Cursul 6 Integrala în complex Fie f : D C o funcţie continuă pe domeniul D C. Ne punem problema existenţei unei primitive a lui f, adică a unei funcţi
|
|
- Filofteia Niță
- 4 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 Cursul 6 Integrl în complex Fie f : D C o funcţie continuă pe domeniul D C. Ne punem problem existenţei unei primitive lui f, dică unei funcţii olomorfe F : D C stfel încât F = f. În czul funcţiilor rele, orice funcţie continuă pe un intervl re primitive, ir ceste sunt dte de formul Leibniz-Newton F (u) = F (u 0 ) + u u 0 f(z)dz. Justificre cestei formule este imedită: dcă F = f, scriem că pe fiecre subintervl l unei diviziuni : u 0 = z 0 < z 1 < < z n = u re loc proximre F (z ) F (z 1 ) F (ζ )(z z 1 ) = f(ζ )(z z 1 ) şi sumăm ceste relţii. În stâng vem o sumă telescopică ir în drept o sumă Riemnn: F (u) F (u 0 ) = F (z ) F (z 1 ) f(ζ i )(z z 1 ) = σ (f, ζ). i=1 Aceste relţii sunt vlbile şi în czul funcţiilor complexe, şi urmând cestă idee m pute încerc să definim direct integrl de l l b lui f c limit sumelor σ (f, ζ), pentru ν( ) = mx z z 1 0, oricum m lege nodurile = z 0, z 1,..., z n = b în D C şi oricum m lege punctele intermedire ζ. Totuşi, cestă libertte totlă în legere punctelor z r restrânge nepermis de mult cls funcţiilor integrbile; se pote răt că nici măcr funcţi f(z) = z, de exemplu, nu r fi integrbilă. 1 Problem se rezolvă stfel: definim mi întâi integrl lui f pe o curbă C, considerând numi diviziuni, şi poi rătăm că f re primitive dcă şi numi dcă vlore cestei integrle este ceeşi pe tote curbele dintre şi b, cz în cre re loc formul Leibniz-Newton. Acestă cle este uşor de urmt, deorece integrl lui f pe o curbă se defineşte c o integrlă Riemnn-Stieltjes cre se reduce imedit l o pereche de integrle curbilinii de speci II- în R 2, ir cest tip de integrlă este dej studit. 1 Justificre: pentru ceeşi diviziune n, dcă legem întâi ζ = z,, şi poi ζ = z 1,, diferenţ sumelor Riemnn corespunzătore v fi σ n (f, ζ) σ n (f, ζ) = (z z 1 ) 2. Pentru = 0 şi b = 1, de exemplu, se pot lege chir pe x relă punctele = z 0, z 1,..., 1 z n = b stfel încât şi n z z 1 2 n,. Avem ν( n ) 0 şi σ n (f, ζ) σ n (f, ζ) 1. 1
2 1. Integrle pentru funcţii rele Amintim ici câtev noţiuni şi rezultte de clcul integrl pentru funcţii rele necesre pentru definire inegrlei complexe. Fie f : [, b ] R o funcţie dtă. Prin diviziune intervlului [, b ] vom înţelege o mulţime finită n = {t, = 0, 1,..., n} [, b ], supusă l condiţi esenţilă: = t 0 < t 1 < < t n = b. Vom not creşterile rgumentului cu t = t t 1 şi cu f(t ) = f(t ) f(t 1 ) creşterile funcţiei (chir dcă ceste din urmă pot fi negtive). Prin norm diviziunii înţelegem ν( n ) = mx t. Notăm cu τ = {τ, = 1, 2,..., n} o legere punctelor intermedire cu τ [ t 1, t ], pentru Integrl Riemnn. Fie f : [, b ] R o funcţie dtă. Dcă f este pozitivă, tunci sum Riemnn σ n (f, τ) = f(τ ) t proximeză ri cuprinsă între grficul lui f şi x orizontlă, deorece e reprezintă sum riilor fâşiilor dreptunghiulre [ t 1, t ] [ 0, f(τ ) ], determinte de o diviziune n şi o legere τ punctelor intermedire. Intuitiv, proximre este cu tât mi bună cu cât norm diviziunii este mi mică. Suntem conduşi stfel l următore definiţie: Definiţie. Funcţi f : [, b ] R este integrbilă Riemnn pe [, b ] dcă există numărul I R, nott I = f(t)dt, stfel înât: ε > 0 η > 0. î. n cu ν( n ) < η, σ n (f, τ) I < ε, τ. Dcă I = f(t)dt, se spune că sumele Riemnn u limit I când norm diviziunilor tinde l 0, independent de modul de legere punctelor intermedire. Se rtă că o funcţie este integrbilă Riemnn pe [, b, ] dcă şi numi dcă este mărginită şi continuă prope peste tot în [, b ] (criteriul lui Lebesgue). Consecinţă: orice funcţie continuă pe porţiuni, dică continuă pe [, b ] cu excepţi unui număr finit de puncte, este integrbilă. Proprietăţile integrlei Riemnn (liniritte în rport cu integrndul, ditivitte în rport cu intervlul, etc.) sunt binecunoscute şi nu le mi mintim ici. Este clr că pentru o funcţie f : [, b ] C, f(t) = u(t) + iv(t), integrl Riemnn se defineşte c limită sumelor σ n (f, τ) = f(τ ) t = u(τ ) t + i 2 v(τ ) t,
3 ir f este integrbilă Riemnn dcă şi numi dcă u şi v sunt integrbile, cz în cre f(t)dt = (u(t) + iv(t))dt = u(t)dt + i v(t)dt Integrl Riemnn-Stieltjes. O generlizre imedită integrlei Riemnn rele se obţine considerând cum două funcţii f, g : [, b ] R şi înlocuind sumele σ n (f, τ) din definiţi integrlei Riemnn din prgrful precedent cu sumele Riemnn-Stieltjes σ n (f, g, τ) = f(τ ) g(t ) = f(τ )(g(t ) g(t 1 )). Obţinem stfel definiţi integrlei Riemnn-Stieltjes, nottă I = fdg = f(t)dg(t). Acestă integrlă re multe proprietăţi semănătore integrlei Riemnn, dr şi unele specifice dtorte considerării funcţiei g. Continuitte funcţiilor f şi g nu sigură existenţ integrlei I = fdg, criteriul uzul fiind următorul: orice funcţie f continuă este integrbilă Riemnn- Stieltjes în rport cu orice funcţie g cu vriţie mărginită. Amintim că o funcţie g : [, b ] R este cu vriţie mărginită dcă există M 0 stfel încât g(t ) M, pentru orice diviziune n intervlului [, b ]. Are loc următore crcterizre: o funcţie g : [, b ] R este cu vriţie mărginită dcă şi numi dcă pote fi scrisă c diferenţ două funcţii monotone de celşi sens. Este uşor de văzut că orice funcţie g lipschitzină este cu vriţie mărginită, în prticulr funcţiile de clsă C 1, cz în cre integrl Riemnn-Stieltjes se reduce l o integrlă Riemnn obişnuită f(t)dg(t) = f(t)g (t)dt Curbe rectificbile. Orice funcţie continuă : [, b ] R 2 este lege de mişcre unui punct curent (t) = (x(t), y(t)) R 2. Două legi de mişcre, : [, b ] R 2, = 1, 2, sunt echivlente dcă punctele lor curente trec prin celeşi locuri, în ceeşi ordine şi tot de tâte ori, mi precis: dcă există o schimbre de rgument t = φ(s), s [ 2, b 2 ], t [ 1, b 1 ], bijectivă, continuă şi strict crescătore, stfel încât 1 (φ(s)) = 2 (s), pentru orice s [ 2, b 2 ]. Cls de echivlenţă unei legi de mişcre = (t) o numim curbă (orienttă) în pln, şi o vom not, de obicei, tot cu. Spunem că = (t) este o prmetrizre, su o prcurgere curbei. Uneori, când nu există pericolul confuziei, notăm tot cu şi suportul curbei, dt de triectori oricărei prmetrizări = (t) curbei, dică imgine plicţiei t (t), şi scriem 3
4 R 2. Atenţie, două curbe distincte pot ve celşi suport, de exemplu, curb dtă de prmetrizre (t) = ( t) este distinctă de curb dr re ceeşi triectorie c, prcursă însă în sens invers. Vom spune că este curb de sens opus lui. Cpetele A = () şi B = (b) nu depind de prmetrizre curbei, spunem că A este punctul de plecre ir B punctul de sosire. Eglitte () = (b) defineşte o curbă închisă. Numi continuitte prmetrizării = (t) nu sigură uni-dimensionlitte curbei. Există exemple celebre de curbe cre trec prin tote punctele unui pătrt, deci căror mulţime suport re rie nenulă, dintre ceste exemple unele vor fi prezentte într-un curs viitor: curb lui Peno, curb lui Lebesgue şi curb lui Hilbert. În încercre de înlătur stfel de comportări strnii, vom cere c = (t) să fie un homeomorfism, dică o bijecţie bicontinuă, cz în cre spunem că este o curbă simplă, o curbă fără utointersecţii. În generl, imgine în R 2 unui intervl [, b ] printr-un homeomorfism se numeşte rc Jordn. Orice rc Jordn este suportul două curbe simple, corespunzătore celor două sensuri de prcurs. Imgine homeomorfă unui cerc se numeşte curbă Jordn. Dcă pe o curbă Jordn se fixeză un punct A, există exct două curbe simple şi închise cre plecă din A şi jung tot în A, corespunzătore celor două sensuri de prcurs. Teorem lui Jordn. Orice curbă simplă şi închisă sepră plnul în două domenii şi este frontier lor comună. Acest enunţ trebuie înţeles stfel: dcă R 2 este o curbă Jordn, tunci mulţime R 2 \ este compusă din exct două componente conexe, un mărginită, numită domeniul interior l curbei şi lt nemărginită, domeniul exterior, ir este frontier fiecărui domeniu. Fie = (t) o prmetrizre unei curbe. Lungime prcursului totl l punctului curent pote fi proximtă cu sum l n () = ( x(t )) 2 + ( y(t )) 2, în cre n este o diviziune lui [, b ] cu norm suficient de mică, cestă sumă fiind eglă cu lungime liniei poligonle cu vârfurile (t ), lute în ordine de prcurs. Curb se numeşte rectificbilă dcă dmite o prcurgere continuă pentru cre sumele l n () sunt mărginite, cz în cre lungime lui, l() def = sup l n () < +. Se rtă că definiţi lui l() nu depinde prmetrizre lesă. Criteriul lui Jordn. Curb (t) = (x(t), y(t)) este rectificbilă dcă şi numi dcă funcţiile componente x = x(t) şi y = y(t) sunt cu vriţie mrginită. 4
5 Consecinţă: orice curbă netedă pe porţiuni, dică dtă de o prmetrizre continuă pe tot intervlul [, b ] şi derivbilă pe (, b) cu excepţi unui număr finit de puncte, este rectificbilă. Mi mult, în cest cz vem l() = x 2 (t) + y 2 (t)dt. Exemplu. Fie A = ( 1, 1) şi B = (1, 1). Pe segmentul AB din pln vom defini următorele prcurgeri de l A l B: 1 : [ 1, 1 ] R 2, 1 (t) = (t, t), 2 : [ 0, 1 ] R 2, 2 (t) = (t 3, t 3 ), 3 : [ π 2, 5π 2 ] R2, 3 (t) = (sin t, sin t) Este evident că prcurgerile 1 şi 2 sunt echivlente, ele definesc curb segmentul AB prcurs o singură dtă de l A l B, cărei lungime pote fi clcultă ş 1 t 2 + t 2 dt = 2 2, 1 su ş (t 3 ) 2 + (t 3 ) 2 dt = 18t4 dt = 3 t 2 dt = 2 2, în timp ce 3 este o prcurgere curbei segmentul AB prcurs în ordine A B A B, şi cre re lungime 5π 2 π 2 cos2 t + cos 2 tdt = 2 5π 2 π 2 cos t dt = 6 2. În finl, trgem tenţi că, deşi este frontier unui domeniu mărginit, o curbă Jordn pote să nu ibe lungime finită, dică să nu fie rectificbilă, mi mult, există curbe Jordn cre u rie nenulă, un exemplu celebru fiind curb lui Osgood Integrl curbilinie de speci II-. În mecnică, pentru clculre energiei necesre deplsării unui punct M sub cţiune unei forţe F, s- introdus noţiune de lucru mecnic. Atunci când M prcurge un segment M 1 M 2 sub cţiune unei forţe constnte, lucrul mecnic L este egl cu produsul sclr dintre vectorul F şi vectorul deplsre r = r 2 r 1, L = F r = F r cos α. În czul generl, când M prcurge o curbă din pln sub cţiune unui câmp de forţe vribil, lucrul mecnic totl se proximeză considerând pe curbă o succesiune finită de puncte, = {M }, cu norm ν( ) = mx M 1 M suficient de mică, şi înlocuind deplsre de pe fiecre rc cu un rectilinie pe segmentul corespunător, efectută sub cţiune unei forţe constnte F, eglă cu 5
