CERCETĂRI MODERNE ÎN MECANICA MEDIILOR CONTINUE Sinteza lucrării pe anul 2009 Grantul CNCSIS cod ID 401, nr. contract 15 / 28.09.2007 Programul: IDEI Tipul proiectului: Proiecte de cercetare exploratorie Obiectivul 1. În cadrul temei corespunzătoare primului obiectiv, s-au stabilit rezultate de tare elipticitate pentru materiale elastice anizotrope. Un prim aspect investigat în cadrul proiectului prezent a fost cazul mediilor cu memorie. În acest caz s-a considerat un cilindru omogen alcătuit dintr-un material cu memorie. Au fost vizate cazurile în care materialul este anizotrop, transversal izotrop sau rombic. Pentru studiul comportării spatiale a amplitudinii vibraţiilor au fost introduse, corespunzător tipului de material considerat, mai multe măsuri integrale. S-a arătat că acestea sunt întradevar măsuri ale soluţiilor, în ipoteza că un anumit tensor, şi anume transformata Fourier în sinus a derivatei tensorului de relaxare, este negativ definit (în cazul materialelor anizotrope) sau tare eliptic (în cazul materialelor transversal izotrope sau materialelor ortotrope). Aceste condiţii nu reprezintă ipoteze artificiale ci sunt consecinţe directe ale faptului că materialul este disipativ (M. Fabrizio şi A. Morro, Mathematical Problems in Linear Viscoelasticity, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, 1992). Mai mult, condiţia de tare elipticitate asigură valabilitatea rezultatelor pentru o clasă largă de materiale, cu proprietăţi fizice neobişnuite care, spre exemplu, se extind în lateral când sunt întinse, în contrast cu materialele obişnuite. Aceste materiale includ: biomaterialele, materialele sintetice, oasele, ligamentele, lemnul etc. Măsurile introduse conduc la estimări de tip Saint Venant valabile pentru orice frecventă a vibraţiilor. De asemenea, a fost investigat şi cazul cilindrilor infiniţi şi s-a arătat că în acest caz au loc alternative de tip Phragmen Lindelof. Rezultatele obţinute au fost incluse în lucrarea: C. Galeş şi S. Chirita, On spatial behavior in linear viscoelasticity, Quarterly of Applied Mathematics, Vol 68, nr.4, 17 pag., 2009. În plus, problemele comportării spaţiale şi tarii elipticităţi au fost studiate în lucrarea S. Chiriţă, Strong elliptic elasticity tensor and spatial behavior of harmonic vibrations, Proceedings of the Asian Conference on Mechanics of Functional Materials and Structures, pp.325-328, 2008. În cadrul teoriei generale a mediilor termoelastice fără energie de disipare, teorie dezvoltată de A.E. Green şi P.M. Naghdi (Thermoelasticity without energy dissipation, J. Elasticity, vol. 31, pp. 189-208, 1993) se consideră un cilindru omogen anizotrop supus la incărcări masice nule şi deplasare şi deplasare termică nule pe suprafaţa laterală. Deformarea cilindrului este datorată unei deplasări şi deplasare termică pe baza cilindrului. Pe baza ipotezelor de tare elipticitate asupra coeficienţilor termoelastici se studiază 1
comportarea spatială a soluţiilor tranziente, precum şi a vibraţiilor armonice care iau naştere in cilindru. Pentru soluţiile tranziente se demonstrează o teoremă a domeniului de influenţa, iar in interiorul domeniului de influenţa este demonstrată scăderea efectelor cu distanţa la capătul supus incărcărilor. Pentru vibraţiile armonice este demonstrată o scădere de tip Saint Venant, sub ipoteza că frecvenţa vibraţiei nu depăşeşte o anumită valoare critică. Rezultatele au fost obţinute prin colaborarea cu profesorul Michele Ciarletta de la Universitatea din Salerno şi sunt publicate în lucrarea: M. Ciarletta and S. Chiriţă, On the spatial