Microsoft Word - CP4-13.DOC
|
|
- Alex Tomescu
- 4 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 Capitoll 4 TRASFORMĂRI DE IMAGII 4. ITRODUCERE Termenl de transformări de imagini se referă la clasa matricilor nitare tilizate în reprezentarea imaginilor. La fel cm n semnal nidimensional poate fi reprezentat prin serii de fncţii ortogonale, o imagine se poate reprezenta printr-o serie de fncţii de bază ortogonale, în fncţie de n set de vectori de bază, nmit imagine de bază, set generat c ajtorl nor matrici nitare. Ca alternativă la reprezentarea sb formă matricială, o imagine de dimensini x poate fi considerată ăi ca vector de dimensine x. O transformare de imagini are ca rezltat n set de coordonate sa vectori de bază în acest spaţi vectorial. În cazl nidimensional, considerăm secvenţa: {(n), n } reprezentată de n vector de ordin. O transformare nitară a acesti vector se poate scrie ca: (4.) nde A - A *T este o matrice nitară. Rezltă, în acest caz: *T * A v sa (n) a (k,n)v(n), n (4.) n Coloanele li A *T, adică vectorii * * a {a (k,n), n }, k 63
2 Cap.4 Transformări de imagini se nmesc vectorii bazei li A. În figra 4. snt prezentaţi câţiva vectori de bază ai nor transformări ortogonale mai zale în prelcrările digitale de imagini. Seria coeficienţilor v(k) dă o reprezentare a secvenţei iniţiale (n) şi este tilă în filtrări, compresii de date, extragerea nor caracteristici şi alte tipri de analize de imagini. C o s i n s S i n s H a d a m a r d H a a r S l a n t K L T Fig. 4. Vectori de bază ai nor transformări ortogonale 4. TRASFORMĂRI UITARE ORTOGOALE BIDIMESIOALE În prelcrarea digitală a imaginilor, se poate considera o pereche de transformări bidimensionale ortogonale, ca fiind dezvoltările în serii ortogonale ale imaginii x date de: şi v(k,l) a k,l(m,n) (m,n), k,l (4.3) m n 64
3 PRELUCRAREA DIGITALĂ A IMAGIILOR * (m,n) a k,l(m,n) v(k,l), k,l (4.4) l nde v(k,l) snt coeficienţii transformării, iar V{v(k,l)} se nmeşte imaginea transformată. Mlţimea {a k,l (m,n)} este nmită transformarea imaginii şi este n set de fncţii de bază discrete, ortogonale, care satisface rmătoarele proprietăţi: * ortonormalitate: a ( m, n) a ( m', n') δ( k k', l l') m n kl, k', l' (4.5) * completitdine: a ( m, n) a ( m', n') δ( m m', n n') l kl, kl, (4.6) Proprietatea de ortonormalitate asigră că orice dezvoltare în serie trnchiată de forma: P Q * P,Q (m,n) a k,l (m,n) v(k,l), P,Q (4.7) l minimizează sma erorilor medii pătratice: σ e [(m,n) P,Q(m,n)] (4.8) m n nde coeficienţii v(k,l) snt daţi de relaţia (4.3). Proprietatea de completitdine asigră că eroarea va fi nlă în cazl PQ: σ e Transformări nitare separabile dac` P Q mărl mltiplicărilor şi adnărilor necesare calclli coeficienţilor v(k,l) ai transformării este O( 4 ) ăi este prea mare pentr necesităţile practice. Acest nmăr se redce la O( 3 ) dacă se impne ca transformarea să fie separabilă, adică: akl, ( m, n) ak( m) b ( n) a( k, m) b( l, n) (4.9) nde {a k(m), k,..., } [i {b (n),l,..., } snt setrile complete ortonormale de vectori ai bazei. Impnând condiţiile anterioare (4.5) şi (4.6) rezltă matricile: A {(, a k m)} şi B {(, b l n)} care snt matrici nitare, adică: *T T * *T T * AA A A I, BB + B B I (4.) Dacă vom alege B identic c A (caz des întâlnit), atnci relaţiile (4.3) şi (4.4) se redc la: v(k,l) a(k,m) (m,n) a(l,n), sa V AUA T (4.) m n * * *T (m,n) a (k,m) v(k,l) a (l,m), sa U A VA n l (4.) Dacă imaginea n este pătratică, ci dreptnghilară de dimensini Mx, perechea de transformări de imagine devine: 65
4 Cap.4 Transformări de imagini 66 V A UA (4.3) M *T *T U A VA (4.4) nde A M şi A snt matrici nitare de dimensini MxM şi respectiv x. Transformările bidimensionale separabile snt cele mai frecvent tilizate. Relaţiile (4.) şi (4.) pot fi scrise: T T T V AUA, V A[AU] (4.5) ceea ce înseamnă că se transformă mai întâi fiecare coloană a matricii U şi aspra rezltatli obţint se face o transformare a fiecărei linii. 4.3 PROPRIETĂŢI ALE TRASFORMĂRILOR UITARE Conservarea energiei În transformări nitare de forma v A c v M, se poate dovedi şor că: *T *T *T *T v v(k) v v A A n ( ) (4.6) respectiv o transformare nitară conservă energia semnalli sa, ceea ce este echivalent, lngimea vectorli în spaţil vectorial n-dimensional rămâne constantă. Aceasta înseamnă că orice transformare nitară este, de fapt, o simplă rotaţie a vectorli în spaţil -dimensional. C alte cvinte, se poate spne că o transformare nitară realizează o rotaţie a coordonatelor de bază, iar componentele li v snt proiecţiile li în noa bază. În mod similar, pentr transformări bidimensionale de tipl celor prezentate în relaţiile (4.3) şi (4.4), respectiv (4.) şi (4.), este valabilă relaţia: mn, mn (, ) vkl (, ) kl, Compactarea energiei şi varianţa coeficienţilor n (4.7) Majoritatea transformărilor nitare a tendinţa de împachetare (compactare) a nei importante părţi a energiei imaginii într-n nmăr relativ mic de coeficienţi ai transformatei imaginii. Dat fiind că energia totală se conservă, rezltă că o mare parte a coeficienţilor vor conţine o cantitate foarte mică de energie. Dacă notăm c µ şi R valoarea medie şi covarianţa ni vector, mărimile corespnzătoare ale vectorli transformat v snt date de: µ E[ v] E[ A] AE[ ] A µ (4.8) adică: v * T * T * T * T R E[( v µ )( v µ ) ] A( E[( µ )( µ ) ]) A A R A (4.9) v v v Varianţele coeficienţilor transformatei snt date de elementele diagonalei li R v, * T σ v k v k, k ( ) [ R ] [ AR A ] (4.) Ţinând cont de faptl că A este o transformare nitară, rezltă că: W * T * T * T µ ( k) µ µ µ A A µ µ ( n) (4.) v v v kk, n
5 PRELUCRAREA DIGITALĂ A IMAGIILOR sa * T σ ( k) Tr[ AR A ] Tr[ R ] σ ( n) (4.) v [ ( ) ] E[ ( n) ] n E v k (4.3) Energia medie E[ vk ( ) ] a coeficienţilor v(k) tinde să fie inegal distribită, chiar în cazl în care este egal distribită în secvenţa de intrare (n). Pentr n câmp aleator bidimensional (m,n), a cări valoare medie este µ (m,n) iar covarianţa este r(m,n;m',n'), coeficienţii transformării v(k,l) satisfac proprietăţile: şi n µ v( kl, ) akm (, ) aln (, ) µ ( mn, ) (4.4) [ v ] σ ( kl, ) Evkl (, ) µ ( kl, ) v m n m' n' m n * * akm (, ) aln (, ) rmnm (, ; ', n') a( km, ') a( ln, ') În cazl în care covarianţa li (m,n) este separabilă, adică: (4.5) rmnm (, ; ', n') r( mm, ') r ( nn, ') (4.6) atnci varianţele coeficienţilor transformării pot fi scrise ca prodse separabile: nde R {r (m,m')} şi R {r (n,n')}. * T * T [ ] [ ] σ ( kl, ) σ ( k) σ ( l) AR A AR A (4.7) v kk, ll, Decorelarea În cazl în care elementele vectorli de intrare snt înalt corelate, coeficienţii transformării tind să fie necorelaţi, respectiv termenii din afara diagonalei matricii de covarianţă R v tind să devină foarte mici în comparaţie c elementele de pe diagonală. Referitor la ltimele doă proprietăţi, transformarea Karhnen-Loeve este optimală, adică împachetează maximm de energie într-n nmăr dat de coeficienţi ai transformării şi, în acelaşi timp, îi decorelează complet. Pentr exemplificarea compactării energiei şi decorelării, să considerăm n vector de dimensini x, c valoare medie nlă,, care este transformat nitar în: 3 v R < < 3, nde ρ, ρ ρ Parametrl ρ măsoară corelaţia între () şi (). Covarianţa li v se obţine ca: + 3ρ / ρ / R v ρ / + 3ρ / Din expresia li R rezltă σ ( ) σ ( ) adică energia medie totală, având valoarea, este egal distribită între () ăi (). C toate acestea, σ ( ) + 3 ρ /, iar v 67