6 vlore câmpului F într-un punct orecre de pe cel rc. Notând câmpul de forţe cu F (x, y) = P (x, y) i + Q(x, y) j, şi vectorul de poziţie l punctului M (x, y ) cu obţinem proximre L() L = r = x i + y j, F r = (P x + Q y ). Dcă deplsre lui M re lege orră r = r(t) = x(t) i + y(t) j, cu t [, b ], tunci orice diviziune n : = t 0 < t 1 < < t n = b intervlului [, b ] determină o diviziune {M (x(t ), y(t )} pe curb, ir oricărei legeri de puncte intermedire τ [ t 1, t ] îi corespunde o legere F = F (x(τ ), y(τ )) pentru câmpul de forţe. Observăm că sumele P x = P (x(τ ), y(τ )) x(t ) şi Q y = Q(x(τ ), y(τ )) y(t ) devin sume Riemnn-Stieltjes pentru integrlele P (x(t), y(t))dx(t) şi Suntem stfel conduşi spre următore Q(x(t), y(t))dy(t). Definiţie. Fie F = P i + Q j un câmp vectoril definit pe un domeniu D din R 2, cu P şi Q continue, şi fie D o curbă dtă de prmetrizre r = r(t), cu t [, b ]. Prin integrl curbilinie (de speci dou) F d r not = P (x, y)dx + Q(x, y)dy întelegem următore sumă două integrle Riemnn-Stieltjes F d r def = P (x(t), y(t))dx(t) + Q(x(t), y(t))dy(t). Pentru un câmp vectoril orecre F, cntitte F d r este numită circulţi lui F pe, şi, dcă F este o forţă, este eglă cu lucrul mecnic efectut pe. În studiul integrlei curbilinii, pentru nu mi fce referire l câmpuri vectorile, se preferă să se socieze integrl curbilinie direct unei forme diferenţile, dică unei expresii de form ω = P (x, y)dx + Q(x, y)dy, 6
7 definind ω not = P (x, y)dx+q(x, y)dy def = P (x(t), y(t))dx(t)+ Q(x(t), y(t))dy(t). Pentru sigur existenţ integrlelor Riemnn-Stieltjes implicte, cerinţ minimă pentru curb este să fie rectificbilă ir form ω să fie de clsă C 0 pe D, ltfel spus, componentele P şi Q să fie continue. Se rtă că vlore integrlei nu depinde de prmetrizre curbei, ir pentru o prmetrizre de clsă C 1 clcul ei se reduce l integrl Riemnn: P (x, y)dx + Q(x, y)dy = [P (x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t))y (t)]dt. Alte proprietăţi: integrl curbilinie de speci dou este ditivă în rport cu juxtpunere curbelor: ω = 1 2 ω + 1 ω, 2 îşi schimbă semnul l schimbre sensului de prcurs ω = ω, şi este liniră în rport cu integrndul: α 1 ω 1 + α 2 ω 2 = α 1 ω 1 + α 2 ω 2, α 1,2 R. Din mecnică, se ştie că lucrul mecnic efectut de forţ de greutte, de exemplu, nu depinde de drum, dică este celşi pentru tote curbele cre unesc două puncte dte. În cest cz, spunem că lucrul mecnic este dt de o integrlă independentă de drum. Deorece integrl îşi schimbă semnul l schimbre sensului de prcurgere curbei, este clr că e v fi independentă de drum dcă şi numi dcă ω = 0, pentru orice curbă rectificbilă închisă D. Tot din mecnică se ştie că cestă propriette o u tote câmpurile de forţe F conservtive, dică pentru cre există un câmp sclr U, numit potenţilul forţei, stfel încât F = grd U def = U x i + U y j. Într-devăr, în cest cz P = U U şi Q =, şi vem x y U L() = F d r = x x (t) + U y y (t)dt = 7
8 d = U(x(t), y(t))dt = U(x(b), y(b)) U(x(), y()). dt În limbjul formelor diferenţile, czul conservtiv de mi sus corespunde czului când ω este o formă diferenţilă exctă, dică tunci când dmite o primitivă Ω = Ω(x, y), de clsă C 1, stfel încât cz în cre ω = ω = dω not = Ω Ω dx + x y dy, dω = Ω(x(b), y(b)) Ω(x(), y()). Reciproc, dcă pentru o formă ω = P dx+qdy integrl nu depinde de drum, tunci pentru orice pereche de puncte (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ) D se pote not cu (x1,y 1 ) (x 0,y 0 ) P (x, y)dx + Q(x, y)dy vlore comună integrlei pe curbele cre plecă din (x 0, y 0 ) şi jung în (x 1, y 1 ), şi se pote răt destul de uşor că, pentru orice (x 0, y 0 ) D fixt, funcţi Ω(x, y) = (x,y) (x 0,y 0 ) P ( x, ỹ)d x + Q( x, ỹ)dỹ este o primitivă formei P dx + Qdy definită pe o vecinătte lui (x 0, y 0 ). Pentru găsi un criteriu cre să sigure că form P dx + Qdy este exctă, să observăm că în czul în cre Ω este o primitivă de clsă C 2, vem P y = Ω y x = Ω x y = Q x deorece în cest cz derivtele mixte comută. Acestă condiţie crcterizeză independenţ de drum integrlei curbilinii de speci dou în czul în cre D este un domeniu simplu conex, dică un deschis conex D cu propriette că oricre două curbe vând celeşi cpete se pot obţine un din lt printr-o deformre continuă în D. Mi precis, re loc următorul rezultt: Teoremă. Fie D R 2 un domeniu simplu conex şi P, Q : D R două funcţii de clsă C 1. Atunci, form diferenţilă P (x, y)dx + Q(x, y)dy este exctă dcă şi numi dcă P y Q (x, y) = (x, y) x pentru orice (x, y) D. În concluzie, în czul domeniilor simplu conexe, integrl unei formei diferenţile ω = P (x, y)dx + Q(x, y)dy de clsă C 1 este independentă de drum dcă şi numi dcă P y = Q x. 8
