D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem

Mărimea: px
Porniți afișarea la pagina:

Download "D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem"

Transcriere

1 D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim relaţia: x, y A, x y y x Q. Relaţia este o relaţie de echivalenţă pe A. Atunci, pentru fiecare x A, fie x = {y A x y} = {y A y x Q} = (x + Q) A, clasa de echivalenţă a lui x în raport cu relaţia. Cum Q este numărabilă, x este numărabilă şi deci se poate reprezenta ca un şir: x = { r x 0, r x,..., r x n,... }. Acest şir nu depinde de reprezentatul x al clasei, adică x y x = ŷ r x n = rŷn, n N. Pentru orice n N, considerăm mulţimea A n = {r x n x A}. Întrucât două clase de echivalenţă sunt sau disjuncte sau coincid, rezultă că fiecare mulţime A n conţine câte un singur element din fiecare clasă. Deoarece A = {x} x = {r x n} = { } {{ } A n Arătăm în continuare că măcar o mulţime A n este nemăsurabilă Lebesgue. Presupunem prin absurd că toate r x n } = A n A, rezultă A = n. A mulţimile A n sunt măsurabile Lebesgue, adică A n M, n N. Dacă µ(a n ) = 0, n N, atunci avem: ( ) = µ ([0, ]) = µ(a) = µ A n µ (A n ) = 0, ceea ce este fals. Deci, p N astfel încât µ (A p ) > 0. Cum măsura Lebesgue este invariantă la translaţii şi A p M, rezultă ( ) n + A p M, n N şi µ n + A p = µ (A p ), n N. { } Arătăm prin reducere la absurd că mulţimile n + A p sunt mutual disjuncte. Presupunem că ( ) ( ) m, n N astfel încât m n şi n + A p m + A p. Atunci există a, b A p astfel încât n + a = m + b. Prin urmare a b = m n Q şi deci, a b. Cum a, b A p şi A p conţine câte un singur element din fiecare clasă, rezultă că a = b. Rezultă astfel că m = n, ceea ce vine în contradicţie cu presupunerea făcută. Deci, Fie acum mulţimea B = Pe de altă parte avem: n=0 ( ) n + A p ). Rezultă imediat că B M şi ( n + A p µ(b) = n= ( ) m + A p =, pentru m n. ( ) µ n + A p = µ (A p ) =. (6) }{{} >0 n= A p [0, ] n + A p [0, 2], n N B [0, 2] µ(b) µ ([0, 2]) = 2. (62) Astfel, din (6) şi (62) rezultă o contradicţie şi deci, n N pentru care mulţimea A n nu e măsurabilă Lebesgue. Observaţia 6.27 Demonstraţia de mai sus a fost făcută de către matematicianul Giuseppe Vitali în anul 905 şi este primul exemplu în acest sens. Ulterior au fost făcute şi alte construcţii care să justifice existenţa mulţimilor nemăsurabile Lebesgue. Toate acestea pot fi citite în lucrarea [4]. 35

2 D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 7 MĂSURI LEBESGUE-STIELTJES 7 Măsuri Lebesgue-Stieltjes Fie X = R, mulţimea numerelor reale. Definiţia 7. O funcţie f : R R se numeşte funcţie de distribuţie dacă f este crescătoare şi continuă la dreapta. Se arată la fel ca Lema 6. următoarea: Exerciţiul 7.2 Dacă f este o funcţie de distribuţie şi [a, b] n (a i, b i ), atunci f(b) f(a) Fie S semiinelul {(a, b] a, b R, a < b} { } şi f o funcţie de distribuţie. λ f : S [0, ] prin: { f(b) f(a), A = (a, b] λ f (A) =. 0, A = i= n (f(b i ) f(a i )). i= Definim funcţia de mulţime Observăm că pentru f = R, avem λ f = λ. Utilizând Exerciţiul 7.2, se arată la fel ca Teorema 6.2 că: Exerciţiul 7.3 Dacă f este o funcţie de distribuţie, atunci λ f este numărabil aditivă pe S. Observaţia 7.4 Fie f este o funcţie de distribuţie. Întrucât R = ( n, n], S şi λ f ( ) = 0, din Exerciţiul 2.2 şi Observaţia 3.5 obţinem:. λ f este finit aditivă pe S. 2. Funcţia λ f este o măsură exterioară pe R. Definiţia 7.5 Dacă f este o funcţie de distribuţie, λ f se numeşte măsura exterioară Lebesgue-Stieltjes asociată lui f, iar M λ f se numeşte familia mulţimilor măsurabile Lebesgue-Stieltjes asociată lui f şi o notăm cu M f. Observaţia 7.6 Din Teorema 3.3 rezultă că M f este o σ-algebră, iar restricţia λ f M f este o măsură pe M f. Pentru f = R, avem M f = M. Se arată la fel ca Teorema 6.6 următoarea: Teorema 7.7 (Teorema de existenţă şi unicitate a măsurii Lebesgue-Stieltjes) Dacă f este o funcţie de distribuţie, atunci A(S) M f şi există o unică măsură µ f : M f [0, ] astfel încât µ f S = λ f. Definiţia 7.8 Funcţia µ f, dată de teorema de mai sus, se numeşte măsura Lebesgue-Stieltjes asociată funcţiei de distribuţie f. Pentru f = R, µ f = µ. Observaţia 7.9 De fapt, µ f este unica măsură care prelungeşte pe λ f la A, pentru orice σ-algebră A cu proprietatea S A M f. La fel ca pentru măsura Lebesgue avem: Teorema 7.0 Dacă f este o funcţie de distribuţie, atunci µ f este σ finită, completă şi B τ0 M f. Exerciţiul 7. În ce condiţii măsura µ f este τ 0 -regulată, respectiv invariantă la translaţii? Teorema 7.2 Fie A P(R) o σ-algebră aşa încât S A şi fie ν : A [0, ] o măsură. Există o funcţie de distribuţie f aşa încât ν(a) = µ f (A), A A M f dacă şi numai dacă ν(a) <, A S. Demonstraţie. : Presupunem că există f o funcţie de distribuţie astfel încât ν = µ f pe A M f. Atunci ν(a) = µ f (A) = λ f (A) <, A S. : Presupunem că ν(a) <, A S. Definim funcţia f : R R, prin { ν ((0, x]), x 0 f(x) = ν ((x, 0]), x < 0. 36

