Doina BOAZU

Transcriere

1 Doina BOAZU REZISTENŢA MATERIALELOR Solicitările simple şi compuse ale barelor EDITURA EUROPLUS GALAŢI

2 PREFAŢĂ Această carte conţine structura de bază a cursului de Rezistenţa materialelor predat studenţilor de la secţiile de inginerie mecanică. Disciplinele de specialitate ale facultăţilor tehnice se bazează pe metodele de calcul ale cursului de Rezistenţa materialelor şi de aici rezultă importanţa însuşirii cunoştinţelor de Rezistenţa materialelor de către toţi cei care urmează o facultate cu profil tehnic. Ca toate disciplinele fizico-matematice, Rezistenţa materialelor se învaţă îmbinând cunoştinţele teoretice cu rezolvarea unui număr mare de probleme şi efectuarea testelor din laboratorul de încercări ale materialelor. Acest mod de însuşire a cunoştinţelor îl va ajuta pe viitorul inginer în stabilirea modelor de calcul cât mai apropiate de structurile reale. Pentru rezolvarea completă şi corectă a problemelor, calculul numeric are o importanţă deosebită, deoarece, în practica inginerească este necesar ca rezultatele calculelor, exprimate în unităţi de măsură, să fie cât mai exacte. Pentru soluţionarea rapidă a problemelor, viitorii ingineri pot găsi un ajutor preţios în colecţiile de formule şi date experimentale auxiliare cursului de Rezistenţa materialelor dar şi instrumentelor de calcul numeric (funcţii ale programelor MATLAB şi EXCEL). Aplicarea relaţiilor de calcul se va face numai dacă sunt îndeplinite ipotezele de calcul admise la deducerea fiecărei relaţii; numai în acest fel se va obţine un rezultat corect.

3 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor (întinderecompresiune, forfecare, încovoiere şi torsiune) sunt prezentate ipotezele admise care stau la baza obţinerii relaţiilor de calcul; pe lângă acestea, sunt prezentate câteva aspecte experimentale şi aplicaţii cu caracter teoretic care să ajute la însuşirea corectă şi fixarea cunoştinţelor. Pentru fiecare solicitare simplă sunt prezentate formulele necesare calculului de rezistenţă şi de rigiditate. In capitolul destinat studiului solicitărilor compuse ale barelor, sunt prezentate câteva aplicaţii care ilustrează modul de compunere al tensiunilor utilizând formulele de la solicitările simple. Ultimul capitol subliniază importanţa verificării la stabilitate a barelor zvelte comprimate. Metodologia de rezolvare a problemelor de flambaj este ilustrată prin intermediul aplicaţiilor simple uşor de urmărit etapă cu etapă. Calculul deplăsărilor liniar elastice prin metode energetice este util în probleme de dimensionare din condiţii de rigiditate dar şi în ridicarea nedeterminării statice a sistemelor static nedeterminate (cu grad mic de nedeterminare). La baza cărţii se află experienţa literaturii de specialitate româneşti şi străine exprimată prin cărţile profesorilor I. Deutsch, Gh. Buzdugan, R. Voinea, C. Bia, M. Modiga, L. Stoicescu, S.D. Ponomariov, W.A. Nash şi alţii. Autoarea

4 CUPRINS 1. INTRODUCERE 1.1 Obiectul şi problematica Rezistenţei materialelor Elemente de bază în definirea modelului corpului deformabil Clasificarea corpurilor solide în Rezisteţa materialelor Interacţiunea corpurilor. Forţe exterioare şi legături Forţe interioare (eforturi) Deplasări şi deformaţii Relaţia liniară dintre tensiuni şi deformaţii Ipotezele Rezistenţei materialelor (pentru bare) Metodele de calcul ale Rezistenţei materialelor Generalităţi Metodele deterministe. Metoda rezistenţelor admisibile şi metoda la rupere Metodele probabilistice Metode semiprobabiliste. Metoda stărilor limită.. 3. EFORTURI ÎN BARE ŞI SISTEME DE BARE.1 Generalităţi Eforturi în bare. Notaţii Eforturi în bare drepte încărcate cu forţe în planul xz Construirea diagramelor pornind de la expresiile analitice ale eforturilor secţionale Relaţii diferenţiale între eforturi şi încărcări şi consecinţele lor Folosirea simetriei şi antisimetriei forţelor exterioare la trasarea diagramelor de variaţie a eforturilor secţionale Aplicaţii Diagrame de eforturi secţionale la cadre plane Diagrame de eforturi secţionale la bare curbe plane cu rază mare de curbură 64

5 6 Cuprins.6.1 Relaţii între eforturi şi încărcări la bara curbă plană încărcată în planul ei 65.7 Metoda suprapunerii efectelor CARACTERISTICILE GEOMETRICE ALE SECŢIUNILOR TRANSVERSALE ALE BARELOR 3.1 Aria secţiunii. Momente statice. Centre de greutate Momente de inerţie (geometrice) Momente de inerţie pentru secţiuni simple Variaţia momentelor de inerţie în raport cu axe paralele Variaţia momentelor de inerţie la rotirea axelor Modul de rezistenţă Rază de inerţie. Elipsă de inerţie Momente de inerţie pentru secţiuni de formă complexă. Aplicaţii INTINDERE SI COMPRESIUNE 4.1 Bare încărcate axial Probleme de verificare, dimensionare şi forţa capabilă la solicitarea axială Contracţia transversală Sisteme static determinate solicitate axial Sisteme static nedeterminate solicitate axial Incercarea materialelor la întindere şi compresiune CALCULUL CONVENŢIONAL AL BARELOR LA FORFECARE 5.1 Tensiunea trangenţială şi lunecarea specifică Aplicaţii STAREA GENERALĂ DE TENSIUNI ŞI DEFORMAŢII 6.1 Starea plană de tensiune Starea spaţială de tensiune Relaţii între deplasări şi deformaţii Legea generalizată a lui Hooke Calculul energiei potenţiale de deformaţie Relaţia dintre modulele de elasticitate E şi G pentru un material omogen şi izotrop Aplicaţie. 16

6 Cuprins 7 7. TORSIUNEA BARELOR DREPTE 7.1 Generalităţi Eforturi şi diagrame de eforturi Torsiunea barelor de secţiune circulară şi inelară Aplicaţii Torsiunea barei cu secţiune dreptunghiulară INCOVOIEREA BARELOR DREPTE 8.1 Introducere. Observaţii experimentale. Ipoteze Încovoierea pură Aplicaţii Tensiuni tangenţiale în secţiunile transversale ale grinzilor solicitate la încovoiere simplă plană Deformaţiile grinzilor drepte solicitate la încovoiere Generalităţi Integrarea analitică a ecuaţiei diferenţiale aproximative a fibrei medii deformate Aplicaţii Metoda parametrilor iniţiali Aplicaţii Calculul deplasărilor prin suprapunere de efecte SOLICITĂRI COMPUSE 9.1 Definiţie. Clasificare. Principii de calcul Solicitări compuse alcătuite din solicitări simple care produc tensiuni de acelaşi tip Solicitarea compusă de întindere (compresiune) cu încovoiere Incovoierea oblică sau strâmbă Răsucire cu forfecare Solicitări compuse alcătuite din solicitări simple care produc tensiuni de tipuri diferite Teorii de rezistenţă Aplicarea teoriilor de rezistenţă în cazul particular al stării plane de solicitare Solicitarea compusă de încovoiere cu torsiune... 53

7 8 Cuprins 10. CALCULUL DEPLASĂRILOR LINIAR-ELASTICE PRIN METODE ENERGETICE 10.1 Energia potenţială de deformaţie şi teorema Clapeyron Teorema lui Castigliano Relaţia lui Mohr-Maxwell Teorema lui Betti FLAMBAJUL BARELOR ZVELTE 11.1 Generalităţi Metode pentru determinarea forţei critice de flambaj Determinarea forţei critice de flambaj pentru cazurile clasice de rezemare Tratarea unitară a cazurilor de flambaj Lungimea de flambaj Domeniul de aplicabilitate al relaţiei lui Euler Metoda de rezolvare a problemelor de flambaj 30 ANEXĂ. 308 BIBLIOGRAFIE. 309

8 1. INTRODUCERE 1.1 Obiectul şi problematica Rezistenţei materialelor Din observaţiile directe asupra corpurilor solide se constată că acestea sunt capabile să suporte acţiunile altor corpuri în anumite limite, fără a-şi schimba sensibil forma şi dimensiunile. Inginerii se confruntă în practică cu probleme legate de alegerea materialului, a formei şi a dimensiunilor corpurilor, în aşa fel încât să nu se atingă stadiul de cedare sau de modificare excesivă a dimensiunilor iniţiale, să prezinte siguranţă în raport cu o stare limită. Principiile care stau la baza rezolvării acestor probleme fac obiectul de studiu al Rezistenţei materialelor (pe scurt RM). Deci Rezistenţa materialelor studiază comportarea corpurilor solide sub acţiunea forţelor, determinând materialul şi dimensiunile corpului solid astfel încât acesta să reziste, în condiţiile unui consum minim de material. Rezistenţa materialelor (RM) face parte din grupul de discipline numit Mecanica mediilor continue (MMC), grup care mai include pe lângă RM: Teoria elasticităţii, Teoria plasticităţii, Statica, Dinamica şi Stabilitatea structurilor etc. Prin obiectul ei de studiu Rezistenţa materialelor este situată între ştiinţele fizico-matematice şi disciplinele de specialitate inginereşti; RM apare ca o continuare a Mecanicii teoretice dar şi o dezvoltare a acesteia prin introducerea noţiunilor de deformabilitate şi rezistenţă. RM înlocuieşte ipoteza corpului rigid din Mecanica teoretică cu ipoteza corpului solid deformabil. Rezistenţa materialelor acordă o deosebită importanţă experimentelor şi încercărilor materialelor; RM admite ipoteze simplificatoare şi lucrează cu modele ale corpurilor, stabilind relaţii de calcul care reflectă destul de fidel solicitările, valorile deformaţiilor pentru corpurile sau structurile studiate. Formulele de calcul stabilite de RM sunt validate prin determinări experimentale. In RM, problemele principale sunt legate de stabilirea forţelor exterioare care acţionează asupra corpului (schematizarea încărcărilor), determinarea forţelor interioare (ca măsură a solicitării creată de forţele

9 10 Introducere exterioare) şi stabilirea nivelului limită al solicitărilor (valori admisibile pentru tensiuni şi deformaţii ). In cele ce urmează, forţele exterioare şi valorile admisibile se vor considera complet cunoscute, dezvoltată fiind doar problema determinării forţelor interioare. 1. Elemente de bază în definirea modelului corpului deformabil Fenomenele naturale sunt caracterizate de diversitate şi complexitate; pentru a putea face o sinteză corespunzătoare a datelor experimentale legate de un fenomen stabilind în acelaşi timp ceea ce este esenţial şi caracteristic este necesar să se treacă de la fenomenul real, complex, la un model general dar simplificat. Schematizând proprietăţile materiei, adoptând ipoteze simplificatoare referitoare la cauzele şi efectele unor fenomene reale în scopul elaborării unei teorii, modelul fizic real este înlocuit în studiu printrun model ipotetic, de calcul. Ipotezele trebuie să surprindă ceea ce este specific laturii studiate a fenomenului şi în acelaşi timp să aibă un caracter general. 1.3 Clasificarea corpurilor solide în Rezisteţa materialelor După raportul între principalele dimensiuni, corpurile ca elemente de construcţii pot fi împărţite în: bare, plăci şi blocuri. Barele sunt acele corpuri la care una dintre dimensiuni este mare în raport cu celelalte două. Elementele caracteristice ale unei bare sunt forma şi dimensiunile secţiunii normale transversale (constantă sau variabilă de-a lungul barei) şi axa barei. Secţiunea normală într-un punct din bară este secţiunea de arie minimă obţinută prin intersecţia barei cu un plan; axa barei reprezintă curba dată de succesiunea centrelor de greutate ale secţiunilor normale. După forma axei există bare drepte, bare curbe plane şi bare curbe în spaţiu. Barele rezistă atât sarcinilor axiale cât şi celor transversale. In categoria corpurilor cu o dimensiune mult mai mare decât celelalte două sunt incluse şi firele care pot fi solicitate doar la întindere, deoarece nu opun nici o rezistenţă la compresiune. Plăcile sunt acele corpuri la care două dimensiuni sunt mari în raport cu a treia. Locul geometric al mijloacelor grosimilor plăcii se numeşte suprafaţa mediană a plăcii; grosimea plăcii cel mai adesea constantă se măsoară normal pe suprafaţa plăcii. După forma suprafeţei mediane plăcile pot fi: plăci plane, cu curbură simplă cu curbură dublă.

10 Introducere 11 Pentru placa de grosime mică numită şi membrană se poate neglija rigiditatea după grosime. Blocurile sau masivele sunt acele corpuri la care cele trei dimensiuni au acelaşi ordin de mărime. Rezistenţa materialelor poate fi privită ca parte a Mecanicii corpului solid deformabil, având ca obiect principal al studiului corpurile în formă de bară, formă sub care se prezintă cele mai multe elemente de construcţii. Ipotezele specifice barelor nu sunt proprii plăcilor şi masivelor, acestea sunt studiate cu aparat matematic specific mai complex în capitole speciale din Teoria elasticităţii. 1.4 Interacţiunea corpurilor. Forţe exterioare şi legături Orice cauză capabilă să producă solicitarea unui corp poartă denumirea generică de acţiune.cel mai adesea într-o structură mecanică (ansamblu de corpuri) solicitările se datoresc interacţiunii corpurilor, interacţiune schematizată prin forţe (sarcini exterioare). Corpurile se pot afla sub acţiunea unor sarcini exterioare care pot fi forţe sau cupluri de forţe (momente). Spre deosebire de Mecanica corpului rigid, în Rezistenţa materialelor, de obicei forţele nu pot fi considerate vectori alunecători. Deplasarea punctului de aplicaţie al forţei pe suportul ei, duce la schimbarea stării de solicitare a corpului solid. Ca urmare, în Rezistenţa materialelor, forţa trebuie considerată vector legat de punctul de aplicaţie. După diferite criterii sarcinile pot fi cuprinse în mai multe categorii. Contactul dintre corpuri se realizează pe porţiuni din suprafeţele lor exterioare, cu o extindere mai mare sau mai mică. Sarcinile care apar pe aceste suprafeţe sunt forţe distribuite, caracterizate de intensitatea lor pe unitatea de suprafaţă. Când zona pe care se realizează contactul este limitată, la o distanţă suficient de mare de aceasta, efectul încărcării reale distribuite este acelaşi cu al unei sarcini concentrate, echivalente static. Deci, după mărimea suprafeţei pe care sunt aplicate sarcinile pot fi (a se vedea Fig. 1.1): a1) Sarcini concentrate; a) Sarcini distribuite uniform sau cu intensitate variabilă în lungul barei sau pe o suprafaţă Forţele cauzate de acceleraţii, de exemplu forţele gravitaţionale şi cele de inerţie numite şi forţe masice sunt aplicate fiecărui punct al corpului;

11 1 Introducere în calculul elementelor sub formă de bară aceste forţe se schematizează prin forţe distribuite în lungul axei acesteia. Fig. 1.1 Forţele concentrate au dimensiunea [F] se măsoară în newtoni, decanewtoni, kilo-newtoni (N, dan, kn) sau kilograme-forţă sau tone-forţă (kgf, tf); forţele distribuite liniar au dimensiunea [F/L] şi se măsoară în (N/m, dan/m, kn/m), iar cele distribuite pe suprafaţă au dimensiunea [F/L ] şi se măsoară de exemplu în (dan/cm, kn/m ). După modul lor de acţiune în timp sarcinile se clasifică în (a se vedea Fig. 1.): b1)sarcini statice, care se aplică lent, progresiv, cu intensitatea crescând de la zero la valoarea finală constantă; b)sarcini dinamice, care se aplică cu variaţii de viteză şi acceleraţie. Se deosebesc: b1) sarcini variabile periodic,care variază continuu între o valoare maximă şi una minimă. Dacă limitele de variaţie au acelaşi semn, sarcinile se numesc oscilante; în cazul particular în care una dintre limitele de variaţie este nulă sarcinile se numesc pulsante. Dacă limitele de variaţie ale mărimii sarcinii au semne diferite, ele se numesc sarcini alternante; un caz particular al sarcinilor alternante îl reprezintă sarcinile alternante simetrice, la care limitele de variaţie sunt egale în valoare absolută. b) sarcini aplicate prin şoc, cu variaţie bruscă de viteză.

12 Introducere 13 Fig. 1. In construcţii, după criteriul provenienţă, sarcinile se clasifică în: c1) sarcini permanente de intensitate constantă cu greutatea proprie; c) sarcini utile, care reprezintă scopul pentru care a fost realizat sistemul, fixe sau mobile; c3) sarcini accesorii, cum sunt forţele de inerţie, de frecare din încărcări termice; c4) sarcini accidentale, care acţionează intermitent sau neregulat (acţiunea vântului, greutatea zăpezii); c5) sarcini extraordinare, care acţionează întâmplător, uneori cu efect catastrofal (explozii, cutremure, inundaţii). Combinaţii ale acestor tipuri de sarcini, după reguli care să dea cele mai defavorabile efecte, alcătuiesc grupajele de încărcări la care se dimensionează sau se verifică corpurile. Sistemele de forţe care acţionează asupra corpurilor se consideră în echilibru. Dacă corpul se află în repaus relativ în raport cu sistem de referinţă fix, echilibrul este static; dacă este acţionat şi de forţe de inerţie se spune că este în echilibru dinamic. Pentru ca din interacţiunea corpurilor să nu rezulte deplasări libere, de corp rigid, corpurile sunt legate printr-un număr suficient de legături (egal cel puţin cu numărul gradelor de libertate). Legăturile se realizează prin reazeme sau încastrări (pentru sisteme plane sunt reprezentate în Fig. 1.3). O legătură poate fi caracterizată geometric prin tipul de deplasări pe care le împiedică, iar mecanic prin forţe care apar în legături, numite reacţiuni. Astfel, se va spune că în categoria forţelor exterioare care acţionează asupra unui corp pe lângă forţele active (sarcini exterioare sau încărcări) care tind să imprime o mişcare sunt incluse şi forţele care se opun tendinţei de deplasare a corpului numite reacţiuni. Interacţiunile necunoscute (dintre corp şi legături) apar pe suprafeţele exterioare ale corpului şi deci sunt

13 14 Introducere distribuite. Elementele torsorului de reducere al forţelor distribuite în legătură faţă de un punct convenabil ales sunt de fapt reacţiunile sau forţele de legătură. In aplicaţii, reacţiunile se evidenţiază înlăturând legăturile şi înlocuindu-le prin efectul mecanic corespunzător. Fig. 1.3 Pentru un corp în echilibru (în repaos sau mişcare uniformă) rezultanta R şi momentul rezultant M al forţelor exterioare (sarcini date şi reacţiuni din legături) care acţionează asupra corpului sunt nule, adică elementele torsorului de reducere T al forţelor exterioare faţă de orice punct al corpului sunt nule: R=0, M=0, adică T =0. Proiectând relaţiile vectoriale de mai sus pe axele unui triedru drept xoyz, se obţin ecuaţiile scalare de echilibru, ecuaţii din care se determină reacţiunile: F 0, 0 j jx F, 0 j jy F ecuaţiile de proiecţii j jz M 0, 0 j jx M, 0 j jy M ecuaţiile de momente în raport cu un j jz punct (faţă de axa perpendiculară pe planul forţelor) In aplicaţii, apar cazuri particulare ale sistemelor de forţe exterioare; pentru câteva cazuri frecvent întâlnite în practică, ecuaţiile de echilibru sunt date în tabelul 1.1. Observaţie In cazul unui sistem plan de forţe exterioare se poate renunţa la o ecuaţie de proiecţii, scriind două ecuaţii de momente în raport cu

14 Introducere 15 puncte convenabil alese (de exemplu, faţă de punctele de legătură ale corpului). Dacă sistemul de forţe este spaţial, se poate renunţa la toate ecuaţiile de proiecţii scriindu-se ecuaţii de momente faţă de trei puncte necoliniare. In astfel de situaţii, ecuaţiile de proiecţii la care se renunţă folosesc la verificare, ele trebuind să fie satisfăcute identic. Dacă în urma rezolvării sistemului de ecuaţii de echilibru, reacţiunile rezultă negative, atunci ele se vor reprezenta cu linie întreruptă cu sensul invers celui ales iniţial, iar pe desen se va trece valoarea recţiunii fără semnul minus. Tabelul 1.1 Cazul particular Ecuaţiile de echilibru 1 Toate forţele F 0, j jx F 0, j jz M 0. j jy exterioare sunt cuprinse într-un plan, spre exemplu zx Forţele exterioare F 0, j jz M 0, j jx M 0 j jy sunt paralele cu o axă, de exemplu cu z 3 Forţele paralele cu F 0 j jz M 0 j jy axa z sunt cuprinse în planul zx 4 Forţele exterioare F 0, j jx F 0, j jy F 0 j jz sunt concurente întrun punct 5 Forţele exterioare F 0, j jx F 0 j jz concurente sunt conţinute într-un plan, de exemplu planul zx Când ecuaţiile de echilibru sunt suficiente pentru determinarea reacţiunilor, se spune că problema este static determinată; dacă numărul de ecuaţii de echilibru este insuficient pentru aflarea reacţiunilor, se spune că problema este static nedeterminată. Pentru sistemele static nedeterminate, sunt necesare ecuaţii suplimentare (care ţin cont de modul în care se deformează sistemul) şi care împreună cu ecuaţiile de echilibru să conducă la aflarea tuturor necunoscutelor. Pentru ca o bară acţionată de un sistem de forţe coplanare să fie determinată static trebuie să aibă fie o încastrare plană (bară în consolă- Fig. 1.4a), fie

15 16 Introducere o articulaţie cilindrică şi un reazem simplu, a cărui direcţie nu trece prin articulaţie (Fig. 1.4 b şi c). Bara din Fig. 1.4 b se mai numeşte simplu rezemată cu sau fără consolă de capăt. 1.5 Forţe interioare (eforturi) Fig. 1.4 Sub acţiunea forţelor şi cuplurilor ce sunt aplicate unui corp solid, în volumul acestuia se produc forţe interioare care dau o măsură a stării de solicitare. Eforturile au, de obicei, diferite intensităţi în diferite puncte ale corpului solid solicitat. Determinarea eforturilor din dreptul punctelor corpului solid constituie una dintre problemele principale ale Rezistenţei materialelor. Dacă se cunosc valorile eforturilor, atunci se poate stabili care sunt cele mai solicitate puncte ale corpului solid şi, pe această bază, se poate aprecia dacă solidul rezistă sau nu acţiunii forţelor aplicate. De asemenea, devine posibilă alegerea dimensiunilor corpului solid astfel încât rezistenţa acestuia să fie asigurată. Eforturile se determină cu ajutorul metodei secţiunilor. Această metodă constă în: -secţionarea imaginară a corpului solid solicitat, în locul unde urmează să fie determinate eforturile; -reprezentarea porţiunilor de corp solid obţinute prin secţionare, a forţelor exterioare şi a eforturilor aferente; -aplicarea ecuaţiilor de echilibru la sarcinile exterioare şi eforturile reprezentate pe câte o porţiune a solidului secţionat. Metoda este o generalizare, o extindere la corpul solid, a metodei descompunerii sistemelor din Statică. După cum în Statică un sistem se descompune în elemente componente, în vederea determinării reacţiunilor din legături şi se scriu ecuaţiile de echilibru pentru forţele existente pe fiecare element în parte, în mod asemănător se poate proceda şi cu porţiunile

16 Introducere 17 din corpul solid. Corpul solid poate fi considerat ca fiind alcătuit dintr-o serie de elemente legate între ele rigid, adică prin încastrări, iar eforturile din secţiuni sunt, de fapt, reacţiunile interioare din aceste încastrări (în acest caz încastrarea poate fi privită ca legătură interioară). Valorile eforturilor se determină cu ajutorul ecuaţiilor Mecanicii, întocmai ca şi reacţiunile interioare în cazul sistemelor de solide. Pentru exemplificare se consideră un corp solid în repaus, încărcat cu un sistem de forţe exterioare, aflat în echilibru (Fig. 1.5). Pentru determinarea eforturilor interioare dintr-un punct oarecare M sau într-o secţiune oarecare A, corpul solid se consideră secţionat printr-un plan, care trece prin punctul M (cuprinde secţiunea A). În general planul poate avea orice direcţie şi corespunzător, se obţin valori diferite ale eforturilor interioare care depind de înclinarea planulului. Acest plan împarte corpul solid în două părţi, I şi II. Pentru echilibrarea forţelor exterioare situate pe porţiunea I sau II a corpului solid, este necesar ca în secţiunea A să existe eforturi interioare repartizate pe suprafaţa secţiunii. Numai în acest fel starea de încărcare a părţilor izolate fictiv rămâne după secţionare identică cu cea iniţială. Aceste eforturi interioare se dezvoltă efectiv în secţiunea considerată a corpului solid solicitat. Unei suprafeţe elementare oarecare de arie da îi revine o forţă elementară df, cu o anumită valoare şi direcţie. Prin definiţie, se numeşte tensiune sau rezistenţă raportul dintre valoarea forţei elementare df şi cea a ariei elementare aferente, cu mărimea da: df N p da m Tensiunea p poate fi descompusă în două componente: - o componentă normală, numită tensiune normală, care poate fi pozitivă sau negativă, după cum are un efect de întindere sau de compresiune în dreptul punctului considerat; - o componentă tangenţială, numită tensiune tangenţială, care are un efect de forfecare în punctul considerat. Legătura dintre aceste tensiuni este: p Mărimea tensiunilor din dreptul punctului considerat reflectă gradul de solicitare al corpului solid în locul respectiv. La tensiuni mari, care depăşesc o limită numită rezistenţă de rupere, se poate produce ruperea corpului solid. Rezistenţa organelor de maşini poate fi apreciată numai dacă se cunosc tensiunile produse în dreptul punctelor celor mai solicitate numite şi

17 18 Introducere periculoase. Pentru ca o piesă proiectată să reziste forţelor aplicate mărimea tensiunilor este limitată de valori admisibile numite tensiuni sau rezistenţe admisibile. Aceste valori admisibile pentru tensiunile care se pot dezvolta în piese se stabilesc pe baza practicii. Elementul de suprafaţă de arie da poate constitui o faţă a unui element de volum (Fig. 1.6). Sub acţiunea forţelor aplicate, se vor dezvolta tensiuni normale şi tangenţiale pe fiecare faţă a elementului de volum. Dacă laturile elementului sunt orientate în lungul axelor unui sistem de referinţă triortogonal, atunci vor putea exista pe feţele elementului tensiuni normale şi tensiuni tangenţiale paralele cu axele. Ansamblul acestor tensiuni determină starea de tensiune din dreptul punctului considerat. Indicii atribuiţi tensiunilor normale arată axa cu care tensiunea este paralelă. În cazul tensiunilor tangenţiale primul indice se referă la orientarea normalei planului pe care se află tensiunea, iar al doilea indice se referă la axa cu care este tensiunea paralelă (yx este tensiunea tangenţială aflată într-un plan de normală paralelă cu axa y şi este paralelă cu axa x ). Fig. 1.5

18 Introducere 19 Fig. 1.6 Eforturile elementare df, distribuite pe suprafaţa secţiunii, se reduc de obicei în centrul de greutate C al secţiunii A, la un torsor format dintr-o rezultantă şi un cuplu rezultant. Componentele acestui torsor se R C numesc eforturi secţionale. Eforturile secţionale se dezvoltă efectiv în secţiunea considerată şi menţin echilibrul forţelor existente pe porţiunea I sau II a corpului solid secţionat. În cazul barelor, un interes primordial îl prezintă eforturile existente în secţiunile perpendiculare pe axa longitudinală a barei. Se consideră o bară solicitată de un sistem de forţe în echilibru şi o secţiune transversală oarecare A (Fig. 1.7). Torsorul format din rezultanta şi cuplul se poate descompune în componente dirijate în lungul R C M C barei şi în componente situate în planul secţiunii transversale. Componentele forţei R se numesc: C -forţa axială N, cea dirijată în lungul barei şi respectiv -forţa tăietoare T, (cu proiecţiile pe axele secţiunii transversale Ty sau Tz) cea situată în secţiune. Componentele cuplului sunt: M C -momentul de torsiune Mt, componenta dirijată în lungul barei şi -momentul încovoietor Mi, (cu proiecţiile pe axele secţiunii transversale Miy sau Miz) componenta situată în planul secţiunii. Starea de solicitare a unei bare depinde de natura şi de direcţia componentelor eforturilor secţionale. Astfel solicitările barei pot fi: -Solicitări simple, dacă în secţiune se dezvoltă o singură componentă a eforturilor secţionale, dirijată în lungul normalei la secţiune sau situată în planul secţiunii; M C

19 0 Introducere - Solicitări compuse, când în secţiune apar mai multe componente ale eforturilor secţionale. Fig. 1.7 În tabelul 1. de mai jos sunt prezentate solicitările simple: tracţiunecompresiune, încovoiere, forfecare şi torsiune. Tabelul 1. Nr. Tipul solicitării Denumirea solicitării Efortul secţional 1 Solicitări care Întindere(compresiune) Forţa axială N produc în secţiunea transversală tensiuni normale Încovoiere Momentul încovoietor Mi 3 Solicitări care Forfecare (tăiere) Forţa tăietoare T 4 produc în secţiunea transversală tensiuni tangenţiale Torsiune (răsucire) Momentul de torsiune Mt 1.6 Deplasări şi deformaţii Sub acţiunea forţelor, corpul solid se deformează, iar punctele acestuia se deplasează. În funcţie de numărul şi natura legăturilor, deplasările punctelor corpului solid pot fi: -deplasări cinematice, atunci când legăturile permit mişcări mecanice, iar corpul solid îşi schimbă poziţia în spaţiu; -deplasări produse prin deformarea corpului solid, atunci când corpul solid, sub acţiunea forţelor îşi schimbă dimensiunile şi forma geometrică iniţială.

20 Introducere 1 Deplasările cinematice sunt studiate de Mecanica teoretică. Rezistenţa materialelor MR studiază deplasările produse prin deformaţia corpului solid. Aceste deplasări au în general valori mici, în comparaţie cu dimensiunile corpului. Se admite că, prin deformare, corpul solid îşi schimbă forma şi dimensiunile iniţiale într-o măsură relativ mică. Deformaţiile mici sunt de obicei deformaţii elastice, care dispar odată cu dispariţia forţelor aplicate. Se consideră un corp solid de formă oarecare ce nu poate efectua deplasări cinematice. Sub acţiunea unor forţe oarecare F, F,..., F (a se 1 vedea Fig. 1.8), corpul solid se deformează, iar punctele acstuia se deplasează. Astfel, trei puncte oarecare A, B şi C ajung în poziţiile. Starea deformată a corpului solid se caracterizează prin mai multe mărimi, care vor fi prezentate în continuare. A, B, C n Fig. 1.8 Vectorul, care are originea în punctul corpului solid nedeformat (de exemplu A) şi vârful în acelaşi punct al corpului deformat (adică în punctul A), reprezintă deplasarea totală a punctului, fiind numită uneori şi săgeată. Proiecţiile u,v şi w ale deplasării totale pe axele unui sistem de referinţă triortogonal sunt componentele deplasării, între care există relaţia: u v w.

21 Introducere Alături de deplasările liniare de mai sus, prin deformarea corpului solid se produc şi deplasări unghiulare. Astfel, unghiul, cu care se roteşte un segment (spre exemplu segmentul AB) sau o secţiune dintr-un corp solid, ca urmare a deformării acestuia, se numeşte rotire. Ca orice mărime orientată şi rotirea poate fi reprezentată printr-un vector, orientat perpendicular pe planul de rotire, având valoarea egală cu unghiul de rotire. Prin descompunerea acestui vector se obţin componentele rotirii:,, x y z dirijate în lungul axelor sistemului de referinţă. Datorită deplasării inegale a punctelor corpului solid, se schimbă distanţa l dintre două puncte oarecare A şi B. Diferenţa dintre distanţa existentă între două puncte după deformaţie şi distanţa iniţială dintre aceleaşi puncte se numeşte alungire: l AB AB. Raportul dintre alungire şi lungimea l (distanţa iniţială) se numeşte alungire specifică medie: l m l Dacă lungimea segmentului AB este infinit mică, atunci se obţine alungirea specifică din dreptul punctului A, pe direcţia AB: l lim l 0 l Dacă distanţa dintre cele două puncte se micşorează, atunci variaţia distanţei se numeşte scurtare. Scurtarea raportată la distanţa scurtată determină scurtarea specifică. Lungirea şi scurtarea constituie deformaţii liniare, alungirea fiind o deformaţie liniară pozitivă 0, iar scutarea, o alungire negativă 0. Atât alungirea cât şi scurtarea pot fi proiectate pe axele sistemului de referinţă. Astfel se obţin componentele alungirii specifice:,,. x y z Prin deformarea corpului solid, se produc şi deformaţii unghiulare. Se numeşte lunecare unghiul cu care variază un unghi oarecare BAC, cuprins între două segmente AB şi AC, în dreptul unui punct oarecare A al corpului solid.: lim BAC BAC AB0, AC0 Unghiul cu care se schimbă un unghi drept se numeşte lunecare specifică şi se notează cu. Ea este admisă pozitivă atunci când corespunde micşorării unghiului drept. Considerând într-un punct unghiurile formate din

22 Introducere 3 trei drepte paralele cu axele sistemului de referinţă ortogonal, acestea se vor schimba prin deformarea corpului solid cu lunecăruile specifice.,, xy xz yz Ansamblul alungirilor specifice,, x y z,, xy xz yz şi al lunecărilor specifice din jurul unui punct, determină starea de deformaţie a corpului în dreptul punctului respectiv. 1.7 Relaţia liniară dintre tensiuni şi deformaţii Starea de tensiune şi starea de deformaţie din dreptul punctelor corpului solid definesc starea de solicitare a corpului considerat. Între forţele aplicate şi deplasările produse, precum şi între eforturile interioare şi deformaţiile corpului solid, există o legătură strânsă, exprimabilă prin relaţii de calcul. În numeroase cazuri, deplasările elastice ale corpurilor solide sunt proporţionale cu forţele aplicate. Această observaţie exprimă legea lui Hooke. Se poate scrie:, în care este deplasarea unui punct oarecare, produsă de forţa F, fiind un coeficient de influenţă, care reprezintă deplasarea punctului considerat sub acţiunea unei forţe F egală cu unitatea. Mărimea acestui coeficient depinde de materialul, forma şi dimensiunile corpului, de poziţia forţei şi a punctului considerat. Valoarea inversă a acestui coeficient se numeşte F constantă elastică sau rigiditate k 1 şi se utilizează în calculul vibraţiilor mecanice. Astfel de relaţii de proporţionalitate pot fi scrise şi între rotiri şi forţe şi între cupluri de forţe şi deplasările produse de acestea. În acest sens, se consideră un element de corp solid solicitat numai de tensiuni normale şi apoi unul solicitat numai cu tensiuni tangenţiale. În Fig. 1.9 se reprezintă punctat faptul că tensiunile normale sunt însoţite de lungiri specifice, iar tensiunile tangenţiale de lunecări specifice. Legea lui Hooke exprimă şi relaţia de proporţionalitate existentă între aceste mărimi: E respectiv G unde constantele E şi G se numesc module de elasticitate longitudinal, respectiv transversal. În cazul materialelor omogene şi izotrope, valorile modulelor de elasticitate la temperatură constantă depind numai de materialul corpului solid, iar în cazul materialelor anizotrope şi neomogene şi de direcţia efortului.

23 4 Introducere Fig. 1.9 Legea lui Hooke se admite uneori în calcul şi în cazul materialelor care nu se supun acestei legi, ceea ce conduce la simplificări de calcul, dar şi la erori de calcul, în multe cazuri cu valori admisibile. Trebuie ţinut cont că relaţia liniară dintre tensiuni şi deformaţii se menţine, chiar şi în cazul materialelor care se supun acestei legi, numai dacă tensiunile au valori mai mici decât tensiunea corespunzătoare unei limite de proporţionalitate (a se vedea Capitolul 4). Deoarece aceeaşi proporţionalitate dintre tensiuni şi deformaţii se păstrează şi la descărcarea corpului solid, dacă tensiunile nu ating valori prea mari, rezultă că, o dată cu dispariţia forţelor aplicate dispar şi deformaţiile produse de acestea. Această proprietate caracterizează corpul solid elastic. Materialele care satisfac legea lui Hooke se vor numi materiale liniar-elastice. O consecinţă a legii lui Hooke este principiul suprapunerii efectelor. În conformitate cu acest principiu, dacă asupra corpului solid se aplică mai multe forţe, atunci se pot calcula tensiunile, deplasările şi deformaţiile produse de fiecare forţă în parte şi, apoi, efectul de ansamblu al tuturor forţelor se obţine prin însumarea efectelor cauzate de fiecare forţă în parte; cantităţile calculate corespunzătoare acţiunii tuturor forţelor exterioare (tensiune, deplasare şi deformaţie) nu depind de ordinea de aplicare pe corpul solid a forţelor exterioare. Principiul suprapunerii efectelor constituie principiul de bază pentru rezolvarea majorităţii problemelor de Rezistenţa materialelor (RM). Pentru a stabili formule de calcul, RM se foloseşte de ipoteze simplificatoare cu privire la comportarea materialului şi starea de solicitare. Deşi relaţiile de calcul stabilite pe baza acestor ipoteze conduc la erori, acestea sunt considerate admisibile în practica inginerească, deoarece ele sunt în general verificate de experienţă. 1.8 Ipotezele Rezistenţei materialelor (pentru bare) Referitoare la material, câteva dintre aceste ipoteze generale sunt:

24 Introducere 5 Ipoteza mediului continuu, prin care se admite că materialele folosite în construcţia barelor formează un mediu continuu care ocupă tot spaţiul delimitat de volumul acestora. Ipoteza omogenităţii şi izotropiei, prin care se admite că materialele barelor sunt omogene şi izotrope, adică au aceleaşi proprietăţi în toate punctele şi pe toate direcţiile. Câteva dintre cele mai utilizate materiale izotrope sunt considerate: oţelul, aluminiu şi aliajele sale, sticla. Pentru materialele care sunt anizotrope (lemn, fontă) la calculul de rezistenţă se iau în considerare proprietăţile de material dependente de direcţia de solicitare. Ipoteza identităţii proprietăţilor mecanice ale unui fragment infinit mic de bară cu cele ale întregii bare. Pe baza acestei ipoteze se realizează studiul matematic al unui element solicitat de bară (ecuaţiile de echilibru, de exemplu), care să permită extinderea relaţiilor astfel determinate la întreaga bară. Ipoteza comportamentului liniar elastic al materialului: Materialele utilizate în confecţionarea barelor în RM au un comportament liniar elastic, adică relaţia între tensiuni şi deformaţii este liniară. Referitoare la material şi starea de solicitare, câteva dintre ipotezele generale sunt: Ipoteza micilor deformaţii: Deformaţiile structurii studiate sunt mici (deformaţiile elastice ale corpurilor solide sunt deformaţii mici). În acest sens comitem o mică eroare făcând calculele pentru o structură presupunând că forţele exterioare şi reacţiunile din legături sunt aplicate pe structura nedeformată. Această ipoteză se numeşte şi a menţinerii dimensiunilor iniţiale. Ipoteza micilor deformaţii se aplică la scrierea ecuaţiilor de echilibru ale Staticii când nu sunt luate în considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor datorită deformării barei. Calculul realizat pe o schemă nedeformată se numeşte calcul de ordinul I; această metodă de calcul este considerată corespunzătoare pentru majoritatea problemelor din Rezistenţa materialelor (RM). Calculul de ordinul I devine necorespunzător pentru analiza problemelor de stabilitate (Capitolul 11) şi pentru rezolvarea acelor probleme pentru care nu sunt îndeplinite condiţiile de echilibru în starea nedeformată, ca în exemplul următor.

