Viziunea computerizată în exemple şi aplicaţii practice Filtrarea în domeniul frecvenţă Introducere Filtrele de frecvenţă modifică valorile pixelului în funcţie de periodicitate şi distribuţia spaţială a variaţiilor în intensitatea luminii din imagine. Filtrele trece sus menţin variaţiile bruşte ale luminozităţii formelor dintr-o imagine. Filtrele trece jos se aplică obiectelor în care variaţia luminozităţii este relativ lentă cum ar fi de exemplu fundalul dintr-o imagine. Filtrele de frecvenţă nu se aplică direct unei imagini din domeniul spaţial, ci reprezentării în domeniul frecvenţă. Reprezentarea în domeniul frecvenţă se face cu ajutorul transformatei Fourier. Ea ne dă informaţii despre componentele spectrale ale unei imagini. Frecvenţele spaţiale într-o imagine FFT pot fi filtrate şi apoi prin aplicarea transformatei inverse FFT se poate reface reprezentarea spaţială a imaginii filtrate FFT. Transformata FFT inversă Filtrare FFT f(x,y) F(u,v) G(u,v) g(x,y) Figura. Arhitectura unui sistem de filtrare în domeniul frecvenţă Într-o imagine, detaliile şi formele ascuţite sunt asociate frecvenţelor spaţiale înalte, datorită faptului că acestea introduc variaţii ale nivelului de gri importante. Spre deosebire de primul caz, pentru zonele de fundal dintr-o imagine vom asocia frecvenţe spaţiale joase. De exemplu, o imagine poate avea un zgomot cum ar fi fâşiile periodice introduse în timpul procesului de digitizare. În domeniul frecvenţă, acest zgomot se reduce la un set de frecvenţe aflate undeva în interiorul spectrului imaginii (în general în zona frecvenţelor înalte). Dacă eliminăm aceste frecvenţe particulare şi transformăm imaginea filtrată FFT înapoi la domeniul spaţial se produce o nouă imagine în care zgomotul a dispărut, totuşi caracteristicile imaginii rămânând neschimbate. Transformarea Fourier discretă Aşa după cum am amintit, una dintre cele mai importante transformate care se utilizează în prelucrările de sunet şi imagine este transformata Fourier discretă. Forma matematică a transformatei unidimensionale pentru o secvenţă {u(n), n=,...,-} este: - kn n= v(k)= u(n), k =,.., - unde: -jπ = exp( ). Transformata Fourier inversă este dată de relaţia: u(n) = - v(k) kn ; n =,,..., -. k=
7. Filtrarea în domeniul frecvenţă Transformarea Fourier discretă bidimensională Transformarea Fourier discretă a unei imagini de dimensiuni Mx, U[Mx]={u(m,n)}, este o transformare separabilă, definită de relaţia: v(k,l)= u(m,n), k M - l - M Transformarea Fourier discretă inversă bidimensională este dată de: M-- km ln M ;.3 m= n= M - - u(m,n) = v( k, l) km ln M, m M - ; n -.4 k= l= Pentru exemplificare vom prezenta transformarea bidimensională efectuată asupra unei matrici de dimensiune (3, 3) puncte. Se prezintă un impuls de dimensiune (, ) de valoare. Imaginile reprezintă matricea iniţială, a spectrului DFT (calculat cu ajutorul algoritmului rapid FFT) şi a spectrului shiftat (deplasat) astfel încât, să apară componenta continuă în centrul imaginii. Matricea iniţială Transformata DFT Transformata DFT shiftată Figura. Exemplificarea aplicării FFT Interpretarea DFT Folosind formulele trigonometrice se poate demonstra că transformata inversă Fourier D-DFT se poate scrie şi sub forma: f ( x) = / πu F () + F ( u ) cos( + faza ( F ( u )) u = Această ecuaţie arată că putem reconstitui semnalul original ca sumă de primitive cosinus. Luând în considerare doar două dintre cele mai mari componente: π π 3 f ( x).57 +.636 cos, faza : 9 +. cos, faza : 9.5.6