3 Din ipoteză avem ν ((0, x]) <, x 0 şi ν ((x, 0]) <, x < 0 şi deci f este bine definită. Arătăm în continuare că (a, b] S, ν ((a, b]) = f(b) f(a). (63) Fie intervalul (a, b] S. Dacă b 0, atunci (a, b] = (a, 0]\(b, 0], de unde deducem ν ((a, b]) = ν ((a, 0]) ν ((b, 0]) = f(a) + f(b). Dacă a < 0 < b, atunci (a, b] = (a, 0] (0, b], de unde deducem ν ((a, b]) = ν ((a, 0]) + ν ((0, b]) = f(a) + f(b). Dacă 0 a, atunci (a, b] = (0, b]\(0, a], de unde deducem ν ((a, b]) = ν ((0, b]) ν ((0, a]) = f(b) f(a). Deci (63) este adevarată. Atunci, pentru a, b R cu a < b, rezultă f(b) f(a) = ν((a, b]) 0 şi deci f este crescătoare. Demonstrăm acum că f este continuă la dreapta. Fie x R şi fie (x n ) R, un şir care tinde descrescător la x. Dacă x 0, şirul ((0, x n ]) este descendent şi lim(0, x n ] = (0, x]. Utilizând continuitatea lui ν pe şiruri descendente obţinem: f(x) = ν ((0, x]) = ν (lim(0, x n ]) = lim n ν ((0, x n]) = lim n f(x n). Dacă x < 0, cum x n x, putem presupune că x n < 0, n N, şi atunci şirul ((x n, 0]) este ascendent, iar lim(x n, 0] = (x, 0]. Utilizând continuitatea lui ν pe şiruri ascendente obţinem: f(x) = ν ((x, 0]) = ν (lim(x n, 0]) = lim n ν ((x n, 0]) = lim n f(x n). Deci f este continuă la dreapta în x şi cum x a fost luat arbitrar, f este continuă la dreapta. Prin urmare f este o funcţie de distribuţie. În plus avem ν ((a, b]) (63) = f(b) f(a) = λ f ((a, b]), (a, b] S, adică, ν S = λ f. Deducem că ν prelungeşte pe λ f la A, deci şi la A M f. Cum µ f este unica măsură care prelungeşte pe λ f la A M f, rezultă că ν = µ f pe A M f. Corolar 7.3 Dacă ν : B τ0 [0, ] este o măsură, atunci există o funcţie de distribuţie f aşa încât ν = µ f dacă şi numai dacă ν(a) <, A S. 8 Funcţii măsurabile Considerăm mulţimea R = R {, } şi definim funcţia V : R P(P(R)) prin { } { V R a, b R, a < b şi x (a, b) V }, dacă x R V(x) = V R b R, astfel încât [, b) V, dacă x = { }. V R a R, astfel încât (a, ] V, dacă x = V este un operator de vecinătate pe R, adică, pentru orice x R, V(x) are următoarele proprietăţi:. V V(x), x V ; 2. Dacă V V(x) şi V U R, atunci U V(x); 3. V, V 2 V(x), V V 2 V(x); 4. V V(x), U V(x) astfel încât y U, V V(y). Atunci, familia de mulţimi τ 0 = { D R D şi D V(x), x D } { } este o topologie pe R aşa încât τ 0 τ 0. Mai mult, τ 0 = {D R D τ 0 } şi τ 0 {G A G τ 0 şi A {, { }, { }, {, }}}. Definiţia 8. Fie (X, A) un spaţiu măsurabil. O funcţie f : X R se numeşte A-măsurabilă (pe X) dacă D τ 0, f (D) A. 37

