Logică computațională O introducere practică pentru studenți la informatică Note de curs Adrian Crăciun 24 ianuarie

Transcriere

1 Logică computațională O introducere practică pentru studenți la informatică Note de curs Adrian Crăciun adrian.craciun@e-uvt.ro 24 ianuarie

2 Cuprins I. Introducere 2 1. Rezolvare problemelor prin raționament Rezolvarea de probleme Rezolvarea problemelor prin raționament Limbajul ca suport al raționamentului Logica robleme abordate de logica matematică Limbaje: proprietăţi, clasificare Model: consistenţă Corectitudinea regulilor de raţionament Completitudinea regulilor de raţionament Limitele raţionamentului: incompletitudine, nedecidabilitate Compleitate Rolul logicii în informatică II. Logica predicatelor Sintaa logicii predicatelor de ordinul întâi Epresiile logicii predicatelor de ordinul întâi arcurgerea epresiilor logicii predicatelor de ordinul întâi Recunoaşterea epresiilor logicii predicatelor folosind definiţia sintaei Recunoaşterea şi parcurgerea sintaei logicii predicatelor: sintaa abstractă Relaarea sintaei (I) Substituţii Relaarea sintaei (II) Semantica logicii predicatelor Interpretare, asignare de valori variabilelor, valoarea epresiilor Semantica şi substituţiile Întrebări legate de înţelesul formulelor i

3 Definiţii 1.1. Definiţie (roblemă, soluție, contet) Definiţie (Raţionament, proprietăţile raţionamentului) Definiţie (Limbaj) Definiţie (Sistem de raţionament) Definiţie (Logica matematică) Definiţie ((O) Logică) Definiţie (Vocabularul logicii de ordinul întâi) Definiţie (Termenii logicii predicatelor de ordinul întâi) Definiţie (Simboluri dominante, subtermeni) Definiţie (Formulele logicii predicatelor de ordinul întâi) Definiţie (Simboluri dominante, subformule) Definiţie (Arbori (ordonaţi)) Definiţie (Sintaa abstractă a termenilor logicii predicatelor) Definiţie (Sintaa abstractă a formulelor logicii predicatelor) Definiţie (Substituţie) Definiţie (Substituţie aplicată unei epresii) Definiţie (Compunerea substituţiilor) Definiţie (Interpretare) Definiţie (Asignare de valori variabilelor) Definiţie (Valoarea termenilor) Definiţie (Domeniu de valori de adevăr) Definiţie (Funcţii de adevăr) Definiţie (Valoarea formulelor) Definiţie (Substituibilitate) Definiţie (Validitate în logica predicatelor) Definiţie (Satisfiabilitate în logica predicatelor) Definiţie (Echivalenţă logică în logica predicatelor) Definiţie (Consecinţă logică în logica predicatelor)

4 artea I. Introducere 2

5 1. Rezolvare problemelor prin raționament 1.1. Rezolvarea de probleme Definiţie 1.1 (roblemă, soluție, contet). O problemă este o situație în care un anume obiect sau stare sunt dorite, dar nu sunt disponibile. O soluție a unei probleme reprezintă un mod de a face disponibile obiectul sau starea care sunt dorite. roblemele nu apar izolate, ci mai degrabă într-un contet ( univers de discurs, lume de interes), care este necesar pentru ca problema să poată fi formulată şi înţeleasă. Rezolvarea problemelor este procesul prin care lumea care conţine problema se transformă în lumea cu soluţie, vezi Figura 1. Figura 1.: Rezolvarea de probleme: transformarea unei lumi (contet, univers de discurs) cu problemă într-o lume (contet, univers de discurs) cu soluție. Definiţia 1.1 se potriveşte cu intuiţia şi eperienţa noastră de zi cu zi. Suntem obișnuiți cu probleme, rezolvăm probleme în fiecare zi, folosind diferite metode care ne sunt la îndemână. Tentaţia este să rezolvăm problemele cât mai rapid, cât mai direct. Să considerăm niște eemple de probleme și soluții (directe) posibile. 3

6 Eemplul 1.1 (Trecerea unui râu). Să ne imaginăm un moment din zorile umanității, un (h)om(inid) (flămând) pe malul unui râu, observând pe cealaltă parte un pom plin cu fructe. roblema este cum să ajungă acolo (vezi Figura 2). Tentaţia soluţiei directe eistă, impulsul este acela de a ajunge cât mai rapid la pomul cu fructe. Însă eistă un râu de trecut. Dacă (h)om(inid)ul nu ştie să înoate, această încercare de a rezolva problema direct poate avea consecinţe dramatice, potenţial ireversibile. Figura 2.: O problemă din lumea reală: trecerea unui râu. Desigur, eistă multe soluții (evidente acum pentru noi) la problema din Eemplul 1.1. Este clar că primii oameni au ajuns la aceste soluții acumulând eperiență din încercări eșuate, observând mediul, învățând (de eemplu de la animale) cum să construiască baraje peste râu, cum să găsească porțiuni ce pot fi trecute cu piciorul, cum să înoate, cum să improvizeze poduri doborând copaci care sunt suficient de înalți pentru a trece peste râu. Apoi au învățat să îmbunătățească aceste soluții, dezvoltând unelte cu care să construiască de eemplu poduri, bărci, etc. Aceste soluții sunt parte a poveştii succesului rasei umane. Însă pentru individul din eemplul nostru, care încearcă să ajungă la fructele de pe malul opus, această informație s-ar putea să fie cumva nefolositoare, să vină prea târziu. Aceste soluţii menţionate mai sus au fost dezvoltate într-un interval de timp foarte lung (de generaţii). Acest mod de abordare a problemei, direct, în universul de discurs, în esență încercare și eșec, poate fi: 4