6 Cap.4 Transformări de imagini σ v () - 3 ρ /. Energia totală are valoarea, dar energia medie a li v() este mai mare decât a li v(). Dacă ρ,95, atnci 9,% din energia totală medie va fi împachetată în priml eăantion. Corelaţia dintre v() ăi v() este dată de: Ev [ ( ) v( )] ρ ρ v (,) σ v( ) σ v( ) 3 ( ρ ) 4 ceea ce reprezintă, în valoare absoltă, mai pţin decât ρ (dacă ρ <). Pentr ρ,95, se obţine ρ v (,),83, deci corelaţia între coeficienţii transformării s-a reds. În cazl în care vom aplica aceeaăi procedră pentr o transformare de dimensini x: A se obţine σ v ( ) + ρ, σ v () -ρ şi ρ v (,). Pentr ρ,95, n procentaj de 97,5% din energie va fi împachetată în v(). Mai mlt decât atât, coeficienţii v() ăi v() devin necorelaţi. Fncţii şi imagini de bază Diferenţa principală între diferite transformări nitare este dată de alegerea fncţiilor de bază, respectiv a liniilor matricii transformării. Aceste linii formează n set de vectori de bază într-n spaţi -dimensional. În mod normal, deşi orice set de asemenea vectori ortonormali poate fi folosit pentr a realiza o transformare liniară, se folosesc setri care derivă din aceeaşi fncţie de bază. Transformarea Forier, de exempl, foloseşte fncţia exponenţială complexă ca fncţie de bază - prototip. Faţă de aceasta, fncţiile individale de bază diferă nmai în frecvenţă. Orice vector din spaţi poate fi exprimat ca smă ponderată de vectori de bază de lngime nitară. Orice transformare nitară nidimensională (x) va corespnde, în consecinţă, nei rotaţii a ni vector în apaţil vectorial -dimensional. Prin generalizare, având în vedere că matricea corespnzătoare nei imagini de dimensini x poate fi considerată ca n vector de dimensini x, orice transformare nitară, separabilă, simetrică, bidimensională va corespnde rotaţiei ni vector în spaţil vectorial de dimensine. Transformarea bidimensională inversă poate fi imaginată ca o însmare a ni set de imagini de bază, convenabil ponderate, în vederea reconstririi imaginii. Fiecare element al matricii transformării reprezintă coeficientl c care se înmlţeşte imaginea de bază corespnzătoare. O imagine de bază poate fi generată prin transformarea inversă a nei matrici de coeficienţi conţinând nmai n singr element nenl, care este considerat nitar. De fapt, există asemenea matrici, care vor genera imagini de bază. În fond, imaginile de bază pot fi considerate ca n set de componente în care poate fi descompsă o imagine şi, totodată, blocrile componente din care poate fi reconstrită. Transformarea directă realizează descompnerea, prin determinarea coeficienţilor, iar transformarea inversă realizează reconstrcţia prin însmarea imaginilor de bază, ponderate c aceşti coeficienţi. / 68
7 PRELUCRAREA DIGITALĂ A IMAGIILOR Deoarece există o infinitate de setri de imagini de bază, vor exista, de asemenea, o infinitate de transformări. C toate acestea, n anmit set de imagini de bază prezintă importanţă nmai în contextl nei anmite transformări. 4.4 TRASFORMĂRI SIUSOIDALE Transformata Forier discretă nidimensională (DFT) Transformarea Forier (DFT) discretă a nei secvenţe {(n), n,..., -} se defineşte ca: v(k) (n) W kn, k,,... - (4.8) n nde: W π exp j (4.9) Transformarea DFT inversă este: kn (n) v(k)w, n,,... (4.3) Perechea de ecaţii (4.9), (4.3) n reprezintă transformări nitare şi, ţinând cont de faptl că în prelcrarea imaginilor este mlt mai convenabil să lcrăm c transformări nitare, vom considera perechea transformărilor DFT nitare, definite astfel: kn v(k) (n) W, k,,... - (4.3) n kn (n) v(k) W, n,,... (4.3) Prin rmare matricea nitară a DFT este: Proprietăţile transformării Forier discrete F W kn, k,n (4.33) Prezentăm, sccint, proprietăţile mai importante ale transformării Forier discrete: Simetria: matricile transformărilor DFT şi DFT nitare snt simetrice. Extensii: extensiile transformărilor DFT ăi DFT nitare ale nei secvenţe şi transformările lor inverse snt periodice, c perioada. Dacă în definiţia (4.3) parametrl k ia toate valorile întregi, secvenţa v(k) se dovedeşte periodică, adică v(k)v(k+), pentr orice valoare a li k. Algoritmi rapizi: transformările DFT şi DFT nitare pot fi implementate folosind algoritmi rapizi, în log operaţii (fiecare operaţie fiind o mltiplicare şi o adnare), folosind o clasă de algoritmi nmită transformarea Forier rapidă. mărl real de operaţii necesare depinde de şi de alegerea particlară a algoritmli din clasa respectivă. Cei mai zali algoritmi FFT necesită p (c p nmăr întreg pozitiv) operaţii. 69
8 Cap.4 Transformări de imagini Simetria conjgată: transformarea Forier discretă a secvenţei reale {x(n), n,...,-} este conjgată simetric în raport c /. Din relaţia (4.3) se obţine: (4.34) de nde rezltă imediat: n n * * ( k)n kn v (n k) (n) W (n) W v(k) v k v k, k,..., * + (4.35) şi v k v k + (4.36) Deci frecvenţele DFT /+k,,...,/- snt pr şi simpl frecvenţele negative sitare la ω(π/)(-/+k) în spectrl Forier al secvenţei finite {(n), n -}. De asemenea, din relaţiile (4.7) şi (4.34) se poate observa că v() şi v(/) a valori reale, astfel încât secvenţa reală v(), {R e, {v(k)},,...,/ - }, {i m {v(k),,...,/ - }, v(/) (4.37) defineşte complet transformarea Forier discretă a secvenţei (n). De aceea se poate spne că transformarea DFT sa DFT nitară a nei secvenţe reale de dimensine x are grade de libertate ăi necesită aceeaşi capacitate de memorie ca şi secvenţa însăşi. Transformarea Forier discretă bidimensională Transformarea Forier discretă bidimensională a nei imagini {(m,n)} de dimensini x este transformarea separabilă definită prin: km ln v(k,l) (m,n) W W, k,l (4.38) m n iar transformarea inversă este: km ln (m,n) W W v(k,l), m,n (4.39) l Perechea nitară bidimensională este dată de relaţiile: km ln v(k,l) W W mn (, ), n, l (4.4) m n km ln (m,n) v(k,l) W W v(k,l), m,n (4.4) l Proprietăţile transformării DFT bidimensionale Proprietăţile transformării nitare DFT bidimensionale snt similare c cazl nidimensional şi snt sccint trecte în revistă în continare: T Simetrie: F F, F F Extensii periodice: * (4.4) 7
9 PRELUCRAREA DIGITALĂ A IMAGIILOR v( +, l+ ) v( k, l) k, l (4.43) m ( +, n+ ) mn (, ) mn, (4.44) Spectrl Forier eşantionat: Dacă ~ (m,n) (m,n), m,n si(m,n) ~ în rest, rezltă: ~ πk πl U, DFT{ ( m, n) } v( k, l) (4.45) nde U ~ ( w, w ) este transformata Forier a li (m,n). Transformată rapidă: deoarece transformarea DFT bidimensională este separabilă, relaţiile (4.4) şi (4.4) snt echivalente c transformări DFT nitare nidimensionale, fiecare realizabilă în log operaţii, prin FFT. Rezltă deci că nmărl total de operaţii necesare este de log. Simetrie conjgată: transformările DFT ăi DFT nitară ale nor imagini reale a simetrie conjgată: v k, * ± ± l v k, l, k,l (4.46) * sa v(k,l) v ( k, l), k,l (4.47) De aici se poate dedce foarte şor că v(k,l) are doar elemente reale independente. Spre exempl, eşantioanele din reginea haşrată în figra 4. determină complet transformarea DFT. l (/ -) / - k (/)- / Transformarea Cosins discretă - / Fig. 4. Simetria coeficienţilor DFT Transformarea cosins discretă se defineşte, în spaţil bidimensional, ca: (m + )kπ (n + )kπ v(k,l) α(k) α(l) (m,n) cos cos m n nde k, l,,... -, iar inversa ei ca: (m + )kπ (n + )lπ (m,n) α(k) α(l) v(k,l) cos cos l (4.47) (4.48) 7