4 Dacă (X, A) este un spaţiu măsurabil, vom nota cu M(X, A) mulţimea funcţiilor A-măsurabile pe X. Definiţia 8.2. Dacă X = R, funcţiile M-măsurabile se mai numesc funcţii măsurabile Lebesgue. 2. Dacă (X, τ) este un spaţiu topologic, funcţiile B τ -măsurabile se mai numesc funcţii τ-boreliene. 3. Dacă (X, A, µ) este un spaţiu probabilistic, funcţiile A-măsurabile se mai numesc variabile aleatoare. Definiţia 8.3 Fie (X, A) un spaţiu măsurabil. O funcţie f : X R se numeşte A-etajată dacă există a, a 2,..., a n R astfel încât f(x) = {a, a 2,..., a n } şi f ({a i }) A, i, n. Dacă (X, A) este un spaţiu măsurabil, vom nota cu E(X, A) mulţimea funcţiilor A-etajate pe X. Exemplul 8.4 Fie (X, A) un spaţiu măsurabil şi fie χ A : X {0, }, funcţia caracteristică a mulţimii A P(X), adică {, x A χ A (x) = 0, x ca. χ A este A-etajată dacă şi numai dacă A A. Exerciţiul 8.5 Fie (X, A) un spaţiu măsurabil şi o funcţie f : X R. Funcţia f este A-etajată dacă şi numai dacă există a,..., a n R şi A,..., A n A astfel încât A i A j =, pentru i j, X = n n A j şi f = a j χ Aj. Exerciţiul 8.6 Fie f, g E(X, A) şi c R. Dacă funcţiile cf, f + g, fg sunt bine definite (adică nu iau valori de tipul 0, 0,, + ), atunci cf, f + g, fg E(X, A). Propoziţia 8.7 Fie (X, A) un spaţiu măsurabil. Orice funcţie A-etajată este A-măsurabilă. Demonstraţie. Fie f : X R o funcţie A-etajată şi fie a, a 2,..., a n R astfel încât f(x) = {a, a 2,..., a n } şi f ({a i }) A, i, n. Notăm A i = f ({a i }, i, n. Dacă D τ 0, atunci f (D) = {x X f(x) D} = A i. Cum A este o algebră şi A i A, i, n, a i D urmează că f (D) A. Prin urmare f este A-măsurabilă. j= j= Propoziţia 8.8 Fie (X, A) un spaţiu măsurabil şi τ P(X) o topologie pe X astfel încât τ A. Atunci orice funcţie continuă f : (X, τ) ( R, τ 0 ) este A-măsurabilă. Demonstraţie. Dacă f : (X, τ) ( R, τ 0 ) este o funcţie continuă, atunci D τ0, f (D) τ şi cum τ A, rezultă D τ 0, f (D) A. Deci f este A măsurabilă. Teorema 8.9 Fie (X, A) un spaţiu măsurabil şi fie f : X R. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:. f este A-măsurabilă, 2. F F τ0, f (F ) A, 3. B B τ0, f (B) A. Demonstraţie. 2: Fie F F τ0. Deoarece cf τ 0 şi f este A-măsurabilă, obţinem f (cf ) A. Dar f (cf ) = cf (F ) şi atunci f (F ) = ccf (F ) A. 2 : Fie D τ 0. Deoarece cd F τ0, din ipoteză obţinem f (cd) A. Cum f (cd) = cf (D), rezultă f (D) = ccf (D) A. Deci f este A-măsurabilă. 3: Fie E = {E R f (E) A}. Deoarece f este A-măsurabilă, rezultă că τ 0 E. Arătăm în continuare că E este o σ-algebră. Dacă (E n ) E, atunci f (E n ) A, n N şi atunci f ( E n ) = f (E n ) A. Deci E n E. Dacă E, E 2 E, atunci f (E ), f (E 2 ) A şi deci f (E \ E 2 ) A. Prin urmare E \ E 2 E. Am arătat că E este un σ-inel. Cum f (R) = X A, obţinem R E. Deci E este o σ-algebră. Deoarece E este o σ-algebră şi τ 0 E, urmează că B τ0 = A(τ 0 ) E. De aici obţinem că B B τ0, B E, adică f (B) A. 3 : Întrucât τ 0 B τ0, implicaţia este evidentă. 38

5 Teorema 8.0 Fie (X, A) un spaţiu măsurabil şi fie f : X R. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:. f este A-măsurabilă, 2. D τ 0, f (D) A şi {f ({ }), f ({ })} A, 3. B B τ0, f (B) A şi {f ({ }), f ({ })} A. Demonstraţie. 2: Cum f este A-măsurabilă, f (D) A, D τ 0 şi cum τ 0 τ 0, rezultă că f (D) A, D τ 0. Deoarece { } F τ0, din Teorema 8.9 obţinem că f ({ }) A. Analog obţinem că f ({ }) A. 2 : Fie D τ 0. Atunci există G τ 0 şi A {, { }, { }, {, }} astfel încât D = G A. Atunci f (D) = f (G A) = f (G) f (A). Din ipoteză, f (G), f (A) A şi atunci f (D) A. 3: Dacă f este A-măsurabilă, din Teorema 8.9 obţinem că f (B) A, B B τ0. Cum τ 0 τ 0, rezultă B τ0 B τ0 şi deci f (B) A, B B τ0. Din (2) obţinem {f ({ }), f ({ })} A. 3 2: Întrucât τ 0 B τ0, implicaţia este evidentă. Teorema 8. Fie (X, A) un spaţiu măsurabil şi f : X R. Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:. f este A măsurabilă, 2. α R, f ([, α)) A, 3. α R, f ([α, ]) A, 4. α R, f ((α, ]) A, 5. α R, f ([, α]) A. Demonstraţie. Vom demonstra mai întâi că : Fie α R. Atunci, din ipoteză, f ([, α)) A. Deoarece f ([α, ]) = f ( R \ [, α) ) = f ( R ) \ f ([, α)) = X \ f ([, α)) = cf ([, α)), rezultă că f ([α, ]) A. 3 4: Fie α R. Dacă α =, atunci (α, ] = (, ] = [ n, ] şi deci f ((α, ]) = f ([ n, ]) A. Dacă α =, atunci (α, ] = (, ] = şi deci f ((α, ]) = A. Dacă α R, atunci (α, ] = [α + n, ], de unde rezultă f ((α, ]) = f ([α + n ]), 4 5: Se arată la fel ca : Se arată la fel ca 3 4. În consecinţă, am arătat că Vom demonstra în continuare echivalenţa acestora cu (). 2: Presupunem că f este A-măsurabilă, adică f (D) A, D τ 0. Atunci α R, deoarece [, α) τ 0, rezultă f ([, α)) A. 2 : Fie D τ 0. Dacă D =, atunci f (D) = A. Dacă D, atunci, din teorema de structură a mulţimilor deschise din topologia τ 0 a lui R, există un şir de intervale deschise {(a n, b n )} astfel încât (a m, b m ) (a n, b n ) =, pentru m n, şi D = (a n, b n ). Pentru orice n N, avem: f ((a n, b n )) = f ([, b n ) (a n, ]) = f ([, b n )) f ((a n, ]). Din (2), f ([, b n )) A. Pe de altă parte 2 4 şi atunci f ((a n, ]) A. Rezultă că f ((a n, b n )) A, n N. Deoarece f (D) = f ( (a n, b n )) = f (a n, b n ), obţinem atunci că f (D) A. Deoarece 2 5, avem f ({ }) = f ([, ]) A. Deoarece 2 3, avem f ({ }) = f ([, ]) A. Prin urmare sunt îndeplinite condiţiile din Teorema 8.0(2) şi atunci f este A-măsurabilă. A. 39

