1 UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA FACULTATEA DE ŞTIINŢE DEPARTAMENTUL DE MATEMATICĂ Teză de abilitare Probleme de control şi optimizare Rezumat Autor Ionel

Transcriere

1 1 UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA FACULTATEA DE ŞTIINŢE DEPARTAMENTUL DE MATEMATICĂ Teză de abilitare Probleme de control şi optimizare Rezumat Autor Ionel Rovenţa Craiova-2015

2 2 Rezumat Această teză de abilitare este dedicată studiului proprietăţilor de controlabilitate ale soluţiilor ecuaţiilor cu derivate parţiale şi dezvoltării unor probleme de optimizare strâns legate de analiza convexă. Această teză este fundamentată pe rezultate importante obţinute de autor după obţinerea doctoratului, ce a fost susţinut in anul Aceste rezultate au fost publicate în 22 de articole (15 articole în reviste ISI, 3 articole in Proceedings-uri ISI si 4 articole în reviste BDI) dintre care amintim: Mathematics of Computation, Journal de Mathématiques Pures et Apliqueés, Journal of Functional Analysis, ESAIM Calculus of Variations, Journal of Optimization Theory and Applications, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Nonlinear Analysis Theory Methods and Applications, Aequationes Mathematicae, Mathematical Inequalities and Applications, Journal of Inequalities and Applications, Mediterranean Journal of Mathematics, etc. O mare parte din activitatea de cercetare a fost susţinută de participarea în granturi de cercetare, PCE, IDEI, TE, LEA MATH MODE, CA- PACITĂŢI BRÂNCUŞI, la ultimul dintre acestea fiind director. În ultimele decade domeniile teoriei controlului, optimizării si analizei convexe au fost la interfaţa dintre creativitatea matematică, inginerie si informatică. Scopul teoriei controlului este să ajute la înţelegerea principiilor fundamentale ale controlului şi să le caracterizeze matematic într-un mod ce poate fi folosit pentru obţinerea exactă a unor controale ce ne ajută să îndeplinim un scop precizat. De fapt, scopul optimizării performanţelor ne duce către controlul optimal ce ilustrează afinitatea dintre teoria controlului, calculul variaţional, analiza convexă şi optimizare. Cea mai importantă parte a acestei teze tratează controlabilitatea, stabilizabilitatea, optimalitatea, comportamentul asimptotic, existenţa soluţiilor pentru ecuaţii cu derivate parţiale, aproximarea şi convergenţa schemelor numerice. Ultima parte a tezei este dedicată unor instrumente de majorizare şi idei de convexitate-concavitate, care sunt studiate din punctul de vedere al teoriei optimizării (transfer de date în reţele, blocaje în trafic, optimizare neliniară). În cele ce urmează vom prezenta pe scurt contextul ştiinţific şi stadiul/nivelul cercetării în fiecare din subiectele pe care suntem interesaţi să le

3 abordăm în această teză. Pentru a da un înteles cât mai precis următoarelor idei trebuie să prezentăm încă de la început o formulare cât mai clară a conceptelor de observabilitate şi controlabilitate. Conceptul de observabilitate priveşte dinamica (într-un interval de timp) ce reflectă comportamentul soluţiei unei ecuaţii cu valori la frontieră, şi ne permite să spunem dacă întreaga energie a sistemului poate fi estimată (independent de soluţie) în funcţie de energia concentrată într-o anumită subregiune, sau chiar la frontieră. Pe de altă parte, conceptul de controlabilitate studiază dacă soluţiile pot fi dirijate într-un timp precizat către o stare finală, folosind un control ce acţionează într-o anumită regiune. Aceste două concepte sunt echivalente, în sensul că putem găsi cadrul funcţional corespunzător ce depinde de ecuaţia considerată (vezi [38]). Când un sistem este controlabil, controlul nu este unic şi este de obicei ales în funcţie de nişte criterii de optimalitate. Din mulţimea controalele există un control de normă L 2 minimală (aşa numitul control HUM). Controlul HUM nu este doar optimal din punct de vedere al normei sale L 2, el poate fi de asemenea caracterizat şi construit folosind sistemul adjunct şi un argument de minimizare. Pentru ca proprietăţile de observabilitate şi controlabilitate ale unui sistem necesită studiul proprietăţilor dinamice ale sistemului şi efectul controalelor asupra dinamicii, vom face o distincţie clară între ecuaţiile eliptice, parabolice şi hiperbolice. Proprietăţile lor calitative le ajută să se comporte în mod diferit din punct de vedere al controlului. Noţiunea de controlabilitate este de natură dinamică, deci este natural să considerăm ecuaţii parabolice şi hiperbolice, în particular ecuaţiile căldurii, undelor, barelor şi Schrödinger. O altă idee interesantă ce apare în contextul diferitelor tipuri de ecuaţii, este dată de posibilitatea de transfer a proprietăţilor de controlabilitate de la un sistem către altul. Această idee îşi are originea în lucrarea lui D. Russell (1973), unde controalele ecuaţiei căldurii sunt construite din controale ale ecuaţiei undelor [66]. Metoda lui poartă numele de metoda transmutării şi este un element esenţial în studiul anumitor probleme de control. De exemplu, metoda transmutării a fost folosită pentru demonstrarea controlabilităţii ecuaţiilor de ordin fracţionar [48], pentru obţinerea controlabilităţii la zero pentru ecuaţia căldurii ca limită a proprietăţilor de controla- 3