10 Cap.4 Transformări de imagini nde m, n,... -, iar coneficienţii snt: α() [i α(k) pentr k (4.49) La fel ca şi transformarea DFT, transformarea cosins discretă poate fi exprimată ca operaţie c matrici nitare: V CC (4.5) nde coeficinţii transformării C snt: c k,m π(m + )kπ α(k) cos (4.5) Transformarea cosins discretă are, de asemenea, n algoritm rapid de implementare dar, spre deosebire de DFT, are nmai valori reale. Ca domenii de aplicabilitate, este cea mai folosită transformare în compresia de imagini (vezi cap.). Transformarea Sins discretă Transformarea sins discretă bidimensională, introdsă de A.Jain, este definită de relaţia: π(m + )(k + ) π(n + )(l + ) v(k,l) (m,n) sin sin (4.5) iar transformarea inversă, de: (m,n) + m n l π(m + )(k + ) π(n + )(l + ) v(k,l) sin sin + + Transformarea sins discretă are elementele matricii nitare de forma: s m,k sin π(m + )(k + ) + + (4.53) (4.54) Spre deosebire de alte transformări de tip sinsoidal, transformarea DST este mai şor de implementat dacă p -, c p nmăr întreg. În acest caz, poate fi considerată ca partea imaginară a nei transformări Forier rapide de dimensine (+). Are, totodată, n algoritm rapid de implementare şi proprietăţile ei o impn pentr aplicaţii de tip compresie de imagini. Transformarea Hartley Transformarea Hartley este o transformare integrală contină, propsă de matematicianl c acelaşi nme, ca alternativă la transformarea Forier. Varianta discretă a acestei transformări (DHT) este dată de relaţiile: şi v(k,l) (m,n)cas π (mk + nl) m n (4.55) 7
11 identice şi folosind fncţia de bază: mn (, ) v(k,l)cas π + (mk nl) l PRELUCRAREA DIGITALĂ A IMAGIILOR (4.56) cas( θ) cos( θ) + sin( θ) cos( θ π / 4) (4.57) Elementele matricii nitare ale transformării Hartley snt de forma: h m,k cas π mk (4.58) Spre deosebire de DFT, care transformă nmere reale în nmere complexe c simetrie conjgată, transformarea Hartley discretă prodce nmere reale. Ea este strâns legată de transformarea Forier discretă, fiind pr şi simpl diferenţa dintre partea reală şi partea imaginară a transformării Forier corespondente. Analog, transformarea Forier este partea pară, mins de j ori partea impară a transformării Hartley. Din aceste motive, DHT constitie o alternativă din pnct de vedere al implementării pe calclator, a transformării DFT, având şi ea n algoritm rapid de implementare. Anmite aplicaţii de filtrare liniară de imagini, în special în cazl nor imagini simetrice, impn folosirea DHT datorită redcerii semnificative a volmli de calcle (se evită lcrl c nmere complexe). 4.5 TRASFORMĂRI RECTAGULARE Unele dintre transformările de interes din pnctl de vedere al prelcrărilor digitale de imagini folosesc fncţii de bază ce reprezintă variaţii ale nor nde dreptnghilare ăi n sinsoidale ca cele prezentate până acm. În general, aceste transformări se caracterizează prin rapiditate în calcl, având în vedere faptl că mlte dintre operaţiile de înmlţire pot fi evitate. În acest paragraf vor fi trecte în revistă transformările Hadamard, Walsh, Slant ăi Haar. Transformarea Haar diferă fndamental de primele trei ăi este disctată separat, în contextl transformărilor wavelet ce vor fi tratate într-n capitol separat (vezi cap.5). Transformarea Hadamard Transformarea Hadamard este simetrică, separabilă şi nitară şi se evidenţiază prin faptl că elementele matricii transformării ia valorile de + sa -. Transformarea are sens pentr n, nde n este n nmăr întreg. Pentr o transformare x, matricea corespnzătoare este: H (4.59) iar pentr dimensini mai mari, ea poate fi generată astfel: H H H H / / H / / (4.6) 73
12 Cap.4 Transformări de imagini Pentr orice dimensine n, matricea conţine doar elemente de forma ±, c condiţia ca factorl -/ să fie în afara matricii. Spre exempl, pentr 8 matricea Hadamard are forma prezentată în matricea (4.6), nde în coloana din dreapta matricii se evidenţiază nmărl schimbărilor de semn din linia respectivă. Se poate observa că nmărl diferă de la o linie la alta şi poartă nmele de secvenţa liniei. Reordonarea liniilor în aşa fel încât secvenţele corespnzătoare să fie crescătoare, în mod analog c creşterea frecvenţei la transformarea Forier, dce la o transformare mai şor de implementat, care se nmeşte transformare Hadamard ordonată dată de matricea (4.6): 7 3 H (4. 6) H (4. 6) Transformarea Walsh Fncţiile de bază ale transformării Hadamard snt, de fapt, fncţii Walsh. Din această cază ea este denmită neori ăi transformare Walsh. În nele referinţe se întâlneşte şi denmirea combinată de transformare Walsh - Hadamard. Transformarea Slant Transformarea Slant are fncţiile de bază de ordinl şi liniare, fapt ce face să fie tilă în nele aplicaţii de prelcrări digitale de imagini. Matricea nitară a transformării Slant se obţine pornind de la transformarea Haar sa Hadamard de dimensini x: S (4.63) şi iterând-o în conformitate c rmătorl algoritm: S n an bn an bn I I bn an bn an I I (n / ) (n / ) (n / ) (n / ) nde I este matricea identitate de ordinl /-, iar S n S n (4.64) 74
13 a 3 4 si b PRELUCRAREA DIGITALĂ A IMAGIILOR 4 (4.65) Fncţiile de bază ale transformării Slant apar în toate secvenţele, începând de la la -. Transformarea Haar Transformarea Haar este simetrică, nitară şi separabilă şi foloseşte ca fncţii de bază fncţiile Haar. Transformarea are sens pentr n, nde n este n nmăr întreg. Spre deosebire de transformarea Forier, nde fncţiile de bază diferă nmai în poziţie pe axa frecvenţelor, fncţiile Haar variază atât în modl cât şi în poziţie (scală). Această caracteristică particlarizează transformarea Haar faţă de celelalte tipri de transformări rectanglare şi face ca ea să constitie, totodată, n pnct de plecare pentr transformările de tip "wavelet" (ndişoare). Fncţiile Haar fiind variabile de doi parametri (scală şi poziţie), indexarea lor trebie făctă dpă o schemă dală. Ele se definesc pe intervall [,] dpă cm rmează: se consideră k n nmăr întreg, k - nic determinat de alţi doi întregi p şi q astfel: p k + q (4.66) De observat că, prin această modalitate de definire, n nmai k este o fncţie de p şi q, dar şi p şi q snt fncţii de k. Pentr orice valoare a li k>, p este cea mai mare ptere a li care îndeplineăte condiţia p k, iar q - este restl împărţirii. Fncţiile Haar se definesc astfel: h(x) şi, daca q p/ q / x p < p h(x), daca q / p/ q k x < (4.67) p p, in rest Dacă se va considera xi/, i,,..., -, va rezlta n set de fncţii de bază. Acestea variază atât ca modl (scală) cât şi în poziţie. Indicele p specifică scala iar q determină deplasarea. Din această cază, ordonarea coeficienţilor transformării dpă k n este la fel de edificatoare ca, spre exempl, ordonarea spaţili coeficienţilor obţint în rma nei transformări Forier. Pe de altă parte, dacă prespnem o caracteristică anmită a imaginii, de tip linie sa mchie, într-o anmită poziţie de-a lngl axei x, transformata Forier va codifica această poziţie în spectrl de fază, în conformitate c teorema deplasării. În timp ce poziţia contrli este nic specificată şi poate fi reconstrită exact c ajtorl transformării Forier inverse, ea n va fi extrem de observabilă în spectr. În contrast c aceasta, transformarea Haar evidenţiază clar liniile şi mchiile, dat fiind faptl că fncţiile sale de bază snt asemănătoare acestor caracteristici. De remarcat faptl că n semnal sa o componentă a acestia care se potriveşte c fncţia de bază a nei 75