6 Teorema 8.2 Fie (X, A) un spaţiu măsurabil, f, g : X R două funcţii A-măsurabile şi c R. Dacă funcţiile f + g, c f, f g sunt bine definite (adică nu iau valori de tipul, +, 0, 0), atunci:. f + g este A-măsurabilă, 2. c f este A-măsurabilă, 3. f 2 este A-măsurabilă, 4. f g este A-măsurabilă. Demonstraţie. Deoarece f şi g sunt A-măsurabile, acestea satisfac caracterizările din Teorema 8... Deoarece f + g este bine definită, nu ia valori de tipul. Fie α R. Distingem următoarele cazuri: Dacă α =, atunci (f + g) ([, )) = A. Dacă α =, atunci (f + g) ([, )) = {x X f(x) + g(x) < } = {x X f(x) < şi g(x) < } = {x X f(x) < } {x X g(x) < } = f ([, )) g ([, )) A. Presupunem acum că α R. Atunci (f + g) ([, α)) = {x X f(x) + g(x) < α} = {x X f(x) + g(x) < α şi g(x) } {x X g(x) = } Dacă f(x) + g(x) < α şi g(x), atunci f(x) < α g(x) şi deci există r x Q astfel încât f(x) < r x < α g(x). Cum f(x) < r x şi g(x) < α r x, obţinem x f ([, r x )) g ((, α r x )). Prin urmare avem x r Qf ([, r)) g ((, α r)). Am demonstrat că {x X f(x) + g(x) < α şi g(x) } r Qf ([, r)) g ((, α r)). Arătăm în continuare incluziunea inversă. Dacă x r Qf ([, r)) g ((, α r)), atunci există r Q astfel încât x f ([, r)) g ((, α r)). Atunci f(x) < r şi < g(x) < α r. Deci f(x) + g(x) < α şi g(x). Rezultă f ([, r)) g ((, α r)) {x X f(x) + g(x) < α şi g(x) }. r Q Atunci are loc egalitatea: {x X f(x) + g(x) < α şi g(x) } = r Qf ([, r)) g ((, α r)), de unde rezultă (f + g) ([, α)) = f ([, r)) g ((, α r)) g ( ). r Q Cum f şi g sunt A-măsurabile, f ([, r)), g ((, α r)) A, r Q, de unde (f + g) ([, α)) A. Deci, α R, (f + g) ([, α)) A şi atunci, din Teorema 8. obţinem că f + g este A-măsurabilă. 2. Deoarece c f este bine definită, nu ia valori de tipul 0. Dacă c = 0, atunci c f = 0. Deci c f este funcţie etajată şi atunci este A-măsurabilă. Presupunem în continuare că c 0 şi fie un α R. Deoarece (c f) ([, α)) = f ([, α c )), dacă c > 0 f (( α c, ]), dacă c < 0 şi f este A-măsurabilă, rezultă (c f) ([, α)) A, α R. În consecinţă, c f este A-măsurabilă. 3. Fie α R. Dacă α 0, atunci ( f 2) ([, α)) = A. Dacă α > 0, atunci ( f 2) ([, α)) = f ([, α)) = f ([, α)) f (( α, ]). Deoarece f este A-măsurabilă, avem f ([, α)), f (( α, ]) A şi atunci ( f 2) ([, α)) A. În concluzie f 2 este A-măsurabilă. 4. Deoarece f g este bine definită, nu ia valori de tipul 0 sau 0. Considerăm mulţimea Y = {x X f(x) R şi g(x) R} = f ((, )) g ((, )). 40