4 4 bilitate ale unor ecuaţii ale undelor pertubate, sau pentru estimarea normelor controalelor când timpul de control tinde la zero [47, 49, 71, 73]. Datorită folosirii disipării în procesele de control, sunt puţine rezultate ce conţin trecerea de la o ecuaţie parabolică la una hiperbolică. Tehnici diferite sunt necesare pentru a studia comportamentul şi dependenţa controalelor când un termen disipativ este introdus într-o ecuaţie de tip hiperbolic. Pentru demonstrarea uniform controlabilităţii ecuaţiei de transport cu un termen de vâscozitate a fost folosită inegalitatea Carleman sau tehnici de analiză Fourier [15, 25]. Relevanţa acestor studii este dată de folosirea tehnicii adăugării unui termen de vâscozitate pentru rezolvarea unor probleme Cauchy [18] sau pentru îmbunătăţirea convergenţei schemelor numerice [28, 29, 30]. În aceste exemple vâscozitatea va tinde la zero pentru a recupera sistemul original. În consecinţă, comportamentul şi sensibilitatea controalelor în timpul acestui proces de trecere la limită devine o direcţie de cercetare actuală şi interesantă [8, 26, 27]. Pentru a elimina orice neîntelegere, trebuie să amintim faptul că sunt două moduri prin care putem aborda aproximarea controalelor. Prima metodă constă în aplicarea unor algoritmi numerici pentru calculul controlului obţinut din modelul continuu prin prisma unui proces riguros de derivare. Vom obţine un algoritm convergent ce va produce bune aproximări numerice ale controlului pentru modelul continuu. A doua strategie constă în discretizarea modelului continuu, apoi în calculul controlului sistemului discret şi folosirea acestuia ca aproximare a controlului modelului continuu. Problema în acest caz este dată de faptul că a doua strategie, ce este des folosită în literatură, poate fi divergentă. De fapt, exceptând câteva situaţii foarte particulare pentru care sunt alese schemele numerice cu mare grijă, şirul de controale al modelelor discretizate nu converge neapărat la controlul modelului continuu. În [77] a fost arătat că pentru majoritatea schemelor numerice, datorită relelor oscilaţii ale frecvenţelor înalte ale soluţiilor, proprietatea de observabilitate poate fi pierdută după discretizarea numerică, atunci când pasul de discretizare tinde la zero. Deci, controlul numeric al modelulul discret nu asigură o bună aproximare numerică a controlului pentru modelul continuu. În cazul ecuaţiilor căldurii şi Schrödinger efectele difuzive şi dispersive pot ajuta să restabilim proprietăţile de observabilitate la nivel discret.

5 Este binecunoscut faptul că în cazul ecuaţiei undelor se produc fenomene dispersive ce duc la apariţia unor oscilaţii rele ale frecvenţelor înalte. Viteza de propagare a undelor numerice face ca timpul în care vrem să observăm sau să controlăm în mod uniform undele numerice de pe frontieră sau dintr-o zonă limitată, să tindă la infinit când pasul de discretizare tinde la zero. În consecinţă, proprietăţile de observabilitate şi de control al modelului discret pot eventual să dispară. În concluzie, problema principală în acest context este dată de răspunsul la întrebarea dacă şi când modelul continuu luat în considerare este observabil sau controlabil şi dacă aceste proprietăţi sunt conservate de aproximarea numerică, şi dacă atunci când tindem pasul de discretizare la zero putem regăsi observabilitatea sau controlabilitatea modelului continuu. Câteva alternative ce trebuie luate în considerare pentru a elimina oscilaţiile rele ale frecvenţelor înalte sunt date de regularizarea Tychonoff, metode multigrid, elemente finite mixte, vâscozitate numerică, filtrarea frecvenţelor înalte. Rezultate semnificative au fost obţinute pentru uniform controlabilitatea ecuaţiei undelor 1-d semi-discretă cu ajutorul unor tehnici de filtrare [40], elemente finite mixte şi vâscozitate [41]. Din punctul de vedere al aplicaţiilor, ecuaţia undelor este o problemă hiperbolică simplificată ce poate fi întâlnită în Mecanică, Inginerie si Tehnologie. Aceasta ne dă într-adevăr un model pentru descrierea vibraţiilor structurilor, propagarea sunetelor sau a undelor seismice, etc. Aşadar, controlul ecuaţiei undelor poate fi folosit în probleme legate de controlul mecanismelor unor structuri, clădiri în prezenţa unor cutremure, pentru reducerea sunetelor în diferite spaţii închise sau maşini, etc. Mai mult, ecuaţia undelor poate fi văzută ca un prototip al unui sistem dinamic conservativ infinit dimensional, ceea ce deschide posibilitatea considerării unor aplicaţii mult mai complexe. Ţinând cont de problematica extrem de complexă şi interesantă descrisă pană acum, o parte consistentă a acestei teze o vom dedica rezultatelor de acest tip, ce sunt prezentate în special în Capitolul al 2-lea. Mai precis, prima parte din Capitolul al 2-lea studiază controlabilitatea uniformă şi convergenţa unei scheme cu diferenţe finite semi-discrete pentru aproximarea controalelor la frontieră ale unei ecuaţii 1- d ce modelează vibraţiile transversale ale unei bare fixate la un capăt. Este cunoscut faptul 5

