I. Partea introductivă Proiectul unității de învățare CONCEPTUL DE MATRICE ŞCOALA: Colegiul Național Petru Rareș Suceava CLASA: a XI a- matematică / a XI a- informatică neintensiv PROFESOR: Dumitrașcu Gabriela DISCIPLINE ȘCOLARE INTEGRATE: - discipline integrate orizontal (discipline din arii curriculare diferite articulate într-un demers coerent): matematică / matematică și științe ale naturii informatică / tehnologii ABORDARE CURRICULARĂ: interdisciplinară TEMA UNITĂȚII DE ÎNVĂȚARE: Conceptul de matrice NUMĂR ORE: 1 SCOPUL UNITĂȚII DE ÎNVĂȚARE: Legătura strânsă între disciplinele matematică și informatică poate determina colaborări interdisciplinare diverse pentru învățarea/extinderea unor noi perspective de abordare a problematicii matricelor (tablouri bidimensionale). Elevii sunt implicaţi în diferite activităţi aplicative care le permit să descopere, prin discuţii, investigaţii, studii de caz, răspunsuri şi motivaţii, modalitatea de proiectare şi implementare a unei structuri eficiente pentru datele necesare unei probleme din matematica matricelor. Predarea-învăţarea acestei unităţi de învățare este orientată pe metoda proiectului, utilizânduse preponderent metode activ-participative şi punându-se accent pe metoda descoperirii atât individual cât şi în grup. Acest lucru va urmări dezvoltarea abilităţilor de lucru în echipă, abilităţilor de gândire de nivel superior cu privire la ideile importante, abilităţilor de comunicare şi colaborare, creativitate, capacitate de adaptare, autoformare şi responsabilitate socială. Obişnuirea elevilor cu responsabilităţi, cu răspunderea privind finalizarea propriei munci şi asigurarea înlănţuirii unor elemente realizate în paralel, îi va pregăti în mod cât se poate de clar pentru o activitate pe care cu siguranţă o vor întâlni în viitor. COMPETENȚE CHEIE APARȚINÂND DIFERITELOR ARII CURRICULARE / DISCIPLINE ȘCOLARE (preluate din programa disciplinelor școlare implicate) cheie: matematică Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete
Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaţii concrete şi a algoritmilor de prelucrare a acestora Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii-problemă Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoştinţelor din diferite domenii cheie: informatică Competenţe în matematică şi competenţe de bază în ştiinţe şi tehnologie Competenţe digitale COMPETENȚE CROSSCURRICULARE C1. Capacitatea de a utiliza în mod interactiv limbajul matematic în contexte variate C.Capacitatea de rezolvare a unor probleme C3.Capacitatea de a colabora în grup în scopul rezolvării unor sarcini de lucru C.Capacitatea de evaluare, interevaluare, respectiv autoevaluare corectă C5.Gestionarea optimă a timpului de studiu C6. Dezvoltarea personală prin formarea gândirii interdisciplinare şi gestiunea propriei învăţări STRATEGII DIDACTICE: a) Resurse procedurale: demonstraţia, exerciţiul, explicaţia, conversaţia, problematizarea, observarea, studierea de model, investigarea, lucrări practice, desenul, reprezentarea grafică b) Resurse materiale:. culegeri şi reviste de matematică, softuri calculator, fişe de lucru c) Modalitǎţi de organizare a activitǎţii cu elevii: se vor organiza activităţi variate de învăţare pentru elevi, în echipă şi/ sau individual, în funcţie de nivelul şi de ritmul propriu de dezvoltare al fiecăruia, punându-se accent pe rezolvarea unor probleme practice, din activitatea cotidiană d) Matrice de generare a conținuturilor: specifice CSM1. Identificarea unor situaţii practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces specific domeniului economic sau tehnic CSM. Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces CSM3. Aplicarea algoritmilor de calcul cu matrice, în situaţii practice. CSM. Interpretarea rezultatului unei operaţii cu matrice, prin exemple practice. CSM5. Optimizarea rezolvării unor probleme sau situaţii-problemă prin alegerea unor strategii şi metode Unități de conținut Matrice - matematică 1. Tabel de tip matricial. Matrice, mulţimi de matrice.. Operaţii cu matrice: adunarea, înmulţirea, înmulţirea unei matrice cu scalar, proprietăţi. 3. Operaţii cu matrice: produsul a două matrice. Operaţii cu matrice: ridicarea la putere a unei matrice. 5. Aplicații croscurriculare asociate C1, C C, C3 C1, C, C5 C, C3, C6