Viziunea computerizată în exemple şi aplicaţii practice Profilul orizontal al semnalului reconstruit este: Metode de calcul rapid al transformatei Fourier discrete I. Descompunerea pe rânduri şi pe coloane Transformata DFT discutată în capitolul anterior este utilizată într-o mare varietate de aplicaţii de procesare de semnal. Deci există un mare interes pentru a găsi modalităţi de a calcula eficient DFT şi IDFT mai ales pentru că aşa cum am văzut mai sus DFT poate fi utilizată şi la calculul DCT şi IDCT. Pentru a aprecia eficienţa calculării prin metoda descompunerii pe rânduri şi coloane vom considera întâi calculul direct al DFT pentru o secvenţă complexă de puncte x(n,n ). DFT pentru secvenţa x(n,n ) este X ( k, k ). O reprezentare grafică a procesului de descompunere este dată în Figura.3: n ( -) k ( -) D-DFT în puncte ( -) n ( -) k 3
7. Filtrarea în domeniul frecvenţă n ( -) k ( -) D-DFT în puncte ( -) n ( -) k Figura.3 Exemplu de descompunere pe rânduri respectiv pe coloane Rezultatul aplicării algoritmului asupra unei imagini se vede în figura 7.4: Imaginea originală DFT pe linii DFT pe coloane Figura.4 Exemplu de aplicare a DFT D Din discuţia anterioară, X( k, k ) poate fi calculat cu un total de transformări unidimensionale pe D-DFT. Dacă presupunem că vom calcula transformatele D-DFT direct (calculul direct implică * înmulţiri şi aproximativ tot atâtea adunări), numărul total de operaţii aritmetice implicate în calcul pentru vectorul X este *(+) înmulţiri şi adunări. Deci se obţine o scădere importantă a numărului de operaţii faţă de calculul direct. II. Algoritmul RADIX- FFT Unul dintre algoritmii de calcul eficient al Transformatei Fourier Discrete se bazează pe tehnica divide şi stăpâneşte dar care este aplicabil doar când numărul de puncte nu este prim adică se poate descompune în factori primi =r*r*...*rx, unde {rj} sunt primi. Un caz particular este cazul când r=r=...=rx=r şi atunci = r x. În acest caz DFT au mărimea r, şi deci calculul DFT pe puncte are o structură repetitivă. umărul r este numit radixul algoritmului FFT. Să considerăm calculul DFT pe = v puncte prin metoda divide şi stăpâneşte şi luăm M=/ şi L= şi vor rezulta doi vectori corespunzători indicilor pari şi impari. Cele două secvenţe se vor obţine prin decimarea lui x(n) cu un factor şi atunci algoritmul FFT rezultat se numeşte algoritm cu decimare în timp. 4
Viziunea computerizată în exemple şi aplicaţii practice f ( n) = x( n) f ( n) = x( n+ ) n=,....7 Acum putem exprima DFT pe puncte în termeni de DFT ale secvenţelor decimate după cum urmează: X ( k ) = = = n= n= par x( n) / m= kn x( n) kn x(m) + mk k =,,..., n= impar + x( n) / m= kn x(m + ) ( m+ ) k. Dar ţinând cont de faptul că - jπ = exp ( ) rezultă că = astfel că / relaţia de mai sus devine: / / mk k X ( k) = f( m) / + f( m) m= m= k = F ( k) + F ( k) unde F( k) şi F( k) sunt transformatele DFT pe / puncte ale secvenţelor pară şi impară f şi respectiv f. Dacă F (k) şi F (k) sunt periodice cu perioadă /, avem F( k + / ) = F( k) şi F ( k + / ) = F ( k) ; în plus dacă ţinem seama că + / = putem exprima: X( k) = F ( k) + X( k + ) = F ( k) k F ( k) k F ( k) k k mk / k =,,..., k =,,..., Observăm că prin calcul direct, F ( k) cere */4 înmulţiri complexe şi acelaşi lucru este valabil pentru F( k). În plus, mai avem de efectuat / înmulţiri complexe cerute pentru calculul k F ( k). Atunci calculul vectorului X(k) necesită + = + înmulţiri complexe. Din acest prim pas rezultă o reducere a numărului de înmulţiri de la la +, ceea ce înseamnă o reducere cu un factor (aproximativ) pentru mare. Dacă notăm cu: G(k) = F ( k) k =,,..., k G (k) = F ( k) k =,,...,.9.. 5