7 consumator de timp: găsirea soluțiilor ia mult timp (generații), consumator de resurse: fiecare încercare necesită comiterea unor resurse semnificative, potențial ireversibil: resursele comise pot fi irosite în caz de eşec (mai mult, uneori chiar cel care încearcă rezolvarea directă a problemelor poate suferi de eemplu, ce se poate întâmpla dacă (h)om(inid)ul din Eemplul 1.1 nu ştie să înoate?). Bineînțeles, metoda directă de rezolvare a problemelor nu trebuie ignorată. Este o abordare care are succes (este probabil ceea ce numim evoluție). Deși s-ar putea să nu-i servească celui din povestea noastră care încearcă să treacă râul, umanitatea a evoluat și acum este într-o poziție să rezolve (ușor) astfel de probleme, inclusiv datorită eperienței individului respectiv. Eistă însă un mod mai eficient de a rezolva probleme? Eemplul 1.2 (Rezolvarea de probleme prin cutii negre). În lumea modernă eistă o presiune masivă pentru a rezolva probleme rapid și cât mai direct posibil. entru a face asta, suntem obișnuiți să folosim diverse unelte și servicii, cutii negre: avem o aplicație pentru orice, alunecăm degetul pe ecranul unui dispozitiv mobil și ca prin minune, avem soluția (pizza online ar rezolva problema (h)om(inid)ului din Eemplul 1.1). Aproape nimeni nu mai are răbdare dacă soluția nu este disponibilă instant. Această metodă bazată pe tehnologie este: rapidă: în concordanță cu cerințele lumii moderne, (relativ) ieftină: din ce în ce mai mult ne așteptăm ca aceste cutii negre să fie disponibile (dar observați că acest tip de așteptări poate fi considerat o poziție de privilegiu, și în general cutiile negre nu sunt atât de răspândite precum ar părea), opacă: soluțiile sunt obținute într-un mod care pare aproape magic, fără să ne pese în ce mod și fără să înțelegem în ce mod, fără a avea control asupra procesului. Evident, în multe situaţii nu este necesar să se înţeleagă soluţia atât timp cât problema este rezolvată. Cu toate acestea, sunt numeroase probleme pentru care verificarea soluţiei este importantă, chiar esenţială. Eistă situaţii critice în care trebuie să ne asigurăm nu numai că găsim soluţia, dar şi că aceasta are anumite proprietăţi, care pot fi stabilite numai înţelegând modul în care această soluţie poate fi găsită/construită, etc. În plus, aceste cutii negre sunt construite de cineva. Aceştia, din ce în ce mai mult, sunt profesioniştii în informatică (din moment ce prin natura lor, aceste cutii magice conţin şi funcţionează pe baza sofware -ului). Întrebarea rămâne: avem un mod mai eficient de a rezolva probleme într-un mod care ne permite menținerea controlului asupra acestui proces? 5

8 1.2. Rezolvarea problemelor prin raționament Răspunsul este afirmativ. Eistă o metodă prin care se pot rezolva problemele întrun mod eficient, menținând controlul asupra procesului, în principiu disponibilă oricui. Aceasta este rezolvarea de probleme bazată pe raționament, și funcționează în modul următor, vezi Figura 3: 1. Observație: folosind simțurile, ajutate de instrumente (microscop, telescop, rigle, etc), se construiește un model intelectual al universului de discurs (o imagine intelectuală), ce conţine o imagine a problemei de rezolvat. 2. Raționament: modelul care conține o imagine a problemei de rezolvat este transformat prin raționament într-un model care conține soluția. Suportul acestui pas este mintea, ajutată de instrumente (hârtie și creion, calculatoare, etc). 3. Acțiune: odată soluția găsită în model, aceasta poate fi implementată în universul de discurs folosind membrele ajutate de instrumente (ciocan, roboți, buldozere, etc). Figura 3.: Rezolvarea de probleme prin raţionament: prin observaţie, se construieşte un model al universului de discurs care conţine problema, care este transformat prin raţionament într-un model cu soluţie, care apoi este implementată în universul de discurs. Aparent, tot ce aduce nou această schemă este faptul că înainte de a încerca o abordare directă pentru rezolvarea problemei, este bine să te gândeşti, oferind un filtru pentru eliminarea celor mai proaste abordări. În Eemplul 1.1, dacă nu ştie să înoate, (h)om(ninid)ul se poate gândi că această abordare directă este una proastă. Mai mult, într-un anumit sens, schema din Figura 3 se potriveşte unei game largi de abordări, care include printre altele: 6

9 Abordarea magică: (h)om(ninid)ul găseşte şamanul tribului, îi eplică situaţia, acesta îşi creează o imagine intelectuală a problemei, şi printr-un ritual care poate implica un zbor cosmic, întâlnirea cu şamanii care i-au precedat, etc, acesta vede soluţia. Cutii negre: aplicaţiile, cutiile negre bazate pe tehnologie, necesită în fapt un nivel de abstractizare, modelare a problemelor pe care le rezolvă. Interfeţele, reprezentarea problemelor la nivelul cutiilor negre (aplicaţii, dispozitive) presupun în fapt un proces de modelare. Ambele abordări funcţionează (mai mult sau mai puţin subiectiv), sunt abordări valide (din anumite puncte de vedere), utilizate pentru rezolvarea de probleme. Eistă, însă, în ambele cazuri un pas magic prin care se obţine soluţia, un pas ce nu poate fi eplicat sau controlat de către beneficiarul soluţiei sau chiar de către cei care generează/descoperă soluţia. În mod esenţial, abordarea bazată pe raţionament elimină necunoscutul şi oferă control celor care folosesc acest instrument pentru verificarea şi validarea soluţiei. În continuare vom descrie proprietăţile raţionamentului, ce diferenţiază această abordare de altele, de eemplu de cele magice. Definiţie 1.2 (Raţionament, proprietăţile raţionamentului). Raţionamentul este procesul prin care se transformă un model intelectual ce conţine o problemă într-un model intelectual, caracterizat de următoarele proprietăţi: 1. Abstract: Raționamentul operează într-un model intelectual. După ce modelul este construit, nu mai eistă legătură cu lumea (universul) pe care o descrie. Această proprietate asigură: puterea raționamentului: este reversibil, rapid, ieftin (totul se întâmplă în mintea noastră), limitările raționamentului: modelele construite pot fi inadecvate, concentrându-se pe anumite aspecte ale universului de discurs, dar ignorând altele (și se pierde legătura cu realitatea). Această situație a dus de fapt la seria de crize pe care le parcurge omenirea: ecologică, tehnologică, economică, socială. 2. Verificabil: Raționamentul se desfășoară în pași mici, pe care toată lumea îi poate efectua. Aceşti paşi au o natură deterministă, în sensul că n pas de raționament aplicat într-o anumită situație va produce întotdeauna aceleași modificări în model, indiferent cine aplică acel pas. Acești pași de raționament se vor numi reguli de raționament, și mulțimea de reguli de raționament va forma sistemul de raționament (împreună cu o descriere a modului în care se construiește o soluție și cum arată aceasta). 3. Corect: Raționamentul transportă adevărul. Modelul intelectual conţine imagini (intelectuale) ale unor obiecte şi situaţii din universul de discurs. În consecinţă, acestea sunt adevărate. rin aplicarea regulilor de raţionament, modelul iniţial se modifică, prin adăugarea de noi imagini (de obiecte sau situaţii din universul 7