14 Cap.4 Transformări de imagini transformări, va determina, prin transformare, n coeficient de valoare mare corespnzând acelei fncţii de bază. Având în vedere faptl că fncţiile de bază snt ortonormale, semnall va prodce în rest coeficienţi de valoare mlt mai mică. În acest mod, transformarea Haar poate evidenţia caracteristici de tip linie sa mchie prin mărimea şi poziţia lor. Matricea nitară 8x8 a transformării Haar este:prezentată în relaţia (4.68) şi topologia se păstrează pentr nmere mai mari. Datorită faptli că o mare parte dintre coeficienţii matricii snt constanţi sa nli, transformarea Haar este foarte rapidă. H r 8 (4.68) 4.6 TRASFORMĂRI BAZATE PE VECTORI PROPRII Fncţiile de bază folosite în doă dintre transformările de imagine importante din pnctl de vedere al aplicaţiilor snt derivate din analiza valorilor proprii. Reamintim că, pentr o matrice A de dimensini x, există nmere scalare λ k,,..., -, astfel încât: A λ k Γ (4.69) merele λ k se nmesc valori proprii ale matricii, iar setl de vectori v k, definit astfel încât: Av λ v (4.7) 76 k k k se nmesc vectori proprii ai matricii A. Aceşti vectori a dimensinea x şi fiecare corespnde nei valori proprii. Ei formează n set de bază ortonormal. Prespnând x n vector aleator de dimensini x, fiecare element x i a li x este o variabilă aleatoare. Valoarea medie a li x poate fi estimată dintr-n eăantion de L asemenea vectori prin: L m x x l (4.7) L l iar matricea sa de covarianţă poate fi estimată prin: L T t t C x E(k { m)(x x m) x } xl xl mx mx (4.7) L Această matrice de covarianţă are dimensini x, este reală şi simetrică. Elementele diagonalei snt varianţele variabilelor aleatoare individale, în timp ce elementele din afara diagonalei reprezintă covarianţele acestora. În cazl în care matricea A defineăte o transformare liniară care generează noii vectori y, pornind de la vectorii x, prin: y A( x m x ) (4.73) l
15 PRELUCRAREA DIGITALĂ A IMAGIILOR A este definită în aşa fel, încât liniile ei snt vectorii proprii ai li C x. Pentr şrinţa calclelor, liniile li A se pot ordona descrescător dpă mărimea valorilor proprii corespnzătoare. Vectorl transformat, y, este n vector aleator, c valoare medie nlă. Matricea sa de covarianţă este dependentă de cea corespnzătoare vectorli x prin relaţia: C y A C A T x (4.74) Având în vedere faptl că liniile matricii A snt vectori proprii ai matricii C x, C y va fi o matrice diagonală, având de-a lngl diagonalei principale valorile proprii ale li C x (consecinţă a relaţiei 4.7). De aici, C y λ λ (4.75) nde λ k snt şi valorile proprii ale li C y. Datorită faptli că elementele din afara diagonalei li C y snt nle, rezltă că elementele vectorli y vor fi necorelate, ceea ce înseamnă că transformarea A înlătră corelaţia între variabile, iar λ k reprezintă varianţa variabilei transformate de ordinl k, y k. Este de sbliniat, de asemenea, că relaţia (4.73) este reversibilă, adică vectorl x poate fi reconstrit din vectorl să transformat, y, prin: T x A y+ m A y+ m (4.76) Această proprietate rezltă din faptl că A este o matrice reală şi nitară şi, deci, ortonormală. Dimensinea vectorilor y poate fi redsă prin neglijarea nia sa mai mltor vectori proprii având valori proprii mici. Dacă vom considera matricea B, de dimensini Mx, obţintă prin eliminarea ltimelor -M linii ale matricii A şi vom prespne, pentr simplificare, că m, atnci vectorii transformaţi vor avea dimensini mai mici (Mx) şi se vor obţine folosind relaţia: ~ y Bx (4.77) Folosind vectorii ~ y se pot reconstri aproximativ vectorii x: c eroare medie pătratică de forma: σ ~ T x B ~ y (4.78) e M+ λ k (4.79) adică sma valorilor proprii corespnzătoare vectorilor proprii neglijaţi. În mod normal, varianţele valorilor proprii snt considerabile ca mărime, iar cele mici pot fi neglijate fără a se introdce erori semnificative. Transformarea Karhnen - Loeve Relaţia (4.73) defineşte o transformare discretă nidimensională, nmită în general, în literatra de specialitate transformarea Karhnen - Loeve (sa K-L) dar 77
16 Cap.4 Transformări de imagini şi transformarea Hotelling, transformarea vectorilor proprii, transformarea componentelor principale. Capacitatea acestei transformări de a redce dimensinile vectorilor transformaţi o face extrem de tilă în compresia de imagini. Imaginile mltispectrale, de exempl, conţin mai mlte nivele de gri pentr acelaşi pixel, fiecare nivel de gri corespnzând nei benzi spectrale diferite. Spre exempl, o imagine mltispectrală pe 4 benzi, având dimensinea de x, poate fi considerată ca n set de n milion de vectori având fiecare 4 elemente. Tehnica redcerii dimensinilor vectorilor prin transformarea Karhnen-Loeve (K-L) poate fi aplicată în acest caz, spre exempl, deoarece corelaţia între diferite benzi spectrale este, în general, destl de ridicată şi, în consecinţă, mlte dintre cele 4 valori proprii vor fi mici. Aceasta înseamnă că setl de 4 imagini monocrome poate fi reprezentat, c erori relativ mici, prin doar câteva imagini principale, fiecare dintre ele fiind calclată ca o smă ponderată a celor 4 iniţiale. De asemenea, fiecare dintre acestea poate fi reconstrită aproximativ, ca şi combinaţie liniară a celor câteva imagini principale. Metoda şrează foarte mlt stocarea şi transmisia imaginilor, spre exempl a celor prelate de la sateliţi. În general, imaginile de bază ale transformării K-L depind de statistica imaginii late în considerare ăi n pot fi scrise în mod explicit. Dacă imaginea poate fi considerată ca n proces Markov de ordinl întâi, la care corelaţia între pixeli scade liniar c distanţa care îi separă, imaginile de bază pot fi scrise explicit. Pentr imaginile întâlnite în mod obişnit în practică, încadrarea ca procese Markov este sficient de potrivită. Dacă corelaţia între pixelii adiacenţi este apropiată de nitate, fncţiile de bază K-L se apropie de cele ale transformării cosins discrete. Astfel, transformarea DCT, mlt mai rapidă şi mai şor de implementat, poate constiti o foarte bnă aproximare a transformării Karhnen-Loeve, pentr imaginile zale. Transformarea K-L rapidă Dificltăţile de implementare a transformării K-L snt legate de volml mare de calcle necesitate, mai ales în cazl imaginilor de dimensini mari. Transformarea K-L depinde şi de statistica imaginii şi, în general, se poate spne că vectorii de bază n a o reprezentare analitică, ca în cazl altor transformări. S-a demonstrat, totşi, că anmite modele statistice de imagini permit implementarea ni algoritm rapid pentr transformarea K-L. Acesta se bazează pe o descompnere stochastică a imaginii într-o smă de doă secvenţe aleatoare. Prima se alege în aşa fel, încât transformata ei K-L să fie o transformare rapidă iar a doa, nmită "răspnsl contrli", depinde nmai de informaţia conţintă în contrrile prezente în imagine. Transformarea SVD (descompnerea în valori singlare) O matrice x, A, poate fi exprimată ca: A U V T (4.8) 78
