Controlabilitatea locală a ecuaţiei difuziei într-o singură dimensiune Marius Beceanu 22 mai 2003 Rezumat Această lucrare stabileşte controlabilitatea

Transcriere

1 Controlabilitatea locală a ecuaţiei difuziei într-o singură dimensiune Marius Beceanu mai 003 Rezumat Această lucrare stabileşte controlabilitatea locală exactă nulă a ecuaţiei difuziei într-o singură dimensiune prin control distribuit, în cazul problemei Dirichlet la limită. Majoritatea metodelor folosite în cursul demonstraţiei sunt împrumutate din []. storicul problemei Controlul optimal este un capitol clasic al teoriei ecuaţiilor diferenţiale. Această teorie, ale cărei rezultate le voi folosi în lucrarea de faţă, este tratată în detaliu în cărţi precum [13]. În lucrarea sa de sinteză din 1978, Russell [14] discută controlabilitatea aproximativă şi exactă a ecuaţiilor de evoluţie, prin metoda controlului distribuit. El tratează, în particular, ecuaţia căldurii într-o singură dimensiune, atât în cazul problemei Dirichlet, cât şi în cazul condiţiilor la limită de tip mixt. Sunt trecute în revistă cazurile în care controlabilitatea aproximativă a fost dovedită, o metodă pentru a transforma orice astfel de problemă într-una de tip Dirichlet (datorată lui Seidman), precum şi legătura dintre controlabilitate şi observabilitate. Controlabilitatea exactă nulă a ecuaţiei căldurii într-o dimensiune (0.1) w t w xx + r(x)w = g(x)u(t) (unde u este controlul) este de asemenea demonstrată în cazul în care k N astfel încât ĝ(n) cn k. Demonstraţia se bazează pe dezvoltarea în serii Fourier. Alte rezultate sunt obţinute, de exemplu, de Fattorini ([8] demonstrează controlabilitatea nulă a ecuaţiei căldurii în mai multe dimensiuni, pentru un control exercitat pe frontiera unui paralelipiped), ori de Seidman, care publică în 1985 un articol ([15]) referitor la controlabilitatea exactă (nu neapărat nulă) pe frontieră a ecuaţiei căldurii intr-o singură dimensiune. 1

2 Controlabilitatea locală exactă a ecuaţiei difuziei într-o dimensiune La baza lucrării de faţă stă articolul lui Emanuilov (nume scris şi Ymanuvilov) din 1995, [7], unde acesta stabileşte controlabilitatea exactă a ecuaţiei parabolice cvasiliniare { L y + f(t, x, y) = g + u pe = [0, T ] Ω (0.) y [0,T ] Ω = 0, y(0, x) = v 0 (x), y(t, x) = 0. În această formulare, Ω este un domeniu mărginit în R n ; L y = y t i,j (A ijy xj ) xi + i B iy xi + Cy este un operator parabolic; controlul u satisface u L ([0, T ] ω) şi supp u [0, T ] ω, pentru o submulţime deschisă dată ω Ω; starea iniţială v 0 este luată în H 1 0 (Ω); termenul neliniar f îndeplineşte condiţiile f(t, x, 0) = 0 şi f(t, x, ξ 1 ) f(t, x, ξ ) k ξ 1 ξ, t, x, ξ 1, ξ. Autorul demonstrează controlabilitatea exactă nulă a ecuaţiei (0.) şi estimarea (ceva mai complicat formulată în articolul original) (0.3) y L ([0,T ];H (Ω) + y t L () + e sη y L () + u L () C( v 0 H 1 0 (Ω) + esη g L ()); η este o funcţie auxiliară definită de autor. Emanuilov foloseşte o inegalitate de tip Carleman cu privire la soluţia ecuaţiei liniare şi aplică teorema lui Schauder pentru a extinde rezultatul de controlabilitate astfel obţinut la problema neliniară. Rezultatul de mai sus şi metoda folosită au fost generalizate de către diverşi autori. Astfel, Barbu [4] demonstrează o versiune mai puternică a inegalitaţii lui Carleman pentru L q, q. Tot Barbu [3] arată că rezultatul precedent poate fi extins şi în cazul în care f(x, t, ξ) k 1 ξ ( ξ k + f 0 (x)),adică atunci când creşterea lui f este cel mult polinomială în y. În schimb, controlabilitatea astfel obţinută este locală (are loc numai pentru T < T 0 ). Fernandez-Cara şi Zuazua [9, 10] demonstrează controlabilitatea locală exactă a ecuaţiei parabolice semiliniare y t y+f(y) = m u, pentru f(s) < ks log s, precum şi un rezultat negativ ecuaţia poate fi necontrolabilă chiar pentru f de o creştere moderată ( f(s) s log +ɛ (1 + s ). Aceiaşi autori [5] demonstrează şi unele rezultate cu privire la neliniarităţi care cuprind gradientul şi abordează problema în cazul în care domeniul Ω este nemărginit. De fapt, o mare parte din rezultatele trecute în revistă sunt cuprinse în articolul [], care este principala sursă pe care am consultat-o pe parcursul scrierii acestei lucrări.