7 Deoarece funcţiile f şi g sunt A-măsurabile, rezultă că Y A. Fie A Y = {A Y A A}, urma lui A pe Y. Deoarece Y A, rezultă că A Y A. este de asemenea o σ-algebră. Considerăm funcţiile: A Y Întrucât A este o σ-algebră, f = f Y şi g = g Y. Întrucât f şi g sunt A-măsurabile, pentru orice D τ 0 avem f (D) A şi g (D) A. De aici rezultă f (D) = f (D) Y A Y şi g (D) = g (D) Y A Y şi deci f şi g sunt A Y -măsurabile. Pentru orice x Y, cum f (x), g (x) R, are loc identitatea [ (f (x) + g (x)) 2 (f (x) g (x)) 2], f (x) g (x) = 4 adică f g = [ (f + g ) 2 (f g ) 2]. 4 Cum f şi g sunt A Y -măsurabile, din rezultatele anterioare obţinem că f + g este A Y -măsurabilă şi deci (f + g ) 2 este A Y -măsurabilă. De asemenea, g este A Y -măsurabilă, de unde rezultă f g = f + ( g ) este A Y -măsurabilă şi deci (f g ) 2 este A Y -măsurabilă. Atunci (f g ) 2 este A Y -măsurabilă şi deci (f + g ) 2 (f g ) 2 este A Y -măsurabilă. Prin urmare f g este A Y -măsurabilă. În consecinţă α R, (f g ) ([, α)) A Y şi cum A Y A, obţinem: Fie acum α R. Atunci α R, {x Y (f g) (x) < α} A. (64) (f g) ([, α)) = {x X (f g) (x) < α} = {x Y (f g) (x) < α} {x X \ Y (f g) (x) < α}. Notăm cu A = {x Y (f g) (x) < α}. Cum {x X \ Y (f g) (x) < α} = {x X \ Y (f g) (x) = }, putem scrie unde Deci {x X \ Y (f g) (x) < α} = B C D E B = {x X f(x) = şi g(x) > 0}, C = {x X f(x) > 0 şi g(x) = }, D = {x X f(x) = şi g(x) < 0}, E = {x X f(x) < 0 şi g(x) = }. (f g) ([, α)) = A B C D E. (65) Din (64), A A. Deoarece f şi g sunt A-măsurabile, obţinem B = f ({ }) g ((0, ]) A, C = f ((0, ]) g ({ }) A, D = f ({ }) g ([, 0)) A şi E = f ([, 0)) g ({ }) A. Din (65) obţinem (f g) ([, α)) A. În consecinţă, f g este A-măsurabilă. 4

TEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:

TEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail: TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins

Mai mult

Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u

Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:

Mai mult

Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n

Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului

Mai mult

Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac

Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire

Mai mult

Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,

Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea

Mai mult

Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29

Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale

Mai mult

Microsoft Word - cap1p4.doc

Microsoft Word - cap1p4.doc Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu

Mai mult

Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l

Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative la R n, în principal), sunt prezentate aici elemente

Mai mult

Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi

Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte

Mai mult

Elemente de aritmetica

Elemente de aritmetica Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al

Mai mult

Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor

Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)

Mai mult

{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud

{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud { 3 + 3, < Eemple. ) Fie f : R R, f() + 4,. Funcţia f este derivabilă pe R\{} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să studiem derivabilitatea în a. Atunci f s() 3+3 6,< 3, f d f() f() (),> funcţia

Mai mult

Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de

Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),

Mai mult

Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci

Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor

Mai mult

Geometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla

Geometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea   cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 12 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 3 Apendix 2

Mai mult

Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică ş

Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică ş Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Academiei 4, RO 0004, Bucureşti, România

Mai mult

LOGICA MATEMATICA SI COMPUTATIONALA Sem. I,

LOGICA MATEMATICA SI COMPUTATIONALA  Sem. I, LOGICA MATEMATICĂ ŞI COMPUTAŢIONALĂ Sem. I, 2017-2018 Ioana Leustean FMI, UB Partea III Calculul propoziţional clasic Consistenţă şi satisfiabilitate Teorema de completitudine Algebra Lindenbaum-Tarski

Mai mult

Logică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu

Logică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu Logică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu casandra@cs.upt.ro https://tinyurl.com/lectureslsd Mulțimi aspecte teoretice Ce sunt mulțimile? Mulțimea e un concept matematic fundamental. Definiție

Mai mult

CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),

CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul

Mai mult

Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; pa

Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; pa Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; paranteze: (, ); simbolul de egalitate =; cuantificatorul

Mai mult

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac

Mai mult

Microsoft Word - TIC5

Microsoft Word - TIC5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE CAPITOLUL 5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE În Capitolul 3, am văzut că putem utiliza codarea sursă pentru a reduce redundanţa inerentă a unei surse de informaţie

Mai mult

MD.09. Teoria stabilităţii 1

MD.09. Teoria stabilităţii 1 MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,

Mai mult

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 12 SPAŢII L P Cursul 11 Proprietăţi de densitate în spaţiile L p Proprietăţile de densitate ne permit să

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 12 SPAŢII L P Cursul 11 Proprietăţi de densitate în spaţiile L p Proprietăţile de densitate ne permit să DRs, Teoria măsrii şi integrala Lebesge 12 SPAŢII L P Crsl 11 Prorietăţi de densitate în saţiile L Prorietăţile de densitate ne ermit să aroximăm fncţiile din L ( c fncţii din L ( c o strctră mai simlă,

Mai mult

Teoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.

Teoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP. Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului

Mai mult

Aero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D

Aero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge

Mai mult

Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru,

Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru, Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru, adică f (t, 0) = 0, t t 0. In acest paragraf, funcţia

Mai mult

Teoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A 1,...,

Teoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A 1,..., Teoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A,..., A r unde A,..., A r sunt elemente distincte dintr-o

Mai mult

CLP_UTCN-grila-2012.dvi

CLP_UTCN-grila-2012.dvi Liceul: Numele: Punctaj: Prenumele: Concursul liceelor partenere cu Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Test grilă Ediţia a treia mai 0 Clasa a X-a În casuţa din stânga întrebării se va scrie litera

Mai mult

PROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL

PROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.