17 PRELUCRAREA DIGITALĂ A IMAGIILOR nde coloanele li şi v snt vectorii li AA T şi respectiv A T A, iar este o matrice diagonală conţinând valorile singlare ale li A pe diagonala principală. Dat fiind faptl că U şi V snt ortogonale, T U AV (4.8) Relaţia (4.79) defineşte o transformare nitară directă, iar (4.78) perechea sa inversă, nmită transformare "c descompnere ţn valori singlare" ( singlar vale decomposition - SVD). Dacă A este simetrică, atnci UV. Este de remarcat faptl că matricile transformărilor, U şi V, depind de imaginea A care trebie transformată. În general este necesară calclarea vectorilor proprii ai li AA T şi A T A pentr fiecare imagine care se transformă. De asemenea, deoarece A este o matrice diagonală, va avea cel mlt elemente nenle. Din această cază va rezlta o compresie fără pierderi c n factor de cel pţin, mai mare decât cel obţint dacă A are câteva valori nle sa neglijabile. Rezltă de aici faptl că efortl splimentar de calcl adce c sine îmbnătăţirea semnificativă a raportli de compresie. În mod normal, nele dintre valorile singlare snt sficient de mici pentr a ptea fi ignorate, c o eroare nesemnificativă, obţinând-se o compresie "c pierderi" prin eliminarea valorilor A i,i mici. Eroarea medie pătratică ce rezltă prin această trnchiere este pr şi simpl sma valorilor singlare eliminate. Trebie remarcat însă faptl că eficienţa în compresia imaginilor a transformării SVD este, într-n fel, înşelătoare. C toate că întreaga imagine poate fi comprimată în elementele diagonalei matricii A, matricile transformării, U ăi V, snt specifice fiecărei imagini. Ele vor trebi transmise împrenă c imaginea, în vederea reconstrcţiei la recepţie. E posibil, totăi, ca o pereche de asemenea matrici să fie folosite, c aproximaţie, pentr n grp de imagini similare. Pentr ilstrare, să lăm o imagine de dimensini 5x5: Rezltă că matricile AA T şi λ vor fi: A AA T Matricea transformării SVD directe, U, va fi: Matricea valorilor singlare este: 47,7,87 ; λ,58,86,638,4,695,695,476,58,5,33,8 U,69,4,587,476,58,5,33,8,86,638,4,695,695 79
18 Cap.4 Transformări de imagini,58,4 T UAU,557 Transformarea SVD inversă, aplicată matricii ne dă: A U U T FILTRAREA Î DOMEIUL TRASFORMATEI Filtrarea liniară poate fi modelată ca o mltiplicare a spectrli Forier a nei imagini c o fncţie de transfer definită în domenil frecvenţă. Analog se pot defini algoritmi de filtrare şi pentr celelalte transformări de imagini. La fel ca şi transformarea Forier, transformările nitare în general realizează o expandare a imaginii ca smă ponderată a imaginilor de bază. Prin transformarea directă se determină, de fapt, coeficienţii de ponderare, iar în transformarea inversă se face reasamblarea imaginii din imaginile de bază. Filtrarea în domenil transformatei prespne o modificare a coeficienţilor de ponderare, înaintea reconstrcţiei imaginii prin transformarea inversă. În cazl filtrării liniare, transformarea va fi o transformare Forier, iar modificarea se face înmlţind spectrl c o fncţie de transfer. În cazl mai general al filtrării, matricea coeficienţilor este modificată (prin înmlţire sa prin alte metode) iar dpă transformarea inversă rezltă imaginea filtrată. În mod evident, natra vectorilor şi, implicit, a imaginilor de bază ce rezltă stabilesc comportarea diferitelor transformări din acest pnct de vedere. De exempl, zgomotl de tip sinsoidal ce afectează o imagine va apărea foarte compact în domenil transformării de tip sinsoidal şi, deci, va ptea fi înlătrat foarte ăor prin anlarea coeficienţilor respectivi. În cazl transformărilor rectanglare, problema eliminării ni asemenea tip de zgomot se complică, deoarece el n va ptea fi separat la fel de şor în domenil transformatei. În general, dacă fie componentele semnalli (tile), fie componentele zgomotli (nedorite) din imagine snt asemănătoare imaginilor de bază ale nei anmite transformări, atnci acea transformare este cea mai potrivită pentr separarea lor, deoarece acele componente vor fi reprezentate foarte compact în domenil transformatei. Transformarea Haar, spre exempl, este tilă în cazl detecţiei liniilor sa mchiilor verticale şi orizontale, deoarece nele dintre imaginile sale de bază se potrivesc c aceste caracteristici. Un exempl în acest sens este dat în cazl imaginii de dimensini 8x8 prezentate în matricea care rmează: 8
19 PRELUCRAREA DIGITALĂ A IMAGIILOR,83 Imagine Transformata Haar Dat fiint faptl că transformarea este separabilă, o caracteristică a acesteia de tipl nei linii sa mchii orizontale şi verticale va prodce coeficienţi diferiţi de zero nmai în prima linie şi, respectiv în prima coloană a imaginii transformate. mărl coeficienţilor diferiţi de zero va fi cel mlt /, iar poziţia mchiei în imagine determină care şi câţi dintre coeficienţi vor fi nenli. Datorită asocierii strânse c sistemele liniare, transformarea Forier prezintă cel mai bine ps la pnct fndament teoretic în ceea ce priveşte filtrarea imaginilor. Celelalte transformări snt mai dificil de interpretat din pnctl de vedere al filtrării şi, de aceea, folosirea lor se face adesea pe bază de experimente. Înţelegerea similarităţilor şi diferenţelor între aceste transformări este extrem de importantă în alegerea nor solţii potrivite pentr diferite tipri de aplicaţii. 4.8 COCLUZII Transformarea DFT: este o transformare rapidă, foarte tilizată în prelcrarea digitală a semnalelor, convolţie, filtrare digitală, analiză. Prezintă o foarte bnă împachetare a energiei imaginilor. ecesită, însă, calcle c valori complexe. Transformarea DCT: este o transformare rapidă, necesită operaţini reale şi este alternativă optimală a transformării K-L pentr imagini înalt corelate. Este tilizată în proiectarea codoarelor prin transformări şi a filtrelor Wiener. Prezintă, de asemenea, o compactare a energiei excelentă. Transformarea DST: este aproximativ de doă ori mai rapidă decât transformarea cosins rapidă, este simetrică şi necesită operaţini reale; permite implementarea ni algoritm rapid pentr transformarea K-L pentr codare, filtrare, ş.a.; se foloseşte, de asemenea, în estimarea performanţelor în mlte aplicaţii de prelcrare de imagini. Compactarea energiei este foarte bnă. Transformarea Hadamard: este mai rapidă decât transformările sinsoidale, având în vedere că n necesită operaţii de înmlţire; se foloseşte pentr implementarea hard a algoritmilor de prelcrare digitală a imaginilor. Se poate spne că este şor de simlat dar dificil de implementat şi se aplică în compresia de imagini, filtrare şi proiectarea de codoare. Prezintă şi ea o bnă compactare de energie. Transformarea Haar: este o transformare foarte rapidă; se foloseşte în extragerea de caracteristici, codarea de imagini şi în aplicaţii de analiză a imaginilor. Compactarea de energie este medie. 8
