PIERDUȚI ÎN ABSTRACTUL FĂRĂ CONCRET. CĂUTAREA UNEI NOI MATURITĂȚI, PRIN COMPARAREA UNOR EXAMENE DE MATURITATE Autor: Prof. Leșe Maria-Adriana Școala:

PIERDUȚI ÎN ABSTRACTUL FĂRĂ CONCRET. CĂUTAREA UNEI NOI MATURITĂȚI, PRIN COMPARAREA UNOR EXAMENE DE MATURITATE Autor: Prof. Leșe Maria-Adriana Școala: Colegiul Tehnic Carol I -București Poate că, în spiritul lui Laurențiu Panaitopol, o întrebare bună ar fi dacă un subiect "sec" mai poate "inspira" elevii. Elevul mai poate fi atras de rezolvarea unor probleme pe care nu le poate vizualiza, reprezenta, interpreta? Învățământul nostru a fost mult prea mult timp văzut doar din interior, iar comparațiile cu alte sisteme nu au fost considerate interesante prin obsedanta repetare a convingerii că avem un sistem de învăţământ bun. Așa că demersul meu este o încercare de comparare către exterior spre principalul aspect care ne-a fost întotdeauna accesibil, examenul final, așa cum este el în țări ca: Franța, Ungaria, Finlanda. Toată lumea consideră matematica necesară, dar prin aceasta noi justificăm o anumită matematică, cea şcolărească. Aproape că nu există meserie care să nu se folosească măcar în parte de matematică. Printre domeniile cele mai populare sunt: ştiinţe actuariale (finanţe, asigurări, probabilităţi, statistici, economie), ştiinţe din domeniul tehnologiei informaţiei (informatica, programarea, retelistica, baze de date, dezvoltator de sisteme integrate), cercetare, biomatematică (un domeniu interdisciplinar care studiază procesele biologice folosind unelte si tehnici din matematică), criptografie, arhitectură, construcții. Şi un artist are nevoie de matematică. Şi un critic de artă are nevoie de așa ceva. Un grafician? Are și el nevoie de așa ceva. Sculptor? Da, și lui îi este necesară matematica. Iar lista nu se oprește nicidecum aici Sunt oare copiii pregătiţi prin programa şcolară pentru aceste provocări?au învăţat ei să aplice cele învăţate? De cele mai multe ori, în sistemul de învățământ românesc, elevii nu sunt pregătiţi pentru a rezolva probleme practice, ci sunt colecţionari de cunoştinţe teoretice, nu funcţionale. Imposibilitatea substituirii instrumentului matematic cu un alt instrument mai intuitiv, mai simplu, face ca prezentarea aplicaţiilor unor metode matematice în altă ştiinţă sa fie o problemă relativ dificilă. Din punct de vedere obiectiv, aceasta se datorează faptului că trebuie îmbinat abstractul caracteristic matematicii cu intuitivul caracteristic diverselor ştiinţe ale naturii. În practica predării se pune problema trecerii de la primirea cunoștințelor de către elev la dobândirea lor prin investigare experimental și formarea unei gândiri unitare sistematice. În anexa lucrării am adunat mai multe pachete de subiecte date la examenul bacalaureat din alte ţări. Nu bacalaureatul este subiectul acestei lucrări. Nu este, pentru că adevăratul subiect este succesul (respectiv insuccesul) metodei. Și este, pentru că nu dispunem de resurse pentru a evalua metoda în sine, așa că trebuie să ne folosim de ceea ce dispunem, adică informațiile 1