Mai mult

Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont

Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi

Mai mult

Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014

Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea   marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014 Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014 Relații în lumea reală și informatică Noțiunea matematică de

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,

Mai mult

8.1. Elemente de Aritmetică. 8. Aplicatii (15 aprilie 2019) Lema 8.1. Fie (A, +) un grup abelian şi H, K A. Atunci H K şi H + K = {h + k h H şi k K} s

8.1. Elemente de Aritmetică. 8. Aplicatii (15 aprilie 2019) Lema 8.1. Fie (A, +) un grup abelian şi H, K A. Atunci H K şi H + K = {h + k h H şi k K} s 8.1. Elemente de Aritmetică. 8. Aplicatii (15 aprilie 2019) Lema 8.1. Fie (A, +) un grup abelian şi H, K A. Atunci H K şi H + K = {h + k h H şi k K} sunt sungrupuri ale lui A. Propoziţia 8.2. Considerăm

Mai mult

OLM_2009_barem.pdf

OLM_2009_barem.pdf Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Societatea de Ştiinţe Matematice din Romania Olimpiada Naţională de Matematică Etapa finală, Neptun Mangalia, 13 aprilie 2009 CLASA A VII-a, SOLUŢII ŞI BAREMURI

Mai mult

ETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți

ETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți Seminar Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferențiale Folosind transformata Laplace, putem reolva ecuații și sisteme diferențiale. Cu ajutorul proprietăților transformatei

Mai mult

1 2 1

1 2 1 1 2 1 3 PROBABILITĂŢI ŞI STATISTICĂ MA- TEMATICĂ 3.1 SPAŢIU PROBABILISTIC, DEFINIŢII, PROPRIE- TĂŢI Teoria probabilităţilor este analiza matematică a noţiunii de experienţă aleatoare (sau aleatorie, întâmplătoare,

Mai mult

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7

Mai mult

DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT

DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ

Mai mult

02. Analiza matematica 3 - MI 2

02. Analiza matematica 3 - MI 2 FIȘA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1. Instituția de învățământ superior Universitatea de Vest din Timișoara 1.2. Facultatea Matematică și Informatică 1.3. Departamentul Matematică 1.4. Domeniul

Mai mult

Lucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009

Lucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009 Lucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009 CUPRINS Pg. INTRODUCERE. Noţiuni preliminare (L. Turdeanu, G. Pop)... 6 Probleme... 11 1. GEOMETRIA

Mai mult

GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007

GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007 GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de

Mai mult

O teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with ap

O teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with ap O teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with applications to Erdős-Suranyi sequences. We start from

Mai mult

MECANICA FLUIDELOR

MECANICA FLUIDELOR MECANICA FLUIDELOR Generalităţi Orice substanţă care curge se numeşte fluid. În această categorie se încadrează atât lichidele cât şi gazele. Deoarece cu gazele se produc de obicei transformări termice,

Mai mult

20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do

20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul

Mai mult

Clasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul

Clasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.

Mai mult

Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-

Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII- Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale

Mai mult

ExamView Pro - Untitled.tst

ExamView Pro - Untitled.tst Class: Date: Subiecte logica computationala licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Fie formula

Mai mult

UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM

UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot

Mai mult

Notiuni de algebra booleana

Notiuni de algebra booleana Noţiuni de algebră booleană (în lucru) Definiţie Algebră booleană = o structură algebrică formată din: O mulţime B Două operaţii binare notate cu (+) şi (.) O operaţie unară notată cu ( ) pentru care sunt

Mai mult

Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA

Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea

Mai mult

Modelarea si Simularea Sistemelor de Calcul

Modelarea si Simularea Sistemelor de Calcul Modelarea şi Simularea Sistemelor de Calcul Generarea de numere aleatoare ( lab. 5) Numim variabilă aleatoare acea funcţie X : (Ω, δ, P) R, care în cazul mai multor experimente efectuate în condiţii identice

Mai mult

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele

Mai mult

Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Teză de Doctorat Rezumat Aproximare prin Operatori Integrali Liniari şi

Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Teză de Doctorat Rezumat Aproximare prin Operatori Integrali Liniari şi Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Teză de Doctorat Rezumat Aproximare prin Operatori Integrali Liniari şi Neliniari de Variabile Reale şi Complexe Doctorand:

Mai mult

8

8 9.5 Fluxul unui vector printr-o suprafaţă deschisă-continuare Observaţie: Dacă vrem să calculăm fluxul vectorului a = P x y z i + Q x y z j + R x y z k (,, ) (,, ) (,, ) prin suprafaţa definită de ecuaţia

Mai mult

Probleme rezolvate 1) Să se calculeze limitele următoarelor şiruri: 1 a) x n n = ( n+ 1)( n+ 2 )...( n+ n), n 2 n ( 1) 1 n n b) 2 3 n 5 n... ( 2

Probleme rezolvate 1) Să se calculeze limitele următoarelor şiruri: 1 a) x n n = ( n+ 1)( n+ 2 )...( n+ n), n 2 n ( 1) 1 n n b) 2 3 n 5 n... ( 2 Probleme rezolvate ) Să se calculeze itele următoarelor şiruri: a) x = ( + )( + )...( + ), 3 ( ) b) 3 5... ( x = e + e + + ) e Soluţie ( + )( + )...( + ) a) x = =... + + +. k l x = l +. Folosid coseciţa

Mai mult

Retele Petri si Aplicatii

Retele Petri si Aplicatii Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 3 RPA (2019) Curs 3 1 / 48 Conţinutul cursului 1 Arbori de acoperire 2 Probleme de decizie în reţele Petri 3 Invarianţi tranziţie RPA (2019) Curs 3 2 / 48 Arbori de acoperire

Mai mult

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 11 INTEGRALA LEBESGUE Cursul 10 Observaţia Cum am văzut în Teorema 11.46, orice funcţie integrabilă

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 11 INTEGRALA LEBESGUE Cursul 10 Observaţia Cum am văzut în Teorema 11.46, orice funcţie integrabilă D.Rusu, Teori măsurii şi integrl Lebesgue 11 INTEGRALA LEBESGUE Cursul 10 Observţi 11.50 Cum m văzut în Teorem 11.46, orice funcţie integrbilă Riemnn e un intervl mărginit [, b] este continuă µ-..t.. Prin