20 Cap.4 Transformări de imagini Transformarea Slant: este o transformare rapidă şi are o foarte bnă compactare a energiei imaginilor; se foloseşte la codarea imaginilor. Transformarea Karhnen-Loeve: este transformarea optimală din mai mlte pncte de vedere, dar n prezintă n algoritm rapid şi, de aceea, se foloseşte mai ales în cazl vectorilor de dimensini mici, cm ar fi vectorii corespnzători nor imagini mltispectrale, precm şi pentr evalarea performanţelor altor transformări. Are cea mai bnă compactare a energiei în sensl erorii pătratice medii minime. Transformarea SVD: prezintă cea mai mare eficienţă din pnctl de vedere a împachetării energiei nei imagini date. Din păcate, matricea transformării diferă esenţial de la o imagine la alta; n are n algoritm rapid sa o transformare rapidă care să o înlociască. Se foloseşte în proiectarea filtrelor separabile c răspns finit la impls, la găsirea rangrilor matricilor de dimensini mari, etc. Aplicaţii potenţiale ale transformării SVD ar ptea fi în restararea de imagini, estimarea spectrli energetic şi în compresia de date. 8
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 12 SPAŢII L P Cursul 11 Proprietăţi de densitate în spaţiile L p Proprietăţile de densitate ne permit să
DRs, Teoria măsrii şi integrala Lebesge 12 SPAŢII L P Crsl 11 Prorietăţi de densitate în saţiile L Prorietăţile de densitate ne ermit să aroximăm fncţiile din L ( c fncţii din L ( c o strctră mai simlă,
Mai multPAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi C
PAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi Calculatoare Universitatea Politehnica Bucureşti PAS
Mai multMicrosoft Word - 2 Filtre neliniare.doc
20 Capitolul 2 - Filtre neliniare 21 CAPITOLUL 2 FILTRE NELINIARE 2-1. PRELIMINARII Răspunsul la impuls determină capacitatea filtrului de a elimina zgomotul de impulsuri. Un filtru cu răspunsul la impuls
Mai multMicrosoft Word - Capitolul_07
Viziunea computerizată în exemple şi aplicaţii practice Filtrarea în domeniul frecvenţă Introducere Filtrele de frecvenţă modifică valorile pixelului în funcţie de periodicitate şi distribuţia spaţială
Mai multMicrosoft Word - TIC5
CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE CAPITOLUL 5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE În Capitolul 3, am văzut că putem utiliza codarea sursă pentru a reduce redundanţa inerentă a unei surse de informaţie
Mai multLucrarea 7 Filtrarea imaginilor BREVIAR TEORETIC Filtrarea imaginilor se înscrie în clasa operaţiilor de îmbunătăţire, principalul scop al acesteia fi
Lucrarea 7 Filtrarea imaginilor BREVIAR TEORETIC Filtrarea imaginilor se înscrie în clasa operaţiilor de îmbunătăţire, principalul scop al acesteia fiind eliminarea zgomotului suprapus unei imagini. Filtrarea
Mai multLOGICAL DESIGN OF DIGITAL COMPUTERS
Strctra și Organizarea Calclatoarelor Titlar: BĂRBULESCU Lcian-Florentin Capitoll 6 STRUCTURA SIMPLIFICATĂ A UNUI PROCESOTR MIPS CONȚINUT Procesor MIPS c eecția pe n cicl Little-endian și Big-endian Registrele
Mai multOPERATII DE PRELUCRAREA IMAGINILOR 1
OPERATII DE PRELUCRAREA IMAGINILOR Prelucrarea imaginilor 2 Tipuri de operatii de prelucrare Clasificare dupa numarul de pixeli din imaginea initiala folositi pentru calculul valorii unui pixel din imaginea
Mai multMETODE NUMERICE ÎN INGINERIE
METODE NUMERICE ÎN INGINERIE REZOLVAREA NUMERICĂ A SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE Aspecte generale (1) (2) (3) (4) (5) Unicitatea soluţiei Un sistem de ecuaţii liniare are o soluţie unică numai dacă matricea
Mai multTema 5
Tem 5 Etensini le integrlei Riemnn Modll 5. - Integrle definite, c prmetr. Integrle improprii. Integrle definite, c prmetr Stdil integrlelor definite c prmetr rel este intim legt de reprezentre integrlă
Mai multModelarea si Simularea Sistemelor de Calcul
Modelarea şi Simularea Sistemelor de Calcul Generarea de numere aleatoare ( lab. 5) Numim variabilă aleatoare acea funcţie X : (Ω, δ, P) R, care în cazul mai multor experimente efectuate în condiţii identice
Mai multAproximarea functiilor prin metoda celor mai mici patrate
Aproximarea funcţiilor prin metoda celor mai mici pătrate Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 2017-2018
Mai multMicrosoft Word - FiltrareaNyquist-rezumat.doc
Filtrarea semnalelor de date Necesitate - unul din efectele limitării benzii unui impuls rectangular de perioadă T s, datorită filtrării, este extinderea sa în timp, care conduce la apariţia interferenţei
Mai multDAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
Mai multAlgebra si Geometri pentru Computer Science
Natura este scrisă în limbaj matematic. Galileo Galilei 5 Aplicatii liniare Grafica vectoriala In grafica pe calculator, grafica vectoriala este un procedeu prin care imaginile sunt construite cu ajutorul
Mai multALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine număru
ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine numărul de operaţii efectuate de către un algoritm care determină
Mai multLUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL Aspecte generale Programarea neliniară are o foart
LUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL 0 8.. Aspecte generale Programarea neliniară are o foarte mare importanţă în rezolvarea problemelor de optimizări,
Mai multCursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai mult2
C5: Metoda matricilor de transfer BIBLIOGRAFIE E. Tulcan Paulescu, M. Paulescu Algorithms for electronic states in artificial semiconductors of use in intermediate band solar cells engineering. In Physics
Mai multgaussx.dvi
Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care
Mai multPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
Mai multDiapositive 1
Tablouri Operatii pe tablouri bidimensionale Lectii de pregatire pentru Admitere 09 / 03 / 2019 1 Cuprins Operatii pe tablouri bidimensionale 0. Tablouri unidimensionale scurta recapitulare 1.Tablouri
Mai multSlide 1
Gruparea (si clasificarea) fuzzy a datelor Introducere Aspecte teoretice generale Gruparea tranșantă Metode fuzzy FCM SC Utilizarea metodelor fuzzy în matlab. Exemplificare Introducere (1) Obiectivul grupării
Mai multDETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG
UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA SI FIZICA NUCLEARA BN-03 B DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG. Scopul lucrării Determinarea
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 4 2019 Anca Ignat Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Fie matricea nesingulară A nn şi b n. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare Ax=b se poate face folosind regula
Mai multSpatii vectoriale
Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 6 2019 Anca Ignat Algoritmul lui Givens Fie A o matrice reală pătratică de dimensiune n. Pp. că avem: A QR unde Q este o matrice ortogonală iar R este o matrice superior triunghiulară.