25 6 Introducere Dacă se doreşte, de exemplu, calculul deplasării pe verticală a nodului C al sistemului realizat din două bare identice, articulate la capete, sub acţiunea forţei verticale F (ca în Fig. 1.10), relaţia de echilibru a nodului C nu se poate scrie pentru starea nedeformată a sistemului; pentru această stare nedeformată ar urma ca forţa verticală să se descompună în două componente orizontale, ceea ce nu este posibil. Rezolvarea însă a problemei se poate face prin aplicarea calculului numit de ordinul II, adică scriind ecuaţia de echilibru pentru starea deformată, admiţând totuşi că deplasările produse prin deformaţia barei sunt mici. Fig In calculul de ordinul III se părăseşte ipoteza micilor deformaţii, deplasările fiind considerate mari, iar ecuaţiile de echilibru sunt scrise pe forma deformată. Chiar dacă materialul ascultă de legea lui Hooke, calculul de ordinul II conduce la relaţii neliniare între forţe şi deplasări, iar calculul de ordinul III conduce la ecuaţii diferenţiale neliniare. O consecinţă a principiului fundamental al dinamicii: Se consideră o secţionare cu un plan transversal a unui volum V (a se vedea Fig. 1.11); partea I exercită o acţiune (prin intermediul interfeţei) asupra părţii II. Fig O consecinţă imediată a aplicării acestui principiu la echilibrul static al părţii I este:

26 Introducere 7 Torsorul forţelor interioare reprezentând acţiunea părţii I asupra părţii II este echivalentă cu torsorul forţelor exterioare care acţionează asupra părţii I. Altfel spus, forţele exterioare de pe partea I se transmit asupra părţii II prin interfaţă. Principiul suprapunerii efectelor forţelor(sau principiul liniarităţii externe): Efectele (tensiuni, deformaţii şi deplasări) într-un punct al unei bare supuse acţiunii mai multor forţe exterioare sunt suma tensiunilor, deformaţiilor şi deplasărilor produse în aceleaşi puncte de fiecare forţă considerată izolată. Acest principiu se bazează pe ipoteza micilor deformaţii şi pe cea a comportamentului liniar elastic al materialelor. Acest principiu este baza teoremei Castigliano, de exemplu. Ne va permite de asemenea decuplarea (descompunerea) anumitor solicitări în solicitări simple, pentru a fi studiate separat. Principiul lui Saint Venant: Într-o secţiune suficient de îndepărtată de punctele de aplicaţie ale forţelor concentrate (forţe date sau reacţiuni din legături), tensiunile şi deformaţiile nu depind decât de rezultanta şi de momentul rezultant al sistemului de forţe în această secţiune. Principiul are o bază experimentală. Dacă punctul este aproape (adică la o distanţă mai mică decât cea mai mare dimensiune a secţiunii transversale a barei) de punctul de aplicaţie al forţei, Rezistenţa Materialelor (RM) nu mai permite descrierea stării de tensiuni şi deformaţii; în acest caz, numai Mecanica Mediilor Continue (MMC) permite evaluarea lor corectă. Totuşi, în practică, principiul lui Saint Venant este aplicat la toate barele, chiar foarte aproape de aceste zone critice. Ipoteza Navier Bernoulli: După deformarea barei, secţiunile iniţial normale la fibra medie rămân plane şi perpendiculare pe fibra medie(a se vedea Fig. 1.1). Domeniul practic de valabilitate a ipotezelor RM: Caracteristicle geometrice ale barelor trebuie să respecte anumite condiţii: Raportul dintre lungimea barei şi înălţimea secţiunii ei transversale nu trebuie să fie nici prea mică nici prea mare (între 5 şi 40). Raza de curbură a barei nu trebuie să fie prea mică.

27 8 Introducere Variaţiile caracteristicilor secţiunilor transversale (arii, momente de inerţie,...) trebuie să fie lente. Fig. 1.1 Principiul lui Bernoulli: starea iniţială a barei a) şi starea deformată b) 1.9 Metodele de calcul ale Rezistenţei materialelor Generalităţi Scopul Rezistenţei materialelor îl constituie stabilirea condiţiilor care să confere siguranţa în raport cu producerea unor fenomene nedorite cum ar fi: cedarea, deformaţiile excesive, adică stabilirea condiţiilor care să asigure exploatarea structurii pe toată durata ei de viaţă. In analiza pe care Rezistenţa materialelor o face structurilor şi elementelor acestora, se pot distinge două etape: A)Pornind de la acţiuni cunoscute, se determină răspunsul în elementul de structură. Prin răspuns se înţelege ansamblul de mărimi mecanice şi geometrice care caracterizează starea de solicitare, adică: tensiuni, eforturi, deformaţii, energia de deformare, etc. Răspunsul S poate reprezenta o tensiune normală sau tangenţială, o deformaţie specifică, un efort (de exemplu forţa axială N, forţa tăietoare T, momentul încovoietor Mi sau momentul de torsiune Mt). Mărimea răspunsului S depinde de natura şi intensitatea acţiunii pe de o parte şi de geometria structurii şi de proprietăţile mecanice ale materialelor din care aceasta este confecţionată. B) Se compară valoarea S a răspunsului, calculată ca efect al acţiunilor exterioare, cu valoarea limită a răspunsului SL, corespunzătoare unui stadiu inadmisibil de solicitare. Comparaţia presupune cunoaşterea prealabilă a valorii SL, valoare care depinde de proprietăţile mecanice ale materialelor, de dimensiunile şi forma elementelor constructive ale structurii analizate. Evaluarea S se face după reguli de calcul şi pe baza observaţiilor

28 Introducere 9 cu privire la comportarea materialelor şi elementelor de structură dar şi a structurii în totalitate. Un element prezintă siguranţă în raport cu stadiul de solicitare căruia îi corespunde valoarea limită a răspunsului SL, dacă este satisfăcută inegalitatea: (1.1) S S care se numeşte condiţie de siguranţă. Dacă stadiul avut în vedere se referă la cedarea elementului, condiţia se va numi de rezistenţă, dacă se referă la deformaţii, se va numi condiţie de deformare. Atât răspunsul S cât şi răspunsul limită SL se exprimă în funcţie de mărimi care sunt variabile aleatoare, adică mărimi a căror valoare depinde de un şir de factori întâmplători (faţă de care există un grad de incertitudine). Astfel, acţiunile exterioare nu pot fi evaluate în mod exact deoarece: -este posibil ca dimensiunile corpurilor, greutăţile lor specifice să varieze în anumite limite (ale unor toleranţe admisibile tehnic) şi astfel valorile reale ale încărcărilor să difere de estimările iniţiale; - factorul uman implică subiectivitate în aprecierea încărcărilor; - evoluţia unor fenomene poate fi imprevizibilă; - schematizările unor încărcări mari dinamice schimbă considerabil modul lor de acţiune real. Incertitudinile în valorile caracteristicilor mecanice ale materialelor pot apărea deoarece: - există neomogenităţi (goluri, incluziuni) chiar în materialul epruvetei de încercare; - aparatele înregistratoare din laborator fac determinări în condiţii care pot diferi de situaţiile de funcţionare reală; - structurile vechi pot suferi degradări ale materialelor dificil de evaluat. De asemenea, modificările în geometria elementelor (dezaxări, variaţii ale dimensiunilor din motive termice) chiar în limitele toleranţelor, atrag modificări în structura răspunsului. Simplificările, schematizările şi aproximările introduse în calcule prin ipotezele admise duc la valori ale răspunsului determinate în limitele acestor aproximări. Metodele de calcul trebuie să stabilească cum se poate ţine seama de caracterul aleator al mărimilor(încărcări şi material) cu care se lucrează, atunci când se exprimă siguranţa şi ce implicaţii are acest caracter aleator în relaţia acţiune-răspuns. L

29 30 Introducere Metoda de calcul cuprinde ansamblul de reguli prin care se ţine seama de variaţia aleatoare a parametrilor care determină siguranţa unui element sau a unei structuri şi prin care se stabileşte mărimea pe care trebuie să o exprime numeric Metodele deterministe. Metoda rezistenţelor admisibile şi metoda la rupere In metodele deterministe, acţiunile, rezistenţele şi dimensiunile elementelor sunt considerate cu valori unice, bine precizate (determinate) şi anume cu valori medii ale acestora. Relaţia acţiune-răspuns este considerată de asemenea deterministă: la o valoare unică a acţiunii se obţine o singură valoare a răspunsului S; este relaţia fizicii deterministe între cauză-efect. Siguranţa este apreciată prin raportul dintre valoarea limită a răspunsului SL şi valoarea răspunsului S obţinută ca efect al acţiunilor, raport care este definit drept coeficient se siguranţă c: S L c (1.) S Prin coeficientul de siguranţă se ţine seama de toate abaterile mărimilor aleatoare, faţă de valorile medii folosite la stabilirea valorilor lui S şi SL. Pentru a satisface condiţia (1.1) în situaţiile cele mai defavorabile, coeficientul de siguranţă trebuie să fie supraunitar. Din categoria metodelor deterministe pentru structuri s-au folosit şi încă se mai folosesc metoda rezistenţelor admisibile şi metoda la rupere. In metoda rezistenţelor admisibile, condiţia de rezistenţă se exprimă prin relaţia: (1.3 a) unde reprezintă tensiunea maximă efectivă din elementul studiat (răspuns stabilit determinist din valori medii ale acţiunilor), iar este rezistenţa admisibilă. Pentru materialele ductile, rezistenţa admisibilă se poate obţine prin împărţirea limitei de curgere cu coeficietul de siguranţă: c a c (1.3 b) a c c iar pentru cele casante, în funcţie de rezistenţa la rupere : a r

30 In relaţiile (1.3b) şi (1.3c) c c şi c r Introducere 31 r a c r (1.3c) sunt coeficienţii de siguranţă în raport cu curgerea, respectiv cu ruperea. Din relaţiile (1.3a), (1.3b) şi (1.3c) se vede că în mod principial condiţia de rezistenţă limitează mărimea a tensiunilor obţinută ca efect al acţiunilor considerate cu valorile medii, la o mărime admisă determinată de rezistenţele limită (, ) prin împărţire la un coeficient de siguranţă c r supraunitar. La o variaţie defavorabilă a mărimilor aleatoare, tensiunile reale pot depăşi valoarea, dar la o alegere corectă a coeficientului de siguranţă nu pot depăşi valoarea limitei din care s-a determinat (, ). Deoarece, rezultă că studiul stării de solicitare şi a siguranţei este făcut în a c domeniul elastic (presupunând că materialul se comportă elastic până la curgere ). c Sunt situaţii când atingerea tensiunii c c r într-o secţiune sau într-un punct al unei structuri nu implică cedarea elementului sau a structurii din care acesta face parte. Astfel, la structurile cu stări de tensiune neomogenă, cu secţiune neomogenă sau la structuri static nedeterminate din materiale ductile, se constată că intensitatea forţelor care corespund cedării (ruperii) este mai mare decât valoarea la care apare în punctul cel mai solicitat curgerea. In aceste situaţii este raţional a considera şi comportarea elementului de structură după depăşirea stadiului elastic şi a exprima condiţia de rezistenţă în eforturi. Dacă S este efortul într-o secţiune a unui element de structură sub valorile medii ale acţiunilor (N,T sau M), iar Sr este efortul corespunzător ruperii determinat cu medii statistice ale rezistenţelor, prin condiţia de rezistenţă se limitează valoarea lui S la: unde r S S r (1.4) max c r c este coeficienţul de siguranţă. Această metodă de apreciere a siguranţei fiind făcută cu referire la valori limită ce corespund ruperii, se numeşte metodă la rupere. Coeficientul de siguranţă are, în esenţă, în cele două metode aceeaşi semnificaţie; diferenţa principală dintre ele constă în faptul că metoda rezistenţelor admisibile apreciază siguranţa în raport cu limita stadiului elastic (admiţând că solicitarea se produce cu maximul sub limita de curgere), iar metoda la rupere, în raport cu stadiul de cedare (rupere). In

31 3 Introducere condiţii de asigurare similare, la elemente de structură din materiale ductile cu stări de tensiune neomogene sau static nedeterminate, rezultă valori diferite ale coeficientului de siguranţă în cele două metode. Cele două metode deterministe au şi caracteristici comune: -parametrii care intervin au valori unic determinate; -relaţiile de calcul dintre acţiune şi răspuns sunt de tip determinist; -coeficientul de siguranţă este unic pentru întreaga structură. Metodele deterministe sunt criticate pentru că asigură o rezolvare empirică a problemei siguranţei o problemă cu multe variabile soluţionată printr-un coeficient de siguranţă unic în care nu se poate regăsi explicit mărimea şi natura abaterilor pe care le acoperă Metodele probabilistice Variabilelor aleatoare li se ataşează noţiunea de probabilitate. Teoria probabilităţilor dă posibilitatea prevederii, cu o probabilitate aleasă aprioric, a valorii care se va obţine pentru mărimea studiată într-un experiment viitor. Pe baza câmpului de valori probabile ale acţiunilor, se poate determina prin relaţii de natură probabilistă câmpul de valori probabile ale răspunsului. Modului de analiză probabilist al variabilelor aleatoare şi relaţiei probabiliste acţiune-răspuns, i se adaugă o mărime de tip probabilist pentru aprecierea siguranţei: probabilitatea de cedare. Ea reprezită probabilitatea ca valoarea S a răspunsului să depăşească valoarea probabilă a răspunsului limită, care se notează PS S L. Condiţia de rezistenţă se scrie în forma: L P S S P şi exprimă condiţia ca probabilitatea de cedare să fie inferioară unei valori admisibile. Rezolvarea într-o manieră complet probabilistă a siguranţei P a implică dificultăţi datorită lipsei numărului suficient de date cu privire la acţiuni exterioare, rezistenţe, abateri geometrice Metode semiprobabiliste. Metoda stărilor limită In scopuri practice au fost elaborate metode semiprobabiliste (mult utilizate în domeniul construcţiilor) cum este metoda stărilor limită. Prin stare limită se înţelege un stadiu de solicitare a cărui atingere implică pierderea reversibilă sau ireversibilă a capacităţii unei construcţii de a satisface condiţiile de exploatare legate de destinaţia ei. Stările limită la care se verifică structurile se împart în două grupe: a

32 Introducere 33 -stări limită ultime, corespunzătoare epuizării capacităţii portante; această epuizare se produce prin rupere sau pierderea stabilităţii. -stări limită ale exploatării normale, care corespund apariţiei unor fenomene ce duc la întreruperea funcţionării normale. In această categorie sunt incluse deformaţiile excesive, fisurile peste anumite limite. In metoda stărilor limită sunt analizate statistic acţiunile şi rezistenţele şi, pe această bază se stabilesc valorile cele mai nefavorabile ale încărcărilor (cele mai mari valori), respectiv ale rezistenţelor (cele mai mici valori). Apoi, pe baza unei relaţii de tip determinist între acţiuni şi răspunsul structurii, sunt studiate un număr limitat de combinaţii ale valorilor variabilelor aleatoare ce intervin şi se exprimă condiţia de siguranţă în forma: (1.5) S S în care S este valoarea maxim probabilă a răspunsului determinat prin combinaţia cea mai defavorabilă a acţiunilor, iar SL este valoarea minim posibilă a răspunsului limită, stabilit considerând valorile minim probabile ale rezistenţelor. In metoda stărilor limită se ţine seama de variaţia posibilă a încărcărilor, rezistenţelor şi dimensiunilor prin coeficienţi diferenţiaţi (în locul coeficientului unic de siguranţă de la metodele deterministe). L

33 . EFORTURI ÎN BARE ŞI SISTEME DE BARE.1 Generalităţi Studiul complet al structurilor de rezistenţă (ansambluri acţionate de sisteme de forţe de direcţii oarecare) este laborios dacă se ţine cont de caracterul spaţial al structurilor. De cele mai multe ori, în practica inginerească se admite schematizarea structurilor spaţiale prin structuri plane încărcate în planul structurii sau normal pe acesta, conducând astfel la simplificări de calcul importante. Elementul de structură fundamental îl constituie bara şi în special bara dreaptă. Dacă problema de Rezistenţă a materialelor este determinarea stărilor de solicitare ale barei sub diverse acţiuni, ea poate avea următorul enunţ: Cunoscând geometria barei, legăturile ei şi încărcările, să se determine starea de tensiune şi deformare. Principalele etape în soluţionarea problemei enunţate sunt: -1) se determină complet sistemul forţelor exterioare care acţionează asupra barei, adică a preciza, pe lângă încărcări, natura şi mărimea reacţiunilor din legături; -) se determină eforturile în secţiunile transversale ale barei cu ajutorul metodei secţiunilor; -3) cunoscând eforturile se va putea trece la determinarea tensiunilor în orice punct al barei precizând în prealabil relaţiile matematice dintre tensiuni şi eforturi; dacă se cunosc relaţiile dintre tensiuni şi deformaţii, se pot calcula deformaţiile şi apoi pot fi evaluate deplasările. Primele două etape ale algoritmului de mai sus pot fi rezolvate pentru structurile static determinate folosind principiile Mecanicii teoretice. In continuare ne vom ocupa de determinarea eforturilor în bare drepte pentru cazul general şi pentru cazul în care bara este încărcată cu sarcini coplanare.. Eforturi în bare. Notaţii Deoarece în Rezistenţa materialelor nu există un consens privind utilizarea unui anumit sistem de referinţă, bara dreaptă se poate raporta la orice sistem cu menţiunea că relaţiile care descriu acelaşi fenomen fizic au semne sau forme diferite în funcţie de sistemul de referinţă folosit. Deosebirile sunt formale şi nu afectează rezultatele finale ale calculelor efectuate în sisteme de referinţă diferite.

34 Eforturi în bare şi sisteme de bare 35 Prin urmare, putem raporta bara dreaptă la un sistem drept de axe, Oxyz cu originea în centrul de greutate al feţei din stânga a barei cu axa x de-a lungul axei barei, iar axele y şi z axe transversale; orientarea sistemului drept folosită în această lucrare este cea dată în Fig..1. Fig..1 Orice secţiune transversală într-o bară are două feţe ataşate celor două tronsoane obţinute prin secţionare. Aceste feţe se mai numesc pozitive sau negative după cum normala exterioară coincide sau nu cu sensul pozitiv al axei x (normalele exterioare ale celor două feţe au sensuri contrarii). In Fig.. faţa pozitivă a secţiunii este faţa stângă, iar faţa negazivă este faţa dreaptă a secţiunii. Sistemul de axe la care se raportează faţa pozitivă a secţiunii este obţinut prin translaţia sistemului Oxyz (din Fig..1) până în centrul de greutate C al feţei pozitive a secţiunii (Fig..) Fig.. Descompunând elementele torsorului de reducere al forţelor interioare C M în câte trei componente se obţin eforturile într-o bară cu denumiri în concordanţă cu solicitările pe care le produc (a se vedea Capitolul 1): -N forţa axială; R şi C

35 36 Eforturi în bare şi sisteme de bare -Ty şi Tz forţe tăietoare sau de forfecare; -Mt momentul de torsiune; -Miy şi Miz momente încovoietoare. In Fig..3 sunt reprezentate şi tensiunile care apar pe faţa pozitivă (faţa stângă) a secţiunii. Toate eforturile N, Ty, Tz, Mt, Miy, Miz sunt proiecţii ale elementelor torsorului de reducere al forţelor interioare, rezultă că se pot stabili următoarele relaţii numite de echivalenţă între tensiuni şi eforturi prin care eforturile îşi manifestă de fapt prezenţa într-o secţiune transversală: N da ; T da y ; T da xy z ; M xz t y z xz xy da ; M iy A A A zda ; M iz A A A yda (.1) Fig..3.3 Eforturi în bare drepte încărcate cu forţe în planul xz In cazul problemelor plane (de exemplu în planul (x,z)), avem T 0, y M 0 şi M 0 ; în acest caz, cele trei eforturi nenule sunt: efortul normal iz t N, forţa tăietoare T componenta după z (Tz) şi momentul încovoietor M după

36 Eforturi în bare şi sisteme de bare 37 axa y (Miy); de cele mai multe ori, pentru acest caz particular de încărcare se folosesc pentru eforturile nenule notaţii simplificate: N, T şi M. Pot fi adoptate mai multe convenţii de semn. Pentru cazul unei bare drepte încărcată în planul (x,z) convenţiile de semn pentru încărcări şi pentru cele trei eforturi sunt: Incărcările exterioare (forţe şi momente) sunt pozitive dacă sunt orientate în sensul axelor de referinţă. Eforturile sunt pozitive atunci când sunt orientate în sensul axelor pozitive pe faţa pozitivă a secţiunii (faţa stângă) şi negative atunci când urmăresc axele negative pe faţa negativă (faţa dreaptă). In aplicaţii sunt utile şi definiţii şi convenţii de semn legate de semnificaţia fizică a eforturilor. Astfel: Forţa axială N reprezintă suma tuturor forţelor de pe partea dreaptă sau stângă a secţiunii proiectate pe direcţia axei longitudinale a barei (fibrei medii); forţa axială este prin convenţie pozitivă dacă produce întinderea tuturor fibrelor secţiunii(a se vedea Fig..4). Forţa tăietoare T (Tz) reprezintă suma tuturor forţelor de pe partea dreaptă sau stângă proiectate pe direcţia normalei la axa longitudinală a barei(axa z); forţa tăietoare este considerată prin convenţie pozitivă dacă produce o lunecare în sensul acelor de ceas (a se vedea Fig..4). Momentul încovoietor M (Miy sau Mi) reprezintă suma momentelor tuturor forţelor situate în partea dreaptă sau stângă a secţiunii faţă de centrul de greutate al secţiunii, la care se adaugă şi momentele concentrate; momentul încovoietor este considerat pozitiv dacă produce întinderea fibrelor inferioare (situate sub fibra medie) şi comprimarea fibrelor superioare (situate deasupra fibrei medii) (a se vedea Fig..4).

37 38 Eforturi în bare şi sisteme de bare Fig..4 Convenţia de semn a eforturilor N, T, M pentru cazul particular al forţelor din planul xz Utilizând convenţia de semn, când momentul încovoietor este pozitiv bara se deformează ca un vas care ţine apa, iar atunci când momentul încovoietor este negativ bara se deformează ca un vas care nu ţine apa (ca în Fig..5). Punctul de inflexiune apare în secţiunea X-X atunci când momentul încovoietor este zero. Fig..5 Valorile eforturilor secţionale N, T şi M variază de obicei în lungul unei bare, în funcţie de forma geometrică şi de modul de încărcare a barei. Pentru calculul de rezistenţă este necesară cunoaşterea valorilor tuturor eforturilor din fiecare secţiune transversală a barei. Prin reprezentarea acestora în lungul barei se obţin diagrame de eforturi secţionale.

38 Eforturi în bare şi sisteme de bare 39 Cu ajutorul diagramelor de variaţie ale eforturilor secţionale se obţin secţiunile cele mai solicitate (numite şi periculoase); valorile din aceste secţiuni periculoase ale forţei axiale, forţei tăietoare şi momentului încovoietor sunt utilizate în proiectare. Consideraţiile de mai sus, prezentate pentru bara dreaptă, sunt aplicabile şi în cazul barelor curbe..3.1 Construirea diagramelor pornind de la expresiile analitice ale eforturilor secţionale O cale directă de construire a diagramelor de eforturi constă în determinarea expresiilor analitice pentru o secţiune curentă x şi apoi reprezentarea grafică a funcţiilor N(x), T(x) şi M(x) rezultate. Pentru determinarea expresiilor N, T, M se ţine seama de faptul că legile lor de variaţie se modifică pe porţiuni unde sistemul forţelor exterioare de pe partea înlăturată îşi modifică configuraţia; porţiunile pe care aceste legi rămân aceleaşi sunt delimitate de secţiunile transversale ale barei în care sunt aplicate forţe sau cupluri concentrate sau unde legea de variaţie a încărcărilor distribuite se modifică. Se convine ca în graficele de variaţie ordonatele pozitive să fie reprezentate astfel: -pentru momente încovoietoare sub linia de referinţă (pe partea întinsă a barei) -pentru efort axial sau forţă tăietoare, deasupra liniilor de referinţă corespunzătoare. Zonele de variaţie se delimitează cu litere sau cifre care se înscriu în dreptul punctelor caracteristice. Numele diagramei şi unităţile de măsură (dacă este cazul) se înscriu alăturat diagramei reprezentate. Aplicaţie: Să se construiască diagramele de variaţie N, T şi M pentru bara din Fig..6. Rezolvare: Intervalele pe care vor fi stabilite expresiile eforturilor sunt delimitate de secţiunea în care încetează acţiunea sarcinii distribuite q şi de secţiunile 3 şi 4 în care acţionează cuplul concentrat M şi respectiv forţele concentrate F1 şi F. Parcurgerea barei cu consolă de la 1 până într-o vecinătate a punctului 5 se poate face fără determinarea reacţiunilor din încastrare; valorile acestor reacţiuni şi sensurile lor vor rezulta ca elemente de salt în

39 40 Eforturi în bare şi sisteme de bare toate cele trei diagrame în secţiunea 5. Pentru punctele de abscisă curentă x de pe fiecare interval, scriind eforturile pe faţa din dreapta rezultă: Nx 0 x 0,1m Intervalul 1- T x 0 0 q x T x T 1 m kn M x N x 0 x x M 0 0 q M 1m 1kN m Intervalul -3 x 1 m,m T x q1 1 kn const. M x q 1x x 0.5 Intervalul 3-4 x m,3m Nx 0 T x q1 1 kn const. M 1m 1kN m M m 3kN m Intervalul 4-5 M m 1kN m M x q 1x 0.5 M 1 x M 3m 1kN m x 3 m,4m M x q 1 x 0.5 M F x 3 N x F kn const T x q F kn const M 3m 1kN m 1 x x 3 M 4m 3kN m Pentru trasarea diagramelor se calculează valorile numerice ale ordonatelor într-un număr suficient de puncte de pe interval. Pentru variaţii liniare se determină valorile la limitele intervalelor, pentru variaţii după parabole de grad doi, la limitele intervalelor şi încă într-un punct de pe interval.

40 Eforturi în bare şi sisteme de bare 41 Fig..6 Diagramele de variaţie sunt date în Fig..6. După trasarea diagramelor, se pot stabili valorile reacţiunilor din încastrare: H 5 kn, V 4 kn, M 3kN m Relaţii diferenţiale între eforturi şi încărcări şi consecinţele lor In cazul unor bare cu încărcări diverse ca tip şi lege de distribuţie, intervin dificultăţi în trasarea diagramelor de eforturi şi în stabilirea secţiunilor cu valori extreme. Un ajutor preţios în rezolvarea corectă a acestor probleme îl reprezintă relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi încărcări. In scopul stabilirii relaţiilor dintre eforturi şi încărcări se va considera o bară dreaptă solicitată de un sistem de forţe exterioare concentrate şi distribuite continuu. Se convine să se accepte ca sens pozitiv pentru sarcinile exterioare sensul axelor sistemului cartezian drept la care se raportează bara, iar pentru cuplurile exterioare sensul orar va fi considerat pozitiv. De pe o porţiune în care acţionează cel mult încărcări distribuite se detaşează un element de lungime dx prin două secţiuni transversale (Fig.

41 4 Eforturi în bare şi sisteme de bare.7). Dacă presupunem dx infinit mic, atunci încărcările distribuite pot fi considerate uniform distribuite. Pe secţiunea din stânga se introduc eforturile N, T, M, iar pe secţiunea din dreapta aceleaşi mărimi cu creşterile diferenţiale corespunzătoare dn, dt, dm. Exprimând echilibrul elementului diferenţial sub acţiunea forţelor exterioare aferente şi a eforturilor secţionale prin anularea proiecţiilor acestor forţe pe axa x respectiv z şi a momentului în raport cu punctul O, se obţin relaţiile: F 0: N q dx N dn 0 x x F 0: T q dx T dt 0 (.) z z dx M 0: M Tdx q dx mdx M dm 0 O z După reducerea termenilor asemenea în expresiile de mai sus şi neglijarea infiniţilor mici de ordin superior din cea de-a treia ecuaţie de echilibru, se obţin relaţiile: dn q x dx dt q (.3) dx dm T m dx Deci, derivata forţei axiale N în raport cu x este egală cu intensitatea încărcării distribuite qx ce acţionează pe direcţie axială, luată cu semn schimbat. Derivata forţei tăietoare T în raport cu x este egală cu intensitatea încărcării distribuite qz ce acţionează pe direcţie normală la axa barei, de asemenea luată cu semn schimbat, iar derivata momentului încovoietor M este egală cu forţa tăietoare în secţiunea considerată, la care se adaugă intensitatea cuplului distribuit m. Dacă se neglijează în ultima relaţie (.3) termenul corespunzător cuplului distribuit m care intervine numai în cazuri particulare de încărcare şi ţinând dt cont de relaţia q z dx, se obţine ca o consecinţă a acestora relaţia: z dm dx Presupunând cunoscute legile de variaţie q (.4) z primelor două relaţii din grupul (.3) rezultă: q x şi q x z x prin integrarea

42 Eforturi în bare şi sisteme de bare 43 1 x (.5) z (.6) N q x dx C T q x dx C Fig..7 Cu rezultatul obţinut pentru forţa tăietoare T, integrând ultima relaţia din (.3) se obţine: M dx q dx C x C (.7) z 3 Constantele C, C, C se determină din condiţiile la limită (marginale). 1 3 Relaţiile diferenţiale (.3) şi (.4) pot fi privite ca relaţii de legătură între o funcţie şi prima respectiv a doua derivată, adică între graficul funcţiei, panta tangentei la graficul funcţiei şi curbură. Din ultimele două relaţii (.3) şi utilizând relaţia (.4) se observă că dacă q z superior lui x este un polinom, rezultă că T(x) şi M(x) sunt polinoame de grad q z x cu una, respectiv două unităţi. In dreptul unei forţe concentrate transversale (longitudinale) diagrama T (respectiv N) prezintă o discontinuitate de ordonată, iar diagrama M o discontinuitate de tangentă. De asemenea, în dreptul unui

43 44 Eforturi în bare şi sisteme de bare cuplu concentrat diagrama M prezintă o discontinuitate de mărimea cuplului şi în sensul acestuia. Expresiile eforturilor secţionale la dreapta şi la stânga punctului de pe bară în care se înregistrează discontinuitatea, diferă cu valoarea forţei concentrate sau a momentului concentrat pentru care punctul de discontinuitate este punct de aplicaţie. Pentru trasarea diagramelor de eforturi din relaţiile diferenţiale se desprind următoarele proprietăţi utile: - panta diagramei funcţiei N este dată de intensitatea sarcinii uniform distribuite care acţionează pe direcţia axei barei, luată cu semn q x x schimbat; - panta diagramei funcţiei T este dată de intensitatea sarcinii uniform distribuite care acţionează pe direcţia normalei la axa barei, q z x luată cu semn schimbat; - panta diagramei funcţiei moment încovoietor M este dată de funcţia T ( dm T dx ); M este o funcţie crescătoare dacă şi este o funcţie descrescătoare dacă T 0. Dacă T 0 momentul încovoietor M este constant; q x este polinomială de grad n atunci T are gradul - Dacă funcţia z T 0 n+1, iar M va avea gradul n+ ; adică dacă q q const., T are variaţie liniară iar M are variaţie parabolică cu concavitatea în sus atunci când q 0 sau cu concavitatea în jos atunci când q 0. In secţiunea în care T trece prin zero în interiorul intervalului, M înregistrează un extrem (maxim pentru q 0, sau minim pentru q 0 ); - În dreptul unei sarcini concentrate (forţă coaxială cu bara, forţă concentrată normală pe bară, moment concentrat) diagramele corespunzătoare (N, T şi respectiv M) înregistrează un salt de mărimea sarcinii..3.3 Folosirea simetriei şi antisimetriei forţelor exterioare la trasarea diagramelor de variaţie a eforturilor secţionale Barele care prezintă simetrie geometrică şi simetrie de încărcare sunt sisteme simetrice; barele care au ca particularitate simetria geometrică dar sunt încărcate antisimetric sunt sisteme antisimetrice. z

44 Eforturi în bare şi sisteme de bare 45 Pentru barele care reprezintă sisteme simetrice sau antisimetrice, diagramele de eforturi se pot trasa numai pe jumătate de bară, extinderea lor pe tot sistemul are în vedere proprietăţile de simetrie şi antisimetrie ale eforturilor secţionale: - dacă sistemul este simetric, atunci forţele axiale N şi momentele încovoietoare M au diagrame simetrice, în timp ce forţa tăietoare T are o diagramă antisimetrică; - dacă sistemul este antisimetric, atunci forţele axiale N şi momentele încovoietoare M au diagrame antisimetrice, în timp ce forţa tăietoare T are o diagramă simetrică. In axa de simetrie geometrică diagrama efortului antisimetric trece prin zero. Observaţiile de mai sus rămân valabile şi pentru sistemele care au antisimetrie geometrică combinată cu simetrie sau antisimetrie de încărcare..4 Aplicaţii Să se traseze diagramele de eforturi secţionale pentru următoarele sisteme: 1. Grinda simplu rezemată la capete încărcată cu o forţă concentrată perpendiculară pe axa grinzii a b (Fig..8a). Soluţie: Prima etapă a calculului este determinarea reacţiunilor din legături (forţe exterioare); reacţiunile se obţin cu uşurinţă în acest caz particular scriind două sume de momente faţă de punctele în care apar reacţiunile: M 0: F a V l Fa 0 se obţine V 0 l M 0: V l F b Fb 0 se obţine V 0 0 l Suma forţelor proiectată pe direcţia axei normale la grindă (direcţia z ) se transformă într-o identitate ţinând cont că a b l : Fb Fa F 0: V V F F 0 z 0 l l. In următoarea etapă se scriu pe intervale expresiile analitice ale forţei tăietoare şi ale momentului încovoietor: x 0, a Fb T x V const. 0 l Intervalul 0-1

45 46 Eforturi în bare şi sisteme de bare M 0 0 Fb M x V x x 0 Fab l M a l x a, l Intervalul 1- Fb Fa T x V F F const. 0 l l Fab Fb Ma M x V x F x a x F x a l 0 l M l 0 Fig..8 In diagrama din Fig..8 a forţele tăietoare sunt constante pe cele două intervale cu salturi în dreptul secţiunilor încărcate cu forţe concentrate. Forţelor tăietoare constante, le corespund momente încovoietoare cu variaţie liniară crescătoare pentru T>0 şi descrescătoare pentru T<0. Secţiunea periculoasă (dacă de interes este încovoierea) este cea în care momentul încovoietor este maxim, adică secţiunea din dreptul forţei F; Fab valoarea momentului încovoietor maxim este : M. max l Un caz întâlnit în practică este acela al unei grinzi încărcată cu forţa F la mijlocul deschiderii ( a b l /). In această situaţie momentul încovoietor Fl maxim este: M, iar diagramele de forţă tăietoare şi moment max 4 încovoietor se supun regulilor de trasare corespunzătoare unui sistem cu simetrie geometrică şi simetrie de încărcare (T-antismetrică, iar M - simetrică).

46 Eforturi în bare şi sisteme de bare 47. Grinda simplu rezemată cu o consolă, încărcată cu o forţă concentrată aplicată la capătul consolei (Fig..8 b). Soluţie: In prima etapă a calculului se determină reacţiunile din legături; reacţiunile se obţin scriind două sume de momente faţă de punctele în care apar reacţiunile: M 0: F a l V l F a l 0 se obţine V 0 l M 0: V l F a 0 se obţine (se va schimba sensul 0 V 0 Fa l reacţiunii V0, lucrând cu valoarea pozitivă a acesteia). Se poate verifica cu uşurinţă că suma forţelor proiectate pe verticală (axa z) se verifică identic, ca în cazul aplicaţiei precedente. De fapt, această aplicaţie poate fi considerată un caz particular al problemei precedente în care forţele exterioare (încărcări şi reacţiuni) au semne contrare forţelor aplicaţiei precedente. Se mai poate observa că în cazul grinzilor cu consolă diagramele de eforturi de pe zona consolei nu depind de încărcările de pe deschiderea grinzii (grinda se poate parcurge dinspre consolă spre reazemul cel mai apropiat). 3. Grinda simplu rezemată încărcată cu un moment concentrat; momentul concentrat este aplicat pe deschiderea grinzii (Fig..9 a cu a b) sau este aplicat la unul dintre capete (de exemplu la cel din stânga, în Fig..9b). Rezolvare: Reacţiunile din legăturile celor două grinzi din Fig..9 formează un cuplu care face echilibrul momentului concentrat aplicat M; valoarea reacţiunilor este mărimea momentului aplicat împărţită la braţul cuplului (mărimea deschiderii l), adică V V M (pentru Fig..9 a) şi V V M (pentru Fig..9 b) l l Reacţiuni egale în punctele cu legături înseamnă pentru cele două grinzi diagrame de forţă tăietoare constante (aceasta înseamnă diagrame de momente încovoietoare cu variaţie liniară). Deşi reacţiunile celor două grinzi sunt egale, totuşi diagramele de momente sunt diferite, cu valori diferite ceea ce înseamnă că grinzile sunt

47 48 Eforturi în bare şi sisteme de bare solicitate diferit la încovoiere. Reacţiunile egale au rezultat din condiţii de echilibru pentru grinda văzută ca un corp rigid; diferenţele din diagramele de momente apar datorită faptului că momentul concentrat este un vector legat de punctul de aplicaţie (grinda este considerată deformabilă). Fig..9 Pentru încărcarea din Fig..9 a valoarea maximă a momentului încovoietor este M M a max ( a b) în timp ce valoarea valoarea maximă a momentului l încovoietor pentru cazul din Fig..9 b este M. Din diagramele de M max momente încovoietoare ale grinzilor încărcate cu momente concentrate rezultă că situaţia mai dezavantajoasă de solicitare la încovoiere este aceea în care momentul concentrat este aplicat într-o extremitate a grinzii. In dreptul momentelor concentrate aplicate pe grinzile din Fig..9 apar salturi în diagrama de momente încovoietoare de mărimeam şi în sensul acestuia. 4. Grinda simplu rezemată la capete, încărcată cu o sarcină uniform distribuită pe deschiderea l având intensitatea q (Fig..10 a). Soluţie: Grinda din Fig..10 a este un sistem simetric (simetrie geometrică şi de încărcare faţă de axa de simetrie). Reacţiunile din cele două legături ql R l vor fi deci egale V V. 0 1 Forţa tăietoare T şi momentul încovoietor M pe intervalul 0-1 x 0, l :

48 Eforturi în bare şi sisteme de bare 49 T ql T x V R q x 0 0 x T l ql ql Forţa tăietoare trece prin zero în punctul de abscisă ql ). rezolvarea ecuaţiei: T x qx 0 l x 0 (se obţine din Fig..10 În punctul în dreptul căruia forţa tăietoare trece prin zero, diagrama de momente va înregistra un extrem (un maxim): M 0 0 x ql x M x V x R x q M l 0 0 x l ql M x max 0 8 Pentru sistemul simetric din Fig..10 a diagrama de forţă tăietoare este antisimetrică în timp ce diagrama de momente încovoietoare este simetrică. 5. Grinda simplu rezemată la capete, încărcată cu o sarcină liniar distribuită pe deschiderea l având intensitate maximă q (Fig..10 b)

49 50 Eforturi în bare şi sisteme de bare Soluţie: Din ecuaţiile de momente scrise faţă de extremităţile grinzii se determină reacţiunile: ql l M 0 : V l se obţine 3 R l ql l M 0 : V l se obţine 3 R l ql V 0 6 ql V 1 3 Suma proiecţiilor forţelor pe direcţia normalei la grindă este identic zero, ceea ce înseamnă că reacţiunile au fost corect calculate: ql ql ql V V R l 6 3 x 0, l Forţa tăietoare T şi momentul încovoietor M pe intervalul 0-1 ql T 0 ql 1 ql 1 x 6 T x V R q x q x 0 x x 6 6 l ql Tl 3 Forţa tăietoare variază după o parabolă de gradul II. Forţa tăietoare trece l 3 prin zero în punctul de abscisă x (este soluţia pozitivă care se obţine 0 3 ql 1 x din rezolvarea ecuaţiei: T x q x 0 ). 6 l În punctul în dreptul căruia forţa tăietoare trece prin zero, diagrama de momente va înregistra un extrem (un maxim): x ql 1 M x V x R x q x 0 x x 3 M 0 0 ql 1 x x x q x M l 0 l 3 l 3 ql M x max Momentul încovoietor variază după o parabolă de grad III cu valori nule la extremităţi. :

50 Eforturi în bare şi sisteme de bare Grinzi în consolă încărcate cu forţă concentrată (Fig..11 a), cu forţă uniform distribuită de intensitate q pe toată lungimea (Fig..11 b)şi cu forţă liniar distribuită de intensitate maximă q pe toată lungimea (Fig..11 c). Soluţie: Toate cele trei grinzi pot fi parcurse cum metoda secţiunilor mergând din capătul liber până într-o vecinătate a încastrării, fără a mai fi nevoie de etapa de calcul a reacţiunilor. Reacţiunile din încastrări, forţe şi momente, reprezintă discontinuităţile care închid diagramele de eforturi la zero. Pentru cele trei grinzi în consolă, secţiunile periculoase (secţiunile în care momentele încovoietoare sunt maxime) sunt cele din apropierea încastrării. Expresiile analitice pentru eforturile forţă tăietoare T şi momentul încovoietor M folosite la trasarea diagramelor sunt date în tabelele următoare: Fig..11 Intervalul 0-1 x 0, l T x F const. ; M x F x Fig..11 Intervalul 0-1 x 0, l T x M x qx ; x q

51 5 Eforturi în bare şi sisteme de bare x 0, l Intervalul x qx T x q x q x x l l 1 x 1 x x q x M x q x q x x 3 l 3 6l 3 Fig Grinda simetrică încărcată antisimetric (Fig..1) Soluţie: Grinda din Fig..1 este un sistem antisimetric. Calculul începe cu determinarea reacţiunilor (antisimetrice); se poate utiliza o singură ecuaţie de momente în raport cu unul dintre punctele de legătură: M 0: F l F 3 l V 4 l F 0 se obţine V 0 3 Reacţiunea V0 este antisimetrica lui V3. 3 Diagramele de eforturi T şi M se pot trasa numai pe jumătate din sistem, extinderea lor pe întreg sistemul se va face cel mai simplu ţinând cont de proprietăţile de simetrie şi antisimetrie ale eforturilor. In acest caz, forţa tăietoare - prin natura ei antisimetrică - va da o diagramă simetrică, în timp ce momentul încovoietor - de natură simetrică - va da o diagramă antisimetrică, cu punct de inflexiune în axa de simetrie geometrică S.