3 Marius Beceanu 3 1 Formularea problemei Să considerăm ecuaţia difuziei (1.1) y t (a(y)) xx = mu (x, t) = (0, T ) y(x, t) = 0 (x, t) Σ = (0, T ) y(x, 0) = y 0 x, unde = (i 1, i ) este un interval mărginit de numere reale şi m este funcţia caracteristică a unei submulţimi deschise ω a lui. Elipticitatea acestui operator este asigurată de condiţia 0 < µ a (x), x. Este de asemenea necesar să impunem condiţiile a (x), a (x) şi a (x) M < pentru stabilirea rezultatului de controlabilitate dorit. Se spune că ecuaţia (1.1) este exact nul controlabilă dacă există u L () astfel încât y(t ) 0, unde y C([0, T ]; L ()) este o solutie a ecuaţiei (1.1). Vom stabili mai întâi controlabilitatea ecuaţiei liniarizate (1.) y t (a (ỹ)y x ) x = m u (x, t) y(x, t) = 0 (x, t) Σ y(x, 0) = y 0 x, unde ỹ este o funcţie cu ỹ x, tỹ t L (), ỹ xt L () şi ỹ Σ = 0. În continuare vom nota a (ỹ) cu b. Pentru a stabili controlabilitatea ecuaţiei (1.), e suficient să demonstrăm o inegalitate de tip Carleman cu privire la problema duală (1.3) p t + (bp x ) x = g (x, t) p(x, t) = 0 (x, t) Σ p(x, T ) = p T x. Din păcate, o astfel de inegalitate rezolvă problema numai în cazul ecuaţiei liniarizate. Scopul final va fi să arătăm că putem egala ỹ cu y în (1.), deoarece astfel controlabilitatea acestei ecuaţii ar implica, de asemenea, controlabilitatea ecuaţiei difuziei (1.1). Vom ajunge la concluzia dorită prin intermediul teoremei de punct fix a lui Kakutani şi principiului lui Pontriaghin. Într-adevăr, impunând condiţii de regularitate suficient de tari pentru datele iniţiale (ca (a(y 0 )) xx, (y 0 ) x şi y 0 să aparţină lui L () şi să aibă norme suficient de mici), vom obţine că multifuncţia y = Φ(ỹ), unde y este o soluţie oarecare a ecuaţiei (1.), duce o submulţime compactă a lui L () în ea insăşi. Celelalte condiţii necesare pentru aplicarea teoremei lui Kakutani sunt imediat îndeplinite. Ultimul pas va fi să arătăm că putem renunţa la o parte din condiţiile privind datele iniţiale, folosind proprietaţile regularizante ale ecuaţiei difuziei. Mai precis, vom arăta că, pentru fiecare y 0 H 1 () de norma suficient de mică, ecuaţia difuziei este nul controlabilă.

4 4 Controlabilitatea locală exactă a ecuaţiei difuziei într-o dimensiune negalitatea lui Carleman În cele ce urmează vom considera funcţia a ca fiind fixată şi, în consecinţă, nu vom menţiona constantele µ şi M în mod explicit. În schimb, vom pune în evidenţa derivatele funcţiei ỹ acolo unde apar. În cursul demonstraţiei vom avea nevoie de Lema.1 Există o funcţie ψ C () astfel încât ψ(x) > 0 x, ψ(x) = 0 pe şi ψ x (x) > 0 x \ ω 0, unde ω 0 e o mulţime deschisă, ω 0. Demonstraţia este imediată (în [] sau în [7]) e prezentat cazul general, în n dimensiuni). Demonstraţie Să fixăm un punct x 0 ω; reamintim că = (i 1, i ) şi fie 1 cos( π x i 1 x 0 i 1 )e x0 i1 x i 1, x (i 1, x 0 ) ψ(x) = 1 cos( π x i x 0 i )e x0 i x i, x (i, x 0 ) 0 otherwise E uşor de verificat că ψ are toate proprietăţile menţionate. Putem lua ω 0 = [x 0 ɛ, x 0 + ɛ] ω pentru ɛ suficient de mic. În continuare vom folosi ψ şi ω 0 ω fixate, date de lema de mai sus. Pe deasupra, să definim, pentru λ > 0, funcţiile α şi φ : prin α(x, t) = eλψ(x) e λ ψ C(), φ(x, t) = eλψ(x) t(t t) t(t t). Să observăm că φ(x, t) c > 0, (x, t) şi e δα φ k C <, δ > 0, k. Acum putem să formulăm inegalitatea Carleman privitoare la ecuaţia (1.3). Demonstraţia de mai jos este, în mare parte, identică aceleia date de O. Yu. manuvilov în alt caz (a se vedea [11]). Teorema.1 Pentru orice soluţie p a problemei duale (1.3), cu b x L (), tb t L () ρ şi pentru orice λ λ 0 (ρ), s s 0 (λ), următoarea inegalitate are loc: e sα( s 3 φ 3 p + sφp x + s 1 φ 1 (p t + p xx) ) (.1) ( C(λ, ρ) e sα s 3 φ 3 p + ω e sα g ), unde C(λ, ρ) e o constantă independentă de p, g şi s, dar care poate depinde de ψ, λ sau ρ, iar ω = ω (0, T ).