concrete oferite de output-uri obiective, precum clasamente internaționale tip TIMSS sau Pisa, respectiv manifestări vizibile comparabile, în cazul de față bacalaureatul/examenul final de evaluare a școlii medii. Având în vedere că matematica este probă scrisă la aproape toate examenele naţionale din România, trebuie luată în vedere creşterea motivaţiei elevilor pentru învăţare, devenind necesară introducerea unei matematici bazate pe probleme din viața reală care le va capta atenţia, le va face mai plăcută învăţarea şi totodată mai utilă. În prezent, în România, examenul național de bacalaureat presupune rezolvarea unor probleme abstracte, teoretice: calcule cu limite de funcții, derivate, primitive, polinoame, etc., pe când în alte țări accentul se pune pe aplicații practice. Ar fi util în acest sens să aruncăm o privire la țări care au un alt sistem de învățământ și de evaluare finală: Franța, Ungaria, Finlanda. De ce Franța? Pentru că este părintele bacalaureatului. Și pentru că suntem o țară francofonă. De ce Finlanda? Pentru ca toți privesc către ea după scorul la teste. Și pentru că sistemul lor este atât de străin de al nostru, încât poate să spargă tiparele noastre mintale despre ce înseamnă normalitatea în educație. De ce Ungaria? Pentru că de 20 de ani este Finlanda de la hotarul nostru, având aceeași libertate metodologică și având printre cele mai bune rezultate (dintre țările fost socialiste), ceea ce face comparația și mai pertinentă, pentru că spre deosebire de misterul țării nordice, Ungaria a pornit din același punct ca și noi. Regretatul Laurențiu Panaitopol pomenea adesea de cărțile lui George Pólya (Pólya György) apreciate în întreaga lume a școlii matematice. Diferenţiat în funcţie de liceul urmat şi totodată pregătit pentru lansarea candidaţilor spre anumite universităţi, bacalaureatul susţinut de elevii francezi este considerat a fi unul dintre cele mai eficiente modele de testare din Europa. În timp ce, în România, examenul maturităţii constă pentru toţi elevii în trei probe dedicate competenţelor în comunicare lingvistică şi abilităţilor IT, la care se adaugă alte treipatru examene scrise (dintre care două diferenţiate în funcţie de profil), în Franţa, elevii sunt triaţi în zeci de serii corespunzătoare liniilor de studiu urmate. Practic, bacalaureatul francez se diferenţiază din start în trei tipuri: Bacalaureatul general, cu seriile: economic și social(es), literar(l) şi ştiinţific(s), prin intermediul căruia elevii sunt dirijaţi către universităţi, şcoli superioare (Grandes Ecoles) şi şcoli postliceale. Este urmat de 53% dintre liceeni. Bacalaureatul tehnologic, al cărui scop îl reprezintă intrarea imediată a absolvenţilor în câmpul muncii. Cei care susţin acest tip de evaluare şi vor să-şi continue studiile urmează de regulă cursuri de tehnicieni superiori, în directă legătură cu pregătirea lor de bază. Bacalaureatul tehnologic are nu mai puţin de şapte serii, în funcţie de parcursul şcolarizării: de la bacalaureatul tehnologic industrial la bacalaureatul hotelier. 25% dintre absolvenţii de liceu sunt testaţi în acest fel. 2

Spre exemplu, la secţia tehnologică cu profil electronică, se studiază săptămânal, pe lângă alte ore și: 10 ore de electronică (6 ore de curs și 4 ore de muncă practică), 9 ore de fizică (5 ore de curs și 4 ore de muncă practică), mecanică 4 ore si 30 minute (2 ore de curs și 2 ore 30 minute de muncă practică), 4 ore de matematică. Iar matematica este mai punctuală, mai orientată către scopuri precise. Electronica înseamnă calcule, sisteme (Kirchhoff), lecturi grafice (osciloscopul), fizica folosește intens analiza și iată, matematica are scop si sens! Bacalaureatul profesional, cu 80 de specializări şi modalităţi flexibile de evaluare în funcţie de traseul educaţional parcurs, spre exemplu: comerț; estetică, cosmetică și parfumerie; secretariat; inginerie electrotehnică și echipamente de telecomunicație; restaurare etc.; 22% dintre elevii francezi îşi încheie studiile liceale