7. Filtrarea în domeniul frecvenţă se poate repeta algoritmul de calcul. Pentru a ilustra modul cum lucrează algoritmul vom arăta calculul pentru = puncte DFT. În general fiecare fluturaş implică o înmulţire complexă şi două adunări complexe. Pentru = ν sunt / fluturaşi şi v = log stagii; acestea ne conduc tot la rezultatul prezentat mai sus cu privire la numărul de operaţii de efectuat. Un fluturaş este calculat între perechea de numere complexe (a,b) pentru a produce la ieşire (A,B), deci nu este necesar să salvăm perechea de intrare (a,b). Atunci putem memora rezultatul (A,B) în aceeaşi locaţie ca (a,b) şi în consecinţă este necesară o capacitate de memorie fixă. Fluturaşul de bază corespunzător decimării în timp este: a A=a+ r *b - b B=a - r *b Basic butterfly Organigrama întregului algoritm nu poate fi redată până nu vom vedea modul în care se modifică datele în memorie după fiecare decimare în timp. Acest lucru se va exemplifica în Figura.5: x() x() x() x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) decimare x() x() x(4) x(6) x() x(3) x(5) x(7) Reordonare date x() x(4) x() x(6) x() x(5) x(3) x(7) decimare Figura.5 Algoritmul de decimare Figura anterioară sugerează faptul că dacă datele de la intrarea procedurii sunt în ordine normală atunci la ieşire le vom obţine în ordine inversată, iar dacă datele de la intrare se vor da în ordine inversată atunci la ieşire le vom obţine în ordine corectă. Acest lucru este foarte important deoarece dacă nu se ţine seama de el la filtrarea în domeniul frecvenţă, se vor reţine coeficienţii în ordine inversată iar la refacere dacă utilizăm acelaşi algoritm se vor obţine coeficienţii în ordine corectă însă imaginea refăcută va fi puternic afectată de reţinerea aleatoare a coeficienţilor (frecvenţelor). În Figura.6 vom prezenta întregul graf al algoritmului de FFT cu decimare în frecvenţă. Acest lucru este util pentru a vedea dezavantajele transformatei de dimensiuni mari ale lui. Cele mai importante sunt: - coeficienţii transformării pentru mare iau valori mari şi este greu de lucrat (memorat, efectuat operaţii) cu aceşti coeficienţi; - acumularea erorilor la un număr atât de important de operaţii de înmulţire, erori care se reflectă în imaginea refăcută în aceea că şi dacă se reţin toţi coeficienţii transformării apar erori. 6
Viziunea computerizată în exemple şi aplicaţii practice x() X() x() - X(4) x() - X() x(3) - - X(6) x(4) - X() x(5) - - X(5) x(6) - - X(3) x(7) - - 3 - X(7) Figura.6 Graful FFT pentru decimare în timp = Afişarea transformatei Fourier rapide O imagine FFT poate fi vizualizată folosind una dintre cele patru componente complexe: partea reală partea imaginară amplitudinea (modulul) faza Relaţia dintre aceste componente poate fi exprimată de ecuaţia: (, ) (, ) (, ) F uv = Ruv + ji uv. unde R(u,v) reprezintă partea reală iar I(u,v) reprezintă partea imaginară. Ecuaţia de mai sus poate fi scrisă: (, ) (, ) j ( uv, ) =.3 F u v F u v e ϕ unde F(u,v) reprezintă amplitudinea iar ϕ(u,v) este faza. Amplitudinea F(u,v) se mai numeşte şi spectru Fourier şi este egal cu: (, ) (, ) (, ) = +.4 F uv Ruv I uv Spectrul Fourier la pătrat se numeşte spectru de putere sau densitate spectrală. Faza ϕ(u,v) se mai numeşte unghi de fază şi este egal cu: 7