5 Marius Beceanu 5 Demonstraţia teoremei.1 Această demonstraţie urmeaza pas cu pas aceea dată în [] teoremei 1..1 (inegalitatea lui Carleman pentru ecuaţia căldurii, pag ). Făcând substituţia z = e sα p în sistemul dual (1.3) obţinem (.) z t sα t z + (bz x ) x sλφψ x bz x + +(s λ φ ψ x sλ φψ x sλφψ xx )bz sλφψ x b x z = e sα g z(0) = z(t ) = 0 on z Σ = 0. Dacă notăm B(t)z = (bz x ) x (s λ φ ψ x + sλ φψ x)bz + sα t z X(t)z = sλ φψ xbz sλφψ x bz x Z(t)z = sλφψ x b x z + sλφψ xx bz ecuaţia poate fi rescrisă ca z t B(t)z + X(t)z = Z(t)z + e sα g. Atunci, pornind de la relaţia d B(t)z z dx = B(t)z t z + B(t)z z t + B t (t)z z dx dt = B(t)z ( B(t)z X(t)z + Z(t)z + e sα g ) dx + B t (t)z z dx şi integrând pe (0, T ) obţinem ( ) (.3) B(t)z + Y = B(t)z ( Z(t)z + e sα g ) B t (t)z z, unde Y = B X, adică Y = (sλφψ x bz x + sλ φψxbz) (.4) ( (bzx ) x + (s λ φ ψx + sλ φψx)bz sα t z ). Să evaluăm B t (t)z z = b t zx (s λ φ ψ xb + sλ φψ xb) t z + sα tt z. Fie γ(λ) = e λ ψ C() şi să luăm s γ(λ), λ λ 0. Pe deaspura, să notăm D(s, λ, z) = s 3 λ 3 φ 3 z + sλφzx.

6 6 Controlabilitatea locală exactă a ecuaţiei difuziei într-o dimensiune Pornind de la relaţia precedentă, ajungem imediat la (.5) B t (t)z z C(1 + φ 1 b t L ())D(s, λ, z). Mai mult, (.6) B(t)z(Z(t)z + e sα g) (B(t)z) + C(1 + φ 1 b x L ())D(s, λ, z) + C e sα g. Din (.3), (.5) şi (.6) obţinem (.7) Y C(1 + tb t L () + b x L () )D(s, λ, z) + C e sα g. Pe de altă parte, au loc urmatoarele estimări care conduc la o minorare a lui Y : (.8) (sλφψ x bz x + sλφψ x b x z)sα t z CD(s, λ, z) pentru s γ(λ); apoi, (.9) sλφψ x b x z sα t z C b x L () D(s, λ, z) şi (.10) (sλ φψxbz)sα t z CD(s, λ, z). Pe deasupra, (.11) sλ φψxbz (bz x ) x = sλ (φψ xbz) x bz x sλ φψxb zx C(1 + b x L ())D(s, λ, z).

7 Marius Beceanu 7 Mai mult, (.1) = În sfarşit, (.13) (sλφψ x bz x )(s λ φ ψ x + sλ φψ x)bz = (s 3 λ 3 φ 3 ψ 3 xb + s λ 3 φ ψ 3 xb ) x z (3s 3 λ 4 φ 3 ψ 4 x + s λ 4 φ ψ 4 x) b z C(1 + b x L ())D(s, λ, z). sλφψ x bz x (bz x ) x Σ sλφ dψ dν b z x dσ CD(s, λ, φ). De vreme ce ψ > 0 pe şi ψ = 0 pe, avem că dψ dν 0 şi, din acest motiv, sλφ dψ dν b zx dσ 0. Σ Combinând inegalităţile (.8), (.9), (.10), (.11), (.1) şi (.13), obţinem (.14) Y s 3 λ 4 φ 3 ψxb 4 z + sλ φψxb z C(1 + b x L ())D(s, λ, z) Din (.14) şi (.7) rezultă că s 3 λ 4 φ 3 ψxb 4 z + sλ φψxb z (.15) C(1 + tb t L () + b x L () )D(s, λ, z) + C C(ρ)D(s, λ, z) + C e sα g. e sα g Deoarece b µ şi ψ x c pe \ ω 0, făcând λ suficient de mare (λ C(ρ), de exemplu) rezultă că s 3 λ 4 φ 3 z + sλ φψxb z (.16) C(ρ) ω0 s 3 λ 4 φ 3 z + sλ φψxb z + C e sα g

8 8 Controlabilitatea locală exactă a ecuaţiei difuziei într-o dimensiune De aici putem găsi, prin exact aceleaşi metode folosite în [] (pag. 151), că e sα s 3 λ 4 φ 3 p + sλ φp x (.17) C(ρ) ω0 e sα s 3 λ 4 φ 3 p + sλ φp x + C e sα g. Să alegem χ C0 (ω) astfel încât χ = 1 pe ω 0. Dacă înmulţim ecuaţia (1.3) cu e sα χφp şi integrăm pe obţinem că e sα χφbp x = (e sα χφ) x bpp x + e sα χφpg + χ(e sα φ) t p C(1 + b x L ()) ω e sα s λ φ 3 z + C e sα g. În consecinţă, e sα s 3 λ 4 φ 3 p + sλ φp x C(ρ) ω e sα s 3 λ 4 φ 3 p + C e sα g. Putem spune, echivalent, că pentru λ λ 0 (ρ), s s 0 (λ) (.18) e sα s 3 φ 3 p + sφp x C(ρ, λ) e sα s 3 φ 3 p + C ω e sα g. Apoi, ridicând la pătrat ecuaţia (1.3), înmulţind-o cu e sα s 1 φ 1 şi integrând pe, obţinem (.19) e sα s 1 φ 1 (p t + (bp x ) x ) C e sα g. În acelaşi timp, e sα s 1 φ 1 p t (bp x ) x = (e sα φ 1 p t ) x bp x 1 (e sα φ 1 ) t p x 1 (.0) 1 e sα s 1 φ 1 p t C e sα s 1 φ 1 p t C sλ φp x. sλ φp x