10 de discurs). Aceste noi imagini trebuie să aibă un corespondent în universul de discurs, adică atunci când ne întoarcem, imaginile (noi) trebuie să corespundă unor obiecte sau situaţii care pot fi construite/au loc în universul de discurs. Altfel spus, când pornim de la ceva adevărat, prin aplicarea unui pas de raționament trebuie să obținem ceva ce este tot adevărat. rin raţionament nu putem construi obiecte sau situaţii care nu eistă în universul de discurs. 4. General: rin raţionament trebuie să putem rezolva clase întregi de probleme, un număr potenţial infinit. Metoda de rezolvare a problemelor bazată pe raţionament stă la baza dezvoltării tehnologice a societăţii occidentale în ultimile câteva sute de ani. Această dezvoltare a fost una etrem de rapidă, iar ritmul ei accelerează. În acest sens, rezolvarea bazată pe raţionament este o metodă etrem de eficientă, un instrument esenţial în abordarea problemelor în general, şi mai ales într-un domeniu atât de dinamic şi competitiv, cum este informatica. Observaţie (Raţionamentul în contetul domeniilor ştiinţifice). Schema din Figura 3 oferă şi un tablou al modului în care domeniile ştiinţifice corespund rezolvării problemelor prin raţionament: Faza de observație corespunde științelor naturale fizică, chimie, biologie, ştiinţelor pământului, astronomie, etc. ce au ca scop înţelegerea lumii, construirea de imagini (modele) adecvate, ce să eplice diferitele aspecte ale acesteia. Faza de raţionament corespunde matematicii ştiinţa care se ocupă cu rezolvarea de probleme în modele abstracte (inclusiv informatica automatizarea, pe cât posibil, a acestui proces de rezolvare de probleme). Faza de acţiune corespunde ştiinţelor inginereşti care se ocupă cu aplicarea şi implementarea cunoştinţelor şi soluţiilor dezvoltate în cadrul ştiinţelor naturale şi matematicii. În mod necesar, acest tablou este unul etrem de simplificat, domeniile menţionate sunt etrem de vaste şi complee, la fel şi modul în care acestea interacţionează. Însă poate reprezenta un punct de plecare în înţelegerea modului în care funcţionează raţionamentul şi rolul acestuia (şi al matematicii) în aceste domenii ştiinţifice Limbajul ca suport al raționamentului Să ne întoarcem la Eemplul 1.1. Ce se întâmplă dacă persoana care stă pe malul râului rezolvă problema traversării (prin raționament)? Dacă va dori să transmită celorlalți din trib care este soluția, astfel încât să o implementeze împreună? Soluția va trebui comunicată. 8

11 entru asta avem nevoie de un limbaj. Toate fazele rezolvării problemei trebuie să poată fi eprimate într-un limbaj, pentru a fi comunicate: modelul, problema, regulile de raţionament şi modul cum sunt aplicate pentru a găsi soluţia (şi cum arată aceasta). Drept consecință, limbajul este suportul raționamentului: modelele intelectuale sunt construite din epresii ale unui limbaj, regulile de raționament iau epresii din model și produc epresii noi (modificând modelul). Definiţie 1.3 (Limbaj). Un limbaj (care urmează să fie folosit pentru a construi modele și a rezolva probleme) este definit de: sintaa limbajului care cuprinde: vocabularul simbolurile folosite pentru a forma epresii, regulile după care sunt formate epresiile care aparțin limbajului, semantica limbajului înțelesul epresiilor, modul în care epresiile descriu obiecte și realități în universul de discurs. Observaţie (Limbajul descrie abordările directe). De notat că odată ce avem la dispoziţie sintaa şi semantica unui limbaj, putem descrie abordările directe, vezi Figura 1. De eemplu, putem descrie istoria abordărilor directe din Eemplul 1.1, adică putem descrie şi arhiva eperienţele, încercările, eşecurile. entru a rezolva probleme prin raţionament, limbajul singur nu este suficient. Definiţie 1.4 (Sistem de raţionament). Fiind dat un limbaj (sintaa, semantica), un sistem de raţionament constă în descrierea: problemei, paşilor de raţionament, modului în care paşii de raţionament sunt aplicaţi pentru a construi soluţia problemei Logica Limbajele, sintaa şi semantica lor, sistemele de raţionament asociate, sunt studiate în cadrul logicii. Definiţie 1.5 (Logica matematică). Logica (logica matematică, logica simbolică, metamatematica) este un domeniu științific care se ocupă cu studiul sistemelor de raţionament, prin aplicarea metodei matematice asupra problemei raţionamentului. 9

12 Observaţie. (Terminologie: logică, logică computaţională) Folosim în aceste pagini termenul logică pentru a desemna logica matematică, aşa cum este definită aceasta mai sus. e lângă domeniul matematic, logica este studiată în cadrul filozofiei, într-un sens mai larg (studiul modului în care funcţionează gândirea şi modul cum se aplică aceasta problemelor filozofice), care are părţi semnificative în comun cu logica matematică. Eistă, bineînţeles, şi logica din viaţa de zi cu zi termen care în principiu se referă la un anumit mod ( raţional ) de a face lucrurile. Nu în ultimul rând, logica computaţională reprezintă aspectul din logică ce se referă la automatizarea raţionamentului, sau raţionament despre calcul mecanic (automat). Vom atinge aceste aspecte într-o anumită măsură, dar vom urmări şi modul în care logica (matematică) poate fi folosită ca un instrument practic de înţelegere, eplorare, acumulare eficientă de cunoştinţe în informatică, pentru studenţi. În afară de logică drept domeniu de studiu, vom considera o logică în sensul următor: Definiţie 1.6 ((O) Logică). un limbaj (sintaă, semantică), un model, O logică este formată din: un sistem de raţionament, incluzând reguli şi modul de aranjare a acestora într-o soluţie, o mulţime de proprietăţi (demonstrate) legate de sistemul de raţionament robleme abordate de logica matematică Vom prezenta, în continuare, la un nivel informal, câteva dintre problemele abordate de logica matematică. Scopul acestei prezentări este să ofere o privire de ansamblu asupra tipului de rezultate, să prezinte câteva din implicaţiile acestora la nivel filozofic şi practic Limbaje: proprietăţi, clasificare Un prim pas pentru a putea descrie o problemă şi soluţia acesteia este alegerea unui limbaj potrivit. Suficient de epresiv pentru a putea descrie problema şi soluţia, dar nu ecesiv de complicat. Eistă mai multe criterii după care pot fi clasificate limbajele: Limbaje universale și limbaje speciale: Limbajele universale sunt limbaje care sunt suficient de puternice pentru a descrie orice univers de discurs, și pentru a eprima orice soluții la probleme (ce pot fi descrise și au soluții). Un astfel de limbaj este limbajul logicii predicatelor, 10