9 2. Integrle pentru funcţii complexe Peste tot în cele ce urmeză, vom consider că f = u + iv : D C este o funcţie continuă definită pe domeniul D C, ir D o curbă rectificbilă Integrl sclră. Amintim că în C m definit produsul sclr două numere complexe z 1 = x 1 + iy 1 şi z 2 = x 2 + iy 2 prin z 1 z 2 def = Re z 1 z 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 = 1 2 ( z 1 z 2 + z 1 z 2 ) = z 1 z 2 cos θ, unde θ = rg z 2 rg z 1, şi el corespunde produsului sclr dintre vectorii de poziţie i punctelor z 1,2 din pln. Interpretând funcţi complexă f = u + iv c un câmp de forţe în pln, lucrul mecnic efectut de f pe curb de ecuţie z(t) = x(t) + iy(t) se clculeză, după cum ştim, cu integrl curbilinie de speci dou L() = udx + vdy, cre este limit sumelor Riemnn-Stieltjes f(z(τ )) z(t ) = u(x(τ ), y(τ )) x(t ) + v(x(τ ), y(τ )) y(t ), socite diviziunilor n : = t 0 < t 1 < < t n = b şi punctelor intermedire (τ ). Suntem conduşi spre următore noţiune: Definiţie. Numărul rel I, dt de integrl curbilinie de speci dou I = udx + vdy, se numeşte integrl sclră funcţiei complexe f = u + iv pe curb, şi se noteză cu f dz not. = I. Proprietăţile integrlei sclre le unei funcţii complexe sunt exct cele le integrlei curbilinii de speci dou, dintre cre remintim: pentru orice funcţie continuăf şi orice curbă rectificbilă, integrl sclră f dz există, ir dcă = z(t) = x(t) + iy(t), t [, b ], este de clsă C 1, tunci f dz = (ux + vy )dt. Acestă eglitte justifică următorul clcul forml: şi, prin urmre z z(t) = x(t) + iy(t) dz = dx + idy = x dt + iy dt f dz = (u + iv) (dx + idy) = 9 (ux + vy )dt.
10 Mi mult, cu cestă definiţie lui dz, produsul sclr f dz devine chir form diferenţilă f dz = u dx + v dy. Integrl f dz este independentă de drum dcă şi numi dcă f dz = 0 pentru orice curbă închisă D. O ltă crcterizre: integrl f dz este independentă de drum dcă şi numi dcă form diferenţilă f dz dmite primitive, dică există Ω de clsă C 1 stfel încât d Ω = Ω Ω dx + dy = u dx + v dy = f dz. x y În czul domeniilor simplu conexe, dcă u şi v sunt de clsă C 1, integrl sclră f dz = u dx + v dy este independentă de drum dcă şi numi dcă u y = v x Integrl complexă. Vom defini cum integrl complexă funcţiei f = u + iv pe curb de ecuţie z = z(t), t [, b ], înlocuind produsul sclr din sum Riemnn-Stieltjes f(z(τ )) z(t ) cre pre în definiţi integrlei sclre, cu produsul două numere complexe: f(z(τ )) z(t ) = (u x v y ) + i (v x + u y ), unde m nott cu u = u(x(τ ), y(τ )), x = x(t ) = x(t ) x(t 1 ) şi nlog pentru v şi y. Definiţie. Numărul complex I + ij, dt de integrlele curbilinii de speci dou I = u dx v dy şi J = v dx + u dy, se numeşte integrl funcţiei complexe f = u + iv pe curb, şi se noteză cu f dz not. = I + ij. Să observăm că cele două integrle curbilinii rele, I şi J, din definiţi mi sus, pot fi scrise c integrle sclre pentru funcţiile f = u iv şi i f = v + iu: I = f dz = u dx v dy şi J = i f dz = v dx + u dy, stfel că vem eglitte: 10
11 fdz = f dz + i i f dz cre reduce integrl complexă l două integrle sclre. Exemplu. Fie (t) = cos t + i sin t, t [ 0, 2π ] cercul unitte. Clculăm direct cu definiţi: ( ) 1 x z dz = x 2 + y + i y dz 2 x 2 + y 2 x dx + y dy y dx + x dy = + i = x 2 + y 2 x 2 + y 2 2π 0 cos t sin t + sin t cos t cos 2 t + sin 2 t dt + i 2π 0 sin 2 t + cos 2 t cos 2 t + sin 2 dt = 2πi. t Să observăm că, în czul unei curbe netede (t) = x(t) + iy(t), t [, b ], cu x şi y de clsă C 1, din proprietăţile integrlei Riemnn-Stieljes rezultă eglitte f(z)dz = (ux vy )dt + i (vx + uy )dt cre pote fi regăsită prin următorul clcul forml: de unde z z(t) = x(t) + iy(t) dz = dx + idy = (x + iy )dt fdz = (u + iv)(dx + idy) = [(ux vy ) + i(vx + uy )]dt. Exemplu. Clculăm din nou integrl funcţiei f(z) = 1 pe cercul unitte, z (t) = cos t + i sin t = e it, t [ 0, 2π ], folosind cum: z = e it dz = ie it dt. Avem: 1 2π z dz = ie it dt = 2πi. 0 eit Fie f : D C o funcţie continuă, f = u + iv. Studiem cum existenţ unei primitive funcţiei f = u + iv, dică unei funcţii olomorfe F = U + iv stfel încât F = f. Conform condiţiilor Cuchy-Riemnn scrise sub formă mtricelă, F = f dcă şi numi dcă ( U U ) dică şi x V x y V y ( u v = v u ), du = U U dx + x y dy = u dx v dy = f dz, dv = V x dx + V y dy = v dx + u dy = i f dz. 11
12 Obţinem că f dmite primitive dcă şi numi dcă formele diferenţile f dz şi i f dz sunt excte, deci dcă şi numi dcă integrl complexă f(z) dz este independentă de drum. Sintetizăm ceste rezultte stfel: Teoremă. Fie f : D C o funcţie continuă pe domeniul D C. Dcă f dmite primitiv F, tunci pentru orice curbă D, f(z) dz = F ((b)) F (()). În prticulr, dcă este o curbă închisă, f(z)dz = 0. Reciproc, dcă f(z) dz = 0 pentru orice curbă închisă D, tunci f dmite primitive. Mi mult, în cest cz, integrl f(z)dz este independentă de drum şi, pentru orice z 0 D fixt, F (z) = z z 0 f(w) dw este unic primitivă lui f pentru cre F (z 0 ) = 0. Exemplu. Aplicând regulile de derivre, vedem că f(z) = z 2 re c primitivă funcţi F (z) = z3 definită pe C, ir f(z) = 3 z 2 re c primitivă F (z) = z 1, 1 definită pe C \ {0}. Dcă pe un domeniu D există o determinre logritmului, F (z) = ln z, tunci cest este o primitivă funcţiei f(z) = 1 şi, prin urmre, z 1 dz = 0, z pentru orice curbă închisă din D. Deorece 1 dz = 2πi 0, z z =1 rezultă că nu există nici o determinre logritmului definită pe tot domeniul D = C \ {0}. Teorem fundmentlă lui Cuchy. Fie D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D. Atunci, pe orice curbă rectificbilă şi închisă D, f(z) dz = 0. Demonstrţie. Este suficient să rătăm că, în ipotezele teoremei, cele două integrlele sclre din eglitte fdz = f dz + i i f dz, 12