behavior in thermoelasticity without energy dissipation, Journal of Thermal Stresses, Vol. 32, 2009 (în curs de publicare). Obiectivul 2. Referitor la obiectivul 2, s-a studiat propagarea suprafeţelor singulare în medii termoelastice ce au o microstructură inzestrată cu microtemperaturi. Corpurile considerate sunt presupuse ca fiind izotrope şi omogene. Au fost stabilite condiţiile pentru propagarea undelor de şoc şi a discontinuităţilor de ordin superior, precum şi ecuaţiile care guvernează salturile asociate. Fronturile de undă corespunzătoare se propagă cu una din vitezele c 1, c 2 şi c 3, care depind de caracteristicile materialului. Undele de ordin r + 1, care se propagă cu viteza c 1, induc salturi în derivatele parţiale de ordin r + 1 ale microdilatatiei şi microtemperaturilor. Aceste discontinuităţi se propagă cu aceeaşi viteză. Derivatele partiale de ordin r (şi de ordin r + 1) ale temperaturii, microdilataţiei şi a microtemperaturilor sunt continue la trecerea prin suprafeţele de ordin r care se propagă cu viteza c 2. Undele de ordin r care se propagă cu viteza c 3 induc salturi în derivatele parţiale de ordinul r + 1 ale deplasărilor, microdilataţiei şi microtemperaturilor. Sunt analizate efectele de cuplare între discontinuitaţile câmpurilor mecanice şi a celor termice. Rezultatele au constituit subiectul lucrării: D. Ieşan, Singular surfaces in the theory of thermoelasticity with microtemperatures, care este in curs de publicare în revista ISI Journal of Thermal Stresses. Obiectivul 3. Pentru îndeplinirea obiectivului 3, s-a studiat deformarea pânzelor elastice cilindrice, supuse unor incărcări mecanice, folosind teoria pânzelor Cosserat. Se consideră pânze anizotrope si neomogene, care pot fi atât închise, cât şi deschise, iar secţiunea transversală are o formă oarecare. Se determină configuraţia de echilibru a unor astfel de pânze, asupra cărora acţionează forţe si momente distribuite pe marginile din capetele pânzei. Aşa cum se obisnuieşte în tratarea problemei lui Saint-Venant, se ia în considerare doar forţa rezultantă si momentul rezultant ce acţioneaza pe capete, făra a tine seama de distribuţia punctuală a sarcinilor. În analiza facută se presupune independenţa coeficienţii constitutivi ai pânzei Cosserat cilindrice de coordonata axială. În aceste conditii, se prezintă o determinare a soluţiei folosind metoda stabilită de Ieşan în contextul elasticitătii tridimensionale. Se ştie că în cazul elasticitătii tridimensionale, studiul deformării cilindrilor elastici se reduce la rezolvarea unor probleme plane generalizate, ce sunt probleme la limită pentru ecuaţii cu derivate parţiale pe domeniul plan ocupat de 2
secţiunea transversală. În cadrul articolului a fost pus în evidenţă care sunt analoagele acestor probleme plane generalizate pentru teoria pânzelor. Astfel, studiul deformării pânzelor cilindrice necesită rezolvarea unor probleme auxiliare, care se reduc la probleme la limită pentru ecuaţii diferenţiale ordinare. Aceste ecuaţii diferenţiale ordinare pot fi tratate cu metodele numerice adecvate bine-cunoscute. Ca o alternativă la rezolvarea numerică a ecuaţiilor diferentiale, în lucrare se prezintă o metodă de determinare a solutiei analitice a acestui tip de probleme. Pentru aflarea soluţiei problemei lui Saint-Venant pentru pânze anizotrope, se consideră separat problema extensiei-incovoierii-torsiunii si problema flexiunii. Soluţia este prezentată sub forma câmpului deplasărilor. Rezultatele obţinute sunt aplicate pentru cazul particular al pânzelor cilindrice circulare alcătuite dintr-un