adecvate (de tip algebric, vectorial, analitic, sintetic). specifice CSI1, Analizarea unei probleme în scopul identificării datelor necesare şi alegerea modalităţilor adecvate de structurare a datelor care intervin într-o problemă Unități de conținut Tablouri bidimensionale (Matrice)- Informatică 3. Noțiuni generale - Terminologie (indici, linie, coloană, matrice pătrată, diagonală principală, diagonală secundară). Parcurgerea matricelor pătratice 5. Descrierea algoritmilor pseudocod de efectuare a operațiilor de bază 6. Implementarea unor programe în C++ corespunzătoare algoritmilor determinați 7. Realizarea unui pachet de programe pentru demonstrații și test croscurriculare asociate C.C C3, C5 C3, C5,C6 C3, C5 C, C6
II. Desfășurarea activității inter /transcurriculare C1, C Activități de învățare Identificarea noţiunii de matrice de tip (m,n), scrierea unei matrice de tip (m,n), print-un tablou cu m linii şi n coloane ; Exerciţii de scriere a unei matrice linie, matrice coloană, matrice pătratică de ordin n, matrice dreptunghiulară cu m linii şi n coloane. Identificarea matricelor particulare: matrice nulă, matice unitate, matrice triunghiulară, matrice diagonală, matrice scalară, matrice simetrică, matrice antisimetrică, transpusa unei matrice Identificarea egalităţii a două matrice. Exerciţii de scriere a transpusei A t a unei matrice A, Exerciţii de determinare a unor constante, în anumite condiţii date: matricea să fie simetrică, diagonală, unitate, antisimetrică, Timp Metode și procedee Exerciţiul, Explicaţia, Conversaţia, Problematizare a Strategii didactice Mijloace Forme de organizare Culegeri şi Activităţi Reviste de frontale şi matematică, individuale. Softuri Calculator, Fişe de lucru; Evaluare Observarea sistematică a elevilor Aprecierea verbală, Chestionarea orală Aprecierea răspunsurilor C, C3 Identificarea sumei a două matrice, proprietăţi ale adunării matricelor: Identificarea produsului dintre un număr real (scalar) şi o matrice; proprietăţi: Exerciţii de calculare a sumei, respectiv diferenţei a două matrice, calcularea produsului dintre un număr real şi o matrice Exerciţii de calculare a sumei, respectiv diferenţei a două matrice, calcularea produsului dintre un număr real şi o matrice Rezolvarea unui sistem de ecuaţii matriciale Explicaţia, Conversaţia euristică, Problematizare a Descoperirea, Exerciţiul; Softuri calculator Fişe de lucru; Activităţi frontale şi individuale. Observarea sistematică a elevilor Aprecierea verbală, Chestionarea orală Aprecierea răspunsurilor primite.
C1, C, C5 C, C3, C6 C, C3,C;C5,C6 Identificarea produsului a două matrice; proprietăţi Exerciţii de calculare a produsului a două matrice, cu accentuarea necomutativităţii înmulţirii matricelor Exerciţii care evidenţiază rolul de element neutru, la inmulţirea matricelor pătratice, a matricei unitate: Identificarea puterii unei matrice pătratice. Identificarea metodelor de ridicare la putere a matricelor pătratice de ordin n: - metoda inducţiei matematice. - metoda binomului lui Newton. - metoda şirurilor recurente. - metoda trigonometrică. Exerciţii de calcularea puterii unei matrice pătratice de ordin sau 3, prin metoda inducţiei matematice, sau prin metoda binomului lui Newton, sau prin metoda şirurilor recurente. Citirea de la tastatură sau dintr-un fişier a unei matrice Realizarea prelucrărilor diverse asupra matricelor Implementarea programe pentru prezentarea operaţiilor cu matrice Realizezarea unui proiecte de grup, folosind aplicaţii de programere, editare, desenare şi multimedia (de exemplu, CodeBlocks, Microsoft Word, Paint, Microsoft PowerPoint, Prezi, Internet Explorer, crearea şi gestionarea site-urilor wiki) 1h 1h Exerciţiul, Explicaţia Problematizarea Observarea Explicaţia, Conversaţia euristică, Problematizarea Descoperirea, Exerciţiul Explicaţia, Conversaţia euristică, Problematizarea Descoperirea Exerciţiul Softuri calculator Fișe de lucru, Fișe de lucru Softuri calculator Cărţi şi manuale Fişe de lucru Teste, Materiale informative. Pe grupe Individual Pe grupe Individual Pe grupe Concursuri, Jocuri de grup. Portofolii Proiect
III. Fișe de lucru pentru elevi (exp. pentru activități de tip proiect etc) Pentru disciplina informatică Fixarea cunoștiințelor folosind aplicația matrix calculator care se accesează la https://matrixcalc.org/ro/ și platformă educațională care oferă filme și teste cu matrice cu indicații ce conțin rezolvare completă, pe pași, la materiile esențiale cum este și matematică. http://lectii-virtuale.ro/clasa/clasa-11/matematica Pentru informatică http://www.dponline.ro Realizarea unui proiecte de grup, folosind aplicaţii de programe, editare, desenare şi multimedia (de exemplu, CodeBlocks, Microsoft Word, Paint, Microsoft PowerPoint, Prezi, Internet Explorer, crearea şi gestionarea site-urilor wiki) care să realizeze o comparare între