52 Eforturi în bare şi sisteme de bare 53 Fig Forţa tăietoare şi momentul încovoietor pentru bare încărcate numai cu sarcini concentrate Soluţie: Pentru a stabili procedura care trebuie adoptată în determinarea forţei tăietoare şi a momentului încovoietor pentru condiţii mai complicate de încărcare, să considerăm bara simplu rezemată din Fig..13 solicitată numai cu sarcini concentrate transversale. Fig..13 Valorile reacţiunilor la capetele barei se calculează din condiţiile de echilibru; reacţiunea VA rezultă considerând suma momentelor faţă de F: VA 1 (10 10 ) +(0 8) (0 6) (30 ) =0 Rezultă VA = 10 kn Din condiţiile de echilibru pe verticală se obţine reacţiunea din F: VA + VF = 0 Rezultă VF = 30 kn În acest stadiu al problemei ar fi bine să fie verificată reacţiunea VF din echilibrul rotaţional în raport cu punctul A.

53 54 Eforturi în bare şi sisteme de bare Însumând forţele fie de pe o faţă fie de pe alta a secţiunii X-X obţinem rezultatul din Fig..14. Utilizând convenţia de semn (Fig..4), forţa tăietoare în secţiunea X-X este +0 kn, deci forţa rezultantă în secţiunea X- X care are tendinţa de a forfeca bara este +0 kn. Fig..14 Forţa tăietoare (T) în secţiunea X-X Similar, Fig..15 prezintă suma momentelor forţelor în secţiunea X-X, momentul încovoietor fiind de 40 kn m. Fig..15 Momentul încovoietor (M) în secţiunea X-X M în A = 0 M în B = +(10 ) = +0 kn m M în C =+(10 4) (10 ) = +0 kn m M în D =+(10 6)+ (0 ) (10 4) = +60 kn m M în E =+(30 ) = +60 kn m M în E = 0 Toate valorile de mai sus au fost calculate ca momente ale forţelor considerate la stânga secţiunii cu excepţia secţiunii din E unde au fost considerate momentele forţelor din dreapta secţiunii. Diagramele de eforturi secţionale pentru bara încărcată ca în Fig..13 sunt reprezentate în Fig..16.

54 Eforturi în bare şi sisteme de bare 55 Din cele două diagrame reprezentate în Fig..16 se desprind câteva observaţii care vor fi explicate în paragrafele următor: a) între B şi C T este zero şi M rămâne constant b) între A şi B T este pozitiv iar diagrama M este crescătoare; fenomenul este invers între E şi F c) diferenţa în diagrama M între A şi B = 0 kn m = aria din diagrama T între A şi B. Fig Diagrame de forţă tăietoare T şi moment încovoietor M pentru bare solicitate prin încărcări combinate cu forţe concentrate şi distribuite uniform Să considerăm bara din Fig..17 încărcată cu sarcini concentrate şi uniform distribuite. Pentru calculul reacţiunilor din punctele A şi E se folosesc sumele de momente în raport cu E şi în raport cu A: (VA8)(40)(107) (06)(03)(101)(031.5) =0 Rezultă VA=4.5 kn (care este forţa tăietoare în A) (VE8)(4010)(101) (01)(05)(107)(036.5) =0 Rezultă VE=17.5 kn

55 56 Eforturi în bare şi sisteme de bare Se verifică echilibrul pe verticală al barei din Fig..17. (VA VE)= (10) 0010(03)40=170 Pornind de la suportul A M în A = 0 M în B = +(4.5 ) (10 1) = +65 kn m M în C =+(4.5 5) (10 4) (0 3) = +7.5 kn m M în D =+(4.5 7) (10 6) (0 5) (0 ) =.5 kn m (0 1) M în E =(40 ) = 80 kn m M în F = 0 Pentru acurateţea diagramei M se pot calcula una sau două valori intermediare: M între A şi B = +(4.5 1) (10 0.5) = kn m M între C şi D =+(4.5 6) (10 5) (0 4) = 45 kn m (0 1) (0 10.5) M între D şi E =+( ) (10 6) (0 = 39 kn m 5.5) (0.5) (0.51.5) (10 0.5) Fig..17

56 Eforturi în bare şi sisteme de bare 57 Diagramele de forţă tăietoare şi moment încovoietor sunt date în Fig..17. Pentru bara din Fig..17 este evident din diagrama de momente încovoietoare M că există un punct situat între C şi D în care diagrama îşi schimbă semnul; acest punct de inflexiune este cel în care diagrama de momente încovoietoare trece prin zero: M=(4.5)(5+x)(10)(4+x)0(3+x)0x0x /= x10x M= x10x =0 Soluţiile ecuaţiei de gradul doi sunt x1=1.96 şi x= 3.7. Deci punctul de inflexiune căutat este cel situat la distanţa 1.96 m de punctul C. 9. Diagramele de forţă tăietoare T şi moment încovoietor M pentru bara încărcată cu un cuplu (moment) concentrate În general există două căi prin care poate fi aplicat momentul concentrat: (a) cu forţe orizontale (b) cu forţe verticale Tipul (a) moment aplicat cu forţe orizontale: cuplu (moment) aplicat prin intermediul a două forţe F orizontale egale şi de sens contrar cu distanţa dintre suporturi d. Să considerăm bara AB din Fig..18 încărcată în C (la distanţa a de punctul A) cu momentul Fd. Reacţiunile din A şi B au sensurile indicate în Fig..18. Suma momentelor faţă de B egală cu zero va conduce la o ecuaţie în necunoscuta VA: VA LFd=0 conduce la VA =Fd/L Din echilibrul pe verticală rezultă VB =VA =Fd/L. Forţa tăietoare este constantă pe toată lungimea barei AB şi are valoarea Fd. L Momentul încovoietor între A şi C are expresia: Fd M V x x A L Deci momentul încovoietor între A şi C variază liniar între zero în punctul A Fd şi valoarea a în punctul C (Fig..18). L Momentul încovoietor între C şi B are expresia:

57 58 Eforturi în bare şi sisteme de bare Fd Fd M V x Fd x Fd V x x A B L L Deci momentul încovoietor între C şi B variază liniar între zero în punctul B şi valoarea Fd b L în punctul C (Fig..18). Fig..18 Tipul (b) moment aplicat cu forţe verticale Considerăm bara încărcată ca în Fig..19. Reacţiunile din A şi B au sensurile indicate în Fig..19. Suma momentelor faţă de B egală cu zero va conduce la o ecuaţie în necunoscuta VA: M V L F d b F d b 0 Rezultă V B A A L Din ecuaţia de echilibru pe verticală rezultă reacţiunea din B: F a d V. B L Diagrama de forţă tăietoare T este reprezentată în Fig..19. În diagrama T mărimea saltului din punctul C este dat de intensitatea forţei concentrate F. Momentul încovoietor M între A şi C are expresia:

58 Eforturi în bare şi sisteme de bare 59 F d b M V x x. Între A şi C momentul încovoietor are variaţie A L F d b liniară între valorile zero în A şi a în punctul C. L Fig..19 Momentul încovoietor M între B şi C are expresia: F a d M V x x. Între B şi C momentul încovoietor are variaţie B L F a d liniară între valorile zero în B şi b în punctul C. L În diagrama de momente încovoietoare saltul în punctul C este de valoarea Fd.

59 60 Eforturi în bare şi sisteme de bare 10. Să se traseze diagramele de variaţie ale forţei tăietoare şi momentului încovoietor pentru bara din Fig..0. Să se determine poziţia secţiunii de pe bară în care momentul încovoietor este extrem. Soluţie: Se determină reacţiunile din legăturile barei (din punctele A şi B). Din suma de momente în raport cu punctul A egală cu zero se va determina reacţiunea din punctul B: V Rezultă VB=19 kn. B Ecuaţia de echilibru a forţelor pe verticală va conduce la determinarea V V Rezultă VA=15 kn. reacţiunii VA : A B Expresiile forţei tăietoare între punctele de discontinuitate sunt date în continuare. T între A şi E =154x 0 x 1m T în A =+15kN T în E = +11 kn T între E şi D =154x5 ; T trece prin zero pentru x=.5m 1m x 4m T între D şi B =154x57 4m x 5m T între C şi B = = const. 0 x 1m T în E= 6 kn T în D= 6 kn T în D= 13 kn T în B= 17 kn T între C şi B constant = kn Valorile momentelor încovoietoare în punctele de discontinuitate sunt: M în A = 0 M în E = +(15 1) (4 10.5) = +13 kn m M în D =+(15 4) (4 4) (5 3) = +13 kn m M în B =+(15 5) (4 5.5) (5 4) (7 1) = kn m M în C = 0 Momentul încovoietor maxim se obţine pentru forţa tăietoare nulă, adică dm/dx este zero (pentru x=.5m faţă de punctul A). M în acest punct este = (.5 x 15) - (5 x 1.5) - 4 x.5 x 1.5 = knm

60 Eforturi în bare şi sisteme de bare 61 Fig Diagrame de eforturi secţionale la cadre plane Pentru sistemele plane de bare drepte (cadre plane) la calculul şi la aşezarea diagramelor N, T şi M se păstrează convenţia de semne de la barele drepte. Diagramele de momente încovoietoare se aşează în dreptul fibrelor întinse prin solicitarea de încovoiere. In punctele de îmbinare rigidă a două bare în unghi drept, momentul încovoietor se rabate de pe o regiune pe cealaltă (cu aceeaşi valoare şi acelaşi semn) în schimb la trecerea de pe o bară pe alta, forţa tăietoare T trece în forţă axială N şi invers. Exemple 1. Să se traseze diagramele de eforturi secţionale pentru cadrele din Fig. 4. şi Fig Rezolvare:

61 6 Eforturi în bare şi sisteme de bare Sistemele date sunt static determinate. Pentru cadrul din Fig..1 trasarea diagramelor de eforturi se poate face parcurgând sistemul din capătul liber către încastrare, fără să fie nevoie de calculul reacţiunilor din încastrarea 3. Fig..1 Fig.. Diagramele N, T şi Mi şi expresiile lor pe fiecare regiune a cadrului sunt date în Tabelul.1. Tabelul.1 Regiunea 1- x 0, l Regiunea 1- x 0, l Regiunea 1- x 0, l Nx 0 T x ql const. i Regiunea -3 x 0, l Regiunea -3 x 0, l N x ql const. Tx 0 x M x q M 0 0 i l M l q i Regiunea -3 x 0, l l M x q const. i

62 Eforturi în bare şi sisteme de bare 63 Sistemul din Fig.. nu poate fi parcurs cu metoda secţiunilor decât după determinarea reacţiunilor din legături. Pentru aceasta se utilizează ecuaţiile de echilibru din Statică: l ql F 0: ql H 0 H ql H 1 1 M 0: ql V l 0 V l ql M 0: ql V l 0 V Tabelul. Regiunea 1- x 0, l Regiunea 1- x 0, l l. 4 T 0 N x q const Regiunea 4-3 x 0, l l N x q const 4 T x ql qx ql Tl 0 Regiunea 4-3 x 0, l T x Regiunea 1- x 0, l x M x qlx q i M 0 0 i l M l q i Regiunea 4-3 x 0, l. 0 const. M x 0 const. i Regiunea 3- x 0,l 0 const. N x Regiunea 3- x 0,l l T x q const 4. Regiunea 3- x 0,l l M x q x i 4 M 0 0 i l M l q i

63 64 Eforturi în bare şi sisteme de bare.6 Diagrame de eforturi secţionale la bare curbe plane cu rază mare de curbură In secţiunile transversale ale barelor curbe plane solicitate de forţe în planul lor, se produc forţe axiale N, forţe tăietoare T şi momente încovoietoare M care se definesc în acelaşi mod ca la bara dreaptă (inclusiv convenţia de semne este cea de la bara dreaptă- Fig..3). Fig..3 Eforturi pozitive la bara curbă în comparaţie cu bara dreaptă Poziţia unei secţiuni oarecare din bara curbă se raportează la cel mai simplu sistem de referinţă; astfel, dacă bara are forma unui arc de cerc, coordonatele polare oferă cea mai directă raportare a unei secţiuni transversale. Linia de referinţă pentru trasarea diagramelor este axa barei curbe. Regulile de trasare a acestor diagrame sunt similare celor de la bara dreaptă; ordonatele sunt depuse în fiecare secţiune pe normala la axa barei (haşurile sunt şi ele reprezentate pe normala la axa barei). Forţa axială N reprezintă suma tuturor forţelor situate la dreapta sau la stânga secţiunii curente proiectate pe direcţia tangentei la curbă în secţiunea curentă; forţa axială este pozitivă dacă produce întindere. Forţa tăietoare T reprezintă suma tuturor forţelor situate la dreapta sau la stânga secţiunii curente proiectate pe direcţia normalei la curbă în secţiunea curentă; forţa tăietoare este pozitivă dacă produce în raport cu peretele secţiunii o lunecare în sensul acelor de ceas. Momentul încovoietor M reprezintă suma momentelor tuturor forţelor situate la dreapta sau la stânga secţiunii curente, calculate faţă de centrul de greutate al secţiunii curente (la această sumă de momente se adaugă şi cuplurile concentrate). Momentele încovoietoare se aşează pe diagrame în dreptul fibrelor întinse (diagrama se trasează de partea fibrei întinse). Expresiile pentru eforturi sunt funcţii trigonometrice de unghiul care poziţionează secţiunea curentă pe fiecare porţiune (atunci când încărcarea

64 Eforturi în bare şi sisteme de bare 65 este dată de forţe şi momente concentrate). Diagramele N, T şi M se pot trasa cu uşurinţă pentru eforturi exprimate prin funcţii trigonometrice simple; se calculează valorile eforturilor în extremităţile intervalului de definiţie pentru efortul secţional şi uneori în puncte de pe bara curbă din interiorul intervalului de definiţie. In cazul în care funcţiile ce exprimă eforturile secţionale sunt expresii trigonometrice complexe, pentru determinarea secţiunii periculoase sunt necesare punctele de extrem. Punctele de extrem se pot determina pentru fiecare expresie N, T sau M prin anularea primei derivate; se obţin ecuaţii trigonometrice ale căror soluţii generale se intersectează cu domeniul de definiţie al expresiilor eforturilor. In cazul sarcinilor distribuite după legi de variaţie cunoscute, eforturile pot fi obţinute prin integrarea unor ecuaţii diferenţiale (.8) care vor fi obţinute în paragraful următor, sau mai simplu se pot integra direct eforturile elementare date de sarcinile elementare. Eforturile N, T şi M pozitive într-o secţiune curentă sunt reprezentate în Fig..3. In situaţia în care forţele nu sunt situate în planul barei ci perpendicular pe planul barei, atunci în secţiunile transversale apar pe lângă momentele încovoietoare Mi şi momente de torsiune Mt (a se vedea aplicaţia din Fig..9)..6.1 Relaţii între eforturi şi încărcări la bara curbă plană încărcată în planul ei In Fig..4 a este reprezentat un element de bară curbă circulară de lungime ds şi de unghi la centru d aflat în echilibru sub acţiunea rezultantei sarcinilor distribuite uniform pe direcţia normalei qds, a rezultantei sarcinilor uniform distribuite pe direcţia tangentei qsds, şi a unui moment rezultat din însumarea momentelor distribuite pe elementul ds, mds. Din ecuaţiile de echilibru ale elementului de bară din Fig.. 4 a ( ecuaţii de proiecţii de forţe pe direcţiile normalei şi tangentei care trec prin O şi o ecuaţie de momente în raport cu punctul O) : d d N dn N cos dt sin d qds sin q ds cos 0 s d d T dt T cos d N sin d qds cos q ds sin 0 s M dm M T r sin d N r r cos d d q ds r sin q r r cos d mds 0 s

65 66 Eforturi în bare şi sisteme de bare d d d Dacă se ţine cont că sin d d;cos d 1;sin ;cos 1, reducând termenii asemenea şi neglijând infiniţii mici de ordin superior, va rezulta: dn T q s ds r ; dt N ds r q ; dm T m ds (.8) Fig.. 4 Dacă se vor considera efectele directe ale unor încărcări concentrate şi lipsesc sarcinile distribuite (forţe pe direcţia normalei şi tangentei dar şi un moment concentrat Fig..4 b) se vor obţine relaţiile de salt întocmai ca la bara dreaptă: N F ; T F; M M (.9) s Aplicaţii Să se traseze diagramele N, T şi M pentru barele curbe circulare din Fig..5 şi Fig..6. Soluţie:

66 Eforturi în bare şi sisteme de bare 67 Fig..5 Fig..6 Tabelul.5 Regiunea 1-0, Regiunea 1-0, Regiunea 1-0, N F N 0 cos F N 0 F T sin T 0 0 F T F M i M 0 0 r1 cos i F M i M r imax Sistemele din Fig..5 şi.6 sunt simetrice în raport cu axa verticală (au simetrie geometrică în raport cu această axă dar şi simetrie de încărcare). Diagramele de eforturi (reprezentate în tabelele.5 şi.6) se pot trasa numai pe jumătate din sistem, urmând ca extinderea lor pe întreaga bară curbă să se facă ţinând cont de proprietăţile de simetrie şi antisimetrie ale eforturilor secţionale; astfel, diagramele N şi M vor fi simetrice, iar diagrama T va fi antisimetrică.

67 68 Eforturi în bare şi sisteme de bare Tabelul.6 Regiunea 1- N 0, N Fsin 0 0 N F N 0 Regiunea 1- T T 0, Fcos 0 F T 0 T F Regiunea 1- i 0, sin M F r M i 0 0 M i imax M F r M 0 i Să se determine expresiile analitice ale forţei axiale N, forţei tăietoare T şi a momentului încovoietor M pentru bara semicirculară încastrată, încărcată cu o forţă radială uniform repartizată din Fig..7a şi pentru bara semicirculară încastrată, încărcată cu o sarcină distribuită uniform cu direcţia tangentei la axa barei din Fig..7 b. Fig..7

68 Eforturi în bare şi sisteme de bare 69 Soluţie: Pentru schema de încărcare din Fig..7 a forţa aplicată se consideră compusă dintr-o sumă de forţe radiale elementare df qds qr d. Se notează cu unghiul secţiunii pentru care se calculează eforturile şi cu unghiul care defineşte poziţia forţei elementare. În secţiune, forţa elementară dă eforturi elementare, egale cu: dn qr d sin dt qr d cos dm qr d sin Prin integrare se obţin expresiile eforturilor: N dn q r d qr 1 cos q r sin 0 0sin T dt q r cos d qr sin q r sin cos 0 0 M dm q r d qr 1 cos q r sin 0 0sin Pentru schema de încărcare din Fig..7 b forţa aplicată se consideră compusă dintr-o sumă de forţe tangenţiale elementare df qds qr d. În secţiune, forţa elementară dă eforturi elementare, egale cu: dn qr d cos dt qr d sin dm qr d 1 cos Prin integrare se obţin expresiile eforturilor: cos N dn q r d q r sin 0 0 T dt q r d q r sin 1 cos cos sin M dm q r d q r 0 0 Reprezentarea grafică a celor trei diagrame N, T şi M se face cu uşurinţă înlocuind cu valori cuprinse între 0,.

69 70 Eforturi în bare şi sisteme de bare In multe aplicaţii porţiunile curbe ale barelor se asamblează rigid cu porţiuni de bară dreaptă (ca în exemplul din Fig..8). Diagramele de eforturi se trasează pe fiecare zonă de continuitate (în coordonate polare pentru zona circulară şi carteziene pentru porţiunea dreaptă). Fig..8 Diagramele de eforturi sunt reprezentate în Tabelul.8. Pentru bara semicirculară încastrată, solicitată de o forţă concentrată perpendiculară pe planul barei (Fig..9), să se traseze diagramele de eforturi secţionale. Soluţie: Se va considera o secţiune oarecare (secţiunea curentă) definită de unghiul. Direcţiile de proiecţie din secţiunea curentă vor fi: o direcţie radială R-R şi o direcţie tangenţială t-t situate în planul barei. Diferite de zero în secţiunea curentă sunt: - forţa tăietoare T constantă perpendiculară pe planul barei; - momentul încovoietor Mi care este momentul forţei F în raport cu dreapta radială R-R ; - momentul de torsiune Mt care este momentul forţei F în raport cu tangenta în secţiunea curentă. Fig..9

70 Tabelul.8 Eforturi în bare şi sisteme de bare 71 Diagramele de eforturi sunt reprezentate în Tabelul.9. Regiunea 1-0, N ql cos 3 N 0 ql 3 N 0 Regiunea 3- x 0,l 0 const. N x Regiunea 1-0, T ql sin 3 T 0 0 T ql 3 Regiunea 3- x 0,l 4 T x ql qx 3 4 T 0 ql 3 T l ql 3 4 T x 0 x l 0 3 Regiunea 1-0, M i 3 M 0 0 M ql 1 cos i i ql 3 Regiunea 3- x 0,l 4 x M x qlx q i 3 M 0 0 i M l ql i 3 4 M i x l 3 16 ql 18 max 0

71 7 Eforturi în bare şi sisteme de bare Tabelul.9 Regiunea 1- T F const. M F r sin i 0, Regiunea 1- M 0, i 0 0 M F r i M 0 i Regiunea 1- M t F r 1 cos M M 0, t t 0 0 F r F r M t.7 Metoda suprapunerii efectelor In cazul în care grinzile sunt încărcate cu mai multe sarcini, acţionând simultan, se procedează ca în exemplele precedente adică: se determină reacţiunile pentru încărcarea totală, apoi pentru fiecare porţiune de grindă se scriu expresiile care dau funcţiile N, T şi M. În unele cazuri se ajunge mai rapid la rezultat aplicând principiul suprapunerii efectelor. Acesta constă în a considera separat efectul fiecărei încărcări şi a calcula astfel funcţiile T şi M corespunzătoare lor. Funcţia efortului total pentru fiecare porţiune de grindă, produs de toate încărcările simple, se obţine adunând algebric funcţiile corespunzătoare diferitelor încărcări pentru acea porţiune. Deci aplicarea practică a principiului suprapunerii efectelor presupune trasarea diagramelor pentru fiecare încărcare în parte; apoi prin adunarea diagramelor parţiale, se obţin diagramele de eforturi pentru grinda considerată. Metoda se recomandă pentru grinzile încărcate cu puţine sarcini, suprapunerea diagramelor devenind o operaţie greoaie pentru încărcări multiple. Metoda de trasare este prezentată în Fig..30. Pentru a putea aduna ordonatele, una dintre curbe se desenează deasupra iar cealaltă dedesuptul liniei de reper, dacă ambele diagrame au acelaşi semn. Dacă diagramele sunt de semne contrare, ele se desenează de

72 Eforturi în bare şi sisteme de bare 73 aceeaşi parte a liniei de reper, iar efortul total rezultă prin scăderea ordonatelor celor două curbe. Fig..30

73 3. CARACTERISTICILE GEOMETRICE ALE SECŢIUNILOR TRANSVERSALE ALE BARELOR În definirea răspunsului sistemelor de bare la acţiunea forţelor exterioare, pe lângă forţele interioare şi proprietăţile fizice ale materialelor din care elementele sunt alcătuite sunt necesare mărimi legate de forma şi dimensiunile secţiunilor transversale ale barelor, numite caracteristici geometrice ale secţiunilor. 3.1 Aria secţiunii. Momente statice. Centre de greutate Cea mai simplă caracteristică geometrică a secţiunii transversale este aria secţiunii. Dacă se consideră secţiunea compusă dintr-o infinitate de arii elementare da (Fig. 3.1), aria secţiunii va fi: (3.1) A da (Integrala din relaţia (3.1) se va efectua pe întreaga secţiune). Unitatea de măsură pentru arie este (Lungime) (în S.I. este m ). Se consideră o figură plană (secţiunea transversală S-S a unei bare) raportată la un sistem ortogonal de axe Oyz (Fig. 3.1). Cu notaţiile din această figură se definesc momentele statice ale secţiunii faţă de axa y şi axa z, reprezentând suma produselor ariilor elementare da cu distanţa la axa corespunzătoare (y sau z): S zda şi S yda z (3.) y A Unitatea de măsură pentru momentele statice este (Lungime) 3 (în S.I. este m 3 ). Dacă se notează cu yc şi zc coordonatele centrului de masă sau de greutate al secţiunii, prin aplicarea teoremei lui Varignon se obţin relaţiile: Ay yda şi A z zda C A A A C A Din care rezultă coordonatele centrului de masă sau de greutate ale secţiunii: 1 1 y yda C A z zda C A. (3.3) A A Din relaţiile (3.3) se deduce că momentul static al secţiunii faţă de o axă care trece prin centrul de greutate al acestei secţiuni este nul. Axele de coordonate care trec prin centrul de greutate al secţiunii se numesc axe centrale.

74 Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor 75 Fig. 3.1 În cazul unei secţiuni compuse din mai multe secţiuni simple Ai, pentru care sunt cunoscute coordonatele yi, zi ale centrului de greutate Ci, relaţiile (3.3) devin: y C n i1 n i1 Ay 3. Momente de inerţie (geometrice) i A i n i i1 ; z C n i1 Az i A i i (3.4) Se numeşte momentul de inerţie axial al figurii plane (de arie A) în raport cu o axă din planul său, suma produselor elementelor de arie da cu pătratele distanţelor la axa considerată. În raport cu axele Oy şi Oz momentele de inerţie sunt: I z da y I y da z (3.5) A Suma produselor elementelor de arie da cu distanţele lor la un sistem de axe rectangular Oyz, adică: I yzda (3.6) yz A A

75 76 Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor se numeşte moment de inerţie centrifugal al figurii plane în raport cu axele Oyz. Momentul de inerţie polar al unei figuri plane în raport cu un punct numit pol din planul figurii este suma produselor elementelor de arie da cu pătratele distanţelor lor la acel punct. În Fig. 3.1 polul O este originea sistemului de axe Oyz, iar momentul de inerţie polar este: I r da (3.7) Deoarece p r y z, momentul de inerţie polar se poate scrie: A (3.8) I r da y z da I I p z y A A adică momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie axiale Iy şi Iz pentru oricare axe ortogonale Oy şi Oz care trec prin polul O. Din relaţia (3.8) se observă că suma momentelor de inerţie axiale în raport cu axele rectangulare cu aceeaşi origine O reprezintă un invariant la rotirea sistemului de axe. Unitatea de măsură pentru momentele de inerţie este (Lungime) 4 (în S.I. este m 4 ). Observaţii: - momentele de inerţie axiale şi momentul de inerţie polar sunt cantităţi strict pozitive, în timp ce momentul de inerţie centrifugal poate avea valori pozitive, negative sau poate fi nul. - momentul de inerţie centrifugal este nul atunci când secţiunea are cel puţin o axă de simetrie (oricare axe ortogonale centrale Oy şi Oz) - mărimea momentului de inerţie centrifugal este o măsură a nesimetriei secţiunii faţă de o axă (oricare axe ortogonale centrale Oy şi Oz). 3.3 Momente de inerţie pentru secţiuni simple Determinarea momentelor de inerţie pentru figurile simple se poate realiza pornind de la formulele de definiţie. (a) Momentul de inerţie la dreptunghi. Să se calculeze momentele de inerţie axiale în raport cu axele centrale Cy şi Cz paralele cu laturile dreptunghiului din Fig. 3.. Pentru determinarea momentului de inerţie în raport cu axa centrală Cy, se consideră o suprafaţă elementară da de forma unei fâşii paralele cu axa Cy, de lăţime b şi înălţime dz, astfel că da b dz. Se va obţine:

76 Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor 77 h 3 bh (3.9) I z da b z dz y 1 A h Analog, momentul de inerţie în raport cu axa centrală Cz: 3 hb I z y da (3.10) 1 A Pentru axele O1y1 şi O1z1 care conţin laturile dreptunghiului din Fig. 3. momentele de inerţie vor fi: I y 1 h 3 bh b z dz şi I z 1 b 3 hb h y dy (3.11) Fig. 3. Momentul de inerţie centrifugal în raport cu sistemul de axe Oyz este nul, deoarece acestea sunt axe de simetrie. (b) Momentul de inerţie la triunghi Să se calculeze momentul de inerţie a triunghiului din Fig. 3.3 faţă de axa centrală Cy.

77 78 Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor Se calculeză momentul de inerţie faţă de axa y1 care coincide cu o latură a triunghiului din Fig Se efectuează integrala pe fâşia şi apoi integrala pe intervalul y 1 0, b. Ordonata z 1 h. z b y 1 1 b z dy 1 1 are variaţie liniară: Pornind de la definiţia momentului de inerţie în raport cu o axă, rezultă: b z 1 b h bh b 1 A (3.1) I z da dy z da dy b y y 1 Folosind relaţia Steiner, se poate determina momentul de inerţie Iy: I y 3 3 bh bh h bh (3.13) Fig. 3.3 (c) Momentul de inerţie la cerc. Având în vedere simetria secţiunii în raport cu oricare axă centrală, este avantajos să se determine întâi momentul de inerţie polar şi apoi, să se evalueze momentele de inerţie în raport cu axele centrale. Elementul de arie da (Fig. 3.4) este cuprins între două raze care fac între ele unghiul d şi două cercuri concentrice de rază r şi r+dr: da=rdrd. Integrând pe întreaga suprafaţă a cercului se va obţine: R R D I p r da r drd d r dr (3.14) 3 A A 0 0

78 Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor 79 Ţinând seama de relaţia (3.8) rezultă momentele de inerţie axiale: I 4 4 p R D I I (3.15) y z 4 64 Fig. 3.4 (d) Momente de inerţie pentru o secţiune de forma unui sector circular (Fig. 3.5a) Se calculează momentele de inerţie faţă de axele y0,z0 şi momentul de inerţie polar în raport cu polul O, R 4 R sin I I z da r sin rddr y y (3.16) z 0 A 0 R 4 R sin cos 0 4 A 0 (3.17) I y da r rd dr 4 R I I I (3.18) O y z 0 0 Poziţia centrului de greutate pe axa y este dată de relaţia: y 0C R 3 y da cos 0 r rddr R sin A 0 3 Rsin R da R 3 rddr A 0 (3.19) Cu teorema Steiner se calculează momentul de inerţie faţă de cealaltă axă centrală, şi anume z:

79 80 Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor 4 R sin 4R sin I I Ay R z z 0C sin 4sin R (3.0) Fig. 3.5 Un caz particular de sector circular des întâlnit este secţiunea în formă de semicerc pentru care = (Fig. 3.5b) Caracteristicile geometrice şi inerţiale în acest caz particular (suprafaţă semicirculară) sunt: 4 4R R 4 8 y ; I I I ; 0C y z y I R z 8 9 (3.1) 3.4 Variaţia momentelor de inerţie în raport cu axe paralele Se consideră o figură plană de arie A raportată la un sistem de axe ortogonale Oyz, pentru care se cunosc momentele de inerţie în raport cu axele Oy şi Oz. Să se determine momentele de inerţie în raport cu noile axe O1y1 şi O1z1 paralele cu primele (a se vedea Fig. 3.4). Cu relaţiile dintre coordonate: z z b 1

80 Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor 81 y y a 1 unde a şi b sunt coordonatele originei sistemului vechi Oyz în noul sistem de coordonate Oy1z1 şi utilizând formulele generale pentru momentele de inerţie rezultă: I z da z b da z da b zda b da I bs b A y 1 y y 1 A A A A A (3.) În acelaşi mod se obţine: I I as a A z z z 1, (3.3) iar pentru momentul de inerţie centrifugal, I y z y a z b da I as bs aba (3.4) yz y z 11 A În aceste relaţii, Sy şi Sz sunt momentele statice ale figurii în raport cu axele Oy şi Oz. Dacă aceste axe sunt centrale atunci momentele statice în raport cu ele sunt nule, iar relaţiile pentru momentele de inerţie în raport cu axele paralele cu cele centrale vor fi: I I b A y 1 1 y I I a A z z y z 11 (3.5) I I aba. Relaţiile (3.5) se folosesc frecvent pentru calculul momentelor de inerţie ale figurilor compuse şi mai sunt cunoscute sub numele de teorema STEINER. Adunând primele două relaţii (3.5), se obţine pentru momentul de inerţie polar: I I a b A (3.6) p 1 Dacă sunt cunoscute momentele de inerţie în raport cu nişte axe oarecare, pentru axele care trec prin centrul de greutate al figurii, paralele cu axele date, din relaţiile (3.6) rezultă: p yz I I b A y y 1 I I a A z z 1 I I aba yz y z 11

81 8 Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor Fig. 3.6 Din aceste relaţii rezultă că momentele de inerţie în raport cu axele centrale au cea mai mică valoare în comparaţie cu momentele de inerţie pentru oricare alte axe paralele cu primele. Pentru suprafeţe care pot fi descompuse în n elemente simple (dreptunghiuri, triunghiuri, cercuri) relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie în raport cu axele centrale ale figurii compuse pot fi scrise sub forma: n I I z z A y y C i 0 i1 ( i) ( i) n ( i) ( i) z z C i 0 i1 (3.7) I I y y A n ( i) ( i) yz y z C i C i1. I I y y z z A Un exemplu de utilizare a relaţiilor (3.7) se poate urmări în Aplicaţia 1 de la sfârşitul acestui capitol. 3.5 Variaţia momentelor de inerţie la rotirea axelor De interes practic este problema determinării momentelor de inerţie extreme pentru o figură plană (secţiune transversală a unei bare) şi

82 Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor 83 determinarea poziţiei axelor în raport cu care momentele de inerţie sunt extreme. În acest sens se studiază problema dezvoltată în continuare. Cunoscând momentele de inerţie Iy, Iz, Iyz ale unei figuri plane în raport cu un sistem ortogonal de axe Oyz din planul ei, să se determine momentele de inerţie în raport cu un nou sistem de axe ortogonal Oy1z1, rotit faţă de primul cu un unghi (a se vedea Fig. 3.7), considerat pozitiv dacă este descris în sens orar. Coordonatele unui element de arie da în noul sistem de axe, se vor exprima în funcţie de coordonatele din vechiul sistem (a se vedea Fig. 3.7) prin relaţiile: y y cos z sin 1 z z cos ysin 1 Înlocuind aceste expresii în relaţiile de definiţie pentru Iy1, Iz1, Iy1z1, se obţine: sau I cos sin y z da 1 z y da 1 A A cos z da sin y da sin cos yzda A A A I cos sin z y da 1 y z da 1 A A yz 1 1 cos y da sin z da sin cos yzda A 1 1 A A A A cos sin cos sin I y z da y z z y da cos yzda sin yzda sin cos z da y da A A A A I I I I cos sin sin y y z yz 1 I I I I (3.8) sin cos sin z y z yz 1 I I y z I sin I sin y z yz 11 Ţinând cont de relaţiile (3.5) şi (3.6) ca şi de expresiile de trecere a funcţiilor trigonometrice de la argumentul simplu la cel dublu

83 84 Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor 1 cos 1 cos sin, cos, sin cos sin relaţiile (3.8) pot fi scise sub forma: I I I I y z y z I cos I sin y yz 1 I I I I y z y z I cos I sin (3.9) z yz 1 I I y z I sin I cos z y yz 1 1 Adunând primele două relaţii din (3.8) se obţine I I I I y z y z 1 1 adică suma momentelor de inerţie axiale în raport cu două axe ortogonale pentru aceeaşi origine, este un invariant. Din relaţiile (3.9) se observă că mărimea unui moment de inerţie în raport cu o axă oarecare depinde de unghiul de înclinare a acestei axe faţă de o axă de referinţă. În această situaţie se poate determina o valoare 0 a unghiului, pentru care momentul de inerţie atinge o valoare extremă. Pentru evaluarea extremului se anulează prima derivată a expresiei Iy1 din grupul de relaţii (3.9): di I I y 1 y z sin I cos I 0 (3.30) 0 yz 0 y z d 11 De unde I yz tg 0 I I y z (3.31) Din relaţia (3.30) se constată că derivata momentului de inerţie Iy1 în raport cu este momentul de inerţie centrifugal al secţiunii luat cu semnul minus. Relaţia (3.31) conduce la două valori pentru unghiul 0: şi. Deci există două axe ortogonale pentru care momentele de inerţie 0 sunt extreme, iar momentul de inerţie centrifugal este nul. Asemenea axe se numesc axe principale de inerţie, iar momentele în raport cu aceste axe se numesc momente de inerţie principale. Deoarece suma momentelor de inerţie faţă de două axe normale între ele reprezintă un invariant la rotirea axelor, rezultă că unei axe principale îi corespunde cel mai mare moment de 0

84 inerţie I I Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor 85 I min I max 1. iar celeilalte axe îi corespunde valoarea minimă Momentele de inerţie în raport cu axele Oy1 şi Oz1 se pot scrie în funcţie de momentele de inerţie principale: I I I I 1 1 I cos y 1 I I I I 1 1 I cos z 1 I I 1 I sin yz 1 1 Fig. 3.7 Valorile momentelor de inerţie principale se obţin prin înlocuirea expresiei (3.31) în prima relaţie din grupul (3.9). În acest sens se calculează: tg I 1, yz sin 1, 1 tg 1, I I 4I cos 1 y z yz 1, 1 tg 1, Rezultă expresia momentelor de inerţie principale: I y I I I 4I z y z yz

85 86 Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor I I I I I I I (3.3) pr,1 y z y z yz Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ, atunci axa principală pentru care momentul de inerţie este maxim trece prin primul cadran al sistemului de referinţă considerat. Dacă momentul de inerţie centrifugal este pozitiv, atunci axa principală pentru care momentul de inerţie este maxim trece prin cel de-al doilea cadran al sistemului de referinţă considerat. Axele principale de inerţie pot fi precizate în orice punct din planul figurii. Din punct de vedere practic interesează însă în mod deosebit axele principale centrale de inerţie ale figurii şi momentele de inerţie principale centrale. Astfel, momentul de inerţie maxim I1 este de interes în problemele de încovoiere, iar momentul de inerţie minim I este important în problemele de flambaj. Când figura are cel puţin o axă de simetrie, una dintre axele centrale principale de inerţie va corespunde cu axa de simetrie care trece prin centrul de greutate al figurii. 3.6 Modul de rezistenţă Raportul dintre momentul de inerţie al unei secţiuni faţă de o axă centrală de inerţie şi distanţa celui mai îndepărtat punct din secţiune de această axă se numeşte modul de rezistenţă. Presupunând axa în discuţie Oy, considerând distanţele zs şi zi (figura 3. 8) şi notând modulul de rezistenţă cu Wy, rezultă: W ys I z y s W yi I z y (3.33) Modulul de rezistenţă se măsoară în unităţi de lungime la puterea a treia [L 3 ] iar în S.I. se măsoară în [m 3 ]. În cazul secţiunii dreptunghiulare (Fig. 3.9 a) rezultă relaţiile: 3 3 bh hb I y 1 bh I z W ; 1 hb W y h h z 6 b b 6 În cazul secţiunii circulare (Fig. 3.9 b) modulul de rezistenţă este: 4 3 D 64 D W W W y z D 3 i

86 Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor 87 Fig. 3.8 Pentru profilele laminate (L, I, U) întâlnite frecvent în practică sunt întocmite tabele care conţin momentele de inerţie, modulele de rezistenţă, ariile precum şi alte elemente geometrice evaluate ţinându-se cont de detaliile geometrice cum ar fi racordări, înclinări ale feţelor. Fig Rază de inerţie. Elipsă de inerţie Momentul de inerţie al unei secţiuni se poate reprezenta pornind de la definiţie sub forma produsului dintre aria secţiunii şi pătratul unei mărimi numite rază de inerţie sau de giraţie: y y (3.34) A I z da Ai

87 88 Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor în care iy constituie raza de inerţie în raport cu axa y având dimensiunea [L] (în S.I. se măsoară în (m)). Rezultă că razele de inerţie sau de giraţie pentru cele două axe la care se raportează figura vor fi: i y I y A i z I z A (3.35) Pentru axele centrale principale de inerţie razele de inerţie principale sunt: i I 1 1 A i I A (3.36) Presupunând că pentru o figură plană este cunoscută poziţia axelor principale centrale de inerţie Oy (axa 1) şi Oz (axa ), momentul de inerţie Iy1, faţă de o axă Oy1 care face unghiul cu axa principală Oy, se va scrie pornind de la relaţia: I I cos I sin (3.37) Un punct M pe axa Oy1 luat astfel încât y 1 1 OM unde k este o constantă arbitrară, va avea coordonatele: k k y cos ; z sin I I y 1 Înlocuind cos şi sin din coordonatele de mai sus în relaţia (3.37) se obţine: I y I z k (3.38) 1 Dacă pentru k se alege valoarea particulară k I y 1 k y 1 Ai i se obţine în (3.38) ecuaţia unei elipse care reprezintă locul geometric al punctului M atunci când axa Oy1 se roteşte în jurul originei O: 1 y i z 1 (3.39) i 1 Relaţia (3.39) reprezintă ecuaţia elipsei principale centrale de inerţie a figurii, cu semiaxele i1 şi i care sunt razele de giraţie principale(fig. 3.10).