material ortotrop si omogen. O altă aplicaţie vizează studiul deformării plăcilor Cosserat ortotrope. Se determină soluţia problemei lui Saint-Venant în acest caz special si se arată că rezultatele se corelează foarte bine cu soluţiile exacte cunoscute din teoria tridimensională a elaticitaţii. În final, este rezolvată şi o problemă de tensiuni termice pentru plăci Cosserat, utilizând procedura stabilită anterior în lucrare. De asemenea, rezultatele generale sunt aplicabile pentru pânze cilindrice cu secţiunea transversală de o forma oarecare (inchisă sau deschisă) şi pentru tipuri variate de simetrie materială. Ele servesc la determinarea echilibrului pânzelor cilindrice supuse incărcărilor mecanice. Prin realizarea lucrării M. Birsan, On Saint-Venant s problem for anisotropic, inhomogeneous, cylindrical Cosserat elastic shells, International Journal of Engineering Science, 47, 2009, 21-38, obiectivul a fost realizat integral. Obiectivul 4. În cadrul obiectivului 4, s-au obţinut rezultate cu privire la teorii ale mixturilor având drept constituienţi materiale micropolare. În cadrul teoriei mixturilor micropolare propusă de Eringen (Mixture Theory of Porous Media, Journal of Applied Physics, 94, 2003, 4184-4190), s-a studiat problema vibraţiilor stationare. Pentru început s-a construit o reprezentare de tip Galerkin pentru problema dinamică. Metoda folosită pentru determinarea reprezentării de tip Galerkin este metoda matricelor asociate introdusă de Moisil. În multe probleme la limită este important să se dea o reprezentare a soluţiei în termenii unor funcţii elementare (armonice, biarmonice etc.). O astfel de reprezentare este stabilită în cazul sistemul de ecuaţii cu derivate parţiale care descrie comportarea vibraţiilor staţionare în mediul considerat. Plecând de la aceasta reprezentare, s-au determinat soluţiile fundamentale ale sistemului de ecuaţii. S-au demonstrat de asemenea, unele proprietăţi ale soluţiei fundamentale, proprietaţi utile pentru a demonstra existenţa soluţiei utilizând metoda potenţialului. Rezultatele au fost incluse în lucrarea: I.D. Ghiba, Fundamental solution in micropolar mixture theory of porous media, trimisă spre publicare in revista indexata ISI Eur. J. Mech. A/Solids. Tot în cadrul acestui obiectiv, s-au studiat câteva probleme privind comportarea spatială a soluţiilor care descriu vibraţiile staţionare in mixturi formate din materiale cu memorie. A fost considerat mai întai un cilindru format dintr-un material compozit poros alcatuit dintr-un solid termoelastic izotrop şi un material Kelvin-Voigt. Acest model a 3
fost introdus recent (D. Iesan, On the theory of viscoelastic mixtures, Journal of Thermal Stresses, 27, 2004, 1125-1148) prin considerarea următoarelor variabile independente în ecuaţiile constitutive: vectorii deplasare relativă si viteza relativă, funcţiile de porozitate, gradienţii deformării, gradientul vitezei, gradienţii funcţiilor de porozitate, temperatura şi gradientul temperaturii. Cilindrul a fost supus unor încărcări care variază armonic în timp pe unul dintre capete, în timp ce datele pe suprafaţa laterală şi celălalt capăt au fost nule. Ca urmare a acestor încarcari, cilindrul începe să vibreze. Ne-am propus să investigăm ce se intamplă cu amplitudinea vibraţiilor la distanţe mari fată de capătul încărcat. În ipoteza că unii dintre coeficienţii mixturii sunt pozitivi s-a reuşit introducerea unei masuri adecvate asociată soluţiilor. Utilizând atât efectul de disipare cât şi efectul termic s-a arătat că această masură satisface o inegalitate diferentială