9 Marius Beceanu 9 Din (.19) şi (.0) obţinem (.1) e sα s 1 φ 1 (p t + (bp x ) x) C e sα g + C sλ φp x. Combinând inegalităţile (.18) şi (.1) ajungem la rezultatul final e sα (s 3 φ 3 p + sφp x + s 1 φ 1 (p t + p xx) ( C(λ, ρ) e sα s 3 φ 3 p + ω e sα g ). Procedând ca în [] (Corolarul 1..1, pag. 145), se poate obţine urmatorul corolar: Corolarul.1 În condiţiile teoremei.1, următoarea inegalitate are loc: ( (.) p (0) dx C(s, λ, ρ) e sα s 3 φ 3 p + e sα g ), ω unde C(s, λ, ρ) e o constantă care nu depinde de p sau g. 3 Estimări pentru y Mai întâi, să notăm t = (0, t) şi f = mu. Astfel, problema (1.) poate fi rescrisă (3.1) y t (by x ) x = f (x, t) y(x, t) = 0 (x, t) Σ y(x, 0) = y 0 x, Vom demonstra câteva estimări referitoare la soluţia y a problemei (3.1). Înmulţind ecuaţia (3.1) cu y t şi integrând pe t obţinem ( ) yt d + dt by x(t) C f + b t yx, t t deci (3.) yt + sup t [0,T ] ( C C 0 ( t y x(t) dx yx(0) dx + yx(0) dx + T f + 0 t dt tb t L t () sup t [0,T ] f + tb t L () sup t [0,T ] ) yx(t) dx. ) yx(t) dx

10 10 Controlabilitatea locală exactă a ecuaţiei difuziei într-o dimensiune Făcând tb t L () suficient de mică ( tb t L () 1 C 0 ), din (3.) rezultă că y L ((0, T ); H0 1()) L () şi (3.3) y L () C sup t [0,T ] ( yx(t) dx C yx(0) dx + f ). Drept consecinţă a faptului că (by x ) x = y t f, obţinem din (3.3) de asemenea că ( (3.4) (by x ) x C yx(0) dx + f ). Înmulţind ecuaţia (3.1) cu (by x ) xt şi integrând pe t obţinem y t (by x ) xt (by x ) x (by x ) xt = f(by x ) xt, t t t şi din teorema lui Green (3.5) (by 1 xt + b t y x y xt ) + t Prin integrare prin părţi găsim f(by x ) xt = f(by x ) x dx t t 0 t + t d dt (by x) x = f(by x ) xt. t f t (by x ) x (f (0) + f (t)) dx + 1 ((by x ) 4 x(0) + (by x ) x(t)) dx + (by x ) x + t t 1 ((by x ) 4 x(0) + (by x ) x(t)) dx + (by x ) x + (ft + f ). t t Un calcul elementar ne arată de asemenea că 1 t y xt b t y x yxt + c b t (s) L 4c () ds sup s [0,T ] t t 0 1 yxt + C b xt L 4c () sup yx dx s [0,t] t y x dx Folosind estimările deja obţinute în egalitatea (3.5) ajungem la ( (3.6) byxt + (by x ) x(t) dx C (by x ) x(0) dx + (by x ) x+ t t + t (f t + f ) + b xt L () sup s [0,t] ) yx(0) dx. f t

11 Marius Beceanu 11 Luând în considerare (3.3) şi (3.4), pentru orice t [0, T ] e adevărat că ( (3.7) yxt + (by x ) x(t) dx C (by x ) x(0) dx + ft + + (1 + b xt L () ) ( yx(0) dx + f ) ). O consecinţă a acestei relaţii si a relaţiei (3.3) e că by x L ((0, T ); H 1 ()) L () şi (3.8) y x L () C ( (by x ) x(0) dx + f t + + (1 + b xt L () ) ( Derivând ecuaţia (3.1) în raport cu t, obţinem y tt (by tx ) x (b t y x ) x = f t. Înmulţind acest rezultat cu ty tt şi integrând pe t avem tytt + tby xt y xtt = t((b t y x ) x + f t )y tt ; t t t rezultă că ty 1 tt + t t ( d dt (tby xt) C tft + t(b t y x ) x + t yx(0) dx + Atunci, deoarece (b t y x ) x = b tx y x + b t y xx, ( ) t(b t y x ) x tb txyx + tb t yxx t C b xt L () y x L () + tb t L () Mai mult, e adevărat că t t f ) ). ) (tb t + b)yxt. t tb t yxt ds tb t s L () sup syxt(s) dx s [0,t] 0 C tb t L () sup tyxt(t) dx. t [0,T ] y xx.

12 1 Controlabilitatea locală exactă a ecuaţiei difuziei într-o dimensiune Rezultă că ( (3.9) ytt + sup tyxt(t) dx C 1 f t + y x L () b xt L () + t [0,T ] + tb t L () yxx + yxt + ) tb t L () sup tyxt(t) dx. t [0,T ] Pentru că by xx = (by x ) x b x y x, din (3.3) şi (3.4) trage concluzia ( yxx C(1 + b x L () ) yx(0) dx + f ). Folisind această inegalitate, împreună cu (3.8) şi (3.7), în (3.9), găsim (pentru orice b cu tb t L () 1 ytt + sup t [0,T ] ty xt(t) dx C ( C 1 ) f t + + ( b xt L () + tb t L () (1 + b x L () )) ( + (by x ) x(0) dx + f t + (1 + b xt L () ) ( care devine (reducând termenii asemenea) yx(0) dx + yx(0) dx + f )+ f ) ), ytt + sup t [0,T ] ty xt(t) dx C ( f t + + ( 1 + b xt L () + tb t L () (1 + b x L () ))( (by x ) x(0) dx+ yx(0) dx + f ) ). Drept consecinţă, ty t L ((0, T ); H 1 0 ()) L () (cu ty t L () C y xt L ((0,T );L ())). Întorcându-ne la ỹ (reamintim că b = a (ỹ)), să notăm că şi b x L () C ỹ x L (), tb t L () C tỹ t L () b xt L () C( ỹ x L () ỹ t L () + tỹ xt L ()) C ỹ x L ()(1 + tỹ xt L ()).

