PROBLEME PRIVIND INSTABILITATEA UNOR CALCULE ALE MECANISMELOR

Transcriere

1 INSTABILITĂŢI DE CALCUL LA ANALIZA DIADEI RRR s.l. univ. dr. ing. Valentina MANEA s.l.univ.dr.ing. Raluca GRASU Rezumat. Se studiază instabilităţile de calcul care apar la analiza diadei RRR, cauzate de egalitatea unor coordonate care conduc la un numitor nul într-o expresie matematică. Se arată cum se pot evita aceste instabilităţi: prin trecerea peste poziţiile critice prin salturi introduse în program, sau prin schimbarea algoritmului de calcul, evitând anularea vreunui numitor. Cuvinte cheie: analiza mecanismelor, diada RRR, instabilitate calcul 1. Introducere În tratatele de motoare termice sunt analizate situaţiile care apar în poziţiile de punct mort ale mecanismului bielă-manivelă. Se constată că în acele poziţii există discontinuităţi în calcul, rezultând că mecanismul se blochează. În realitate, din cauza inerţiei şi cu ajutorul volantului se trece prin aceste puncte (deci din considerente dinamice). Alte situaţii şi alte soluţii în asemenea cazuri sunt prezentate în [Dudiţă]. Instabilităţi de calcul apar de exemplu şi la rezolvarea unor ecuaţii diferenţiale cu metoda diferenţelor finite [Briggs]. În [Masurekarm] se studiază instabilitatea mecanismului patrulater articulat care, la viteze mari, vibrează din cauza elasticităţii elementelor, considerate uzual în calcule ca fiind rigide. Se stabilesc vitezele critice de la care intervine instabilitatea în calcule, materializată în practică prin vibraţii. O situaţie similară este semnalată la calculul unor turbine, când mici abateri ale unor parametri de intrare produc instabilităţi [Heinz]. Mai jos se studiază instabilităţi de calcul în cazul didei RRR. 2. Poziţiile diadei RRR S-a plecat la acest studiu cu analizarea subrutinei de calcul a diadei RRR, prin metoda distanţelor. Pentru diada RRR (fig. 1), se scriu relaţiile: 1

2 Fig. 1. Diada RRR 2 2 ( xc xb ) ( yy C B) c 2 2 ( xc xd ) ( yy C D) d După dezvoltarea acestor ecuaţii şi scăderea lor, se obţine: ux 1 u 2( x 1 u 2 C uy 2 B 2( y C B u 0 x 3 D y ) D ) ucdxyxy B B D D Se explicitează yc : y u ux 3 1 C C u2 În program, când yb este foarte apropiate de yd, numitorul lui u2 este egal cu zero iar yc tinde spre infinit. Programul indică eroare matematică şi se pleacă mai departe cu valori eronate. S-a lucrat cu datele următoare: xb=20; yb=20; xd=60; yd =0 40; c=35; d=45. În tabelul 1 se observă cum la yd = 20 apare o eroare matematică. Tabelul 1 YD XC YC E E

3 La reprezentarea grafică din fig. 2 nu se observă saltul, deoarece pentru a nu se bloca programul s-a prevăzut o instrucţiune de salt peste această zonă, dar se vede că s-au semnalat erorile apărute. Fig. 2. Poziţii succesive ale diadei S-a lucrat apoi cu pas mai fin în jurul punctului critic. Rezultatele se arată în fig. 3 şi în tabelul 2. 3

4 Fig. 3. Salturi ale lui yc Tabelul 2 YD XC YC Se constată următoarele: 4

5 - la punctul critic, conform tabelului 2, are loc un salt al valorilor, iar apoi se trece la valori negative (cealaltă poziţie a diadei); - saltul se observă şi în poziţiile diadei din fig. 4; - în diagrama din fig. 3, xc are modificări lente, în timp ce yc are, în punctul critic, un salt brusc spre valorile negative. x Fig. 4. Trecerea la a doua soluţie posibilă 3. Modificarea subrutinei S-a reluat ecuaţia de mai sus şi s-a explicitat xc : u uy 3 2 C C u1 unde u1 depinde de xb şi xc, coordonate mai rar egale. În acest mod s-a evitat saltul din punctul critic (din varianta precedentă). Diagrama rezultată este dată în fig. 5 (diferă de cea din fig. 3 prin lipsa saltului), iar rezultatele numerice se arată în tabelul 3. 5

