EDITURA PARALELA 45. Editura Paralela 45

Editura Paralela 45

Editura Paralela 45 cest auxiliar didactic este aprobat pentru utilizarea în unit ile de înv mânt preuniversitar prin ME nr. 6250/21.12.2020. Lucrarea este elaborat în conformitate cu programa colar pentru sus inerea Evalu rii Na ionale pentru absolven ii clasei a VIII-a i cu modelul de structur de subiect i baremul de evaluare i notare în vigoare. Redactare: Iuliana Ene, Roxana Pietreanu, Ionu urcioiu Tehnoredactare: driana Vl descu, armen R dulescu, Mioara enza Preg tire de tipar: Marius adea esign copert : Mirona Pintilie redite foto: shutterstock.com escrierea IP a ibliotecii Na ionale a României PP, GRIEL Matematic : Evaluarea Na ional 2022 : clasa a VIII-a / Gabriel Popa, drian Zanoschi, Gheorghe Iurea, orel Luchian. - Pite ti : Paralela 45, 2021 ISN 978-973-47-3448-1 I. Zanoschi, drian II. Iurea, Gheorghe III. Luchian, orel 51 opyright Editura Paralela 45, 2021 Prezenta lucrare folose te denumiri ce constituie m rci înregistrate, iar con inutul este protejat de legisla ia privind dreptul de proprietate intelectual. www.edituraparalela45.ro

Gabriel Popa, drian Zanoschi, Gheorghe Iurea, orel Luchian MTEMTI EVLURE N INL 2022 lasa a VIII-a Memorator cu cele mai importante no iuni i defini ii din program Teme recapitulative con inute de programa de examen 70 de variante de subiecte cu solu ii de rezolvare Editura Paralela 45

UVÂNT-ÎNINTE Lucrarea Matematic. Evaluarea Na ional 2022 vine în întâmpinarea a tept rilor elevilor i profesorilor care se afl pe traseul preg tirii Evalu rii Na ionale 2022, în contextul lans rii, în 2021, a unui nou format al subiectului de examen. vând în vedere competen ele vizate prin programa de examen, precum i exigen ele fire ti ale studiului matematicii, am gândit o structur complex i eficient a c r ii, care implic un memorator, 14 teme/lec ii recapitulative din materia pentru examen a claselor V-VIII i 70 de teste dup modelul din 2021, care este confirmat pentru examenul de Evaluare Na ional 2022. La primele teste, elevul poate completa r spunsul în spa iul alocat, ca un exerci iu de redactare necesar în perspectiva evalu rilor, care impune viitorilor candida i un ritm de lucru i ni te obiective precise. e asemenea, copiii i antrenorii lor au posibilitatea de a studia metodic baremele specifice acestui tip de subiect, întrucât testele beneficiaz de r spunsuri i sugestii de rezolvare care le ofer un feedback necesar i imediat, astfel încât nivelul de preg tire se poate verifica prin autoevaluare. Problemele au, în general, un caracter aplicativ, dar i unul ludic, iar reperele teoretice reprezint o form util de sistematizare a aparatului conceptual necesar rezolv rii subiectelor, precum i lucrului de zi cu zi, în clas i acas. S fie un exerci iu cu sens, aduc tor de succes! utorii Matematic. Evaluarea Na ional 2022 5

TESTUL 1 SUIETUL I. Încercuie te litera corespunz toare r spunsului corect. 1. Suma divizorilor naturali ai num rului 21 este: a) 11; b) 21; c) 31; d) 32. 2. carte cost 36 de lei. up o reducere de 20%, pre ul c r ii va fi: a) 7,2 lei; b) 28,8 lei; c) 32 lei; d) 34,2 lei. 3. ac a = 3 4 ( 2) ( 5) i b = ( 2) 3 : 2 + 3 5 : ( 3) 4, atunci diferen a a b este egal cu: a) 1; b) 2; c) 3; d) 4. 4. intre intervalele ( 2, 7), [ 4, 6), (12, 21] i [ 16, 10], cel care con ine cele mai multe numere întregi este: a) ( 2, 7); b) [ 4, 6); c) (12, 21]; d) [ 16, 10]. 5. ndrei, arbu, lin i an au calculat media geometric a numerelor a = 8+ 2 18 i b = 2 50 162. Rezultatele ob inute de ei sunt trecute în tabelul urm tor: intre cei patru elevi, cel care a ob inut rezultatul corect este: a) ndrei; b) arbu; c) lin; d) an. 6. ei 30 de elevi ai unei clase au ales prin vot eful clasei, dintre colegii lor: na, ogdan i armen. Procentele voturilor ob inute de cei trei candida i sunt prezentate în tabelul de mai jos. Num rul elevilor care au votat-o pe na este egal cu: a) 5; b) 6; c) 10; d) 20. SUIETUL al II-lea. Încercuie te litera corespunz toare r spunsului corect. ndrei arbu lin an 2 4 8 2 16 na ogdan armen p% 45% 35% 1. În figura al turat este reprezentat triunghiul, i punctul situat pe latura, astfel încât unghiurile i au m surile egale. Pentru triunghiul, dreapta este: a) bisectoare; b) median ; c) în l ime; d) mediatoare. 2. În figura al turat este desenat un triunghi dreptunghic cu ipotenuza i ' = 60. ac punctul M este mijlocul laturii, iar este bisectoarea unghiului M, atunci m sura unghiului este egal cu: a) 15 ; b) 30 ; c) 45 ; d) 60. M Matematic. Evaluarea Na ional 2022 59