Mai multrrs_12_2012.indd
Corelaţia dintre Produsul Intern Brut/locuitor şi Rata de ocupare a populaţiei model econometric de analiză Drd. Ligia PRODAN Academia de Studii Economice, Bucureşti Abstract Se prezintă evoluţia Ratei
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Mai multCURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),
CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multCursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire
Mai multINDICATORI AI REPARTIŢIEI DE FRECVENŢĂ
STATISTICA DESCRIPTIVĂ observarea Obiective: organizarea sintetizarea descrierea datelor Analiza descriptivă a datelor Analiza statistică descriptivă reperezintă un tip de analiză ce servește la descrierea,
Mai multElemente de aritmetica
Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al
Mai multTiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n
Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului
Mai mult1
4.3. Amplificatoare de semnal mic Amplificatoarele de semnal mic (ASM) au semnalul amplificat mic în raport cu tensiunile de c.c. de polarizare a tranzistoarelor. Tranzistoarele funcţionează într-o zonă
Mai multPowerPoint-Präsentation
Unverstatea Translvana n Braşov Laboratorl e Veere Artcală Robstă ş Control Metoe Nmerce Crs 7 ntegrarea nmercă Ggel Măceșan Cprns ntrocere Metoa trapezl ș eroarea e trncere Metoa l Rcarson Metoa l Smpson
Mai multŞiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
Mai multPattern Recognition Systems
Sisteme e Recunoaștere a Formelor Lab 7 Analiza Componentelor Principale 1. Obiective În această lucrare e laborator se escrie metoa e Analiză a Componentelor Principale (Principal Component Analysis PCA).
Mai multNoțiuni matematice de bază
Sistem cartezian definitie. Coordonate carteziene Sistem cartezian definiţie Un sistem cartezian de coordonate (coordonatele carteziene) reprezintă un sistem de coordonate plane ce permit determinarea
Mai multI
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
Mai multCapitole Speciale de Informatica - Curs 5: Extragerea informatiilor prin feedback de relevanta. Metode probabiliste de extragere a informatiilor
Curs 5: Extragerea informaţiilor prin feedback de relevanţă. Metode probabiliste de extragere a informaţiilor 25 octombrie 2018 Extragerea informaţiilor prin feedback de relevanţă Idee de bază 1 Utilizatorul
Mai multSlide 1
Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice PROIECTAREA OPTIMALĂ A DISPOZITIVELOR ELECTROMAGNETICE PODE CURS 2 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@et.utcluj.ro 2/46 Proiectarea
Mai multCuantizare Vectoriala.doc
4. Metoda de quadro în compresie fractala optimizata rata-distorsiune În cele ce urmeaza descriem o metoda de quadro bazata pe optimizarea criteriului ratadistorsiune în compresia fractala a imaginilor.
Mai multClustere şi impurităţi în sisteme complexe
C: Soluţii numerice ale ecuaţiei Schrödinger independentă de timp. Metoda Tirului BIBLIOGRAFIE Ion. I. Cotaescu. Curs de Mecanica Cuantică, Tipografia UVT 990 Epperson J, An introduction to numerical methods
Mai multMicrosoft Word - Tema 06 - Convertoare analog-numerice.doc
Convertoare analog-numerice (ADC) Convertoarele analog-numerice sunt circuite electronice (în variantă integrată sau hibridă) care, printr-un algoritm intrinsec de funcţionare, asociază valorilor tensiunii
Mai multSlide 1
Analiza și Prelucrarea Digitală a Semnalelor Video Conf. dr. ing. Radu Ovidiu Preda radu@comm.pub.ro Ș.l. dr. ing. Cristina Oprea cristina@comm.pub.ro Site disciplină: www.comm.pub.ro/preda/apdsv Analiza
Mai multPachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL
Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.
Mai multEcuatii si sisteme de ecuatii neliniare 1 Metoda lui Newton Algorithm 1 Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. Date de intrare: - Funcţia f - Apro
Ecuatii si sisteme de ecuatii neliniare Metoda lui Newton Algorithm Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. - Funcţia f - Aproximaţia iniţială x - Eroarea admisă ε - Numărul maxim de iteraţii ITMAX
Mai multImage processing
METODE INTELIGENTE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR REALE Laura Dioşan Tema 4 Procesarea imaginilor De ce? Îmbunătăţirea calităţii imaginilor Reducerea zgomotolui şi a altor defecte Evidenţierea anumitor zone
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Mai multMicrosoft Word - Lab1a.doc
Sisteme de numeraţie şi coduri numerice 1.1. Sisteme de numeraţie 1.2. Conversii generale între sisteme de numeraţie 1.3. Reprezentarea numerelor binare negative 1.4. Coduri numerice 1.5. Aplicaţii In
Mai multI. Partea introductivă Proiectul unității de învățare CONCEPTUL DE MATRICE ŞCOALA: Colegiul Național Petru Rareș Suceava CLASA: a XI a- matematică / a
I. Partea introductivă Proiectul unității de învățare CONCEPTUL DE MATRICE ŞCOALA: Colegiul Național Petru Rareș Suceava CLASA: a XI a- matematică / a XI a- informatică neintensiv PROFESOR: Dumitrașcu
Mai multcarteInvataturaEd_2.0_lectia5.pdf
Lect ia3 Diagrame Veitch-Karnaugh 5.1 Noţiuni teoretice Diagramele Veich-Karnaugh (V-K) sunt o modalitate de reprezentare grafică a funcţiilor logice. Pentru o funct ie de N variabile, diagrama corespunz
Mai multCapitole Speciale de Informatică Curs 4: Calculul scorurilor în un sistem complet de extragere a informaţiilor 18 octombrie 2018 Reamintim că în cursu
Capitole Speciale de Informatică Curs 4: Calculul scorurilor în un sistem complet de extragere a informaţiilor 18 octombrie 2018 Reamintim că în cursul precedent am prezentat modelul de spaţiu vectorial
Mai multŞcoala ………
Şcoala... Clasa a X-a Disciplina: Matematică TC + CD Anul şcolar: 07-08 TC = trunchi comun 35 săptămâni: 8 săptămâni semestrul I CD = curriculum diferenţiat Nr. ore: 3 ore / săptămână 7 săptămâni semestrul
Mai multSEMNALE ŞI SISTEME CURSUL 2 C.2. SEMNALE ANALOGICE 1.2. Reprezentări ale semnalelor prin diferite forme ale seriei Fourier Seria Fourier trigonometric
.. SEMNLE NLOGIE 1.. Reprezentări ale emnalelor prin diferite forme ale eriei Fourier Seria Fourier trigonometrică Seria Fourier trigonometrică utilizează pentru SFG (eria Fourier generalizată) itemul
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim
Mai multPROBLEME PRIVIND INSTABILITATEA UNOR CALCULE ALE MECANISMELOR
INSTABILITĂŢI DE CALCUL LA ANALIZA DIADEI RRR s.l. univ. dr. ing. Valentina MANEA s.l.univ.dr.ing. Raluca GRASU Rezumat. Se studiază instabilităţile de calcul care apar la analiza diadei RRR, cauzate de
Mai multDorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
Mai multUNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot
Mai multSlide 1
SCTR -SZOKE ENIKO - Curs 4 continuare curs 3 3. Componentele hard ale unui sistem de calcul in timp real 3.1 Unitatea centrala de calcul 3.1.1 Moduri de adresare 3.1.2 Clase de arhitecturi ale unitatii
Mai multClasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Mai multLogică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea marius/curs/lsd/ 3 noiembrie 2014
Logică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 3 noiembrie 2014 Unde aplicăm verificarea realizabilității? probleme de căutare și
Mai multMicrosoft Word - 01_Introducere.doc
1. INTRODUCERE Modelul simplificat al unui sistem de transmisiune: Sursa digitala {1,2,.,q} TX (ω 0 ) Canal radio m i s(t) y(t) RX (ω 0 ) mˆ i Terminal digital Sursa digitală semnalul de date m i Tx: emiţătorul
Mai multSUBPROGRAME
