LUCRAREA nr.4: prezentarea în frecvenţă a funcţiilr de transfer. Criterii de stabilitate. Scpul lucrării Se va face analiza cprtării în frecvenţă a sisteelr de reglare autate (reprezentarea hdgrafului şi caracteristicilr seilgaritice ale funcţiei de transfer). Se vr face precizări asupra stabilităţii sisteelr în buclă închisă cu ajutrul criteriilr de stabilitate Nyquist şi Bde. 2. Breviar teretic Cu schibarea de variabilă s=j, funcţia de transfer H(s) a unui siste se pate scrie: H(j )= H(j ) e j = H(j ) e j arg H ( j ) = H(j )+ji H(j )=U()+jV() () Analiza în frecvenţă a unui siste cnstă în studiul regiului peranent arnic al ăriii de iesire la intrare arnică de aplitudine cnstantă şi pulsaţie (frecvenţă) variabilă. Se intrduc urătarele trei tipuri de reprezentări sau caracteristici ale funcţiei de transfer: lcul de transfer (hdgraful sau lcul lui Nyquist); caracteristicile seilgaritice de frecvenţă (aplitudine - pulsaţie şi fază - pulsaţie); - 62 - Analiza şi Sinteza Sisteelr Autate. Aplicaţii utilizând Matlab/Siulink
caracteristica aplitudine - fază. V( ) I H( j ) H ( j) H ( j) ϕ H( j) U ( ). ) ϕ,, ϕ H ( j - 9-8,, a b c Fig.. Caracteristici ale funcţiei de transfer: a - Lcul de transfer; b - Caracteristicile seilgaritice de frecvenţă; c - Caracteristica aplitudine - fază. Lcul de transfer-hdgraful sau lcul lui Nyquist Maniera de reprezentare specifică hdgrafului este de tipul crdnate plare într-un plan ce are drept axe H(s), I H(s). La reprezentare analitică a hdgrafului se preferă ca ea sa fie privită ca transfrare cnfră a planului s denuit cntur Nyquist care are urătarele prprietăţi: prţiunea sa principală este pe axa iaginară pe care s=j deci crespunzătare răspunsului în frecvenţă eventualii pli pe care H(s) îi are pe axa iaginară sunt cliţi cu seicercuri de rază ică situaţi în seiplanul drept închiderea cnturului Nyquist se face cu un seicerc de rază are ce cuprinde întregul seiplan drept al planului s Analiza şi Sinteza Sisteelr Autate. Aplicaţii utilizând Matlab/Siulink - 63 -
+j Planul s ρ sensul pe cnturul Nyquist este dictat de sensul de creştere a pulsaţiei. R Fig.2. Cnturul Nyquist + k rs ( ) Se cnsideră H( s) =, unde s q _ ps ( ) r( ) = p( ) = şi se intrduce def nţiunea e = grad [ p ( s )] grad [ r ( s )], excesul plilr faţă de zeruri. _ Caracteristici seilgaritice Caracteristica aplitudine - pulsaţie asipttică Pentru trasarea caracteristicii pe axa rdnatelr se vr tece valrile (în decibeli) H(j ) = 2lg H(j ) iar pe axa absciselr se figurează valrile (de bicei, axa în decade, intervale de frecvenţă pentru care k = k ). Scriind H(j ) în frulă : H j K ( ) = q ( j ) ( + j T i ) i = n ( + j T k ) k = şi punând fiecare teren cplex sub fră de dul şi arguent, se bţine: (2) j ϕ ( ) H ( j ) = H ( j ) e = jϕ ' jϕ 2 ' j ϕ ' K ( H ' e )( H 2 ' e )...( H ' e ) jαπ / 2 jϕ ' j ϕn ' ( e )( H ' e )...( H ' e ) n (3) - 64 - Analiza şi Sinteza Sisteelr Autate. Aplicaţii utilizând Matlab/Siulink
' din care rezultă iediat: H( j) = 2lg H( j) = K + H H n i i= k = laţia (4) perite trasarea caracteristicii asipttice aplitudinepulsaţie a unui siste autat pentru care se cunsc eleentele tip din funcţia de transfer (prin însuarea grafică a caracteristicilr acestra). Pentru elentele tip caracteristicile aplitudine-pulsaţie sunt date în tabela. gulile generale de trasare a caracteristicii sunt prezentate pe exeplul urătr:. Se factrizează cu ceficienţi reali nuărătrul şi nuitrul lui H(s) - în general, acest lucru este dat din start. 32( s +. 2)( s + 5) H( s) = ss ( 2 +. 