13 sunt independente de drum. Domeniul D fiind simplu conex, prim integrlă este independentă de drum dcă u y = ( v) x, ir dou dcă v y = u x, dică exct condiţiile Cuchy-Riemnn stisfăcute de funcţi olomorfă f = u+iv. 13
Seminarul 1
Mtemtici specile Seminrul Februrie 8 ii Fr bteri de l norm progresul nu este posibil. Frnk Zpp Integrle improprii Motivtie: Folosind integrl definit putem integr functii continue pe intervle mrginite.
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 11 INTEGRALA LEBESGUE Cursul 10 Observaţia Cum am văzut în Teorema 11.46, orice funcţie integrabilă
D.Rusu, Teori măsurii şi integrl Lebesgue 11 INTEGRALA LEBESGUE Cursul 10 Observţi 11.50 Cum m văzut în Teorem 11.46, orice funcţie integrbilă Riemnn e un intervl mărginit [, b] este continuă µ-..t.. Prin
Mai multSocietatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Naţională, Braşov, 2 aprilie 2013
Societte de Ştiinţe Mtemtice din Români Ministerul Educţiei Nţionle Olimpid Nţionlă de Mtemtică Etp Nţionlă, Brşov, 2 prilie 213 Cls XII- Problem 1. Să se determine funcţiile continue f : R R cu propriette
Mai multM1-ACS, , M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 9 Extreme cu legături. Integrale improprii 1 Extreme condiționate Atunci cînd domeniul de
Seminr 9 Extreme u legături. Integrle improprii Extreme ondiționte Atuni înd domeniul de definiție l unei funții de mi multe vribile onține, l rîndul său numite euții (numite, generi, legături, problemele
Mai multCurs 8 Derivabilitate şi diferenţiabilitate pentru funcţii reale 8.1 Derivata şi diferenţiala unei funcţii reale. Propriet¼aţi generale De niţia 8.1.1
Curs 8 Derivbilitte şi diferenţibilitte pentru funcţii rele 8.1 Derivt şi diferenţil unei funcţii rele. Propriet¼ţi generle De niţi 8.1.1 (i) Fie f A R! R şi 2 A 0 \ A Spunem c¼ f re derivt¼ în punctul
Mai multCursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont
Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi
Mai multModel de planificare calendaristică
Liceul Greco-Ctolic Timotei Cipriu Avizt. Director, Vicenţiu RUSU. Şef Ctedră, PLANIFICARE CALENDARISTICĂ ANUL ŞCOLAR 04-05 Disciplin MATEMATICĂ, Filieră TEORETICĂ, progrm nr. 35/3.0.006 Cls XI-, profil
Mai multPowerPoint Presentation
Metode Numerice de Integrre și Derivre Funcțiilor dte Numeric Ș.l. Dr. ing. Levente CZUMBIL E-mil: Levente.Czumil@ethm.utcluj.ro WePge: http://users.utcluj.ro/~czumil Formul clsică trpezelor rezultă prin
Mai multCursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire
Mai multCalcul diferenţial şi integral (notiţe de curs) Şt. Balint E. Kaslik, L. Tǎnasie, A. Tomoioagă, I. Rodilǎ, N. Bonchiş, S. Mariş Cuprins I Introducere
Clcul diferenţil şi integrl (notiţe de curs) Şt. Blint E. Kslik, L. Tǎnsie, A. Tomoiogă, I. Rodilǎ, N. Bonchiş, S. Mriş Cuprins I Introducere 6 1 Noţiunile: mulţime, element l unei mulţimi, prtenenţ l
Mai multCursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
urs 4 Integrale curbilinii 4.1 Drumuri şi curbe Definiţie 4.1. O funcţie continuă γ : [a,b] R m se numeşte drum plan dacă m = 2 sau drum în spaţiu dacă m = 3. Punctul γ(a) se numeşte originea drumului,
Mai multTema 5
Tem 5 Etensini le integrlei Riemnn Modll 5. - Integrle definite, c prmetr. Integrle improprii. Integrle definite, c prmetr Stdil integrlelor definite c prmetr rel este intim legt de reprezentre integrlă
Mai multLABORATOR 9 - VECTORI ŞI VALORI PROPRII. INTERPOLAREA FUNCŢIILOR 1. Vectori Şi valori proprii. Metoda rotaţiilor a lui Jacobi Fie A o matrice p¼atrati
LABORATOR 9 - VECTORI ŞI VALORI PROPRII INTERPOLAREA FUNCŢIILOR Vectori Şi vlori rorii Metod rotţiilor lui Jcobi Fie A o mtrice ¼trtic¼ Un vector x R n se numeşte vector roriu în rort cu A dc¼ x 6= 0 şi
Mai multDistanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,
Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea
Mai multAlgebra: 1. Numere naturale. Operatii cu numere naturale. Ordinea operatiilor. Puteri si reguli de calcul cu puteri. Compararea puterilor. Multimea nu
Algebr: 1. Numere turle. Opertii cu umere turle. Ordie opertiilor. Puteri si reguli de clcul cu puteri. Comprre puterilor. Multime umerelor turle este * N 0,1,2,3,...,,... si N N {0} 1,2,3,...,,.... Pe
Mai multOBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE 1. Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul Obi
OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE CTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢRE. Cunoştere şi înţelegere conceptelor, terminologiei şi procedurilor de clcul Obiective de referinţă L sfârşitul clsei VII- elevul v fi cpbil..să