3. Terenul din figura al turat are forma unui paralelogram cu laturile = 170 m, = 80 m i diagonala = 150 m. ria terenului este egal cu: a) 6000 m 2 ; b) 12000 m 2 ; c) 13600 m 2 ; d) 25500 m 2. 4. În figura al turat este reprezentat trapezul dreptunghic, cu i ' = 90. iagonala este bisectoarea unghiului, = 8 cm i = 5 cm. Lungimea laturii este egal cu: a) 3 cm; b) 4 cm; c) 3 2 cm; d) 5 cm. 5. În figura al turat este reprezentat un cerc cu centrul i raza egal cu 6 cm. Punctele i sunt diametral opuse, iar coarda are lungimea de 6 cm. Lungimea coardei este egal cu: a) 6 cm; b) 6 2 cm; c) 6 3 cm; d) 12 cm. 6. În figura al turat este desenat o cutie în form de paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile = 12 dm, = 3 dm i = 4 dm. Maria vrea s cumpere o coal de hârtie cu suprafa a de x dm 2, pentru a împacheta cutia. tiind c 20% din x se pierde la ambalare, valoarea minim a lui x este: a) 96; b) 192; c) 240; d) 300. SUIETUL al III-lea. Scrie rezolv rile complete. 1. Într-o pung sunt mai multe bomboane. ac toate bomboanele se împart în mod egal unui grup de 6 copii, atunci în pung r mân 4 bomboane, iar dac toate bomboanele se împart în mod egal unui grup de 8 copii, atunci în pung r mân 6 bomboane. (2p) a) Verific dac în pung puteau fi 46 de bomboane. Justific r spunsul dat. b) fl care poate fi cel mai mic num r de bomboane din pung. 60 Modele de teste

2. Se consider expresia E(x) = (x + 2) 2 + (x 3) 2 (x 1)(x + 2) (3x + 7), unde x. (2p) a) alculeaz E(3). b) emonstreaz c E(k) este un num r întreg divizibil cu 8, pentru orice num r întreg par k. (2p) 3. Se consider func ia f :, f (x) = x + 4. a) etermin num rul real a pentru care are loc egalitatea f (2a) = a 2 + 5. b) Reprezentarea geometric a graficului func iei f intersecteaz axele x i y ale sistemului de axe ortogonale în punctele, respectiv. etermin distan a de la punctul (4, 0) la dreapta. y (4, 0) x Matematic. Evaluarea Na ional 2022 61

4. În figura al turat este desenat trapezul cu, ' = 90, = 9 cm, = 4 cm i = 6 cm. (2p) a) alculeaz lungimea laturii. (2p) b) rat c diagonalele i sunt perpendiculare. 5. În figura al turat este reprezentat patrulaterul convex, cu ' = ' = = 90, = 12 cm i = 6 cm. Punctul este mijlocul diagonalei. a) alculeaz aria triunghiului. b) fl m sura unghiului. 62 Modele de teste

(2p) 6. În figura al turat este reprezentat o prism triunghiular regulat cu latura bazei = 12 cm i muchia lateral = 9 cm. Punctul este centrul bazei, iar punctul este situat pe segmentul, astfel încât = 5 cm. a) alculeaz distan a de la punctul la planul ( ). b) emonstreaz c dreapta este paralel cu planul ( ). Matematic. Evaluarea Na ional 2022 63

