INSTABILITĂŢI DE CALCUL LA ANALIZA DIADEI RRR s.l. univ. dr. ing. Valentina MANEA s.l.univ.dr.ing. Raluca GRASU Rezumat. Se studiază instabilităţile de calcul care apar la analiza diadei RRR, cauzate de egalitatea unor coordonate care conduc la un numitor nul într-o expresie matematică. Se arată cum se pot evita aceste instabilităţi: prin trecerea peste poziţiile critice prin salturi introduse în program, sau prin schimbarea algoritmului de calcul, evitând anularea vreunui numitor. Cuvinte cheie: analiza mecanismelor, diada RRR, instabilitate calcul 1. Introducere În tratatele de motoare termice sunt analizate situaţiile care apar în poziţiile de punct mort ale mecanismului bielă-manivelă. Se constată că în acele poziţii există discontinuităţi în calcul, rezultând că mecanismul se blochează. În realitate, din cauza inerţiei şi cu ajutorul volantului se trece prin aceste puncte (deci din considerente dinamice). Alte situaţii şi alte soluţii în asemenea cazuri sunt prezentate în [Dudiţă]. Instabilităţi de calcul apar de exemplu şi la rezolvarea unor ecuaţii diferenţiale cu metoda diferenţelor finite [Briggs]. În [Masurekarm] se studiază instabilitatea mecanismului patrulater articulat care, la viteze mari, vibrează din cauza elasticităţii elementelor, considerate uzual în calcule ca fiind rigide. Se stabilesc vitezele critice de la care intervine instabilitatea în calcule, materializată în practică prin vibraţii. O situaţie similară este semnalată la calculul unor turbine, când mici abateri ale unor parametri de intrare produc instabilităţi [Heinz]. Mai jos se studiază instabilităţi de calcul în cazul didei RRR. 2. Poziţiile diadei RRR S-a plecat la acest studiu cu analizarea subrutinei de calcul a diadei RRR, prin metoda distanţelor. Pentru diada RRR (fig. 1), se scriu relaţiile: 1
Fig. 1. Diada RRR 2 2 ( xc xb ) ( yy C B) c 2 2 ( xc xd ) ( yy C D) d După dezvoltarea acestor ecuaţii şi scăderea lor, se obţine: ux 1 u 2( x 1 u 2 C uy 2 B 2( y C B u 0 x 3 D y ) D ) ucdxyxy 2 2 2 2 2 2 3 B B D D Se explicitează yc : y u ux 3 1 C C u2 În program, când yb este foarte apropiate de yd, numitorul lui u2 este egal cu zero iar yc tinde spre infinit. Programul indică eroare matematică şi se pleacă mai departe cu valori eronate. S-a lucrat cu datele următoare: xb=20; yb=20; xd=60; yd =0 40; c=35; d=45. În tabelul 1 se observă cum la yd = 20 apare o eroare matematică. Tabelul 1 YD XC YC 10 38.65371 49.61486 11 37.79386 50.13935 12 36.92692 50.63462 13 36.05508 51.10044 14 35.18049 51.53659 15 34.30538 51.94303 16 33.432 52.32001 17 32.56256 52.66748 18 31.69932 52.98645 19 30.84441 53.27649 20 7.666E-20 1.7012E+38 21 29.16808 53.77674 22 28.35055 53.98896 23 27.54931 54.17591 24 26.76602 54.33979 25 26.00232 54.48148 26 25.25962 54.60254 2
27 24.53923 54.70442 28 23.84231 54.78846 29 23.16987 54.85614 30 22.52276 54.90897 La reprezentarea grafică din fig. 2 nu se observă saltul, deoarece pentru a nu se bloca programul s-a prevăzut o instrucţiune de salt peste această zonă, dar se vede că s-au semnalat erorile apărute. Fig. 2. Poziţii succesive ale diadei S-a lucrat apoi cu pas mai fin în jurul punctului critic. Rezultatele se arată în fig. 3 şi în tabelul 2. 3
Fig. 3. Salturi ale lui yc Tabelul 2 YD XC YC 19 30.84441 53.27649 19.1 30.75951 53.30567 19.2 30.67472 53.33618 19.3 30.5899 53.35865 19.4 30.50552 53.40125 19.5 30.42078 53.41236 19.6 30.33634 53.43384 19.7 30.25203 53.45459 19.8 30.16762 53.42481 19.9 30.08448 53.74219 20 30 32 20.1 30.08302-13.1565 20.20001 30.16763-13.42578 20.30001 30.25225-13.48242 20.40001 30.33648-13.44702 20.50001 30.42079-13.41284 20.60001 30.50533-13.38806 20.70001 30.58991-13.35889 20.80001 30.67462-13.33032 20.90001 30.75947-13.30383 Se constată următoarele: 4
- la punctul critic, conform tabelului 2, are loc un salt al valorilor, iar apoi se trece la valori negative (cealaltă poziţie a diadei); - saltul se observă şi în poziţiile diadei din fig. 4; - în diagrama din fig. 3, xc are modificări lente, în timp ce yc are, în punctul critic, un salt brusc spre valorile negative. x Fig. 4. Trecerea la a doua soluţie posibilă 3. Modificarea subrutinei S-a reluat ecuaţia de mai sus şi s-a explicitat xc : u uy 3 2 C C u1 unde u1 depinde de xb şi xc, coordonate mai rar egale. În acest mod s-a evitat saltul din punctul critic (din varianta precedentă). Diagrama rezultată este dată în fig. 5 (diferă de cea din fig. 3 prin lipsa saltului), iar rezultatele numerice se arată în tabelul 3. 5