6 6 că datorită relelor oscilaţii ale frecvenţelor înalte, uniform controlabilitatea (în raport cu pasul de discretizare) modelului semi-discret nu are loc. În consecinţă, convergenţa controalelor aproximante în spaţiul de date iniţiale cu energie finită nu poate fi garantată. În [6] demonstrăm că prin adăugarea unei vâscozităţi numerice, proprietatea de uniform controlabilitate şi convergenţa schemei numerice sunt asigurate. Câteva experimente numerice care confirmă rezultatele obţinute în [6] au fost prezentate în [5]. Ideea constă în introducerea unei vâscozităţi în ecuaţia discretă mutiplicată cu un parametru mic ce dispare când trecem la limită. Acest parametru trebuie ales suficient de mic, pentru a păstra convergenţa şi acurateţea schemei numerice, dar în acelaşi timp suficient de mare pentru a îmbunătăţi proprietăţile de observabilitate ale sistemului. Analiza noastră ne permite să obţinem rangul optim pentru acest parametru, ce satisface ambele deziderate. Pentru că acest termen introdus va linişti oscilaţiile rele ale frecvenţelor înalte, ne aşteptăm ca să ne ajute să recuperăm inegalitatea uniformă de observaţie şi să îmbunătăţim proprietăţile de convergenţă ale controalelor discrete. În cele ce urmează vom descrie pe scurt metodologia folosită în [6]. Mai întai introducem modelul semi-discret şi prezentăm analiza spectrală corespunzătoare. Demonstrăm uniform controlabilitatea modelului semi-discret folosind o inegalitate de observaţie uniformă a sistemului adjunct. Pasul următor este dat de transformarea problemei de control într-o problema de momente echivalentă şi vom obţine o soluţie folosind un şir de biortogonale la o familie de funcţii exponenţiale. Vom arăta apoi cum putem estima norma acestei soluţii folosind inegalitatea de observaţie şi normele biortogonalelor. Această analiză ne permite să obţinem estimări inferioare pentru acel parametru mic, depinzând de pasul de discretizare, obţinând astfel o condiţie necesară pentru proprietatea de controlabilitate uniformă. Strategia bazată pe familii de biortogonale este următoarea. Mai întâi, construim o funcţie întreagă de tip exponenţial, ca un produs de tip Weierstrass, ce va fi evaluat pe axa reală. Apoi vom construi o altă funcţie întreagă, numită multiplicator, astfel încat produsul dintre aceste două funcţii întregi să fie o funcţie întreagă cu tip exponenţial arbitrar de mic şi mărginită pe axa reală. Această construcţie ne permite să obţinem un biortogonal prin intermediul transformatei Fourier inversă. Această metodă a fost folosită

7 pentru prima dată de Paley şi Wiener [60], iar în contextul problemelor de controlabilitate de către Fattorini şi Russell [21]. În a doua parte a Capitolului al 2-lea sunt prezentate rezultate din [7] şi [42]. Ecuaţia liniară Schrödinger 1-d într-un interval, perturbată cu un termen de vâscozitate a fost studiată. S-a demonstrat că pentru orice timp independent de parametru mic şi pentru orice dată iniţială într-un spaţiu bine ales, există o familie de controale uniform mărginită ce acţionează întro extremitate a intervalului. Orice limită slabă a acestei familii de controale este un control pentru ecuaţia Schrödinger. Metodologia folosită este similară cu cea utilizată în prima parte a Capitolului al 2-lea. O altă direcţie de cercetare a acestei teze, este dată de probleme de control în timp optimal şi sunt discutate în prima parte a Capitolului al 3-lea. Ecuaţiile cu derivate parţiale parabolice liniare şi proprietatea de bang-bang (norma este constantă) a controalelor corespunzătoare au fost intens studiate în ultimale decade începand cu lucrările lui Fattorini [20, 21, 22] şi cărţile lui Lions [35, 36, 37]. Proprietatea de bang-bang a controalelor în timp optimal a fost rapid demonstrată pentru operatori inversabili (ceea ce înseamnă de fapt că acţiunea controlului se desfăsoară pe întregul domeniu unde ecuaţia parabolică este considerată). Unul din primele rezultate din Capitolul al 3-lea spune că pentru ecuaţia căldurii controalele la frontieră în timp optimal au proprietatea de bangbang, cel puţin în domeniile rectangulare sau sferice [43, 44]. Acest rezultat a fost demonstrat combinând strategia Lebeau-Robbiano pentru controlabilitatea la zero şi estimări ale costului controlului în timp mic pentru sisteme parabolice, de pe o parte, şi o inegalitate de tip Remez pentru spaţiile Müntz şi o generalizare a inegalităţii Turán, pe de altă parte. În cele ce urmează vom descrie relevanţa unei astfel de probleme. În cazul controlului la frontieră proprietatea de bang-bang a fost prima dată stabilită de Schmidt [68], impunând o condiţie asupra target-ului (ţintei). În cazul ecuaţiei căldurii în 1-d, această condiţie restrictivă a fost eliminată de către Mizel şi Seidman în [50], folosind rezultatele lui Borwein şi Erdelyi [2, 3]. Mai târziu, strategia introdusă de Lebeau si Robbiano în [34] este adaptată în [76] pentru stabilirea proprietăţii de bang-bang pentru controalele interioare în timp optimal. Strategia folosită în [76] nu pare să se poată aplica în cazul controlului la frontieră. Rezultatele obtinute în [76] au fost recent extinse de Phung şi Wang [61] la un sistem modelat de ecuaţia căldurii 7