prin acest tip de bacalaureat. Subiectele tratate în cadrul celor şapte-opt probe sunt la rândul lor diferenţiate în funcţie de seria urmată. Particularitatea constă însă în faptul că cerinţele au caracter transdisciplinar şi sunt axate pe competenţe, urmărind nu doar cantitatea de cunoştinţe acumulate pe parcursul liceului, ci şi capacitatea elevilor de a le folosi. Elevii francezi au mai multe tipuri de bacalaureat și nu funcționează o schemă liniară, de genul "ai bacalaureat tehnologic - nu mergi la facultate", ci ceva de genul "ai făcut biochimia, poți face o facultate de profil, dar nu una de profil foarte indepărtat". Impresia pe care o dă sistemul nostru de învăţământ poate fi descrisă prin cuvintele unui copil cu vârsta de 10 ani, venit din sistemul francez în şcoala românească: Profesorii francezi vor să se asigure şi să ne asigure că știm, iar profesorii români vor să ne demonstreze că nu știm. Bacalaureatul din Ungaria se poate susține (la alegere pentru fiecare disciplină) la nivel mediu sau ridicat. În funcţie de alegerea făcută, drumul către o facultate devine mai uşor sau mai dificil. În Ungaria neexistând o programă unică, şcolile fiind libere să aleagă inclusiv planul de învăţământ, subiectele la examen nu pot fi hiperspecializate, nu pot fi manieriste, ci trebuie să măsoare gândirea copilului şi capacitatea de a rezolva situaţii reale folosind matematica, indiferent în ce formă concretă a învăţat-o. În Finlanda, iarăşi nu întîlnim o curriculă unică, deci dacă vom vizita o şcoală vom întâlni curricula acelei şcoli. Şi elementele comune se referă doar la cadrul general, nu şi la detaliile specifice. În această ţară au avut loc de-a lungul timpului mai multe modificări ale curriculumului, care au urmat tendinţele internaţionale. Începând cu 1970, au avut loc trei revizuiri majore. Prima a fost influențată de așa-numitul New Math. Acest lucru a creat o mulțime de discuții, dar a avut un efect relativ mic. Cea de a doua revizuire poate fi etichetată " Back to Basics ". Ultima schimbare " Rezolvarea de probleme ", a avut un impact mult mai mare. A fost foarte mult influențată de faptul că aplicaţiile matematicii sunt toate importante. Influența calculatoarelor a fost de asemenea profundă. Aceste tendințe au avut în Finlanda următoarele efecte asupra curriculumului de matematică: -Matematică de la școală a devenit descriptivă - definițiile exacte și demonstraţiile au fost în mare parte omise. -Geometria a fost neglijată. 3

-Calculele au fost efectuate de calculatoare. Noi putem privi critic, subiectiv această abordare, dar să apreciem obiectiv rezultatele şcolii finlandeze la testele intrenaționale. Clasament Pisa 2009 știință: 1. China 576 2. Finlanda 554... 19. Polonia 508... 22.Ungaria 503... 27. Franţa 498... 49. Romania 428... Atât ungurii cât și finlandezii nu intră (la nivel de examen) în zona abstractă. Algebra la nivel Gheba, geometrie, enunțuri la nivelul concret. Dacă aruncăm o privire peste subiectele de la bacalaureatul din Ungaria, ne-ar putea surprinde absenţa analizei matematice şi a algebrei superioare. În preambulul acestor subiecte, puriştii ar putea fi surprinşi de existenţa recomandării de a folosi calculatorul de buzunar, dar mai departe vedem că aceasta permite rezolvarea de probleme cu calcule aproximative, şi se pare că triunghiurile lor pot avea şi unghiuri cu măsura de 17! Iată deci două trasee diferite, ambele opozabile sistemului nostru. Matematica "high", dar cu multe ore și foarte copios întărită de alte discipline, care aplică