Fig. 5. Curbele corecte, fără salturi Tabelul 3 YD XC YC 19 30.84444 53.27759 19.1 30.75949 53.30515 19.2 30.67465 53.33245 19.3 30.58991 53.35946 19.4 30.50529 53.38621 19.5 30.42078 53.41268 19.6 30.33639 53.43889 19.7 30.25211 53.46482 19.8 30.16795 53.49048 19.9 30.08392 53.51589 20 30 53.54103 20.1 29.91621 53.56589 20.20001 29.83255 53.59049 20.30001 29.74901 53.61483 20.40001 29.66561 53.63891 20.50001 29.58234 53.66273 20.60001 29.4992 53.68628 20.70001 29.4162 53.70957 20.80001 29.33334 53.73261 20.90001 29.25062 53.75539 Poziţiile diadei pentru acest scurt interval se arată în fig. 6. 6
Fig. 6. Poziţiile succesive Pentru întregul interval ales iniţial (yd = 0 40) s-a obţinut diagrama din fig. 7 şi imaginea cu poziţiile succesive din fig. 8. Fig. 7. Curbele complete 7
Fig. 8. Poziţiile succesive pentru ciclul considerat Se constată că în acest mod s-a evitat instabilitatea de calcul. 4. Alt caz de instabilitate de calcul Subrutina diadei RRR se mai foloseşte şi în cazul unor elemente tip placă, la care se cunosc poziţiile a două puncte şi se obţine al treilea punct. Astfel, în fig. 9 se cunosc poziţiile punctelor B, D şi se cere poziţia lui C. Fig. 9. Alt caz de aplicare a relaţiilor de la diada RRR 8
În asemenea situaţii se poate ajunge la instabilităţi de calcul în cazul când cele 3 puncte tind să fie colineare sau chiar sunt colineare. S-a ciclat latura c astfel ca să se ajungă la poziţia când punctele B, D, C sunt colineare (în această ordine). S-a lucrat cu datele următoare: xb=20; yb=25; xd=60; yd =25; d=35; c=30 75. Din diagrama rezultată (fig. 10) se constată variaţii aproximativ liniare pentru xc curba de deasupra) şi variaţii mai accentuate ale curbei lui yc, pe măsură ce se apropie de zona critică, adică la c = 74 75 (tabelul 4). După punctul critic, programul se blochează, menţinând constante ultimele valori. Fig. 10. Saltul şi menţinerea valorilor după salt Tabelul 4 c XC YC 50 55.9375 59.76343 51 57.2 59.88782 52 58.4875 59.96731 53 59.8 59.99943 54 61.1375 59.98151 55 62.5 59.9106 56 63.8875 59.78343 57 65.3 59.59638 58 66.7375 59.34539 59 68.2 59.02588 60 69.6875 58.63261 61 71.2 58.15962 62 72.7375 57.59994 63 74.3 56.94542 9
64 75.8875 56.18634 65 77.5 55.31089 66 79.1375 54.30456 67 80.8 53.14888 68 82.4875 51.81999 69 84.2 50.28558 70 85.9375 48.49992 71 87.7 46.39417 72 89.4875 43.85435 73 91.3 40.66236 74 93.1375 36.26527 75 95 25 76 95 25 77 95 25 78 95 25 79 95 25 80 95 25 Poziţiile elementului (cu o latură variabilă) se arată în fig. 11. 10
Fig. 11. Poziţii succesive şi blocarea pe abscisă Se constată că programul a afişat instabilitatea şi a menţinut ultima valoare constantă (linia dreaptă, paralelă cu abscisa). Pentru zona de interes s-a obţinut diagrama din fig. 12, unde se observă saltul. În fig. 13 se arată mai în detaliu zona saltului. Fig. 12. Saltul şi valori constante în continuare 11
Fig. 13. Zona instabilităţii 5. Concluzii - La calcularea, cu metode analitice transpuse în programe, a poziţiilor mecanismelor, apar instabilităţi de calcul. - Cauzele instabilităţilor se datoresc apariţiei la numitorul unei expresii a unui număr foarte mic şi chiar nul, astfel că expresia tinde spre infinit. - În zonele în care unele expresii tind spre infinit, se ajunge la creşteri bruşte ale valorilor, generându-se instabilitate numerică. - Rezolvarea acestor instabilităţi de calcul se poate face astfel: o se înlocuieşte subrutina respectivă cu alta care se bazează pe altă metodă de calcul; o se semnalează de la început că trebuie evitate acele zone care generează instabilităţi de calcul; o se urmăresc mereu rezultatele obţinute, astfel ca ele să fie în conformitate cu realitatea. Bibliografie 1. Briggs, W.L. ş.a. Focusing: a mechanism for instability of nonlinear equations. În: Journal of Computational Physics, vol. 51, Issue 1, july 1983, pg. 83-106. 2. Dudiţă, Fl, Diaconescu, D., Gogu, Gr. Mecanisme articulate. Inventica. Cinematica, Editura Tehnică, Bucureşti, 1989. 3. Heinz, B.P. A practical guide to steam turbine technology. McGraw-Hill, USA, 1996. 4. Manea, V. Cercetări privind sisteme mecanice cu aplicabilitate în construcţii. Teză de doctorat, Univ. Craiova, 2006. 5. Manea, I. V. Cotescu, A.M. Structura şi cinematica unor mecanisme utilizate în construcţii, Editura Matrix Rom, Bucureşti, 2008. 6. Masurekarm V., Gupta, K.N. Stability analysis of four bar mechanism. În: Mechanism and Machine Theory vol. 23, Issue 5, 1988, pg. 367-375. 7. Popescu, I. - Mecanisme. Noi algoritmi şi programe, Repr. Univ. Craiova, 1997. 12