8 8 perturbate cu controale interioare. În cazul în care spaţiul ţintă este o bilă deschisă, şi nu un punct, problema controlului în timp optimal, cu controlul distribuit în interiorul domeniului şi cu constrângeri punctuale asupra controlului, a fost studiată de Kunisch şi Wang [33]. Principalele instrumente folosite sunt date de principiul de maxim al lui Pontryagin şi o proprietate de tip special ce priveşte măsura unei mulţimi unde o soluţie netrivială a ecuaţiei căldurii se anulează. Principala noutate din [43] constă în arătarea faptului că în cazul domeniilor rectangulare multidimensionale proprietatea de bang-bang are loc pentru controalele în timp optimal ale ecuaţiei căldurii. Singura condiţie impusă punctelor ţintă este ca acestea sa fie atinse în timp finit. Metodologia folosită este inspirată de ideea prezentată de Tenenbaum şi Tucsnak [71, 72], unde binecunoscuta inegalitate Turán a fost folosită în teoria controlului. Cele mai importante ingrediente folosite în [43] sunt date de o generalizare a inegalităţii lui Nazarov, inegalitatea lui Turán şi rezultatele obţinute pe spaţiile Müntz de către Borwein şi Erdelyi [2, 3]. Mai precis, strategia folosită în [43] este următoarea. Vom demonstra o condiţie suficientă pentru existenţa, unicitatea si proprietatea de bang-bang a controalelor în timp optimal. Strategia Lebeau-Robbiano este adaptată pentru demonstrarea L controlabilităţii la zero într-o mulţime de măsură pozitivă. Principala noutate în acest context este dată de înlocuirea condiţiei impusă de strategia Lebeau-Robbiano asupra observabilităţii unor combinaţii finite de vectori proprii cu o condiţie de observabilitate a sistemului dinamic trunchiat la un număr finit de moduri. Această condiţie nouă depinde de timp şi este în general mai slabă decât observabilitatea combinaţiilor finite de vectori proprii. Folosind ideea lui Nazarov [51], vom da o estimare asupra combinaţiilor finite de funcţii proprii ale Laplaceanului în domeniile rectangulare. În final vom combina rezultatele obţinute în [1, 2] pentru funcţii exponenţiale definite pe mulţimi măsurabile cu rezultatele descrise mai sus. Mergând mai departe către probleme de controlabilitate mai complicate, în partea a doua a Capitolului al 3-lea vom studia sistemele hibride, ce sunt sisteme complexe compuse din structuri şi materiale de diferite tipuri si cu proprietăţi speciale, care evoluează şi interactionează impreună. Aceste sisteme au fost introduse acum câteva decade în urmă pentru a descrie evoluţia structurilor complexe. Din punct de vedere matematic, un sistem hibrid cuplează cateva ecuaţii cu derivate parţiale cu ecuaţii diferenţiale ordinare.

9 9 Câteva sisteme interesante ce modelează mari antene satelit, interacţiunea fluid-structură [17, 45, 46], mişcarea unui corp într-un fluid [14, 17, 67] şi multe altele au fost introduse şi analizate. În consecintă, studiul proprietăţilor de comportament asimptotic, compactitate a traiectoriilor, aproximare numerică şi controlabilitate este mult mai dificil. Pentru unele sisteme hibride neliniare, datorită legăturilor complexe dintre componente, chiar şi existenţa, unicitatea şi stabilitatea soluţiilor sunt probleme deschise. În acest context, studiul ecuaţiilor ce modelează mişcarea unor corpuri rigide într-un lichid vâscos incompresibil a devenit o arie de cercetare extrem de intensă în ultimii ani [14, 17, 67, 69]. În [13] considerăm un model 1-d pentru interacţiunea fluid-solid ce a fost introdus de Vasquez şi Zuazua în [74, 75]. În aceste articole autorii studiază existenţa globală a soluţiilor şi comportamentul lor asimptotic. Mai tarziu, problema controlabilităţii la frontieră pentru acest sistem a fost studiată de Doubova şi Fernandez-Cara [19]. S-a demonstrat controlabilitatea la zero a sistemului cuplat folosind controale ce acţionează la ambele capete ale domeniului. Metodologia folosită în [19], combină estimări Carleman globale şi tehnici de punct fix şi a fost extinsă la cazul 2-d de Imanuvilov şi Takahashi [31], Boulakia şi Osses [4]. Principala problemă rămasă deschisă în cazul 1-d studiată în [19] constă în demonstrarea controlabilităţii la zero atunci cand controlul actionează la un singur capăt. Un răspuns pozitiv la această întrebare a fost dat de Liu, Takahashi şi Tucsnak [39] combinând tehnici de analiză spectrală şi noi metode de punct fix. În [13] considerăm o masă punctuală într-un recipient umplut cu fluid. Fluidul este modelat de ecuaţia cu vâscozitate de tip Burger, iar masa punctuală verifică legea a doua a lui Newton. Noutatea este dată de faptul că variabila de control acţionează asupra masei punctuale. Rezultatul principal afirmă că pentru orice dată iniţială există un interval de timp şi un control astfel încât la finalul procesului de control masa punctuală atinge un punct arbitrat de apropiat de ţinta fixată, în timp ce vitezele fluidului şi ale masei punctuale sunt conduse exact la zero. Acest rezultat are loc fără ca datele iniţiale să fie mici. Controlabilitatea acestor modele poate implica faptul că apa dintr-o piscină