intens matematica în spațiul concret, justificând efortul. Sau matematica joacă, amuzantă, de perspicacitate, dedusă direct din spațiul concret. Așadar ORI se face saltul către abstract asistat puternic de alte discipline concrete, intens matematizate, care se justifică, ORI se păstreză elevul în concret, abstractul fiind mereu în fundal, util, dar nu forțat. Faţă de acestea, programa noastră este mult prea amanunţită în detalii, pentru care sunt prevăzute mult prea puţine ore, iar elevii sunt până la sfârşit împrăştiaţi într-o cultură generală de enciclopedie, iar această programă este baza alegerii subiectelor pentru examene, ceea ce face dificilă adaptarea demersului didactic. Dacă ar fi să vorbim despre succesul de marketing al metodei noastre, ar trebui să ne sperie numărul mare de note de 1 din vara aceasta la examenul de bacalaureat, când unul dintre subiecte, în ambele sesiuni, cerea noul preţ după scumpirea cu 10% a unui obiect care costă 100 lei, note care vorbesc despre faptul că îi pierdem pe elevi. Nu încerc să fac o apologie a unor rezultate, pentru că acestea depind de condiţiile testării şi se pot schimba în timp, dar lectura acestor subiecte, arătând varietatea de căi existente, mă obligă să pun întrebarea dacă se mai poate justifica existența unei singure căi la nivel de țară și dacă nu 4

cumva punctul de pornire al reformei ar trebui să fie admiterea varietății, a libertății de a coexista planuri de învățământ alternative, CDŞ 100%, concurența nu între faima școlilor, ci între gradele de adaptare ale metodelor folosite la populaţia şcolară existentă, libertatea de a experimenta căile alternative oferite de exemple de succes într-un sistem flexibil, care la nivel de examen să nu verifice memoria elevului, ci nivelul de înțelegere și capacitatea de a aplica și folosi cele învățate în spațiul real. ANEXA cu subiecte date la examenele de bacalaureat din alte ţări. Iată cum arată un subiect complet de matematică, din Franţa, în 2013, la Bacalaureatul tehnologic, Știința si tehnologia managementului, pentru specializările: Marketing, Contabilitate și finanțe în afaceri, Managementul sistemelor informatice (durata examenului 3 ore): Este permisă utilizarea calculatorului. Exercițiul 1 (4 puncte) Acest exercițiu este o întrebare cu răspunsuri multiple. Pentru fiecare întrebare, numai unul din cele patru răspunsuri posibile este corect. Scrieți pe foaie numărul întrebării și litera corespunzătoare răspunsului ales. Nu este necesară o justificare. Un răspuns corect valorează un punct. 1. Ecuația admite soluția în intervalul : 2. Fie funcția definită pe prin. Notăm derivata funcției f pe. Pentru orice x real avem : Pentru întrebările următoare, g este o funcție definită și derivabilă pe intervalul [-5;6] cu tabelul de variație prezentat mai jos: 3. Se poate afirma că: 5

4. Notăm g ' derivata funcției g pe intervalul [-5;6]. Inecuația g ' are ca soluție intervalul: Exercițiul 2 (5 puncte) Tabelul de mai jos prezintă producția mondială de mașini de marcă franceză între 2004 și 2011. 1. Între 2003 și 2004, producția a crescut cu 2.46%. Determinați numărul de autoturisme produse în 2003, rotunjit la mii. 2. a. Calculați rata evoluției globale a producției între 2004 și 2011. Exprimați rezultatul în procente, cu 2 zecimale. b. Deduceți rata medie anuală de creștere a producției între 2004 și 2011. Exprimați rezultatul în procente, cu 2 zecimale. 3. Am ales indicele de referință 100 pentru producția din 2004. Calculați indicele, rotunjit la sutimi, al producției din 2009. Într-o foaie de calcul tabelar, reprodus mai jos, au fost copiate aceste date pentru a calcula schimbările anuale ale ratelor de producție. Celulele din domeniul C3:I3 sunt exprimate în procente cu două zecimale. 4. Ce formulă putem scrie în celula C3 pentru a obține, prin copiere la dreapta, conținutul celulelor C3:I3? 5. Având în vedere rezultatele obținute putem considera că rata evoluției mediei anuale calculată la întrebarea 2.b. este modelată corespunzător evoluției producției? Justifică răspunsul. 6

