreanu G. Metode numerice. Editura tehnică, București, 1996. -1p. 1. Iorga V., Jora B., Nicolescu Cr., Lopătan I., Fătu I. Programare numerică. Editura Teora, București, 1996.-56p. 13. Волков Е. А. Численные методы. М. Наука, 198.-5 p. Principale I 1. Moloșniuc Alexandru. Programare liniară și grafuri. Ciclu de prelegeri și exerciții. Secţia Redactare şi Editare a U.T.M., 00 Chisinau 519.8 M87-63p. Moraru V. Catruc M. Panu Cristina. Cercetări operaționale. Material didactic pentru lucrări practice. Secţia Redactare şi Editare a U.T.M. Chișinău-00. Nr.111. -7p 3. Moraru V. Programare matematică. Secţia Redactare şi Editare a U.T.M Chișinău 1999. -59p. Moraru V. Metode de calcul numeric şi optimizări. Note de curs. Secţia Redactare şi Editare a U.T.M., 009. -30 p. ISBN 978-9975-5-108-6. 5. Moraru V., Popescu A. Rezolvarea numerică a ecuaţiilor neliniare şi a problemelor de optimizare necondiţionată. Ciclu de prelegeri. Departamentul Editorial - Poligrafic al U.T.M., Chişinău, 1997.-88 p. 6. Moraru V., Pârțachi I., Berzan R. Introducere în optimizarea liniară. Chișinău, Editura A.S.E. 1997 7. Buzurniuc Şt., Moraru V. Informatica: Elemente de calcul numeric. Editura Evrica, Chişinău, 000.- 116 p. ISBN 9975-91-71-0 8. Dragomirescu M., Malița M. Programare neliniară. Editura Științifică, București 197
Suplimentare 9. Dancea I. Metode de optimizare. Algoritmi-Programe. Editura Dacia, Cluj-Napoca, 1976 10. Blajină Ovidiu. Cercetări operaţionale, Ed.Printech 001 11. Ciobanu Gh., Nica V., Mustaţă F., Mărăcine V., Mitruţ D. Cercetări Operaţionale, Ed. MatrixRom, Bucureşti, 00 1. Dumitrescu M., Niculescu C. Teoria deciziei şi Cercetare Operaţională, Ed. Niculescu, Bucureşti, 001; 13. Hillier F., Limberman G., Introduction to operational research, McGraw-Hill Publishing Company, New-York, 1990 1. Kaufmann A, Metode şi modele ale cercetării operaţionale, Ed,Ştiinţifică, Bucureşti, 1967 9. Evaluare Curentă Atestarea 1 Atestarea Proiect de an Examen final 30% 30% 0% Standard minim de performanţă Prezenţa şi activitatea la prelegeri şi lucrări de laborator; Obţinerea notei minime de 5 la fiecare dintre atestări şi lucrări de laborator; Obţinerea notei minime de 5 la proiectul de an; Demonstrarea în lucrarea de examinare finală a cunoaşterii condiţiilor de aplicare a procedeelor de modelare constructivă.