13 Marius Beceanu 13 Să ne reamintim de asemenea că f = mu. Combinând inegalităţile obţinute până acum şi renunţând la anumite distincţii neesenţiale ajungem la (3.10) y x L () + ty xt L () C(1 + ỹ x L () (1 + tỹ xt L () ( )) ) (by x ) x(0) + yx(0) dx + u t + u şi (3.11) ty t L () C(1 + tỹ t L () )(1 + ỹ x L () (1 + tỹ xt L () ( )) (by x ) x(0) + yx(0) dx + u t + u ), pentru toţi ỹ cu tỹ t L () C = 1 µ max( 1 1 C 0, C 1 ), unde C e o constantă care nu depinde de ỹ, u, or y. Comprimând aceste rezultate, ajungem, în cele din urmă, la (3.1) y x L () + ty t L () + ty xt L () C(1 + tỹ t L () ( ) (1 + ỹ x 4 L () + tỹ xt 4 L () ) (by x ) x(0) + yx(0) dx + u t + u ). 4 Optimizare şi rezultatul principal Acum suntem în stare să demonstrăm principala teoremă, mai întâi pentru y 0 într-o clasa mai restrânsă de funcţii, apoi pentru y 0 H 1 (). În cursul demonstraţiei vom folosi teorema lui Kakutani, care este enunţată în [6, pag. 11] astfel: Teorema 4.1 (Kakutani) Fie K o mulţime convexă şi compactă dintr-un spaţiu local convex X. Fie F : K K o multifuncţie superior semicontinuă cu valori nevide, închise şi convexe. Atunci există x 0 K cu x 0 F (x 0 ). Pe deasupra, vom folosi şi următoarea proprietate ([6, pag. 34]): Propoziţia 4.1 Fie F : X Y o multifuncţie cu valori nevide şi grafic închis. Dacă Y este spaţiu compact, atunci F este superior semicontinuă. Teorema 4. Pentru orice δ > 0 există η > 0 astfel încât, pentru fiecare y 0 L () cu (a(y 0 )) xx L () + (y 0 ) x L () + y 0 L () η, ecuaţia (1.1) este exact nul controlabilă, cu un control u satisfăcând e s(δ 1)α (u + u t ) C 3 (δ) y 0 L.

14 14 Controlabilitatea locală exactă a ecuaţiei difuziei într-o dimensiune Demonstraţia teoremei 4. Să definim K = {y y x L () ρ, ty t L () ρ, ty xt L () ρ, y(0) = y 0 }. Să notăm că această mulţime este compactă în L (). Într-adevăr, se poate arăta uşor că această mulţime este închisă, iar faptul că y H 1 () e mărginită pentru y K asigură precompacitatea. Să considerăm ecuaţia liniarizată (1.) pentru ỹ K. Din definiţia lui K, pentru toţi ỹ K avem acelaşi ρ (care nu depinde de ỹ) în inegalitatea lui Carleman (teorema.1). Alegând un ρ suficient de mic (ρ C 4 ), putem aplica rezultatul principal din secţiunea precedenta, (3.1), pentru toate elementele lui K. Pentru concizie, în cele ce urmează vom nota orice constantă care nu depinde de p, y, ỹ, g şi u cu C (aceste constante pot, însă, să depindă de s, λ, ρ sau δ). Să considerăm următoarea problemă de control optimal: să se minimizeze (4.1) e sα φ 3 u + ɛ 1 e sα y (T ) dx unde y şi u satisfac (1.). Deoarece această funcţională este slab superior semicontinuă si strict convexă, e uşor de arătat că problema are o soluţie unică (u ɛ, y ɛ ). Prin principiul lui Pontriaghin, soluţia trebuie să satisfacă u ɛ = mp ɛ e sα φ 3, unde p este o soluţie a problemei duale (4.) (p ɛ ) t + (b (p ɛ ) x ) x = 0 (x, t) p ɛ (x, t) = 0 (x, t) Σ p ɛ (x, T ) = 1 ɛ y ɛ(x, T ) x. Înmulţind (4.) cu y ɛ, (1.) by p ɛ, adunând cele două ecuaţii şi integrând pe obţinem e sα φ 3 p ɛ + ɛ 1 e sα yɛ (T ) dx = y 0 p(0) dx (4.3) ω 1 k y 0 dx + k p(0) dx Aplicând Corolarul (.1) şi alegând k suficient de mic în inegalitatea de mai sus, obţinem de asemenea că (4.4) e sα φ 3 p ɛ + ɛ 1 e sα yɛ (T ) dx C y0 dx ω