Exercițiul 3 (5 puncte) Într-o parfumerie, fiecare client care intră în magazin primește un eșantion de parfum gratuit. Dintre probele disponibile: 55% dintre parfumuri sunt pentru femei, celelalte sunt pentru bărbați; 48% din parfumurile pentru bărbați sunt marca Alpha; 12% din parfumurile pentru femei sunt marca Alpha. Casierul selectează un eșantion aleatoriu de parfumuri. Se presupune că fiecare probă are aceeași probabilitate de a fi selectată. Vom defini următoarele evenimente: F: "Eșantionul ales este un parfum pentru femei"; H: "Eșantionul ales este un parfum pentru bărbați"; O "Eșantionul ales este din marca Alpha." Vom nota evenimentul contrar lui A. Probabilitățile cerute vor fi exprimate în formă zecimală. 1. Dați, din informațiile din enunț: a. Probabilitatea P (F) a evenimentului F; b.probabilitatea a evenimentului A știind că evenimentul F este realizat. 2. Reproduceți și completați pe foaie arborele probabilității de mai jos. 3.a. Definiți printr-o propoziție evenimentul. b. Calculați probabilitatea evenimentului 4. Arătați că probabilitatea evenimentului A este 0,282. 5. Calculați probabilitatea ca proba să fie un parfum pentru bărbați știind că acesta este marca Alpha. Rotunjiți rezultatul la miimi. 7

Exercițiul 4 (6 puncte) Cele două părți ale acestui exercițiu pot fi tratate independent. Suntem interesați de evoluția numărului de autorizații sportive din Franța. Partea A Tabelul de mai jos prezinta numărul de autorizații sportive, la toate practicile combinate, între 2004 și 2010. Punctele de coordonate (, pentru i de la 1 la 6 sunt reprezentate în anexă. 1.Folosind calculatorul, determină ecuația unei drepte care îl expimă pe y în funcție de x obținută prin metoda celor mai mici pătrate (rotunjiți coeficienții la miimi). 2. S-a decis să se modifice mulțimea de puncte după dreapta D de ecuație y = 0.37 x + 15,26. a. Trasați dreapta D pe graficul din anexa de pe foaie. b. Calculați numărul de autorizații de sport prevăzute după această ajustare în 2013. c. Conform acestui model, în care an, numărul de autorizații sportive va fi pentru prima oară de peste 20 de milioane? Partea B Am studiat în particular numărul de autorizații de sport emise pentru Federația Franceză de Drumeții. În anul 2004, au fost 170.000 de excursii autorizate. Între 2004 și 2010, acest număr a crescut în medie cu 4% pe an, și se presupune că această tendință va continua cel puțin până în 2020. Pentru orice întreg înseamnă o estimare a numărului de excursii autorizate, în mii în cursul anului (2004 + n). Astfel, 1. Care este natura șirului? Justificați și explicați raționamentul. 2. Dați expresia lui în funcție de. 3. Determină, în mii, numărul de excursii autorizate în condițiile prezentului model în 2013. 4. Conform acestui model, în ce an numărul de excursii va fi pentru prima oară peste 300 000? Anexă pentru Partea A: 8

9