6 Fig. 5. Curbele corecte, fără salturi Tabelul 3 YD XC YC Poziţiile diadei pentru acest scurt interval se arată în fig. 6. 6

7 Fig. 6. Poziţiile succesive Pentru întregul interval ales iniţial (yd = 0 40) s-a obţinut diagrama din fig. 7 şi imaginea cu poziţiile succesive din fig. 8. Fig. 7. Curbele complete 7

8 Fig. 8. Poziţiile succesive pentru ciclul considerat Se constată că în acest mod s-a evitat instabilitatea de calcul. 4. Alt caz de instabilitate de calcul Subrutina diadei RRR se mai foloseşte şi în cazul unor elemente tip placă, la care se cunosc poziţiile a două puncte şi se obţine al treilea punct. Astfel, în fig. 9 se cunosc poziţiile punctelor B, D şi se cere poziţia lui C. Fig. 9. Alt caz de aplicare a relaţiilor de la diada RRR 8

9 În asemenea situaţii se poate ajunge la instabilităţi de calcul în cazul când cele 3 puncte tind să fie colineare sau chiar sunt colineare. S-a ciclat latura c astfel ca să se ajungă la poziţia când punctele B, D, C sunt colineare (în această ordine). S-a lucrat cu datele următoare: xb=20; yb=25; xd=60; yd =25; d=35; c= Din diagrama rezultată (fig. 10) se constată variaţii aproximativ liniare pentru xc curba de deasupra) şi variaţii mai accentuate ale curbei lui yc, pe măsură ce se apropie de zona critică, adică la c = (tabelul 4). După punctul critic, programul se blochează, menţinând constante ultimele valori. Fig. 10. Saltul şi menţinerea valorilor după salt Tabelul 4 c XC YC

10 Poziţiile elementului (cu o latură variabilă) se arată în fig

11 Fig. 11. Poziţii succesive şi blocarea pe abscisă Se constată că programul a afişat instabilitatea şi a menţinut ultima valoare constantă (linia dreaptă, paralelă cu abscisa). Pentru zona de interes s-a obţinut diagrama din fig. 12, unde se observă saltul. În fig. 13 se arată mai în detaliu zona saltului. Fig. 12. Saltul şi valori constante în continuare 11

12 Fig. 13. Zona instabilităţii 5. Concluzii - La calcularea, cu metode analitice transpuse în programe, a poziţiilor mecanismelor, apar instabilităţi de calcul. - Cauzele instabilităţilor se datoresc apariţiei la numitorul unei expresii a unui număr foarte mic şi chiar nul, astfel că expresia tinde spre infinit. - În zonele în care unele expresii tind spre infinit, se ajunge la creşteri bruşte ale valorilor, generându-se instabilitate numerică. - Rezolvarea acestor instabilităţi de calcul se poate face astfel: o se înlocuieşte subrutina respectivă cu alta care se bazează pe altă metodă de calcul; o se semnalează de la început că trebuie evitate acele zone care generează instabilităţi de calcul; o se urmăresc mereu rezultatele obţinute, astfel ca ele să fie în conformitate cu realitatea. Bibliografie 1. Briggs, W.L. ş.a. Focusing: a mechanism for instability of nonlinear equations. În: Journal of Computational Physics, vol. 51, Issue 1, july 1983, pg Dudiţă, Fl, Diaconescu, D., Gogu, Gr. Mecanisme articulate. Inventica. Cinematica, Editura Tehnică, Bucureşti, Heinz, B.P. A practical guide to steam turbine technology. McGraw-Hill, USA, Manea, V. Cercetări privind sisteme mecanice cu aplicabilitate în construcţii. Teză de doctorat, Univ. Craiova, Manea, I. V. Cotescu, A.M. Structura şi cinematica unor mecanisme utilizate în construcţii, Editura Matrix Rom, Bucureşti, Masurekarm V., Gupta, K.N. Stability analysis of four bar mechanism. În: Mechanism and Machine Theory vol. 23, Issue 5, 1988, pg Popescu, I. - Mecanisme. Noi algoritmi şi programe, Repr. Univ. Craiova,