SUBPROGRAME Un subprogram este un ansamblu ce poate conţine tipuri de date, variabile şi instrucţiuni destinate unei anumite prelucrări (calcule, citiri, scrieri). Subprogramul poate fi executat doar dacă
Mai multLecții de pregă,re la informa,că Admitere 2019 Tema: Discutarea problemelor date la ul,mele sesiuni de admitere Bogdan Alexe
Lecții de pregă,re la informa,că Admitere 2019 Tema: Discutarea problemelor date la ul,mele sesiuni de admitere Bogdan Alexe bogdan.alexe@fmi.unibuc.ro Cuprinsul lecției de azi Enunțuri și rezolvări pentru
Mai multAnaliz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Mai multMicrosoft Word - DCE - lucrarea 5.doc
LUCRAREA 5 TRANZISTORUL CU EFECT DE CÂMP CU POARTĂ JONCŢIUNE 5.1. Prezentare teoretică Tranzistorul cu efect de câmp cu poartă joncţiune este un dispozitiv electronic cu patru electrozi (D-dreană, S-sursă,
Mai multIntroducere
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic AEACD 17. Segmentarea imaginilor: Region-based segmentation. Graph Theory In Image Segmentation Region-based segmentation
Mai multSistem de supraveghere video inteligent cu localizarea automata a evenimentelor de interes SCOUTER, cod proiect PN-II-IN-DPST , contract nr
-Rezumat- ETAPA II: Algoritmi de procesare si analiza a continutului video - Raport stiintific si tehnic - 1. Introducere In ultimele doua decenii volumul de date achizitionat a cunoscut o rata exponentiala
Mai mult2
C4: Structuri nanocristaline. Modelul Kronig-Penney 1. Stucturi cuantice traditionale Reducerea dimensionalităţii unui sistem fizic (de exemplu material semiconductor) produsă prin confinarea particulelor
Mai mult20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do
SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul
Mai multVI. Achiziția datelor în LabVIEW
VI. Achiziția datelor în LabVIEW SUBIECTE A. Achiziția Datelor B. Measurement & Automatation Explorer (MAX) C. Driverul software, NI-DAQmx D. Placa de achiziție, NI USB 6008 A. Achiziția Datelor Subiecte:
Mai multSECURITATE ȘI CRIPTOGRAFIE
Noțiuni de bază ale criptografiei Criptografia este studiul metodelor matematice legate de securitatea informației, capabile să asigure confidențialitatea, autentificarea și non-repudierea mesajelor, precum
Mai multPrelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)
Mai multMicrosoft Word - Prezcap1.doc
CAPITOLUL 1: NOŢIUNI DE METROLOGIE 1.1 TERMINOLOGIE Măsurarea; Măsură şi măsurare; Metrologia; Metoda de măsură; Principiul de măsură; Procesul de măsură; Rezultatul măsurării; Exactitatea măsurării; Incertitudinea
Mai multTEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:
TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins
Mai multGheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Mai multSlide 1
BAZELE ELECTOTEHNICII I BE An I - ETTI CS 2 Conf. dr.ing.ec. Claudia PĂCA e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro CAPITOLL I CICITE ELECTICE DE CENT CONTIN GENEALITĂȚI Circuitul electric de curent continuu
Mai multMicrosoft Word - Software pentru ordonarea multirang a componentelor unei colectivitati.doc
Software pentru ordonarea multirang a componentelor unei colectivităţi S e prezintă un algoritm pentru dispunerea elementelor unei colectivităţi în raport cu mai multe criterii şi un software aferent,
Mai multElectricitate II
Electricitate II Circuitul electric. Legile circuitului electric. Sumar Circuitul electric simplu Legile lui Ohm Legile lui Kirchhoff Gruparea rezistorilor Transformarea stea-triunghi Gruparea generatoarelor
Mai multSlide 1
Arhitectura Sistemelor de Calcul Curs 8 Universitatea Politehnica Bucuresti Facultatea de Automatica si Calculatoare cs.pub.ro curs.cs.pub.ro Structura SIMD Cuprins Probleme de Comunicatii intre Procesoarele
Mai multMatematici aplicate științelor biologie Lab05 MV
LP05 - PREZENTAREA DATELOR STATISTICE (1) Obiective: I. Prezentarea datelor prin tabele - Întocmirea tabelului de evidenţă primară Acest tabel conţine valori de observaţie distincte x i ale caracterului
Mai multMECANICA FLUIDELOR
MECANICA FLUIDELOR Generalităţi Orice substanţă care curge se numeşte fluid. În această categorie se încadrează atât lichidele cât şi gazele. Deoarece cu gazele se produc de obicei transformări termice,
Mai multSubiecte
Cap. Semnale şi instrumente pentru generarea lor. Ce tipuri de aparate pot genera semnal sinusoidal? 2. Care sunt principalele caracteristici ale unui generator de audio frecvenţă? 3. Care sunt principalele
Mai multMicrosoft Word - Curs_10.doc
Capitolul 8. Proiectarea logică Scop - construirea unei scheme logice ce reprezintă corect şi eficient toate informaţiile descrise într-o schemă entitate-relaţie Etape: Restructurarea schemei E-R fază
Mai multMicrosoft Word - probleme_analiza_numerica_ses_ian09.rtf
Universitatea Spiru Haret Facultatea de Matematica-Informatica Disciplina obligatorie; Anul 3, Sem. 1,Matematica si Informatica CONTINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI Metode numerice de rezolvare a sistemelor
Mai multGHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007
GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de
Mai multMicrosoft Word - Probleme-PS.doc
PROBLEME PROPUSE PENTRU EXAMENUL LA PRELUCRAREA SEMNALELOR a) Să se demonstreze că pentru o secvenńă pară x[ n] x[ n] este adevărată egalitatea X( z) X( z) b) să se arate că polii (zerourile) acestei transformate
Mai mult4. Detectarea cantelor Calculul gradientului într-o imagine Detectorul de cante Canny Transformata Hough În această lucrare vor fi studiate metode de
4. Detectarea cantelor Calculul gradientului într-o imagine Detectorul de cante Canny Transformata Hough În această lucrare vor fi studiate metode de detectare a cantelor prin evaluarea gradientului intensității
Mai mult8
9.5 Fluxul unui vector printr-o suprafaţă deschisă-continuare Observaţie: Dacă vrem să calculăm fluxul vectorului a = P x y z i + Q x y z j + R x y z k (,, ) (,, ) (,, ) prin suprafaţa definită de ecuaţia
Mai multPowerPoint Presentation
ELEMENTE DE MORFOLOGIE MATEMATICA Morfologia matematica Cadru de abordare diferit: Pana acum : Imaginea este o functie de doua variabile. Pixelii imaginii (valori si coordonate de pozitie) sunt structurati
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7
Mai multRetele Petri si Aplicatii
Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 3 RPA (2019) Curs 3 1 / 48 Conţinutul cursului 1 Arbori de acoperire 2 Probleme de decizie în reţele Petri 3 Invarianţi tranziţie RPA (2019) Curs 3 2 / 48 Arbori de acoperire
Mai multC10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la
C10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la distanta b de centrul sferei. Alegem un sistem de coordonate
Mai multProcesarea Imaginilor - Laborator 1: Introducere în utilizarea bibliotecii OpenCV 1 1. Introducere în utilizarea bibliotecii OpenCV 1.1. Introducere S
Procesarea Imaginilor - Laborator 1: Introducere în utilizarea bibliotecii OpenCV 1 1. Introducere în utilizarea bibliotecii OpenCV 1.1. Introducere Scopul acestei lucrări de laborator este de a familiariza
Mai multMicrosoft Word - Algoritmi genetici.docx
1.1 Generalităţi Algoritmii genetici fac parte din categoria algoritmilor de calcul evoluționist și sunt inspirați de teoria lui Darwin asupra evoluției. Idea calculului evoluționist a fost introdusă în
Mai multSubiectul 1
Subiectul 1 În fişierul Numere.txt pe prima linie este memorat un număr natural n (n
Mai mult