10 10 poate fi controlată de forţe ce acti onează doar asupra unui înotator ce se mişcă în piscină. Din punct de vedere aplicativ, strategia de control obţinută poate fi folosită pentru mişcarea submarinelor sau platformelor petroliere. Vom considera deci, modelul simplificat deja studiat în [19] şi [39], dar problema de control este una diferită. Avem deci de a face cu dificultăţi legate de caracterul neliniar al problemelor cuplate sau cu cele specifice problemelor de control punctual, având aici o mare problemă cu existenţa punctelor nodale. Pentru a depăşi efectul punctelor nodale vom folosi actuatori în mişcare Khapalov [32] sau Castro şi Zuazua [9] (vezi de asemenea Demetriou şi Hussein [16], Rosier şi Zhang [62], Chavez-Silva, Rosier şi Zuazua [10] pentru probleme ce presupun actuatori distribuiţi în mişcare). Strategia folosită în [13] constă în trei paşi principali. Primul se bazează pe alegerea unui control feedback pentru care funcţiile Lyapounov corespunzătoare sunt descrescătoare de-a lungul traiectoriilor sistemului în bucla închisă obţinută. Această strategie poate fi adaptată pentru a obţine rezultate de stabilizare pentru modelul tridimensional complet, ce apare în ecuaţiile Navier-Stokes (vezi [70]). Al doilea pas constă în demonstrarea faptului că legea de tip feedback propusă duce sistemul arbitrar de aproape de ţinta finală. Acest lucru este realizat folosind o funcţie Liapunov potrivită şi rezultate de compactitate ale traiectoriilor şi de tip Barbălat. Ultimul pas, cel mai complex din punct de vedere tehnic, constă în demonstrarea controlabilităţii exacte către un punct de echilibru, pentru date iniţiale mici. Pentru a arăta acest rezultat de controlabilitate vom face o schimbare de variabilă pentru a fixa domeniul şi liniarizăm sistemul în jurul ţintei fixate. Vom demonstra în [13] că există ţinte pentru care sistemul liniarizat nu este exact controlabil către starea finală. Dacă ţinta este aleasă intro mulţime densă de numere iraţionale, suntem în măsură să demonstrăm că putem duce exact corpul în starea finală. Acest lucru este realizat prin transformarea problemei de controlabilitate într-o problemă de momente şi prin scrierea soluţiei explicite cu ajutorul unei familii de biortogonale. Alegerea particulară a stării finale ne permite să obţinem estimări ale costului controlului. Pentru a trece de la problema liniară la problema neliniară vom folosi o metodă de punct fix şi o tehnică recent introdusă în [39] pentru

11 controlul sistemelor parabolice cu termeni neomogeni. Densitatea mulţimii ţintelor atinse implică controlabilitatea aproximativă a poziţiei corpului. Remarcăm că timpul de controlabilitate poate fi foarte mare, depinzând de data iniţială ce se doreşte a fi controlată. Obţinerea unui timp de control ce este uniform pentru toate datele iniţiale din spaţiul de energii pare a fi ceva greu de admis. Acest lucru este sugerat de faptul că în cazul ecuaţiei Burger controlabilitatea uniformă în timp nu are loc pentru un control la frontieră (vezi [24, Theorem 6.4, p. 61] or [23]). Câteva experimente numerice legate de aceste rezultate pot fi găsite în [12], iar rezultate similare pe axa reală au fost prezentate în [11]. În Capitolul al 4-lea prezentăm rezultate de analiză convexă folosind conceptele de majorizare şi relativ convexitate. Conceptul de majorizare apare în anul 1905, când Max Lorenz propune o metodă grafică de a modela diferenţele sociale într-o populaţie. Mai târziu, Dalton (1920) şi Hardy-Littlewood-Polya (1927, 1934) arată câteva proprietăţi de optimizare ale acestui concept, care vor duce la noţiunea de funcţie Schur-convexă. Aplicaţiile majorizării în reţele de comunicaţie 4G sunt legate de transmisia datelor de dimensiuni mari, unde interferenţele dintre diferite link-uri creează o ştrangulare a transmisiei datelor. Ameliorări importante au fost obţinute atunci când puterea optimală de distribuţie este privită ca o problemă de optimizare neliniară cu constrângeri non-convexe. Această problemă a fost rezolvată prin identificarea unei structuri Schurconvexe în funcţia obiectiv. Poate fi arătat că puterea de alocare optimă este binară, în sensul că datele trebuie transmise cu putere maximă sau nu trebuie trimise (aceeaşi idee apare şi în teoria controlului la controalele switch sau bang-bang). Abordarea noastră a problemelor de optimizare începe cu studiul conceptului de majorizare în spaţiile metrice ce au curbura globală negativă, numite spaţii globale NPC. În afară de spaţiile Hilbert, alte exemple de spaţii globale NPC sunt date de construcţiile Bruhat-Tits, în particular arborii. În acest sens, mentionăm că inegalitatea Ky-Fan, teoremele de punct fix ale lui Schauder şi Schaeffer şi teorema de majorizare Hardy-Littlewood-Polya au fost extinse în contextul spaţiilor globale NPC [53, 54, 55, 57]. Noţiunea de majorizare în spaţiile globale NPC a fost introdusă cu succes în [57], iar aplicaţii ale majorizării în cazul arborilor ce pot modela distribuţia 11