13 care este universal în sensul că toată matematica (adică tot ce se poate rezolva prin raţionament) poate fi eprimată în acest limbaj (inclusiv partea automată, algoritmică). În fapt, chiar şi o versiune restricţionată, logica predicatelor de ordinul întâi (împreună cu aşa numita teorie a mulţimilor) este suficientă pentru a eprima toată matematica. Limbajele speciale sunt limbaje relativ simple, și care pot descrie doar universuri limitate. Motivul pentru care aceste limbaje sunt de preferat (în cazul în care pot eprima problema de interes şi soluţia acesteia), este tocmai simplitatea, care oferă proprietăţi mai bune, care în general nu sunt disponibile pentru limbaje mai complicate, după cum vom discuta mai jos. Eemple de limbaje speciale sunt logica propozițională, limbajul circuitelor cu comutare, geometria solidă constructivă. Limbaje descriptive și limbaje algoritmice Limbajele descriptive sunt folosite pentru a descrie obiecte, situații, cunoștințe. Un eemplu îl reprezintă limbajul matematicii tradiționale sau pure. Un eemplu de folosire este efortul colectivului Bourbaki de a construi sistematic cunoştinţele matematice, cu accent pus pe rigoare şi formalism vezi [Bou04]. Limbajele algoritmice sunt folosite pentru a descrie acțiuni, pași pentru rezolvarea problemelor. Eemple sunt limbajele de programare. De notat însă că aceste aspecte nu ar trebui separate. Folosirea celor două aspecte, descriptiv și algoritmic, în același limbaj îi mărește puterea din punct de vedere practic. Cele două aspecte sunt fețe diferite ale aceleiași monede. Limbaje naturale și limbaje formale Limbajele naturale sunt limbaje învățate în contet (aflându-ne între cei care folosesc un limbaj, începem să recunoaștem și să învățăm sintaa, semantica, sistemul de raționament, într-o manieră evoluționară). entru limbaje formale, vocabularul, sintaa, semantica și sistemul de raționament sunt descrise și definite precis, și apoi pot fi folosite conform definiției. De eemplu, putem spune că în mare măsură oamenii învăță matematica în contet, și numai mai târziu aceasta devine un limbaj formal. Metalimbaj și limbaj obiect Un metalimbaj este un limbaj care se folosește pentru a defini un alt limbaj (numit limbajul obiect) și pentru a raționa despre proprietățile acestuia. Să observăm că aceștia nu sunt termeni absoluți, un limbaj poate juca rolul unui metalimbaj (vom folosi limbajul naiv al teoriei mulțimilor pentru a defini logicile pe care le studiem şi vom folosi raţionamentul pe care l-am învăţat ), iar mai târziu același limbaj poate fi definit formal (jucând rolul unui limbaj obiect). 11

14 Model: consistenţă Este modelul (descrierea universului de discurs) consistent, liber de contradicţii? Observaţie (Specificarea modelului). În matematică, forma în care se specifică modelul universului de discurs este luată de aiome. Rolul aiomelor este acela de a descrie comportamentul obiectelor de interes, noţiunile de bază. În particular, aiomele sunt afirmaţii considerate adevărate, dar justificarea acestui fapt vine tocmai din faptul că acestea descriu universul de discurs, comportamentul şi relaţiile dintre obiectele acestui univers. Eemplul 1.3 (aradoul lui Russell). Să considerăm o aiomă (afirmaţie, parte a modelului), care descrie o proprietate a mulţimilor. Intuitiv: entru orice proprietate, eistă mulţimea tuturor obiectelor care posedă proprietatea. Mai eact, pentru orice proprietate : eistă o mulţime M astfel încât pentru orice ( M dacă şi numai dacă ), unde M este o variabilă. Din moment ce funcţionează pentru orice proprietate, să considerăm proprietatea : eistă o mulţime M astfel încât pentru orice ( M dacă şi numai dacă ) Din moment ce eistă o mulţime, fie aceasta M 0 (M 0 nu mai este o variabilă, este o constantă): pentru orice ( M dacă şi numai dacă ) Din moment ce afirmaţia este adevărată pentru toţi, este adevărată şi pentru := M: (M M dacă şi numai dacă M M), ceea ce este o contradicţie. Acest eemplu (faimos), vezi [Rus03], ne arată cum o aiomă intuitiv rezonabilă poate duce la inconsistenţe în model. Aioma poate fi reparată pentru a evita paradoul: entru orice proprietate în care apare (liberă) variabila şi orice variabilă B care nu apare liberă în : pentru orice B eistă M astfel încât pentru orice ( M dacă şi numai dacă ( B şi )) Corectitudinea regulilor de raţionament Sunt regulile de raţionament corecte, transportă adevărul? Eistă două abordări posibile pentru stabilirea acestei proprietăţi: abordarea evoluţionară: anumite reguli de raţionament sunt corecte pentru că în decursul timpurilor acestea au fost observate şi verificate în numeroase instanţe de către numeroşi observatori şi au fost acceptate ca fiind corecte. abordarea formală: presupune folosirea unui metalimbaj şi a unui sistem de raţionament corespunzător acestuia pentru a stabili corectitudinea regulilor de inferenţă. 12

15 Completitudinea regulilor de raţionament Se pot rezolva într-un sistem de raţionament toate problemele care au o soluţie, este acel sistem de raţionament suficient de puternic? Gödel a demonstrat în [Göd30] că logica predicatelor are această proprietate: orice afirmaţie adevărată are o demonstraţie în sistemul de raţionament al logicii predicatelor (de ordinul întâi). entru limbaje (logici) mai simple (de eemplu, logica propoziţiilor), în general această proprietate este uşor de stabilit Limitele raţionamentului: incompletitudine, nedecidabilitate Eistă însă rezultate care arată că raţionamentul are limite. Gödel a arătat că pentru situaţia în care modelul este consistent şi conţine aritmetică (numere naturale), atunci eistă afirmaţii eprimate în limbajul respectiv (logica predicatelor de ordinul întâi) care nu pot fi nici demonstrate nici respinse, vezi [Göd31]. O altă întrebare importantă este decidabilitatea unei probleme: pentru o problemă dată, eistă o metodă mecanică (algoritm) prin care să se ajungă la un răspuns da sau nu, adică să se decidă dacă problema are soluţie, sau nu are soluţie. entru logica predicatelor, Church, vezi [Chu36], şi Turing, vezi [Tur37], au arătat că acest lucru nu este posibil. De eemplu, problema opririi unei maşini de calcul dacă pentru orice date de intrare o maşină de calcul se va opri şi va da un răspuns sau calculează la nesfârşit este în general nedecidabilă. Aceste rezultate aparent negatived ne spun că raţionamentul matematic are limite, şi că pentru a depăşi limitele este nevoie de ingeniozitatea umană. Totodată, în contetul acestor rezultate, efortul este de a identifica cazuri (limbaje, modele, sisteme de raţionament) pentru care aceste proprietăţi au loc. În general, limbajele speciale sunt atractive datorită faptului că au proprietăţi ca decidabilitate, adică pentru orice problemă fie se găseşte o soluţie, fie se determină că nu are soluţie. Acest lucru se poate face automat, printr-un algoritm (raţionamentul este automat) Compleitate Dacă o problemă se poate rezolva automat, o problemă importantă este compleitatea soluţiei. Eistă clase de probleme pentru care compleitatea este prea mare, adică timpul şi/sau spaţiul de memorie necesare sunt prea mari pentru a rezolva probleme în practică. Acest aspect este foarte important. Oricât de mare ar fi puterea de calcul, aceasta poate fi uşor depăşită de compleitatea unor probleme. Eistă o graniţă de la care calculul devine nepractic Rolul logicii în informatică [To do.] 13