88 Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor 89 Fig Momente de inerţie pentru secţiuni de formă complexă. Aplicaţii În problemele de calcul al elementelor de construcţii apare adesea necesitatea determinării momentelor de inerţie pentru secţiuni de formă mai complicată în raport cu diferite axe situate în planul acestor secţiuni. Pentru suprafaţa din Fig cotată parametric să se determine momentele de inerţie centrale principale şi poziţia axelor centrale principale. Paşii de lucru în calculul momentelor de inerţie pentru secţiuni complexe, sunt următorii: - se împarte suprafaţa secţiunii în părţi componente simple pentru care momentele de inerţie se pot calcula uşor; pentru aceste elemente simple se cunosc ariile şi poziţiile centrelor de greutate; discretizarea nu este unică. În Fig. 3.1 suprafaţa se împarte în două dreptunghiuri cu centrele de greutate în O1 (7aa) şi O şi (aa). Semnul se referă la faptul că suprafaţa simplă participă la rezistenţa suprafeţei compuse. - în raport cu axele unui sistem de referinţă auxiliar ( yoz în Fig. 3.13) se determină poziţia centrului de greutate C al suprafeţei compuse (C se află pe linia determinată de centrele de greutate O1 şi O ). Sistemul de referinţă auxiliar nu este unic; în Fig sistemul de referinţă auxiliar este ales astfel încât coordonatele centrelor de greutate ale celor două dreptunghiuri să fie pozitive. Relaţiile de calcul pentru centrul de greutate al suprafeţei compuse sunt:

89 90 Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor y z C C n ya i i.5a7a aa i1.17a n 7a a A i1 n i1 i za i i 3.5a7a 6.5aa i1 4.17a n 7a a A i În Fig este reprezentat centrul de greutate C al suprafeţei compuse şi axele centrale y şi z. - utilizând relaţiile de calcul (3.7) de la variaţie a momentelor de inerţie în raport cu translaţia axelor (teorema STEINER) se pot calcula momentele de inerţie axiale şi cel centrifugal în raport cu axele centrale. 3 ( i) ( i) a 7a I I z z A y a a a y C i 0 i1 1 3 a a 4.17a 6.5a a 4.75a ( i) ( i) 7a a I I y y A z a a a z C i 0 i1 1 3 a a.17a a a 4.75a 1 4 i ( i) ( ) yz y z C i C i1 I I y y z z A a a a a a 4.17a a 4.17a 6.5a a 7a - utilizând relaţia (3.31)se stabileşte poziţia axelor principale centrale: I 4 yz 7a 7 tg , 4 4 I I 4.75a 4.75a 19 y z Rezultă pentru axa principală centrală (1) principală () 0 10 iar pentru axa centrală (a se vedea Fig. 3.14). Se observă că 1 momentul de inerţie este maxim pentru axa în raport cu care materialul înregistrează cea mai mare împrăştiere.

90 Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor 91 -utilizând relaţia (3.3) se determină momentele de inerţie extreme: I I I I I 4I 3.75a 0.5a,1 y z y z yz 4 4 Rezultă I 44a iar I 3.5a 1 Fig Fig. 3.1 Fig. 3.13

91 9 Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor Fig Aplicaţia Să se calcluleze momentele de inerţie faţă de axele centrale principale ale secţiunii din Fig (secţiunea este cotată parametric). Rezolvare: Pentru determinarea poziţiei centrului de greutate se împarte secţiunea în trei dreptunghiuri de arii A1, A, A3 şi centrele de greutate în O1, O şi O3. Poziţia centrului de greutate al suprafeţei compuse în raport cu axele sistemului auxiliar y O z se determină cu relaţia: y 0 z C C za t 8t 6t 8t 11t 0t i i 7.47t A 8t 8t 0t i Pentru aflarea momentului de inerţie faţă de axa centrală Oy se aplică relaţia lui STEINER: 3 ( i) ( i) t 4t I I z z A y t t t y C i 0 i1 1 t 8t 10t t 7.47t 6t 8t 7.47t 11t 0t 65t

92 Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor ( i) ( i) 4t t 8t t t 10t 4 I I y y A 178 z t z C i 0 i I yz 0 Momentul de inerţie maxim este în raport cu axa centrală principală y (axa 1) iar momentul de inerţie minim este în raport cu axa z (axa ). Aplicaţia 3 Fig Să se calculeze momentele de inerţie în raport cu axele centrale (sunt şi principale) Iy şi Iz ale ansamblului profilelor din Fig. 3.16, lipite unele de altele. Rezolvare: Pentru profilele U30 şi I4 se găsesc în tabelele cu profile standardizate: poziţiile centrelor de greutate, ariile, momentele de inerţie calculate în raport cu axele ce trec prin centrele lor de greutate.

93 94 Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor Pentru cele două profile simetrice înălţimea în cm este chiar numărul profilului (pentru U30 înălţimea h este de 30cm, iar pentru I4 înălţimea h este de 4cm). În Fig este precizată poziţia centrului de greutate faţă de latura profilului (.7cm). Fig Datele referitoare la arie şi momente de inerţie, cu identificarea axelor este bine să fie centralizate în tabele de forma: Nr. profil Tip profil Aria [cm ] I y 0 [cm 4 ] I z 0 [cm 4 ] 1 U I U ( i) ( i) I I z z A I I I I I y y C i y y y y y i cm I 4 ( i) ( i) 1 h 1 I I y y A I e A I z z C i y z i cm 4

94 4. INTINDERE SI COMPRESIUNE 4.1 Bare încărcate axial Cel mai simplu caz pe care-l putem considera este al unei bare drepte din metal, de secţiune constantă, încărcată la capete cu o pereche de forţe egale şi de semn contrar, coliniare (suporturile lor coincid cu axa longitudinală a barei) şi acţionează în centrele de greutate ale secţiunilor de capăt. Bara solicitată astfel se află în echilibru static. Dacă forţele exterioare F care solicită bara ies din planul secţiunilor de capăt, se spune că bara este supusă (solicitată) la întindere; pentru cazul în care forţele intră în planul secţiunilor de capăt bara se va considera solicitată la compresiune (Fig. 4.1). Fig. 4.1 Fig. 4. Sub acţiunea perechii de forţe exterioare F aplicate, forţele interioare care dau măsura stării de solicitare pot fi evidenţiate dacă se face o secţiune imaginară a-a cu un plan perpendicular pe axa longitudinală a barei (Fig. 4. (a)). Dacă se izolează partea barei situată în stânga secţiunii imaginare a-a (Fig. 4. (b)), atunci trebuie introdus efectul părţii îndepărtate (din dreapta secţiunii), efect de aceeaşi natură cu al forţei exterioare F. Pentru echilibrul fragmentului de bară izolat, suma forţelor din secţiunea a-a va egala forţa exterioară F şi va reprezenta forţa axială N din secţiunea considerată. Deci, o bară dreaptă este solicitată la întindere sau compresiune dacă în secţiunile ei transversale se dezvoltă forţe axiale notate cu N (forţe cu direcţia axei longitudinale a barei). Valoarea forţei axiale N în dreptul unei secţiuni este dată de suma proiecţiilor pe axa longitudinală a barei a tuturor forţelor situate la stânga sau la dreapta secţiunii considerate. Forţele axiale sunt admise pozitive dacă produc întindere şi respectiv negative dacă produc

95 96 Intindere şi compresiune compresiune. Pentru determinarea secţiunii periculoase la barele drepte de secţiune constantă este necesară trasarea diagramei forţelor axiale. Forţa axială are afect asupra întregii secţiuni transversale şi îşi manifestă prezenţa prin forţe distribuite pe unitatea de suprafaţă; pentru studiu se face ipoteza distribuirii uniforme a forţei axiale în planul secţiunii transversale. Astfel, pentru generalitatea studiului solicitării axiale este preferată analiza acestor mărimi distribuite pe unitatea de suprafaţă numite tensiuni normale, studiului forţelor axiale. Aceste tensiuni normale au direcţia forţei axiale (sunt perpendiculare pe secţiunea considerată ) şi au ca unitate de măsură unitate pentru presiune (în S.I. se măsoară în N/m sau Pa). Forţa axială reprezintă deci rezultanta tuturor tensiunilor care se dezvoltă într-o secţiune transversală. Pentru determinarea mărimilor specifice prin care forţa axială se manifestă - adică a tensiunilor normale, se poate imagina un experiment simplu prin care este solicitată axial o bară dreaptă, de lungime L, confecţionată dintr-un material omogen şi izotrop care ascultă legea lui Hooke, cu aria secţiunii transversale A constantă de-a lungul barei. Schema de încărcare a barei este dată în Fig Inainte de deformare se marchează o secţiune transversală oarecare a-a situată la distanţa x de un capăt al barei. Prin aplicarea unei forţe exterioare F cu direcţia axei barei secţiunea transversală oarecare se deplasează, dar rămâne plană şi perpendiculară pe axa longitudinală şi după deformare, adică în acest caz este satisfăcută ipoteza lui Bernoulli. Fig. 4.3 Fig. 4.4 Forţa axială între cele două puncte de discontinuitate 1 şi de pe bară este constantă şi egală cu forţa F aplicată. Toate punctele secţiunii transversale se deplasează cu aceeaşi cantitate x, iar lungirea specifică în dreptul fiecărui punct este: x const. x

96 Intindere şi compresiune 97 Lungirilor specifice constante le vor corespunde tensiuni normale constante =const. uniform repartizate în planul secţiunii. Calculul tensiunilor. Pentru calculul de rezistenţă la solicitarea axială este necesară o relaţie de legătură între forţa axială şi tensiunea normală uniform repartizată în planul secţiunii prin care aceasta se manifestă. In acest scop se poate izola porţiunea de bară de lungime x ca în Fig. 4.4, iar din ecuaţia de echilibru rezultă: F 0 x, N da da A A de unde se obţine expresia tensiunii normale pentru solicitarea de întindere sau compresiune sau formula pentru calculul de rezistenţa la solicitarea axială: A N A (4.1) Calculul deformaţiilor. Expresia lungirii specifice se poate determina din legea lui Hooke E : N (4.) E E A Valoarea lungirii totale L se calculează cu relaţia: N L L L (4.3) E A Produsul EA (cu E modulul de elasticitate în direcţie longitudinală şi A aria secţiunii transversale a barei) se numeşte modul de rigiditate la solicitarea axială. Pentru bare care au secţiune variabilă în trepte formula (4.3) devine: cu,, i i i L N L i i (4.4) i E A i N L A forţa axială constantă pe interval, lungimea intervalului pe care forţa axială este constantă, respectiv aria secţiunii transversale constantă pe interval. Rigiditatea axială a unei bare (k) este forţa axială necesară pentru a produce o alungire egală cu unitatea. k. N L 1 Luând L=1 şi N k, din relaţia (4.3) pentru bara de secţiune constantă, rezultă:

97 98 Intindere şi compresiune EA k L N dan. ; m cm (4.5) Alungirea produsă de o forţă axială egală cu unitatea se numeşte flexibilitatea barei la forţe axiale. Flexibilitatea este inversa rigidităţii, 1 L m cm f L ; N 1 k EA N dan (4.6) Oricărui organ de maşină sau element de structură trebuie să îi fie asigurată rezistenţa (tensiunile să nu depăşească anumite valori) şi rigiditatea (forma să fie stabilă, iar deformaţiile să nu depăşească anumite valori). In general deci, este nevoie să se stabilească condiţii de rezistenţă şi condiţii de rigiditate. In aplicaţii se limitează valoarea tensiunii maxime la valoarea N rezistenţei admisibile : max (4.7) a A max relaţia (4.7) reprezentând condiţia de rezistenţă la solicitarea axială. Sunt situaţii în care sunt limitate fie deformaţia specifică de valoarea deformaţiei specifice admisibile, fie alungirea sau scurtarea L de o valoare admisibilă a L a : max, respectiv a L L (4.8) relaţia (4.8) reprezentând condiţia de rigiditate la solicitarea axială. 4. Probleme de verificare, dimensionare şi forţa capabilă la solicitarea axială a. Verificarea barelor. Cunoscând forţa axială efectivă N pe care bara o suportă şi secţiunea efectivă a barei prin aria ei Aef, tensiunile care se produc sunt obţinute direct din relaţia (4.1), iar deformaţiile cu relaţiile (4.) şi (4.3). Pentru a asigura funcţionarea corespunzătoare a barei este necesar ca: tensiunea astfel calculată să fie mai mică sau cel mult egală cu rezistenţa admisibilă corespunzătoare a (condiţia de rezistenţă): N max max ; ef a A ef a

98 Intindere şi compresiune 99 deformaţia specifică sau alungirea calculată să fie mai mică decât valoarea deformaţiei specifice admisibile, sau alungirea să fie mai mică decât cea admisibilă L a (condiţia de rigiditate): N max max ef a ef EA EA ef ef a N L L L. b. Dimensionarea barelor. Secţiunea necesară a barei (Anec) rezultă din aceleaşi relaţii (4.1), (4.) şi (4.3) prin explicitarea ariei. Astfel, din condiţia de rezistenţă: N max A ; nec din condiţia de rigiditate: N N L max max A sau A. nec nec E EL a Formula de dimensionare indică doar mărimea ariei, nu şi forma ei; forma secţiunii transversale rămâne la alegerea proiectantului. c. Determinarea forţei capabile (Ncap). Forţa capabilă se determină explicitând forţa axială în relaţiile (4.1), (4.) şi (4.3), cunoscând valoarea ariei efective (Aef) şi valoarea rezistenţei admisibile a,, : din condiţia de rezistenţă: N A a cap ef a din condiţia de rigiditate: L a N E A sau N E A cap ef a cap ef L In relaţiile de calcul N reprezintă efortul axial calculat pe baza încărcărilor. Există cazuri când secţiunea barei este slăbită de găuri sau crestături funcţionale sau constructive. Neglijând concentrările de tensiuni care apar datorită acestor micşorări locale de rezistenţă, se va lucra cu secţiunea efectivă. Secţiunea întreagă nemicşorată se numeşte brută ( A ), iar secţiunea slăbită se numeşte netă ( A neta a a a L a bruta ), diferenţa dintre ele fiind aria găurii sau crestăturii ( A). Dacă solicitarea este la întindere, atunci în calcul se va introduce aria netă A. neta Dacă solicitarea axială este de compresiune, se disting două situaţii:

99 100 Intindere şi compresiune - golurile sunt efective (neumplute); în calcul se consideră A neta - Găurile sunt umplute de tijele niturilor, şuruburilor, şi se poate considera că solicitarea se transmite şi prin materialul de umplere; astfel, în calcule se va considera aria brută, pentru secţiunea nemicşorată. 4.3 Contracţia transversală Dacă vom solicita la întindere cu forţa F bara de secţiune dreptunghiulară de lungime iniţială L din Fig. 4.5, aceasta se va alungi cu cantitatea L; deformaţia specifică în direcţie longitudinală este: L L Experienţa practică arată că o dată cu alungirea barei se produce o micşorare a dimensiunilor transversale (de exemplu b şi h din Fig. 4.5). Reducerea specifică a dimensiunilor laterale ale barei poate fi exprimată prin intermediul deformaţiei specifice laterale (sau transversale), de semn contrar deformaţiei specifice longitudinale: b h (4.10) lat transv b h Raportul dintre deformaţia specifică laterală (sau transversală) şi deformaţia specifică longitudinală se numeşte coeficientul lui Poisson şi se notează în general cu litera grecească : h b transv h b Coeficientul lui Poisson (4.11) L L L L In practică semnul - este ignorat interesând doar raportul dintre deformaţia specifică transversală şi cea longitudinală. Definirea coeficientului lui Poisson după relaţia (4.11) este utilă şi în determinarea pe cale experimentală a acestuia. Pentru majoritatea materialelor utilizate în inginerie coeficientul lui Poisson se situează în intervalul Deoarece deformaţia specifică longitudinală se poate scrie utilizând legea lui Hooke sub forma:, E A bruta.

100 deformaţia specifică transversală Intindere şi compresiune 101 transv transv se poate scrie în forma:. E Fig. 4.5 Problemele de întindere sau de compresiune care se pot rezolva numai cu ajutorul metodelor de calcul ale Staticii se numesc probleme static determinate. 4.4 Sisteme static determinate solicitate axial Eforturi axiale şi diagrame de eforturi axiale Dacă bara are secţiune constantă, pentru a cunoaşte secţiunea periculoasă în care forţa axială este maximă, este necesar să se construiască diagrama eforturilor axiale. Dacă sistemul este static determinat, iar încărcarea barei este dată doar de forţe concentrate, diagrama de forţe axiale se trasează imediat pornind de la definiţia forţei axiale.

101 10 Intindere şi compresiune Un exemplu de lucru este prezentat în Fig. 4.5, unde construcţia diagramei începe din capătul liber (la trasarea diagramei nu s-a ţinut cont de greutatea proprie a barei). Fig. 4.5 In cazul barelor lungi sau cu secţiuni transversale mari trebuie luat în consideraţie efectul greutăţii proprii. Dacă se notează cu A aria secţiunii transversale şi cu greutatea specifică a barei ( g ), încărcarea distribuită are intensitatea: q x A. Fig. 4.6

102 Intindere şi compresiune 103 Expresia forţei axiale într-o secţiune oarecare x (pornind din capătul încastrat al barei) şi valorile în punctele de discontinuitate sunt date în tabelul următor: Expresia forţei axiale într-o Valori în capetele barei secţiune x N x A l q x A l A xn 0 A l Expresia deplasării u într-o secţiune x Deformaţia specifică a unui fragment de lungime dx al barei este: du N x Al x de dx E A E A unde x x l 1 x u x l xdx x E E E 0 Variaţia deplasării axiale este parabolică (Fig. 4.6) Nl 0 Valorile deplasării în capetele barei u A l 1 G l u l u l max E A E A O bară rigidă ABC este articulată în B şi are ataşat în A un sistem compus din două bare de oţel de secţiuni diferite ca în Fig Dacă forţa aplicată în C este F=40kN, să se determine deplasarea pe verticală a punctului C. Rezolvare: Izolând bara rigidă ABC de sistemul elastic compus din barele AD şi DF se poate evidenţia forţa din punctul A, FA (Fig. 4.8). Ecuaţia de momente faţă de articulaţia B a forţelor de pe bara rigidă ABC conduce la determinarea forţei din A, FA. F M 0 adică F l F l 0 de unde F 0kN B A A Sistemul elastic static determinat cu barele AD şi DF legate în serie este solicitat de forţa FA. Deplasarea punctului A este legată de alungirea celor două bare, deci: F l F l 3 A AD A DF m 18.3mm A E A E A AD DF

103 104 Intindere şi compresiune Deplasarea punctului C se află cu deplasarea punctului A în raportul dat de A bara rigidă, adică 9.17mm. C Fig. 4.7 Fig. 4.8

104 Intindere şi compresiune 105 Dacă sistemul este static nedeterminat, atunci reacţiunea static nedeterminată trebuie mai întâi determinată, după care se poate trasa diagrama eforturilor axiale. 4.5 Sisteme static nedeterminate solicitate axial In cazul sistemelor static nedeterminate ecuaţiile de echilibru care se pot scrie sunt insuficiente pentru finalizarea problemei, scrierea lor reprezentând o primă etapă de lucru. Pentru soluţionarea problemei de solicitare axială, la ecuaţiile de echilibru se adaugă relaţii care ţin cont de modul în care se deformează sistemul; aceste relaţii se mai numesc de compatibilitate geometrică. Stabilirea ecuaţiilor de compatibilitate geometrică sau a condiţiei de deformaţie a sistemului reprezintă o a doua etapă de lucru. Metoda de calcul a sistemelor static nedeterminate în care necunoscutele sunt eforturi sau reacţiuni, ce se determină din condiţii de compatibilitate a deplasărilor, se numeşte metoda eforturilor. O altă metodă de calcul a sistemelor static nedeterminate este metoda deplasărilor. In această metodă ca necunoscute se consideră deplasările, care apar din condiţii de echilibru. Atât pentru metoda forţelor cât şi pentru metoda deplasărilor există metodologii generale de calcul. In cele ce urmează se vor rezolva prin metoda eforturilor câteva sisteme simple static nedeterminate solicitate axial. Exemplul 1 Structura din Fig. 4.9 este formată dintr-o bară rigidă ABDF articulată în punctul A şi suspendată prin intermediul a două bare din oţel BC şi aluminiu DE. Bara din otel şi cea din aluminiu sunt fixate în punctele C şi E. O forţă exterioară P=1000 N este aplicată în punctul F. Pentru această structură se cer reacţiunile din legături, tensiunile normale în barele de oţel şi aluminiu şi care este deplasarea punctului F sub acţiune forţei exterioare P. Se mai dau modulele de elasticitate ale celor două materiale EOl=.1x N/m, EAl= 0.7x N/m.

105 106 Intindere şi compresiune Fig. 4.9 Pentru bara ABDF nu se iau în consideraţie deformaţiile din încovoiere şi nici efectul greutăţii proprii( forţa P este considerată mult mai mare decât greutatea barei). Pentru a înţelege ce înseamnă un sistem static nedeterminat se analizează această structură după procedura standard de echilibru static. Etapa I Analiza echilibrului static 1:Se construieşte diagrama corpului (barei ABDF) eliberat de legături. În Fig.4.10 sunt reprezentate reacţiunile din legăturile barei ABDF în articulaţia a şi în punctele de prindere ale barelor din oţel şi aluminiu. Fig.4.10 : Descompunerea reacţiunilor în componente după axele x şi z. (Toate forţele sunt fie pe direcţie x (orizontală) fie pe direcţie z (verticală): 3: Aplicarea condiţiilor de echilibru

106 F 0 H F 0 V : HA = 0 : -VA + FOl + FAl - P = 0 Intindere şi compresiune 107 M 0: + FOl (L) + FAl (L) - P (3L) = 0 A La acest punct într-o problemă static determinată se pot calcula reacţiunile în legături. Totuşi în acest caz, se observă că avem trei necunoscute şi doar două ecuaţii independente; deci, problema nu poate fi rezolvată. Condiţiile de echilibru static singure nu sunt suficiente pentru a rezolva problema, adică sistemul dat este static nedeterminat. O cale de a depăşi această dificultate este de a găsi o altă ecuaţie independentă. Această ecuaţie independentă suplimentară este una care ţine cont de modul în care se deformează sistemul. Etapa a IIa. Ecuaţia de compatibilitate geometrică (ecuaţia de deformaţie) Pasul 1 constă în a găsi o relaţie generală (geometrică) între deformaţiile barelor structurii. Efectul încărcării cu forţa P va fi de alungire a barelor din oţel şi aluminiu datorită rotirii barei ABDF în jurul punctului A. Efectul deplasării barei ABDF poate fi urmărit în diagrama deformaţiilor din Fig Se poate scrie o relaţie generală între deformaţiile barelor din oţel şi aluminiu (asemănarea triunghiurilor care se formează). Fig Deformaţia barei din oţel / L = Deformaţia barei din aluminiu / L care poate fi rescrisă ca :

107 108 Intindere şi compresiune Deformaţia barei din oţel = Deformaţia barei din aluminiu sau simbolic Ol Al Această ecuaţie suplimentară se utilizează în combinaţie cu ecuaţiile de echilibru static pentru a determina forţele exterioare din legături. Ecuaţia de deformaţie se scrie funcţie de forţele din legături, adică: Deformaţia = [ Forţa lungimea barei ] / [ Modulul lui Young Aria secţiunii transversale], sau Deformaţia = FL/EA. Substituind această relaţie în ecuaţiile de echilibru avem: [FL/EA]Ol = [FL/EA]Al Din relaţia de mai sus se obţine: FOl = 0.75 FAl. Substituind această relaţie în ultima ecuaţie de echilibru de mai jos: F 0 H F 0 V M 0 A Se obţine: : HA = 0 : -VA + FOl + FAl - P = 0 : + FOl (L) + FAl (L) - P (3L)= 0 FAl = 1090 N and FOl = N, VA = N. Cu aceste forţe se obţin tensiunile normale din bare: Tensiunea normală din bara de oţel=16.35 MPa. Tensiunea normală din bara de aluminiu=10.9 MPa. Apoi se poate determina deplasarea punctului F în funcţie de deformaţiile barelor de oţel sau aluminiu. Deplasarea punctului F este proporţională cu deformaţia barei de aluminiu. Se poate scrie: Deformaţia barei de aluminiu/l = Deplasarea punctului F/3L Deplasarea punctului F este 3/ din deformaţia barei din aluminiu, adică pentru o deformaţie în bara de aluminiu de m, se obţine o deplasare a punctului F de m. Exemplul Fig. 4.1 Bara dreaptă articulată (sau încastrată) la capete.

108 Intindere şi compresiune 109 Se consideră bara din Fig. 4.13, cu modul de rigiditate EA, articulată la capete şi solicitată de o forţă F, aplicată în punctul (3). Soluţie: Reacţiunile X 1 şi X ajutorul ecuaţiei de echilibru (Etapa I): din cele două articulaţii nu se pot determina numai cu X X F 1 Deci problema este static o dată static nedeterminată. Fig In căutarea unei relaţii de compatibiliatate a deformaţiilor (Etapa II), se constată că pe porţiunea 1-3 bara este solicitată la întindere de o forţă axială egală cu, iar pe porţiunea 3- la compresiune de o forţă egală cu X. X 1 Punctul de aplicaţie a forţei F se deplasează axial, iar cantitatea cu care tronsonul 1-3 se alungeşte este egală cu cantitatea cu care tronsonul 3- se scurtează. Articulaţiile fiind considerate fixe, alungirea totală a barei este nulă: X a X b l l l 0 EA EA Din această condiţie de deformaţie se obţine X a X b cu care, 1 intervenind în ecuaţia de echilibru, se pot determina reacţiunile:

109 110 Intindere şi compresiune X 1 b F l şi X a F l Diagrama forţelor axiale se poate trasa cu uşurinţă, după ridicarea nedeterminării (calculul reacţiunilor); diagrama este reprezentată în Fig Exemplul 3 Sistem de bare paralele. Se consideră o bară dreaptă rigidă în poziţie orizontală, încărcată cu o forţă concentrată verticală F (Fig. 4.14). Bara este susţinută de trei tije verticale (sau cabluri), având lungimile, iar modulele de rigiditate E A, E A, E A l, l, l 1 3 Fig Pentru determinarea eforturilor N, N, N din barele verticale se pot scrie 1 3 numai două ecuaţii de echilibru (Etapa I): F 0: N N N F 0 V 1 3 M 0: N a b N b F c Problema este o dată static nedeterminată. Relaţia suplimentară care ţine cont de modul de deformare al barelor paralele (bara orizontală este rigidă) se obţine observând că bara orizonatlă rigidă se deplasează pe verticală şi se roteşte, dar rămâne rectilinie. Din triunghiurile asemenea, construite pe schema deformată (reprezentată cu linie întreruptă în Fig. 4.14), se obţin relaţiile de proporţionalitate (Etapa II):

110 Intindere şi compresiune l l a l l b 3 Dacă se exprimă alungirile funcţie de eforturile din bare, rezultă ecuaţia: a b N l N l Nl 1 1 a 33 b E A E A b E A E A Nl N l Introducând valoarea efortului N a b a bl E A E A în ecuaţia de echilibru de momente rezultă valoarea efortului N1, şi apoi înlocuind valorile lui N1 şi N în ecuaţia de echilibru de proiecţie pe verticală, se poate calcula efortul N3. Exemplul 4 Sistem de bare articulate concurente. Se consideră un sistem format din n bare, ca în Fig. 4.15, solicitat de o forţă verticală F, aplicată în nodul comun M. Lungimea unei bare oarecare este li, modulul de rigiditate la solicitarea axială este, iar unghiul faţă de orizontală este i. EA i i Fig Ecuaţiile de echilibru (Etapa I) care se pot scrie prin izolarea nodului M sunt : n 1 N cos 0; i i n 1 N sin F 0 i i

111 11 Intindere şi compresiune Sistemul este de n- ori static nedeterminat. Pentru ridicarea nedeterminării se fac observaţii asupra stării deformate a sistemului. Nodul comun M ajunge sub acţiunea forţei F în punctul M, iar vectorul deplasării MM este comun tuturor barelor şi are proiecţiile pe orizontală şi pe verticală u, respectiv v. In Fig se poate observa modul de deformare a barei 1i a sistemului. Astfel, între alungirea barei 1 şi deplasarea pe orizontală şi pe verticală a punctului M există relaţia: l u cos vsin Pentru bara i se poate scrie o relaţie similară: l u cos vsin i i i Efortul în bara i în funcţie de alungirea barei este: E A E A i i i i N l u cos vsin i i i i. l l i i Introducând expresia lui Ni în ecuaţiile de echilibru se obţin deplasările u şi v şi efortul din bara i : n EA i i sin cos i i 1 l i u F n E A n E A n E A i i i i i i sin cos cos sin i i i i 1 l i 1 l i 1 l i n EA i i cos i 1 l i v F n E A n E A n E A i i i i i i sin cos cos sin i i i i 1 l i 1 l i 1 l i n E A n E A i i i i sin cos sin cos i i i i 1 l i 1 l E A i i i N F. i n E A n E A n E A l i i i i i i i sin cos cos sin i i i i 1 l i 1 l i 1 l i Pentru starea de solicitare simetrică, u 0, iar deplasarea pe verticală v şi efortul în bara i sunt:

112 Intindere şi compresiune 113 v N i n 1 F EA i i sin i l n 1 Exemplul 5 i F EA i i EA l sin i i i i l i. Bară dreaptă cu secţiune neomogenă. Se consideră o bară dreaptă cu secţiune neomogenă, formată din mai multe elemente componente (de exemplu un cablu de cupru sau aluminiu cu inima din oţel, sau stâlp de beton armat). Se consideră că elementele componente din materiale diferite au o dispunere simetrică în jurul centrului de greutate al secţiunii transversale. Calculul de rezistenţă al barei cu secţiune neomogenă solicitată la întindere sau compresiune necesită stabilirea modului de repartizare al forţei axiale pe elementele componente (ce cotă parte din sarcina axială revine fiecărei componente). Fig In Fig este reprezentată schematic o astfel de bară, formată din trei elemente cu modulele de rigiditate axială EA( i 1,3 ), solicitate de o forţă F. Aplicând metoda secţiunilor din Statică, se pot pune în evidenţă eforturile în cele trei bare ale sistemului N, N, N. Forţele interioare N, N, N şi forţa 1 3 i i 1 3 exterioară F sunt coliniare şi deci pentru sistem se poate scrie o singură ecuaţie de echilibru (Etapa I):

113 114 F 0: N N N F 0 H 1 3 Cu trei necunoscute N, N, N Intindere şi compresiune 1 3. Problema este deci de două ori static nedeterminată, iar pentru rezolvare trebuie precizată condiţia de deformaţie. Se observă că barele au aceeaşi lungime iniţială şi sunt obligate să se deformeze împreună, ceea ce înseamnă că şi alungirile lor vor fie egale. Se obţin două ecuaţii care ilustrează egalitatea deformaţiilor specifice ale celor trei bare(etapa II): BARA _1 BARA _ BARA _3 sau N N N 1 3 E A E A E A Utilizând ecuaţia de echilibru în relaţiile de deformaţie, se obţine: N N N N N N F E A E A E A E A E A i i i i i i De unde rezultă cu uşurinţă eforturile N F E A N 1 1 ; 1 EA EA i i i i i i N, N, N : 1 3 F E A F E A 3 3 ; N. 3 EA Rezultatul obţinut poate fi generalizat pentru un sistem neomogen cu n elemente: F E A k k N. k n EA 1 i i Tensiunile normale în cele trei bare ale sistemului din Fig sunt date de relaţiile: N N N 1 3 ; ;, BARA_1 BARA_ BARA_3 A A A 1 iar alungirea pachetului este: N l 1 l l l l. 1 3 EA 1 1 i Cu tensiunile din barele componente se pot efectua calcule de verificare pentru fiecare bară în parte (ţinând cont de tensiunea admisibilă a fiecărei bare). i 3 i

114 Intindere şi compresiune 115 Relaţiile determinate pentru sistemul neomogen la întindere sunt valabile şi pentru solicitarea lui la compresiune. Exemplul 6 Structuri neomogene de bare supuse variaţiilor de temperatură. Când o bară din metal este supusă unei variaţii de temperatură t, lungimea ei se va modifica cu cantitatea L L t unde este coeficientul de de dilatare termică liniară a materialului, L este lungimea originală, iar t este variaţia de temperatură la care este supusă bara.( O creştere a temperaturii produce o creştere a lungimii, iar o scădere a temperaturii conduce la o scurtare a barei exceptând cazurile foarte speciale de materiale cu coeficienţi de dilatare nuli sau negativi care nu sunt considerate în lucrarea de faţă). Dacă totuşi dilatarea liberă a materialului este împiedicată de forţe exterioare, atunci în materialul barei ia naştere o tensiune. Această tensiune este egală cu cea care ar fi produsă în bară permiţând dilatarea liberă urmată de aplicarea unei forţe suficient de mari pentru aducerea barei la lungimea iniţială. Modificarea lungimii L L t L Lt Deformaţia specifică t L L Tensiunea creată în material prin aplicarea forţei de mărime suficientă pentru a anula deformaţia specifică, este E E t Să considerăm acum cazul unei bare compusă din materiale diferite asamblate rigid şi obligate să se deformeze împreună (Fig. 4.17). Pentru a simplifica descrierea, materialele din care este compusă bara sunt în acest caz oţel şi bronz. In general, coeficienţii de dilatare termică ai celor două materiale vor fi diferiţi, deci dacă temperature creşte cele două elemente ale barei compozite se vor dilata liber diferit( Fig b). Deci, diferenţa dintre capetele elementelor componente libere este: Diferenţa dintre capetele libere Lt L t B Deoarece coeficientul de dilatare termică al bronzului este mai mare decât cel al oţelului; lungimea iniţială L a celor două componente se presupune aceeaşi. Dacă cele două elemente sunt asamblate (obligate să se deformeze împreună) şi sunt supuse aceleiaşi creşteri de temperatură, fiecare material va tinde să se dilate dar va fi afectat de tendinţa de dilatare diferită a celeilalte bare. O

115 116 Intindere şi compresiune Fig Coeficientul de dilatare termică mai mare al bronzului va conduce la o tendinţă de alungire a componentei din oţel şi de comprimare a componentei din bronz - cea cu tendinţa de dilatare liberă mai mare. Regula 1 Alungirea componentei din oţel + comprimarea componentei din bronz = diferenţa dintre capetele libere Alungirea componentei scurte + compresiunea componentei lungi = diferenţa dintre capetele libere. Din definiţia modulului lui Young : tensiune L E de unde deformatie specifica L E Cu sufixele o pentru oţel şi B pentru bronz regula 1 devine: L L O B B O Lt E E O B Aplicând legea acţiunii şi reacţiunii urmează să fie aplicată şi cea de-a doua regulă. Regula Forţa de întindere aplicată componentei scurte de către componenta lungă este egală cu forţa de compresiune aplicată componentei lungi de către componenta scurtă. Făcând referire la poziţia corespunzătoare dilatării libere a elementelor, regula a doua se poate scrie ca: Forţa=tensiunearie=A, adică A A O O B B

116 cu A, A O B Intindere şi compresiune 117 ariile componentelor din oţel şi respectiv de bronz. Exemplul 7 Să considerăm cazul îmbinării unui tub cu un şurub ca în Fig Sistemul care este obţinut după asamblare va aduce surubul în stare de întindere iar tubul în stare de compresiune (Fig c). Regula de la problema precedentă aplicată conduce la: Forţa de compresiune în tub = forţa de întindere din şurub Regula 1 de la problema precedentă aplicată conduce la: Scurtarea tubului +alungirea şurubului = diferenţa dintre capetele libere = avansul axial al piuliţei Avansul axial al piuliţei = numărul de rotaţii pasul şurubului Fig Cu indicii t pentru tub şi s pentru şurub cele două regului devin: L L t s Regula 1: n pasul Regula : A A t t s s E E t s Dacă ansamblul tub-şurub este supus unei variaţii de temperatură, sistemul poate fi tratat ca în cazul problemei precedente, cele două reguli devenind: L L t s Regula 1: s t Lt Regula : A A t t s s E E t s

117 118 Intindere şi compresiune Exemplul 8 Bare neomogene supuse sarcinilor exterioare şi variaţiilor de temperaţură. In acest caz, trebuie aplicat principiul suprapunerii efectelor, presupunând că tensiunile rămân sub limita elastică ca efect al aplicării sarcinilor exterioare şi variaţiilor de temperatură, adică efectul rezultant este: Deformaţia specifică totală= suma deformaţiilor datorate sarcinilor exterioare şi din variaţia de temperatură. Exemplul 9 Un tub de oţel (1) şi un cilindru de cupru (), cu raportul diametrelor de 0.8 sunt solicitate de forţa F=30 kn ca în Fig Se cere să se determine diametrul d, dacă rezistenţele admisibile ale celor două materiale sunt 1400 dan / cm 500 dan / cm şi E / E. a1 a 1 Rezolvare: Etapa I (epuizarea ecuaţiilor de echilibru) Singura ecuaţie de echilibru care se poate scrie este cea între forţele axiale din cele două materiale: N N F (sistemul este o dată static nedeterminat) 1 N, N sunt reacţiunile din legături de aceeaşi natură cu forţa exterioară 1 aplicată F. Etapa II (ecuaţia de compatibilitate a deformaţiilor) A doua relaţie se obţine observând că scurtarea oţelului este egală cu lungirea cuprului: l l. 1 N l N l 1 1 cu N.083N 1 d d E 0.36 E Rezolvând sistemul format din ecuaţiile scrise pentru cele două etape se obţin următoarele valori numerice: N 973daN N 07daN. 1 Condiţiile de rezistenţă pentru oţel şi cupru: N N 1 şi Rezultă: 1 a1 a A A 1 d adică d 1.57cm d 07 adică d.7cm Soluţia comună este: d.7cm

118 Intindere şi compresiune 119 Fig Incercarea materialelor la întindere şi compresiune Modul de comportare a materialelor sub acţiunea forţelor aplicate poate fi caracterizat cu ajutorul unor constante fizice numite caracteristici mecanice. Incercările mecanice ale materialelor se fac pentru determinarea caracteristicilor mecanice şi elastice ale acestora. Incercarea mecanică de bază, prin care se determină cele mai importante caracteristici mecanice ale materialelor este încercarea de întindere. Cu ajutorul acesteia se stabileşte pe cale experimentală relaţia fizică existentă între eforturi şi deformaţii la solicitarea de tracţiune. Caracteristicile mecanice puse în evidenţă prin încercarea la întindere sunt următoarele: limita de curgere (aparentă), superioară, inferioară, convenţională, remanentă, rezistenţa la rupere, alungirea de rupere, gâtuirea de rupere. Cunoaşterea valorilor acestor caracteristici este necesară pentru: - alegerea unui material corespunzător necesar realizării unei anumite piese, ţinând seama de condiţiile de lucru şi de modul de solicitare al acesteia; - folosirea lor în calcule de rezistenţă în care valorile acestora sunt introduse fie direct în relaţiile de calcul, fie sunt comparate cu valorile rezultate din calcul.