15 Marius Beceanu 15 Cu siguranţă e s(δ 1)α u ɛ = ω e sα φ 3 p ɛ e sδα φ 3 C ω e sα φ 3 p ɛ şi e s(δ 1)α (u ɛ ) t = e s(δ 1)α (e sα φ 3 (p ɛ ) t + se sα α t φ 3 p ɛ + 3e sα φ φ t p ɛ ) ω ( ) C e sα φ 1 (p ɛ ) t e sδα φ 7 + C e sα φ 3 p ɛ. ω ω e sα φ 3 p ɛ e sδα φ 7 Combinând aceste ultime relaţii şi (4.4) putem trage concluzia că (4.5) e s(δ 1)α (u ɛ + (u ɛ ) t ) + ɛ 1 e sα yɛ (T ) dx C 3 y0 dx. Luând δ = 1 şi aplicând (3.1) (şi ţinând cont de faptul că ỹ x L () ρ, tỹ t L () ρ, tỹ xt L () ρ) ne dă y x L () + ty t L () + ty xt L () ( C(1 + ρ )(1 + ρ 4 ) (by x ) x(0) + yx(0) dx + C 4 (1 + ρ 6 ) (b (y 0 ) x ) x + (y 0 ) x + y 0 dx (u ɛ ) t + u ɛ ) Pe deasupra, de vreme ce b(0) = a (ỹ(0)) = a (y 0 ), obţinem (by x ) x(0) + yx(0) + y0 dx = (a(y 0 )) xx(0) + (y 0 ) x + y0 dx, de unde provine condiţia impusă asupra lui y 0 în formularea teoremei. Astfel obţinem (4.6) y x L () + ty t L () + ty xt L () C 4 (1 + ρ 6 ) (a(y 0 )) xx(0) + (y 0 ) x + y0 dx.

16 16 Controlabilitatea locală exactă a ecuaţiei difuziei într-o dimensiune Făcând (a(y 0 )) xx + (y 0 ) x + y 0 dx < η ρ pentru η suficient de mic (cum ar fi η = C 4 (1+ρ 6 ) ), obţinem că y ɛ K. Aceasta înseamnă că u ɛ şi (u ɛ ) t aparţin unei mulţimi mărginite în L (), aceeaşi pentru fiecare ɛ, iar y ɛ aparţine lui K, mulţime care este compactă în L (). Să alegem un şir de perechi (u ɛ, y ɛ ), ɛ 0, care optimizează expresia (4.1) pentru ɛ. Din cele de mai sus rezultă că (pentru un subşir, obţinut prin diagonalizare) (4.7) u ɛ u slab în L () (u ɛ ) t v slab în L () y ɛ y tare în L (). În mod evident rezultă că v = u t. Alte consecinţe imediate sunt că (y ɛ ) t tinde la y t în H 1 () şi că (b(y ɛ ) x ) x tinde la (by x ) x în L ((0, T ); H ()); atunci (u, y) satisface ecuaţia liniarizată (1.). Mai mult, convergenţa tare a lui y ɛ implică y K. În sfârşit, făcând ɛ 0 în (4.4) se vede că y(t ) 0. În ceea ce priveşte e s(1 δ)α u L () şi e s(1 δ)α u t L (), e suficient să reamintim că, pentru orice şir (f n ) n N care converge slab la f în L, avem f L () lim inf f n L (). Astfel, am obţinut o pereche (y, u) care satisface sistemul (1.), cu proprietatea că y K, y(t ) 0 şi e s(δ 1)α (u + u t ) C 3 y 0 L. Acum putem aplica teorema lui Kakutani. Să considerăm Φ : K K, (4.8) Φ(ỹ) = {y y K, y(t ) 0, şi u H 1 ([0, T ]; L ()), cu es(δ 1)α (u + u t ) C 3 y 0 L, astfel încât (u, y) satisfac (1.)} În mod clar Φ este bine definită, ia valori nevide pentru fiecare ỹ K şi are valori convexe. Pentru a arăta că Φ are valori închise, să fixăm mai întâi ỹ şi să considerăm un şir convergent y n y în L (), cu y n Φ(ỹ), şi să alegem u n corespunzători din definiţia lui Φ de mai sus (4.8). Deoarece y n K, n, iar K este compactă, rezultă că limita lor y

17 Marius Beceanu 17 e de asemenea în K. Mai mult, y n (T ) y(t ) L () y n y C([0,T ];L () y n y 1/ H 1 ([0,T ];L () y n y 1/ L () Cρ 1/ y n y 1/ L (), deci y(t ) 0. Pentru că es(δ 1)α (u n + (u n ) t ) C 3 y 0 L (), putem alege un subşir slab convergent de indici pentru care u n tind la o limită u cu proprietatea că es(δ 1)α (u + u t ) C 3 y 0 L () (demonstraţia e ca mai sus). Se poate vedea că (y n ) t y t tare în H 1 () şi (b (y n ) x ) x (by x ) x tare în L ((0, T ); H ()). Trecând la limita slabă în ecuaţia (1.), satisfăcută de (u n, y n ), obţinem că (u, y) satisfac de asemenea ecuaţia. În consecinţă y Φ(ỹ), deci Φ(ỹ) e închisă; de fapt, de vreme ce Φ(ỹ) K, rezultă că Φ(ỹ) e compactă pentru fiecare ỹ K. În acest caz, semicontinuitatea inferioară a lui Φ poate fi obţinută din faptul că are graficul închis. Într-adevăr, dacă ỹ n K, ỹ n ỹ şi y n Φ(ỹ n ) y în L (), să considerăm u n corespunzători, ca mai sus, şi obţinem (luând un subşir) că u n u slab în L (), (u n ) t u t slab în L (), cu es(δ 1)α (u + u t ) C 3 y 0 L ; (y n ) t y t tare în H 1 (); (y n ) x y x tare în L ((0, T ); H 1 ()); ỹ n ỹ tare în L (). De vreme ce a (ỹ n ) a (ỹ) C y n y, rezultă de asemenea că a (ỹ n ) a (ỹ) tare în L () (şi slab-* în L ()). Atunci a (ỹ n )(y n ) x a (ỹ)y x slab în L ((0, T ); H 1 ()) sau, echivalent, (a (ỹ n )(y n ) x ) x (a (ỹ)y x ) x slab în L ((0, T ); H ()). Trecând la limita slabă în ecuaţia (1.) obţinem că perechea (u, y) satisface de asemenea sistemul liniarizat, cu b = a (ỹ). Celelalte condiţii (ỹ şi y K, y(t ) 0) sunt evident satisfăcute (detaliile demonstraţiei sunt aceleaşi ca mai sus), deci (ỹ, y) aparţine graficului lui Φ. Astfel putem aplica teorema lui Kakutani şi obţine că există y K astfel încât y Φ(y). Acest y este o soluţie a ecuaţiei difuziei (1.1) cu y(0) = y 0 şi y(t ) 0. Pe deasupra, controlul său u satisface estimarea cerută e s(δ 1)α (u + u t ) C 3 y 0 L. Să ne întoarcem la cazul general, y 0 H 1 (). Teorema 4.3 Pentru orice δ > 0 există η > 0 astfel încât, pentru orice y 0 H 1 () cu y 0 H 1 () η, ecuaţia (1.1) este exact nul controlabilă, cu