96 Modele de teste TESTUL 12 SUIETUL I. Încercuie te litera corespunz toare r spunsului corect. 1. Rezultatul calculului 12 6 : (1 + 2) este: a) 2; b) 4; c) 6; d) 10. 2. bluz cost 240 lei. up o reducere de 30%, pre ul bluzei va fi egal cu: a) 72 lei; b) 80 lei; c) 168 lei; d) 210 lei. 3. În tabelul de mai jos sunt prezentate temperaturile medii din primele cinci luni ale anului 2021. Varia ia maxim (diferen a dintre cea mai mare i cea mai mic temperatur medie) a temperaturii medii în cele cinci luni este: a) 8 ; b) 5 ; c) 15 ; d) 23. 4. el mai mic dintre numerele ra ionale 5,(3); 5,3(2); 5,33; 5,(32) este: a) 5,(3); b) 5,3(2); c) 5,33; d) 5,(32). 5. Patru elevi calculeaz produsul numerelor 2 2, 3 6 i 12 i ob in rezultatele înregistrate în tabelul al turat. intre cei patru elevi, cel care a calculat corect produsul celor trei numere este: a) ndrei; b) arbu; c) ristina; d) ana. 6. Sonia a plecat spre coal cu 20 de minute înainte de ora 8 i s-a întors acas la ora 14:30. Ea i-a spus mamei sale c a fost plecat de acas timp de 410 minute. firma ia Soniei este: a) adev rat ; b) fals. SUIETUL al II-lea. Încercuie te litera corespunz toare r spunsului corect. Ianuarie Februarie Martie prilie Mai 8 3 4 8 15 1. În figura al turat este desenat un patrulater convex i punctul, intersec ia diagonalelor sale. Num rul triunghiurilor care au vârfurile printre punctele,,,, este: a) 4; b) 5; c) 6; d) 8. 2. În figura al turat dreptele X i Y sunt paralele, iar semidreptele i sunt bisectoarele unghiurilor X, respectiv Y. M sura unghiului este egal cu: a) 30 ; b) 45 ; c) 60 ; d) 90. 3. În figura al turat sunt reprezentate patru mici localit i,,, amplasate în vârfurile trapezului dreptunghic cu ' = ' = 90 i = 50 km, = 30 km i = 10 km. Lungimea celui mai scurt drum de la la oseaua care une te cu este: a) 10 10 km; b) 30 km; c) 40 km; d) 50 km. ndrei 72 arbu 6 6 ristina 6 12 ana 36 4 X Y

4. Pardoseala unei b i este acoperit cu 80 de pl ci de gresie în form de p trat cu latura de 0,3 m, ca în figura al turat. Fiecare plac de gresie are p tratul cu vârfurile în mijlocul laturilor sale de culoare albastr, iar restul pl cii este de culoare alb. Suprafa a albastr a pardoselei b ii are aria egal cu: a) 3 m 2 ; b) 3,6 m 2 ; c) 4 m 2 ; d) 7,2 m 2. 5. ele dou cercuri din figura al turat au acela i centru, iar coarda este tangent cercului interior în. ac raza cercului exterior este de 10 cm i coarda are 16 cm, atunci raza cercului interior este: a) 6 cm; b) 7 cm; c) 8 cm; d) 9 cm. 6. Un cub de brânz are bazele,, muchiile laterale,,, i muchia = 8 cm. Ileana taie cubul cu un cu it dup un plan care trece prin punctele, M, i N, unde M i N sunt mijloacele muchiilor, respectiv. ria sec iunii este: a) 16 3 cm 2 ; b) 24 3 cm 2 ; c) 32 6 cm 2 ; d) 48 2 cm 2. SUIETUL al III-lea. Scrie rezolv rile complete. (2p) (2p) (2p) y 1. Un turist a parcurs un drum în trei zile. În prima zi a mers 18 km, a doua zi a parcurs 3 din distan a r mas, 5 iar pentru ultima zi i-a r mas de f cut 25% din distan a ini ial. a) fl ce procent din distan a ini ial a parcurs turistul în primele dou zile. b) etermin lungimea total a drumului. 2. Se consider expresia E(x) = (2x + 1) 2 2(x 1) 2 + (1 x)(x + 3). unde x. a) rat c E(x) = x 2 + 6x + 2, pentru orice x. b) etermin valoarea minim a lui E(x), x. 3. Se consider func iile f :, f (x) = x + 2 i g :, g(x) = = 3x 4. a) etermin num rul real a pentru care f (a) = g(a). b) Fie i punctele de intersec ie a reprezent rilor grafice ale func iilor f, respectiv g cu axa x a sistemului de axe ortogonale xy i punctul lor comun. alculeaz aria triunghiului. 4. În figura al turat este reprezentat podeaua unui balcon. rcele MQ i NP apar in cercului de diametru MN = 12 m i fiecare dintre ele are m sura de 60. (2p) a) emonstreaz c PQ = 6 m. b) etermin lungimea conturului podelei. 5. În figura al turat este desenat triunghiul dreptunghic, cu ipotenuza = 24 cm i ' = 30. (2p) a) rat c m sura unghiului este de 30. b) etermin lungimea segmentului. M Q G g G f P 30 x N Matematic. Evaluarea Na ional 2022 97