4s + )( s 2 (5) + 8s + 6) k (4). Eleentele ce cpun funcţia de transfer se aduc la fră ce evidenţiază terenii tip (cnstantele de tip). 32 *. 2 * 5( + 5s)( +. 2s) 2 ( + 5s)( + 2. s) H() s = = 2 2 2 2 6ss ( +. 4s + )( s + s+ ) ss ( + 4. s+ )( s + s+ ) 6 2 6 2 2. Se identifică eleentele standard ce cpun funcţia de transfer şi se deterină paraetrii necesari trasării: pulsaţiile de frângere (inversul cnstantelr de tip identificate la punctul ) factrii de artizare pentru eleentele de rdinul 2. eleent de anticipare de rdinul H a = +5s; T =5; t = /T =.2 H a = +.2s; T 2 =.2; t2 = /T 2 =5 ε = 3 Analiza şi Sinteza Sisteelr Autate. Aplicaţii utilizând Matlab/Siulink - 65 -
eleent de întârziere de rdinul 2 HI () s = ; T = ; t = = ; 2 T = 4. = 2. 2 3 3 ζ 3 ζ s + 4. s + T 3 ε ( t3) = 2lg2ζ = 2lg. 4 = 8 HI () s = ; T = ; t = = ; T = =. 4 4 4 2ζ 4 ζ 2 4 T s + s + 4 2 6 2 ε ( t4 ) = 2lg2ζ = 2lg. 2 = 4 3. Partea de jasă frecvenţă a caracteristicii este dreaptă cu panta (-q 2 /dec) trecând prin punctul de crdnate = si K = 2 lgk K = 2; K = 2 lg K = 2 lg 2 = 2*.3 = 6 q = - 2 /dec 4. Cnsiderând pulsaţiile de frângere rdnate crescătr, se prelungeşte panta de jasă frecvenţă până la cea ai ică pulsaţie de frângere t. 5. Cunscând tipul eleentului standard cu pulsaţia de frângere t, se calculează panta rezultantă pe urătarea pulsaţie de frângere, ş.a..d. 6. Ca verificare, panta prţiunii de înaltă frecvenţă trebuie să rezulte de (- e 2 /dec) Caracteristica exactă aplitudine-pulsaţie se bţine crectând caracteristica asipttică aplitudine - pulsaţie cu errile făcute prin aprxiarea respectivă. Acestea sunt de 3 (în pulsaţiile de frângere) la eleentele standard de rdinul I şi la eleentele de rdinul II se calculează cu relaţia ε( t ) lg ζ = 2 2 Caracteristica fază-pulsaţie Trasarea acestei caracteristici se face analitic pe baza expresiei funcţiei ϕ sau cu şablane de trasare a caracteristicilr standard cpnente (tabela ). - 66 - Analiza şi Sinteza Sisteelr Autate. Aplicaţii utilizând Matlab/Siulink
Din scrirea sub fră cplexă a lui H(s), relaţia (), se deduce I H( j) expresia: f ( ) = arctg care arată dependenţa de pulsaţia fazeiϕ. H( j) Pentru sisteul descris de funcţia de transfer (3) rezultă n π = i j q (6) i = j = 2 iediat: f ( ) ϕ '( ) ϕ ( ) Aşadar după trasarea caracteristicilr fază-pulsaţie ale eleentelr cpnente prin suare se bţine caracteristica fază-pulsaţie a funcţiei de transfer cnsiderate. Caracteristicile aplitudine-pulsaţie exacte şi faza pulsaţie pentru H(s) definit prin relaţia (5) sunt reprezentate în figura 3. t =.2 t3 = t2 =5 t4 =4-2/dec -4/dec -2/dec -6/dec Fig.3. prezentările în frecvenţă a funcţiilr de transfer sunt flsite la aprecierea stabilitaţii sisteelr descrise de aceste funcţii. Se spune că un siste fizic realizabil este stabil faţă de situaţie de echilibru staţinar, dacă sub acţiunea unei perturbaţii exteriare (ipuls Dirac) îşi paraseşte starea de echilibru stabil, tinzând să revină, după un Analiza şi Sinteza Sisteelr Autate. Aplicaţii utilizând Matlab/Siulink - 67 -
tip finit (perturbaţia încetând) la nua stare de echilibru staţinar cu sau fară erare staţinară. Dacă acest lucru nu este realizat, în sensul că ăriea de ieşire are variaţie cu aplitudine din ce în ce ai are în tip (scilant sau aperidic) se spune că sisteul este instabil. Stabilitatea fiind un indice glbal de calitate, care caracterizează în sensul cel ai larg perfranţele unui siste, trebuie testată înainte de a aprecia rice alt indice de calitate. Aprecierea stabilităţii se pate face direct prin criteriul Hurwitz sau apelând la