12 12 optimală în reţelele de comunicaţie de mare performantă sunt considerate. Mai multe detalii pot fi găsite în [52, 63, 64, 65]. O altă idee semnificativă în acest domeniu este dată de ideea obţinerii unui nou concept mai slab de relativ Schur-convexitate, inspirată de noţiunea de relativ convexitate introdusă recent în [58] şi [59]. În aceste lucrări a fost introdus conceptul de convexitate într-un punct relativ la o submulţime convexă a domeniului de definiţie. Acest lucru face ca inegalitatea lui Jensen să aibă loc pentru o clasă mult mai largă de funcţii non-convexe şi aduce o nouă lumină asupra teoremei de majorizare Hardy-Littlewood-Polya. Ceea ce vom avea în vedere în continuare este utilizarea noţiunii de relativ convexitate pentru a demonstra inegalitatea de min-max de tip Ky-Fan şi teoreme de punct fix pentru domenii şi funcţii ce verifică condiţii mai slabe de relativ convexitate, chiar şi în contextul spaţiilor globale NPC. Menţionăm că noţiunea de punct de relativ convexitate ne permite să considerăm funcţii care sunt chiar şi concave într-o zonă a domeniului de definiţie. Precizăm că au fost deja utilizate cu succes noţiuni mai slabe de convexitate în studiul existenţei şi unicităţii soluţiilor ecuaţiilor cu derivate parţiale [56], prin introducerea unor clase de funcţii convexe generalizate. Aşadar, unul din scopurile auxiliare este să folosim ipoteze de convexitate mai slabe pentru a studia ecuaţiile cu derivate parţiale. Este important să precizăm că întregul Capitol al 4-lea poate fi văzut ca un prim pas în direcţia optimizării chiar şi din punctul de vedere al teoriei controlului. Putem folosi aceste concepte mai slabe pentru a studia probleme de control ale ecuaţiilor cu derivate parţiale în domenii mai generale sau ce conţin clase mai generale de neliniarităţi. Capitolul al 5-lea al acestei teze conţine prezentarea unor direcţii de cercetare ce vor fi abordate de autor în anii ce vor urma. Sunt prezentate probleme deschise ce pot completa rezultatele obţinute până acum, dar şi probleme ce pot deschide noi direcţii de cercetare de mare impact.

13 Bibliography [1] S. A. Avdonin and S. A. Ivanov, Families of exponentials. The method of moments in controllability problems for distributed parameter systems, Cambridge University Press, [2] P. Borwein and T. Erdelyi, Generalizations of Müntz s theorem via a Remez-type inequality for Müntz spaces, J. Amer. Math. Soc., 10 (1997), pp [3] P. Borwein and T. Erdélyi, A Remez-type inequality for non-dense Müntz spaces with explicit bound, J. Approx. Theory, 93 (1998), pp [4] M. Boulakia and A. Osses, Local null controllability of a twodimensional fluid-structure interaction problem, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 14 (2008), pp [5] I. F. Bugariu, N. Cindea, S. Micu, and I. Rovenţa, Controllability of the space semi-discrete approximation for the beam equation, Preprints of the 19th World Congress of The International Federation of Automatic Control Cape Town, South Africa, published by Elsevier and The International Federation of Automatic Control on IFAC- PapersOnLine, (2014), pp [6] I. F. Bugariu, S. Micu, and I. Rovenţa, Approximation of the controls for the beam equation with vanishing viscosity, Mathematics of Computation, published online at (2015). [7] I. F. Bugariu and I. Rovenţa, Small time uniform controllability of the linear one dimensional schrodinger equation with vanishing viscosity, Journal of Optimization Theory and Applications, 160 (2014), pp

14 14 BIBLIOGRAPHY [8] C. Carthel, R. Glowinski, and J.-L. Lions, On exact and approximate boundary controllability for the heat equation: A numerical approach, 82. [9] C. Castro and E. Zuazua, Unique continuation and control for the heat equation from an oscillating lower dimensional manifold, SIAM J. Control Optim., 43 (2004/05), pp (electronic). [10] F. W. Chaves-Silva, L. Rosier, and E. Zuazua, Null controllability of a system of viscoelasticity with a moving control, J. Math. Pures Appl. (9), 101 (2014), pp [11] N. Cindea, S. Micu, I. Rovenţa, and M. Tucsnak, Controllability of a nonlinear hybrid system, Annals of the University of Craiova - Mathematics and Computer Science Series, 38 (2011), pp [12], Numerical aspects and controllability of a one dimensional fluidstructure model, Ist IFAC Workshop on Control of Systems Governed by Partial Differential Equations, published by Elsevier and The International Federation of Automatic Control on IFAC-PapersOnLine, ISSN , International Program Committee Chair: Meurer, Thomas, Zuazua, Enrique, Conference Editor: Le Gorrec, Yann (FEMTO-ST, ENSMM, France) ISBN: DOI: / FR , (2013), pp [13], Particle supported control of a fluid-particle system, Journal de Mathmatiques Pures et Appliques, (2015, doi: /j.matpur ). [14] M. Conca, J. San Martin, and M. Tucsnak, Existence of solutions for the equations modelling the motion of a rigid body in a viscous fluid, Comm. Partial Differential Equations, 25 (2000), pp [15] J.-M. Coron and S. Guerrero, Singular optimal control: a linear 1-d parabolic-hyperbolic example, Asymptot. Anal., 44 (2005), pp [16] M. A. Demetriou and I. I. Hussein, Estimation of spatially distributed processes using mobile spatially distributed sensor network, SIAM Journal on Control and Optimization, 48 (2009), pp [17] B. Desjardins and M. Esteban, Existence of weak solutions for the motion rigid bodies in a viscous fluid, Arch. Rat. Mech. Anal., 146 (1999), pp