16 Declaraţie Autorul acestor note de curs a învăţat despre logică, rolul acesteia în rezolvarea de probleme, mecanismele prin care funcţionează, etc., de la îndrumătorul său, Bruno Buchberger. Acest prim capitol urmează structura din notele de curs (nepublicate) ale lui Buchberger, vezi [Buc91]. 14

17 artea II. Logica predicatelor 15

18 Logica predicatelor de ordinul întâi: sintaă şi semantică Logica predicatelor este limbajul matematicii. Chiar şi o versiune restrânsă pe care o vom discuta aici logica predicatelor de ordinul întâi este suficientă (împreună cu teoria mulţimilor) pentru a eprima tot ce se poate eprima în matematică. Totodată, este într-un anumit sens cel mai bine înţeleasă munca de fundamentare a matematicii (punerea matematicii pe bază solide) în cea mai mare măsură a fost făcută în această logică. Mai mult, logica predicatelor de ordinul întâi poate servi ca un cadru general pentru informatică (matematică, raţionament automat). În ceea ce urmează, vom introduce limbajul logicii predicatelor de ordinul întâi. Vom prezenta sintaa şi semantica, vom vedea că a rezolva probleme direct folosind logica predicatelor este nepractic. 16

19 2. Sintaa logicii predicatelor de ordinul întâi Rolul unui limbaj (în particular al limbajului considerat aici) este să descrie un univers de interes. entru a forma epresii avem nevoie de simboluri, care vor juca diferite roluri în epresiile limbajului Epresiile logicii predicatelor de ordinul întâi Definiţie 2.1 (Vocabularul logicii de ordinul întâi). ordinul întâi sunt: Simbolurile limbajului logicii de V - mulţimea (numărabilă) de variabile obiect. Faptul că mulţimea este numărabilă ne asigură că putem lua o variabilă nouă de câte ori este nevoie. Notaţie: rin convenţie, variabilele vor fi notate cu litere mici, de la sfârşitul alfabetului, eventual folosind indecşi:, y, z, 1, 2, y 5, etc. L - mulţimea simbolurilor limbajului (signatura), care conţine: F - simbolurile funcţionale (nume de funcţii): nume pentru funcţii din universul de interes. entru fiecare astfel de nume, vom ataşa aritatea, numărul de argumente a funcţiei descrise de fiecare nume. - simbolurile predicative (predicate, nume de relaţii): nume pentru relaţii din universul de interes. entru fiecare astfel de predicat vom ataşa aritatea, numărul de argumente din relaţia descrisă de predicatul respectiv. C - simboluri constante (nume de constante): nume pentru obiecte din universul de discurs. Simboluri rezervate: (, ) paranteze şi delimitator (virgula) conectori logici: (negaţia), (conjuncţia), (disjuncţia), (implicaţia), (echivalenţa), cuantificatori: (cuantificatorul universal), (cuantificatorul eistenţial). Eemplul 2.1 (Simboluri ale unui limbaj). unui limbaj: Vom considera următoarea signatură L a 17

20 F = { f /2, g /1, h /3, + /2,! /1 }, unde h /3 indică faptul că funcţia pentru care am ales numele h are aritate 3 (3 argumente). = { /2, /2, prim /1, par /1 }, unde par /2 indică faptul că predicatul pentru care am ales numele par are aritate 2 (2 argumente). C = {a, b, 0, 12}. Observaţie (constantele sunt funcţii). Tehnic, simbolurile constante sunt la fel cu simbolurile funcţionale de aritate 0. Intuitiv, o funcţie returnează un obiect în funcţie de argumentele sale, adică modificând argumentele, se modifică rezultatul. Dacă funcţia nu are argumente, atunci rezultatul nu poate fi influenţat, aşadar este neschimbat. Atunci funcţia (cu 0 argumente) se poate identifica cu valoarea pe care o returnează. rimul tip de epresii în logica predicatelor de ordinul întâi sunt termenii, care descriu obiecte din universul de discurs. Definiţie 2.2 (Termenii logicii predicatelor de ordinul întâi). Fie V mulţimea de variabile, L mulţimea simbolurilor (signatura) unui limbaj al predicatelor de ordinul întâi. Mulţimea termenilor peste L şi mulţimea de variabile V, notată T(L, V) este definită după cum urmează: Dacă V, atunci T(L, V). (Variabilele sunt termeni.) Dacă c C, atunci c T(L, V). (Constantele sunt termeni.) Dacă f /n F şi t 1,..., t n T(L, V), atunci f(t 1,..., t n ) T(L, V). (Un simbol funcţional aplicat unui număr corespunzător cu aritatea sa de termeni este la rândul său un termen.) În primele două cazuri avem de-a face cu termeni simpli (variabilă, constantă), iar în ultimul avem termeni compuşi (din simbol funcţional aplicat altor termeni). Definiţie 2.3 (Simboluri dominante, subtermeni). Fie f(t 1,..., t n ) T(L, V) un termen compus. Spunem că f este simbol dominant al termenului compus şi t 1,..., t n sunt subtermeni. Al doilea tip de epresii în logica predicatelor de ordinul întâi sunt formulele, care intuitiv descriu relaţii, situaţii din universul de discurs. Definiţie 2.4 (Formulele logicii predicatelor de ordinul întâi). Fie V mulţimea de variabile, L mulţimea simbolurilor (signatura) unui limbaj al predicatelor de ordinul 18