Mai multCurs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi
Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a
Mai multPrelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi
Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte
Mai multŞiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
Mai multPowerPoint Presentation
Curs 9 Integrre Numerică Clculul Numeric l Integrlelor cu plicții în Ingineri Electrică Ș.l. Dr. ing. Levente CZUMBIL Lortorul de Cercetre în Metode Numerice Deprtmentul de Electrotehnică, Inginerie Electrică
Mai multAero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D
Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS IE /msie.dvi
urs 2 Integrale de suprafaţă 2.1 Pânze şi suprafeţe Definiţie 2.1. Fie D R 2 o mulţime conexă şi deschisă. O funcţie continuă σ : D R 3 se numeşte pânză de suprafaţă. ulţimea = σd) se numeşte imaginea
Mai mult0 Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică 1. Să se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) x 4 ; b) x 3 dx dx
Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică. ă se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) + x ; b) x dx dx; c) + x x + x ) ; dx x d) x + x ) ; e) dx; f) x p e xq dx, p >,
Mai multTeoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.
Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului
Mai multModul de Calcul Manual Metode dendrom ÎN TEREN Înălţimi METODA Norme Ediţia 2000 Indicativ Structura Arboretelor Diametru Nr. de arbori la care se măs
oul e Clcul nul etoe enrom ÎN TEREN Înălţimi ETODA Norme Eiţi 000 Inictiv Structur Arboretelor Dimetru Nr. e rbori l cre se măsoră - H- Dim. e referinţă pentru măsurre - H-. Tbelelor e cubj 5.. E+P sp.
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector
Mai multOBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE 1. Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul Obi
OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE. Cunoştere şi înţelegere conceptelor, terminologiei şi procedurilor de clcul Oiective de referinţă Exemple de ctivităţi de învăţre L sfârşitul
Mai multTiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n
Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului
Mai multMD.09. Teoria stabilităţii 1
MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,
Mai multMicrosoft Word - MD.05.
pitolul uvite-cheie serii de puteri, puct regult, puct sigulr, ecuţie idicilă osideră o ecuţie difereţilă de ordi k ( k ) L(,,,,..., ) () Se pote căut soluţi sub for uei serii de puteri î jurul puctului
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac
Mai multCURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),
CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul
Mai multPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
Mai multFIŞA NR
Prof CORNELI MESTECN Prof RRODIC TRIŞCĂ CLUJ-NPOC 009 CUPRINS FIŞ NR NUMERE RELE Pg 6 FIŞ NR ECUŢII Pg 8 FIŞ NR FUNCŢII TEORIE Pg 0 4 FIŞ NR 4 FUNCŢII EXERCIŢII Pg FIŞ NR ECUŢII IRŢIONLE, ECUŢII EXPONENŢILE
Mai multRetele Petri si Aplicatii
Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 3 RPA (2019) Curs 3 1 / 48 Conţinutul cursului 1 Arbori de acoperire 2 Probleme de decizie în reţele Petri 3 Invarianţi tranziţie RPA (2019) Curs 3 2 / 48 Arbori de acoperire
Mai multAlgebra si Geometri pentru Computer Science
Natura este scrisă în limbaj matematic. Galileo Galilei 5 Aplicatii liniare Grafica vectoriala In grafica pe calculator, grafica vectoriala este un procedeu prin care imaginile sunt construite cu ajutorul
Mai multFacultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:
Mai multETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți
Seminar Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferențiale Folosind transformata Laplace, putem reolva ecuații și sisteme diferențiale. Cu ajutorul proprietăților transformatei
Mai multGHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007
GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de
Mai multDorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
Mai mult8
9.5 Fluxul unui vector printr-o suprafaţă deschisă-continuare Observaţie: Dacă vrem să calculăm fluxul vectorului a = P x y z i + Q x y z j + R x y z k (,, ) (,, ) (,, ) prin suprafaţa definită de ecuaţia
Mai multSEMNALE ŞI SISTEME CURSUL 3 SEMNALE ANALOGICE Obiectivele acestui curs: Distribuţii. Funcţii singulare Distribuţii utile în studiul semnalelor. Transf
EMNALE ANALOGICE Obiecivele ceui cur: Diribuţii Funcţii ingulre Diribuţii uile în udiul emnlelor Trnform Fourier Funcţi de denie pecrlă Proprieăţi le rnformelor Fourier direcă şi inveră 3 Diribuţii Funcţii
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multMicrosoft Word - fmnl06.doc
Metode Numerce Lucrre de lbortor r. 6 I. Scopul lucrăr Metode tertve de rezolvre sstemelor lre. II. Coţutul lucrăr. Metode tertve de rezolvre sstemelor lre. Geerltăţ. 2. Metod Jcob. 3. Metod Guss-Sedel.