18 18 Controlabilitatea locală exactă a ecuaţiei difuziei într-o dimensiune un control u satisfăcând (4.9) e s(δ 1)α (u + u t ) C 3 y 0 L. Demonstraţia teoremei 4.3 Vom împărţi intervalul [0, T ] în două părţi despărţite de T 0, 0 < T 0 < T. Pe prima parte a intervalului vom face u 0; ecuaţia devine (4.10) y t (by x ) x = 0 (x, t) y(x, t) = 0 (x, t) Σ y(x, 0) = y 0 x, unde am redenumit [0, T 0 ] T0 şi [0, T 0 ] Σ pentru convenienţă. Vom folosi proprietăţile regularizante ale ecuaţiei (4.10), obţinând în cele din urmă că (4.11) (a(y)) xx(t) + yx(t) + y (t) dx C y0 + yx(0) dx apoi, aplicând teorema precedentă 4., vom stabili controlabilitatea nulă a lui y pe intervalul [T 0, T ]. În cele din urmă, să notăm că funcţia u definită prin { 0, for t [0, T0 ] u(x, t) = u, (x, t), for t [T 0, T ] unde u este un control pentru y pe [T 0, T ], are în continuare toate proprietăţile dorite (aparţine lui H 1 ([0, T ]; L ()) şi satisface (4.9)). Demonstraţia e completă. Mai întâi, însă, trebuie să stabilim inegalitatea (4.11). Pentru început, vom presupune în (4.10) că b t L () şi b x L ([0, T 0 ]; L ()). Înmulţind ecuaţia (4.10) cu y şi integrând pe t obţinem (4.1) y (t) dx + byx = y (0) dx. t Înmulţind aceeaşi ecuaţie cu y t şi integrând prin părţi după t avem y 1 t + by x(t) = 1 by x(0) + 1 b t y x. t t Atunci, e adevărat că yt + t y x(t) dx C ( ( yx(0) dx + t b t ) 1 ( t y 4 x ) 1 ),

19 Marius Beceanu 19 şi, în consecinţă, (deoarece 0 t T 0 ) y t + sup ( yx(t) dx C y x(0) dx+ ) + b t L () y x L ((0,T 0 );L ()) sup y x (t) L (). Să notăm că y x L ((0,T 0 );L ()) C (by x ) x L () = C y t L (), deci y t + sup ( yx(t) dx C 5 yx(0) dx+ ( + b t L () yt + sup ) ) yx(t) dx Făcând b t L () suficient de mică ( b t L () 1 C 5, de exemplu), obţinem yt + sup yx(t) dx C yx(0) dx. Ca o consecinţă imediată, obţinem de asemenea că (by x) x C y x(0) (acest rezultat va fi folositor mai târziu). Rescriind ultima inegalitate (şi amintindu-ne că, prin definiţie, b = a (ỹ), am obţinut y t L () + if ỹ t L () 1 MC 5. Să considerăm mulţimea sup y x (t) L () C 6 y x (0) L (), (4.13) K = {y y t L () + sup y x (t) L () 1 MC 5, y(0) = y 0 }, care este în mod clar compactă în L () (fiind închisă în L () şi mărginită în H 1 ()). Apoi, să definim Φ : K K prin (4.14) Φ(ỹ) = {y y K, y e o soluţie a ecuaţiei (4.10)}. Pentru y x (0) L () 1 C 6 MC 5, multifuncţia Φ are valori nevide peste tot. Poate fi uşor verificat că valorile ei sunt, de asemenea, convexe. Să considerăm un şir de soluţii y n Φ(ỹ) care converge în L () la o limită y. Atunci (y n ) t y t în H 1 () şi (b (y n ) x ) x (by x ) x în