Subiecte Bacalaureat maghiar-mai 2013-Nivel mediu PARTEA A (30 puncte) -Candidaţii vor avea la dispoziţie 45 de minute pentru rezolvarea problemelor, după care nu vor mai putea lucra. -La rezolvarea problemelor se pot folosi calculatoare, fără funcţie de salvare, respectiv de afişare a datelor alfanumerice, şi tabele de funcţii matematice. Este interzisă folosirea altor materiale ajutătoare electronice sau scrise. 1. Să se simplifice prin ab fracţia, dacă (2puncte) 2. Laturile unui dreptunghi sunt de 12 cm, respectiv de 5 cm. Rotim acest dreptunghi în jurul dreptei laturii mai lungi. Să se determine volumul corpului de rotaţie astfel obţinut. Justificaţi răspunsul! (3puncte) 3. Să se determine numărul rădăcinilor reale ale ecuaţiei (x 5)( +1) = 0. (2puncte) 4. Să se determine toate valorile lui x cu care funcţia f definită pe mulţimea numerelor reale dă valoarea 10, dacă f(x)= x ǀ 4. (2puncte) 5. Fie F mijlocul segmentului AB. Fie a vectorul de poziţie al punctului A, respective f vectorul de poziţie al punctului F. Să se exprime vectorul de poziţie b al punctului B în funcţie de vectorii a şi f. Justificaţi răspunsul! (2puncte) 6. Este dat un vector unitate e: e ( cos 750 ; sin 750 ). Să se determine cel mai mic unghi de rotaţie pozitivă pentru vectorul i (1 ; 0) care dă vectorul e. (2puncte) 7. Să se determine valoarea (sau valorile) lui x cu care funcţia f definită pe mulţimea numerelor reale dă cea mai mică valoare, dacă f (x) =x 2 +18x +81. Justificaţi răspunsul! (2puncte) 8. Câte numere pozitive de cinci cifre există în sistemul binar? (2puncte) 9. Diagrama sub formă de cerc din figura alăturată reprezintă obiceiurile de navigare pe internet ale celor 720 de persoane interogate: segmentul I îi reprezintă pe cei care nu se conectează pe internet, segmentul II pe cei care se conectează sistematic, iar segmentul III pe cei care se conectează rar. Determinaţi numărul de persoane pentru fiecare segment! (3puncte) 10

10. Dreapta e trece prin punctul A(5; 1) şi este perpendiculară pe dreapta dată de ecuaţia 2x =7y. Scrieţi ecuaţia dreptei e!justificaţi răspunsul! (3puncte) 11. Determinaţi care din afirmaţiile următoare sunt adevărate, sau false, răspunzând cu adevărat sau fals! A: Dacă un număr par este divizibil cu 9, va fi divizibil şi cu 18. B: Orice număr divizibil cu 100 va fi divizibil şi cu 200. C: Există număr divizibil cu100 care este divizibil şi cu 13. D: Numai numerele pare divizibile cu 3 vor fi divizibile cu 6. (4 puncte) 12. Într-o progresie de numere primul termen este 1, iar cel de al doilea 1. Fiecare termen consecutiv al progresiei este egal cu suma celor doi termeni care se află nemijlocit inaintea lui. Să se calculeze suma primilor şase termeni ai progresiei. Arătaţi cum aţi calculat. (3puncte) PARTEA B( 70 puncte) -Candidaţii vor avea la dispoziţie 135 de minute pentru rezolvarea problemelor, după care nu vor mai putea lucra. -Se pot folosi calculatoare care nu au funcţie de salvare, respectiv de afişare a datelor alfanumerice, şi tabele de funcţii matematice. Este interzisă folosirea altor material ajutătoare electronice sau scrise. 13. a) Un pătrat este împărţit în trei dreptunghiuri congruente prin două drepte paralele cu una dintre laturile sale. Perimetrul unui dreptunghi astfel obţinut este de 24cm. Să se determine aria pătratului în cm 2. b) Latura pătratului ABCD are lungimea de 12 cm. Semidreapta dusă din vârful A al pătratului intersectează latura BC în punctul P. Latura AP a triunghiului ABP astfel obţinut are lungimea de 13 cm. Să se determine lungimea înălţimii corespunzătoare ipotenuzei în triunghiul dreptunghic ABP. Să se exprime lungimea înălţimii în cm, rotunjită la