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Mai multCoordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),
Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + +
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Mai multClasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Mai multI
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
Mai multCursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l
Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative la R n, în principal), sunt prezentate aici elemente
Mai mult20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do
SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul
Mai multTEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:
TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins
Mai mult{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud
{ 3 + 3, < Eemple. ) Fie f : R R, f() + 4,. Funcţia f este derivabilă pe R\{} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să studiem derivabilitatea în a. Atunci f s() 3+3 6,< 3, f d f() f() (),> funcţia
Mai multDAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
Mai multAnaliză 2 Notițe de seminar Adrian Manea Curs: A. Niță 11 mai 2019
Analiză 2 Notițe de seminar Adrian Manea Curs: A. Niță 11 mai 2019 Cuprins 1 Ecuații și sisteme diferențiale 3 1.1 Ecuații liniare de ordinul n cu coeficienți constanți.............. 3 1.2 Metoda eliminării
Mai multSăptămâna 1 Partea I Nr. item Rezultate a) {1; 2; 3; 4; 5; 8} {2} {2; 3; 5; 6; 7} 55 [AE b) {2; 4} C {1; 3; 4; 5; 7} 55 AD c) {1; 3; 5} {2;
Săptămân ) {; ; ; 4; ; 8} {} {; ; ; 6; 7} [AE b) {; 4} C {; ; 4; ; 7} AD c) {; ; } {; } Cls VII- Mtemtică Răspunsuri {; 4} AF. ) A {0,,,, 4, }, B {, 4,, 6, 7}. b) A Ç B {, 4, }; A È B {0,,,, 4,, 6, 7};
Mai multDaniela ROŞU MATEMATICI SPECIALE Culegere de probleme Universitatea Gheorghe Asachi Iaşi 2017
Daniela ROŞU MATEMATICI SPECIALE Culegere de probleme Universitatea Gheorghe Asachi Iaşi 17 Cuprins 1 Integrale prime şi sisteme simetrice 1 1.1 Abstract teoretic................................ 1 1.
Mai multSeminar 6 1. Reprezentaţi printr-o integrală Fourier funcţia f : R R, f (x) = e x cos 2x. Soluţie: Funcţia dată satisface condiţiile teoremei de repre
Seminar 6. Reprezentaţi printr-o integrală Fourier funcţia f : R R, f x) e x cos x. Funcţia ată satisface coniţiile teoremei e reprezentare a unei funcţii printr-o integrală Fourier şi mai observăm că
Mai mult¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬
Olimpid Nționlă de Fizică Timișor 216 Prob teoretică Subiectul 1A Ap minerlă Buziş A x C Pgin 1 din 6 Un dintre cele mi precite pe minerle româneşti se găseşte l Buziş, în judeţul Timiş. Crbogzificre unei
Mai multGrafuri - Concepte de baza. Tipuri de grafuri. Modalitati de reprezentare
Concepte de bază. Tipuri de grafuri. Modalităţi de reprezentare Mircea Marin Departamentul of Informatică Universitatea de Vest din Timişoara mircea.marin@e-uvt.ro 9 noiembrie 2018 Introducere Ce este
Mai multSubiectul I (20 puncte) CONCURSUL ȘCOLAR NAȚIONAL DE GEOGRAFIE,,TERRA ETAPA NAȚIONALĂ 18 mai 2019 CLASA a V-a Citește fiecare cerință și analizează cu
Suiectul I (20 puncte) CONCURSUL ȘCOLAR NAȚIONAL DE GEOGRAFIE,,TERRA ETAPA NAȚIONALĂ 18 mi 2019 CLASA V- Citește fiecre cerință și nlizeză cu tenție desenele su imginile de mi jos. Selecteză cerculețul
Mai multgaussx.dvi
Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care
Mai multUniversitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x
1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,
Mai multNoțiuni matematice de bază
Sistem cartezian definitie. Coordonate carteziene Sistem cartezian definiţie Un sistem cartezian de coordonate (coordonatele carteziene) reprezintă un sistem de coordonate plane ce permit determinarea
Mai multCapitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru,
Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru, adică f (t, 0) = 0, t t 0. In acest paragraf, funcţia
Mai multMicrosoft Word - Analiza12BacRezolvate.doc
ANALIZA MATEMATICA D : Fi I u itrvl şi f,f:i R FucŃi F s umşt primitivă lui f dcă: ) F st drivilă; ) F (f(, I Fi I u itrvl şi fucńi f:i R cr dmit primitiv Dcă F, F :I R sut primitiv l fucńii f, tuci F
Mai multMASTER TL-D 90 De Luxe |
Lighting Percepţi nturlă culorilor Acestă lmpă TL-D fce culorile să pră bogte, profun şi mplificte într-un mod nturl. Prin urmre, este forte cvtă pentru plicţii în cre este necesră o bună recunoştere culorilor:
Mai multElectricitate II
Electricitate II Circuitul electric. Legile circuitului electric. Sumar Circuitul electric simplu Legile lui Ohm Legile lui Kirchhoff Gruparea rezistorilor Transformarea stea-triunghi Gruparea generatoarelor
Mai multLimbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; pa
Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; paranteze: (, ); simbolul de egalitate =; cuantificatorul
Mai multElemente de aritmetica
Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al
Mai multMicrosoft Word - 06-Rosu-Mihaela-RED-TR_Proiect_did_Bunat_toamnei_II_ROM.doc
Proiect de lecție Şcol Gimnzil,,Anghel Mnolche Scrioște Dt: 9 noiembrie 2017 Cls: II- A Disciplin: Comunicre în limb român Unitte temtic: File din crte tomnei Titlul lecției : Buntți de tomn Tipul lecţiei:
Mai multProgramul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 – 2013
GRUPUL DE ACŢIUNE LOCALĂ Județul Bistriț-Năsăud, orș BECLEAN, Zon de Agrement Fig, FN, Cod poștl 425100, Tel: 037-1408616, Fx: 037-1377056, e-mil: secretrit@gltinutulhiducilor.ro Progrmul Nţionl de Dezvoltre
Mai multCuprins ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL CUPRINS Unitatea de învăţare Titlu Pagina INTRODUCERE 1 1 Primitive 3 Obiectivele unităţii de învăţare nr.