Mai mult

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation ELEMENTE DE MORFOLOGIE MATEMATICA Morfologia matematica Cadru de abordare diferit: Pana acum : Imaginea este o functie de doua variabile. Pixelii imaginii (valori si coordonate de pozitie) sunt structurati

Mai mult

Şcoala ………

Şcoala ……… Şcoala... Clasa a X-a Disciplina: Matematică TC + CD Anul şcolar: 07-08 TC = trunchi comun 35 săptămâni: 8 săptămâni semestrul I CD = curriculum diferenţiat Nr. ore: 3 ore / săptămână 7 săptămâni semestrul

Mai mult

Logică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea marius/curs/lsd/ 3 noiembrie 2014

Logică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea   marius/curs/lsd/ 3 noiembrie 2014 Logică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 3 noiembrie 2014 Unde aplicăm verificarea realizabilității? probleme de căutare și

Mai mult

programa_olimpiada_matematica_IX-XII_

programa_olimpiada_matematica_IX-XII_ R O M  N I A MINISTERUL EDUCAłIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI DIRECłIA GENERALĂ MANAGEMENT ÎNVĂłĂMÂNT PREUNIVERSITAR CONSILIUL NAłIONAL PENTRU CURRICULUM ŞI EVALUARE ÎN ÎNVĂłĂMÂNTUL PREUNIVERITAR PROGRAMA

Mai mult

Subiectul 1

Subiectul 1 Subiectul 1 În fişierul Numere.txt pe prima linie este memorat un număr natural n (n

Mai mult

Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),

Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC), Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + +

Mai mult

gaussx.dvi

gaussx.dvi Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care

Mai mult

COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati

COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan

Mai mult

Cursul 10 Fractali de tip Newton Vom prezenta în continuare o nouă modalitate de generare a fractalilor, modalitate care îşi are originea într-o probl

Cursul 10 Fractali de tip Newton Vom prezenta în continuare o nouă modalitate de generare a fractalilor, modalitate care îşi are originea într-o probl Cursul 10 Fractali de tip Newton Vom prezenta în continuare o nouă modalitate de generare a fractalilor, modalitate care îşi are originea într-o problemă formulată în anul 1879 de Arthur Cayley (1821 1895)

Mai mult

Curs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi

Curs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a

Mai mult

Universtitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Anca Grad (născută Dumitru) Condiţii de optim îmbunătăţite pentru prob

Universtitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Anca Grad (născută Dumitru) Condiţii de optim îmbunătăţite pentru prob Universtitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică nca Grad (născută Dumitru) Condiţii de optim îmbunătăţite pentru probleme de optimizare scalară, vectorială şi multivocă

Mai mult

1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x.

1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x. 1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x. Date de intrare: arr [] = {10, 2, 14, 4, 7, 6}, x =

Mai mult

Limbaje Formale, Automate si Compilatoare

Limbaje Formale, Automate si Compilatoare Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare Curs 1 2018-19 LFAC (2018-19) Curs 1 1 / 45 Prezentare curs Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare - Curs 1 1 Prezentare curs 2 Limbaje formale 3 Mecanisme

Mai mult

Calcul Numeric

Calcul Numeric Calcul Numeric Cursul 7 2019 Aca Igat Memorarea matricelor rare - se memorează doar valorile eule şi suficiete iformaţii despre idici astfel ca să se poată recostitui complet matricea Pp. că matricea A

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen

Mai mult

matematica

matematica MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII PROGRAMĂ ŞCOLARĂ M A T E M A T I C Ă CLASA A IX-A CICLUL INFERIOR AL LICEULUI Aprobată prin ordin al ministrului nr. / Bucureşti, 2009 NOTĂ DE PREZENTARE În

Mai mult

Microsoft Word - 03 Dominica MOISE.doc

Microsoft Word - 03 Dominica MOISE.doc CONFERINȚA NAȚIONALĂ DE INSTRUMENTAȚIE VIRTUALĂ, EDIȚIA A V-A, BUCURE TI, 20 MAI 2008 13 Pachet de programe care ilustrează capitole din matematică, fizică şi studiul fractalilor Luminița Dominica MOISE,

Mai mult

O metodă de rafinare a unor inegalităţi geometrice Temistocle BÎRSAN 1, Marius DRĂGAN 2, Neculai STANCIU 3 Abstract. This paper presents a method to o

O metodă de rafinare a unor inegalităţi geometrice Temistocle BÎRSAN 1, Marius DRĂGAN 2, Neculai STANCIU 3 Abstract. This paper presents a method to o O metodă de rafinare a unor inegalităţi geometrice Temistocle BÎSAN 1, Marius DĂGAN, Neculai STANCIU 3 Abstract. This paper presents a method to obtain some refined geometric inequalities in a triangle,

Mai mult

Microsoft Word - _arbori.docx

Microsoft Word - _arbori.docx ARBORI Să presupunem că o firmă doreşte să conecteze la TV, prin cablu, cele n case ale unui sat. Cum vor fi conectate casele la cablu? Logic, va trebui ca fiecare casă să fie conectată. Apoi, la o casă

Mai mult

Spatii vectoriale

Spatii vectoriale Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale

Mai mult

I

I METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei

Mai mult

Analiză de flux de date 29 octombrie 2012

Analiză de flux de date 29 octombrie 2012 Analiză de flux de date 29 octombrie 2012 Analiză statică: definiţie O analiză a codului sursă (fără a executa programul), cu scopul de a determina proprietăţi ale programului sursă. (in principal corectitudinea,

Mai mult

Microsoft PowerPoint - Curs_SDA_9_RO_2019_v2.pptx

Microsoft PowerPoint - Curs_SDA_9_RO_2019_v2.pptx SDA (PC2) Curs 9 Liste / Grafuri / Arbori Iulian Năstac Lista dublu înlănțuită Recapitulare Într-o astfel de listă fiecare nod conţine doi pointeri: unul spre nodul următor şi unul spre nodul precedent.