21 întâi. Mulţimea formulelor peste L şi mulţimea de variabile V, notată F(L, V) este definită după cum urmează: Dacă /n şi t 1,..., t n T(L, V), atunci (t 1,..., t n ) F(L, V). (Un predicat aplicat unui număr corespunzător cu aritatea sa de termeni este o formulă, numită formulă atomică). Dacă F, G F(L, V), atunci: ( F ) F(L, V). Negaţia unei formule este o formulă, se citeşte negaţia lui F sau nu F. (F G) F(L, V). Conjuncţia a două formule este o formulă, se citeşte F şi G. (F G) F(L, V). Disjuncţia a două formule este o formulă, se citeşte F sau G. (F G) F(L, V). Implicaţia a două formule este o formulă, se citeşte F implică G sau dacă F atunci G. (F G) F(L, V). Echivalenţa a două formule este o formulă, se citeşte F echivalent cu G sau F dacă şi numai dacă G. Aceste formule, formate din alte formule legate prin conectori logici, se cheamă formule compuse. Dacă V şi F F(L, V), atunci F F(L, V), F F(L, V). Aceste formule formate dintr-un cuantificator, o variabilă şi o formulă se numesc formule cuantificate, respectiv formula cuantificată universal şi formula cuantificată eistenţial. În ambele cazuri, se zice că este variabilă legată de cuantificator (universal, respectiv eistenţial), în cadrul lui F. Aşadar, cadrul unei variabile legate este locul, formula în care aceasta apare legată. O variabilă care nu este legată se cheamă variabilă liberă. 19

22 Considerăm formulele logicii pre- Definiţie 2.5 (Simboluri dominante, subformule). dicatelor de ordinul întâi, F(L, V): entru formule atomice (t 1,..., t n ), este simbolul dominant şi t 1,..., t n sunt subtermeni. entru formulele compuse ( F ), (F G), (F G), (F G), (F G), simbolurile dominante sunt conectorii logici, respectiv,,,,, iar F, G sunt subformule arcurgerea epresiilor logicii predicatelor de ordinul întâi Definiţiile 2.2 şi 2.4 oferă instrumentele pentru a recunoaşte epresiile logicii de ordinul întâi. În continuare vom investiga cum se pot recunoaşte şi parcurge epresiile logicii predicatelor Recunoaşterea epresiilor logicii predicatelor folosind definiţia sintaei Eemplul 2.2 (Recunoaşterea epresiilor folosind definiţia). Considerăm epresia ( (, y) (f(a), )), unde, y V, /2, f /1 F, şi a C. Vom aplica definiţia într-o manieră top-down (de sus în jos), identificând simbolul dominant, şi verificând în ce măsură componentele se conformează definiţiei. entru ( (, y) (f(a), )), simbolul dominant este conjuncţia (, subliniată în epresia de mai sus), epresia începe şi se termină cu paranteze, deci conform Definiţiei 2.4, trebuie să verificăm că: (a) (, y) este formulă. Acest lucru se întâmplă, conform definiţiei este o formulă atomică, un predicat binar ( ) aplicat la doi termeni, respectiv y (care sunt variabile, deci termeni, conform Definiţiei 2.2). (b) (f(a), )) este formulă. Simbolul dominant este (subliniat în formulă), urmat de o variabilă (), deci conform definiţiei, trebuie să verificăm că (f(a), ) este formulă. Acest lucru se întâmplă, conform definiţiei este o formulă atomică, un preficat binar ( ) este aplicat la doi termeni, f(), un termen compus (simbolul funcţional f aplicat termenului constantă a, şi variabilei ). 20

23 Aşadar, conform definiţiei, epresia este o conjuncţie, formulă compusă în logica predicatelor de ordinul întâi. Observaţie (Subitare). De notat că în Eemplul 2.2 fiecare pas este justificat, aşadar avem o soluţie acceptabilă (în sensul discutat în Capitolul 1) pentru problema propusă. Cu toate acestea, metoda conţine ceea ce pare a fi un pas mare : identificarea simbolului dominant. În fiecare caz, acesta este identificat imediat, fără a indica eplicit cum am făcut asta. Deşi ar putea părea simplu, acest pas poate să nu fie verificabil pentru oricine (mai ales pentru un program). Oamenii au capacitatea de a identifica instant (fără a avea nevoie de a parcurge fiecare componentă) structuri simple. Acest fenomen se cheamă subitare (vezi [KLRV49]). Dar această metodă nu scalează. Dacă epresia este una mai complicată, atunci este posibil să nu putem identifica imediat simbolul dominant. Mai mult, chiar pentru structuri simple, simbolul dominant nu poate fi identificat de un program fără a parcurge simbolurile epresiei. Avem nevoie, aşadar, pentru aceste situaţii, de o metodă în care structura epresiei parcurse este identificată pas cu pas Recunoaşterea şi parcurgerea sintaei logicii predicatelor: sintaa abstractă În cele ce urmează vom prezenta o metodă prin care şirul de simboluri va fi parcurs de la stânga la dreapta şi pe măsură ce analizăm fiecare simbol, vom construi sintaa abstractă - o reprezentare internă, o structură de date care ne va permite să manipulăm mai eficient epresia, odată construită. entru reprezentarea internă a epresiilor logicii predicatelor vom folosi arbori, care vor fi definiţi informal. Definiţie 2.6 (Arbori (ordonaţi)). arborele vid, Un arbore ordonat este definit în modul următor: arborele nevid, format dintr-un nod rădăcină şi o listă (posibil vidă) de subarbori. Fiecare nod care nu este rădăcină un singur nod părinte. Nodurile (în afară de nodul răđacină) sunt conectate prin muchii la nodurile părinte corespunzătoare. Nodurile care nu sunt noduri părinte se cheamă noduri frunză. Fiecare nod al unui arbore conţine informaţii (de eemplu obiecte de anumit tip). Eemplul 2.3 (Arbori). numere naturale. arbore cu un singur nod (rădăcină): Mai jos, vom considera că nodurile arborilor ilustraţi conţin 21

24 1 arbore cu mai multe noduri: Vom folosi o reprezentare generică pentru un arbore cu n subarbori, vezi Figura 4. Fiecare subarbore este la rândul său un arbore. r subarbore 1 subarbore n Figura 4.: Un arbore cu rădăcina r şi n subarbori. În continuare, vom folosi arborii pentru a reprezenta epresiile logicii predicatelor. Vom numi aceşti arbori sintaa abstractă, sau arbori sintactici pentru logica predicatelor. Definiţie 2.7 (Sintaa abstractă a termenilor logicii predicatelor). Fie T(L, V) mulţimea termenilor peste un limbaj. Atunci sintaa abstractă a termenilor este reprezentată de următorii arbori: entru termenii simpli (variabile şi constante) şi c: 22

25 c entru termeni compuşi, dacă f n (t 1,..., t n ) T(L, V): f t 1 t n Definiţie 2.8 (Sintaa abstractă a formulelor logicii predicatelor). Fie F(L, V) mulţimea formulelor peste un limbaj. Atunci sintaa abstractă a formulelor este reprezentată de următorii arbori: entru formule atomice, dacă (t 1,..., t n ) F(L, V): t 1 t n entru formule compuse ( F ), (F G), unde {,,, }: F F G entru formule cuantificate F, F : F F 23