Cuprins CALCUL INTEGRAL CUPRINS Unitatea de învăţare Titlu Pagina INTRODUCERE 1 1 Primitive 3 Obiectivele unităţii de învăţare nr. 1 4 1.1. Primitive. Noțiuni generale 4 1.2. Calculul primitivelor Test
Mai multMicrosoft PowerPoint - Curs_SDA_9_RO_2019_v2.pptx
SDA (PC2) Curs 9 Liste / Grafuri / Arbori Iulian Năstac Lista dublu înlănțuită Recapitulare Într-o astfel de listă fiecare nod conţine doi pointeri: unul spre nodul următor şi unul spre nodul precedent.
Mai multProgramul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 – 2013
GRUPUL DE ACŢIUNE LOCALĂ Județul Bistriț-Năsăud, orș BECLEAN, Zon de Agrement Fig, FN, Cod poștl 425100, Tel: 037-1408616, Fx: 037-1377056, e-mil: secretrit@gltinutulhiducilor.ro Progrmul Nţionl de Dezvoltre
Mai multMicrosoft Word - Probleme-PS.doc
PROBLEME PROPUSE PENTRU EXAMENUL LA PRELUCRAREA SEMNALELOR a) Să se demonstreze că pentru o secvenńă pară x[ n] x[ n] este adevărată egalitatea X( z) X( z) b) să se arate că polii (zerourile) acestei transformate
Mai multCursul 13 Mulţimi Julia Fie f : C C o funcţie complexă şi fie f n = f f f iterata de ordin n a lui f. Peste tot în continuare vom presupune că f este
Cursul 13 Mulţimi Julia Fie f : C C o funcţie complexă şi fie f n = f f f iterata de ordin n a lui f. Peste tot în continuare vom presupune că f este dezvoltabilă în serie de puteri în tot planul (cum
Mai multGheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Mai multcurs 9 v3 [Compatibility Mode]
Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 007 03 Aa prioritară nr. Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7
Mai multO teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with ap
O teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with applications to Erdős-Suranyi sequences. We start from
Mai multUNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot
Mai multSlide 1
ELECTROTEHNCĂ ET An - SA CRS 8 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCRAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro . ntroducere în teoria circuitelor electrice. Puteri în regim armonic 3. Caracterizarea în complex a
Mai multMECANICA FLUIDELOR
MECANICA FLUIDELOR Generalităţi Orice substanţă care curge se numeşte fluid. În această categorie se încadrează atât lichidele cât şi gazele. Deoarece cu gazele se produc de obicei transformări termice,
Mai multmaracine.doc
Revist Inormtic Economic, nr. 1(25)/2003 123 Micro si mcro hedging utilizând contrcte utures Con.dr. Virgini MARACINE Ctedr de Cibernetic Economic, A.S.E. Bucuresti virgini_mrcine@yhoo.com For interest
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele
Mai mult1
APROXIMAREA PROFILULUI TRANSVERSAL AL DRUMURILOR PRIN FUNCŢII MATEMATICE ÎN VEDEREA EVALUARII PARAMETRILOR DE CALITATE AI SUPRAFEŢEI CAROSABILE Prof dr ig Bruj Adri Şef lucr dr ig Dim Mri Asist ig Cătăli
Mai multSubiectul 1
Subiectul 1 În fişierul Numere.txt pe prima linie este memorat un număr natural n (n
Mai multFizica fluidelor Cursul 5
Fizica fluidelor Cursul 5 Victor E. Ambruș Universitatea de Vest din Timișoara Capitolul III. Curgeri potențiale. III.1. Fluidul perfect. III.2. Teorema lui Bernoulli. III.3. Echilibrul hidrostatic. III.4.
Mai multNotiuni de algebra booleana
Noţiuni de algebră booleană (în lucru) Definiţie Algebră booleană = o structură algebrică formată din: O mulţime B Două operaţii binare notate cu (+) şi (.) O operaţie unară notată cu ( ) pentru care sunt
Mai multMicrosoft Word - DPF170 quick guide - RO
Introducere Vă mulţumim că ţi chiziţiont Rm Foto Digitlă Prestigio 170, un dispozitiv digitl de fişre fotogrfiilor. Aţi făcut o legere excelentă şi sperăm să vă bucurţi de tote crcteristicile sle interesnte.
Mai multCLP_UTCN-grila-2012.dvi
Liceul: Numele: Punctaj: Prenumele: Concursul liceelor partenere cu Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Test grilă Ediţia a treia mai 0 Clasa a X-a În casuţa din stânga întrebării se va scrie litera
Mai multUniversitatea Politehnica Bucureşti Departamentul de Fizică Concursul Ion I. Agârbiceanu 2013 Proba teoretică. Rezolvări 1. a). Ecuaţiile de mişcare s
Univesitte Politehnic Bucueşti Deptentul e Fizică Concusul Ion I. Agâbicenu Pob teoetică. Rezolvăi. ). Ecuţiile e işce sunt: x && = bx& y && = by& g,5 p Coniţiile iniţile: x ) = y() =, x& () = v cosθ,
Mai multAnaliz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Mai mult2.1.Tipul tablou unidimensional
7. Grafuri 7.1. Grafuri neorientate - Teste grilă 1. V_88_I_5. Care este numărul minim de noduri pe care îl poate conţine un graf neorientat cu 50 de muchii, şi în care 15 noduri sunt izolate? a. 25 b.
Mai mult