119 10 Întindere şi compresiune Incercarea la întindere se execută pe epruvete (specimene) cu forme şi dimensiuni standardizate este reglementată de standardul românesc SR EN , emis de IRS în 1994 (adaptat după Standardul European EN din 1990). Toate epruvetele (cilindrice sau prismatice Fig. 4.0) pentru încercarea la tracţiune au o zonă centrală precis prelucrată, de secţiune constantă şi două porţiuni marginale de prindere. In zona centrală a epruvetei se fixează două repere situate la distanţa l0. Această distanţă se alege de 5-15 ori mai mare decât cea mai mare dimensiune transversală. In această zonă centrală a epruvetei (în care se verifică ipoteza lui Bernoulli) toate fibrele cu lungimea l0 cuprinse între două secţiuni transversale au aceeaşi alungire, adică solicitarea pachetului de fibre din zona centrală poate fi considerată monoaxială. Spre deosebire de această zonă centrală, în zonele din apropierea capetelor de prindere, distribuţia tensiunilor într-o secţiune transversală este neomogenă şi neuniformă. Pe baza principiului lui Saint Venant, pe măsură ce ne îndepărtăm de zonele de prindere, punctele din secţiunile transversale ale epruvetei capătă deplasări uniforme (aceasta este şi zona de interes, rezultatele încercării fiind legate doar de zona centrală a epruvetei ). Dimensiunile efective ale epruvetelor depind de forţa pe care o poate dezvolta maşina de încercat, de dimensiunile semifabricatului disponibil din care se confecţionează epruveta. Incercarea la întindere este o încercare statică, adică o încercare la care viteza de solicitare a epruvetei este mai mică de 10daN/cm s ; peste această viteză încercarea se consideră dinamică. De asemenea, în Standard se precizează că încercarea este de scurtă durată dacă durează sub 100 ore (cum este cazul încercării la întindere) şi de lungă durată dacă durează peste această limită. Incercarea la tracţiune şi la compresiune se execută pe maşini speciale care realizează solicitarea axială a epruvetei. Chiar dacă forţele de solicitare pe care le pot dezvolta maşinile de încercare sunt de la câţiva dan la mii de kn, aceste maşini au scheme de principiu foarte asemănătoare. Maşina de încercare la tracţiune aplică epruvetei fixate între plăci o forţă axială care creşte prin deplasarea fălcii mobile de prindere. La fiecare moment, în timpul încercării se poate citi alungirea produsă l, corespunzătoare forţei axiale aplicate epruvetei N=F. De la perechile de valori l, N, se poate trece la perechile de mărimi specifice corespunzătoare tensiunea normală şi deformaţia specifică : N l şi, unde A0 este aria secţiunii transversale a epruvetei A l 0 nedeformate. 0

120 Întindere şi compresiune 11 Fig. 4.0 Reprezentarea grafică a perechilor de valori (,) se numeşte curba caracteristică (Fig. 4.1) a materialului (un oţel hipoeutectoid cu conţinut redus de carbon ( %, de exemplu un oţel cu mare utilizare practică OL37) f pe care maşinile de încercat o pot înregistra în timpul solicitării epruvetei. Dacă tensiunea normală se obţine prin împărţirea forţei axiale la aria iniţială A0 a epruvetei, atunci curba caracteristică se numeşte convenţională OR (Fig linia continuă), iar dacă aria utilizată este cea micşorată (datorită contracţiei transversale), atunci curba caracteristică ORse numeşte reală (Fig. 4.1 linia întreruptă). Pe curba caracteristică convenţională se disting mai multe zone limitate de : -punctul P limita de proporţionalitate căreia îi corespunde o tensiune limită de proporţionalitate p (în zona OP alungirile specifice sunt proporţionale cu tensiunile, materialul satisfăcând legea lui Hooke E, unde E este modulul de elasticitate longitudinal al materialului egal cu panta curbei caracteristice la origine E tg ). Modulul de elasticitate longitudinal E sau modulul lui Young are aceeaşi dimensiune cu tensiunea, adică E unitate de Forta unitate de Lungime. In sistemul internaţional, E se măsoară în [Pa]. Oţelul până la limita de proporţionalitate este un material liniar-elastic.

121 1 Întindere şi compresiune e -punctul E ordonata punctului E se numeşte limită de elasticitate, ceea ce înseamnă că pe intervalul OE deformaţiile epruvetei sunt elastice, adică dispar la descărcarea completă a epruvetei. Cum în practică nu există material perfect elastic, epruveta va prezenta deformaţii remanente mici, iar poziţia punctului E pe curba caracteristică este precizată prin aşanumita limită de elasticitate tehnică (punctul de pe curba caracteristică căruia îi corespunde la descărcarea completă a epruvetei o deformaţie specifică remanentă de 0.01%, valoare care va da şi indicele limitei de elasticitate tehnică). - punctul C care marchează momentul în care epruveta continuă să se deformeze fără ca tensiunea (ordonata punctului C de pe curba caracteristică) să crească; punctul C se numeşte limită de curgere şi-i corespunde tensiunea de curgere c. Zona care urmează punctului C, orizontală sau sinuoasă se numeşte palier de curgere, iar C poate fi considerat limită de curgere aparentă uşor de identificat pe diagrama caracteristică. La materialele la care palierul de curgere lipseşte (oţeluri hipereutectoide, oţeluri aliate) se defineşte o limită de curgere tehnică, ca fiind punctul de pe curba caracteristică căruia îi corespunde la descărcarea completă a epruvetei o deformaţie specifică de 0.%, de unde şi notarea limitei de curgere corespunzătoare (notată în standardul SR ). -punctul M limitează zona de întărire (traseul ascendent de după atingerea limitei de curgere); ordonatei maxime M îi corespunde, prin N max convenţie, tensiunea de rupere:, deşi ruperea se produce în r A punctul R. este o mărime convenţională numită rezistenţă la tracţiune (notată cu r Rm în standardul SR ). Dacă se montează cap la cap cele două fragmente de eprubetă ruptă, se poate măsura lungimea după rupere lu. Alungirea specifică de rupere r, l l u 0 exprimată în procente este:. r l Mărimea 0 0 caracterizează capacitatea de deformare plastică a r materialului, adică tenacitatea (ductilitatea) lui. Cu ajutorul mărimii R p0. se r

122 Întindere şi compresiune 13 poate defini alungirea procentuală după rupere An în conformitate cu A 100 %. standardul SR : n r Fig. 4.1 Inainte de rupere se constată o micşorare importantă a secţiunii epruvetei în zona de rupere, micşorare care se mai numeşte gâtuire de A A u 0 rupere(notată cu Z): Z 100% A cu A u aria minimă a epruvetei, măsurată în zona gâtuită după rupere. Alungirea specifică de rupere şi gâtuirea de rupere caracterizează deformabilitatea materialului (cu cât aceste caracteristici au valori mai mari cu atât materialul este mai deformabil). Deformabilitatea mai poate fi apreciată şi prin studierea secţiunii de rupere (se disting două zone în secţiunea de rupere: o zonă lucioasă (care reflectă lumina) şi care corespunde deformaţiilor plastice mari înainte de rupere şi cealaltă zonă cu grăunţi cenuşii care nu reflectă lumina şi care este corespunzătoare ruperii casante). Raportul dintre suprafeţele corespunzătoare celor două zone va da indicii asupra tenacităţii sau fragilităţii materialului. 0

123 14 Întindere şi compresiune Deformaţia epruvetei solicitată până în zona de întărire este formată dintr-o componentă elastică şi una plastică. Pentru a evidenţia deformaţia elastică se descarcă epruveta complet. Astfel, dacă solicitarea axială încetează pe zona de întărire, înainte de rupere, în dreptul punctului C de pe curba caracteristica a unui oţel moale (ca în Fig. 4.), se constată că revenirea materialului la starea nesolicitată se face după o dreaptă paralelă cu dreapta OP (la origine). La o nouă OCM încercare la întindere tensiunea creşte după curba caracteristică, cu acelaşi modul de elasticitate E, ca şi cum materialul s-ar întări în dauna micşorării alungirii specifice de rupere r; acest fenomen poartă numele de ecruisaj şi este utilizat pentru obţinerea unui material cu limită de proporţionalitate cât mai ridicată (în procedeele de deformare plastică la rece). Ecruisajul poate fi explicat prin deformarea grăunţilor cristalini pe direcţia solicitării. Dacă deformarea plastică la rece se realizează în mai multe etape, atunci ecruisajul devine un fenomen nedorit ce poate fi ameliorat prin tratament termic de recoacere. Fig. 4. Dacă se încearcă la compresiune un material ecruisat la tracţiune se constată că limita de curgere are valori mai mici decât cea a materialului neecruisat. Acest fenomen este cunoscut sub numele de efect Bauschinger, iar în lumina acestui efect fenomenul de ecruisaj devine util în proiectarea organelor de maşini pentru care în timpul funcţionării tensiunile nu-şi schimbă semnul. Prin încercări de compresiune se pot trasa curbe caracteristice care reprezintă relaţia dintre tensiunile de compresiune şi scurtările specifice. Sunt materiale (de exemplu oţelul, aluminiul) pentru care curbele caracteristice de compresiune sunt asemănătoare cu cele de la tracţiune, dar există şi materiale cu comportare diferită la compresiune faţă de tracţiune (de exemplu betonul şi fonta care rezistă mult mai bine la compresiune decât

124 Întindere şi compresiune 15 la întindere, iar lemnul are o rezistenţă scăzută la compresiunea în lungul fibrelor). Deformaţia la întindere sau compresiune a unui solid liniar-elastic depinde de valoarea modulelor de elasticitate longitudinal E, transversal G şi de coeficientul de contracţie transversală (coeficientul lui Poisson). Pentru câteva materiale uzuale, caracteristicile E,G şi, sunt date în tabelul 4.1. Pentru materialele obişnuite utilizate în construcţia organelor de maşini şi elementelor de construcţie tensiunea de proporţionalitate şi tensiunea de curgere considera c diferă foarte puţin între ele; de aceea în unele calcule, se poate. In tabelul 4. sunt date, pentru câteva materiale p e c mai frecvent utilizate, caracteristicile de rezistenţă sau/şi compresiune şi o caracteristică a tenacităţii Tabelul 4.1 Materialul A n, c %. r p pentru tracţiune 11 E 10 Pa G Pa Oţel carbon obişnuit Oţel aliat Fontă cenuşie şi albă Bronz Alamă laminată la rece Zidărie de cărămidă Beton Lemn în lungul fibrelor Lemn perpendicular pe fibre Duraluminiu Cauciuc Celuloid Curea de piele Rezultatele încercării la tracţiune se află sub influenţa unor factori dintre care cei mai importanţi ar putea fi consideraţi viteza de deformaţie şi temperatura la care se desfăşoară încercarea. La determinarea caracteristicilor mecanice se prescrie ca încercarea la tracţiune să se desfăşoare cu viteze relativ mici, limitate de valori

125 16 Întindere şi compresiune d min. Dacă viteza de încercare la tracţiune a unui oţel este mare dt atunci se înregistrează o ridicare a limitei de curgere şi rupere, o micşorare a alungirii de rupere, dar modulul de elasticitate se păstrează (ca în Fig. 4.3 (a)). Tabelul 4. Materialul Tracţiune Compresiune c MPa r MPa c MPa r MPa Oţel OL Oţel OL Oţel carbon OLC45 Oţel aliat CN35 Oţel de arc Fontă Fc Fc40 Cupru Alamă Aluminiu Duraluminiu Lemn esenţă moale A n % Fig. 4.3

126 Întindere şi compresiune 17 Influenţa temperaturii asupra încercării la tracţiune are o importanţă practică deosebită pentru piese care lucrează la temperaturi peste C. Peste temperatura de C, valorile modulului de elasticitate E, ale tensiunilor de rupere şi de curgere scad o dată cu creşterea r temperaturii. Alungirea de rupere devine cu atât mai mare cu cât temperatura este mai ridicată (Fig. 4.3 (b)). Pe baza proprietăţilor mecanice, materialele se pot clasifica în funcţie de diferite criterii, câteva dintre ele prezentate în continuare. După mărimea deformaţiilor produse până la rupere se disting: -materiale tenace, care suferă deformaţii mari până la rupere; -materiale casante sau fragile, care se deformează puţin până la rupere. Având în vedere starea materialelor după înlăturarea sarcinii există: -materiale elastice, care se deformează elastic şi revin la starea iniţială după îndepărtarea sarcinii; -materiale plastice, care rămân cu deformaţii permanente după înlăturarea încărcării. În funcţie valoarea constantelor elastice E, G şi măsurate pe diferite direcţii se disting: -materiale izotrope, care au aceleaşi constante elastice de-a lungul tuturor direcţiilor; -materiale anizotrope, care se prezintă sub formă de fibre, straturi ceea ce le face să se comporte diferit după diferite direcţii. Dacă materialul se comportă diferit numai pe două direcţii, în ceea ce priveşte proprietăţile lui elastice, atunci el se numeşte ortotrop. Un astfel de material ortotrop este lemnul pentru care cele două direcţii sunt cea în lungul fibrelor şi cea perpendiculară pe fibre. c

127 5. CALCULUL CONVENŢIONAL AL BARELOR LA FORFECARE 5.1 Tensiunea tangenţială şi lunecarea specifică TENSIUNEA TANGENŢIALĂ Înafara tensiunii axiale (normale) şi a deformaţiei specifice axiale discutată în Capitolul precedent putem avea tensiune tangenţială şi deformaţie specifică tangenţială (lunecare specifică). În Fig. 5.1 este reprezentată o bară din metal încastrată la un capăt. Pe capătul liber al barei aplicăm o forţă F înclinată cu unghiul faţă de orizontală. Componenta forţei F perpendiculară pe suprafaţă va produce o tensiune normală în bară dată de raportul dintre forţa normală şi arie: F sin A Componenta forţei F paralelă cu suprafaţa va avea şi ea un efect prin producerea unei tensiuni de forfecare (tangenţiale) definită ca forţa paralelă împărţită la aria suprafeţei: F cos A în care cu litera grecească Tau se notează tensiunea tangenţială. În sistemul internaţional (S.I.) tensiunea tangenţială se măsoară în N/m. Fig. 5.1 DEFORMAŢIA SPECIFICĂ DE FORFECARE SAU LUNECAREA SPECIFICĂ Aşa cum o tensiune axială presupune existenţa unei deformaţii specifice axiale care este modificarea lungimii barei raportată la lungimea ei

128 Calculul convenţional al barelor la forfecare 19 iniţială, tot aşa tensiunea tangenţială presupune o deformaţie specifică tangenţială sau o lunecare specifică. Ambele deformaţii specifice axială şi tangenţială sunt reprezentate în Fig. 5.. Fig. 5. Tensiunea tangenţială produce o deplasare a barei reprezentată în partea dreaptă a Figurii 5.. Muchia capătului liber al barei se deplasează în planul orizontal cu distanţa L faţă de poziţia iniţială. Această deplasare (sau deformaţie orizontală) împărţită la lungimea L este deformaţia specifică de forfecare sau lunecarea specifică. Examinând triunghiul format din L, L şi generatoarea barei, observăm că deformaţia specifică de forfecare L/L este egală de asemenea cu tangenta unghiului gama, iar atunci când valoarea deplasării este mică tangenta unghiului gama este aproximativ egală cu unghiul gama - (în radiani). Aceasta se poate scrie ca: L/L =tg =. Aşa cum tensiunea normală este proporţională cu deformaţia specifică axială (factorul de proporţionalitate în regiunea elastică fiind modulul lui Young E) tot aşa tensiunea tangenţială este proporţională cu deformaţia de forfecare (factorul de proporţionalitate în regiunea elastică fiind modulul de elasticitate transversal sau de forfecare G). Constanta de proporţionalitate G poate fi exprimată ca: G = Tensiunea tangenţială/deformaţia specifică de forfecare

129 130 Calculul convenţional al barelor la forfecare În sistemul internaţional (S.I.) modulul de elasticitate transversal G se măsoară în N/m. În Fig. 5.3 este reprezentată tensiunea de forfecare funcţie de deformaţia specifică de forfecare corespunzătoare, graficul având aceeaşi aliură cu diagrama caracteristică de la solicitarea axială. Există în această diagramă o regiune elastică în care Tensiunea este direct proporţională cu Lunecarea specifică. Punctul care marchează limita superioară a regiunii elastice se numeşte limită de elasticitate sau limită de proporţionalitate. În mod real aceste două puncte nu sunt identice. Limita zonei în care materialul are comportare elastică este punctul în care apar deformaţii remanente, adică după limita elastică, dacă forţa îşi încetează acţiunea, bara nu revine la forma şi dimensiunile iniţiale. Limita de proporţionalitate este punctul în care deformaţia nu mai este proporţională cu forţa aplicată (adică nu mai este valabilă legea lui Hooke). Deşi între aceste două puncte este o mică diferenţă, le vom considera ca identice în cele ce urmează. Există apoi o regiune plastică în care o creştere mică a tensiunii de forfecare conduce la o creştere importantă a deformaţiei specifice de forfecare; după această zonă apare punctul de cedare (punctul de rupere la forfecare). Fig. 5.3 În recapitulare, formulele de calcul la forfecare sunt:

130 Calculul convenţional al barelor la forfecare 131 Efectul de forfecare sau de tăiere poate să apară şi dacă asupra unei bare acţionează două forţe transversale F, egale şi de sens contrar, perpendiculare pe axa longitudinală a barei, lucrând ca o foarfecă (a se vedea Fig. 5.4). Fig.5.4 Sub acţiunea forţelor aplicate, în secţiunea transversală a barei se dezvoltă un efort situat în planul secţiunii, care se numeşte forţă tăietoare (T=F). Forfecarea este însoţită de o solicitare de încovoiere aşa cum se dm poate vedea şi din relaţia diferenţială T. În calculul convenţional la dx forfecare se poate neglija solicitarea de încovoiere ca nefiind de primă importanţă. Un exemplu la care încovoierea poate fi neglijată este prezentat în Fig. 5.5; bara dreaptă din Fig. 5.5 are deschiderea l şi este acţionată faţă de mijlocul acesteia, prin două forţe transversale de valori egale cu F şi de sens contrar, amplasate la o distanţă infinit mică între ele (distanţa tinde către zero). Din diagramele de eforturi, rezultă că forţa tăietoare T, respectiv momentul încovoietor M, sunt maxime în secţiunile 3, respectiv 4 şi au valorile: T F 1 F l F M 0 Pe intervalul 3-4 bara poate fi considerată deci solicitată numai la forfecare, efectul momentului încovoietor fiind neglijabil. Sub acţiunea forţelor din Fig. 5.4, bara se deformează, producându-se lunecări, iar în secţiunile transversale solicitate se dezvoltă tensiuni

131 13 Calculul convenţional al barelor la forfecare tangenţiale (forţa tăietoare T tangenţiale ). îşi manifestă prezenţa prin tensiuni Fig. 5.5 Calculul convenţional, aplicat frecvent în cazul barelor de secţiune mică, admite că tensiunile tangenţiale ar fi paralele cu forţa aplicată şi repartizate uniform pe suprafaţa secţiunii transversale a barei. Ecuaţia de echivalenţă (forţa tăietoare dintr-o secţiune este egală cu suma forţelor elementare) stabileşte o legătură între forţa tăietoare T, tensiunea tangenţială prin care ea se manifestă şi aria A a secţiunii transversale: T T da A sau. A A Relaţia obţinută rezolvă următoarele trei categorii de probleme: - Probleme de dimensionare, când se determină aria secţiunii transversale T Anec, a unde, în cazul materialelor omogene şi izotrope se poate admite a 0,5 0, 8 a. - Probleme de verificare, prin care se determină tensiunea tangenţială maximă, care se compară cu tensiunea admisibilă sau cu cea de rupere. Bara rezistă, în condiţii de siguranţă, dacă

132 Calculul convenţional al barelor la forfecare 133 T ef a. A - Probleme de calcul al forţei tăietoare capabile sau al celei de rupere prin forfecare: respectiv T A. T cap A a rupere Relaţiile de mai sus se utilizează la calculul la forfecare al elementelor de îmbinare, ca nituri, buloane, pene, suduri şi altele. Deformaţia de forfecare nu prezintă de obicei un interes practic. Ea constă dintr-o deplasare relativă w a unei secţiuni faţă de alta situată la distanţa a. Dacă materialul satisface legea lui Hooke, atunci se obţine succesiv: Ta w a a G GA unde produsul GA dintre modulul de elasticitate transversal şi aria secţiunii transversale se numeşte modul de rigiditate la forfecare al secţiunii transversale. Materialele anizotrope opun forţei tăietoare rezistenţe diferite pe direcţii diferite. Pentru calculul de rezistenţă se admit valori diferite pentru tensiunea admisibilă în funcţie de orientarea forţei faţă de fibre. 5. Aplicaţii Exemplul 1 Două plăci din metal sunt asamblate prin nituire, ca în Fig.5.6. Niturile sunt din oţel şi au diametrul de cm. Plăcile sunt încărcate cu forţe de 000 N ca în Fig Interesează ce tensiuni de forfecare (tangenţiale) se dezvoltă în nituri şi care sunt deformaţiile specifice corespunzătore dacă modulul de elasticitate transversal este G= N/m. r Fig. 5.6 Dacă examinăm structura, observăm că fiecare nit este supus la forfecare în zona aflată între plăci (a se vedea Fig. 5.7). Partea superioară a nitului alunecă faţă de partea inferioară a acestuia. Fiecare nit preia din încărcarea

133 134 Calculul convenţional al barelor la forfecare plăcilor 1000 N. De aici se poate calcula tensiunea de forfecare pentru fiecare nit împărţind forţa la aria nitului (suprafaţa de lunecare). Fig. 5.7 Tensiunea de forfecare = Forţa paralelă cu suprafaţa de lunecare/ Aria suprafeţei de lunecare Tensiunea de forfecare a fiecărui nit va fi 1.59 MPa. Deformaţia specifică de forfecare (lunecarea specifică) poate fi obţinută din legea lui Hooke corespunzătoare solicitării: G = (Tensiunea de forfecare) / (Deformaţia specifică de forfecare), sau (Deformaţia specifică de forfecare) = (Tensiunea de forfecare)/ G Deformaţia specifică de forfecare a fiecărui nit va fi Exemplul În cel de-al doilea exemplu avem un arbore (care probabil antrenează o maşinărie) şi o roată conectată prin spiţe la un butuc. Roata, spiţele şi butucul formează o structură care este asamblată pe arbore cu ajutorul unei pene (a se vedea Figura 5.8). Când cuplul de forţe este aplicat asupra roţii (posibil printr-o transmisie cu curele) roata începe să se rotească iar prin intermediul penei imprimă arborelui o rotaţie. Suntem interesaţi în determinarea tensiunii de forfecare a penei. Vom determina de asemenea şi tensiunea de compresiune (de strivire) care acţionează asupra penei. [Scopul în care pana a fost montată pe arbore pentru conectarea roţii este de a proteja arborele în cazul în care acesta ar funcţiona la suprasarcină (momente transmise mari). Într-o astfel de situaţie, pana se va forfeca (va ceda) şi astfel elementele sistemului se vor decupla.] Pentru a determina tensiunea de forfecare trebuie întâi să determinăm forţa care încearcă să foarfece pana. Cuplul de forţe care acţionează asupra roţii îl regăsim cu aceeaşi intensitate acţionând şi asupra penei (ca element de legătură între cele două părţi ale sistemului). În problema noastră forţa este de 500 N, D=1m iar d=0.1m. Calculând

134 Calculul convenţional al barelor la forfecare 135 momentul faţă de centrul arborelui obţinem: 500 N (0.5 m) N (0.5 m ) = 500 Nm. Acesta este momentul produs de forţa care acţionează asupra jumătăţii superioare a penei (a se vedea Fig. 5.9). Deci putem scrie: 500 N (0.5 m ) N (0.5 m) = 500 Nm = F (.05 m). Rezolvând obţinem F = 10000N. Aceasta este forţa care acţionează asupra părţii superioare a penei. Există o forţă egală şi direct opusă cu aceasta care acţionează asupra jumătăţii inferioare a penei. Aceste două forţe determină forfecarea penei în secţiunea ei de mijloc. Lăţimea penei este W=cm=0.0m, înălţimea H=4cm=0.04m, iar lungimea L=8cm=0.08m. Tensiunea de forfecare poate fi calculată ca: Tensiunea de forfecare = Forţa paralelă cu suprafaţa de forfecare / Aria de forfecare = N/ (0.08 * 0.0) = 16 N/m. Fig. 5.8 Alături de tensiunea de forfecare din plan orizontal, forţa F produce şi compresiunea penei. Tensiunea de compresiune (tensiunea de strivire) în jumătatea superioară a penei va fi dată de: Tensiunea de compresiune (de strivire) = Forţa normală la suprafaţă / Aria suprafeţei= N / (0.08 * 0.0) = 16 N/m. Fig. 5.9

135 136 Calculul convenţional al barelor la forfecare Exemplul 3 Calculul îmbinărilor sudate Relaţia T A poate fi folosită şi pentru calculul de rezistenţă al îmbinărilor sudate. In exemplul din Fig.5.10 sunt reprezentate suduri laterale efectuate la îmbinarea a două platbande suprapuse. In acest caz, secţiunile de forfecare ale cordoanelor de sudură sunt notate pe figură cu t-t. Dacă grosimea platbandei superioare este s, atunci ca lăţime a acestei secţiuni se consideră înălţimea a, a triunghiului isoscel cu catetele s şi respectiv a s 0.7s. Notându-se cu ls lungimea cordonului de sudură, se poate scrie egalitatea: as l s a T din care se poate calcula valoarea mărimii necunoscute. Pentru calculul lungimii reale a cordonului de sudură l se ţine seama de imperfecţiunile de realizare a sudurii la capete, adăugându-se la lungimea ls calculată o lungime egală cu a: l l a. s Fig. 5.10

136 6. STAREA GENERALĂ DE TENSIUNI ŞI DEFORMAŢII Pentru studiul teoriilor de rezistenţă, al torsiunii şi al solicitărilor compuse este necesar să se prezinte câteva probleme de bază ale teoriei elasticităţii. 6.1 Starea plană de tensiune Se va considera că bara are secţiunea dreptunghiulară, lăţimea fiind egală cu unitatea şi că forţele aplicate sunt distribuite uniform pe această lăţime b=1; ca o consecinţă se poate admite că şi tensiunile se distribuie uniform pe lăţime, astfel încât apare o stare de tensiune plană, redusă la planul median al barei. In practică se extinde teoria de la starea de tensiune plană şi în cazul barelor a căror secţiune transversală este oarecare, fără a se menţine rigurozitatea rezultatelor teoretice obţinute pentru lăţimea b=1. Secţionând bara printr-o secţiune transversală 1-1 (x=x0=const.), care trece printr-un punct O, vor apărea tensiuni normale şi tensiuni tangenţiale z xz. Dacă se secţionează bara printr-o secţiune longitudinală - (z=z0=const.) care trece de asemenea prin punctul O, vor apărea tensiuni normale şi tensiuni tangenţiale. Componentele,,, x z xz zx se presupun cunoscute de la solicitările simple sau cele compuse sau determinate cu metodele Teoriei elasticităţii. Pentru sistemul de referinţă ales, indicii tensiunilor normale reprezintă axa în sensul căreia acţionează, iar pentru tensiunile tangenţiale primul indice precizează secţiunea în care apare, iar al doilea axa cu care este aceasta este paralelă. Dacă se face o secţiune 3-3 prin bară, inclinată cu un unghi faţă de axa Oz (Fig. 6.1), vor apărea tensiuni şi care trec prin punctul O (situat în planul median), prin care trec şi secţiunile 1-1 şi -, astfel încât, la limită, rezultă o secţiune ce trece prin O şi pe care acţionează şi. Din jurul unui punct oarecare se izolează un element al barei. Elementul are forma unei prisme triunghiulare, având baza un triunghi dreptunghic OBC(vezi Fig. 6.). Fie da aria suprafeţei înclinate BC a elementului. Această suprafaţă formează unghiul cu suprafaţa reprezentată prin OC. Elementul se raportează la un sistem de referinţă rectangular xoz. zx x

137 138 Starea de tensiuni şi deformaţii Fig. 6.1 Fig. 6. În cazul general al stării plane de tensiune, pe fiecare faţă a elementului există tensiuni normale şi tangenţiale. Placa fiind în repaus, forţele de pe feţele elementului se echilibrează. Se consideră ecuaţia de echilibru de momente faţă de mijlocul laturii BC: BC BC M 0, dasin cos dacos sin 0. D zx xz De aici rezultă legea parităţii sau dualităţii tensiunilor tangenţiale : (6.1) (a se vedea solicitarea de torsiune - pe schema deformatei). Astfel, dacă într-un plan în interiorul unui corp solid există o tensiune tangenţială, atunci este necesar ca şi într-un plan perpendicular să acţioneze o tensiune tangenţială de aceeaşi valoare, cele două tensiuni fiind dispuse simetric faţă de muchia comună a celor două plane şi perpendicular pe această muchie. În continuare se presupun a fi cunoscute tensiunile dirijate paralel cu axele sistemului xoy. Valorile tensiunilor şi de pe suprafaţa înclinată xz zx

138 Starea de tensiuni şi deformaţii 139 BC se vor calcula cu ajutorul celorlalte ecuaţii de echilibru. Se proiectează forţele de pe element pe direcţia necunoscutelor şi : da dacos cos dasin sin dasin cos x z zx dacos sin 0; zx da dacos sin dasin cos dasin sin x z zx dacos cos 0. zx Dacă se are în vedere legea parităţii tensiunilor tangenţiale, atunci se obţine: cos sin sin cos ; x z xz sin cos cos sin, x z xz sau în funcţie de unghiul dublu : x z x z cos sin ; xz (6.) x z sin cos. xz Din aceste relaţii se observă că valorile tensiunilor şi depind de unghiul de înclinare. Pe anumite direcţii, numite direcţii principale de solicitare, tensiunile normale au valori maxime sau minime. Tensiunile normale maxime sau minime se numesc tensiuni principale. Înclinarea direcţiilor principale de solicitare se obţine prin anularea derivatei în raport cu unghiul : d x z sin cos 0, (6.3) xz d de unde rezultă tg xz 1, x z (6.4) Această funcţie prezintă două soluţii verosimile, decalate prin 180 0, ceea ce înseamnă că în starea de tensiune plană sunt două direcţii principale. Ele se vor nota cu indicele 1 şi. Între soluţiile expresiei 4 există relaţia: 180 : sau (6.5) 1 1 adică cele două direcţii principale formează între ele un unghi drept. Pe o direcţie tensiunea este maximă (1), iar pe cealaltă direcţie tensiunea este minimă (). Comparând expresia (3) cu ()se observă că:

139 140 Starea de tensiuni şi deformaţii d d ceea ce arată că pe direcţiile principale de solicitare tensiunea tangenţială este egală cu zero, deci în locul considerat se produce o stare biaxială de tracţiune, compresiune sau de tracţiune şi compresiune. Pentru stabilirea expresiilor tensiunilor principale se calculează: tg 1, xz sin 1, 1 tg 4 cos 1, 1, 1, x z xz 1 x z 1 tg 4 x z xz Prin înlocuire în relaţia ()rezultă expresia tensiunilor principale: x z 1 4 (6.6) 1, x z xz În relaţia (6.6) cu semnul (+) se obţine tensiunea maximă, iar cu semnul (-) cea minimă. Dacă se adună cele două valori extreme rezultă: const. 1 x ceea ce înseamnă că suma tensiunilor principale este un invariant, adică nu depinde de unghiul. Prin anularea derivatei expresiei tensiunii tangenţiale se obţin direcţiile după care tensiunile tangenţiale au valori extreme: d x z cos sin 0, xz d de unde tg 3,4 z x z. (6.7) Această relaţie admite două soluţii, cărora le corespund două direcţii decalate între ele cu un unghi de Lor li se atribuie indicele 3 şi 4: (6.8) De-a lungul unei direcţii tensiunea tangenţială prezintă o valoare maximă, iar pe direcţia ortogonală una minimă. Cele două tensiuni însă trebuie să fie egale ca valoare(legea parităţii). Liniile de-a lungul cărora sunt orientate tensiunile tangenţiale maxime se numesc linii de alunecare. Din compararea relaţiei (6.7) cu (6.4) rezultă că: xz.

140 Starea de tensiuni şi deformaţii 141 tg tg 1 0, 1, 3, 4 ceea ce exprimă o condiţie de perpendicularitate între direcţiile date de unghiurile si.prin urmare, 1, : sau. (6.9) 3,4 1, 3,4 1, Aşadar, tensiunile tangenţiale au valori maxime pe direcţii înclinate cu 45 0 faţă de direcţiile principale de solicitare. Pentru stabilirea tensiunilor tangenţiale maxime se calculează: sin cos tg 3,4 x z 1 tg 4 3,4 3,4 x z xz 1 xz 1 tg 4 3,4 3,4 x z xz Prin înlocuire în a doua relaţie (6.) se obţine expresia tensiunii tangenţiale maxime: 1 4. (6.10) 3,4 x z xz Din relaţia (6.10) rezultă că tensiunea tangenţială maximă are aceeaşi valoare cu cea minimă, în concordanţă cu legea dualităţii tensiunilor tangenţiale. Pe baza relaţiei (6.6) se mai poate scrie: 1 max 1 (6.11) adică tensiunea tangenţială maximă este egală cu semidiferenţa tensiunilor normale principale. Dacă se consideră şi un element de pe conturul barei şi dacă în dreptul elementului conturul nu este încărcat cu nici o forţă tangenţială la contur, atunci pe feţele elementului nu pot exista tensiuni tangenţiale. Direcţia principală de solicitare este deci, în această situaţie, tangentă, respectiv perpendiculară pe contur. Distribuţia tensiunilor din jurul unui punct poate fi reprezentată într-un sistem de referinţă cu coordonatele şi. In acest sens, tensiunile şi se exprimă în funcţie de tensiunile principale cu ajutorul relaţiilor (6.): 1 1 cos (6.1) 1 sin..