26 Vom descrie o metodă prin care se pot recunoaşte epresiile (şi în acelaşi timp construi arborele sintactic). Metoda de recunoaştere pe care o propunem aici va parcurge epresia simbol cu simbol. La fiecare pas, vom avea un arbore incomplet, poziţia în acel arbore, şi o regulă bazată pe simbolul considerat. Regula ne va spune ce adăugăm la arborele incomplet, şi la ce poziţie. Metoda se termină cu succes când am parcurs tot şirul de caractere din epresie, şi avem un arbore sintactic complet. În orice alt caz: şirul este parcurs în întregime, dar arborele corespunzător nu este complet, arborele este complet, dar şirul nu a fost parcurs în întregime, la pasul curent se adaugă un nod în arbore, care nu corespunde niciunui arbore acceptat (de Definiţiile 2.7, 2.8), avem eşec. Eemplul 2.4 (Recunoaşterea epresiilor logicii predicatelor şi construcţia arborelui sintactic). entru a ilustra această metodă, reluăm Eemplul 2.2: ( (, y) (f(a), )). Vom numerota fiecare simbol în epresia ce trebuie parcursă: ( 1 2 ( 3 4, 5 y 6 ) ( 12 f 13 ( 14 a 15 ) 16, ) 19 ) 20 aşii algoritmului (1): ( paranteza deschisă înseamnă că epresia vrea să fie o formulă compusă. Avem 2 variante: negaţie, sau formulă ce conţine un conector binar. Arborii incompleţi corespunzători celor 2 posibilităţi sunt: F F F În arborii de mai sus, folosim următoarele convenţii: 24

27 dacă într-un nod sau subarbore avem ghilimele ( ), acestea indică faptul că în acel loc avem se aşteaptă următoarele, după cum urmează: T, F : termen, respectiv formulă (în subarbori),, : negaţie, respectiv conector binar (unul din,,, ), Q : quantificator (unul din, ), v : variabilă. Un nod sau subarbore reprezentat cu linie întreruptă reprezintă poziţia în arborele incomplet, unde vom completa la pasul următor. (2): este un predicat binar. rima variantă (în care formula este o negaţie) cade, lucrăm pe varianta a doua. rezenţa lui indică faptul că avem nevoie de o formulă atomică, cu 2 subarbori: F F T T (3): ( paranteza deschisă după mută poziţia pe primul subarbore după al nodului ce conţine. F T T (4): este o variabilă, deci termen, eact ce se aştepta, subarborele este închis, se mută poziţia la părinte. 25

28 F T (5):, virgula indică faptul că ne mutăm pe următoarea ramură: F T (6): y este o variabilă, deci termen, eact ce se aştepta, subarborele este închis. F y (7): ) paranteza închisă, închide tot subarborele ce începe cu nodul, poziţia se mută la părintele acestui subarbore. 26

29 F y (8): este un conector propoziţional binar, ceea ce era aşteptat, se completează şi poziţia se muta pe al doilea subarbore: F y (9): cuantificatorul universal, vom avea nevoie de o variabilă şi de o formulă, poziţia se mută pe primul subarbore: y v F (10): este o variabilă, ceea ce era aşteptat, se închide subarborele, trecem la următorul: 27

30 y F (11): este predicat binar, vrem formulă atomică, cu două subramuri, fiecare corespunzând unui termen: y T T (12): ( paranteză deschisă, trecem la primul subarbore: y T T 28

31 (13): f este o funcţie unară (ok, aveam nevoie de un termen), construim o ramură nouă, unde avem nevoie de un termen: y f T T (14): ( paranteză deschisă, ne mutăm pe subarbore: y f T T (15): a este o constantă, deci termen, ok, asta aşteptam: 29

32 y f T a (16): ) paranteză închisă, am terminat cu subarborele ce începe cu f, ne mutăm deasupra: y f T a (17):, virgulă, coborâm pe următoarea ramură: 30

33 y f T a (18): o variabilă, deci termen, ceea ce aşteptam, se închide nodul: y f a (19): ) paranteză închisă, subarborele care începe la este închis, trecem la părinte: 31

34 y f a (20): ) paranteză închisă, subarborele care începe la este închis, trecem la părinte (dar este rădăcină, deci am terminat, avem arborele sintactic, avem o epresie în logica predicatelor): y f a Observaţie (Cazurile cu eşec). În cazul unui eşec, metoda descrisă mai sus oferă şi motivul pentru eşec. Acesta se găseşte la pasul la care se produce eşecul. De eemplu, dacă în epresia de mai sus, ar fi un simbol funcţional binar (şi nu un predicat), 32

35 la pasul 2 inserăm un simbol funcţional în nodul curent, ceea ce ar contrazice definiţia formulelor compuse Relaarea sintaei (I) Metodade parcurgere şi recunoaştere a epresiilor logicii predicatelor prezentată în secţiunea anterioară funcţionează pentru că simbolurile funcţionale şi predicative se pun înaintea argumentelor. În practică, vrem să scriem lucruri ca + y, y, unde +, sunt respectiv un simbol funcţional şi un predicat. Acest mod de a scrie lucrurile nu este acceptat conform Definiţiilor 2.2, 2.4. Ar trebui să avem +(, y), (, y), respectiv. Dar intenţia este să folosim logica predicatelor ca un limbaj practic. În acest sens, de acum înainte vom accepta o relaare a sintaei care să permită folosirea simbolurilor în modul indicat mai sus. Însă acest lucru trebuie făcut tinând cont de anumite aspecte ce vor fi menţionate în continuare, pentru a evita ambiguităţile. oziţia simbolurilor Simbolurile funcţionale sau predicative pot fi plasate în următoarele poziţii: refi: simbolurile funcţionale sau predicative sunt plasate înaintea argumentelor (aşa se folosesc simbolurile în Definiţiile 2.2, 2.4). Infi: simbolurile funcţionale sau predicative sunt plasate între argumente. De obicei acest mod de scriere este folosit pentru simboluri de funcţii şi predicate binare: + y, y. Un caz particular de simbol infi este cel din epresia y. Simbolul corespunzător este, unde reprezintă poziţiile argumentelor. ostfi: simbolurile funcţionale sau predicative sunt plasate după argumente. De obicei, acest mod de scriere este folosit pentru simboluri unare:! sau este prim, unde, tradiţional! este funcţia factorial, iar este prim este un predicat unar. Altele (notaţii 2D): argumentele sunt plasate în poziţii nestandard, bidimensională. De eemplu: y, n. De remarcat că în aceste cazuri, simbolurile funcţionale corespunzătoare sunt, (sau n, dacă considerăm funcţie unară). Asociativitatea Dacă scriem (3+4)+5 sau 3+(4+5), epresiile respective, în interpretarea tradiţională, denotă acelaşi lucru (adică + este o funcţie asociativă). Însă nu acelaşi lucru se întâmplă în cazul 8/2/2. Dacă funcţia este asociativă la stânga, (8/2)/2 înseamnă 2, pe când daca funcţia este asociativă la dreapta, 8/(2/2) înseamnă 8. În acest caz este esenţial să se precizeze asociativitatea. În general, pentru funcţii aritmetice, asociativitatea este la stânga (dar dacă nu este clar din contet, atunci aceasta trebuie specificată). 33