o zecimală. (12puncte) 14. Să se rezolve următoarele ecuaţii pe mulţimea numerelor reale. a) lg(2x-5)=lg x-lg3 b) (12puncte) 15. Într-un laborator de cercetare pot fi angajate persoane cu diplomă de tehnician sau cu diplomă universitară. Dintre cei 50 de angajaţi ai laboratorului sunt 42 de tehnicieni şi 28 de persoane au diplomă universitară. a) Câţi dintre ei sunt numai tehnicieni? Salarul mediu al celor 50 de angajaţi ai laboratorului este de 165 000 forinţi. Salariul mediu al angajaţilor sub 30 de ani este de 148 000 forinţi, iar al celorlalţi de 173 000 forinți. b) Câţi dintre angajaţii laboratorului au sub 30 de ani? 25 dintre cercetători, 17 femei şi 8 bărbaţi, vor să participe la o conferinţă organizată la sfârşitul săptămânii. Institutul de cercetare poate finanţa taxa de participare numai pentru 20% din cei 25 de candidaţi. 11

c) Dacă conducerea ar alege la întâmplare persoanele pentru care achită taxa de participare, care este probabilitatea alegerii numai de femei pentru a participa la conferinţă? Să se exprime răspunsul rotunjit la două zecimale. (12puncte) Alegeţi opţional două din problemele 16-18: 16. Două dintre laturile unui triunghi au lungimea de 20, respectiv 22 unităţi de lungime. a) Ce lungime poate avea cea de a treia latură? Câte astfel de triunghiuri există, dacă ştim că şi lungimea celei de a treia laturi este un număr întreg? b) Care va fi unghiul format de cele două laturi, dacă aria triunghiului este egală cu 88 unităţi de arie? Să se exprime în grade, rotunjit la o zecimală, unghiul căutat. c) Cât poate fi lungimea celei de a treia laturi a triunghiului, dacă se respect condiţiile de la punctul b)? Să se exprime lungimea laturii căutate rotunjită la o zecimală. (17puncte) 17. Pentru a veni în ajutorul antreprenorilor începători, o firmă le asigură chirie la un preţ scăzut. Încăperile pot fi închiriate pe 24 de luni. Chiria pe prima lună costă 100 de taleri, iar pe cea de-a 24-a lună 200 de taleri. Începînd din a doua lună chiria se ridică lunar. Chiriaşii au de ales între două posibilităţi de plată. Prima variantă este să plătească în fiecare lună mai mult decât în luna precedentă cu p %, iar a doua variant este să plătească în fiecare lună cu d taleri mai mult decât în luna precedentă. La plata chiriei Gábor a ales prima variantă, iar Péter pe cea de-a doua. (Subdiviziunile la taleri se calculează în sutimi de taler). a) Cu cât la sută creşte chiria lui Gábor de pe o lună pe alta? Să se exprime răspunsul rotunjit la sutimi. b) Cu câţi taleri creşte lunar chiria lui Péter? Să se exprime răspunsul rotunjit la sutimi. c) Cine plăteşte mai multă chirie de-a lungul celor 24 de luni, Gábor sau Péter? Cu cât plăteşte unul mai mult decât celălalt? d) Cu cât la sută plăteşte Péter mai multă chirie în cel de-al doilea an faţă de primul an? (17puncte) 18. Gestionarul unui magazin alimentar i-a cerut încărcătorul de marfă să umple cele 6 compartimente de pe raftul de jos de la intrare cu următoarele produse: orez, zahăr, făină, sare, griş şi pesmet. I-a atras atenţia, să nu pună decât un singur produs în fiecare compartiment, iar compartimentele cu griş şi cu pesmet să nu fie unul lângă altul, pentru că se pot confunda uşor, ambalajul lor cel nou fiind foarte asemănător. Dealtfel, ordinea produselor în compartimente nu are importanţă. a) În câte feluri poate să aranjeze încărcătorul cele şase produse? Comerciantul are contract cu o brutărie şi face comanda de pâine şi de produse de patiserie pentru ziua următoare în fiecare seară după închiderea magazinului. El comandă de fieacare dată pâine de trei feluri (pâine albă de 1 kg, pâine albă de ½ kg, pâine de secară) respectiv două feluri de produse de patiserie (chifle şi cornuri). În cea de-a 32-a săptămână, în cele 5 zile ale săptămânii el a notat zi de zi cantitatea de marfă comandată, respectiv rămasă nevândută şi trimisă înapoi la brutărie. El a întocmit următorul tabel zilnic. 12