de ordinul întai valabilă pentru orice valoare a frecvenţei vibraţiilor staţionare. Prin integrare, s-a obţinut o estimare care arată că amplitudinea vibraţiilor care iau naştere în cilindru descreşte exponenţial cu distanţa fată de capătul încărcat al cilindrului, oricât de mare ar fi frecvenţa acestor incărcări. Rezultatele sunt prezentate în lucrarea: C. Galeş, A spatial decay estimate in thermoviscoelastic composite cylinders, Analele Ştiinţifice Univ. Al. I. Cuza Iaşi, Matematică, acceptată, 2009. De asemenea, unele rezultate sunt incluse în lucrarea: C. Galeş, On spatial behaviour in viscoelastic mixtures, Proceedings of the Asian Conference on Mechanics of Functional Materials and Structures, pp. 317-320, 2008. Obiectivul 5. Referitor la studiul undelor neomogene, în cadrul etapei pe 2009, s-a realizat lucrarea S. Chirita, I.D. Ghiba, Strong ellipticity and progressive waves in elastic materials with voids, trimisă spre publicare în revista indexata ISI Proc. Royal Society A. În acest articol se stabilesc condiţii necesare si suficiente pentru ca un material poroelastic să fie tare eliptic. Spunem că materialul poroelastic este tare eliptic dacă şi numai dacă 1 2 C mnrsm m m r n n n s + 1 2 ξη2 + 1 2 A rsζ r ζ s + +B rs m r n s η + D rsk m r n s ζ k + d r ηζ r > 0, for all (m n, η, ζ) 0, (1) cu A = m n, m, n şi ζ vectori arbitrari şi η scalar arbitrar. Se stabileşte faptul că pentru ca un material elastic poros cu centro-simetrie este tare eliptic dacă şi numai dacă A rs este tensor pozitiv definit, ξ > 0 şi C mnrs = ξc mnrs B mn B rs este tensor tare eliptic. În cazul mediilor poroelastice isotrope aceste condiţii necesare şi suficiente sunt următoarele µ > 0, ξ > 0, α > 0, ξ (λ + 2µ) > β 2. (2) 4
De asemenea s-au stabilit urmatoarele condiţii necesare şi suficiente pentru ca un materialul poroelastic cu izotropie transversală să fie tare eliptic: a 11 > 0, a 33 > 0, ξ > 0, (3) ξc 11 b 2 11 > 0, ξc 33 b 2 33 > 0, (4) ξc 55 > 0, ξ (c 11 c 12 ) > 0, (5) c 13 + c 55 b ( ) ( ) 11b 33 ξ < c 55 + c 11 b2 11 c 33 b2 33. (6) ξ ξ Pentru cazul materialelor tare eliptice, s-a studiat problema propagării undelor progresive în medii izotrope şi transversal izotrope. Se construieşte astfel soluţia (u r, ϕ) în R 3 (, ) de forma u r (x, t) = U r Λ ( l 1 (n s x s ct) ), ϕ (x, t) = ΦΓ ( l 1 (n s x s ct) ), (7) unde: (i) Λ şi Γ sunt funcţii cu valori reale de clasă C 2 în (, ) astfel încât d 2 Γ dλ = Γ 0, ds2 ds = Γ; (8) (ii) U = (U 1, U 2, U 3 ) este direcţia de deplasare, n = (n 1, n 2, n 3 ) este direcţia de propagare şi (U 1, U 2, U 3, Φ) 0; (iii) c este viteza de propagare şi l este o constantă ce reprezintă unitatea de lungime. Pentru cazul mediilor izotrope se arată că: Propoziţie 1 Pentru un material poroelastic tare eliptic, undele progresive definite în (7) se propagă transversal cu viteza c = c 1 = c 2 sau longitudinal cu viteza c = c 3 sau c = c 4, unde c 2 1 = c 2 2 = µ ϱ, (9) c 2 3 = 1 { } ξl 2 + α + κ (λ + 2µ) + [ξl 2 + α κ (λ + 2µ)] 2 + 4κβ 2 l 2, (10) c 2 4 = 1 { } ξl 2 + α + κ (λ + 2µ) [ξl 2 + α κ (λ + 2µ)] 2 + 4κβ 2 l 2. (11) Pentru materiale poroelastice transversal izotrope se consideră următoarele direcţii de propagare: (i) unda progresivă se propagă în planul de izotropie şi (ii) unde se propagă după direcţia axei de simetrie Ox 3. Cazul (i): n 3 = 0 5