141 14 Starea de tensiuni şi deformaţii Prin eliminarea parametrului se obţine ecuaţia: Ceea ce reprezintă un cerc de rază 1 la distanţa 1 1 (6.13) 1 1 cu centrul pe axa absciselor 1 faţă de originea sistemului de referinţă (Fig. 6.3). Acest cerc poartă denumirea de cercul lui Mohr. Fig. 6.3 Pe cercul lui Mohr sunt înscrise proprietăţile stării plane de tensiune. Se poate observa din Fig. 6.3 că tensiunea tangenţială maximă este egală cu raza cercului (egală cu semidiferenţa tensiunilor principale). Strea plană de tensiune poate avea mai multe cazuri particulare după cum urmează (Fig. 6.4): 1) Starea liniară de tensiune când 0. Ea se produce în barele drepte solicitate la întindere sau compresiune uniaxială şi în cazul încovoierii pure. Tensiunile pe direcţii oarecare Tensiunile principale ; 0 x x 1 x cos 1 max x x sin. ) Starea de forfecare pură, dacă 0. Această stare se realizează în barele solicitate la forfecare pură sau la torsiune. z z xz x

142 Starea de tensiuni şi deformaţii 143 Tensiunile pe direcţii oarecare cos xz sin. xz Tensiunile principale ; 1 xz 3) Starea de tensiune cu 0 se poate întâlni la solicitarea de z încovoiere cu forfecare (încovoierea simplă) precum şi în cazul unor solicitări compuse. Tensiunile pe direcţii oarecare Tensiunile principale x x cos sin xz x 1 4 1, x xz x sin cos. xz 1 4 4) Starea de tensiune cu xz max 0 max xz xz x xz. In acest caz tensiunile sunt dirijate după direcţiile principale ale stării de solicitare. Tensiunile pe direcţii oarecare Tensiunile principale ; x z x z 1 x z cos ; 1 x z sin. max x z x şi z Fig. 6.4

143 144 Starea de tensiuni şi deformaţii 6. Starea spaţială de tensiune Se consideră un corp solid de formă oarecare, solicitat de un sistem oarecare de forţe în spaţiu, aflate în echilibru. In starea aceasta generală de solicitare, pe feţele unui element izolat din jurul unui punct oarecare al corpului solid vor exista toate componentele tensiunii (Fig. 6.5). De exemplu, în planul Oxy vor acţiona tensiunea normală z şi două tensiuni tangenţiale şi. zx zy Fig. 6.5 Din ecuaţiile de echilibru de momente, scrise în raport cu axele sistemului de referinţă, se obţine principiul parităţii sau dualităţii tensiunilor tangenţiale (ca la starea plană de tensiune). In acest sens se poate folosi o notaţie simplificată a tensiunilor tangenţiale: ; ; (6.14) xy yx z xz zx y zy yz x Starea de solicitare din jurul punctului considerat este definită dacă se cunoaşte tensorul tensiunilor: x xy xz T (6.15) yx y yz zx zy z Tensorul tensiunilor este simetric în cazul în care se are în vedere dualitatea tensiunilor tangenţiale (6.14). Tensorul simetric (6.15) se poate descompune în doi tensori:

144 Starea de tensiuni şi deformaţii 145 T T D (6.15a) În care primul este denumit tensor sferic 0 0 m T 0 0 (6.15b) m m 0 0 m iar al doilea deviator: x m xy xz D (6.15c) yx y m yz m zx zy z m In expresiiile (6.15a,b,c) se utilizează tensiunea medie : x y z. m 3 Se pot determina tensiunile existente într-un plan înclinat oarecare în dreptul punctului considerat, funcţie de tensiunile paralele cu axele sistemului de referinţă. Se consideră da aria elementară a suprafeţei înclinate ABC, pe care se dezvoltă o tensiune necunoscută p de direcţie oarecare. Înclinarea suprafeţei în raport cu axele sistemului de referinţă este definită cu ajutorul cosinuşilor directori ai normalei la plan: l,m şi n. Ariile feţelor piramidei delimitate de suprafaţa considerată (Fig. 6.6) şi de axele sistemului de referinţă sunt date de relaţiile: Aria OAB=n da; Aria OAC=m da; Aria OBC=l da. Se presupun cunoscute tensiunile normale şi tangenţiale paralele cu axele sistemului de referinţă. Din ecuaţiile de echilibru de proiecţie rezultă componentele px, py şi pz ale tensiunii necunoscute: p da lda mda nda 0 x x yx zx m m p da lda mda mda 0 (6.16) y xy y zy p da lda mda nda 0 z xz yz z După simplificări în (6.16) se obţine: p l m n x x yx zx p l m n (6.17) y xy y zy p l m n z xz yz z

145 146 Starea de tensiuni şi deformaţii Fig. 6.6 Tensiunea totală pe suprafaţa înclinată este egală cu: iar componenta ei normală este: p p p p (6.18) x y z (6.19) lp mp np l m n lm ln mn x y z x y z xy xz yz Tensiunea tangenţială de pe suprafaţa înclinată este: p (6.19) Din relaţiile (6.17) şi (6.18) se observă că valoarea tensiunii totale p depinde de înclinarea suprafeţei ABC. Ca la starea plană de tensiune, şi în starea spaţială există direcţii principale de solicitare reciproc perpendiculare (1), () (3) (direcţii după care tensiunea normală este maximă iar tensiunea tangenţială este egală cu zero). Tensiunile normale dirijate după aceste direcţii,, se numesc 1 3 tensiuni principale. Starea de tensiune din jurul punctului considerat se poate exprima şi în funcţie de tensorul tensiunilor principale: T

146 Dacă, atunci 1 3 punctului considerat, iar tensiunea Starea de tensiuni şi deformaţii este tensiunea maximă în dreptul este tensiunea minimă (tensiunea tensiunea minimax- cuprinsă între cea maximă şi cea minimă). Expresiile (6.17) permit determinarea direcţiilor principale de solicitare şi a tensiunilor principale. Dacă se admite că p ar fi o tensiune principală, atunci pe suprafaţa înclinată pe care p se dezvoltă tensiunea tangenţială este nulă ( 0), tensiunea normală, iar componentele p l ; p m ; p n. p x y z Introducând valorile lui p ca tensiune principală în relaţiile (6.17) se obţine un sistem de trei ecuaţii cu necunoscutele cosinuşii directori l, m şi n care definesc direcţiile principale de solicitare: 0 l m n x yx zx 0 xy y zy l m n (6.0) xz yz z 0 l n n Sistemul de ecuaţii (6.0) admite soluţii nebanale numai dacă determinantul corficienţilor este nul: x yx zx xy y xz zx zy z 0 Dezvoltând determinantul, se obţine ecuaţia de gradul trei în : 3 I I I 0 (6.1) unde I, I, I sunt invarianţii ecuaţiei: I 1 x y z I x y x z y z xy xz yz I 3 x yx zx xy y zy xz yz z -

147 148 Starea de tensiuni şi deformaţii Rezolvând ecuaţia (6.1) se obţin trei soluţii reale, care sunt tensiunile principale (Fig. 6.7); introducând fiecare dintre aceste tensiuni în,, 1 3 ecuaţiile (6.0) şi ţinând cont că l m n 1 (6.) se poate determina înclinarea direcţiilor principale de solicitare. Fig. 6.7 Pentru variaţia tensiunilor tangenţiale din jurul punctului considerat, se presupun cunoscute tensiunile principale,,. Tensiunea totală de pe suprafţa înclinată va fi: iar tensiunea tangenţială va fi: adică p p p p l m n 1 3 (6.3) x y z 1 3 p l m n l m n l m l n m n (6.4) sau ridicând la pătrat tensiunea tangenţială, se poate scrie: l m l n m n Pentru determinarea tensiunii tangenţiale maxime, se anulează derivata parţială a expresiei tensiunii tangenţiale de mai sus în raport cu l, respectiv m; După o transformare simplă a expresiilor derivatelor parţiale se obţin expresiile: l m l l m m (6.5)

148 Starea de tensiuni şi deformaţii 149 Soluţia l=m=0 trebuie eliminată (ea corespunde direcţiei axei Oz); nu este posibil nici cazul (6.5) prin l, respectiv m şi scăzând una din cealaltă, se obţine, l 0 şi contravenind condiţiilor iniţiale puse. Rămân posibilităţile: l 0şi l 0şi m 0când rezultă din prima ecuaţie l ; m 0 deoarece simplificând ecuaţiile m 0 ; m 0când rezultă din a doua ecuaţie l 0; m ; n n Dacă se derivează şi în raport cu n se mai obţine o soluţie: l ; m ; n 0. 1 Din cele de mai sus rezultă că valorile extreme ale tensiunilor tangenţiale apar în plane ale căror normale fac unghiuri egale (45 0 ) cu câte două din direcţiile principale şi sunt perpendiculare pe cea de-a treia. Prin înlocuirea valorilor obţinute pentru cosinuşii directori în relaţia (6.4) se pot determina valorile extreme ale tensiunilor tangenţiale, egale cu semidiferenţa tensiunilor principale: ; ; (6.6) Alături de tensiunile tangenţiale extreme acţionează şi tensiunile normale egale cu semisuma tensiunilor principale: ; ; (6.7) Tensiunea tangenţială maximă corespunde celei mai mari semidiferenţe dintre tensiunile principale (se are în vedere că ):. 1 3 max In plane egal înclinate faţă de cele trei direcţii principale de solicitare, denumite plane octaedrice, pentru care 1 l m n (6.8) 3 se dezvoltă tensiunile octaedrice,. oct oct

149 150 Starea de tensiuni şi deformaţii Expresia tensiunii totale octaedrice rezultă din relaţia (6.3) înlocuind valorile cosinuşilor directori (6.8): p (6.9) oct 1 3 Din relaţia (6.19) înlocuind (6.8) se obţine valoarea tensiunii normale octaedrice: 1 oct 1 3 (6.30) 3 tensiune egală cu media tensiunilor principale în punctul considerat. Tensiunea tangenţială octaedrică se poate calcula acum ţinând cont de (6.9) şi (6.30): 1 p oct oct oct (6.31) Relaţii între deplasări şi deformaţii Relaţia cea mai simplă între deplasări şi deformaţii se întâlneşte desigur la starea liniară de tensiune şi poate corespunde situaţiei în care o bară dreaptă este solicitată la întindere (Fig. 6.8). Pe bară se consideră o origine fixă a sistemului de referinţă la care este raportată bara, având locaţia într-o secţiune marginală presupusă fixă (Fig. 6.8). Fig. 6.8 Sub acţiunea forţei N, bara se deformează, iar o secţiune transversală oarecare (1) se deplasează axial cu cantitatea u (notaţia din Teoria elasticităţii corespunzătoare deplasării de-a lungul axei x ). O secţiune foarte apropiată de (1) la distanţa dx de aceasta este secţiunea (), care se deplasează cu o cantitate puţin diferită şi anume cu u+du. Lungirea specifică în dreptul unei secţiuni oarecare pe direcţia axei barei (direcţia longitudinală) este: dx u du u dx du. x dx dx

150 Starea generală de tensiuni şi deformaţii 151 Pentru a stabili relaţia dintre deplasări şi deformaţii în cazul bidimensional, se vor considera observaţiile asupra unei plăci (Fig. 6.9) aflată într-o stare plană de tensiune (Starea de solicitare realizată se numeşte plană, întrucât se admite că solicitarea plăcii este identică în fiecare plan paralel cu planul median. Dacă grosimea plăcii este relativ mică, iar placa nu este sprijinită pe cele două suprafeţe laterale paralele cu planul median, atunci, sub acţiunea forţelor se produc tensiuni coplanare cu forţele aplicate, adică se crează o stare plană de tensiune. Dacă însă placa ar fi menţinută între doi pereţi rigizi, care nu permit să se producă deformaţii transversale, atunci ar avea loc o stare plană de deformaţie). Fig. 6.9 Un punct oarecare M se deplasează sub acţiunea forţelor atât în lungul axei u u x, y v v x, y. x cu cantitatea cât şi în lungul axei Oy cu cantitatea Asemănător celor arătate la starea liniară, pentru starea plană de tensiune a plăcii se pot scrie relaţiile: u v iar (6.3) x y x y (Derivatele parţiale în (6.3) se utilizează deoarece deplasările sunt funcţii de ambele coordonate x şi y ). Dacă din placa din Fig. 6.9 se izolează un element oarecare MABC, acesta se va deforma şi se va deplasa o dată cu placa, ajungând în poziţia MA BC (Fig. 6.10). Dacă punctul M se deplasează de-a lungul axei Ox cu cantitatea u, atunci punctul A se va deplasa cu: u u du A u dx x Punctul C se va deplasa de-a lungul axei Ox cu :

151 15 Starea generală de tensiuni şi deformaţii u u u du C u dx dy x y Acelaşi punct C se va deplasa de-a lungul axei Oy cu: v v v dv C v dx dy. x y Fig Laturile MA şi MB ale elementului se înclină, iar unghiul drept din M variază cu unghiul de lunecare specifică u v xy y x. Diagonala MC de lungime ds se lungeşte cu cantitatea ds şi se roteşte cu unghiul d. Inainte de deformaţie lungimea diagonalei MC era: ds dx dy După deformaţie, lungimea diagonalei MC devine: ds ds dx du dy dv u u v v ds ds dx dx dy dy dx dy x y x y.

152 Starea generală de tensiuni şi deformaţii 153 Dacă în expresia de mai sus se ridică la pătrat expresiile din paranteze şi se neglijează infiniţii mici de ordin superior, se obţine, împărţind la ds, expresia alungirii diagonalei MC: ds u dx v dy u v dx dy ds x ds y ds y x ds ds cos sin sin cos x y xy sau liniarizând (scriind funcţie de unghiul ): x y x y 1 cos sin (6.33) xy Relaţia (6.33) are aceeaşi formă ca cea a tensiunii normale unde în loc de alungirile corespunzătoare celor două direcţii perpendiculare apar tensiunile normale paralele cu cele două direcţii, iar în loc de lunecare, apare dublul tensiunii tangenţiale. Făcând deci analogie cu rezultatele obţinute la starea de tensiuni, se poate afirma că în plan există două direcţii principale în lungul cărora alungirile au valori extreme, iar lunecarea specifică este nulă. Aceste direcţii coincid cu direcţiile tensiunilor principale şi se pot determina cu relaţia: xy tg (6.34) 1, Alungirile specifice principale sunt date de relaţia: x y x y 1 (6.35) 1, x y xy Relaţiile obţinute la starea plană se pot extinde şi la starea de deformaţie spaţială. Celor trei deplasări u,v şi w, orientate în lungul axelor de coordonate, le corespund alungirile specifice: u v w ; ; (6.36) x y x z y z In spaţiu, lunecarea specifică are trei componente: u v xy y x ; u w xz z x ; v w yz z y. (6.37) In spaţiu există trei direcţii principale ale alungirilor, de-a lungul cărora acestea au valori extreme, iar lunecările sunt nule. In Teoria elasticităţii se demonstrează că dacă se cunosc cele şase componente ale tensorului deformaţiilor T,

153 154 Starea generală de tensiuni şi deformaţii 1 1 x xy xz 1 1 T yx y yz 1 1 zx zy z atunci se pot afla direcţiile principale ale lunecărilor şi valorile alungirilor principale,, (lunecările specifice sunt şi ele egale două câte două ca 1 3 în cazul parităţii tensiunilor tangenţiale). Lunecările specifice au valori extreme în plane înclinate cu 45 0 faţă de direcţiile principale ale alungirilor specifice: ; ; Legea generalizată a lui Hooke (6.38) 3 3 Legea lui Hooke, în forma ei cea mai simplă exprimă legătura existentă între tensiuni şi deformaţii pentru starea liniară de întindere (sau compresiune) şi pentru starea de forfecare pură (Fig. 6.11): x xy ; (6.39) x xy E G Fig Tensiunile tangenţiale produc lunecări specifice numai în planul în care ele se dezvoltă ( xy xy ) în timp ce tensiunile normale produc şi deformaţii pe direcţii perpendiculare faţă de direcţia acestora. Mărimea contracţiilor transversale se exprimă cu ajutorul coeficientului lui Poisson x : (6.40) y x E

154 Starea generală de tensiuni şi deformaţii 155 Dacă se consideră detaşat un element dintr-un corp solid, solicitat sub limita de proporţionalitate a materialului omogen şi izotrop din care este confecţionat corpul, atunci pe feţele elementului apar tensiuni în cazul cel mai general tensiuni normale şi tangenţiale. Dacă se ia în considerare numai efectul tensiunilor normale (Fig. 6.1), atunci alungirea specifică din lungul axei Ox depinde de mărimea celor trei tensiuni normale; efectul alungirii în lungul axei Ox produs de este micşorat de contracţia transversală produsă de y şi z x. Cu ajutorul principiului suprapunerii efectelor se poate x y z calcula alungirea specifică rezultantă: x E E E Considerând în cazul general de solicitare alungirile specifice pentru cele trei direcţii se obţine legea lui Hooke care exprimă legătura dintre tensiuni normale şi alungiri specifice: 1 x x y z E 1 y y x z E (6.41) 1 z z x y E Dacă pe feţele elementului acţionează şi tensiuni tangenţiale, atunci legătura acestora cu lunecările specifice produse este dată de legea simplă a lui Hooke: xy xz yz ; ; xy xz yz G G G Legea lui Hooke scrisă pentru cazul general de solicitare - tensiuni funcţie de deformaţii specifice este dată de relaţiile: E 1 x x y z 1 1 E 1 y y x z 1 1 E 1 z z x y xy 1 1 G ; G ; G xy xz xz yz yz (6.4)

155 156 Starea generală de tensiuni şi deformaţii Fig. 6.1 Deformaţia specifică volumică V este egală cu suma alungirilor specifice măsurate pe direcţia celor trei axe de coordonate, iar dacă se ţine cont de (6.41): 1 1 V x y z x x y z (6.43) E Relaţia (6.43) reprezintă ecuaţia lui Poisson; aceasta se poate scrie în forma: E V x y z 1 Pentru starea plană de tensiune (ex. 0 ) din (6.41) rezultă: z 1 x x y E 1 y y x E (6.44) z x y E Din relaţiile (6.44) se observă că starea plană de tensiuni nu este în general o stare plană de deformaţie. La o variaţie de temperatură, expresiile alungirilor specifice se completează cu termenul de forma t, cu coeficientul de dilatare temică liniară, iar t variaţia de temperatură. 6.5 Calculul energiei potenţiale de deformaţie t In timpul aplicării sarcinilor exterioare (forţe şi cupluri) pe corpul deformabil, acestea parcurg drumul corespunzător deformaţiei produse,

156 Starea generală de tensiuni şi deformaţii 157 efectuând deci un lucru mecanic, numit lucru mecanic exterior (L). Sub acţiunea sarcinilor corpul solid devine solicitat, în interiorul lui înmagazinându-se o cantitate de energie potenţială, numită energie de deformaţie, lucru mecanic de deformaţie sau lucru mecanic interior (U). Din legea conservării energiei (fără considerarea frecării exterioare şi interioare), lucrul mecanic exterior se transformă în energie de deformaţie, adică L=U. In ipoteza în care deformaţiile corpului sunt elastice, atunci după dispariţia forţelor aplicate energia de deformaţie aduce corpul în starea iniţială nedeformată. Expresia energiei potenţiale de deformaţie se determină cu uşurinţă pentru stări simple de tensiune cum ar fi starea liniară şi starea de forfecare pură; expresiile energiei potenţiale de deformaţie obţinute pentru aceste stări pot fi extinse la cazul general, deoarece starea generală de solicitare poate fi considerată ca rezultatul însumării unor stări liniare şi a unor stări de forfecare pură. a) Determinarea energiei potenţiale de deformaţie în cazul stării liniare de tensiune. Se consideră pentru aceasta o bară dreaptă, de lungime l, cu rigiditatea axială EA solicitată la întindere de o forţă F (Fig a). Se admite că materialul barei ascultă de legea lui Hooke (Fig b) şi că forţa este aplicată static, adică cu intensitate crescândă de la zero până la valoarea ei F (Fig c). Prin solicitarea la întindere, se realizează o stare liniară de tensiune, caracterizată prin tensiunea normală paralelă cu axa longitudinală a barei şi prin alungirea specifică pe direcţia solicitării : F l şi A l Lucrul mecanic produs se obţine cu ajutorul calculului integral: l L Ndu (6.45) Pe baza legii conservării energiei, cu expresia (6.45) se determină energia de deformaţie înmagazinată în bara solicitată axial. Ţinând cont de aplicarea statică a forţei F (Fig c), se poate scrie: du l dn F şi relaţia (6.45) devine: F l Fl U L NdN F (6.46) 0 0

157 158 Starea generală de tensiuni şi deformaţii Deci energia potenţială de deformaţie este egală cu semiprodusul dintre forţă şi deplasarea produsă; aria suprafeţei situată sub curba N=f(u), reprezintă energia totală de deformaţie. Aceasta se mai poate scrie sub forma: A l U V V (6.47) E unde V este volumul barei. Energia specifică de deformaţie, adică energia raportată la unitatea de volum este: U U (6.48) s V E Fig Energia înmagazinată într-un element de volum dv, adică energia elementară de deformaţie este: du U dv dv dv (6.49) s E Dacă se însumează energia elementară de deformaţie pe întregul volum se obţine energia totală de deformaţie, adică acumulată în întreaga bară:

158 Starea generală de tensiuni şi deformaţii 159 U du dv dv E (6.50) V V V b) Determinarea energiei potenţiale de deformaţie în cazul stării de forfecare pură (Fig. 6.14) Pentru starea de forfecare pură există similitudine cu starea liniară de tensiuni în modul de determinare al energiei de deformaţie; relaţiile de calcul pentru energia de deformaţie la forfecarea pură sunt şi ele asemănătoare cu cele de la starea liniară de tensiune. Fig Energia specifică de deformaţie este în acest caz: U U (6.51) s V G Energia de deformaţie elementară este: du dv dv (6.5) G Energia totală de deformaţie corespunzătoare forfecării pure este obţinută prin integrarea energiei elementare: U du dv dv (6.53) G V V V b) Expresia generală a energiei de deformaţie. Pentru un element de volum dintr-un corp solid energia specifică de deformaţie corespunzătoare stării spaţiale de tensiune este rezultatul însumării stărilor liniare şi de forfecare pură create de toate elementele tensorului tensiunilor cu deformaţiile specifice corespunzătoare: x x y y z z xy xy xz xz yz yz U (6.54) s iar dacă se ţine cont de legea generalizată a lui Hooke se obţine: 1 1 U s E x y z E x y x z y z G xy xz yz (6.55)

159 160 Starea generală de tensiuni şi deformaţii Funcţie de tensiunile principale, energia specifică de deformaţie este: 1 U 1 3 s (6.56) E E Energia totală de deformaţie în acest caz general este: U U dv. Prin aplicarea forţelor pe corpul solid deformabil, acesta îşi schimbă forma şi dimensiunile iniţiale. In mod corespunzător, energia înmagazinată va avea o parte legată de variaţia volumului UV şi o parte legată de variaţia formei Uf. Pentru energia de deformaţie corespunzătoare variaţiei volumului, se poate considera că pe feţele elementului acţionează numai tensiuni normale egale cu tensiunea medie (care este tensiunea octaedrică): 1 3 m 3 Tensiune care deformează elementul numai în volum, în mod uniform pe toate direcţiile. Energia specifică de deformaţie de variaţie a volumului va fi (ţinând cont de (6.53)): 31 1 U (6.57) sv m 1 3 E E Pentru energia de deformaţie corespunzătoare variaţiei formei, se poate considera că pe feţele elementului acţionează diferenţa de tensiuni în raport cu tensiunea medie m, realizându-se astfel numai variaţia formei (deformaţia specifică de volum este nulă în acest caz): 1 U 1 3 sf m m m E 1 m m 1 m 3 m m 3 m E sau U sf V (6.58) 3 3E 6.6 Relaţia dintre modulele de elasticitate E şi G pentru un material omogen şi izotrop Deoarece interesează relaţia dintre modulul de elasticitate în direcţie longitudinală E şi modulul de elasticitate transversal G, starea de tensiune în s

160 Starea generală de tensiuni şi deformaţii 161 legătură cu care se fac observaţiile este o stare plană de tensiune. In starea plană considerată se poate afla o placă de grosime constantă solicitată cu o forţă de întindere pe direcţia Ox şi de compresiune pe direcţia Oy (pentru determinarea experimentală a relaţiei dintre E şi G se utilizează o epruvetă plată solicitată la tracţiune). Se presupune că cele două direcţii Ox şi Oy sunt totodată şi direcţii principale ale stării de solicitare (Fig. 6.15) iar tensiunile au aceeaşi valoare. x y 0 Fig Tensiunile produse în plane înclinate la 45 0 se determină cu relaţiile de la starea plană de tensiune(relaţiile 6.): x y x y cos cos sin x y sin90 0 Deci în planele înclinate la 45 0 se dezvoltă numai tensiuni tangenţiale egale cu, adică placa se află într-o stare de forfecare pură. 0 Exprimarea energiei specifice de deformaţie atât în funcţie de tensiunile principale, cât şi în funcţie de tensiunea tangenţială şi x y egalarea celor două expresii astfel obţinute (care reprezintă energia de deformaţie a unităţii de volum) va conduce succesiv la obţinerea unei relaţii între cele două constante de material E şi G: U ; E E s x y x y U s 0 G G

161 16 Starea generală de tensiuni şi deformaţii 0 0 E 1 G Relaţia dintre cele două module de elasticitate longitudinal E şi transversal G este: E1 G (6.59) Poisson Pentru oţel cu 0.3 E, va rezulta N m G , considerând constanta lui N m 11. Expresiile energiei potenţiale de deformaţie sunt utile în calculul deplasărilor prin metode energetice dar şi în stabilirea teoriilor asupra stărilor limtă în Rezistenţa materialelor. 6.7 Aplicaţie Relaţiile care conţin tensiuni şi deformaţii obţinute în cadrul acestui capitol sunt utile în analiza experimentală a tensiunilor prin metoda tensometriei electrice rezistive. Prin această metodă se determină într-un punct pe suprafaţa piesei de încercat deformaţiile specifice pe trei direcţii cu ajutorul unei rozete făcute din mărci tensometrice. Marca tensometrică este în partea de măsurare un traductor rezistiv, o rezistenţă electrică, iar funcţionarea ei se bazează pe variaţia rezistenţei electrice a unui conductor subţire cu diametrul d (diametrul între microni), de lungime l, confecţionate dintr-un material de rezistivitate şi cu rezistenţa electrică R: 4l R d Atunci când conductorul îşi schimbă lungimea cu l=l, diametrul suferă o contracţie transversală d=d, iar rezistenţa electrică a conductorului înregistrează o variaţie R. Dacă se neglijează variaţia rezistivităţii la schimbarea lungimii conductorului, variaţia specifică de rezistenţă electrică l proporţională cu alungirea specifică a conductorului, adică: l R l R sau k R l R R R este

162 Starea generală de tensiuni şi deformaţii 163 unde k este coeficientul de proporţionalitate numit şi constanta mărcii sau constanta traductorului. Corespunzător constantei lui Poisson =0.3, valoarea coeficientului de proporţionalitate poate fi k , funcţie de materialul conductorului. Mărcile folosite în practică sunt sârme foarte subţiri din constantan, manganin, nichel sau platină (materiale cu mare stabilitate termică), lipite în formă de serpentină pe un suport care poate fi hârtie sau plastic (Fig. 3.16). Astfel de traductori au rezistenţă ohmică mare ( ohmi). Lungimea de măsurare l care în practică poate varia între 0.4mm-00mm se numeşte baza mărcii tensometrice. Fig Marca tensometrică se lipeşte pe piesa de încercat după ce suprafaţa piesei a fost bine curăţată mecanic şi chimic. După uscarea liantului folosit (soluţii ale producătorilor sau celuloid dizolvat în acetonă), marca tensometrică formează corp comun cu piesa de încercat, putând măsura atât alungiri cât şi scurtări. Pentru măsurarea variaţiei rezistenţei mărcii, deci şi a alungirii specifice a piesei, marca se conectează la un aparat de măsură, realizat pe baza unei punţi Wheatstone, ca în Fig Intr-o ramură a punţii se află marca de măsurare, cu rezistenţa ohmică Rm, în ramura adiacentă o marcă Rc care face compensarea variaţiilor de temperatură (este lipită pe o bucată de material identic cu al piesei de încercat, nesolicitată, aflată în aceleaşi condiţii termice cu piesa supusă măsurătorilor). Rezistenţele R3 şi R4 sunt din structura punţii. Inainte de măsurare se echilibrează puntea până ce galvanometrul G nu mai indică existenţa unui curent. In această stare de echilibru, între rezistenţe există relaţia: R R R R m 4 c 3 Dacă se schimbă rezistenţa mărcii Rm (piesa este solicitată), atunci puntea se dezechilibrează şi galvanometrul indică un curent proporţional cu alungirea (sau scurtarea) specifică.

163 164 Starea generală de tensiuni şi deformaţii Fig Montajul din Fig cu mărci tensometrice în braţele adiacente ale punţii se numeşte montaj semipunte; montajul în care toare cele patru rezistenţe sunt mărci tensometrice se numeşte montaj punte întreagă. Dacă nu se cunosc direcţiile principale ale stării de solicitare, atunci se pot monta în dreptul punctului studiat trei traductori(trei mărci tensometrice) formând rozete. O rozetă este alcătuită din trei mărci, cu direcţii concurente într-un punct, direcţiile putând face între ele 10 0 sau dispuse pe două direcţii perpendiculare între ele şi a treia direcţie este bisectoarea unghiului drept format de celelalte două direcţii. Considerând direcţiile perpendiculare între ele direcţiile x şi y, se cunosc prin măsurători,, (Fig. 6.18). x y 4 Fig In această situaţie se cer tensiunile principale şi direcţiile principale. Starea de tensiune este o stare plană pentru că la suprafaţa piesei nu sunt sarcini ( 0; 0 ) z xy yz

164 Starea generală de tensiuni şi deformaţii 165 Dacă se consideră o direcţie D în planul de măsurare xoy în care sunt lipite mărcile tensometrice, direcţie care face unghiul 4 cu axa Ox, atunci pentru această direcţie D, deformaţia specifică este dată de relaţia (6.33): x y x y 1 cos sin D xy 4 (6.59) x y 1 xy Din relaţia (3.59) se poate obţine lunecarea specifică : xy xy x y 4 (6.60) Se observă că măsurarea pe trei direcţii permite determinarea lunecării specifice. Deformaţiile specifice principale în punctul de măsurare considerat sunt date de expresia (6.35): x y 1 1, x y xy x y x y 1 x y (3.61) 1, 4 Legea generalizată a lui Hooke pentru starea plană de tensiune (relaţiile 6.4) scrisă considerând axele x şi y drept axe principale 1 şi devine: E E 1 1 Inlocuind şi din relaţiile de mai sus, se pot determina tensiunile 1 principale. A treia tensiune principală este nulă (pe axa z). Direcţiile principale în planul xoy se determină cu relaţia, în care se va înlocui cu valoarea din relaţia (6.60): xy x y xy 4 tg * x y x y (6.6)

165 7. TORSIUNEA BARELOR DREPTE 7.1 Generalităţi O bară dreaptă este solicitată la torsiune (răsucire) dacă în secţiunile ei transversale torsorul forţelor interioare se reduce la un moment (cuplu) care acţionează în plan normal pe axa barei, moment dirijat - în reprezentare vectorială - în lungul axei longitudinale a barei. Acest moment care se notează Mt se numeşte de torsiune sau de răsucire (Fig. 7.1). Fig. 7.1 Deformaţia barelor supuse la torsiune este caracterizată, în principal, prin rotirea secţiunilor tranversale una faţă de alta în jurul unei axe care, în cazul secţiunilor cu dublă axă de simetrie, coincide cu axa longitudinală a barei. Solicitarea de torsiune este frecvent întâlnită la organele de maşini (arbori acţionaţi prin intermediul roţilor dinţate sau de curea, arcuri) dar este prezentă şi la solicitarea unor elemente de contrucţie cum ar fi: grinzi marginale care susţin planşee, sisteme spaţiale de bare, grinzi de rulare şi altele. Dacă bara transmite o putere P[kW] la o turaţie n [rpm], atunci se poate determina valoarea momentului exterior cu direcţia axei longitudinale a barei Mx (care solicită bara la torsiune) în [Nm] cu relaţia: M x P kw N m 9550 n rpm

166 Torsiunea barelor drepte 167 In majoritatea cazurilor, elementele de construcţii solicitate la torsiune sunt în acelaşi timp supuse şi la alte solicitări, în primul rând la încovoiere, iar această solicitare compusă va fi studiată în Capitolul 10. In acest capitol se va examina torsiunea ca solicitare simplă în domeniul elastic de comportare al materialului. O simplă analiză a solicitării de torsiune arată că secţiunea transversală a acestora determină în mare măsură caracterul deformaţiei la torsiune. In cazul barei cu secţiune circulară sau inelară, problema torsiunii se poate rezolva complet cu ipotezele Rezistenţei materialelor, în timp ce pentru alte tipuri de secţiuni, soluţionarea problemei torsiunii devine posibilă numai cu metodele Teoriei elasticităţii. In general, la torsiune, secţiunile transversale se deplanează în timp ce secţiunea circulară (secţiune cu dublă simetrie faţă de solicitare) nu se deplanează (rămâne plană). 7. Eforturi şi diagrame de eforturi Momentul de torsiune într-o secţiune transversală oarecare este egal cu suma momentelor tuturor forţelor şi cuplurilor situate la dreapta sau la stânga secţiunii considerate, în raport cu axa longitudinală a barei. Fie un sistem asemănător cu cel utilizat în laborator pentru studiul torsiunii barelor de secţiune circulară reprezentat în Fig. 7.a ; bara de lungime L din figură este încastrată la un capăt iar în capătul liber este solicitată printr-un moment exterior cu direcţia axei longitudinale, de valoare M0=Fa (moment creat de cuplul celor două forţe F, cu braţul cuplului de valoare a). Schema de studiu la torsiune este reprezentată în Fig. 7. b. Pentru echilibru, în încastrare ia naştere un moment de torsiune egal şi de sens contrar celui aplicat în capătul liber. Momentul de torsiune este constant de-a lungul barei şi are valoarea momentului exterior M0, adică momentul în orice secţiune considerată între punctele de discontinuitate de pe bară (cele două capete) M x M F a ct. este t 0 Dacă valoarea momentului de torsiune variază de-a lungul barei, atunci se recomandă pentru calculul de rezistenţă şi de rigiditate să se construiască diagrama momentelor de torsiune. In toate cazurile se presupune cazul barei drepte în echilibru, având aplicate în diferite secţiuni ale ei momente exterioare care au direcţia axei longitudinale a barei (incluzând şi reacţiunile de aceeaşi natură cu încărcările exterioare). La trasarea diagramelor de variaţie a momentelor de torsiune este utilă adoptarea unei convenţii de semn pentru momentul de torsiune; se poate considera prin convenţie, că momentul de torsiune este pozitiv dacă este

167 168 Torsiunea barelor drepte reprezentat printr-un vector dirijat după axa barei care iese din planul secţiunii curente şi negativ dacă intră în planul secţiunii curente. In cazul în care încărcările care se reduc la momente dirijate după axa barei sunt acţiuni de acelaşi sens, nu este nevoie de vreo convenţie de semn pentru momentul de torsiune ca în aplicaţiile prezentate în continuare. Fig. 7. Pentru trasarea diagramelor de variaţie a momentelor de torsiune dea lungul barei se utilizează metoda secţiunilor aplicată pe fiecare domeniu de continuitate a expresiei momentului de torsiune. Pentru exemplificare în Fig. 7.3 este reprezentată o bară dreaptă de secţiune circulară constantă solicitată de două momente concentrate care au direcţia axei ei longitudinale. Expresiile analitice ale momentului de torsiune sunt date în tabelul 1, iar diagrama momentelor de torsiune este reprezentată în Fig Tabelul 7.1 Momentul de torsiune x 0, a Intervalul 1- M x M ct. t 0 Intervalul -3 x a,3a t M x M 3M 5 M ct.

168 Torsiunea barelor drepte 169 Fig. 7.3 Un alt exemplu de bară solicitată la torsiune este cea reprezentată în Fig Pe intervalul -3 încărcarea exterioară este dată de un moment exterior distribuit uniform cu direcţia axei barei de intensitate 4kNm/m. Expresiile analitice ale momentului de torsiune sunt date în tabelul, iar diagrama momentelor de torsiune este reprezentată în Fig. 7.4; pe zona -3 diagrama momentelor de torsiune are variaţie liniară. Fig. 7.4 Tabelul 7. Momentul de torsiune x 0,0.4m Intervalul 1- M x 1.5 knm ct. t Intervalul -3 x 0.4 m,0.8m M x 1.5 4x 0.4 t t t Intervalul 3-4 x 0.8 m,1.m M x knm ct. t M 0.4m 1.5kNm M 0.8m 3.1kNm

169 170 Torsiunea barelor drepte 7.3 Torsiunea barelor de secţiune circulară şi inelară Se consideră o bară dreaptă de secţiune circulară încastrată la o extremitate şi acţionată în capătul liber de un moment cu direcţia axei longitudinale a barei (ca cea din Fig. 7. a). Materialul din care este confecţionată bara este presupus cu comportare liniar-elastică (ascultă legea lui Hooke). Dacă se trasează pe suprafaţa laterală, înainte de solicitarea barei, o reţea alcătuită dintr-un sistem de generatoare (linii paralele cu axa) şi dintr-o serie de cercuri care constituie conturul secţiunilor transversale (Fig. 7.5), se va constata că, după răsucirea barei (în condiţiile micilor deformaţii) generatoarele drepte se transformă în curbe elicoidale, contururile secţiunilor transversale rămân aceleaşi şi după deformaţie şi la aceeaşi distanţă între ele; de asemenea axa barei rămâne dreaptă. In urma torsiunii o secţiune oarecare a barei s-a rotit faţă de alta cu un anumit unghi, numit unghi de torsiune, transformând dreptunghiurile elementare de pe suprafaţa laterală (abcd) în paralelograme ( a b c d Dacă distanţa dintre cele două secţiuni este infinit mică dx (cazul secţiunilor şi 3), unghiul de torsiune este numit elementar d, iar dacă distanţa este egală cu unitatea (cazul secţiunilor 3 şi 4) atunci unghiul de torsiune se numeşte unghi specific. Unghiul cu care se roteşte o secţiune marginală faţă de alta (cazul secţiunilor 1 şi 5) reprezintă unghiul de torsiune total. ). d şi d dx dx L L (7.1) 0 0 Datorită caracterului antisimetric al momentului de torsiune se produce o stare de tensiune şi deformaţie antisimetrică. Pe acest fond de antisimetrie, lungirile specifice şi tensiunile normale, pe direcţia axei longitudinale şi pe direcţia diametrelor sunt zero (lungirile specifice şi tensiunile normale sunt caracteristice unei stări de solicitare şi deformaţie simetrice). Laturile dreptunghiului elementar (abcd) se înclină doar. Un unghi drept (cel din colţul a spre exemplu) variază cu unghiul de lunecare specifică, care pe mantaua periferică are valoare maximă max. Conform legii lui Hooke este necesar ca pe feţele elementului să se dezvolte tensiuni tangenţiale proporţionale cu unghiul de lunecare specifică ; constanta de proporţionalitate este caracteristica mecanică a materialului numită modul de elasticitate în direcţie transversală G. Legea lui Hooke pentru torsiunea barelor de secţiune circulară se poate scrie deci, G.