b) Să se calculeze cu bucata câte pâini, respectiv câte produse de patiserie au fost comandate în cele 5 zile în total şi cât la sută din cantitatea comandată s-a trimis înapoi din cele două tipuri de produse. c) Alegem la întâmplare 2 dintre cele 5 zile şi le marcăm. Să se determine probabilitatea că în fiecare din cele două zile marcate s-au vândut cel puţin 130 de bucăţi de produse de patiserie. În săptămâna următoare, adică în cea de-a 33-a săptămână comerciantul a comandat în fiecare zi şi pe fiecare produs aceaşi cantitate, adică, din fiecare dintre cele trei feluri de pâine a comandat o cantitate egală cu cantitatea medie vândută şi rotunjită la întreg din cea de-a 32-a săptămână, iar cantitatea de chifle, respectiv de cornuri comandată a fost egală cu modusul chiflelor respectiv cornurilor vândute în cea de-a 32-a săptămână. d) Câte bucăţi a comandat comerciantul zi de zi din fiecare produs de panificaţie în această perioadă? (17puncte) Iată și câteva dintre subiectele date la examenul de bacalaureat din Finlanda-1995: 1. Un cub este împărțit în 64 de cuburi mai mici. Găsiți lungimea laturii ( în cm) unui cub mic știind că volumul cubului original este 1l. 2. Conform regulilor unei țări, o casă nu poate fi construită la mai puțin de 100 metri de țărm. O insulă în formă de triunghi echilateral și suprafața de 5 hectare se află în acestă țară. Se poate construi o casă pe această insulă? 3. La începutul unei săptămâni, o persoană a cumpărat o cutie de un litru de lapte pentru 4.20 u.m., dar a utilizat numai 800ml înainte de a se acri laptele.săptămâna viitoare persoana a cumparat două cutii de carton la jumătate de litru de lapte pentru 2.50 u.m. fiecare și a folosit tot laptele. În care săptămână a fost laptele mai scump, și cu ce procent? 4. O planetă se învârte în jurul soarelui într-un timp care este proporțional cu numărul R 3/2, unde R este distanța medie de la planetă la Soare. Un an de pe Pământ, este perioada de revoluție în jurul Soarelui și este de 365 de zile, iar distanța medie de la Pământ la Soare este de 13

150 milioane kilometri. Distanța medie de la planeta Nevanlinna la soare este de 486 milioane kilometri. Cât durează un an în Nevanlinna? 5. Elevii au fost admiși într-o instituție de învățământ, după cum urmează: 48 din cele 300 de fete care au aplicat și 3 din cei 20 de baieti care au aplicat au fost admiși la secțiunea A, 4 din cele 20 de fete care au aplicat și 114 din cei 600 de băieți care au aplicat au fost admiși la secțiunea B. Arată că, în fiecare secțiune procentul de fete admise a fost cu o unitate mai mare decât cel al băieților, dar, cu toate acestea, în întreaga instituție de învățământ procentul de băieți admiși a fost mai mare decât cel al fetelor. Bibliografie: http://www.oktatas.hu/kozneveles/erettsegi/feladatsorok http://eduscol.education.fr/ http://eduscol.education.fr/prep-exam/ http://users.abo.fi/jwright/schoolmath/matricexamples/ http://www.sujetdebac.fr/annales-du-bac.php?lieu=metropole&annee=2013 http://elib.mi.sanu.ac.rs/files/journals/tm/23/tm1221.pdf http://en.wikipedia.org/wiki/programme_for_international_student_assessment 14