36 De remarcat că nu toate simbolurile au proprietatea de asociativitate. De eemplu, nu are sens nici cu asociativitate la stânga, nici la dreapta. De asemenea, conectorii logici, sunt asociativi (vom vedea mai târziu de ce), iar este asociativă la stânga, iar nu este asociativă. recedenţa Epresia + yz poate fi parcursă ca + (yz) sau ( + y)z. Care dintre cele două elemente sunt considerate, depinde de precedenţa simbolurilor. entru interpretarea clasică (dacă considerăm epresia ca fiind epresie aritmetică), trebuie ca simbolul să aibă precedenţă mai mică (să lege mai tare) decât +. În mod similar, pentru conectorii logici, precedenţa uzuală este următoarea:, {, },, (conjuncţia şi disjuncţia au aceeaşi precedenţă). Dacă vrem să folosim epresiile logicii predicatelor în forma relaată, trebuie specificate elementele relevante (poziţia, asociativitatea, precedenţa), pentru a evita ambiguităţile. sintaa relaată are avantajul că permite epresii mai compacte. În practică (de e în sursele matematice, etc) se foloseşte sintaa relaată (sintaa este definită implicit). Însă în cazul în care sunteţi nesiguri, folosiţi parantezele! Relativ la sinta abstractă (reprezentarea sub formă de arbori sintactici), aceasta este aceeaşi pentru sintaa relaată, însă modul în care se construieşte nu mai este la fel (de uşor) precum a fost în cazul sintaei stricte Substituţii Substituţia de termeni pentru variabile este un proces elementar prin care putem construi epresii noi din cele eistente. Vom defini conceptul de substituţie: Definiţie 2.9 (Substituţie). O substituţie de termeni pentru variabile este o mapare σ : V T(L, V) astfel încât pentru un număr finit de variabile V avem σ(). Mulţimea substituţiilor peste un limbaj va fi notată cu S(L, V) (sau S, dacă L, V sunt clare din contet). Fie σ S(L, V) o substituţie, n N, i {1,..., n}, şi i V, t i T(L, V) astfel încât σ( i ) = t i şi i t i. Vom reprezenta substituţia σ ca o mulţime în felul următor: σ = { 1 t 1,..., n t n }. În particular, dacă n = 0, avem substituţia vidă. 34

37 Vom nota substituţiile cu litere greceşti σ, θ, λ, etc. Substituţia vidă va fi notată cu ε. Substituţiile pot fi etinse pentru a fi aplicate la termeni. Această etindere corespunde aplicaţiei unei substituţii unei epresii. Intuitiv, se înlocuiesc variabilele cu termenii corespunzători specificaţi în substituţie. Această înlocuire are loc în paralel (toate variabilele se înlocuiesc în acelaşi timp cu termenii corespunzători). Totuşi, înlocuirea nu poate avea loc în orice condiţii. Următoarea definiţie specifică modul în care se face substituţia. Definiţie 2.10 (Substituţie aplicată unei epresii). Fie σ = { 1,..., n } o substituţie. Aplicarea substituţiei σ unei epresii E din logica predicatelor, notată cu E σ este definită în modul următor: entru termeni: dacă V, atunci σ = { dacă i, 1 i n, i dacă pentru un i, = i. dacă c C, atunci c σ = c. dacă f /m F şi t 1,..., t m T(L, V), atunci: f(t 1,..., t m ) σ = f(t 1σ,..., t mσ ). entru formule: Dacă /m şi t 1,..., t m T(L, V), atunci: (t 1,..., t m ) σ = (t 1σ,..., t mσ ). Dacă F, G F(L, V) atunci: ( F ) σ = ( F σ ), (F G) σ = (F σ G σ ), (F G) σ = (F σ G σ ), (F G) σ = (F σ G σ ), (F G) σ = (F σ G σ ). Dacă V şi F F(L, V), atunci: ( F ) σ = ( ) F σ { t}, unde { t} = ( F ) σ = ( F σ { t} ), { { i t i } dacă pentru uni, = i, {}, altfel. 35

38 Aşadar, pentru a sumariza, pentru variabila se schimbă dacă coincide cu o variabilă ce apare în substituţie, constanta rămâne neschimbată la substituţie. entru termenii compuşi, formulele atomice, formulele compuse, substituţia se face pe componente. entru formulele cuantificate, variabilele legate sunt protejate de la substituţie (substituţia merge pe componente, dar eliminând din substituţie variabilele care sunt legate). Eemplul 2.5 (Substituţii în logica predicatelor). Atunci: Fie σ = { f(y, z), y z, z a}. f( + y, z) σ = f(( + y) σ, z σ ) = f( σ + y σ, z σ ) = f(f(y, z) + z, a). ( (, y) ( (, y) Q(z))) σ = = ( (, y) σ ( ( (, y) Q(z))) σ ) = ( (, y) σ ( (, y) Q(z)) σ { f(y,z)} ) = ( (, y) σ ( (, y) σ { f(y,z)} Q(z) σ { f(y,z)} ) ) = ( (f(y, z), z) ( (, z) Q(a))). Fiind date substituţii, se pot obţine unele noi prin operaţia de compoziţie. Definiţie 2.11 (Compunerea substituţiilor). Fie θ = { 1 t 1,..., n t n } şi σ = {y 1 s 1,..., y n s k } substituţii, X, Y respectiv mulţimile de variabile ce apar în θ, σ. Atunci compoziţia substituţiilor θ şi σ, notată cu θσ este o substituţie definită astfel: θσ = { i t i σ i X, i t i σ} {y j s j y j Y, y j X}. Aşadar, se aplică a doua substituţie termenilor din prima substituţie, se elimină perechile pentru care termenul substituit este acelaşi cu variabila şi se adaugă elementele din a doua substituţie a căror variabilă nu apare în prima. Eemplul 2.6 (Compoziţia substituţiilor). Fie θ = { f(y), y f(a), z u}, σ = {y g(a), u z, v f(f(a))}, Atunci: θσ = { f(y) σ, y f(a) σ, z u σ } {u z, v f(f(a))} = { f(g(a)), y f(a), z z} {u z, v f(f(a))} = { f(g(a)), y f(a), z z} {u z, v f(f(a))} = { f(g(a)), y f(a), u z, v f(f(a))}. 36