20 0 Controlabilitatea locală exactă a ecuaţiei difuziei într-o dimensiune L ((0, T 0 ); H ()). Trecând la limită în ecuaţia (4.10) scrisă pentru y n, obţinem că y t (by x ) x = 0 în sens slab (în H ()) şi, în consecinţă, y Φ(ỹ). Astfel am demonstrat că Φ are valori închise (mai mult, compacte). Tot ce rămâne e să arătăm că Φ are graficul închis (deci e superior semicontinuă). Într-adevăr, dacă luăm două şiruri y n şi ỹ n, astfel încât y n Φ(ỹ n ), care converg la y, respectiv ỹ, obţinem în mod succesiv că (y n ) t y t în H 1 (); (y n ) x y x în L ((0, T 0 ); H 1 ()); ỹ n ỹ în L (); a (ỹ n ) a (ỹ) slab-* în L (); a (ỹ n ) (y n ) x a (ỹ)y x în L ((0, T 0 ); H 1 ()); (a (ỹ n ) (y n ) x ) x (a (ỹ)y x ) x în L ((0, T 0 ); H ()). Trecând la limită în ecuaţia (4.10), satisfăcută de toate funcţiile y n pentru b = a (ỹ n ), am obţinut că y Φ(ỹ), deci graficul este închis. Acum toate condiţiile necesare pentru a aplica teorema lui Kakutani sunt îndeplinite şi obţinem că Φ are un punct fix y Φ(y), deci ecuaţia difuziei (4.15) are o soluţie y cu y t (a(y)) xx = 0 (x, t) = (0, T 0 ) y(x, t) = 0 (x, t) Σ = (0, T 0 ) y(x, 0) = y 0 x, (4.16) y t L () + sup y x (t) L () 1 MC 5 }{{} C y x (0) L (), 1 pentru y x (0) L () C 6 MC 5. Mai mult, soluţia ecuaţiei (4.15) are proprietăţi suplimentare de regularitate, dintre care vom avea nevoie numai de una. Pentru convenienţă, vom păstra notaţia b = a (ỹ) a (y). Înmulţind ecuaţia (3.1) cu (by x ) xt, obţinem t t t (by x ) x (by x ) xt + byxt + y xt b t y x = 0, de unde 1 t(by x ) x(t) dx + tbyxt 1 + ty xt b t y x = (by x ) x. t t t În această ecuaţie avem ty xt b t y x µ ty 1 xt + tb t y µ x, t t t

21 Marius Beceanu 1 unde putem lua µ aceeaşi constantă ca la începutul lucrării (µ a (x) x, încât µ a (y) = b). Atunci, t tb t yx C b t ty x L () y t sup t(by x ) x(t) dx. În consecinţă obţinem că sup t(by x ) x(t) dx+ tyxt C 7 (1+ sup ) t(by x ) x(t) dx y x(0) dx, t [0, T 0 ]. Din nou pentru y x(0) L () suficient de mică (cum ar fi y x(0) L () 1 C 7 ) am demonstrat că (4.17) sup t(by x ) x(t) dx + tyxt C y x(0) dx. Alegând t = T 0 în (4.1), (4.16) şi (4.17), obţinem ( (a(y)) xx(t) + yx(t) dx C y0 dx + ) yx(0) dx pentru orice y 0 cu y x (0) L () suficient de mică. Aceasta încheie demonstraţia teoremei 4.3. Bibliografie [1] S. Anita, V. Barbu, Null Controllability of Nonlinear Convective Heat Equations, ESAM: Control Optimization and Calculus of Variations, vol. 5 (000), pag [] V. Barbu, Controllability of Parabolic and Navier-Stokes Equations, Scientiae Mathematicae Japonicae, 56, Nr. 1 (00), pag [3] V. Barbu, Exact Linear Controllability of the Superlinear Heat Equations, Applied Mathematical Optimization, 4 (000), pag [4] V. Barbu, The Carleman nequality for Linear Parabolic Equations in the L q norm, Differential & ntegral Equations, vol. 15 (00).

22 Controlabilitatea locală exactă a ecuaţiei difuziei într-o dimensiune [5] V. R. Cabanillas, S. B. de Menezes, E. Zuazua, Null Controllability in Unbounded Domains for the Semilinear Heat Equation with Nonlinearities nvolving Gradient Terms, Journal of Optimization Theory and Applications, vol. 110 (001), Nr., pag [6] O. Cârjă, Elemente de analiză funcţională neliniară, Editura Universităţii Al.. Cuza, aşi, [7] O. u. Emanuilov, Upravliaemost paraboliceschimi uravneniiami, Matematiceskii Sbornik, 186 (1995), Nr. 6, pag [8] H. O. Fattorini, Boundary control of temperature distributions in a parallelepipedon, SAM Journal of Control, 13 (1975), pag [9] E. Fernandez-Cara, Null Controllability of the Semilinear Heat Equation, ESAM: COCV, (1997), pag [10] E. Fernandez-Cara, E. Zuazua, Null and Approximate Controllability for Weakly Blowing Up Semilinear Heat Equations, Annales HP Analyse Nonlineaire, vol. 17, 5 (000), pag [11] A. V. Fursikov, O. Yu. manuvilov, Controllability of Evolution Systems, Lecture Notes #34, Seoul National University, Coreea [1] O. A. Ladyzeskaja, V. A. Solonnikov, N. N. Ural ceva, Linear and quasilinear Equations of Parabolic Type, Translations of Mathematical Monographs (3), American Mathematical Society, Providence, Rhode sland [13] J.-L. Lions, Optimal Control of Systems Governed by Partial Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin, [14] D. Russell, Controllability and Stabilizability Theory for Linear Partial Differential Equations. Recent Progress and Open uestions, SAM Review, 0 (1978), pag [15] T. Seidman, Two Results on Exact Boundary control of Parabolic Equations, Applied Mathematics & Optimization, 11 (1984), Nr., pag. 145.