În acest caz se deduc vitezele de propagare c 2 1 = 1 ϱ c 66, c 2 2 = 1 ϱ c 55, c 2 3 = 1 [ ξl 2 + a 11 + κc 11 c 2 4 = 1 (ξl 2 + a 11 κc 11 ) 2 + 4κb 211l 2 ], [ ] ξl 2 + a 11 + κc 11 + (ξl 2 + a 11 κc 11 ) 2 + 4κb 211l2. (12) şi se arată că: Propoziţie 2 Pentru un material poroelastic tare eliptic, undele progresive definite în (7) se propagă transversal cu viteza c 1 sau c 2 sau longitudinal cu viteza c = c 3 sau c = c 4. Cazul (ii): n 2 1 + n 2 2 = 0 În acest caz vitezele de propagare sunt ĉ 2 1 = ĉ 2 2 = 1 ϱ c 55, ĉ 2 3 = 1 [ ξl 2 + a 33 + κc 33 ĉ 2 4 = 1 (ξl 2 + a 33 κc 33 ) 2 + 4κb 233l 2 ], [ ] ξl 2 + a 33 + κc 33 + (ξl 2 + a 33 κc 33 ) 2 + 4κb 233l2. (13) şi se stabileşte un rezultat analog celui din cazul precedent. Cazul propagării undelor progresive în medii isotrope termoelastice este de asemenea studiat. Aceste rezultate matematice pot fi folosite în laborator pentru studiul proprietătilor specifice mediilor elastice poroase. Cadrul materialelor pororelastice tare eliptice reprezintă cadrul în care în etapa pe 2010 se va finaliza studiul undelor neomogene, studiu început în acest an. Astfel, se construieşte un nou tip de unde plane neomogene în teoria mediilor poroelastice. Astfel, undele plane neomogene care se propagă după o direcţie specificată, direcţie dată de un bivector C = qq + in, sunt căutate de forma u i = [A i exp iω(s x t)] + ϕ = [Q exp iω(s x t)] +, (14) unde A i şi Q sunt numere complexe numite amplitudini, S = S + + is este bivectorul incetinire, iar ω este o constantă reală dată. Pentru construcţia lor, folosim metoda elipsei directionale introdusă în lucrările M. Hayes, Inhomogeneous plane waves, Arch. Rational Mech. Anal., 85, 1984, 41-79 şi Ph. 6
Boulanger, M. Hayes, Bivectors and Waves in Mechanics and Optics, Chapman& Hall, London, 1993. Se deduce faptul că undele pot fi unde transversale având amplitudinile A i = ω 2{[( a 2 1 1 )( ω 2 a2 3 ω 2 + s 2) κm2 ] Bi a 2 2 a 2 2 a 2 2 [ (a 2 1 a 2 2) ( ω 2 a2 3 ω 2 + s 2 ) κm 2] 1 } (C C) 1 C a 2 2 a 2 j B j C i, 2 Q = 0. (15) sau unde longitudinale având amplitudinile A i = [ RN 2 C j B j + iωmnm ] C i, Q = iωm[ a 2 2ω 2 N 2 (C C) + ω 2 ]NC j B j + 1 κ [ a2 1ω 2 N 2 (C C) + ω 2 ]M, (16) unde cantitătile care apar sunt determinate iar B j şi M sunt constante arbitrare. Obiectivul 5. Pentru a descrie deformarea cilindrilor alcătuiţi dintr-un material elastic poros (obiectivul 6) s-a studiat problema lui Saint-Venant pentru cazul unui tip special de materiale ortotrope cu goluri. Se consideră un cilindru circular drept fabricat dintr-un material poroelastic transversal isotrop. Pe lânga cunoscutele utilizări în inginerie si mecanica rocilor a materialelor cu izotropie transversală, ele sunt utilizate in variate ramuri ale biologiei dintre care cea mai importanta este medicina. Pentru studiul deformarii cilindrilor consideraţi se utilizează metoda descrisă de I.D. Ghiba în lucrarea Semi-inverse Solution for Saint-Venant s Problem in the Theory of Porous Elastic Materials, European Journal of Mechanics, 27, 2008, 1060-1074. Această metodă se bazează pe construcţia a două clase de soluţii semi-inverse în clasa soluţiilor problemei lui Saint-Venant care pot fi exprimate în termenii unor deplasări plane generalizate. Aceste clase sunt relevante pentru a obţine soluţia problemei relaxate a lui Saint-Venant. Folosind rezultatele din cazul anizotrop au fost rezolvate problemele extensiei, încovoierii de către momente, torsiunii si incovoierii de către o forţa transversală a cilindrilor fabricaţi din materiale transversal izotrope şi omogene, cu goluri. Rezultatele au fost include în lucrarea I.D. Ghiba, On the deformation of transversely isotropic porous elastic circular cylinder aflată sub tipar in Archives of Mechanics, revistă indexată ISI. DIRECTOR DE PROIECT, Prof. dr. Stan CHIRITA 7