(2p) 6. În figura al turat este reprezentat piramida patrulater regulat V, în care este centrul bazei, G (V), VG = 2G, {M} = G V i {N} = G V. a) emonstreaz c M este mijlocul muchiei V. b) emonstreaz c planele MN i V sunt paralele. TESTUL 13 SUIETUL I. Încercuie te litera corespunz toare r spunsului corect. 1. Num rul divizorilor naturali ai num rului 24 este: a) 2; b) 4; c) 6; d) 8. 2. ndrei i ianca au vârstele (exprimate în ani) invers propor ionale cu 3, respectiv 4, iar suma acestor vârste este egal cu 49 ani. ianca are: a) 28 ani; b) 27 ani; c) 24 ani; d) 21 ani. 3. În tabelul urm tor sunt prezentate datele celor trei r zboaie punice purtate între Roma i artagina. Primul r zboi punic 264 241 î.hr. l doilea r zboi punic 218 201 î.hr. l treilea r zboi punic 149 146 î.hr. În câ i ani din perioada 264 146 î.hr., Roma i artagina nu s-au luptat? a) 71; b) 72; c) 73; d) 74. 2 1 4. Rezultatul calculului + 2, 4 este: 3 6 a) 0,4; b) 1,2; c) 2; d) 4. 5. În tabelul al turat sunt trecute aproxim rile g site de patru elevi pentru num rul ira ional 2 3. intre cei patru elevi, cea mai bun aproximare a g sit-o: a) lexandra; b) Ilinca; c) Maria; d) Victor. 6. unica lui Radu are de urmat un tratament de 10 zile în care trebuie s ia câte o pastil galben la 6 ore i câte dou pastile verzi la 8 ore. Radu a cump rat de la farmacie, pentru tratamentul bunicii, 40 de pastile galbene i 60 de pastile verzi. Radu a procedat bine? a) da; b) nu. SUIETUL al II-lea. Încercuie te litera corespunz toare r spunsului corect. 1. În figura al turat sunt reprezentate dou p trate, i EF. Triunghiul EF este: a) ascu itunghic; b) echilateral; c) obtuzunghic; d) dreptunghic isoscel. lexandra 2 Ilinca 3 Maria 5 Victor 6 N V F G M E 98 Modele de teste