7. Filtrarea în domeniul frecvenţă ϕ ( uv) (, ) (, ) I uv, = arctan R uv Dacă avem o imagine de rezoluţie M şi notăm cu Δx şi respective cu Δy paşii de incrementare, atunci transformata Fourier a imaginii originale va avea aceeaşi rezoluţie M iar paşii de incrementare în frecvenţă Δu şi Δv vor fi definiţi de ecuaţiile: Δ u = ; Δ v=.6 Δx MΔy Există două modalităţi de reprezentare a transformatei Fourier rapide aplicată unei imagini: reprezentarea standard reprezentarea optică Reprezentarea standard În cazul reprezentării standard (Figura.7), frecvenţele înalte sunt grupate în centrul imaginii FFT în timp ce frecvenţele joase sunt localizate în colţurile imaginii FFT. Astfel, frecvenţa nulă (componenta de curent continuu) este localizată în colţul stânga sus a, Δ u, MΔ v imaginii. Domeniul de frecvenţă este: [ ] [ ].5 A Frecvenţe joase B Frecvenţe înalte C D Figura.7 Reprezentarea standard Reprezentarea optică În cazul reprezentării optice (Figura.), frecvenţele joase sunt grupate în centrul imaginii FFT în timp ce frecvenţele înalte sunt localizate în colţurile imaginii FFT. Astfel, frecvenţa nulă (componenta de curent continuu) este localizată în centrul imaginii FFT. Domeniul de frecvenţă este: M M Δu, Δ u Δv, Δv
Viziunea computerizată în exemple şi aplicaţii practice A Frecvenţe înalte B Frecvenţe joase C D Figura. Reprezentarea optică Filtre în domeniul frecvenţă Filtrarea trece jos Un filtru trece jos în domeniul frecvenţă atenuează sau elimină frecvenţele înalte din spectrul Fourier. Acest tip de filtru suprimă informaţia referitoare la variaţiile rapide ale luminozităţii imaginii în domeniul spaţial. Folosirea unui astfel de filtru duce ca după aplicarea transformatei Fourier inverse să obţinem o imagine în care sunt atenuate zgomotul, detaliile şi contururile obiectelor din imagine şi texturile. Atenuarea trece jos În cazul atenuării trece jos se aplică o funcţie liniară de atenuare (Figura.9 a) pe întreg spectrul de frecvenţe, începând de la frecvenţa f şi până la frecvenţa maximă f max. Aceasta se face prin înmulţirea cu un coeficient C(f) dat de formula: fmax f C( f ) =.7 f f unde C(f )= şi C(f max )=. max C(f) C(f) f f max f f c f max a) b) Figura.9 Funcţia atenuare trece jos (a) şi trunchiere trece jos (b) Trunchierea trece jos Trunchierea trece jos (Figura.9 b) elimină o frecvenţă f dacă este mai mare decât o frecvenţă de tăiere f c. Practic, trunchierea trece jos se face prin înmulţirea fiecărei frecvenţe f cu coeficientul C a cărui valoare poate fi sau definit de ecuaţia: 9
7. Filtrarea în domeniul frecvenţă ; dacã f > f C ( f ) = c. ; altfel Filtrarea trece sus Un filtru trece sus în domeniul frecvenţă atenuează sau elimină frecvenţele joase din spectrul Fourier. Acest tip de filtru suprimă informaţia referitoare la variaţiile lente ale luminozităţii imaginii în domeniul spaţial. Folosirea unui astfel de filtru duce ca după aplicarea transformatei Fourier inverse să obţinem o imagine în care sunt atenuate fundalul imaginii şi zonele cu acelaşi nivel al intensităţii luminoase. Atenuarea trece sus În cazul atenuării trece sus se aplică o funcţie liniară de atenuare (a) pe întreg spectrul de frecvenţe, începând de la frecvenţa f şi până la frecvenţa maximă f max. Aceasta se face prin înmulţirea cu un coeficient C(f) dat de formula: f f C( f ) =.9 f f unde C(f )= şi C(f max )=. max C(f) C(f) f f max f f c f max a) b) Figura. Funcţia atenuare trece sus (a) şi trunchiere trece sus (b) Trunchierea trece sus Trunchierea trece sus (b) elimină o frecvenţă f dacă este mai mică decât o frecvenţă de tăiere f c. Practic, trunchierea trece jos se face prin înmulţirea fiecărei frecvenţe f cu coeficientul C a cărui valoarea poate fi sau definit de ecuaţia: ; dacã f < f C ( f ) = c. ; altfel Funcţii folosite pentru aplicaţii ale TFD IMAQ GetPalette Selectează paleta de afişare. Sunt disponibile cinci palete predefinite. Pentru a activa o paletă color trebuie să alegem unul din coduri la intrarea Palette umber şi conecta ieşirea Color Palette la intrarea Color Palette a funcţiei IMAQ inddraw.