170 Torsiunea barelor drepte 171 Tensiunile tangenţiale se dezvoltă atât în secţiunile transversale cât şi longitudinale, pentru a satisface legea parităţii tensiunilor tangenţiale. Astfel elementul se află într-o stare de forfecare pură. Aceste observaţii caracterizează modul de deformaţie al fibrelor de pe suprafaţa laterală a barei. Pentru precizarea comportării fibrelor din interior, se va accepta ipoteza că secţiunea se roteşte în urma deformării ca un disc rigid rămânând indeformabilă în planul ei, razele din fiecare secţiune rămânând drepte şi de aceeaşi lungime, doar rotite cu acelaşi unghi. Astfel, la baza studiului torsiunii barelor de secţiune circulară stau următoarele ipoteze: (1) secţiunile transversale ale barei - plane şi perpendiculare pe axa acesteia înainte de deformare, rămân plane şi perpendiculare pe axa longitudinală a barei şi după deformare (ipoteza secţiunilor plane), secţiunile rotindu-se cu un anumit unghi în jurul axei; () razele secţiunii rămân drepte şi de aceeaşi lungime şi după deformaţie; (3)distanţele (măsurate în lungul axei) între diferitele secţiuni transversale nu se modifică în urma deformaţiei. Utilizând aceste ipoteze torsiunea barelor de secţiune circulară apare ca rezultatul lunecărilor provocate de rotirile reciproce ale secţiunilor transversale unele faţă de celelalte. Dacă se consideră o secţiune transversală oarecare (de exemplu secţiunea, Fig. 7.6), tensiunea tangenţială din dreptul conturului secţiunii trebuie să fie tangentă la contur (în caz contrar ar trebui să existe o componentă radială a tensiunii tangenţiale căreia să-i corespundă conform principiului parităţii tensiunilor tangenţiale o componentă de aceeaşi mărime pe suprafaţa exterioară a barei, în lungul generatoarei). Suprafaţa exterioară a barei nu este încărcată cu forţe axiale exterioare. De aici rezultă că singura componentă diferită de zero a tensiunii tangenţiale este cea tangentă la contur deci cu direcţia perpendiculară pe rază; în mod asemănător tensiunile tangenţiale din planul secţiunii transversale sunt perpendiculare pe rază. Relaţia de echivalenţă între momentul de torsiune şi tensiunile tangenţiale prin care acesta se manifestă în planul secţiunii transversale se poate scrie în forma: M r da t (7.) Legea de distribuţie a tensiunilor tangenţiale necesară evaluării integralei din (7.) se stabileşte din modul de deformare al barei. A

171 17 Torsiunea barelor drepte Fig. 7.5 Fig. 7.6

172 Torsiunea barelor drepte 173 Pentru generalitate, elementul de lungime dx (dintre secţiunile şi 3) se detaşează şi se pun în evidenţă deformaţiile (a se vedea Fig. 7.7). Deplasarea unui punct oarecare Q din secţiune este: d dx r d de unde rezultă r r (7.3) dx în care este unghiul de torsiune specific (definit de relaţia (7.1)). In punctul Q, în conformitate cu legea lui Hooke, tensiunea tangenţială este: G G r (7.4) Din (7.4) se observă că distribuţia tensiunii tangenţiale este liniară (Fig. 7.8) iar tensiunea maximă corespunde punctelor de pe conturul secţiunii: G R (7.5) max Fig. 7.7 Fig. 7.8 Relaţia (7.4) permite calculul integralei din relaţia (7.): M G r da unde I r da este momentul de inerţie polar al t A p A întregii secţiuni. Unghiul de torsiune specific (în radiani pe unitatea de lungime) M t are expresia: (7.6) G I Produsul G I se numeşte modul de rigiditate la torsiune al barei de p secţiune circulară. Cu cât valoarea acestui produs este mai mare cu atât deformaţia de torsiune este mai mică. p

173 174 Torsiunea barelor drepte Din relaţiile (7.1) şi (7.6) se obţine expresia unghiului de torsiune total (unghiul de torsiune dintre secţiunile marginale) L L L M dx M L t t d dx (7.7) G I G I o 0 0 p p Inlocuind relaţia (7.6) în relaţia (7.4) se obţine expresia tensiunii tangenţiale: M I p t r care atinge valoarea maximă pentru r=r: M R M (7.8) t t, (7.9) max I W p p unde s-a notat cu Wp modulul de rezistenţă polar care se calculează cu relaţia: I p W (7.10) p R şi se măsoară în unităţi de lungime 3 (m 3 în S.I.). Modulele de rezistenţă pentru secţiunile circulară de diametru D=R şi inelară cu diametrul exterior D şi diametrul interior d (cu raportul d subunitar ) se calculează cu relaţiile: D I 3 p D W (7.11) p D W I p D 4 1 D (7.1) p D 3 D 16 In aplicaţii relaţia tensiunii tangenţiale se utilizează de obicei sub forma (7.9). Tensiunea maximă evaluată în secţiunea sau zona periculoasă trebuie să fie sub valoarea tensiunii admisibile a a materialului pentru starea de forfecare pură, adică. (7.13) max Valoarea tensiunii tangenţiale admsibile a pentru un material se poate stabili aproximativ pentru materiale omogene şi izotrope în funcţie de a

174 Torsiunea barelor drepte 175 valoare tensiunii normale admisibile a; pentru oţeluri obişnuite se poate considera a Tensiunea admisibilă a se determină cu cu relaţia: unde c, c ct rt a c a c ct r a c rt pentru materiale tenace, pentru materiale fragile, sunt coeficienţii de siguranţă în raport cu limita de curgere la torsiune, respectiv în raport cu rezistenţa la rupere la torsiune. Indiferent de tipul problemei (de verificare, de dimensionare sau de calcul al momentului de torsiune capabil) este necesară stabilirea secţiunii sau zonei periculoase parametric sau numeric (din diagrama de momente) şi determinarea caracteristicilor geometrice ale secţiunii transversale specifice torsiunii (Ip şi Wp), de asemenea parametric sau numeric. Condiţia (7.13) se mai numeşte şi condiţie de rezistenţă. Cu ajutorul acestei condiţii se rezolvă trei categorii de probleme: problemele de dimensionare în care se determină modulul de rezistenţă necesar (la limită) cu relaţia: max M t W ; pnec problemele de verificare în care se verifică dacă tensiunea efectivă este mai mică decât cea admisibilă: max M t ; max a W probleme de calcul al momentului de torsiune capabil care se determină cu relaţia: M W. p a tcap a p Sunt aplicaţii în care dimensionarea barelor solicitate la torsiune se M t face pe baza condiţiei de rigiditate( max, cu a unghiul de a G I torsiune specific admisibil): I pnec M t G a p

175 176 Torsiunea barelor drepte 7.4 Aplicaţii 1. Un arbore transmite puterea de 00kW la turaţia 1.5rot/s. Se cunoaşte tensiunea tangenţială admisibilă a=4mpa a materialului din care este confecţionat arborele.să se determine diametrul D al arborelui. Rezolvare: Momentul exterior transmis arborelui se calculează cu relaţia: PkW 00 M M N m 1.kN m x t n rpm Condiţia de rezistenţă este: M M t t max 3 a W D p 16 Diametrul D al arborelui se obţine: 16 M 3 t D m 136 mm a Se poate adopta o valoare mai mare pentru diametrul D, spre exemplu D=138mm, deoarece D=136mm corespunde unei dimensionări la limită.. Se consideră doi arbori între care se transmite mişcarea de rotaţie prin intermediul roţilor dinţate care au diametrele cercurilor de rulare de 5cm şi 5cm (raportul de transmitere fiind 5:1), ca în Fig Arborii sunt dispuşi pe mai multe lagăre astfel încât să nu se încovoaie (se neglijează şi frecarea în lagăre). Să se determine unghiul de rotaţie în punctul D la capătul arborelui din dreapta, în raport cu secţiunea A (capătul din stânga al celuilalt arbore), datorită unui moment 500daNcm. Arborele de intrare CD este din oţel cu G1= dan/cm, iar arborele de ieşire AB este din bronz cu G1= dan/cm.se presupune o acţiune elastică. Rezolvare: Din echilibrul arborelui CD (Fig (b))se obţine forţa tangenţială F=1000daN (M0=FRr1). Unghiul de răsucire dintre D şi C este: CD M L G I p rad

176 Torsiunea barelor drepte 177 Fig Arborele AB izolat în echilibru este reprezentat în Fig (c). Forţa F este egală şi de sens contrar cu cea care acţionează pe roata conjugată. Momentul la ieşire este determinat din echilibrul arborelui AB (Miesire=FRr= =1500daNcm). Unghiul de torsiune dintre A şi B este: M L iesire rad BA G I 5 6 p Unghiul presupune şi o deplasare de rigid a întregului arbore CD AB datorită roţilor. Rotaţiile de rigid ale celor doi arbori CD şi AB de care trebuie să se ţină seama sunt în acelaşi raport de transmitere (5:1). Deci

177 178 Torsiunea barelor drepte rotaţia de rigid 5( ) trebuie adăugată rotaţiei arborelui CD ( ). Unghiul rezultant de rotaţie (rotaţie de rigid şi deformaţie arbori) dintre D şi A (intrare-ieşire) va fi: rad DA 3. O bară din oţel ABC de secţiune circulară constantă cu diametrul D=80mm, de lungime L=1.5m, încastrată la un capăt, încărcată cu un moment M0=6000 Nm ca în Fig în secţiunea de centru B (la mijlocul barei), este reţinută elastic în secţiunea de centru C (la celălalt capăt al barei). La capătul C al barei este ataşat un sistem format din bare MN şi PQ, fiecare de diametru d=16mm şi lungime l=1.5m; cele două bare elastice MN şi PQ sunt amplasate la capetele diametrului orizontal al barei torsionate ABC. Să se determine tensiunea tangenţială maximă în bara ABC şi tensiunea normală maximă în barele MN şi PQ. Se cunosc E=00GPa şi G=80GPa pentru materialul barei ABC şi al barelor elastice MN şi PQ. Rezolvare: Pentru unghiul mic se poate scrie relaţia: D / 0.04 (I) Forţa axială F a cuplului care se dezvoltă în secţiunea de centru C se calculează din relaţia: F D M F 0.08 C Cuplul Mc acţionează în sens contrar celui aplicat M0 deoarece are tendinţa de a micşora unghiul de rotaţie în capătul C (Fig bara ABC izolată). Alungirile ale barelor MN şi PQ (solicitate axial) se calculează cu relaţia (datele numerice sunt introduse în unităţi internaţionale): M C 1.5 Fl 0.08 (II) E A E 4 x 0, L x L,L Intervalul C-B Intervalul B-A M x M ct. M x M M ct. t C t C 0 Unghiul de torsiune dintre secţiunile de centru A şi C este dat de relaţia: M L C AB G I p M M L C 0 (III) G I p

178 Torsiunea barelor drepte 179 Fig Fig Egalând expresiile lui date de relaţiile (I) şi (II) şi ţinând cont de expresia unghiului dată de relaţia (III) se obţine: M C M 0.75 M M 0.75 C C E G G M C Cu MC=137Nm, forţa F 16.58N Diagrama (numerică) de variaţie 0.08 a momentelor de torsiune pentru bara ABC este reprezentată în Fig Tensiunea tangenţială maximă pe zona periculoasă AB este: MPa max

179 180 Torsiunea barelor drepte Tensiunea normală maximă MN şi PQ este: F MPa A Să se determine reacţiunile din legăturile sistemului din Fig Se cunosc: momentele exterioare M1 şi M, lungimile L1, L, L3 ( L L L L şi ) 1 3 G I p ct. Rezolvare: Reacţiunile din legături MA şi MB au aceeaşi natură cu momentele exterioare aplicate. Ecuaţia de echilibru care se poate scrie pentru bara AB izolată este: M M M M 0, (I) ecuaţie cu necunoscute MA şi M 0 MB. x A 1 B Fig Pentru a rezolva problema se asociază ecuaţiei de echilibru o relaţie care ţine cont de modul în care se deformează sistemul (unghiul de torsiune total dintre secţiunile blocate A şi B este zero): M L M M L M M M L A 1 1 A 1 A 3 0 AB G I G I G I p p p Cuplând relaţia (I) cu relaţia (II) se vor obţine MA şi MB: M L L M L M L L M L M şi M A B L L Variaţia unghiului de torsiune de-a lungul barei AB indică un punct în zona centrală fără torsiune (Fig. 7.18): (II)

180 Torsiunea barelor drepte 181 Fig Torsiunea barei cu secţiune dreptunghiulară Problema torsiunii unei bare cu secţiunea transversală necirculară este mai complexă decât a barei cu secţiunea circulară sau inelară, deoarece ipotezele admise la bara de secţiune circulară nu mai sunt valabile pentru barele de secţiune oarecare. Ipoteza lui Bernoulli (a secţiunilor plane) în cazul barelor de secţiune oarecare este infirmată de experimente, deoarece diferite puncte ale secţiunii transversale se deplasează diferit în lungul axei barei, adică secţiunile transversale se deplanează. Fig Un astfel de experiment poate fi urmărit în Fig în care este reprezentată o bară de secţiune dreptunghiulară în stare nesolicitată şi în

181 18 Torsiunea barelor drepte stare de solicitare la torsiune. In stare nesolicitată (înainte de deformare) s- au trasat pe suprafaţa exterioară a barei linii paralele cu laturile barei, care formează o reţea de dreptunghiuri. Se observă că după aplicarea momentului exterior care produce torsiune Mt, secţiunile transversale se deplanează. Majoritatea dreptunghiurilor se transformă în paralelograme, adică în dreptul lor se produc lunecări cărora le corespund tensiuni tangenţiale. Dreptunghiurile situate în zona centrală a laturilor se deformează cel mai mult deoarece în aceste zone apar tensiunile tangenţiale cele mai mari. Dreptunghiurile aflate în dreptul colţurilor secţiunii îşi păstrează forma, semn că în aceste zone tensiunea tangenţială este zero. Distribuţia tensiunilor tangenţiale de-a lungul axelor principale, dea lungul diagonalelor şi pe contur este dată în Fig Valorile tensiunilor în fiecare punct al secţiunii depind de ambele coordonate ale punctului. Soluţia riguroasă confirmă aceste precizări şi anume că tensiunea tangenţială maximă are loc în punctul ce reprezintă mijlocul laturii lungi; la mijlocul laturii mai scurte se produce o tensiune tangenţială mai mică, iar în colţurile secţiunii, tensiunile tangenţiale sunt nule. Fig. 7.0 Expresiile care dau tensiunile tangenţiale maxime şi unghiul de torsiune M t specific sunt: (la mijlocul laturii lungi) (7.14) max hb (la mijlocul laturii scurte) (7.15) max M t G hb 3 (7.16)

182 Torsiunea barelor drepte 183 În care,, sunt coeficienţi numerici care depind de raportul h/b (h latura lungă, b latura scurtă). Valorile acestor coeficienţi sunt date în Tabelul 7.1. In relaţia (7.16) se poate observa că rolul momentului de inerţie polar de la 3 torsiunea barelor de secţiune circulară îl are expresia: I h b (7.17) Tabelul 7.1 h/b Dacă raportul dintre laturi h/b este foarte mare, atunci relaţiile (7.14) şi (7.16) devin: 3 M 3M t şi t max t 1 3, iar (7.18) hb G hb Ultima relaţie din (7.18) se poate scrie în forma: hb M G t (7.19) 3 şi poate fi extinsă în cazul profilelor deschise care au secţiunea transversală formată din mai multe dreptunghiuri de lăţime mică. Fig. 7.1 Astfel de bare se întâlnesc frecvent în practică de exemplu secţiunile profilelor laminate cunoscute: profile I, U, cornier cu aripi egale sau

183 184 Torsiunea barelor drepte neegale. Tensiunea tangenţială maximă se produce la mijlocul laturii mari a dreptunghiului de lăţime maximă: 3M t M G b b t. max max 3 max hb W Aplicaţie Un profil cornier cu aripi egale L din oţel (cu G= dan/cm ), de lungime l=3m, este solicitat la torsiune (Fig. 7.). Să se calculeze momentul de torsiune pe care-l poate transmite şi unghiul total de torsiune, dacă se admit tensiuni de cel mult a=800dan/cm. Rezolvare: Momentul de torsiune pe care îl poate transmite profilul cornier considerat 3 hb este dat de relaţia: M W unde W t a t t 3b max t Fig. 7. Secţiunea transversală se consideră formată din două dreptunghiuri de lungime 75 mm şi lăţime 10mm (descompunerea profilului nu este unică). Cu această observaţie momentul transmis devine: M daN cm. t 31 Unghiul de torsiune total este dat de relaţia: M l t cu I t bh cm G I 3 3 t 3 4 Va rezulta un unghi de torsiune total de valoare: M l t rad. 5 G I t

184 8. INCOVOIEREA BARELOR DREPTE 8.1 Introducere. Observaţii experimentale. Ipoteze O grindă dreaptă este solicitată la încovoiere, dacă în secţiunile ei transversale se dezvoltă momente încovoietoare. În cadrul acestui capitol se admite că suportul fiecărei forţe trece prin centrul de greutate al secţiunii transversale. În funcţie de poziţia în spaţiu a forţelor, solicitarea de încovoiere poate fi: - încovoiere plană, dacă toate sarcinile aplicate se află într-un singur plan longitudinal, care conţine una dintre axele principale centrale de inerţie ale tuturor secţiunilor transversale; - încovoiere oblică, dacă toate sarcinile aplicate se află într-un singur plan longitudinal, care însă nu conţine axele centrale principale de inerţie ale tuturor secţiunilor transversale solicitate; -încovoiere strâmbă, când forţele aplicate sunt situate în plane longitudinale diferite. În funcţie de natura eforturilor secţionale din secţiunile transversale, solicitarea de încovoiere poate fi: - încovoierea pură, când în secţiunile transversale ale grinzii acţionează numai momente încovoietoare(fig. 8.1); Fig încovoiere simplă, cauzată de existenţa simultană a momentului încovoietor şi a forţei tăietoare în toate secţiunile transversale ale grinzii.

185 186 Incovoierea barelor drepte Legile de deformare prin încovoierea grinzilor drepte cu plan de simetrie sunt simple şi uşor de intuit. Dacă o bară din cauciuc, de preferinţă de secţiune dreptunghiulară, este încovoiată, se poate observa că o suprafaţă a barei este întinsă în timp ce suprafaţa opusă este comprimată. Este evident că între cele două suprafeţe există un plan neutru în care fibrele materialului nu se întind şi nici nu se comprimă. Efectul de încovoiere poate fi clarificat dacă înainte de încovoiere se desenează pe suprafaţa barei de cauciuc o reţea de linii drepte cu spaţiere uniformă în direcţie longitudinală şi transversală. După încovoiere, se constată că distanţele dintre liniile trasate pe o parte se măresc, în timp ce în partea opusă se micşorează. Fig. 8. Cu cât este mai subţire bara (distanţa dintre feţele observate ca opuse) cu atât este mai mic efectul pentru acelaşi moment încovoietor. Modificarea distanţei dintre linii în direcţie longitudinală pe fiecare suprafaţă observată este o măsură a deformaţiilor specifice axiale şi deci a tensiunii axiale care solicită fiecare faţă; de aici se poate desprinde ideea că este convenabil ca să fie exprimat momentul încovoietor M funcţie de curbura produsă. În scopul obţinerii unei astfel de relaţii este necesar să se precizeze anumite ipoteze simplificatoare iar acesta este motivul şi pentru care teoria expusă în continuare este cunoscută sub numele de teoria simplă a încovoierii. Aceste ipoteze simplificatoare sunt date în cele ce urmează: (1) Bara este iniţial dreaptă şi fără tensiuni iniţiale. () Materialul barei este perfect omogen şi izotrop adică cu aceeaşi densitate şi aceleaşi proprietăţi elastice pe toate direcţiile.

186 Incovoierea barelor drepte 187 (3) Limita de elasticitate nu este depăşită pe nici o direcţie. (4) Modulul de elasticitate în direcţie longitudinală (modulul lui Young) al materialului este acelaşi la întindere şi compresiune. (5) Secţiunile plane rămân plane înainte şi după încovoiere. (6) Fiecare secţiune transversală a barei este simetrică în raport cu planul de încovoiere, adică în raport cu o axă perpendiculară pe axa neutră (A.N.), una dintre axele acelui plan neutru. (7) Nu există nici o forţă rezultantă cu suportul perpendicular pe nici o secţiune transversală. (8) Se neglijează presiunea dintre fibrele longitudinale - z=0 (9) Se neglijează deformarea secţiunii transversale (secţiunea transversală îşi modifică forma din cauza contracţiei transversale, dar această modificare este neînsemnată şi se poate neglija, întocmai ca la solicitarea axială) 8. Încovoierea pură Dacă vom considera o bară fără tensiuni iniţiale solicitată de un moment încovoietor M constant de-a lungul barei (o solicitare ca şi când am aplica cupluri egale la fiecare capăt al barei), adică încovoiere pură, bara se va încovoia cu raza de curbură ca în figura 8.3b. Ca rezultat al încovoierii fibrele inferioare se întind iar fibrele superioare se comprimă. Undeva între aceste două zone există evident puncte în care tensiunile axiale sunt zero. Locul geometric al acestor puncte este denumit axă neutră (A.N.). Raza de curbură este deci măsurată de la centrul de curbură până la această axă. Pentru secţiuni simetrice axa neutră (A.N.) este axă de simetrie; în cazul unei secţiuni oarecare axa neutră trece întotdeauna prin centrul de greutate al secţiunii transversale. Să considerăm acum două secţiuni transversale ale barei HE şi GF iniţial paralele (înainte de deformare) (a se vedea Fig. 8.3a). Când bara este încovoiată (Fig. 8.3 b) se presupune că aceste secţiuni rămân plane; aceasta înseamnă că liniile HE' şi GF', care reprezintă poziţiile finale ale acestor secţiuni rămân linii drepte. Ele vor forma unghiul. Considerăm acum fibra AB din material situată la distanţa z de axa neutră (A.N.). Când bara este încovoiată aceasta se va intinde şi va deveni A B. deformatia AB AB Deformaţia specifică axială AB = lungimeainitiala AB Dar AB=CD şi din moment ce axa neutră (A.N.) este netensionată, CD=C'D'.

187 188 Incovoierea barelor drepte AB AB z z Deformaţia specifică= CD Din legea lui Hooke: E=tensiunea axială / deformaţia specifică axială Deformaţia specifică axială = /E Egalând cele două ecuaţii pentru deformaţia specifică rezultă: sau z E E z (8.1) Fig. 8.3 Considerăm acum o secţiune a barei (Fig. 8.4). Din ecuaţia (8.1) tensiunea din fibra situată la distanţa z de axa neutră (A.N.) este: E z (8.) Relaţia obţinută arată că valoarea tensiunii este proporţională cu distanţa z. Pe baza acestei relaţii se poate trasa diagrama de distribuţie a tensiunilor normale pe înălţimea secţiunii transversale. În dreptul fibrelor care-şi păstrează lungimea (z=0) rezultă evident că tensiunea normală este egală cu zero. Planul neutru împarte bara în două părţi. Dacă momentul încovoietor are valoare pozitivă, ca în cazul de faţă, atunci fibrele situate sub planul neutru sunt solicitate la întindere (tracţiune) (0), iar cele de deasupra, la compresiune (0). Tensiunile cele mai mari se produc în dreptul celor mai îndepărtate puncte de axa neutră:

188 Incovoierea barelor drepte 189 E max z. max Relaţia dintre cuplul de încovoiere M şi tensiunile produse pe suprafaţa secţiunii transversale se obţine cu ajutorul ecuaţiilor de echivalenţă. Pentru cazul particular al forţelor elementare paralele da, ecuaţiile de echivalenţă vor fi: (din ipoteză, în secţiunile transversale nu apar forţe axiale) da 0 A A yda 0 (din ipoteză, în secţiunile transversale nu apar momente încovoietoare dirijate după axa z) zda M (din ipoteză, în secţiunile transversale apar numai momente A iy încovoietoare dirijate după axa y) (8.3) Cu expresia (8.) ecuaţiile de echivalenţă (8.3) devin: E zda 0 ; zyda 0 ; z da M iy ( aplicat). (8.4) A A A Relaţiile obţinute arată următoarele: - Dacă zda 0, atunci axa neutră trece prin centrul de greutate al secţiunii A M iy M transversale, deoarece numai faţă de o axă centrală momentul static al unei suprafeţe este egal cu zero. Originea O a sistemului de referinţă coincide cu centrul de greutate al secţiunii transversale. - Dacă zyda 0, atunci axele Oy şi Oz trebuie să fie axe principale de A inerţie ale secţiunii transversale. În cazul încovoierii plane această condiţie este îndeplinită. -Dacă se observă că integrala z da I, este momentul de inerţie al A secţiunii transversale în raport cu axa neutră, atunci se poate scrie: 1 M iy EI (8.5) Cu ajutorul acestei relaţii se determină lungimea razei de curbură R, iar expresia tensiunii normale (8.1) devine: M iy z (8.6) I y y y

189 190 Incovoierea barelor drepte Relaţia obţinută permite calculul valorii tensiunii normale în orice punct al secţiunii transversale. Ea reprezintă relaţia lui L.M.H. Navier şi arată că valoarea tensiunii normale de încovoiere este o funcţie liniară de distanţa punctului la axa neutră. Cu relaţia Navier se calculează de obicei tensiunea maximă de pe suprafaţa secţiunii, situată în dreptul celui mai îndepărtat punct de axa neutră. Cu se obţine: z z max M z M i max i max I W (8.7) y y Sub această formă particulară relaţia Navier conţine ca notaţie convenţională raportul: W y I z y max (8.8) Această caracteristică geometrică a secţiunii transversale se numeşte modul de rezistenţă axial, sau modul de rezistenţă la încovoiere. În aplicaţiile inginereşti relaţia Navier se utilizează în special sub forma (8.7).Unitatea de măsură a acestei caracteristici geometrice este [L 3 ], adică în S.I. [m 3 ]; în multe aplicaţii modulul de rezistenţă axial se măsoară în [mm 3 ] sau [cm 3 ]. Fig. 8.4 Din ecuaţia (8.) se poate vedea că dacă bara este de secţiune uniformă, materialul barei este omogen şi momentul aplicat este constant, valorile pentru I, E şi M rămân constante şi deci şi raza de curbură va fi constantă. Deci în cazul încovoierii pure a secţiunilor uniforme, deformaţia barelor va fi sub formă de arc de unde şi denumirea utilizată adesea de încovoiere

190 Incovoierea barelor drepte 191 circulară. Din ecuaţia (8.) raza de curbură a deformatei în urma aplicării unui moment încovoietor M este dată de : EI M adică se află în relaţie de directă proporţionalitate cu cantitatea EI. Deoarece raza de curbură este o măsură directă a gradului de deformabilitate la încovoiere al barei, cantitatea EI se numeşte adesea rigiditate la încovoiere a barei. În cele prezentate în acest paragraf, nu s-a luat în considerare efectul forţei tăietoare (s-a considerat doar încovoierea pură). Din exemplele prezentate în capitolul de diagrame de eforturi secţionale la bare drepte, dar şi din aplicaţiile practice, apare evident faptul că în cele mai multe cazuri forţa tăietoare şi momentul încovoietor apar împreună. Inspectarea diagramelor de forţă tăietoare T şi moment încovoietor M, arată că atunci când momentul M este maxim forţa tăietoare T este zero. Se va arăta în acest curs că încovoierea produce cele mai intense stări tensionale şi deci proiectarea pe baza doar a momentului încovoietor M maxim este în general adecvată. Aşa cum s-a arătat mai înainte, este clar că la încovoiere, dacă o suprafaţă a barei este supusă la întindere iar suprafaţa opusă este supusă la compresiune există o regiune în interiorul barei în care tensiunile normale schimbă semnul, adică o regiune în care tensiunile normale sunt zero. Această regiune cu tensiuni normale nule se numeşte suprafaţă neutră; intersecţia fiecărei secţiuni transversale a barei cu suprafaţa neutră reprezintă o dreaptă numită axă neutră. Ecuaţia (8.3) se poate rescrie în forma: M z (8.9) I care arată că tensiunea normală este direct proporţională cu z, distanţa punctului de calcul al tensiunii la axa neutră (A.N.) a solicitării, adică tensiunea normală variază liniar cu distanţa până la axa neutră (A.N.), maximul tensiunii normale întâlnindu-se în punctele cele mai îndepărtate de axa neutră, unde z este maxim. Distribuţii tipice ale tensiunii normale la încovoiere sunt date în Fig. 8.5, atât pentru secţiuni cu două axe de simetrie (a) cât şi pentru secţiuni cu o singură axă de simetrie(b). Este evident că materialul în apropierea axei neutre A.N. este supus unei tensiuni relativ de valoare mică în comparaţie cu zonele de material îndepărtate de A.N. In scopul obţinerii unei rezistenţe maxime la încovoiere, este recomandabil să se utilizeze, în măsura posibilităţilor, secţiuni care au suprafeţe mari în punctele îndepărtate de axa

191 19 Incovoierea barelor drepte neutră. In acest sens, barele cu profil I sau T au o largă utilizare în aplicaţiile inginereşti, cum ar fi grinzile de susţinere în care încovoierea joacă un rol important. Aceste bare au momente de inerţie mari în raport cu o axă şi mici în raport cu cealaltă, asigurând rezistenţă mare în raport cu axa de încovoiere (axa după care este dirijat momentul încovoietor). O grindă rezistă cu atât mai bine la solicitarea de încovoiere cu cât modulul ei de rezistenţă (modulul axial) Wy are valoare mai mare. Valoarea modulului axial depinde nu numai de mărimea ci şi de forma secţiunii transversale. Astfel, forma secţiunii transversale poate fi considerată cu atât mai raţională cu cât modulul de rezistenţă are o valoare mai mare pentru un consum cât mai mic de material(greutatea barei prismatice este legată de aria secţiunii transversale A). Fig. 8.5 Distribuţii tipice ale tensiunilor din încovoiere Indicatorul de folosire raţională a unei secţiuni la încovoiere este raportul dintre modulul de rezistenţă axial Wy şi aria A a secţiunii transversale a W y grinzii, adică. Secţiunea este cu atât mai economică cu cât raportul A

192 Incovoierea barelor drepte 193 W y A este mai mare. Secţiunile profilelor laminate I şi U utilizate în construcţiile metalice, sunt mult mai raţionale (pentru solicitatea de încovoiere) decât secţiunea dreptunghiulară sau circulară (care este secţiunea arborilor- bare rotitoare). Cu relaţia NAVIER se rezolvă trei categorii de probleme: - Probleme de dimensionare prin care se determină modulul de rezistenţă necesar, astfel încât grinda să reziste, M iy max W ynec -Probleme de verificare, prin care se calculează tensiunea maximă de încovoiere şi se compară cu tensiunea admisibilă a. Grinda rezistă dacă M iy max a W - Probleme de calcul al momentului încovoietor pe care-l poate suporta grinda M W y a iy a y Modulul de rezistenţă al secţiunilor compuse nu se poate calcula în general prin însumarea modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple din componenţa secţiunii. Pentru orice formă de secţiune compusă valoarea modulului de rezistenţă axial se determină cu relaţia (8.8). Calculul de rezistenţă al barelor solicitate la încovoiere se conduce pentru secţiunea periculoasă a barei, adică pentru secţiunea în care tensiunea maximă are cea mai mare valoare. Distribuţia liniară a tensiunilor se modifică dacă în secţiunea transversală a barei există concentratori de tensiune (găuri, racordări la trecerea de la o secţiune la alta a barei ). In acest caz, relaţia NAVIER dă numai valoarea unei tensiuni nominale n, valoarea tensiunii maxime fiind funcţie de un coeficient teoretic de concentrare a tensiunilor K: M iy (8.10) max K n K W Valori ale coeficientului K sunt date în tabele şi diagrame în memoratoarele inginereşti. y

193 194 Incovoierea barelor drepte 8.3 Aplicaţii 1. Consola din Fig. 8.6 are lungimea de 1.5m şi este încărcată cu o forţă concentrată F pe capătul liber. Secţiunea ei transversală este circulară (raza R=100 mm) cu două găuri dispuse simetric faţă de axa longitudinală. Pentru materialul din care este confecţionată consola se consideră tensiunea admisibilă a=600mpa (cu aceeaşi valoare atât la întindere cât şi la compresiune). Să se determine valoarea maximă permisă a forţei verticale F. Fig. 8.6 Rezolvare Pentru secţiunea cu ambele axe transversale axe de simetrie este necesar să se determine modulul de rezistenţă al secţiunii în raport cu axa după care este dirijat momentul încovoietor: Momentul de inerţie Iy: 4 4 R R R R 4 I 0.59R y Modulul de rezistenţă Wy: I 4 y 0.59R 3 W 0.59R y z R max Tensiunea maximă de încovoiere în fibrele cele mai îndepărtate de axa neutră (punctele A şi B din figura) în secţiunea periculoasă (secţiunea din încastrare) este: M iy max cu max W y M iymax F L La limită tensiunea maximă egalează tensiunea admisibilă a, astfel

194 Incovoierea barelor drepte F L N/ m R Rezolvând în raport cu F şi ţinând cont că L=1.5m şi R=0.1m se va obţine F=37KN.. Bara extrudată din Fig. 8.7 este confecţionată dintr-un material pentru care tensiunea admisibilă a=90mpa(cu aceeaşi valoare atât la întindere cât şi la compresiune). Bara este o consolă supusă unei sarcini distribuite vertical. Să se determine intensitatea sarcinii distribuite uniform, dacă bara are secţiunea dată în Fig. 8.7 (secţiunea este cotată în mm). Fig. 8.7 Rezolvare Determinarea caracteristicilor geometrice ale secţiunii transversale: Poziţia centrului de greutate C: za i i z 53.57mm c A i Momentul de inerţie al secţiunii în raport cu axa după care este dirijat momentul încovoietor: I y mm 1 Modulul de rezistenţă la încovoierea în raport cu axa y: I 6 y W mm y z max Cu z mm max

195 196 Incovoierea barelor drepte Momentul încovoietor maxim este localizat în încastrare şi are expresia: q L M iy max La limită, tensiunea maximă este egală cu tensiunea admisibilă: M iy max 6 q L adică 9010 N/ m max a max W W Cu W y m uniform va rezulta q=4.7 [KN]. y şi L=3[m], intensitatea sarcinii distribuite 3. Bara simplu rezemată AD din Fig. 8.8 este încărcată cu o forţă concentrată de 80 KN şi cu un cuplu de amplitudine 30 KN m. Să se determine profilul standardizat U capabil să suporte această încărcare, dacă tensiunea maximă admisibilă este a=160mpa (cu aceeaşi valoare atât la întindere cât şi la compresiune). y Fig. 8.8 Rezolvare: Calculul reacţiunilor din legăturile din A şi C, articulaţie plană, respectiv reazem simplu: M V se obţine V 44KN A C M 0 C V se obţine V 36KN A Din diagrama de momente încovoietoare se observă că secţiunea periculoasă este B, iar valoarea maximă a momentului este 36 KNm. Modulul de rezistenţă necesar se determină din relaţia: C A

196 Incovoierea barelor drepte 197 max M iy max adică, a W y necesar N/ m W W y necesar 3 y Nm necesar W m sau 3 y necesar 5 cm Din tabelele de profile se alege profilul U pentru care U 3 W 45cm y 4. Dacă o sârmă de oţel cu diametrul 0.5mm este îndoită pe un tambur cu diametrul de 400mm, să se determine valoarea tensiunii maxime de încovoiere din sârmă. Se va considera modulul de elasticitate în direcţie longitudinală E=00 GPa. Rezolvare: Deoarece raza de curbură este constantă (00mm), rezultă că şi momentul E I y încovoietor este constant M pe toată lungimea sârmei curbate. iy R Deci sârma se comportă ca o bară supusă încovoierii pure (a se vedea Fig. 8.9). Pentru orice fibră a sârmei situată la distanţa z de axa neutră, deformaţia specifică va fi: z, în care R este raza de curbură. R Deformaţia specifică maximă apare în fibrele cele mai îndepărtate de axa 1 neutră, adică la distanţa de 0.5 mm. Raza de curbură este aproximativ 00mm. Cu precizie mai mare, raza de curbură ar trebui măsurată de la axa neutră a sârmei, iar valoarea în acest caz ar trebui să difere de 00mm cu 0.5m, iar această cantitate se poate neglija. Deci deformaţia specifică maximă în fibra exterioară a sârmei este:

197 198 Incovoierea barelor drepte Fig. 8.9 Fibrele longitudinale sunt supuse tensiunilor de întindere de o parte a sârmei şi de compresiune de cealaltă parte, fără să existe influenţa altei tensiuni. Legea lui Hooke conduce la determinarea tensiunii cerute: 9 E MPa 5. Bara simplu rezemată din Fig este supusă unei sarcini liniar distribuite, având intensitatea maximă q. Dacă bara are secţiunea cu dimensiunile date în Fig. 8.10, să se determine intensitatea maximă a sarcinii distribuite, dacă a=15mpa, fie în întindere fie în compresiune. Se neglijează greutatea barei. Fig. 8.10

198 Incovoierea barelor drepte 199 Rezolvare: Reacţiunile din legăturile 1 şi se determină din ecuaţiile de echilibru (Fig. 8.11): M 0 1 M 0 1 L ql V L 0 rezultă 3 1 L V L ql 0 1 rezultă 3 ql V 3 ql V 1 6 Fig Fig. 8.1 Intensitatea sarcinii distribuite liniar într-o secţiune oarecarea x x este: q q x L Expresiile analitice pentru forţa tăietoare şi momentul încovoietor pe intervalul 1- (a se vedea Fig. 8.1) sunt date în tabelul următor: Intervalul 1- x 0, L Valori în capetele intervalului şi valori extreme ql 1 ql 1 x ql T x q x q T 0 x 6 6 L 6 ql TL L 3 Tx 0 rezultă x ql 1 x M M x x q x iy iy x 6 3 M L 3 iy ql 1 x x q 6 6 L L M M x iy max iy Momentul de inerţie al secţiunii în raport cu axa încovoierii este: 3 q L 3

199 00 Incovoierea barelor drepte I 9510 mm y 1 1 Secţiunea periculoasă este cea cu momentul încovoietor maxim. Intensitatea sarcinii distribuite se determină din relaţia: M iy max z cu z 0.15m max a max max I / y ql N m z va rezulta q 41 max I y KN m. 6. O grindă de lungime L=6m, confecţionată dintr-un profil standardizat I16, este solicitată de o forţă F=1650 dan prin intermediul unei grinzi 1-, ca în Fig Se cere să se calculeze lungimea grinzii 1- astfel încât în grinda A-B să nu se depăşească tensiunea admisibilă a=1500dan/cm. Să se dimensioneze apoi şi grinda 1-. Rezolvare: In Fig.8.13 sunt prezentate cele două corpuri solicitate simetric (barele A-B şi 1-) izolate şi diagramele de momente încovoietoare pentru acestea. Zona centrală a barei A-B este solicitată la încovoiere pură (zona pe care forţa tăietoare este nulă). Tensiunea maximă din încovoiere din bara A-B este dată de relaţia: M iy max F L a I16 3 cu W 117cm max I16 I16 a y W 4W y y Necunoscuta a se determină din inegaliatatea de mai sus: I16 4W y a a L cm (se va considera F 1650 a 175cm ) Momentul încovoietor maxim în bara 1- este: 1 Fa M daN cm iy max 4 4 Tensiunea maximă în bara 1- are expresia: 1 M iy max max a 1 W y necesar Modulul de rezistenţă necesar al barei 1- este:

200 Incovoierea barelor drepte 01 W 1 M cm iy max 3 y necesar a Din tabelele de profile se va alege pentru bara 1- profilul I1 care are 3 modulul de rezistenţă W 54.7cm. y Fig. 8.13

201 0 Incovoierea barelor drepte 7. Grinda din Fig cu L=m poate fi realizată în 3 variante constructive toate de aceeaşi greutate (secţiunile transversale au aceeaşi arie). Se cere să se calculeze valoarea momentului M0 pe care-l poate suporta grinda, în fiecare variantă, dacă parametrul t=4cm şi a=1500dan/cm. Rezolvare: Modulele de rezistenţă corespunzătoare celor 3 variante constructive 1,,3 I 1,,3 y sunt: W y 1,,3 z W W 4 3 max t 10.67cm y y 3 t t 4 3 t 1.33cm Fig. 8.14

202 Incovoierea barelor drepte 03 Momentul încovoietor maxim care trebuie preluat de grindă este M 1,,3 M W 1,,3 iymax 0 a y Pentru cele trei variante constructive se obţine: M 1 W dan cm 01 a y M W dan cm 0 a y M 3 W dan cm 03 a y Obs. Din cele trei secţiuni, varianta a treia rezistă cel mai bine la încovoiere. 8. O grindă pe două reazeme este solicitată cu o forţă concentrată F. Secţiunea grinzii este dată în Fig. 8.15, iar materialul este fontă cu at=350dan/cm (la întindere)şi ac=900dan/cm (la compresiune). Să se determine valoarea forţei la care tensiunile din fibrele extreme nu depăşesc rezistenţele admisibile date. Rezolvare: Secţiunea periculoasă se găseşte la mijlocul deschiderii unde F L M. iy max 4 Condiţiile de rezistenţă sunt: M iy max z max t max t at I y M iy max z I max c max c ac y Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale necesare calculului la încovoiere sunt determinate în continuare. Poziţia centrului de greutate al secţiunii compuse din dreptunghiurile de centre C1, C şi C3 este: za i i z 0.33cm c A max t i z 3 z cm z z 0.33 cm max c c c Momentul de inerţie în raport cu axa y, utilizând teorema Steiner este:

203 04 Incovoierea barelor drepte I y cm 1 4 Fig Numeric, condiţiile de rezistenţă vor fi: La întindere : 100 F rezultă F dan La compresiune: 100 F rezultă F dan Soluţia comună celor două condiţii este F dan.

204 Incovoierea barelor drepte Tensiuni tangenţiale în secţiunile transversale ale grinzilor solicitate la încovoiere simplă plană (moment încovoietor însoţit de forţă tăietoare) In secţiunile transversale ale grinzilor solicitate la încovoiere simplă acţionează pe lângă momente încovoietoare şi forţe tăietoare. Relaţia diferenţială dintre forţa tăietoare şi momentul încovoietor: dm T dx expresie care arată că momentul încovoietor este o mărime variabilă în lungul unei porţiuni de grindă pe care există şi forţă tăietoare. In Fig a este prezentat un exemplu de grindă solicitată la încovoiere simplă. Grinda poate avea secţiunea transversală delimitată de un contur cu linii drepte (Fig c) sau de un contur circular (Fig d). Dacă în secţiunea I-I a grinzii momentul încovoietor are valoarea Mi, atunci într-o secţiune vecină II-II, momentul încovoietor ar trebui să aibă o valoare cu puţin diferită Mi+dMi, chiar dacă forţa tăietoare este constantă pe porţiunea dx situată între cele două secţiuni I şi II. Din grindă se izolează un element de lungime dx, dintre secţiunile I-I şi II- II. Se fac următoarele ipoteze: - secţiunea transversală este simetrică faţă de axa Oz şi constantă în lungul grinzii (de exemplu este secţiune dreptunghiulară). - grinda este confecţionată dintr-un material omogen şi izotrop, care satisface legea lui Hooke. - forţa tăietoare T este dirijată după una dintre axele centrale principale de inerţie. Momentele încovoietoare Mi şi Mi+dMi îşi manifestă prezenţa în secţiunile transversale corespunzătoare prin tensiuni normale, respectiv +d. Valorile acestora în dreptul unui punct de ordonată z se determină cu relaţia NAVIER: M z i respectiv I y i i d (8.10) y M dm z Forţa tăietoare T se dezvoltă prin tensiuni tangenţiale repartizate pe toată suprafaţa secţiunii tranversale şi sunt paralele cu direcţia forţei tăietoare (sunt cuprinse în planul secţiunii transversale). Dacă secţiunea transversală ar fi delimitată de un contur circular (Fig d) atunci, în dreptul punctelor de contur tensiunea tangenţială ar trebui să fie tangentă la contur. Dacă tensiunea tangenţială ar avea o direcţie oarecare în dreptul punctelor de contur, atunci s-ar putea realiza o descompunere a vectorului tensiune tangenţială în două componente : una tangentă la contur I i.