Mai mult

C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi

C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector

Mai mult

Geometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial Vari

Geometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea   cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial Vari Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial 1 11 Varietăţi liniare 1 12 Spaţiul director şi dimensiunea unei varietăţi

Mai mult

Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc

Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc ,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel

Mai mult

Cursul 12 Şiruri recurente în planul complex Vom studia, în continuare, comportarea în raport cu data iniţială a şirurilor definite prin relaţii de re

Cursul 12 Şiruri recurente în planul complex Vom studia, în continuare, comportarea în raport cu data iniţială a şirurilor definite prin relaţii de re Cursul 12 Şiruri recurente în planul complex Vom studia, în continuare, comportarea în raport cu data iniţială a şirurilor definite prin relaţii de recurenţă de forma z n+1 = f(z n ), n = 0, 1, 2,...,

Mai mult

CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, tri

CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, tri CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI 19 3. CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, triunghiuri şi alte guri geometrice. Galileo Galilei 3

Mai mult

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0

Mai mult

Lucrarea 7 Filtrarea imaginilor BREVIAR TEORETIC Filtrarea imaginilor se înscrie în clasa operaţiilor de îmbunătăţire, principalul scop al acesteia fi

Lucrarea 7 Filtrarea imaginilor BREVIAR TEORETIC Filtrarea imaginilor se înscrie în clasa operaţiilor de îmbunătăţire, principalul scop al acesteia fi Lucrarea 7 Filtrarea imaginilor BREVIAR TEORETIC Filtrarea imaginilor se înscrie în clasa operaţiilor de îmbunătăţire, principalul scop al acesteia fiind eliminarea zgomotului suprapus unei imagini. Filtrarea

Mai mult

Limite de funcţii reale

Limite de funcţii reale ( =, a b ) + a + b o 3 L + M L + M = + = + a + b b a + a + b + A A L + M = = + + ( + + )( + ) + + o 4 + 3 3 = + + 8 8 + 4 +. Limita uei fucţii îtr-u puct Vom prezeta coceptul de "limită a uei fucţii îtr-u

Mai mult

FIŞA DISCIPLINEI

FIŞA DISCIPLINEI FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1.Instituţia de învăţământ superior Universitatea SPIRU HARET 1.2.Facultatea Inginerie, Informatică şi Geografie 1.3.Departamentul Informatică şi Geografie 1.4.Domeniul

Mai mult

Algebr¼a liniar¼a, geometrie analitic¼a şi diferenţial¼a B¼arb¼acioru Iuliana Carmen Seminarul 2

Algebr¼a liniar¼a, geometrie analitic¼a şi diferenţial¼a B¼arb¼acioru Iuliana Carmen Seminarul 2 lgebr¼a liniar¼a, geometrie analitic¼a şi diferenţial¼a ¼arb¼acioru Iuliana armen uprins. Spaţii vectoriale............................. 4. Modi carea coordonatelor unui vector atunci când se schimb¼a

Mai mult

Paradigme de programare

Paradigme de programare Curs 9 Logica propozițională. Logica cu predicate de ordinul întâi. Context Scop: modelarea raționamentelor logice ca procese de calcul efectuate pe mașini de calcul Abordare Descrierea proprietăților

Mai mult

Retele Petri si Aplicatii

Retele Petri si Aplicatii Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 4 RPA (2019) Curs 4 1 / 45 Cuprins 1 Analiza structurală a reţelelor Petri Sifoane Capcane Proprietăţi 2 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Reţele workflow 3

Mai mult

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să

Mai mult

Microsoft Word - V_4_Inmultirea_nr_nat.doc

Microsoft Word - V_4_Inmultirea_nr_nat.doc 3 Înmulţirea numerelor naturale De acum, pentru înmulţire vom folosi semnul în loc de Ex În loc de 32 9 vom scrie 32 9 Dacă a şi b sunt două numere naturale, prin produsul lor vom înţelege a b Ex a) Produsul

Mai mult

Cursul 14 Mulţimea lui Mandelbrot Mulţimile şi funcţiile cu caracter excepţional (mulţimea lui Cantor, insula lui Koch, funcţiile lui Weierstrass şi T

Cursul 14 Mulţimea lui Mandelbrot Mulţimile şi funcţiile cu caracter excepţional (mulţimea lui Cantor, insula lui Koch, funcţiile lui Weierstrass şi T Cursul 14 Mulţimea lui Mandelbrot Mulţimile şi funcţiile cu caracter excepţional (mulţimea lui Cantor, insula lui Koch, funcţiile lui Weierstrass şi Takagi, curbele lui Peano, mulţimile Julia, ş.a.) au

Mai mult

Curs 3 Permutari cu repetitie. Combinari. Algoritmi de ordonare si generare

Curs 3  Permutari cu repetitie. Combinari.  Algoritmi de ordonare si generare Curs 3 Permutări cu repetiţie. Combinări. Algoritmi de ordonare şi generare Octombrie 2015 Cuprins Algoritmi de ordonare şi generare pentru permutări cu repetiţie Reprezentarea binară a submulţimilor Algoritmi

Mai mult