15 BIBLIOGRAPHY 15 [18] R. J. DiPerna, Convergence of approximate solutions to conservation laws, Arch. Ration. Mech. Anal., 82 (1983), pp [19] A. Doubova and E. Fernandez-Cara, Some control results for simplified one-dimensional models of fluid-solid interaction, Mathematical Models & Methods in Applied Sciences, 15 (2005), pp [20] H. O. Fattorini, Time-optimal control of solutions of operational differenital equations, J. Soc. Indust. Appl. Math. Ser. A Control, 2 (1964), pp [21] H. O. Fattorini and D. L. Russell, Exact controllability theorems for linear parabolic equations in one space dimension, Arch. Ration. Mech. Anal., 43 (1971), pp [22] H. O. Fattorini and D. L. Russell, Uniform bounds on biorthogonal functions for real exponentials with an application to the control theory of parabolic equations, Quart. Appl. Math., 32 (1974/75), pp [23] E. Fernández-Cara and S. Guerrero, Null controllability of the Burgers system with distributed controls, Systems Control Lett., 56 (2007), pp [24] A. V. Fursikov and O. Y. Imanuvilov, Controllability of evolution equations, vol. 34 of Lecture Notes Series, Seoul National University, Research Institute of Mathematics, Global Analysis Research Center, Seoul, [25] O. Glass, A complex-analytic approach to the problem of uniform controllability of a transport equation in the vanishing viscosity limit, Journal of Functional Analysis, 258 (2010), pp [26] R. Glowinski, C. H. Li, and J.-L. Lions, A numerical approach to the exact boundary controllability of the wave equation (i). dirichlet controls: Description of the numerical methods, Japan J. Appl. Math., 7 (1990), pp [27] R. Glowinski and J.-L. Lions, Exact and approximate controllability for distributed parameter systems, Acta Numer., (1996), pp [28] L. Ignat and E. Zuazua, Dispersive properties of a viscous numerical scheme for the schrödinger equation, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I, 340 (2005), pp

16 16 BIBLIOGRAPHY [29] L. Ignat and E. Zuazua, Dispersive Properties of Numerical Schemes for Nonlinear Schrödinger Equations, Foundations of Computational Mathematics, Santander 2005, London Mathematical Society Lecture Notes, 331, L. M. Pardo et al. eds, Cambridge University Press, [30], Numerical dispersive schemes for the nonlinear schrödinger equation, SIAM J. Numer. Anal., 47 (2009), pp [31] O. Imanuvilov and T. Takahashi, Exact controllability of a fluidrigid body system, J. Math. Pures Appl. (9), 87 (2007), pp [32] A. Khapalov, Mobile point controls versus locally distributed ones for the controllability of the semilinear parabolic equation, SIAM J. Control Optim., 40 (2001), pp (electronic). [33] K. Kunisch and L. Wang, Time optimal control of the heat equation with pointwise control constraints, preprint, (2011). [34] G. Lebeau and L. Robbiano, Contrôle exact de l équation de la chaleur, Comm. Partial Differential Equations, 20 (1995), pp [35] J.-L. Lions, Contrôle optimal de systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles, Avant propos de P. Lelong, Dunod, Paris, [36] J.-L. Lions, Controlabilité exacte, stabilisation et perturbations des systèmes distribués, Vol. 1, Masson, Paris, [37] J.-L. Lions and E. Magenes, Problèmes aux limites non homogènes et applications. Vol. 1, Travaux et Recherches Mathématiques, No. 17, Dunod, Paris, [38] P. L. Lions, On the existence of positive solutions of semilinear elliptic equations, SIAM Rev., 24 (1982), pp [39] Y. Liu, T. Takahashi, and M. Tucsnak, Single input controllability of a simplified fluid-structure interaction model, ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 19 (2013), pp [40] S. Micu, Uniform boundary controllability of a semi discrete 1 d wave equation, Numer. Math., 91 (2002), pp [41], Uniform boundary controllability of a semi discrete 1 d wave equation with vanishing viscosity, SIAM J. Cont. Optim., 47 (2008), pp