analiza frecvenţei prin criteriile Nyquist si Bde. Stabilitatea SRA pate fi analizată prin Criteriul Nyquist pe baza hdgrafului funcţiei de transfer din bucla H b (s). Se trasează hdgraful pentru H b (s) şi se analizează stabilitatea pentru H (s)= H b ( s ). + H ( s) b Criteriul Nyquist generalizat: Cndiţia necesară şi suficientă ca un SRA să fie stabil este ca lcul de transfer (hdgraful) lui H b (s) să încnjare punctul critic (-,j) în sens trignetric de atâtea ri câţi pli are H b (s) în interirul cnturului Nyquist. Criteriul Nyquist siplificat: Cndiţia necesară şi suficientă ca un SRA să fie stabil este ca hdgraful lui H b (s) să nu încnjare punctul critic (-,j) (se cnsideră H b (s) stabil). Criteriul Bde Acest criteriu analizează stabilitatea SRA pe baza caracteristicilr seilgaritice ale funcţiei de transfer din bucla deschisă H b (s), periţând deterinarea rezervei de stabilitate a sisteului H (s). - 68 - Analiza şi Sinteza Sisteelr Autate. Aplicaţii utilizând Matlab/Siulink
zerva de stabilitate a unui SRA se evaluează prin duă ării caracteristice: arginea de aplitudine (rezerva de stabilitate în dul) = Hb ( j Π ) arginea de fază (rezerva de stabilitate în fază) γ = 8 + ϕ( t ) unde t este pulsaţia de tăiere ( Hb( j t) = ) iar Π pulsaţia la care sisteul H b (s) are fază egală cu -Π. Criteriul Bde reprezintă transpunerea în scara lgaritică a criteriului Nyquist siplificat. El se expriă astfel: Cndiţia necesară şi suficientă ca un SRA să fie stabil este ca reprezentarea fază-pulsaţie să intersecteze axa într-un punct situat după intersecţia cu aceeaşi axă a reprezentării aplitudine pulsaţie (deci Π > t ). j I H ( j) H ( j) H ( j) 2 Stabil Instabil H 2 2 < γ 2 < t 2 + H t π t 2 - + M - M 2 H ( j) γ < γ > H( j t) t - H 2( j t) (+) instabil stabil ϕ ϕ,2 γ > -8 > t π t 2 γ < 2 + - Fig.4. Criteriul Nyquist siplificat Fig.5. Criteriul Bde Analiza şi Sinteza Sisteelr Autate. Aplicaţii utilizând Matlab/Siulink - 69 -
3. Chestiuni de studiat a) Urărind regulile generale ale trasării caracteristicilr seilgaritice să se traseze caracteristicile aplitudine-pulsaţie şi fază-pulsaţie pentru sisteul definit prin funcţia de transfer de ai js: Hb () s =. Să se verifice fra carcateristicilr cu ( s +. )( s + 8. )( s + 5 ) ajutrul funcţiilr Matlab. b) Urărirea stabilitaţii urătarelr sistee, caracterizate de funcţiile de transfer în circuit deschis, cu ajutrul criteriilr Bde şi Nyquist: k Hb () s = ( s +. )( s + 8. )( s + 5 ), k =, k =5 k 2 Hb () s = ss ( + 3)( s+ 3 ), k 2=, k 2 = Observaţii:. Definirea funcţiilr de transfer în Matlab se face cu ajutrul variabilelr nu şi den. 2s + 3 Exp: H() s = nu=[2 3]; den=[ 5.4] 2 s + 5s + 4. 2. Pentru reprezentare în frecvenţă se flsesc funcţiile nyquist(nu,den) şi bde(nu,den). Aănunte despre flsirea acestr funcţii se pt bţine tastând în linia de canda Matlab: >> help nyquist >> help bde - 7 - Analiza şi Sinteza Sisteelr Autate. Aplicaţii utilizând Matlab/Siulink
Tabela nr.. nr Denuirea terenului tip Lcul de transfer Caracteristici seilgaritice crt Funcţia de transfer Eleent cnstant: H ( j ) k k = I 2 Eleent derivativ H ( j) = j l d 3 Eleent integratr Hl i ( j) = ; j I I K =+ = + =+ = + 4 Eleent de anticipare de rdinul : H ( j) = jt + L i I = + + = 5 Eleent de intarziere de rdinul : HL i ( j) = ; jt + I =+.5 = + 6 Eleent de anticipare de rdinul 2: ( 2 2 ) H ( j) = T + j2 ζ T; Q i I =+ ζ 2ζ = + 7 Eleent de intarziere de rdinul 2: k HQ i ( j) = ; 2 2 T + j2ζ T ( ) I =+.5 = + ζ 2ζ Analiza şi Sinteza Sisteelr Autate. Aplicaţii utilizând Matlab/Siulink - 7 -