SLU II TEME REPITULTIVE TEM 1. Numere naturale. Numere întregi 1. a) 50; b) 21; c) 2; d) 27. 2. 45. 3. Valoarea minim este 0, iar valoarea maxim este 30. 4. n {60, 61, 64, 69}. 5. 1077, 1087. 6. a = 15, b = 4. 7. a = 20, b = 60, c = 422. 8. 283. 9. a) 16; b) 0; c) 7; d) 28; e) 32; f) 54; g) 7; h) 12. 10. b) a = 2 30 = 8 10 < 9 10 = 3 20 = b. 11. a) a = (2 3 21 ) 2 ; b) um ultima cifr a num rului b este 7, rezult c b nu este p trat perfect. 12. a) Num rul a este suma a 12 numere impare, deci este un num r par; b) a = (1 + 3 + 3 2 + 3 3 ) + (3 4 + + 3 5 + 3 6 + 3 7 ) + (3 8 + 3 9 + 3 10 + 3 11 ) = 40(1 + 3 4 + 3 8 ) 10. 13. a = 12 14 n 12. 14. abcd = 100 ab + cd = 300 cd + + cd = 7 43 cd 7. 15. p = 2, q = 3, r = 7. 16. a) 56 = 2 3 7, 72 = 2 3 3 2, 144 = 2 4 3 2, 2700 = 2 2 3 3 5 2 ; b) 10 divizori naturali. 17. a) n {70, 72, 74, 76, 78}; b) n {630, 612, 684, 666, 648}; c) n {252, 552, 852, 156, 456, 756}; d) n {170, 125}. 18. (48, 60) = 12, [48, 60] = 240; b) (12, 15, 18) = 3, [12, 15, 18] = 180. 19. Fie x num rul maxim de pachete. tunci, cum 168, 96 i 72 trebuie s se divid cu x, rezult c x este cel mai mare divizor comun al numerelor 168, 96, 72, adic x = 24. 20. Fie x num rul florilor din flor rie. in rela iile x = 18a + 3 = 24b + 3 (a, b ), deducem c x 3 = 72k sau x = 72k + 3 (k ). um 450 < 72k + 3 < 570, rezult c x = 72 7 + 3 = 507. 21. Fie x num rul de sportivi. vem x = 6a + 3 = 5b + 1 = 9c + 6, deci x + 3 = 6(a + 1) = 4(b + 1) = 9(c + 1) (a, b, c ). e aici rezult c x + 3 = 36k (k ) i, cum x + 3 < 53, deducem c x = 33. Num rul maxim de grupe este 11, iar num rul de sportivi dintr-o grup este 3. 22. Fie a num rul -urilor de 54 lei i b num rul -urilor de 90 lei cump rate de Sanda. vem 54a + 90b = 486 sau 3a + 5b = 27. um 3 divide pe 3a i pe 27, rezult c 3 divide pe 5b. e aici, având în vedere c 0 < b < 6, rezult c b = 3. eci, a = 4 i b = 3. Sanda a cump rat 7 -uri. 23. a) 7 < 3 < 2 < 0 < 1 < < 4 < 9; b) 7 > 3 > 1 > 1 > 2 > 4 > 5. 24. 8 = ( 8) + ( 1) + (+1). 25. a) 3; b) 1; c) 5; d) 1; e) 1; f) 21; g) 3; h) 11. 26. 17. 27. ivizorii întregi ai num rului 288 sunt 1, 1, 2, 2, 3, 3, Suma lor este 0. 28. (x + 1) (2x + 5) (x + 1) ((2x + 5) 2(x + 1)) (x + 1) 3 x + 1 { 3, 1, 1, 3} x { 4, 2, 0, 2}. 29. x > 3 x {, 6, 5, 4, 4, 5, 6, }; x + 1 6 x + 1 { 6, 5, 4,, 4, 5, 6} x { 7, 6, 5, 4, 3,, 3, 4, 5}. eci, x { 7, 6, 5, 4, 4, 5}. 30. (x + 1)(y + 1) = 5 (x, y) {( 6, 2), ( 2, 6), (0, 4), (4, 0)}. TEM 2. Numere ra ionale 1 1. a) 1; b) 1; c) 2; d) 1; e) ; f) 2; g) 14; h) 5. 2. a) n {0, 1, 2}; b) n = 3; c) n {0, 1, 2, 3, 4, 5}. 3. pusul lui a 12 6 este a = 1,25. Inversul lui a este 1 4 a = 5. Modulul lui a este a = 1,25. 4. 6 11 1 = 0, 4; = 5,5; = 0,0016. 15 5 625 5. a) 5 1 4 < < 0,(4) < 1,1(3) < < 1, 7 ; b) 0,(3) > 0,33 > 0,(32) > 0,3(2) > 0,3 > 0,2(3). 6. 4 2 3 23 23 = 5, = 0, 75, 4 4 9 9 2, 23 = = 0, 2 5. 7. = {2; 5}, = { 7; 2; 5}, ( \ ) = ; 3,4;0,5;1,(2). 8. a = 5; b = 1. 5 3 9. (a 2) 10 = (1 2) 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 = 1. 10. a = 10. 11. a = + + +... + + = = 0,9. 1 2 2 3 3 4 8 9 9 10 10 100 100 2a 2 3 12. = = 1. 13. 12 3 3 2 7. 14. ac n este impar, atunci 2 3 5 3 a = + =, iar dac n este par, atunci 3 4 6 4 2 3 5 3 3 a = + =. Prin urmare, a =, oricare ar fi n. 15. 9x = 9 10 48 a = 10. 16. vem b 48 3 4 6 4 4 9 5 b 230 Solu ii

uprins uvânt-înainte / 5 MEMRTR E MTEMTI / 7 TEME REPITULTIVE / 20 MELE E TESTE PENTRU EVLURE N INL / 58 SLU II TEME REPITULTIVE / 230 MELE E TESTE PENTRU EVLURE N INL / 244 Matematic. Evaluarea Na ional 2022 271