studiul între diferite operații care se pot executa asupra matricilor pătratice în matematică și în programare C++. Fișă de lucru 1 Să se scrie un program în C++ care să afișeze pentru o matrice X citită de la tastatură sau din fișier text: 1. Suma elementelor de pe diagonala principală. Produsul elementelor de pe diagonala secundară 3. Numărul elementelor aflate deasupra diagonalei principale. Numărul elementelor pare aflate sub diagonala secundară 5. Media aritmetică a elementelor aflate deasupra diagonalei secundare 6. Suma elementelor aflate sub diagonala secundară Fișă de lucru 1. Ce matrice se obţine după realizarea următoarei secvenţe dacă pentru n se citeşte valoarea 3? for (i=1; i<=n; i++) for (j=1; j<=n; j++) a[i][j]=i*j%10 ;. Ce se afişează dacă se execută următoarea secvenţă de program pentru matricea de mai jos: 1 0 3 6 5 3 1 5 1 0 3 s=0; nr =0; for (i=; i<=n; i++) for (j=1; j<=i-1;j++) if (a[i][j]>0 ) { s=s+a[i][j]; nr ++; } if (nr == 0) cout<< NU EXISTĂ ; else cout<< s/nr;
3. Care este cel mai mic element situat pe a doua linie a tabloului construit în urma executării secvenţei alăturate: m=; n=3; k=1; for (i=m; i>=1 ; i--) for (j=n; j>=1; j--) { a[i][j]= k; k++; }. În secvenţa alăturată se consideră că variabila a memorează un tablou bidimensional cu n linii şi n coloane, numerotate de la 1 la n, iar toate celelalte variabile sunt întregi. a) Ce valoare se va afişa în urma executării secvenţei, dacă n=, iar tabloul are conţinutul de mai jos? 1 0 3 6 5 3 1 5 1 0 3 k=; s=0; for (i=k; i<=n; i ++) if (i%) s=s+a[i][n-i]; cout<< s; b) Pentru matricea de mai sus care este elementul a[][3]? Pentru exerciţiile 5, 6 şi 7 se consideră că atât matricea cât şi n sunt citite de la tastatură. 5. Scrieţi secvenţa de program prin care se calculează produsul elementelor pozitive aflate pe poziţii pare. 6. Scrieţi secvenţa de program care afişează minimul elementelor aflate pe coloana k. 7. Scrieţi secvenţa de program care afişează numărul de elemente prime aflate pe linia.
Pentru disciplina matematică 7 3 10 6 9 8 REBUS A 1 5 B 1. O mulţime se numeşte majorată sau mărginită superior dacă admite cel puţin un. Limitele la stânga şi la dreapta ale funcţiei f:d R în punctul x_0 D se numesc limitele...ale funcţiei f în punctul x_0. 3. Dreapta de ecuaţie y=a,a R se numeşte... orizontală spre - a funcţiei f dacă lim (x - ) f(x)=a.. Dacă un determinant are două linii sau două coloane identice, atunci valoarea determinantului este... 5. O ecuaţie matriceală este o ecuaţie în care necunoscuta este o... 6. Matricea notată (_^t)a se numeşte... matricei A. 7. Punctul x_0 D se numeşte punct de... al funcţiei f:d R dacă funcţia f nu este continuă în x_0. 8. Un sistem de ecuaţii... este un sistem în care fiecare ecuaţie este de gradul I în raport cu fiecare necunoscută 9. Sistemele de ecuaţii liniare care nu au soluţie sunt numite sisteme... 10. Inversa unei matrice pătratice, dacă există este... Dacă ați rezolvat corect rebusul de mai sus, pe coloana A B marcată veți descoperi numele disciplinei studiate.
EVALUARE REBUS 1 M A J O R A N T L A T E R A L E 3 A S I M P T O T Ă Z E R O 5 M A T R I C E 6 T R A N S P U S A 7 D I S C O N T I N U I T A T E 8 L I N I A R E 9 I N C O M P A T I B I L E 10 U N I C Ă IV. Fișe de evaluare Echipele de elevi vor prezenta proiectul lor, realizând şi feedback pentru celelalte proiecte. Fiecare elev va preda profesorului propriul portofoliu, actualizat. Această lecţie este dedicată susţinerii proiectelor. La finalul acestor activităţilor elevii vor posta pe pagina web a clasei pachetul de programe realizat. V. Bibliografie 1. Consiliul Național pentru Curriculum, Programa școlară pentru clasa a XI-a informatică ciclul inferior al liceului, filiera teoretică profil real, specializările: Matematică-informatică, Știinte ale naturii, București, 009, aprobată prin ordin al ministrului nr.5099/09.09.009. Consiliul Național pentru Curriculum, Programa școlară pentru clasa a XI-a matematică. ciclul inferior al liceului, filiera teoretică profil real, specializările: Matematică-informatică, Știinte ale naturii, București, 009, aprobată prin ordin al ministrului nr.5099/09.09.009 3. Mariana Miloșescu, manual Informatică, clasa a XI-a, specializarea matematică-informatică C++, editura Didactică și pedagogică, București, 011. web: https://matrixcalc.org/ro/ 5.web: http://www.itlearning.ro/courses/view_courses/?category=10 6. web: http://www.office-learning.ro/ 7. http://www.didactic.ro 8. https://matrixcalc.org/ro/ 9. http://lectii-virtuale.ro/clasa/clasa-11/matematica 10. http://www.dponline.ro