Viziunea computerizată în exemple şi aplicaţii practice Palette umber (gray) intrarea care setează tipul paletei generate la ieşire şi poate avea una din valorile: Gray paleta de nivele de gri, implicită. Binary folosită pentru imagini binare Gradient Rainbow Temperature Color Palette indică un tablou de structuri de date compuse din 56 de elemente pentru fiecare din cele trei plane de culoare IMAQ FFT Calculează transformata Fourier a unei imagini. Transformata Fourier este o imagine complexă, în care frecvenţele înalte sunt grupate în centrul imaginii în timp ce frecvenţele joase sunt grupate în colţurile acesteia. Image Src referinţa la imaginea sursă de intrare Image Dst este imaginea complexă care va conţine rezultatul aplicării FFT. Această imagine trebuie să fie de tip complex Image Dst Out referinţa la imaginea destinaţie IMAQ InverseFFT Calculează transformata Fourier inversă a unei imagini complexe (care reprezintă coeficienţii Fourier) Image Src referinţa la imaginea sursă de intrare. Este o imagine complexă. Image Dst este imaginea pe, 6, sau 3 de biţi care va conţine rezultatul aplicării transformatei inverse Fourier. Image Dst Out referinţa la imaginea destinaţie de ieşire IMAQ ComplexTruncate Taie coeficienţii de frecvenţă ai unei imagini complexe Low pass/high pass (Low pass) determină care frecvenţe vor fi tăiate. Se alege Low pass (F) pentru a elimina frecvenţele înalte şi respectiv High pass (T) pentru a elimina frecvenţele joase. Valoarea implicită este FALSE, adică Low pass. Truncation Frequency % - reprezintă procentul din frecvenţe care este reţinut sau eliminat din imaginea ce reprezintă FFT. Image Src referinţa la imaginea sursă de intrare. Este o imagine complexă. Image Dst referinţa la imaginea destinaţie de intrare. Este o imagine de asemenea complexă
7. Filtrarea în domeniul frecvenţă Image Dst Out referinţa la imaginea destinaţie de ieşire Desfăşurarea lucrării Implementarea transformatei Fourier pentru imagini A se deschide o sesiune LabView se creează un nou proiect în fereastra corespunzătoare diagramei se completează cu funcţiile IMAQ astfel încât să obţinem schema din figura de mai jos: interfaţa cu utilizatorul va arăta ca în figura de mai jos:
Viziunea computerizată în exemple şi aplicaţii practice încărcaţi diverse imagini, realizaţi FFT şi observaţi care sunt coeficienţii FFT. Modificaţi paleta de culori folosită pentru afişarea coeficienţilor Fourier şi observaţi care este efectul în fereastra de afişare a acestora. Localizaţi zonele de joasă, medie şi înaltă frecvenţă. Filtrarea în domeniul frecvenţă pentru o imagine A se deschide o sesiune LabView se creează un nou proiect în fereastra corespunzătoare diagramei se completează cu funcţiile IMAQ astfel încât să obţinem schema din figura de mai jos: 3
7. Filtrarea în domeniul frecvenţă interfaţa cu utilizatorul va arăta ca în figura de mai jos: încărcaţi diverse imagini, realizaţi filtrarea de tip FTS şi FTJ pentru diferite procente de filtrare (vezi descrierea funcţiei IMAQ Complex Truncate). 4
Viziunea computerizată în exemple şi aplicaţii practice Modificaţi paleta de culori folosită pentru afişarea coeficienţilor Fourier şi observaţi care este efectul în fereastra de afişare a acestora. realizaţi o schemă în care să se implementeze o filtrare trece bandă, în care să se poată modifica cele două praguri, inferior şi superior. Întrebări şi probleme. Implementaţi o diagramă care să realizeze transformata Fourier a unei imagini color RGB.. Implementaţi o diagramă care să realizeze filtrarea în domeniul frecvenţă pentru o imagine color RGB, după modelul prezentat în secţiunea 3. Să se modifice schema aplicaţiei de la punctul, astfel încât să avem o reprezentare 3D a spectrului Fourier înainte şi după filtrare 4. Să se implementeze o aplicaţie LabView care să poată realiza atenuarea trece sus şi trece jos pentru o imagine A şi color. Bibliografie suplimentară []. IMAQ Vision for G Reference Manual, ational Instruments, 999 []. IMAQ Vision User Manual, ational Instruments, 999 [3]. IMAQ PCI/PXI 4 User Manual, ational Instruments, 999 [4]. A. VLAICU, Prelucrarea Digitală a Imaginilor, editura Albastră, Cluj apoca, 997 5
7. Filtrarea în domeniul frecvenţă 6