205 06 Incovoierea barelor drepte şi cealaltă normală la contur. Componentei normale la contur i-ar corespunde, în conformitate cu principiul parităţii sau dualităţii tensiunilor tangenţiale, o tensiune egală situată pe mantaua periferică a barei orientată în lungul acesteia (după axa x). La încovoierea simplă însă, nu se aplică asupra barei forţe longitudinale şi deci cele două tensiuni egale, componenta normală la contur şi perechea ei de pe suprafaţa exterioară a barei trebuie să fie nule. Rămâne să fie diferită de zero, deci, doar componenta tensiunii tangenţiale tangentă la contur. In cazul secţiunii dreptunghiulare tensiunea tangenţială are direcţia şi sensul forţei tăietoare, adică z. Pentru schema considerată în Fig. 8.16, axa neutră a solicitării este axa Oy ; se consideră o linie B-C de lungime b paralelă cu axa neutră în secţiune. Fie z distanţa de la axa neutră la această linie, iar aria situată sub linia B-C are valoarea Az. Ipoteza lui D.I. Juravski admite că valorile tensiunilor tangenţiale z sunt egale în dreptul tuturor punctelor de pe linia B-C. Intr-un plan longitudinal al grinzii (o suprafaţă dreptunghiulară cu laturile de lungime b şi dx - Fig b), în conformitate cu principiul parităţii tensiunilor tangenţiale, ar trebui să existe tensiuni tangenţiale, dirijate în lungul grinzii şi egale cu componentele z. Acest plan longitudinal împarte elementul dx în două părţi; partea de jos a elementului situată sub linia B-C este solicitată atât cu tensiuni tangenţiale z datorită forţei tăietoare cât şi tensiuni normale, +d produse de momentele încovoietoare. Ecuaţia de echilibru a forţelor elementare de pe elementul situat sub linia B- C este : F 0 sau d da da bdx 0 x A z Cu relaţia NAVIER, ecuaţia de mai sus devine: A z M dm z M z i i i da da bdx 0 z I I y A z y A z Ţinând cont de relaţia diferenţială dintre forţa tăietoare şi momentul încovoietor, se obţine relaţia Juravski: T S y z b I y z

206 în care S y A z Incovoierea barelor drepte 07 z da este momentul static faţă de axa Oy al suprafeţei de arie Az situată sub linia B-C. Suprafeţele situate sub sau deasupra liniei B-C tind să lunece una faţă de cealaltă. De aceea momentul static Sy se numeşte momentul static al suprafeţei care tinde să lunece. Fig In relaţia Juravski forţa tăietoare T şi momentul de inerţie axial Iy sunt constante în secţiune, în timp ce momentul static Sy şi lăţimea b sunt cantităţi variabile (depind de forma şi dimensiunile secţiunii). Valoarea S y tensiunii tangenţiale depinde de raportul, ceea ce înseamnă că tensiunea b tangenţială depinde de ordonată z. Pentru mai multe forme de secţiuni

207 08 Incovoierea barelor drepte transversale raportul S y b prezintă cea mai mare valoare în axa neutră şi unde deci apar tensiunile tangenţiale cele mai mari. Pe marginile inferioară şi superioară ale secţiunii transversale tensiunile tangenţiale deoarece 0 Az =0. In dreptul punctelor de contur, la contururile circulare, după ce se calculează componenta z, se poate determina atât componenta tensiunii tangenţiale paralele cu axa Oy y, cât şi tensiunea tangenţială totală (cu direcţia tangentă la contur). Componenta y se exprimă funcţie de înclinarea conturului, de exemplu funcţie de unghiul dintre tangenta la contur şi axa Oz. Expresia tensiunii tangenţiale maxime pentru câteva forme de secţiune transversală este dată în tabelul 8.1; în formule T este forţa tăietoare, iar A este aria secţiunii transversale. Distribuţia tensiunii tangenţiale pe înălţimea secţiuniilor este parabolică (Deutsch I, 1979). Tabelul 8.1 z max 3 T A max 4 T 3 A T max A În mod obişnuit, în calculul de rezistenţă al grinzilor solicitate la încovoiere simplă se foloseşte relaţia Navier, deoarece în cele mai multe cazuri tensiunile normale maxime sunt mult mai mari decât tensiunile tangenţiale maxime. Sunt însă cazuri în care este necesară şi evaluarea tensiunilor tangenţiale, de forfecare, cu ajutorul relaţiei Juravski. Aceste cazuri particulare sunt: - cazul grinzilor scurte sau al grinzilor solicitate pe porţiuni scurte de către momentele încovoietoare situaţie în care tensiunile tangenţiale pot atinge valori mari; tensiunile tangenţiale sunt mai periculoase decât cele normale max a dacă: max a

208 Incovoierea barelor drepte 09 - cazul grinzilor cu secţiuni compuse obţinute prin îmbinarea mai multor elemente care lucrează împreună la încovoiere. Dacă grinzile nu sunt îmbinate, atunci ele se pot deforma independent (a se vedea Fig. 8.17); dacă forţa de frecare dintre grinzi este mică, atunci cele două suprafeţe alunecă una faţă de cealaltă. Fenomenul se numeşte lunecare longitudinală, iar îmbinarea elementelor din care este compusă grinda împiedică lunecarea longitudinală. Fig Grinzile compuse îmbinate prin sudură, sunt mult utilizate în domeniul construcţiilor metalice; funcţie de mărimea momentului încovoietor depinzând de încărcarea şi deschiderea grinzii, se pot adopta mai multe soluţii constructive: - pentru valori mici ale momentelor încovoietoare se folosesc profile laminate; - pentru valori medii ale momentelor încovoietoare se pot utiliza grinzi compuse din platbande şi corniere, structuri numite şi grinzi cu inimă plină; - pentru valori foarte mari ale momentelor încovoietoare se folosesc structurile tip grindă cu zăbrele. Următoarele aplicaţii ilustrează un mod de calcul la încovoiere simplă a unei grinzi a cărei secţiune transversală este compusă:

209 10 Incovoierea barelor drepte a) din platbande îmbinate prin sudură (soluţie constructivă pentru valori medii ale momentului încovoietor); b) din bucăţi de lemn prin încleiere. a) Să se calculeze pentru grinda din Fig tensiunile maxime de încovoiere şi de forfecare în secţiunile în care momentul încovoietor, respectiv forţa tăietoare au cele mai mari valori (secţiuni periculoase). Secţiunea transversală a grinzii este un dublu T, confecţionată din platbande, prin sudură (Fig. 8.19). Dacă sudura are grosimea a=7mm şi lungimea cordoanelor este c=10cm, să se găsească distanţa dintre cordoane astfel încât tensiunile din sudură să nu depăşească as=800 dan/cm. Fig Rezolvare: Grinda din Fig este un sistem simetric (are simetrie geometrică şi simetrie de încărcare). Reacţiunile din legăturile grinzii, amplasate la distanţe egale de axa de simetrie geometrică S, vor fi egale între ele şi de valoare 840kN fiecare pentru a realiza echilibrul grinzii pe verticală. Fig. 8.19

210 Incovoierea barelor drepte 11 Diagrama de forţe tăietoare pentru acest sistem va fi antisimetrică, iar diagrama de momente încovoietoare va fi simetrică. Cele două diagrame pot fi deci stabilite prin parcurgerea sistemului doar până în axa de simetrie, extinderea lor pe tot sistemul realizându-se ţinând cont de proprietăţile de simetrie şi antisimetrie (Fig. 8.18). Expresiile analitice pentru T şi Miy sunt date în tabelul de mai jos: Valori în capetele intervalului x 0,1m Intervalul 1- T x 40 4 x T x M M x 40 x 4 iy iy Intervalul -S x 1 m,5m T x 40 4 x x 0 40kN T 1m 46kN 0 0 M 1m 441kN m Valori în capetele intervalului x M x x x iy iy T 1m 378kN T 5m 10kN M 1m 441kN m iy M 5m 735kN m Cea mai mare valoare a momentului încovoietor (735 knm) se înregistează în axa de simetrie, iar valoarea tensiunii maxime se obţine cu relaţia S M I S iy y NAVIER:, în care W max y W z y max Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale care trebuie evaluate pentru calculul la încovoiere sunt momentul de inerţie axial în raport după care este dirijat momentul încovoietor Iy şi modulul axial Wy (de rezistenţă la încovoiere): I cm y 1 1 I y W cm y z 4 S max max S M 4 iy dan cm 1513 dan / cm 3 W cm y iy

211 1 Incovoierea barelor drepte Forţele tăietoare T maxime se produc în dreptul reazemelor şi 3 şi au valoarea 46kN. Tensiunea maximă de forfecare din aceste două secţiuni apare în dreptul Oy (axa neutră) şi se calculează cu relaţia Juravski: T S z b I y y, în care T=46kN -forţa tăietoare în dreptul reazemelor S cm - momentul static în raport cu axa y 3 neutră b=1cm- lăţimea profilului în axa neutră Iy= cm 4. T S y dan / cm z max bi max y Forţa de lunecare longitudinală dintre inima profilului şi cele două platbande pe o lungime de grindă e se poate calcula pornind de la relaţia Juravski în care momentul static este doar cel al platbandei (inferioară sau 3 superioară) S cm, iar lăţimea este grosimea inimii b=1cm: T S y N e l I y y Tendinţei de lunecare produse de această forţă pe lungimea e i se va opune existenţa celor două rânduri de suduri cu grosimea de 0.7cm şi lungimea c=10cm; la limită, când în cordoanele de sudură se dezvoltă tensiunea as=800 dan/cm, lungimea e care este şi pasul sudurii se calculează cu relaţia: T S y N e a c l as I y e Se obţine e=5.1cm. Distribuţia tensiunii tangenţiale din forfecare pentru profilul compus dublu T este reprezentată în Fig. 8.0; saltul de tensiune este înregistrat la modificarea bruscă a lăţimii b (relaţia Juravski) de la valoarea b=4cm la valoarea b=1cm.

212 Incovoierea barelor drepte 13 Fig. 8.0 b) O grindă din lemn este realizată prin încleiere din două bucăţi (Fig. 8.1). Se cere să se verifice această grindă. Se cunosc: a=10 dan/cm, a=6 dan/cm pentru stratul de liant. Rezolvare: Fig. 8.1 Diagramele de variaţie pentru forţa tăietoare şi momentul încovoietor sunt reprezentate în Fig. 8.1 şi corespund unui sistem cu simetrie geometrică şi de încărcare; reacţiunile din legături sunt şi ele de valoare egală.

213 14 Incovoierea barelor drepte Momentul de inerţie în raport cu axa de încovoiere, axa Oy, este: I 376cm y 1 1 Modulul de rezistenţă axial este: I y W 546cm. y z 6 max Tensiunea normală maximă din încovoiere în secţiunea periculoasă (axa de simetrie geometrică) este: M 4 iy max dan / cm max a W 546 y Tensiunea tangenţială maximă în dreptul reazemelor se calculează cu relaţia Juravski: T S y dan / cm max a bi y T=5kN -forţa tăietoare în dreptul reazemelor S cm - momentul static în raport cu axa y 3 neutră b=14cm- lăţimea profilului în axa neutră Iy=376cm 4. Se constată că ambele tensiuni normală şi tangenţială sunt sub limita admisibilă. 8.5 Deformaţiile grinzilor drepte solicitate la încovoiere Generalităţi Solicitate la încovoiere grinzile drepte se deformează luând forme curbe. Această curbare poate fi oglindită cel mai reprezentativ de fibra medie deformată a grinzii, care nu suferă modificări de lungime, punctele ei suferind numai deplasări orizontale şi verticale. In practică, deformaţiile măsurate pe orizontală sunt mult mai mici decât cele de pe verticală, care sunt cunoscute sub denumirea de săgeţi.

214 Incovoierea barelor drepte 15 Fig. 8. Prin studiul deformaţiilor de încovoiere se urmăreşte fie stabilirea formei deformate a grinzii, fie determinarea deplasărilor produse în dreptul unor secţiuni. In Fig. 8. s-a reprezentat o grindă deformată raportată la sistemul de axe xoz (planul de încărcare) cu originea în unul dintre punctele de rezemare. Starea deformată din dreptul unei secţiuni transversale oarecare situată la distanţa x, poate fi caracterizată prin următoarele caracteristici geometrice: -deplasarea transversală w, denumită săgeată, care rezultă direct din ecuaţia fibrei medii deformate, ca fiind ordonata w corespunzătoare unei abscise x, w f x (8.11) - înclinarea fibrei medii deformate sau a secţiunii transversale, denumită rotire, care se obţine prin derivarea ecuaţiei fibrei medii deformate, dw tg (8.1) dx 1 - raza de curbură a fibrei medii deformate sau curbura, dată de cea de a doua derivată a ecuaţiei fibrei medii deformate: dw 1 dx d w d 3 dx (8.13) dx dw 1 dx

215 16 Incovoierea barelor drepte Relaţiile finale ale rotirii (8.1) şi curburii (8.13) sunt aproximative. Ele se bazează pe ipoteza micilor deformaţii care conduce în acest caz la erori neglijabile. In sistemul de referinţă ales, o săgeată pozitivă constituie o deplasare w orientată în jos (sensul pozitiv al axei Oz), iar o rotire pozitivă corespunde cu sensul orar. In practică (angrenaje, cuplaje), este necesară de multe ori cunoaşterea acestui unghi, care reprezintă unghiul cu care se roteşte secţiunea considerată faţă de poziţia iniţială a grinzii nedeformate. Modul de curbare a grinzii, respectiv sensul de deplasare a punctelor şi de rotire a unghiurilor, rezultă din calcule, fiind funcţie de modul de rezemare şi de încărcarea grinzii. In calcule, deformaţiile nu trebuie să depăşească anumite valori admisibile impuse de buna funcţionare a sistemului, ceea ce presupune cunoaşterea valorilor maxime ale deformaţiilor secţiunilor în care se produc. Determinarea deformaţiilor de încovoiere este importantă în următoarele probleme: -la calculul unor organe de maşini unde sunt impuse condiţii de rigiditate, ca de exemplu, raportul dintre săgeata maximă şi deschiderea grinzii; -ridicarea nedeterminării statice cu ajutorul relaţiilor de calcul ale deplasărilor; -solicitări dinamice calcule în care intervin relaţiile săgeţilor şi rotirilor. Relaţiile de calcul ale deformaţiilor din încovoiere se stabilesc pe baza ipotezelor de la solicitarea de încovoiere pură (de la stabilirea relaţiei NAVIER), adică se consideră că grinda este confecţionată dintr-un material omogen, izotrop, cu comportare liniar elastică. In demonstrarea relaţiei NAVIER s-a obţinut expresia curburii fibrei medii deformate din paragraful 8.: 1 M iy EI (8.14) unde EIy reprezintă modulul de rigiditate la încovoiere al secţiunii transversale. Din relaţia curburii se observă că o grindă de rigiditate constantă EI const. solicitată la încovoiere pură M const., se va deforma sub y forma unui arc de cerc, deoarece raza de curbură este constantă - =const. Relaţia (8.14) deşi a fost determinată în condiţiile încovoierii pure, se poate utiliza şi în cazul încovoierii simple (momentul încovoietor este însoţit de y iy

216 Incovoierea barelor drepte 17 forţa tăietoare), deoarece influenţa forfecării asupra deplasărilor din încovoiere este mică. Utilizând expresiile (8.1) şi (8.14) se obţine ecuaţia diferenţială aproximativă a fibrei medii deformate: 1 dw M iy dx EI (8.15) Relaţia (8.15) conţine o nepotrivire de semn faţă de sistemul de referinţă din Fig. 8., deoarece dacă, atunci o dată cu creşterea variabilei x, dw dx M iy 0 d d w funcţia scade, iar 0, contrar celor afirmate de relaţia în dx dx discuţie. Deci forma corectă a ecuaţiei diferenţiale aproximative a fibrei medii deformate în raport cu sistemul de referinţă ales este: dw M iy (8.16) dx EI 8.5. Integrarea analitică a ecuaţiei diferenţiale aproximative a fibrei medii deformate Metoda analitică de integrare sau integrarea directă a ecuaţiei diferenţiale aproximative a fibrei medii deformate se bazează pe ecuaţia diferenţială de ordinul doi (8.16). Prin integrarea ecuaţiei diferenţiale (8.16) se obţin expresiile rotirilor şi săgeţilor. Prin integrare se obţin şi câte două constante de integrare pentru fiecare regiune de grindă, constante care se determină cu ajutorul condiţiilor de legătură(rezemare) şi al condiţiilor de continuitate ale fibrei medii deformate. Condiţiile de legătură exprimă valoarea săgeţii şi rotirii fibrei medii deformate în dreptul legăturilor. Astfel, în dreptul reazemelor, articulaţiilor şi al încastrărilor rigide (Fig. 8.3) săgeţile grinzilor sunt egale cu zero, iar în încastrarea rigidă fibra medie nu se înclină (rotirea este zero). y y Fig. 8.3 Fig. 8.4

217 18 Incovoierea barelor drepte Condiţiile de continuitate ale fibrei medii deformate exprimă continuitatea acesteia în dreptul secţiunilor de trecere de la o regiune de grindă la cea următoare. Chiar dacă expresia momentului încovoietor sau rigiditatea grinzii se schimbă de la o regiune la alta, fibra medie este o curbă continuă şi în dreptul secţiunilor de trecere. Continuitatea se exprimă prin egalitatea săgeţilor şi rotirilor de pe cele două regiuni învecinate (1) şi () respectiv () şi (3)(Fig. 8.4). Metoda analitică de integrare a ecuaţiei diferenţiale aproximative a fibrei medii deformate poate fi utilizată pentru calculul deplasărilor elastice la orice grindă dreaptă solicitată la încovoiere. Este avantajos însă să se utilizeze metoda integrării directe a ecuaţiei diferenţiale aproximative a fibrei medii deformate în cazul stărilor simple de încărcare cu una sau două regiuni de încărcare. In cazul existenţei mai multor regiuni metoda devine greoaie, deoarece determinarea constantelor de integrare presupune un volum mare de calcule Aplicaţii 1. Pentru grinda încastrată solicitată de o forţă concentrată, aplicată la capătul liber (Fig. 8.5) se cere să se determine săgeata maximă şi rotirea maximă. Rezolvare Grinda se compune dintr-o singură regiune cu expresia momentului încovoietor: M F l x i Cum rigiditatea la încovoiere a grinzii este constantă pe toată lungimea ei, prin integrarea ecuaţiei diferenţiale a fibrei medii deformate se obţine succesiv: dw EI M F l x ; Ecuaţia diferenţială aproximativă a fibrei medii i dx deformate dw x EI F l x C ; Expresia rotirii 1 dx 3 x x EIw F l C x C. Expresia săgeţii 1 6

218 Incovoierea barelor drepte 19 Deoarece grinda se compune dintr-o singură regiune, constantele de integrare se determină impunându-se condiţiile de legătură. In acest caz, condiţiile de legătură sunt: dw Pentru x=0 w 0 şi 0 dx Impunând condiţiile de legătură de mai sus în expresiile pentru rotire şi pentru săgeată se vor obţine: C C 0 1 Fig. 8.5 Pentru x=l rezultă că săgeata şi rotirea sunt maxime: w 3 Fl Fl respectiv max EI EI max 3. Pentru grinda din Fig. 8.6 rezemată la capete şi încărcată cu o sarcină uniform distribuită, să se determine săgeata maximă şi rotirea in reazeme. Bara are rigiditatea constantă la încovoiere. Fig. 8.6 Rezolvare: Reacţiunile din legături sunt egale între ele şi fac echilibrul sarcinii uniform repartizate pe acest sistem cu simetrie geometrică şi de încărcare ql V V. 1

219 0 Incovoierea barelor drepte Bara are un singur interval de variaţie a eforturilor secţionale; ecuaţia diferenţială aproximativă a fibrei medii deformate în acest caz este: d w q EI M x x lx i dx Prin integrare se obţine: 3 dw q x x EI l C Expresia rotirii 1 dx q x x EIw l C x C Expresia săgeţii Condiţiile de rezemare sunt: w x 0 w 0 -Pentru x=0 1 -Pentru x=l wx l w 0 Cu aceste condiţii, valorile constantelor de integrare sunt: 3 ql C şi C Săgeata maximă se află la mijlocul grinzii; se înlocuieşte ( x expresia săgeţii: 4 3 l l 3 l q ql l EIw x EIw l max ql w max 4EI Rotirea fibrei medii are valori maxime în cele două reazeme: 4 ql x 0 x l 1 4EI Pentru schemele simple de încărcare din Fig. 8.7 şi 8.8 sunt date doar valorile maxime pentru rotire şi săgeată, obţinute prin integrarea directă a ecuaţiei diferenţiale a fibrei medii deformate. Constantele de integrare se obţin prin impunerea condiţiilor de rezemare (schema din Fig. 8.7) şi prin impunerea atât a condiţiilor de rezemare cât şi a condiţiilor de continuitate (schema din Fig. 8.8). Rezultatele pentru poziţia săgeţii maxime corespunzătoare celor două scheme (Fig. 8.7 şi Fig. 8.8) arată că într-un calcul practic, în cazul l ) în

220 Incovoierea barelor drepte 1 unei grinzi încărcate cu forţe de acelaşi sens, situate între cele două reazeme ale grinzii, săgeata la mijlocul grinzii poate fi acceptată în mod aproximativ ca săgeată maximă a grinzii. Rotirile în reazeme: Ml EI Săgeata maximă x 0.43l Fig. 8.7 Fig Metoda parametrilor iniţiali Ml 0 1 3EI Ml 0 w max 9 3EI Rotirile în reazeme: Fl 1 16EI Săgeata maximă x 0.577l w max 48 3 Fl EI Un algoritm mai simplu care elimină necesitatea scrierii condiţiilor de continuitate în punctele de frontieră dintre regiuni, reprezentând în acelaşi timp o sistematizare a etapelor de rezolvare, se obţine în metoda parametrilor iniţiali. Parametrii iniţiali în această metodă sunt săgeata şi rotirea în originea aleasă (care sunt şi singurele constante de integrare); parametrii în origine sunt deci săgeata în origine notată w0 şi rotirea în origine notată 0. În metoda parametrilor iniţiali se porneşte de la ecuaţia diferenţială aproximativă a fibrei medii deformate, în care pentru momentul încovoietor se scrie o singură expresie valabilă pentru întrega grindă, oricâte regiuni ar avea aceasta. Să urmărim algoritmul metodei pe un caz general, în care o bară este acţionată de mai multe încărcări de acelaşi tip şi anume: de momente concentrate Mi în secţiunile a 0, de forţele concentrate Fj în secţiunile i b 0 şi de încărcările uniform repartizate de intensitate qk aplicate pe j intervalele x c d, 0 (Fig. 8.9 a ). k k

221 Incovoierea barelor drepte Fig. 8.9 Pentru cuplurile exterioare Mi s-a considerat ca sens pozitiv sensul orar, iar pentru forţele Fj şi qk, sensul axei z (descendent). Se porneşte de la ecuaţia diferenţială aproximativă a fibrei medii deformate: dw EI M y iy dx Expresia momentului încovoietor este: x c k M x M T x iy M x a F x b q i i j j k! k q k x d! i j k k (8.17)

222 Incovoierea barelor drepte 3 Ultimul termen din expresia momentului încovoietor se referă la contraponderea sarcinii distribuite pe regiunea pe care ea este extinsă până la capătul grinzii, extindere realizată datorită modalităţii de scriere a unei expresii unice a momentului încovoietor pentru întreaga grindă (Fig. 8.9 b). Expresia rotirii este: M T M F x b j 0 i EI EI! EI EI! 0 0 x i x x x a y y i y j y x c q x d 3 3 q k k k EI 3! EI 3! k y Expresia săgeţii: k x c q x d y 4 4 k j (8.18) x a F x b j M 3 0 x T 0 x M i i j w x w x 0 0 EI! EI 3! EI! EI 3! y y i y j y q k k k EI 4! EI 4! k y Expresia forţei tăietoare este: k y 0 T x T F x b q x c q x d 0 j j k k k k j k k k 3 (8.19) (8.0) Forţele exterioare care apar pe bară (inclusiv reacţiuni) intervin în expresiiile săgeţii şi rotirii din secţiunile situate în dreapta celei în care acţionează. Relaţiile (8.18) şi (8.19) se pot considera valabile pe toată lungimea barei, reţinând convenţia ca termenii din sumă să se adauge numai dacă monoamele x a, x b i j au valori strict pozitive. Pentru a putea utiliza această regulă, sunt menţionaţi în expresiile momentului încovoietor şi forţei tăietoare monomul x a, x b i j puterea zero. la In aplicaţii, se poate utiliza şi separarea intervalelor de variaţie ale eforturilor secţionale prin bare verticale (a se urmări primul exemplu de calcul de la metoda parametrilor iniţiali).

223 4 Incovoierea barelor drepte Algoritmul general de rezolvare al unei probleme cu metoda parametrilor iniţiali pentru bara static determinată sau nedeterminată, conţine următoarele etape: (a) analiza structurii statice şi stabilirea condiţiilor pe care săgeata şi derivata sa (rotirea) urmează să le satisfacă la extremităţile barei şi în reazemele intermediare; (b) suprimarea legăturilor cu terenul din reazeme intermediare (dar nu şi reazemele de la extremităţi) şi introducerea reacţiunilor necunoscute; (c) scrierea expresiilor generale ale săgeţii şi rotirii pentru întreaga grindă în funcţie de încărcările exterioare (acţiuni şi reacţiuni intermediare) utilizând relaţiile de tip (8.17) până la (8.0); (d) prin impunerea condiţiilor (a), se obţine un sistem algebric având ca necunoscute parametrii iniţiali şi reacţiunile intermediare; (e) rezolvarea sistemului şi stabilirea expresiilor deplasărilor pe intervale (la care se pot adăuga eforturile pe intervale), cu ajutorul relaţiilor (8.17) până la (8.0).Acestea rezultă numai din încărcările exterioare şi din geometria barei, deoarece după rezolvarea sistemului (d) toate valorile necunoscutelor depind doar de încărcările cunoscute şi de dimensiunile barei. Rezultă că în rezolvare nu este neapărat necesară o etapă distinctă în care să se rezolve static bara (reacţiuni şi eforturi), fapt care este deosebit de important în cazul sistemelor static nedeterminate. Totuşi, atunci când este posibil (la sistemele static determinate) este indicat să se calculeze într-o primă etapă reacţiunile şi eforturile, deoarece acestă etapă simplifică calculele datorită faptului că dă posibilitatea precizării de la început a cel puţin doi parametri iniţiali (T0 şi M0). Metoda parametrilor iniţiali este o metodă simplă cu ajutorul căreia se pot determina rotiri şi săgeţi pentru bare cu rigiditate constantă la încovoiere, solicitate prin scheme complexe de încărcare Aplicaţii 1. Pentru grinda cu încărcările şi dimensiunile din Fig se cere să se scrie expresiile deformaţiei unghiulare (rotirii) şi săgeţii în general şi să se calculeze valorile lor în punctul 3. Rezolvare: Bara din Fig este static determinată. Este recomandabil să se calculeze reacţiunile din legături înainte de a se aplica metoda parametrilor iniţiali. M 0: qa a qa a qa.5a qa V a 0 1

224 Rezultă V 1 3 qa Incovoierea barelor drepte 5 M 0: V a qa a qa a qa qa 0.5a 0 1 Rezultă V qa. Reacţiunea V1 are sensul contrar celui presupus 1 iniţial (sensul considerat este cel al vectorului reprezentat cu linie întreruptă). 1 este: Fig Expresia momentului încovoietor considerând originea în articulaţia i 1 x M x qa x q qa x a qa x a 0 qa x a q x a Pentru a putea urmări cu uşurinţă expresiile momentelor încovoietoare corespunzătoare intervalelor de variaţie de pe bară, acestea au fost separate prin bare verticale (s-ar fi putut renunţa la delimitatea intervalelor folosind pentru identificare doar monoamele care apar). Deasemenea a fost înlocuită scrierea cu factoriale cu valorile acestora. Expresia generală a rotirii: 4 x a x a dw x x EI EI qa q qa qa 0 dx 6 qa x a q Expresia generală a săgeţii: x a

225 6 Incovoierea barelor drepte x x x a EIw EIw EI x qa q qa x a x a x a 3 4 qa qa q Constantele de integrare EI şi 0 rezemare în expresia generală a săgeţii: -Pentru x=0 wx w 0 -Pentru x=a wx a 13 EIw Rezultă: 0adică: se determină impunând condiţiile de EIw 0 0 a a qa EIwa 0 EI a qa q Rezultă EI Rotirea în punctul 3 se obţine înlocuind în relaţia generală a rotirii pe x=a: a a 3 3 qa 1 EI x a EI a qa q 0 rezultă că rotirea în punctul 3 este zero. Săgeata în punctul 3 se obţine înlocuind în relaţia generală a săgeţii pe x=a: a a qa 1 qa EIw x a EIw a qa q rezultă w EI Deplasarea transversală se va face în jos (w3 este pozitiv) iar tangenta la poziţia deformată a barei este paralelă cu axa nedeformată a barei (3=0)..Să se calculeze unghiul de înclinare al fibrei medii deformate în punctele şi 3 şi săgeata în punctul 4, la grinda din Fig. 8.31, cu articulaţie interioară în punctul. Rezolvare: Grinda din Fig este static determinată (două corpuri şi şase ecuaţii de echilibru static). Se aplică metoda parametrilor iniţiali cu 0 şi w 0 (condiţii de legătură în încastrarea 1). 1 1

226 Incovoierea barelor drepte 7 Separând corpurile (separând bara în articulaţie) se pot calcula reacţiunile (se rezolvă ecuaţiile de echilibru întâi pentru bara 3 încărcată simetric). ql ql ql Se obţin valorile: V V şi V ; M Expresiile momentelor încovoietoare pentru cele două intervale excluzând articulaţia interioară sunt: 1 ql ql 3 x M x; M q Pentru a utiliza metoda parametrilor iniţiali pentru întreaga bară 1--3, la prima integrare a ecuaţiei diferenţiale aproximative a fibrei medii deformate se introduce un salt de pantă (unghiul de rotire relativă din articulaţia ) pe care îl considerăm negativ şi îl poziţionăm pe grindă cu monomul x l 0 ; în acest fel putem unifica cele două intervale 1- şi -3 şi ţine cont de frângerea barei în articulaţia : x l 3 ql ql x 0 EI x EI x l q Expresia rotirii 6 1 x l 4 3 ql x ql x EIw EI x l q Expresia săgeţii Fig. 8.31

227 8 Incovoierea barelor drepte Valoarea saltului unghiului de rotire scris în forma EI scriind condiţia de săgeată nulă pe reazemul 3, adică la x=l: ql 3 4 ql l l l EIw x l 0 EI l q Se obţine 3 3ql 8EI Expresia săgeţii în punctul este: 6 4. l l 3 4 se determină ql ql ql EIw EIw x l 6 6 Săgeata în punctul este pozitivă (articulaţia se deplasează înjos). Expresia săgeţii în punctul 4 este: 3 4 3l 3l 3l l 3l ql ql 3ql 3l EIw EIw x l q ql Se obţine: w EI Rotirea în punctul este: l ql ql 3ql ql EI EI x l l l l ql ql 3ql 5ql EI EI x l l q Să se calculeze săgeata în secţiunea 3, la grinda încastrată din Fig. 8.3, dacă momentele de inerţie pe cele două intervale sunt I1 şi I (I1=I). Rezolvare: Pentru calculul săgeţii din punctul 3 vom utiliza metoda parametrilor iniţiali (cu ambele constante de integrare nule - săgeata şi rotirea în originea 1). Deoarece secţiunea grinzii este în trepte, metoda parametrilor iniţiali se va aplica pe o grindă echivalentă cu cea dată având moment de inerţie constant (fie I1, fie I); vom considera grinda echivalentă cu momentul de inerţie cel mai mic, I. Pentru a obţine grinda echivalentă, prima etapă de calcul presupune trasarea diagramelor de forţe tăietoare T şi de momente încovoietoare Mi (ca în Fig. 8.3), pe singurul interval de variaţie (3-1)

228 x 0, l Incovoierea barelor drepte 9 Valori în capetele intervalului Intervalul 3-1 T x F const. Funcţie constantă M x F x i M l F l M i i 0 0 Valorile din diagramele de eforturi se transpun pe cele două tronsoane de momente de inerţie diferite (se va ţine seama de convenţia de semne pentru eforturi); această etapă poate fi urmărită în Fig. 8.3 (a). Se alege ca moment de inerţie constant pentru grinda echivalentă momentul I, şi se va transforma în mod corespunzător încărcarea tronsonului de moment de inerţie I1 (transformarea se face prin împărţirea valorilor forţelor şi momentelor care fac echilibrul tronsonului la raportul dintre momentele de inerţie I1/I, adică în acest caz la ); această etapă se poate urmări în Fig. 8.3 (b). Grinda echivalentă este obţinută unificând cele două tronsoane şi introducând salturile în secţiunea în care se face joncţiunea (este etapa din Fig. 8.3 (c) şi reprezintă schema pentru aplicarea metodei parametrilor iniţiali). In ecuaţia diferenţială aproximativă a fibrei medii deformate de la care se dw porneşte EI M x,expresia momentului încovoietor este: i dx Fl F Fl l F l M x x x x i 4 Expresia generală a rotirii este: l x dw Fl F x Fl l F EI x x dx 4 Expresia generală a săgeţii este: l l 3 x x Fl x F x Fl F EI w Săgeata în punctul 3 se va obţine înlocuind în expresia generală a săgeţii x=l: 3

229 30 Incovoierea barelor drepte 3 l l Fl l F l Fl F 3Fl EI w EI wx l Fl w 3 16EI 3 3 Fig Calculul deplasărilor prin suprapunere de efecte In cazul încărcărilor complexe, când pe grindă se găsesc mai multe sarcini, principiul suprapunerii efectelor permite să se utilizeze relaţiile de calcul ale stărilor simple date în multe manuale inginereşti. Pe baza principiului suprapunerii efectelor, starea complexă de încărcare poate fi considerată ca fiind formată din suma mai multor stări simple (cu rezultate date în manuale). Astfel, deplasarea din dreptul unei secţiuni se obţine prin însumarea deplasărilor corespunzătoare stărilor simple din dreptul aceleiaşi

230 Incovoierea barelor drepte 31 secţiuni. Metoda suprapunerii efectelor este valabilă în limitele valabilităţii legii lui Hooke, a cărei consecinţă este principiul suprapunerii efectelor. Această metodă permite o rezolvare rapidă a problemelor, ea putând fi aplicată la toate solicitările simple şi compuse, indiferent de numărul sarcinilor aplicate. Pentru exemplificare să urmărim aplicaţia următoare: Să se calculeze săgeata în punctul 3 la grinda din Fig (a) dacă Se consideră rigiditatea la încovoiere constantă. ql F. Fig Rezolvare: Se aplică principiul suprapunerii efectelor între: - w, săgeata în 3 datorată sarcinii F (Fig (c)); w 3 w 3, săgeata în, datorită sarcinii uniform distribuite (Fig (b));, săgeata în 3, provenită din rotirea secţiunii cu unghiul, în urma aplicării sarcinii uniform distribuite (Fig (b)). 4 l l 3 q 4 Fl q w ql 3 ; w ql ; ; 3 3 3EI 8EI 18EI 6EI 48EI 3 4 l ql l ql w 3 48EI 96EI Fl ql ql 71 Fl w w w w ql cu F EI 18EI 96EI 19 EI Observaţie: Formulele de calcul pentru săgeţile intermediare şi pentru rotirea în punctul se pot stabili cu uşurinţă aplicând integrarea directă a ecuaţiei diferenţiale aproximative a fibrei medii deformate.

231 9. SOLICITĂRI COMPUSE 9.1 Definiţie. Clasificare. Principii de calcul In practică se întâlnesc cazuri în care o bară dreaptă este supusă simultan la mai multe solicitări simple; se spune că în acest caz bara respectivă este supusă unei solicitări compuse. Oricât de multe ar fi solicitările simple care intră în alcătuirea unei solicitări compuse, acestea din urmă se pot împărţi în următoarele două categorii: - solicitări compuse alcătuite din solicitări simple care produc tensiuni de acelaşi tip (fie numai tensiuni normale, fie numai tensiuni tangenţiale). Astfel sunt solicitările de încovoiere cu întindere (compresiune) care produc numai tensiuni normale sau solicitările de răsucire cu forfecare care produc numai tensiuni tangenţiale. - solicitări compuse alcătuite din solicitări simple care produc tensiuni de tipuri diferite; ca exemplu se poate da solicitarea compusă din încovoiere şi răsucire. In primul caz metoda de calcul are la bază principiul suprapunerii efectelor, care constă în însumarea algebrică a tensiunilor din diferite puncte ale secţiunii transversale a barei supusă solicitării compuse. In cel de-al doilea caz calculul are la bază folosirea teoriilor de rezistenţă. 9. Solicitări compuse alcătuite din solicitări simple care produc tensiuni de acelaşi tip Calculul barelor drepte supuse la asemenea solicitări compuse se face suprapunând efectele solicitărilor simple componente. Modul de rezolvare al acestui tip de probleme va rezulta din examinarea unor cazuri concrete prezentate în continuare Solicitarea compusă de întindere (compresiune) cu încovoiere Deoarece atât încovoierea cât şi întinderea sau compresiunea provoacă tensiuni normale, se vor trata separat aceste solicitări şi se vor suprapune la sfârşit efectele fiecăreia dintre ele. Adică, într-un punct oarecare al secţiunii transversale (periculoase) de coordonate (y,z) tensiunea normală totală are expresia:

232 Solicitări compuse 33 N iy iz z y (9.1) total N M M iy iz A I I y z În care semnele sau din faţa termenilor se stabilesc pentru un punct generic P aflat în primul cadran ( y 0, z 0 ). P Se consideră sistemul de bare din Fig Se cere determinarea tensiunii maxime din secţiunea periculoasă a barei 1--3, cunoscând valorile forţelor F1 şi F, lungimea l, distanţa h şi diametrul D al secţiunii transversale. Rezolvare: Se izolează din sistem bara care interesează (1--3) introducând în secţiunea efectul părţii îndepărtate (torsorul forţei F1 în centrul de greutate al secţiunii ). Cele două solicitări simple care se tratează separat (efectele încărcării exterioare) sunt: - solicitarea axială produsă de forţele F1 şi F; - încovoiere plană produsă de cuplul F1 h. O dată identificate solicitările şi cunoscând natura lor, expresia tensiunii normale totale este: N M iy z (9.) total N M iy A I Diagramele pentru forţa axială şi pentru momentul încovoietor sunt date în Fig Intervalul 3- x 0,l N x F ct. M x 0 iy Intervalul -1 x l,3l N x F F ct. 1 M x F h ct. iy 1 Din diagrame rezultă că zona periculoasă (solicitată cu cea mai mare forţă axială şi cea mai mare valoare a momentului încovoietor) este zona -1 în care -forţa axială este P M N F F, iar momentul încovoietor 1 y M iy M F h. 1

233 34 Solicitări compuse -Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale necesare în aplicaţie sunt aria A D 4 şi momentul de inerţie axial I y D Fig. 9.1 Fie o secţiunea transversală situată în zona periculoasă 1- (Fig. 9.). Pentru un punct generic P din primul cadran expresia tensiunii normale totale la solicitarea compusă este: P N M F F F h iy 1 1 z z (9.3) total P 4 P A I D D y 4 64 Expresia (9.3) este valabilă pentru orice punct din secţiunea transversală, adică se poate renunţa la indicele P: N M F F F h iy 1 1 z z (9.4) total 4 A I D D y 4 64 Locul geometric al punctelor din planul secţiunii pentru care tensiunea normală la solicitarea compusă este nulă, reprezintă axa neutră a solicitării (notată A.N. în Fig. 9.). Acest loc geometric este o dreaptă F F F h total 4 z (9.5) D D 4 64

234 Solicitări compuse 35 paralelă cu axa y, care taie axa z în domeniul ei pozitiv (Fig. 9.) sau nu intersectează această axă (Fig. 9.3), caz în care întreaga suprafaţă a secţiunii este solicitată la întindere. Fig. 9. Fig. 9.3 Axa neutră împarte suprafaţa secţiunii în două zone, una întinsă şi alta comprimată. În punctele cele mai îndepărtate de axa neutră se înregistrează cele mai mari tensiuni normale: M 0, D tensiunea normală este cea mai mare tensiune de - în punctul întindere: F F F h D F F F h F F F h ( ) M max total 4 3 D D D D A W y 4 64 z M 4 3