17 BIBLIOGRAPHY 17 [42] S. Micu and I. Rovenţa, Uniform controllability of the linear one dimensional schrödinger equation with vanishing viscosity, ESAIM: COCV, 18 (2012), pp [43] S. Micu, I. Rovenţa, and M. Tucsnak, Time optimal boundary controls for the heat equation, Journal of Functional Analysis, 263 (2012), pp [44] S. Micu and L. Temereancă, A time optimal boundary controllability problem for the heat equation in a ball, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 144 (2014), pp [45] S. Micu and E. Zuazua, Boundary controllability of a linear hybrid system arising in the control of noise, SIAM J. Control Optim., 35 (1997), pp (electronic). [46], Asymptotics for the spectrum of a fluid/structure hybrid system arising in the control of noise, SIAM J. Math. Anal., 29 (1998), pp (electronic). [47] L. Miller, The control transmutation method and the cost of fast controls, SIAM J. Control Optim., 45 (2006), pp (electronic). [48], On the controllability of anomalous diffusions generated by the fractional Laplacian, Math. Control Signals Systems, 18 (2006), pp [49] L. Miller, Resolvent conditions for the control of unitary groups and their approximations, Journal of Spectral Theory, 2 (2012), pp [50] V. J. Mizel and T. I. Seidman, An abstract bang-bang principle and time-optimal boundary control of the heat equation, SIAM J. Control Optim., 35 (1997), pp [51] F. L. Nazarov, Local estimates for exponential polynomials and their applications to inequalities of the uncertainty principle type, Algebra i Analiz, 5 (1993), pp [52] P. Neff, I. Rovenţa, and C. Thiel, New logarithm inequalities and applications to elasticity, work in progress, (2015). [53] C. P. Niculescu and I. Rovenţa, Fan s inequality in the context of M p -convexity, in vol. Applied Analysis and Differential Equations, Proc. ICAADE 2006 (Ovidiu Carja and Ioan I. Vrabie editors), pp , World Scientific, Singapore, 2007.

18 18 BIBLIOGRAPHY [54], Fan s inequality in geodesic spaces, Applied Mathematics Letters, 22 (2009), pp [55], Schauder fixed point theorem in metric spaces with non-positive curvature, Fixed Point Theory and Applications, 2009 (2009), pp. article ID , 8 pages, doi: /2009/ [56], Generalized convexity and the existence of finite time blow-up solutions for an evolutionary problem, Nonlinear Analysis - Theory Methods and Aplications, 75 (2012), pp [57], An approach of majorization in spaces with a curved geometry, J. Math. Anal. Appl., 411 (2014), pp [58], Relative schur-convexity on global npc-spaces, Mathematical Inequalities and Applications, 18 (2015), pp [59], Relative convexity and its applications, Aequationes Mathematicae, (2015, DOI: /s x). [60] R. E. A. C. Paley and N. Wiener, Fourier Transforms in Complex Domains, AMS Colloq. Publ., Vol. 19, Amer. Math. Soc., New-York, [61] K. D. Phung and G. Wang, An observability estimate for parabolic equations from a measurable set in time and its applications, to appear in JEMS. [62] L. Rosier and B.-Y. Zhang, Unique continuation property and control for the Benjamin-Bona-Mahony equation on a periodic domain, J. Differential Equations, 254 (2013), pp [63] I. Rovenţa, A note on schur-concave functions, Journal of Inequalities and Applications, 2012, No. 1 (2012:159), pp. DOI: / X [64], The convex functions on the spiders, Proceedings of the Joint International Conference of Doctoral and Post-Doctoral Researchers, Craiova (2014). [65], Hardy-littlewood-polya s inequality and a new concept of weak majorization, Mediterranean Journal of Mathematics, (2015), pp. DOI: /s

19 BIBLIOGRAPHY 19 [66] D. L. Russell, A unified boundary controllability theory for hyperbolic and parabolic partial differential equations, Stud. Appl. Math., 52 (1973), pp [67] J. San Martin, V. Starovoitov, and M. Tucsnak, Global weak solutions for the two dimensional motion of several rigid bodies in an incompressible viscous fluid, Arch. Rat. Mech. Anal., 161 (2002), pp [68] E. J. P. G. Schmidt, The bang-bang principle for the time-optimal problem in boundary control of the heat equation, SIAM J. Control Optim., 18 (1980), pp [69] D. Serre, Chute libre d un solide dans un fluide visqueux incompressible, Japan J. Appl. Math., 4 (1987), pp [70] T. Takahashi, M. Tucsnak, and G. Weiss, Stabilization of a fluidrigid body system. Oct [71] G. Tenenbaum and M. Tucsnak, New blow-up rates for fast controls of Schrödinger and heat equations, J. Differential Equations, 243 (2007), pp [72] G. Tenenbaum and M. Tucsnak, On the null-controllability of diffusion equations, ESAIM: COCV, (2011). [73] M. Tucsnak and G. Weiss, Observation and control for operator semigroups, Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher. [Birkhäuser Advanced Texts: Basel Textbooks], Birkhäuser Verlag, Basel, [74] J. L. Vázquez and E. Zuazua, Large time behavior for a simplified 1D model of fluid-solid interaction, Comm. Partial Differential Equations, 28 (2003), pp [75], Lack of collision in a simplified 1-dimensional model for fluid-solid interaction, M3AS, 16 (2006), pp [76] G. Wang, L -null controllability for the heat equation and its consequences for the time optimal control problem, SIAM J. Control Optim., 47 (2008), pp [77] E. Zuazua, Propagation, observation, and control of waves approximated by finite difference methods, SIAM Rev., 47 (2005), pp